Adrian Zanoschi

Gabriel Popa

Gheorghe lurea

Petru R6ducanu

loan $erdean

Bacalaureat 201 IMatematice

M_mate-infoTeme recapitulative

60 de teste, dup5 modelul M.E.N.

Breviar teoretic

Editura Paralela 45

U-

Cuprins

CuvAntinsinte.................. ...............5

TEME RECAPITULATIYE:,::,,::uri Solulii

Clasa a IX-a1.1. Mullimi gi elemente de logicd maten:i:;i . - . 131L2. $iruri. Progresii . :-1-<

1.3. Funclii. Funclia 1iniara.......... .: :-1-1.4. Ecualia de gradul al Il-lea. Funcgia de gradui al lI-lea . i :,1!1.5. Vectori -: :-1i1.6. Trigonometrie ............. :: :r -

1.7. Aplica{ii ale trigonometriei in geometrie :5 :tr-:

Clasa a X-a2.1. Radicali gi logaritmi.. .... . :S :i-<2.2. Numere complexe 31 . . .l-152.3. Func(ii 3{. ...:-1S2.4.Ecualli qi inecua{ii... 37.....1-<1

2.5. Combinatoric5............ ......... 41 .....2-<-1

2.6.Matematici aplicate. ProbabilitSli 44.....2562.7. Geometrie analiticd 46.....2582.8. Probleme recapitulative din materia claselor a IX-a - a X-a............ ..49....2.59

Clasa a XI-a3.1. Permutiri.................... ......... 56.....:613.2. Matrice 57.....16i3.3. Determinanli.............. .........60.... 16-1

3.4. Inversa unei matrice. Ecualii matriceale .. 61 . . . . .:G3.5. Sisteme de ecuatii liniare.......... 66.. :i,a3.6. Probleme de sintez[ - algebr6...... 70. ]5:3.7. $iruri --( :-3.8. $iruri date prin formule de recurenf5 ....... S[) -

-:3.9.Limitedefunc{ii...... .......... S: :--3.10.Asimptote................ ..... :r --.3.ll.Func(iicontinue ...... i: ---3.12. Derivata unei func(ii - - '3.13. Teorema lui Fermat. Teorema lui Rolle. Teorema lui Lagrange. -: -"3.14. R.egulile lui l'Hospita1.................. -- -""3.15. Rolul derivatelor de ordinul I qi de ordinul al Il-lea in studiul functirl..: -' -

3. l 6. Reprezentarea grafic6 a funcliilor ... . . - -3. 17. Probleme de sintezd - analizd matematic[ ".

Clasa a XII-a4.1. Legi de cornpo2i1ie................... 112.....304

4.2. Grupuri. ........ 115.....306

4.3. Inele qi corpuri 120.....31 1

4.4. polinoame .................. .......124.....315

4.5. Probleme de sintezi - a1gebr6...... .......... 130.."..320

4.6. Primitive ....... 133.....32t4.7. Formula Leibniz-Newton............... .......139.....324

4.8. Metode de integrare ..........144.....328

4.9. ProprietSli ale integralei Riemann... .."....147 .....332

4.10. Aplicalii ale integralei definite..... ........ 152.....331

4,1 l. Probleme de sintezd - analizdmatematicd.. 155.....340

TESTE PENTRU BACALAUREAT 2019, DUPA MODELUL M.E.N.. 159.....343

BREVIAR TEORETIC .....................368

BibliograJie. .'.....'............397

,llF

iI

I

I

il

II

tI

I

tl

I

i

II

III

I

Teme recapitulative

Clasa a lx-al.l. Mullimi gi elemente de logicd matematicd

t. Calculafi:

a)2.(-3)-(-4) :2+ (25):(-5); b12'o 218 -320:31e+ 50;

; io. [1-o.rnl)

2. F te 0,ap2a3. . .a,,. . . scrierea zecimalda numdrului ] . Calculali:7

. L-. f ^_.- li u20lq I u20:0.

3. Se considerd intervaleie A = (4, al qi B = (-2,7). Determinali mul{imea:

1 ) B).\2.

,,rrdonati cresc6tornumerele a=2,5(l), t=1. c=2.(511. ct= 2.51.

Calcula{i:

a\ Jas +Jso -Jns;.t (J7-r)' +(Ji+r)';

5 r:ara!, cd numdrur , = [v*e

. off .rfl[rf)-' ".,"

naturar.

-,:i:agr ca numIrul b = .! -* ----1--,- * * ---1---- este natural.Vl +V2 V2+V3 r/8+V9

s: considerd numerele o = JgB_ Jn-.6 qi b = Jtez+Jis +JZ. Calculali:::dia aritrneticd qi media geometricl a numerelor a qi b.

):::rnrinali numerele ra{ionale a Si b,qtiind ci (Ji *G)' = o - bJi .

d)8.[0,(3)+0,1(6)].

{-

5.

ts

b) (Jl -,lr)(Jr*J:);32

d)-=--* I .

,17 +2 ,17 +3

En u.tu .' . C'a s: a 'X- a

1 0. :':.::.:::i:. ci. daca.r- e [0, 51], atunci num6rul o = Jt + 49 * ix+ AX se afl6

:. .::::-, aiul i3l. 36].ll , '

-

t

-. .. rre D\^,y) = v.x- -2x+5+tly'+6y+10, undex.y e IR.. Ardtali ca E(,r..y) > 3.

pentru orice x, y e R.

12. Afla1i c6te numere iralionale conline mullimea Ur, J, .,6. . '' 199. J200] .

13. Determina{i partea intreagl gi partea frac{ionari pentru fiecare dintre urmitoarele

numere: a = 2,7, b = -0,6, c = 13, d = ' Jl .

25. -.: :: --' --

a -- - - --*.:..

':i.,--- - - -----::

.r

a+b b+c L-c)

-*-* ,

cq:25. Demonstrali. prr .::

n€ N*:

a)1+3+5+...- -

b)1.2*2.3

11C)

-+--r-1.5 5.9 -d) l . il .- r :: -

27. Dcmonstrali. pn: .::numdr nafural /r 'i:;a)2'>2n+1.ri)-:b)rz! >2',n)1.

I 3 5 l,:-c) _._

2 4 6 ','I

d)Jr<l+ ---a\- \ -'

28. Demonstrati ca nr:'.-'

29. Demonstrali ca - i:30. afla1i cdte numere :.31 . anag cite numer= :,32. Determinali cdte :-::

?133. DeterminaJi cate :--.

cifrele l, 2, J. -+. r

34. Afla1i cate nume:: :=

35. Determinali cdte : *:numdr impar.

36. StaUit4i in cdte r:.;,:-are5tricoun.Jre:=:

14. Calculali:

, [;]. [-;] ,

") [0].[..6] *Ur*..61; d) {o}.{.'6}-{lr*.-6}.15. Rezolva(i in IR. ecuafiile:

a) [x] + [x + l] + [r + 27=24; b) [x + ll=2x-l;c) {2x} = 6;

16. Rezolva(i in lR ecua{iile:

a) l, - 2l= 5;

c) ll - 2xl=lx+ 4l;

17. Rezolva{i in IR inecua{iile:

a) ll - bl<z;

b) {1,64} - {-2,36};

I

d1 1x1 = -.3

b) lr - 1l + l2 - 2xl= 12'

A)Lr'-11+lx+11=0.

b) lx + 3l>4.18. Determinali num5rul elementelor mullimii A = {x e Zll2x + 1l < 100}.

19. tuetati cI valoarea expresiei E(x) = px - 8l -214 - 2xl nu depinde de numdrul real r.20. Demonstrali c5 lzx - 3l + 2lx * 1l > l, pentru orice numdr real r.21. Demonstra{i cix2 + 3x + 3 > 0, pentru oricer e IR.

22. Demonstra{ic6, dacdx,ye 12,-), atunci D)-2x-2y+ 6e 12,*).

23. Demonstrafic6, dacdx,!e ( l,l),atunci :y e (-1, l).l+ xy

24. pie E(.r) = -r* +.r' + 2x2 'r x * 1, unde r e IR.. Demonstrali cd:

a) E(.t) = (.r: - 1)(.r2 + x + l), oricare ar fi x e IR;

1b) E(x) > l. oricare ar fi x e IR.

4

I

1.1. Mulfimi gi elemente de logicd matematicd

25. Demonstrali c5:

1

a) x+- )2,oicarearftxe (0,+-;'xI

b) -r+-L 1-2,oricarearfixe (-,0);x

. a+b b+c c+ac) -- -+- -+-)6,oricarearftxe (0,+-;.cab26. Demonstrali, prin inducfie, cd urmitoarele egalit61i sunt adevdrate pentru orice

n e N*:

a) 1 + 3 + 5 + . .. + (2n - l)= n';

b) 1 .2 +2.3 + ... + n(n+ l)= n(n +l)(n + 2)

.11 1nc)

-+-+...+-=-.-' 1.5' 5'9 ' "" (4n-3)(4n+t) 4n+1'd) 1 . lt +2.21+... + n.nl=(n + 1)!- l.

27. Demonstrafi, prin induclie, c[ urm[toarele inegalitdli sunt adevirate pentru oricenumdr natural n care indeplinegte condilia indicat[:a)2'>2n*l,n)3;b) nl > 2", n) 4;

135 2n-l I'246 2n ,l2n+l'

d) J; 4.#.+. ...+<2G , n) 2.

28. Demonstrafi c[ num[rul 13" + 7" - 2 se divide cu 6, oricare ar fi z e N.

29. Demonstrali cI 7 . 25" + 2. 6"*t se divide cu 19, oricare ar fi n e N.

30. Afla{i cdte numere naturale de trei cifre au suma cifrelor egald ct25.31. Aflali cdte numere naturale de trei cifre au produsul cifrelor egal cu 0.

32. Determina{i cdte numere naturale de patru cifre se pot forma utiliz6nd cifrele 0, 1,

2,3.33. Determinafi cdte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma utiliz6nd

cifrele 1,2,3,4,5.!14. Afla1i cdte numere de trei cifre au exact doud cifre egale.

35. Determina{i c6te numere de patru cifre distincte au produsul cifrelor egal cu unnum[r impar.

:l5. StaUitili in cdte moduri se poate imbr[ca Dan pentru un meci de tenis, gtiind cI elare 5 tricouri, 4 perechi de pantaloni scurfi qi 3 perechi de pantofi de sport.

EnunfurioClasaalX-a

37. Num6rul de inmatriculare al unui automobil dintr-un jude! este format din doulcifre (nu este permisi combinafia 00) gi din trei litere ale alfabetului latin (26 delitere). Aflafi numdrul maxim de magini care pot fi inmatriculate intr-un judet.

38. Se consider[mullimea A= {1,2,3,4,5,6,7}. Aflafi cdte perechi (a,b) e AxAau proprietatea cI produsril a - b este impar.

39. Oetermlnali cdte numere naturale, mai mici decdt 101, sunt divizibile cu 3 sau cu 5.

40. Se consider[ mulfimeal = {1,2,3, ...,199,200}.a) Afla1i cdte dintre elementele mullimii I se divid cu 6 qi cu 8.

b) Aflafi c6te dintre elementele mu[imii I se divid cu 6, dar nu se divid cu 8.

c) Determina{i cdte dintre elementele mul(imii,4 se divid cu 6 sau cu 8.

1.2. $iruri. Progresii

7.

8.

9.

b) Da'-" = .-

c) De::,r:r-' -- -

Fie(rr,, --)---

$irul ta,r :--- --'1-rn>3 D::-. --*-

Se consicle:. , :-

a) Calcule:: .. --- --

b) Aratagi ., -. = -.

c) Calculalr .---. :

10. Determinalr pr,::- '.11. Fie (an),,t opr.--.::12. Se consideri pi.J::

suma primilor s;:.:13. Stabil(i daca nu-- 1--

1 4. Determinali nu:*-.--aritmetic6.

15. Calculali suma I - :1 6. Determinali nun:":-

17. Aratali ch girul ,.;

dacdql az+ ... - -18. Calculali suma pn:--

aq-a2=4$iai-.;'-19. Gasili suma primiit:

a6 * a9 + arr.l at: = |2O*.La un stadion cu ca:

vine un spectator. i:5 spectatori etc. Dup;

21..Se consideri mullimmente. cu ra(ia poziri

22. D etermina{i numdrui

tric6.

1. Completa(i cu cdte treifiec6ruia:a) I,3,5,7,9,...;c) l,-1, 1,-1, 1,...;

termeni urmdtoarele qiruri, apoi scriefi termenul general al

b) 0, 1, 4,9, 16, ...;d) 1,3,6, 10, 15, ...

2. Se considera girul (a,),2 t. a,= 4 .' n+l

a) Existd vreun termen al girului .gut ., ]:3

b) Cefl termeni ai girului sunt mai mici decdt 0.7?c) CAli termeni ai girului sunt in inten.alul (0.99: 1)?

3. Demonstrali ca girui (a,),>:;.de termen general ,,= i\, este cresc6tor.n+5

4. Ar5tali ca girul (a,), r o*, de termen general e, = n2 - r, este strict monoton.

5. Fie E(,r) = *' - 4x * 3, undex e IR. Pentru n e N, n> 4, defrnim qirul (a,),2aprin:

o.= | *-' *...+ I

E(4) E(s) Eln)a) Demonstrati cd qirul este strict crescdtor.b) Demonstra\i cd,9irul este mdrginit.

c) Ardtali cd an= t:,-l).(,1.n - !-)., pentru orice n2 4.4\n -t)(n -2)- '

,,1 n+1+.,1 n

a) Verificali dacl o,= Jn+l-J; ,V n e N*.

10

rA b) Dacd s,=at*az+...lantn e N*, ardtatic5,s,,= J"+l-1.un,ie ,: a -

Ie c) Demonstra\i cd, qirul (a,),2 r este strict descrescdtor qi mSrginrt.7. Fie(a,),,2 lungircuproprietateacd,dacds,-atlaz*...Ictn;oricare.::. -

=A

e N*, atunci s,= -! .,Y n e N-. Determina{i termenul general a,,.n+l; 8. $irul (o,)r 1este definit recurent prin a1 : l, ctz = 2, an = 2e, - | - an -2. oric::: ":

fi n 2 3.Demonstra{i cd a, = n, oricarear fi n e N..

9. Se considerd qirul (a,),2 r, definit prin a1 = 4, a2= 8, en+2- a'+t,

unde n e li'.an

a) Calculali a3, a4, as, ct6.

b) Arltali cd an - an + 6, oricare ar fi n e N*.

c) Calculati suma,S - at t azt ... * azooq.

il ***

1 0. Determina{i primul termen al progresiei aritmetice al, a2, 13 , 17 , 2l , . . . .

1 1. Fie (o,),r, o progresie aritmeticd de raiie 2,in care az * a+= 8. Determina{i a1.

12. Se considerd progresia aritmetici (an)n.r, astfel inclfi a3 = 5 $i as = 9. Calculalisuma primilor qapte termeni ai progresiei.

13. StaUitili daci num6ru1 2007 apar\ine progresiei aritmetice 2,7 , 12, 17 , -.. .

14. DeterminaJi numbrul real r, gtiind cd numerele 2, x qi x + 4 sunt in progresiearitmeticS.

15. Calculali suma 1+4+7 + ...+31.15. Determinalinumdrulnaflrral ndinegalitatea I *5 +9+ ...*n=231.17. Xratag c5 girul (an), , t, an = 3n - 2 este o progresie aritmetic[. Determinali n,

dacd a1 * ct21- ... I an= 51.I: 18. Calculali suma primilor 20 de tenneni ai progresiei aritmetic e (a,),21, dacd'.

a+- az= 4 qi qta at+ a5+ a6- 30.19. Cas4i suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice (a,)n21, dacd,:

aa* asl ap* ars=20.2O".Laun stadion cu capacitatea de 10000 de locuri vin spectatorii. inprimul minut

vine un spectator, in al doilea minut r,in 3 spectatori, in al treilea minut vin5 spectatori etc. Dupd cAte minute se umple stadionul?

21..Se considerd mullimea M= {1,2, ..., i0}. CAte progresii aritmetice de trei ele-mente, cu ralia pozitiv/a, se pot forma cu elementelefui ilI?

22. Detercrinali numIrul real pozitiv x, qtiind ci r, 6 qi x - 5 sunt in progresie geome-tric5.

11

o Clasa a lX-a

23. Determinafi primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi by, 6, b3,24,....

24. gtiin0 c[ doi termeni ai unei progresii geometrice sunt D3 = 2 qi bs = 4, determi-na[i b7.

25. calculali ratia progresiei geometrice (b,),t, cu termeni pozitivi, dacd b1 -t b2 = Jgi D3 + fu= 12.

26.Determina{i primul termen gi rafia unei progresii geometrice, dac6 a1+aa=fr,

.7nf al -$*ar=-.-8

27. Numerele reale pozitive a, b, c, d sunt in progresie geometric[. Dacd d - a = 7 ;i- c - b = 2, aflati ralia progresiei.

28'.rie o, b, c numere naturale nenule in progresie geometricd. Dacd a + b * c estenumir par, ardta[i ci numerele a, b, c sunt pare.

29. se consider[ numlru] real s = t * 1* -1 I

Z t-+...+ f*r Demonstrafi cd s e (1,2).

30. eretali cd2(t + 3 + 32+ ... + 3t). 3,.

31. Calculalis= I -2+22-23 +...+Ztm.32. Se consider[ o progresie geometrici (b,),.1, cu rafia e =2. Determinafi n e N

pentru care bo= 96, iar suma primilor z termeni ai progresiei este 189.33. eretati cn $nrl (b,),rb b,= 6 . 2"-',n ) I este o progresie geometrici. Deter-

minati ndac5,h+h+... + b,=93.!!4. Determinali numerele reale a, b, dacd numerele 2, a, b sunt in progresie geo-

metric[, iar numerele 2,4, a sunt in progresie aritmetic[.

3. a) Se considerd fimqi."f(- 8) . ... .,f(8)-,f(9

b) Se consider[ fimgi+f (2) +... +/(10).

c) Se consider6 flmc+

.f (2) . ... ./(100).Determina[i numdnrl fa) "f (1) ="f (3);Determinali num[nrl Iimpar pi/(l) este pm.

Determinafi numirul fa) Arltali cd tuncfial:

b) Arltali cI tunqia/c) Deterrninati numin

l)emonstrafi c5 3 este

reprezinti partea frac1i

9. Si se determine nurrfrra) strict crescitoare;

10. Se consideri funcfia/:

1 1. Se consideri funqiihfuncJiile/. ggig"f

12. Se consideri func1iile.

numerele reale a qi D.l13. Fie funcliile/: (0, *-

=&{.Determin4i1

14..Se consideri furcdif

lx-1. -r<0-i .DEtl2x-4, x>0

4.

5.

6.

7.

8.

1.3. Functii. Functia liniard

xa) J lx) =--;----= ix'-9

2. Se consider[ funcliile/: {-1, 0, a} + Z,f (x)= (-t), qi g : {.x e Zllxl<2} -s A,

*, ={;' ::-i Determinafi numerele reale aqi b qi mullimea l, astfel inc6t

cele dou6 func{ii si fie egale.

12

b)f (x)=-z 4 _;x -5x+zc)f (x) =

2-x

1.