Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

54
Matematic˘a pentruˆ ıncep˘atori matematicapentruincepatori.blogspot.ro Varianta model pentru bacalaureat 2015 M1 (mate-info) Abel Cavas , i 28 februarie 2015 1

description

Rezolvarea pe înțelesul începătorilor a variantei model de bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info.

Transcript of Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Page 1: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

roVarianta model pentrubacalaureat 2015 M1 (mate-info)

Abel Cavas, i

28 februarie 2015

1

Page 2: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

2

Cuvant ınainte

Scumpi elevi de clasa a XII-a. S, tiu ca se apropie baculs, i ca unii dintre voi au ceva emot, ii legate de modul ın carese vor descurca la mate. As,a ca, pentru a va diminua cevadin aceste emot, ii, am creat aceasta cart,ulie pentru voi s, i,sper, pe ınt,elesul vostru. Ea cont, ine rezolvarea foartedetaliata a variantei model propusa pentru anul 2015 lamate-info s, i este inspirata de pe blogul meu adresat ıncepatorilorın ale matematicii:matematicapentruincepatori.blogspot.rounde gasit, i o mult, ime de alte informat, ii pret, ioase.

Cartea este structurata as,a cum este structurata s, ivarianta de bac, iar rezolvarile sunt puse imediat subprobleme.

Mult succes! Iar daca avet, i ıntrebari, nu ezitat, i sa macontactat, i.

Page 3: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

3

Subiectul I

Problema 1: Fie numarul complexz = 1 + i. Sa se calculeze (z − 1)2.

Rezolvare.

Metoda 1. Metoda corecta (deci, s, i rapida) de rezolvareeste simpla ınlocuire a lui z. Adica, (z − 1)2 = [(1 + i)−1]2 = (1 + i− 1)2 = i2 = −1.

Metoda 2 O metoda mult mai laborioasa s, i nereco-mandata ar fi sa ridicam ıntai la patrat binomul (z − 1)cu ajutorul formulei de calcul prescurtat (a+ b)2 = a2 +2ab + b2 s, i abia apoi sa facem ınlocuirile lui z cu 1 + i.Desigur, am avea mult mai mult de lucru.

(z − 1)2 = z2 − 2z + 1 = (1 + i)2 − 2(1 + i) + 1 =12 + 2i+ i2 − 2− 2i+ 1 = i2 = −1.

Problema 2: Aratat,i ca3(x1 + x2)− 4x1x2 = 3, unde x1 s, i x2 suntsolut,iile ecuat,iei x2 − 5x+ 3 = 0.

Rezolvare. Ar fi inutil s, i am pierde timp pret, ios dacane-ar fi lene sa gandim put, in s, i ne-am arunca direct ıngasirea solut, iilor x1 s, i x2 cu metoda veche, aceea cu delta.Nu e cazul!

Page 4: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

4

Ori de cate ori avem de calculat o expresie ce cont, inesuma s, i produsul radacinilor, ne va sari mintea la RELAT, IILELUI VIETE. Caci, atat suma, cat s, i produsul, constituieambele relat, ii ale lui Viete s, i le putem ınlocui cu valorilecoeficient, ilor care apar ın ecuat, ie.

Mai exact, x1 + x2 = − ba

= −−51

= 5 s, i x1x2 = ca

=31

= 3.As,adar,

3(x1 + x2)− 4x1x2 = 3 · 5− 4 · 3 = 15− 12 = 3,

as,a cum trebuia sa aratam.

Observat, ie Dar, daca totus, i dorit, i sa vedet, i cum ar fiaratat solut, iile acestei ecuat, ii, le putem obt, ine cu delta.Astfel, ∆ = 25 − 12 = 13. Acest 13, nefiind un patratperfect, este deja suficient de urat ıncat sa va puna peganduri cum ca nu prea suntet, i pe drumul bun spre re-zolvarea problemei ın maniera cea mai bine punctata.

Am avea mai departe x1 = 5−√13

2s, i x2 = 5+

√13

2.

Adunand aceste solut, ii va va ramane 5, iar ınmult, indu-le s, i folosindu-va eventual de formula de calcul prescurtat

(a − b)(a + b) = a2 − b2, unde a = 52, iar b =

√132

, vet, iobt, ine 25−13

4= 3. Adica aceleas, i rezultate pe care le-am

obt, inut mai sus mult mai simplu cu relat, iile lui Viete.

Page 5: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

5

Problema 3: Rezolvat,i ın R ecuat,ia4x − 3 · 2x + 2 = 0.

Rezolvare. Nu s,tim sa rezolvam ecuat, ii exponent, ialeın general, as,a ca trebuie sa facem un artificiu, o s,mecherie,prin care sa transformam ecuat, ia exponent, iala ıntr-unacu care suntem familiarizat, i. S, i care este cea mai uzualaecuat, ie pe care s,tim s-o rezolvam? Desigur, ecuat, ia degradul doi. As,adar, haidet, i sa vedem daca nu cumvaecuat, ia noastra exponent, iala poate deveni o ecuat, ie degradul doi.

Inainte de toate, ca sa scapam de exponentul acelacare ne ıncurca, facem substitut, ia t = 2x. As,adar, ecuat, ianoastra devine 4x − 3t+ 2 = 0.

Acum ne mai ıncurca 4x. Pentru aceasta ne mai tre-buie un pas ın care sa ne amintim cateva formule de calculcu puteri. Avem

4x = (22)x = 22·x.

Cum ınmult, irea de la exponent este comutativa, obt, inem

4x = (22)x = 22·x = 2x·2 = (2x)2 = t2.

As,adar, ecuat, ia noastra exponent, iala devine ın total-itate o ecuat, ie banala s, i dragut, a de gradul doi:

t2 − 3t+ 2 = 0.

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuat, iide gradul doi s, i sunt convins ca ıi putet, i calcula us,or s, i

Page 6: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

6

repede solut, iile, eventual cu ajutorul relat, iilor lui Vietesau, mai primitiv, cu delta. Obt, inem atunci t1 = 1 s, it2 = 2.

Dar noua ne trebuiesc valorile pentru x, nu pentrut. Unii elevi pur s, i simplu uita sa termine problema,avand impresia ca dupa rezolvarea ecuat, iei ın t au ter-minat ıntreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie sa gasimvalorile corespunzatoare pentru x din relat, ia 2x = t.

Avem atunci s, i pentru x doua valori. Prima valoare alui x este cea care corespunde primei valori a lui t. Deci,2x1 = t1 = 1. Dar, 2 la ce putere ne da 1? Evident, laputerea 0. As,adar, x1 = 0.

Pe x2 ıl gasim din relat, ia 2x2 = t2 = 2. Deci, 2 lace putere ne da tot 2? Evident, la puterea 1. Astfel,obt, inem ca x2 = 1.

Problema 4: Calculat,i probabilitatea caalegand un numar din mult,imeanumerelor naturale de doua cifre,acesta sa fie divizibil cu 13.

Rezolvare. Din punctul de vedere al cunos,tint,elor pecare le-at, i acumulat ın liceu, probabilitatea este un numarmai mic sau egal cu 1 (niciodata supraunitar!) dat de ofract, ie care cont, ine la numarator (sus) un numar maimic numit

”numarul cazurilor favorabile”, iar la numitor

numarul maxim, numit”numarul cazurilor posibile”.

Page 7: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

7

Deci, P = numarul cazurilor favorabilenumarul cazurilor posibile

.Ne mai ramane sa determinam concret aceste numere

care apar ın expresia probabilitat, ii.Incepem cu

”mult, imea numerelor naturale de doua

cifre”. Cate asemenea numere naturale sunt? Asta-iıntrebarea init, iala. Procedam sistematic. Numere nat-urale de doua cifre care sa ınceapa cu 0 nu avem. As,adar,avem doar numere naturale care ıncep cu cifrele 1, 2, 3, . . . , 9.Deci, ın locul primei cifre, care este cifra zecilor, se potafla doar 9 cifre, caci cifra 0 nu se poate afla acolo. Inschimb, ın locul cifrei unitat, ilor se poate afla s, i cifra 0, ıntotal zece cifre. Deci, pentru fiecare cifra a zecilor, avemcate zece numere posibile corespunzatoare. S, i cum suntın total 9 cifre ın locul cifrei zecilor, obt, inem ca existaın total 9 · 10 = 90 posibilitat, i ın care putem construinumere naturale de doua cifre. Astfel, numitorul proba-bilitat, ii este determinat.

Sa trecem acum la partea care este, de regula, cevamai grea, s, i anume la determinarea numaratorului prob-abilitat, ii. Trebuie sa cautam cate numere de doua cifredivizibile cu 13 sunt. Se pare ca, decat sa ne chinuimcu cine s,tie ce metode generale pentru a afla multipliilui 13, este mai us,or sa enumeram aceste numere, caci nusunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depas,escsuta.

As,adar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decat 100sunt 13, 26, 39, 52, 65, 78 s, i 91. In total, avem 7 asemeneamultipli.

Page 8: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

8

Atunci, probabilitatea cautata va fi

P =7

90.

Problema 5: In reperul cartezian xOy seconsidera dreapta d de ecuat,ie y = 3x+ 5s, i punctul A(1, 0). Gasit,i ecuat,iaparalelei duse prin A la dreapta d.

Rezolvare. Pentru a rezolva aceasta problema elevu-lui trebuie sa-i sara ın minte o cunos,tint, a indispensabila:ecuat, ia dreptei de panta data care trece printr-un punctdat. Fara aceasta cunos,tint, a, rezolvarea devine un chins, i nu putem insista ıntr-o asemenea direct, ie gres, ita. Dacaam continua sa ne chinuim, ın cel mai bun caz, am putearedescoperi aceasta cunos,tint, a elementara s, i indispens-abila.

As,adar, haidet, i sa vedem despre ce cunos,tint, a estevorba, mai concret. Deci, care este ecuat, ia dreptei depanta m care trece prin punctul A(x0, y0)?

Iat-o: y− y0 = m(x− x0). Ea mai poate fi regasita s, isub forma echivalenta

y − y0x− x0

= m,

iar aceasta ultima forma ne aduce aminte de legatura cuderivata sau cu tangenta unghiului pe care ıl face dreapta

Page 9: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

9

cu axa OX. In ultima instant, a, panta este tocmai acestlucru: tangenta unghiului pe care ıl face dreapta cu axaabsciselor.

De aici ıncolo nu ne mai trebuie altceva decat sa facemınlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie sa s,tim ceva:ca doua drepte paralele au aceeas, i panta! Evident, nu?Aaaa, s, i mai trebuie sa s,tim ca panta unei drepte datasub forma y = mx + n este tocmai coeficientul lui x.Mamaaaa, cate mai trebuie sa s,tim!

Deci, o mica recapitulare. In problema ni se da odreapta tocmai sub forma minunata (i se mai spune

”forma

redusa”) pentru ecuat, ia unei drepte y = 3x + 5. Deci,coeficientul lui x este 3, deci panta acestei drepte estem = 3. S, i cum cunoas,tem ecuat, ia dreptei care treceprintr-un punct A(x0, y0) s, i are panta m, ne ramane safacem ınlocuirile.

As,adar, ecuat, ia dreptei cautate este y− 0 = 3(x− 1),adica y = 3x− 3.

Putem face s, i o proba. Sa vedem daca punctul A(1, 0)apart, ine acestei drepte. Daca ın ecuat, ia dreptei undevedem x punem 1 s, i unde vedem y punem 0, trebuiesa obt, inem un adevar. Ian sa vedem. 0 = 3 · 1 − 3.Adevarat? Adevarat! S, i panta este aceeas, i cu a drepteidate, caci coeficientul lui x este acelas, i ın ambele cazuri,deci dreptele sunt paralele.

Observat, i ca ecuat, ia dreptei cautate nu a depins de5.

Page 10: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

10

Problema 6: Determinat,i raza cerculuicircumscris triunghiului ABC s, tiind caAB = 12 s, i ca unghiul C are π

6 radiani.

Rezolvare. In primul rand, trebuie sa ne amintim rapidcam ce cunos,tint,e am ınvat,at noi ın legatura cu raza cer-cului circumscris. Ce relat, ii matematice cunoas,tet, i ınlegatura cu R mare (r mic fiind raza cercului mic, adicaa cercului ınscris ın triunghi)?

Ar fi bine sa va amintit, i teorema sinusurilor, ca nu-igrea. Ea ne spune ca pentru triunghiul oarecare albastrudin figura de mai jos

Page 11: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

11

s, i cercul sau circumscris desenat cu ros,u exista urmatorulset de egalitat, i

a

sinA=

b

sinB=

c

sinC= 2R.

Acest set de egalitat, i se numes,te ”teorema sinusurilor”.

Daca nu cunoas,tet, i aceasta teorema la bac, at, i ıncurcat-o! Pentru ca nu vad pe unde v-at, i mai putea scoatecamas,a ca sa rezolvat, i aceasta minunat, ie de problema.Dar s, i invers, daca s,tit, i aceasta teorema us,or de ret, inut,atunci suntet, i cas,tigat, i, caci avet, i tot ce va trebuie pen-tru a rezolva problema.

Problema noastra ne da drept cunoscute pe AB (decipe c mic) s, i unghiul C mare s, i ne cere raza R mare.As,adar, din teorema sinusurilor noi vom ret, ine doar ceeace implica aceste date, adica vom ret, ine egalitatea

c

sinC= 2R.

Facand ınlocuirile, avem

12

sin π6

= 2R.

Dar cat este sin π6? Cum unghiul de π ın radiani este

echivalent cu unghiul de 180 de grade, rezulta ca unghiulde π

6este echivalent cu unghiul de 180

6, deci cu 30 de grade.

As,adar, ne trebuie sinusul unghiului de 30 de grade. Dar,

Page 12: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

12

din tabelul trigonometric pentru sinus

numar 0 1 2 3 4gradele 0 30 45 60 90

sinusul=√

numar2

√02

= 0√12

= 12

√22

√32

√42

= 1

noi s,tim astfel ca sin 30 = 12.

Revenind atunci la formula noastra de calculat,

12

sin π6

= 2R,

avem o fract, ie supra-etajata pe care o transformam ınmult, indcu rasturnata

2R =1212

= 12 · 2

1= 24.

De aici rezulta apoi ca

R =24

2= 12.

Adica, raza cercului circumscris triunghiului este toc-mai egala cu latura AB. Asta mai ınseamna (ca exemplu,deci nu-i musai sa mai adaugat, i asta la bac) ca triunghiulABO este echilateral, O fiind centrul cercului circum-scris. Aceasta adaugire are menirea sa va arate camcare ar fi fost metoda de rezolvare bazata pe not, iuneade

”unghi la centru” s, i pe faptul ca acest unghi la centru

este dublu fat, a de unghiul de pe cerc.

Page 13: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

13

Subiectul II

Problema 1a:

Se considera matricea A(a) =

1 1 10 a a+ 12 a+ 2 a+ 3

,

unde a este un numar real. Calculat,i determi-nantul acestei matrice.

Rezolvare. Determinantul unei matrice este un numar.S, i este un numar tare important. As,a ca ar cam fi fru-mos ca elevul sa s,tie sa calculeze macar determinantulde ordinul doi (deci, al unei matrice cu doua linii s, i douacoloane) s, i de ordinul trei.

Exista o mult, ime de posibilitat, i pentru a calcula de-terminantul unei matrice de ordinul trei, iar elevul chiarare de unde sa aleaga. Se cunoas,te bine de tot regulalui Sarrus, regula triunghiului (valabile pentru ordinultrei), precum s, i regula dezvoltarii dupa elementele uneilinii sau coloane (regula care este valabila de data aceastapentru orice ordin).

Mai exact, la regula lui Sarrus copiem jos primeledoua linii ale determinantului sub a treia linie (sau copiemın dreapta primele doua coloane)

Page 14: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

14

detA =

∣∣∣∣∣∣1 1 10 a a+ 12 a+ 2 a+ 3

∣∣∣∣∣∣1 1 10 a a+ 1

s, i calculam produsele de pe liniile oblice paralele cu diag-onala principala (diagonala care pornes,te din stanga-sus s, i ajunge ın dreapta-jos) pe care le adunam, dupa carecalculam produsele de pe liniile oblice paralele cu diago-nala secundara (diagonala care pornes,te din dreapta-suss, i ajunge ın stanga-jos) pe care le scadem.

Am obt, ine atunci ca

detA = a(a+ 3) + 2(a+ 1)− 2a− (a+ 2)(a+ 1).

Observat, i, deci, o groaza de lucru.Iar regula triunghiului este aceeas, i cu regula lui

Sarrus, doar ca se adreseaza celor care au imaginat, ie maibogata s, i care nu mai sunt nevoit, i sa scrie din nou efectivprimele doua linii sub cea de-a treia, ci ıs, i imagineazaei cam ce ar trebui sa ınmult,easca daca ar avea deja copi-ate primele doua linii. Se observa cu aceasta ocazie ca la-turile mici ale triunghiurilor formate sunt paralele cu di-agonala principala (la produsele ce trebuiesc adunate) s, i,respectiv, paralele cu diagonala secundara (la produselecare trebuiesc scazute).

As,adar, nici cu regula triunghiului nu prea scapam delucru.

Page 15: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

15

Atunci, din acest noian de posibilitat, i, elevul trebuiesa aleaga una care ıl duce cel mai repede la rezultat.Elevul atent va observa din timp ca regula lui Sarrus saucea a triunghiului implica, dupa cum s-a vazut mai sus,ınmult, iri laborioase cu paranteze ce cont, in a + 1, a + 2s, i a + 3. De aceea, el le va evita din start pentru ca vasimt, i din experient, a ca este o mare pierdere de vreme.

Apoi, elevul care are ceva cunos,tint,e ın spate ıs, i vaaminti ca determinantul unei matrice nu se schimba daca

”ne jucam” cu liniile sau coloanele sale. Important este

ca jocul nostru sa respecte nis,te reguli simple. Astfel,determinantul nu se schimba daca ın loc de una dintreliniile (sau coloanele) sale scriem o alta linie (coloana) pecare am obt, inut-o ca s, i o combinat, ie liniara formatacu liniile (respectiv, coloanele) determinantului.

Spunem despre elementulA ca este o combinat, ie liniarade elementele {a, b, c, . . . , y, z} daca acel element poatefi scris ın funct, ie de celelalte elemente ca un fel de poli-nom (fara puteri!), adica

A = 5a+ 9b− 3c · · ·+ 6y − 8z.

Bineınt,eles, am scris eu nis,te numere oarecare acolo, darvoi va putet, i gandi ca acolo pot aparea orice numere dacaexpresia este combinat, ie liniara. Important este ca acestenumere sa nu fie toate nule!

In baza acestei cunos,tint,e, elevul va s,ti ca valoareadeterminantului nu se modifica daca va rescrie determi-nantul sub o alta forma. As,adar, experient,a ıi va spune

Page 16: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

16

sa rescrie determinantul copiind primele doua linii, dar ınlocul celei de-a treia linii scriind o alta linie care a rezul-tat scazand din linia a treia dublul primei linii, act, iunepe care am notat-o mai jos simbolic cu L3 − 2L1.

Astfel, elevul va obt, ine determinantul∣∣∣∣∣∣1 1 10 a a+ 12 a+ 2 a+ 3

∣∣∣∣∣∣L3 − 2L1

=

∣∣∣∣∣∣1 1 10 a a+ 1

2− 2 · 1 a+ 2− 2 · 1 a+ 3− 2 · 1

∣∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣∣1 1 10 a a+ 10 a a+ 1

∣∣∣∣∣∣ .De aici ıncolo totul este boierie. Pentru ca un aseme-

nea determinant nu mai trebuie calculat, ci se vede de la opos,ta cat este rezultatul. Mai exact, un determinant careare doua linii (sau doua coloane) egale este nul! Adica,este egal cu zero.

As,adar, am acum sperant,a ca daca vet, i mai ıntalnila bac un asemenea determinant, ıl vet, i putea calculafoarte repede cu ajutorul combinat, iei liniare. Dar pen-tru aceasta, va trebui sa nu va grabit, i sa va aruncat, iimediat la calcule laborioase cu metoda lui Sarrus saua triunghiului. Chiar daca suntet, i bucuros, i ca s,tit, i sacalculat, i cumva determinantul, va trebui totus, i sa vaoprit, i tentat, ia irezistibila de a trece imediat la calcules, i acordat, i-va timp mint, ii sa observe daca nu cumvajucandu-va cu o anumita combinat, ie liniara putet, i aducedeterminantul la o forma mai simpla. Acest control estecu atat mai necesar, cu cat determinantul pare mai com-

Page 17: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

17

plex, cont, inand termeni mai lungi.

Problema 1b:

Se considera matricea A(a) =

1 1 10 a a+ 12 a+ 2 a+ 3

,

unde a este un numar real. Determinat,i numarulnatural n astfel ıncat 2A(n2)− A(n) = A(6).

Rezolvare. Observat, i ca, la prima vedere, problemaeste foarte us,oara. Caci, cine nu s,tie sa ınmult,easca cudoi o matrice s, i apoi sa scada din rezultat o alta matricedupa care sa analizeze egalitatea dintre matricea rezul-tata ın stanga s, i matricea A(6)?

Interesant este, ınsa, ca problema este chiar maius,oara de atat! Pentru ca elevul perspicace, care estemereu preocupat de eficient, a, va observa ca ecuat, ia ma-triceala data spre rezolvare se reduce de fapt la o ecuat, ienumerica pentru ca problema nu ne cere nimic mai multdecat tocmai numarul din mijlocul matricei

A(n) =

1 1 10 n n+ 12 n+ 2 n+ 3

.

Altfel spus, ın toata ecuat, ia matriceala nu ne intere-seaza altceva decat ceea ce se ıntampla cu termenul din

Page 18: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

18

mijlocul matricei. Simbolic, am putea spune ca”sim-

plificam toata ecuat, ia 2A(n2) − A(n) = A(6) cu A” s, iobt, inem ecuat, ia 2n2 − n = 6.

Dupa ce am observat acest lucru, putem face o verifi-care mentala rapida (

”ochiometrica”) s, i constatam us,or

ca s, i celelalte elemente ale matricei ne-ar duce de faptla aceeas, i ecuat, ie, fara sa aduca nicio complicat, ie supli-mentara. As,adar, putem fi linis,tit, i ca ecuat, ia matricealadata 2A(n2) − A(n) = A(6) este satisfacuta daca estesatisfacuta ecuat, ia numerica 2n2 − n = 6.

In raspunsul nostru pe care ıl vom da la bac va fisuficient sa ment, ionam ceva de genul:

”Observam ca

ecuat, ia matriceala data se rezuma la ecuat, ia numerica2n2−n = 6.”. Caci, examinatorul va va crede pe cuvant.

Ok. Sa trecem atunci la rezolvarea ecuat, iei banale2n2 − n = 6. Trebuie sa gasim un numar natural n caresatisface, dupa cum vedet, i, o ecuat, ie cu coeficient, iıntregi: 2n2 − n− 6 = 0.

Am putea rezolva aceasta ecuat, ie dupa metoda babeasca,cu delta, doar ca elevul de M1, considerat mult mai efi-cient, este indicat sa s,tie sa rezolve o asemenea ecuat, iemult mai rapid. Astfel, el ıs, i va aminti ca radacinileıntregi ale unei ecuat, ii cu coeficient, i ıntregi segasesc printre divizorii termenului liber.

Page 19: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

19

Paranteza

De altfel, chiar daca nu este necesar ın acest moment,mintea plina de informat,ii fuge s, i mai departe, iar elevulıs, i poate aminti s, i ceva foarte util s, i mult mai general,despre care ımi face mare placere sa va vorbesc aici :

Radacinile rat,ionale (deci, cele ce se pot scrie subforma de fract,ie) ale unei ecuat,ii cu coeficient,i ıntregiau:

1. numaratorul fract,iei printre divizorii termenuluiliber (termenul care nu are x );

2. numitorul fract,iei printre divizorii termenului dom-inant (coeficientul care se afla ın fat,a lui x de laputerea cea mai mare).

As,adar, radacinile rat,ionale ale unei ecuat,ii cu coeficient,ifara virgula sunt fract,ii de forma:

divizor al termenului liber

divizor al termenului dominant.

Putet,i prescurta cu fract,ia

liber

dominant.

S, i ınca, putet,i asocia aceasta fract,ie cu propozit,ia

”libertatea este deasupra dominat,iei”, cu sensul ca lib-

ertatea este mai eficienta decat dominat,ia.

Page 20: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

20

Am cam lungit aceasta paranteza (pe care am scris-o cu font italic), dar vreau din tot sufletul sa ret, inet, iaceasta proprietate fascinanta a numeroaselor ecuat, ii poli-nomiale cu coeficient, i ıntregi.

Sa revenim atunci, dupa aceasta paranteza, la re-zolvarea ecuat, iei noastre banale 2n2 − n − 6 = 0, pecare as, fi putut-o rezolva babes,te cu delta s, i sa ma scaprepede de voi. Dar nu, eu am vrut sa o rezolvam multmai elegant, mult mai eficient.

Noua ne trebuie radacinile naturale ale ecuat, iei 2n2−n − 6 = 0. Ca as,a cere problema. As,adar, ne trebuie

”fract, iile” care au la numitor numarul 1. As,adar, vom

cauta radacinile printre divizorii termenului liber, fara sane mai pese de divizorii termenului dominant. S, i, ın plus,nu ne vom chinui sa luam ın calcul s, i divizorii negativiai termenului liber, din moment ce noua ne trebuie doarradacinile naturale (care sunt, din start, pozitive).

As,adar, care sunt divizorii pozitivi ai termenului nos-tru liber? Termenul liber este −6. Divizorii pozitivi ailui −6 sunt 1, 2, 3 s, i 6. Avem deci patru posibilitat, i. S, iabia acum ıncepe adevarata rezolvare concreta a ecuat, ieinoastre.

Toate considerat, iile noastre anterioare au fost doarteoretice. De-acum punem ın practica s,mecheria cu divi-zorii. Deci, avem cele patru posibilitat, i, 1, 2, 3 s, i 6. Toatamunca de rezolvare a problemei se reduce la simpla ver-ificare a fiecareia dintre cele patru posibilitat, i.Verificam care dintre ele satisfac ecuat, ia 2n2−n−6 = 0.

Page 21: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

21

Se vede ca valorile mari nu o satisfac, deci nici 6 nusatisface ecuat, ia. De asemenea, 2 · 32 − 3 − 6 nu este0. As,a ca singurul divizor care satisface ecuat, ia este 2.Acesta este numarul natural cautat.

Problema 1c:

Se considera matricea A(a) =

1 1 10 a a+ 12 a+ 2 a+ 3

,

unde a este un numar real. Aratat,i ca exista oinfinitate de matrice X ∈ M3,1(R) care verifica

relat,ia A(2015) ·X =

000

.

Rezolvare. O matrice de forma X ∈ M3,1(R) este omatrice care are 3 linii s, i 1 coloane. As,adar, matriceanoastra necunoscuta X trebuie sa fie de forma

X =

xyz

,

adica este o matrice coloana.Daca ınmult, im o matrice patratica cu o matrice coloana,

obt, inem ca rezultat o matrice coloana (iar daca am ınmult, io matrice linie cu o matrice patratica, am obt, ine o ma-trice linie). In general, daca ınmult, im o matrice (7,4),

Page 22: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

22

adica o matrice cu 7 linii s, i 4 coloane cu o matrice (4,6),vom obt, ine o matrice (7,6). Simbolic, am putea scrie(7, 4) · (4, 6) = (7, 6). Observat, i ca acel 4 din mijloc dis-pare ca prin farmec. Tocmai de aceea putem sa ınmult, imdoar matrice pentru care numarul de coloane din stangaeste egal cu numarul de linii din dreapta.

As,adar, daca vom ınmult, i matricea patratica A(2015)cu matricea coloana X, vom obt, ine tot o matrice coloana.Aceasta matrice coloana obt, inuta ca rezultat va trebui sa

o egalam cu matricea coloana

000

.

Dar sa nu anticipam prea mult, ci sa facem ıntaiprodusul dintre matricea patratica A(2015) s, i matriceacoloana necunoscuta X. Cand ınmult, im doua matrice,ınmult, im (mai corect ar fi sa spunem

”combinam

liniar” ) pe rand liniile matricei din stanga cucoloanele matricei din dreapta (aceasta asimetrie faceca produsul matricelor sa fie aproape ıntotdeauna neco-mutativ).

Page 23: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

23

As,adar

A(2015) ·X =

1 1 10 2015 20162 2017 2018

·xyz

=

=

1 · x+ 1 · y + 1 · z0 · x+ 2015 · y + 2016 · z2 · x+ 2017 · y + 2018 · z

.

Aceasta matrice coloana rezultata va trebui egalata

cu matricea

000

. As,adar, avem

x+ y + z2015y + 2016z

2x+ 2017y + 2018z

=

000

.

Dar doua matrice sunt egale atunci cand elementelelor corespondente sunt egale. Atunci, egalitatea ma-triceala va fi echivalenta cu sistemul de trei egalitat, i (ecuat, ii):x + y + z = 0

2015y + 2016z = 02x + 2017y + 2018z = 0

Acum, avand acest sistem ın fat, a, sa ne reamintimce ne cere problema. Ea zice sa demonstram ca existao infinitate de matrice bla, bla, bla. Deci, ne cere saaratam de fapt ca exista o infinitate de solut, ii aleacestui sistem, deci sa aratam ca exista o infinitate deposibilitat, i ın care putem alege valori pentru x, y s, i z. Eibine, cum aratam asta?

Page 24: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

24

Pentru orice sistem exista urmatoarele trei posibilitat, i:

1. Sistemul are zero solut, ii. Deci nu are nicio solut, ie.Un asemenea sistem se mai numes,te ”

incompati-bil”. El cont, ine ecuat, ii care se contrazic, ducandla egalitat, i absurde, precum 1 = 2.

2. Sistemul are o solut, ie unica. Este cel mai”curat”

caz. Numai un asemenea sistem se poate rezolva cumetoda lui Cramer . S, i reciproc, daca un sistemse poate rezolva cu Cramer, atunci el are solut, ieunica. Un asemenea sistem se numes,te ”

determi-nat” sau mai ales

”compatibil determinat”. El

cont, ine ecuat, ii necesare s, i suficiente, care nu se con-trazic. Fiecare dintre ecuat, ii aduce informat, ie su-plimentara ın sistem, necesara pentru a gasi toatenecunoscutele. Observat, i cu aceasta ocazie ca nutrebuie sa confundam solut, ia cu necunoscutele. Solut, iaınseamna un set de numere care corespund necunos-cutelor. De exemplu, solut, ia unica a unui sistemde trei ecuat, ii cu trei necunoscute x, y, z ar puteaarata as,a S = (1, 2, 3) care ınseamna ca x = 1,y = 2 s, i z = 3.

3. Sistemul are o infinitate de solut, ii. Acest tipde sistem se numes,te ”

nedeterminat” sau mai ales

”compatibil nedeterminat”. El cont, ine cateva

ecuat, ii inutile, care pot fi deduse din celelalte ecuat, ii.Deci, cont, ine ecuat, ii necesare, dar insuficiente.

Page 25: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

25

Nu exista alte tipuri de sisteme cu coeficient, i reali!Deci, nu exista, de exemplu, sisteme cu cinci solut, ii. S, inici cu patru. Nici cu trei. S, i nici cu doua. Daca aresolut, ii, atunci ori are o singura solut, ie, ori o infinitate.Nu exista cale de mijloc. In schimb, exista sisteme cumai multe solut, ii daca e vorba de clase de resturi, deexemplu, ceea ce nu e cazul nostru acum.

Vedem acum ca sistemul nostru trebuie sa fie compat-ibil nedeterminat. Deci, trebuie sa fie ıntai compatibil,apoi nedeterminat.

Aratam ıntai ca este compatibil. Asta ınseamna cael are solut, ii. Nu s,tim cate, dar s,tim ca are. Ia sa ve-dem. Putem arata us,or ca sistemul are solut, ii? Macar osolut, ie? Un sistem care se termina cu zerouri, deci careare dupa egal numai zerouri sau (mai corect spus) careare termenii liberi nuli se numes,te sistem omogen. S, iorice sistem omogen are solut, ie. Cea mai simpla solut, ie.Cea ın care toate necunoscutele sunt efectiv nule.Acestei solut, ii i se mai spune s, i ”

solut, ia banala”. Nu-ias,a ca orice sistem omogen are aceasta solut, ie? Caci dacapunem 0 ın locul tuturor necunoscutelor, obt, inem ın to-tal evident 0. Deci, orice sistem omogen este compatibil,caci are cel put, in solut, ia banala.

Ei bine, sistemul nostru este tocmai un sistem omogen.Deci este s, i compatibil. As,adar, am terminat cu compat-ibilitatea. Mai trebuie sa aratam ca este nedeterminat.

Pentru a arata ca sistemul este nedeterminat estesuficient sa aratam ca el nu se poate rezolva cu metoda

Page 26: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

26

lui Cramer. Metoda lui Cramer ne spune ca necunos-cutele sunt egale cu nis,te fract, ii care au la numitoracelas, i numar, bine definit s, i, evident, nenul. Iar acestnumar este tocmai determinantul principal al sis-temului, adica determinantul matricei care este formatadin coeficient, ii necunoscutelor. Daca acest determinanteste nul, am ıncurcat-o, caci atunci sistemul nu se maipoate rezolva cu Cramer. S, i tocmai asta-i s,mecheria decare avem noi nevoie aici.

Vrem sa aratam ca determinantul sistemului este nuls, i atunci putem trage concluzia ca sistemul nostru nu sepoate rezolva cu Cramer, deci nu are solut, ie unica. Esteoare nul determinantul principal al sistemului? Pai, careeste determinantul principal al sistemului nostru? Toc-mai determinantul matricei A(2015)! S, i noi am calculatdeja acest determinant la punctul a). s, i am aratat ca eleste nul, indiferent cat ar fi numarul a. Deci s, i determi-nantul matricei A(2015) este nul.

In concluzie, sistemul nostru este omogen (deci com-patibil) s, i are determinantul nul (deci este nedeterminat).As,adar, are o infinitate de solut, ii. S, i astfel am rezolvatproblema.

Mai puteam observa ca a treia linie se obt, ine dacaadunam la a doua linie dublul primei linii. Astfel, puteamdeduce din start ca a treia ecuat, ie este inutila, deci sis-temul este nedeterminat. Eliminand apoi aceasta ecuat, ies, i fixand necunoscuta z ca fiind egala cu λ, am fi obt, inutun sistem de doua ecuat, ii cu doua necunoscute x s, i y, a

Page 27: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

27

carui solut, ie ar fi fost S =(

λ2015

;−2016λ2015

). In consecint, a,

matricea X este dependenta de numarul real λ s, i are

forma X(λ) =

λ

2015

−2016λ2015

λ

.

Dar, desigur, acest lucru nu mai e necesar la bac. Labac e suficient sa ment, ionat, i ca un sistem omogen estenedeterminat daca are determinantul nul s, i sa aratat, i casistemul nostru are tocmai aceste doua proprietat, i.

Problema 2a:

Fie polinomul f = X3 + mX − 3, unde m este unparametru real. Pentru m = 2, aratat,i ca f(1) =0.

Rezolvare. Adica trebuie ıntai sa rescriem polinomulnostru punand ın locul lui m numarul 2. Obt, inem ofrumuset,e de polinom f = X3 + 2X − 3. Apoi trebuie sacalculam f(1), adica trebuie sa vedem cat obt, inem dacaın frumosul nostru polinom punem peste tot unde vedemX numarul 1.

Dupa toate acestea avem, deci,

f(1) = 13 + 2 · 1− 3 = 1 + 2− 3 = 0,

Page 28: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

28

calcul care ıncheie, fara complicat, ii, rezolvarea prob-lemei.

Problema 2b:

Fie polinomul f = X3 + mX − 3, unde m este unparametru real. Determinat,i numarul real m, ıncazul ın care polinomul f este divizibil cu X + 1.

Rezolvare. Pentru a gasi numarul m ın as,a fel ıncatpolinomul dat sa fie divizibil cu X + 1 as, vrea sa neamintim ıntai ce ınseamna faptul ca doua polinoame sedivid.

Pentru aceasta sa ne amintim ce s,tim despre diviz-ibilitate ın cazul numerelor. Cand sunt divizibile douanumere? Atunci cand restul ımpart, irii lor este nul.

La fel, doua polinoame sunt divizibile, daca restulımpart, irii lor este nul. Prin urmare, pentru a gasi parametrulcautat m ın cazul ın care polinomul f este divizibil cupolinomul X + 1 trebuie sa pornim de la nulitatea restu-lui.

Dar mai ıntai trebuie sa cunoas,tem restul s, i abia apoiıl vom egala cu zero. Cat o fi restul ımpart, irii polino-mului f la polinomul X + 1? Mai exact, cum ar depindeacest rest de numarul m?

Ei bine, exista cel put, in trei modalitat, i de a gasirestul ımpart, irii polinomului oarecare f la polinomul X−

Page 29: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

29

a, unde a este un numar oarecare:

1. Metoda babeasca, ımpart, irea propriu-zisa a celordoua polinoame s, i aflarea restului la finalul ımpart, irii.Aceasta este cea mai primitiva metoda de calcul alrestului s, i nu face cinste unui elev de M1. De aceea,elevul de M1 va trebui sa se gandeasca imediat laalta metoda, mult mai eficienta.

2. Schema lui Horner. Aceasta metoda consta ıntr-un algoritm minunat de recurent, a pentru ımpart, ireacu X − a, bazat pe un tabelas, dragut, ın care aparnumai coeficient, i. La finalul calculului apare toc-mai restul ımpart, irii.

3. Cea mai geniala metoda este bazata tocmai pe teo-rema ımpart, irii cu rest. Aceasta teorema spuneca polinomul f poate fi scris ca f(X) = Catul(X) ·(X−a) + Restul. Mai departe trebuie sa observamceva s,mecheresc: daca ın aceasta teorema punemın loc de X tocmai a obt, inem tocmai restul!Cum as,a? Iata cum:

f(a) = Catul(a)·(a− a)+Restul = 0+Restul = Restul.

Adica, ın cuvinte, restul ımpart, irii unui poli-nom f(X) la X − a este tocmai f(a)!

Propozit, ia evident, iata cu verde este magica! Ea nescutes,te de o groaza de lucru. S, i cu o asemenea cunos,tint, a

Page 30: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

30

elevul de M1 se poate mandri. Va dat, i seama ca unelev slabut, s-ar fi apucat saracut,ul de ımpart, irea celordoua polinoame s, i ajungea la restul dorit abia la sfars, itulımpart, irii, daca avea mare grija sa nu gres,easca vreunsemn la ımpart, ire.

Deci, noi vom folosi cea mai moderna modalitate dea rezolva problema, adica:

vom calcula f(a), adica, la noi a fiind −1 (caci dinX − a = X + 1 rezulta ca a = −1), vom egala rezultatulcu zero (caci restul trebuie sa fie nul) s, i vom gasi solut, iileecuat, iei care se va nas,te astfel.

Zis s, i facut. Sa vedem cat este f(a). Avem f(a) =f(−1) = (−1)3 +m · (−1)− 3 = −1−m− 3 = −m− 4.Acum egalam acest rezultat cu zero s, i avem −m−4 = 0,deci m = −4.

In final vreau sa fac o mica sinteza pentru a denumidurabil proprietat, ile pe care le-am folosit. Cele doua pro-prietat, i importante pe care le-am folosit au fost:

1. Pentru ca un polinom f sa fie divizibil cu X − atrebuie ca restul ımpart, irii lui f la X−a sa fie nul.

2. Restul ımpart, irii unui polinom la X − a este f(a).

Din cele doua proprietat, i rezulta ca un polinom f se di-vide cu X−a daca f(a) = 0. Acest rezultat se numes,teteorema lui Bezout. As,adar, pentru rezolvarea prob-lemei, elevul trebuia sa cunoasca teorema lui Bezout.

Page 31: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

31

Problema 2c:

Fie polinomul f = X3 + mX − 3, unde m este unparametru real. Aratat,i ca daca m > 0, atuncipolinomul are doua radacini de acelas, i modul.

Rezolvare. S, tim ca orice polinom (cu coeficient, ireali) de gradul 3 are 3 radacini, as,a cum oricepolinom (cu coeficient, i reali) de gradul n are nradacini. Este o cunos,tint, a foarte pret, ioasa s, i funda-mentala, oricat de banala ar parea.

Din pacate, sa nu uitat, i, aceasta cunos,tint, a este val-abila doar pentru polinoamele ai caror coeficient, isunt numere reale. Caci, de exemplu, daca luam unpolinom cu coeficient, i ın Z4 = {0; 1; 2; 3} (mult, imeaclaselor de resturi modulo 4), polinom dat de g(X) =2X + 2, acesta va avea doua radacini (x1 = 1 s, i x2 = 3),des, i gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, s,tim ca polinomul nostru are sigur treiradacini. De regula, notam radacinile polinomului ca fi-ind x1, x2 s, i, respectiv, x3. Acum noi trebuie sa aratamca doua dintre ele au acelas, i modul.

Unui elev care s,tie ceva matematica ıi vine ın minte oinformat, ie foarte pret, ioasa legata de aceasta problema:radacinile nereale (adica, cele care au s, i parteimaginara) vin ın perechi. Mai exact, elevul ıs, i va am-inti ca daca un polinom are radacina complexa z = a+bi,atunci el are musai s, i radacina conjugata z = a− bi.

Page 32: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

32

S, i cum de ıi vine lui ın minte as,a ceva? De ce segandes,te elevul bun neaparat la faptul ca numerele com-plexe vin ın perechi? De unde vine aceasta intuit, ieformidabila a elevului? Raspunsul se afla ın formulareaproblemei, pentru ca problema amintes,te despre douaradacini s, i pentru ca elevul s,tie ca radacina complexaz = a + bi are exact acelas, i modul cu radacina com-plexa conjugata, adica |z| = |z| =

√a2 + b2.

As,adar, elevul are deja ın minte planul rezolvarii prob-lemei. El va arata ıntai ca ın condit, iile date (deci cu mstrict pozitiv) polinomul nu poate avea toate radacinilereale. Astfel, cel put, in una dintre radacini va trebui safie nereala (deci, cu partea imaginara nenula). Dar dacauna dintre radacini este nereala, atunci s, i a doua va finereala (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, s, i a douava avea acelas, i modul ca s, i prima. S, i gata!

Ia sa vedem atunci. Sa aratam ımpreuna cu istet,ulnostru elev ca radacinile polinomului nostru nu pot fitoate reale. Asta-i cel mai greu . Cum am putea arataca radacinile noastre nu pot fi toate reale?

De regula, pentru a arata ca ceva nu este adevarat,presupunem prin absurd ca acel ceva este adevarat s, icontinuam un rat, ionament corect pana cand ajungem lao contradict, ie. As,adar, noi vom presupune prin absurd catoate radacinile polinomului nostru sunt reale. S, i cautamsa vedem la ce contradict, ie ajungem.

S, i nici macar nu vom merge la ıntamplare, caci s,timchiar s, i ce contradict, ie cautam. Cautam o contradict, ie

Page 33: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

33

ıntre faptul absurd pe care l-am presupus, anume ca toateradacinile sunt reale, s, i faptul care ni se da ın problemas, i anume ca m este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva seascunde contradict, ia cautata. As,adar, ne vom gandi cumputem crea o contradict,ie ıntre faptul ca trei numere suntreale s, i faptul ca un alt numar este mereu strict pozitiv.Deci, trebuie sa ne gandim la o inegalitate care poate ficreata ıntre trei numere reale s, i un numar pozitiv.

Aha! Sub influent,a acestor cautari, ne vine ın minteuna dintre cele mai importante inegalitat, i din matem-atica: daca x este numar real, atunci x2 ≥ 0. Inseamnaca ar trebui sa facem cumva legatura ıntre ceva expresiecu patratul radacinilor s, i numarul m.

Patratul radacinilor! Ia sa ne gandim la patratulradacinilor. Cum putem sa ne gandim la patratul tu-turor celor trei radacini? Cred ca numai facand sumapatratelor acestora. As,adar, ne intereseaza expresia deforma x21 + x22 + x23. Vrem sa cunoas,tem semnul acesteiexpresii, pentru a-l compara cu semnul lui m.

Este clar ca pentru ceea ce urmeaza vom avea nevoiede minunatele relat, ii ale lui Viete pentru un polinom degradul trei, pentru ca numai acolo putem sa gasim sumaradacinilor s, i suma patratelor acestora. Iar acest lucru ılva simt, i elevul care cunoas,te relat, iile dintre coeficient, i s, iradacini.

Pentru aceasta, ne amintim ca exista formula de cal-

Page 34: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

34

cul prescurtat

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc),

din care rezulta apoi ca

a2 + b2 + c2 = (a+ b+ c)2 − 2(ab+ ac+ bc).

Aplicam aceasta relat, ie la radacinile polinomului nos-tru. Adica, avem

x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3).

Ne apropiem acum de finalul rezolvarii, caci ın expre-sia de mai sus vom folosi relat, iile lui Viete. Relat, iile luiViete ne spun, printre altele, ca

x1 + x2 + x3 = −coeficientul din fat,a lui X2

coeficientul dominant

s, i

x1x2 + x1x3 + x2x3 =coeficientul din fat,a lui X

coeficientul dominant.

Asta ınseamna ca

x1 + x2 + x3 = −0

1= 0

s, i

x1x2 + x1x3 + x2x3 =m

1= m.

Page 35: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

35

Atunci,

x21 + x22 + x23 = 0− 2m = −2m.

Dar −2m este un numar negativ, din moment ce meste strict pozitiv. Adica, am obt, inut ca suma patratelorradacinilor este un numar negativ. Dar acest lucru vineın contradict, ie cu presupunerea ca toate radacinile suntnumere reale, caci ar fi trebuit sa obt, inem ca suma patratelora trei numere reale este un numar pozitiv.

As,adar, am demonstrat riguros, ın sfars, it, ca radacinilepolinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum potfi radacinile? Toate sunt radacini nereale? Nuuuu! Doaram vazut mai sus ca radacinile complexe vin ın perechi.As,adar, nu putem avea trei radacini nereale, ci numaidoua. Iar acele doua sunt conjugate, dupa cum am vazutmai sus. S, i tot mai sus am vazut ca radacinile complexeconjugate au acelas, i modul. Iar acestea fiind spuse,am finalizat rezolvarea.

Desigur, voi la bac nu va trebui sa-i explicat, i examina-torului atatea detalii, caci el s,tie bine cu ce se manancamatematica. Lui ıi vet, i scrie ca din relat, iile lui Vieterezulta ca avem s, i radacini nereale s, i ıi vet, i ment, iona cas,tit, i ca radacinile nereale vin ın perechi conjugate careau acelas, i modul.

Page 36: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

36

Subiectul III

Problema 1a:

Se da funct,ia f(x) : R → R, data de f(x) = x+1ex−x.

Calculat,i f ′(x).

Rezolvare. Cand se cere f ′(x) se cere de fapt derivatafunct, iei f(x). Derivata unei funct,ii este o limita. Deci,daca nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvareaproblemei, atunci ar trebui sa ne amintim macar definit, iaderivatei ca fiind o limita, caci o asemenea definit, ie ne-arajuta sa rezolvam cumva problema noastra.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definit, iaderivatei, ci, bucuros, i ca ne amintim regula care tre-buie, vom calcula as,a cum se cuvine aceasta derivata.Care o fi regula necesara?

Pai, vedem ca funct, ia noastra este o fract, ie. As,adar,vom scormoni prin memoria noastra dupa o regula carene ajuta sa derivam fract, ii. Regula de derivare a uneifract, ii seamana foarte mult cu cea pentru derivarea unuiprodus. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, casa vedet, i distinct, ia s, i asemanarea teribila dintre ele.

(f · g)′ = f ′g+ fg′(f

g

)′=f ′g− fg′

g2

Page 37: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

37

Desigur, cum funct, ia noastra este o fract, ie, noi vomfolosi formula de derivare a fract, iei. As,adar, vom avea

f ′(x) =

(x+ 1

ex − x

)′=

(x+ 1)′(ex − x)− (x+ 1)(ex − x)′

(ex − x)2.

Dar (x+ 1)′ = x′ + 1′ = 1 + 0 = 1. Totodata,(ex − x)′ = (ex)′ − x′ = ex − 1.

Astfel, derivata noastra devine

f ′(x) =1 · (ex − x)− (x+ 1)(ex − 1)

(ex − x)2.

Desigur, nu ne vom opri aici, caci ınca nu suntemmult,umit, i, din moment ce mai putem face o groaza delucru. Vom lasa numitorul cuminte s, i neschimbat, darvom desface parantezele prin ınmult, ire s, i, cu mare grijala semne, vom avea

f ′(x) =ex − x− xex + x− ex + 1

(ex − x)2,

adica, dupa ce reducem ceea ce se poate reduce, obt, inem

f ′(x) =1− xex

(ex − x)2.

Asta-i tot. Acuma v-as, fi vazut cum v-at, i fi chinuitsa obt, inet, i aceasta derivata daca nu cunos,teat, i regulade derivare a raportului. As,a ca nu va jucat, i cu acestereguli. Invat,at, i-le s, i memorat, i-le, macar pana la bac. S, i,cine s,tie, s-ar putea sa nu le mai uitat, i niciodata, cumam pat, it-o eu...

Page 38: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

38

Problema 1b:

Se da funct,ia f(x) : R → R, data de f(x) = x+1ex−x.

Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul acesteifunct,ii ın punctul de pe grafic a carui abscisaeste x0 = 0.

Rezolvare. Tangenta la grafic ıntr-un anumit puncteste o dreapta care atinge graficul fara sa-l taie. Astaınseamna ca tangenta trece doar printr-un singur punctal graficului.

Dar un singur punct ınseamna, de fapt, doua puncteinfinit apropiate. Deci, daca am alege doua puncte oare-care de pe graficul funct, iei prin care sa treaca o dreapta s, iam pune condit, ia ca cele doua puncte sa se apropie foartemult de punctul dorit, atunci am gasi tocmai tangenta.

Haidet, i sa vedem ce iese. Fie x0 abscisa punctuluiın care vrem sa gasim tangenta s, i fie x1 un punct foarteapropiat de x0. Atunci, ecuat, ia dreptei care trece prinaceste doua puncte este data de∣∣∣∣∣∣

x y 1x1 f(x1) 1x0 f(x0) 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

sau, echivalent,

y − f(x0)

x− x0=f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

Page 39: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

39

Acum, daca vrem ca punctul x1 sa fie cat mai apropiatde x0 va trebui sa facem limita cand x1 tinde la x0 ınaceasta relat, ie de mai sus. Vom avea atunci

y − f(x0)

x− x0= lim

x1→x0

f(x1)− f(x0)

x1 − x0.

Dar limita din dreapta este, prin definit, ie, tocmaiderivata funct, iei ın punctul x0. As,adar, putem scrieca ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f(x) ın punctulde abscisa x0 (s, i, implicit, de ordonata y0 = f(x0)) va fidata de (ret, inet, i formula, ca nu-i grea!)

y − f(x0)

x− x0= f ′(x0).

Aceasta formula este cel mai important lucru pecare trebuie sa-l cunoas,tet, i pentru a rezolva problemacu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, ca pantatangentei (fract, ia din stanga egalitat, ii este tocmaipanta dreptei) este egala cu derivata funct, iei ınpunctul cerut.

Bun. Sa presupunem acum ca elevul ar fi s,tiut for-mula tangentei (un elev care a ınvat,at formulele pen-tru bac o s,tie ın mod sigur). De aici ıncolo ıi trebuiedoar ınlocuiri s, i calcule de rutina. Ia sa vedem. Lanoi, x0 = 0. Ce fain! Iar derivata am calculat-o dejala punctul precedent (sper ca nu v-a trecut prin minte s-o

Page 40: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

40

calculam iar!), adica ea este

f ′(x) =1− xex

(ex − x)2.

Atunci sa trecem la ınlocuiri.

f ′(x0) = f ′(0) =1− 0 · e0

(e0 − 0)2= 1,

iar

f(x0) = f(0) =0 + 1

e0 − 0= 1.

As,adar, putem scrie ca ecuat, ia tangentei cautate este

y − 1

x− 0= 1.

Iar dupa prelucrari elementare obt, inem ın final caecuat, ia tangentei cautate, ın forma generala, este

x− y + 1 = 0.

Problema 1c:

Se da funct,ia f(x) : R → R, data de f(x) = x+1ex−x.

Calculat,i limx→+∞ f(−x).

Page 41: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

41

Rezolvare. Cand vrem sa calculam o limita, ıncercamsa ınlocuim argumentul cu valoarea. In cazul nostru,ıncercam sa-l ınlocuim pe x din funct, ia f(−x) cu +∞.As,adar,

limx→+∞

f(−x) = limx→+∞

−x+ 1

e−x + x=−∞+ 1

e−∞ +∞=−∞

0 +∞= −∞∞.

Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu neajuta cu nimic pentru a gasi limita.

Prin urmare, ıncercarea noastra de a calcula limitaprin simpla ınlocuire a argumentului cu valoarea a ajunsıntr-un impas. S, i trebuie sa ne ıntoarcem la stadiul ıncare ınca nu facem ınlocuirea, ci ne straduim sa maimodificam ceva pe-acolo ınainte de ınlocuire.

O modificare fascinanta, pe care o s,tim de la matem-aticianul francez l’Hopital este cea ın care o asemenealimita (deci limitele cu nedeterminarea ∞∞ sau 0

0) se cal-

culeaza prin derivarea separata a numaratorului s, i sepa-rata a numitorului. Mai precis, ın cazul acestor douanedeterminari, avem regula lui l’Hopital

limx→ceva

f

g= lim

x→ceva

f ′

g′.

Din fericire, aceasta regula o putet, i folosi ın foartemulte cazuri s, i, desigur, s, i ın cazul nostru. Astfel, limitanoastra va deveni atunci

limx→+∞

−x+ 1

e−x + x= lim

x→+∞

(−x+ 1)′

(e−x + x)′= lim

x→+∞

−x′ + 1′

(e−x)′ + x′.

Page 42: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

42

Aici, cea mai grea derivata este (e−x)′. Restul suntsimple, caci x′ = 1, iar 1′ = 0. Bun. Dar cat o fi (e−x)′?Pai, avem o formula care spune ca (eu)′ = eu · u′. Cum,la noi u = −x, avem ca (e−x)′ = e−x ·(−x)′ = e−x ·(−1) =−e−x.

Acum avem o forma mai aerisita a limitei:

limx→+∞

−x+ 1

e−x + x= lim

x→+∞

−x′ + 1′

(e−x)′ + x′= lim

x→+∞

−1

1− e−x.

Acum daca ıl ınlocuim pe x cu ∞ vom obt, ine cae−∞ = 1

e∞= 1∞ = 0. Astfel, limita cautata este

limx→+∞

f(−x) = limx→+∞

−1

1− e−x= − 1

1− 0= −1.

Problema 2a:

Fie funct,ia f(x) : R → R, data prin legea f(x) =

1√x2+4

. Calculat,i2∫0

f 2(x)dx.

Rezolvare. Ca sa calculam integrala, trebuie sa s,timdin ce trebuie sa calculam integrala. Altfel spus, noi tre-buie sa ridicam la patrat funct, ia noastra s, i sa vedem ceiese. As,adar

f 2(x) =

(1√

x2 + 4

)2

=12

(√x2 + 4)2

.

Page 43: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

43

Dar, cand ridicam la patrat un radical, radicalul dispareca prin farmec, caci, de exemplu,

(√

7)2 =√

7 ·√

7 =√

7 · 7 =√

49 = 7.

Prin urmare,

f 2(x) =12

(√x2 + 4)2

=1

x2 + 4.

Asta ınseamna ca integrala pe care trebuie s-o calculameste

2∫0

f 2(x)dx =

2∫0

1

x2 + 4dx.

Dar, desigur, integrala aceasta este rus, inos de simplapentru un elev care cunoas,te de-a fir a par tabelul funda-mental cu integrale, caci gasit, i acolo tocmai aceasta in-tegrala, doar ca ın loc de 4 avet, i alt numar. Mai exact

b∫a

1

x2 + a2dx =

1

aarctan

x

a

∣∣∣∣ba

.

Daca nu s,tit, i aceasta formula la bac, at, i pierdut cele5 puncte faine pe care le-at, i fi putut primi. Pentru ca nucred ca at, i putea gasi pe loc o alta metoda de integrare(de exemplu, cea cu schimbarea de variabila), din mo-ment ce nu v-at, i deranjat nici macar sa ret, inet, i aceastaformula simpla.

Page 44: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

44

As,adar, facet, i cumva s, i ret, inet, i formula, ca sa putet, icalcula integrale dintr-o fract, ie as,a de simpla precum

1x2+a2

. Caci, de-aici ıncolo totul devine rutina. Astfel,integrala noastra devine

2∫0

f 2(x)dx =

2∫0

1

x2 + 4dx =

2∫0

1

x2 + 22dx.

Adica, la noi a devine 2. In final

2∫0

f 2(x)dx =

2∫0

1

x2 + 22dx =

1

2arctan

x

2

∣∣∣∣20

.

Adica

2∫0

f 2(x)dx =1

2arctan

x

2

∣∣∣∣20

=

(1

2arctan

2

2

)−(

1

2arctan

0

2

).

Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar ca eu amdorit sa va reamintesc cum se delimiteaza calculul con-form formulei Leibniz-Newton. In fine, mai trebuie sas,tim cat este arctan 1 s, i arctan 0. Adica, vrem sa gasimraspunsul la ıntrebarile

”tangenta de cat ne da 1?” s, i

”tangenta de cat ne da 0?”. Din nou, raspunsurile sunt

banale s, i le putem gasi ın tabelul trigonometric. Ele sunt

Page 45: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

45

π4

s, i, respectiv, 0. Atunci, integrala cautata devine

2∫0

f 2(x)dx =1

2· π

4=π

8.

Problema 2b:

Fie funct,ia f(x) : R → R f(x):R→R, data prinlegea f(x) = 1√

x2+4. Aratat,i ca orice primitiva a

funct,iei f este funct,ie crescatoare pe R.

Rezolvare. In multe variante de bac am ıntalnit aceastacapcana excelenta. S, i chiar am mai rezolvat un exemplude asemenea problema. Este oarecum o capcana, pentruca un elev superficial, dar care, totus, i, simte macar camce are de facut, va gandi ca are o groaza de lucru, camın felul urmator:

”Bun. Deci, am de calculat ıntai primi-

tiva, apoi trebuie sa ma gandesc sa arat cumva ca aceastaprimitiva este funct, ie crescatoare. Hmmm... Aaaa. Pai,da, s,tiu, cu tabelul acela care cont, ine semne s, i saget, ioblice! O sa fac tabelul cu cele trei linii, care va cont, inex, derivata s, i funct, ia. Apoi ın dreptul derivatei voi de-termina semnele, iar ın dreptul funct, iei voi pune saget, ilecorespunzatoare.”

Zis s, i facut s, i se pune pe treaba. Ei bine, noi vommedita ceva mai mult la enunt,ul problemei s, i vom sub-linia ca trebuie sa aratam monotonia PRIMITIVEI, nu a

Page 46: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

46

funct, iei date. S, i, ıntr-adevar, elevul s,tie el ce s,tie, s,tie catrebuie sa concepem (eventual mental), un tabel care neva spune ce saget, i punem ın dreptul primitivei. Doar canici macar nu trebuie construit efectiv tabelul, din mo-ment ce el nu este complicat, caci primitiva este pestetot crescatoare, deci nu apar valori ale lui x unde sa seschimbe ceva.

As,adar, bazandu-ne pe legatura minunata dintre mo-notonia unei funct,ii s, i semnul derivatei sale, noi trebuiesa aratam ca tabelul imaginar corect cont, ine doar

x −∞ ∞F ′ + + +F ↗ ↗ ↗

Observat, i ca ın tabel nu apare funct, ia f , ci funct, ia F ,caci as,a notam primitiva unei funct, ii.

Ok. Cum aratam ca tabelul este corect? Ce ne tre-buie ın tabel? Desigur, numai F ′, caci este suficient sadeterminam daca semnul lui F ′ este + peste tot (iar dinaceasta informat, ie noi putem trage apoi concluzia di-recta ca primitiva este crescatoare.). Dar cine este F ′?Aceasta este cea mai importanta ıntrebare aici! As,adar,cine este derivata primitivei?

Spuneam ıntr-un articol de pe blog ca derivata cu in-tegrala

”se simplifica”. Mai exact, daca ımi trebuie derivata

primitivei, nu are rost sa muncesc ın plus pentru acalcula ıntai primitiva, dupa care sa derivez ınapoi ca sa

Page 47: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

47

vad ce obt, in. Ci, pur s, i simplu, ma pot folosi de faptulca (

∫f)′ = f .

S, i cum∫f = F , avem ca F ′ = f . Prin urmare,

tabelul nostru poate fi scris, de fapt, ca

x −∞ ∞f + + +F ↗ ↗ ↗

As,adar, acum ınt,elegem ca noi trebuie sa aratam doarca f are semnul + peste tot. Dar acest lucru este floarela ureche. Funct, ia noastra este f(x) = 1√

x2+4, iar sem-

nul acestei funct, ii este us,or de determinat. Vedem canumaratorul este 1, deci este ceva pozitiv. Apoi, vedemca numitorul este un radical de ordin par din ceva pozi-tiv, deci este s, i el pozitiv. As,adar, toata fract, ia este +

+,

adica este +. S, i cu asta basta. Am gatat.Ce zicet, i, facem un mic rezumat? Vreau sa ınt,eleget, i

ce va dori examinatorul de la voi, de fapt, cu aceastaproblema. Ce credet, i, va dori sa aratat, i banalitatea cafunct, ia f este pozitiva? Nici vorba! El va dori sa vadaca at, i ınt,eles ce se cere s, i ca nu va vet, i apuca sa vachinuit, i sa calculat, i primitiva acestei funct, ii. Chiardaca enunt,ul problemei ne cere o proprietate a primi-tivei s, i chiar daca at, i putea sa calculat, i us,or primitiva(din moment ce o regasit,i ın tabel), nu este cazul sa ocalculat, i.

Page 48: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

48

Problema 2c:

Fie funct,ia f(x) : R → R f(x):R→R, data prin

legea f(x) = 1√x2+4

s, i numarul In =1∫0

xnf(x)dx, cu n

numar natural nenul. In aceste condit,ii, aratat,ica nIn =

√5 − 4(n − 1)In−2, oricare ar fi numarul

natural n ≥ 3.

Rezolvare. Pentru a putea demonstra relat, ia cerutanIn =

√5−4(n−1)In−2, ni se sugereaza ceva. Observat, i

ca ın relat, ie apare√

5. Inseamna ca acest√

5 ar puteafi obt, inut din ceva de genul

√1 + 4, adica s-ar putea sa

fie rezultatul a ceva cu√x2 + 4 |10. Aha! Deci, ni se sug-

ereaza sa ıncercam sa calculam integrala. Haidet, i, atunci,sa vedem ce putem face pentru a calcula integrala. De-sigur, va fi un calcul de recurent, a, adica nu un calculcomplet, ci unul part, ial, ın care integrala de ordinul maredepinde de integralele de ordin mai mic. Ia sa vedem...

Integrala de calculat ar fi

In =

1∫0

xnf(x)dx =

1∫0

xn1√

x2 + 4dx.

Elevul care a derivat des radicalul√x2 + a s,tie ca

(√x2 + 4)′ = (

√u)′ =

u′

2√u

=(x2 + 4)′

2√x2 + 4

=

Page 49: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

49

=2x

2√x2 + 4

=x√x2 + 4

.

As,adar

(√x2 + 4)′ = (

√u)′ =

x√x2 + 4

.

Furand un x de la xn s, i punandu-l deasupra radicalu-lui, obt, inem ca integrala noastra devine

In =

1∫0

xn1√

x2 + 4dx =

1∫0

xn−1x√x2 + 4

dx.

S, i cumx√x2 + 4

= (√x2 + 4)′,

integrala devine de fapt

In =

1∫0

xn−1(√x2 + 4)′dx.

Iar aceasta integrala poate fi abordata prin part, i. De-sigur, elevul cu experient, a ın spate a vazut din start toataaceasta desfas,urare a rat, ionamentului s, i de aceea a luat-o pe aceasta cale. Altfel, nu s,tiu ce ar mai fi ıncercatneavand experient, a.

Page 50: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

50

Ok. Deci, sa calculam atunci integrala noastra prinpart, i dupa formula

∫fg′ = fg −

∫f ′g. Avem atunci

In =

1∫0

xn−1(√x2 + 4)′dx =

= xn−1√x2 + 4 |10 −

1∫0

(xn−1)′√x2 + 4dx.

Deci,

In = 1n−1√

12 + 4− 0n−1√

02 + 4−1∫

0

(xn−1)′√x2 + 4dx.

As,adar, integrala devine

In =√

5−1∫

0

(xn−1)′√x2 + 4dx.

S, i cum (xn−1)′ = (n− 1)xn−2, obt, inem ca integrala este

In =√

5−1∫

0

(xn−1)′√x2 + 4dx =

√5−(n−1)

1∫0

xn−2√x2 + 4dx.

Page 51: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

51

Observat, i ca ne-am mai apropiat put, in de relat, ia derecurent, a ceruta. Acum ar trebui sa mai prelucram put, in

integrala1∫0

xn−2√x2 + 4dx ca sa putem folosi pentru ea

notat, ia cu Ik.Dar notat, ia cu Ik cont, ine radicalul la numitor, nu

la numarator. As,a ca va trebui sa prelucram cumva in-

tegrala1∫0

xn−2√x2 + 4dx ın as,a fel ıncat radicalul sa ne

apara la numitor. Putem oare sa facem as,a ceva? Putem.Pentru ca avem proprietatea prin care

”rat, ionalizam numa-

ratorul” s, i anume√a =

√a1

=√a·√a√

a= a√

a.

Astfel, radicalul din integrala noastra devine

√x2 + 4 =

x2 + 4√x2 + 4

.

Atunci, vom putea scrie ca

In =√

5− (n− 1)

1∫0

xn−2x2 + 4√x2 + 4

dx.

Acum despart, im fract, ia ın doua fract, ii ca sa ne apropiemde Ik. Mai exact, avem

In =√

5− (n− 1)

1∫0

xn−2(

x2√x2 + 4

+4√

x2 + 4

)dx.

Page 52: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

52

Inmult, ind apoi cu xn−2 avem

In =√

5− (n− 1)

1∫0

xn−2x2√x2 + 4

+4xn−2√x2 + 4

dx.

Dar, xn−2x2 = xn−2+2 = xn. Astfel, integrala devine,de fapt

In =√

5− (n− 1)

1∫0

xn√x2 + 4

+4xn−2√x2 + 4

dx.

S, i cum integrala sumei este o suma de integrala, avemınca

In =√

5− (n− 1)

1∫0

xn√x2 + 4

dx+ 4

1∫0

xn−2√x2 + 4

dx

.

Noa, ian sa vedem acum daca rezultatul poate fi scriscu ceva recurent, a, s,tiind ca, din enunt,ul problemei, ın

loc de1∫0

xk√x2+4

dx putem sa punem Ik. Integrala noastra

devine atunci de fapt

In =√

5− (n−1)

1∫0

xn√x2 + 4

dx+ 4

1∫0

xn−2√x2 + 4

dx

=

Page 53: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

53

=√

5− (n− 1)(In + 4In−2).

Desfacand parantezele, mai obt, inem ca

In =√

5− nIn − 4nIn−2 + In + 4In−2.

Mamaaaa, ce aproape suntem de final! Ducem ınstanga termenii cu In cu semnul schimbat s, i avem

In − In + nIn =√

5− 4nIn−2 + 4In−2.

Apoi, reducem In cu −In s, i dam factor comun ceea cetrebuie ın dreapta egalitat, ii. Obt, inem

nIn =√

5− 4(n− 1)In−2,

ceea ce trebuia aratat.Desigur, pare o groaza de lucru, lucru pe care elevul

experimentat l-a parcurs mental ın primele secunde dinmomentul ın care a ınt,eles cum va rezolva problema. Dar,sa nu uitam ca examinatorul nu are nevoie de chiar atateaamanunte precum cele gasite aici. De exemplu, nu tre-buie sa detaliat, i faptul ca

√a =

√a1

=√a·√a√

a= a√

a. Dim-

potriva, pentru examinator este important sa ment, ionat, idoar etapele principale ale calculului, chiar daca restullucrat, i pe ciorna.

Page 54: Varianta model bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info

Mat

emat

ica

pent

ruın

cepa

tori

mat

emat

icap

entr

uinc

epat

ori.b

logs

pot.

ro

54

Sfars, it

Cam asta a fost tot. Avet, i la dispozit, ie 3 ore pentrurezolvarea variantei. Asta ınseamna cam 10 minute deproblema. Asta mai ınseamna ca avet, i cam un minutpentru ınt,elegerea clara a problemei, 8 minute pentrurezolvarea propriu-zisa s, i ultimul minut pentru verificarearezultatului obt, inut. Nu va grabit, i, fit, i calmi s, i odihnit, i-va bine ınainte de examen. Mult succes! Va t, in pumnii.