Bacalaureat 2015

BACALAUREAT 2015

SESIUNEA SPECIAL

Proba E c)

mate-info

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic

Filiera vocat,ional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

SUBIECTUL I

1. Se consider numerele complexe z1 = 2+ 3i s,i z2 = 1 3i. Artat,i c numrul z1 + z2 este real.2. Calculat,i ( f f )(1), unde f : R R, f(x) = x 1 s, i g : R R, g(x) = 3x.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 4x 64 = 0.4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea numerelor naturale de dou cifre,

acesta s fie divizibil cu 7.

5. n reperul cartezian xOy se consider dreapta d de ecuat,ie y = 4x + 1 s, i punctul A(2, 0).

Determinat,i ecuat,ia paralelei duse prin punctul A la dreapta d.

6. Artat,i c sin( x) sinx cos( x) cos x = 1, pentru orice numr real x.

SUBIECTUL II

1. Se consider matricele A =

1 0 1

0 1 0

1 0 1

s,i B(x) =

0 x 0

x 0 x

0 x 0

, unde x este numr real.

a) Artat,i c det(A) = 0.

b) Artat,i c A B(x) +B(x) A = 3B(x), pentru orice numr real x.c) Determinat,i numerele reale x pentru care B(x) B(x) B(x) = B(x2 + x 2).

2. Se consider polinomul f = X3 2X2 + 2X +m, unde m este numr real.a) Artat,i c f(0) = m.

b) Pentru m = 1, demonstrat,i c (x1 +x2+x3)(

1

x1+

1

x2+

1

x3

)

= 4, unde x1, x2 s, i x3 sunt

rdcinile polinomului f .

c) Artat,i c polinomul f nu are toate rdcinile reale.

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) =x2 x+ 1x2 + x+ 1

.

a) Artat,i c f (x) =2(x 1)(x+ 1)(x2 + x+ 1)2

, x R.b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f n punctul de abscis x = 0, situat pe

graficul funct, iei f .

c) Calculat,i limx

( f(x) )x.

2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = ex 2x.

a) Artat,i c

1

0

( f(x) + 2x) dx = e 1.b) Determinat,i primitiva F a funct, iei f pentru care F (1) = e 3.c) Artat,i c volumul corpului obt,inut prin rotirea n jurul axei Ox a graficului funct, iei

g : [0, 1] R, g(x) = f(x), este egal cu 6(3e2 19).

1

2

s,t-nat

Filiera teoretic, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii

SUBIECTUL I

1. Calculat,i rat,ia progresiei aritmetice (an)n1, s,tiind c a3 = 6 s, i a4 = 8.

2. Determinat,i valoarea minim a funct, iei f : R R, f(x) = x2 9.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia

x2 + 3 = x+ 1.

4. Determinat,i numrul submult,imilor cu dou elemente ale mult,imii {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2, 1) s, i B(0, 3). Determinat,i ecuat,ia dreptei

AB.

6. Calculat,i lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC n care AB = 8 s, i C =

6.

SUBIECTUL II


(

1 2

3 4

)

s, i B(x) =

(

x 2

3 6

)



b) Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia det(B(x) + I2) = 8, unde I2 =

(

1 0

0 1

)

.

c) Determinat,i numrul real x pentru care A B(x) = B(x) A.2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ xy = xy7x7y+56.

a) Artat,i c (7) 7 = 7.b) Artat,i c x y = (x 7)(y 7) + 7, pentru orice numere reale x s,i y.c) Calculat,i 1 2 3 . . . 2015.

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = ex ln x + x.a) Artat,i c lim

x1

f(x) f(1)x 1 = e.

b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f n punctul de abscis x = 1, situat pe


c) Artat,i c funct,ia f este convex pe intervalul (0, +).2. Se consider funct, ia f : (1, +) R, f(x) =

1

x+ 1.

a) Artat,i c 1

0

1

f(x)dx =

3

2.

b) Artat,i c 1

0

x2f(x) dx = 12+ ln 2.

c) Determinat,i volumul corpului obt,inut prin rotat,ia n jurul axei Ox a graficului funct, iei

g : [0, 1] R, g(x) = f(x).

3

tehnologic

Filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale; profilul resurse, toate calificrile

profesionale; profilul tehnic, toate calificrile profesionale

SUBIECTUL I

1. Artat,i c(

2 12

)

:3

10= 5.

2. Calculat,i f(2) + f(2), unde f : R R, f(x) = x2 4.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia

2x 1 = 3.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},acesta s fie multiplu de 5.

5. n reperul cartezian xOy se consider punctele O(0, 0), M(0, 4) s,i N(4, 0). Artat,i c triunghiul

MON este isoscel.

6. Calculat,i aria triunghiului ABC dreptunghic n A, s,tiind c AB = 10 s, i AC = 12.

SUBIECTUL II


(

3 25 3

)

s, i I2 =

(

1 0

0 1

)

.


b) Artat,i c A A+ I2 = O2, unde O2 =(

0 0

0 0

)

.

c) Demonstrat,i c det(A aI2) 1, pentru orice numr real a.2. Se consider polinomul f = X3 + 5X2 +X + 5.

a) Artat,i c f(5) = 0.b) Determinat,i ctul s, i restul mprt,irii polinomului f la polinomul X2 + 6X + 5.

c) Demonstrat,i cx3

x1x2+

x2

x1x3+

x1

x2x3= 23

5, unde x1, x2 s, i x3 sunt rdcinile polinomului

f .

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x4 2x2 + 1.a) Artat,i c f (x) = 4x(x 1)(x+ 1), x R.b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f n punctul de abscis x = 1, situat pe


c) Demonstrat,i c 0 f(x) 1, pentru orice x [1, 1].2. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x2 +

x.

a) Artat,i c

3

1

(

f(x)x)

dx =26

3.

b) Demonstrat,i c funct, ia F : (0, +) R, F (x) =x2

3+

2xx

3+ 2015 este o primitiv a

funct, iei f .

c) Artat,i c suprafat,a delimitat de graficul funct, iei g : (0, +) R, g(x) = ( f(x)x ) ex,

axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = 1 s, i x = 2, are aria egal cu e(2e 1).

4

SESIUNEA IUNIE-IULIE

Proba E c)

mate-info



SUBIECTUL I

1. Artat,i c (5 + 1)2 + (

5 1)2 = 12.

2. Calculat,i produsul f(1)f(2)f(3)f(4), unde f : R R, f(x) = x 3.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia log2(x

2 4x+ 4) = 0.4. Determinat,i cte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 2, 3 s, i 4.

5. n reprerul cartezian xOy se consider punctele A(1, 2) s, i B(2, 3). Determinat,i ecuat,ia dreptei

d care trece prin punctul A s,i este perpendicular pe dreapta AB.

6. Artat,i c sin( x) + sin( + x) = 0, pentru orice numr real x.

SUBIECTUL II

1. Se consider matricea A =

1 0 x

0 1 0

3x 0 1


a) Artat,i c det(B(0)) = 1.

b) Artat,i c B(x) +B(y) = 2B(

x+ y

2

)

, pentru orice numere reale x s, i y.

c) Determinat,i numerele reale x pentru care B(x2 + 1) B(x) = B(x2 + x+ 1).2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ x y =

1

2(x 3)(y 3).

a) Artat,i c (3) 3 = 3.b) Determinat,i numerele naturale n pentru care n n = 11.c) Calculat,i 1 2 3 . . . 2015.

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : (1, +) R, f(x) =x+ 2

x 1 .

a) Artat,i c f (x) = 3

(x 1)2 , x (1, +).b) Artat,i c funct,ia f este convex pe intervalul (1, +).c) Determinat,i coordonatele punctului situat pe graficul funct, iei f , n care tangenta la graficul

funct,iei f este paralel cu dreapta de ecuat,ie y = 3x.2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = xex.

a) Artat,i c 1

0

1

xf(x) dx = e(e 1).

b) Determinat,i primitiva F a funct,iei f pentru care F (1) = 0.

c) Pentru fiecare numr natural nenul n se consider numrul In =

1

0

xnf(x) dx. Artat,i c:

In + (n+ 1)In1 = e, pentru orice numr natural n, n 2.

5

s,t-nat


SUBIECTUL I

1. Se consider numrul complex z = 1 + i. Artat,i c z2 2i = 0.2. Calculat,i (g f)(3), unde f : R R, f(x) = x 3 s, i g : R R, f(x) = x+ 2015.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 5x

25x = 533x.

4. Determinat,i numrul submult, imilor cu patru elemente ale mult,imii {1, 2, 3, 4, 5}.5. n reperul cartezian xOy se consider punctul A(0, 4). Determinat,i ecuat,ia dreptei d care trece

prin punctul A s, i este paralel cu dreapta de ecuat,ie y = 2x+ 7.

6. Determinat,i aria triunghiului MNP , s,tiind c MN = 12, MP = 3 s, i m(M) = 30.

SUBIECTUL II


(

1 aa 1

)

, unde a este numr real.

a) Artat,i c det(A(0)) = 1.

b) Determinat,i numerele reale a, pentru care det(A(a)) = 0.

c) Artat,i c A(a)A(b) = A(a+ b)+ abI2, pentru orice numere reale a s,i b, unde I2 =

(

1 0

0 1

)

.

2. Se consider polinomul f = X3 mX + 2, unde m este numr real.a) Artat,i c f(0) = 2.

b) Determinat,i numrul real m, s,tiind c restul mprt,irii lui f la polinomul g = X2 +X 2este egal cu 0.

c) Demonstrat,i c x31 + x3

2+ x3

3= 6, pentru orice numr real m, unde x1, x2 s,i x3 sunt

rdcinile polinomului f .

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = ex x 1.a) Artat,i c lim

x0

f(x) f(0)x

= 0.

b) Artat,i c funct, ia f este descresctoare pe intervalul (, 0].c) Demonstrat,i c ex x + 1, pentru orice numr real x.

2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x2 2x+ 5.

a) Artat,i c 1

0

(f(x) + 2x 5) dx = 13.

b) Calculat,i 2

0

f (x)

f(x)dx.

c) Artat,i c 2015

2014

1

f(x)dx 1

4.

6

tehnologic



SUBIECTUL I

1. Artat,i c(

1

2+

1

5

)

207

= 2.

2. Determinat,i numrul real a, s,tiind c punctul A(a, 0) apart,ine graficului funct,iei unde f : R R,f(x) = x 2.

3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,iax+ 3 = 4.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea M = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90},acesta s fie multiplu de 15.

5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(4, 2) s,i B(4, 6). Determinat,i coordonatele

mijlocului segmentului AB.

6. Artat,i c sinx =12

13, s,tiind c x

(

0,

2

)

s, i cosx =5

13.

SUBIECTUL II


(

1 2

3 4

)

, B =

(

4 3

2 1

)

s, i C =

(

1 1

1 1

)

.

a) Artat,i c det(A) = 2.b) Artat,i c A+B = 5C.

c) Demonstrat,i c AB +BA+ 4I2 = 25C, unde I2 =

(

1 0

0 1

)

.

2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x y = xy + 4x+ 4y + 12.a) Artat,i c 5 (4) = 4.b) Artat,i c x y = (x+ 4)(y + 4) 4, pentru orice numere reale x s,i y.c) Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia x x = x.

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 2x3 + 3x2 + 5.a) Artat,i c f (x) = 6x(x+ 1), x R.b) Calculat,i lim

x

f (x)

f(x) 2x3 .c) Determinat,i intervalele de monotonie ale funct,iei f .

2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 4x3 + 3x2.

a) Artat,i c 2

1

(

f(x) 3x2)

dx = 15.

b) Determinat,i primitiva F : R R a funct, iei f pentru care F (1) = 2015.c) Determinat,i numrul natural n, n > 1, s,tiind c

n

1

f(x)

x2dx = 9.

7

pedagogic

Filiera vocat,ional: profilul pedagogic, specializarea nvt,tor - educatoare

SUBIECTUL I

1. Artat,i c32

18

2 = 0.

2. Determinat,i coordonatele punctului de intersect,ie a graficelor funct, iilor f : R R, f(x) = x+1s,i g : R R, g(x) = 4 2x.

3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 553x = 25.

4. Determinat,i cte numere pare de dou cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 s, i 5.

5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2, 3), B(5, 3) s, i C(5, 6). Artat,i c AB = BC.

6. Artat,i c sin 30 + sin 45 cos 45 = 1.

SUBIECTUL II

Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x y = xy + x+ y.1. Artat,i c 2015 (1) = 1.2. Demonstrat,i c legea de compozit,ie este asociativ.3. Verificat,i dac e = 0 este element neutru al legii de compozit,ie .4. Artat,i c x x = (x+ 1)2 1, pentru orice numr real x.5. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia x x x x = 0.6. Artat,i c x (x+ 1) x, pentru orice numr real x.

SUBIECTUL III

Se consider matricele I2 =

(

1 0

0 1

)

s, i A(a) =

(

a 2

1 a+ 1

)


1. Artat,i c det(A(0)) = 2.2. Determinat,i numerele reale a pentru care det(A(a)) = 0.

3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale inecuat,ia det(A(a) I2) < 0.4. Artat,i c (2a+ 1)A(a)A(a) A(a) = (a2 + a 2)I2, pentru orice numr real a.5. Determinat,i inversa matricei A(2).

6. Determinat,i numerele naturale m pentru care det(A(m)) 1.

8

SUBIECTE DE REZERV

s,t-nat


SUBIECTUL I

1. Calculat,i (2 3i)(2 + 3i), unde i2 = 1.2. Calculat,i f( f(3) ), unde f : R R, f(x) = 2x 1.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia log3(x

2 + 17) = log3 81.

4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult, imea numerelor naturale de dou cifre,

acesta s fie divizibil cu 5.

5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(1, a), B(3, 2) s, i C(2, 1). Determinat,i numrul

real a pentru care punctele A, B s, i C sunt coliniare.

6. Se consider E(x) = sinx

3+ cos

x

2, unde x este numr real. Artat,i c E

(

2

)

=1 +

2

2.

SUBIECTUL II

1. Se consider matricea A(a) =

(

1 2a

2a 4

)


a) Artat,i c A(1) +A(1) = 2A(0).b) Determinat,i numerele reale a pentru care det(A(a) ) = 0.

c) Rezolvat,i n mult,imea M2(R) ecuat,ia A(2) X = A(8).2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ xy = 2xy6x6y+21.

a) Artat,i c (3) 3 = 3.b) Artat,i c x y = 2(x 3)(y 3) + 3, pentru orice numere reale x s, i y.c) Calculat,i 1

2

3 . . .

2015.

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 3ex + x2.a) Artat,i c lim

x0

f(x) f(0)x

= 3.

b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f n punctul de abscis x = 0, situat pe


c) Artat,i c funct,ia f este convex pe R.

2. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x+1

x.

a) Artat,i c

3

1

(

f(x) 1x

)

dx = 4.

b) Artat,i c

2

1

(

f(x) 1x

)

ex dx = e2.

c) Determinat,i numrul real a, a > 1, s,tiind c suprafat,a plan delimitat de graficul funct, iei

f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = 1 s, i x = a, are aria egal cu 4 + ln a.

9

tehnologic



SUBIECTUL I

1. Artat,i c23 1

3 = 1.

2. Determinat,i coordonatele punctului de intersect,ie a graficului funct, iei f cu axa Oy, unde

f : R R, f(x) = 2x2 + x+ 2015.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia

x+ 2 = 2.

4. Dup o reducere cu 10% un obiect cost 99 de lei. Calculat,i pret,ul obiectului nainte de reducere.

5. n reperul cartezian xOy se consider punctele M(2, 1) s, i N(4, 1). Determinat,i lungimea seg-

mentului MN .

6. Artat,i c sinx =4

5, s,tiind c x

(

0,

2

)

s, i cosx =3

5.

SUBIECTUL II

1. Se consider matricea A =

(

2 1

2 1

)

.


b) Determinat,i numrul real x pentru care A A = xA.

c) Artat,i c det(A+ I2) + det(A I2) = 2, unde I2 =(

1 0

0 1

)

.

2. Se consider polinomul f = X3 2X2 2X + 1.a) Artat,i c f(1) = 2.b) Artat,i c polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1.

c) Determinat,i numrul real a pentru care

1

x1x2+

1

x2x3+

1

x3x1= a(x1x2 + x2x3 + x3x1),

unde x1, x2 s, i x3 sunt rdcinile polinomului f .

SUBIECTUL III

1. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x1

x.

a) Artat,i c f (x) = 1 +1

x2, x (0, +).

b) Determinat,i ecuat,ia asimptotei oblice spre + la graficul funct,iei f .c) Demonstrat,i c funct, ia f este concav pe intervalul (0, +).

2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x2 + 2.

a) Artat,i c

1

0

( f(x) 2) dx = 13.

b) Determinat,i primitiva F a funct, iei f pentru care F (3) = 5.

c) Artat,i c suprafat,a delimitat de graficul funct,iei g : R R, g(x) = exf(x), axa Ox s, idreptele de ecuat,ii x = 0 s,i x = 1, are aria egal cu 3e 4.

10

SESIUNEA AUGUST

Proba E c)

mate-info



SUBIECTUL I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SUBIECTUL II

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

SUBIECTUL III

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

11

s,t-nat


SUBIECTUL I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SUBIECTUL II

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

SUBIECTUL III

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

12

tehnologic



SUBIECTUL I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SUBIECTUL II

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

SUBIECTUL III

1. a)

b)

c)

2. a)

b)

c)

13

pedagogic

Filiera vocat,ional: profilul pedagogic, specializarea nvt,tor - educatoare

SUBIECTUL I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SUBIECTUL II

Pe

1.

2.

3.

4.

5.

6.

SUBIECTUL III

Se

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Bacalaureat 2015

Documents

Transcript of Bacalaureat 2015