Astrofizica stelaraCursul 11

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Cont, inutul cursului

Capitolul VI. Structura interna a stelelor.

I VI.1. Ecuat, ii ale structurii stelare.

I VI.2. Transportul energetic ın stele.

I VI.3. Teoria lungimii de amestecare (mixing length).

I VI.4. Modele politrope.

I VI.5. Structura Soarelui.

I VI.6. Ecuat, ia Tolman-Oppenheimer-Volkoff.

VI.1. Ecuat, ii ale structurii stelare.VI.I.1. Generalitat, i.

I Analiza atomsferei stelare este necesara pentru prezicerea radiat, ieiemise de catre aceasta ınspre spat, iul cosmic.

I Analiza structurii stelei permite estimarea proprietat, ilor plasmeistelare ın interiorul acesteia.

I Cunoas, terea structurii interne a stelei permite estimarea ratelorreact, iilor nucleare, sau a frecvent,ei de oscilat, ie a stelelor pulsatoare.

I Ecuat, iile care stau la baza structurii stelare sunt:I Ecuat, ia echilibrului hidrostatic;I Ecuat, ia de conservare a masei;I Ecuat, ia transportului energiei;I Ecuat, ia de conservare a energiei.

I Suplimentar, trebuie cunoscuta ecuat, ia de stare a plasmei stelare.

I Transportul energiei poate avea loc atat prin radiat, ie, cat s, i princonvect, ie s, i/sau conduct, ie.

VI.I.2. Ecuat, ia echilibrului hidrostatic.I Intr-o stea cu simetrie sferica ın echilibru termic este valida ecuat, ia

echilibrului hidrostatic:

dP(r)

dr= −ρ(r)GM(r)

r. (1)

I Daca steaua nu este ın echilibru (de ex., pulseaza), ecuat, iaechilibrului hidrostatic se ınlocuies, te cu ecuat, ia Cauchy:

ρ

[∂u

∂t+ (u · ∇)u

]= nF−∇ ·

←→T ,

unde Tij = Pδij − σij iar σij este partea vascoasa a tensoruluitensiunilor iar u reprezinta campul de viteza al plasmei.

I Daca fluidul stelar este Newtonian iar coeficientul de vascozitatedinamica η este constant, ecuat, ia Cauchy pentru viteza radiala este:

ρ

[∂ur∂t

+ (u · ∇)ur −u2θr−

u2ϕr

]= nFr−

∂

∂r

[P −

(1

3η + µ′

)∇ · u

]+ η

(∆ur −

2urr2− 2

r2 sin θ

∂(uθ sin θ)

∂θ− 2

r2 sin θ

∂uϕ∂ϕ

).

VI.I.3. Ecuat, ia de conservare a masei.

I Intr-o stea cu simetrie sferica, variat, ia masei de la M(r) laM(r + dr) este data de:

dM(r) = 4πr2ρ(r)dr .

I Ecuat, ia de conservare a masei este:

dM(r)

dr= 4πr2ρ(r), (2)

ın timp ce masa totala cuprinsa ın sfera de raza r este:

M(r) = 4π

∫ r

0

dr r2ρ(r).

VI.I.4. Ecuat, ia transportului energiei.I La adancimi optice mari, fluxul Edington integrat H satisface:

H(r) = − 1

3kRρ

dB

dT

dT

dr= − 4σT 3

3πkRρ

dT

dr, (3)

unde kR este opacitatea Rosseland iar B = σT 4/π este integralafunct, iei Planck dupa toate frecvent,ele.

I Avand ın vedere ca fluxul radiativ integrat F (r) = 4πH(r) defines, teluminozitatea L(r) = 4πr2F (r), rezulta:

H(r) =L(r)

16π2r2. (4)

I Rezulta ecuat, ia transportului energiei (valabila pentru transportulpur radiativ):

dT (r)

dr= − 3kRρ

64πr2σT 3L(r). (5)

I Gradientul temperaturii este direct proport, ional cu L(r) s, i cu kR .I Este utila introducerea gradientului temperaturii ∇ prin:

∇ =d lnT

d lnP=

P

T

dT

dP, ∇rad =

3kR64πr2g

P

σT 4L(r), (6)

unde ∇rad reprezinta contribut, ia radiativa la ∇.

VI.I.5. Ecuat, ia de conservare a energiei.

I Fie ε(r) rata de producere a energiei nucleare pe unitatea de masa([ε] = J g−1 s−1).

I Variat, ia luminozitat, ii se datoreaza producerii de energie prin procesetermonucleare:

dL(r) = 4πr2 ρ(r)ε(r)dr . (7)

I Ecuat, ia de conservare a energiei este:

dL(r)

dr= 4πr2ρ(r)ε(r). (8)

I T, inand cont ca L(r = 0) = 0, luminozitatea la distant,a r de centrulstelei este:

L(r) = 4π

∫ r

0

dr r2 ρ(r)ε(r).

I In general, ε(r) este neneglijabil doar pentru r . 0.25R�.

VI.I.6. Ecuat, iile structurii stelare ın funct, ie de masa.

I Pentru rezolvarea numerica a ecuat, iilor structurii stelare, esteconvenabila ımpart, irea stelei ın straturi ın funct, ie de masa cont, inutaın fiecare strat.

I De aceea, este convenabila rescrierea ecuat, iilor structurii stelareconsiderand M(r) ca parametru independent:

dP(M)

dM=− GM

4πr4(M),

dr(M)

dM=

1

4πr2(M)ρ(M),

dL(M)

dM=ε(M),

dT (M)

dM=− 3kR

256π2r4(M)σT 3(M)L(M).

VI.II. Transportul energetic ın stele.VI.II.1. Fluxul radiativ monocromatic.

I In afara zonei de product, ie a energiei nucleare (unde ε ' 0),luminozitatea este constanta, fiind egala cu:

L(r) = 4πR2�σT

4ef .

I Substituind expresia de mai sus ın ec. (5) rezulta:

dT (r)

dr= −

3kRρR2�T

4ef

16r2T 3, (9)

iar fluxul Eddington Hν = −(dKν/dr)/kνρ la adancimi optice mari,unde Kν ' Bν/3, devine:

Hν '1

16

kRkν

T 4ef

T 3

(R�r

)2dBνdT

=k3B

8h2c2kRkν

T 4ef

T

(R�r

)2

P(u), (10)

unde P(u) este definit prin (u = hν/KBT ):

dBνdT

=2K 3

BT2

h2c2P(u), P(u) =

u4eu

(eu − 1)2. (11)

I P(u) atinge valoarea maxima la u ' 3, 83.I Dependent,a lui Hν de ν este influent,ata de kν .

VI.II.2. Transportul prin conduct, ie.I In unele condit, ii, particulele de materie pot transporta energie din

regiunile mai fierbint, i ınspre cele mai reci.I Un exemplu este cel al piticelor albe, ın nucleul carora electronii

formeaza un gaz degenerat.I Aces, ti electroni degenerat, i participa la procesul de conduct, ie, care e

important doar cand drumul liber mijlociu al electronilor depas,es, tescala la care temperatura locala prezinta variat, ii.

I Se poate introduce o opacitate de conduct, ie astfel ıncat Hcond sa fiedat printr-o expresie analoga ec. (3):

Hcond = − 4σT 3

3πkcondρ

dT

dr. (12)

I In absent,a convect, iei, Htot = Hrad + Hcond se obt, ine ınlocuindopacitat, ile part, iale kR (3), respectiv kcond(12) cu ktot:

1

ktot=

1

krad+

1

kcond. (13)

I Precum ın cazul unui circuit avand doi rezistori legat, i ın paralel,energia tinde sa fie transferata prin modul cu opacitatea cea maimica.

I In majoritatea cazurilor, kcond � krad.

VI.II.3. Transportul prin convect, ie.I Convect, ia reprezinta transportul de energie prin intermediul

transferului de substant, a.I In unele condit, ii, celulele de plasma pot migra datorita fort,elor

arhimedice dinspre regiunile calde (interior) ınspre cele reci(exterior), unde ıs, i elibereaza energia termica.

I In aceste condit, ii, plasma este instabila la convect, ieI Pentru simplitate, vom presupune ca ascensiunea celulelor se petrece

ın condit, ii adiabatice (celulele nu schimba energie cu plasmaınconjuratoare pe parcursul ascensiunii).

I Convect, ia poate deveni importanta cand radiat, ia nu este suficientapentru transportul energiei ınspre exterior, de exemplu cand fluxulradiativ s, i/sau opacitatea sunt foarte mari, caz ın care transferulexclusiv prin radiat, ie necesita un gradient mare de temperatura.

I Cand ∇ depas,es, te o anumita valoare, plasma devine instabila s, iconvect, ia devine importanta.

I Regiunile unde elementele dominante sunt part, ial ionizatefavorizeaza convect, ia, deoarece opacitatea aferenta nivelelor atomicesuperioare ale atomilor mai put, in ionizat, i este foarte mare.

I Deoarece ın stelele fierbint, i, ionizarea are loc ın regiunile superficiale,unde ∇ este mic, aici convect, ia nu apare.

I Fotografie a unei pete solare la suprafat,a Soarelui.

I Regiunea centrala ıntunecata poarta numele de umbra (B mare).

I Regiunea adiacenta mai put, in ıntunecata se numes, te penumbra (Bmai mic).

I Sutele de granule vizibile ın aceasta poza, avand dimensiuni deaproximativ 1000 km, reprezinta celule de convect, ie.

VI.II.4. Criteriul Schwarzschild pentru convect, ie.I Sa consideram ca convect, ia are loc prin deplasarea unor celule de

plasma datorata fort,ei arhimedice.I Deplasarea verticala se efectueaza ın condit, ii adiabatice, energia

termica fiind eliberata la capatul superior al traiectoriei.I Presupunem ca masa moleculara a plasmei exterioare nu variaza

de-a lungul traiectoriei.I Presiunea din interiorul celulei este ıntotdeauna egala cu presiunea

mediului ınconjurator.I In urma acestui proces adiabatic, densitatea ın interiorul celulei

scade conform:

∆ρcel =

(dρ

dr

)adi

∆r < 0. (14)

I In acelas, i timp, s, i densitatea mediului (presupus a fi ın echilibruradiativ) variaza:

∆ρmed =

(dρ

dr

)rad

∆r < 0. (15)

I Conform principiului lui Arhimede, convect, ia poate avea loc cand∆ρcel < ∆ρmed.

I Deoarece deplasarea celulei se face adiabatic, presiunea ın interiorulacesteia satisface ecuat, ia de stare de tip politropic:

Pcel ∼ ργcel, γ = cp/cv . (16)

I In mediul exterior, presupunem ca e valida ecuat, ia de stare a gazuluiideal:

Pmed ∼ ρmedTmed. (17)

I Principiul lui Arhimede se poate scrie:(d ln ρ

dr

)adi

<

(d ln ρ

dr

)rad

, (18)

astfel ıncat:

1

γ

(d lnP

dr

)adi

<

(d lnP

dr

)rad

−(d lnT

dr

)rad

. (19)

I Deoarece Padi = Prad, rezulta:

γ − 1

γ<

(d lnT/dr)rad(d lnP/dr)rad

=

(d lnT

d lnP

)rad

= ∇rad. (20)

I Presupunand ca s, i ın interiorul celulei este valida ecuat, ia de stare agazului ideal, rezulta P ∼ ρT ∼ P1/γT sau T ∼ P(γ−1)/γ , astfelıncat:

∇adi =

(d lnT

d lnP

)adi

=γ − 1

γ. (21)

I Criteriul lui Schwarzschild poate fi enunt,at dupa cum urmeaza:

∇rad > ∇adi =γ − 1

γ. (22)

I Pentru un gaz ideal monoatomic,γ = 5/3 iar ∇adi = 0, 4.I Deoarece plasma stelara nu este monoatomica s, i datorita prezent,ei

presiunii radiative, ın general γ < 5/3.I Analizele numerice indica ca ın cazul cand presiunea radiativa este

dominanta, criteriul Schwarzschild devine ∇rad > 0, 25.I In zonele unde are loc ionizarea part, iala, convect, ia poate aparea la

valori ale lui ∇rad mai mici decat 0, 25.I Inlocuind ec. (6), criteriul Schwarzschild poate fi pus sub forma:

3kR64πr2g

P

σT 4L(r) =

3πkR4g

P

σT 4H(r) > ∇adi =

γ − 1

γ. (23)

I Aceasta forma a criteriului lui Schwarzschild arata ca zonele undeopacitatea sau fluxul sunt mari favorizeaza aparit, ia convect, iei.

Probleme1. Sa se gaseasca presiunea ıntr-o stea de masa M∗ s, i raza R∗ ın care

densitatea descres, te liniar cu r conform expresiei:

ρ(r) = ρc

(1− r

R∗

),

unde ρc este densitatea ın centrul stelei.

[R: P(r) =5GM2

∗4πR4

∗− 6GM2

∗r2

πR6∗

(1− 7r

6R∗ + 3r2

8R2∗

)]

2. Sa se gaseasca densitatea centrala a unei stea de masa M∗ s, i razaR∗ ın care densitatea e data de expresia

ρ(r) = ρc

(1− r2

R2∗

).

3. Presupunand ca densitatea ρ(r) s, i rata de producere a energieinucleare pe unitatea de masa ε(r) sunt:

ρ(r) = ρc

(1− r

R∗

), ε(r < 0, 2R∗) = εc

(1− r

0, 2R∗

),

unde ε(r > 0, 2R∗) = 0, sa se gaseasca luminozitatea stelei lasuprafat,a acesteia ın funct, ie de R∗, ρc s, i εc . [R: L = 22π

9375ρcεcR3∗ ]

Probleme

4. Sa se gaseasca frecvent,ele s, i lungimile de unda corespunzatoarevalorii maxime a lui P(u) (11) pentru T = 104, 105, respectiv107 K. Sa se indice ın ce parte a spectrului electromagnetic suntsituate aceste frecvent,e. [R: ν1 = 8× 1014 Hz, λ1 = 3750 A, IR

ν2 = 8× 1015 Hz, λ1 = 375 A, UVν3 = 8× 1017 Hz, λ1 = 3, 75 A, raze X]

5. In centrul unei pitice albe reci compusa din carbon pur, opacitateade conduct, ie este estimata la kcond ∼ 5× 10−7(T/ρ)2 cm2 g−1,unde T e ın K s, i ρ e ın g/cm3. Presupunand ca opacitatea radiativaeste dominata de ımpras, tierea Thomson, sa se arate ca ın centrulacestor stele, conduct, ia reprezinta detas,at modul de transport alenergiei. Se presupune ca ın centrul stelei avem T ∼ 107 K s, iρ ∼ 106 g/cm3. [R: krad ' 0, 02 kg/m3, kcond = 5× 10−6 kg/m3]