Astrofizica stelaraCursul 6

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

Cont, inutul cursului

Capitolul III. Procese radiativeI III.1. Radiat, ia corpului negru.I III.2. Propagarea luminii.I III.3. Mis, carea sarcinilor ın camp electromagnetic extern.I III.4. Propagarea radiat, iei electromagnetice.I III.5. Spectre atomice.I III.6. Ecuat, iile Boltzmann s, i Saha.I III.7. Largirea liniilor spectrale.

III.5. Spectre atomice.III.5.1. Tipuri de tranzit, ii.

Radiat, ia electromagnetica poatefi emisa sau absorbita de catreelectroni cand efectueazaurmatoarele tipuri de tranzit, ii:

I din stare legata ın stare legata(excitare / dezexcitare);

I din stare legata ın stare libera(ionizare);

I din stare libera ın stare legata(recombinare);

I din stare libera ın starelibera (absorbt, ie sau emisie,e.g. bremsstrahlung).

Pe langa procesele de mai sus,radiat, ia electromagnetica poatefi ımpras, tiata de electronii liberi(ımpras, tiere Thomson / Compton) saude catre atomi s, i molecule (ımpras, tiere Rayleigh).

III.5.2. Modelul Bohr.

I Nivelele energetice electronice ale unui atom hidrogenoid au fostprima data calculate de Bohr pornind de la presupunerea camomentul cinetic orbital este cuantificat:

Ln = n~, (1)

unde n reprezinta numarul cuantic principal al electronului.I Presupunand ca orbitele electronilor sunt circulare, rezulta:

µv 2n

rn= Ze2

4πε0r 2n⇒ rn = men2

µZ a0,

µ = memnucleu

me + mnucleu, a0 = 4πε0~2

mee2 , (2)

unde µ este masa redusa a sistemului nucleu-electron iar a0reprezinta raza Bohr.

III.5.2. Modelul Bohr.

I Energia aferenta nivelului n este:

εn = − Z 2µ

men2 RE , RE = me2~2

(e2

4πε0

)2

, (3)

unde RE ' 13, 6 eV este energia Rydberg.I In cazul atomului de hidrogen, Z = 1, µ/me = 1 iar RE = E∞ este

energia de ionizare, astfel ıncat εn = −E∞/n2.I In cele ce urmeaza, este convenabila exprimarea energiei nivelului n

fat, a de energia nivelului fundamental:

En = εn − ε∞ = E∞(

1− 1n2

). (4)

I Tranzit, iile ıntre nivelul n s, i nivelele superioare dau nas, tereurmatoarelor spectre:

n = 1: Seria Lyman;n = 2: Seria Balmer;n = 3: Seria Paschen;n = 4: Seria Brackett.

s, .a.m.d.I In funct, ie de

distant, a k dintre nivelului superior m = n + k s, i n, liniile poartadenumirile:

k = 1: Linia α (linia Ly-α corespunde tranzit, iei dintre n = 1 s, i n = 2);k = 2: Linia β (linia Hβ corespunde tranzit, iei dintre n = 2 s, i n = 4);

etc.

III.5.3. Degenerarea nivelelor energetice (ec. Schrodinger).

I Modelul Bohr explica existent, a nivelelor energetice discrete ıntr-unatom s, i ofera o buna aproximat, ie pentru valoarea acestora ca funct, iede numarul cuantic principal n.

I Valoarea obt, inuta de Bohr coincide cu cea obt, inuta folosind ecuat, iaSchrodinger, ınsa aceasta permite demonstrarea degenerarii niveluluienergetic n datorita valorilor permise momentului cinetic orbitall = 0, 1, . . . n − 1 s, i a numarului magnetic m = −l ,−l + 1, . . . l (ıntotal n2 stari).

I Suplimentar fat, a de momentul cinetic orbital, electronul poseda unmoment cinetic intrinsec (spinul), care dubleaza gradul dedegenerare a starilor energetice.

III.5.4. Structura fina.I Degenerarea dupa l este

ridicata cand electronuleste tratat relativist.

I Pentru a trata corectelectronul relativist ınatom, trebuie folositaecuat, ia Dirac, care t, inecont de spinul electronului.

I Operatorii conservat, i sunt ınacest caz J = L + S s, i Jz , avand valorile proprii j(j + 1)~2 s, i m~.

I Degenerarea aferenta spinului este ridicata de operatorul spin-orbitaK = γ0(2S · L + 1), avand valorile proprii κ = ±(j + 1

2 ).I Momentul cinetic orbital este l = j + 1

2 sgn κ, energia luand valorile:

εn,j = µc2√1 + [Zα/(n − δj)]2

' µc2− εn + O(α4), α = e2

4πε0~c ,

(5)unde α este constanta structurii fine iar δj = |κ| −

√κ2 − Z 2α2.

I Datorita cuplajului spin-orbita intrinsec ecuat, iei Dirac, energiaelectronilor cu j > l (S paralel cu L) e mai mare decat a celor cuj < l (S antiparalel cu L) pentru l fixat.

III.5.5. Structura hiperfina.I Nivelele energetice εn,j (5) sunt degenerate, ıntrucat εn,j nu depinde

de m s, i de spin.I Degenerarea dupa spin se ridica cand se ia ın calcul interact, iunea

dintre spinul electronului s, i cel al nucleului via momentul magneticindus.

I Pentru atomul de hidrogen ın starea fundamentala, diferent, a dintrenivelele energetice corespunzatoare starii de singlet s, i triplet este:

∆ε hfn=1,j=1/2

(triplet-singlet) = 43 meα

4 memp

gp ' 5, 89× 10−6 eV, (6)

unde me s, i mp sunt masele electronului, respectiv a protonului, iargp reprezinta raportul giromagnetic al protonului.

I Frecvent, a corespunzatoare energiei (6) este ν ' 1, 42 GHz, iar liniapoarta numele de linia de 21 cm (λ ' 21 cm).

I Des, i tranzit, ia singlet-triplet este puternic interzisa (rata fiind de2, 9× 10−15 s−1), norii de hidrogen interstelar emit aceasta radiat, ie.

I Deoarece undele radio nu sunt absorbite de praful interstelar,observatorii de pe Terra pot localiza cu precizie norii hidrogenuluidin galaxie.

n = 1, 2S J = 1/2F = 1

F = 0

F = 0

F = 1

F = 1

F = 2

J = 1/2

J = 3/2

n = 2, 2P

Stru

ctur

afin

a

Structurahiperfina

III.5.6. Efectul Zeeman.

Fara B

Cu BI Nivelele energetice corespunzatoare unor valori

n, j s, i κ date mai sufera de odegenerare datorata numaruluim = −j ,−j + 1, . . . j .

I Aceasta degenerare este ridicata subact, iunea unui camp magnetic B.

I Momentul cinetic orbital al e induceun moment magnetic care poate fi aliniat paralel, antiparalel sauperpendicular cu B.

I Diferent, a de energie se poate scrie:

∆ε ' µBBmj = ~ωLmj , µB = |e|~2me, ωL = ωc/2, (7)

unde µB este magnetonul Bohr-Procopiu iar frecvent, a LarmorωL = |e|B/2m = 1

2ωc este jumatate din frecvent, a de ciclotron.I Deoarece ∆E cauzata de despicarea Zeeman are valori mici, efectul

este acela de largire a liniilor spectrale cand B este mic.I Campul magnetic al Soarelui este ın medie B� ∼ 10−5 T ınsa ın

petele solare acesta poate atinge valori de 0.03 T, care suntevident, iate folosind efectul Zeeman.

III.5.7. Ionul negativ al hidrogenului (hidrura).

I Hidrogenul poate forma ioni negativi prin captura de electroni:

H + e → H− + hν. (8)

I Deoarece sarcina protonului este ecranata de electronul primar,energia de legatura a celui de-al doilea electron este mica(∼ 0, 75 eV), acestuia fiindu-i disponibila o singura stare legata.

I Ionii de H− absorb radiat, ie electromagnetica avand lungimea deunda mai mica de 1, 65 µm, care induce o tranzit, ie a e din starelegata ın stare libera.

I Aces, ti ioni apar ın atomsfera stelelor reci (precum Soarele), undemetalele precum Na, Ca, Mg, etc. au potent, iale de ionizare mici,eliberand e care sunt ulterior captat, i de atomii de H.

I O parte semnificativa din lumina solara este datorata emisiilor derecombinare care duc la formarea hidrurii.

III.6. Ecuat, iile Boltzmann s, i Saha.III.6.1. Ecuat, ia Boltzmann pentru nivele excitate.

I Spectrul de absorbt, ie, determinat de nivelele atomice, depinde destadiul de ionizare a atomului.

I Cand procesele de coliziune domina repartit, ia energiei ıntr-un gaz,raportul populat, iilor de ioni ın starile energetice Ei s, i Ej este dat deecuat, ia Boltzmann:

ninj

= gigj

exp[−Ei − Ej

KBT

],

unde gi , ni s, i Ei reprezinta gradul de degenerare, populat, ia s, i energiaraportata fat, a de nivelul fundamental aferente starii i .

I Luand j = 1 s, i notand cu n =∑∞`=1 n` populat, ia totala ınsumata pe

toate nivelele energetice ale atomului, rezulta:

nin = gi

U e−Ei/KBT , U =∞∑`=1

g`e−E`/KBT , (9)

unde U reprezinta funct, ia de partit, ie a ionului corespunzator.

III.6.2. Regularizarea funct, iei de partit, ie.

I In cazul atomului de hidrogen, g` = 2`2, ın timp ceE` = E∞(1− 1/`2).

I Deoarece E` → E∞ cand `→∞, UH diverge.I Divergent, a este datorata luarii ın calcul a nivelelor energetice cu `

mare, carora le corespund r` = a0`2 (a0 este raza Bohr).

I Intr-un sistem real, distant, a medie 2d dintre atomi este finita ⇒doar nivelele cu r` < d reprezinta stari legate.

I Funct, ia de partit, ie UH se calculeaza pentru 1 ≤ ` ≤ `max, unde

`max =√

da0

= 1n1/6√2a0

, (10)

unde n = 1/(2d)3 este densitatea de ioni.I In cazul atomilor complet ionizat, i, U = 1 deoarece aces, tia pot exista

ıntr-o singura stare (starea fundamentala).

III.6.3. Coeficient, ii Einstein.I Intr-un gaz oarecare au loc procese de excitare radiativa (Bij),

dezexcitare spontana (Aji ) s, i dezexcitare radiativa (Bji ) sub influent, aunui flux de radiat, ie Iν .

I Impunand echilibrul secular se obt, ine urmatoarea ecuat, ie:

ni Bij Iν = njAji + njBji Iν , (11)

unde ni s, i nj sunt populat, iile nivelelor i s, i j iar Bij , Aji s, i Bjireprezinta coeficient, ii Einstein.

I Echilibrul secular impune urmatoarea relat, ie pentru Iν :

Iν = njAjini Bij − njBji

= AjiBji

[gi BijgjBji

ehν0/KBT − 1]−1

, (12)

unde s-a aplicat statistica Boltzmann.I Impunand ca Iν = Bν0 (radiat, ia corpului negru), rezulta:

AjiBji

= 2hν30

c2 ,gi BijgjBji

= 1. (13)

I Valorile coeficient, ilor Einstein se calculeaza folosind mecanicacuantica sau se determina experimental.

III.6.3. Ecuat, ia Saha.I Fie na numarul total de atomi aflat, i ın starea de ionizare a.I Numarul de atomi na+1 ın starea de ionizare a + 1 (avand cu un

electron mai put, in decat cei din starea a) este dat de ecuat, ia Saha:

na+1na

= 2ne

(2πmeKBT

h2

)3/2 Ua+1Ua

e−E∞,a/KBT , (14)

unde ne este densitatea electronilor liberi iar E∞,a reprezinta energiade ionizare a ionului ın starea a (exprimata fat, a de stareafundamentala a ionului a).

I na+1 cres, te relativ la na cand T cres, te, ınsa scade cu ne deoareceprobabilitatea de recombinare cres, te cu ne .

I Fract, ia de ionizare fa reprezinta raportul dintre densitatea ionilor ınstarea a fat, a de densitatea tuturor ionilor ai aceluias, i atom:

fa = nanI + nII + . . .

=

(na

na−1

)(na−1na−2

)· · ·(

nII

nI

)1 +

(nII

nI

)+(

nII

nI

)(nIII

nII

)+ · · ·

. (15)

I Energiile de ionizare sunt maxime pentru ionii avand configurat, iileelectronice ale gazelor nobile (nr. de electroni este 2, 10, 20, etc.).

I Sa consideram ca la o anumita adancime, plasma stelara estealcatuita din hidrogen, heliu s, i ionii lor, ımpreuna cu electroniiaferent, i acestora.

I Avem deci 6 necunoscute aferente celor 6 specii de particule: nHI,nHII, nHeI, nHeII, nHeIII s, i ne .

I Se pot scrie ecuat, ii Saha pentru nHII/nHI, nHeII/nHeI s, i nHeIII /nHeII.

I Aceste 3 ecuat, ii sunt suplimentate de ecuat, ia de stare a gazului ideal:

P = ntotKBT , ntot = nHI+nHII+nHeI+nHeII+nHeIII+ne , (16)

ımpreuna cu condit, ia de neutralitate ne = nHII + nHeII + 2nHeIII.I Pentru a ınchide sistemul de ecuat, ii, este necesara specificarea

fract, iilor de hidrogen (AH) s, i heliu (AHe), definite prin:

AH = nHI + nHII

nHI + nHII + nHeI + nHeII + nHeIII,

AHe = nHeI + nHeII + nHeIII

nHI + nHII + nHeI + nHeII + nHeIII, (17)

t, inand cont ca AH + AHe = 1.

III.7. Largirea liniilor spectrale.

I Largimea unei linii spectrale ∆ν este definit ca intervalul defrecvent, a centrat pe ν0 pentru care intensitatea liniei I(ν) ≥ I(ν0)/2.

I Lat, irea liniilor spectrale ale atomilor s, i moleculelor se datoreaza ınprincipal urmatoarelor 3 cauze:

I Largimea naturala (datorata principiului de incertitudine);I Largirea Doppler (datorata mis, carii termice s, i a rotat, iei stelei);I Largirea datorata presiunii (coliziunilor).

III.7.1. Largimea naturala.I Deoarece nivelele energetice superioare nivelului fundamental nu

sunt stabile, durata lor de viat, a ∆t este finita, ceea ce duce laincertitudinea ın energie:

∆E∆t ≥ ~2 , (18)

I Unei linii de frecvent, a ν0 ıi corespunde urmatorul profil Lorentz:

ϕν = Γ/4π2

(ν − ν0)2 + (Γ/4π)2 ,

∫ ∞0

dν ϕν ' 1, (19)

unde Γ este constanta de atenuare radiativa iar Γ/2π reprezintalat, imea ıntreaga a profilului la jumatatea intensitat, ii.

I Densitatea atomilor capabili sa absoarba radiat, ie cu frecvent, a ν esteniϕν iar sect, iunea diferent, iala eficace aferenta tranzit, iei este

α(ν) = πrecϕν fij , re = e2

4πε0mec2 , fij = hν0mec4π2e2 Bij , (20)

unde re ' 2, 82× 10−15 m este raza clasica a electronului iar fijreprezinta taria oscilatorului asociat tranzit, iei.

I De regula, timpul de viat, a al nivelelor excitate este de ordinul10−8 s, ducand la ∆ν ' 108 Hz, sau ∆λ ' 10−4 A (mult mai put, indecat ceea ce se observa ın spectrele stelare).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

φν (

Ghz

-1)

∆ν (GHz)

ν0 = 2.463 x 1015

HzΓ/2π

Profilul Lorentz ϕν : largimea naturala a liniei corespunzatoare tranzit, ieiLα a hidrogenului (ν0 = 2, 463× 1015 Hz), avand lat, imea ıntreagaΓ/2π ' 75 MHz.

III.7.2. Largirea Doppler.I Sa presupunem ca distribut, ia atomilor este de tip

Maxwell-Boltzmann:

f (V ) =(

m2πKBT

)3/2e−mV 2/2KBT . (21)

I Viteza medie este:

V =∫

d3V f V =√

8KBTπm , (22)

ın timp ce viteza cea mai probabila este data de:

d(fV 2)dV

⌋V =V0

= 0⇒ V0 =√

2KBTm . (23)

I Distribut, ia Maxwell-Boltzmann poate fi deci scrisa sub forma:

f (V ) = 1(V0√π)3 e−V 2/V 2

0 . (24)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(T = 10000 K)

f V

2 (

x 1

0-5

s/m

)

V (x 104 m/s)

12C

4He1H

Distribut, ia Maxwell-Boltzmann la T = 10000 K (normata la unitate) aatomilor de carbon s, i hidrogen.

III.7.3. Funct, ia Voigt.I Daca un atom poate absorbi un foton de frecvent, a ν cand e ın

repaus, cand este ın mis, care cu viteza Vx � c fat, a de sursa vaabsorbi fotoni de frecvent, a ν(1− Vx/c).

I Drept urmare, sect, iunea diferent, iala eficace de absorbt, ie a radiat, ieiva fi:

α(ν) = πrec fij

∫d3V e−V 2/V 2

0

(V0√π)3ϕν(1−Vx/c) = πrec fijϕν(V0), (25)

unde:

ϕν(V0) = ν0ν

aπ3/2∆νD

∫ ∞−∞

dyexp

[−y 2 (ν0

ν

)2]

(v − y)2 + a2 . (26)

I Integrarea ın ec. (26) se face dupa y = ∆ν/∆νD , iar

∆ν = νVxc , ∆νD = ν0V0

c , a = Γ4π∆νD

, v = ν − ν0∆νD

.

I Considerand deplasari Doppler mici (aference limitei V0 → 0),rezulta:

ϕν(V0) = ϕν(0){

1− 2π2(

1− 6Γϕν(0)

)[νϕν(0)V0

c

]2+ . . .

}.

(27)I Deoarece termenul ϕν(0)ν ∼ ν−1 pentru |ν − ν0| � Γ, corect, ia

Doppler afecteaza semnificativ doar zona centrala a spectrului(ν ' ν0), ın timp ce largirea naturala ramane dominanta ın zoneleperiferice.

I Facand aproximat, ia ν/ν0 ' 1, ϕν(V0) ' ϕν,Voigt se poate scriefolosind funct, ia Voigt H(a, v):

ϕν,Voigt = H(a, v)∆νD√π, H(a, v) = a

π

∫ ∞−∞

dy e−y2

(v − y)2 + a2 , (28)

I unde raportul U(a, v) = H(a, v)/√π poarta numele de funct, ie Voigt

normata.

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

-1000 -500 0 500 1000

φν (

Gh

z-1

)

∆ν (GHz)

LorentzT=10000 K

Γ/2π

Largirea Doppler a liniei corespunzatoare tranzit, iei Ly-α a hidrogenului(ν0 = 2, 44× 1015 Hz) datorata agitat, iei termice la T = 10000 K.Lat, imea ıntreaga este ın acest caz Γ/2π ' 175 GHz (comparat cuΓ/2π ' 0.095 GHz aferenta profilului Lorentz).

III.7.4. Largirea datorata rotat, iei.

I Daca axa de rotat, ie a unei stele nu este paralela cu direct, ia deobservare, rotat, ia acesteia induce o largire de tip Doppler a liniilorspectrale.

I Efectul variaza monoton, astfel ca spectrele atomilor aflat, i pe parteacare intra vor fi deplasate spre ultraviolet, ın timp ce celecorespunzatoare atomilor care ies vor fi deplasate ınspre infraros, u.

I Spectrele atomilor coliniari cu observatrul s, i axa de rotat, ie ramanenealterat.

I Variat, ia lungimii de unda este proport, ionala cu viteza pe direct, ia deobservat, ie Vr :

∆λλ0

= Vrc . (29)

I Rotat, iile suficient de rapide pot duce la fuziunea liniilor spectralecare altfel ar aparea distincte.

III.7.5. Largirea datorata coliziunilor (presiunii).

I In urma interact, iunii cu atomii ınvecinat, i, spectrele atomice suferamodificari datorita perturbat, iilor asupra potent, ialului Coulombiancare genereaza nivelele ıntr-un atom liber.

I Interact, iunea cu ioni sau electroni poate duce la despicarea nivelelorenergetice prin efect Stark (despicarea ın camp electric), ınsadeoarece diferent, a energetica este prea mica, rezultatul observat esteo largire a liniilor respective.

I Interact, iunea cu momentul dipolar al atomilor neutri duce la largireade tip Van der Waals.

I Atat largirea prin efect Stark, cat s, i cea de tip Van der Waals, duc laprofile de tip Lorentz s, i se pot lua ın considerare prin adaugarea uneiconstante de atenuare prin coliziune Γcol la constanta de atenuareradiativa Γ.

Largirea ın atmosfera a doua stele cu Tefectiv = 10000 K avand log g = 2(1 m/s2, stea supergiganta) s, i log g = 4 (100 m/s2, stea de pe secvent, aprincipala). Linia reprezentata corespunde tranzit, iei Balmer-γ(n = 2–n = 5). Liniile vizibile ın spectrul stelei cu g = 2(corespunzatoare metalelor) dispar la g = 4.

Probleme1. Sa se gaseasca temperatura la care densitatea de atomi de hidrogen

ın starea fundamentala (n = 1) este egala cu cea corespunzatoarecelei de-a doua stari excitate (n = 3). [R: 63.900 K]

2. Sa se gaseasca temperatura la care densitatea de atomi de hidrogenın prima stare excitata este egala cu o zecime din ceacorespunzatoare starii fundamentale. [R: 32.088 K]

3. Presupunem ca gn = 4n2 pentru un anumit ion. S, tiind ca laT = 40.000 K, n3 = n1/4, sa se gaseasca E3. [R: E3 ' 12, 36 eV]

4. Sa se gaseasca fract, ia de hidrogen neutru ıntr-o stea compusa dinhidrogen pur la o adancime unde T = 12.000 K s, ine = 2×1015 cm−3, presupunand ca UI = 2 (UII = 1). [fI ' 24, 5 %]

5. Sa se calculeze densitatea electronilor liberi ne ıntr-un gaz laT = 14.000 K compus din hidrogen pur unde 70% sunt ionizat, i,presupunand ca UI = 2. [ne = 2, 18× 1016cm−3]

6. Care este fract, ia de ionizare a HI la o adancime la care T = 9000 Ks, i P = 14 Pa ıntr-o stea compusa din hidrogen pur (presupunand caUHI = 2)? [R: f ' 61, 2%]

Probleme

7. Sa se calculeze densitatea totala ntot s, i densitatea masica ρ ıntr-ostea compusa din hidrogen pur la o adancime la care T = 9500 Kdaca 35% dintre atomi sunt ionizat, i (presupunand ca UHI = 2). Ceprocent din atomii de hidrogen sunt pe nivelul energetic n = 2?

8. La o anumita adancime ıntr-o stea, trei dintre ionii unui element aufract, iile de ionizare f1 = 0.1, f2 = 0.85 s, i f3 = 0.05. Cunoscandfunct, iile de partit, ie U1 = 1, U2 = 2 s, i U3 = 8 s, i energiile de ionizareE∞,1 = 30 eV s, i E∞,2 = 55 eV, sa se calculeze ne s, i T la aceastaadancime. Se presupune ca ionul 3 are cu un electron mai put, indecat ionul 2, care are cu un electron mai put, in decat ionul 1.

[R: T = 51, 200 K; ne = 1, 4× 1025 m−3]