Asc_curs_10feb2015 Pana La 380

7/17/2019 Asc_curs_10feb2015 Pana La 380

http://slidepdf.com/reader/full/asccurs10feb2015-pana-la-380 1/512

Arhitectura sistemelor de calculCurs

Dragulici Dumitru Daniel

Facultatea de matematica si informatica,Universitatea Bucuresti

2014

http://find/



Cuprins1 Performata calculatoarelor

Conceptul de performanta

Masurarea performantei2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2

Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila3 Logica pentru calculatoare

Algebre booleeneFunctii booleeneParticularizare la cazul B 2

4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware

3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

http://find/



Bibliografie:

• John L. Hennessy, David A. Patterson:

”Organizarea si proiectarea calculatoarelor - interfata hardware/software”,Ed. All, 2002

• Adrian Atanasiu:”Arhitectura calculatorului”,Ed. InfoData, 2006

• Materialele de laborator (pentru limbajul MIPS)

http://find/








4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

http://find/









http://find/




Performanta poate avea mai multe acceptiuni:

(1) la un PC, suntem interesat i de timpul de raspuns al unui program:este timpul fizic scurs ıntre momentul cand lansam cererea si momentul candprimim rezultatul; el trebuie sa fie cat mai mic;(2) la un centru de calcul, suntem interesati de productivitate (throughput):numarul de sarcini executate ın unitatea de timp; el trebuie sa fie cat mai mare.

Obs: (1) =⇒ (2) dar (2) =⇒ (1).De exemplu, centrul de calcul poate avea calculatoare lente dar multe; atuncipe fiecare calculator vom avea timpi de raspuns mari, dar numarul de sarciniexecutate ın unitatea de timp ın centrul de calcul va fi tot mare.

Ambele acceptiuni ale performantei necesita abordari complexe, asa ca pentrusimplitate trebuie sa ne limitam la una din ele.

In cele ce urmeaza, performanta se va referi la timpul de raspuns.El priveste rularea unui program cu niste date si depinde de mai multi factori:codul programului, datele cu care se ruleaza, promptitudinea cu care utilizatorulintroduce datele cand sunt cerute, sistemul de operare, ıncarcarea sistemului(activitatea concomitenta a altor utilizatori), arhitectura hardware, etc.

http://find/




Pentru a da o dimensiune numerica performantei (P ) si a descrie dependenta

ei descrescatoare ın raport cu timpul de raspuns (T ), adoptam formula:

P = 1

T (1)

Deja putem sa comparam performantele sau sa calculam un raport al

performantelor unui program cu niste date fixate, pe doua masini X si Y :

P X > P Y def

⇐⇒ T X < T Y , P X

P Y = n

def

⇐⇒ T Y

T X = n (2)

(am notat cu P X , P Y , T X , T Y , performantele respectiv timpii de

raspuns, pe masinile X si Y ).

http://find/




Timpul de raspuns (al unui program cu niste date) are urmatoarele

componente:(1) Timpul consumat cu executarea unor operat ii din program;(2) Timpul consumat cu executarea unor operat ii din sistemul de operare, darlegate de programul nostru (ex: apeluri sistem cerute de program);(3) Timpul consumat de program ın asteaptarea unor evenimente/resurse (ex:programul este adormit ın ”scanf()” asteptand ca utilizatorul sa introduca date

de la consola);(4) Timpul ın care programul este suspendat de sistemul de operare, pentru aexecuta operatii adminstrative si sarcini legate de alte programe (care ruleazaın paralel cu al nostru).

Notam (1) + (2) = Timpul CPU

Deci timpul CPU este timpul consumat de program cu executarea unor operat ii(calcule), fie ele din program sau din sistemul de operare dar legate deprogram. El este inclus ın timpul de raspuns, iar ceea ce ramane este timpulconsumat de program ın asteptare, fie ca asteapta un eveniment/resursa, fie caeste suspendat de sistemul de operare pentru a executa operatii adminstrativesi sarcini legate de alte programe.

http://find/



Conceptul de performantaPe anumite sisteme exista comenzi cu ajutorul carora se pot masura si afisadiferite componente ale timpului de raspuns pentru o anumita cerere. De

exemplu, ın Linux comanda:

time cmd

afisaza diferite componente ale timpului de raspuns obtinute la executarea

comenzii cmd . De exemplu, poate afisa:

real 2m39.000s (timpul de raspuns)

user 1m30.700s (timpul utilizator, (1))

sys 0m12.900s (timpul sistem, (2))

Astfel, putem calcula procentajul timpului CPU din timpul de raspuns:

90.7s + 12.9s

159s = 65%

Deci > 1/3 din timpul de raspuns a fost consumat ın asteptare, ceea ce nespune ceva despre mediul ın care a fost rulat programul - resurse greu

disponibile, grad mare de ıncarcare a sistemului, etc.

http://find/




Distingem ıntre:performanta sistemului = timpul de raspuns pe un sistem neıncarcat;

performanta CPU = timpul CPU.

In cele ce urmeaza restrangem si mai mult domeniul abordarii si vom consideraca performanta ınseamna performanta CPU (deci ın formula (1) este vorbade timpul CPU).

http://find/








4 Circuite logice

Circuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

http://find/

http://goback/



Masurarea performantei

Timpul (CPU) se poate masura ın:• secunde (s)• cicli de ceas (c)

Legatura dintre cele doua este data de peroada de ceas (durata ciclului) D (masurata ın secunde (s), nanosecunde (ns), etc.) sau frecventa F (masurata

ın herzi (Hz), megaherzi (MHz), etc.), dupa formula:

F = 1

D

Cand masuram ın cicli nu mai conteaza fizica circuitelor (durata ciclului) cidoar ımpartirea programului ın operatii masina (logica programului) si aoperatiilor masina ın ciclii (logica circuitelor) - avem astfel posibilitatea sacomparam d.p.v. logic o gama mai larga de masini.

http://find/



Masurarea performanteiO marime care ne da indicatii asupra performantei este numarul total de cicli

executati C .El depinde de program, de date si de ımpart irea instructiunilor ın cicli (ampresupus programul scris ın limbaj masina); nu depinde de durata ciclului.

Performanta este cu atat mai mare cu cat C este mai mic.

Daca presupunem programul scris ıntr-un limbaj de nivel ınalt, conteaza siımpartirea codului sursa ın instructiuni masina - deci intervine si performanta

compilatorului.

Atunci putem calcula timpul CPU T dupa formula:

T = C × D = C

F (3)

Aceasta formula arata ca putem reduce timpul T (deci mari performanta)

reducand numarul de cicli executatiC sau/si durata ciclului D .Este dificil ınsa de redus simultan ambii factori - de obicei reducera unuia

atrage cresterea celuilalt.

http://find/



Masurarea performanteiPentru exemplificare, sa consideram urmatorul model simplificat de circuit, careexecuta cate o operat ie la fiecare ciclu: ↓ · · · ↓

W

↓ · · · ↓H

← CK

El este construit prin conectarea altor circuite mai simple, ın serie, ın paralel,etc. (a se vedea capitolul de circuite logice), are o anumita latime w , data de

numarul de intrari si de conectari ın paralel, si o anumita ınaltime H , data de

numarul de niveluri de conectare ın serie; W este cu atat mai mare cu cat

datele de prelucrat au o dimensiune mai mare (mai multi biti), iar H este cuatat mai mare cu cat operatia este mai complexa.

La fiecare tact de ceas (CK ), datele de intrare sunt prelucrate prin circuit sitransformate ın niste date de iesire, care la urmatorul tact vor fi preluate cadate intrare de un circuit conectat ın continuare. Aceasta prelucrare necesita

un anumit timp, iar D trebuie sa fie ≥ acest timp - altfel, daca urmatorultact vine prea devreme (ınainte ca iesirile sa fie stabile), vor fi culese (si trimise

mai departe) niste date eronate.

http://find/

http://goback/




Cresterea D nu este influientata de W , deoarece intrarile sunt procesate ın

paralel, ci de H (lungimea traseelor ce trebuie parcurse); ın capitolul decircuite logice vom vedea, de exemplu, ca o adunare pe 32 biti se face la fel derepede ca o adunare pe 64 bit i (deoarece bitii operanzilor sunt procesati ınparalel), dar o adunare se face mai repede decat o ınmultire.

Sa consideram acum ca circuitul desenat mai sus executa o operat ie pe

parcursul mai multor cicli - deci sunt necesare mai multe treceri prin el pentru ase efectua toate prelucrarile necesare.Intrucat efectuarea unei anumite operatii necesita o anumita cantitate deprelucrari (care depinde de natura matematica a operatiei), proiectantulcircuitului va avea de ales ıntre doua variante:

- va ımparti prelucrarea ın etape putine, realizate cate una la ficare ciclu, dar

atunci la fiecare etapa trebuie facute calcule multe, deci H va fi mare si astfelD va fi mare; atunci, la executarea programului vom avea C mic si D mare;

- va ımparti prelucrarea ın etape multe si atunci la fiecare etapa trebuie facute

calcule putine, deci H si D vor fi mici; atunci, la executarea programului vom

avea C mare si D mic.

http://find/



Exercitiu rezolvat

Exercitiu rezolvat:Un program (cu niste date fixate) dureaza pe masina A, avand frecventa

400 MHz , 10 secunde. Dorim o masina B pe care rularea sa dureze 6

secunde. Proiectantul spune ca poate creste frecventa, dar programul vanecesita de 1.2 ori mai multi cicli. Care va fi frecventa masinii B ?

Explicatie: proiectantul doreste reducerea duratei ciclului prin micsorarea

ınaltimii circuitelor (H din desenul anterior); atunci instruct iunile vor necesitamai multe cicluri pentru a fi executate, factorul mediu de multiplicare fiind

1.2.

http://find/

http://goback/



Exercitiu rezolvat

Rezolvare:Din enunt ni se dau:

F A = 400 MHz (frecventa masinii A, ın MHz );

T A = 10 s (timpul pe masina A, ın secunde s );

T B = 6 s (timpul pe masina B , ın secunde s );

C B /

C A = 1.2

(raportul numerelor de cicluri pe masinile A, B );Se cere:F B =? (frecventa masinii B , ın MHz ).

Vom avea:

F B

(3)

=

C B

T B

ip

=

1.2×C A

T B

(3)

=

1.2×F A×T A

T B

ip

=

1.2×400MHz ×10 s

6 s = 800 MHz

Comentariu: desi s-a dublat frecventa, performanta (raportul timpilor) nus-a dublat; deci, performanta se obtine greu.

http://find/



Exercitiu rezolvat

Sfat:In redactarea rezolvarilor, la efectuarea calculelor, mentionati la fiecare pas siunitatile de masura; utilitatea este urmatoarea:

• unele unitati de masura pot cont ine multipli care trebuie luati ınconsiderare (de exemplu, 1 Mega = 106);

• avem posibilitatea sa ne verificam corectitudinea aplicarii formulelor (deexemplu, daca ne asteptam sa obtinem secunde si rezulta cicli, nu estebine).

Conventie:

In cele ce urmeaza, marimea fizica va fi notata cu litera mare iar unitatea demasura cu litera mica, pe cat posibil acceasi litera.

De exemplu, C = 10 c ınseamna ca numarul total de cicli executat i este10 (cicli).

http://find/




Alte doua marimi care ne dau indicatii asupra performantei sunt numarul totalde instructiuni executate I si numarul mediu ce cicli per instructiune

executati (engl: cycles per instruction) CPI , calculat dupa formula:

CPI = C

I (4)

I depinde de program si de date; nu depinde de ımpartirea instructiunilor ıncicli si nici de durata ciclului.

Performanta este cu atat mai mare cu cat I este mai mic.

CPI depinde de program, de date si de ımpartirea instructiunilor ın cicli; nudepinde de durata ciclului.

Performanta este cu atat mai mare cu cat CPI este mai mic.

http://find/



Masurarea performanteiCPI ne permite sa comparam doua implementari hardware diferite ale unuiacelasi set de instructiuni.

De exemplu, sa presupunem ca avem de implementat o lista ce contineinstructiunile + (adunare) si ∗ (ınmultire).

Presupunem ca avem doua implementari, ın care numarul de cicli necesarifiecarei instruct iuni este dat de tabelul:

Nr. cicli + Nr. cicli ∗Implementare 1 10 c 100 cImplementare 2 12 c 70 c

Se pune problema care implementare este mai buna. Raspunsul depinde deprocentajul cu care sunt executate fiecare dintre cele doua instructiuni.Daca pentru categoria de programe si de date avute ın vedere, la rulare se

executa ın medie > 93.75% + si restul ∗, este preferabila primaimplementare; daca se executa ın medie < 93.75% + si restul ∗, estepreferabila a doua implementare (exercitiu !).Numarul mediu de cicli per instructiune calculat tinand cont de ponderea

aparitiei fiecarui tip de instructiuni este tocmai CPI . Asasar, cu cat CPI este mai mic, performanta este mai mare (pentru categoria de programe si dedate vizata).

http://find/




Din formulele

(3)si

(4) obtinem ecuatia elementara a performantei:

T = I × CPI × D = I × CPI

F (5)

Ea leaga cei trei factori cheie ai performantei: numarul de instructiuniexecutate I , numarul mediu de cicli pe instructiune executati CPI si durata

ciclului D (sau frecventa F ).

Exista interdependente ıntre factori; de exemplu, scaderea CPI poate atrage

cresterea D (deoarece la fiecare ciclu se vor executa operatii mai multe si/sau

mai complexe).

Acesti factori trebuie considerati simultan atunci cand analizam un sistem,altfel putem trage concluzii eronate privind performanta - a se vedea urmatorulexercitiu rezolvat.

http://find/




Ne punem problema cum putem masura T folosind formulele (3) sau (5).

C este greu de masurat - el depinde de program, de date si de arhitectura(ımpartirea instructiunilor ın cicli).

I este mai usor de masurat - depinde doar de program si de date; uneleprocesoare au chiar contoare hardware care numara instructiunile executate -ele se folosesc la simulari.

CPI este ınsa greu de masurat - el depinde de program, de date si dearhitectura (ımpartirea instructiunilor ın cicli).

http://find/




Uneori poate fi suficienta o aproximare a lui C , obtinuta urmarind executia

programului pe clase de instructiuni. Mai exact:Consideram n clase de instructiuni.De exemplu: clasa instructiunilor de salt (din care face parte ’goto’), clasainstructiunilor aritmetice aditive (din care fac parte adunarea, scaderea), clasainstructiunilor aritmetice multiplicative (din care fac parte ınmultirea,ımpartirea).

Pentru fiecare clasa k ∈ 1, . . . , n notam cu CPI k media numerelor

de cicli necesitati de instructiunile din clasa k .De exemplu, CPI aditive este media dintre numarul de cicli necesitati de oadunare si numarul de cicli necesitati de o scadere.

Notam deci ca la calcularea lui CPI k se ia cate un singur exemplar din fiecareinstructiune a clasei k , fara ponderi/procentaje.

Pentru un program si niste date considerate, notam cu I k numarul de

instructiuni executate din clasa k , k ∈ 1, . . . , n.

http://find/

http://goback/




Atunci pentru programul, datele si arhitectura considerate, vom avea:

C n

k =1

(CPI k × I k ) (6)

Valorile n si CPI k , k ∈ 1, . . . , n, depind doar de arhitectura -pentru o masina data ele sunt fixate si pot fi comunicate prin documentatiamasinii.

Valorile I k , k ∈ 1, . . . , n, depind de program si de date, nu si dearhitectura.

Astfel, pe o masina data, daca vrem sa aflam (cu aproximatie) numarul de cicli

C consumati la rularea unui anumit program cu anumite date, este suficient sa

aflam valorile I k , k ∈ 1, . . . , n, iar acestea sunt mai usor de aflat,deoarece instructiunile se numara mai usor decat ciclii.

http://find/

http://goback/



Masurarea performanteiValoarea C calculata cu formula (6) este ınsa doar una aproximativa.

De exemplu, presupunem ca pe o masina data avem:

Clasa Instructiuni Nr. de cicli necesitati

aditive adunare 1scadere 3

multiplicative ınmultire 10

ımpartire 30

Rezulta CPI aditive = 2, CPI multiplicative = 20.

Consideram un program si niste date a.ı. la rulare se executa o adunare si oınmultire.

Valoarea exacta a lui C este: 1 + 10 = 11.Valoarea lui C calculata cu formula (6) este: 2 + 20 = 22.

Consideram acum un program si niste date a.ı. la rulare se executa o scadere sio ımpartire.

Valoarea exacta a lui C este: 3 + 30 = 33.

Valoarea lui C calculata cu formula (6) este tot: 2 + 20 = 22.

http://find/




Intr-adevar, cu formula (6) am considerat de fiecare data ca se executa oinstructiune aditiva si o instructiune multiplicativa, nesesizand ca la primulprogram se executa cele mai rapide instructiuni din cele doua clase, iar la aldoilea program cele mai lente.

Valoarea lui C calculata cu formula (6) se apropie de valoarea exacta cu atatmai mult cu cat din fiecare clasa instructiunile se executa cu ponderi maiapropiate (cam tot atatea adunari cate scaderi, cam tot atatea ınmultiri cateımpartiri).

http://find/



Exercitiu rezolvatExercitiu rezolvat:Pe o masina data, avem urmatoarele clase de instructiuni si CPI asociate:

clasa CPI clasaA 1B 2C 3

Consideram doua programe si niste date, pentru care s-au masurat:

Program Nr. de instructiuni executate din fiecare clasa

A B C programul 1 2 1 2programul 2 4 1 1

Se cer: a) Care program executa mai multe instructiuni ?b) Care program este mai rapid ?

c) Cat este CPI pentru fiecare program ?

http://find/



Exercitiu rezolvat

Rezolvare:a) Notam:

I p k = numarul de instructiuni executate de programul p ∈ 1, 2 din

clasa k ∈ A, B , C ;

I p = numarul total de instructiuni executate de programul p ∈ 1, 2.

Avem:

I 1 = I 1A + I 1B + I 1C = 2i + 1i + 2i = 5i

I 2 = I 2A + I 2B + I 2C = 4i + 1i + 1i = 6i

Comentariu: am obtinut I 1 < I 2, ceea ce pare sa arate ca programul 1 estemai performant.

http://find/



Exercitiu rezolvat

b) Notam:

C p

= numarul total de cicli executati de programul p ∈ 1, 2.Folosind formula (6), avem:

C 1 = CPI A × I 1A + CPI B × I 1B + CPI C × I 1C = 1c

i × 2i + 2 c

i × 1i + 3 c

i × 2i = 10c

C 2

= CPI A × I 2A + CPI B × I

2B + CPI C × I

2C

= 1c i × 4i + 2 c

i × 1i + 3 c

i × 1i = 9c

Comentariu:

Am obtinut C 1 > C 2, ceea ce pare sa arate ca programul 2 este maiperformant, ın contradict ie cu a).

Dintre marimile I si C , cea care masoara realist durata executiei este C ,deoarece foloseste aceeasi unitate de masura, ciclul (instructiunile nu dureazatoate la fel de mult). Deci raspunsul corect este cel dat de b).

Explicatia erorii de la a): programul 1 executa instructiuni mai putine, dar mai

lungi (executa doua din clasa C , care dureaza ın medie cate 3 cicli).

http://find/



Exercitiu rezolvatc) Notam:

CPI p = numarul mediu de cicli pe instructiune executati de programul

p ∈ 1, 2.

Folosind formula (4), avem:

CPI 1 = C 1

I 1 = 10c

5i = 2c

i (sau 2cpi ).

CPI 2 = C 2

I 2 = 9c

6i

= 1.5c

i

(sau 1.5cpi ).

Comentariu:

Am obtinut CPI 1 > CPI 2, ceea ce pare sa arate ca programul 2 estemai performant, ca la b) (si ın contradict ie cu a)).Intrucat am vazut ca b) ofera raspunsul corect, rezulta ca, cel putin ın acest

caz, marimea CPI descrie performanta mai bine decat marimea I .Raspunsul de la c) era de asteptat, deoarece programul 2 este mai rapid desiexecuta mai multe instructiuni si de aceea trebuie ca instructiunile executate deel sa fie mai rapide.

Oricum, acest exercitiu ilustreaza ce am spus mai devreme, ca factorii careinfluienteaza performanta trebuie considerati simultan atunci cand analizam un

sistem, altfel putem trage concluzii eronate privind performanta.

http://find/




O alta marime care ne da indicatii asupra performantei este frecventa deexecutare a instructiunilor:

FI = I

T (7)

Intrucat de obicei valorile lui FI (masurate ın instructiuni pe secunda) sunt

mari, se obisnuieste introducerea ınca unui factor

10

6la numitor,

obtinandu-se marimea:

MIPS = I

T × 106 (8)

masurata ın milioane de instructiuni pe secunda (millions instructions persecond).

FI si MIPS depind de program, de date, de ımpart irea instructiunilor ıncicli si de durata ciclului.

Performanta este cu atat mai mare cu cat FI si MIPS sunt mai mari.

http://find/




Ca si ın cazul altor marimi discutate mai devreme, FI si MIPS trebuie

considerate ımpreuna cu ceilalti factori atunci cand analizam un sistem, altfelputem trage concluzii eronate privind performanta - a se vedea urmatorulexercitiu rezolvat.

E i i l

http://find/



Exercitiu rezolvatExercitiu rezolvat:Pe o masina data, avand frecventa de 500 MHz , avem urmatoarele clase

de instructiuni si CPI asociate:

clasa CPI clasaA 1B 2C 3

Consideram doua programe si niste date, pentru care s-au masurat:

Program Nr. de instructiuni executate din fiecare clasa

A B C programul 1 5 1 1programul 2 10 1 1

Se cer: a) Care sunt timpii CPU pentru cele doua programe ?

b) Care sunt valorile MIPS pentru cele doua programe ?

E i i l

http://find/

http://goback/



Exercitiu rezolvat

Rezolvare:Situatia seamana cu cea din exercit iul precedent si atunci la fel ca acolo putemafla numarul total de cicli executati. Acum stim ın plus si frecventa, iar aceastane va permite ca din numarul de cicli sa aflam timpii CPU.

Notam:

I p k = numarul de instructiuni executate de programul p ∈ 1, 2 din

clasa k ∈ A, B , C ;

I p = numarul total de instructiuni executate de programul p ∈ 1, 2.

C p = numarul total de cicli executati de programul p ∈ 1, 2.

T p = timpul CPU consumat de programul p ∈ 1, 2.

MIPS p = valoarea MIPS pentru programul p ∈ 1, 2.

E i i l

http://find/



Exercitiu rezolvat

a) Folosind formula (6), avem:


i × 5i + 2 c

i × 1i + 3 c

i × 1i = 10c


i × 10i + 2 c

i × 1i + 3 c

i × 1i = 15c

Atunci, folosind formula (3), avem:T 1 = C 1

F = 10c

500MHz = 10c

500×106 Hz = 10c

500×106 c s

= 2× 10−8s T 2 = C 2

F = 15c

500MHz = 15c

500×106 c s

= 3× 10−8s

Comentariu: am obtinut T 1 < T 2, ceea ce pare sa arate ca programul 1este mai performant. Marimea T masoara realist performanta, deoarecefoloseste acelasi etalon pentru ambele programe (toate secundele sunt la fel delungi).

E iti l t

http://find/



Exercitiu rezolvat

b) Avem:

I 1

= I 1A + I

1B + I

1C = 5i + 1i + 1i = 7i

I 2 = I 2A + I 2B + I 2C = 10i + 1i + 1i = 12i Atunci, folosind formula (8), avem:

MIPS 1 = I 1

T 1×106 mips = 7i 2×10−8×106 mips = 350 mips

MIPS 2 = I 2

T 2×106 mips = 12i 3×10−8×106 mips = 400 mips

Comentariu: am obtinut MIPS 1 < MIPS 2, ceea ce pare sa arate ca

programul 2 este mai performant, ın contradictie cu a).

Am vazut ınsa ca raspunsul corect este cel dat de a). Explicat ia erorii de la b)

consta ın faptul ca programul 2 executa instructiuni rapide (deci executa multeinstructiuni pe secunda), dar foarte multe (si astfel necesita multe secunde, mai

multe decat programul 1).

Asadar, un MIPS mare nu ınseamna neaparat un timp mai scurt.Deci, parametrii performantei trebuie analizati ımpreuna, nu izolat.

C i

http://find/

http://goback/




Conceptul de performantaMasurarea performantei

2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila

3 Logica pentru calculatoareAlgebre booleeneFunctii booleeneParticularizare la cazul B 2

4 Circuite logice

Circuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)

n-DS, n > 4

http://find/



Numerele si operatiile cu ele sunt concepte matematice.

Pentru a comunica numerele si a efectua usor operatiie cu ele, transcriemnumerele prin niste reprezentari simbolice si operatiile cu numere prin algoritmide calcul cu aceste reprezentari.

Modul uzual de reprezentare a numerelor ın matematica este prin scrierepozitionala, ca sir de cifre ıntr-o anumita baza de enumeratie, de regula baza10. Algoritmii de calcul cu aceste reprezentari opereaza cifra cu cifra,

propagand un transport sau luand un ımprumut.

Modul de reprezentare a numerelor ın calculator si algoritmii de calcul cu acestereprezentari seamana cu cele folosite ın matematica, dar nu sunt identice. Deexemplu, ın matematica putem folosi usor oricate simboluri ajutatoare: virgula,semnul ’-’, etc. In calculator, pentru a stoca informatii se folosesc biti, iar un

bit stocheaza o informatie bivalenta; odata ce am fixat semnificat ia ei, deexemplu cifra 0 si respectiv cifra 1, nu mai avem la dispozitie o alta valoare debit care sa ınsemne virgula sau ’-’ - totul trebuie sa fie doar sir de cifre (binare).

In prima sectiune vom descrie pe scurt modul de reprezentare si algoritmii decalcul cu reprezentari folosite ın matematica, iar ın urmatoarele sectiuni le vom

detalia pe cele folosite ın calculator.

Cuprins

http://find/







4 Circuite logice


n-DS, n > 4

Reprezentarea numerelor ıntr o baza

http://find/

http://goback/



Reprezentarea numerelor ıntr-o baza

Modul de reprezentare a numerelor ıntr-o anumita baza si algoritmii de calculcu aceste reprezentari sunt cunoscute din scoala/liceu, nu le vom descrie cutoate detaliile ci doar vom reaminti cateva notiuni si algoritmi, evidentiind

anumite idei.La baza scrierii pozitionale ıntr-o baza se afla scrierea polinomiala ın puterilesuccesive ale bazei.De exemplu, reprezentarea 1100 ın baza 2 ınseamna numarul care se calculeaza1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20, adica 12.

Reprezentarea numerelor ıntr o baza

http://find/

http://goback/



Reprezentarea numerelor ıntr-o bazaCand definim modul de reprezentare si de calcul cu numerele ıntr-o baza b ,interfera doua limbaje:

- limbajul matematic combinat cu cel natural, ın care vorbim (este limbajulgazda a discursului);- limbajul reprezentarilor ın baza b , despre care vorbim (este limbajul obiect aldiscursului).Mai spunem ca primul este metalimbaj pentru al doilea.

Cand ne aflam ın metalimbaj si vrem sa comunicam numere sau operat ii cu ele,trebuie sa folosim tot reprezentari si algoritmi cu aceste reprezentari, deoarecenu putem comunica direct niste idei ci doar prin niste formalizari ale lor. Inacest scop, folosim reprezentarile si algoritmii din baza 10 (se presupuncunoscuti).

Deci, ın final, metalimbajul si limbajul sunt limbaje de acelasi tip: cel al

reprezentarilor pozitionale ıntr-o baza, doar ca metalimbajul este ın baza 10 iarlimbajul ın baza b .In metalimbaj vom scrie reprezentari si algoritmi cu reprezentari dar ne vomgandi la numere si operatii cu numere, ın limbaj vom scrie reprezentari sialgoritmi cu reprezentari si ne vom gandi chiar la ele (reprezentarea pozitionalaın baza b este un sir finit de simboluri, numite cifre ale bazei b ).


http://find/




Anumite sintagme pot aparea la fel si ın metalimbaj si ın limbaj, iar daca nu sededuce din context unde ne aflam, pot aparea confuzii. De exemplu, scrierea

1 1 0 0 poate fi considerata ın metalimbaj (baza 10) si ınseamna numarul ’omie o suta’, sau ın limbajul bazei 2 si ınsemna sirul ’ 1 1 0 0’, prin care sereprezinta numarul ’doisprezece’.

De aceea, cand este pericol de confuzie, vom folosi scrieri diferite. Mai exact:- o scriere de forma 12 este ın metalimbaj si ınseamna numarul ’doisprezece’;

- o scriere de forma (12)2 este tot ın metalimbaj si ınseamna ca numarului’doisprezece’ ii aplicam procedeul de conversie ın baza ’doi’ ((.)2 este de fapt ofunctie bijectiva de la numere/reprezentari zecimale la reprezentari binare);- o scriere de forma 11002 este ın limbaj si ınseamna reprezentarea (sirul decifre binare) ’1 1 0 0’, prin care se reprezinta numarul ’doisprezece’.Daca nu este pericol de confuzie, putem folosi notatii simplificate. De exemplu,

daca din context este clara baza, putem scrie doar 1100, iar daca este clar sinivelul (metalimbaj/limbaj), putem scrie doar 1100.

In restul acestei sectiuni vom descrie (reaminti) regulile de conversie anumerelor dintr-o baza ın alta si algoritmii de calcul cu numerele reprezentateıntr-o anumita baza.

baza 10 → baza b; numere ıntregi

http://find/




Trecerea din baza 10 ıntr-o baza b :

• Cazul numerelor ıntregi:

Fie x ∈ Z/ si b ∈ IN, b ≥ 2, baza.Consideram x si b scrise ın baza 10; facem calculele ın baza 10.

Regula:- ımpartim cu rest pe |x | la b , apoi catul la b , etc., pana obtinem catul 0;- luam resturile ın ordine inversa si le ınlocuim cu cifre ale bazei b ;- daca x < 0, punem ın fata ”−”.

Observatie: daca am continua procedeul dupa ce am obtinut catul 0, am obtine

noi caturi si resturi 0, care ar genera cifre 0 ın stanga reprezentarii, iar acesteanu schimba semantica reprezentarii (nu afecteaza valoarea reprezentata).


http://find/




Calculele se pot redacta astfel (C0, C1, ..., Cn sunt cifre ale bazei b ):

x | b

. |--------

. | cat0 | b

. . |--------

rest0 . | cat1 ------------

C0 . . Obtinem reprezentarea: Cn ... C1 C0rest1 .

C1 .

cat(n-1) | b

. |--------

. | 0

.

restn

Cn

<======= citim


http://find/




Exemplu: (4235)16 = ?

4235 | 16

32 |-----

--- | 264 | 16

103 16 |-----

96 -- | 16 | 16

-- 104 16 |-----==75 96 -- | 1 | 16

64 -- 0 0 |-----

-- ==8 0 - | 0

11 8 1

B 1

<=======

Deci: (4235)16 = 108B


http://find/

http://goback/




Daca b are (ın baza 10) doar o cifra, atunci catk si restk se pot calculamintal, iar calculele se pot redacta mai simplu:

x | rest0 C0 /\

cat0 | rest1 C1 ||cat1 | ||

. || ------------

. || Obtinem reprezentarea: Cn ... C1 C0

. ||

cat(n-1) | restn Cn || citim

0 |


http://find/



ba a 0 → ba a b; u e e t eg

Exemplu: (105)2 = ?

105 | 1 /\

52 | 0 ||

26 | 0 ||

13 | 1 ||

6 | 0 ||3 | 1 ||

1 | 1 ||

0 |

(pentru b < 10 cifrele bazei b sunt aceleasi ca ın baza 10 si nu este nevoie sa le

mai scriem o data ın dreapta).

Deci: (105)2 = 1101001

baza 10 → baza b; numere reale

http://find/



;

• Cazul numerelor reale (fractionare):

Fie x ∈ IR si b ∈ IN, b ≥ 2, baza.Consideram x si b scrise ın baza 10; facem calculele ın baza 10.

Regula:

- partea ıntreaga a lui |x | se reprezinta ca la numere ıntregi;- partea fractionara a lui |x | se ınmulteste cu b si se ia partea ıntreaga, apoi

partea fractionara ramasa se ınmulteste cu b si se ia partea ıntreaga, etc., panaobtinem o parte fractionara 0 sau care a mai fost ıntalnita (daca x ∈ IR \ Q|

procedeul continua la infinit, nu este algoritm);- luam partile ıntregi obtinute ın ordine directa si le ınlocuim cu cifre ale

bazei b ;- daca x < 0, punem ın fata ”−”.


http://find/

http://goback/



;

Observatii:- regula nu o contrazice pe cea pentru numere ıntregi ci o completeaza

(afirma ceva si pentru partea fractionara, care la numere ıntregi lipseste);cifrele produse de cele doua parti ale regulii (pentru partea ıntrega, respectivfractionara) nu se suprapun, deoarece se afla ın parti diferite ale virgulei;

- cu partea ıntreaga facem ımpartiri succesive la b si obtinem cifre de la

virgula spre stanga; cu partea fractionara facem ınmultiri succesive cu b siobtinem cifre de la virgula spre dreapta; per total, cifrele se obtin de la virgulaspre extremitat i;

- fiecare din partile fractionare obtinute reprezinta un numar real dinintervalul [0, 1); cand o ınmult im cu b , obtinem un numar real din intervalul[0, b ); luand apoi partea ıntreaga, obtinem un numar ıntreg din multimea0, . . . , b − 1, care corespunde unei cifre ın baza b - aceasta este urmatoareazecimala (ın baza b ); cu partea fractionara ramasa continuam procedeul;


http://find/



- pana cand se aplica procedeul:• daca la un moment dat ıntalnim o parte fractionara 0, ınmultind cu b

obtinem o noua parte ıntreaga (i.e. o noua zecimala) 0 si o noua partefractionara 0, etc., deci continuand vom obt ine noi zecimale 0 nesemnificative;

de aceea ne putem opri si conchidem ca am obtinut o fractie zecimala finita;• daca la un moment dat obtinem o parte fractionara care a mai fostıntalnita, continuand procedeul vom obtine aceeasi succesiune de zecimale cadupa prima ıntalnire; de aceea ne putem opri si conchidem ca am obtinut ofractie zecimala periodica (simpla sau mixta); perioada este succesiunea dezecimale generate dupa prima ıntalnire;


http://find/

http://goback/



• ıntrucat partile fractionare generate de procedeu reprezinta numere reale

din intervalul [0, 1) si exista o infinitate de asemenea numere distincte, esteposibil ca prin continuarea procedeului sa nu obtinem nici o data o partefractionara 0 sau care a mai fost ıntalnita; atunci procedeul nu se termina (nueste algoritm); acest lucru se ıntampla ınsa doar ın cazul numerelor irationale;

mai exact: daca x ∈ Q|, atunci ın orice baza b reprezentarea lui x va fi ofractie zecimala finita, periodica simpla sau periodica mixta; daca x

∈ IR

\Q|,

atunci ın orice baza b reprezentarea lui x va fi o fractie zecimala infinitaneperiodica;

deci, daca ıntr-o aplicatie se va cere ”reprezentati 7.8 ın baza 2”, vom stica procedeul se termina (si obtinem o fractie zecimala finita, periodica simplasau periodica mixta), deoarece ın baza sursa (adica 10) numarul s-a reprezentatprintr-o fractie zecimala finita, deci este rational; nu vom cere ”reprezentati

√ 2

ın baza 2”;atentie ınsa ca un acelasi numar rational poate avea ıntr-o baza o

reprezentare prin fractie zecimala finita, ın alta prin fractie zecimala periodicasimpla, ın alta prin fractie zecimala periodica mixta.


http://find/



Exemplu: (7.8)2 = ?

7 | 1 /\ 2 * 0.8 = 1.6 || citim

3 | 1 || - ||

1 | 1 || 2 * 0.6 = 1.2 ||

0 | - ||2 * 0.2 = 0.4 ||

- ||

2 * 0.4 = 0.8 \/

-

2 * 0.8 stop, am reintalnit 0.8

Deci: (7.8)2 = 111.(1100)


http://find/



Daca b are (ın baza 10) doar o cifra, atunci ınmultirea unei parti fractionare cub se poate face mintal, iar calculele se pot redacta mai simplu:

parte_fractionara_0 | zecimala_1 || citim

parte_fractionara_1 | zecimala_2 ||

. | ||

. | ||

. | \/

In cazul exemplului de mai sus vom avea:

0.8 | 1 ||

0.6 | 1 ||0.2 | 0 ||

0.4 | 0 \/

0.8 |


http://find/



Exemplu: (7.8)5 = ?

7 | 2 0.8 | 4

1 | 1 0 | stop, am intalnit partea fractionara 0

0 |

Deci: (7.8)5 = 12.4

Observam ca 7.8 se reprezinta ın baza 2 prin fractie zecimala periodica, iar ın

baza 5 (si ın baza 10) prin fractie zecimala finita.


http://find/

http://goback/



Daca numarul x este dat (ın baza sursa, 10) printr-o fractie zecimala periodica(simpla sau mixta), nu putem efectua direct calculele regulii de conversie,deoarece nu stim sa ınmultim fractii zecimale infinite.

Regula de conversie se bazeaza ınsa pe proprietat i matematice, care nu depindde modul de reprezentare a numerelor; de aceea, o putem aplica, dar vom alegealte reprezentari, convenabile - anume prin fractii ordinare.


http://find/



Exemplu: (4.(3))2 = ?

4 | 0 2 * 0.(3) = 2 * (3/9) = 2 * (1/3) = (2/3) = 0 + (2/3)

2 | 0 -

1 | 1 2 * (2/3) = 4/3 = 1 + (1/3)

0 | -

2 * (1/3) stop, am reintalnit 1/3

Deci: (4.(3))2 = 100.(01)

baza b → baza 10

http://find/



Trecerea dintr-o baza b ın baza 10 (b ∈ IN, b ≥ 2):

Regula:- ınlocuim cifrele cu numerele pe care le reprezinta (scrise ın baza 10) siscrierea pozitionala cu scriere polinomiala ın puterile succesive ale lui b (scristot ın baza 10);

- facem calculele ın baza 10.

Exemple:(1101)−1

2 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 13

(A2C )−116 = 10 × 162 + 2 × 161 + 12 × 160 = 2604

(12.4)−15 = 1 × 51 + 2 × 50 + 4 × 5−1 = 7 + 4

5 = 39

5 = 7.8

Observatii:- ın primul exemplu, ın stanga primului ’=’, 0 si 1 ınseamna cifre (ın baza 2),iar ın dreapta numere (ın baza 10); ın al doilea exemplu confuzia ıntre cifre sinumere este mai mica;- ın ultimul exemplu vedem ca pentru cifrele part ii fractionare exponentii scadın continuare, la valori negative.

baza b → baza 10

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Daca reprezentarea ın baza b de la care pornim este o fractie zecimala

periodica (simpla sau mixta), scrierea polinomiala rezultata este infinita.O asemenea suma se poate calcula folosind instrumentul matematic al seriilor.

Putem evita folosirea seriilor daca ınlocuim fractia zecimala sursa cu o fractieordinara (ın baza b ).Regula de trecere de la fractie zecimala la fractie ordinara ın baza b este la fel

ca ın baza 10, cu diferenta ca 9 se ınlocuieste cu b − 1.

Exemplu:

(10.1(011))−12 = (10 + 1011−1

1110 )−1

2 = (10)−12 +

(1011)−12 −(1)−1

2

(1110)−12

= 2 + 11−114

=

2 + 1014

= 3814

= 197

= 2.(714285)

Observatie: am folosit si faptul ca functiile de forma (.)b si (.)−1b au proprietat i

de morfism (comuta cu operatiile aritmetice).

baza b1 → baza b2

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Trecerea dintr-o baza b 1 ıntr-o baza b 2 (b 1, b 2 ∈ IN, b 1, b 2 ≥ 2):

Problema este de aceeasi natura ca ın cazul trecerilor baza 10 → baza b sibaza b → baza 10 de mai ınainte, deci am putea sa aplicam regulile de acolo.Dar, daca procedam ca la trecerea baza 10 → baza b , va trebui sa facem

calculele ın baza b 1, iar daca procedam ca la trecerea baza b → baza 10, vatrebui sa facem calculele ın baza b 2.

Daca vrem sa facem calculele doar ın baza 10, vom trece prin baza 10compunand cele doua reguli.

Regula:

baza b1 → baza 10 → baza b2

baza b1 → baza b2

http://find/



Trecerea baza b1

→ baza b2 se poate face mai simplu, fara a mai trece prin

baza 10, daca una din baze este putere a celeilalte:

• Trecerea b k → b (b , k ∈ IN b ≥ 2, k ≥ 1)

Regula:- ınlocuim fiecare cifra a bazei b k cu cate un grup de k cifre ale bazei b ;- eliminam 0-le extreme (din stanga partii ıntregi si din dreapta partii

fractionare);

• Trecerea b → b k (b , k ∈ IN b ≥ 2, k ≥ 1)

Regula:- grupam cate k cifre, de la virgula spre stanga si spre dreapta, completand

eventual cu 0-uri grupurile extreme (pentru a avea grupuri de k cifre); aceste0-uri se pun la stanga ın grupul aflat cel mai la stanga al partii ıntregi si ladreapta ın grupul aflat cel mai la dreapta al partii fractionare;

- ınlocuim fiecare grup de k cifre ale bazei b cu cate o cifra a bazei b k .

baza b1 → baza b2

http://find/



Observatii:

- pentru a aplica regulile de mai ınainte, este necesar sa stim cele 2k

corespondente posibile ıntre o cifra a bazei b k si un grup de k cifre ale bazei b ;acestea se pot determina aplicand trecerea prin baza 10 (baza bk → baza 10

→ baza b) si se pot retine ıntr-un tabel (cu 2k

linii);

- explicatia intuitiva a acestor reguli este urmatoarea: daca ın scriereapolinomiala ın puterile succesive ale lui b , cu coeficienti ∈ 0, b − 1, grupam catek termeni consecutivi si dam factor comun puterea lui b cea mai mica, obtinemo scriere polinomiala ın puterile succesive ale lui b k , cu coeficienti ∈ 0, b k − 1;

din unicitatea acestor scrieri rezulta ca ele dau reprezentarile ın bazele b

si b k

.

baza b1 → baza b2

http://find/



Exemplu: Sa se converteasca 1A.C 16 ın baza 2 si 11011.1012 ın baza 16.

Avem 16 = 24, iar grupurile posibile de 4 cifre binare si cifrele hexacorespunzatoare reprezinta numerele ∈ 0, 15 si sunt cuprinse ın tabelul:

Zec Bin Hex Zec Bin Hex Zec Bin Hex Zec Bin Hex0 0000 0 4 0100 4 8 1000 8 12 1100 C1 0001 1 5 0101 5 9 1001 9 13 1101 D2 0010 2 6 0110 6 10 1010 A 14 1110 E3 0011 3 7 0111 7 11 1011 B 15 1111 F

Atunci avem:

1A.C 16 ⇒ 1

A

. C

⇒ 0001

1010

. 1100

⇒ 00011010.1100−−−− −− ⇒ 11010.112

11011.1012 ⇒ 1 1011 . 101 ⇒ 0001 1011 . 1010 ⇒ 1 B . A ⇒ 1B .A16

baza b1 → baza b2

http://find/



Observatie: metodele de mai sus nu se pot aplica pentru a trece direct din baza8 ın baza 16 sau invers, deoarece 16 este multiplu al lui 8, dar nu putere a lui8. Putem ınsa proceda ın doi pasi, trecand prin baza 2, de exemplu:

baza 8 → baza 2 → baza 16

Operatii aritmetice ıntr-o baza b

http://find/



Operatiile aritmetice cu numerele scrise ıntr-o baza b ≥ 2 oarecare se fac dupareguli asemanatoare ca ın baza 10, dar transportul si ımprumutul trebuie sa sefaca la b , nu la 10.

Pentru calculele de o cifra ın baza b putem trece numerele ın baza 10, facemcalculele acolo, apoi trecem rezultatele ın baza b ; ıntrucat toate calculele de ocifra ın baza b posibile sunt ın numar de b 2, este suficient sa le facem pe toateo singura data si sa retinem rezultatele ıntr-o tabla a operatiei respective ınbaza b .

Operatii aritmetice ıntr-o baza b Exemplu: In baza 2 sa se adune: 1011 + 110

http://find/



Exemplu: In baza 2, sa se adune: 1011 + 110

Tabla adunarii ın baza 2 este:

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

De exemplu: 1 + 1 = 1 + 1 = 2 = 10.

Atunci, avem:

1 0 1 1 +

1 1 0

---------

1 0 0 0 1

Pe pozitia unitatilor am avut 1 + 0 = 1, fara transport; pe urmatoarea pozitieam avut 1 + 1 = 10 (adica numarul 2), s-a pastrat 0 si s-a propagat 1; peurmatoarea pozit ie am avut 0 + 1 + 1 (ultimul 1 provenit din transport) = 10,s-a pastrat 0 si s-a propagat 1; etc.


http://find/



Exemplu: In baza 16, sa se scada: BA - 9B

Avem:

B A -

9 B

-----1 F

Pe pozitia unitatilor avem A − B = 10 − 11 < 0; de aceea, ımprumutam 1 depe pozitia urmatoare si atunci calculul este 1 × 16 + 10 − 11 = 15 = F . Pepozitia urmatoare avem B

−1

−9 (acel 1 a fost cedat la ımprumut)

= 11 − 1 − 9 = 1 = 1.


Exemplu: I b 2 s˘ s ˆ lt s ˘ 110 11 1 001

http://find/



Exemplu: In baza 2, sa se ınmulteasca: 110.11 x 1.001

Avem:1 1 0 . 1 1 x

1.0 0 1-----------

1 1 0 1 1

1 1 0 1 1

-----------------

1 1 1 . 1 0 0 1 1

Inmultirea ıntr-o baza oarecare se face tot dupa reguli asemanatoare ca ın baza10, dar pentru baza 2 aceste reguli se pot simplifica, deoarece singurele cifresunt 0 si 1, care desemneaza respectiv numerele 0 si 1, care sunt factoranulator, respectiv element neutru, la ınmultire; ınmult irea cu un 0 presupunescrierea unui rand de 0-uri, care nu conteaza la adunare si se pot omite, iar

ınmultirea cu un 1 revine la a scrie o copie a deınmultitului; asadar, pentru aface ınmultirea, este suficient sa parcurgem ınmult itorul de la dreapta sprestanga si pentru fiecare 1 ıntalnit sa mai scriem o copie a deınmult itului, cucifra unitatilor aliniata la acel 1, iar ın final sa adunam randurile scrise - ceea ceam facut mai sus; ın final, numarul de zecimale ale produsului este sumanumerelor de zecimale ale factorilor, la fel ca ın cazul bazei 10.


http://find/



Exemplu: In baza 2, sa se ımparta: 10000.01 : 11

Avem:

1 0 0 0 0 . 0 1 | 1 1

1 1 |-----

----- | 1 0 1.0 1(1 0)

= = 1 0 0

1 1-----

= = 1 0 1

1 1

-----

= 1 0 0

1 1

-----

= = 1 0


http://find/



Cand facem o ımpartire, trebuie sa urmarim daca catul rezulta ca o fractiezecimala finita sau se formeaza o perioada. Pentru aceasta, dupa ce ladeımpartit am trecut de virgula si am coborat ultima cifra nenula, retinemresturile succesive obtinute ıntr-o lista; daca la un moment dat un rest este 0,ne oprim, a rezultat o fractie zecimala finita; daca la un moment dat un rest serepeta, ne oprim, a rezultat o fractie zecimala periodica, iar perioada ıncepe cucifra generata la prima aparitie a restului care s-a repetat.

In exemplul nostru, dupa ce la deımpartit am trecut de virgula si am coboratultima cifra nenula, am obtinut succesiv urmatoarele resturi: 10, 1, 10(repetitie).


C l d f ˘

http://find/






4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n

-DS, n

> 4

Reprezentarea ın calculator

Fi M ⊆ IN Z/ IR l i d d i ˘ l ˘ ˆ

http://find/



Fie M ⊆ IN, Z/, IR o multime de numere pe care dorim sa le reprezentam ıncalculator.

Consideram o locat ie de n biti: b n−1 . . . b 0 (de obicei n este multiplu de 8).

Notam C n = c n−1 . . . c 0|c i ∈ 0, 1, multimea configuratiilor de 0, 1 pe n

pozitii.

O reprezentare este o functie [.]n : M −→ C n bijectiva.

Observatii:- M , n si [.]n trebuie alese a.ı. [.]n sa fie bijectiva, deoarece noi reprezentamnumerele ın calculator, operam asupra lor cu calculatorul, dar la sfarsit dorim saputem interpreta rezultatul (sa aflam ce numar are reprezentarea respectiva),ori aceasta ınseamna sa aplicam [.]−1

n ;- [.]n nu poate fi (.)2 (reprezentarea binara folosita ın matematica), deoarece

avem valori de biti pentru a desemna doar 0 si 1, nu si −, ., etc.; deci, trebuiefacuta o alta codificare;- ın plus, regula de reprezentare prin care este definita [.]n trebuie aleasa a.ı. sapermita o implementare usoara si eficienta a unor operat ii hardware pe C n princare sa traducem operatiile aritmetice pe M .


http://find/



Consideram urmatoarele operatii hardware la nivel de bit:

a b a|b (or) a&b (and) a ˆ b (xor)

0 0 0 0 00 1 1 0 11 0 1 0 11 1 1 1 0

a ˜a (not)

0 11 0

Reprezentarea ın calculatorPe C n putem considera mai multe operatii hardware (lor le corespund

http://find/



instructiuni ın limbajul masina sau de asamblare), de exemplu:

- Operatii logice binare pe biti: | (or), & (and), (xor), etc.; ele se efectueazaaplicand bit cu bit operatiile logice respective, conform tabelului anterior.

Exemplu (n = 8): 11000101 &0100011001000100

- Operatii aritmetice binare: + (adunare), − (scadere), etc.; ele se efectueazaaplicand algoritmii de calcul cu reprezentarile binare ale numerelor naturalefolositi ın matematica (ilustrati ın sectiunea precedenta); un transport dinpozitia b n−1 se pierde, iar un ımprumut cerut la aceasta pozitie se primesteautomat (din ”afara”).

Exemplu (n = 8): 11000101

+

0100011000001011

00001011

−0100011011000101

(ın primul caz am avut un transport din pozitia 7, care s-a pierdut, iar ın aldoilea caz s-a cerut un ımprumut la pozit ia 6, cererea s-a transmis la pozit ia 7,unde ımprumutul s-a primit automat din ”afara”, iar cand acesta s-a transmisla pozitia 6, unde a fost generata cererea, a lasat ın urma un 1 pe pozitia 7).


http://goforward/

http://find/

http://goback/



- operatii logice unare: (complement fata de 1), − (complement fata de 2); c n−1 . . . c 0 se efectueaza negand fiecare bit c i , conform tabelului anterior;− c n−1 . . . c 0 se efectueaza negand fiecare bit c i si apoi adunand 1 aritmetic (cueventuala propagare a transportului);

Exemplu (n = 8):

˜ 01001100

10110011

− 01001100

10110100

Observatie: − c n−1 . . . c 0 se poate obtine mai simplu astfel:- daca c n−1 = . . . = c 0 = 0, nu se schimba nimic;- altfel, daca k = mini ∈ 0, . . . n − 1|c i = 1, atunci bitii c n−1, . . . , c k +1 seneaga iar bitii c k , . . . , c 0 se lasa neschimbati.


http://find/



Se constata ca operat iile hardware pe C n considerate nu sunt independentelogic (se pot exprima unele prin altele):

Teorema: Pentru orice α, β ∈ C n avem:− α = ( α ) + 1α − β = α + ( − β ) = α + (( β ) + 1)

(am notat prin 1 configuratia 0 . . . 01

∈ C n).

Exemplu: ıntr-un exemplu anterior am calculat ca 00001011 − 01000110 =11000101; sa verificam ca obtinem acelasi rezultat si cu formula pentru − dinteorema:

Daca α = 00001011 si β = 01000110, atunci:

˜ β = 10111001

( β ) + 1 = 10111001 + 00000001 = 10111010α + (( β ) + 1) = 00001011 + 10111010 = 11000101


http://find/



De aceea, + si −, desi exista ca instructiuni diferite ın limbajul masina sau deasamblare, intern sunt realizate cu un acelasi circuit, numit sumator.

La fel, exista instructiuni masina pentru aplicarea algoritmilor de ınmultire siımpartire, care intern sunt realizate prin combinatii de aceleasi cateva circuitesimple (de exemplu, ınmultirea = adunare repetata, ımpartirea = scadere

repetata).

Operatiile din limbajele de nivel ınalt sunt traduse de compilator princombinatii de operatii implementate hardware. Cu cat limbajul este de nivelmai jos (i.e. mai apropiat de hardware), cu atat combinatia este mai simpla.

De exemplu, ın limbajul C exista operatorii |, &, ^, ..., iar ei pot fi tradusi prin

cate o singura operatie | , & , , ... (de aceea am notat asa).


http://find/



In continuare, vom studia algoritmii de reprezentare [.]n pentru diverse tipuri denumere.

Pentru un numar oarecare x , vom nota (x )n2 reprezentarea lui x ın baza 2folosita ın matematica (a se vedea sectiunea anterioara), completata cu cifresemnificative 0 pana la n pozitii.



http://find/



p p ¸Masurarea performantei



4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale

0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

Reprezentarea ca ıntreg fara semn

In limbajul C reprezentarea ca ıntreg fara semn se foloseste ın cazul tipurilor

http://find/



In limbajul C, reprezentarea ca ıntreg fara semn se foloseste ın cazul tipurilorıntregi ınsotite de ’unsigned’:

unsigned char, unsigned short, unsigned int,unsigned long, unsigned long long

Reprezentarea ca ıntreg fara semn pe n pozitii se defineste astfel:

M := 0, . . . , 2n − 1 ⊆ IN

[.]n := [.]

u

n : 0, . . . , 2

n

− 1 −→ C n, [x ]

u

n = (x )

n

2.

Exemplu: In limbajul C (versiunea compilatorului TC++ 1.00) avem:unsigned short x, y, z;

/* n = 16, M = 0, . . . , 65535 */

scanf"%hu%hu", &x, &y;

/* aplica [.]u

16 */z = x + y ;

/* compilatorul traduce + prin + */

printf"%hu", z;

/* aplica [.]u 16−1

*/


http://find/



Din modul cum se fac operatiile implementate hardware discutat mai devreme,rezulta ca operatiile cu numerele naturale reprezentate astfel se fac mod 2n,mai exact:

Teorema:Daca op = +,

−, . . . atunci: [[x ]u

n

op [y ]u

n]u n−1 = (x op y ) mod 2n

(”mod 2n” se calculeaza a.ı. sa produca un rezultat ∈ 0, . . . , 2n − 1).In particular, daca x op y ∈ M , atunci: [[x ]u

n op [y ]u n]u

n−1 = x op y .

Asadar, daca reprezentam x si y si aplicam op din calculator, obtinemreprezentarea lui x op y din matematica modulo 2n; daca nu avem depasire,este chiar x op y din matematica.


http://goforward/

http://find/

http://goback/



In particular, vom avea:

Daca x , y , x − y ∈ M , atunci: [[x ]u n − [y ]u

n]u n−1 = x − y ,

adica: [[x ]u n+ (− [y ]u

n)]u n−1 = x − y

sau: [[x ]n

+ (([y ]n)

+1)]−1

n = x

− y

De asemenea, vom avea:

Daca x ∈ M , atunci: [− [x ]u n]u

n−1 = − x + 2n,

adica: [([x ]u n)+ 1]u

n−1 = − x + 2n.

Reprezentarea ca ıntreg fara semnExemplu: In limbajul C consideram declaratiile:

http://find/



unsigned char x,y,z; /* n = 8, M = 0, ..., 255 */

1) Secventa de cod: x = 200; y = 200; z = x + y; printf("%d",z);afisaza: 144

400

-------------------- <------

| 0 | 255 |

----[----------][----------]--- 0 [----------] 255

0 255| | |

-------- ------>

144

Intuitiv, ne imaginam ca intervalul [0,...,255] se multiplica de-a lungul axeireale, determinam punctul aflat la distanta 400 de origine, apoi masuramdeplasamentul acestui punct fata de ınceputul intervalului ın care se afla,obtinand rezultatul 144 (desenul din stanga).Sau, ne imaginam ca valoarea 400 se ”ınfasoara” parcurgand circular intervalul[0,...,255] si ce ramane ın interval este rezultatul 144 (desenul din dreapta).


http://find/



2) Secventa de cod: x = 255; ++x; face ca x sa devina 0

Secventa de cod: x = 0; --x; face ca x sa devina 255

3) Secventa de cod: for(x = 0; x < 256; ++x); este un ciclu infinit.

Intr-adevar, x primeste succesiv valorile 0, 1, 2, ..., 255, 0, 1, ..., deci vomavea mereu x < 256.

De notat ca la efectuarea testului x < 256 operanzii sunt convertit i la tipulint, iar comparatia se face ın cadrul tipului int.



http://find/








Reprezentarea ın complement fata de 2

http://find/



In limbajul C, reprezentarea ın complement fata de 2 se foloseste ın cazultipurilor ıntregi ne-ınsotite de ’unsigned’:

char, signed char, short, signed short, int, signed int,long, signed long, long long, signed long long

Reprezentarea ın complement fata de 2 pe n pozitii se defineste astfel:M := −2n−1, . . . , 2n−1 − 1 ⊆ Z/

[.]n := [.]s n : −2n−1, . . . , 2n−1 − 1 −→ C n, [x ]s

n =

(x )n

2, x ≥ 0(2n + x )n

2, x < 0(aceasta functie s.n.codul complementar fata de 2).

Observatie: compact, putem scrie: ∀x ∈ M , [x ]s n = ((2

n

+ x ) mod 2n

)n

2.


Exemplu: In limbajul C, pentru tipul char avem: n = 8,

http://find/



e p u baju C, pe t u t pu a e 8,M =

−128, . . . , 127

.

Ilustram modul de reprezentare a catorva valori:

-128 -1 0 127--[-------][-------]--

\ \ |\ |\ |

\ | \ |\ | \ |

\ | \ |\ | \ |\ | \ |

\| \|\ \|\ |\| \ | \| \ | \| \ | \| \ | \| \ | \| \| \| \ \| |\ \

--[-------][-------]--0 127 128 255

127: 01111111 = (127)n2

126: 01111110 = (126)n2

...1: 00000001 = (1)n

2

0: 00000000 = (0)n

2-1: 11111111 = (255)n

2 = (256 − 1)n2

-2: 11111110 = (254)n2 = (256 − 2)n

2

...-127: 10000001 = (129)n

2 = (256 − 127)n2

-128: 10000000 = (128)n2 = (256

−128)n

2

Deci, intervalul 0, . . . , 127 este lasat pe loc, intervalul−128, . . . , −1 este mapat ın intervalul 128, . . . , 255,apoi numerele naturale rezultate sunt reprezentate ca ıntregifara semn.

Reprezentarea ın complement fata de 2Operatiile aritmetice se fac tot mod 2n, dar translatat (deplasamentul semasoara fata de ınceputul intervalului −2n−1, . . . , 2n−1 − 1).

http://find/



¸ p , , )

Exemplu: In limbajul C, avem:

char x, y, z; /* n = 8, M = -128, ..., 127 */

x = -100; y = -100; z = x + y;

printf("%d", (int)z); /* afisaza: 56 */

distanta 184 distanta 184

------------------- -------------------| v | v

--[------------|----|-------][------------|----|-------]---384 -200^ -129 -128 0 56 127

| suma matematica 200 |-----------------------

Ne putem imagina ca intervalul

−128, . . . , 127

este parcurs circular:

<------------|

[------------|------------]-128| 0 |127

------------->

In particular: 128 1 produce 127, 127 + 1 produce 128.


http://goforward/

http://find/

http://goback/



Teorema:

(1) Daca [x ]s n = c n−1 . . . c 0, atunci: x ≥ 0 ⇔ c n−1 = 0

(c n−1 s.n. bitul de semn)

(2) Daca x ,

−x

∈ M , atunci [

−x ]s

n =

−[x ]s

n = ([x ]s n)

+1

(3) Daca x , y , x − y ∈ M , atunci [x − y ]s n = [x ]s

n+(−[y ]s n) = [x ]s

n+(([y ]s n)+1)

(4) Daca x ∈ −2p −1, 2p −1 − 1, [x ]s p = c p −1 . . . c 0 si p < q , atunci:

[x ]s q = c p −1 . . . c p −1 c p −1 . . . c 0 (se extinde bitul de semn).

q − p ori


Exemplu: Fie x = 32, y = 41. Calculati z = x − y folosind reprezentarea ıncomplement fata de 2 pe 8 biti.

http://find/



complement fata de 2 pe 8 bit i.

Avem n = 8, deci M = −128, . . . , 127.Deoarece x , y ≥ 0, avem [x ]s

8 = (x )82, [y ]s

8 = (y )82.

Pentru (x )82 observam ca 32 = 25, iar pentru (y )8

2 aplicam regula de conversiebaza 10 → baza 2 din prima sectiune: 4 1 | 1

2 0 | 0

1 0 | 0

5 | 1

2 | 0

1 | 1

0 |

Atunci:

[y ]s

8 = 00101001[y ]s

8 = 110101101+([y ]s

8) = 11010111[x ]s

8 = 00100000x +(1+([y ]s

8)) = 11110111

Avem 11110111 = (247)82 (aplicand regulile de conversie baza 2

→ baza 10 din

prima sectiune) = [z ]s 8; deoarece bitul 7 (de semn) din [z ]s 8 este 1, ınseamna caz < 0, deci [z ]s

8 s-a obtinut cu al doilea caz al definitiei; asadar[z ]s

8 = (256 + z )82 = (247)8

2, de unde (aplicand inversa functiei (.)82) rezulta ca

256 + z = 247, adica z = −9.

Putem verifica, efectuand scaderea ın baza 10, ca 32 − 41 = −9.


http://find/



Observatie: Daca efectuam −[x ]s n, adica ([x ]s

n)+1, pentru x = −2n−1, vomobtine tot [x ]s

n, ceea ce, cu punctul (2) din teorema anterioara, pare sa ınsemneca −(−2n−1) = −2n−1 (deoarece au aceeasi reprezentare).

De exemplu, pentru n = 8 vom obtine ca −(−128) = −128.ˆIntr-adevar, avem succesiv:[−128]s

8 = 10000000→ 01111111

+1→ 10000000 = [−128]s 8.

Totusi, nu exista nici o contradictie aritmetica sau cu bijectivitatea lui [.]s n,

deoarece formula de la punctul (2) din teorema anterioara se aplica doar dacax , −x ∈ M , iar ın acest caz −x ∈ M .


Exemplu: In limbajul C (TC++ 1.00) consideram secventa de cod:

http://find/



p j ( ++ ) ¸

char x; /* p = 8 */short y; /* q = 16 */

x = -127;/* se reprezinta -127 ca intreg cu semn pe 8 biti */

y = x; /* se extinde reprezentarea din x de la 8 biti la 16 biti,

prin propagarea bitului de semn */

Verificati ca valoarea reprezentata ın y este tot −127 (punctul (4) din teoremaanterioara).

Avem: [−127]s 8 = (256 − 127)8

2 (deoarece −127 < 0) = (129)82 = 10000001.

Prin propagarea bitului de semn la 16 bit i, obtinem: 1111111110000001 =((216

−1)

−(27

−1) + 1)16

2 = (65535

−127 + 1)16

2 = (65409)162

Aceasta este reprezentarea ca ıntreg cu semn a unui numar z < 0, deoarecebitul 15 (de semn) este 1.Atunci [z ]s

16 = (65536 + z )162 = (65409)16

2 , deci 65536 + z = 65409, deciz = −127.



http://find/








Notatia stiintifica

http://find/

http://goback/



Notatia stiintifica si aritmetica sistemelor de calcul ın virgula mobila folosescun mod de reprezentare a unei aproximatii a unui numar real care sa suporte undomeniu larg de valori. Numerele sunt, ın general, reprezentate aproximativprintr-o valoare cu un numar fixat de cifre semnificative care este scalata cuajutorul unui exponent:

± a × b e

a este mantisa (engl: mantissa, significand, coefficient), b este baza deenumeratie ın care sunt scrise numerele si baza scalarii (de obicei 2, 10 sau 16),e este exponentul; semnul ’+’ se poate omite.

Notatia stiintificaScalarea cu ajutorul exponentului permite acoperirea unui domeniu larg devalori, atat foarte mici cat si foarte mari, cu aceeasi precizie relativa. De

l 9 if ifi ti t d i ˆ f ti d tii f l iti

http://find/

http://goback/



exemplu cu 9 cifre semnificative putem descrie, ın functie de exponentii folositi,

atat distante ın astronomie cu precizie de 1 an lumina, cat si distante ın fizicaatomica cu precizie de 1 femtometru (10−15 metri) - ambele precizii fiindacceptabile ın domeniul respectiv.

Faptul ca se retine un numar fix de cifre pentru mantisa si exponent face camultimea numerelor reale reprezentabile sa fie de fapt o multime finita denumere rationale, dintr-un interval fixat.Mai mult, folosirea scalarii face ca aceste numere sa nu fie uniform spatiate ınintervalul respectiv: valorile mici, apropiate de 0, sunt reprezentate cu pasi mici(ex. 1 femtometru), ın timp ce valorile mari, apropiate de extremeleintervalului, sunt reprezentate cu pasi mari (ex. 1 an lumina).

Denumirea de virgula mobila se refera la faptul ca virgula (engl: radix point),

numita ın functie de baza si virgula zecimala (engl: decimal point), virgulabinara (engl: binary point), etc., poate fi mutata oriunde ın raport cu cifrelesemnificative, modificand corespunzator exponentul:

0.123× 102 = 1.230× 101 = 12.30× 100 = 123.0× 10−1

Notatia stiintifica

http://find/



In informatica, termenul de virgula mobila (engl: floating point) denumestearitmetica sistemelor de calcul ce foloseste reprezentari ale numerelor pentrucare virgula binara nu este fixata.

O reprezentare ın virgula mobila este notatie stiintifica daca are o singura cifraın stanga virgulei si este notatie stiintifica normalizata daca ın plus acea cifraeste nenula (i.e nu are 0-uri la ınceput).

De exemplu 1.230× 101este ın notatie stiintifica normalizata, dar

0.123× 102, 12.30× 100

, 123.0× 10−1nu sunt.

Constatam ca notatia stiintifica normalizata pentru un numar real nenul esteunica.

Formatul intern ın virgula mobila

Repre entarea n calc lator a n merelor reale n irg la mobila este

http://find/



Reprezentarea ın calculator a numerelor reale ın virgula mobila este

reglementata prin standardul IEEE 754, adoptat initial ın 1985 (IEEE754-1985) si reactualizat ın 2008 (IEEE 754-2008). Mai nou, este folositstandardul ISO/IEC/IEEE 60559:2011.

Pentru reprezentare (formatul intern) se aleg doua dimensiuni n si k ,2 ≤ k ≤ n − 2 si se folosesc locatii de n biti b n−1 . . . b 0compuse din urmatoarele campuri:• b n−1 (1 bit, cel mai semnificativ): semnul;

• b n−2 . . . b n−k −1 (urmatorii k biti): caracteristica;

• b n−k −2 . . . b 0 (ultimii n−k −1 biti, cei mai putin semnificativi): fractia:

b n−1 b n−2 . . . b n−k −1 b n−k −2 . . . b 0 semn (1 bit) caracteristica (k biti) fractie (n − k − 1 biti)


Multimea valorilor reprezentabile ın acest format este specificata prin

http://find/



¸ p p pintermediul a trei parametri ıntregi (baza de enumeratie si de scalare este

ıntotdeauna 2):

• p = n − k : numarul de cifre ale mantisei (precizia);

• E min = −2k −1 + 2: exponentul minim;

• E max = 2k −1 − 1: exponentul maxim.

Pentru numerele reale nenule reprezentabile, exponentul E trebuie sa se afle ınintervalul de numere ıntregi E min ≤ E ≤ E max, dar se dorestereprezentarea lui ca ıntreg fara semn, nu prin complement fata de doi; deaceea, se mai considera parametrul:

• bias = 2k −1 − 1: bias (sau polarizare);

iar ın campul de k biti se reprezinta, ca ıntreg fara semn, valoareac = E + bias (avem 1 ≤ c ≤ 2k − 2); aceasta s.n.caracteristica (sau exponent biasat sau exponent polarizat).


Constatam ca ın campul caracteristica al formatului pot fi stocate si valorile

http://find/



Constatam ca ın campul caracteristica al formatului pot fi stocate si valorile

c = 0 (reprezentata cu tot i bitii 0) si c = 2k − 1 (reprezentata cu tot i

bitii 1), care nu pot fi produse de expresiile E + bias ; ele sunt folosite

pentru a codifica valori speciale, ca ±0, ±∞, numere denormalizate

mici, valori invalide NaN (Not A Number).

In ceea ce priveste mantisa, numerele vor fi mai ıntai scalate a.ı. mantisa sa

aiba ın stanga virgulei doar o cifra (1 ın cazul numerelor normalizate si 0 ın

cazul numerelor denormalizate), iar ın ultimii n − k − 1 biti ai formatuluiva fi stocata fractia, care este partea mantisei din dreapta virgulei (cifra dinstanga putandu-se deduce din context). In unele texte, prin ’mantisa’ estedenumita de fapt ’fractia’.

Se mai spune ca aceasta reprezentare este semn si modul (engl: sign andmagnitude) deoarece semnul are un bit separat de restul numarului.


Valorile reprezentabile ın formatul specificat de n si k (sau de p , E min,

E ) ( )

http://find/



E max) si modul lor de reprezentare (codare) sunt urmatoarele:

• Numerele de forma (−1)s × 2E × 1.c 1 . . . c p −12, unde

s ∈ 0, 1,

E min ≤ E ≤ E max este un numar ıntreg,

c 1, . . . , c p −1 ∈ 0, 1(numere reale nenule normalizate).

Ele sunt reprezentate astfel:

b n−1 = s , semnul;

b n−2 . . . b n−k −1 = E + bias , exponentul biasat,

reprezentat ca ıntreg fara semn; sirul de biti prin care se reprezinta variaza

de la 0 . . . 01 (valoarea 1) la 1 . . . 10 (valoarea 2k − 2);

b n−k −2 . . . b 0 = c 1 . . . c p −1, fractia (se omite deci c 0 = 1).


http://find/

http://goback/



• Numerele de forma (−1)s × 2E min × 0.c 1 . . . c p −12, unde

s ∈ 0, 1,

c 1, . . . , c p −1 ∈ 0, 1 si cel putin unul dintre c i este 1(numere reale nenule denormalizate mici).



b n−2 . . . b n−k −1 = 0, reprezentat prin sirul de biti 0 . . . 0;

b n−k −2 . . . b 0 = c 1 . . . c p −1, fractia (se omite deci c 0 = 0).


• Numerele de forma ±0 = (−1)s × 2E min × 0 0 02 unde

http://find/

http://goback/



• Numerele de forma ±0 ( 1) × 2 × 0.0 . . . 02, unde

s ∈ 0, 1.



b n−2 . . . b n−k −1 = 0, reprezentat prin sirul de biti 0 . . . 0;

b n−k −2 . . . b 0 = 0 . . . 0, fractia.

Notam ca numerele de forma ±0 se reprezina cu tot i bitii 0, mai putin

eventual bitul de semn b n−1.

Desi reprezentarile lui +0 si−0 sunt diferite (prin bitul de semn), semnul

are relevanta ın anumite circumstante, cum ar fi ımpartirea la 0 (ımpartirea1.0/ + 0 produce +∞, ımpartirea 1.0/− 0 produce −∞), iar ınaltele nu.


• Valorile ±∞.

http://find/

http://goback/



Ele sunt reprezentate astfel:b n−1 = s , semnul (0 = +, 1 = −);

b n−2 . . . b n−k −1 = 2k − 1, reprezentat prin sirul de biti 1 . . . 1;

b n−k −2 . . . b 0 = 0 . . . 0, fractia nula.

• Valori NaN (Not A Number) - sunt entitati simbolice codificate ın formatde virgula mobila ce semnifica ideea de valoare invalida.


b n−1 este oarecare;

b n−2 . . . b n−k −1 = 2k

− 1, reprezentat prin sirul de biti 1 . . . 1;b n−k −2 . . . b 0 este o fractie nenula (cel put in unul dintre

b n−k −2, . . . , b 0 este 1).


Exista doua feluri de NaN :

Signaling NaN (sNaN): semnaleaza (declansaza) exceptia de

http://find/

http://goback/



Signaling NaN (sNaN ): semnaleaza (declansaza) exceptia de

operatie invalida de fiecare data cand apare ca operand ıntr-o operatie;manifestarea exceptiei poate diferi de la o implementare la alta si poate fi deignorare sau poate consta ın setarea unor flag-uri si/sau executarea unui trap

(ıntrerupere) care lanseaza o rutina ce primeste NaN -ul ca parametru;

Quiet NaN (qNaN ): se propaga prin aproape toate operatiile

aritmetice fara a semnala (declansa) exceptii, iar rezultatul operatiilor va fi totun qNaN , anume unul dintre qNaN -urile date ca operand; ele sunt utileatunci cand nu vrem sa detectam/tratam o eroare chiar la momentul aparitieiei ci la un moment ulterior.

Standardul IEEE 754 cere a fi implementat cel put in un sNaN si cel putin un

qNaN ; bitul de semn si bit ii de fractie pot diferi de la o implementare la alta

- de exemplu ın ei se poate codifica motivul erorii (ın cazul sNaN -urilor el va

fi transmis astfel rutinei de tratare a exceptiei, iar ın cazul qNaN -urilor el seva propaga prin operatiile aritmetice pana la locul tratarii).

Formatul intern ın virgula mobilaAplicand invers regulile de mai sus, putem determinara valoarea v reprezentata

printr-un sir de biti b n−1 . . . b 0 ın formatul specificat de n si k . Notam:

s = numarul 0 sau 1 stocat ın bitul bn 1 (semnul);

http://find/



s numarul 0 sau 1 stocat ın bitul b n−1 (semnul);

c = numarul natural reprezentat ca ıntreg fara semn ın bitiib n−2 . . . b n−k −1 (caracteristica);

f = sirul de p − 1 cifre binare stocat ın bitii b n−k −2 . . . b 0 (fractia).

• Daca c = 2k − 1 (reprezentat ca 1 . . . 1) si f = 0 . . . 0, atunci

v este un NaN (indiferent de s ).

• Daca c = 2k − 1 (reprezentat ca 1 . . . 1) si f = 0 . . . 0, atunci

v = (−1)s ×∞.

• Daca 0 < c < 2k − 1, atunci

v = (−1)s × 2c −2k −1+1 × 1.f 2 (numar nenul normalizat).

• Daca c = 0 (reprezentat ca 0 . . . 0) si f = 0 . . . 0, atunci

v = (−1)s × 2−2k −1+2 × 0.f 2 (numar nenul denormalizat).

• Daca c = 0 (reprezentat ca 0 . . . 0) si f = 0 . . . 0, atunci

v = (−1)s × 0 (zero).

Formatul intern ın virgula mobilaDin aceste reguli deducem ca multimea numerelor reprezentabile este inclusa ınintervalul:

http://find/



[−22k −

1−n+k × (2n−k − 1), +22k −

1−n+k × (2n−k − 1)]

Nu toate numerele reale din acest interval pot fi ınsa reprezentate, deoarece seretin doar un numar finit de zecimale ın baza 2. Numerele sunt reprezentate cu

un anumit pas, care creste cu cat ne apropiem de capetele intervalului.Operatiile aritmetice ın virgula mobila rotunjesc (si deci altereaza) rezultatula.ı. sa fie una dintre valorile reprezentabile. De aceea, pasul reprezentariiinfluienteaza precizia calculelor.

Intrucat multimea valorilor reprezentabile este simetrica fata de 0 (daca un

numar x este reprezentabil, atunci si −x este reprezentabil, reprezentareadiferind doar ın bitul de semn), vom analiza doar intervalul:

[0, 22k −1−n+k × (2n−k − 1)]


Cel mai mic numar nenul reprezentabil este:

http://find/



2−2k −1

+2 × 0.0 . . . 012 = 2−2k −1

−n+k +3,

n − k cifre ale mantisei

reprezentat: 0

0 . . . 0

0 . . . 0 1

s (1 bit) c (k biti) f(n − k − 1 biti)

Cel mai mare numar nenul reprezentabil este:

22k −1−1 × 1.1 . . . 12

= 22k −1−n+k × (2n−k − 1),

n

−k cifre ale mantisei

reprezentat: 0 1 . . . 1 0 1 . . . 1 s (1 bit) c (k biti) f(n − k − 1 biti)


Numerele din intervalul (0 2−2k −1−n+k +3) sunt prea mici pentru a fi

http://find/



Numerele din intervalul (0, 2 ) sunt prea mici pentru a fi

reprezentate.

Numerele din intervalul [2−2k −1−n+k +3, 2−2k −1+3] sunt

reprezentate cu pasul 2−2k −1−n+k +3.

Pentru orice i ∈ −2k −1 + 3, 2k −1 − 2, numerele din intervalul

[2i , 2i +1] sunt reprezentate cu pasul 2i −n+k +1.

Numerele din intervalul [22k −1−1

, 22k −1−n+k

× (2n−k

− 1)]sunt reprezentate cu pasul 22k −1−n+k

.


Ilustrare grafica:0 0 . . . 0 0 . . . 0 = 0

s(1) c(k) f(n k 1)

http://find/



s(1) c(k) f(n-k-1)

...

(numere nereprezentabile)

0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 = 2−2k −1+2 × 0.0 . . . 012 = 2−2k −1+2 × 2−n+k +1

s(1) c(k) f(n-k-1) = 2−2k −1−n+k +3

(cel mai mic numar nenul reprezentabil)

...

pas 2−2k −1−n+k +3

0 0 . . . 0 1 . . . 1 = 2−2k −1+2 × 0.1 . . . 12

s(1) c(k) f(n-k-1) = 2−2k −1+2 × (2n−k −1 − 1) × 2−n+k +1

= 2−2k −1−n+k +3 × (2n−k −1 − 1)

pas 2−2

k −1

−n+k +3

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 = 2−2k −1+2 × 1.0 . . . 02 = 2−2k −1+2

s(1) c(k) f(n-k-1).

.

. pas 2−2k −1−n+k +3


0 0 . . . 0 1 1 . . . 1 = 2−2k −1+2 × 1.1 . . . 12

(1) (k) f( k 1) 2−2k −1 +2 (2n−k 1) 2−n+k+1

http://find/



s(1) c(k) f(n-k-1) = 2 2 +2

×(2n k

−1)

×2 n+k +1

= 2−2k −1−n+k +3 × (2n−k − 1)

pas 2−2k −1−n+k +3

0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 = 2−2k −1+2 × 10.0 . . . 02 = 2−2k −1+3 × 1.0 . . . 02

s(1) c(k) f(n-k-1) = 2−2k −1+3

...

pas 2−2k −1−n+k +4

0 0 . . . 0 1 0 1 . . . 1 = 2−2k −1+3 × 1.1 . . . 12

s(1) c(k) f(n-k-1) = 2−2k −1+3 × (2n−k − 1) × 2−n+k +1

= 2−2k −1−n+k +4 × (2n−k − 1)

pas 2−2k −1−n+k +4

0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 = 2−2k −1+3 × 10.0 . . . 02 = 2−2k −1+4 × 1.0 . . . 02

s(1) c(k) f(n-k-1) = 2−2k −1+4


.

.

.

http://find/



0 1 . . . 1 0 1 0 . . . 0 = 22k −1−2 × 1.0 . . . 02 = 22k −1−2

s(1) c(k) f(n-k-1).

.

. pas 22k −1−n+k −1

0 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 = 22k −1−2

×1.1 . . . 12 = 22k −1−2

×(2n−k

−1)

×2−n+k +1

s(1) c(k) f(n-k-1) = 22k −1−n+k −1 × (2n−k − 1)

pas 22k −1−n+k −1

0 1 . . . 1 0 0 . . . 0 = 22k −1−2 × 10.0 . . . 02 = 22k −1−1 ×1.0 . . . 02 = 22k −1−1

s(1) c(k) f(n-k-1).

..

pas 22k −1

−n+k

0 1 . . . 1 0 1 . . . 1 = 22k −1−1 ×1.1 . . . 12 = 22k −1−1 × (2n−k −1) ×2−n+k +1

s(1) c(k) f(n-k-1) = 22k −1−n+k × (2n−k − 1)(cel mai mare numar nenul reprezentabil)


Observatie:

Proiectantii standardului IEEE 754 au dorit o reprezentare a virgulei mobile

http://find/

http://goback/



¸ p g

care sa poata fi prelucrata usor de comparatiile pentru ıntregi, ın special pentrusortare.

Plasarea semnului ın bitul cel mai semnificativ permite efectuarea rapida a

testelor ’< 0’, ’> 0’, ’= 0’.

Plasarea caracteristicii ınaintea fractiei si faptul ca ea este un numar natural(indiferent daca exponentul este pozitiv sau negativ) ce creste odata cuexponentul permite sortarea numerelor ın virgula mobila cu ajutorul circuitelorde comparare pentru ıntregi, deoareace numerele cu exponenti mai mari parmai mari decat numerele cu exponenti mai mici.

Asadar, reprezentarea IEEE 754 poate fi prelucrata cu ajutorul circuitelor de

comparare pentru ıntregi, accelerand sortarea numerelor ın virgula mobila.Dealtfel, pe ilustrarea grafica de mai ınainte se poate observa ca sirurile de biticresc ın ordine lexicografica odata cu cresterea numerelor reale reprezentate,ceea ce corespunde cresterii interpretarilor acestor siruri ca ıntregi fara semn.


Pe aceeasi ilustrare grafica se mai poate constata ca succesorul lexicografic al

http://find/



Pe aceeasi ilustrare grafica se mai poate constata ca succesorul lexicografic alsirului de bit i prin care s-a reprezentat cel mai mare numar nenul reprezentabil:

0 1 . . . 1 0 1 . . . 1 s(1) c(k) f(n-k-1)

este sirul de biti prin care se reprezinta +∞:

0 1 . . . 1 0 . . . 0 s(1) c(k) f(n-k-1)

ceea ce exprima ideea ca +∞> orice numar.

Formatele single si double

Proiectarea unui sistem de reprezentare ın virgula mobila presupune o buna

alegere a valorilor n (dimensiunea formatului), k (dimensiunea campului

http://find/



caracteristica) si p − 1 (dimensiunea campului fractie). Reamintim ca p este numarul de cifre semnificative considerate (prima este implicita, restul sunt

stocate ın campul fractie). Avem n = 1 + k + (p − 1) = k + p .

In general n este un multiplu al dimensiunii cuvantului de memorie (word) (ex:

32 biti, 64 biti) si atunci pentru k si p trebuie gasit un compromis, deoareceun bit adaugat la unul dintre campuri trebuie luat de la celalalt.Cresterea lui p determina cresterea preciziei numerelor, ın timp ce cresterea lui

k determina largirea domeniului de numere care pot fi reprezentate.Principiile de proiectare ale seturilor de instructiuni hardware ne ınvata ca oproiectare buna are nevoie de compromisuri bune.

Doua formate ın virgula mobila descrise ın standardul IEEE 754, care se gasestepractic ın orice calculator conceput dupa anul 1980, sunt single si double (lorle corespund ın limbajul C tipurile float si respectiv double).


Formatul single (precizie simpla): n = 32, k = 8, p = 24

Rezulta: E min = −126, E max = 127, bias = 127

http://find/



Intervalul de numere ≥ 0 reprezentabile este: [0, 2104 × (224 − 1)]Cel mai mic numar nenul reprezentabil este:

2−126 × 0.0 . . . 012

= 2−149

,

24 cifre ale mantiseireprezentat: 0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 s (1 bit) c (8 bit i) f(23 biti)

Cel mai mare numar nenul reprezentabil este:

2127 × 1.1 . . . 12 = 2104 × (224 − 1),

24 cifre ale mantiseireprezentat: 0 1 . . . 1 0 1 . . . 1

s (1 bit) c (8 bit i) f(23 biti)


http://find/



Numerele din intervalul (0, 2−149) sunt prea mici pentru a fireprezentate.

Numerele din intervalul [2−149, 2−125] sunt reprezentate cu pasul

2−149.

Pentru orice i ∈ −125, 126, numerele din intervalul [2i , 2i +1]sunt reprezentate cu pasul 2i −23

.

Numerele din intervalul [2127, 2104 × (224 − 1)] sunt reprezentate

cu pasul 2104.



s(1) c(8) f(23)

http://find/



s(1) c(8) f(23)

..

. (numere nereprezentabile)

0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 = 2−126 × 0.0 . . . 012 = 2−126 × 2−23 = 2−149

s(1) c(8) f(23)(cel mai mic numar nenul reprezentabil)

... pas 2−149

0 0 . . . 0 1 . . . 1 = 2−126 × 0.1 . . . 12 = 2−126 × (223 − 1) × 2−23

s(1) c(8) f(23) = 2−149 × (223 − 1)

pas 2−149

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 = 2−126 × 1.0 . . . 02 = 2−126

s(1) c(8) f(23)

.

.

. pas 2−149


0 0 . . . 0 1 1 . . . 1 = 2−126 × 1.1 . . . 12 = 2−126 × (224 − 1) × 2−23

http://find/

http://goback/



s(1) c(8) f(23) = 2−149 × (224 − 1)

pas 2−149

0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 = 2−126 × 10.0 . . . 02 = 2−125 × 1.0 . . . 02 = 2−125

s(1) c(8) f(23)

.

..

pas 2−148

0 0 . . . 0 1 0 1 . . . 1 = 2−125 × 1.1 . . . 12 = 2−125 × (224 − 1) × 2−23

s(1) c(8) f(23) = 2−148 × (224 − 1)

pas 2−148

0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 = 2−125

× 10.0 . . . 02 = 2−124

× 1.0 . . . 02 = 2−124

s(1) c(8) f(23)


.

.

.

http://find/



0 1 . . . 1 0 1 0 . . . 0 = 2126 × 1.0 . . . 02 = 2126

s(1) c(8) f(23)

.

.

. pas 2103

0 1 . . . 1 0 1 1 . . . 1 = 2126

×1.1 . . . 12 = 2126

×(224

−1)

×2−23

s(1) c(8) f(23) = 2103 × (224 − 1)

pas 2103

0 1 . . . 1 0 0 . . . 0 = 2126 × 10.0 . . . 02 = 2127 × 1.0 . . . 02 = 2127

s(1) c(8) f(23)

...

pas 2104

0 1 . . . 1 0 1 . . . 1 = 2127 × 1.1 . . . 12 = 2127 × (224 − 1) × 2−23

s(1) c(8) f(23) = 2104 × (224 − 1)(cel mai mare numar nenul reprezentabil)


Formatul double (precizie dubla): n = 64, k = 11, p = 53

Rezulta: E min = −1022, E max = 1023, bias = 1023

http://find/

http://goback/



Intervalul de numere ≥ 0 reprezentabile este: [0, 2971 × (253 − 1)]Cel mai mic numar nenul reprezentabil este

2−1022 × 0.0 . . . 012

= 2−1074

,

53 cifre ale mantiseireprezentat: 0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 s (1 bit) c (11 biti) f(52 biti)

Cel mai mare numar nenul reprezentabil este

21023 × 1.1 . . . 12 = 2971 × (253 − 1),

53 cifre ale mantiseireprezentat: 0 1 . . . 1 0 1 . . . 1

s (1 bit) c (11 biti) f(52 biti)


1074

http://find/



Numerele din intervalul (0, 2− ) sunt prea mici pentru a fireprezentate.

Numerele din intervalul [2−1074, 2−1021] sunt reprezentate cu pasul

2−1074.

Pentru orice i ∈ −1021, 1022, numerele din intervalul [2i , 2i +1]sunt reprezentate cu pasul 2i −52

.

Numerele din intervalul [21023, 2971 × (253 − 1)] sunt reprezentate

cu pasul 2971.



s(1) c(11) f(52)

http://find/



... (numere nereprezentabile)

0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 = 2−1022 × 0.0 . . . 012 = 2−1022 × 2−52 = 2−1074

s(1) c(11) f(52)(cel mai mic numar nenul reprezentabil)

...

pas 2−1074

0 0 . . . 0 1 . . . 1 = 2−1022 × 0.1 . . . 12 = 2−1022 × (252 − 1) × 2−52

s(1) c(11) f(52) = 2−1074 × (252 − 1)

pas 2−1074

0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 = 2−1022 × 1.0 . . . 02 = 2−1022

s(1) c(11) f(52)

.

.

. pas 2−1074


0 0 . . . 0 1 1 . . . 1 = 2−1022 × 1.1 . . . 12 = 2−1022 × (253 − 1) × 2−52

http://find/



s(1) c(11) f(52) = 2−1074 × (253 − 1)

pas 2−1074

0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 = 2−1022 × 10.0 . . . 02 = 2−1021 × 1.0 . . . 02 = 2−1021

s(1) c(11) f(52)

.

..

pas 2−1073

0 0 . . . 0 1 0 1 . . . 1 = 2−1021 × 1.1 . . . 12 = 2−1021 × (253 − 1) × 2−52

s(1) c(11) f(52) = 2−1073 × (253 − 1)

pas 2−1073

0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 = 2

−1021

× 10.0 . . . 02 = 2

−1020

× 1.0 . . . 02 = 2

−1020

s(1) c(11) f(52)

Formatele single si double.

.

.

0 1 . . . 1 0 1 0 . . . 0 = 21022 1.0 . . . 02 = 21022

http://find/



×s(1) c(11) f(52).

.

. pas 2970

0

1 . . . 1 0 1

1 . . . 1

= 21022 × 1.1 . . . 12 = 21022 × (253 − 1) × 2−52

s(1) c(11) f(52) = 2970

×(253

−1)

pas 2970

0 1 . . . 1 0 0 . . . 0 = 21022 × 10.0 . . . 02 = 21023 × 1.0 . . . 02 = 21023

s(1) c(11) f(52).

.

. pas 2971

0 1 . . . 1 0 1 . . . 1 = 21023

×1.1 . . . 12 = 21023

×(253

−1)

×2−52

s(1) c(11) f(52) = 2971 × (253 − 1)(cel mai mare numar nenul reprezentabil)

Formatul double are ca avantaj fata de formatul single atat domeniul mai mareal exponentului cat, mai ales, precizia mai mare, datorata mantisei mai mari.


Exemplu: Sa se reprezinte ın format single si double numarul realx = −4.75.

Reprezentam x ın baza 2:

http://find/



4 : 2 = 2 rest 02 : 2 = 1 rest 0 0.75 × 2 = 1.51 : 2 = 0 rest 1 0.5 × 2 = 1.0

deci (4)2 = 100 deci (0.75)2 = 0.11

Rezulta (x )2 = −100.11In notatia stiintifica normalizata (ın baza 2) avem: x = −1.0011 × 22

Deci:semnul = −exponentul = 2mantisa = 1.0011

In formatul single, deoarece −126 ≤ 2 ≤ 127, vom avea:s = 1c = (2 + 127)2 = (129)2 = 10000001f = 00110000000000000000000


Deci reprezentarea binara a lui x ca single este:

11000000100110000000000000000000

http://find/



11000000100110000000000000000000

Determinam si reprezentarea hexa a lui x ca single:

1100 0000 1001 1000 0000 0000 0000 0000 C 0 9 8 0 0 0 0

deci reprezentarea hexa este:

C0980000

Formatele single si doubleIn formatul double, deoarece −1022 ≤ 2 ≤ 1023, vom avea:

s = 1c = (2 + 1023)2 = (1025)2 = 10000000001f = 0011000000000000000000000000000000000000000000000000

D i bi ˘ l i d bl

http://find/



Deci reprezentarea binara a lui x ca double este:

11000000000100110000000000000000

00000000000000000000000000000000Determinam si reprezentarea hexa a lui x ca double:

1100 0000 0001 0011 0000 0000 0000 0000 C 0 1 3 0 0 0 0

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 0 0 0 0 0 0 0

deci reprezentarea hexa este:

C013000000000000


Exemplu: Sa se determine valoarea x reprezentata de urmatorul formatsingle:

11000000101000000000000000000000

http://find/



11000000101000000000000000000000Identificam valorile campurilor componente:

1

10000001

01000000000000000000000 s c f

Deci:s = 1c = 10000001 = (27 + 1)2 = (129)2

f = 01000000000000000000000

Intrucat 0 < c < 28 − 1 = 255, rezulta (pentru single bias = 127):

x = (−1)1 × 2129−127 × 1.010000000000000000000002 == −22 × (20 + 2−2) = −4 × (1 + 0.25) = −4 × 1.25 = −5


Observatie:

Reprezentarile single si double sunt date multioctet si se supun acelorasiconventii de ordonare a octetilor ın memorie ca si celelalte date.

Reamintim con entia de ordonare este fi ata hard are pentr fiecare

http://find/



Reamintim: conventia de ordonare este fixata hardware pentru fiecarearhitectura si poate fi little endian (datele sunt reprezentate cu partea low laadresa mai mica) sau big endian (datele sunt reprezentate cu partea low laadresa mai mare); arhitectura Intel foloseste conventia little endian.Cand ilustram grafic continutul memoriei obisnuim sa desenam octetii cuadresele crescand spre dreapta si atunci, ıntr-o arhitectura care foloseste

conventia little endian, locatiile ce contin cele doua reprezentari din primulexemplu de mai devreme vor fi desenate astfel (un octet = doua cifre hexa):

Locatia ce contine reprezentarea single C0980000 va fi desenata 00 00 98 C0

Locatia ce contine reprezentarea double C013000000000000 va fi desenata

00 00 00 00 00 00 13 C

0In cazul registrilor se obisnuieste sa se deseneze bitii si octetii cu semnificatiacrescand spre stanga (asa cum se scriu numerele ın matematica). Astfel, unregistru de 32 biti ce contine reprezentarea single C0980000 va fi desenat totC0980000

Reglementari IEEE 754

http://find/



Standardul IEEE 754 contine reglementari referitoare la:

(1) Operatiile cu numere ın virgula mobila.

(2) Rotunjire si Controlul preciziei rotunjrii.

(3) Infinit-uri, Nan-uri, zero-uri cu semn.

(4) Exceptii.

(5) Trap-uri.

Prezentam ın continuare cateva reglementari importante:


(1) Operatiile implementate cu numere ın virgula mobila sunt:- operatii aritmetice: adunare, scadere, ınmultire, ımpartire, aflare rest

(reminder);

http://find/

http://goback/



(reminder);- extragere radacina patrata;- rotunjirea la un ıntreag reprezentat ın virgula mobila;- conversie ıntre diferite formate de virgula mobila;- conversie ıntre formate de virgula mobila si formate de ıntregi;- conversie binar

↔ zecimal;

- comparatii;- ın unele implementari se poate considera operatie si copierea fara schimbareaformatului.

Cu exceptia conversiei binar ↔ zecimal, care este supusa unor constrangeri maislabe, toate operatiile sunt efectuate ca si cand ar produce mai ıntai un rezultat

intermediar exact (cu precizie infinita si domeniu nelimitat), iar apoi l-ar rotunji.Exista totodata particularitat i legate de ±0, ±∞ si Nan-uri si exceptii cauzatede operanzi si rezultate exceptate.


• Operatii aritmetice: adunare, scadere, ınmultire, ımpartire, aflare rest(reminder):

Se pot aplica unor operanzi de aceeasi dimensiune a formatului, iar ın unele

implementari si unor operanzi de dimensiuni diferite; formatul destinatiei

http://find/



implementari si unor operanzi de dimensiuni diferite; formatul destinatieitrebuie sa fie de dimensiune ≥ cu cel al operanzilor (indiferent de controlulpreciziei rotunjirii); rezultatele se rotunjesc.

Daca y = 0, restul (reminder) r = x REM y este definit (indiferent de modul derotunjire) prin relatia matematica r = x − y × n, unde n este ıntregul cel mai

apropiat de valoarea exacta x /y ; daca exista doi ıntregi n a.ı. |n − x /y | = 1

2 ,atunci se alege n par. Astfel, restul este ıntotdeauna exact. Daca r = 0,semnul sau va fi cel al lui x .Controlul preciziei rotunjirii nu se aplica operatiei reminder.

• Extragere radacina patrata:

Este implementata pentru toate formatele de virgula mobila suportate.Dimensiunea formatului destinatie trebuie sa fie ≥ cea a operandului.Rezultatul este definit si are semn pozitiv pentru orice operand ≥ 0, cuexceptia faptului ca

√ −0 va fi −0; rezultatul se rotunjeste.


• Conversie ıntre diferite formate de virgula mobila:

Sunt implementate conversii ıntre toate formatele de virgula mobila suportate.Daca conversia este spre un format cu precizie mai mica, rezultatul se

rotunjeste; daca este spre un format cu precizie mai mare rezultatul este exact

http://find/



rotunjeste; daca este spre un format cu precizie mai mare, rezultatul este exact.

• Conversie ıntre formate de virgula mobila si formate de ıntregi:

Sunt implementate conversii ıntre toate formatele de virgula mobila si toateformatele de ıntregi suportate.

Conversia catre ıntreg se efectueaza prin rotunjire.Conversia ıntre ıntregii reprezentati ın virgula mobila si formatele de ıntregi vafi exacta, ın afara cazurilor cand se semnaleaza o exceptie (ex. overflow).

• Rotunjirea unui numar ın virgula mobila la o valoare ıntreagareprezentata ın virgula mobila, ın acelasi format.

Se folosesc regulile uzuale de rotunjire, cu mentiunea ca atunci cand se aplica’rotunjirea la cel mai apropiat’ (Round to Nearest), daca operandul nerotunjitse afla exact la jumatatea distantei ıntre doi ıntregi consecutivi, rezultatulrotunjit este par.

Reglementari IEEE 754• Conversie binar ↔ zecimal:

Este implementata ıntre cel putin unul dintre formatele de stringuri zecimale sitoate formatele de baza de virgula mobila suportate, pentru numere din

intervalele urmatoare (valorile stringurilor zecimale sunt ±M × 10±N

):F Z i l Bi Bi Z i l

http://find/

http://goback/



intervalele urmatoare (valorile stringurilor zecimale sunt ±M × 10 ):Format Zecimal → Binar Binar → Zecimal

MaxM MaxN MaxM MaxN

Single 109 − 1 99 109 − 1 53

Double 1017 − 1 999 1017 − 1 340

La intrare sunt adaugate/eliminate zerouri la M pentru a minimiza N ; daca

M > MaxM , anumite implementari pot modifica cifrele semnificative dincolo dea 9-a pentru single, respectiv a 17-a pentru double, de obicei prin ınlocuire cu0. Conversiile vor fi corect rotunjite pentru operanzi ın intervalele urmatoare:

Format Zecimal → Binar Binar → Zecimal

MaxM MaxN MaxM MaxN

Single 109

−1 13 109

−1 13

Double 1017 − 1 27 1017 − 1 27

Conversiile sunt monotone (cresterea valorii sursa nu va produce descrestereavalorii destinatie), iar cand se aplica ’rotunjirea la cel mai apropiat’ (Round toNearest) si se respecta precizia stringurilor zecimale de 9, respectiv 17 cifre,conversia binar → zecimal → binar este identitatea.

Reglementari IEEE 754• Comparatii:

Sunt implementate comparatii ıntre toate formatele de virgula mobila suportate(chiar si daca formatele operanzilor difera).

Ele sunt ıntotdeauna exacte si nu produc overflow/underflowD ˘ l i fl ˆ 4 l ii l l i i i l i

http://find/



Ele sunt ıntotdeauna exacte si nu produc overflow/underflow.Doua valori se pot afla ın 4 relatii mutual exclusive: mai mic , egal , mai mare ,neordonat ; ultima apare cand macar un operand este NaN; un NaN esteneordonat cu orice, inclusiv cu sine.Comparatiile vor ignora semnul lui 0 (deci +0 = −0).

Rezultatul unei comparatii poate fi furnizat, ın functie de implementare:- printr-un cod conditional ce identifica una din cele 4 relatii;- ca un raspuns true/false la un predicat ce numeste o anumita comparatie; ınacest caz, daca operanzii sunt neordonati iar predicatul nu testeaza sineordonarea, se semnaleaza except ia ’operatie invalida’.

Cand sunt implementate predicate, trebuie implementate cel putin urmatoarele

(notatia este conventionala, ? ınsemana neordonat ): = (egal), ? <>(neordonat sau diferit), > (mai mare), >= (mai mare sau egal), < (mai mic),<= (mai mic sau egal); de asemenea, trebuie implementat un mod de negare apredicatelor, de exemplu: NOT (>). Se mai pot implementa: ? (neordonat),<> (diferit), ? >= (neordonat sau mai mare sau egal), etc.


De exemplu (cu α am notat un NaN):1 < 2 ⇒ true

2 < 1 ⇒ false1 < 1 ⇒ false

http://find/

http://goback/



2 < 1 ⇒ false1 < 1 ⇒ false1 < α ⇒ false + exceptia ’operatie invalida’α = α ⇒ falseα? <> α ⇒ trueα <> α ⇒ false + exceptia ’operatie invalida’

α?α ⇒ true

Observatie: Negatia lui x = y este NOT (x = y ) si este echivalenta cux ? <> y ; pentru alte predicate, negatia nu este echivalenta cu predicatulinversat; de exemplu, negatia lui x < y este NOT (x < y ) si nu este echivalentacu x ? >= y , deoarece ultima nu semnaleaza except ia ’operatie invalida’ daca x

si y sunt neordonati. Aplicand negatia NOT unui predicat, se inverseazaraspunsurile sale true/false, dar se semnaleaza ın aceleasi cazuri exceptia’operatie invalida’.


(2) Rotunjirea si Controlul preciziei rotunjirii:

Rotunjirea ia un numar considerat ca avand precizie infinita si daca este

http://find/



Rotunjirea ia un numar considerat ca avand precizie infinita si, daca estenecesar, ıl modifica pentru a se potrivi formatului destinatie, semnalandtotodata exceptia ’inexact’.

Cu exceptia conversiei binar ↔ zecimal, care este supusa unor constrangeri maislabe, toate operatiile sunt efectuate ca si cand ar produce mai ıntai un rezultat

intermediar exact (cu precizie infinita si domeniu nelimitat), iar apoi l-ar rotunjiıntr-unul din modurile descrise mai jos.

Modurile de rotunjire afecteaza toate operat iile aritmetice, cu exceptiacomparatiilor si restului (reminder). Ele pot afecta semnele sumelor nule siafecteaza limitele dincolo de care se poate semnala overflow/underflow (a se

vedea mai jos).

Reglementari IEEE 754Moduri de rotunjire:

Modul de rotunjire implicit:

• Rotunjirea la cel mai apropiat (Round to Nearest): Rezultatul furnizat

este valoarea reprezentabila cea mai apropiata de valoarea exacta.

http://find/

http://goback/



s p p pDaca exista doua valori reprezentabile ıntre care se afla valoarea exacta si elesunt egal departate de aceasta, va fi furnizata aceea dintre ele care are bitul celmai putin semnificativ (i.e. ultima zecimala a campului fract ie) egal cu 0.Daca valoarea exacta are modulul ≥ 2E max (2 − 2−p ), ea se rotunjeste la ∞ cu

acelasi semn.Moduri de rotunjire dirijate (Directed Roundings) selectabile de catreutilizator:

• Rotunjirea catre +∞ (rounding toward +∞): Rezultatul furnizat este ceamai apropiata valoarea reprezentabila (inclusiv +∞) ≥ valoarea exacta.

• Rotunjirea catre −∞ (rounding toward −∞): Rezultatul furnizat este ceamai apropiata valoarea reprezentabila (inclusiv −∞) ≤ valoarea exacta.

• Rotunjirea catre 0 (rounding toward 0): Rezultatul furnizat este cea maiapropiata valoarea reprezentabila ≤ ın modul decat valoarea exacta.


Precizia rotunjirii:

In mod normal, rezultatul furnizat este rotunjit conform preciziei locat ieidestinatie

http://find/

http://goback/



j p ¸destinatie.

Unele sisteme ınsa sunt construite a.ı. sa funizeze rezultate doar ın locatii deanumite formate, mari (de exemplu doar double). In asemenea sisteme sepermite utilizatorului (care poate fi un compilator al unui limbaj de nivel ınalt)sa poata specifica ca rezultatul sa fie rotunjit conform unui format mai mic (de

exemplu single), chiar daca el va fi stocat ıntr-o locatie de format mare(double). Operanzii trebuie sa fie ınsa tot de formatul mic (de exemplu nu sepermit operatii care combina operanzi double pentru a produce un rezultatsingle, cu o singura rotunjire).

Controlul preciziei rotunjirii are ca scop sa permita sistemelor care au doar

destinatii de format mare sa emuleze, ın absenta overflow/underflow, preciziasistemelor cu destinatii de format mic.


(3) Infinit uri Nan uri zero uri cu semn

http://find/

http://goback/



(3) Infinit-uri, Nan-uri, zero-uri cu semn.

Infinit-urile au proprietatea: −∞ < orice numar finit < +∞.

Aritmetica lui ∞ este mereu exacta si nu semnaleaza exceptii, ın afara de’operatie invalida’ pentru ∞.

Exceptiile legate de ∞ sunt semnalate doar cand:- ∞ este obtinut din operanzi finiti prin overflow sau ımpartire la 0, cu

trapul respectiv dezactivat;- ∞ este un operand invalid.


Toate operatiile vor suporta sNaN-uri si qNaN-uri.

In toate operatiile prezentate mai devreme, prezenta unui operand sNaNl ˘ i ’ i i lid˘’

http://find/

http://goback/



semnaleaza exceptia ’operatie invalida’.

Orice operatie care implica un sNaN sau ’operatie invalida’, daca nu apare untrap si trebuie furnizat un rezultat ın virgula mobila, va furniza un rezultatqNaN.

Orice operatie care implica unul sau doi operanzi NaN, nici unul nefiind sNaN,nu va semnala exceptii, iar daca trebuie furnizat un rezultat ın virgula mobila,va furniza ca rezultat unul dintre qNaN-urile de intrare (conversiile de format arputea ımpiedica ınsa furnizarea aceluiasi NaN).

In operatiile ce nu furnizeaza un rezultat ın virgula mobila (anume comparatiilesi conversiile spre formate ce nu au NaN-uri), qNaN-urile au efecte similare cu

sNaN-urile.


Nu se impune o anumita semnificatie semnului unui NaN.

Altfel, semnul unui produs sau cat este xor-ul semnelor operanzilor.Semnul unei sume sau diferente x − y privite ca x + (−y ) difera de cel mult

http://find/



Semnul unei sume, sau diferente x y privite ca x + ( y ), difera de cel multunul din semnele operanzilor.Semnul rezultatului operatiei de rotunjire a unui numar ın virgula mobila la ovaloare ıntreaga este semnul operandului.Aceste reguli se aplica chiar si daca operanzii sau rezultatele sunt zero sau

infiniti.Cand suma a doi operanzi de semne contrare sau diferenta a doi operanzi deacelasi semn este zero, semnul sumei/diferentei va fi + ın toate modurile derotunjire, ın afara de rotunjirea catre −∞, cand semnul va fi −.Rezultatul operatiei x + x = x − (−x ) va avea acelasi semn ca x , chiar siatunci cand x este zero.

Orice radacina patrata valida va avea semnul +, mai putin √ −0, care va fi −0.


(4) Exceptii:

Semnalarea unei exceptii consta ın setarea unui flag de stare si/sau

http://find/



Semnalarea unei exceptii consta ın setarea unui flag de stare si/sauexecutarea unui trap. Se recomanda ca fiecarei exceptii sa ıi fie asociat un trapsub controlul utilizatorului. Raspunsul implicit la o exceptie trebuie sa fie ınsacontinuarea fara trap.

Pentru fiecare tip de exceptie trebuie sa existe un flag de stare care trebuie

setat de fiecare data cand apare exceptia respectiva si nu se executa nici untrap. Flag-ul poate fi resetat doar la cererea utilizatorului. Utilizatorul trebuiesa poata testa sau modifica flagurile de stare individual si eventual sa poatasalva/restaura toate flagurile odata.

Singurele exceptii care pot coincide sunt ’inexact’ cu ’overflow’ si ’inexact’ cu

’underflow’.

Reglementari IEEE 754Exista cinci tipuri de exceptii:

• Exceptia operatie invalida:

Este semnalata daca un operand este invalid pentru operatia ce trebuie

efectuata.Cˆ d ti f˘ ˘ t i d ti ti f t d i l˘ bil˘

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Cand exceptia apare fara trap iar destinatia are un format de virgula mobila,rezultatul va fi un qNaN.

Operatii invalide sunt:- orice operatie asupra unui sNaN;

- adunarea/scaderea/scaderea ın modul a infiniturilor, de exemplu:(+∞) + (−∞);- ınmultirea 0 × ∞;- ımpartirea 0/0 sau ∞/∞;- aflarea restului (reminder) x REM y , cand y este zero sau x este infinit;- radacina patrata a unui operand < zero;

- conversia unui numar ın virgula mobila binar la un format ıntreg sau zecimalcand un overflow, infinit sau NaN preıntampina o reprezentare fidela ın acelformat iar aceasta nu poate fi semnalata altfel;

- comparatia prin intermediul unor predicate ce implica < sau > fara ?, candoperanzii sunt neordonat i .


http://find/



• Exceptia ımpartire la zero:

Este semnalata daca deımpartitul (divident) este un numar finit nenul, iarımpartitorul (divizor) este zero.

Daca nu se executa trap, rezultatul este un ∞ cu semn adecvat (a se vedeaoperatiile aritmetice, mai sus).


• Exceptia overflow (depasire superioara):

Este semnalata daca cel mai mare numar finit reprezentabil conform formatului

destinatiei este excedat ın modul de ceea ce ar fi trebuit sa fie rezultatul ınvirgula mobila rotunjit, cu domeniul exponentului nemarginit.

http://find/



g j , p g

Daca nu se executa trap, rezultatul este determinat de modul de rotunjire si desemnul rezultatului intermediar, dupa cum urmeaza:- rotunjirea la cel mai apropiat (Round to Nearest) duce toate situat iile deoverflow catre

∞ cu semnul rezultatului intermediar;

- rotunjirea catre 0 (rounding toward 0) duce toate situatiile de overflow catrecel mai mare numar finit reprezentabil conform formatului, cu semnulrezultatului intermediar;- rotunjirea catre −∞ (rounding toward −∞) duce toate situatiile de overflowpozitiv catre cel mai mare numar finit reprezentabil conform formatului, si ducetoate situatiile de overflow negativ catre

−∞;

- rotunjirea catre +∞ (rounding toward +∞) duce toate situatiile de overflownegativ catre cel mai negativ numar finit reprezentabil conform formatului, siduce toate situatiile de overflow pozitiv catre +∞.


Overflow-urile cu trap, ın toate operatiile ın afara conversiilor, vor furnizahandler-ului asociat trap-ului rezultatul obtinut prin ımpartirea rezultatului

exact la 2α

si apoi rotunjire, unde α (bias adjust) este 192 pentru single si1536 pentru double (α este ales a.ı. valorile cu overflow/underflow sa fie

http://find/



( /translatate cat mai aproape de mijlocului domeniului exponentului si astfel,daca se doreste, sa poata fi folosite ın operat ii scalate ulterioare, cu risc maimic de a cauza alte exceptii).

Overflow-urile cu trap ın conversii dinspre un format ın virgula mobila vor

furniza handler-ului asociat trap-ului un rezultat ın acelasi format sau ıntr-unulmai larg, eventual cu bias-ul exponentului ajustat, dar rotunjit conform precizieidestinatiei.

Overflow-urile cu trap ın conversii de la zecimal la virgula mobila vor furnizahandler-ului asociat trap-ului un rezultat ın cel mai larg format suportat,

eventual cu bias-ul exponentului ajustat, dar rotunjit conform precizieidestinatiei; daca rezultatul este situat mult ın afara domeniului pentru a puteafi ajustat bias-ul, va fi furnizat ın loc un qNaN.

Reglementari IEEE 754• Exceptia underflow (depasire inferioara):

La underflow contribuie doua evenimente corelate:- producerea unui rezultat nenul foarte mic, ıntre ±2E min , care, fiind atat de

mic, poate cauza ulterior alte exceptii, ca overflow la ımpartire;

- pierdea accentuata a acuratetei ın timpul aproximarii unor numere atat demici prin numere denormalizate

http://goforward/

http://find/

http://goback/



mici prin numere denormalizate.Modul de detectare a acestor evenimente este dependent de implementare, dartrebuie sa se faca la fel pentru toate operatiile.

Micimea valorii (tininess) poate fi detectata:- dupa rotunjire: cand un rezultat nenul calculat ca si cand domeniul

exponentului ar fi nemarginit s-ar situa strict ıntre ±2E min ;- ınaintea rotunjirii: cand un rezultat nenul calculat ca si cand atat domeniul

exponentului cat si precizia ar fi nemarginite s-ar situa strict ıntre ±2E min .

Pierderea acuratetei (loss of accuracy) poate fi detectata:- ca o pierdere la denormalizare: cand rezultatul furnizat difera de ceea ce s-ar

fi calculat daca domeniul exponentului ar fi nemarginit;- ca un rezultat inexact: cand rezultatul furnizat difera de ceea ce s-ar fi

calculat daca atat domeniul exponentului cat si precizia ar fi nemarginite(aceasta este conditia numita ’inexact’ ın cazul exceptiei ’inexact’, a sevedea mai jos).


Daca un trap pentru undeflow nu este implementat sau nu este activat (cazul

implicit), exceptia underflow va fi semnalata (prin intermediul flag-ului deunderflow) doar daca au fost detectate atat micimea cat si pierderea acuratetei.

http://find/



Metoda de detectare nu afecteaza rezultatul furnizat, care poate fi zero, numardenormalizat, sau ±2E min .

Daca este implementat si activat un trap pentru underflow, exceptia underflowva fi semnalata cand a fost detectata micimea, indiferent de pierderea

acuratetei.

Underflow-urile cu trap ın cazul tuturor operat iilor mai putin conversia vorfurniza handler-ului asociat trap-ului rezultatul obtinut prin ınmultirearezultatului exact cu 2α si apoi rotunjire (α este ca mai devreme).

Underflow-urile cu trap ın cazul conversiilor vor fi tratate analog ca ın cazul

overflow-urilor.


Observatie: din cele de mai sus rezulta ca factorul cel mai important caredetermina aparitia overflow/underflow este situarea exponentului sub E min

http://find/



p ¸ / p(underflow), respectiv deasupra lui E max (overflow).

• Exceptia inexact:

Este semnalata daca rezultatul rotunjit al unei operatii este inexact sauefecueaza overflow fara trap.

Rezultatul rotunjit sau avand overflow este furnizat destinatiei sau, daca seefectueaza trap la inexact, handler-ului asociat trap-ului.


(5) Trap-uri:

Utilizatorul poate solicita un trap (ıntrerupere software) ın cazul oricareiadi l i i ii d i i ifi i b i h dl

http://find/



dintre cele cinci exceptii de mai sus, prin specificarea unei subrutine handlerasociata lui.De asemenea, poate solicita ca un asemenea handler sa fie dezactivat, salvat,restaurat, si poate testa daca handler-ul este activat sau nu.

Daca este semnalata o exceptie cu trap-ul dezactivat, ea este tratata asa cumam prezentat ın sect iunea ’exceptii’.

Daca este semnalata o exceptie cu trap-ul activat, executia programului ın carea aparut exceptia este suspendata iar handler-ul este apelat, furnizandu-i-se (deexemplu ca parametru) un rezultat asa cum am prezentat ın sectiunea’exceptii’.


Un handler de trap trebuie sa aiba capabilitat ile unei subrutine ce poatereturna o valoare spre a fi folosita ın locul rezultatului operat iei exceptat; acestrezultat este nedefinit, ın afara cazului cand este furnizat de handler-ul de trap.

De asemenea, flag(-urile) corespunzatoare except iilor semnalate cu trap activatpot avea valori nedefinite, ın afara cazului cand ele sunt setate/resetate de

http://find/



p /handler.

Se recomanda ca un handler de trap sa poata determina:- ce exceptie / exceptii au aparut ın aceasta operatie;

- tipul operatiei efectuate;- formatul destinatiei;- ın cazul exceptiilor ’overflow’, ’underflow’ si ’inexact’, rezultatul corect

rotunjit, inclusiv informatia ca s-ar putea sa nu se potriveasca ın formatuldestinatiei;

- ın cazul exceptiilor ’operatie invalida’ si ’ımpartire la zero’, valorile

operandului.

Daca sunt activate, trap-urile asociate exceptiilor ’overflow’ si ’underflow’ auprioritate (precedenta) asupra unui trap separat asociat exceptiei ’inexact’.

Implementarea operatiilor ın virgula mobila

http://goforward/

http://find/

http://goback/



In continuare prezentam detalii referitoare la modul de implementare a unoroperatii ın virgula mobila, mai exact adunarea si ınmultirea, pentru a ındeplinireglementarile din standardul IEEE 754.

Adunarea ın virgula mobilaAlgoritmul de adunare ın virgula mobila:

(1) Se compara exponentii celor doua numere.Se deplaseaza spre dreapta cifrele mantisei numarului cu exponent mai mic

(deci se deplaseaza spre stanga virgula sa) pana cand exponentii celor

doua numere devin egali.(2) Se aduna mantisele Adunarea mantiselor determina si semnul sumei

http://goforward/

http://find/

http://goback/



(2) Se aduna mantisele. Adunarea mantiselor determina si semnul sumei.

(3) Se normalizeaza suma, fie deplasand dreapta si incrementand exponentul,fie deplasand stanga si decrementand exponentul.

Se testeaza daca ın urma normalizarii sumei s-a produs

overflow/underflow (exponentul sumei este ın afara domeniuluicorespunzator formatului).Daca da, se semnaleaza exceptie.Daca nu, se trece la (4).

(4) Se rotunjeste suma, conform formatului.

(5) Se testeaza daca suma rotunjita este normalizata (de exemplu, daca larotunjire se aduna un 1 la un sir de biti 1, rezultatul poate sa nu fienormalizat).

Daca da, stop.Daca nu, se reia pasul (3).

Adunarea ın virgula mobila

http://find/



Circuit logic pentru adunarea ın virgula mobila:

TODO (H&P, Fig. 4.45, p.262)

Adunarea ın virgula mobilaExemplu: Fie x = 0.5, y = −0.4375. Calculati x + y aplicand algoritmul deadunare ın virgula mobila pentru formatul single.

Nu este nevoie sa determinam formatul intern (ca single) al celor doua numere.

Putem opera pe reprezentarea lor matematica ın baza 2 ın notatie stiintifica,dar vom tine cont de parametrii formatului single: n = 32, k = 8, p = 24,E 126 E bi 127

http://find/



E min = −126, E max = bias = 127.

Reprezentam x , y ın baza 2:Partile lor ıntregi sunt 0; pentru part ile lor fractionare, avem:

0.5×

2 = 1.0 0.4375×

2 = 0.8750.875 × 2 = 1.750.75 × 2 = 1.50.5 × 2 = 1.0

Deci (x )2 = 0.1, (y )2 = −0.0111.

In notatie stiintifica normalizata, avem: x = 1.0

×2−1, y =

−1.11

×2−2.

Deoarece exponentii −1 si −2 sunt ın intervalul −126, . . . , 127 iar fractiile 0si 11 ıncap pe 23 biti, numerele x si y se vor reprezenta ca single ın formanormalizata, cu s , c , f deduse din notatia stiintifica normalizata de mai sus (numai scriem reprezentarile respective).

Adunarea ın virgula mobila

Aplicam pasii algoritmului de adunare ın virgula mobila descris mai devreme:

(1) Avem −2 < −1, deci se deplaseaza spre dreapta cifrele mantisei lui y

panace exponentul sau ıl egaleaza pe cel al lui x : y = −0.111 × 2−1.

(2) S d ˘ i l 1 0 0 111 0 001 d i + 0 001 2−1

http://find/



(2) Se aduna mantisele: 1.0 − 0.111 = 0.001, deci suma x + y = 0.001 × 2−1.

(3) Se normalizeaza suma, verificand daca se produce overflow/underflow:Avem 0.001 × 2−1 = 1.0 × 2−4 si cum −126 ≤ −4 ≤ 127, nu avemoverflow/underflow.

(4) Se rotunjeste suma, conform formatului single (23 zecimale binare):Intrucat fractia 0 ıncape pe 23 biti, rotunjirea nu produce nici o modificare abitilor.

(5) Suma rezultata este deja normalizata, deci nu se impune ınca o normalizare.

ˆIn final, am obtinut suma 1.0 × 2

−4

= 1 × 2

0

× 2

−4

= 2

−4

=

1

16 = 0.0625.Putem verifica, efectuand adunarea (scaderea) ın baza 10, ca 0.5 − 0.4375 = 0.0625.

Inmultirea ın virgula mobilaAlgoritmul de ınmultire ın virgula mobila:

(1) Se aduna exponentii celor doua numere, obtinandu-se exponentulprodusului.

Alternativ, se aduna exponentii biasati, scazand o data biasul, obtinandu-seexponentul biasat al produsului.

(2) Se ınmultesc mantisele.

(3) Se normalizeaza produsul daca este necesar prin deplasare dreapta si

http://goforward/

http://find/

http://goback/



(3) Se normalizeaza produsul, daca este necesar, prin deplasare dreapta siincrementand exponentul.

Se testeaza daca ın urma normalizarii produsului s-a produsoverflow/underflow (exponentul produsului este ın afara domeniului

corespunzator formatului).Daca da, se semnaleaza exceptie.Daca nu, se trece la (4).

(4) Se rotunjeste produsul, conform formatului.Se testeaza daca produsul rotunjit este normalizat.Daca da, se trece la (5).

Daca nu, se reia pasul (3).(5) Se stabileste semnul produsului ca fiind pozitiv, daca operanzii au acelasi

semn si negativ, daca operanzii au semn contrar (se face ’xor’ ıntre bitiide semn ai reprezentarile operanzilor).

Stop.

Inmultirea ın virgula mobila

Exemplu: Fie x = 0.5, y = −

0.4375. Calculati x

×y aplicand algoritmul de

ınmultire ın virgula mobila pentru formatul single.

C ˆ l l d i ˘ d i ˘ f l i (

http://find/



Ca ın exemplul precedent, nu este nevoie sa determinam formatul intern (casingle) al celor doua numere, ci putem opera pe reprezentarea lor matematicaın baza 2 ın notatie stiintifica, tinand cont de parametrii formatului single:n = 32, k = 8, p = 24, E min =

−126, E max = bias = 127.

Am vazut ın exemplul precedent ca, ın notatie stiintifica normalizata, avem:x = 1.0 × 2−1, y = −1.11 × 2−2 si ca ambele numere se vor reprezenta casingle ın forma normalizata, cu s , c , f deduse din aceasta notatie (deoareceexponentii −1 si −2 sunt ın intervalul −126, . . . , 127 iar fractiile 0 si 11ıncap pe 23 biti).

Inmultirea ın virgula mobilaAplicam pasii algoritmului de ınmultire ın virgula mobila descris mai devreme:

(1) Se aduna exponentii, obtinandu-se exponentul produsului:−1 + (−2) = −3.

Alternativ, se aduna exponentii biasati (caracteristicile), scazand o data biasul,obtinandu-se exponentul biasat (caracteristica) al produsului:(−1 + 127) + (−2 + 127) − 127 = 124

http://find/



( 1 + 127) + ( 2 + 127) 127 = 124.

(2) Se ınmultesc mantisele:

1.0 0 x1.1 1

-----1 0 01 0 0

1 0 0---------1 . 1 1 0 0

Deci produsul fara semn este (deocamdata): 1.11 × 2−3

(3) Se normalizeaza produsul, verificand daca se produce overflow/underflow:Produsul este deja normalizat si, deoarece exponentul sau se ıncadreaza ındomeniul −126 ≤ −3 ≤ 127 (sau exponentul sau biasat se ıncadreaza ındomeniul 1 ≤ 124 ≤ 254), nu avem overflow/underflow.

Inmultirea ın virgula mobila

(4) Se rotunjeste produsul, conform formatului single (23 zecimale binare) si se

verifica daca dupa rotunjire este normalizat:Intrucat fractia 11 ıncape pe 23 biti, rotunjirea nu produce modificari, iar

http://find/



t ucat act a cape pe 3 b t , otu j ea u p oduce od ca , aprodusul este, ın continuare, normalizat.

(5) Se stabileste semnul produsului ca fiind negativ, deoarece semneleoperanzilor difera.

In final, se obtine produsul−1.11 × 2−3 = −(1 × 20 + 1 × 2−1 + 1 × 2−2) × 2−3 = −(1 + 1

2 + 1

4) × 1

8 =

− 74 × 1

8 = − 7

32 = −0.21875.

Putem verifica, efectuand ınmultirea ın baza 10, ca 0.5 × (−0.4375) = −0.21875.

Alte operatii ın virgula mobila

Am vazut ca algoritmul de adunare poate efectua (ın functie de semnul celuide-al doilea operand) si scaderea.

Inmultirea se face ın general mai lent decat adunarea si scaderea, dar existamulte procedee de a adauga hardware pentru a o face mai rapida.

http://find/

http://goback/



p g p p

Este ınsa greu de conceput o ımpartire ın virgula mobila rapida si exacta.

O tehnica se bazeaza pe iteratia lui Newton, unde ımpartirea este transformata

ın aflarea zeroului unei functii, pentru a determina valoarea inversa 1/x , careapoi este ınmultita cu celalalt operand.Tehnicile iterative ınsa nu pot fi rotunjite corect daca nu se calculeaza maimulti biti suplimentari.

Pe de alta parte, tehnica ımpartirii SRT (Sweenez, Robertson, Tocher) ıncearcasa estimeze ın fiecare pas mai multi biti ai catului, utilizand un tabel de cautarepe baza celor mai semnificativi biti ai deımpartitului si restului; pasilor urmatorile revine sarcina corectarii estimarilor gresite.

Aritmetica precisaAsa cum am mai spus, standardul IEEE 754 cere ca toate operatiile, cuexceptia conversiei binar ↔ zecimal, sa fie efectuate ca si cand ar produce maiıntai un rezultat intermediar exact (cu precizie infinita si domeniu nelimitat),iar apoi l-ar rotunji.

De aceea, pentru o rotunjire corecta, hardware-ul trebuie sa includa ın calculbiti suplimentari. In algoritmii de adunare si ınmultire descrisi mai devreme nu

http://find/



¸ p g ¸ ¸ ¸am precizat numarul de biti pe care poate sa-l ocupe o reprezentareintermediara, dar ın mod evident, daca fiecare rezultat intermediar ar fitrunchiat la numarul fixat de biti pe care trebuie sa-l ocupe reprezentarea

finala, rotunjirea nu ar mai avea sens, iar rezultatul final ar fi alterat prea tare.Din acest motiv, hardware-ul foloseste ın timpul calculelor intermediare trei bitisuplimentari, adaugati ın partea cea mai putin semnificativa a fractiei:

- bitul de garda, ıl vom nota b −1;- bitul de rotunjire, ıl vom nota b −2;- bitul de colectare (sticky bit), ıl vom nota b −3.

Reprezentarile rezultatelor intermediare vor avea deci bitii b n . . . b 0b −1b −2b −3.Cand se deplaseaza la dreapta mantisele, bitii de garda si rotunjire vor pastraprimele zecimale care au iesit din campul fract ie al formatului, iar bitul decolectare va fi setat cu 1 d.d. exista zecimale nenule la dreapta bitului de rotunjire.

Aritmetica precisaExemplu: Fie x = 1.1001 × 2−1 = 1.5625, y = 1.0001 × 23 = 8.5. Calculatix + y aplicand algoritmul de adunare ın virgula mobila pentru formatul devirgula mobila descris de parametrii: n = 8, k = 3, p = 5 (deci fractia are 4zecimale binare), E min = −22 + 2 = −2, E max = bias = 22 − 1 = 3.

Se va efectua calculul atat ın cazul cand sunt prezenti cei trei biti suplimentari(deci reprezentarile intermediare au fract ia de 7 biti) cat si ın cazul candacestia nu sunt prezenti (deci reprezentarile intermediare au fract ia de 4 biti)

http://find/



acestia nu sunt prezenti (deci reprezentarile intermediare au fract ia de 4 biti).

Deoarece exponentii −1 si 3 sunt ın intervalul −2, . . . , 3 iar fractiile 1001 si0001 ıncap pe 4 biti, numerele x si y se vor reprezenta ın forma normalizata, cus , c , f deduse din notatia stiintifica normalizata data ın enunt.

Avem −1 < 3, deci se deplaseaza spre dreapta mantisa lui x .

In cazul cand folosim bit ii suplimentari, mantisa lui x va deveni 0.0001101 (zeci-malele pierdute ın dreapta bitului de rotunjire sunt 01, de aceea bitul de colectarea devenit 1), deci vom avea de adunat 0.0001101 + 1.0001000 = 1.0010101,

deci rezultatul intermediar este 1.0010101 × 23

.El este normalizat si, deoarece −2 ≤ 3 ≤ 3, nu se produce overflow/underflow.Aplicand rotunjirea ’round to nearest’ conform formatului dat (4 zecimale),obtinem rezultatul intermediar 1.0011 × 23. Aceasta este normalizat.Deci, rezultatul final este: x + y = 1.0011 × 23 = 9.5

Aritmetica precisa

In cazul cand nu folosim bitii suplimentari, prin deplasarea la dreapta mantisalui x va deveni 0.0001, deci vom avea de adunat 0.0001 + 1.0001 = 1.0010,

http://find/



deci rezultatul intermediar este 1.0010 × 23.El este normalizat si, deoarece −2 ≤ 3 ≤ 3, nu se produce overflow/underflow.De asemenea, nu avem ce rotunji.

Astfel, rezultatul final este: x + y = 1.0010 × 23

= 9.Rezultatul exact, obtinut efectuand adunarea ın baza 10, este:x + y = 1.5625 + 8.5 = 10.0625.

Aritmetica precisa

Observatii:

• Adunarea are nevoie doar de un bit suplimentar (bitul de garda), darınmultirea poate avea nevoie de doi (bitul de garda si cel de rotunjire).Un produs binar poate avea ın fata un bit 0 prin urmare pasul de normalizare

http://find/



Un produs binar poate avea ın fata un bit 0, prin urmare pasul de normalizarepoate deplasa produsul spre stanga cu un bit. Aceasta deplaseaza bitul degarda ın pozitia celui mai putin semnificativ bit al produsului (ultimul bit alfractiei), lasand bitul de rotunjire sa ajute corecta rotunjire a produsului.

• Bitul de colectare permite calculatorului sa faca diferenta, atunci cand facerotunjirea, ıntre 0.10 . . . 00 (aflat la jumatatea distantei ıntre 0 si 1 si careastfel, cu regula ’round to nearest’, s-ar rotunji la ıntregul par 0) si 0.10 . . . 01(care, cu regula ’round to nearest’ s-ar rotunji la ıntregul 1).Bitul de colectare poate fi setat, de exemplu, ın timpul adunarii, cand numarulcu exponent mai mic este delasat spre dreapta (a se vedea exemplul anterior).

Aritmetica precisa

Precizia virgulei mobile este masurata ın mod obisnuit prin numarul de bitieronati, din ultimii biti semnificativi ai mantisei (bitii cei mai putin semnificativi

http://goforward/

http://find/

http://goback/



¸ ¸ ( ¸ p ¸ai fractiei); masura s.n. numarul de unitati din ultimele pozitii sau ulp (unitsin the last place). Daca un numar este mai mic cu 2 ın bit ii cei mai putinsemnificativi, se va spune ca este mai putin cu 2 ulpi.

Daca nu se semnaleaza exceptii (operatie invalida, overflow, underflow),standardul IEEE 754 garanteaza ca numarul folosit de calculator este cu oprecizie de pana la o jumatate de ulp.

Inadvertente si capcaneDiferenta dintre precizia limitata a aritmeticii calculatoarelor si precizianelimitata a aritmeticii din matematica conduce la mai multe inadvertente sicapcane aritmetice, la care trebuie sa fim atenti atunci cand scriem programe.

Una din inadvertente este ca adunarea numerelor reale din matematica este

asociativa, ın timp ce adunarea ın virgula mobila din calculator nu este.De exemplu, consideram urmatoarea secventa de cod ın limbajul C:

fl t 1 2 / fl t i l t i i l /

http://goforward/

http://find/

http://goback/



float x,y,z,r1,r2; /* float se implementeaza prin single */

x = -1.5e38; y = 1.5e38; z = 1.0;

r 1 = x + ( y + z ) ;

r 2 = ( x + y ) + z ;

printf("%f %f", r1, r2); /* afisaza: 0.000000 1.000000 */

Intr-adevar, la adunarea y + z, adica 1.5e38 + 1.0, diferenta ıntre operanzieste atat de mare ıncat la deplasarea spre dreapta a operandului mai mic 1,pentru aducere la acelasi exponent cu operandul mai mare 1.5e38, toti bitiinenuli ai mantisei au iesit din campul fractie al reprezentarii single, a.ı. s-a

adunat de fapt 1.5e38 + 0.Numerele pozitive < cel mai mic numar pozitiv denormalizat reprezentabil suntprea mici pentru a putea fi reprezentate iar cand se obtin dintr-un calcul si nuapare underflow se asimileaza cu 0 (asemenea numere care ın matematica suntnenule dar ın calculator se asimileaza cu 0 s.n. zerouri ale masinii).

Inadvertente si capcaneExemplu: Ilustram alte cateva fenomene legate de aparitia, propagarea,amplificarea erorilor la efectuarea operatiilor ın virgula mobila, considerandurmatoarea secventa de cod ın limbajul C:

float x,y,z;

x = 1 / -3e38; printf("%f\n", x);

/ fi 0 000000 /

http://goforward/

http://find/

http://goback/



/* afisaza: -0.000000 */

x = 3e38; y = 3e38; z = x + y; printf("%f\n", z);

/* afisaza: inf (+infinit) */

x = (1 / -3e38) * (3e38 + 3e38); printf("%f\n", x);

/* afisaza: -2.000000 */

/* adica: (-0) * (+infinit) == -2; semnul vine de la -0 */

x = 3e38; y = 1e-30; z = x + y; printf("%g\n", z);

/* afisaza: 3e+38 (== x) */

x = 1e-38 * (1 / 1e-38) - 1; printf("%g\n", x);

/* afisaza: -1.11022e-16 *//* deci !=0 dar foarte mic */

Atentie deci la erorile de calcul si zerourile masinii.

Inadvertente si capcane

Din cauza erorilor de calcul care apar prin pierderea ultimelor zecimale, serecomanda ca ın programele cu multe operatii ın virgula mobila sa se

ınlocuiasca testele de forma x == 0 cu teste de forma fabs(x) < eps, undeeps este un numar real strict pozitiv foarte mic, convenabil ales, de exemplu0.00001.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



De exemplu, daca programam metoda lui Gauss de rezolvare a unui sistem deecuatii liniare (algoritmul presupune multiple ınmultiri si ımpartiri la elementenenule din matricea sistemului alese ca pivot, ın urma carora matricea capata 0

sub diagonala), elemente care matematic ar trebui sa fie 0 ın calculator suntnumere nenule cu modul foarte mic - deci daca am cauta pivotii nenuli dupaconditia a[i][j] != 0, am risca sa alegem drept pivot un numar carematematic (daca am face calculele exact) ar trebui sa fie 0.

ˆIn general, efectele negative ale erorilor de calcul ın virgula mobila sunt foartemari daca pe baza rezultatelor calculelor aritmetice se iau decizii logice.

Inadvertente si capcane

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Concluzie: operatiile aritmetice din calculator au alte proprietati decat cele dinmatematica, astfel ıncat algoritmii din matematica trebuie modificat i pentru afi corecti si cu operatiile din calculator.

Cuprins1 Performata calculatoarelorConceptul de performantaMasurarea performantei

2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematica

Reprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Reprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila

3 Logica pentru calculatoare


4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)

1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4



Reprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Reprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila



4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)

1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

Sistemele de calcul ın general se bazeaza pe logica clasica (Aristotel).

C d t l l b i l t i l i i t tit it di l b l i f tiil

http://find/



Corespondentul algebric al acestei logici este constituit din algebrele si funct iilebooleene. O deosebita importanta o vor avea algebra cu doua elemente B 2 sifunctiile booleene corespunzatoare acestui caz.

Notiunea de algebra booleana are mai multe definitii echivalente. O vomintroduce progresiv.

Inversa unei relatii binare

Def: Fie R o relatie binara pe o multme A. Relatia inversa lui R este relatia

binara R −1 pe A definita astfel:

xR −1

y d ⇔ yRx

http://find/



Th: R −1−1 = R

Daca A este finita, putem reprezenta grafic o relatie binara R pe A printr-odiagrama ın care: elementele lui A sunt reprezentate prin puncte, iar faptul caxRy este reprezentat printr-o sageata de la punctul x la punctul y .In acest caz, reprezentarea lui R −1 se obtine inversand sensul sagetilor.

TODO: desen pentru R si R −1.

Multimi ordonate

Def: Fie A o multime. O relatie binara ≤ pe A s.n. relatie de ordine

(partiala), daca satisface axiomele:reflexivitate: x ≤ x

antisimetrie: daca x ≤ y si y ≤ x , atunci x = y

http://find/



tranzitivitate: daca x ≤ y si y ≤ z , atunci x ≤ z

In acest caz, perechea A, ≤ s.n. multime (partial) ordonata.Inversa relatiei

≤ se noteaza

≥.

Doua elemente x , y ∈ A sunt comparabile daca x ≤ y sau y ≤ x ; altfel, suntincomparabile.Vom nota cu x < y (sau y > x ) faptul ca x ≤ y si x = y .

Th: ≤ este relatie de ordine ⇔ ≥ este relatie de ordine(multimile ordonate A, ≤ si A, ≥ se zic duale un celeilalte).

Multimi ordonate

Daca E este o notiune sau proprietate formulata pentru o anumita multimeordonata, vom nota cu E op notiunea/proprietatea analoaga formulata pentru

duala acesteia (practic, se ınlocuieste ın E relatia de ordine cu inversa ei). E op

s.n. duala lui E .

Evident, avem E op op = E , iar E si E op sunt duale una alteia.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Principul dualitat ii pentru multimi ordonate afirma ca daca P este oproprietate formulata pentru o anumita multime ordonata si consideram

duala ei P op , atunci:

P este adevarata ⇔ P op este adevarata

In general, notiunile legate de ordine se definesc ın perechi de notiuni

duale. Pentru ele sunt formulate proprietati duale.

Multimi ordonateO relatie de ordine ≤ pe o multime finita A se poate reprezenta grafic printr-odiagrama Hasse, astfel: elementele multimii A sunt reprezentate prin puncte,iar faptul ca x < y si nu exista z ∈ A a.ı. x < z < y se reprezinta printr-o liniece uneste punctele x si y , y fiind situat mai sus ca x .

Exemplu: x z

\ / \

y t

\ /

http://goforward/

http://find/

http://goback/



\ /

u

Aceasta diagrama arata ca elementele aflate ın relat ie sunt: u ≤ u , y , t , x , z ;y ≤ y , x , z ; t ≤ t , z ; x ≤ x ; z ≤ z ; observam ca nu este nevoie sa evidentiemprin sageti toate perechile de elemente aflate ın relatie (ın general, avem a ≤ b

d.d. a = b sau exista un lant ascendent de la a la b ).

Diagrama Hasse asociata relatei inverse ≥ este desenul ”rasturnat”:

u

/ \y t

/ \ /

x z

Multimi ordonate

Def: Relatia de ordine R pe multimea A este totala daca satisface ın plusaxioma:

pentru orice x , y

∈ A, avem x

≤ y sau y

≤ x

(i.e. oricare doua elemente sunt comparabile).In acest caz, perechea A, ≤ s.n. multime total ordonata (sau liniarordonata).

http://goforward/

http://find/

http://goback/



)

Th: ≤ este relatie de ordine totala ⇔ ≥ este relatie de ordine totala.

Diagrama Hasse a unei relatii de ordine totale pe o multime finita este un lantdescendent:

x

|

y

|

z

Multimi ordonate

Def: Fie

A,

≤ o multime ordonata.

• Un element z ∈ A este majorant/minorant pentru o submultime M ⊆ Adaca ∀x ∈ M (x ≤ z ) / ∀x ∈ M (z ≤ x ).

• Un element z ∈ A este element maximal/element minimal pentru o

http://find/



• Un element z ∈ A este element maximal/element minimal pentru osubmultime M ⊆ A daca z ∈ M si ∀x ∈ M (z , x comparabile → x ≤ z ) /z ∈ M si ∀x ∈ M (z , x comparabile → z ≤ x ).

• Un element z ∈ A este maxim/minim pentru o submultime M ⊆ A dacaz ∈ M si ∀x ∈ M (x ≤ z ) / z ∈ M si ∀x ∈ M (z ≤ x ).

• Un element z ∈ A este supremum/infimum pentru o submultime M ⊆ A

daca z este majorant pentru M si ∀x ∈ A (x majorant pentru M → z ≤ x ) / z

este minorant pentru M si ∀x ∈ A (x minorant pentru M → x ≤ z ).

Multimi ordonateTh: Fie A, ≤ o multime ordonata si M ⊆ A.

• Daca x , y ∈ A sunt maxime pentru M , atunci x = y ; cu alte cuvinte,maximul lui M , daca exista, este unic; el se noteaza max M si se mai numestecel mai mare element al lui M , sau ultimul element al lui M.

Daca x , y

∈ A sunt minime pentru M , atunci x = y ; cu alte cuvinte, minimul

lui M , daca exista, este unic; el se noteaza min M si se mai numeste cel maimic element al lui M , sau primul element al lui M.

• max M , daca exista, este si element maximal pentru M , iar M nu mai are alte

http://goforward/

http://find/

http://goback/



elemente maximale.min M , daca exista, este si element minimal pentru M , iar M nu mai are alte

elemente minimale.

• Daca x , y ∈ A sunt supremumuri pentru M , atunci x = y ; cu alte cuvinte,supremumul lui M , daca exista, este unic; el se noteaza sup M .

Daca x , y ∈ A sunt infimumuri pentru M , atunci x = y ; cu alte cuvinte,infimumul lui M , daca exista, este unic; el se noteaza inf M .

• Daca exista max M , atunci exista si sup M si sup M = max M .

Daca exista min M , atunci exista si inf M si inf M = min M .

• Daca x , y ∈ A, x ≤ y , atunci x este singurul element minimal, minimul siinfimumul multimii x , y , iar y este singurul element maximal, maximul sisupremumul multimii x , y .

Multimi ordonateObservatii:

• Un majorant/minorant al lui M nu este neaparat element al lui M ; M poateavea 0 sau mai multi majoranti / minoranti.

Daca z ∈ A este majorant/minorant al lui M si z ∈ M , atunci

z = max M / min M si M nu are alti majoranti / minoranti.In particular, daca exista z = sup M / inf M si z ∈ M , atunci

z = max M / min M (si M nu are alti majoranti / minoranti).

http://find/



• Un element maximal/minimal al lui M este un element al lui M care este maimare / mai mic decat toate elementele lui M cu care este comparabil (dar nueste neaparat comparabil cu toate); M poate avea 0 sau mai multe elementemaximale / minimale.

• max M /min M este un element al lui M comparabil si mai mare / comparabilsi mai mic decat toate elementele lui M ; M poate avea 0 sau cel mult un max/ min.

• sup M /inf M este cel mai mic majorant / cel mai mare minorant al lui M ; M

poate avea 0 sau cel mult un sup / inf; max / min sunt notiuni mai tari decatsup / inf.

• Notiunile minorant/majorant, element minimal/element maximal,minim/maxim, infimum/supremum, sunt respectiv duale.

Multimi ordonateExemplu: Fie multimea ordonata urmatoare:

t

|

z p

/\ // \ /

x y

|\ /|\

http://find/



|\ /|\

| \ / | \

| /\ | c

|/ \|a b

\ /

\ /

\/

u

Submultimea x , y are majorantii z , t , minorantii a, b , u , elementelemaximale si minimale x , y , nu are min sau max, are sup = z si nu are inf .Submultimea z , x , y , c are majorantii z , t , nu are minoranti, are sup = max = z

(si singurul element maximal), elementele minimale x , c , nu are min sau inf.

Latici

Exemplu: Fie multimea ordonata IR, ≤.

• Pentru M = (0 1) ⊆ IR avem: 1 = sup M (deoarece majorantii lui M sunt

http://find/



• Pentru M = (0, 1) ⊆ IR, avem: 1 = sup M (deoarece majorantii lui M suntelementele multimii [1, ∞) iar 1 = min[1, ∞)), dar ∃ max M .

• Pentru M = (0, 1]

⊆ IR, avem: 1 = sup M = max M (majorantii lui M sunt

tot elementele multimii [1, ∞)).

LaticiDef: S.n. latice Ore o multime ordonata A, ≤ a.ı. ∀x , y ∈ A, ∃

inf x , y supx , y

Exemplu: Multimea ordonata urmatoare este o latice Ore:

1/ \

a b

\ /

http://find/



\ /

0

Observam ca 0 = inf a, b , dar ∃ mina, b , 1 = supa, b , dar ∃ maxa, b .Def: S.n. latice Dedekind o algebra A, ∨, ∧ de tip (2, 2), care satisfaceaxiomele:

asociativitate: (x ∨ y ) ∨ z = x ∨ (y ∨ z ), (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z )comutativitate: x ∨ y = y ∨ x , x ∧ y = y ∧ x

absorbtie: x ∨ (x ∧ y ) = x , x ∧ (x ∨ y ) = x Operatiile ∨ si ∧ s.n. disjunctie, respectiv conjunctie.

Th: Intr-o latice Dedekind, pentru orice doua elemente x , y , avem:x ∨ y = y ⇔ x ∧ y = x .

Latici

Cele doua notiuni de latice definite mai devreme sunt echivalente, mai exact:

• Daca A = A, ≤ este o latice Ore, atunci Φ(A) d = A, ∨, ∧, unde:

∀x , y ∈ A, x ∨ y

d

= supx , y , x ∧ y

d

= inf x , y este o latice Dedekind.

• Daca A = A, ∨, ∧ este o latice Dedekind, atunci Ψ(A) := A, ≤, unde:

∀x y ∈ A x ≤ y d ⇔ x ∨ y y (⇔ x ∧ y x )

http://find/



∀x , y ∈ A, x ≤ y ⇔ x ∨ y = y (⇔ x ∧ y = x )este o latice Ore.

• Transformarile Φ si Ψ sunt inverse una alteia:∀A latice Ore, Ψ(Φ(A)) = A; ∀A latice Dedekind, Φ(Ψ(A)) = A.

In cele ce urmeaza, prin latice vom ıntelege o latice Dedekind, dar avand ınvedere echivalenta de mai sus, pe o latice vom considera automat atatoperatiile ∨, ∧, cat si relatia de ordine ≤. Am putea evidentia toate acestecomponente ın notatia ei scriind:

A,

≤,

∨,

∧. Cand operatiile si relatia de

ordine se subınteleg din contex, vom desemna ınsa laticea doar prin A

(multimea subiacenta).

Latici

Th: A, ∨, ∧ este o latice ⇔ A, ∧, ∨ este o latice(cele doua latici se zic duale un celeilalte).

Daca E este o notiune sau proprietate formulata pentru o anumita latice, dualaei E op se obtine interschimband peste tot ∨ si ∧ (aceste operatii sunt dualeuna celeilalte).

Principul dualitatii pentru latici rezulta din principul dualitatii pentru multimi

http://find/



Principul dualitatii pentru latici rezulta din principul dualitatii pentru multimiordonate si afirma ca daca P este o proprietate formulata pentru o anumitalatice si consideram duala ei P op , atunci:

P este adevarata ⇔ P op este adevarata

Asa cum am vazut deja, ın general notiunile / proprietat ile legate de latici sedau ın perechi de notiuni / proprietati duale.

De exemplu, avem notiunile de majorant / minorant, max / min, etc.; deasemenea, avem cate doua legi de asociativitate, comutativitate, absorbtie.

Latici

Th: Orice latice satisface:

idempotenta: x ∨ x = x , x ∧ x = x

http://find/



p ¸ ,

Def: O latice A se zice completa, daca ∀M ⊆ A, ∃ sup M , inf M ∈ A.

Th: Orice latice finita este completa.

Latici distributive, marginite, complementateTh: In orice latice A, urmatoarele proprietat i sunt echivalente:• ∀x , y , z ∈ A, x ∧ (y ∨ z ) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z )• ∀x , y , z ∈ A, x ∨ (y ∧ z ) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z )

Def: O latice se zice distributiva, daca satisface axioma:

distributivitate: x ∧ (y ∨ z ) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z ), x ∨ (y ∧ z ) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z )(conform th. anterioare, e suficient sa cerem doar una dintre cele doua relatii).

Def: S.n. latice marginita (sau latice cu prim si ultim element) o algebra

http://find/



A, ∨, ∧, 0, 1 de tip (2, 2, 0, 0) (asadar 0, 1 sunt elemente distinse din A), a.ı.:• A, ∨, ∧ este latice.

• 0 = min A, 1 = max A.Observatii:• Conditia 0 = min A se poate ınlocui cu una dintre identitatile∀x ∈ A (0 ∨ x = x ), ∀x ∈ A (0 ∧ x = 0); conditia 1 = max A se poate ınlocui cuuna dintre identitatile ∀x ∈ A (1 ∨ x = 1), ∀x ∈ A (1 ∧ x = x ).

• O latice marginita este ın mod necesar nevida (deoarece trebuie sa contina

cel putin pe 0 si 1), dar nu trebuie neaparat ca 0 = 1; daca 0 = 1, atunci A sereduce la un singur element (deoarece ∀x ∈ A (0 ≤ x ≤ 1 = 0)).• O notiune/proprietate referitoare la latici marginite se dualizeazainterschimband ∨ cu ∧ si 0 cu 1; principiul dualitatii se pastreaza.

Latici distributive, marginite, complementateDef: Fie A, ∨, ∧, 0, 1 o latice marginita.• Daca x ∈ A, s.n. complement al lui x orice y ∈ A a.ı. x ∨ y = 1 si x ∧ y = 0.• Un element x ∈ A, se zice. complementat, daca are cel put in uncomplement.

• Laticea marginita A se zice complementata, daca orice element al sau estecomplementat.

Th: Intr-o latice marginita si distributiva orice element poate avea cel mult uncomplement

http://find/



complement.

Observatii:

• Numai o latice marginita poate fi complementata.• In orice latice marginita, 0 are ca unic complement pe 1, 1 are ca uniccomplement pe 0, iar 0 si 1 sunt singurele elemente comparabile cu uncomplement al lor.• Daca o latice complementata nu este si distributiva, un element poate aveamai multe complemente.

• Daca o latice complementata este si distributiva, adica este o algebrabooleana, orice element x are un complement unic, notat x ; ın acest caz,corespondenta x → x se poate adauga signaturii algebrei booleene, ca ooperatie unara (a se vedea mai jos).

Algebre booleeneDef: S.n. algebra booleana o algebra A, ∨, ∧, , 0, 1 de tip (2, 2, 1, 0, 0) careeste latice distributiva, marginita si complementata (cuvantul ”marginita” esteredundant). Cu alte cuvinte, ea satisface axiomele:asociativitate: (x ∨ y ) ∨ z = x ∨ (y ∨ z ), (x ∧ y ) ∧ z = x ∧ (y ∧ z )comutativitate: x

∨y = y

∨x , x

∧y = y

∧x

absorbtie: x ∨ (x ∧ y ) = x , x ∧ (x ∨ y ) = x

distributivitate: x ∧ (y ∨ z ) = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ z ), x ∨ (y ∧ z ) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z )marginire: 0 = min A, 1 = max A

( hi l t 0 ∨ 0 ∧ 0 1 ∨ 1 1 ∧ )

http://find/



(sau, echivalent, 0 ∨ x = x , 0 ∧ x = 0, 1 ∨ x = 1, 1 ∧ x = x )complementare: x ∨ x = 1, x ∧ x = 0

Observatii:• O algebra booleana este nevida, deoarece contine 0, 1, dar nu trebuieneaparat ca 0 = 1; daca 0 = 1, atunci algebra booleana se reduce la un sin-gur element (algebra singleton B 1); daca algebra are ≥ 2 elemente, atunci ın modnecesar 0 = 1; exista algebra booleana cu numai doua elemente, 0 si 1, notata B 2.

• Singurele algebre booleene total ordonate sunt B 1 si B 2; ambele sunt complete.

• O notiune/proprietate referitoare la algebre booleene se dualizeazainterschimband ∨ cu ∧, 0 cu 1 si lasand intact. Astfel, unelenotiuni/proprietati, de exemplu cele formulate doar ın termenii lui , vor fipropriile lor duale (vor fi autoduale). Principiul dualitatii se pastreaza.

Algebre booleene

Def: In orice algebra booleana se definesc operatiile derivate:implicatia: x → y

d = x ∨ y

diferenta: x − y d = x ∧ y

hi l t ↔ d ( → ) ∧ ( → )

http://find/

http://goback/



echivalenta: x ↔ y = (x → y ) ∧ (y → x )

disjunctia exclusiva (xor): x y d = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ y ) = (x − y ) ∨ (y − x )

Observatie: Operatiile ↔ si sunt duale una alteia; fiecare dintre operatiile→ si − este duala celeilalte compuse cu permutarea operanzilor (x → y seinterschimba cu y − x ).

Algebre booleeneTh: In orice algebra booleana au loc urmatoarele proprietat i:

x → y = y → x , x − y = y − x

(x ↔ y ) ↔ z = x ↔ (y ↔ z ), (x y ) z = x (y z )(↔ si sunt asociative)

x

↔ y = y

↔ x , x

y = y

x

(↔ si sunt comutative)0 x = x , 1 ↔ x = x

1 x = x , 0 ↔ x = x

x → y x y x y x → y

http://find/



x → y = x − y , x − y = x → y

x y = x ↔ y , x ↔ y = x y

x = x (legea dublei negatii)x ∨ (x ∧ y ) = x ∨ y , x ∧ (x ∨ y ) = x ∧ y (absorbtia booleana)x ∨ y = x ∧ y , x ∧ y = x ∨ y (legile lui de Morgan)

(ın prezenta legii dublei negatii, acestea se pot formula echivalent:x ∨ y = x ∧ y , x ∧ y = x ∨ y )

x ∨ y = 1 si x ∧ y = 0 implica y = x (unicitatea complementului)

x ∨ y = 0 d.d. x = y = 0, x ∧ y = 1 d.d. x = y = 1Observatie: Constatam ca, ın baza principiului dualitatii, proprietatile apar ınperechi de proprietat i duale. Legea dublei negatii este autoduala, de aceeaapare singura.

Algebre booleeneExemplu: Daca M este o multime, multimea P (M ) a partilor lui M este oalgebra booleana completa, cu operatiile:

∨ = ∪ (reuniunea)∧ = ∩ (intersectia)

= C (complementara unei submultimi)0 = ∅ (multimea vida)1 = M (multimea totala)

Rezulta ca avem relatia de ordine:≤ ⊆ (incluziunea)

http://find/



≤=⊆ (incluziunea)si urmatoarele operat ii derivate:

− = \ (diferenta de multimi) = (diferenta simetrica de multimi).

Exemplu: Algebra booleana cu doua elemente B 2 = 0, 1 are operatiile datede urmatoarele tabele: x y x ∨ y x ∧ y

0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 1 1

x x

0 11 0

Relatia de ordine este: 0 ≤ 1.Aceasta algebra este importanta ın cele ce urmeaza si vom reveni asupra ei maitarziu.

Inele booleeneDef: S.n. inel unitar o algebra A, +, ·, −, 0, 1 de tip (2, 2, 1, 0, 0, ) a.ı.:• A, +, −, 0 este grup abelian, adica satisface:

(x + y ) + z = x + (y + z )x + 0 = 0 + x = x

x + (−x ) = (−x ) + x = 0x + y = y + x

• A, ·, 1 este semigrup unitar (monoid), adica satisface:(x · y ) · z = x · (y · z)

http://find/



(x y ) z x (y z )x · 1 = 1 · x = x

• operatia

· este distributiva fata de operatia +, adica satisface:

x · (y + z ) = x · y + x · z , (y + z ) · x = y · x + z · x

(ın notatie, am presupus ca · are precedenta mai mare decat + si am omisparantezele inutile).

Inelul unitar este comutativ, daca · este comutativa:x · y = y · x

Def: S.n. inel boolean un inel unitar A, +, ·, −, 0, 1 a.ı. operat ia · esteidempotenta, adica satisface:

x · x = x

Inele booleene

Th: Orice inel boolean satisface:x + x = 0x · y = y · x (adica inelul boolean este comutativ)

http://find/



y y ( u s u )

Exemplu: Inelul claselor de resturi modulo 2,

Z/2, +,·,−

, 0, 1, este inel

boolean.

Inele booleene

Notiunile de algebra booleana si inel boolean sunt echivalente, mai exact:

• Daca A = A, ∨, ∧, , 0, 1 este o algebru a booleana, atunciρ(A)

d = A, +, ·, −, 0, 1, unde:

∀x , y ∈ A, x + y d = x y = (x ∧ y ) ∨ (x ∧ y ), x · y

d = x ∧ y si ∀x ∈ A, −x = x

este un inel boolean.

http://find/



• Daca A = A, +, ·, −, 0, 1 este un inel boolean, atunci

β (A) d

= A, ∨, ∧, , 0, 1, unde:∀x , y ∈ A, x ∨ y

d = x + y + x · y , x ∧ y

d = x · y si ∀x , y ∈ A, x = x + 1

este o algebra booleana.

• Transformarile ρ si β sunt inverse una alteia:∀A algebra booleana, β (ρ(A)) = A; ∀A inel boolean, ρ(β (A)) = A.



Reprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila

http://find/

http://goback/



3 Logica pentru calculatoareAlgebre booleene

Functii booleeneParticularizare la cazul B 2


Functii booleene

Fie B , ∨, ∧, , 0, 1 o algebra booleana si n ∈ IN, n ≥ 1.

Fie B B n

multimea functiilor definite pe B n

cu valori ın B .Printre elementele lui B B n se afla:• functiile constante: f a : B n −→ B , f a(x 1, . . . , x n) = a, a ∈ B ;• functiile proiectie: πi : B n → B , πi (x 1, . . . , x n) = x i , 1 ≤ i ≤ n.

http://find/

http://goback/



Th: B B n devine algebra booleana cu operatiile definite astfel:

(f ∨ g )(x 1, . . . , x n)

d

= f (x 1, . . . , x n) ∨ g (x 1, . . . , x n)(f ∧ g )(x 1, . . . , x n)

d = f (x 1, . . . , x n) ∧ g (x 1, . . . , x n)

f (x 1, . . . , x n) d = f (x 1, . . . , x n)

0(x 1, . . . , x n) d = 0

1(x 1, . . . , x n) d = 1

Functii booleeneDef: Functiile booleene din B B n se definesc recursiv astfel:(i) Daca f ∈ B B n este o functie constanta sau functie proiectie, atunci f este

functie booleana.(ii) Daca f , g ∈ B B n sunt functii booleene, atunci f ∨ g , f ∧ g sunt functiibooleene; daca f

∈ B B n este functie booleana, atunci f este functie booleana.

(iii) Toate functiile booleene din B B n se obtin aplicand de un numar finit de ori(i) si (ii).

Observatii:M lti f tiil b l di B Bn

t i i ˘ b lti F ⊆ B Bn

ˆ

http://find/



• Multimea functiilor booleene din B B este cea mai mica submultime F ⊆ B B a.ı.:(1) F contine functiile constante (ın particular functia constanta 0 si functia

constanta 1) si functiile proiectie.(2)F este ınchisa la operatiile ∨, ∧, : daca f , g ∈ F , atunci f ∨ g , f ∧ g ∈ F ,

daca f ∈ F , atunci f ∈ F .O submultime a lui B B n ce satisface (1), (2) se zice ınchisa boolean; deci,

multimea functiilor booleene din B B n este cea mai mica submultime a lui B B n

ınchisa boolean.

• Intr-o alta terminologie, multimea functiilor booleene din B B n

este subalgebrabooleana a lui B B n generata de functiile constante si funct iile proiectie.• O functie din B B n este functie booleana d.d. se poate scrie ca o expresiealgebrica booleana (termen boolean) de functii constante si functii proiectie.

Functii booleene

Exemplu: Daca a, b , c

∈ B si n

≥ 4, atunci

(f a ∨ f b ∧ π4) ∨ f c

este o functie booleana.

http://find/



Aplicand proprietatile de calcul ıntr-o algebra booleana, putem exprima ofunctie booleana prin mai multe expresii echivalente. Am dori ca printre ele sa

existe si o forma (expresie) standard, ın care sa putem exprima ın mod unicorice functie booleana.Teorema urmatoare afirma ca exista chiar doua (duale una celeilalte): formanormala disjunctiva si forma normala conjunctiva.

Functii booleeneTh: Pentru f ∈ B B n sunt echivalente:(1) f este functie booleana.(2) ∀x 1, . . . , x n ∈ B ,f (x 1, . . . , x n) =

α1,...,αn∈0,1

(f (α1, . . . , αn) ∧ x α11 ∧ · · · ∧ x αn

n )

(forma normala disjunctiva, FND)(3) ∀x 1, . . . , x n ∈ B , f (x 1, . . . , x n) =

α1,...,αn∈0,1

(f (α1, . . . , αn) ∨ x α11 ∨ · · · ∨ x αn

n )

(forma normala conjunctiva, FNC)unde am notat: x 0 = x x 1 = x 1 ≤ i ≤ n

http://find/



unde am notat: x i = x i , x i = x i , 1 ≤ i ≤ n.

Observatii:• Daca interschimbam αi cu αi , 1 ≤ i ≤ n si tinem cont ca functia0, 1n −→ 0, 1n, (α1, . . . , αn) → (α1, . . . , αn) este o bijectie, (3) poate fiınlocuit cu:(3’) ∀x 1, . . . , x n ∈ B , f (x 1, . . . , x n) =

α1,...,αn∈0,1

(f (α1, . . . , αn) ∨ x α11 ∨ · · · ∨ x αn

n )

• Scrierea ın FND, FNC, este unica, abstractie facand de o permutare a

factorilor/termenilor pe baza asociativitatii si comutativitat ii lui ∧/∨.

Consecinta: Orice functie booleana : B n −→ B este unic determinata devalorile ei pe 0, 1n (⊆ B n).

Functii booleene

Th: Daca f : B n −→ B , n ≥ 1, este o functie booleana si 1 ≤ i ≤ n, atunci:∀x 1, . . . , x n ∈ B , f (x 1, . . . , x n) =

http://find/

http://goback/



(x i ∧ f (x 1, . . . , x i −1, 1, x i +1, . . . , x n)) ∨ (x i ∧ f (x 1, . . . , x i −1, 0, x i +1, . . . , x n))



Reprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila


http://find/






Algebra booleana B 2

Algebra booleana cu doua elemente B 2 are o deosebita importanta ıninformatica.

Multe dintre notiunile si proprietat ile referitoare la algebre si functii booleene ıngeneral, pe care le-am prezentat mai devreme, ın cazul B 2 capata o forma maisimpla, pe care o vom prezenta ın continuare.

Vom folosi notatii din aritmetica pentru unele dintre operatiile booleene, care

http://find/



sa ne permita operarea mai usoara cu formulele de calcul:

• disjunctia va fi notata + (ın loc de ∨);• conjunctia va fi notata · sau juxtapunere (ın loc de ∧);• disjunctia exclusiva (xor) va fi notata ⊕ (ın loc de ).De asemenea, vom folosi uneori terminologia din aritmetica, spunand: ”suma”,”produs”, etc., ın loc de: ”disjunctie”, ”conjunctie”, etc..

Vom considera urmatoarea precedenta ıntre operatii, ın baza careia vom putea

omite o parte din paranteze: +, ⊕ < · <


Reamintim cateva dintre formulele anterioare, scrise cu noile notatii:

Axiomele prin care se defineste o algebra booleana A, +, ·, , 0, 1 sunt:

asociativitate: (x + y ) + z = x + (y + z ), (xy )z = x (y z )comutativitate: x + y = y + x , xy = y x

absorbtie: x + x y = x , x (x + y ) = x

distributivitate: x (y + z ) = xy + x z , x + y z = (x + y )(x + z )marginire: 0 + x x 0x 0 1 + x 1 1x x

http://find/



marginire: 0 + x = x , 0x = 0, 1 + x = 1, 1x = x

complementare: x + x = 1, xx = 0

Operatiile derivate sunt:

implicatia: x → y d = x + y

diferenta: x − y d = x y

echivalenta: x ↔ y d = (x → y )(y → x )

disjunctia exclusiva (xor): x ⊕ y d

= x y + x y = (x − y ) + (y − x )


Alte proprietat i valabile ın algebre booleene:

x + x = x , xx = x (idempotenta, valabila ın orice latice)x → y = y → x , x − y = y − x

(x ↔ y ) ↔ z = x ↔ (y ↔ z ), (x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z )(↔ si ⊕ sunt asociative)

x ↔ y = y ↔ x , x ⊕ y = y ⊕ x (↔ si ⊕ sunt comutative)

http://find/

http://goback/



0 ⊕ x = x , 1 ↔ x = x , 1 ⊕ x = x , 0 ↔ x = x

x ⊕

y =

x ↔

y , x

↔ y

= x

⊕y

, x

→ y

= x

−y

, x

−y

= x

→ y

x = x (legea dublei negatii)x + x y = x + y , x (x + y ) = x y (absorbtia booleana)x + y = x y , xy = x + y sau x + y = x y , x y = x + y (legile lui de Morgan)x + y = 1 si xy = 0 implica y = x (unicitatea complementului)x + y = 0 d.d. x = y = 0, xy = 1 d.d. x = y = 1

Algebra booleana B 2Algebra booleana B 2, +, ·, , 0, 1 este caracterizata prin urmatoarele:

• Multimea subiacenta se reduce la cele doua elemente distinse, minim simaxim, iar acestea sunt diferite ıntre ele: B 2 = 0, 1, 0 = 1. De obicei,elementele 0/1 au semnificatia valorilor de adevar din logica clasica

fals /adev arat (false /true ); de aceea, terminologia legata de aceasta algebraeste preluata din logica: 0 si 1 sunt valori de adevar, operatiile +, ·, s.n.respectiv ”sau”, ”si”, ”not” (”or”, ”and”, ”not”), tabelele prin care suntdefinite ele s.n. tabele de adevar, etc.. Alteori, elementele 0/1 pot semnificavalorile unor biti numerele 0/1 cifrele binare etc

http://find/



valorile unor biti, numerele 0/1, cifrele binare, etc.

• Operatiile si relatia de ordine pe B

2 sunt definite astfel:

x y x + y xy x → y x − y x ↔ y x ⊕ y

0 0 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 0 11 1 1 1 1 0 1 0

x x

0 11 0

Operatia 0-ara 0 este elementul 0,Operatia 0-ara 1 este elementul 1,Relatia de ordine este: 0 ≤ 1.


Singurele functii constante : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, sunt:

functia constanta 0: 0(x 1, . . . , x n)

d

= 0functia constanta 1: 1(x 1, . . . , x n)

d = 1

Acestea sunt elementele 0, respectiv 1, ale algebrei booleene B 2B 2

n

si astfel

orice expresie algebrica booleana de functii din B 2B 2

n

se poate transformaˆ t hi l t˘ f˘ st l t

http://find/



ıntr-una echivalenta fara aceste elemente.

Th: Orice functie f : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, este functie booleana (i.e. se poate

scrie ca o expresie algebrica booleana de functii constante si funct ii proiectie).

Astfel, ın cazul B 2 putem elimina (i), (ii), (iii) din definitia functiilor booleene sisa numim functie booleana orice functie : B 2

n −→ B 2, n ≥ 1.


In cele ce urmeaza, vom folosi ınsa o definitie mai generala:

Def: S.n. functie booleana orice functie f : B 2n −→ B 2k , n, k ≥ 1.Daca k = 1, f se mai numeste functie booleana scalara.Daca k > 1, f se mai numeste functie booleana vectoriala.Componentele unei functii booleene vectoriale f : B 2

n −→ B 2k sunt functiile

fd

f B n B d B k B f i i i 1 ≤ i ≤ k

http://find/



f i d = πi f : B 2

n −→ B 2, unde πi : B 2k −→ B 2 este functia proiectie, 1 ≤ i ≤ k .

Observatie: O functie booleana vectoriala f : B 2n −→ B 2

k se poate asimila cusistemul componentelor sale: f = (f 1, . . . , f k ) (pe elemente: f (x 1, . . . , x n) =(f 1(x 1, . . . , x n), . . . , f k (x 1, . . . , x n))), iar componentele f i : B 2

n −→ B 2 suntfunctii booleene scalare.

Algebra booleana B 2O functie booleana poate fi data ın mai multe feluri:

• Informal (dar suficient de precis):

Fie functia booleana care asociaza unui sistem de trei bit i bitul majoritar.

• Printr-o formula, de exemplu o expresie algebrica booleana:Fie f : B 2

3 −→ B 24, f (x , y , z ) = (z (y ⊕ z + x y ), x + z , z ⊕ xy , y )

• Printr-un tabel (daca functia este definita pe B 2n, tabelul are 2n linii):

Fie f : B23 −→ B2

2, data prin tabelul:

http://find/



Fie f : B 2 → B 2 , data prin tabelul:

x y z f 1(x , y , z ) f 2(x , y , z )

0 0 0 1 10 0 1 0 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 1 1

1 0 1 0 01 1 0 1 11 1 1 0 0


Cand descriem o functie booleana printr-un tabel, trebuie sa fixam o ordine a

semnificatiilor variabilelor si o ordine de amplasare a coloanelor acestora, ınconcordanta cu semnificatia; ın exemplul anterior, ordinea semnificatiilorvariabilelor este: x > y > z (x este mai semnificativ decat y , care este maisemnificativ decat z ), iar coloanele variabilelor au fost amplasate ın ordineadescrescatoare a semnificatiilor, de la stanga la dreapta:

http://find/



descrescatoare a semnificatiilor, de la stanga la dreapta:

x y z f 1(x , y , z ) f 2(x , y , z )

De asemenea, este bine sa generam sistemele de valori ale variabilelor pe liniidupa o anumita regula; ın exemplul anterior, aceste sisteme de valori au fostgenerate ın ordine lexicografica, de sus ın jos.

Algebra booleana B 2Cand procedam astfel, tabelul are urmatoarele proprietat i:

• Pe prima coloana, cea a variabilei celei mai semnificative, valorile alterneazacu o perioada mare: avem jumatate 0, apoi jumatate 1; pe coloana a doua, ceaa variabilei urmatoare ca semnificatie, perioada se ınjumatateste: un sfert 0,apoi un sfert 1, apoi un sfert 0, apoi un sfert 1; pe coloana variabilei urmatoare

ca semnificatie, perioada se ınjumatateste iar: o optime 0, apoi o optime 1,etc..

• Pe fiecare linie, sistemul valorilor variabilelor constituie transcrierea ın baza 2a numarului de ordine al liniei, numarand de la 0, de sus ın jos; de exemplu,sistemul valorilor variabilelor de pe linia 3 este 011 (transcrierea binara a lui 3):

http://find/

http://goback/



sistemul valorilor variabilelor de pe linia 3 este 011 (transcrierea binara a lui 3):

x y z f 1

(x , y , z ) f 2

(x , y , z )0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 12 0 1 0 0 03 0 1 1 0 04 1 0 0 1 1

5 1 0 1 0 06 1 1 0 1 17 1 1 1 0 0

Ambele proprietat i vor avea semnificatie si se vor dovedi utile la realizareacircuitelor logice.

Algebra booleana B

2Observatie:

Daca am fixat ordinea semnificatiilor variabilelor, cea de amplasare a coloaneloracestora si regula dupa care generam sistemele de valori ale variabilelor pe linii,pentru a descrie o functie booleana scalara f : B 2

n −→ B 2, n ≥ 1, este suficientsa dam sistemul de valori din coloana functiei (deoarece putem deduce pentruce valori ale variabilelor corespunde o anumita valoare a functiei).Un asemenea sistem de valori este transcrierea ın baza 2 a unui numar ıntregde la 0 la 22n − 1, iar acest numar este unic determinat de f .

In exemplul de mai sus, f 1 poate fi descrisa de sistemul de 8 valori (octetul)

http://find/



10001010 (de exemplu, bitul 3 (numarand de la stanga si de la 0) este 0 si este

valoarea f 1(x , y , z ) corespunzatoare liniei 3 din tabel, care corespunde valorilorvariabilelor ce transcriu ın baza 2 numarul 3: x = 0, y = 1, z = 1). Acest octeteste transcrierea ın baza 2 a numarului 81 (tinand cont ca bitul scris ın stangaeste cel de rang 0, care corespunde unitatilor).

Astfel, functiile booleene scalare de n variabile, n ≥ 1, sunt ın corespondentabijectiva cu numerele 0, . . . , 22n

−1, ceea ce ne permite sa mutam studiul

acestor functii ıntr-un cadru aritmetic.In particular, numarul funct iilor booleene scalare de n variabile, n ≥ 1, este 22n

.

Numarul functiilor booleene f : B 2n −→ B 2

k , n, k ≥ 1, este (22n

)k .

Algebra booleana B

2

Pentru a trece de la un mod de descriere a unei funct ii booleene la altul, putemproceda astfel:

• Trecerea de la tabel la formula (expresie):Pentru fiecare componenta a funct iei, din tabel se poate obtine FND sau FNC(vom vedea mai tarziu).

• Trecerea de la formula (expresie) la tabel:

http://find/



De la stanga la dreapta, asociem coloane variabilelor ın ordinea descrescatoare

a semnificatiei, apoi subexpresiilor din formula, ın ordinea crescatoare aagregarii lor din alte subexpresii, pana obtinem coloane corespunzatoarecomponentelor functiei.

Procedand astfel, putem completa tabelul pe coloane de la stanga la dreapta,fiecare noua coloana obtinandu-se din niste coloane deja completate, folosind o

singura operatie booleana.

Algebra booleana B

2

Astfel, pentru functia din exemplul anterior:f : B 2

3 −→ B 24, f (x , y , z ) = (z (y ⊕ z + x y )

, x + z ,

z ⊕ xy

, y

)

avem: f 1

f 2

f 3

f 4

x y = f 4 z y z x y y ⊕ z y ⊕ z y ⊕ z + x y f 1 f 2 x y x y f 3

0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 00 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

http://goforward/

http://find/

http://goback/



0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 11 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 01 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1

De exemplu, coloana a 9-a (y

⊕z + x y ) s-a calculat din coloanele a 8-a

(y ⊕ z ) si a 6-a (xy ) folosind operatia +.

Algebra booleana B

2

Sfat:La completarea unei coloane, ın loc sa urmarim pe fiecare linie valorile sursa

pentru a calcula valoarea rezultata, se poate dovedi mai util sa deducem oregula de aranjare a valorilor din coloana rezultata din regulile de aranjare avalorilor ın coloanele sursa si sa completam noua coloana direct.

De exemplu, observam ca ın coloana y alterneaza doi de 0, doi de 1, ...; atuncideducem ca ın coloana y alterneaza doi de 1 doi de 0 si putem completa

http://find/



deducem ca ın coloana y alterneaza doi de 1, doi de 0, ... si putem completacoloana y direct, fara a mai privi la fiecare linie ın coloana y .

In cazul coloanei xy , observam ca x ıncepe cu 4 linii 0, care este elementanulator la conjunctie, deci si coloana xy ıncepe tot cu 4 linii 0; apoi x are 4linii 1, care este element neutru la conjunctie, deci urmatoarele 4 linii dincoloana xy se copiaza din coloana y , unde deja am vazut ca ultimile 4 liniialterneaza doi de 1, doi de 0.

Algebra booleana B 2In cazul B 2, teorema si observatiile referitoare la FND si FNC se simplifica,

deoarece orice functie f : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, este functie booleana si pentru

orice α1, . . . , αn ∈ 0, 1 = B 2, f (α1, . . . , αn) poate fi doar 0 sau 1:

Th: Pentru orice functie f : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, (i.e. orice functie booleana

scalara) avem:(2) ∀x 1, . . . , x n ∈ B 2, f (x 1, . . . , x n) =

α1,...,αn∈0,1

f (α1,...,αn)=1

x α11 · · · x αn

n

(forma normala disjunctiva, FND)(3) ∀x 1, . . . , x n ∈ B 2, f (x 1, . . . , x n) =

α α ∈0 1

(x α11 + · · · + x αn

n )

http://find/



α1,...,αn∈0,1

f (α1,...,αn)=0

(forma normala conjunctiva, FNC)(3’) ∀x 1, . . . , x n ∈ B 2, f (x 1, . . . , x n) =

α1,...,αn∈0,1

f (α1,...,αn )=0

(x α11 + · · · + x αn

n )

(forma normala conjunctiva, FNC)unde am notat: x 0i = x i , x 1i = x i , 1 ≤ i ≤ n.

Scrierea ın FND, FNC, este unica, abstractie facand de o permutare afactorilor/termenilor pe baza asociativitatii si comutativitat ii lui ·/+.

Pentru realizarea circuitelor logice ne va fi mai utila FNC data de (3’), deaceea, ın cele ce urmeaza, pe aceasta o vom numi FNC.


Pentru a determina FND si FNC pentru o functie booleana scalaraf : B 2

n −→ B 2, n ≥ 1, putem proceda astfel:

• Daca functia este data printr-un tabel:

Determinarea FND:- Consideram liniile tabelului corespunzatoare valorii f (α1, . . . , αn) = 1;- Pentru fiecare linie de forma α1, . . . , αn, 1(= f ), consideram produsul

(conjunctia) x α11 · · · x αn

n (deci, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, x i apare negatdaca α = 0 si nenegat daca α = 1);

http://find/



daca αi = 0 si nenegat daca αi = 1);

- Consideram suma (disjunctia) produselor.Determinarea FNC:- Consideram liniile tabelului corespunzatoare valorii f (α1, . . . , αn) = 0;- Pentru fiecare linie de forma α1, . . . , αn, 0(= f ), consideram suma (disjunctia)

x α11 + · · · + x αn

n (deci, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, x i apare negat daca αi = 1 sinenegat daca αi = 0);

- Consideram produsul (conjunctia) sumelor.


Exemplu: Determinati FND, FNC, pentru f : B 23 −→ B 2, data prin tabelul:

x y z f (x , y , z )

0 0 0 0

0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 1

http://find/



1 1 0 1

1 1 1 1

Numerotand liniile tabelului de sus ın jos de la 0 la 7, liniile corespunzatoarevalorii f = 1 sunt: 1, 2, 4, 6, 7, iar cele corespunzatoare valorii f = 0 sunt: 0,3, 5. Rezulta:

FND: f (x , y , z ) = x y z + x y z + x y z + x y z + x y z

FNC: f (x , y , z ) = (x + y + z )(x + y + z )(x + y + z )


Constatam ca sistemul de negari/nenegari de deasupra unui produs/sumetranscrie sistemul de valori 0 si 1 ale variabilelor din linia corespunzatoareprodusului/sumei respective, care la randul lui transcrie ın baza 2 numarul deordine al liniei; diferenta este ca la FND se pune la 0, iar la FNC se pune la 1:

x y z f (x , y , z )0 0 0 0 01 0 0 1 12 0 1 0 13 0 1 1 04 1 0 0 1

1 2 4 6 7FND: x y z + x y z + x y z + x y z + x y z

0 3 5FNC: (x + y + z )(x + y + z )(x + y + z )

http://find/



4 1 0 0 1

5 1 0 1 06 1 1 0 17 1 1 1 1

Astfel, ın cazul FND, sistemul de deasupra produsului x y z transcriesistemul de valori ale variabilelor din linia corespunzatoare, 100 ( = 0), caretranscrie ın baza 2 numarul liniei, 4.Similar, ın cazul FNC, sistemul de deasupra sumei x + y + z transcriesistemul de valori ale variabilelor din linia corespunzatoare, 011 ( = 1), caretranscrie ın baza 2 numarul liniei, 3.


Astfel, daca o functie booleana scalara f : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, este descrisa

printr-un tabel construit cu respectarea conventiilor anterioare privind ordinea

semnificatiilor variabilelor, cea de amplasare a coloanelor acestora si reguladupa care generam sistemele de valori ale variabilelor pe linii, putem determinaFND si FNC ale functiei mai repede, fara sa urmarim pe fiecare linie valorilevariabilelor, astfel:

• FND: scriem atatea produse x1 · · · xn, cu + ıntre ele, cate linii din tabel

http://find/



FND: scriem atatea produse x 1 x n, cu + ıntre ele, cate linii din tabel

contin f = 1, apoi transcriem numerele de ordine ale acestor linii prin sistemede si deaspra lor ( = 0).

• FNC: scriem atatea sume (x 1 + · · · + x n), cu · ıntre ele, cate linii din tabelcontin f = 0, apoi transcriem numerele de ordine ale acestor linii prin sistemede si deaspra lor ( = 1).


Observatie:Pentru o functie booleana scalara, numarul de produse ale FND nu trebuie sacoincida neaparat cu numarul de sume ale FNC (ın exemplul precedent, FNDavea 5 produse, FNC avea 3 sume); astfel, FND si FNC nu sunt neaparat la felde complexe.

ˆ

http://find/



In practica, putem prefera pe cea mai simpla dintre ele (urmarim coloanavalorilor functiei si determinam care valoare apare mai rar: 0 sau 1).

Pentru realizarea circuitelor logice ınsa, va avea o deosebita importanta FND.


• Daca functia este data printr-o formula (expresie):

Determinarea FND:

- Aplicand proprietatile de calcul ıntr-o algebra booleana (de exemplu legile dedistributivitate), transformam expresia prin care este data functia a.ı. sa fie osuma (disjunctie) de produse (conjunctii) de variabile cu/fara .

- La fiecare produs, ınmultim (conjugam) cate un factor de forma (t + t ),pentru fiecare variabila t care lipseste din produsul respectiv (ın fapt, amˆ ltit i t 1 f t ˘ l d l i)

http://find/



ınmultit niste 1, care nu afecteaza valoarea produsului).

- Desfacem parantezele, folosind distributivitatea lui · fata de + (si alteproprietati de calcul ıntr-o algebra booleana), a.ı. expresia sa devina din nou osuma de produse; acum toate produsele vor cont ine toate variabilele, dar uneleproduse pot sa se repete.

- Eliminam produsele duplicat, folosind idempotenta lui + (si alte proprietat i de

calcul ıntr-o algebra booleana).


Determinarea FNC:

- Aplicand proprietatile de calcul ıntr-o algebra booleana (de exemplu legile de

distributivitate), transformam expresia prin care este data functia a.ı. sa fie unprodus (conjunctie) de sume (disjunctii) de variabile cu/fara .

- La fiecare suma, adunam (disjungem) cate un termen de forma tt , pentrufiecare variabila t care lipseste din suma respectiva (ın fapt, am adunat niste 0,care nu afecteaza valoarea sumei).

http://find/

http://goback/



- Folosind distributivitatea lui + fata de ·

(si alte proprietat i de calcul ıntr-oalgebra booleana), transformam expresia a.ı. sa devina din nou un produs desume; acum toate sumele vor contine toate variabilele, dar unele sume pot sase repete.

- Eliminam sumele duplicat, folosind idempotenta lui · (si alte proprietat i decalcul ıntr-o algebra booleana).


Observatie:

Daca functia este data printr-o formula (expresie), o alta metoda de adetermina FND, FNC, este ca din formula sa obtinem tabelul de valori si apoisa procedam ca atunci cand functia este data prin tabel.

http://find/



sa procedam ca atunci cand functia este data prin tabel.


Exemplu: Determinati FND, FNC pentru f : B 23 −→ B 2,

f (x , y , z ) = x y ⊕ x + z :

FND:f (x , y , z ) =

(aducem f la forma unei sume de produse)

xy x + xy x + z = (x + y )x + x y x + z = x + x y + z = x + y + z =x y + z = x y + z =

http://find/



y + y +

(ınmultim cu (t + t ) pentru fiecare variabila t lipsa)xy (z + z ) + (x + x )(y + y )z =

(desfacem parantezele si rescriem ca suma de produse)xy z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z =

(eliminam produsele duplicat)xy z + x y z + x y z + x y z + x y z


FNC:f (x , y , z ) = x y + z = (am calculat deja)

(aducem f la forma unui produs de sume)

(x + z )(y + z ) =(adunam cu t t pentru fiecare variabila t lipsa)

(x + y y + z )(x x + y + z ) =(rescriem ca produs de sume)

(x + y + z )(x + y + z )(x + y + z )(x + y + z ) =(eliminam sumele duplicat)

http://goforward/

http://find/

http://goback/



(eliminam sumele duplicat)

(x + y + z )(x + y + z )(x + y + z )

Exercitiu: obtineti FND, FNC, pentru aceasta funct ie construind tabelul si apoifolosind acest tabel (trebuie sa rezulte aceleasi expresii pentru FND, FNC,abstractie facand de o permutare a factorilor/termenilor pe baza asociativitatiisi comutativitatii lui

·/+).


Teorema precedenta si exemplele anterioare ne ofera si o regula dupa carerecunoastem daca o formula (expresie) este o FND sau FNC:

• O expresie algebrica booleana ın variabilele x 1, . . . , x n este o FND, daca:− este o suma de produse unice (care nu se repeta) de variabile cu/fara ;− fiecare produs contine toate variabilele x 1, . . . , x n.

Exemple:Expresia x + y z ın variabilele x y z nu este o FND

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Expresia x + y z ın variabilele x , y , z nu este o FND

(desi este o suma de produse, nu toate produsele contin toatevariabilele x , y , z ).

Expresia xy z + x y z ın variabilele x , y , z este o FND(produsele contin toate variabilele x , y , z , chiar daca nu sunt toate cele23 = 8 produse posibile ın aceste variabile).


• O expresie algebrica booleana ın variabilele x 1, . . . , x n este o FNC, daca:

− este un produs de sume unice (care nu se repeta) de variabile cu/fara ;− fiecare suma contine toate variabilele x 1, . . . , x n.

Exemple:Expresia x (y + z ) ın variabilele x , y , z nu este o FNC

(desi este un produs de sume, nu toate sumele contin toatei bil l )

http://find/



variabilele x , y , z ).Expresia (x + y + z )(x + y + z ) ın variabilele x , y , z este o FNC

(sumele contin toate variabilele x , y , z , chiar daca nu sunt toate cele 23 = 8sume posibile ın aceste variabile).


Observatie:

O expresie algebrica booleana ın variabilele x 1, . . . , x n care este o suma de

produse de variabile cu/fara si care contine toate cele 2n

produse posibile esteFND a functiei constante 1 (corespunde unui tabel care are 1 ın toata coloanavalorilor functiei).Astfel, daca ea apare ca factor ıntr-un produs, se poate elimina.

De exemplu, avem:xz+xz+zxy+zxy+zxy+zx y = x(z +z)+z(xy +xy +xy +x y ) = x 1+z 1 = x +z

http://find/



xz +xz +zxy +zxy +zxy +zx y = x (z +z )+z (xy +xy +xy +x y ) = x

·1+z

·1 = x +z

Similar, o expresie algebrica booleana ın variabilele x 1, . . . , x n care este unprodus de sume de variabile cu/fara si care cont ine toate cele 2n sumeposibile este FNC a functiei constante 0 (corespunde unui tabel care are 0 ıntoata coloana valorilor functiei).Astfel, daca ea apare ca termen ıntr-o suma, se poate elimina.


Reamintim, cu noile notatii, si teorema care da o descriere recursiva a functiilorbooleene scalare, prin functii care au cu o variabila mai putin:

Th: Daca f : B 2n −→ B 2, n ≥ 1, este o functie booleana scalara si 1 ≤ i ≤ n,

atunci:x x B

http://find/

http://goback/



∀x 1, . . . , x n

∈ B 2,

f (x 1, . . . , x n) = x i f (x 1, . . . , x i −1, 1, x i +1, . . . , x n)+x i f (x 1, . . . , x i −1, 0, x i +1, . . . , x n)


Daca notam variabilele unei functii booleene ın ordinea descrescatoare asemnificatiei cu x n−1, ..., x 0, n ≥ 1, si folosim teorema anterioara pentru i = 0:

f (x n−1, . . . , x 0) = f (x n−1, . . . , x 1, 0)x 0 + f (x n−1, . . . , x 1, 1)x 0

putem descrie o functie booleana f = (f 1, . . . , f p ) : B 2n −→ B 2

p , n, p ≥ 1,printr-un tabel mai compact, avand doar 2n−1 linii, ınsa valorile din tabel nuvor mai fi doar 0 si 1, ci si x 0 sau x 0.

In acest scop scriem valorile componentelor functiei pentru valori succesive ale

http://find/



In acest scop, scriem valorile componentelor functiei pentru valori succesive alevariabilei celei mai putin semnificative x 0 pe aceeasi linie (conform regulilor deorganizare a tabelului de valori descrise mai devreme, ele apar pe linii succesiveın tabelul extins) iar ın niste coloane separate (care vor fi coloanele rezultat)vom exprima unitar aceste valori ca functii de x 0, folosind formula de recurentade mai sus.

Algebra booleana B 2Mai exact, fiecare pereche de linii succesive:

2n linii

x n−1 · · · x 1 x 0 f 1 · · · f p

......

an−1 · · · a1 0 b 1 · · · b p

an−1

· · · a1 1 c 1

· · · c p

......

se ınlocuieste cu: x 0 x n−1 · · · x 1 0 1 f 1 · · · f p

. . . .

http://find/



2n−1 linii

.

...

.

...

an−1 · · · a1 b 1 · · · b p c 1 · · · c p d 1 · · · d p

......

......

unde pentru orice 1 ≤ i ≤ p , avem d i = b i x 0 + c i x 0, adica avem corespondenta:b i c i d i

0 0 00 1 x 01 0 x 01 1 1


Exemplu: Pentru functia booleana f : B 23 −→ B 2

2 data prin tabelul extins:

x y z f 1 f 2

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 1 1

0 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 0

vom avea tabelul compact:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



vom avea tabelul compact:z

x y 0 1 f 1 f 2

0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 1 0 1 z

1 0 1 0 0 1 z z

1 1 0 1 1 0 z z Acest tabel ne arata, de exemplu, ca pentru orice z ∈ 0, 1 avem:

f 1(0, 0, z ) = 0, f 2(0, 1, z ) = z


Din teorema referitoare la FND si formula de recurenta pentru functii booleenescalare ın cazul general, deducem o regula dupa care putem obt ine o scriere afunctiei ca suma de produse (disjunctie de conjunctii), pornind de la tabelulcompact:

Daca f : B 2n −→ B 2 este o functie booleana scalara, n ≥ 1, atunci pentru oricex n−1, . . . , x 0 ∈ B 2 avem:

f (x n−1, . . . , x 0) =αn−1,...,α0∈B 2

f (αn−1, . . . , α0)x αn−1n−1 · · · x

α00 =

αn 1 α1

http://find/



αn−1,...,α1∈B 2

x

αn−1

n−1 · · · x α1

1 (f (αn−1, . . . , α1, 0)x 0 + f (αn−1, . . . , α1, 1)x 0) =αn−1,...,α1∈B 2

x αn−1n−1 · · · x

α11 E (αn−1, . . . , α1)

unde E (αn−1, . . . , α1) = f (αn−1, . . . , α1, 0)x 0 + f (αn−1, . . . , α1, 1)x 0 estevaloarea care apare ın coloana rezultat din tabelul compact al lui f , pe liniacorespunzatoare valorilor αn−1, . . ., α1 ale variabilelor x n−1, . . ., x 1; ıntrucat f

ia valori ın B 2, E (αn−1, . . . , α1) poate fi doar 0, 1, x 0 sau x 0.


Rezulta urmatoarea regula de a obtine scrierea functiei ca suma de produsepornind de la tabelul compact (daca functia este vectoriala, regula se aplicapentru fiecare componenta ın parte):

- Consideram liniile tabelului corespunzatoare valorii E

(αn−1, . . . , α1) = 0.- Pentru fiecare linie de forma αn−1, . . . , α1, E (unde E poate fi 1, x 0 sau x 0),consideram produsul (conjunctia) x

αn−1n−1 · · · x

α11 E .

Deci, pentru orice n − 1 ≥ i ≥ 1, x i apare negat daca αi = 0 si nenegat dacaαi = 1, ca la FND, iar E se copiaza ca atare din tabel; daca E = 1, se poateomite.

http://find/



- Consideram suma (disjunctia) produselor.

Exemplu: Pentru functia f : B 23 −→ B 2

2 din exemplul precedent, avem:

f 1(x , y , z ) = x y + x y z + x y z

f 2(x , y , z ) = x y z + x y z + x y z

Aceste scrieri nu sunt neaparat FND, de exemplu termenul xy

nu contine toatevariabilele.

Algebra booleana B 2Scrierea ca suma de produse se poate simplifica ın continuare, folosindproprietatea mentionata mai devreme, ca suma tuturor produselor cu/faraformate cu niste variabile date este egala cu 1.

Mai exact, daca ın notatiile precedente E (αn−1, . . . , α1) are o aceeasi valoare y

pentru niste αi k , . . ., αi 1 fixate (n − 1 ≥ i k > · · · > i 1 ≥ 1, k ≥ 1) si toate

valorile posibile 0 sau 1 ale celorlalte αi (n − 1 ≥ i ≥ 1), atunci ın scrierea:f (x n−1, . . . , x 0) =

αn−1,...,α1∈B 2

x αn−1n−1 · · · x

α11 E (αn−1, . . . , α1)

putem da factor comun si ınlocui:

α ∈

x αn−1n−1 · · · x

αi k +1

i k +1 x αi k i k

x αi k −1

i k −1 · · · x αi 1+1

i 1+1 x αi 1i 1

x αi 1−1

i 1−1 · · · x α11 y =

http://find/



α

i ∈

B 2i =i k ,...,i 1

( αi ∈B 2

i =i k ,...,i 1

x αn−1

n−1 · · · x αi k +1

i k +1 x αi k −1

i k −1 · · · x αi 1+1

i 1+1 x αi 1−1

i 1−1 · · · x α11 )x

αi k i k

· · · x αi 1i 1

y =

1 · x αi k i k

· · · x αi 1i 1

y = x αi k i k

· · · x αi 1i 1

y

Daca E (αn−1, . . . , α1) are o aceeasi valoare y pentru toate valorile posibile 0sau 1 ale tuturor αi (n − 1 ≥ i ≥ 1), atunci:

f (x n−1, . . . , x 0) =

αn−1,...,α1∈B 2

x αn−1n−1 · · · x

α11 y = y


Exemplu: Pentru functia f : B 23

−→ B 22

din exemplele precedente, avem:f 2(x , y , z ) = y z + x y z

deoarece avem aceeasi valoare f 2(= E ) = z pentru y = 1 si toate valorileposibile 0 sau 1 ale lui x .

Aceasta corespunde urmatorului calcul prin care simplificam formula obtinuta

http://find/



anterior:f 2(x , y , z ) = xy z + x y z + x y z = (x + x )y z + x y z = 1 · y z + x y z = y z + x y z

Algebra booleana B 2Asadar, daca ın tabelul compact un grup de linii contine aceleasi valori ıntr-ocoloana rezultat (a unei componente a functiei) si ın niste coloane alevariabilelor, iar ın celelalte coloane ale variabilelor sunt parcurse toatecombinatiile posibile de 0 sau 1, acel grup de linii furnizeaza un singur termenın scrierea ca suma de produse a componentei respective a functiei, iar acest

termen contine doar variabilele cu valoare comuna (cu / fara ) si valoareacomuna rezultat:

x n−1 · · · x i k · · · x i 1 · · · x 1 · · · f j · · ·

......

· · · αi k · · · αi 1 · · · y

. .

http://find/

http://goback/



(*) .. ..· · · αi k

· · · αi 1 · · · y ...

...

Grupul de 2n−k linii (*) de mai sus nu sunt neaparat consecutive ın tabel sicontin aceleasi valori ın coloanele variabilelor x i k

, . . ., x i 1 si ın coloana rezultat

f j , iar ın coloanele celorlalte n − k variabile sunt parcurse toate cele 2n−k

combinatii posibile de 0 sau 1; acest grup de linii furnizeaza un singur termen,x αi k i k

· · · x αi 1i 1

y , ın scrierea ca suma de produse a componentei f j .


Exemplu: Pentru functia booleana f : B 23 −→ B 2

4, ın variabilele x , y , z , dataprin tabelul compact (am numerotat liniile):

x y f 1 f 2 f 3 f 40 0 0 z 0 1 z

1 0 1 z z z z

2 1 0 0 z z z

3 1 1 z 1 z z

avem:

f 1(x , y , z ) = x z + x y z

http://goforward/

http://find/

http://goback/



(liniile 0, 1 au furnizat un singur termen, x z , deoarece ın coloana rezultat f 1si ın coloana variabilei x avem aceleasi valori, iar ın coloana variabilei ramasey sunt parcurse toate cele 2 combinatii posibile de 0 sau 1)

f 2(x , y , z ) = x y z + x y z + x y

(liniile 1, 2 nu pot furniza un singur termen, caci desi ın coloana rezultat f 2avem aceeasi valoare z , ın coloanele variabilelor ramase x , y nu suntparcurse toate cele 4 combinatii posibile de 0 sau 1)


f 3(x , y , z ) = x y + y z + x y z

(liniile 1, 3 au furnizat un singur termen)

f 4(x , y , z ) = z

(toate cele 4 linii au furnizat un singur termen, z , deoarece ın coloanarezultat f 4 avem aceeasi valoare z , iar ın coloanele variabilelor ramase x , y

sunt parcurse toate cele 4 combinatii posibile de 0 sau 1).

Observam ca ın cazul unui tabel compact cu 4 linii numerotate ca mai sus,formula unei componente se simplifica daca valoarea ei se repeta ın liniile:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



0 si 1 (dispare variabila a doua),2 si 3 (dispare variabila a doua),0 si 2 (dispare prima variabila),1 si 3 (dispare prima variabila),0, 1, 2, 3 (dispar ambele variabile);

nu se simplifica daca valoarea se repeta doar ın liniile 0 si 3 sau 1 si 2.



2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculator

Reprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila


http://goforward/

http://find/

http://goback/




4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)

2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4



2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculator

Reprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila


http://goforward/

http://find/

http://goback/




4 Circuite logiceCircuite logice, Sisteme digitale0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)

2-DS (Automate finite)Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

Circuite logice

Circuitele logice sunt dispozitive tehnice care permit efectuarea automata a

calculelor logice.

Ele sunt construite pornind de la niste circuite elementare (porti), careimplementeaza operatiile booleene: +, ·, , etc. si efectuand de un numar finitde ori diverse operatii de combinare (legare): legare ın serie, legare ın paralel,ınchiderea prin ciclu, etc., obtinandu-se astfel circuite tot mai complexe.

http://find/



Datele de intrare si iesire ale acestor circuite sunt valorile de adevar 0/1(fals/adevarat).

Circuite logice

Portile sunt:

Operatiile de combinare sunt:

http://find/



Desenarea sagetilor ”>” pe liniile de intrare sau iesire nu este obligatorie, daca

este evident sensul de circulatie al datelor; altfel, pe o linie se pot pune oricatesageti.

Circuite logiceIn general, circuitul care implementeaza o formula booleana se poate construicombinand portile ın aceeasi ordine ın care se compun operatiile booleeneimplementate de ele pentru a se obtine formula.

De exemplu, formula f (x , y , z ) = x ⊕ y z + x y poate fi implementata princircuitul:

P i l i d l i d ˘ i li ii ( ˘ )

http://find/



Putem spori claritatea desenului daca pe anumite linii (nu neaparat pe toate)adaugam sageti ”>” si/sau notam ın dreptul lor formula de calcul a valoriiemise pe acolo, de exemplu:

Circuite logiceIn reprezentarile grafice ale circuitelor, avem nevoie sa distingem ıntre ointersectie de linii fara contact si una cu contact. In figurile anterioare amfolosit urmatoarea simbolizare, pe care o vom utiliza si ın continuare:

http://find/



O alta varianta de simbolizare, dar pe care nu o vom folosi, este:

Circuite logice

Intrarile se pot nota ın dreptul unor scurte linii de intrare sau direct langapoarta ın care intra; unele intrari sunt fixate pe 0 sau 1, iar acestea se vor notaca atare; de exemplu:

http://find/



Circuite logice

O simplificare folosita uneori ın reprezentarea grafica a circuitelor logice esteurmatoarea: daca o poarta ”NOT” este legata ın serie cu o poarta ”OR”,”AND”, ”XOR”, nu se mai deseneaza triunghiul iar cerculetul este lipit depoarta respectiva; de exemplu:

Aceasta simplificare sta la baza simbolurilor folosite pentru portile ”NAND”,”NOR” ”NXOR” d l

http://find/



”NOR”, ”NXOR”; de exemplu:

Circuite logice

Constatam ca pentru implementarea diverselor formule de calcul logic nu suntnecesare toate portile considerate; de exemplu, sunt suficiente portile ”NOT”,”AND”, ”OR”, restul portilor putandu-se exprima ın functie de acestea:

http://find/



Circuite logice

Doua justificari pentru luarea ın considerare a mai multor porti sunturmatoarele:

• Anumite portiuni de circuit (blocuri) apar foarte frecvent ın structuradiverselor circuite; atunci, ın loc sa le desenam detaliat de fiecare data, leasociem un simbol si desenam simbolul. Astfel, circuitele sunt mai usor dedesenat si de ınteles.

Situatia seamana cu cea din programare cand un anumit fragment de cod serepeta de multe ori eventual cu alte variabile/valori si ın loc sa l rescriem de

http://find/



repeta de multe ori, eventual cu alte variabile/valori, si ın loc sa-l rescriem defiecare data, preferam sa-l ıncorporam ıntr-o procedura, eventual cu parametri,si sa apelam procedura.

Circuite logice• Realzarea unui circuit logic prin combinari de porti poate fi asemanata curealizarea unui circuit electronic prin montarea unor compomente electronice(tranzistori, rezistori, condensatori, diode, etc.) pe o placa cu contacte (cablajimprimat).

Procesarea efectuata de o componenta electronica se bazeaza pe fenomene

fizice foarte rapide care au loc ın interiorul componentei - de exempluinteractiunea dintre mai multe straturi de semiconductori - le vom numifenomene de tip (1). Comunicarea ıntre componente se bazeaza pe fenomenede circulatie a curentului electric prin liniile placii de contacte - le vom numifenomene de tip (2). De exemplu, ın circuitul:

http://find/



procesarea presupune un fenomen de tip (1) desfasurat ın interiorul lui ”AND”,apoi un fenomen de tip (2) pentru comunicarea cu ”NOT”, apoi un fenomende tip (1) ın interiorul lui ”NOT”.

Circuite logice

Daca acest circuit apare frecvent ca bloc ın alte circuite, preferam saıncorporam toata procesarea sa, printr-un fenomen de tip (1), ın interiorul uneisingure componente (poarta) de un tip nou, simbolizate:

Astfel, toate circuitele care vor contine noua poarta ın locul blocului anteriorvor functiona mai repede.

A ˘ b d ˆ ˆl i ˘ ˆ l l i i l i

http://find/



Aceasta abordare este ıntalnita ın cazul multor circuite electronice care aparfrecvent ca parte a altor circuite: ın loc sa se construiasca circuitul de fiecaredata din mai multe componente simple montate pe placa cu contacte, seconstruieste ca un circuit integrat (chip) care se monteaza ca o singuracomponenta pe placa respectiva. Utilizarea frecventa a acestuia justifica

fabricarea sa ın serie ca un nou tip de componenta electronica.Circuitele care contin asemenea chip-uri sunt mai mici ca gabarit, mai ieftine simai rapide decat cele realizate din componente simple si multe.

Circuite logiceIn cele ce urmeaza vor exista si alte circuite, mai complexe, care suntdes ıntalnite ca blocuri ın alte circuite si de aceea vor avea un simbol propriu, careva fi folosit ın locul circuitului detaliat: decodificator, multiplexor, sumator, etc..Din punct de vedere tehnic, ele se pot realiza ca tipuri distincte decomponenete electronice, alaturi de porti.

Printre acestea, sunt circuitele ”AND”, ”OR”, ”XOR”, ”NAND”, ”NOR”,”NXOR” cu mai multe intrari:

http://find/



Realizarea lor se bazeaza pe asociativitatea si comutativitatea operatiilor ·, +,⊕. De exemplu:

Circuite logice

Uneori, la desenarea circuitelor logice cu multe linii se foloseste urmatoareasimbolizare mai simpla:

De exemplu:

http://find/



De exemplu:

Circuite logice

Subliniem ca termenul de ”circuit logic” se refera la o anumita logica deorganizare si functionare si un anumit scop la care este folosit circuitul, nu si la

mijloacele tehnice prin care este el construit.Cel mai bine, ne imaginam circuitele logice ca fiind niste niste circuiteconceptuale, prin care circula valori de adevar; ele descriu ın mod abstract uncalcul logic.

Circuitele logice se pot realiza prin diverse mijloace tehnice: circuite

electronice, relee si contacte, angrenaje cu roti dintate, sisteme de parghii,

http://find/



electronice, relee si contacte, angrenaje cu roti dintate, sisteme de parghii,franghii si scripeti, conducte de apa si robinete, etc.

Nu trebuie sa confundam ınsa circuitul logic cu un anumit mod de realizaretehnica a sa.

Circuite logice

Exemplu: Realizare tehnica cu relee si contacte:

Realizarea portilor ”NOT”, ”AND”, ”OR” si a intrarilor constante 0 si 1:

http://find/



Deci, liniile circuitului sunt perechi de linii electrice, 0 = fara tensiune, 1 = subtensiune. Fiecare poarta poate avea propria sursa de curent, sau toate portile

pot fi conectate la o aceeasi sursa si nu conteaza respectarea unei polaritati+/−.

Circuite logice

Circuitul logic care implementeaza formula f (x , y , z ) = x y + y x z este:

http://find/



Circuite logice

Realizarea tehnica a circuitului este:

http://find/



Circuite logice

O varianta de realizare cu relee si contacte a portilor ”NOT”, ”AND”, ”OR” sia intrarilor constante 0 si 1, care necesita doar o linie elecrica pentru o linielogica, este:

http://find/



Asadar, 0 = fara tensiune, 1 = tensiune +.

Acum ınsa toate portile trebuie conectate la o aceeasi sursa de curent si trebuierespectata polaritatea +/−.

Circuite logice

Realizarea tehnica a circuitului pentru formula f (x , y , z ) = x y + y x z este:

http://find/



Circuite logice

TODO: Realizarea tehnica a port ilor prin mijloace mecanice (roti dintate,parghii, etc.)

TODO: Realizarea tehnica a port ilor prin mijloace electronice (componenteelectronice simple: tranzistori, etc., pe o placa cu contacte).A se vedea:

http://www.electronics-tutorials.ws/category/logic

http://find/



Circuite logice

De obicei, circuitele logice sunt realizate tehnic prin mijloace electronice(circuite electronice cu chip-uri), deoarece ofera gabarit si cost redus si viteza

de functionare mare; de aceea simbolistica si terminologia sunt preluate dinelectronica.

Cand realizam circuitele logice prin mijloace electronice putem modela ındiverse moduri valorile 0/1; de exemplu:• 0 = nu trece curentul, 1 = trece curentul;

• 0 = trece curentul, 1 = nu trece curentul;• si la 0 si la 1 trece curentul, dar are alta tensiune, modulare (transporta un

http://find/



¸ ¸ , , ( palt tip de semnal).De obicei este folosita ultima varianta.

Circuite logice

Mai exact:

• Circuitele electronice din interiorul calculatorului modern sunt circuitedigitale.

Electronica digitala opereaza cu doar doua niveluri de tensiune electricaimportante: o tensiune ınalta (nivel ınalt) si o tensiune joasa (nivel jos).Celelalte valori de tensiune sunt temporare si apar ın timpul tranzitiei ıntre celedoua valori (o deficienta ın proiectarea digitala poate fi prelevarea unui semnalcare nu este ın mod clar nici ınalt nici jos).

• In diverse categorii de dispozitive logice, valorile si relatiile dintre cele douavalori de tensiune difera

http://find/



valori de tensiune difera.Astfel, ın loc sa se faca referire la valorile de tensiune, se discuta despresemnale care sunt (logic) adevarate, sau 1, sau activate (asserted) si despresemnale care sunt (logic) false, sau 0, sau dezactivate (deasserted).Valorile 0 si 1 sunt complemente sau inverse una celeilalte.

Circuite logice

Un circuit (bloc) este activ, daca iesirea sa este 1, si inactiv, daca iesirea sa

este 0.

O variabila logica, asociata unei intrari, poate controla un circuit (bloc)activandu-l, daca ia valoarea 1, sau dezactivandu-l, daca ia valoarea 0.

Mai general, se vorbeste despre activare sau circuite (blocuri) active la nivel

ınalt, respectiv la nivel jos, dupa cum valoarea de intrare relevanta (caredeclansaza functionalitatea cea mai importanta a circuitului) este 1, respectiv 0.

http://find/



)

Circuite logice

In orice moment al functionarii unui circuit logic, orice linie a sa transportaceva: 0, 1 sau un semnal neclar, care poate fi interpretat la destinat ie ın moderonat ca 0 sau 1.

De aceea, uneori cand vom analiza circuitul d.p.v. logic vom considera ca liniilesale sunt fie ın situatia ”transporta 0”, fie ın situatia ”transporta 1”, aceste

valori putand fi si eronate.

http://find/



Circuite logice

Daca schimbam valorile pe liniile de intrare, vom avea alte valori pe liniile deiesire, rezultate ın urma procesarii (calculului) efectuate de circuit. Valorilerezultat nu apar si nu raman stabile ınsa imediat ci dupa un anumit interval detimp, necesitat de structura circuitului si natura fenomenelor fizice folosite; panaatunci, valorile pe liniile de iesire pot fluctua si, ın orice caz, nu sunt relevante.

Acest interval de timp este cu atat mai lung cu cat circuitul este mai dezvoltatpe verticala (are mai multe niveluri de legare ın serie).

De exemplu, ın figura de mai jos, circuitul din stanga este mai rapid decat celdin dreapta, desi are mai multe porti:

http://find/



Circuite logice

Pe langa portile ”NOT”, ”AND”, ”OR”, ”XOR”, ”NAND”, ”NOR”, ”NXOR”,prezentate mai devreme, uneori mai sunt considerate si alte porti, a carorutilitate este legata de mijloacele tehnice prin care sunt construite circuitele(fenomenele fizice folosite); de exemplu, ın electronica digitala se mai folosesc:

• Bufferul:

Simbol si tabela de valori:

Asadar, bufferul transmite exact valoarea de la intrare la iesire, cu o mica

ıntarziere cauzata de procesarea sa interna.Desi nu efectueaza un calcul semnificativ (implementeaza formula f (x) = x )

http://find/



Desi nu efectueaza un calcul semnificativ (implementeaza formula f (x ) = x ),bufferul are mai multe utilitati:

− Permite izolarea altor portiuni de circuit unele de altele, ımpiedicandimpedanta unui circuit sa afecteze impedanta altuia.

In electronica, impedanta (impedance) este o marime fizica caregenerealizeaza rezistenta electrica (distinctia ıntre cele doua se manifesta ıncazul curentului alternativ), se noteaza cu Z si se masoara ın ohmi (Ω).

Circuite logice

− Permite dirijarea unor ıncarcari mari de curent, cum ar fi cele folosite de

comutatoarele cu tranzistori, sau comandarea unui LED, deoarece poate furnizala iesire curenti mult mai mari decat necesita ca semnal de intrare.

Cu alte cuvinte, bufferul poate fi folosit pentru amplificarea puterii semnaluluidigital, avand o capacitate fan-out (fan-out capability) ridicata. Parametrulfan-out al unei porti sau bloc de circuit descrie capacitatea acestuia de a furnizala iesire curent i mari, oferind o amplificare mai mare semnalului de intrare.

Aceasta proprietate ne permite si sa legam iesirea unui bloc la intrarea maimultor alte blocuri

http://find/



multor alte blocuri.

Circuite logice

Intr-adevar, pentru a functiona corect, fiecare intrare consuma o anumitacantitate de curent din iesirea respectiva, a.ı. distribuirea iesirii la mai multeblocuri creste ıncarcarea blocului sursa. Atunci, inserarea unui buffer ıntreblocul sursa si blocurile destinatie poate rezolva problema:

http://find/



Parametrul ”fan-out” este numarul de ıncarcari paralele care pot fi dirijate

simultan de catre o singura poarta. Actionand ca o sursa de curent, un bufferpoate avea un rating ”fan-out” ınalt de pana la 20 porti din aceeasi familielogica.

Circuite logice

Daca o poarta are un rating ”fan-out” ınalt (sursa de curent), ea trebuie sa

aiba de asemenea un rating fan-in ınalt (consumator de curent), Totusi,ıntarzierea cauzata de procesarea interna a port ii (propagation delay) sedeterioreaza rapid ca functie de ”fan-in”, astfel ca portile cu ”fan-in” mai maredecat 4 trebuie evitate.

Notam ca proprietati asemanatoare bufferului, cum ar fi efectul de amplificare a

semnalului, ıl au si alte porti, ca de exemplu ”NOT”: - de aceea, poarta”NOT” se mai numeste si buffer inversor sau doar inversor (inverter)

http://find/



NOT se mai numeste si buffer inversor, sau doar inversor (inverter).

Circuite logice

• Bufferul cu 3 stari (Tri-state Buffer): Este un tip de buffer a carui iesirepoate fi, la cerere, deconectata ”electronic” de la circuitele la care este legata.

Mai exact, el poate genera la iesire un semnal care nu este logic nici 0, nici 1,iar care d.p.v. functional se comporta ca si cand linia de iesire ar fi deconectatade la intrare (se produce o conditie de circuit deschis); d.p.v. tehnic, poarta se

va comporta ca o componenta electronica cu impedanta foarte mare, sau ca uncontact electric ıntrerupt (ca rezultat, nu se consuma curent de la sursa); deaceea, aceasta valoare de iesire s.n. impedanta ınalta (Hi-Z).

Simbol si tabel de valori:

http://find/



Putem considera Hi-Z ca o a treia valoare de adevar.

Circuite logice

Bufferul cu 3 stari este folosit atunci cand, din motive tehnice, dorim sadecuplam functional un bloc de la circuit, fara sa-l eliminam fizic (circuitul sase comporte ınsa ca si cand acel bloc n-ar exista).

De exemplu, ıntr-un circuit logic nu se permite / nu se da sens contactului ıntrelinii care aduc valori (ın functie de modul tehnic de realizare, ıntalnirea ıntrecele doua semnale poate avea efecte imprevizibile (de exemplu, un scurtcircuit):

http://find/



Circuite logice

Putem ınsa conecta alternativ mai multe iesiri la o aceeasi linie, folosind bufferecu 3 stari:

Atunci:

http://find/



Circuite logice

Bufferul cu 3 stari este folosit ın multe circuite deoarece permit ca mai multedispozitive logice sa fie conectate la o aceeasi linie sau bus fara distrugere fizicasau pierderi de date.

De exemplu, putem avea o linie de date sau bus de date la care sunt conectatememorii, dispozitive de I/O, alte dispozitive periferice sau procesor. Fiecaredintre aceste dispozitive este capabil sa emita sau sa receptioneze date unul dela altul prin acest unic bus de date ın acelasi timp, creand o asa zisa disputa(contention).

Disputele apar cand mai multe dispozitive sunt conectate ımpreuna, deoarece

unele intentioneaza sa emita la iesire o tensiune de nivel ınalt, altele una denivel jos; daca aceste dispozitive ıncep sa emita sau sa receptioneze date ın

http://find/



acelasi timp, poate aparea un scurtcircuit atunci cand un dispozitiv emite sprebus o valoare 1 (care poate ınsemna tensiunea sursei de curent), ın timp cealtul este pe valoarea 0 (care poate ınsemna legatura cu pamantul, ground);acesta poate cauza distrugerea fizica a unor dispozitive sau pierderi de date.

Circuite logice

Controlul bus-ului de date poate fi realizat folosind buffere cu 3 stari:

http://find/



Circuite logice

Exista doua tipuri de buffer cu 3 stari: unul a carui iesire este controlata de unsemnal de control activ la nivel ınalt (Active-HIGH) si unul care este controlatde un semnal de control activ la nivel jos (Active-LOW).

Varianta descrisa pana acum este bufferul cu 3 stari activ la nivel ınalt (Active

HIGH Tri-state Buffer): el copiaza intrarea la iesire atunci cand semnalulEnable are valoarea 1 (altfel furnizeaza la iesire HI-Z).

Bufferul cu 3 stari activ la nivel jos (Active LOW Tri-state Buffer) copiazaintrarea la iesire atunci cand semnalul Enable are valoarea 0 (altfel furnizeazala iesire HI-Z).Simbol si tabel de valori:

http://find/



Circuite logice

Blocurile logice sunt ımpartite ın doua categorii, dupa cum au sau nu aumemorie.

Blocurile fara memorie se zic combinationale; la un asemenea bloc, iesireadepinde doar de intrarea curenta si poate fi descrisa printr-un tabel de adevar;astfel, circuitul implementeaza de fapt o functie booleana; blocurilecombinationale sunt organizate ca circuite logice fara cicluri (0-DS).

In blocurile cu memorie, iesirea depinde atat de intrarea curenta cat si de

valoarea curent pastrata ın memorie si care defineste starea blocului logic;logica care include stari este logica secventiala; blocurile cu memorie sunt

i t i it l i l t i i l d i l i ( DS ≥ 1)

http://find/



organizate ca circuite logice cu cel put in un nivel de cicluri (n-DS, n ≥ 1).

Circuite logice

O modelare teoretica a circuitelor logice care evidentiaza organizarea(structura) acestora se face cu ajutorul grafurilor orientate.

Def: Un circuit este un graf orientat cu cel put in o intrare si cel putin o iesire,care are doua tipuri de noduri: conectori si porti.

Intrarile unui circuit primesc semnale, sub forma unor sisteme de valori dinmultimea 0, 1n (n fiind numarul de intrari ale circuitului).

Iesirile unui circuit vor furniza, de asemenea, semnale.

TODO: Descrierea structurii de graf a unui circuit logic printr-o formula de

http://find/



g g pNetwork Algebra.

Sisteme digitale

O modelare teoretica a circuitelor logice care evidentiaza functionalitateaacestora o constituie sistemele digitale.

Def: Un sistem digital (digital system, DS) este o structura X , Y , f , undeX = V n, Y = V m, f : X −→ Y , n, m ∈ IN, iar V este un alfabet finit, nevid;f s.n. functie de transfer.

Consideram doar sisteme digitale binare, i.e. cu V = 0, 1 = B 2.

Cazurile n = 0 sau m = 0 corspund unor sisteme digitale speciale, de iesire,respectiv intrare, care vor fi studiate separat.Deocamdata presupunem n, m = 0.

Simbol:

http://find/



unde (flux de n date).

Sisteme digitale

Operatii cu sisteme digitale:

• Extensia seriala:

S 1 = X 1, Y 1, f S 2 =

X 2, Y 2, g

Y 1 = X 2

=

⇒ S =

X 1, Y 2, g

f

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Sisteme digitale

• Extensia paralela:

S 1 = X 1, Y 1, f 1S 2 = X 2, Y 2, f 2

=⇒ S = S 1 × S 2 = X 1 × X 2, Y 1 × Y 2, f 12,

unde f 12(x 1, x 2) = (f 1(x 1), f 2(x 2))

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Observam ca ıntr-o extensie paralela cele doua sisteme nu interactioneaza.

Sisteme digitale

• Extensia serial-paralela:

S i = X i , Y i , f i , X i = 0, 1ni , Y i = 0, 1mi , 1 ≤ i ≤ 4 si m1 + m2 = n3 + n4

=⇒S = X 1 × X 2, Y 3 × Y 4, f , unde f = f 34 f 12 : X 1 × X 2 −→ Y 3 × Y 4(f 12, f 34 sunt functiile de transfer ale extensiilor paralele S 1 × S 2, resp. S 3 × S 4)

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Notam ca iesirile lui S 1 pot fi distribuite atat unor intrari ale lui S 3 cat si unorintrari ale lui S 4; la fel si iesirile lui S 2.

Sisteme digitale

Pentru a modela diversele posibilitati de ramificare sau permutare a unor liniide circuit, se pot folosi niste sisteme speciale, care sunt angajate si ele ınextensiile pe care le facem:

http://find/



Sisteme digitale

• Inchiderea prin ciclu:

S = X × X 1, Y × Y 1, h, unde:X 1 = Y 1 iar h = (f , f 1), f : X × X 1 −→ Y , f 1 : X × X 1 −→ Y 1

=⇒S

= X , Y , g , unde g : X −→ Y este defininta prin g (x ) = f (x , f 1(x , y ));f 1 s.n.functie de tranzitie si verifica definitia recursiva y = f 1(x , f 1(x , y ))

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Observam ca apare o variabila noua ”ascunsa” care ia valori ın multimea

Q = X 1 = Y 1; atunci f : X × Q −→ Y , f 1 : X × Q −→ Q .

Sisteme digitale

Multimea Q caracterizeaza comportarea interna a sistemului, care se mainumeste stare.

Uneori, elementele legate de stare sunt introduse ın definitia sistemuluirespectiv, a.ı. el se va scrie: S = X , Y , Q , f 1, g .

Efectul fundamental al comportarii interne consta ın evolut ia sistemului pespatiul de valori Q , fara modificari ale intrarii X .

Pentru un a ∈ X aplicat constant la intrare, iesirea poate prezenta variatii. De

aceea, spunem ca autonomia unui sistem creste ca urmare a introducerii luiıntr-un ciclu.

D f C i i di i l ˘ d d i

http://find/



Def: Comportarea unui sistem digital este autonoma d.d. pentru o intrareconstanta iesirea are un comportament dinamic.

Sisteme digitale

Exemplu: Fie sistemul S 1 = X × X 1, Y , f , unde X = 0, 1,X 1 = Y = 0, 12, iar f este definita prin tabelul:

Prin ramificarea ın doua a iesirilor Y si apoi identificarea (legarea seriala) auneia dintre ramificari cu X 1 se obtine un nou sistem S :

http://find/



Sisteme digitale

Functionalitatea sa este ilustrata mai jos (se face abstractie de timpul real cateste aplicat un semnal la intrare); ın cerculete este notata starea curenta(elementul lui X 1 = Y ); pe fiecare sageata sunt notate intrarea curenta(elementul lui X ) ”/” iesirea curenta (elementul lui Y ):

http://goforward/

http://find/

http://goback/



De exemplu, din starea ”01”, cu intrarea ”0”, se trece ın starea ”00” si se

emite iesirea ”01”.Dependenta iesirii de intrare si stare este data de tabelul lui f de mai devreme.

Sisteme digitale

Observatie: Sistemul initial S , fara cicluri, nu avea autonomie - iesirea sacurenta depindea doar de intrare. Dupa ınchiderea acestuia printr-un ciclu,sistemul obtinut S capata, ın functie de tranzitie, un comportament al iesiriiautonom de intrare.De exemplu, intrarea (constanta) 11 . . . 1 ın sistemul S va determina iesireaciclica: 01 10 11 00 01 . . ..

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Sisteme digitale

Mai notam ca functionalitatea circuitelor logice (sistemelelor digitale) fara

cicluri nu implementeaza ideea de etapizare - d.p.v. logic, este o functionareatemporala, la niste intrari se asociaza niste iesiri, pe baza unui tabel; iesireacurenta depinde doar de intrarea curenta.

Evident, utilizatorul poate folosi circuitul de mai multe ori, dar aceasta etapizareeste a utilizatorului, nu a circuitului - el nu retine informatii de la o etapa laalta. De exemplu, un calculator de buzunar simplu (neprogramabil si fara

memorie) efectueaza fiecare operatie care i se comanda ca si cum ar fi prima.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Sisteme digitale

La circuitele logice (sistemele digitale) cu cicluri, iesirea curenta depinde atatde intrarea curenta cat si de o informatie existenta ın circuit (ca stare),introdusa acolo la o operare anterioara; de asemenea, ın urma operatieiefectuate se actualizeaza si informatia (starea) interna.

Astfel, functionalitatea circuitelor cu cicluri implementeaza ideea de etapizare.Ele sunt folosite ın sisteme unde functionarea este ımpartita ın etape ce sesucced logic; controlul este asigurat cu ajutorul unui circuit special numit ceas,care emite un semnal pulsatoriu ın timp, iar aceste pulsatii declansaza etapele;la fiecare etapa, blocurile logice componente preiau o intrare, efectueaza ooperatie si produc un rezultat care depinde atat de intrarea preluata cat si de

starea lor curenta; din acest rezultat este produsa o iesire si o noua stare.

In proiectarea unor asemenea sisteme trebuie rezolvate probleme suplimentarefi (

http://goforward/

http://find/

http://goback/



legate de durata fizica a ciclului de ceas (pentru a permite blocurilor logice saefectueze operatiile implementate de ele), sincronizarea blocurilor logice(rezultatul furnizat la iesirea unui bloc sa fie disponibil atunci cand ıl solicita ca

intrare blocul urmator), etc.

Sisteme digitale

In teoria circuitelor logice:

• Logica combinationala se refera la un tip de circuit a carui iesire depinde

doar de intrarea curenta.• Logica secventiala se refera la un tip de circuit a carui iesire depinde nunumai de intrarea curenta ci si de istoricul intrarilor sale anterioare.

Aceasta ınseamna ca logica secventiala are stare (memorie), ın timp ce logicacombinationala nu.

Cu alte cuvinte, logica secventiala este logica combinationala cu memorie.

Din cele de mai sus, rezulta ca circuitele logice (sistemele digitale) fara cicluri

http://find/



sunt prezente ın logica combinationala, iar cele cu cicluri ın logica secventiala.

Sisteme digitale

Def: Un ciclu A este inclus ın alt ciclu B daca A apartine unui sistem care faceparte dintr-o extensie seriala ınchisa prin ciclul B .Spunem ca A este subciclu al lui B .

Exemplu: In figura de mai jos, (1) este subciclu al lui (2):

http://find/



Sisteme digitale

Def: Un sistem digital de ordin n (n-digital system, n-DS), n

≥ 0, se

defineste recursiv astfel:

1. Orice circuit combinational (fara cicluri) este un 0-DS.

2. Un (n + 1)-DS se obtine dintr-un n-DS adaugand un ciclu care include toateciclurile anterioare.

3. Orice n-DS se obtine aplicand de un numar finit de ori regulile anterioare.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Sisteme digitale

Obs: Un n-DS are n niveluri de cicluri incluse unele ın altele, nu n cicluri. Deexemplu:

http://find/



(am presupus ca blocurile simbolizate nu contin cicluri).

Sisteme digitale

Vom arata urmatoarea corespondenta ierarhica pentru n-DS, care corespunde

arhitecturii unui calculator:• 0-DS: circuite combinationale, functii booleene;

• 1-DS: memorii;

• 2-DS: automate finite;

• 3-DS: procesoare;

• 4-DS: calculatoare.

http://goforward/

http://find/

http://goback/






3 Logica pentru calculatoareAlgebre booleeneFunctii booleene

Particularizare la cazul B 24 Circuite logice

Circuite logice, Sisteme digitale0 DS (Ci i bi i l F ii b l )

http://goforward/

http://find/

http://goback/



0-DS (Circuite combinationale, Functii booleene)1-DS (Memorii)2-DS (Automate finite)

Algoritmi de ınmultire si ımpartire hardware3-DS (Procesoare) si 4-DS (Calculatoare)n-DS, n > 4

Circuite combinationale

Sistemele 0-DS sunt circuite logice fara cicluri.

La aceste circuite, iesirea curenta depinde doar de intrarea curenta, deci ele nuau memorie si astfel sunt prezente ın logica combinationala; de aceea se mai

numesc si circuite combinationale (combinational logic circuit, CLC).Dependenta iesirii curente de intrarea curenta a unui 0-DS poate fi descrisaprintr-un tabel de valori, astfel ca un 0-DS implementeaza o functie booleana.Asa cum vom vedea mai tarziu, orice functie booleana poate fi implementataprintr-un 0-DS, deci avem o echivalenta ıntre 0-DS si funct ii booleene.

Exista mai multe modalitat i de a implementa o functie booleana ca un 0-DS:implementare directa a unei formule date, minimizarea numarului de operatii siimplementarea printr-un circuit minimal, implementarea printr-un circuit

http://find/



general construit dupa un anumit tipar, implementarea cu ajutorul unor blocuriCLC speciale: codificator, multiplexor, etc.

Implementare directa

Implementare directa:

O functie booleana data printr-o formula poate fi implementata combinandportile ın aceeasi ordine ın care se compun operatiile booleene implementate deele pentru a se obtine formula.

Exemplu: Functia f : B 23 −→ B 2, f (x , y , z ) = (x + y )(z ⊕ y ) + y z poate fiimplementata prin circuitul:

http://find/



Circuit minimal

Circuit minimal:

O functie booleana poate fi implementata descriind-o mai ıntai printr-o formulacu numar minim de operatii si implementand apoi direct aceasta formula

(circuitul va avea un numar minim de porti).Problema generala a minimizarii circuitului este considerata intractabila(intractable), i.e. poate fi rezolvata ın teorie (de exemplu, fiind dat un timplung, dar finit), dar ın practica dureaza prea mult pentru ca solutia ei sa fieutila.

Exista ınsa metode euristice eficiente, ca hartile Karnaugh (Karnaugh maps)si algoritmul QuineMcCluskey.

In multe cazuri poate fi util sa ıncercam sa transformam formula, aplicand

http://find/



proprietati de algebra booleana, pana cand aceasta nu mai cont ine 0 sau 1 iarvariabilele nu se mai repeta.

Circuit minimal

Exemplu: Pentru functia din exemplul anterior, avem:f (x , y , z ) = (x + y )(z ⊕ y ) + y z = (x + y )(zy + z y ) + y z =(x + y )(y z + y z ) + y z = x y z + x y z + y y z + y y z + y z =xyz + xy z + y z + yz = x yz + y z + yz = x yz + (y + y )z = x yz + z = x y + z

Astfel, ea poate fi implementata prin circuitul:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Circuit general

Circuit general:

O functie booleana poate fi implementata printr-un circuit general, construitdupa un anumit tipar, pornind de la o formula standard a functiei - de exemplu,scrierea ei ca suma de produse sau ca FND.

Exemplu: Fie functia f = (f 1, f 2) : B 23 −→ B 22 (f 1, f 2 : B 23 −→ B 2) data printabelul:

x y z f 1 f 20 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 0 01 1 0 1 11 1 1 1 0

http://goforward/

http://find/

http://goback/



1 1 1 1 0Din tabel rezulta ca f 1, f 2 au respectiv urmatoarele FND:f 1(x , y , z ) = xy z + x y z + x y z

f 2(x , y , z ) = xy z + x y z

Circuit general

Atunci, functia f poate fi implementata prin circuitul:

http://find/



Observam ca am folosit doua porti ”NOT” pentru a calcula aceeasi valoare x sidoua porti ”NOT” pentru a calcula aceeasi valoare z .

Circuit general

Putem evita folosirea mai multor porti ”NOT” pentru negarea aceleiasivariabile construind circuitul astfel:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Circuit general

O varianta a circuitului de mai sus, pe care o vom prefera ın cele ce urmeaza,este urmatoarea:

Plasarea portilor ”NOT” imediat la intrarile x , y , z are urmatoarele avantaje(datorate efectului de buffer al portilor ”NOT”):

- se ımpiedica patrunderea semnalelor perturbate adanc ın circuit (din portile”NOT” i i i l l 0 1)

http://find/



”NOT” respective va iesi un semnal clar 0 sau 1);- se izoleaza circuitul de alte circuite aflate la intrare, evitand influientanegativa a impedantei acestora;

- semnalul este amplificat si astfel poate fi distribuit mai multor porti ”AND”(un circuit cu n variabile de intrare poate avea pana la 2n porti ”AND”).

Circuit general

Putem minimiza scrierea functiei ca suma de produse (sa avem cat mai putineoperatii + si ·) ınainte de a o implementa prin circuitul general. Astfel, vomobtine un circuit general minimal.

Exemplu: Pentru functia f din exemplul anterior, avem:f 1(x , y , z ) = xy z + x y z + x y z = x y z + x y (z + z ) = x y z + x y =

(xz + x )y = (z + x )y = x y + y z f 2(x , y , z ) = xy z + x y z = (x + x )y z = y z

Atunci, f poate fi implementata prin circuitul:

http://find/



Circuit general

Toate variantele de circuit general prezentate pana acum, cu exceptia primeia,au trei parti:− un bloc care calculeaza variabilele si negatiile lor;− un bloc care calculeaza produse ”AND”;− un bloc care calculeaza sume ”OR”

(prima varianta constructiva calculeaza negatiile ın blocul al doilea).

Structura primului bloc depinde doar de numarul de variabile, ın timp cestructura blocurilor al doilea si al treilea depinde de functie.Daca ne imaginam ca implementam functiile cu un numar fixat de variabile prinplaci de extensie inserate ıntr-un soclu pe o placa de baza, primul bloc ar puteafi integrat ın soclu (pe placa de baza), iar blocurile al doilea si al treilea pe

placa de extensie.Putem standardiza si mai mult circuitul general si sa integram mai mult ınsoclu daca ın blocul al doilea am calcula toate cele 2n produse posibile cu celen variabile date (ele corespund liniilor din tabelul de valori al functiei) - atunci

http://find/



n variabile date (ele corespund liniilor din tabelul de valori al functiei) atuncistructura primelor doua blocuri va depinde doar de numarul de variabile (iar elevor putea fi integrate ın soclu) si doar structura celui de-al treilea bloc va

depinde de functie (iar el va fi integrat ın placa de extensie).In acest caz, suma de produse implementata de circuit este FND.

Circuit general

Exemplu: Pentru functia f din exemplele anterioare, ale carei componente au,reamintim, respectiv urmatoarele FND:

f 1(x , y , z ) = x y z + x y z + x y z , f 2(x , y , z ) = x y z + x y z

obtinem circuitul urmator (am numerotat liniile din tabel, termenii din FND siprodusele din blocul ”AND” pentru a observa mai usor corespondentele):

http://find/



Circuit generalPutem desena mai rapid circuitul, observand urmatoarele proprietati:

− Punctele de contact ale produselor din blocul ”AND” sunt ın concordantacu aparitiile cu/fara ale variabilelor ın termenii corespunzatori din FND, caresunt ın concordanta cu valorile 0/1 ale acestor variabile ın tabel, care traduc ınbinar numerele de ordine ale liniilor tabelului; de aceea, ne putem gandi catranscriem ın binar aceste numere de ordine direct prin puncte de contact (asa

cum s-au transcris prin sistemele de si deasupra termenilor din FND): 0ınseamna contact pe linia de jos, 1 ınseamna contact pe linia de sus (ınperechea de linii care furnizeaza valoarea unei variabile si negatia ei);

− Modul ın care alterneaza valorile ın tabel ın coloanele variabilelor, cuperioade care se ınjumatatesc odata cu scaderea semnificatiei variabilelor (ıncoloana variabilei celei mai semnificative, jumatate 0, jumatate 1, ın coloana

variabilei urmatoare ca semnificatie, un sfert 0, un sfert 1, etc.) si care nepermite sa completam tabelul pe coloane, ne permite sa plasam punctele decontact ın blocul ”AND” pe linii: ın fiecare produs, variabila cea maisemnificativa are jumatate din contacte pe linia de jos jumatate pe linia de sus

http://find/



semnificativa are jumatate din contacte pe linia de jos, jumatate pe linia de sus,variabila urmatoare ca semnificatie are un sfert din contacte pe linia de jos, unsfert pe linia de sus, apoi iar un sfert pe linia de jos, un sfert pe linia de sus, etc..

− Sumele din blocul ”OR” au punctele de contact la produsele care corespundliniilor din tabel unde componenta corespunzatoare a functiei are valoarea 1.

Circuit general

Constatam ca orice functie booleana se poate implementa printr-un circuit

general, ın oricare din variantele constructive prezentate mai sus, de aceeacircuitele de acest tip au statut de circuite universale.

Totodata, vedem cum orice functie booleana poate fi implementata printr-un0-DS, ceea ce ıncheie justificarea echivalentei ıntre 0-DS si functii booleene,afirmata mai devreme.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



PLA si PROM

PLA si PROM:

Circuitele generale prezentate mai devreme se pot desena folosind urmatoareleconventii grafice mai simple:

− Blocul care furnizeaza valorile variabilelor si negatiile lor se deseneaza la fel.− Fiecare produs din blocul ”AND” (care acum se mai numeste si planul”AND”) se deseneaza printr-o linie verticala care are contacte pe aceleasi liniica si produsul.− Fiecare suma din blocul ”OR” (care acum se mai numeste si planul ”OR”)

se deseneaza printr-o linie orizontala care are contacte pe aceleasi linii ca si

suma.Asadar, liniile desenate au semantici diferite, ın funct ie de pozitia lor pe desen:cele orizontale din blocul de sus sunt linii de circuit, cele verticale din planul”AND” s nt prod se cele ori ontale din plan l ”OR” s nt s me

http://find/



AND sunt produse, cele orizontale din planul OR sunt sume.

PLA si PROM

Exemplu: Urmatoarele circuite care implementeaza functia f din exempleleanterioare (cel cu numar minim de produse/sume si cel cu toate produseleposibile):

se vor desena astfel:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



PLA si PROM

Circuitele generale desenate dupa conventiile mai simple de mai sus s.n. PLA(Programmable Logic Array); cel care are ın planul ”AND” toate produseleposibile cu variabilele date se mai numeste si PROM (Programmable

Read-only Memory) (deci un PROM este un caz particular de PLA). De obiceiınsa, denumirea de PLA este folosita doar pentru circuitul cu numar minim deproduse/sume.

Din punct de vedere tehnic, avand ın vedere gradul ridicat de standardizare,aceste circuite se pot construi dupa tehnologii diferite, mai simple, decat

circuitele alcatuite din porti si avand o organizare oarecare.

Intrucat pot implementa orice functie booleana, PLA si PROM sunt circuiteuniversale.

http://find/



PLA si PROM

Din cele de mai sus rezulta ca putem construi PROM-ul unei functii direct dintabelul extins al acesteia, procedand astfel:

- construim tabelul extins;- construim blocul care furnizeaza valorile variabilelor si negatiile lor si planul

”AND” al PROM-ului (ele depind doar de numarul de variabile);- construim planul ”OR” al PROM-ului, plasand pe fiecare linie - suma

corespunzatoare unei componente a funct iei puncte de contact culiniile - produs corespunzatoare liniilor din tabel ın care componentarespectiva are valoarea 1.

http://find/



PLA si PROM

Exemplu: Pentru functia f = (f 1, f 2) : B 23

−→ B 22

(f 1, f 2 : B 23

−→ B 2) dinexemplele anterioare, avem (pentru claritate, am numerotat liniile din tabel siliniile - produs corespunzatoare din PROM si am mentionat separat liniile ıncare componentele lui f au valoarea 1):

x y z f 1 f 20 0 0 0 0 0 f 1 : 3, 6, 7

0 0 1 0 0 1 f 2 : 2, 60 1 0 0 1 20 1 1 1 0 31 0 0 0 0 41 0 1 0 0 51 1 0 1 1 61 1 1 1 0 7

http://find/



PLA si PROM

Pentru a construi PLA-ul unei functii, avand numarul minim de produse/sume,putem proceda astfel:- construim tabelul extins;- din tabelul extins extragem FND-urile componentelor functiei;- minimizam scrierea componentelor functiei ca sume de produse, transformand

FND-urile cu proprietati de algebra booleana;- construim PLA-ul pornind de la formulele minimale, ıntr-o maniera

asemanatoare celei ın care am construit circuitul general minimal.

Un alt mod de a construi PLA-ul unei funct ii foloseste tabelul compact (a sevedea sfarsitul sectiunii referitoare la algebra booleana B 2):

- construim tabelul compact;- din tabelul compact extragem direct scrieri simplificate ca sume de produse

ale componentelor functiei; daca aceste scrieri nu sunt minimale, ele se pottransforma ın continuare cu proprietati de algebra booleana;

http://find/



- construim PLA-ul pornind de la formulele minimale, ıntr-o manieraasemanatoare celei ın care am construit circuitul general minimal.

PLA si PROM

Exemplu: Ilustram ultima modalitate de constructie a PLA, pentru aceeasifunctie ca mai devreme. Tabelul sau compact este:

z

x y 0 1 f 1 f 2

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 0 z z

1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 1 z

Din tabelul compact rezulta urmatoarele scrieri simplificate ca sume de produseale componentelor functiei:

f 1(x , y , z ) = x y z + x y

f 2(x , y , z ) = y z

Observam ca putem simplifica ın continuare formula lui f 1, folosind absorbtiab l ˘

http://find/



booleana:f 1(x , y , z ) = (xz + x )y = (z + x )y = xy + y z

PLA si PROM

Pornind de la formulele minimale, obtinem urmatorul PLA:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Decodificator

Decodificator:Un decodificator (decoder) cu selector pe n biti DCD n, n ≥ 1, este un circuitcare transforma un cod numeric k pe n biti ıntr-o alegere fizica, a liniei de iesirecu numarul k (prin care trimite 1).De fapt, acesta este un caz particular de decodificator, numit decodificatorlinie (line decoder).

Simbol:

El primeste ca intrare un sistem de valori x n−1, . . . , x 0, numit selector, care estereprezentarea ın calculator a unui numar natural k ∈ 0, 2n − 1 ca ıntreg farasemn si furnizeaza ca iesire un sistem de valori y 0, . . . , y 2n−1 a.ı. y k = 1 siy i = 0 pentru i = k .

Li iil d i i fi l di hi ( i i )

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Liniile de iesire y 0, . . . , y 2n−1 pot fi conectate la diverse echipamente (circuite)si astfel va fi activat echipamentul cu numarul k .

Deci, cu ajutorul unui decodificator, putem activa diverse echipamente,selectabile printr-un cod numeric.

DecodificatorDCD n implementeaza o functie f : B 2

n

−→ B 2

2n

avand urmatorul tabel de valori:

Asadar, coloana fiecarei componente y k a functiei, 0 ≤ k ≤ 2n − 1, contine osingura valoare 1, anume pe linia k .

Atunci, daca implementam aceasta functie ca PROM, fiecare produs din planul”AND” va participa la o singura suma.

In consecinta, un decodificator este planul ”AND” dintr-un PROM:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Decodificator

Pentru n = 1 obtinem decodificatorul elementar (elementary decoder),EDCD ; simbolizare:

Constructie:

http://find/



Decodificator

Uneori este utila o varianta a decodificatorului, ın care iesirile suntcomplementate:

El transforma selectorul (x n−1

, . . . , x 0

) = [k ]u

n ın sistemul de valori y

0, . . . , y

2

n

−1a.ı. y k = 0 si y i = 1 pentru i = k .

http://find/



Decodificator

Pentru constructie, ın planul ”AND” al PROM-ului se ınlocuiesc portile ”AND”cu porti ”NAND”:

In cazul EDCD, se poate proceda astfel:

http://find/



CodificatorCodificator:

Un (2n, p ) - codificator (encoder) este un circuit cu 2n intrari dintre care lafiecare moment doar una este activa (i.e. are valoarea 1) si care genereaza laiesire o configuratie binara oarecare de lungime p . Simbol:

Pentru a se garanta ca dintre cele 2n intrari la fiecare moment exact una esteactiva, codificatorul este ınsotit ıntotdeauna de un decodificator:

Circuitul rezultat transforma: (x n−1, . . . , x 0) = [k ]u n, 0 ≤ k ≤ 2n − 1 ⇒

http://goforward/

http://find/

http://goback/



(y 0, . . . , y 2n−1) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 este pe pozitia k ) ⇒ (z 1, . . . , z p ),unde pentru orice 1

≤ i

≤ p , z i = z i (k ) = z i (x n−1, . . . , x 0) : B 2

n

−→ B 2 este o

functie booleana scalara oarecare, deci z = (z 1, . . . , z p ) : B 2n −→ B 2

p este ofunctie booleana vectoriala oarecare.

Codificator

Intrucat am vazut ca orice functie booleana se poate implementa ıntr-un modstandard ca PROM iar decodificatorul este planul ”AND” al acestuia, rezultaca codificatorul poate fi construit ca planul sau ”OR”.

Mai exact, codificatorul se construieste ca un sistem de porti ”OR”, fiecarefurnizand ca iesire cate un z i , 1 ≤ i ≤ p , si primind ca intrare acei y k pentru

care, daca valoarea este 1, atunci si z i = 1:

Asadar, codificatorul este planul ”OR” dintr-un PROM.

Intrucat am vazut ca PROM-ul este un circuit universal rezulta ca si

http://find/



Intrucat am vazut ca PROM ul este un circuit universal, rezulta ca sicodificatorul (ınsotit de decodificator) este un circuit universal, i.e. poate

implementa orice functie booleana.

CodificatorExemplu: Implementati cu ajutorul unui codificator functia booleana

f : B 23

−→ B 2 data prin tabelul: x y z f 0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 0

1 1 0 11 1 1 1

Codificatorul va contine un ”OR” ce furnizeaza ca iesire f si are ca intrari iesiriley k al DCD 3 ce corespund liniilor cu numerele k din tabel pentru care f = 1:

http://find/



Codificator

Daca folosim un decodificator cu iesirile negate, ın constructia codificatorului seınlocuiesc portile ”OR” cu porti ”NAND”.

Exemplu: Pentru functia f din exemplul anterior, obtinem implementarea:

http://find/



Demultiplexor

Demultiplexor:Un demultiplexor (demultiplexer) cu selector pe n biti DMUX n, n ≥ 1, esteun comutator de tip ”one into many”, care care poate conecta o intrare unicala o iesire selectabila printr-un cod numeric.

Simbol:

El primeste ca intrare:• un sistem de valori x n−1, . . . , x 0, numit selector, care este reprezentarea ın

calculator a unui numar natural k ∈ 0, 2n − 1 ca ıntreg fara semn;

http://goforward/

http://find/

http://goback/



• o valoare E ∈ 0, 1;

si furnizeaza ca iesire:• un sistem de valori y 0, . . . , y 2n−1 a.ı. y k = E si y i = 0 pentru i = k .

Demultiplexor

Constatam ca demultiplexorul este o generalizare a decodificatorului; mai exact,un DCD n este un DMUX n unde am fixat E = 1.

De aceea, demultiplexorul se construieste usor cu ajutorul unui decodificator -se conjuga toate iesirile decodificatorului cu E :

http://goforward/

http://find/

http://goback/



DemultiplexorPentru n = 1 obtinem demultiplexorul elementar (elementary

demultiplexer), EDMUX ; simbolizare:

Constructie:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



DemultiplexorPutem construi o varianta a demultiplexorului, ın care intrarea E si iesirile

y 0, . . . , y 2n−1 sunt negate.

Simbolizare:

Constructie:

http://find/



Aceasta varianta are avantajul ca si intrarea E va fi protejata iar semnalul va fi

amplificat ınainte de combinarea cu cele 2n iesiri ale decodificatorului, datoritaefectului de buffer al portii ”NOT”.

Multiplexor

Multiplexor:Un multiplexor (multiplexer) cu selector pe n biti MUX n, n ≥ 1, este uncomutator de tip ”many into one”, care care poate conecta o intrare selectabilaprintr-un cod numeric la o iesire unica.

Simbol:

El primeste ca intrare:• un sistem de valori x n−1, . . . , x 0, numit selector, care este reprezentarea ın

calculator a unui numar natural k ∈ 0, 2n − 1 ca ıntreg fara semn;

http://find/



, g ;

• un sistem de valori oarecare i 0, . . . , i 2n−1;

si furnizeaza ca iesire: i k .

Multiplexor

Constructie:

Decodificatorul transforma selectorul k = (x n−1, . . . , x 0) ın sistemul de iesiri0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, unde 1 este pe pozitia k ; aceste iesiri sunt conjugate curespectiv intrarile i 0, . . . , i 2n−1, rezultand sistemul de valori 0, . . . , 0, i k , 0, . . . , 0,unde ik este pe pozitia k; aceste valori intra ıntr-o poarta ”OR” care

http://find/



unde i k este pe pozitia k ; aceste valori intra ıntr o poarta OR , careefectueaza 0 +

· · ·+ i k +

· · ·+ 0, rezultand ın final i k .

Multiplexor

Pentru n = 1 obtinem multiplexorul elementar (elementary multiplexer),EMUX ; variante de simbolizare (ın primul caz subıntelegem ca intrareacorespunzatoare selectorului s = 0 este ın stanga):

Constructie:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Multiplexor

De asemenea, vom folosi si MUX 2, pentru care avem si simbolizarea:

http://find/



Multiplexor

Daca folosim un decodificator cu iesirile negate, ın constructia multiplexoruluise interschimba portile nou adaugate ”AND” si ”OR”:

Acum, decodificatorul transforma selectorul k = (x n−1, . . . , x 0) ın sistemul deiesiri 1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1, unde 0 este pe pozitia k ; aceste iesiri sunt disjunse curespectiv intrarile i 0, . . . , i 2n−1, rezultand sistemul de valori 1, . . . , 1, i k , 1, . . . , 1,

http://find/



unde i k este pe pozitia k ; aceste valori intra ıntr-o poarta ”AND”, care

efectueaza 1 · . . . · i k · . . . · 1, rezultand ın final i k .

Multiplexor

Multiplexorul este si el un circuit universal, deoarece putem implementa oricefuntie booleana scalara cu un multiplexor.

Exemplu: Implementati functia booleana urmatoare cu un multiplexor:

http://find/



Multiplexor

Intuitiv, fiecare sistem de valori ale variabilelor x , y , z , care este reprezentareaunui numar natural 0 ≤ k ≤ 7, selecteaza:

• din tabel, valoarea lui f din linia k ;

• cu muliplexorul, intrarea i k de sus.Asadar, multiplexorul implementeaza pe f daca plasam coloana valorilor lui f

ca sistem de intrari i 0, . . . , i 7; ıntrucat sistemul de valori 0, 0, 0 ale variabilelorselecteaza valoarea din linia de sus a tabelului si intrarea i din stanga amultiplexorului, coloana valorilor lui f trebuie plasata orizontal, cu partea de

sus spre stanga; notam ca variabila cea mai semnificativa, x , a fost desenata,conform conventiilor adoptate, ın tabel ın stanga si la multiplexor jos.

http://find/



Multiplexor

O functie booleana vectoriala f : B 2n −→ B 2

k , k > 1, poate fi implemetataprintr-un sistem de k multiplexoare MUX n, fiecare calculand cate una dincomponentele functiei, f 1, . . . , f k ; liniile corespunzatoare variabilelor lui f intrasimultan ca selector ın toate multiplexoarele, iar acestea au ca sisteme de

intrari i coloanele de valori ale componentelor lui f pe care le calculeaza:

http://find/



Multiplexor

MUX n admite si o constructie recursiva; mai exact:

se poate construi ca:

http://find/



Multiplexor

In interiorul dreptunghiurilor am notat intrarile/iesirile proprii ale

multiplexoarelor (parametrii formali), iar langa dreptunghiuri am notat liniileconectate la ele (parametri actuali).

De exemplu, intrarea i 2n−1 a lui MUX n este conectata la intrarea i 0 a luiMUX n−1 din dreapta.

http://find/



Multiplexor

Echivalenta celor doua circuite este usor de ınteles daca facem o comparatie cutablul de valori al functiei implementate; vom ilustra pentru functia dinexemplul anterior, presupunand ca (x , y , z ) = (0, 1, 0):

http://find/



Multiplexor

Iesirea y a lui MUX 3 este valoarea finala a lui f ; dupa valoarea variabilei celeimai semnificative, x , ea este aleasa din prima sau a doua jumatate a tabelului,respectiv din ceea ce furnizeaza primul sau al doilea MUX 2; ıntrucat x = 0, sealege din prima jumatate a tebelului, respectiv ce furnizeaza MUX 2 din stanga.

Sistemul valorilor celor mai putin semnificative variabile, (y , z ), apare de douaori ın tabel, o data ın prima jumatate, o data ın a doua jumatate, si ın fiecarecaz selecteaza valoarea lui f de pe o linie aflata la aceeasi distanta d fata deınceputul jumatatii; corepunzator, sistemul (y , z ) intra ca selector ın ambeleMUX 2 si ın fiecare caz selecteaza intrarea i cu acelasi indice d ; ıntrucat

(y , z ) = (1, 0), se alege din fiecare jumatate a tabelului valoarea lui f din linia2 (numarand de la 0) si de la fiecare MUX 2 intrarea i 2 (d = 2 = 102).Intrucat variabila cea mai semnificativa este x = 0, prima dintre cele douavalori, adica 0, este emisa ca valoare finala.

http://find/



Multiplexor

Proprietatea algebrica pe care se bazeaza constructia recursiva de mai sus esteteorema care da o descriere recursiva a unei funct ii booleene scalare cu n

variabile prin doua functii booleene scalare cu n − 1 variabile:

∀x n−1, . . . , x 0

∈ B 2,

f (x n−1, . . . , x 0) = x n−1f (0, x n−2, . . . , x 0) + x n−1f (1, x n−2, . . . , x 0)

MUX n construit recursiv implementeaza f : B 2n −→ B 2;

MUX n−1 din stanga (a carui iesire este selectata de EMUX pentru x n−1 = 0)implementeaza f 0 : B 2

n−1 −→ B 2, f 0(x n−2, . . . , x 0) = f (0, x n−2, . . . , x 0);MUX n

−1 din dreapta (a carui iesire este selectata de EMUX pentru x n

−1 = 1)

implementeaza f 1 : B 2n−1 −→ B 2, f 1(x n−2, . . . , x 0) = f (1, x n−2, . . . , x 0).

Formula de recursie din teorema este functia implementata de un EMUX :EMUX (s , a, b ) = s a + sb .

http://find/



Multiplexor

Observatie: Si alte circuite 0 − DS , ca de exemplu DCD n sau DMUX n, admito constructie recursiva (exercitiu).

http://find/



Multiplexor

Putem continua constructia recursiva a lui MUX n de mai devreme, exprimandfiecare MUX n−1 prin cate doua MUX n−2 si un EMUX , s.a.m.d., pana obinemun circuit, asemanator unui arbore, alcatuit doar din EMUX -uri.

Astfel, ıntrucat orice functie booleana scalara se poate implementa cu unmultiplexor iar orice multiplexor se poate ınlocui cu un arbore de EMUX -uri,rezulta ca orice functie booleana scalara se poate implementa cu un circuitalcatuit doar din EMUX -uri.Deci, si EMUX este circuit universal.

Observatie: Alte circuite universale sunt NAND si NOR (putem implementaorice functie booleana folosind doar NAND -uri sau doar NOR -uri) - exercitiu.

http://find/



Multiplexor

Exemplu: Functia din exemplul precedent se poate implementa cu EMUX -uriastfel:

Daca pastram conventiile anterioare privind pozitia intrarilor si iesirilor pedesenul EMUX -urilor, nu mai este nevoie sa notam aceste intrari si iesiri.

http://find/



¸ ¸

Multiplexor

O functie booleana vectoriala f : B 2n

−→ B 2k

, k > 1, poate fi implemetataprintr-un sistem de k arbori de EMUX -uri, fiecare calculand cate una dincomponentele functiei, f 1, . . . , f k ; fiecare linie corespunzatoare unei variabile alui f intra ca selector ın EMUX -urile de pe un acelasi rand ın toti arborii, iaracestia au ca sisteme de intrari i coloanele de valori ale componentelor lui f pecare le calculeaza:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Multiplexor

Numarul EMUX -urilor prin care se implementeaza o functie booleana poate firedus, daca observam ca:

Astfel, daca acceptam si prezenta portilor ”NOT”, EMUX -urile aflate peprimul rand al arborilor dispar, iar uneori dispar si EMUX -uri de pe randurileurmatoare.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



MultiplexorExemplu: Reduceti la maxim numarul de EMUX prin care se implementeaza

functia f din exemplele anterioare:

Desenul care pastreaza doar EMUX -urile ramase este:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Sfat: Desenul circuitului redus este bine sa fie realizat de jos ın sus, deoareceavem o perspectiva mai clara care linii trebuie sterse sau redirectionate.

Observatie:

In notatiile si simbolizarile grafice folosite pana acum, daca dam nume indexatevariabilelor, intrarilor, iesirilor, nu mai este nevoie sa respectam o anumitaordine de scriere/desenare a acestora. De exemplu, ın cazul unui MUX 3, vom

sti ca intrarea i 3 corespunde valorii selectorului x 2 = 0, x 1 = 1, x 0 = 1,indiferent unde sunt scrise/desenate aceste linii:

http://find/



Daca folosim nume neindexate, conteaza ordinea semnificatiilor variabilelor sicea de scriere/desenare ın funct ie de semnificatie. De exemplu, daca inversamordinea liniilor selectorului unui MUX 3, intrarea i 3 se interschimba cu i 6:

Oricare conventie de ordonare este buna, dar trebuie aleasa una si pastrata cuconsecventa.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Conventia de ordonare folosita ın acest curs este:

- variabila cea mai semnificativa este scrisa ın stanga notatiei cu paranteze a

functiei, ın coloana din stanga a tabelului de valori si ın partea de jos aselectorului blocurilor decodificator, codificator, demultiplexor, multiplexor;

- iesirea y corespunzatoare valorii 0 = (0, . . . , 0) a selectorului blocurilordecodificator si demultiplexor este scrisa ın stanga sau sus;

- intrarea i corespunzatoare valorii 0 = (0, . . . , 0) a selectorului blocului

multiplexor este scrisa ın stanga sau sus.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



http://find/



In cele ce urmeaza, pana la sfarsitul sectiunii referitoare la 0 − DS , vom nota:

∨, ∧, , ⊕, \, operatiile de algebra booleana ”OR”, ”AND”, ”NOT”,”XOR”, diferenta

si vom nota:+, −, · sau juxtapunere, div , mod , operatiile aritmetice pe numere ıntregide adunare, scadere, ınmultire, aflarea catului ıntreg, aflarea restului ıntreg.

http://find/



Sumator

Sumator:

Un sumator pe n biti ADD n, n ≥ 1, este un circuit care implementeazaoperatia pe care la ınceputul sectiunii ”Reprezentarea numerelor ın calculator”

am notat-o cu +.Mai exact, el primeste ca intrare doua siruri de bit i an−1, . . . , a0, b n−1, . . . , b 0 sieventual un transport de intrare c in (pentru pozitia 0) si le aplica algoritmul deadunare cu reprezentarile binare ale numerelor naturale folosit ın matematica;transportul din pozitia n − 1 se pierde (de fapt, el este emis pe o linie separata).

Am vazut ca rezultatul acestei operatii are semnificatia de suma atat ın cazulcand sirurile de biti reprezinta numere naturale ca ıntregi fara semn, cat si ıncazul cand ele reprezinta numere ıntregi ın complement fata de 2.

http://find/



Sumator

Simbol:

sau, daca consideram si un transport de intrare:

Vom defini mai ıntai sumatorii pe un bit, apoi, pe baza acestora, sumatorii pemai multi biti.

http://find/



Sumator

• Sumator pe un bit:

Sumatorii pe un bit pot fi folosit i:

- pentru adunarea bitilor cei mai putin semnificativi (bitii de rang 0, aiunitatilor) ai unor operanzi mai lungi si atunci nu avem transport de intrare(carry in), dar avem transport de iesire (carry out); circuitul respectiv s.n. half adder;

- pentru adunarea bitilor mai semnificativi (de rang

≥ 1) ai unor operanzi mai

lungi si atunci avem si transport de intrare (carry in) si transport de iesire(carry out); circuitul respectiv s.n. full adder.

http://find/



Sumator

• Half adder (HA):

Primeste ca intrare: a, b (doi operanzi de un bit).Efectueaza adunarea: a + b .Furnizeaza ca iesire: s (bitul suma, trimis ın locatia destinatie), c out (carry out).Observam ca: s = (a + b ) mod 2, c out = (a + b ) div 2.

Simbol si tabel de adevar:

http://find/



Sumator

Constructia ca PROM:

O constructie cu mai putine porti se poate obtine observand din tabel ca:s = a ⊕ b , c out = a ∧ b :

Half adder-ul implementeaza functia booleanaHA : B 2

2 −→ B 22, HA(a, b ) = (HAs (a, b ), HAc (a, b )), unde

HAs (a, b ) = s = a ⊕ b , HAc (a, b ) = c out = a ∧ b .

http://find/



Sumator

• Full adder (FA):

Primeste ca intrare: a, b (doi operanzi de un bit), c in (carry in).Efectueaza adunarea: a + b + c in.Furnizeaza ca iesire: s (bitul suma, trimis ın locatia destinatie), c out (carry out).Observam ca: s = (a + b + c in) mod 2, c out = (a + b + c in) div 2.

Simbol si tabel de adevar:

Full adder-ul implementeaza functia booleanaFA : B 2

3 B 22, FA(a, b , c ) = (FAs (a, b , c ), FAc (a, b , c )), unde

http://find/



−→( , , ) ( ( , , ), ( , , ))

FAs (a, b , c ) = s = (a + b + c ) mod 2, FAc (a, b , c ) = c out = (a + b + c ) div 2.

Sumator

Daca din tabelul anterior extragem FND, rezulta ca pentru a, b , c = c in date,avem:

FAs (a, b , c ) = (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) =(((a

∧b )

∨(a

∧b ))

∧c )

∨(((a

∧b )

∨(a

∧b ))

∧c ) =

((a ⊕ b ) ∧ c ) ∨ (a ⊕ b ∧ c ) = (a ⊕ b ) ⊕ c = HAs (HAs (a, b ), c in)

FAc (a, b , c ) = (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ c ) =(((a ∧ b ) ∨ (a ∧ b )) ∧ c ) ∨ (a ∧ b ∧ (c ∨ c )) = ((a ⊕ b ) ∧ c ) ∨ (a ∧ b ) =HAc (HAs (a, b ), c in) ∨ HAc (a, b ) = HAc (HAs (a, b ), c in) ⊕ HAc (a, b )

Ultima egalitate de jos se bazeaza pe faptul ca HAc (HAs (a, b ), c in) si HAc (a, b )nu pot fi simultan 1 (de aceea, ın loc de ∨ putem folosi ⊕); ıntr-adevar,conform tabelului lui half adder, daca HAc (a, b ) = 1, atunci HAs (a, b ) = 0,deci HAc (HAs (a, b ), c in) = HAc (0, c in) = 0.

http://find/



Sumator

Atunci putem construi un circuit full adder folosind doua circuite half adder siun ”OR” sau ”XOR”, astfel:

http://find/

http://goback/



Sumator

• Sumator serial:

Sumatorul serial pe n biti ADD n calculeaza bitii sumei succesiv, de la cel derang minim la cel de rang maxim, folosind la calculul fiecarui nou bittransportul (carry out) obtinut la bitul anterior.

El se poate defini (construi) recursiv, astfel:

ADD 1 este un FAADD n, n > 1, este extensia seriala a unui ADD n−1 cu un FA:

Dezavantaj: dezvoltarea pe verticala a circuitului (numarul de niveluri de legare

http://find/



ın serie) este mare si depinde de n; astfel, circuitul este lent.

Sumator

• Sumator paralel:

Sumatorul paralel pe n biti ADD n este o varianta mai rapida, care efectueazaınsumarea separata a transportului fiecarei sume binare, folosind un circuit CL

(carry lookahead).

Daca pentru orice 0 ≤ i ≤ n notam:

ai , b i , s i bitii de pe pozitia i ai operanzilor si, respectiv, sumei,c i carry in la pozitia i (si carry out la pozitia i − 1, daca i ≥ 1),iar c n este carry out final (de pe pozitia n − 1),atunci, din formulele obtinute pentru FAs , FAc mai devreme, rezulta ca pentruorice 0 ≤ i ≤ n, avem:

c i +1 = (ai

∧b i )

∨((ai

⊕b i )

∧c i ) = G i

∨(P i

∧c i ),

unde am notat:G i = ai ∧ b i , deplasarea generata la pozitia i ,P i = ai ⊕ b i , deplasarea propagata la pozitia i .

Avand ın vedere ca ai ∧ b i si ai ⊕ b i nu pot fi simultan 1 (se poate vedea, deexemplu, folosind tabelele de valori), ın formula lui c i +1 de mai sus ın loc de ∨

http://find/



se poate folosi ⊕.

Sumator

Iterand formula anterioara, rezulta ca pentru orice 0 ≤ i ≤ n avem:c i +1 = G i ∨ (P i ∧ G i −1) ∨ (P i ∧ P i −1 ∧ G i −2) ∨ · · · ∨ (P i ∧ P i −1 ∧ · · · ∧ P 0 ∧ c 0)

si, ca mai ınainte, ın aceasta formula ın loc de ∨ se poate folosi ⊕.

Intrucat fiecare G i , P i depinde de ai , b i printr-o formula cu un nivel (o operatie

∧, respectiv

⊕), iar fiecare c i +1 depinde de sistemul de G i -uri, P i -uri si c 0

printr-o formula cu doua niveluri (o disjunctie ∨ de conjunctii ∧), rezulta cafiecare c i +1 depinde de sistemul de ai -uri, b i -uri si c 0 printr-o formula cu treiniveluri, deci se poate calcula din sistemul de ai -uri, b i -uri si c 0 ın timpconstant (care nu mai depinde de n).

Notam ca pentru orice 0 ≤ i ≤ n, cel mult unul din termenii disjunctiei prin

care se calculeaza c i +1 poate fi 1.Intr-adevar, daca tot i G i , . . . , G 0 sunt 0, atunci c i +1 = P i ∧ P i −1 ∧ · · · ∧ P 0 ∧ c 0.Altfel, fie 0 ≤ k ≤ i cel mai mare indice a.ı. G k = 1; atunci, pentru j > k avemP i ∧ P i −1 ∧ · · · ∧ P j +1 ∧ G j = 0, deoarece G j = 0, iar pentru j < k avemP i ∧ P i −1 ∧ · · · ∧ P j +1 ∧ G j = 0, deoarece termenul ıl contine pe P k , care este 0(G k si P k nu pot fi simultan 1); deci, c i +1 = P i P i −1 P k +1 G k .

http://find/



∧ ∧ · · · ∧ ∧

Sumator

Formula de calcul a lui c i +1, 0 ≤ i ≤ n, de mai sus are asociate urmatoareleobservatii intuitive:

• la o pozitie 0 ≤ i ≤ n se genereaza carry out d.d. ai = b i = 1, i.e. G i = 1; ınacest caz, suma ramasa pentru pozit ia i este 0, iar P i = 0;

• carry out-ul generat la pozitia i se propaga spre pozitii j aflate tot mai la

stanga (valori j tot mai mari) atat timp cat la pozitiile respective s-au adunata j = 0 si b j = 1 sau a j = 1 si b j = 0 (pentru ca suma ramasa pentru pozit ia j safie 1), adica atat timp cat P j = 1; notam ca pentru aceste pozitii avem G j = 0;

• daca la stanga lui i avem doar valori P j = 1 (va rezulta G j = 0), carry-ulgenerat la pozitia i va fi carry out final c n;

• altfel, consideram cea mai mica pozitie k > i a.ı. P k = 0; atunci la pozitia k s-au adunat ak = 0 si b k = 0 sau ak = 1 si b k = 1, deci suma ramasa pentrupozitia k este 0 si atunci carry-ul generat la pozit ia i se opreste ın acest 0 (nuse propaga mai departe); nu este obligatoriu ca G k = 1 (avem asa doar daca lapozitia k s-au adunat ak = 1 si b k = 1), deci k este ≤ urmatoarea pozitiei > i unde se genereaza carry out;

http://find/



Sumator

• astfel, cantitatea totala transportata printr-o pozitie 0

≤ i

≤ n nu va fi

niciodata > 1 (carry out-urile nu ajung sa se cumuleze);

• un carry out final c n+1 = 1 poate proveni:- fie de la un c 0 = 1, daca toate P i , 0 ≤ i ≤ n, sunt 1 (atunci toate G i ,0 ≤ i ≤ n, sunt 0, deci nici o pozitie nu genereaza carry out, iar numerele de n

biti adunate sunt unul complementul fata de unu al celuilalt);

- fie de la cea mai mare pozitie 0 ≤ i ≤ n unde s-a generat carry out, adicaG i = 1, daca pentru pozitiile j > i avem P j = 1 (adica se permite propagarea);eventualele carry out venite din spate se vor opri cel mult ın pozitia k .

http://find/



Sumator

Circuitul CL implementeaza formula anterioara de calcul pentru toate carryout-urile c i , 1 ≤ i ≤ n, si are doua niveluri (un nivel ∧ si un nivel ∨), decinumarul de niveluri si timpul de calcul nu depind de n.

Simbol:

http://find/



Sumator

Constructie pentru n = 4:

Circuitul implementeaza formulele:c 4 = G 3 ∨(P 3 ∧G 2)∨(P 3 ∧P 2 ∧G 1)∨(P 3 ∧P 2 ∧P 1 ∧G 0)∨(P 3 ∧P 2 ∧P 1 ∧P 0 ∧c 0)c 3 = G 2 ∨ (P 2 ∧ G 1) ∨ (P 2 ∧ P 1 ∧ G 0) ∨ (P 2 ∧ P 1 ∧ P 0 ∧ c 0)c 2 = G 1

∨(P 1

∧G 0)

∨(P 1

∧P 0

∧c 0)

c1 G0 ∨ (P0 ∧ c0)

http://find/



∨ ∧ ∨ ∧ ∧c 1 = G 0 ∨ (P 0 ∧ c 0)

SumatorConstructia sumatorului:

Intr-adevar, formulele anterioare ne arata ca pentru orice 0 ≤ i ≤ n − 1 avem:s i = FAs (ai , b i , c i ) = HAs (HAs (ai , b i ), c i ) = HAs (ai , b i ) ⊕ c i G i = ai ∧ b i = HAc (ai , b i )P i = ai ⊕ b i = HAs (ai , b i )

Circuitul are 4 niveluri de legare ın serie (deoarece HA are un nivel iar CL douai l i) d i ˘ l d i l i i ti l d l l d i d d

http://find/



niveluri), deci numarul de niveluri si timpul de calcul nu depind de n.

Circuit pentru incrementare

Circuit pentru incrementare:

Un circuit pentru incrementare pe n biti INC n, n ≥ 1 este un circuit careaduna aritmetic 1 la un numar natural/ıntreg reprezentat binar pe n biti,transportul din bitul cel mai semnificativ fiind emis pe o linie separata; cu altecuvinte, efectueaza +1, ın sensul operatiei + definita la ınceputul sectiunii”Reprezentarea numerelor ın calculator”.

Simbol:

Variante de constructie:

• Constructie seriala - exercitiu:n = 1 : NOT

n → n + 1 : INC n extins serial cu HA

• ADD n cu intrarea b fixata pe 0 . . . 01 ;

http://find/



• n

Circuit pentru incrementare• Constructie paralela (cea mai perfomanta):

Se bazeaza pe urmatoarele observatii:− la ADD n, daca fixam b i = 0, 0 ≤ i ≤ n − 1, si c 0 = 1, obtinem INC n;− la CL, daca fixam b i = 0, 0 ≤ i ≤ n − 1, si c 0 = 1, atunci

pentru orice 0 ≤ i ≤ n − 1 avem G i = ai ∧ 0 = 0, P i = ai ⊕ 0 = ai , decic i +1 = G i ∨ (P i ∧ c i ) = ai ∧ c i = · · · = ai ∧ · · · ∧ a0 ∧ c 0 = ai ∧ · · · ∧ a0.

Atunci obtinem circuitul:

Intuitiv: la fiecare pozitie i se aduna ai cu carry venit din urma ai −1 ∧ · · · ∧ a0

si se obtine un b i si un carry out ce nu mai trebuie calculat aici, deoarece serecalculeaza la pozitia i + 1.

Circuitul are doar doua niveluri de legare ın serie, deci este rapid (iar timpul decalcul nu depinde de n); aceast fapt este important, deoarece programele

efectueaza ın general multe incrementari (ex: ”++i” ıntr-o instructiune ”for”)i t i t t l ˘ t d

http://find/



efectueaza ın general multe incrementari (ex: ++i ıntr-o instructiune for )si este important ca ele sa se execute repede.

Circuit pentru scadere

Circuit pentru scadere:

Un circuit pentru scadere pe n biti SUB n, n ≥ 1, este un circuit careimplementeaza operatia pe care la ınceputul sectiunii ”Reprezentarea numerelorın calculator” am notat-o cu

−.

Mai exact, el primeste ca intrare doua siruri de bit i an−1, . . . , a0, b n−1, . . . , b 0 siun ımprumut de intrare c in si le aplica algoritmul de scadere cu reprezentarilebinare ale numerelor naturale folosit ın matematica, obtinand un sir de biti airezultatului (diferentei) d n−1, . . . , d 0 si un ımprumut de iesire c out , care esteemis pe o linie separata.

Am vazut ca rezultatul acestei operatii are semnificatia de diferenta atat ıncazul cand sirurile de biti reprezinta numere naturale ca ıntregi fara semn, catsi ın cazul cand ele reprezinta numere ıntregi ın complement fata de 2.

http://find/




Simbol:

Variante de constructie:• Constructie seriala - exercitiu:n = 1 : se defieste un circuit FS (full substract), ın aceeasi maniera ca FA;

n → n + 1 : se extinde serial SUB n cu un FS

(si se mai pot face niste simplificari).

• Constructia bazata pe ADD n:Se bazeaza pe observatia ca daca a, b sunt numere naturale/ıntregi pe n biti,

c este numarul 0 sau 1 pe un bit, iar a, b , c sunt numerele obtinute negandbitii din reprezentarile lui a, b , respectiv c (complementele fata de 1), atunci:

b + b = 2n − 1, c + c = 1,deci

a−

b −

c =

a+

b − 2

n

+ 1 + ¯c

− 1 = a

+ b

+ ¯c

− 2

n

http://find/

http://goback/



= + 2 + 1 + 1 = + + 2 .


Rezulta circuitul:

Asadar, scaderea se reduce la adunare (se poate efectua cu circuitul pentruadunare).

http://find/

http://goback/



Multiplicator

Multiplicator:

Un multiplicator pe n biti MULn, n ≥ 1, este un circuit care primeste caintrare doua siruri de biti an−1, . . . , a0, b n−1, . . . , b 0 si le aplica algoritmul deınmultire cu reprezentarile binare ale numerelor naturale folosit ın matematica,obtinand un sir de biti ai rezultatului (produsului) x 2n−1, . . . , x 0.Cu un asemenea circuit se poate efectua ınmultirea unor numerenaturale/ıntregi.

Prezentam mai jos varianta de constructie descrisa ın cartea:

Adrian Atanasiu: ”Arhitectura calculatorului”, Ed. InfoData, 2006:

http://find/

http://goback/



Multiplicator

Se foloseste un bloc pentru ınmultirea pe un bit (cu ajutorul unei porti ”AND”)si adunarea produselor si carry-urilor vecine (cu ajutorul unui FA); constructiablocului (stanga) si simbolul sau (dreapta) sunt urmatoarele:

http://find/



MultiplicatorConstructia multiplicatorului pe n biti este ilustrata mai jos, pentru n = 4:

http://find/



Multiplicator

Dezavantaj: dezvoltarea pe verticala a circuitului (numarul de niveluri de legareın serie) este mare si depinde de n; astfel, circuitul este lent.

De aceea, pentru ınmultirea hardware nu se foloseste un 0 − DS , careefectueaza calculul ıntr-un singur pas foarte lent, ci un 2 − DS , care efectueazacalculul prin adunari si shiftari repetate, pe parcursul mai multor pasi rapizi(vom vedea mai tarziu).

http://find/



Comparator

Comparator:

Un comparator pe n biti CAn, n ≥ 1, este un circuit care efectueazacomparatia aritmetica a doua numere ıntregi.

El primeste ca intrare reprezentarile celor doua numere a si b ın complementfata de 2 pe n biti, an−1, . . . , a0 si respectiv b n−1, . . . , b 0, si furnizeaza trei iesiride un bit, corespunzatoare celor trei relatii posibile ın care se pot afla a si b :

z 1 (a < b ), z 2 (a = b ), z 3 (a > b ) (fiecare iesire este 1 sau 0 dupa cum relatiarespectiva are sau nu loc).

Simbol:

http://find/



Comparator

Notand ca mai ınainte a, b numerele obtinute prin negarea bitilor dinreprezentarile lui a, respectiv b (complementele fata de 1), vom avea:

a > b ⇔

a−

b > 0 ⇔

a + b + 1−

2n > 0 ⇔

a + b > 2n

−1

⇔ a + b are carry out = 1.

Similar, a < b ⇔ a + b are carry out = 1.

In fine, a = b ⇔ ∀i ∈ 0, . . . , n − 1, ai = b i ⇔ ∀i ∈ 0, . . . , n − 1, ai ⊕ b i = 1 ( . ⊕ . este operatia ”NXOR”)

⇔ a0 ⊕ b 0 ∧ . . . ∧ an−1 ⊕ b n−1 = 1.

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Comparator

Atunci, putem construi comparatorul astfel:

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Comparator

unde am folosit urmatoarele simboluri:

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://find/



Comparator

O varianta mai simpla, cu un singur sumator, se poate obtine observand ca:

a > b ⇔ a + ¯b are carry out = 1 (am vazut).

a = b ⇔ a − b = 0 ⇔ a + b + 1 − 2n = 0 ⇔ a + b = 2n − 1⇔ a + b are toti bitii 1 ⇔ conjunctia ∧ a bitilor lui a + b este 1.

a < b ⇔ celalalt caz ⇔ ”NOR”-ul (adica ”nici”-ul) celorlalte doua cazuri.

http://find/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Comparator

Obtinem circuitul:

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



ShifterCircuit pentru deplasare (shifter):

Un circuit pentru deplasare (shifter) pe n biti, n ≥ 1, este un circuit careprimeste ca intrare un sir de n biti an−1, . . . , a0 si un numar natural k prinreprezentarea sa ın calculator ca ıntreg fara semn si furnizeaza ca iesire siruldeplasat la stanga sau la dreapta cu k pozitii. Bitii care ies din sistemul de n sepierd (eventual sunt recuperati pe alte linii), iar locurile goale aparute ın parteaopusa se completeaza dupa o anumita regula, ın functie de tipul de shiftare.

Exista trei tipuri de shiftare:

• Shiftare logica la stanga (instructiunea ”sll” din limbajul MIPS):Furnizeaza sirul: an−k −1, an−k −2, . . . , a0, 0, . . . , 0

k biti

• Shiftare logica la dreapta (instructiunea ”srl” din limbajul MIPS):Furnizeaza sirul: 0, . . . , 0 , an−1, an−2, . . . , ak

k biti

• Shiftare aritmetica la dreapta (instructiunea ”sra” din limbajul MIPS):Furnizeaza sirul: an−1, . . . , an−1 , an−1, an−2, . . . , ak

k biti

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://find/



Shifter

Daca an−1, . . . , a0 este reprezentarea ın calculator a unui numar natural a caıntreg fara semn sau a unui numar ıntreg a ın complement fata de 2, atunci:

• shiftarea logica la stanga cu k furnizeaza reprezentarea lui a × 2k ;

• shiftarea logica la dreapta cu k furnizeaza reprezentarea lui a/2k , doar

pentru numere a ≥ 0;• shiftarea aritmetica la dreapta cu k furnizeaza reprezentarea lui a/2k ,

pentru orice numar ıntreg a reprezentat ın complement fata de 2 (eacompleteaza locurile goale aparute ın stanga cu copii ale bitului de semn).

In toate cazurile, proprietatea are loc cu conditia ca rezultatul sa se afle ın

multimea valorilor reprezentabile (sa nu apara overflow).Deci, shiftarile pot fi folosite pentru a efectua rapid ınmultiri si ımpartiri aleunor numere ıntregi cu puteri ale lui 2.

http://find/

http://find/



Shifter

Pentru construtia circuitului, presupunem 0 ≤ k ≤ 2p − 1; ca sa reprezentamvalorilorile k ca ıntregi fara semn, avem nevoie de p biti.

Atunci, pentru fiecare bit destinatie b i , 0 ≤ i ≤ n − 1, construim un MUX p

care, ın functie de numarul de pozitii k de shiftare (k este valoarea de selectie amultiplexorului), alege dintre ai , . . . , ai −2p +1 (ın cazul shiftarii la stanga) saudintre ai +2p −1, . . . , ai (ın cazul shiftarii la dreapta), anume ıl alege pe ai ±k .Intrarile multiplexoarelor care corespund unor a j inexistenti vor primi 0 (ın cazulshiftarilor logice) sau an−1 (ın cazul shiftarii aritmetice la dreapta).

http://find/

http://find/

http://goback/



Shifter

Daca desenam generic aceasta asociere evidentiind intrarile legate la o iesire b i ,obtinem:

• pentru shiftarea la stanga:

http://find/

http://goback/

http://find/



Shifter

• pentru shiftarea la dreapta:

http://find/

http://find/



Shifter

Daca desenam generic aceasta asociere evidentiind iesirile la care este legata ointrare ai , obtinem:

• pentru shiftarea la stanga:

http://find/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Shifter

• pentru shiftarea la dreapta:

Regula de tinut minte: fiecare ai se ramifica de 2p ori spre directia de shiftare.

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Shifter

Exemplu: Explicitati circuitele de shiftare pentru n = 4, p = 2.

• Shiftarea logica la stanga:

http://goforward/

http://find/

http://goback/

http://find/



Shifter

• Shiftarea logica la dreapta:

http://find/

http://find/



Shifter

• Shiftarea aritmetica la dreapta:

http://find/

http://find/



Unitate aritmetica si logica

Unitate aritmetica si logica (ALU):

O unitate aritmetica si logica (arithmetic logic unit, ALU) pe n biti ALU n,n ≥ 1, este un circuit care aplica unor operanzi numere ıntregi pe n biti ooperatie aritmetica sau logica selectata printr-un cod numeric; operanzii sicodul operatiei sunt dati prin reprezentarea lor ın calculator ca sir de biti.

Simbol:

unde: a, b sunt operanzii (pe n biti), op este codul operatiei (pe k biti), r esterezultatul (pe n biti), e este un sistem de p alte iesiri: carry out, overflow, etc.(uneori, o parte din aceste iesiri se deseneaza ın partea de jos a simbolului).

ALU implementeaza un numar t ≤ 2k de operatii, a.ı. valorile valide ale lui op

sunt doar t dintre numerele de la 0 la 2k

−1 (nu neaparat succesive).

http://find/




O implementare directa se poate face astfel:

- construim t blocuri 0 − DS , care implementeaza operatiile considerate;presupunem ca valorile valide ale lui op sunt numerele succesive de la 0 la t

−1;

notam blocurile operatiilor corespunzatoare acestor valori OP 0, . . ., OP t −1;

- operanzii a si b intra simultan ın blocurile OP 0, . . ., OP t −1;

- fiecare iesire finala r i sau e i , este aleasa dintre iesirile corespunzatoare cuacelasi i ale blocurilor OP 0, . . ., OP t −1 folosind un MUX k ce are ca selector peop (op intra simultan ca selector ın toate aceste multiplexoare).

http://find/




Constructia circuitului:

http://find/




O implementare cu mai putine componente ar presupune sa nu construimblocuri separate pentru fiecare operatie ci sa refolosim cat mai multecomponente - de exemplu, scaderea se face cu sumatorul, dar introducand b si

c in negate.

O alta idee este sa construim cate un ALU optimizat ca mai sus pentru fiecarebit, iar ALU pe n biti sa se obtina prin legarea ın paralel a n ALU pe un bit.

Vom ilustra aceasta ultima varianta pe un caz particular: ALU 32 folosit ındiversele variante de procesor MIPS care vor fi prezentate mai tarziu.

http://find/




Simbol:

ALU

a (32b) b (32b)

Zero (1b)Result (a op b) (32b)

Overflow (1b)

ALU Op(3b)

efectueaza: +, −, AND, OR, slt

Carry Out(1b)

a, b , Result , sunt operanzii, respectiv rezultatul, operat iei (32 biti), ALU Op

este codul operatiei (3 biti), Carry out , Overflow , Zero sunt iesiri de 1 bit princare se emite 1 d.d. la efectuarea operatiei a existat transport sau ımprumut ınbitul cel mai semnificativ, respectiv a avut loc depasire, respectiv rezultatul aavut toti bitii 0.

http://find/




Acest ALU implementeaza operatiile: + (adunare), − (scadere), AND (”si” pebiti), OR (”sau” pe biti), slt , deci numai 5 dintre cele 8 numere naturale carese pot scrie pe 3 bit i: 0, . . . , 7, sunt valori valide ale lui op .

”slt” (set if less then) este operatia MIPS care se aplica la trei registrii:slt reg1, reg2, reg3

si efectueaza: reg 1 :=

1, daca reg 2 < reg 30, altfel

http://find/



Unitate aritmetica si logicaOperatia ”slt” este utila la implementarea calculelor booleene. De exemplu,secventa de cod ın limbajul C:

x = ( a < b ) & & ( c < d )poate fi tradusa de compilator ın :

lw $t0, a # se incarca operandul a din memorie in registrul $t0

lw $t1, b # se incarca operandul b din memorie in registrul $t1

slt $t2, $t0, $t1

# registrul $t2 primeste valoarea 1/0 a expresiei a < b

lw $t0, c # se incarca operandul c din memorie in registrul $t0lw $t1, d # se incarca operandul d din memorie in registrul $t1

slt $t3, $t0, $t1

# registrul $t3 primeste valoarea 1/0 a expresiei c < d

and $t0, $t2, $t3

# registrul $t0 primeste valoarea expresiei

# (a < b) & (c < d) ("si" pe biti in limbajul C);

# intrucat $t2, $t3 pot contine 1 doar in bitul de rang 0,# aceasta este echivalenta cu

# (a < b) && (c < d) ("si" in limbajul C);

sw $t0, x

# se scrie rezultatul din registrul $t0 in variabila x din memorie

Astfel, expresia conditionala se evalueaza cu un cod ce se executa liniar, ın

locul unor blocuri conditionale ımbricate.

http://find/




Pentru constructia circuitului ALU 32, vom construi blocuri ALU 1 (ALU pe 1bit), apoi vom lega ın paralel 32 asemenea blocuri.

ALU 1

se construieste diferit ın funct ie de rangul bitului: 0, 1 ≤

i ≤

30, 31 (deexemplu, valoarea 1/0 furnizata de slt este determinata la pozitia 31 si emisaca rezultat la pozitia 0).

Vom nota aceste ALU 1 cu ALU 0, ALUi (1 ≤ i ≤ 30), respectiv ALU 31 (a nuse confunda notatia indexata ALU i , care ınseamna ALU pe i biti, cu ALUi ,care ınseamna ALU 1 de la pozitia i ).

http://find/




• Cazul 0:

Simbol:

a, b sunt operanzii (1 bit);lt este o informatie emisa ca rezultat ın cazul ”slt”

(rezultatul pe 32 biti va fi 0 . . . 0 0 sau 0 . . . 0 1 );

b 31 b 0 b 31 b 0

binv este 0 sau 1 dupa cum se va aduna a cu b sau a cu ¯b ;(la adunare trebuie efectuat a + b , la scadere trebuie efectuat a + b + 1);

op este 0, 1, 2, 3 (reprezentat pe 2 biti) pentru a desemna respectiv operatiile∧, ∨, +/− (distinctia va fi facuta de binv ), <; nu este intrarea ALU Op a luiALU 32, dar se calculeaza din aceasta si binv ;

r este rezultatul operatiei (1 bit);

P , G vor fi intrari pentru circuitul CL.

http://find/



Unitate aritmetica si logicaConstructia circuitului:

Observatii:- folosim HA, nu FA, deoarece asa este construit circuitul ADD cu CL;

- pentru pozitia 0, avem c in =

0, ın cazul +1, ın cazul − = b inv ; de aceea b inv se

compune ”XOR” cu s pentru a da r (a se vedea circuitul ADD cu CL);

- lt este generat de ALU 1 de la pozitia 31 si emis prin pozitia 0.

http://find/




• Cazul 1 ≤ i ≤ 30:

Simbol:

http://find/



Unitate aritmetica si logicaConstructia circuitului:

Observatie: aici avem c in, care vine din CL , iar lt este mereu 0, deoarecenumai ın pozitia 0 se poate emite ceva = 0 (la operatia ”lt” rezultatul este

0 . . . 00 sau 0 . . . 01).

http://find/




• Cazul 31:

Simbol:

Observatie: Apare ın plus iesirea Set , care va intra ca lt ın ALU de la pozitia 0.

http://find/




Constructia circuitului ın cazul 31 este asemanatoare celei din cazurile

1 ≤ i ≤ 30, cu sigura diferenta ca iesirea din ”XOR” iese si prin ”Set”:

Intr-adevar, avem lt = 1 d.d. pentru operanzii pe 32 bit i a si b avem a < b ,d.d. a − b < 0, d.d. bitul de rang maxim al lui a − b (i.e. s ”XOR” c in ın cazul31) este 1; ın cazul 31 el nu trebuie emis prin r (care trebuie sa fie tot 0) ciprintr-o iesire separata Set .

Constructia lui ALU pe 32 biti este pe slide-ul urmator.

http://find/



http://find/




Observatie: pentru slt se efectueaza scaderea si se testeaza daca rezultatul este

< 0, i.e. are bitul de rang 31 egal cu 1; acesta da intrarea lt din ALU de lapozitia 0, dar este scos la pozitia 31 prin Set , deoarece la slt bitul de rangmaxim r 31 al rezultatului trebuie sa fie tot 0.

http://find/




Ctrl este un circuit 0 − DS ce sintetizeaza din ALU Op pe b inv si op , pe baza

urmatorului tabel:

Exercitiu: Implementati acest circuit ca PLA, PROM (sau mai simplu,observand ca binv = ALU Op 2, op 1 = ALU Op 1, op 0 = ALU Op 0).

http://find/




Detect ie Overflow este un circuit 0−

DS care detecteaza depasirea la +, −

,dupa urmatoarea regula:

Observatie: A avea depasire nu este totuna cu a avea transport/ımprumut ınbitul cel mai semnificativ (desi poate exista o legatura ıntre ele). De exemplu,

ın limbajul C pe 32 biti, calculul 0 - 1 = -1 efectuat ın cadrul tipului int(numere ıntregi pe 32 biti) are ımprumut ın bitul cel mai semnificativ (deoarecepe biti se efectueaza 0 . . . 00 − 0 . . . 01 = 1 . . . 1), dar nu are depasire,deoarece rezultatul −1 ıncape ın mult imea de valori −231, 231 − 1 a tipuluiint.

http://find/




Conform regulilor de reprezentare a numerelor ıntregi ın complement fata de 2,avem x ≤ 0 d.d. x 31 = 1. Atunci tabelul de valori implementat de circuitulDetect ie Overflow este urmatorul:

Observatie: Overflow are sens doar la +, − si de aceea, ın rest, spunem cavaloarea ”Overflow” este 0.

Exercitiu: Implementati acest circuit ca PLA, PROM .

http://find/





2 Aritmetica sistemelor de calculReprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2



4 Circuite logice


n-DS, n > 4

http://find/



Cicluri

Sistemele 1-DS sunt sisteme 0-DS ınchise prin exterior printr-un ciclu (mai

general, pot avea mai multe cicluri, dar un singur nivel de cicluri).Apare un prim grad de autonomie a circuitului, prin stare - ea depinde doarpartial de intrare, ceea ce conduce la o independenta partiala a iesirii de intrare.Evolutia iesirilor ramane sub controlul intrarilor, dar starile dau o autonomiepartiala.

O alta caracteristica a 1-DS este ca pot pastra informatia de intrare pentru operioada determinata de timp, proprietate specifica memoriilor - de aceea,sistemele 1-DS sunt folosite pentru a construi diverse circuite de memorie(RAM, registrii, etc.).

Informatia memorata este pusa la dispozitia diverselor circuite ın anumite fazede lucru, de aceea trebuie sa existe o sincronizare a operatiilor ın desfasurare,a.ı. ele sa poata conlucra corect si eficient.Pentru aceasta se foloseste un dispozitiv general de control al circuitelor,ceasul (CK) - el este un circuit bistabil ce asigura o discretizare a timpului decalcul, facand posibila definirea unor notiuni temporale, ca: moment actual,tact, istoric, dezvoltare ulterioara, etc.

http://find/



Cicluri

Exista doua tipuri de cicluri ce ınchid un CLC:

• Cicluri stabile: contin un numar par de complementari;ele genereaza o stare stabila si sunt utile ın constructia circuitelor digitale.

• Cicluri instabile: contin un numar impar de complementari;ele genereaza o stare instabila la iesire si pot fi folosite la constructia ceasului.

Pentru a fi stabil, un circuit trebuie sa treaca printr-un numar par decomplementari pentru toate combinatiile binare aplicate la intrare (altfel,pentru anumite combinatii, se destabilizeaza).

http://find/



CicluriExemplu: In figura de mai jos, circuitul (a) cont ine un ciclu instabil, circuitul(b) contine un ciclu stabil:

In cazul (a), daca avem de exemplu starea y 0 = 0 = x 0, atunci vom obtine laiesire y 1 = 0 si noua stare y 0 = 1 = x 0, apoi vom obtine la iesire y 1 = 1 si nouastare y 0 = 0 = x 0, etc.; astfel, cele doua iesiri ale decodificatorului suntinstabile, comutand de pe 0 pe 1 si invers.Momentul de schimbare a valorii de iesire (din 0 ın 1 si invers) definestefrecventa circuitului si s.n. tact.

In cazul (b), daca avem de exemplu y 1 = 0 = x 0, atunci starea y 1 va fi fixata lavaloarea 0 iar la iesire vom avea constant y 0 = 1; similar, daca y 1 = 1 = x 0 (laiesire vom avea constant y 0 = 0); deci, acest circuit are doua stari stabile.Deocamdata ınsa nu stim cum sa comutam ıntre stari, circuitul neavand o

intrare prin care sa putem controla schimbarea.

http://goforward/

http://find/

http://goback/



CicluriExemplu: Consideram urmatorul circuit cu 3 niveluri de complementare (cicluinstabil):

Daca la intrare aplicam comanda C = 0, pe fiecare linie valoarea semnalului

ramane constanta, circuitul ısi conserva starea.Daca aplicam comanda C = 1, circuitul genereaza un semnal periodic.Comportarea circuitului este descrisa de diagrama din dreapta.Constatam ca este nevoie de un anumit timp pentru ca semnalul sa se propageprin circuit, timp care depinde de structura circuitului si natura fenomenelorfizice folosite (am marcat cu arce intervalele de timp necesare propagarii

semnalului la doua ciclari succesive).

http://find/



Cicluri

Asa cum am vazut si ın exemplul precedent, schimbarea starii unui circuit nueste instantanee si depinde de anumite caracteristici fizice si structurale alecircuitului.

Vom nota cu t pLH intervalul de timp ın care un circuit comuta de la starea 0 lastarea 1 si cu t pHL intervalul de timp de trecere de la starea 1 la starea 0.Ambele valori sunt numere ≥ 0 si considerate constante pentru un circuit; ele

nu sunt neaparat egale ıntre ele.

Situatia reala este cea din figura (a) de mai sus.Uneori se considera o situatie ipotetica, de schimbare instantanee a starilor, iarevolutia se aproximeaza ca ın figura (b).

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Cicluri

Ceasul produce un semnal autonom cu perioada (frecventa) fixa.

El se foloseste ın logica secventiala pentru a decide momentul ın care trebuieactualizat un element ce contine stare.

Un sistem actionat cu ceas se mai numeste si sistem sincronizat.

Semnalul de ceas are urmatoarele componente:

http://find/



Cicluri

La circuitele controlate de ceas, schimbarile de stare se pot produce:

- fie ın intervalul cand semnalul este de nivel ınalt (ın acest interval modificareaintrarilor determina modificarea starii iesirii);notam acest lucru prin:

- fie pe un front de ceas, crescator (ascendent) sau descrescator (descendent);

aceasta s.n. actionarea pe frontul ceasului si se noteaza: , respectivactionarea pe front este mai buna, deoarece se poate preciza mai exact

momentul instalarii noii stari.

In metodologia actionarii pe front, frontul crescator / descrescator caredetermina producerea schimbarilor de stare s.n. front activ.

Alegerea lui depinde de tehnologia implementarii si nu afecteaza concepteleimplicate ın proiectarea logicii.

Constrangerea principala ıntr-un sistem sincronizat este ca semnalul ce trebuiescris ın elementele de stare trebuie sa fie valid (ın particular stabil, sa nu se maimodifice pana nu se modifica intrarile) la aparitia frontului de ceas activ.De aceea, perioada ceasului trebuie sa fie suficient de lunga a.ı. semnalelerespective sa se stabilizeze (exista o limita inferioara a perioadei).

http://find/



Zavor elementar

In continuare, prezentam principalele circuite cu un ciclu intern:

http://find/



Zavor elementar eterogen

http://find/



Zavor elementar cu ceas

http://find/



Zavor de date

http://find/



Structura master-slave

Fli fl ˆ ˆ i

http://find/



Flip-flop cu ıntarziere

http://find/



http://find/



RAM

http://find/



RAM

RAM

http://find/



RAM

Registru serial

http://find/



Registru serial

Registru paralel

http://find/



Registru paralel

Registru serial paralel

http://find/



Registru serial-paralel

Fisier de registri

http://find/



Fisier de registri

Fisier de registri

http://find/



Fisier de registri

Aplicatie la 1-DS

http://find/



Aplicatie la 1 DSExercitiu (aplicatie la 1-DS):

Aplicatie la 1-DS

http://find/



Aplicatie la 1 DS

Aplicatie la 1-DS

http://find/



p cat e a S

Aplicatie la 1-DS

http://find/



p ¸

Coeficientii ai trebuie ınsa introdusi toti o data si mentinuti la intrare la fiecaretact, ın timp ce coeficientii b j se introduc pe rand, la tacti succesivi.

Aplicatie la 1-DS

http://find/



p ¸

Cuprins

http://find/



p1 Performata calculatoarelor




4 Circuite logice


n-DS, n > 4

Automate finite

http://find/



Automate finite

http://find/

http://goback/



Automate finite

http://find/



Automatul DFF

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Prezentam cateva automate importante, ce pot fi folosite ca bistabili (flip-flop)de eficienta sporita:

In acest caz, Q + = D , iar y = Q (sau y = D cu ıntarziere de un tact).

Unui automat DFF trebuie sa-i dam comanda D = r , pentru a-l determina satreaca din starea curenta Q = s ın starea noua Q + = r (pe scurt: D = r ,pentru s → r ); la iesire va furniza starea curenta s .

Automatul TFF

http://find/



Automatul JKFF

http://find/



http://find/



Observatie: Daca la implementarea generala a unui automat, ın loculbistabililor DFF (care sunt 1-DS) folosim automate DFF, TFF sau JKFF (caresunt 2-DS), circuitul rezultat nu va mai fi un 2-DS, ci un 3-DS.

Aplicatie la 2-DSE erciti re ol at (sinte a n i a tomat finit):

http://find/



Exercitiu rezolvat (sinteza unui automat finit):

Construiti un automat finit care recunoaste aparitia secventei 1011 ın cadrul

unei secvente binare citite succesiv (i.e. furnizeaza la iesire 1 d.d. ultimii 4 biticititi formeaza secventa 1011). Exemplu: IN: 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1

OUT: 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

Rezolvare:

Problema este una de limbaje formale - acolo se dau metode cu care putemconstrui automatul din enunt ın mod algoritmic; aici ıl construim intuitiv,plecand de la urmatoarele observatii:

- Automatul trebuie sa aiba 4 stari, corespunzatoare etapelor ın care esterecunoscut 1011: 1, 10, 101, 1011; aceste stari se pot numerota q 0, q 1, q 2, q 3

si se pot asimila cu numerele 0, 1, 2, 3, pe care le putem scrie pe doi biti:00, 01, 10, 11:

In fiecare stare se poate primi la intrare 1 sau 0, deci avem cate doua arce; ınfiecare caz, se poate emite la iesire 1 = recunoscut, 0 = nerecunoscut (ınca).

Astfel, Q

= 0, 12

, X

= Y

= 0, 1.

Aplicatie la 2-DS

http://find/



- Drumul pe care este recunoscuta o aparitie a lui 1011 este:

q 01/0−→ q 1

0/0−→ q 21/0−→ q 3

1/1−→

Restul arcelor care vor fi adaugate corespund celorlalte cazuri.Notam ca tranzitia din starea q 3 pentru intrarea x = 1 este singura tranzitie aautomatului ın care se emite la iesire y = 1 (deoarece doar acum se recunoasteo aparitie a lui 1011); deci, arcul corespunzator este singurul din desen care vaavea notat ”/1” (restul vor avea notat ”/0”).

Aplicatie la 2-DS

http://goforward/

http://find/

http://goback/



- Dorim ca automatul sa recunoasca aparitiile lui 1011 chiar daca se suprapunpartial, de exemplu:

1 0 1 1 0 1 1De asemenea, chiar daca ultimii 4 biti introdusi nu formeaza 1011, este posibil

ca o parte din ei, aflati la sfarsit, sa formeze 1011 ımpreuna cu bitii care vor ficititi ın continuare.

De aceea, la procesarea unei intrari x = 1 sau 0, indiferent daca a recunoscutsau nu o aparitie a lui 1011, automatul trebuie sa treaca ıntr-o stare care sapermita pastrarea celui mai lung sufix al secventei introduse care ar putea fiprefix al unei (noi) aparit ii a lui 1011.

Aplicatie la 2-DS

http://goforward/

http://find/

http://goback/



Astfel, tranzitia din starea q 3 (= 11) pentru intrarea x = 1 trebuie sa duca ınstarea q 1 (= 01), deoarece ın acest moment ultimii 4 biti introdusi sunt 1011 sidintre ei putem pastra doar ultimul 1 (el ar putea fi primul 1 ıntr-o noua

aparitie a lui 1011 si ar corespunde drumului q 01/0−→ q 1).

De asemenea, tranzitia din starea q 3 (= 11) pentru intrarea x = 0 trebuie sa

duca ın starea q 2 (= 10), deoarece ın acest moment ultimii 4 biti introdusi sunt1010 si dintre ei putem pastra doar sufixul 10 (el ar putea prefixul 10 ıntr-o

viitoare aparitie a lui 1011 si ar corespunde drumului q 01/0−→ q 1

0/0−→ q 2):

Aplicatie la 2-DSIn final graful de tranzitie al automatului este:

http://goforward/

http://find/

http://goback/



In final, graful de tranzitie al automatului este:

Specificatia automatului folosind tabele de valori compacte (a se vedea sfarsitulsectiunii referitoare la algebra booleana B 2) este:

Q = 0, 12

, X = Y = 0, 1.x x

δ : λ: q 1 q 0 0 1 q +1 (D 1) q +0 (D 0)

0 0 0 0 0 1 0 x

0 1 1 0 0 1 x x

1 0 0 0 1 1 x x 1 1 1 0 0 1 x x

q 1 q 0 0 1 y

0 0 0 0 00 1 0 0 0

1 0 0 0 01 1 0 1 x

In cazul implementarii prin DFF + PLA, bitii de stare rezultati q +1 , q +0 , suntchiar comenzile D 1, D 0 ce trebuie date DFF-urilor pentru a trece ın starilerespective (conform regulii: ”D = r , pentru s → r ”); ın tabel, am notat acestfapt ıntre paranteze.

Aplicatie la 2-DSDin tabelele precedente rezulta urmatoarele sume de produse minimale:

http://find/



Din tabelele precedente, rezulta urmatoarele sume de produse minimale:D 1 = q 0x + q 1q 0x

D 0 = x

y = q 1q 0x

Implementare:

Evaluarea complexitat ii CLC: 13 puncte de contact.

Obs: Q 1 nu are contacte si putea fi omis din circuit.

Aplicatie la 2-DS

I l i l ˘ ii i TFF PLA b i ˘ l ˘ b l l l i δ

http://find/



In cazul implementarii prin TFF + PLA, trebuie sa completam tabelul lui δ cucoloane ın care sa calculam comenzile T 1, T 0 ce trebuie date TFF-urilor pentru

a trece din starile q 1, q 0 ın respectiv starile q

+

1 , q

+

0 .Pentru fiecare i = 1, 2, T i se calculeaza din q i si q +i , pe baza regulii:

T =

r , pentru 0 → r

r , pentru 1 → r

Obtinem tabelul:

x δ :

q 1 q 0 0 1 q +1 q +0 T 1 T 0

0 0 0 0 0 1 0 x 0 x

0 1 1 0 0 1 x x x x

1 0 0 0 1 1 x x x x

1 1 1 0 0 1 x x x x

Rezulta urmatoarele sume de produse minimale:T 1 = q 1q 0x + q 1q 0 x + q 1q 0x

T 0 = q 0x + q 0x

y = q 1q 0x (a ramas la fel ca mai ınainte).

Aplicatie la 2-DS

http://find/



Implementare:


Aplicatie la 2-DS

http://find/



In cazul implementarii prin JKFF + PLA, trebuie sa completam tabelul lui δ cucoloane ın care sa calculam comenzile J 1, K 1, J 0, K 0 ce trebuie date

JKFF-urilor pentru a trece din starile q 1, q 0 ın respectiv starile q +1 , q +0 .Pentru fiecare i = 1, 2, J i , K i , se calculeaza din q i si q +i , pe baza regulii:

JK =

r , pentru 0 → r

r , pentru 1 → r

Obtinem tabelul (am pastrat doar coloanele relevante):x

δ : q 1 q 0 0 1 q +1 q +0 J 1 K 1 J 0 K 00 0 0 0 0 1 0 x 0 x

0 1 1 0 0 1 x x x x

1 0 0 0 1 1 x x x x

1 1 1 0 0 1 x x x x

Au rezultat niste coloane ce contin valori indiferente ” ”, pe care trebuie sa leınlocuim cu ceva concret pentru a putea obtine din aceste coloane o scriere alui J i , K i , i = 1, 2, ca suma de produse.

Aplicatie la 2-DS

http://find/



Inlocuirea se va face a.ı. sumele de produse rezultate sa fie cat mai simple (catmai putini termeni, cat mai putine variabile), conform criteriilor prezentate la

sfarsitul sectiunii referitoare la algebra booleana B 2.Am adaugat coloanele obtinute la sfarsitul tabelului:

x

δ : q 1 q 0 0 1 q +1 q +0 J 1 K 1 J 0 K 0 J 1 K 1 J 0 K 00 0 0 0 0 1 0 x 0 x 0 x x x

0 1 1 0 0 1 x x x x x x x x 1 0 0 0 1 1 x x x x 0 x x x

1 1 1 0 0 1 x x x x x x x x

Rezulta urmatoarele sume de produse minimale:J 1 = q 0x , J 0 = x , y = q 1q 0x (a ramas la fel ca mai ınainte).

K 1 = q 0 x + q 0x , K 0 = x ,Obs: Daca ın coloana J 1 am fi ınlocuit cele doua ” ” cu 0, ar fi rezultatJ 1 = q 1q 0x (un termen cu trei variabile, ın loc de doua); de asemenea, daca ıncoloana J 0 am fi ınlocuit cele doua ” ” cu 0, ar fi rezultat J 0 = q 0x (un termencu doua variabile, ın loc de una).

Aplicatie la 2-DS

I l t

http://find/



Implementare:


Aplicatie la 2-DS

http://find/



Observatii:

- Mai sus, am ıncercat sa minimizam CLC minimizand fiecare suma de produseın parte.

Un alt criteriu de minimizare ar fi sa ınlocuim valorile indiferente ” ” a.ı.sumele de produse rezultate sa aiba cat mai multi termeni comuni.

- In mod normal, implementarea cu JKFF ar fi trebuit sa conduca la circuitulcel mai simplu (cel mai mic numar de puncte de contact), deoarece avem maimulte variante de valori J, K, dintre care putem alege una cat mai buna.

O explicatie de ce nu s-a ıntamplat asa poate fi complexitatea mare ainstrumentului folosit - JKFF are doua comenzi, spre deosebire de DFF si TFF,care au doar una. Aceasta adauga ın mod artificial complexitate circuitului.

In general, instrumentele eficiente dar complexe ısi evidentiaza avantajele ın

cazul sarcinilor complexe (circuite complexe, cu multe puncte de contact). Incazul sarcinilor simple (cum este circuitul cerut ın aceasta problema) sunt maibune instrumentele simple (ın cazul de fata DFF - pentru el am obtinutnumarul minim de puncte de contact).

Aplicatie la 2-DS

http://find/



Si ın dezvoltarea de software, daca avem de scris un program complex, cu miide linii de cod, o ierarhie complexa de clase, multe fisiere sursa, este de preferatsa folosim un IDE complex, care sa ne ofere multiple instrumente de a gestionaproiecte de mare anvergura.

Daca ınsa avem de scris un program de 10 - 20 linii, un IDE complex se poate

dovedi incomod - trebie sa cream un proiect, sa facem mai multe setari, potaparea probleme de incompatibilitate daca dorim sa recompilam proiectul cu oalta versiune a IDE-ului, etc.

In acest caz este mai eficient sa folosim instrumente simple: un editor de fisieretext (ex. ”gedit”) pentru codul sursa si un compilator ın mod linie de comanda

(ex. ”gcc”).

Counter

In continuare, prezentam alte cateva automate importante, implementate ca 2-DS:

http://find/

http://goback/



p p p

Numarator (Counter):

Counter

http://find/



Counter

http://find/

http://goback/



Stiva

Stiva:

http://find/

http://goback/



Sumator serial

Sumator serial:

http://find/



Sumator prefix

http://find/

http://goback/



Sumator prefix:

Sumator prefix

http://find/



Circuitul este:

http://find/



TODO: Alte automate importante, implementate ca 2-DS.



http://find/








Unitatea aritmetico-logica (ALU)

http://find/



Reamintim unitatea aritmetico-logica (ALU), construita mai devreme (ca 0-DS):

ALU

a (32b) b (32b)

Zero (1b)Result (a op b) (32b)

Overflow (1b)

ALU Op(3b)

efectueaza: +, −, AND, OR, slt

Carry Out(1b)

Unitatea aritmetico-logica (ALU)

http://find/



ALU efectueaza operatii ıntr-un ciclu.In ALU sunt implementate cateva operatii simple (+, −, AND, OR, slt), ceea cepermite efectuarea de cicluri scurte.

Inmultirea si ımpartirea sunt operatii complexe.Ele ar putea fi implementate ıntr-un ciclu, ın ALU, dar atunci structura acestuia s-ardezvolta foarte mult pe verticala, ceea ce ar duce la lungirea ciclului.

De aceea, ınmultirea si ımpartirea sunt implementate ıntr-o unitate separata, folosindmai multe cicluri ALU, conform unor anumiti algoritmi.

Prezentam ın continuare cativa algoritmi de ınmultire si ımpartire.

Inmultire - metoda 1

R d d l i ˘ li ˘ l

http://find/



Reproduce metoda clasica, aplicata manual:

De ex. pt. a calcula 100 × 101 = 11110 avand dim. word-ului n = 4, efectuam: D I P

110×101110

110

11110

Parcurgem I dr. → stg. si pentru fiecare 1 copiez D shiftat;apoi adun.

P are dim. max. 2n.

Reformulare cu actiuni mai apropiate de operatiile masina:Shiftez de n ori I la dreapta si D la stanga;de fiecare data cand ultimul bit din I (adica I(0)) este 1, adun D la P

(ın pozitia curenta).


D64, I32, P64 := 0repeta de 32 ×: D 64 I 32

http://goforward/

http://find/

http://goback/



daca I(0) = 1P := P + D

D := D << 1I := I >> 1

D 64 I 32

P 64

C

ALU64

>> I(0)

<<

+

w

Aplicatie: Calculati 6× 5 = 30, n = 4. Completati tabelul urmator,fiecare coloana dubla contine valorile registrilor LA SFARSITUL unei etape:

- 0101 - - - -0000 01100000 0000

I>>

D<<

P+

Initial Iteratia 1 Iteratia 2 Iteratia 3 Iteratia 4


http://find/



Rezolvare:

- 0101 - 0010 - 0001 - 0000 - 00000000 0110 0000 1100 0001 1000 0011 0000 0110 00000000 0000 0000 0110 0000 0110 0001 1110 0001 1110

I>>

D<<

P+



http://find/



Analiza algoritmului:

Se efectueaza 32 pasi × 3 operatii ≈ 100 cicluri pe instructiune.

Analizele statistice arata ca +, − sunt de 5 - 100 × mai frecvente decat .Atunci, cu regula ”executa rapid operatiile frecvente”, rezulta ca aceasta implementarepentru ınmultire este acceptabila.

Totusi, dorim si putem obtine implementari mai eficiente.


http://find/



Obs. ca prima jumatate a lui D este nefolosita (e necesara ca sa putem aduna pe 64b).

Solutia: facem D de 32b si ın loc sa deplasam D deasupra lui P, deplasam P pe sub D;

ıntotdeauna vom aduna D cu prima jumatate a lui P (adunare pe 32b).


D32, I32, P64 := 0repeta de 32 ×:

d ˘ I(0) 1D 32 I 32

http://find/



daca I(0) = 1P[63− 32] := P[63− 32] + D

P := P >> 1I := I >> 1

P 64

C

ALU32

>> I(0)

+

>>, w


- 0101 - - - -0110 - - - - -0000 0000

I>>

DP

+>>



http://find/



Rezolvare:

- 0101 - 0010 - 0001 - 0000 - 00000110 - 0110 - 0110 - 0110 - 0110 -0000 0000 0011 0000 0001 1000 0011 1100 0001 11100110 0111

I>>

DP

+>>


Inmultire - metoda 3 (finala)

http://find/



Obs. ca jumatatea inferioara (LO) a lui P se consuma spre dreapta ın acelasi ritm ca I.

Atunci putem pune I ın jumatatea inferioara a lui P; ın rest este la fel.


D32, P64 := [0, . . . , 0, I32]repeta de 32 ×:

daca P(0) = 1D 32

http://find/



daca P(0) = 1P[63− 32] := P[63− 32] + D

P := P >> 1

P 64I

C

ALU32

+

w>>,

P(0)


0110 - - - - -0000 0101

DP,I

+>>



http://find/



Rezolvare:

0110 - 0110 - 0110 - 0110 - 0110 -0000 0101 0011 0010 0001 1001 0011 1100 0001 11100110 0111

DP,I

+>>


Inmultirea cu semn

http://find/



Inmultirea cu semn este asemanatoare, cu urmatoarele diferente:• se lucreaza pe 31 bit i, deci se fac 31 iteratii, neglijand bitul de semn;• ın final, semnul produsului este XOR ıntre bitii de semn ai factorilor

(deci este 1 daca au semne diferite (”-”) si 0 daca au acelasi semn (”+”));• algoritmul 3 (final) functioneaza corect si pentru numere cu semn, dar la shiftaretrebuie extins semnul produsului (shiftare aritmetica).

Inmultire - algoritmul Booth

Face cateva ımbunatatiri plecand de la urmatoarele observatii:• ınmultirea cu un grup de 0 din I se reduce la shiftari;

http://find/



• ınmultirea cu un grup de 0 din I se reduce la shiftari;

• ınmultirea cu un grup de 1 din I: 1 . . . 1

k = 2

k

− 1 = 1 0 . . . 0

k −0 . . . 01 se reduce la

adunarea lui D shiftat cu k pentru bitul 1 din grupul 10 . . . 0 si o scadere a lui Dpentru bitul 1 din grupul 0 . . . 01.

D IDe ex. 0010 0110

= 0010 1000− 0010 0010

= 1000− 0010

Practic shiftam I la dreapta cu cate 1 si luam decizii ın functie de cu ıncep/continua/setermina grupurile de 1 sau 0 (algoritmul si circuitul seamana cu cel de la metoda 3):

01100 → se adauga un bit fictiv 0, pentru a avea un context;

01100 ⇒ se shifteaza P;

00110 ⇒ se scade D (ıncepe un grup de 1 si se face ıntai scaderea lui D);00011 ⇒ se shifteaza P (continua grupul de 1);00001 ⇒ se aduna D (se termina grupul de 1 si se face adunarea lui D);00000 ⇒ se shifteaza P.


D32, P[63, . . . ,−1] := [

32

0, . . . , 0, I32, 0]repeta de 32 ×:

˘ (P(0) P( 1))

Algoritmul si circuitul le adapteazape cele de la metoda 3.

http://find/



testeaza (P(0),P(−1))

cazul 01: P[63− 32] := P[63− 32] + Dcazul 10: P[63− 32] := P[63− 32] − D

P := P >> 1 (shift aritmetic)

Algoritmul functioneaza corect si pentrunumere negative si e performant(se poate folosi pe grupuri de bit i pentrua construi ınmultitoare rapide.)

D I P

Aplicatie: Calculati 5× 6 = 30 (101 × 110 = 11110), n = 4.Completati tabelul urmator, fiecare linie contine valorile registrilorLA SFARSITUL unei etape:

0000 0110 00101Initial

Iteratia 1

Iteratia 2

Iteratia 3

Iteratia 4


http://find/



Rezolvare:

0000 0110 00101Initial

0000 0011 00101Iteratia 1

1011 0011 01101 1001 10101

Iteratia 2

1110 1100 10101Iteratia 3

0011 1100 10001 1110 0Iteratia 4

Impartire - metoda 1

Trebuie efectuat D:I → C,R (D = I × C + R, R < I).

http://find/



Metoda 1 reproduce metoda clasica, aplicata manual, de exemplu:

D = 1001010 1000 = I−1000 1001 = C

1010110101000−

10 = R

D.p.v al masinii:− a vedea daca I ”se cuprinde” revine la a scadea D − I si a compara cu 0 (i.e. atesta bitul cel mai semnificativ);

daca da ≥ 0, adaugam 1 la C;

daca da < 0, adunam D + I la loc si adaugam 0 la C;− adaugarea unei cifre la C ınseamna << 1 + cifra;− coborarea cifrei urmatoare ınseamna shiftarea lui I pe sub D la dreapta (metoda 1)sau a lui D pe deasupra lui I la stanga (metodele 2,3), pentru a face alta suprapunerela scadere.


R64:=D, I64:=[I,

32

0, . . . , 0], C32 := 0repeta de 33 ×:R := R I

I 64 C 32

http://find/



R := R − I

daca R ≥ 0 (i.e. R(63) = 0)C := C << 1 + 1altfelR := R + I

C := C << 1 + 0

I := I >> 1

D,R 64

Ctrl

ALU64

<<

>>

+,−

w

R(63)

Aplicatie: Calculati 7:3 (adica 111:11), n = 4. Completati tabelul urmator,fiecare coloana dubla contine valorile registrilor LA SFARSITUL unei etape:

- 0000 - - - - -0000 01110011 0000

C<<

R,DI>>

Initial Iteratia 1 Iteratia 2 Iteratia 3 Iteratia 4 Iteratia 5


http://find/



Rezolvare:

- 0000 - 0000 - 0000 - 0000 - 0001 - 00100000 0111 0000 0111 0000 0111 0000 0111 0000 0001 0000 00010011 0000 0001 1000 0000 1100 0000 0110 0000 0011 0000 00011101 0111 1110 1111 1111 1011 0000 0001 1111 1110

C<<

R,DI>>

Initial Iteratia 1 Iteratia 2 Iteratia 3 Iteratia 4 Iteratia 5


http://find/



Obs. ca doar jumatate din I contine informatie utila; atunci, putem folosi un ALU32 sisa shiftam R pe deasupra lui I la stanga.Apoi obs. ca algoritmul nu poate produce un 1 ın prima faza, caci rezultatul ar fi prealung pentru C si n-ar ıncapea ıntr-un registru de 32b (avem n + 1 iteratii, deci amavea un cat de forma 1 . . .

33 cifre

si nu ar ıncapea).

Solutia: se permuta operatiile de shiftare si scadere (se face ıntai shiftarea si apoiscaderea), eliminandu-se o iteratie; la sfarsit restul este ın jumatatea stanga a lui R.Se obtine metoda 2, dar nu o prezentam, ci trecem direct la metoda 3, unde ın plusse pune C ın jumatatea dreapta alui R - cum R si C se shifteaza sincron cu 1 lastanga, nu se pierde nimic din R, C.Singura problema este ca la sfarsit jumatatea stanga a lui R este prea shiftata si seshifteaza la dreapta cu 1.


R64:=D, I32

R := R << 1repeta de 32 ×:R[63 32] R[63 32] I

I 32

http://find/



R[63− 32] := R[63− 32] − I

daca R ≥ 0 (i.e. R(63) = 0)R := R << 1 + 1

altfelR[63− 32] := R[63− 32] + I

R := R << 1 + 0

R[63− 32] := R[63− 32] >> 1

D (R, C) 64

Ctrl

ALU32

+

<<, w

>>, R(63)

⇓R[63− 32] = restul, R[31− 0] = catul

Aplicatie: Calculati 7:3 (adica 111:11), n = 4, completand tabelul urmator:

0000 01110011

Initial

R << 1

Iteratia 1

Iteratia 2

Iteratia 3

Iteratia 4

R[63− 32] >> 1


http://find/



Rezolvare:

0000 01110011

Initial

0000 11100011R << 111010001 11000011

Iteratia 1

11100011 10000011

Iteratia 2

00000001 0001

0011

Iteratia 3

11100010 00100011

Iteratia 4

0001 0010R[63− 32] >> 1



2 Aritmetica sistemelor de calcul

http://find/




Reprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila




3-DS (Procesoare)Procesor:

http://find/



3-DS (Procesoare)

http://find/



4-DS (Calculatoare)Calculator:

http://find/



http://find/



TODO: Mai multe detalii si exemple despre 3-DS si 4-DS.




http://find/




Reprezentarea numerelor ın matematicaReprezentarea numerelor ın calculatorReprezentarea numerelor naturale ca ıntregi fara semnReprezentarea numerelor ıntregi ın complement fata de 2Reprezentarea numerelor reale ın virgula mobila




Stiva ca n-DS

Stiva ca n-DS:

http://find/



Stiva ca n-DS

http://find/



Acest exemplu ne arata ca prin cresterea numarului de niveluri de cicluri nuobtinem neaparat circuite mai ”destepte” (o stiva este un circuit simplu, am

vazut mai devreme ca se poate construi si ca 2-DS).Un avantaj al cresterii numarului de niveluri de cicluri este reducereacomplexitat ii structurale a circuitului (numarul de componente).

De exemplu, la un calculator uzual, functionarea este determinista iar

http://find/



comportamentul la un moment dat este unic determinat de cont inutul curentdin sistem si de intrarea curenta.

Astfel, am putea construi orice calculator uzual ca un 2-DS (automat finit), ıncare:- elementul de stare (de exemplu un registru foarte mare) contine toatainformatia curent stocata ın sistem, incluzand datele din BIOS, RAM, registrii

procesorului, hard disk, etc.- liniile de intrare furnizeaza toata informatia venita la un moment dat de latastatura, mouse, retea, etc.- liniile de iesire furnizeaza toata informatia emisa la un moment dat spremonitor, imprimanta, retea, etc.- circuitul combinational (de exemplu un PROM foarte mare) calculeaza, ınfiecare moment, din informatia stocata ın sistem si cea venita la intrare, nouainformatie care va fi stocata ın sistem si informatia care va fi emisa la iesire.

http://find/



Un asemenea circuit ar fi ınsa inacceptabil de mare (ca numar de componente)- de exemplu, elementul de stare ar putea avea ≥ 1 TB (pentru a putea stocacontinutul hard disk-urilor) si atunci circuitul combinational, daca ar fi un

PROM, ar avea ≥ 21 TB ”AND”-uri.

http://find/



Prin cresterea numarului de niveluri de cicluri, la o aceeasi procesare se fac maimulte treceri prin circuit iar unele componente se refolosesc.

Aceasta permite constructia aceluiasi tip de echipament (de exemplucalculator), care sa faca acelasi tip de procesare, cu mai put ine componente.

http://find/



TODO (au fost predate la curs sau laborator si au fost furnizate ın fisiereseparate, le-am indicat mai jos):- Arhitectura MIPS

(fisierele ”_mips1b.txt”, ”_mips2b.txt”, ”_mips3c.txt”).- Procesorul MIPS cu 1 ciclu per instructiune (fisierul ”opi.pdf”).- Procesorul MIPS cu cicluri multiple (fisierul ”iccm_mic.pdf”).

http://find/

Asc_curs_10feb2015 Pana La 380

Documents

Transcript of Asc_curs_10feb2015 Pana La 380