Ioan LUMINOSU

FIZIC - aplicaii practice, teste gril -

Editura POLITEHNICA, 2004

Coperta: Coralia Popa Luminosu,

Grafica: Coralia Popa Luminosu

CUVNT AUTOR

Lucrarea prezentat i propune s contribuie semnificativ la dezvoltarea deprinderilor practice ale studenilor din nvmntul politehnic superior privitor la producerea fenomenelor fizice n condiii de laborator, msurarea mrimilor caracteristice fenomenului studiat precum i la dezvoltarea capacitii intelectuale de interpretare teoretic a datelor experimentale obinute de studenii nii. n laboratoarele Departamentului de fizic al Universitii Politehnica din Timioara pot fi studiate experimental cteva zeci de fenomene fizice pe instalaii proiectate i realizate prin activitatea ndelungata i de tradiie a numeroase cadre didactice i a numeroi tehnicieni. Cartea prezint segmentul de aplicaii practice prevzute n programa analitic de fizic pentru Facultatea de automatizri i calculatoare. Cartea este structurat pe treisprezece capitole . Capitolele 1,2,3 prezint noiuni de analiz dimensional,calculul erorilor de msurare i principiile de funcionare ale aparatelor de msurare . Capitolul patru prezint cteva din instalaiile i aparatele de msur din dotarea laboratoarelor. Capitolul cinci iniiaz studenii n metodele de msurare ale mrimilor fizice fundamentale i derivate. Capitolele 6,7,8,.9,10,11,12,13 descriu instalaii pentru studiul a numeroase fenomene mecanice, electrice, electronice, statistice, magnetice i solicit rezolvarea sarcinilor care dezvoltnd priceperile practice i gndirea intelectual sunt benefice pentru studeni n rezolvarea sarcinilor impuse de disciplinele de specialitate. .

La elaborarea crii s-au avut n vedere particularitile actuale ale studiului fizicii n nvmntul superior politehnic i anume: --reducerea timpului pentru predare, seminarizare i lucrri de laborator; --glisarea studiului fizicii n planul de nvmnt spre semestrele unu i doi ale perioadei de colarizare ; --varietatea larg a profilelor liceelor ai cror absolveni urmeaz nvmntul politehnic; --existena unor lacune n cunoaterea fenomenelor fizice care au fost studiate n liceu. Lucrarea valorific o parte din realizrile anterioare ale Departamentului de fizic dar modific referatele pentru ca acestea s fie n acord cu cursul predat actual la Facultatea de automatizti i calculatoare, conform noului plan de nvmnt i noii programe analitice. Cartea se adreseaz ndeosebi studenilor de la Facultatea de automatizri i calculatoare dar este util tuturor studenilor din nvmnul politehnic care efectueaz temele experimentale propuse n carte. Menionm contribuia meritorie a cadrelor didactice care, n decursul timpului, i-au adus aportul la dezvoltarea segmentului de aplicaii practice care fac obiectul crii. Conform documentrii bibliografice la dezvoltarea laboratorului prezentat n carte au contribuit profesorii universitari: Minerva Cristea fenomene magnetice, termoelectrice i galvanomagnetice, Cristian Marcu fenomene magnetice, statistice i electronice, Ioan Mihalca fenomene magnetice i optice, Bernhard Rothenstein fenomene magnetice i electronice n corpul solid, , Dorothea Mihailovici fenomene mecanice, precum i profesorii asociai: Ioan Artzner fenomene termoelectrice, Ioan Damian fenomene electrice i statistice, Marius David fenomene optoelectronice, Corin Tmdan fenomene electronice.

Contribuia autorului la dezvoltarea laboratorului se regsete n aplicaii practice relativ la fenomene de: mecanic, electricitate, electronic, statistic i conversia energiei. Instalaiile experimentale sunt n patrimoniul Departamentului de fizic si sunt similare,cu excepia preciziei de msurare,celor utilizate n universitile din afara rii. Plasarea studiului fizicii n primele semestre ale studiilor superioare face ca activitatea n laboratorul de fizic s aib rol de pionierat n formarea i dezvoltarea deprinderilor practice de manevrare a instalatiilor, de utilizare a aparatelor de msur i n dezvoltarea capacitii intelectuale de prelucrare a datelor experimentale de ctre studeni . Dezideratele anterioare pot fi satisfcute dac studenii prelucreaz datele experimentale prin metode clasice: calcule pas cu pas i grafice pe hrtie milimetric. Dup ce studenii

dobndesc experien n prelucrarea i interpretarea datelor experimentale este bine s foloseasc calculatorul n prelucrarea datelor i chiar n simularea unor fenomene. Atragem studenilor atenia c numai studiul realitii nemijlocite i conduce spre aflarea adevrului care guverneaz materia. Autorul rmne recunosctor cititorilor crii care vor avea propuneri constructive utile unei ediii noi .

Timioara, iulie - 2004 Autorul.

CAPITOLUL 1

MRIMI FIZICE I UNITI DE MSUR

Extensia

1.1. Mrimi fizice, 3 pag. 1.2. Sisteme de uniti de msur, 2,5 pag. 1.3. Formule dimensionale, 2,5 pag.

1.4. Dimensiuni i uniti de msur ale Sistemului Internaional de Uniti de Msur, SI, 1,75 pag. 1.5. Multipli i submultipli ai unitilor de msur, 0,5 pag. 1.6. ntrebri bipolare, 0,25 pag. 1.7. Testul gril, T1, 0,5 pag.

1.8. Soluiile testului gril, T1, 0,5 pag. 1.9. Rezumatul capitolului 1 0,25 pag.

Obiective

Transmiterea de cunotine relativ la conceptele mrime fizic i sisteme de uniti de msur. Deducerea formulelor dimensionale.

Verificarea omogenitii dimensionale a formulelor fizice. Deducerea unor formule prin analiz dimensional. Stabilirea unitilor derivate.

Formarea multiplilor i submultiplilor unitilor de msur.

Fixarea

Rspunsuri la ntrebri i compararea acestora cu informaiile din cuprinsul capitolului.

Evaluarea

Rezolvarea testului gril T1 i notarea soluiilor conform grilei de corectare

1.1 . MRIMI FIZICE

1.1.1. CONCEPTELE CALITATE I CANTITATE

Fenomenele fizice i obiectele pot fi caracterizate cu ajutorul conceptelor calitate i cantitate.

Calitatea exprim acea latur a fenomenului sau a obiectului prin care acesta rmne distinct n relaia cu alte fenomene sau obiecte. Cantitatea caracterizeaz fenomenul sau obiectul prin gradul de dezvoltare al nsuirilor sale.

Exemplu

Corpul care i schimb poziia fa de alt corp considerat fix (reperul) este n micare relativ iar corpul care i menine poziia neschimbat fa de reper este n repaus relativ.

Corpul aflat n micare poate, la un moment dat, s fie mai departe sau mai aproape fa de reper ceea ce decriem prin noiunea distan. Distana o exprimm printr-un numr i o unitate de msur. Mrimea poate s descrie fie cantitatea fie calitatea. n continuare, noiunea mrime se va folosi n sensul de cantitate. Cantitatea are nsuirea esenial de modificare adic cantitatea poate fi exprimat numeric.

1.1.2. MRIMI FIZICE

Proprietatea ordonabil, adic care poate fi exprimat printr-un numr i o unitate de msur este o mrime fizic. Valoarea numeric {X} a mrimii fizice X, se obine prin operaia de msurare. A msura o mrime fizic nseamn a compara mrimea msurat cu alt mrime de aceeai natur numit etalon sau unitate de msur, notat cu . Astfel, scriem:

X = {X} . (1.1)

Mrimile fizice se clasific n urmtoarele clase: intensive, extensive, fundamentale, derivate, scalare, vectoriale i tensoriale. n continuare, prezentm cte o caracterizare succint a fiecrei clase de mrimi fizice. 1) Mrimile sunt intensive sau reperabile dac pot fi ordonate dar nu pot fi adunate. Exemplu

Un sistem termodinamic conine subsistemele (1) i (2). Temperaturile t1 i t2 ale subsistemelor (1) i (2) pot fi ordonate t1= t2 sau t1< t2 sau t1> t2 , dar nu pot fi adunate. 2) Mrimile sunt extensive sau msurabile dac pot fi ordonate i adunate. Exemplu

Masa m a unui sistem este egal cu suma maselor m1 i m2 ale subsistemelor (1) i (2) care

intr n componena sistemului, m = m1+ m2 , i pot s fie cazurile m1 m2 sau m1 m2. 3) Mrimile sunt fundamentale dac ntr-un sistem de uniti sunt independente i sunt alese convenional. Exemple

n sistemul internaional, lungimea, l, are unitatea de msur 1m stabilit prin convenie, timpul, t, are unitatea de msur 1s stabilit prin convenie. 4) Mrimile derivate sunt definite cu ajutorul mrimilor fundamentale ale sistemului de uniti, prin relaii de definiie. Exemplu

Viteza, v, este definit cu relaia v = dx dt iar unitatea sa de msur este definit cu ajutorul relaiei de definiie astfel, = / , adic SI = m / s (xspaiu, ttimp).

5) Mrimile scalare sunt definite printr-un numr i o unitate de msur. Exemplu

Distana dintre dou puncte este l = 7m. 6) Mrimile vectoriale sunt caracterizate prin valoare i prin orientare.

Exemplu

Viteza unui mobil n micare rectilinie i uniform de-a lungul axei Ox pote fi iv

3 sau

iv

3 dup cum mobilul se mic n sensul pozitiv sau cel negativ al axei .Vectorul

i

este versorul axei Ox, modulul su fiind egal cu unitatea, 1i

7) Mrimile tensoriale sunt dependente de direcia de msurare. Exemplu Indicele de refracie al razei extraordinre la cristalele birefringente de-a lungul axei optice este egal cu indicele de refracie al razei ordinare, nE = nO , i este diferit de acesta de-a

lungul altei direcii, nE nO ( Oordinar,Eextraordinar ).

1.1.3. ECUAIA MSURTORII

Purttorul mrimii fizice se numete msurand. Exemplu

Masa este msura ineriei unui corp, atunci masa este mrimea fizic iar corpul a crui mas o msurm este msurandul. Procedeul de msur se numete metod de msurare. Rezultatul msurtorii este un numr real, x,numit valoarea numeric a mrimii. Relaia

X = x . (1.2)

se numete ecuaia msurtorii. NOT. Tipografic, simbolul mrimii fizice se scrie cu litere italice iar unitatea de msur cu caractere drepte (text normal);dimensiunea mrimii se pune n paranteze drepte; valoarea numeric a mrimii se pune n acolade sau se simbolizeaz cu liter mic.

1.2. SISTEME DE UNITI DE MSUR

Formula fizic se deosebete de formula matematic n sensul c formula matematic este o relaie ntre mrimi iar formula fizic este o relaie ntre valorile msurate. Exemplificm prin cazurile: 1. Expresia matematic a ariei ptratului de latur X este A=X 2 . Formula fizic este a = x

2

2. Dac , prin convenie msurm latura n centimetri , cm, i stabilim c aria

se exprim n metru ptrat , m2 , (1cm2= 10 -4 m 2 ), scriem a = 10 4 x2. 2. Pentu mrimile lucru mecanic, L, for, F, deplasare, D , stabilim prin convenie unitile: = 1 Joule), = 1 dyn, = 1cm. Atunci, lucrul mecanic exprimat n joule, utiliznd valorile msurate ale forei, f, deplasrii, d, i relaiile de transformare 1dyn =10

-5 N, 1cm =10

-2 m (N---Newton, 1J = 1N1m) se calculeaz cu formula

L (J) = 10-5

f (dyn) 10 -2

d (cm) = 10-7

f (dyn) d (cm). (1.3)

Mrimile K1 =10-4

din primul exemplu i K2=10-7

din al doilea exemplu se numesc

coeficieni parazii ai formulei fizice. Constantm c, alegnd arbitrar unitile de msur ale tuturor mrimilor determinate,n relaiile dintre acestea apar coeficientii parazii care duc la complicarea formulelor.Deci, stabilind arbitrar uniti de msur pentru majoritatea mrimilor fizice s-ar obine sisteme de uniti necoerente. Pentru ca formulele fizice s nu conin prea multe constante universale iar valorile coeficienilor parazii s fie egale cu unitatea sau ct mai mici este necesar ca un numr mic de uniti de msur s fie stabilite prin convenie. Mrimile fizice independente definite direct prin indicarea unitilor de msur i a metodelor de msurare sunt fundamentale. Mrimile fizice i unitile care se stabilesc cu ajutorul celor fundamentale prin relaii de definiie sunt mrimi respectiv uniti derivate. Totalitatea unitilor fundamentale i a celor derivate alctuiesc un sistem de uniti. Sistemul de uniti este coerent dac unitile derivate sunt funcii univoce ale unitilor fundamentale.

De-a lungul timpului s-au utilizat mai multe sisteme de mrimi fundamentale. Menionm cteva sisteme coerente de uniti: 1) LMT ( L, lungime; M, mas; T, timp ); 2) LFT ( L, lungime; F, for; T, timp); 3) LMTI (L, lungime; M, mas ; T, timp; I, intensitatea curentului electric).

Utilizarea simultan a mai multor sisteme de uniti a generat dificulti practice ceea ce a determinat reglementarea juridic internaional a utilizrii unor uniti de msur preferabile, a definirii lor precum i a realizrii i pstrrii etaloanelor pentru aceste uniti. Aceste uniti au fost adoptate la cea de a XI Conferin General de Msuri i Greuti din anul 1960. Denumirea sistemului este Sistemul Internaional de Uniti ( SI ). Mrimile i unitile fundamentale ale SI sunt: lungimea cu unitatea metrul, masa cu unitatea kilogramul, timpul cu unitatea secunda, intensitatea curentului electric cu unitatea

amperul, temperatura termodinamic cu unitatea kelvinul, intensitatea luminoas cu unitatea candela i cantitatea de substan cu unitatea molul. Sistemul SI este practic, general i coerent iar coeficienii de proporionalitate care apar n formule sunt adimensionali. n anul 1961,Romnia a adoptat SI ca sistem unic legal i obligatoriu pe

teritoriul su.

1.3. FORMULE DIMENSIONALE

Dimensiunea este o unitate de msur n sens generalizat. Dimensiunea mrimii X se notaz [X]. Notaiile pentu dimensiunile mrimilor fundamentale ale SI sunt: L, lungimea;

T, timpul; M, masa; , temperatura termodinamic; I, intensitatea curentului electric; J, intensitatea luminoas i Q, cantitatea de substan. Dimensiunea mrimii derivate reprezint expresia prin care mrimea derivat este reprezentat numai n funcie de dimensiunile fundamentale, sub form de produs de puteri raionale. Formula dimensionl a mrimii X este

[ X ] = L M T I J Q . (1.4)

Exponenii raionali , , ,..,reprezint, fiecare n parte, dimensiunea mrimii derivate X n raport cu una din mrimile fundamentale L, M, T, I, J, Q. Fie mrimile fizice X i Y cu formulele dimensionale:

[ X] =L 1 M

1 T

1 respectiv [Y] = L

2 M

2 T

2 . (1.5)

Egalitatea X = Y este adevrat dac dimensiunile celor dou mrimi n raport cu aceeai

mrime fundamental sunt egale: 1= 2 , 1 = 2 , 1 = 2 .Egalitile precedente exprim condiia de omogenitate a formulelor fizice: ntr-o formul fizic, exponenii aceleeai mrimi fundamentale din partea stng respectiv dreapt a semnului egal au aceeai valoare. Formula fizic corect este ntotdeauna omogen dimensional. Procedeul care utilizeaz principiul de omogenitate dimensional a legilor fizicii se numete analiz dimensional. Msurnd aceeai mrime fizic , X,cu dou uniti de

msur diferite < X >1 i < X >2 , obinem: X = x1 < X >1 i X= x2 < X >2. Egalitile precedente conduc la relaia < X > 1 / < X > 2 = x2 / x1 = k. (1.6)

Relaia (1.6 ) exprim teorema fundamental a unitilor de msur: raportul a dou uniti de msur este egal cu raportul invers al valorilor numerice ale aceleeai mrimi fizice. Numrul, k, obinut prin raportul unitilor este factorul de transformare. Exemplu

Masa de repaus a electronului exprimat n kg sau n uniti atomice de mas, u ,este:

m0 = 9,1095 10-31

kg, respectiv m0 = 5,486 10-4

u.

Factorul de transformare al celor dou uniti este: k = 1u / 1kg=9,1095 10-31/5,486 10-4

=1,6604 10-27

. Deci, unitatea atomic de mas exprimat n kg este 1u = 1,6604 10-27 kg. Analiza dimensional este utilizat pentru: stabilirea ecuaiilor dimensionale ale mrimilor derivate, verificarea omogenitii dimensionale a formulelor fizice i deducerea unor legi fizice simple pn la nivelul unor constante. n continuare, prezentm, prin exemple, modalitile de utilizare ale analizei dimensionale.

1.3.1. EXEMPLE DE ECUAII DIMENSIONALE

a) ecuaia vitezei: v=s / t, [v] = [s] / [t] = L / T=L T -1; SI =m s-1

;

b) ecuaia acceleraiei: a = v / t , [a ]= [v] / [t] = L T -2 ; SI =m s-2

;

c) ecuaia forei : F =m a, [F ] = M L T -2 ; SI = kg m s-2

= 1N;

d) ecuaia presiunii : p=F / S, [p]= M L -1 T -2 ; SI =kg m-1

s-2

=1N/m2 =1Pa.

1.3.2. EXEMPLU DE VERIFICARE A OMOGENITII DIMENSIONALE A FORMULELOR FIZICE

Legea lui Bernoulli este

p+ g h + v 2 / 2 = constant. (1.7)

S se verifice omogenitatea dimensional a formulei (1.7) i s se stabileasc dac constanta din membrul drept este dimensional sau este adimensional. Rezolvare

[p]= M L -1

T -2

;

[ g h ] =[ ] [g] [h]= ML -3

L T -2

L = M L -1

T -2

;

[ v2 ] = [ ] [v ]

2 = M L

-3 (LT

-1)

2 = M L

-1T

-2 .

Toi termenii din membrul stng al formulei (1.7) au aceeai dimensiune. Ca urmare, constanta din membrul drept este dimensional : [const]= M L -1 T -2 .

1.3.3. EXEMPLU PRIVIND DEDUCEREA UNOR LEGI FIZICE SIMPLE

Experimental, se constat c perioada pendului gravitaional depinde numai de lungimea pendulului i de acceleraia gravitaional a locului n care se efectueaz experimentul. S se deduc formula perioadei de oscilaie a pendulului gravitaional utiliznd analiza dimensional. Rezolvare

= f ( l,g ) ; = K l g ; [K ] =1 (K este o mrime constant i adimensional)

[ ] =[ l ] [g] ; T= L (L T -2

) ; T= L +

T-

. (1.8)

Omogenitatea dimensional conduce la ecuaiile:

i . (1.9)

Soluiile sistemului (1.9) sunt: i . Ca urmare, formula perioadei pendulului gravitaional este

K ( l / g ) 1 / 2

. (1.10)

Valoarea constantei se determin experimental, K=2 . Deci, prin analiza dimensional se obine formula cunoscut a perioadei pendulului

gl / . (1.11)

1.3.4. ALTE ASPECTE PRIVIND ANALIZA DIMENSIONAL

1) Dimensiunea nu caracterizeaz complet clasa creia i aparine mrimea i nu reprezint o proprietate distinctiv a acesteia.Aceasta nseamn c mrimi fizice diferite pot s aib aceeai formul dimensional. Exemplu

Lucrul mecanic L i momentul forei au aceeai dimensiune dar exprim proprieti distincte. Dimensiunile celor dou mrimi fizice, stabilite cu ajutorul relaiilor de definiie sunt:

L=F d cos( ) ; [cos ] =1 ; [L] = [ F ] [ d] = M L 2T

-2 ;

=F r sin( ) ; [ sin ] = 1 ; [ ] = [ F ] [ r ] = M L 2T

-2 .

2) Mrimile adimensionale au toi exponenii dimensiunilor egali cu zero, 0, adic nu depind de nici una din mrimile fundamentale. Mrimile adimensionale sunt rapoarte a dou mrimi cu aceeai dimensiune. Exemplu Densitatea relativ care este raportul dintre densitatea corpului dat i densitatea corpului fa de care se calculeaz densitatea relativ este o mrime adimensional.

1. 4. DIMENSIUNI I UNITI DE MSUR ALE SISTEMULUI INTERNAIONAL

Dimensiunile mrimilor fundamentale se reprezint cu simbolurile mrimilor la care se refer scrise cu litere majuscule. Dimensiunile mrimilor fundamentale se exprim cu ajutorul formulelor dimensionale prezentate n par.1.3. Unitatea de msur este o mrime de aceeai natur cu mrimea pe care o msoar i are valoarea numeric egal cu unitatea.

Pentru stabilirea unitilor de msur ale mrimilor derivate se nlocuiesc mrimile fundamentale n fomulele dimensionale cu unitile fundamentale corespondente, puterile rmnnd aceleai. Exemplu Capacitatea electric este definit cu fomula C = Q / U. Formula dimensional a capacitii este [ C ] = [ Q ] / [ U ] = [ Q ] / [ L / Q ] = [ Q ]

2 / [ L ] = [ I ]

2 [ t ]

2 / [ L ] = I

2 T

4 M

-1 L

-2.

Unitatea de msur a capacitii n SI este < C >S I = A2 s

4 kg

-1 m

-2 = 1F (farad).

Alte exemple sunt prezentate n paragraful 1.3. Sistemul Internaional conine uniti fundamentale, uniti derivate i uniti suplimentatre.Pe lng acestea se folosesc din motive practice unitile tolerate.

1.4.1. UNITILE FUNDAMENTALE ALE SI

Mrimile i unitile fundamentale ale Sistemului Internaional de Uniti de Msur sunt prezentate sintetic pe tabelul 1.1.Pe acelai tabel mai sunt prezentate simbolurile mrimii, dimensiunii i unitii.

Tabelul 1.1. Mrimi i uniti fundamentale ale SI.

Nr. Mrimea Simbolul Simbolul Unitatea de Simbolul crt. fizic mrimii dimensiunii msur unitii

1. Lungimea l L metrul m

2. Masa m M kilogramul kg

3. Timpul t T secunda s

4. Intesitatea curentului electric I I amperul A

5.Temperatura termodinamic T kelvinul K

6. Intensitatea luminoas I J candela cd

7.Cantitatea de substan Q molul mol

1.4.2. UNITI SUPLIMENTARE ALE SI

Mrimile suplimentare sunt considerate ca mrimi derivate adimensionale fiind definite ca rapoarte a dou mrimi de aceeai natur.

Exemplu

Unghiul la centrul cercului exprimat n radiani este dat de raportul dintre lungimea arcului de cerc delimitat pe circumferin i raza cercului. Mrimile i unitile suplimentare ale SI sunt:

1) Unghiul plan, cu simbolul , sau i cu unitatea de msur radianul (rad);

2) Unghiul solid, cu simbolul sau i cu unitatea de msur steradianul (sr). Unitile suplimentare au fost introduse pentru a exista posibilitatea de a stabili uniti coerente pentru unele mrimi fizice. Exemplu

Unitatea de msur pentru viteza unghiular este rad / s.

1.4.3. UNITI DERIVATE ALE SI

Unitile derivate sunt clasificate n urmtoarele patru categorii: 1) Uniti derivate exprimate n funcie de unitile fundamentale: m2 pentru arie, m3 pentru volum, m / s pentru vitez, m /s2 pentru acceleraie, kg/m3 pentru densitate .a.m.d. 2) Uniti derivate cu denumiri speciale : hertz ( Hz ) pentru frecven, newton ( N ) pentru for, joule ( J ) pentru lucrul mecanic, pascal ( Pa ) pentru presiune .a.m.d.

3) Uniti derivate exprimate cu ajutorul unitilor fundamentale i derivate: V/m pentru intensitatea cmpului electric, C/m3 pentru densitatea volumic de sarcin electric, F/m pentru permitivitatea electric, W/m2 pentru densitatea de flux termic .a.m.d. 4) Uniti derivate exprimate cu ajutorul unitilor suplimentare: rad / s pentru viteza unghiular, W / sr pentru intensitatea energetic, rad / s 2 pentru acceleraia unghiular .a.m.d.

1. 4. 4. UNITI TOLERATE N SI

n practica inginereasc se utilizeaz uniti care s permit simplificarea calculelor. Prezentm cteva uniti tolerate:

1) electronvoltul, 1eV= 1,602 - J;

2) unitatea atomic de mas, 1u =1,66057 --27 kg ;

3) angstromul, 1 = 10-10 m.

1. 5. MULTIPLI I SUBMULTIPLI AI UNITILOR N SI

Pentru a simplifica exprimarea valorilor numerice ale mrimilor fizice se utilizeaz prefixe, care prin adugarea la unitile SI genereaz multipli sau submultipli zecimali ai unitii respective. Prefixele, simbolurile lor i factorii de multiplicare sunt prezentate n Tabelul 1.2.

Tabel 1.2. Prefixe, Simboluri, Factori de Multiplicare.

Multipli Submultipli

Prefixul Simbolul Factorul de Prefixul Simbolul Factorul de

multiplicare multiplicare

deca da 10 deci d 10 - 1

hecto h 10 2 centi c 10

- 2

kilo k 10 3 mili m 10

- 3

mega M 10 6 micro 10

- 6

giga G 10 9 nano n 10

- 9

tera T 10 12

pico p 10 - 12

peta P 10 15

femto f 10 - 15

exa E 10 18

atto a 10 - 18

Note

1) Cuvinte ca nostru, multiplu, submultiplu, parametru .a. primesc la plural un i. 2) Mrimile fizice sunt proprieti ordonabile. Exprimarea,o mas de 3kg cade de la

nlimea de 10m, este eronat. Exprimarea, un corp cu masa m, m=3kg, cade de la nlimea h, h = 10m, este corect.

1.6. NTREBRI BIPOLARE

a. Cantitatea este exprimat printr-un numr sau printr-un adjectiv ? b. n cele dou domenii ale unui corp temperaturile sunt t1 =12

0C i t2 =18 0C.

Temperatura corpului este t =30 0C sau t 30

0C ?

c. Sistemul Internaional este coerent sau necoerent ?

d. ntr-o formul dimensional valoarea exponentului poate s fie ?

Da . Nu .

e. Valoarea u.a.m. este 1u = 1,66 10 - 24

g ? Da . Nu .

f. Formula dimensional a unitii de presiune este 1Pa= kg m-1 s-2 ? Da . Nu .

g. Se tie c unitatea joule este definit astfel 1J = 1N 1m. Atunci, cu unitile 1J i 1N m

se msoar mrimi distincte? Da . Nu .

h. Ecuaia dimensional a lungimii este [ l ] = L? Da . Nu .

i. Unghiul solid se calculeaz ca raportul a dou arii sau a dou lungimi ?

j. Formula de transformare 1eV =1,602 Nm este corect sau incorect ?

1.7. TESTUL GRIL T 1

1. (0,5p) Mrimile fizice se exprim astfel: a) printr-un numr; b) printr-o unitate de msur; c) printr-un segment orientat; d) prin valoarea numeric i unitatea de msur.

2. (0,5p) Ecuaia msurtorii asupra mrimii Y este:

a) [ Y ] = y Y; b) Y= y / [ Y ] ; c) Y = [ ] ; d) Y = y < Y >.

3. (1p) n sistemul de uniti CGS ( centimetru, gram, secund ) unitatea de lucru mecanic este ergul, CGS = 1erg iar unitatea de for este dyn, CGS =1dyn. Factorul de transformare ntre unitatea de lucru mecanic a SI i erg este: a) < L > CGS / < L >SI =10

-7 ; b) [ L ] SI

/ [ L ] CGS = 1; c) 1 J = 10

7 erg ;

d) < L >SI / < L > CGS = 1m2 kg s

-2 / ( 1cm

2 g s

-2 ).

4. (0,5p) Notaiile MKS i LMT descriu : a) Sisteme de uniti coerente, distincte; b) dou sisteme care se intersecteaz iar intersecia este M ( metru ); c) dou sisteme care se intersecteaz iar intersecia este M ( mas ); d) sunt subsisteme ale sistemului MKSA (metru, kilogram, secund, amper).

5. (1p) Despre condiia de omogenitate a formulelor fizice se poate spune c: a) este ndeplinit numai dac instrumentele de msur au precizia foarte mare; b) satisface numai formulele din mecanic; c) nu este ndeplinit de formulele care descriu fenomene electrice, de exemplu legea lui Coulomb conine n membrul stng mrimi mecanice iar n membrul drept conine mrimi electrice; d) formula fizic care nu este omogen dimensional, cu certitudine este greit.

6. (1p) Ecuaia dimensional a induciei magnetice, B, este: a) [B ] = M I

-1 T

-2 ; b) [B ] = [ F ] / ( [ I ] [ l ] ) ; c) [B] = M L T

-2 / [IL] ;

d) [ B ] SI = kg A-1

s-2

= 1 T.

7. ( 2p) Viteza luminii n vid exprimat n uniti ale SI este c= 3 8 m / s. Se propun,

pentru lungime i timp, unitile m = 8m / 9 resppectiv s = 10s / 9. Viteza luminii n vid

,c ,exprimat n unitile m /s este:

c = c ,deoarece viteza luminii n vid este o constant universal; b) c = 3 105 km / s; c) c = 3109 / 8 ( m /s ); d) c = 80 c /81. 8. (1,5p) Unitatea de msur electronvolt, eV , tolerat n SI, reprezint: a) sarcina elementar; b) energia pe care o primete un electron care parcurge o diferen de potenial de unu volt; c) 1eV=1,6 10-19 Nm; d) momentul forei cu care un cmp de intensitate 1V/m acioneaz asupra unui electron care se rotete pe o circumferin cu raza de unu metru.

9. (1p) Notaia 1daV reprezint: a) 10+1 V; b) 10 A; c) 10 V; d) 10 kg m2 s-3 A-1 .

10. (1p) Permitivitatea dielectric a vidului, 0 , este: a) o constant universal; b) o constant de material adimensional;

c) [ 0 ] = M L-3

T4 I

2 ; d) 0 = 8,856 10

-12 A

2 s

4 m

-3 kg

-1.

1.8. SOLUIILE TESTULUI T 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(0,5p) (0,5p) (1p) (0,5p) (1p) (1p) (2p) (1,5p) (1p) (1p)

a --

b --

c --

d --

Total 10 puncte

1.9. REZUMATUL CAPITOLULUI 1

Mrimile fizice se exprim prin valoarea numeric i unitatea de msur. Dimensiunea mrimii derivate se exprim printr-un monom care conine dimensiunile fundamentale ridicate la puteri (numere raionale), numite dimensiuni ale mrimii derivate

n raport cu cele fundamentale.

Relaia X = x se numete ecuaia msurtorii.

Formula dimensionl a mrimii X este [ X ] = L M T I J Q . Analiza dimensional este utilizat pentru :

a)verificarea omogenitii dimensionale a formulelor fizice; b)stabilirea unitilor de msur pentru mrimile fizice derivate; c) deducerea unor formule fizice simple pn la nivelul unor constante

CAPITOLUL 2

PRELUCRAREA STATISTIC A DATELOR EXPERIMENTALE

Extensia

2.1 Generarea erorilor de msurare, 5 pag. 2.2 Clase de erori aparente, 2,5 pag.

2.3 Histogram. Curb continu. Funcie de repartiie, 2,5 pag. 2.4 Indicatori statistici, 1,5 pag.

2.5 Repartiia normal Gauss a erorilor aleatorii, 4,5 pag. 2.6 Propagarea erorilor, 1,5 pag.

2.7 Prezentarea datelor experimentale, 1,5 pag.

2.8 Metoda celor mai mici ptrate, 0,25 pag. 2.9 Semnificaia cifrelor. Rotunjirea numerelor, 1,5 pag. 2.10 Probleme rezolvate, 1,5 pag.

2.11 Intrebri bipolare, 0,25 pag. 2.12 Testul gril T2, 1,5 pag. 2.13 Soluiile testului gril T2, 0,25 pag.

2.14 Rezumatul capitolului 2, 0,25 pag.

Obiective

Formarea priceperilor de prelucrare a datelor experimentale i de prezentare a acestora sub form de grafice i tabele cu precizarea erorilor de msurare.

nelegerea sensului fizic al distribuiei normale Gauss. Dezvoltarea abilitii de calcul a mrimilor determinate indirect innd seama de erorile de msurare asupra mrimilor determinate direct i de semnificaia cifrelor.

Fixarea

Rspunsuri la ntrebri i compararea acestora cu informaiile din cuprinsul capitolului.

Evaluarea

Rezolvarea testului gril T2 i notarea soluiilor conform grilei de corectare.

2.1. GENERAREA ERORILOR DE MSURARE

Metoda experimental n fizic se realizeaz prin urmtoarele etape: a) reproducerea fenomenului n laborator astfel nct desfurarea sa s nu fie pertubat de aciunea unor factori externi; b) msurarea mrimilor caracteristice fenomenului studiat; c) interpretarea datelor experimentale i elaborarea unei teorii care s explice fenomenul; d) verificarea prin noi experimente a concluziilor teoriei elaborate.

Concordana previziunilor teoretice cu datele experimentale stabilete dac concluziile ipotezelor i reprezentrilor teoretice sunt consistente cu realitatea.

Din acest motiv, se consider c msurarea este cel mai important fenomen al fizicii.

Msurrile sunt directe i indirecte. Msurarea este direct dac const n simpla comparare a mrimii cu unitatea de msur. Astfel, cu rigla gradat msurm direct lungimea unui obiect.

Dac aflm valoarea unei mrimi fizice prin calcul, utiliznd o formul n care apar mrimi msurate direct, am efectuat o msurare indirect sau o determinare. Exemplu, msurm direct distana pe care cade liber un corp n vid i durata cderii, apoi calculm acceleraia gravitaionl.

Pentru msurarea mrimilor fizice se folosesc mijloacele de msurare (M.M.). Mijlocul de msurare ndeplinete funciunile: a) pstreaz (conserv) unitatea de msur ( U.M. ); b) preia informaii de la msurand sub forma unur semnale de intrare; c) la aparatele de msur electronice sau electrice convertete semnalul de intrare n

semnal electric continuu sau n impulsuri; d) compar semnalul de intrare cu unitatea de msur; e) emite (livreaz) valoarea msurat a mrimii. n continuare,prezentm schema bloc a unui mijloc de msurare.

Fig. 2.1. Schema bloc a unui M. M.

Valoarea numeric adevrat a mrimii este una singur, x ad .Valorile msurate ale mrimii sunt valori experimentale, x exp , i nu sunt egale cu valoarea adevrat.

Diferena,

xad = xexp xad . (2.1)

este eroarea adevrat comis la msurarea mrimii X. Deoarece valoarea adevrat , xad , nu este accesibil msurtorilor rezult c nici

eroarea adevrat, xad , nu poate fi cunoscut. n teoria erorilor se arat c, dac asupra mrimii fizice X se efectueaz, n aceleai

condiii i cu acelai M.M., msurtori repetate, atunci valoarea medie a mulimii valorilor

individuale, x , se apropie cel mai mult de valoarea adevrat . Diferenele de forma

xi. ap = xi x . (2.2)

se numesc erori aparente. n relaia (2.2), i [1,n] iar n este numrul msurtorilor. Erorile aparente sunt accesibile cunoaterii cercettorului prin msurtori de laborator. Vom analiza succint cteva din cauzele care determin apariia erorilor aparente i duc la necunoaterea valorii adevrate a mrimii msurate. 1. Este posibil ca n M.M. care conserv U.M., aceasta s nu fie riguros constant.

Exemplu

Prototipul metrului etalon este distana dintre dou repere trasate pe o rigl cu seciunea n

X, rigid, turnat din aliajul Pt (90 ) i Ir (10 ). Rigla este pstrat la Biroul Internaional de Msuri i Greuti cu sediul central la Paris (Sevres). Examinate la microscop, reperele s-au dovedit a fi neliniare, neuniform de late i cu contururi neclare. Ca urmare, preluarea mrimii metrului de la prototipul internaional pentru etaloanele

naionale este afectat de eroarea x m. 2. Informaia primar despre msurand, sub forma unui semnal, este preluat de ctre

senzor i convertit n alt form de energie. n acest proces pot s apar distorsionri ale semnalului.

Exemplu

Celula fotovoltaic prezint sensibilitate spectral. Ca urmare, tensiunea electric pe care o genereaz nu este direct proporional cu cantitatea de energie solar incident pe celul. 3. ntre msurand i M.M. apar schimburi energetice care introduc erorile de

retroaciune.

Exemplu

La msurarea mrimilor electrice nsi M.M. introduce n circuit rezistene suplimentare. 4. Este posibil ca circuitele elctronice ale M.M. s modifice durata i alura semnalului de

ieire fa de alura i durata semnalului de intrare.Fenomenul se numete convoluie. 5. Parametri mediului ambiant influeneaz exactitatea msurtorilor.

msurand X e , semnal

de ieire

adaptor traductor

comparator

sursa auxiliar de energie

Xi , semnal

de intrare

Exemplu

Parametri atmosferei standard sunt: presiunea, p = 101325 Pa; temperatura, t=20oC;

umiditatea relativ, = 65 . Riglele de msur a lungimii sunt etalonate n uniti de lungime n atmosfera standard. La temperaturi ambiante diferite de temperatura standard valoarea diviziunii se modific din cauza variaiei lungimii cu temperatura. 6. La aparatele analogice ,valoarea semnalului de ieire este citit pe scara gradat n

dreptul indicelui. Citirea este corect dac ochiul se poziioneaz pe perpendiculara la ecran ,care trece prin indice. n caz contrar apare eroarea de paralax. Pentru a elimina eroarea de paralax pe ecranul aparatului se monteaz o mic oglind. Citirea este corect dac privind numai cu un ochi, nu vedem imaginea acului n oglind (fig.2.2.)

Fig. 2.2. Eroarea de paralax.

7. La aparatele digitale, valoarea semnalului de ieire este afiat pe ecran (display) sub forma unui numr. Valorile mrimii fizice mai mici dect pasul de incrementare nu sunt sesizate .

8. Poziiile START i STOP la aparatele digitale pot s perturbe exactitatea msurtorii

prin introducerea unei incertitudini de la afiarea numrului de pulsuri furnizate de comparator ( fig. 2. 3. ).

Fig.2.3. Incertitudinea numrrii: corect n = 4; incorect n = 5 i n = 3.

9. Metoda stabilit pentru msurare poate s introduc erori semnificative chiar dac efectele altor cauze au fost diminuate.

Exemplu

Dac determinm valoarea unei rezistene, msurm direct tensiunea electric pe rezistor cu voltmetrul i intensitatea curentului prin rezistor cu ampermetrul. Energia electric este furnizat de o surs de tensiune stabilizat. Rezistena se calculeaz cu formula R =U / I. Se poate alege metoda voltampermetric cu montaj n aval sau metoda voltampermetric cu montaj n amonte.

start stop stop

stop

start

start

1 2 3 4

Citire corect : 2,2

1 2 3 4

ochiul

indicele

imaginea

indicelui

ochiul

indicele

Citire incorect: 3,0

Dac rezistena este mic i formm circuitul din fig. 2.4. (montaj amonte), tensiunea

de pe ampermetru nu este neglijabil fa de tensiunea de pe rezistor. Rezultatul va fi afectat de o eroare grosolan.

Fig. 2.4. Montajul amonte. Fig. 2.5. Montajul aval.

Pentu acelai rezistor formm circuitul de pe fig.2.5. Rezistena voltmetrului fiind foatre mare, intensitatea curentului prin voltmetru este neglijabil fa de intesitatea curentului prin rezistor. Raportul dintre tensiune i curent conduce la o valoare corect a rezistenei. n procesul msurrii se comite o eroare admisibil.

2.2. CLASE DE ERORI APARENTE

S-a artat n paragraful precedent c n procesul de msurare se comit erori de msurare. Erorile care afecteaz mrimea msurat sunt clasificate n urmtoarele clase de erori de msur: sistematice, aleatorii sau accidentale,aberante sau grosolane i de sensibilitate ale mijloacelor de msurare. n continuare, descriem succint fiecare clas de erori de msurare.

a) Erorile sistematice Aceste erori au caracter obiectiv i la repetarea msurrii asupra aceleeai mrimi i pstreaz valoarea i semnul. Enumerm civa factori care determin apariia erorilor sistematice.

a. 1) Msurile etalonate incorect genereaz erori n orice condiii de msurare. Exemplu

La cntrirea unui corp cu balana ,valorile inscripionte pe masele etalon pot s fie diferite de masele reale. Astfel, masa marcat poate fi m =200 g iar masa real, din cauza uzurii, s fie m

=199 g.

a. 2) Temperatura din laborator determin modificarea proprietilor msurandului i ale mijlocului de msurare .

Exemplu

La msurarea t.e.m. i a rezistenei interne a unei pile fotovoltaice, temperatura ambiant afecteaz datele experimentale deoarece odat cu modificarea acesteia se modific rata de generare a purttorilor de sarcin, mobilitatea acestora, rezistena electric a probei semicoductoare i rezistena aparatelor electronice de msur. a. 3) Parametri de calitate ai mijloacelor de msur electronice se modific odat cu variaiile tensiunii i frecvenei reelei electrice urbane i depind de intensitatea semnalelor electromagnetice de nalt frecven din atmosfer. a. 4) Metoda de msurare nu este cea mai potrivit. Astfel, pentru msurarea rezistenelor prin metoda voltampermetric trebuie ales montajul n amonte sau n aval dup cum valorile ateptate ale rezistenei sunt mari sau mici. a. 5) Calibrarea scrii mijlocului de msurare este eronat. Calibrarea scrii mijlocului de msurare nseamn stabilirea corespondeei dintre valorile msurate i reperele scrii. b) Erorile aleatorii Aceste erori se datoreaz unor cauze diverse care acioneaz n sensuri diferite de la o msurtoare la alta. Dintre multele cauze ale erorilor accidentale menionm influena operatorului a crui atenie i acuitate vizual se coreleaz cu exactitatea citirii pe scara

R

+

-

A A

V

V

R

+

-

aparatului. Erorile aleatorii pot fi diminuate prin mrirea numrului de msurtori asupra aceleeai mrimi , n aceleai condiii. c) Pragul de sensibilitate

Variaia minim a mrimii fizice care provoac deplasarea sesizabil a indicelui mijlocului de msurare se numete prag de sensibilitate. La aparatele cu scar gradat pragul de sensibilitate este egal cu jumtate din valoarea diviziunii.

Eroarea global la msurarea unei mrimi fizice nu este niciodat mai mic dect eroarea de sensibilitate a mijlocului de msurare.

Exemplu

Diviziunea scrii unui ampermetru este de 1 A iar n dreptul reperelor apar numerele

1; 2; 3 .a.m.d. Dac, la trecerea curentulu prin aparat, indicele depete cifra 2, citirile 2,0 A sau 2,5 A sunt corecte. Dac indicele se apropie de cifra 3, citirile 2,5 A sau 3,0 A sunt corecte.

d) Erorile aberante ( grosolane )

Aceste erori sunt generate de nerespectarea principiilor de msurare i de atenia sczut a operatorului. Valorile afectate de erori grosolane influeneaz negativ rezultatul final al setului de msurtori. Ca urmare,valorile afectate de erori grosolane nu se iau n seam la calculul valorii medii a setului de date experimentale.

2.3. HISTOGRAM. CURB CONTINU. FUNCIE DE REPARTIIE

2.3.1. HISTOGRAMA

n capitolul 1 s-a artat c rezultatul msurrii mrimii fizice X se exprim prin relaia

X = x . (2.3)

n pragraful 2.2 s-a artat c erorile aleatorii se micoreaz prin repetarea msurrii asupra mrimii studiate.

Prin repetarea operaiei de msurare asupra mrimii X se obine o mulime de valori care se aranjeaz ntr-un ir cresctor numit irul valorilor individuale

x1 , x2 ,.,xn . (2.4)

Termenul general al irului este xi , i= n,1 , iar n este numrul msurtorilor. Numrul

termenilor irului se numete volum. ncepnd cu valoarea cea mai mic a irului de valori dm creteri variabilei cu

cantitatea x, x . Mrimea se numete eroare ptratic medie iar sensul su fizic i formula de calcul vor fi prezentate n paragrafele urmtoare. Astfel, mprim volumul

irului n m clase de forma [xmin, x min + x); [x min + x, x min + 2 x); . .

Apoi, repartizm valorile experimentale n cele m clase i notm cu n i ,j numrul de

obiecte din clasaa j, j = m,1 .Este evident egalitatea urmtoare

nnm

ji

1

, . (2.5 )

Mrimea ni , j se numete frecven absolut de apariie a obiectului din clasa j. Media valorilor unei clase este

jin

ji

ji

j xn

x,

1

,

,

1. (2.6)

Frecvena relativ, j , a clasei j este

j = n i ,j / n . (2.7)

Frecvena relativ cumulat sau integral , j este

j

j

1

j . (2.8)

Este evident c, pentru j=m, frecvena relativ cumulat are valoarea unu, m = 1. Media irului valorilor individuale este

m

jx1

jx . (2.9)

Mrimea yj definit cu formula (2.10) indic frecvena relativ dac volumul eantionului ar fi mprit n clase de lrgime egal cu unitatea

yj = j x = n i ,j n x . (2.10)

Cu formula ( 2. 10 ) calculm frecvena relativ pentru fiecare clas i completm tabelul 2.1. Pe rubricile 2,3,...., ale tabelului 2.1 se arat modul de aranjare al valorilor n clase de echivalen. Formulele de pe aceste rubrici se terg ,apoi se scriu numerele obiectelor din fiecare clas de echivalen.

Tabelul 2.1. Frecvene relative.

x [xmin , xmin+ x) [xmin+ x, xmin+2 x), --------

yj n1 / (n x) n2/(n x) ,-----------------

Cu datele din tabelul 2.1 trasm curba n trepte ilustrat pe fig. 2. 6. Curba de pe fig. 2. 6 se numete histogram.

Fig. 2.6. Histograma, , i nfurtoarea sa, *.

Histograma ofer o imagine calitativ i cantitativ asupra distribuiei valorilor experimentale.

2.3.1. FUNCIA DE REPARTIIE

x xmax

* *

*

*

*

*

* *

*

*

*

* *

*

*

yj

f(

x)

)

xmin

x

*

* *

*

*

* *

*

* * * *

* *

* *

* *

* * *

* *

* *

*

f(

x)

f(x)

Pentru n i x , histograma de pe fig. 2. 6 trece n curba continu desenat punctat pe fig. 2. 6. Curba continu este nfurtoarea histogramei.

Funcia, f (x), care descrie aceast curb se numete funcie densitate de repartiie sau funcie densitate de probabilitate. Prin integrarea funciei f (x) se obine probabilitatea cu care variabila aparine unui interval dat.

Dac varibila x primete valori pe toat dreapta real, se impune condiia

1)( dxxf . (2.11)

Funcia F ( x ) care satisface relaiei F ( x ) = f (x ). (2.12)

se numete funcie de repartiie a variabilei x. Funcia F (x) primete valori n intervalul [0, 1]. Graficul funciei F (x) ete curba continu de pe fig 2.7. Graficul funciei F (x) are

aceeai alur ca i graficul frecvenei relative j dac numrul claselor este foarte mare,

adic x este foarte mic. Cu aceste precizri, obinem c expresia general a funciei densitate de probabilitate

este

f (x) = ndx

dn . (2.13)

Fig.2.7. Funcia de repartiie F(x).

Aria suprafeei delimitate de graficul funciei f (x) (fig.2.6), ordonatele ridicate n punctele de coordonate x1 i x2 i segmentul x2 -x1 este

F (x2 )F (x1 ) = 2

1

)(

X

X

dxxf . (2.14 )

Aria calculat cu fomula (2.14) indic probabilitatea ca o valoare individual s aparin intervalului de valori msurate, x2 x1.

2.4. INDICATORI STATISTICI

Cu ajutorul funciei densitate de probabilitate se definesc urmtorii indicatorii statistici :

1. Mediana, x me

Proiecia pe axa Ox a interseciei dintre dreapta y = 0,5 i curba F(x) stabilete valoarea median a variabilei, xme . Mediana este valoarea variabilei, x, care mparte suprafaa delimitat de curba f (x ) i axa absciselor n dou pri egale

xmin

0,5

1,0

F(x)

xme x xmax

5,0)()(

me

me

x

x

dxxfdxxf . (2.15)

2. Media aritmetic, x Media aritmetic a valorilor individuale corespunde centrului de greutate al suprafeei delimitate de graficul funciei densitate de probabilitate i axa absciselor

dxxfxx )( . (2.16)

3. Abaterea medie ptratic sau abatera medie stadard,

Abaterea standard stabilete intervalul de valori din jurul valorii medii, x , n care cad

68,3 din valorile msurate

dxxfxx ad )()(2

. (2.17)

4. Abatera medie ptratic a mediei sau abaterea standard a mediei, m

Abaterea standard a mediei stabilete intervalul de valori din jurul valorii medii, x m ,

cruia i aparine valoarea adevrata cu cea mai mare probabilitate,xad ( x m ). Abaterea standard a mediei se definete cu formula

m = x - adx = n

xxn

adi )(1

. (2.18)

5. Eroarea probabil, P

Eroarea probabil stabilete intervalul de valori din jurul valorii medii, px ,n interiorul

cruia cad jumtate din valorile msurate. Formula de definiie este

P

P

dxxf 2/1)( . (2.19)

6. Momentul centrat de ordinul k, M k Momentul centrat de ordinul k se definete astfel

dxxxfxxM kadk )()( . (2.20 )

Pentru k=0, se obine valoarea medie M ( k=0 ) = x . 7. Moda, xmo

Moda indic valoarea variabilei pentru care densitatea de repartiie este maxim. Pentru x=xmo, condiiile de extrem sunt

f ( x=xmo ) = 0 i f ( x=xmo ) < 0. (2.21 ) La repartiiile simetrice moda, media i mediana sunt egale, fig. 2. 8.

La repartiiile asimetrice se pot ntlni situaiile: mome xxx sau xxx memo .

2.5. REPARTIIA NORMAL GAUSS A ERORILOR ALEATORII

2.5.1. FUNCIA DENSITII DE PROBABILITATE A LUI GAUSS

n practic, majoritatea mrimilor caracteristice fenomenelor i proceselor au o distribuie normal descris de funcia Gauss-Laplace

f(x) = K exp[-h2 (xx0 )

2 ] (2.22 )

Mrimea x0 are semnificaia valorii adevrate, x0 xad.. O caracteristic a distribuiei normale este aceea c erorile aleatorii absolute de acelai modul au aceeai frecven de apariie cu semnul plus ca i cu semnul minus.

Prezentm n continuare demonstraiile a dou concluzii care decurg din distribuia normal iar celelalte proprieti ale acestei distribuii le prezentm fr demonstraii.

1. Valoarea medie, valoarea adevrat

Valoarea convenional adevrat care s fie diferit cu o cantitate neglijabil de valoarea

adevrat se stabilete din condiia ca expresia 2

1

)(n

ix s fie minim

addx

d

2

1

)(n

ix =addx

d[(x1 xad)

2 + (x2--xad )

2 + ..(xnxad)

2 ]=0.

Calculele, pentru n , conduc la relaia

n

xxxx nad

......21. (2.23)

n practic, numrul msurtorilor este finit dar foarte mare i, ca urmare, se apreciaz c valoarea medie a setului de valori se apropie cel mai mult de valoarea adevrat.

Atunci, erorile aparente aleatorii sunt xxx ii .

2. Numrul msurtorilor

Suma erorilor adevrate este

Fig.2.8. Repartiia simetric.

valorile: medie, median i moda

y x

x

f (x )

adad

n

i

n

i xxnxnxx (.)()(11

). (2.24)

Din relaia precedent rezult

)(1

1

n

iad xn

xx . (2.25)

Semnificaia fizic a relaiei (2.25) este: valoarea medie se apropie cu att mai mult de valoarea adevrat cu ct numrul msurtorilor asupra aceleeai mrimi fizice este mai mare.

3. Mrimile K, h, , m

Condiia de normare la unitate ( 2. 11) permite calculul mrimii K din relaia (2.22)

K= h / . (2.26)

Probabilitatea apariiei unei valori este

xxxhh

p ii ))(exp(22

. (2.27)

Condiia de maxim a relaiei (2.27 ) conduce la expresiile mrimilor h, i m :

a) 1

)( 2

n

xi ; b)

2

1h ; c)

nm . (2.28)

4. Ecuaia distribuiei normale

Introducnd expresiile mrimilor K i h n relaia ( 2. 22 ) se obine ecuaia ditribuiei normale Gauss

2

2

2

)(exp[

2

1)(

xxxf ]. (2.29)

Ecuaia (2.29) este reprezentat grafic pe fig. 2.9.

f x ( )

x x x

x

Fig. 2.9. Distribuia Gauss.

2.5.2. PROPRIETI ALE MODELULUI NORMAL

Proprietile modelului normal, care intereseaz n desfurarea lucrrilor de laborator sunt prezentate n continuare:

a) curba prezint un maxim de coordonate: xx i 2

1maxf ;

b) pentru x , curba tinde asimptotic spre zero;

c) n punctele de abscise: xx i xx , curba are puncte de inflexiune (fig. 2.9);

d) curba este simetric n raport cu ordonata ridicat normal pe axa Ox n punctul xx ;

e) la reprezentarea grafic a funciei f (x) respectiv a frecvenei relative cumulate, ,

punctul de inflexiune al curbei are coordonatele xx i = F ( x ) = 0,5;

f) aria suprafeei delimitate de graficul funciei f (x) ntre punctele xx este 0,683,

ceea ce nseamn c 68,3 din msurtori cad n intervalul xx ;

g) admite ca parametri mrimile i x ; g.1) mrimea determin forma curbei; pe fig.2. 10 se arat curbele de distribuie pentru dou seturi de msurtori, cu acelai numr de valori, asupra aceleeai mrimi fizice,n aceleai condiii de laborator; abaterea medie ptratic pentru primul set este mai mic dect pentru cel de-al doilea set 1 < 2 ; n primul caz curba de distribuie are un maxim pronunat iar valorile experimentale se grupeaz

x x

f(x)

1

2

Fig. 2.10 Reprezentarea parametric a funciei de ditribuie. Parametrul reprezentrii este abaterea ptratic medie, 1 < 2 .

n jurul mediei irului de valori; pentru cazul doi maximul este aplatizat iar valorile msurate sunt dispersate;de exemplu,dac rezistena electric a aceluiai rezistor este msurat, in aceleai condiii,de ctre doi experimentatori cu experien diferit este posibil ca cel mai priceput s obin curba dat de valoarea 1 a parametrului abaterea medie ptratic;

g.2) mrimea x determin deplasarea curbei pe axa absciselor; pe fig. 2.12 se arat curbele de distribuie pentru dou seturi de msurtori, cu acelai numr de valori, asupra aceluiai msurand dar n condiii de laborator schimbate; de exemplu, acelai experimentator poate s msoare rezistena electric a unui rezistor fie cnd temperatura n laborator este t 1 , fie cnd temperatura n laborator este t 2 iar t2 t1.

2. 5. 3. CALCULUL ERORILOR ALEATORII I AL PARAMETRILOR STATISTICI PENTRU UN NUMR FINIT DE TERMENI

n studiul experimental al fenomenelor fizice numrul msurtorilor este finit. Erorile de msurare sunt definite n par. 2.2 iar indicatorii statistici sunt definii n par. 2.4. nlocuind n formulele de definiie ale acestor mrimi funcia de repartiie cu distribuia normal, pentru un numr finit de termeni, dup prelucrri se obin formulele de calcul prezentate mai jos.

1. Erori de msurare

1. a ) eroarea absolut

xxx ii . (2.30)

1. b) eroarea absolut medie

ixn

x1

. (2.31)

1. c) eroarea relativ

r,i = xi / x i . (2.32)

1. d) eroarea relativ medie

f (x)

x

1x 2x

Fig.2.12.Reprezentarea parametric a funciei de

distribuie. Parametrul este valoarea medie, 21 xx .

1x 2x

r ( ) =x

x100 . (2.33)

2. Indicatori statistici

2. a) media

n

ixn

x1

1. (2.34)

2. b) mediana

2. b. 1) numr impar de termeni ai irului cresctor

2/)1(nme xx . (2.35)

2. b. 2 ) numr par de termeni ai irului cresctor

)(2

12

2

1nnme xxx . (2.36)

2. c ) moda

)(3 xxxx memo . (2.37)

2. d ) momentul centrat de ordinul k

kn

ik xxn

M )(1

1

. (2.38)

2. e) abaterea standard

1

)(1

2

n

xxn

i

. (2.39)

2.f) abaterea standard a mediei

)1(

)(1

2

nn

xxn

i

m . (2.40)

2. g) eroarea probabil

6745,024769,0P . (2.41)

3. Valoarea adevrat

)( mad xx . (2.42)

2.6. PROPAGAREA ERORILOR

Dac o mrime, y , nu poate fi msurat direct, ea se determin prin calcul

utiliznd mrimile x1 , x2 ,de care aceasta depinde, y= f ( x1 ,x2 ,,x n )

i care sunt msurabile direct. Erorile comise asupra mrimilor msurate direct ,

x1, x2 , ., afecteaz valoarea calculat a mrimii y. Eroarea cea mai mare, n

valoare absolut, comis asupra mrimii y este

nn

xx

yx

x

yx

x

yy .........2

2

1

1

. (2.43)

Eroarea relativ asupra mrimii y este

nn

xx

yx

x

yx

x

y

y

y )(ln...........

)(ln)(ln2

2

1

1

. (2.44)

2.7. PREZENTAREA DATELOR EXPERIMENTALE

2.7.1. TABELE DE REZULTATE

Tabela de rezultate conine valorile mrimilor msurate, valorile mrimilor

determinate, erorile de msurare, valorile medii i valoarea adevrat. Alturi de

simbolul mrimii se scrie ntotdeauna unitatea de msur n paranteze rotunde.

Prezentm un model de tabel pentru cazul n care se msoar tensiunea pe un

rezistor, intensitatea curentului prin rezistor i calculm rezistena acestuia.

Tabel 2.2. Mrimi msurate direct, U, I. Mrimea determinat, R.

Ui (V) u1 u2 .. un

Ii (A) i1 i2 in

Ri ( ) r1 r2 rn

R ( ) (r1 + r2 + + rn ) / n

Ri ( ) r1 r2 . rn

R ( )

m ( )

Rad ( )

2.7.2. REPREZENTAREA GRAFIC

Reprezentarea datelor prin grafice permite:

- deducerea unor relaii nte dou mrimi;

- stabilirea punctelor de intersecie ale curbei cu axele;

- calculul pantei curbei;

- determinarea coordonatelor unor puncte prin interpolare sau prin extrapolare.

La extrapolare se recurge numai n cazurile n care se tie c forma curbei se

menine i n afara limtelor ntre care a fost cercetat.

Graficul dependenei y = f (x) se construiete cu ajutorul tabelulului de date,

parcurgnd etapele descrise mai jos.

Pe fiecare ax a sistemului rectangular xOy se indic o mrime i unitatea sa.

Pe fiecare ax se marcheaz scrile de reprezentare astfel ca hrtia milimetric s cuprind ntregul domeniu al variabilelor.

Dac plaja de variaie a mrimilor este foarte larg se renun la scara liniar i se folosete scara logaritmic pentu o ax sau pentru ambele axe.

Exemplul 1

Dac se cerceteaz proprietile sunetului, frecvena acestuia variaz ntre

limitele de 20 Hz i 2 104 Hz. Se constat uor c, n timp ce frecvena sunetului

crete n progresie geometric: 100,1000,10000,logaritmul zecimal al acesteia

crete n progresie aritmetic:

lg 100 =2, lg 1000 =3, lg 10000 =4 .a.m.d.

Pe axe ,echidistant, funcie de scar, se scriu valorile mrimii i nu coordonatele punctelor experimentale.

Se reprezint punctele din tabel folosind coordonatele lor i n fiecare punct se reprezint prin bare verticale sau orizontale erorile de msur.

Graficul se obine trasnd curba printre puncte n limitele erorilor. Punctele nu se unesc printr-o linie frnt. Trasarea curbei printre puncte este o mediere a valorilor experimentale.

Curba neted trasat printre puncte reprezint fitarea dependenei y = f (x) i poate servi la gsirea unei relaii ntre mrimile y i x.Formula care se obine este empiric.

Exemplul 2

Pentru verificarea experimental a legii lui Ohm , se efectueaz operaiile descrise

mai jos.

a) Se construiete un montaj poteniometric care s conin rezistorul studiat.

b) La variaia tensiunii pe rezistor, se msoar intensitatea curentului prin acesta.

c) Se ridic graficul dependenei I= f (U) conform fig. 2.12.

Fig. 2.12. I = f ( U ).

Se vede pe grafic c, scriind I = a +mU , prin extrapolare gsim a =0 iar din

triunghiul ABC calculm m = tg = I / U. Deci, scriem: I = ( I / U ) U.

d) Repetm experimentul cu ali rezistori avnd alte dimensiuni, de aceeai natur

chimic sau diferit i constatm c valoarea raportului I / U este o

caracteristic a rezistorului i c aceasta depinde de natura chimic a rezistorului i

de dimensiunile sale. Notm 1/R = I / U i obinem I = U / R (R---rezisten

electric).

2.8. METODA CELOR MAI MICI PTRATE

Dac se folosete calculatorul pentru prelucrarea datelor experimentale,

constantele de care depinde mrimea determinat y= f ( c1, c2, ..,ck , x) se

pot gsi prin metoda celor mai mici ptrate.

I (A)

20

15

10

5

2 4 6 8 U (V)

U

I

n cazul dependenei liniare y = a + mx, constantele a i m se calculeaz

astfel:

n

i

i

n

i

ii

xx

yxx

m

1

2

1

)(

)(

(2.45)

xmya . (2.46)

2.9. SEMNIFICAIA CIFRELOR. ROTUNJIREA NUMERELOR

2.9.1. SEMNIFICAIA CIFRELOR

S-a artat n par. 2.4 c valoarea adevrat a mrimii fizice se gsete n

intervalul xx . Deci, valoarea cunoscut a mrimii este aproximativ fiind

afectat de o anumiut eroare. Constantele fizice la rndul lor, sunt determinate cu

precizii menionate n tabele.

Cifrele cu care se exprim valoarea numeric a unei mrimi sunt

semnificative sau nesemnificative. Cifrele 1, 2,, 9 ale unui numr sunt

semnificative. Cifra zero aflat n interiorul numrului sau la dreapta acestuia este

semnificativ. Cifra zero aflat la stnga numrului este nesemnificativ.

Ca regul, valoarea mrimii se exprim sub forma unui produs ntre un numr

cuprins ntre 1i 9, i o putere ntreg a lui zece , ca exemplu , numrul lui

Avogadro se scrie

NA = 6,023 1023

mol - 1

.

Exemplu

n tabele, acceleraia gravitaional normal este dat astfel nct s se poat citi

valoarea mrimii i eroarea cu care aceasta este cunoscut, g = ( 9,8063 0,0005 )ms-2,

sau mai compact g = 9,8063(5) ms-2. Scrierea precizeaz eroarea g = 5 10-4 ms-2.

Ultimele dou cifre nu sunt cunoscute exact deoarece valoarea exact este cuprins ntre

9,8058 m s-2 i 9,8068 m s-2. Dac scriem g = 9,80 ms-2, cifra zero este semnificativ

fiind cunoscut exact. Dac scriem g = 0,0098 km / s 2, cifrele de zero sunt

nesemnificative.

Valoarea acceleraiei gravitaionale cu trei cifre semnificative este g = 9,81m/s2.

n calcule se iau numai cifrele semnificative exacte.

2.9.2. ROTUNJIREA NUMERELOR

Calculele cu valorile mrimilor conduc la numere cu multe zecimale.Ca

urmare, se impune aproximarea rezultatelor, ceea ce nseamn c determinrile

experimentale conduc ntotdeauna la valori aproximative pentru mrimile fizice.

Regulile de rotunjire la un anumit numr de cifre semnificative sunt:

a) dac prima cifr care trebuie neglijat este mai mic dct cinci, atunci cifra meninut rmne neschimbat

19,0264 19,026;

b) dac prima cifr care trebuie neglijat este mai mare dect cinci sau este chiar cinci urmat de cifre diferite de zero, ultima cifr pstrat , se mrete cu o unitate

19,02671 19,03; 19,0256 19,03;

c) dac cifra care trebuie neglijat este cinci urmat de zerouri, numrul se rotunjete la cea mai apropiat valoare par

19,0350 19,04 ; 19,0650 19,06 .

Reguli de operare

1) Pentru a exprima rezultatul final cu n cifre semnificative, n calculele intermediare se opereaz cu ( n+2 ) cifre fr rotunjiri. Rotunjirile se opereaz la rezultatul final.

Exemplu

Dimensiunile unui paralelipiped sunt msurate cu trei cifre semnificative:

a=8,23cm, b=7,41cm, c=5,27cm.

Volumul va fi exprimat tot cu trei cifre smnificative iar n calculele intermediare se

va opera cu cinci cifre. Succesiv , calculm :

a) aria bazei, A=a b= 60,984 cm2 , dei rezultatul exact al nmulirii este 60,9843;

b) volumul, V=A c= 321cm3, dei pe ecranul calculatotului apare numrul

321,38568.

2) Precizia rezultatului final nu poate fi mai mare dct cea a msurrilor din cre-l

deducem.

3) Eroarea relativ intodus prin rotunjire nu trebuie s fie mai mare ca eroarea

relativ a mrimii determinate cu precizia cea mai mic.

4) Numrul cifrelor semnificative la inmulire sau la mprire se ia egal cu

numrul cifrelor semnificative ale numrului cu cele mai puine cifre semnificative.

5) La adunare sau la scdere se pstreaz toate cifrele semnificative.

2.10. PROBLEME REZOLVATE

2. 10. 1. Valorile adevrate a rezistenei a doi rezistori sunt: R 1 (160 2) i

R 2 (234 3) .

S se calculeze erorile care afecteaz rezistenele echivalente ale circuitelor

serie respectiv paralel formate cu cei doi rezistori.

Rezolvarea

a) Rs =R1+R2 , Rs =394 ; dRs = dR1 +dR2 , 21 RRRs =5 ;

Rs Rs , ; Rs.ad. .

b) Rp =R1 R2 / (R1+ R2) , Rp = 95 ; lnRp =ln R1 + lnR2 - ln(R1+R2 ),

dRp/Rp =dR1 /R1 + dR2 / R2 (dR1+dR2 )/ (R1+R2) ,

21

21

2

2

1

1

RR

RR

R

R

R

R

R

R

p

p , 8,3,038,0

p

p

R

R ;

Rp Rp , Rp ; Rp.ad.

2.10.2. irul valorilor individuale pentru o mrime fizic conine n termeni.

Abaterea standard este . S se calculeze numrul valorilor individuale

care cad n intervalul x .

Rezolvarea

Ecuaia densitii de probabilitate este

2

2

2

)(exp[

2

1)(

xxxf ].

1. Facem schimbarea de variabil u = (x-- x ) / , deci du = dx / .

2. Punem condiia f(x) dx = f (u) du = d n / n, adic f(u) =f(x) d x / du = f (

x ).

3. Ecuaia densitii de probabilitate funcie de variabila u este

2/2

2

1)( Ueuf .

4. Aria mrginit de graficul funciei densitate de probabilitate i axa absciselor

ntre punctele u1 i u2 este

A = 2/2

2

12

1)( u

u

u

eu

duuf .

Limitele de integrare sunt: u1=( x -- -- x )/ = 1 i u2 =( x + -- x )/ = +1.

nlocuim limitele de integrare n formula ariei i calculnd obinem A = 0, 683.

2.11. NTREBRI BIPOLARE

a. Cunoaterii i este accesibil un interval de valori din jurul valorii adevrate a

mrimii fizice. Intervalul se ngusteaz dac crete numrul msurtorilor ? Da .

Nu .

b. Unele erori de msur se datoresc numai experimentatorului ? Da . Nu .

c. Curba de distribuie aproximeaz cu att mai bine histograma cu ct pasul

acesteia este mai mic ? Da . Nu .

d. Jumtate din valorile msurate ale aceleiai mrimi fizice , n aceleai condiii de

laborator, de ctre acelai experimentator, cad n intervalul px , , sau n

intervalul x , ?

e. Se poate calcula eroarea probabil cu formula p = / 1,4826? Da, . Nu, .

f . Este semnificativ cifra zero indiferent de locul ei n numr? Da , . Nu, .

u

1

u2

g. Pentru un set de msurtori, n cazul dependenei y = a+mx termenul liber se

calculeaz cu formula 2/nmxya ? Da, . Nu, .

2.12. TESTUL GRIL T 2

1. (0,5p) Despre valorile adevrate ale mrimilor fundamentale determinate

experimental se poate spune c:

a) sunt accesibile cunoaterii numai dac sunt msurate cu unitile

fundamentale prototip;

b) nu sunt accesibile cunoaterii; c) aparin unui interval ale crui capete se

calculeaz ca sum respectiv diferen ntre valoarea medie a mrimii i abatera

ptratic medie; d) sunt noiuni idealizate.

2. (0,5p) Despre unitatea de lungime i prototipul su se poate afirma:

a) este lungimea drumului parcurs n vid de ctre lumin n timpul 1/299792456 dintr-o secund; b) este distana dintre dou repere trasate pe fibra neutra unei bare cu seciunea n X turnat din aliajul Pt(90 ) i Ir (10 ) ; c) este depus la

B.I.P.M.G.; d) reperele de pe bara de Pt i Ir nu sunt riguros liniare.

3. (1p) Despre aparatele de msur digitale s e poate afirma c:

a) msoar exact; b) nu sesizeaz valori ale mrimii fizice mai mici dct pasul de incrementatare ; c) poziiile START, STOP pot s introduc o incertitudine de

1 n numrarea pulsurilor ; d) au un indice mobil n faa scrii gradate.

4. (1p) Indicatorii statistici dedui pe baza legii de distribuie Gauss se refer la:

a) erorile aleatorii; b) erorile sistematice; c) erorile de sensibilitate; d) toate clasele de erori.

5. (0,5p) Despre histogram se poate spune c:

a) este o curb n trepte; b) dac 0x , dreptunghiurile tind spre segmente perpendiculare la axa Ox; c) este o curb continu; d) arat repartiia

valorilor msurate pe intervalul x al variabilei.

6. (0,5p) Despre graficul frecvenei relative cumulate se poate spune c :

a) este o curb neted; b) este o linie frnt; c) valoarea sa maxim este unu; d) are un punct de inflexiune.

7. (2p) Expresia funciei densitate de probabilitate Gauss este:

a) f ( x ) = A exp (- x2 ) , unde A2

1 ; b) f (z) = A exp (- z2 ) , unde

2

)( 2xxz ;

c) xmo = xme ; d) simetric n raport cu valoarea medie a variabilei.

8. (1p) Mediana se poate calcula cu una din formulele:

a) xme= x(n+1)/2 ; b) xme = 0,5(xn/2 +xn/2 +1 ) ; c) xme = n

x i; d)

x

xx ime .

9. (2p) Mrimile a, b, c sunt msurate cu erorile .,, cba Mrimea y se

calculeaz cu formula y = a b / c. Stabilii formula pentru calculul erorii relative

comise asupra mrimii y :

a) c

ba

y

y; b)

c

c

b

b

a

a

y

y;

c) c

c

b

b

a

a

y

y; d) bcay .

10. (1p) La reprezentarea grafic a rezultatelor unui set de msurtori: a) pe axe se scriu toate valorile experimentale; b) segmentele dintre numerele

succesive scrise pe axe sunt egale ntre ele; c) scrile celor dou axe pot fi egale sau inegale; d) ntr-o reprezentare liniar de forma y = a+mx, constantele a i m pot fi dimensionale sau adimensionale.

2.13. SOLUIILE TESTULUI T 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(0,5p) (0,5p) (1p) (1p) (0,5p) (0,5p) (2p) (1p) (2p) (1p)

a X X X X X

b X X X X X X X X

c X X X X X

d X X X X X X

Total 10 puncte

2.14. REZUMATUL CAPITOLULUI 2

Cunoaterea ct mai apropiat de valoarea adevrat a unei mrimi fizice este posibil prin msurri repetate ale mrimii fizice cu aceleai mijloace de msurare , n aceleai condiii de laborator i de ctre acelai operator. Mijloacele de msurare i operaia de msurare introduc ntotdeauna erori de msurare.

Pe grafice i tabele se indic mrimile msurate direct, mrimile msurate indirect, unitile de msur, valorile medii i erorile de msurare.

Grafic, distribuia erorilor aleatorii este ilustrat prin histograme i prin curbe continue ridicate cu ajutorul funciilor de repartiie.

CAPITOLUL 3

METODE DE MSURARE. PRINCIPIILE I CARACTERISTICILE MIJLOACELOR DE MSURARE

Extensia 3.1 Clasificarea mijloacelor de msurare, 1,5 pag. 3.2 Metode de msurare, 2,5 pag. 3.3 Elemente de indicaie ale mijloacelor de msurare, 1,5 pag. 3.4 Elemente metrologice ale mijloacelor de msurare, 2 pag. 3.5 Principii de msurare, 2 pag. 3.6 ntrebri, 0,25 pag. 3.7 Testul gril T3, 1 pag. 3.8 Soluiile testului T3, 0,25 pag. 3.9 Rezumatul capitolului 3, 0,25 pag.

Obiective

bazele fizice ale fenomenelor de msurare;

caracteristicile aparatelor de msurare;

caracterizarea metodelor de msurare;

Fixarea Rspunsuri la ntrebri i compararea acestora cu informaiile din cuprinsul capitolului.

Evaluarea

Rezolvarea testului gril T3 i notarea soluiior conform grilei de corectare.

3.1. CLASIFICAREA MIJLOACELOR DE MSURARE

Mijlocul de msurare, M. M., furnizeaz informaii cantitative despre mrimea de msurat. Schematic, M. M. se reprezint ca n fig. 3.1, sub forma unei cutii negre n care intr informia despre msurand , sub forma semnalului de intrare, xi. Mijlocul de msurare prelucreaz semnalul de intrare, l compar cu etalonul i genereaz infomaia de msurare sub forma unui semnal de ieire, xe, care este rezultatul msurrii.

Fig. 3.1. Reprezentarea simbolic a M. M.

Prezentm n continuare clasificarea M.M. dup criteriul grad de complexitate:

Mrimea de msurat

xi Mijloc de msurare x e

Valoarea

msurat

a) Msurile sunt cele mai simple mijloace de msurare. Ele conserv unitatea de msur i furnizeaz valori ale mrimii msurate direct.

Exemple

a1. Lungimea se msoar cu rigla gradat.

a2. Volumul se msoar cu cilindrul gradat (1ml=1cm3 = 10-3 dm3, 1dm3 =1l, llitru).

a3. Masa se msoar cu balana prin compararea masei msurandului cu masele marcate.

b) Instrumentele de msurare reprezint o asociere simpl de dispozitive care pot s furnizeze o informaie cantitativ despre msurand.

Exemple

b1. Temperatura se msoar cu termometrul cu mercur.

b2. Lungimea se msoar cu ublerul sau cu micrometrul.

c) Aparatele conin n fluxul semnalului, de regul trei elemente: traductor, adaptor i elementul de comparare.

Exemple

c1. Intensitatea curentului electric se msoar cu ampermetrul.

c2. Temperatura se msoar cu termometrul electronic.

d) Instalaiile de msurare cuprind aparate, msuri i elemente auxiliare. Elementele auxiliare furnizeaz energie pentru captarea semnalului, adaptarea acestuia i emiterea valorii msurate. e) Sistemul sau lanul de msurare este o reuniune de mai multe mijloace de msurare.

3.2. METODE DE MSURARE

Prin metod de msurare se nelege ansamblul operaiilor experimentale pentru mrimile msurate direct i al relaiilor teoretice pentru mrimile determinate indirect, care conduce la valoarea experimental a mrimii necunoscute. Exist multe criterii de clasificare a metodelor de msurare dar n continuare ne referim numai la clasificarea acestora dup modul n care este indicat valoarea mrimii msurate.

Caracteristica de convertire a aparatului de msurare este dependena exprimat grafic, matematic sau tabelar dintre valoarea semnalului de ieire i a celui de intrare dac msurandul este n stare staionar iar condiiile de mediu satisfac atmosferei standard. Pe fig. 3.2 se reprezint dependena dintre semnalul de ieire i cel de intrare pentru un aparat analogic cu caracteristic liniar xe= a xi (cazul a) i pentu un aparat digital (cazul b). La aparatul digital se evideniaz cuantificarea n sensul c valoarea semnalului de ieire rmne constant ct timp semnalul de intrare are variaii mai mici dect pasul de incrementare, .

3.2.1. METODE DE MSURARE ANALOGICE

a) Msurarea prin deviaie

Comparaia mrimii cu etalonul determin deviaia mecanismului de comparare al M. M. Deviaia este msura experimental a mrimii.

Exemplu

Pe fig. 3.3 se arat schema de principiu a unei instalaii pentru msurarea greutii unui corp prin metoda deviaiei.

Msurarea prin compensare

Mrimea de msurat este mrime de intrare. Mrimea de ieire este de aceeai natur cu cea a msurandului i are efect opus acestuia nct, de regul, indicele M. M. s indice cifra zero.

Exemplu

La msurarea maselor cu balana, momentele forelor de greutate, GrM ,

ale corpului cntrit, iG , i ale maselor etalon, eG , sunt egale n modul dar au

0

5

10

15

( N )

eF

G

Fig. 3.3. Msurarea prin deviaie.

xe

xi

x e = x i tg

Limita superioar xe

x i a ) b )

Fig. 3.2 Caracteristici de convertire.

semne opuse. Dac braele balanei sunt egale, masele copurilor de pe cele dou platane sunt egale, mi = me (fig. 3.4).

b) Msurarea analogic a diferenei

Mrimea de intrare este comparat cu o mrime etalon. Diferena ntre semnalul de intrare i mrimea etalon este semnalul de ieire.

Exemplu

La msurarea temperaturii cu termocuple prin efect Seebeck, diferena ntre potenialul constant al sudurii reci, Vo , i potenialul variabil al sudurii calde, Vi , determin tensiunea variabil, Ui = Vi - Vo, care este proporional cu diferena

de temperatur a sudurilor, oii ttt .

3.2.2. METODE DE MSURARE DIGITALE

Msurandul este comparat cu U. M. ca la aparatele analogice dar semnalul rezultat este preluat de un convertor analogicdigital. Convertorul mparte semnalul n cuante sau incremente sau pulsuri. n lanul de msurare urmeaz numrtorul care determin i afieaz numrul de pulsuri.

3.3. ELEMENTE DE INDICAIE ALE MIJLOACELOR DE MSURARE

Prezentm n acest paragraf unele elemente de indicaie ale mijloacelor de msurare utile n desfurarea lucrrilor de laborator.

1. Scara gradat este constituit din totalitatea reperelor dispuse de-a lungul unei linii drepte sau curbe.

2. Reperele sunt trsturile care limiteaz diviziunile scrii gradate. 3. Diviziunea este intervalul dintre dou repere consecutive. 4. Baza scrii gradate este linia care trece prin mijlocul reperelor cele mai

scurte.

5. Valoarea diviziunii este variaia mrimii exprimat n uniti de msur, care corespunde intervalului dintre dou repere succesive ale scalei.

a b

eM

iM

iG

eG

0

Fig. 3.4. Msurarea prin compensare.

6. Cifrarea reprezint ansamblul numerelor scrise n dreptul reperelor. 7. Indicele este elementul n dreptul cruia se face citirea pe scara gradat. n

laborator se folosesc aparate de msur la care indicele este fie un ac indicator fie un spot luminos.

8. Cadranul este suprafaa pe care se gsesc scrile gradate. 9. Limitele scrii gradate mrginesc, ntre valorile lor, maxim respectiv

minim, intervalul de msurare pentu care M. M. furnizeaz informaia cu o eroare garantat.

10. Constanta M. M. este dat de raportul dintre valoarea mrimii i numrul citit pe scal exprimat n uniti de msur. Constanta aparatului se scrie pe cadran sub forma: X1, X10 .a.m.d.

11. Indicaia M. M. este rezultatul produsului dintre numrul citit pe scal cu constanta aparatului de msur. Indicaia reprezint valoarea msurat a mrimii fizice.

Scrile gradate, funcie de poziia cifrei zero pe ecran, se clasific n tipurile prezentate mai jos:

a) Scri gradate unilaterale avnd cifra zero scris n dreptul unei limite. b) Scri gradate bilaterale avnd cifra zero scris ntre limite. c) Scri gradate cu zero decalat avnd cifra zero scris n afara limitelor. Elementele de indicaie pentru un aparat de msur cu scar liniar, unilateral.

sunt prezentate intuitiv pe schema de pe fig.3.5.

Pe fig.3.5 distingem urmtoarele elemente:

intervalul, A, pe care aparatul nu este sensibil;

limita inferioar de msurare, cifra 1;

limita superioar de msurare, cifra 10 ;

intervalul de msurare, B;

limita de suprancrcare, 15;

diviuziunea, C;

cifrarea, numerele 1,, 10;

reperele, liniile verticale ;

indicele, D.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

A B

C

D

Fig. 3.5. Scar liniar unilateral.

3.4. ELEMENTE METROLOGICE ALE MIJLOACELOR

DE MSURARE

Ramura fizicii care studiaz msurile, unitile de msur, sistemele de uniti, mijloacele de msur i urmrete aplicarea normelor legale relativ la folosirea msurilor, mijloacelor i metodelor de msurare se numete metrologie. Etimologia cuvntului este metron (msur) i logos (vorbire). Deci, metrologia poate fi definit ca tiina msurtorilor.

3.4.1. OPERAII METROLOGICE

Activitile prin care se transmit unitile de msur de la etaloanele de ordin superior (internaionale) la cele de ordin inferior (naionale) precum i verificrile prin care se constat dac msurile i aparatele de msurare corespund prescripiilor de calitate constituie operaii metrologice.

n continuare prezentm cteva operaii metrologice.

Etalonarea nseamn compararea etalonului de ordin superior cu etalonul de ordin inferior pentru determinarea erorilor de msurare ale celui de-al doilea etalon.

Verificarea asigur uniformitatea i exactitatea msurilor i aparatelor de msurare.

Calibrarea stabilete legtura dintre valoarea msurat i valoarea corect a mrimii de msurat numit valoare convenional adevrat,xad.cv..

Tararea stabilete valorile diviziunilor conform relaiei dintre semnalul de intrare i semnalul de ieire.

3.4.2. CARACTERISTICI METROLOGICE

Caracteristicile metrologice se refer la rezultatele msurtorilor. n continuare prezentm cteva caracteristici metrologice.

Justeea Dac M. M. furnizeaz rezultate apropiate de valoarea xad.cv, adic erorile

sistematice sunt mici, acesta are o justee bun.

Fidelitatea Dac variaiile rezultatelor la msurarea repetat a aceleeai mrimi n condiii

identice sunt mici, aparatul este fidel.

Aparatul de msurare cu justee i fidelitate bune este exact.

Sensibilitatea Sensibilitatea este nscris pe cadranul M. M.

Exemplu

Sensibilitatea S = 100 mm / A scris pe cadranul unui ga