1

Aplicaţii ale trigonometriei în geometria plană

Prof. Lupaşcu Constantin

1. Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2. Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3. Aplicarea teoremelor şi formulelor pentru determinarea unor măsuri (de lungimi sau de unghiuri)

4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei geometriei a unor probleme practice

5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului dreptunghic/ oarecare

6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice.

Conţinuturi

- Rezolvarea triunghiului dreptunghic -Formulele (fără demonstraţie):

- cos180° xcos x, sin180° xsin x.

- Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema

sinusurilor şi teorema cosinusului.

- Rezolvarea triunghiului oarecare.

Goniometria este ştiinţa care se ocupă cu măsurarea unghiurilor( în greceşte gonia =

unghi şi metrein = a măsura). Prin măsurarea unghiurilor nu înţelegem doar masurarea lor cu

raportorul, ci şi măsurarea lor cu ajutorul unor funcţii care depind de unghiuri. Funcţiile folosite

în calcularea elementelor triunghiurilor(trigonometrie) se numesc funcţii trigonometrice. Aceste

funcţii îşi găsesc aplicabilitatea în diferite domenii ale matematicii(geometrie, analiză, algebră),

în astronomie, cât şi în fizică preecum şi în probleme practice de măsurare a unor terenuri de

către topometri.

1.Unităţi de măsură pentru unghiuri

Gradul sexagesimal este măsura unui unghi congruent cu a 90-a parte a unghiului drept,

notat 1 .

A 60-a parte dintr-un grad sexagesimal se numeşte minut sexagesimal, notat 1′, iar a 60-a parte

dintr-un minut sexagesimal se numeşte secundă sexagesimală, notata 1′′. Avem 1 60' 3600''

Gradul centesimal este măsura unui unghi congruent cu a 100-a parte a unghiului drept,

notat 1g. A 100-a parte dintr-un grad centesimal se numeşte minut centesimal, notat 1c, iar a

2

100-a parte dintr-un minut centesimal se numeste secunda centesimală, notata 1cc. Avem

1 100 10000g c cc

Radianul –măsura unui unghi cu vârful în centrul uniu cerc care cuprinde între laturile

sale un arc de lungime egală cu raza cercului. Cercul întreg are 2π radiani, un semicerc are π

radiani, iar unghiul drept are π/2 radiani.

Prescurtarea radianului este rad. De obicei nu mai folosim pentru măsura în radiani

această prescurtare. Când nu apare altă presurtare(altă măsură) atunci se subînţelege că

măsura unghiului(arcului) este exprimată în radiani.

Utilizând regula de trei simplă putem găsi relaţia care leagă măsura unghiului în grade

sexagesimale de măsura unghiului în radiani:

180 ..................... .

.................... rad.

rad

u

De aici se obţine 180

u

.

Dacă 1 1 . 57rad

Cu formulă găsită se completează su uşrinţă tabelul:

u 0° 30° 45° 60° 90° 135° 180° 270° 360°

0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

3𝜋

4

𝜋 3𝜋

2

2𝜋

3

Elemente de trigonometrie plană

Trigonometria este ramura goniometriei care se ocupă cu masurarea unghiurilor unui

triunghi.

Fie un triunghi dreptunghic ABC in care m A

= 90°, cu notaţiile consacrate:

AB(latura care se opune unghiului C) = c, AC( latura care se opune unghiului ) = b şi BC latura

care se opune unghiului A) = a, ca în desenul de mai jos:

Rapoartele trigonometrice ale unghiurilor ascuţite B si C sunt definite prin formulele:

Forma trigonometrică a teoremei lui Pitagora

Triunghiul ABC este dreptunghic în A dacă şi numai dacă

2 2

2 2 2 1b c

a b c saua a

Ţinând seama de exprimările pentru b

a şi

c

a se obţin egalităţile 2 2sin cos 1B B şi respectiv

4

2 2sin cos 1C C .

Fiecare dintre cele două formule este forma trigonometrică a teoremei lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic ABC. Cum B 00 ,90 înseamnă că formula 2 2sin cos 1B B este valabilă oricare

ar fi unghiul ascuţit B.

Egalitatea 2 2sin cos 1, 0 ,90x x x se numeşte formula fundamentală a

trigonometriei

Proprietăţi:

Având în vedere inegalităţile cunoscute ce se referă la lungimile laturilor unui triunghi

dreptunghic, se deduce uşor că:

Sinusul şi cosinusul unui unghi ascuţit sunt numere reale pozitive şi subunitare:

0 < sinx < 1, oricare ar fi 0° < x < 90°.

Tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit sunt numere reale şi pozitive

(oricat de mari!):

0 < tgx < +oo, oricare ar fi 0° < x < 90°;

0 < ctgx < +oo, oricare ar fi 0° < x < 90°.

Definitiile rapoartelor trigonometrice şi proprietatile cunoscute ale triunghiului

dreptunghic permit, cu usurinţă, evidentierea următoarelor formule, în care

x ∈ (0°;90°):

sinx = cos(90°-x);

cosx = sin(90°-x);

tgx = ctg(90°-x);

ctgx = tg(90°-x);

tgx = 1/ctgx;

ctgx = 1/tgx;

(tgx)·(ctgx) = 1;

sin²x + cos²x = 1;

tgx= 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥;

ctgx= 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

5

Valorile funcţiilor trigonometrice în cazuri particulare

Funcţia Unghiul

30 45

60

sinx 1

2 2

2

3

2

cosx 3

2

2

2

1

2

tgx 3

3

1

3

ctgx 3 1 3

2

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

A rezolva un triunghi înseamnă a-i calcula lungimile laturilor şi măsurile unghiurilor

când se cunosc o parte din ele. Pentru un astfel de triunghi se cunoaşte un unghi şi anume

unghiul drept. Cazurile de congruenţă ale triunghiurilor furnizează elementele cunoscute. Pentru

determinarea elementelor necunoscute se utilizează rapoartele trigonometrice într-un triunghi

dreptunghic şi teorema lui Pitagora. Dacă se cunoaşte valoarea unei funcţii trigonometrice a unui

unghi se admite că se cunoaşte unghiul.

Un triunghi dreptunghic este determinat dacă se cunosc lungimile a două laturi sau

lungimea unei laturi şi măsura unui unghi ascuţit.

Se va arăta în continuare cum se vor determina, în fiecare caz, elementele unui triunghi

dreptunghic ABC cu A = 90°.

Cazul 1. (C.C.) Dacă se cunosc catetele b şi c. Din teorema lui Pitagora avem 2 2a b c .

Apoi ;tgCb c

tgBc b

.

Exemplu. Fie triunghiul dreptunghic ABC în care A = 90°, c = 5 şi b = 5 3. Atunci

2 2 75 25 10a b c , iar din 1

sin 30 . 90 30 602

cC C B

a .

6

Cazul 2. (I.C.) Dacă se cunosc ipotenuza a şi o catetă, de exemplu b, atunci

2 2 ; sin ;cosb b

c a b B Ca a

.

Exemplu. Fie triunghiul dreptunghic ABC în care A = 90° , a = 10, c=5. Atunci

2 2 1100 25 75 5 3.sin 30 . 90 30 60

2

cc a b C C B

a .

Cazul 3. (I.U.) Dacă se cunosc ipotenuza a şi un unghi ascuţit, de exemplu B, atunci

90 ; sin ; cos .C B b a B c a B

Exemplu. Fie triunghiul dreptunghic ABC în care A = 90° , a = 10, B= 60 . Atunci

1 1 10sin C 90 60 30 . sin sin 5

2 2 2

c cC Din C c a C

a a .

2 2 100 25 75 5 3.b a c

Cazul 4. (C.U.) Dacă se cunosc o catetă şi un unghi ascuţit opus, de exemplu b şi B, atunci

; ; 90sin

ba c b ctgB C B

B .

Exemplu. Fie triunghiul dreptunghic ABC în care A = 90°, C = 30°, c = 5. Atunci

510; 5 3; 90 30 60

1sinC

2

ca b c ctgC B

Cazul 5. (C.U.) Dacă se cunosc o catetă şi un unghi ascuţit adiacent acesteia, de exemplu se dă

lu ngimea catetei c şi unghiul adiacent (alăturat) B atunci 90 ; ; sin .cos

cC B a b a B

B

Exemplu. Fie triunghiul dreptunghic ABC în care A = 90°, B = 60°, c = 5. Atunci

5 390 90 60 30 ; 10; sin 10 5.

1cos 2

2

cC B a b a B

B

7

Relaţii între functiile trigonometrice ale unui unghi

Deoarece ne vom ocupa de unghiurile unui triunghi situate în 0 ,180 (în grade

sexagesimale) sau 0, (în radiani) sunt utile formulele date de

Teoremă

1)sin 180 sin ; 2)cos 180 cos , 0 ,180

1')sin sin ; 2 ') cos cos , 0, .

x x x x x

x x x x x

Ţinând seama că pentru 0, ,sin ,cos 0,12

x x x

putem extinde aceste informaţii folosind

teorema precedentă la intervalul 0, .

Deci 0 sin 1, 1 cos 1, 0, .x x x

Mai mult, formula fundamentală a trigonometriei este 2 2sin cos 1, 0,x x x .

Definiţii.1) Funcţia sin

: 0, \ , , 0, \2 cos 2

xtg R tgx x

x

se numeşte funcţia

tangentă.

2)Funcţia cos

: 0, ,ctg , 0,sin

xctg R x x

x se numeşte funcţia cotangentă.

Teoremă.

1) , 0, \ ;2) , 0, .2

1') 180 , 0 ,180 \ 90 ;2 ') 180 , 0 ,180 .

tg x tgx x ctg x ctgx x

g x tgx x ctg x ctgx x

Legătura dintre funcţiile tangentă şi cotangentă ale aceluiaşi unghi este dată de

1, 0, \ .2

tgx ctgx x

Exemplu.Să se calculeze1)sin120;2)cos150 ;3) 135 ; 100 .tg ctg

Avem:

31)sin120 sin 180 60 sin 60 ;

2

32)cos150 cos 180 30 cos30 ;

2

3) 135 180 45 45 1;

100 180 80 80 .

tg tg tg

ctg tg ctg

.

8

Tabel cu semnul funcţiilor trigonometrice

Funcţia

Intervalul

sin cos tg ctg

0,𝜋

2 + + + +

𝜋

2,𝜋 + - - -

Exemple. Să se stabilească semnul produsului P=2 2 3 5

sin cos3 3 4 6

P tg ctg

.

Avem

2sin 0

3

2cos 0

2 3 5 3, , , , ,

33 2 4 2 6 20

4

50

6

tg

ctg

Ţinznd seama de regula semnelor la înmulţire se obţine P < 0.

Orice funcţie trigonometrică a unui unghi se poate exprima prin oricare altă funcţie

trigonometrică a aceluiaşi unghi.

Relaţii între funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi unghi

sinx cosx tgx ctgx

sinx = sinx ± 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ±𝑡𝑔𝑥

1 + 𝑡𝑔2𝑥 ±

1

1 + 𝑐𝑡𝑔2𝑥

cosx = ± 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 cosx ±

1

1 + 𝑡𝑔2𝑥 ±

𝑐𝑡𝑔𝑥

1 + 𝑐𝑡𝑔2𝑥

tgx = ±

𝑠𝑖𝑛𝑥

1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ±

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

tgx 1

𝑐𝑡𝑔𝑥

ctgx = ± 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

±𝑐𝑜𝑠𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

1

𝑡𝑔𝑥

ctgx

Probleme rezolvate

1.Să se determine valorile tuturor funcţiilor trigonometrice ale unghiului 𝛼 dacă:

1)1

sin , ,3 2

;

2) 3, , .2

tg

9

Rezolvare. Dacă

2 2 2, 0, 0, 0 cos 1 sin .

2 3cos tg ctg

Acum

2

sin 2, 2 2.

41 sintg ctg

2. Cum

2

3 10sin 0 sin .

101

tg

tg

2

1 10cos 0 cos .

101

1 1.

3

tg

Evident ctgtg

Metode de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi

Dacă ABC este un tiunghi oarecare, atunci convenim să notăm măsurile unghiurilor sale

cu A, B, C. Lungimile laturilor le notăm cu BC = a, AC = b, AB = c.

Teorema sinusurulor. În orice triunghi ABC avem: 2 ,sin sin sin

a b cR

A B C unde R este

raza cercului circumscris triunghiului.

În orice triunghi raportul dintre lungimea unei laturi şi sinusul unghiului opus este

constant şi este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

Din teorema sinusurilor avem: 2 sin , 2 sin , 2 sin .a R A b R B c R C

Exerciţii rezolvate

1. Să se arate că dacă: 2 2 2)sin sin sin , ) sin sin sina A B C b b B c C a A atunci triunghiul

este dreptunghic.

Rezolvare. a) Din teorema sinusurilor sin ,sinB ,sinC2 2 2

a b cA

R R R . Relaţia devine

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b ca b c

R R R

si triunghiul este dreptunghic în A.

b) 2 2 2sin sin sin2 2 2

b c ab B c C a A b c a b c a

R R R . Deci conform reciprocei

teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic în A.

10

Test teorema sinusurilor

1)Dacă într-un ABC raza cercului circumscris este R=3, iar latura a = 2

atunci sin A este ................

1) a) 3

; b)

2

3; c)nici un raspuns corect; d)

2

6

2) În ABC se cunosc laturile AB=6, AC=8, m( B )=60º, atunci

sin A = ...................

a) 3 ; b) 1

2 c)nici un raspuns corect d)

2 3

13

5) În ABC se cunosc 8 3

, 603

AC A şi B =45º. Latura BC a triunghiului va fi egală cu:

a) 4; b) 12 2 ; c) 12 3

2 6; d)

12

2 6;

6) Se consideră ABC cu AC=6, BC=5, iar raza cercului circumscris 2.

Să se determine suma:

sinA + sinB va fi: a) 0; b) 2; c) 22

15; d) nici un raspuns corect;

7) În ABC se cunosc laturile BC=5, AC=4 şi C =45º.

sinB = ....................

a) 3

2 ; b)

2 2

41 2 ; c) 0 ; d)

2 2

41 20 2

8) În ABC ascuţitunghic se cunosc BC = 8 cm, sin B= 1

3 şi sin C =

1

9.

Latura AB a ABC este egală cu:

a) 24

4 5 2 2 ; b) 3 ; c) 5 ; d) nici un răspuns corect

3) Să se arate că dacă ABC verifică relaţia sin2C = sin

2B +sin

2A atunci

ABC este dreptunghic.

Teorema cosinusului 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos ,

2 cosB,

2 cosC.

a b c b c A

b a c a c

c a b a b

În orice triunghi, pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor lungimilor

celorlalte două laturi minus de două ori produsul lungimilor acestora înmulţit cu cosinusul

unghiului dintre ele.

Exemple.

1. Se dă triunghiul ABC în care AC = 5, AB = 3, A=60°. Să se determine BC.

11

Din teorema cosinusului avem 2 2 2 12 cos 25 9 2 5 3 19 19

2a b c b c A a .

Funcţiile trigonometrice ale unghiurilor unui triunghi

Corolar. (cosinusul unui unghi). În orice triunghi ABC avem 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ,cosB ,cosC2 2 2

b c a a c b a b cA

bc ac ab

.

Caracterizarea naturii unui unghi al unui triunghi

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0, cos 02

cos 02

, cos 0 .2

A unghi ascutit A A b c a

A unghi drept A A b c a

A unghi obtuz A A b c a

TEOREMA COSINUSULUI – exerciţii propuse

1. Triunghiul ABC are 7,5,3 BCACAB .Să se calculeze Acos

2. Să se calculeze perimetrul ABC ştiind că 4, 3,A 60AB AC .

3. Triunghiul ABC are 7,8,5 BCACAB .Să se calculeze A .

4. Să se determine a pentru care numerele 2,1, aaa sunt lungimile laturilor unui triunghi

obtuzunghic.

5. Să se arate că dacă 15,28,41 cba atunci triunghiul ABC este

A dreptunghic B. ascuţitunghic C. obtuzunghic D. isoscel E. echilateral

6. Să se arate că ABC este dreptunghic în A dacă şi numai dacă cos cos .b c

B Ca

7. Să se arate că în orice ABC avem:

a) aBcCb coscos

b)

2 2

cos cos .b c

b C c Ba

Rezolvarea triunghiurilor oarecare

Ca şi în cazul triunghiurilor dreptunghice, prin rezolvarea trunghiurilor oarecare

inţelegem determinarea lungimiloe laturilor şi a măsurilor unghiurilor când se cunosc o parte

dintre ele. Cazurile de congruenţă a două triunghiuri precizează în ce condiţii două triunghiuri

sunt congruente. Pentru două triunghiuri congruente laturile care se corespund au aceeaşi

lungime, iar unghiurile care se corespund au aceeaşi măsură. Aceasta înseamnă că se consideră

12

eleméntele cunoscute în rezolvarea unui triunghi cele furnizate de cazurile de congruenţă a

triunghiurilor.

Cazul 1. (L.U.L.) Se consideră cunoscute două laturi şi unghiul dintre ele. Presupunem că se dau

laturile b şi c si A. Atunci utilizând teorema cosinusului se determină latura a. Avem 2 2 2 2 cosa b c b c A . Acum este suficient să determinăm unul din unghiurile necunoscute,

de exemplu pentru determinarea lui B folosind teorema sinusurilor

sinsin

sin sin

a b b AB

A B a

sau teorema cosinusului

2 2 2

cosB2

a c b

ac

. ( )C A B .

Exemplu. Să se rezolve triunghiul ABC în care b = 3, c = 5, A = 3

.

Rezolvare.Conform celor spuse mai sus avem: 2 2 2 2 cos 19 193

a b c b c a

. De

asemenea 2 2 2 7 19

cosB2 38

a c b

ac

si din tabelele trigonometrice rezultă B, iar

2( ) .

3 3C A B B B

Cazul 2. (U.L.U.) Acest caz corespunde triunghiului in care este cunoscută o latură, să spunem

a, si unghiurile alăturate acesteia, B şi C.. Avem imediat (B ),A C iar din teorema

sinusurilorsin sin sin

a b c

A B C se obţin celelalte laturi

sin sin,

sin sin

a C a Bc b

A A

. Dacă am aflat

o latură prin teorema sinusurilor, atunci pe cealaltă o putem determina prin teorema cosinusului.

Exemplu. Să se rezolve triunghiul ABC în care B = , , 106 4

C a

.

Rezolvare. Se determină unghiul 5 7

(B )12 12

A C

. Din formulele de mai sus avem

sin 5 2 5 2 10 2 sin 10. log

7sin sin2 3 2 3sin cos12 12

a C a Bc Ana b

A A

.

1 cos2 36cos

12 2 2

.

Cazul 3. (L.L.L.) Cunoaştem toate laturile triunghiului. Din formulele 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ,cosB ,cosC2 2 2

b c a a c b a b cA

bc ac ab

, sau se determină din aceste

formule două unghiuri, iar cel de al treilea din relaţia A B C .

Exemplu. Să se rezolve triunghiul ABC în care 3 2 6 2

,b , .2 2 4

a c

Rezolvare. După efrectuarea calculelor se obţine

13

cosA= 1 2 5

,cos . .2 3 2 4 12

A B B C A B

1. Rezolvaţi triunghiul oarecare ABC în cazurile:

a) a=12 cm, B=4

, C=

12

5

b) a=2 cm, b= 2 cm, c= 31 .

c) a=16cm, B=12

5, A=

4

Formule pentru aria triunghiului

Aria unui triunghi este egala cu jumatate din produsul unei

laturi a triunghiului cu înaltimea corespunzatoare ei .

(formularea neacademica "baza ori înaltimea pe doi")

2 2 2

a b cABC

a h b h c hS A

A

ha

B D C

A

ha

D B C

Din triunghul dreptunghic ABD avem sin sin( ) sina aa

h hB sau B h c C

c c şi deci

sin

2

a c BS

şi analoagele obţinute prin permutări circulare

sinC sinA

2 2

b a c bS

.

14

Aşadar S=sinA sinB sinC

2 2 2

c b a c b aS

.

Aria unui triunghi este egală cu jumătatea produsului lungimilor a două laturi înmulţit cu

sinusul unghiului dintre ele.

Formula lui Heron. Pentru orice triunghi ABC aria S este dată de formula

p( )(p b)(p c),2

a b cS p a unde p

.

Să observăm că formula lui Heron permite calcularea ariei triunghiului numai în funcţie de

lungimile laturilor.

Formule pentru aria triunghiului

Denumirea Figura Aria

Triunghiul oarecare

Formula lui Heron

,

unde

Triunghi oarecare

Triunghiul dreptunghic

,

15

Triunghiul echilateral

,

APLICAŢII ale TRIGONOMETRIEI în GEOMETRIE-probleme propuse

1.Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB = 5, BC = 7 şi AC = 8. Să se calculeze A .

2.Fie triunghiul ABC cu vârfurile A(1, 2), B(2, -2) şi C(4, 6). Să se calculeze cos B.

3.Să se afle aria unui paralelogram ABCD cu AB = 6, AD = 8 şi 135m ADC

.

4.Să se afle aria unui triunghi ABC dacă AB = 8, AC = 9 şi 30A .

5. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că BC = 8 şi

5

3cos A .

6.Triunghiul ABC are 4

,6

CB . Să se demonstreze că 2

AC

AB.

7.Fie ABC un triunghi cu 1sin,2

1sin BA şi BC = 4. Să se calculeze aria triunghiului

ABC.

8.Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are

catetele de 5 şi 12.

9. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuțitunghic ABC știind că AB = 6,

AC = 10 și aria triunghiului ABC este 315 .

10.Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, dacă

6,6

,4

ABBA

.

11. Triunghiul ABC are AB = 4, AC = 6, BC = 5. Să se arate că B = 2C.

12. Triunghiul ascuțitunghic ABC are 32AC și lungimea razei cercului circumscris

egală cu 2. Să se calculeze B .

13. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC știind că BC = 3 și

2

1cos A .

16

14. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(1, 2) și B(3, 1). Să se

determine măsura în radiani a unghiului AOB

.

15. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC știind că AB = 6, 6

,4

CB .