aplica_iialetrigonometriei_ngeometriatriunghiului

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...

APLICAŢII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIA TRIUNGHIULUI

1.1 Funcţii trigonometrice ale unghiului ascuţit

1.1.1Definiţii Fie un unghi ascuţit şi coborând dintr-un punct B al unei laturi o perpendiculară BA pe cealaltă latură , se formează un triunghi dreptunghic ABC . Laturile sale se notează astfel : AB=c , AC=b , BC=a

Fig. 1.1

Se ştie că raportul dintre două laturi oarecare ale triunghiului nu depinde decât de mărimea unghiului , oriunde s-ar deplasa punctul B pe latura BC .Astfel se pot forma 6 rapoarte :

dependente numai de mărimea unghiului .

Aceste şase rapoarte definesc şase funcţii trigonometrice :

1. Raportul dintre cateta opusă unghiului şi ipotenuza a se numeşte

sinusul unghiului şi se scrie : = sin

2. Raportul dintre cateta alăturată unghiului şi ipotenuza a se numeşte

cosinusul unghiului şi se scrie : = cos

3. Raportul dintre cateta opusă unghiului şi cateta alăturată acestui

unghi se numeşte tangenta unghiului şi se scrie : = tg

4. Raportul dintre cateta alăturată unghiului şi cateta opusa acestui

unghi se numeşte cotangenta unghiului şi se scrie : = ctg

5. Raportul dintre ipotenuza a şi cateta alăturată unghiului se numeşte

secanta unghiului şi se scrie : = sec

CA

B

b

ac


6. Raportul dintre ipotenuza a şi cateta opusă unghiului se numeşte

cosecanta unghiului şi se scrie : = cosec

Observaţii Dacă se aplică definiţiile de mai sus unghiului B= 900 - se obţin succesiv relaţiile

Aceste relaţii pot fi cuprinse în următoarea teoremă :Dacă două unghiuri sunt complementare , atunci sinusul , tangenta şi secanta unuia sunt respectiv egale cu cosinusul , cotangenta şi cosecanta celuilalt , şi reciproc .

1.1.2 Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui unghi în triunghiul dreptunghic

Aplicând teorema lui Pitagora se obţin următoarele :

1.1.3 Exprimarea funcţiilor trigonometrice în funcţie de tg . Se notează tg = t .


1.1.4 Valoarea funcţiilor trigonometrice ale unghiurilor de 300 , 450 , 600 .

Fie un triunghi echilateral de latură 2a. Se construieşte înălţimea din A , care este şi bisectoare a lui A . Se formează triunghiul dreptunghic ADC .

Fig. 1.2

CD=a , AC=2a , Aplicând definiţiile anterioare pentru unghiul se găsesc următoarele valori :

Fie un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele AB şi AC de lungime a , BC =. Aplicând definiţiile funcţiilor trigonometrice pentru unghiul B se obţine :

A

B D C


1.2 Relaţii între elementele unui triunghi oarecare

1.2.1 Mărimea unei coarde

Lungimea unei coarde dintr-un cerc este egală cu produsul dintre lungimea diametrului cercului şi sinusul jumătăţii oricărui dintre cele două arce care au extremităţi comune cu coarda .

Demonstraţie Se consideră coarda AB într-un cerc de rază R şi măsura arcului , arcul mic cu extremităţile în Aşi B . Ducând diametrul AOC , se formează triunghiul dreptunghic ABC , al cărui unghi ascuţit C are ca măsură jumătatea arcului

.

AB=AC sinC=

Deci : .

1.2.2 Teorema sinusurilor

În orice triunghi ABC , laturile sunt proporţionale cu sinusurile unghiurilor opuse , iar raportul constant dintre o latură şi sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului .

Demonstraţie

Cazul I - Triunghiul ABC este ascuţitunghic

A

B

C

D

O

B

C

A

DO


Fig. 1.3a Fig. 1.3b

Fie diametrul BD . Triunghiul BCD este dreptunghic în C , (unghiuri cu vârful pe cerc ale căror laturi subintind acelaşi arc)

analog ,

Cazul II - Triunghiul ABC este dreptunghic în A

Atunci trebuie arătat că sau , , care sunt

rapoarte trigonometrice corespunzătoare sinusurilor unghiurilor ascuţite B şi C . În acest caz ipotenuza a este egală cu diametrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Cazul III - Triunghiul ABC este obtuzunghic în A

Şi în acest caz se consideră BD diametrul cercului . Patrulaterul ABDC este inscriptibil , deci A+D=1800 .

În triunghiul dreptunghic BCD sau .

Pentru unghiurile ascuţite B şi C se aplică demonstraţia de la cazul I.

1.2.3 Teorema cosinusului

În orice triunghi , pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi , minus de două ori produsul lor înmulţit cu cosinusul unghiului dintre ele .

Fig. 1.4

Demonstraţie

Fie D piciorul perpendicularei dusă din A pe BC .Dacă D este între B şi C se obţine : a=BC=BD+DC= , iar atunci când piciorul perpendicularei cade pe prelungirea laturii BC rezultă că:

A

CB

D

cb

a


(1)

Analog se obţin relaţiile (2) (3)

Inmulţind membru cu membru egalităţile (1)(2)(3) respectiv cu a,- b, -c şi apoi adunându-le se obţine :

Adică

1.2.4 Teorema tangentelor

Raportul dintre diferenţa şi suma a două laturi ale unui triunghi oarecare este egal cu raportul dintre tangenta semidiferenţei unghiurilor opuse celor două laturi şi tangenta semisumei aceloraşi unghiuri

Demonstraţie Din teorema sinusurilor se ştie că: a=2R sin A şi b=2R sin B.

Observaţie

Formula obţinută se foloseşte în rezolvarea triunghiurilor înlocuind

, după care formula devine :

Prin permutări circulare , se deduce că :

1.2.5 Exprimarea unghiurilor unui triunghi oarecare în funcţie de laturi

Formulele stabilite permit calculul unghiurilor unui triunghi oarecare în funcţie de laturi . Astfel , din teorema cosinusului se deduce că :

, ,


1.2.6 Funcţiile trigonometrice ale unghiului pe jumătate

În orice triunghi ABC există relaţiile :

Demonstraţie

folosind notaţia

:

În mod analog se obţin :

1.2.7 Lungimea înălţimii

Un triunghi are trei înălţimi notate , de obicei cu ha , hb , hc lungimile lor putând fi exprimate în funcţie de lungimile laturilor astfel :


Demonstraţie

Din , , rezultă

1.2.8 Lungimea bisectoarei

1.2.8.1 Lungimea bisectoarei interioare

În orice triunghi ABC există relaţia

,

unde este lungimea bisectoarei unghiului A

Demonstraţie

Fie AD bisectoarea unghiului A .Din teorema bisectoarei rezultă : sau

iar

Teorema sinusurilor aplicată în triunghiul ABD :

.

Dar

Analog , prin permutări circulare se

obţin :

,

1.2.8.2 Lungimea bisectoarei exterioare



unde este lungimea bisectoarei exterioare din A .

Demonstraţie

Fig. 1.5

În triunghiul ACA’ aplicând teorema cosinusului , se obţine :

sau .

Dar de unde , deci

însă

Rezultă :

1.2.9 Lungimea medianei


unde este lungimea medianei din A .

Demonstraţie

A

B CA’ A”

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Fie AA’ mediana din vîrful A al triunghiului ABC . Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile ABA’ , ABC se obţine :

, , egalând cele două exprimări se deduce

, şi prin permutări circulare se găsesc :

,

1.2.10 Aria triunghiului

Se utilizează următoarele notaţii :S pentru aria triunghiului ABC , ha , hb , hc

pentru lungimile înălţimilor duse din A,B respectiv C .Se cunoaşte că aria S are exprimările

Teoremă 1.2.10.1Aria unui triunghi este egală cu jumătatea produsului a două laturi înmulţit cu sinusul unghiului dintre ele

Demonstraţie

Fig. 1.6 a Fig. 1.6 b

Cum din triunghiul ABD , sau

Şi analoagele se obţin prin permutări circulare:

B D C A’ B C

AA


.

Observaţie : cu ajutorul acestei formule se exprimă aria unui triunghi în funcţie de două laturi şi unghiul cuprins între ele .

1.2.10.2 Teoremă (formula lui Heron )

În orice triunghi ABC aria S este egală cu

unde

Demonstraţie

Observaţie : formula lui Heron permite calcularea ariei unui triunghi numai în funcţie de lungimile laturilor sale .

1.2.10.3 Teoremă Aria unui triunghi ABC se poate exprima astfel :

Demonstraţie

Observaţie : cu ajutorul acestei formule se exprimă aria unui triunghi în funcţie de o latură şi unghiurile alăturate .

1.2.11 Razele cercurilor : circumscris , înscris , exânscris

1.2.11.1 Raza cercului înscris intr-un triunghi oarecare.

Centrul I al cercului înscris într-un triunghi ABC este situat la intersecţia bisectoarelor interioare

Fig. 1.7


Ducând perpendicularele ID, IE, IF pe laturi,ele determină segmentele BD,DD,CE,EA,AF,FB,egale două câte două ca tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc (AE=AF; BF=BD; CD=CE)Rezultă ca suma a trei din segmentele neegale este egala cu semiperimetrul p al triunghiului.

Aşadar , BD+DC+AE = p ,dar cum :BD+DC=a, rezultă că :AE=AF=p – a.

La fel se obţine : BD = BF = p – b şi CD = CE = p – c

Din triunghiul dreptunghic IAE, în care avem IAE = şi AE = p - a, se deduce

că raza r a cercului înscris, care este reprezentată de cateta IE, este dată de relaţia:

IE=AE tg sau r = (p - b)tg

La fel avem: r = (p -b)tg = ( p - c)tg

Inlocuind în expresia razei cercului înscris pe tg în funcţie de laturi,se obţine:

r=(p-a)tg =(p - a) (p-a)

sau:

expresie simplă, care dă raza cercului înscris în funcţie de aria S şi semiperimetrul p.Dacă se aplică prima formulă la calcularea razei cercului înscris într-un triunghi cu ipotenuza a şi catetele b şi c se obţine :

1.2.11.2 Razele cercurilor exînscrise unui triunghi oarecare.

Centrul Ia al cercului exinscris tangent laturii a este situat la intersecţia bisectoarelor exterioare ale vârfurilor B şi C şi pe bisectoarea interioară a vârfului A . Ducând perpendicularele IaD, IaE, IaF pe laturi, ele determină segmente AE, AF, BD, BF, CD, CE, egale două câte două ca tangente exterioare duse din acelaşi punct la un cerc:

AE = AF ; BD = BF ; CD = CE Rezultă că cele două tangente egale AF şi AE formează împreună perimetrul triunghiului şi deci:


AF = AE = p,

iar: BD = BF = AF – AB = p – c

şi: CD = CE = AE – AC = p – b.

În triunghiul dreptunghic IaAE, unghi ascuţit A valorează , iar cateta AE este

egală cu p. Rezultă deci că raza ra a cercului exînscris laturii a, care este reprezentată de către IaE, este dată de relaţia:

I E = AE tg ;

sau:

r = ptg Fig.

1.8 Dacă se consideră triunghiul dreptunghic I CE, în

care unghiul ascuţit I CE este de = 90° -

şicateta CE este p-b, atunci :

I E = CE tg sau: r = (p-b) ctg

La fel dacă se consideră triunghiul dreptunghic IaFB, se găseşte :

Procedând în acelaşi mod cu celelalte cercuri exinscrise laturilor b şi c, ale caror raze se notează respectiv cu rb şi rc, se obţine :

Dacă se înlocuieşte în formula ra=p tg expresia lui tg în funcţie de laturi,

se obţine:

sau:

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...o formulă simplă, care dă raza cercului exînscris laturii a în funcţie de aria S şi segmentul p – a.

1.2.11.3. Relaţii între razele cercurilor circumscrise, înscrise şi exânscrise.

Între razele acestor cercuri ale unui triunghi oarecare există anumite relaţii. Astfel, suma inverselor razelor cercurilor exînscrise este egală cu inversul razei cercului înscris. Într-adevăr :

De asemenea, se demonstrează că diferenţa între suma razelor cercurilor exînscrise şi raza cercului înscris este egală cu de patru ori raza cercului circumscris.

şi:

de unde rezultă:

sau: ceea ce trebuie

dovedit.

1.2.12 Probleme rezolvate

Problema 1 Să se demonstreze că într-un triunghi oarecare există relaţiile

a) bcosC+ccosB=a

b)

c)

d)

e)


f)

g)

h) .i) .j) .k) .l) .

m) .

Rezolvare

a) Folosind teorema sinusurilor se obţine b=2RsinB , c=2RsinC , a=2RsinA. Relaţia a) devine 2RsinBcosC+2RsinCcosB=2RsinA sin(B+C)=sinA , egalitate adevarată deoarece B+C=1800-A

b)

c)Din teorema sinusurilor se obţine : .Folosind

teorema cosinusului rezultă

d)

e)

f)


g)

h) Din formula lui Heron rezultă dar şi deci:

.Obţinem: şi utilizând identitatea precedentă, deducem:

.

i) şi înlocuind în h)

.j) Din identitatea: deducem, ţinând seama de identităţile demonstrate anterior că:

.k) avem:

.

l)

. Prin urmare, .

m) Avem:

şi deci .

Problema 2 Să se demonstreze că între elementele unui triunghi dreptunghic există relaţia :

Rezolvare

Problema 3


Să se arate că triunghiul ABC în care este dreptunghic.

Rezolvare

Înlocuind laturile din teorema sinusurilor , egalitatea din ipoteză devine :

Dar

.Cum egalitatea devine , prin

simplificare , adică triunghiul este

dreptunghic în A.Problema 4Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC , să se arate că :

Rezolvare

În triunghiul AIB

Dar în triunghiul ABC , aplicând teorema sinusului rezultă

Deci

Problema 5

Câte triunghiuri distincte sub aspect metric există astfel încât a=15 , c=13 , S=24 ?

Rezolvare

Cum această ecuaţie are două soluţii în

intervalul (0,1800 ) , vor exista două triunghiuri având caracteristicile din ipoteză , dintre care unul cu unghiul B ascuţit , iar altul cu unghiul B obtuz .

Problema 6

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Dintre toate triunghiurile echivalente (de arie constantă), cel de perimetru minim este triunghiul echilateral.

Rezolvare:Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului cu a+b+c=2p şi

constantăDin inegalitatea mg ≤ ma pentru p-a, p-b, p-c, obţinem

(p-a)(p-b)(p-c) ≤ (1)

egalitatea având loc pentru p-a = p-b = p-c, adică pentru a=b=c.

Când a = b = c avem , de unde

În (1) înmulţim cu p şi obţinem , de unde p4 ³ 27S2 , deci P4 ³ 16∙27S2.

În final, şi este realizat pentru ,

ceea ce înseamnă că triunghiul este echilateral.

Problema 7

Se consideră triunghiul ABC având două laturi de lungime constantă, de

exemplu AC = b şi AB =c.

Să se arate că . Când este aria maximă?

Rezolvare: Fig. 1.9

(deoarece

)

Din inegalitatea mediilor avem , deci

Egalitatea are loc pentru b = c şi m (A) = 900,

deci pentru triunghi dreptunghic isoscel.

Problema 8Dintre toate triunghiurile având baza şi perimetrul date, triunghiul isoscel are aria maximă.

Rezolvare

Fie BC = a (constant)AB = x, AC = y a+x+y = 2p = constant Þ S =Cum p(p-a) este constant, S este maximă când

este maxim.

A

c b

B C

A

x

a

y

B C

a

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Din inegalitatea mediilor pentru (p-x), (p-y) avem

,

cu egalitate pentru p – x = p − y, deci ,

ceea ce înseamnă că triunghiul este isoscel. Fig. 1.10

1.2.13 Probleme propuse

1. Să se demonstreze că într-un triunghi oarecare există relaţiile :

a)

b)

c) d)

e) f)

g)

h)

i)

j)

k) .

l) .

m) .

n) .

2. Să se demonstreze că între elementele unui triunghi dreptunghic există relaţiile :

a)

b)

c)


d)

e)

f)

g) 3. Să se arate că triunghiul în care tgBtgC=1 este dreptunghic.4. Să se arate că triunghiul în care este dreptunghic

5. Să se arate că triunghiul în care este dreptunghic6. Să se arate că triunghiul în care există relaţia este isoscel.7. Să se arate că triunghiul în care există relaţia este isoscel.

8. Să se arate că triunghiul în care există relaţia este isoscel.

9.Laturile unui triunghi oarecare verifică relaţia : . Să se arate că : a) unghiul A este mai mic de 600 b) există relaţia cos2A+cos+Acos(B-C)=0

10.Fie triunghiul isoscel ABC . Mediatoarea laturii AC intersectează dreapta BC în P . Să se arate că R=PC ctgB, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC

1.3 Rezolvarea triunghiului oarecare

1.3.1 Cazuri clasice de rezolvare a triunghiului oarecare

Se ştie din geometrie că în general, un triunghi este bine determinat când i se dau trei elemente distincte. Dintre cele trei unghiuri numai două sunt distincte, pentru că între ele avem relaţia A+B+C=180°, care determină măsura unui unghi în funcţie de măsura celorlalte două. De aici rezultă că se pot da cel mult două unghiuri printre datele necesare rezolvării unui triunghi.

A rezolva un triunghi înseamnă a găsi măsurile celorlalte elemente când se dau trei elemente distincte ale triunghiului. Relaţiile trigonometrice stabilite între laturile şi unghiurile unui triunghi dau posibilitatea de a face aceste rezolvări prin calcul.

În cele ce urmează, se consideră patru cazuri de rezolvare, care sunt fundamentale în sensul că servesc şi în multe alte cazuri de rezolvare.

Cazul I. Rezolvarea unui triunghi când se dau o latură şi două unghiuri alăturate.

Rezolvare: Fiind date a, B, C, elementele de aflat sunt A, b, c şi aria S. Unghiul A se obţine din A+B+C=180°. A=180° - (B+C)

Laturile b şi c se deduc din teorema sinusurilor :


de unde rezultă :

Aria este dată de formula :

Cazul II Rezolvarea unui triunghi când se cunosc două laturi şi unghiul cuprins între ele.

Rezolvare : Fiind date b, c, A, avem de aflat B, C, a, S. Pentru a găsi unghiurile B, C avem nevoie de două ecuaţii.

Ele sunt :

O dată B, C aflate, latura a se găseşte din teorema sinusurilor:

Aria S este dată de:

S=

Cazul III Rezolvarea unui triunghi când se dau două laturi şi unghiul opus uneia din ele.

Rezolvare. Fiind date a, b, A, se cer calculate B, C, c,şi S.

Aplicând teorema sinusurilor, = , de unde rezultă :

sin B =

Pentru ca problema să fie posibilă, este necesar ca sin B 1 ; prin urmare : a b sin A.

Pentru a < b sinA problema nu admite soluţie, iar pentru a = b sin A se obţine sin B=1 şi deci B= 90°, adică o singură soluţie. În acest caz, C = 90° - A Când a > b sinA, atunci corespund pentru B două soluţii : B < 90° şi B =180° -B > 90°.

Cunoscând soluţiile pentru unghiul B, se poate afla şi unghiul C. Astfel,când luăm pentru B soluţia B ,unghiurile triunghiului vor fi :

A=


a) A, B şi C 1 =180° - A - B , iar în cazul când luăm pentru B soluţia B =180°- B,atunci unghiurile triunghiului vor fi :

b) A, B şi C = 180° - A – (180°- B )= B - A. Pentru ca soluţiile C şi C să fie acceptabile,este necesar ca ele să fie cuprinse între 0° şi 180°. Examinarea soluţiei C ne arată că ea este acceptabilă dacă A <B1<90° şi inacceptabilă dacă A>B1

Se vor examina soluţiile în cazurile când A <90°, A= 90° sau A > 90° :

1) Dacă A < 90° , atunci A + B <180°, astfel că soluţia C este acceptabilă ; pentru ca şi soluţia C să fie acceptabilă , este necesar să avem A < B sau sin A< sau B (pentru ca ambele unghiuri A şi B sunt ascuţite) , insă sin B =

, deci sin A< sau a < b .

Se vede deci că , în acest caz( a< 90°), soluţia C nu este acceptabilă , dacă a . În această situaţie, numai C este acceptabilă.

2) A=90°, atunci C nu este acceptabilă , iar C = 180°-A -B =90° - B e acceptabilă , dacă a > b sin A , adică a > b.dacă a b, nu există soluţie.

3)A>90° , atunci soluţia C este evident inacceptabilă , pentru că C = B -A<0 . Soluţia C = 180°-A -B este acceptată dacă C >0 sau 180°-A >B . Deoarece 180°-A şi B sunt ambele unghiuri ascuţite rezultă că sin(180°-A)

>sinB sau sinA>sinB , adică sinA> , sau a>b .

Aşadar , în cazul A>900 există o singură soluţie , dacă a>b . În cazul când a b nu există soluţie.

Cazul IV Rezolvarea unui triunghi când se cunosc cele 3 laturi ale sale

Rezolvare : Se folosesc formulele care dau unghiurile în funcţie de laturi; una

dintre ele este tg = ; aceasta se transformă dându-i o formă mai

comodă pentru calculul unghiurilor.Se obţin succesiv:

tg =)(

))((

app

cpbp

= = .

Se poate deci scrie:

tg = ; analog : tg = ; şi: tg =

Cu aceste formule se vor calcula unghiurile, iar aria S se calculează cu formula :S=


1.3.2 Rezolvarea triunghiurilor dreptunghice

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a-i determina lungimile laturilor şi măsurile unghiurilor când se cunosc o parte dintre ele . Pentru determinarea elementelor necunoscute se utilizează funcţiile trigonometrice într-un triunghi dreptunghic precum şi teorema lui Pitagora .

Fie un triunghi dreptunghic ABC , cu unghiul A drept . Pe baza definiţiilor funcţiilor trigonometrice ale unui unghi ascutit avem :

Cazul I.U.Rezolvarea triunghiului dreptunghic când se cunosc ipotenuza a şi unghiul B . (cazul I.U.)Se obţine imediat, m(C)=900-m(B) , Cazul I.C.Rezolvarea triunghiului dreptunghic când se cunosc ipotenuza a şi a unei catete .

Din teorema lui Pitagora se obţine , ,

m(C)=900-m(B).Cazul C.U.Se cunosc lungimea unei catete (c) şi unghiul ascuţit adiacent ei B .

Atunci m(C)=900-m(B). şi

Cazul C.U.Se cunosc lungimea unei catete (c) şi unghiul ascuţit opus ei C .

Atunci m(B)=900-m(C) şi

Cazul C.C.Se dau lungimile catetelor b ,c .

Din teorema lui Pitagora , , m(C)=900-m(B).

1.3.3 Cazuri diverse de rezolvari de triunghiuri

1. Să se gasească elementele unui triunghi dreptunghic cunoscând ipotenuza a şi raza cercului înscris r .

Rezolvare

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Pentru a găsi unghiurile ascuţite B şi C ale triunghiului se formeaza un sistem de două ecuaţii :

, a doua folosind relaţia , inlocuind şi se

obţine sau: sin B + sin C = 1+ .

Transformând suma de sinusuri în produs,rezultă:

2sin cos = , de unde : 2 sin cos = sau: cos

= .

În cazul când a+2r a sau r , se obţine: = arccos , care

împreună cu B+C = 90 , ne dau unghiurile B şi C , prin urmare se pot calcula b şi c .

2 . Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscând perimetrul 2p şi unghiurile A, B, C. Rezolvare

Vom urmări aflarea laturilor a, b, c în funcţie de elementele date.Se folosesc în acest scop relaţiile dintre laturi şi sinusurile unghiurilor opuse:

unde s-a aplicat o proprietate a şirului de rapoarte egale.

Tinând seama că sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos şi că sin A=2 sin

cos , se obţine : a=

3. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscând unghiul A , ma bisectoarea la din A .

RezolvareSe utilizează relaţiile cunoscute :

; ;

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Se va rezolva sistemul format din cele 3 ecuatii de mai sus , cu necunoscutele a,b,c

Se introduc notaţiile :

Scăzând ecuaţia a treia din a doua rezultă

Se introduce în prima relaţie din aceste trei ecuaţii valoarea lui x găsită , şi după simplificări se obţine o ecuaţie în y :

, din care , apoi

se obţine valoarea lui x înlocuind în prima ecuaţie din sistem :

Cunoscând suma x şi produsul y al laturilor b şi c , acestea vor fi rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea

Rădăcinile sunt reale dacă sau

din care

se deduce făcând dezvoltările şi reducerile posibile că .

Se vede apoi că b şi c sunt pozitive , căci .

Din ecuaţia

, cum z2 este pozitiv trebuie ca

sau , sau deoarece x e pozitiv


Înlocuind pe x cu valoarea sa , rezultă

, din care rezultă care

este

îndeplinită dacă are loc şi relaţia stabilită mai înainte

4. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscând unghiul A , latura a şi suma celorlalte două laturi b +c=k .

RezolvareDin teorema sinusurilor de deduce :

, din primul şi ultimul raport

rezultă :

din care se găseşte valoarea diferenţei B – C . Cunoscând şi suma B+C=1800-A se găsesc unghiurile B şi C , astfel problema devine de tip elementar (o latură şi 2 unghiuri ).

5. Să se rezolve un triunghi cunoscându-i cele trei înălţimi .

Rezolvare

Fie înălţimile date , din care

aplicând teorema şirului de rapoarte egale ,

se deduce pe rând :


Notând cu numitorii rapoartelor acestor egalităţi rezultă :

Înmulţindu-le membru cu membru şi simplificând , se deduce că

, deci

Prin scădere se obţine :

Pentru calcului unghiurilor se poate utiliza teorema cosinusului : ,

şi încă două expresii analoage pentru cos B şi

cos C .

6. Să se rezolve un triunghi cunoscându-i cele trei mediane .

Rezolvare

Din relaţiile , , se deduce ,

prin adunare


7. Să se rezolve un triunghi cunoscându-i razele cercurilor exinscrise .

Rezolvare

şi analoagele se deduce

,

Din aceste relaţii se găsesc lungimile laturilor , scăzându-le pe rând din relaţia

se obţin

În ceea ce priveşte unghiurile , se pot calcula simplu .Din expresiile

şi se obţine

, insă

Rezultă .

8. Să se rezolve un triunghi cunoscând o latură şi razele cercurilor înscris şi circumscris .

Rezolvare

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Fie a,r,R elementele date . Din relaţia rezultă imediat unghiul A . Apoi

din se deduce

Care dă diferenţa C ; cunoscând şi suma B+C=1800-A se deduc unghiurile B şi C ; cunoscând o latură şi unghiurile triunghiul se poate rezolva .

1.3.4 Probleme propuse

1. Să se rezolve triunghiul dreptunghic ABC cunoscând ipotenuza a=7 şi înalţimea dusă din vârful A egală cu 3 .

2. Să se rezolve triunghiul dreptunghic ABC cunoscând ipotenuza a=8 şi suma catetelor egală cu 15

3.Să se rezolve triunghiul dreptunghic ABC cunoscând ipotenuza a=12 şi diferenţa catetelor egală cu 7 .

4. Să se rezolve triunghiul dreptunghic ABC cunoscând ipotenuza a şi stiind că între unghiuri există relaţia sin B=2sinC

5. Să se rezolve triunghiul dreptunghic ABC cunoscând aria S şi un unghiul ascutit B .

6. Să se calculeze raportul medianelor unui triunghi dreptunghic duse din unghiurile ascuţite , ştiind că B=300 .

7. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscându-se un unghi , şi înălţimile celorlalte două vârfuri ale triunghiului .

8. Să se rezolve un triunghi oarecare dacă se cunosc un unghi , latura opusă , şi mediana corespunzătoare unghiului dat .

9. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscându-se o latură , şi medianele care pleacă din extremităţile sale .

10. Să se rezolve un triunghi cunoscând două unghiuri şi o mediană .

11. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscându-i unghiurile şi aria .

12. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscând două laturi şi aria .

13. Să se rezolve un triunghi oarecare cunoscând două laturi şi raza cercului înscris .

1.4. Teoreme de geometrie demonstrate trigonometric

1.4.1 Teorema înălţimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii din vârful unghiului drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenuză.


Demonstraţie :Fie . Se construieşte AD BCAplicând teorema sinusurilor obţinem:

ABD Fig.

1.11

Prin împărţirea acestor două egalităţi membru cu membru avem:

(1)

(unghiuri cu laturile perpendiculare) (unghiuri cu laturile perpendiculare)

Astfel relaţia (1) devine: (teorema inălţimii)

1.4.2 Teorema catetei Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei şi a lungimii proiecţiei ei pe ipotenuză.

Demonstraţie :

Aplicând teorema sinusurilor obţinem: Fig. 1.12

Împărţind aceste două egalităţi membru cu membru obţinem:

(1)

(2) (unghiuri cu laturile perpendiculare) (3)

Din relaţiile (1); (2) şi (3) (teoreme catetei)

Analog se demonstrează că: 1.4.3 Relaţia lui Stewart

Dacă M este un punct pe latura AC a triunghiului ABC , atunci are loc relaţia :

Demonstraţie

21

C

D

A B

1

1

C

D

A B

1

21

CAM

B


Fig. 1.13

Aplicând teorema sinusurilor in triunghiurile ABC , ABM şi CBM se obţine :

(1)

(2)

(3)

Din relaţia (1) se obţine :

Din relaţiile(2) şi (3) ; ;

Conform teoremei cosinusului :

Înlocuind în relaţia (4) se obţine :

Înlocuind AM+MC cu AC se obţine:

Observaţie

Dacă rezultă :


(Teorema medianei)

1.4.4 Teorema bisectoarei

Intr-un triunghi, bisectoarea interioară determină pe latura opusă segmente proporţionale cu laturile unghiului.

Demonstraţie

Fie şi un punct M , Fig. 1.14astfel incât

Aplicând teorema sinusurilor obţinem:

Împărţind aceste egalităţi membru cu membru avem:

(1)

Din (2)

Din relaţiile (1) şi (2) (teorema bisectoarei)

1.4.5 Identitatea lui Euler

Într-un triunghi ABC are loc relaţia

unde O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , I centrul cercului înscris .

Demonstraţia 1 Fig. 1.15

1

2

MC

1

A

B


Se consideră punctele I şi O ca fiind centrul înscris şi centrul cercului circumscris triunghiului ABC, de asemenea, fie U proiectia lui I pe latura [BC] şi V, mijlocul laturii [BC], iar T, proiectia lui I pe latura [OV], daca OV > IU, ducem T, proiectia lui O pe latura [IU]. În triunghiul dreptunghic TOI, intrebuintând teorema lui Pitagora, se deduce egalitatea OI2=OT2+IT2, dar

IU=r,

prin urmare

Aşadar

=

Observaţii

a) Daca OT=0, adică atunci OI || BC.

b) În aceasta demonstraţie s-a stabilit o egalitate interesantă,

(1)

care furnizează o întărire a inegalitatii lui Euler, astfel : R – 2r R(sinB – sinC) (2) Sau R – 2r R(cosB + cosC – 1)

c) Dacă se aplică aceeaşi metodă pentru laturile [AC][ şi [AB], relaţia (1) se scrie astfel:

A U V C

OT

I

A


R - 2 Rr =(RcosB – r) +

R - 2Rr =(RcosC – r) + ,

Iar inegalitatea (2) devine:

R – 2r R sinC) , (sinC – sinA) , (sinA – sinB) Sau

R – 2r R max{(cosB + cosC – 1) , (cosC + cosA – 1) , (cosA + cosB – 1) }.

d) Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, m =90 , atunci din relaţia (1) rezultă

R - 2Rr = r + , prin urmare R -2Rr - r 2 0, adică R (1+ )r.

Demonstraţia 2

Fig. 1.16

Se observă uşor ca triunghiul BIT este isoscel, deoarece

rezultă că IT=BT, dar şi din puterea

punctului I faţă de cercul circumscris trinunghiului ABC, deducem ca adică

deci

Observaţie O consecinţă importantă a relatiei lui Euler este inegalitatea lui Euler

deoarece 1.4.6 Teorema lui Menelaus Fie un triunghi ABC . Dacă o dreaptă care nu trece prin vârfurile A,B,C taie dreptele BC,CA,AB în punctele M,N,P , atunci are loc relaţia

T

C

Q

U

A

B

I

O

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...Demonstraţie

Fig. 1.17

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiurile MBP, MCN, NAP rezultă

, , , asadar

1.4.7 Lemă

Într-un triunghi ABC se consideră un punct T , atunci

, unde

Demonstraţie

Fig. 1.18

Prin aplicarea teoremei sinusului în triunghiurile ABT şi ATC se deduc relaţiile

şi Deoarece , rezultă

Observaţie

1. Dacă AT este bisectoare , atunci , deci , adică

teorema bisectoarei

N

P

x

M B C

A

zy

B T C

A


2. Dacă AT este înălţime , atunci atunci

sau , deci

3. Daca AT este mediană , atunci , adică

Deci , asadar , ceea ce înseamnă

.

Dacă atunci rezultă că

1.4.8 Teorema lui Ceva – forma trigonometrică

Fie triunghiul ABC şi cevienele AA1 , BB1 , CC1 ,concurente în M cu . Se notează ,

atunci

Demonstraţie

Din teorema sinusurilor în triunghiul AMB rezultă :

Prin înmulţirea lor se obţine :

1.4.9 Teorema lui Steiner

Într-un triunghi ABC , izogonalele AE şi AF , unde , determină relaţia :

Demonstraţie

Fig. 1.19

Fie şi

B E F C

A


Utilizând formula ariei triunghiului ABC : rezultă

iar

deci prin înmulţirea celor două relaţii , se obţine

Observaţie teorema se poate demonstra uşor utilizând lema anterioară aplicată de două ori pentru punctele din triunghiul ABC .

1.4.10 LemăDaca I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC atunci are loc relaţia

bc Demonstraţie

Cum I este centrul cercului înscris în triunghi, are loc relaţia AI=

Utilizând câteva relaţii intermediare , avem

deoarece r

1.4.11 Lemă

Daca M este un punct care se află pe bisectoarea AD , D atunci are loc egalitatea

Demonstraţie Aceasta se poate privi ca o generalizare a lemei 1.4.10Fie cazul M .Analizând relaţia cerută, se observă că apar pătratele unor lungimi de laturi, ceea ce ne sugereaza aplicarea teoremei cosinusului într-un anumit triunghi. Prin urmare, aplicam teorema cosinusului în triunghiul ABM şi în triunghiul AMC , astfel :

Înmulţim prima relaţie cu b, iar cea de –a doua cu c şi se obţine , prin însumare, egalitatea


adică

Se observă că MA=AI-MI, prin urmare

Apariţia expresiei (a+b+c) induce utilizarea lemei 2.4.10

Pentru ca egalitatea să fie adevărată, ar trebui ca

utilizând rezultatele anterioare se obţine

Prin înlocuire, se deduce egalitatea din enunt.Cazul se tratează în mod asemenator.

Daca atunci relaţia din enunţ devine Demonstraţia acestei relaţii utilizeaza lema 1.4.10. pentru fiecare dintre distantele IA, IB, IC.

1.4.12 TeoremăDaca M se afla pe cercul înscris în triunghiul ABC,atunci are loc egalitatea

DemonstraţieAplicând teorema 1.4.10 şi MI = r, rezulta egalitatea din enunt.

1.4.13 Teorema Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Atunci are loc relaţia:

HI =4R .Demonstraţie În egalitatea aMA , luăm MA=AH=2RcosA, MB=BH=2RcosB, MC=CH+2RcosC, iar dacă triunghiul este obtuzunghic în A, atunci AH=2RcosA şi, prin ridicare la patrat, se obtine acelaşi lucru, deci AH =4R A=4R (1-sin A)=4R -a , BH =4R -b , CH =4R -cşi se obţine:a (4R -a )+b (4R -b 2 )+c (4R -c )-abc=(a+b+c) MI 4R (a+b+c)-(a +b )-

abc =(a+b+c) 4R - .

Se stie că aDeci 4R ,

GRETA MARINESCU MAT PT.CLS 9-10- RECAP BAC 12 B 2013-2014-2015-2016...rezultă HI =4R +4Rr+3r -p .2.4.14 Teorema Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC atunci are loc relaţia

GI =

Demonstraţie În egalitatea a (a+b+c)MI +abc, luăm M şi devine

a

unde m , m şi m sunt medianele triunghiului, aceea implică aplicarea teoremei medianei pentru fiecare dintre medianele m ,m şi m . Asadar 4m ,4m , 4m a

2(aCum a şi a prin înlocuire se deduce.

GI = (p .

1.4.15 TeoremaDacă M este un punct în planul triunghiului ABC şi I este centrul cercului încris în triunghi, atunci are loc urmatoarele relaţiei: aDemonstraţie Fară a reduce generalitatea,se alege punctul M în interiorul triunghiului ABC şi fie D piciorul bisectoarei din A.

Fig. 1.20

Cazul M rezultă uşor din lema 1.4.10 şi din lema 1.4.11. Analizăm cazul în care M .Apare problema căutarii unor relaţii metrice cu pătratele unor lungimi de laturi. Prin urmare , se aplică teorema lui Stewart în triunghiurile AMD şi BMC astfel:

B D C

A

M

I


Din teorema bisectoarei în triunghiul ABD avem şi ,aplicând din nou

teorema bisectoarei în triunghiul ABC, rezultă

Înlocuim AI şi ID în relaţia (1) şi obţinem

împărţim cu şi se deduce egalitatea

Relaţia (2) se rescrie, astfel,

Din relaţiile (1) şi (2) prelucrate se obţine

aplica_iialetrigonometriei_ngeometriatriunghiului

Documents

Transcript of aplica_iialetrigonometriei_ngeometriatriunghiului