Ape Iron

7/21/2019 Ape Iron

1/164

De ce nu se poate bea o halb cu bereAi auzit, cumva, despre un cuvnt care se pronun apeiron?

Pn acum civa ani, eu nu auzisem i probabil c nici nu a fi

auzit de el, dac nu-mi scotea destinul n cale un individ din aceiacare umbl prin crciumi i, pentru a se nvrti de cte o bere, fac

tot felul de giumbulucuri. Respectivul prea a fi fost cndva

preocupat de misterele tiinei i ale filozofiei. Vorbea destul de

aerisit i arbora un zmbet oarecum superior, care prea a spune

c posesorul lui le tie pe toate. Pentru c efectiv m plic-tiseam

ateptndu-l pe amicul cu care mi ddusem ntlnire, am

acceptat s-l ascult pe btrnul circar. Ei bine, dac la nceput doar

m prefceam c sunt atent, la un moment dat am realizat c ceea

ce spune nu este chiar stupid. Nu mai tiu ce perorase pn

atunci, dar cnd am ciulit urechea, am auzit cam aa ceva: dac

apuci halba asta de bere, eu i spun c nu poi s bei din ea,pentru c nu ai cum s o duci la gur; nti de toate, ar trebui s

ajungi cu ea la jumtatea distanei dintre mas i gur, apoi, pn

s ajungi s o sorbi, braul tu ar trebui s ajung la jumtatea

distanei care a mai rmas, apoi iari la jumtate i tot aa; dar

jumtile astea sunt n numr infinit, aa c niciodat nu vei reui

ca buzele tale s ia contact cu licoarea preferat. Drept s vspun, toat povestea m-a pus puin pe gnduri, aa c, dup ce i-

am pltit omului o bere ca s verifice personal teoria pe care

tocmai mi-o prezentase, am renunat s-l mai atept pe amicul

1

7/21/2019 Ape Iron

2/164

care ntrziase nepermis de mult i m-am dus acas, unde m-am

afundat n lectura unor pagini despre infinit gsite pe Internet.

Apeiron i beia de 90 de zilePrimul lucru pe care l-am aflat a fost acela c discuiile despre

infinit au aprut nc din vremea vechilor greci. Chiar dac la

acea vreme nu se inventaser berriile, oamenii mergeau n nite

locuri numite agora, unde, printre multe alte subiecte

interesante, discutau despre nemrginire, pe care o numeau

apeiron. Pentru ei, inclusiv haosul primordial, cel din care a

aprut lumea, era apeiron. Nu tiu cum numeau ei prostia

nemrginit, dar m-am gndit c probabil cu acelai cuvnt. Ideea

asta mi-a venit cnd am aflat c Aristotel privea infinitul nu ca pe

ceva perfect, ci ca pe lipsa unei limite, ceea ce l determina s-i

atribuie un sens negativ.La vremea aceea, prietenii lui Platon, pitagoreicii, se ineau de

chefuri ntinse pe perioade incredibil de lungi, la curtea tiranului

Dyonisios cel Tnr. Plutarh vorbete chiar de o beie care durase

nouzeci de zile, timp n care nimeni nu avusese voie s rosteasc

vreun cuvnt serios. Probabil c pitagoreicii, care considerau c

totul n aceast lume este numr, se ndeletniceau cu numratulpaharelor sorbite de invitaii lui Dyonisos, dup care i raportau

lui Platon, care, n felul acesta, avea mereu motive de a critica

modul de via de la curte. n orice

7/21/2019 Ape Iron

3/164

caz, nici Platon i nici pitagoreicii nu lucrau cu infinitul, pe care l

asociau cu ceva ru, poate tocmai pentru c vreunul dintre ei se

va fi ntrebat ce s-ar ntmpla dac cineva s-ar apuca s bea un

numr infinit de cupe. Una peste alta, vechii greci triau ntr-o

lume finit, n care nu-i fceau prea multe griji.

Butoiul infinitPn la urm, ns, ideea de infinit li s-a impus btrnilor cheflii,

datorit ctorva observaii pe care nu le-au putut evita. n primul

rnd, ei i-au dat seama c viaa e scurt i c ar fi grozav ca ea s

nu se sfreasc niciodat. Ori pentru asta, ar fi fost nevoie de un

timp infinit. i atunci au neles c nimic nu poate opri timpul din

scurgerea lui. n al doilea rnd, gndindu-se probabil la cantitatea

de bere pe care ar putea-o bea dac ar avea la dispoziie un timp

infinit, ei i-au dat seama c este vorba despre un numr infinit decupe. Ori, punnd una lng alta aceste cupe, ele ar forma un ir

cu o lungime infinit. Aadar spaiul, ca i timpul, li s-au artat a

fi infinite. In sfrit, ei au descoperit c orice lucru poate fi

mprit n dou pri egale, dup care fiecare din jumti poate

fi i ea mprit n dou pri egale i aa mai departe, fr ca

acest proces s aib vreun sfrit. Cu siguran c fenomenul afost remarcat de vreun pitagoreic mahmur, care se uita cum berea

din butoi nti se njumtete, apoi jumtatea plin se

njumtete i ea i tot aa. Iar omul nostru, care nu mai avea ce

7/21/2019 Ape Iron

4/164

bea, i spunea c, orict s-ar njumti berea din butoi, tot

trebuie s se mai gseasc ceva pe fund, mcar c e vorba de o

simpl molecul cu care i-ar putea amgi setea.

nfrngerea lui Aristoteln perioadele n care nu se distrau pe la curile tiranilor locali,

pitagoreicii se ocupau i cu lucruri serioase, cum ar fi, spre

exemplu, aritmetica. Tot cercetnd proprietile numerelor, ei au

descoperit lucruri din cele mai stranii, cum ar fi acela c irul

numerelor prime nu are o margine (aici m-am dus din nou pe

Internet, care mi-a reamintit c numerele prime sunt cele care nu

se pot mpri la alte numere, cum ar fi 2, 3, 5, 7, 11, 13, .etc).

Chiar dac lui Aristotel nu prea i-a convenit, lumea greac a fost

obligat, n cele din urm, n faa attor dovezi, s accepte ideea

de infinit. Practic, cel mai important argument a fost acela corict de mare ar fi un numr, i se mai poate aduga o unitate,

obinndu-se un numr i mai mare. La asta, Aristotel a replicat

c acceptnd, spre exemplu, distane din ce n ce mai mari, se

poate ajunge ca limitele universului s fie depite. Moment n

care un pitagoreic suprat i-a replicat c nimeni nu a adus vreo

dovad c universul are limite.n cele din urm, Aristotel a acceptat nfrngerea, dar nu n

totalitate i a decretat c infinitul este imperfect i de necuprins cu

mintea omeneasc.

7/21/2019 Ape Iron

5/164

Euclid i valul de stofLa cteva zile dup ce am aflat toate astea, ca din ntmplare, am

trecut din nou pe la terasa cu pricina. Bineneles c btrnulcircar era acolo, explicnd unui client de ce nu va putea niciodat

s duc la gur phrelul cu rachiu pe care l comandase. Cnd

m-a zrit, i-a dat seama pe loc c am venit special pentru el i s-a

aezat imediat pe un scaun liber de la masa mea. I-am comandat o

bere i l-am ntrebat dac a auzit de Dyonisios cel Tnr.

Zmbetul i s-a accentuat, iar ochiorii ncercnai au cptat o

lucire viclean. tia, bineneles, nu numai de Dyonisios, ci i de o

mulime de ali greci importani din vremea aceea. Mi-a vorbit de

Aristip, de Diogene, de Archytas, dar n special de Euclid i de

axiomele din geometrie care i poart numele. Ajuns aici, m-a

ntrebat, aparent fr nicio logic:-i aduci aminte cum msoar croitorii stofa? Iau un metru delemn i l poart de-a lungul valului: unu, doi, trei, etc. Ceprere ai, cu dou lemne de lungimi diferite poi msurantotdeauna o aceeai bucat de stof?

totusipovestileDOTblogspotDOTcom




7/21/2019 Ape Iron

6/164









totusipovestileDOTblogspotDOTcomtotusipovestileDOTblogspotDOTcom













7/21/2019 Ape Iron

7/164



Chopin i corespondena 1 la 1Fapt e c dup civa ani am devenit i eu expert n probleme

legate de infinit. Ceea ce nvasem de la btrnul circar mi

strnise n asemenea grad imaginaia, nct aproape c nu trecea

zi de la Dumnezeu fr ca eu s citesc cte ceva pe tema asta. i,

ca un fcut, la un moment dat m-am trezit, mergnd la o bere cu

un amic, c ncep s-i vorbesc despre numerele naturale. Nu tiu

cum se va fi simit el i ce va fi crezut despre mine. Cert e c m-a

ascultat cu mult atenie, ba chiar mi-a dat cteva replici

pertinente. Eu, ns, dup ce am ajuns acas i am refcut firul, m-

am cam speriat. Sincer s fiu, am nceput s m imaginez peste

nite ani cum umblu prin berrii i le explic oamenilor de ce nupot bea o halb cu bere. S sperm c nu va fi aa.

Dar iat cum au decurs lucrurile cu amicul meu. i spun asta cas vezi c nu am fcut-o nici din incontien, nici din nebunie.Practic, el m-a forat s deschid discuia. i oricine n locul meucred c ar fi procedat la fel.Unele berrii - cam puine, ce-i drept, au adoptat sistemul

german. Adic atunci cnd comanzi berea, ea sosete nsoit deun carton, sau suport, nici nu tiu cum s-i zic, pe care st halbaca s nu o pui direct pe mas. La sfrit, cnd vrei s plteti, vineospatrul i numr suporturile, aa c tie exact cte beri ai but.De ce se face asta? Simplu, pentru c unii au obiceiul s bea o

7/21/2019 Ape Iron

8/164

mulime de halbe i la un moment dat ele nu mai au loc pe mas.Ei bine, amicul meu, ca tot romnul, se i gndea c nu ar fi rudac ar bga n buzunar vreo dou-trei cartoane, aa, numai ca s

se distreze i s aib mai puin de plat. La care eu l-am ntrebatcam cum i s-ar prea dac osptarul, cu iueal de mn, i-ar maiaduga el n teanc un carton sau dou, tot aa, ca s se distreze is ciupeasc nite bnui. De aici, am ajuns la fel de fel de scenarii,n care fiecare l pclea pe cellalt cu mai multe beri i pn laurm nici nu se mai tia cine a ieit n ctig i cine n pierdere. Incele din urm, amicul meu, care, ntre altele fie spus, nu mai era

chiar att de sigur pe el, a spus cam aa:-Eu nu am nevoie de nici nu fel de carton! Mie s-mi lase halbelepe mas, iar dac nu mai e loc, nu-i nimic: pltesc de fiecaredat cnd comand. Eu nu beau cartoane, ci beri. Aa c tot beripltesc, nu cartoane.

i mai spunea i altele asemntoare, pe un ton destul de ridicat,astfel nct m-am vzut obligat s i explic c greete i c treaba

cu cartoanele este extrem de civilizat i de folositoare.-Omule, ia nchipuie-i c pe masa asta ar fi 20 de halbe de bere.Pi cum ne-ar edea nou s stm cu toat sticlraia asta n fai s ne trezim c intr soiile noastre doar aa, ca s arunce oprivire? i dai seama ce dezastru s-ar produce? Aa ns, dacavem 20 de cartoane, putem ascunde imediat 18 din ele nbuzunar i gata, suntem cei mai cumini oameni. Treaba asta e

de mare folos n multe alte mprejurri, mai ales cnd e vorbade numere foarte mari. De exemplu, nchipuie-i c vrei s tiici oameni au fost n tribune la finala campionatului. Pi cinepoate s-i numere om cu om? Ca s afli cum stau lucrurile, vezi

7/21/2019 Ape Iron

9/164

cte bilete s-au vndut i ai terminat. nelegi ce vreau s-ispun? Aici e vorba de corespondene 1 la 1.

In acest moment, mi s-a prut c amicul meu se mai calmase

puin, aa c am continuat repede, ca s nu-l las s i aducaminte de osptar.-Tu crezi c numrarea asta e chiar aa de simpl? Sunt situaiin care, dac nu gseti o coresponden 1 la 1 nici nu poi snumeri. Gndete-te, spre exemplu, c te duci la un concert depian. Se aeaz pianistul pe taburetul lui i ncepe s cnte, szicem, un vals de Chopin. Cnt i cnt i la un moment dat te

ntrebi dac nu cumva l dor degetele de ct le izbete de clape.i atunci ncepe s te frmnte o ntrebare: dar de cte ori o loviel clapele la valsul lui Chopin? Ei bine, dac i intr n cap ctrebuie s afli rspunsul sta, eti un om mort. Poi s asculi tude mii de ori valsul cu pricina, c nu vei reui s numeri notcu not. Nu-i aa? i atunci ce faci? Te duci la magazin, cumperipartitura valsului i ncepi s numeri notele de pe portativ. Ai

neles? sta e avantajul cnd poi s faci corespondene 1 la 1.Sau, dac te duci la petrecere i vrei s vezi dac e vreo tipliber, ca s ai i tu cu cine s dansezi. Pi ce faci? Atepi s seduc lumea la dans i te uii cine a rmas pe margine. Dacsunt tipe, nseamn c la petrecerea aia au venit mai multe tipedect tipi i ai de unde alege i tu una. Dar dac sunt numaitipi, nseamn c poi s pleci acas, c au venit mai muli tipi

dect tipe. Acum ai neles? sta e principiul lui 1 la 1.Amicul meu uitase complet de cartoane i de intenia de a i lepune n cap osptarului. M asculta cu atenie, iar eu nu tiamdac o face pentru c era interesat de subiect sau pentru c i se

7/21/2019 Ape Iron

10/164

prea de folos s studieze de aproape oameni ca mine, cupreocupri bizare.

Paradoxul lui Galileo-i dac dau drumul n curte la o grmad de rae i de gini,cum fac s vd care sunt mai multe? Le pun muzic i le zic sdanseze? a ntrebat el i recunosc c aici m-a obligat s staupuin pe gnduri.

















7/21/2019 Ape Iron

11/164













Desprirea de berrie

Cred c au trecut vreo dou minute n care nici unul dintre noi nua scos vreun cuvnt. Eu tceam pentru c nu voiam s stric efectulpe care l obinusem. Tcerea amicului meu era, ns, de altnatur. Aa cum l cunoteam, cuta cu nfrigurare un argument,ceva care s rstoarne tot ce-l forasem s admit. Dar tiam c nupoate gsi nimic, aa c eram mai mult dect linitit. i atunci,brusc, a venit lovitura de teatru.

-Btrne, uite care e treaba. Am observat c ai obiceiul s mispui lucruri de felul sta numai cnd suntem la bere. ineaprat dup ce am but cel puin o halb. Am impresia cprofii de buna mea credin. Adic nti mi amoretiinteligena, apoi m faci s cred tot felul de bazaconii. Fii atent:

7/21/2019 Ape Iron

12/164

de aici nainte nu mai mergem la berrie. Stm frumos cu ocafea n fa, discutm ce vrei tu i, dac mai avem chef,mergem dup aceea la o halb. Sunt sigur c dac facem aa nu

m mai duci de nas cu demonstraiile tale.Bineneles c am fost de acord. sta era amicul meu: trebuia saib ntotdeauna ultimul cuvnt. i chiar dac era forat srecunoasc ceva, nu o fcea simplu, se mai aga de cte ochichi, sau imagina situaii aparte, fr legtur cu subiectul,datorit crora, vezi Doamne, ar fi fost el nevoit s spun da cndde fapt ar fi putut spune nu.

Despre nceputuriAa c peste o sptmn, dis de diminea, iat-ne la o mas, ncolul unei cafenele, nvluii n fum i discutnd aprins pe temainfinitului.-Fii atent la ce m-am gndit, a nceput amicul meu. Dacsegmentele conin o infinitate de puncte, asta nseamn c

triunghiurile, ptratele, pentagoanele, etc, au i ele o infinitatede puncte. Da?

-Nimic mai adevrat, am zis, ntrebndu-m unde vrea sajung.

-Orice fel de poligon, cu oricte laturi, orice linie frnt, orictde lung sau scurt ar fi ea, pe toate astea se afl cte oinfinitate de puncte. Just?

-Aa e.-Bun. Mai departe, eu nu vd nicio problem dac trec la liniicurbe, arce de cerc, opturi, elipse si ce mai vrei tu.

-Desigur c i pe liniile curbe numrul punctelor este infinit.

7/21/2019 Ape Iron

13/164

-Perfect, a zis amicul meu. Hai s ne referim, atunci, la un cerc.Ei bine, vreau s te anun c am gsit un al doilea mod n careeste el infinit.

-Stai puin, ca m derutezi. Ce vrei s spui? Fii mai exact.-Nu spuneai tu data trecut c Dumnezeu e infinit de bun,numerele naturale sunt infinit de multe i tot aa? Nu spuneaitu c trebuie s precizm la ce ne referim cnd zicem despresegment c e infinit?

-Aha, acum am priceput. Vrei s spui c ai gsit un al doileasens n care se poate vorbi despre cerc ca fiind infinit.

-Da, dragule, asta am vrut s zic. Aadar, pe de-o parte cerculeste infinit pentru c are o infinitate de puncte. Pe de alt parte,el este infinit pentru c poate fi parcurs n acelai sens, frniciun fel de piedic, ori de cte ori doreti. Altfel spus, poi ste plimbi pe cerc la infinit fr s trebuiasc s te ntorci mcarun singur pas.

-Pi n sensul asta i un ptrat e infinit. i, de fapt, orice linie

nchis.-Adevrat.-Dar, din acest punct de vedere, o linie care nu e nchis nu einfinit, adevrat?

-Da, frate.-Atunci, dac iau cercul, care e infinit, l tai ntr-un loc i apoitrag de capete pn iese un segment, nseamn c am obinut

ceva finit. Chiar aa de mic e, dup tine, diferena dintre finiti infinit?

-Exact. Din punct de vedere al parcurgerilor, chiar aa staulucrurile. Dac tai cercul i-l deformezi fcndu-l segment, aiintrodus un obstacol de netrecut: pe segmentul obinut nu te

7/21/2019 Ape Iron

14/164

mai poi mica la infinit, fr s trebuiasc s-i schimbi direciade mers.

- Ascult, dar un segment de ce

nu ar fi i el infinit n sensulpar-curgerilor? Care e problemadac te plimbi pe el dus-ntors?Nu poi face asta de un numrinfinit de ori?

- Ai perfect dreptate, numai c veimerge dus-ntors.

-Stai, c nu despre asta e vorba. M gndeam la plimbrile aleala infinit pe cerc. La un moment dat i tai cercul, l trag decapete pn iese un segment, iar tu continui s te plimbi, frs te opreasc nimic, fcnd dus-ntors pn la infinit. i atuncivezi c tierea cercului de fapt nu impiedic micarea. Unde eobstacolul de netrecut despre care vorbeai?

-Dar i-am spus foarte limpede c n cazul cercului e vorba de o

parcurgere care nu te oblig s faci cale-ntoars: mergi numainainte. Aici e obstacolul: pe segment trebuie s te ntorci atuncicnd ajungi la oricare dintre capete.

-Dar, pentru numele lui Dumnezeu, ce importan are faptul cm ntorc? Adic segmentul la e infinit sau nu n funcie de cefac eu? Ia fii atent puin: dac pun dou scaune unul lngaltul, m poate mpiedica cineva s m mut de pe unul pe

cellalt la infinit?-Nu, a spus el, cu jumtate de gur.-i atunci ce o s zici, c mulimea format din cele dou scaunee infinit?

7/21/2019 Ape Iron

15/164

Il prinsesem la nghesuial i chiar mi prea puin ru. In fond, sestrduise s vin cu o idee nou i acum toat construcia i senruia. Dar, dup cum l cunoteam, nu avea s se dea btut att

de uor. Aa c nu m-am mirat cnd a nceput din nou:-Totui, teoria mea rmne n picioare. Ia s-mi spui tu mie,dac ceva este infinit, poate s aib nceput i sfrit?

-Nu prea cred, am zis eu. Ins ar putea s aib nceput sausfrit.

-Poftim? Pai nti zici c nu ar putea, apoi, imediat, c ar putea?-Iar te repezi. Fii atent: nu poate avea nceputisfrit, dar poate

avea nceputsausfrit.-Ah, acum am neles. Deci poate avea nceput fr s aibsfrit, sau invers.

-Exact, asta am vrut s spun. De exemplu timpul care s-a scurspn azi la ora 12 nu are un nceput, dar are un sfrit. Dac tegndeti bine, fiecare secund determin dou perioade infinitede timp, una care nu are nceput i una care nu are sfrit.

-Bine, am reinut. Acum s revenim. Aadar: ceea ce e infinit,sau nu are nceput, sau nu are sfrit. De acord?

-In principiu da.-Pi cum adic n principiu? E corect sau nu e corect ce spun?-Repet: n principiu. Pentru c dac te gndeti la buntateainfinit a lui Dumnezeu, e mai dificil de lmurit ce nseamn cea nu are nceput sau nu are sfrit. Dar noi discutm despre

alt tip de infinit, aa c putem accepta drept bun afirmaia ta.Spune mai departe.

-OK. Vreau s tiu acum invers: dac ceva nu are nceput sausfrit, este acel ceva infinit?

-Asta s-ar numi reciproca primei tale afirmaii.

7/21/2019 Ape Iron

16/164

-M rog, reciproca s fie. Este adevrat sau nu?-In principiu da.-OK, bine c e adevarat mcar n principiu. S i pun acum

ntrebarea de baz: are cercul un nceput?-Aha, am spus, deci aici ai vrut s ajungi. Pi s vedem. Eu credc oricare punct al cercului poate fi considerat nceputul dar isfritul lui.

-Adic cercul are o infinitate de nceputuri?-Nu se poate pune problema n acest fel.-Cum adic nu pot pune problema n acest fel? Cine a hotrt

asta? E vreo lege care s precizeze n ce fel se pot puneproblemele?

-Nu e niciun fel de lege, n afar de cea a bunului sim.-Adic mie mi lipsete bunul sim dac pun ntrebarea asta?-Dragule, te rog nu te repezi din nou. Cnd am vorbit de bunulsim, am avut n vedere altceva. Sigur c dac tu vrei neaprat,poi s foloseti orice fel de replic atunci cnd discui cu

cineva. Poi inclusiv s-i spui obrznicii de genul nu vreau sascult ce spui tu. Oare crezi c aa ceva menine discuia la unnivel constructiv? Bunul sim i cere, cred eu, s argumentezila obiect, cutnd s clarifici lucrurile i nu s i puiinterlocutorul n dificultate prin fel de fel de artificii. De aia amzis eu c nu se poate pune problema n felul n care o faci tu. Eca atunci cnd de tine se apropie un tigru. Eu zic c ntr-o

asemenea situaie, nu poi s rmi pe loc, ateptnd s vezi cese ntmpl. Dar, desigur, dac vrei cu tot dinadinsul, ai iaceast variant la dispoziie. Numai c mie nu mi se pare c eaar fi una de bun sim. In sensul sta am zis eu c nu se poatepune problema nceputului unui cerc n felul n care ai fcut-o

7/21/2019 Ape Iron

17/164

tu. Cercul are o infinitate de puncte i oricare dintre ele poate ficonsiderat nceputul i, totodat, sfritul cercului. De aici, ns,nu poi trage concluzia c cercul are mai multe nceputuri.

-O s m mai gndesc la lucrurile astea, totui nu pot s nuobserv c ntre cerc i segmente e o diferen uria din acestpunct de vedere. Segmentul are un nceput foarte clar i unsfrit la fel de clar, pe cnd cercul ar avea un nceput, s-izicem subiectiv, pentru c fiecare dintre noi poate consideradrept nceput ce punct al cercului i convine.

-Adevrat, ns nu am neles ce vrei s spui prin nceput clar

cnd ai vorbit despre segment.-Am vrut s spun c, n cazul segmentului, oricine va ti cuexactitate care este nceputul lui. Iei un trector de pe strad, idesenezi un segment AB i el va spune imediat: A estenceputul i B este sfritul acestui segment.-Sincer s fiu, nu vd niciun motiv pentru care A este nceputul.La fel de bine ar putea s fie i B.

-Asta doar n cazul segmentului BA.-Cred c te pripeti. Asociezi nceputul cu litera A sau B, nfuncie de ordinea n care rosteti tu aceste litere. Astanseamn c ai dat o regul, care zice aa: ntotdeauna,nceputul unui segment este punctul a crei liter deidentificare este prima rostit atunci cnd te referi la acelsegment. Numai c dac tu desenezi un segment care are o

extremitate A i cealalt B, este foarte posibil ca atunci cndtrece cineva pe-acolo i vede desenul tu, s zic: ia te uit,aici e desenat segmentul BA. Ce o s zici, n acest caz, csegmentul tu are dou nceputuri?

7/21/2019 Ape Iron

18/164

-Da, acum am neles cum se pune problema. Cu toate astea, nuo s m poate nimeni convinge c cercul are un nceput nacelai fel n care are segmentul un nceput.

-Sunt de acord cu ce spui. Cel mai clar se poate vedea diferenade care vorbeti tu atunci cnd compari segmentul cu osemidreapt. Semidreapta are un nceput, precis determinat, pecare l poate recunoate absolut oricine de la prima vedere. Nuconteaz cum denumeti acel punct, ce liter sau simbolfoloseti pentru el. Iei, vorba ta, un trector de pe strad, i arisemidreapta i l rogi s pun degetul pe nceputul ei. Te asigur

c nu s-a nscut nc omul care s greeasc la aceast prob. Incazul segmentului, ns, apar dou posibiliti, deci poi primidou tipuri diferite de rspuns. Iar cnd vine vorba de cerc,numrul variantelor crete pn la infinit.

-Cred c ncep s neleg, a zis amicul meu. Dar mi se pare camstraniu s treci de la un nceput, s ajungi la dou, apoi direct lao infinitate.

-Dar exist numeroase alte variante. Uite, nchipuie-i c ai treipuncte n plan, numite A, B, C. Care ar putea fi nceputulacestei configuraii? Oricare dintre cele trei puncte.

-E limpede, s-a luminat amicul meu. Dac o s am zece puncten plan, o s am zece nceputuri.-Aa ceva, am zis, cu meniunea c nu ai zece nceputuri, ci zecevariante de nceput, ceea ce e puin diferit i face exprimarea

mai corect.-In fine, important e ideea. Cte puncte sunt, attea variante denceput am la dispoziie.-Exact. Ai putea zice: cte puncte sunt, attea variante de ancepe s le numr am la dispoziie.

7/21/2019 Ape Iron

19/164

-Da, asta mi-e clar. i dac ajungem din nou la cazul cercului, os am o infinitate de moduri de a ncepe numrarea punctelorlui.

-Aa este, btrne. Aadar cum rmne cu nceputul cercului?Mai susii c cercul este infinit pentru c nu are un nceput?

-Acum mi vine s spun altfel: el este infinit pentru c are oinfinitate de nceputuri, sau, m rog, o infinitate de variante denceput.-Dar asta revine la faptul c are o infinitate de puncte, deci aiajuns la prima discuie: cercul este infinit pentru c are o

infinitate de puncte.De data asta, amicul meu nu s-a ntristat. Chiar dac teoria lui sedovedise a nu fi tocmai o descoperire menit s revoluionezecunoaterea omeneasc, se vedea c discuia i fcuse plcere iasta conta poate mai mult dect dorina lui de a gsi ceva nou ispectaculos.-Da, btrne, a zis el. Se pare c am dat-o n bar cu teoria mea.

Recunosc c m-am pripit, ns nici tu nu cred c ai lmuritlucrurile foarte clar. Ar mai fi de discutat, zic eu, asupranoiunii de nceput. Vd c pentru tine a ncepe nseamna ncepe s numeri. Dar eu poate c am de gnd s ncep scnt, ori s in un regim de slbire. Nu tiu ce s zic.

-Ai dreptate, am replicat, poi s ncepi i altceva dect snumeri. Chiar n cazul punctelor din plan, cnd i alegi unul

dintre ele i l denumeti nceput, poate fi vorba denumrare, cum ziceam eu, dar poate fi vorba i despreparcurgere, cum te gndeai tu. Aici e vorba de lucruri foartedelicate, pe care nu tiu cine le poate lmuri pe deplin.

-Ce vrei s spui? Ce ar mai fi de lmurit?

7/21/2019 Ape Iron

20/164

-De exemplu, care este diferena dintre nceput n sensulnumrrii i nceput n sensul parcurgerii. Atunci cndparcurg punctele unui cerc, pot s le i numr? Are orice

mulime de puncte un nceput, indiferent la care dintre sensurine-am referi? Are, de exemplu, mulimea punctelor de pepantoful meu drept un nceput i un sfrit?

-Nu m ateptam la asta, a zis amicul meu cu un zmbet. Dardac tot am ajuns la astfel de ciudenii, eu propun s mergemla o bere i s cercetm la faa locului dac o putem ncepe saunu.

Era limpede c nu vom mai continua discuiile filozofice, aa cam acceptat invitaia.

Drumul de o mie de liAu mai trecut cteva zile i m-am trezit cu un telefon de la amiculmeu, care inea mori s ne ntlnim la o cafea, pentru c aveaceva deosebit s-mi spun.

-Btrne, n discuia despre segmente am scpat din vedere cevafoarte important. E vorba de o ciudenie, pe care nu mi-o potexplica nicicum. Fii atent. Mi-ai explicat c un segment are oinfinitate de puncte, lucru cu care am fost de acord. Ai zis, apoi,c dac scot unul dintre ele, nici numrul punctelorsegmentului i nici lungimea lui nu sunt afectate. Dar asta afost o simpl afirmaie, peste care am trecut cu mult uurin,

lsndu-m pclit deanalogia ta cu mulimeanumerelor naturale. Ei bine,m-am gndit i iar m-amgndit, pn am ajuns la

7/21/2019 Ape Iron

21/164

concluzia c analogia nu funcioneaz. Iat de ce spun asta:mulimea numerelor naturale nu are o lungime, aa cum aresegmentul.

-Te rog s fii mai explicit, am zis eu.-Am o mulime de puncte i ele formeaz o structur, o entitate,nu tiu cum s-i zic, care se numete segment i are o lungime.In cazul numerelor naturale, ns, nu avem de-a face cu aaceva.

-Cine spune asta? Dac dorim, putem s atribuim o lungimeoricrei mulimi de numere naturale.

-Pardon? Lungime, adic metri i kilometri?-Nu te pripi. Lungimea se poate defini foarte bine i fr metri.-Asta tiu i eu. Foloseti yarzi sau mile.-Nu cred c o mulime de numere naturale poate avea trei yarzi,de exemplu. Ideea este alta: folosim distanele. Ce prere ai?

-Ce prere s am dac nu mi-ai explicat ce vrei s spui?-OK, i explic ndat. Am scos un pix i un carneel, i am

desenat un segment AB.

-Ai putea s-mi explici ce nseamn, de fapt, lungimea acestuisegment?

-Pi ce s nsemne, numrul centimetrilor lui.-Aha, am zis. i dac fac un segment mai mic dect uncentimetru, va avea lungimea zero?

-De ce eti absurd? Dac are sub un centimetru, o s-l msurmn milimetri.

7/21/2019 Ape Iron

22/164

-Bun. i dac e mai mic dect un milimetru? Probabil o s spuic l msori n microni. Intrebarea e urmtoarea: dac ai unsegment cu lungimea mai mic dect cea mai mic unitate de

msur cunoscut, ce o s faci?-O s inventez noi uniti de msur.-Si, de fiecare dat cnd o s stai de vorb cu cineva pe temeleastea, o s ncepi prin a-i explica sistemul tu, cu noiledenumiri, nu-i aa?

-Am priceput ironia ta, dar alt soluie chiar nu vd.-Soluia e mai simpl dect crezi. Pur i simplu, lungimea

segmentului va fi distana dintre extremitile sale.-Stai puin s m lmuresc. Deci tu spui c n cazul segmentuluiAB, la pe care l-ai desenat, lungimea lui e acelai lucru cudistana dintre A i B. Corect?

-Corect.-i distana asta cum o msor?-Cu o rigl.

-Da? i dac e vorba de un segment cu lungimea mai mic deun micron?

-Tot cu rigla.-Mi, tu i bai joc de mine? Unde ai vzut, pe lumea asta, origl pe care s fie marcai micronii?

-Adevrul e c nu am vzut aa ceva i nici nu o s vdvreodat. Cu toate astea, distanele alea foarte mici se vor

msura tot cu rigla. Ceea ce vreau s-i spun este c n ipotezan care ar exista o rigl pe care s figureze micronii, ea armsura acele distane foarte mici. Carevaszic, e vorba de origl ideal, pe care ar folosi-o nite fiine ideale.

-Deci am trecut n lumea fantomelor, s-a enervat amicul meu.

7/21/2019 Ape Iron

23/164

-Nu am trecut n nicio lume, nu-i cer dect s-i pui imaginaiala contribuie. Ai acceptat ideea c punctele nu au dimensiuni.Nu vrei s accepi i ideea c pe rigl exist puncte care pot fi

suprapuse peste extremitile segmentului? Nu vrei s fii deacord c aceste puncte, aflndu-se pe o rigl, pot fi folosite lamsurarea lungimii segmentului tu?

S-a gndit o vreme, apoi a spus:-Pot fi de acord cu ce ai spus tu. Ins nu vd nicio posibilitate dea msura n mod real lungimea unui segment foarte mic cuajutorul unei rigle pe care punctele nu pot fi marcate. Ceea ce

am neles sun aa: teoretic, pe rigl exist dou puncte foarte,foarte apropiate, care tocmai de aceea nu pot fi marcate i carepot fi suprapuse peste extremitile unui segment foarte, foartemic. Dar la ce-mi folosete asta ca s msor efectiv lungimeaacelui segment, asta nu mai neleg.

-Important e c ai neles pn aici. sta era pasul cel mai dificil.Pentru c, dac ai acceptat ideea riglei ideale, mai departe e

uor. Hai s zicem c segmentul AB are lungimea 1. Practic, nuconteaz dac-l msori n metri, yarzi, li sau parseci.Important nu e unitatea de msur, ci faptul c AB arelungimea 1.

-Auzi, cu parsecii parc a ti s m descurc, am auzit cndva deei pe la astronomie. Dar cu li m-ai dat gata. Un li plus un li facdoi li, adica Lili, nevast-ta?

-Adevrul e c nu tiu cu ce etalon se msoar nevestele. Ctdespre li, el era folosit de vechii chinezi. Aveau ei un proverbcare spunea cam aa: drumul de o mie de li incepe cu un pas.Dac te gndeti c un li este cam 500 de metri, o mie de li arnsemna vreo 500 de kilometri, adic o distan apreciabil.

7/21/2019 Ape Iron

24/164

Oricum, important e primul pas, cam asta ziceau chinezii.Exact ca acum, cnd primul pas a fost s nelegi rigla virtual.

-S neleg c mai sunt nc nite mii de pai de fcut?

-Asta depinde de rapiditatea cu care o s pricepi ce urmeaz.Aadar am stabilit c segmentul nostru are lungimea 1. Uite cefac mai departe: construiesc o rigl de lungime exact ct asegmentului AB. Sigur, dac e vorba de un parsec, va fi maidificil, dar i de aceast dat important e principiul, nu punerealui efectiv n practic.

-Am neles ideea. Eu m gndesc s fie un segment mai scurt,

ca s umblm cu o rigl normal, adic s pot chiar s oconstruiesc dac nu pricep ceva.

-Perfect. S zicem c e vorba de un metru, atunci. Deci ai unsegment de un metru lungime i o rigl tot de un metru.Extremitile segmentului sunt A i B, iar pe rigl, la un capt escris 0 i la cellalt 1. De acord?

-Sigur c da, pn aici e vorba de banaliti.

-Intr-adevr. Sper c eti de acord acum c orice punct ai lua pesegmentul AB, lui i va corespunde un punct pe rigl.

-N-a avea cum s contest asta.-Dar acum vin i te ntreb: ntruct capetele riglei sunt marcatecu 0 i 1, punctul respectiv, aflat pe rigl, nu va fi i el marcat cuceva?

-Trebuie s fie marcat i el.

-Cu ce zici tu c va fi el marcat?-Cu un numr, evident.-Excelent, am spus, cu un numr. De exemplu, punctul aflatexact la jumtatea riglei va fi marcat cu 0,5.

-Am neles ideea.

7/21/2019 Ape Iron

25/164

-Atunci ar trebui s te bucuri, ce-a fost mai greu a trecut.Concluzia care se desprinde de aici este urmtoarea: unuipunct oarecare al segmentului AB i corespunde un punct de

pe rigl, iar acelui punct de pe rigl i corespunde un numrcuprins ntre 0 i 1.

-Fr ndoial, aa stau lucrurile.-Oare exist un punct de pe segment cruia s nu-i corespundniciun punct de pe rigl?

-Exclus.-Dar un punct de pe segment cruia s-i corespund, pe rigl,

mai multe puncte, exist?-Nici pomeneal.-Am putea face, aadar, punctele segmentului, s danseze cupunctele riglei?

-Nu chiar. Doar cu partea de rigl cuprins ntre punctele carecorespund extremitilor segmentului. In acest caz e clar c

avem o coresponden 1 la 1.-Excelent, am zis. S mergem mai departe. Crezi c exist vreunpunct pe rigl cruia s nu-i corespund niciun numr cuprinsntre 0 i 1 ?-Nu se poate aa ceva. i nici s i corespund mai multe, e clarca bun ziua.

-De clar mi se pare i mie foarte clar. Crezi, ns, c ai putea

demonstra acest lucru?-Dar ce nevoie am s demonstrez ceva att de evident?

7/21/2019 Ape Iron

26/164

-Ca s te ncredinezi c intuiia nu te neal. De multe ori, cndceva i se pare evident, te trezeti cu un contraexemplu care dtotul peste cap.

-Eu nu tiu s mi se fi ntmplat aa ceva.-Asta pentru c nu i-ai pus suficiente ntrebri. Uite, i dau unsingur exemplu. Mult vreme, oamenii au crezut c soarele senvrte n jurul pmntului. Asta era o eviden n acelevremuri. Nimeni nu s-ar fi gndit c e necesar o demonstraiepentru aa ceva. Dar realitatea e cu totul alta, i tu o cunotifoarte bine. Aa c niciodat nu stric s tii pe ce te bizui cnd

faci o afirmaie.- Ai dreptate, a zis amicul meu. Dar

atunci nu ar trebui s demonstrezii prima parte? De unde tiu eu cnu m neal intuiia atunci cndzic c pe segment i pe rigl sunt totattea puncte, care danseaz 1 la 1 ?

- Aici e cu totul altceva. Segmentul sevede cu ochiul liber, rigla la fel. N-ai dect s suprapui riglapeste segment i atunci e clar c dac marchezi un punct pesegment e acelai lucru cu a-l marca pe rigl. Ins n cazulnumerelor, totul se schimb. Gndete-te c ai de-a face cutoate numerele dintre 0 i 1, care formeaz o mulime infinit,pe care nu o vezi dect n ansamblu, exact cum ai vedea jungla

din avion. Nu tii ce se petrece nuntru, nu ai de unde s tiidac nu cumva acolo, n interior, se ntmpl lucruri ciudate.Dac, de exemplu, unui anumit punct de pe rigl nu-icorespunde niciun numr? Dac numerele respective au goluri

7/21/2019 Ape Iron

27/164

ntre ele? Iat de ce spun c n-ar strica o demonstraie pentrucorespondena aia 1 la 1.

-Dup cum pui problema, pare c, ntr-adevr, ar trebui s m

gndesc la o demonstraie. Dar ca s nu mai pierdem vremea,eu zic s mi-o spui tu.

-Din pcate, nu exist o asemenea demonstraie.-Cum? In cazul sta nseamn c discutm degeaba.-Aa crezi tu? Ia spune-mi, atunci, dac ar fi s cutmrezolvarea unei probleme simple de geometrie, am face-odegeaba?

-Nu vd legtura cu ce discutam nainte.-E o mare legtur. Cnd demostrezi o problem de geometrie,foloseti teoreme i rezultate demonstrate anterior, care suntscrise n cri, mpreun cu demonstraiile lor. Eti de acord?

-Sunt, doar am fcut i eu geometrie n coal.-Bun. Dar acele teoreme i rezultate, sunt demonstrate, la rndullor, cu ajutorul altor teoreme i rezultate. i tot aa, pn cnd

se ajunge la nite afirmaii naintea crora nu mai e nimic.-Stiu, tiu, s-a luminat amicul meu. E vorba de axiome.-Intr-adevr. Axiomele nu mai au nevoie de demonstraii. Elesunt acceptate de toat lumea i fac ca geometria sfuncioneze. Arta e s gseti axiomele potrivite. Dar asta,vorba cuiva, e o alt poveste i poate o s discutm despre ea cualt prilej.

-S neleg, m-a ntrerupt amicul, c i la rigla asta e vorba tot deo axiom?

-Exact. Chiar aa i este i numele: axioma riglei. Aadar nu poidemonstra corespondena 1 la 1 ntre punctele riglei inumerele dintre 0 i 1, n schimb, accepi ca valabil aceast

7/21/2019 Ape Iron

28/164

afirmaie, care este de bun sim i care te ajut s construietimai departe, definind cu precizie ce nseamn lungimea unuisegment i multe altele.

-Bine, acum lucrurile au devenit destul de clare n privinalungimii. Practic, din cte neleg, nici nu mai am nevoie deuniti de msur pentru segmente.

-Asta a fost o observaie foarte istea, chiar te felicit. Intr-adevr, unitatea de msur are mai puin importan nmsurarea lungimilor. Uite, s zicem c ai dou segmente, ABi AC, primul de lungime 4, al doilea de lungime 3, aezate ca

n desenul sta:Dup cum vezi, AB i AC sunt perpendiculare. Problema e sgseti lungimea lui BC.

-Asta o tie i un copil. Aplici teorema lui Pitagora i obii c BCare lungimea 5.

-Evident, numai c eu altceva am vrut s scot n eviden.Anume, c nu are nicio importan dac AB i AC sunt date n

metri sau mile marine. Inelegi? Indiferent care ar fi unitatea demsur, calculul lui BC este acelai.

-Am neles exact, a zis amicul meu. Problema este, ns, alta: m-ai purtat prin attea teorii cu distane, lungimi, corespondene

7/21/2019 Ape Iron

29/164

i axiome, nct, n acest moment, chiar nu tiu de ce discutmdespre Pitagora. De fapt, tiu exact de unde am plecat, c doareu te-am sunat ca s ne ntlnim, dar mi-e imposibil s pun

ordine n discuia asta. Imi aduc aminte de un singur lucru, pecare l-am spus la nceput de tot: analogia dintre numerelenaturale i punctele dreptei nu st n picioare.

Adevrul e c divagasem cam mult, ns nu tiu dac a fi pututproceda altfel.

Cristos si axioma riglei

-In astfel de cazuri, am zis, trebuie ncercat mersul napoi, pe fir,cam aa cum procedeaz detectivii. Hai s ne ntoarcem pas cupas, pn ajungem la afirmaia ta. Aadar, am vorbit desprefaptul c unitatea de msur nu are importan atunci cndrezolvi probleme de geometrie, consecin direct a axiomeiriglei, pe care am analizat-o atunci cnd am ncercat s definimnoiunea de lungime. De ce am pus, ns, problema acestei

definiii? Pentru c eu afirmasem c poi atribui lungimi chiari mulimilor de numere naturale. Iar asta am spus-o atuncicnd tu mi-ai vorbit de o anumit diferen ntre segmente imulimile de numere naturale.

-Ah, da, acum mi-am amintit. Intr-adevr, am zis c segmentulare o infinitate de puncte, dar are i lungime, pe cnd mulimeanumerelor naturale are i ea o infinitate de elemente, dar nu are

o lungime.-Foarte adevrat. Hai s vedem, atunci, cum se poate definilungimea unei mulimi de numere naturale. Pentru asta, vatrebui s definesc, exact ca n cazul punctelor de pe segment,distana.

7/21/2019 Ape Iron

30/164

-Vrei s zici c exist o distan ntre numerele naturale?-Nu tiu de ce te miri aa. Ia gndete-te c aezi numerelenaturale pe o semidreapt:

In fond, aici e vorba tot de axioma riglei. Nu i-e clar c distanadintre dou numere va fi totuna cu distana dintre punctelecare le corespund pe dreapt?

-S tii c ai dreptate. Nu m-a fi gndit niciodat la asta. Dar, n

fine, nimeni nu se poate gndi la toate. Aadar pot s spun, deazi nainte, c mulimea {1, 6, 9, 12} are lungime. Ai idee i cumse calculeaz lungimea respectiv?

-Lungimea va fi distana dintre cel mai mare i cel mai micelement, ceea ce n cazul segmentelor revine la diferena dintrenumerele de pe rigl care corespund extremitilor.

-In acest caz, lungimea lui {1, 6, 9, 12} ar fi 11?

-Exact, mai precis 12 1.-Bun, dar lungimea lui {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} care maie?

-Tot 12 1, adic 11.-Mi s fie! Totui e vorba de mulimi care nu au acelai numrde elemente. Cum pot s aib aceeai lungime?

-Ce i se pare aa de ciudat?

-Mi se pare, pentru c la segmente, lucrurile stau altfel. Ai spusc toate au o infinitate de puncte, deci nu poi gsi dousegmente de aceeai lungime dar care s nu aib acelai numrde elemente.

7/21/2019 Ape Iron

31/164

-Nu te contrazic. Dar nu vd niciun motiv pentru care ar trebuis funcioneze i la mulimile de numere naturale ceea cefuncioneaz la mulimile de puncte. Uite, dac vrei i mai spun

o proprietate a mulimii punctelor segmentului pe care nu o veiregsi la nicio mulime de numere naturale.

-Spune, poate m ajut s neleg lucrurile-Fii atent: ntre oricare dou puncte ale segmentului se gsetecel puin nc un punct al lui.

-Asta mi se pare destul de evident. i la fel de evident mi se parec, de exemplu, ntre 2 i 3 nu se mai afl niciun alt numr

natural.-Ei, n acest caz ar trebui s nu te mai intrige deosebirea dintrelungimea segmentului i cea a lui {1, 6, 9, 12}.

-Ba tot m intrig. tii de ce? Pentru c dac e vorba de unsegment AB, atunci distana dintre A i B e acelai lucru cudistana dintre B i A. La mulimile de numere naturale de cenu e la fel?

-Cum s nu fie la fel?-Simplu, distana dintre 5 i 9 e 4, adevrat?-Perfect adevrat.-i cum am calculat-o? Iari simplu: am fcut 9-4, just? Daratunci care e distana dintre 9 i 5?

-Tot 4, evident.-Cum s fie 4, omule? Dac fac 5-9 mi d 4?

-Ah, stai c am neles ce vrei s spui. E vina mea, n-am fostsuficient de precis. Uite cum reparm lucrurile: distana dintredou numere se este diferena lor n modul.

-In modul? Care modul, amice, modulul lunar?

7/21/2019 Ape Iron

32/164

-Ai uitat asta dei n coal cred c ai rezolvat sute de problemecu modulul numerelor reale. Modulul unui numr estenumrul respectiv luat cu semnul plus. Deci modulul lui 7 este

7, dar modulul lui -8 este 8.-Ah, da, parc-mi amintesc ceva. Da, e clar: diferena dintre 9 i5 este -4, dar distana este 4, pentru c se ia n modul. OK,acum e n regul.

-Adevrul este c nu-i chiar n regul, i-am spus. Dac vrem sfim riguroi, atunci mai trebuie s verificm dou condiiipentru ca s putem trage concluzia c am definit corect distana

dintre numere.-Aha, a srit amicul meu, deci ai vrut s m tragi pe sfoar. Dacnu m prindeam de faza cu modulul, nu mai discutai desprenicio condiie.

-i-am spus c am fost neatent. Mi s-a prut c totul e foarte clari am scpat din vedere faptul c e nevoie, totui, de o definiieclar a temenilor. Nu mai fi i tu att de nenelegtor. Orice om

e supus greelii, doar tii asta.-OK, s-a mbunat amicul meu. Hai, spune despre ce condiii evorba.

-In primul rnd trebuie stabilit de la bun nceput c distanatrebuie s fie un numr real. Aadar, dac vrei s definetidistana dintre dou cercuri, de exemplu, trebuie s gseti unmod de a asocia fiecrei perechi de cercuri un numr real. Dar

asta se poate face n foarte multe moduri. De exemplu, acelnumr poate fi distana dintre centrele lor, sau media aritmetica razelor, sau diferena laturilor tringhiurilor echilateralenscrise n cele dou cercuri sau... m rog, poi gsi cteexemple vrei.

7/21/2019 Ape Iron

33/164

-M-ai omort cu exemplul sta de la urm...-Las c dac vrei le i discutm pe fiecare n parte. Pentru c idai seama c unele pot s nu fie distane. Ca s poi spune c ai

definit o distan d ntre nite ceva-uri, trebuie ca ea s aib treiproprieti.d(A,A)=0d(A,B)=d(B,A)d(A,B)d(A,C)+d(C,B)Asta indiferent cine sunt ceva-urile A, B i C.

-Deci dac definesc o distan ntre numere, proprietile astea

trebuie s fie ndeplinite i dac dou dintre numere lenlocuiesc cu poezii de Eminescu?-Sincer s fiu, i-am spus, nu vd care e legtura. Nu neleg deunde i pn unde i-a venit o asemenea idee.

-Pentru c ai zis indiferent cine sunt ceva-urile A, B i C.-Ei da, aici m-ai dat gata. Ar fi trebuit s spun aa: indiferentcine sunt ceva-urile A, B i C din mulimea ceva-urilor pentru

care defineti distana. Aa eti mulumit?-Sigur c da. Parc vorbeai de rigoare ceva mai devreme. Saum nel?

-Bine dragule, m-ai prins din nou c nu am fost foarte riguros.Incepe s mi se par c scopul tu nu e s nelegi noiunile cis m prinzi pe mine la nghesuial.

-Nici pomeneal, stai linitit. Devin ns tot mai exigent.

-Perfect, atunci fii atent: nti i alegi o mulime ale creielemente sunt numere, sau puncte, sau mulimi, sau oricealtceva. Dup aia, defineti distana d, avnd grij ca ea sverifice acele trei condiii, pentru orice elemente A, B i C ale

7/21/2019 Ape Iron

34/164

mulimii pe care ai ales-o. Cred c mai riguros de att nu pot sfiu.

-Eti cel mai riguros tip pe care l cunosc.

-In regul. Hai acum s vedem mpreun care dintre cele treivariante pe care le-am pomenit cnd i ddeam exemplul cucercurile reprezint o distan.

-Ii spun eu de pe-acum: numai primul.-Vorbeti serios? Ia s vd cum ai ajuns la o asemenea concluzie.-Simplu de tot: distana dintre centre e clar c e o distan, altfelnu avea numele sta.

-Trebuie s recunosc c ai dreptate: dac se numete distan, neputem atepta chiar s fie o distan. Dar asta nu nseamn cdac se numete altfel, nu poate fi o distan. Totul e sndeplineasc cele trei condiii.-OK, hai s le verificm-In regul. S verificm dac media aritmetic a razelor e odistan. Pentru prima condiie, trebuie s lum un cerc

oarecare C de raz r i s vedem dac d(C,C)=0. Dard(C,C)=(r+r)/2=r i r e diferit de 0, altfel C nu ar mai fi un cercci un punct. Prima condiie nu e ndeplinit, aadar mediaaritmetic a razelor nu e o distan.

-Simplu ca bun ziua. Dar cealalt?-Pentru cazul sta, ar trebui s tim cum se calculeaz laturatriunghiului echilateral nscris ntr-un cerc n funcie de raz.

Mai ii minte din coal?-tiu c era ceva cu radical din 2 sau aa ceva-Chiar din 3. Anume, dac notm latura cu l i raza cu r, o savem l=r3. Prima condiie este ndeplinit n mod evident,deoarece d(C,C)= r3- r3=0.

7/21/2019 Ape Iron

35/164

-Considerm acum dou cercuri oarecare C1, C2, de raze r1, r2.Notm cu l1i l2laturile triunghiurilor echilaterale nscrise n C1i C2. Atunci d(C1,C2)= r13 r23 =(r1 r2)3 i d(C2,C1)= r23

r13 = (r2 r1)3. E clar c egalitatea apare numai cnd r1= r2.Prin urmare, nici n acest caz nu avem de-a face cu o distan.

A dat din cap a ncuviinare, apoi a stat o vreme pe gnduri.-Dar dac lum modulul? a zis el.-Unde s-l lum?-Cnd definim distana asta: s zicem c d(C1,C2) este diferenalaturilor lora n modul.

-Btrne, am zis, eti fenomenal. Aa e cum zici. Dac lummodulul, atunci clar d(C1,C2) = d(C2,C1), pentru c modulul luir2 r1i modulul lui r2 r1sunt evident egale. Bravo, putemmerge mai departe, s verificm proprietatea a treia.

-Dar prima? a zis amicul meu-Pi n-am verificat-o odat? Ah, stai, am verificat-o pe cealalt,fr modul. Ai dreptate, trebuie s ne ntoarcem i s facem

verificarea. Dar ea nu e deloc dificil, pentru c distana dintreC i C o s fie modulul lui r3- r3, adic modulul lui 0, care etot 0.

-Ei, atunci s trecem mai departe. Hai s vedem condiia a treia.Las-m pe mine s ncerc, bine?

-Sigur c da, chiar te rog. Numai c i propun s folosim notaiaclasic pentru modul, ca s putem scrie demonstraia mai uor.

O mai tii?-Dou bare, parc.-Exact! Modulul lui x se se noteazx. Deci-6=6,11=11etc.

7/21/2019 Ape Iron

36/164

-Bun. O s avem trei cercuri acum, C1, C2, C3, de raze r1, r2, r3.Notm cu l1, l2, l3laturile triunghiurilor. Ar trebui sdemonstrm c d(C1,C3) d(C1,C2)+d(C2,C3), ceea ce nseamn

(r1 r3)3(r1 r2)3+( r2 r3)3. Corect?-Perfect!-Presupun c 3 poate fi simplificat, dar nu tiu s demonstrez.-Nu-i greu deloc. Gndete-te c modulul are o proprietateevident:ab=abde unde(r1 r3)3=(r1 r3)3. Aa nct te poi scpa de 3 fr probleme.

-Deci a rmas de artat cr1 r3r1 r2+r2 r3. Just?

-Intr-adevr, asta mai ai de demonstrat.-Sincer s fiu, n-am nicio idee de unde s apuc demonstraiaasta.

-Nu-i mare lucru. Sunt cteva cazuri de analizat, toate foartesimple. Uite, primul este r1r2r3.Atuncir1 r3= r3 r1,r1 r2= r2 r1ir2 r3= r3 r2i tot ce ai de demonstrat este cr3 r1 r2 r1+ r3 r2, sau r3 r1 r3 r1. Dar asta e evident. Un

alt caz este r2r1r3. Atuncir1 r3= r3 r1, r1 r2= r1 r2ir2 r3= r3 r2. Faci socotelile i obii 2r22r1, ceea ce esteiari evident. O s mai ai cazurile r2r3r1, r1r3r2, r3r1r2ir3r2r1. N-ai dect s le verifici pe toate ca i pe celelalte.

-Da? Pi atunci nseamn c am terminat i am descoperit odistan ntre cercuri! Excelent!

-Intr-adevr, e vorba de o distan.

-OK, sunt lmurit acum. Rmne s-mi demonstrezi c astea treicondiii sunt ndeplinite i de chestia pe care ai numit-odistan ntre numere.

-Da, ntr-adevr, numai c dac folosim axioma riglei nu preamai avem ce demonstra.

7/21/2019 Ape Iron

37/164

-Ah, stai c m-am prins! Distana dintre numere e totuna cudistana dintre punctele corespunztoare ale riglei. Asta vrei sspui. Nu?

-Exact. Nu mai trebuie demonstrat nimic. Totul este limpede.-Ia stai s recapitulez toate lucrurile astea, ca s fiu sigur c ampriceput. Aadar se definete o axiom numit a riglei, princare stabilim c exist o coresponden 1 la 1 ntre numere ipunctele unei drepte. Cu ajutorul ei definim distana ntrenumere, ceea ce ne permite s vorbim chiar despre lungimeamulimilor de numere. E bine?

-Mai bine de att nu puteam s-o zic nici eu.-Si totui ceva m intrig. E vorba de o ntrebare simpl:mulimea numerelor naturale are sau nu o lungime?

-Are lungime infinit, exact ca o semidreapt.-Aha. Asta nseamn c trebuie schimbat analogia iniial. Euspuneam c segmentele au o infinitate de puncte, exact camulimea numerelor naturale, dar, spre deosebire de aceasta au

i lungime. Acum, obiecia ar fi c lungimea unui segment efinit, iar cea a mulimii numerelor naturale este infinit.

-Obiecia ta dispare dac n locul numerelor naturaleconsiderm toate numerele, adic inclusiv pe cele raionale fraciile, ct i pe cele iraionale, cum ar fi 2.Atunci nu vommai compara segmentele cu mulimea numerelor naturale, cicu submulimi ale mulimii R a numerelor reale.Dar, la urma

urmei, de ce ar fi asta o obiecie? Tu ce ai vrea, ca analogia s fietotal? Aa ceva nu exist.

-Dar atunci de ce mai faci analogii?-Pentru c ele te pot ajuta s pricepi anumite fenomene. Adu-iamine c pn i Cristos vorbea n analogii.

7/21/2019 Ape Iron

38/164

-Alea nu erau analogii, erau parabole.-Le spui cum vrei, dar, pentru mine, sunt analogii toat ziua.Cnd zice c mpria cerurilor e asemenea bobului de mutar,

nu face o analogie?-Ai i tu dreptate, amice. Dar, apropos, crezi c Isus Cristos tiacum vine treaba cu axioma riglei?

-Dificil ntrebare. O s vd ce zice amicul meu teolog. Dar dacasta te frmnt acum, trebuie s neleg c nu mai ainelmuriri legate de numrul punctelor i lungimea unuisegment?

Acul de brad si ecuatorul-Ba bine c nu, a zis amicul meu. Mai ii minte discuia desprediversele moduri n care poi scoate o infinitate de elemente dinmulimea {1, 2, 3, 4, 5, .....}? Puteam face n aa fel nct srmn un numr oarecare n de elemente, sau o infinitatedintre ele. Ei bine, n cazul unui segment poi face aceeai

micare? Poi s scoi dintr-un segment o infinitate de puncte,n aa fel nct s-i rmn numai dou puncte n total? Mi-amadus aminte din nou de ceea ce spuneai cnd cu numerelenaturale: poi s scoi o infinitate dintre ele i s-i rmn tot oinfinitate, iar mulimea celor rmase s fie la fel de numeroasca mulimea iniial. Bun. Dar atunci, mi-am spus c la feltrebuie s se ntmple i cu segmentele. i n momentul sta,

mi-am prins urechile. Dac elimin o bucat din segmentul meu,ceea ce rmne are la fel de multe puncte ca i segmentul? Dacar fi aa, atunci ar nsemna c lungimea nici nu mai conteaz:un segment ct un ac de brad i unul ct ecuatorul ar avea

7/21/2019 Ape Iron

39/164

acelai numr de puncte. Iar asta mi se pare din nou camexagerat. Ce tii de treaba asta?

-Nu am altceva de spus dect c lucrurile stau exact aa cum ai

intuit. Dac iei dou segmente, indiferent de lungimile lor, eleau acelai numr de puncte. Vrei s-i demonstrez asta foartesimplu? Fii atent la ce-i desenez aici:

-Cred c nu te ndoieti nicio clip de faptul c fiecare punct depe segmentul AB danseaz cu un singur punct de pesegmentul CD i invers. Da? Cum afli cu cine danseaz M?Simplu, iei creionul i uneti O cu M, apoi mergi mai departepn te ntlneti cu CD. Acolo este N, cu care danseaz M.i-e clar?

-Am neles, s-a luminat amicul meu. Uite ce rezolvare simpl,

chiar m mir c nu mi-am dat seama i singur!A urmat un minut de tcere, dup care i-am lansat provocarea.-Mai sunt multe altele la fel de simple. Ce zici, facem onelegere? Uite: ai cinci minute s mi demonstrezi c pe unsegment i pe o dreapt se gsesc tot attea puncte. Da, ai

7/21/2019 Ape Iron

40/164

neles bine: un segment, care are lungime finit i o dreapt,care este infinit, au acelai numr de puncte. Ei bine, dacreueti, mergem la bere i pltesc eu. Dac nu, ori nu mai

mergem la bere, ori mergem dar plteti tu. Ce zici?-Stai puin, nu m lua aa repede. nainte de asta vreau s mlmureti cu altceva. E a doua oar cnd te aud zicnd acelainumr de puncte cnd vorbeti de mulimi infinite. Dar care ofi, vere, numrul sta? Eu tiu c numr este 7, numr este12765, dar dac am o infinitate de puncte, care e numrul lor?Dac spun acelai numr de puncte, nseamn c pe ambele am

23 sau 5000 de puncte. Dar aa? Exist vreun numr care poartnumele de infinit? Vezi c sunt foarte atent la ce-mi spui. Daceram la bere probabil c treceam peste asta, dar la cafenea numai ine.

-Da, ai dreptate. Ceea ce spui tu este foarte corect. n modnormal nu ar trebui s spun numr de puncte cnd vinevorba de mulimi infinite. Numai c expresia asta a intrat n

limbajul tuturor i fiecare nelege despre ce este vorba. Practic,e un fel de convenie: nu e o exprimare corect, dar o accepttoat lumea. Cred c-i aduci aminte de vremea cndcltoream n autobuze foarte aglomerate i una din ntrebrilefrecvente pe care le auzeam n nghesuial era: cobori laprima?. Vezi c dac faci o analiz, constai c aa oconstrucie nu prea e corect. Cobori este la timpul prezent.

Ori n momentul n care se adresa ntrebarea, autobuzul ncnu ajunsese n staie, aa c nu se punea problema ca celinterpelat s coboare. Coborrea urma s se fac, deci era vorbade o aciune viitoare. Nimeni ns nu-i btea capul cu astfel delucruri. Era o convenie de limbaj pe care o accepta aproape

7/21/2019 Ape Iron

41/164

toat lumea. Spun aproape, fiindc ntr-o zi l-am auzit pe un tipntrebnd: vei cobor la prima? i pe muli ne-a apucat rsul,pentru c ntrebarea aia suna ca naiba.

-Bine, s-a marcat. n cazul sta, hai s fiu de acord cu pariul tu.Dar fii atent. Dac pierd, mergem la bere i pltesc eu.

Dou puncte n plus sau n minusAmicul meu a luat o hrtie i a nceput s fac tot felul de desene.nti a desenat un segment mic de tot i unul care traversantreaga coal. Se vedea pe el c ceva nu-i convine. i mi era

foarte clar ce: nu urmrea altceva dect s extind metoda mea cusegmentele. Dar era evident c ceva nu se leag, pentru c nu tiacum s obin punctul O. La mine fusese simplu: unisem capetelesegmentelor prin dou linii care se intersectau n O. Dar o dreaptnu are capete. i atunci ce s uneasc? Aici era dilema amiculuimeu. Iar el, n loc s caute o idee nou, salvatoare, nu fcea altcevadect s se nveruneze pe metoda mea. Bineneles c cele cinci

minute au trecut fr ca el s gseasc vreo soluie. Aa c s-a datbtut.-Btrne, problema nu am fcut-o, dar cel puin m-am ales cu oieire la bere!

Aa e amicul meu, niciodat nu accept o nfrngere n linite.Mereu trebuie s comenteze, s adauge ceva, s arate c i dac apierdut, nu a pierdut totul.

-Bine, mergem la bere. Hai s-i art acum ce simplu era.i i-am fcut urmtorul desen:

7/21/2019 Ape Iron

42/164

S-a uitat ce s-a uitat, dup care a zis:-Omule, nu pricep nimic. Scuz-m c i spun, dar cred c te-aipilit cu cafeaua. Pi era vorba de un segment i de o dreapt.Dreapta o vd, dar unde e segmentul?

-E aici, dar nu vrei tu s-l vezi. L-am curbat pn s-a transformatntr-un semicerc.-Da? Aha! Bun, dar P cine e? Dar O?-P este mijlocul segmentului, iar O este centrul cercului .-Care cerc?-Cel din care face parte semicercul.-Vd c a aprut i un cerc!

-Da, dac am un semicerc, nseamn c am i un cerc. Dac vreis-l vezi, ia un compas, pune-i vrful n O i completeazcercul.

-Aha. Hmmm. Mda, bine.Tot mormia n legea lui, semn c ncepuse s neleag cum staulucrurile.-Vad c te-ai prins, i-am zis. E clar c orice punct iei de pe

dreapt, dac l uneti cu O, obii un punct pe semicerc. n rest,nu am ce s-i mai explic.

Credeam c totul este clar, aa c mi-am sorbit ultima gur decafea, cu gndul c urmeaz o bere rece, apoi o dup-amiaz

7/21/2019 Ape Iron

43/164

panic n snul familiei. Dar nu aveam s scap att de uor.Amicul crcota trebuia s mai gseasc o chichi pe undeva.-Ascult btrne, dar ce te faci cu punctele A i B? Pi dac

uneti O cu A obii o paralel la dreapta de jos. i, dup ctetiu eu, paralelele nu se prea ntlnesc. Adevrat? Sau tepomeneti c o s-mi demonstrezi c nici aici nu am dreptate.Bun. Pi dac nu se ntlnesc, nseamn c A nu danseaz cunimeni de pe dreapt. La fel st treaba i cu B. Cum rmne cuteoria ta?

-Mai, dar tare repezit mai eti, i-am spus. Pi i-am dovedit c

segmentul AB din care ai scos dou puncte, anume A i B, aretot attea puncte cte are dreapta. Dar segmentul AB isegmentul AB fr extremiti, au acelai numr de puncte.Totnu te-ai lmurit c un punct sau dou nu conteaz cnd e vorbade mulimi infinite? Nu ai vzut nc de data trecut c dacscoi dintr-o mulime infinit un element, ceea ce rmne estetot o mulime infinit i c cele dou au acelai numr de

elemente? Nu ziceai chiar tu, azi diminea, c i-e limpede clungimea unui segment nu e afectat de apariia sau dispariiaunui punct? Pi dac ce spunem acum uii peste dou ore,nseamn c vorbim degeaba.Adevrul e c m cam suprasem. Amicul mi se arta deodat caun tip superficial i inconstant. Aveam senzaia c m chinuidegeaba cu el. Aa c i-am spus c am nceput s nu m simt prea

bine, probabil din cauza fumului de igar, drept pentru careberea se amn cu cel puin o zi. i am plecat acas. Pur i simpluam plecat, lsndu-l acolo, mirat i fr cuvinte. n timp ceieeam, simeam privirea lui cum m urmrete.

7/21/2019 Ape Iron

44/164

De ce nu se poate trage cu arculNu tiu cum stau lucrurile n cazul tu, dar pe mine suprrile num in prea mult. i, culmea, dup o vreme ncep s m simt

vinovat pentru situaia creat, chiar dac nu sunt eu cel care acreat-o. Aa s-a ntmplat i de data asta. N-au trecut bine douzile i am nceput s m frmnt, gndindu-m cum s fac s mntlnesc din nou cu amicul meu. tiam c i lui i pare ru pentruce s-a ntmplat, dar mai tiam c niciodat nu va face el primulpas spre mpcare. Aa c trebuia s inventez eu ceva. Tocmai mgndeam c singura soluie ar fi s i dau un telefon i s-l invit,

simplu, la o bere, cnd m-am trezit c problema se rezolv de lasine. Cum? Simplu, ca ntotdeauna. Cristina, soia amicului meu,a sunat-o pe Liliana, soia mea i ne-a invitat la o mic petrecere.Motivul? Cei doi mplineau cinci ani de csnicie. Aa c nu a maifost nevoie de niciun fel de subterfugii legate de bere.Cnd am ajuns la petrecere, am avut plcuta surpriz s constatc singurii invitai eram noi. Mie nu-mi plac chefurile cu mult

lume, la care fiecare vorbete n legea lui i nimeni nu mai nelegenimic. Prefer o mas linitit, n patru, unde poi s deschizi unsubiect care s-i intereseze pe toi ceilali. Iar la sfrit, mi places te poi retrage cu stpnul casei la o cafea pe teras, n vreme cedoamnele se pun pe povestit n sufragerie. Aa a fost i de dataasta. Abia am ateptat momentul n care voi fi doar eu cu amiculmeu, pentru a m lmuri dac mai are chef de misterele

infinitului. Aa c m-am bucurat tare mult cnd el, ca dinntmplare, m-a ntrebat:-Dar ie de unde i se trage, frate, plcerea asta de a-i bate capulcu infinitul?

7/21/2019 Ape Iron

45/164

i atunci m-am apucat s-i povestesc despre btrnul circar idespre teoriile lui privind imposibilitatea de a bea o halb. Asta l-a intrigat att de mult pe amicul meu, nct a trebuit s-i fac o

expunere mai amnunit.-Treaba asta cu halba nu este altceva dect unul dintre celebreleparadoxuri imaginate de Zenon din Elea prin anul 450 naintede Cristos. El a fost adaptat de btrn ca s fac impresie prinberrii, ns la origine era vorba de imposibilitatea ca sgeatatras de un arca s ajung la int. i nu pentru c ar fi vorbade un arca prost, ci pentru c micarea, n general, nu este

posibil. Uite ce spunea Zenon: pentru ca sgeata tras de arcas ating inta, ea trebuie nti s ajung la jumtatea distaneidintre arc i int. Pentru a ajunge ns la aceast jumtate, vatrebui nti s ajung la jumtatea jumtii, ceea ce nseamnla sfertul distanei. Numai c nici aici nu poate ajunge dac nuajunge mai nti la optime, iar anterior la aisprezecime i aamai departe. Exact ca n desenul sta:

Vezi, dac presupui c distana dintre arca i int este de 1,indiferent c e vorba de 1 metru sau un hectometru, punctele aleala care trebuie s ajung sgeata sunt 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, .

Devine clar c sgeata nu numai c nu poate ajunge niciodat laint, dar c ea nici mcar nu poate s plece din arc. i mai e ovariant, n care sgeata pleac, dar nu poate ajunge, pentru cnainte de a ajunge, trebuie s ajung la jumtatea distanei, apoila jumtatea jumtii i aa mai departe. Uite:

7/21/2019 Ape Iron

46/164

Vezi bine acum c btrnul despre care ti-am povestit nlocuisesgeata cu halba i inta cu buzele, susinnd apoi c halba nupoate fi dus la gur.Ahile i broasca estoasa

- Aa ceva mi se pare prea de tot, a pufnit amicul meu. Acest

Zenon din Elea a descoperit nite lucruri ntr-adevr uimitoare.-i nu a fost doar asta. Cel mai celebru paradox al lui Zenon estelegat de imposibilitatea ca un alergtor experimentat s ajungdin urm o broasc estoas care abia se mic. Fii atent cumsun treaba asta.Ahile, eroul din Iliada lui Homer, s-a trezit ntr-o bun ziprovocat la ntrecere de o broasc estoas, care pretindea c

ajunge naintea lui la linia de sosire. Singura condiie era caAhile s-i dea un avans, dar nu foarte mare. Care e lungimeacursei? a ntrebat Ahile. 100 de metri, a rspuns broascaestoas. i ce avans vrei? 10 metri. Atunci pe Ahile l-aapucat rsul i a spus: Nu ai cum s ctigi cursa asta. La carebroasca a spus: Ba da i dac m lai, i demonstrez astafoarte simplu. D-i drumul, a zis Ahile. Tu spui c poi s

parcurgi foarte repede cei zece metri pe care mi i-ai dat avans?Aa spun. i n timpul n care tu i parcurgi, eu ct dedeparte crezi c o s ajung? Nu mai departe de un metru.Aadar n momentul n care tu ai parcurs cei zece metri, ntrenoi va fi o distan de un metru. Adevrat? Aa e. i tu spui

7/21/2019 Ape Iron

47/164

c eti capabil s parcurgi foarte repede acest metru? Exactasta spun. Dar n timpul acesta voi fi fcut i eu o bucat dedrum, ceea ce nseamn c dup ce vei parcurge metrul cu

pricina, vei constata c ntre noi este iari o distan care nesepar. Asta cam aa e, a spus Ahile cu jumtate de gur.nseamn c de fiecare dat cnd tu vei ajunge la captuldrumului care ne desprea, socotind c m-ai prins, n sfrit,din urm, vei constata c nu sunt acolo ci c am parcurs i eu odistan, chiar dac una foarte mic. Aa c niciodat nu veiputea s m prinzi din urm. Ai dreptate, a spus Ahile i s-a

declarat nvins n cursa cu broasca estoas.-Hai c-mi place. Dac mai discut mult cu tine aflu c pe lumeaasta nu se poate face nimic. Nu cumva se poate demonstra cnoi, de fapt, nici nu existm?

-Nu. Dar nu se poate demonstra nici c existm. Numai c asta ealt poveste i nu are legtur cu infinitul.

7/21/2019 Ape Iron

48/164

-tii ce am vrut s-i spun? Eu de Ahile i de broasca estoasam mai auzit cndva i i spun i unde: n legtur cu tipulcare a scris Alice n ara Minunilor. Am crezut c e o povestepentru copii i nu i-am dat prea mare atenie. Ia stai s o caut,

c sigur o am pe undeva.Aa c ne-am dus ctre bibliotec, iar eu m-am apucat s-i spun

c tipul cu pricina a trit n secolul XIX i s-a numit Charles

Lutwidge Dodgson. Ocupaia lui de baz a fost matematica, dar a

scris i cri pentru copii, ntre care Alices Adventures n

Wonderland, semnat cu pseudonim: Lewis Carroll. Mare lucru

nu tiam nici eu despre acest om oarecum ciudat, aa c nufceam nicio legtur ntre el i Zenon. Nu mic mi-a fost mirarea

cnd amicul meu a scos de pe raft o brouric prfuit, pe care a

deschis-o i mi-a nmnat-o.

7/21/2019 Ape Iron

49/164

-Ia citete aici, prietene, a zis el triumftor.M-am uitat cu mult interes la titlul unui dialog imaginar, publicat

de Carroll n 1895: What the Tortoise said to Achilles. Un articol

nu foarte lung, dar suficient ct s m mpiedice s-l citesc pe loc.Aa c i-am cerut amicului meu broura mprumut, iar el mi-a

oferit-o cadou:

-Citete-o tu, btrne, i apoi povestete-mi i mie ce scrie acolo.

Poate pleca un fizician din buctrie?

Ne-am ntors pe teras, unde ne ateptau civa ciorchini destruguri i fel de fel de fructe exotice, frumos aranjate n vaseorientale.-Hai s vd dac am neles bine paradoxurile domnului Zenon,a nceput amicul meu. Carevaszic, nimeni nu poate ajungedintr-un punct ntr-altul, pentru c are de trecut nainte de astaprintr-o infinitate de alte puncte. Am neles bine?

-Da, n principiu cam asta ar fi treaba.-Dar atunci, te ntreb eu, de ce nu spunem aa: ntre A i B sunto infinitate de puncte; ca s le parcurg pe toate, mi trebuie oinfinitate de momente; n concluzie, am nevoie de un timpinfinit ca s ajung din baie n buctrie?

-Se poate spune i aa. Dac ai nevoie de un timp infinit,nseamn c nu poi s ajungi niciodat, pentru c dac ai

ajunge, ai ajunge ntr-un timp oarecare, dar acela ar fi clar finit.-i atunci e acelai lucru dac spun c nu pot s plec de pe locsau dac spun c plec dar nu ajung niciodat?

-Nu, sunt lucruri diferite. Dac ai plecat, nseamn c ai parcursdeja o distan, indiferent ct de mic ar fi ea. i atunci, nimic

7/21/2019 Ape Iron

50/164

nu te poate mpiedica s mergi mai departe i s parcurgi o altdistan i aa n continuare pn te trezeti c eti n buctrie.

-Pi atunci nseamn c nu se poate pleca de pe loc. n cazul

asta, al doilea paradox, care spune c sgeata nu poate ajungedei a plecat, nu prea mai are sens.

-Exist o mare diferen ntre cele dou, ntr-adevr. Dar nu poispune c cel de-al doilea nu are sens. Vezi tu, chiar dac cespune Zenon pare foarte adevrat, totui adevrul spuselor saleeste contrazis ntr-un mod foarte simplu: prin nsi deplasareape care tocmai am fcut-o venind din bibliotec. Deci nu poi

accepta spusele lui Zenon, ci trebuie s vezi unde greete el. nacest caz, al doilea paradox are i el sensul lui. Pentru c, dacprimul este explicat, al doilea nu se mai raporteaz la el, ca icum ar continua s exprime ceva adevrat. E ca i cum ai spunec toi romnii sunt butori de uic - lucru complet fals - iapoi, cnd cineva ar vorbi despre romnii care nu beauniciodat niciun fel de butur tare, ai zice c aa ceva este

absurd, pentru c toi romnii beau uic. Aa i aici. Deoarecemicarea este posibil, nseamn c primul paradox nu maiexist i atunci problema pus n paradoxul al doilea are sens,deci o putem discuta.

-Bine, am neles ce vrei s spui. Haide atunci s ne lmurim cuprimul paradox. S o lum mai pe ndelete. Problema care sepune este ca o sgeat aflat n A s ajung n B:

Dar ca s ajung n B, nti ar trebui s ajung la mijlocul luiAB, pe care o s-l notez C:

7/21/2019 Ape Iron

51/164

Acum vii i zici c nainte de a ajunge n C, sgeata noastrtrebuie s ajung n D, care e mijlocul lui AC:

Dar n D, spui tu, nu poate ajunge pentru c nainte de astatrebuie s ajung, pe rnd, ntr-o infinitate de alte puncte:mijlocul E a lui AD, mijlocul F al lui AE, mijlocul lui AF i totaa. Zic bine?

-Nici eu nu puteam s o zic mai bine, i-am spus rznd.

-Sgeata despre care vorbim noi este un obiect destul de mare.Dac n locul ei considerm un atom, fenomenul se modific n

vreun fel?-Nici vorb, Zenon i va demonstra uor c atomul tu nu sepoate mica din loc.

-Bun, atunci te ntreb: dar dac n loc de atom se consider unpunct, mai funcioneaz paradoxul lui Zenon?

-Eu zic c da, fr nicio modificare.-Pi ia s vedem: punctul nu are dimensiune. Cum se poate

vorbi despre micarea a ceva care nu are nici lungime, nicilime, nici nlime? Ce zic fizicienii?

-Aici e o problem foarte dificil. Fizicienii nu lucreaz cupuncte lipsite de dimensiuni. Pentru ei, punctele sunt punctemateriale. Un tren e un punct material, un bondar la fel, un

7/21/2019 Ape Iron

52/164

atom este considerat tot punct material. n felul sta, au senstoate legile fizicii. Aa este posibil micarea, pentru cpunctele astea materiale au mas. Dac i aduci aminte din

coal, masa este volumul nmulit cu densitatea. Ori un punctca al nostru, fr volum i fr densitate, nu are nici mas. iatunci, asupra lui nu poate aciona nicio for, drept pentrucare el nu se poate deplasa, adic nu poate pleca din loc.

-Pi atunci nseamn c Zenon are dreptate?-i repet c atta vreme ct tu poi s te miti prin cas, teorialui Zenon nu st n picioare. Este, ns extraordinar de dificil de

dibuit locul unde greete Zenon.-Deci nu tie nimeni care e treaba?-Matematica pretinde c a gsit rezolvarea, cu ajutorul seriilor.-Poi s-mi explici ce e cu seriile astea?

Adunnd la infinit-Uite cum st treaba. Dac iei un segment AB i consideri pe el

cteva puncte, hai s zicem C, D i E, cred c e limpede cum seobine lungimea lui AB: prin adunarea lungimilor celor patrusegmente.

Poi scrie, prin urmare: AB = AC+CD+DE+EB.

La fel stau lucrurile dac ai pe AB opt puncte sau un milion,sper c eti de acord. Ei bine, concluzia care se poate trage esteuna singur: dac marchezi pe segment punctele din paradoxullui Zenon, mai bine zis pe primele cteva, pentru c nimeni nuare timpul necesar ca s marcheze o infinitate de puncte,

7/21/2019 Ape Iron

53/164

observi c segmentul tu este alctuit dintr-o infinitate desegmente de lungimi din ce n ce mai mici.

i atunci nseamn c poi scrie: 1= 1/2+1/4+1/8+1/16+. Ei bine, asta este o serie: o sum infinit. n cazulsegmentelor lui Zenon, suma tuturor acestor numere este 1.Dar exist situaii n care suma unei infiniti de numere numai este finit. Aa stau lucrurile, spre exemplu, n cazul1+2+3+4+5+.. Nu vreau s intru prea mult n amnunte,

aa c tot ce i mai spun e c dac o sum de felul sta estefinit, se spune c seria este convergent. Orice altfel de serieeste divergent.












7/21/2019 Ape Iron

54/164









totusipovestileDOTblogspotDOTcomHotelul lui HilbertAjuni la Bucureti, ne-am dus direct la hotel. Rezervarea fusesefcut din vreme, ca s nu avem surprize. Nu puteam s mergemla concert direct din gar. Pentru c fceam parte din categoriaoamenilor respectabili, cltoream mbrcai n costum i cucravat, ca s ne ncadrm n nite tipare pe care eu, unul, nu o s

le aprob niciodat. La concert, ns, nu puteam merge aa.Singura inut acceptabil presupunea blugi i diverse accesorii.Aa c aveam cu noi bagaje, pe care nu le puteam desface dectntr-o camer de hotel. n timp ce despachetam, amicul meu a zis:-Bine c au avut tia locuri, btrne, c altfel nu tiu pe undescoteam cmaa. Sincer i spun, cnd ne-am trezit c ne trebuiehotel, acum trei zile, m gndeam c este absolut imposibil s

gseti mcar un loc, cu concertul asta.-Dar ce-i nchipui tu, c toat ara d nval la Jethro Tull? Eui spun c dac ntrebi pe strad, din zece oameni dac gsetiunul care s fi auzit de Ian Anderson. Asta a fost muzica

7/21/2019 Ape Iron

55/164

noastr, btrne, aa c nu te atepta ca generaiile de azi s fieinteresate de Jethro Tull.

-Ai i tu dreptate, frate. De aia nici nu au fost probleme cu

rezervrile.i atunci mi-am amintit de unul dintre hotelurile mai puinobinuite cu care m ntlnisem n cadrul lecturilor pe temainfinitului.-Vezi tu, btrne, toat treaba cu hotelurile este c ele au unnumr finit de camere. Dac ar fi posibil s construieti undevaun hotel cu o infinitate de camere, cazarea chiar c nu ar mai fi

o problem.-Ca s construieti un asemenea hotel, i-ar trebui un spaiuinfinit, cantiti infinite de materiale, un numr infinit delucrtori i un timp infinit. Aa c nu are sens s ne facem vise,pentru c hotelul tu nu o s existe niciodat.

-tii ce mi place la tine? Gndeti ca un vechi indian. Nu accepidect ceea ce vezi n faa ochilor. Mai devreme spuneai c nimic

nu te poate mpiedica s i nchipui orice. Acum vd c te-airzgndit.

-Mi, dar argos mai eti. Glumeam i eu, ca tot omul. Sau tepomeni c nu mai am voie nici s glumesc?

-Glumeai? Atunci e n regul. nseamn c poi s i laifantezia liber i s accepi c undeva, n spaiul infinit, exist iun hotel infinit. Eti de acord c ntr-un asemenea hotel nu s-ar

mai pune problema cazrii?-Pi sigur c nu se mai pune. Dac am o infinitate de camere,nseamn c am mereu i o infinitate de camere goale.-Serios? Ce vrei s zici cu asta?

7/21/2019 Ape Iron

56/164

-Simplu. M gndesc c dup ce hotelul sta a fost construit, elare o infinitate de camere i toate sunt goale. Nu? Cnd linaugurez, ncep s vin turitii. Bun. S zicem c prima dat

vin 100 de turiti. i cazez frumos i mi rmn o infinitate decamere libere. Am dreptate?

-Ai, am zis eu. Asta e clar, dac dintr-o infinitate de camereocupi 100, rmi cu o infinitate de camere libere.

-Pi atunci e clar. De cte ori vin nite turiti, c sunt doi, c sunttrei mii, c sunt un milion, i cazez i rmn cu o infinitate decamere libere. Aa c treaba e rezolvat i nu am btaie de cap.

-Ascult aici. Ziceai c hotelul sta poate fi construit doar dacai o infinitate de muncitori. Eti de acord? Ia s ne nchipuim ctoi muncitorii tia vin ntr-o zi i cer cazare. Tu ai patrumiliarde de camere ocupate. Ce faci n situaia asta?

-La patru miliarde ocupate, imi ramn o infinitate libere. Cum evorba de o infinitate de muncitori, nseamn c i cazez pe toifr nicio problem.

-i n cazul sta ai hotelul plin, de acord?-Pi aa s-ar zice. Grad de ocupare 100%, visul oricrui hotelier.-Excelent. Dar ia s ne nchipuim c dup ce i-ai umpluthotelul, te trezeti la recepie cu nc un turist.

7/21/2019 Ape Iron

57/164

Aici amicul meu a avut un moment de descumpnire. Se vedeaclar c nu-i pusese nicio secund problema n felul sta.-Pi de unde s mai apar nc unul frate? Nu au venit toi,

adic infinitatea aia?-Stai puin, pi aia erau muncitorii, o infinitate de muncitori. Ce,crezi c nu mai exist i alt fel de turiti dect muncitorii? Dacvine de exemplu soia unuia dintre ei? Dar dac vine patronulhotelului ce te faci? la, dac nu are loc, te concediaz imediat.i eu a face la fel. i-a zice cam aa: pi bine miincompetentule, ai o infinitate de camere pe mn i nu poi s-

i dai efului tu un singur amrt de loc? Las c angajez pealtcineva dac tu nu eti n stare s te descurci.

-Sincer nu tiu ce a mai putea face. Doar s dau repede afar unmuncitor.

-Mai, tu nu eti n toate minile? Cum s dai afar un client carei-a pltit camera? Pi tu nu tii ce spune legea? Ct vremeomul st n camera lui pltit, este ca i cum ar fi proprietarul

ei. Nu-i este bine?-Atunci chiar c nu mai tiu. M d afar pe mine i cu astabasta.-Te pripeti, ca de obicei. Hai s-i spun eu cum faci ca s fietoat lumea mulumit. Te duci frumos la clientul de la camera1 i l rogi s te neleag, dar s-a ivit o problem i trebuie s semute la camera 2.

-Pi stai puin. Cu omul de la 2 ce fac? Parc ziceai c eproprietar pe camera lui.

-Este. Dar l rogi frumos s se mute la 3.-Aha. i cu cel de la 3 ce fac?-Il mui la 4.

7/21/2019 Ape Iron

58/164

-Bun, o in tot aa. Dar pe ultimul unde l mai mut? n spaiulintergalactic, s se roteasc acolo o infinitate de ani?

-Care ultimul, btrne? Pi nu sunt o infinitate?

In momentul sta a realizat cum stau lucrurile. S-a luminat la fai a zis:-Btrne, eti fenomenal. E foarte clar acum. Dac omul st lacamera n, eu l mut la n+1 i aa la infinit. n felul sta, absoluttoi clienii rmn n hotel i am eliberat camera 1. Excelentmutare!

-ntr-adevr, ai prins pilul. n felul sta poi elibera orice

camer vrei tu, nu neaprat camera 1. De exemplu, dac vrei seliberezi camera 18, pe primii 17 i lai pe locurile lor, iar pe celde la 18 l mui la 19 i aa mai departe.

-Fii atent, btrne, la ce m-a dus mintea. Eu zic c pot s cazezsuplimentar nu doar o persoan, ci oricte vreau. Pi nu e greudeloc. S zicem c am hotelul plin i m trezesc la u cu 87 declieni. nseamn c trebuie s eliberez primele 87 de camere. i

atunci pe tipul de la 1 l mut la 88, pe cel de la 2 la 89 i tot aa,la infinit.

-Aa e btrne, exact cum spui tu. Pentru cazul general, dac vinn turiti, pe cel de la 1 l duci la n+1, pe cel de la 2 la n+2 i totaa. Adic omul de la camera x se duce la camera x+n.

7/21/2019 Ape Iron

59/164

-Clar maestre. Asta nseamn c nu pot s am problemeniciodat, orict de muli turiti mi-ar sosi la u.

-Iar te grbeti. Te-ai ntrebat ce se poate ntmpla dac ai

hotelul plin i trebuie s cazezi o infinitate de ali turiti?La asta nu se atepta. Probabil c nc i nchipuia c dac hotelule plin, nseamn c n el se afla toi turitii din univers, cu excepiaunui numr finit de rtcii sau ntrziai.-In cazul sta, a spus el, pe cel de la 1 ar trebui s-l mut cu oinfinitate de camere mai ncolo, ceea ce nu vd cum ar fiposibil. Metoda noastr chiar c nu mai ine n aa o situaie.

-Bine spui, metoda asta nu mai ine. Dar oare nu am putea gsio alta? Oare din cele ce le-am tot discutat de-a lungul timpului,nu gseti nimic care s ne poat ajuta?

A stat i s-a gndit ndelung. A fi putut s-l ntrerup dinmeditaie i s-i spun care e soluia, dar aveam aa, un sentiment,c o poate gsi i singur. Marele lui defect nu era lipsa inteligenei,ci faptul c era prea repezit. Aa c l-am lsat s se gndeasc.

-Am gsit, btrne! a exclamat el dup cteva minute. Pe cel dela 1 l duc la 2. Cel de la 2 merge la 4. Tipul de la 3 se duce la 6.i uite aa, omul cazat la camera x se mut la camera 2x. Ce zicide micarea asta? Acum o s am libere toate camerele cunumere impare: 1, 3, 5, 7, 9, etc. Corect?

-Mai mult dect corect, btrne, i-am spus. Merii o bere de dataasta. Nu tiu dac ne las pe stadion cu berile la noi, dar putem

ncerca.

7/21/2019 Ape Iron

60/164

-Nu ne las, i spun eu. Pi ce-ar fi dac ar ncepe s se mbetelumea pe acolo? Ar fi dezastru. Ian Anderson probabil c arntrerupe concertul i ar pleca toat trupa. Nu ine.

-Dar bem o singur bere, am zis eu.-Noi da, dar dac ar fi la liber, s vezi tu ce ar face alii. Hai snu mai discutm. Bem berea dup concert.

Nu am mai continuat discuia. Amicul meu avea dreptate. Nu toioamenii sunt la fel. Unii pot s bea linitii o bere i s le ajung.Alii au nevoie de zece i dup aia trec la vodc sau coniac. Aa ccel mai bine e ca la concerte s nu se bea nici mcar o singur

bere.

Dup concertCred c v dai seama c dup concert nu ne-a mai ars de discuiipe teme de infinit. Pur i simplu am stat i am comentat ceea cevzusem i auzisem. Ian Anderson fusese genial, bineneles, i netot miram cum mai putea la vrsta lui s se mite dou ore fr

pauz n felul n care o fcuse. Ct despre muzic, ce s maidiscutm. Ne gndeam cum ar fi fost s fi avut parte de concertulsta cnd eram de 17 ani. Iar de aici am ajuns, firete, s depnmamintiri din vremea adolescenei, aa c nici nu ne-am dat seamacum a trecut timpul i cum s-a fcut aproape ora apte dimineaa.

7/21/2019 Ape Iron

61/164

Trenul ctre cas pleca pe la 15. Am cerut recepiei s ne sune laprnz i am adormit butean amndoi.Bineneles c trezirea a fost un moment tare dificil. Cu chiu cu vai

am reuit s ne pregtim pentru plecare, spunndu-ne c vomrecupera somnul n tren. Numai c n-a fost s fie aa. Conformunei legi binecunoscute, n secunda n care ne-am instalat ncompartiment i trenul s-a pus n micare, ne-a srit i nousomnul. Aa c nu ne-a rmas dect s continum discuiadinaintea concertului.-i cum ziceai c e cu hotelul la infinit? a ntrebat amicul meu,

pe un ton uor plictisit.-Pi cum s fie, am replicat eu, am rmas la momentul n care aide cazat o infinitate de turiti, hotelul fiind plin ochi. i chiar tuai descoperit o metod simpl prin care se pot elibera camerelecu numere impare.

-Aa este, btrne, adevrul e c am fost tare. De acum nainte,nu cred c hotelul sta mai are secrete pentru mine. Mine m

duc acolo ca director.-Poate c ai fi un director bun dac n-ar trebui s rezolvi dectsituaii simple, ca cele pe care le-am discutat. Mai sunt nscteva lucruri care ar putea s i se ntmple i nu sunt sigur cai ti pe unde s scoi cmaa dac te-ai izbi de ele.

-Sincer i spun c nu vd ce situaii ar mai putea s apar. Maimult dect s vin o infinitate de turiti ce se poate ntmpla?

-S zicem c ai hotelul plin i te trezeti la u cu o infinitate denoi clieni, care fac parte cu toii dintr-o asociaie oarecare. Teapuci i-i cazezi n camerele cu numere pare sau n celeimpare, nu are importan. Bun. Toat lumea e mulumit, maipuin membrii asociaiei, care ar fi vrut s stea n camere

7/21/2019 Ape Iron

62/164

alturate. Dar pentru c asta nu se poate rezolva nicicum, auacceptat s fie intercalai cu ceilali clieni ai hotelului. i acumfii atent. Dimineaa, la prima or, te trezeti la recepie cu un

nou grup infinit de turiti. Ce faci cu ei?-Pi ce mare filozofie? Fac acelai lucru. Eliberez camerele parei i cazez acolo.

-Da? i crezi c e chiar aa de simplu s faci lucrul asta? Ia hai svedem despre ce e vorba.

Am scos pixul i m-am apucat s desenez pe spatele ambalajuluide la ciocolata pe care o cumprasem n gar.

-La nceput, camerele erau ocupate ca n primul desen. Apoi au

venit bieii cu asociaia i le-ai eliberat camerele pare. Bun. Smergem mai departe.

-Aici vezi cum arat hotelul dup ce i-ai cazat pe cei noi. E clar,

i-am notat cu litere, ca s i deosebim de primii clieni, care au

numere. O s spui c literele se termin la z i eu am o

infinitate de tipi. Adevrat, a fi putut s-i notez cu a1, a2, a3etc,

exact cum am numerotat camerele C1, C2, C3, etc i nu mai

7/21/2019 Ape Iron

63/164

aveai ce comenta. Dar pentru ce vreau s-i explic eu e suficient

s i desenez numai cteva camere i atunci m pot descurca i

fr indici. Uite ce se ntmpl dup ce vine al doilea grup:

-

In desenul sta vezi hotelul dup ce ai eliberat din noucamerele cu so C2, C4, C6, etc.

-Frate, eu nu pricep de ce-mi faci schemele astea, a zis amiculmeu. Pi tiu i eu cum se procedeaz, c doar eu am gsit

metoda asta.

-Btrne, nici nu tiu ce s mai zic. Pn la urm cred c nu aicaliti de hotelier. Pi dac ai o asemenea funcie, trebuie srespeci toate preteniile clienilor, altfel nu mai vin niciodat lahotelul tu. Vd c ai uitat deja c membrii asociaiei nu prea

au fost mulumii c i-ai cazat din dou n dou camere. Dupnoua micare pe care vrei s-o faci, constat c i rreti nc imai mult. Acum ntre ei se afl cte trei camere. Te asigur cdac faci aa ceva, bieii vor considera c i bai joc de ei i vorpleca la alt hotel.

-Pi n cazul asta, a zis amicul meu, privindu-m cu nite ochifoarte gnditori i lundu-mi pixul din mn, i spun eu cefacem. Pe indivizii tia recalcitrani i las pe loc i i rrescnumai pe ceilali.

7/21/2019 Ape Iron

64/164

Ei, ce zici? Am rezolvat-o?-Ai rezolvat-o, metere, am zis eu. Cu adevrat cred c ai

nceput s te pricepi. Numai c asta nu e tot. Imagineaz-iurmtoarea situaie. Patronul hotelului tu, ca orice patron, nu

s-a mulumit s construiasc un singur hotel infinit. Vznd c

afacerea merge, a construit o infinitate de astfel de hoteluri. i,

ntr-o bun zi, a luat hotrrea s le bage pe toate n reparaii

capitale, cu excepia unuia singur. Ghinionul face c unicul

hotel rmas n funciune este al tu, ns mcar ai norocul c

tocmai s-a golit de turiti. Aa c primeti un telefon prin care

eti anunat c trebuie s primeti toi turitii aflai n celelalte

hoteluri, care sunt toate pline ochi. Cu alte cuvinte, chiar a

doua zi vor sosi la recepie o infinitate de grupuri infinite de

turiti, pe care tu va trebui s-i cazezi. Acum s te vd, btrne,

cum te descurci.

-i tu crezi c m-ai dat gata cu mecheria asta? Nici nu tiu ceva

mai simplu de fcut. Uite cum fac. Primul grup l cazez normal,

n ordinea camerelor, pn umplu hotelul. Apoi eliberez

camerele pare i cazez n ele al doilea grup. Eliberez din nou

camerele pare i cazez acolo al treilea grup. Mai fac o datmicarea i cazez al patrulea grup. i uite aa, fcnd treaba

asta de fiecare dat, cazez pe absolut toat lumea.

7/21/2019 Ape Iron

65/164

De-a berbeleacul pe coridorul infinitCred c v-am mai spus de cteva ori lucrul sta: amicul meu este

tare repezit cteodat. Te trezeti c spune cte o chestie de nu te

mai dezmeticeti mult vreme dup ce i-a servit-o.-Aa, carevaszic, am spus eu. Ia explic-mi tu mie urmtoareatreab. Zici c la nceput iei primul grup i l cazezi n ordineacamerelor. Bun. Dup aia vii cu al doilea grup, aa-i? i ce faci,te duci la camerele pare i le spui celor de acolo: oameni buni,tiu c abia v-ai cazat, dar uite, a intervenit ceva i trebuie s

v mutai n alte camere?-Pi asta fac, dac vreau s rezolv pe toat lumea, a insistatamicul meu.

-Bine. Hai s presupunem c eu sunt unul dintre membriiprimului grup i iniial m-ai cazat la camera 2. Unde m ducicnd vine urmtorul grup?

-La camera 3, evident.

-Foarte frumos. M duc la 3, chiar dac toat treaba mi se parecam ciudat. M apuc s despachetez. ntre timp, tu ocupicamerele pare. Imediat ce termini, te apuci de urmtorul grup,drept pentru care trebuie s eliberezi din nou camerele pare. Iaspune-mi, te rog, unde l mui pe cel de la camera 2?

-La 3, ca de fiecare dat.-Serios? Dar la 3 sunt cazat eu.

-Pe tine te mut la 5.-Hai c aici m-ai dat gata. Pi abia m-ai mutat de la 2 la 3 c tenfiinezi din nou i mi ceri s m duc la 5?-Pi ce s fac btrne? Asta este situaia.

7/21/2019 Ape Iron

66/164

-Omule, eu deja zic c ntreci msura. Dar hai s presupunem csunt un tip de treab, care nu face scandal din te miri ce. Aa caccept i treaba asta. Strng din nou bagajele i m duc la 5.

Despachetez i m bag sub du, pentru c am transpirat tottrambalndu-m dintr-o camer n alta i tot mpachetnd idespachetnd. ntre timp, tu umpli camerele cu so i te apucide urmtorul grup. Corect? Bun. nseamn c va trebui seliberezi iar camerele cu so. Unde l duci pe tipul de la 2?

-Pi ca de fiecare dat. l duc la 3-i pe cel de la 3?

-La 5, a zis amicul meu cu jumtate de gur.-Pi stai puin

Ape Iron

Documents

Transcript of Ape Iron