APDcurs

8/4/2019 APDcurs

1/56

Germn Zoltn :Achiziia i prelucrarea datelor 2011

1

Achiziia i prelucrarea datelorCurs 2011

Cuprins (tematic de examen)1. Eantionarea semnalelor...................................................................................................................2

1.1 Introducere. Noiuni fundamentale.............................................................................................. 21.2 Eantionarea ideal .....................................................................................................................41.2.1 Teorema eantionrii (teorema lui Shannon) .........................................................................6

1.3 Eantionarea real (neideal) ......................................................................................................91.4 Circuite eantionare i memorare .............................................................................................. 12

1.4.1 Introducere. Definiii .......................................................................................................... 121.4.2 Ansamblul CEM-CAN ....................................................................................................... 151.4.3 Principii de construcie CEM..............................................................................................16

2. Conversia numeric-analogic a semnalelor.....................................................................................192.1. Introducere. Definiii ............................................................................................................... 192.2 Principiile conversiei numeric analogice ................................................................................... 20

2.3 Parametri convertoarelor numeric analogice ............................................................................. 212.3.1 Parametri statici .................................................................................................................. 212.3.2 Parametri dinamici..............................................................................................................25

2.4 Structuri de convertoare N/A .................................................................................................... 252.4.1 Convertoare N/A cu rezistene ponderate............................................................................252.4.2 Convertoare N/A cu reele de rezistene R-2R.....................................................................26

3. Conversia analog-numeric a semnalelor ....................................................................................... 293.1 Introducere. Definiii. Principii ................................................................................................. 293.2 Parametrii convertoarelor analog/numerice ............................................................................... 30

3.2.1 Parametri statici .................................................................................................................. 303.2.2 Parametri dinamici..............................................................................................................34

3.3 Tipuri constructive.................................................................................................................... 353.3.1 Convertoare A/D de tip paralel (FlashConverter) ................................................................ 353.3.2. Convertoare A/N cu aproximaii succesive (de tip serie) .................................................... 383.3.1 Convertoare A/N cu numrtor...........................................................................................403.3.4 Convertoare delta-sigma ..................................................................................................... 45

4.Semnale discrete n timp ................................................................................................................. 494.1 Definiii i notaii......................................................................................................................494.2 Analiza spectral a semnalelor discrete periodice...................................................................... 504.3 Analiza spectral a semnalelor discrete neperiodice .................................................................. 54

Bibliografie recomandat

1. Toma, L. : Sisteme de achiziie i prelucrarea numeric a semnalelor. Editura de Vest,Timioara 1977

2. Sztojanov, I (coordonare) : de la poarta TTL la microprocesor. Editura Tehnic Bucureti 19873. Dbcan, M., A. : Sisteme de conversie i achiziie a datelor. Casa Crii de tiin Cluj-

Napoca 2001

8/4/2019 APDcurs

2/56


2

1. Eantionarea semnalelor

1.1 Introducere. Noiuni fundamentale

Eantionarea este o metod de reprezentare a semnalelor analogice printr-o succesiune(secven ) de eantioane de amplitudine, prelevate la momente discrete de timp (vezi figura 1.1)

Un caz practic foarte important este eantionarea cu memorare, cnd eantioanele, obinuteinstantaneu sunt memorate temporar un interval de timp t , sub form analogic. Se poate imagina iun alt mod de eantionare i anume la care dispozitivul de eantionare const dintr-un comutator nchisperiodic un interval de timp t , cu perioada ST . Acest mod de eantionare se numete eantionare cu

urmrire.n majoritatea aplicaiilor se utilizeaz o eantionare uniform, adic se ia cte un eantion

(sample) din T n T intervale de timp dintr-o funcie arbitrar de timp ( )tf , iar aceste eantioane setrateaz ca elementele unui ir discret n timp.

Astfel procesul de eantionare poate fi privit ca o modulaie multiplicativ ce are ca rezultat

multiplicarea funciei ( )tf cu seria periodic ( )tp :

( ) ( ) ( )tftptfS = (1.1)

Fig. 1.1 Reprezentarea eantionrii

Funcia ( )tp fiind periodic, se poate dezvolta n serie Fourier complex, dup cum urmeaz:

( ) +

=

=n

tjn

nSeCtp

(1.2)

unde coeficienii nC se pot calcula cu relaia:

( )+

=

2

2

1

T

T

tj

n dtetpT

C S , unde

TS

2= (1.1)

este frecvena (pulsaia) de eantionare, iar coeficienii nC depind de n.

Un circuit de eantionare-memorare realizeaz prelevarea la intervale de timp egale saualeatoare, a unor eantioane de amplitudine din semnalul analogic aplicat la intrare i memorareaacestora pe durata conversiei analog-digitale.

8/4/2019 APDcurs

3/56


3

Fig. 1.2 Etapele eantionrii

astfel produsul celor dou funcii devine:

( ) ( ) ( ) +=

=

+=

=

==

n

n

n

n

tjn

n

tjn

nSSS etfCeCtftf

(1.4)

De unde se poate calcula transformata Fourier a funciei eantionate, aplicnd proprietatea dedeplasare:

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ] ( ) +

=

+

=

+

=

==

==

n n

Sn

tjn

n

n

tjn

nSS nFCetfCetfCtfFSS

FFF (1.2)

unde prin definiie ( ) ( ){ }tfF F= , este transformata Fourier a funciei f(t).Se poate constata c spectrul semnalului eantionat (transformata Fourier) este mai larg dect

spectrul semnalului originar i este format dintr-o succesiune de spectre ( )F (spectre de baz)

centrate n jurul frecvenelor Sn .

S-a presupus o funcie de spectru limitat la frecvena maxim corespunztoare luim

.

8/4/2019 APDcurs

4/56


4

Funciap(t) influeneaz spectrul semnalului eantionat prin valorile lui nC , valori care ntr-un

caz ideal (eantionare cu impulsuri Dirac) pot fi egale cuT

1, obinnd n acest caz repetarea

neponderat a spectrului de baz cu frecvena Sn .

Fig. 1.1 Eantionare corecti eantionare cu suprapunerea spectrelor

ObservaieSe poate observa c dac nu se ndeplinete condiia SmS +> dintre frecvenele de

eantionare, respectiv cea maxim a semnalului, apare o suprapunere a spectrelor, lucru nedorit pentruc n acest caz nu se mai poate reface semnalul original din eantioane

1.2 Eantionarea ideal

Dac n loc de funcia p(t) pentru eantionare se folosete irul de impulsuri Dirac (funcia

comb-pieptene), avem cazul eantionrii ideale:

( ) ( )+

=

==n

T nTttptcomb )(* (1.3)

astfel semnalul eantionat cu funcia de eantionare ideal (funcia comb), devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nTttxnTttxtfnn

== +

=

+

=

* (1.7)

8/4/2019 APDcurs

5/56


5

unde semnul * se refer la eantionare ideal, pentru a o distinge de cea real. Funcia Dirac estenenul numai n vecintatea lui zero, adic n vecintatea lui nTt= , avnd o arie unitar (lucru cerezult din definiia funciei delta) i are proprietatea:

( ) ( ) ( )

+

= tt 0 (1.8)

De unde expresia semnalului eantionat cu funcia de eantionare ideal:

( ) ( ) ( )+

=

=n

nTtnTftf * (1.9)

Funcia ( )tp* poate fi i ea dezvoltat n serie Fourier, fiind o funcie periodic:

( ) ( ) ( )

+

+

====

2

2

2

2

** 111;

T

T

T

T

tjntjn

n

tjn

nTetTetpTCeCtp

SSS

(1.10)

( ) +

=

=n

tjn SeT

tp1* (1.11)

Iar transformata Fourier a funciei eantionate cu impulsuri Dirac va fi:

( ) ( )[ ] ( )+

=

==n

SS nFT

tfF 1* (1.12)

Dac avem n vedere c funcia Dirac are proprietatea:

( )[ ] ( )+

== 1tjett (1.11)

pe de alt parte prin aplicarea proprietii de deplasare n timp:

( )[ ] ( ) Featf ja = (1.14)

unde ( )F este transformata funciei ( )tf deducem urmtoarele:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]=== +

=

+

= n

jnT

n

StenTfnTtnTftfF *

( ) ( ) jnTn

S enTfF

+

=

= (1.12)

8/4/2019 APDcurs

6/56


6

Fcnd egalitate ntre cele dou relaii care exprim spectrul semnalului, obtinem egaliatatea:

( ) ( )+

=

+

=

=n

Tjn

n

S enTfnFT

1

(1.13)

numitegalitatea lui Poisson, care se refer la eantionarea semnalelor n timp.

1.2.1 Teorema eantionrii (teorema lui Shannon)

Dac un semnal analogic descris prin funcia ( )tf este de band de frecven limitat, adic

mB = i este eantionat cu frecvena de eantionare Sf , pentru a putea reface integral semnalul din

eantioane condiia pentru frecvena de eantionare este:

mS ff 2> (1.17)

undem

f este frecvena maxim din semnal

22

Bf m

m== , iar refacerea n acest caz se poate cu

relaia:

( ) ( )

( )

( )+

=

=n S

S

nTt

nTt

nTftf

2

2sin

(1.18)

Observaien teoria informaiei teorema esantionrii mai este cunoscuti sub numele de teorema Withacker-Kotelnikov-Shannon (WKS) i a fost aplicat n tehnic de Nyquist. Frecvena de eantionare

mSff 2' = (care n caz real nu este suficient, aa cum vom vedea mai trziu, dar se folosete mult

n calcule de situaii limit n inginerie) se numetefrecvenNyquist.

Alegerea frecvenei de eantionare implic cunoaterea spectrului semnalului, i limitareacorespunztoare a benzii sale cu ajutorul unui filtru trece-jos (FTJ), numit i filtruantialias.(antialiasing filter). n continuare se prezint dou cazuri n care se eantioneaz cu frecvenaNyquist i se va observa c aceast frecven de obicei nu este suficient, deoarece se ajunge la erori nrefacerea semnalului original.Fie de exemplu un semnal sinusoidal care se eantioneaz cu frecvenaNyquist, adic:

mSff 2= (1.19)

8/4/2019 APDcurs

7/56


7

Fig 1.4 Eantionare critic (la limit)

n primul caz prin refacere din eantioane se obine un semnal triunghiular de frecvenasemnalului sinusoidal original (din care ns se poate obine semnalul sinusoidal cu ajutorul unui filtrutrece-jos) dar n cazul al doilea se obine un semnal nul (eantioanele se iau chiar n punctele de trecereprin zero). Deci se poate afirma c aceast frecven nu este suficient pentru o refacerecorespunztoare.Dac se eantioneaz cu o frecven

mSff 2< atunci situaia devine i mai dramatic

n sensul c la refacere se obine un alt semnal dect cel eantionat ( fenomen numit aliasing, adicaltceva), aa cum se vede pe figura alturat:

Fig 1.2 Subeantionare

n acest caz apare o suprapunere a spectrelor (vezi figura 1.1), fenomen ce face imposibilrefacerea corect a semnalului original, prin refacere obinndu-se un alt semnal, diferit de cel original(semnal alias). Pentru a vedea modul n care se reface semnalul pornim de la spectrul din figura de mai jos, unde s-a eantionat cu o frecven apropiat de cea Nyquist. Pentru a obine semnalul original,semnalul refcut din eantioane se trece printr-un filtru trece-jos ideal de funcia de transfer ( )H ,care are proprietatea:

8/4/2019 APDcurs

8/56


8

( )

>

=

2,0

2,1

S

S

pentru

pentru

H

(1.20)

Fig 1.3 Trecerea semnalului eantionat printr-un filtru ( )H

Trecerea semnalului prin filtrul trece-jos ideal d spectrul dorit:

( ) ( ) ( ) SFTHF = (1.21)

aplicnd transformata Fourier invers , obinem:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+

=

+

=

=

==

n

Tjn

n

TjneHnTfTenTfHTFtf

111 (1.22)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )nTthnTfeHnTfTtfnn

Tjn==

+

=

+

=

(1.21)

8/4/2019 APDcurs

9/56


9

( ) ( )[ ] ( )

=

====

+

+

2

2sin

1

2

1

2

1

2

122

2

2

1

t

t

Tee

tjdedeHHth

S

S

tjtjtjtj

SS

S

S

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) +

=

+

=

==n n S

S

nTt

nTt

nTfnTthnTftf

2

2sin

(1.24)

Deci trecerea semnalului eantionat ( )tf* printr-un filtru trece-jos ideal de frecven de tiere egal cu

frecvena Nyquist ( )H d ca rezultat semnalul original ( )tf .

1.3 Eantionarea real (neideal)

Pn acum am presupus c semnalul de eantionare este semnalul ir de impulsuri Dirac(funcia comb), ceea ce nu este posibil n cazuri reale, deoarece nici un sistem fizic nu poate produceun semnal electric de acest tip, astfel nct nu mai putem neglija limea impulsului de eantionare.

Semnalul de eantionare de perioad T, va avea n acest caz i o lime , ceea ce va influenaseria Fourier corespunztoare, prin valoarea coeficienilor nC ( se presupune c pe durata impulsului de

eantionare se urmrete funcia):

=

==

+

+

222

2

111

SSS

jnjn

S

tjn

n eenjT

dteT

C

T

n

T

n

T

sin1

(1.22)

Folosindu-ne de proprietile transformatei Fourier, precum i de formula de refacereasemnalului din eantioane (1.18) obinem expresia spectrului semnalului eantionat real:

( ) ( )+

=

=n

S

R

SnF

T

n

T

n

TF

sin1

(1.23)

ObservaieSe observ faptul c expresia spectrului obinut n cazul eantionrii ideale va fi nmulit cu ofuncie de tip sinus cardinal, o curb de anvelop ce depinde de durata impulsului deeantionare. n caz ideal cnd 0 , iar TCn 1 se reobine formula ideal (1.18). Dac

T adic nu avem durat de timp ntre eantioane, atunci 0=nC pentru 0n i 10 =C

respectiv ( ) ( ) FFS

1.4 Eantionare cu memorare (electronic, sample & hold)

8/4/2019 APDcurs

10/56


10

n acest caz valoarea semnalului este constant pe durata unui eantion, pentru ca circuitulconvertor analog-numeric s aib la dispoziie o perioad de eantionare pentru conversie.

Fig. 1.7 Eantionare cu memorare

Semnalul eantionat astfel, poate fi scris:

( ) ( )+

=

=

n

SHSH nTtpnTftf

2

(1.27)

unde ( )tpSH este semnalul dreptunghiular de durat i are expresia:

( )

>

=

20

21

t

t

tpSH (1.28)

8/4/2019 APDcurs

11/56


11

( ) ( ){ } ( )

2

2sin

=== +

dtetptpP tjSHSHSH (1.29)

iar spectrul semnalului dup eantionare-memorare:

( ) ( ){ } ( ) =

==

+

=n

SHSHSH nTtpnTftfF 2

( ) ( ) ( ) ( )

FePenTfePj

SH

n

ntjj

SH ==

+

=

22 (1.10)

n cele din urm, spectrul unei serii obinute dintr-un semnal eantionat cu frecvena S , memorat cu

semnal dreptunghiular de durat va fi:

( ) ( )+

=

=n

S

j

SHnFe

TP

2

2

2sin(1.11)

Observaien cazul eantionrii cu memorare pe lng componenta exponenial, care are efect numai asupradefazajului introdus, avem de a face cu o curb de anvelop de forma unui sinus cardinal carenmulete suma spectrelor care se repet. Dac definim produsul frecven-lime eantion,

Nf putem calcula distorsiunea de refacere n funcie de limea impulsului de eantionare

(limea eantionului, de fapt):

Tabel 1.1f 0.1 0.2 0.1 0.4 0.2 0.3 0.7 0.8 0.9 1.0

[ ]dBf

f

sinlg20 0.14 0.28 1.12 2.40 1.92 2.93 8.7 12.3 19.1

Distorsiunea de refacere n funcie de limea eantionului

Produsul f poate fi privit ca produsul dintre frecvena normat la frecvena de eantionare i durataeantionului normat la durata de eantionare:

SS Tfff = (1.12)

8/4/2019 APDcurs

12/56


12

1.4 Circuite eantionare i memorare

1.4.1 Introducere. Definiii

Un circuit de eantionare i memorare realizeaz prelevarea valorii, de la un moment dat, a

unui semnal analogic (tensiune electric) i memorarea acestei valori, aa cum se prezint n figura 1.

Figura 1.8 Circuit de eantionare i memorare: a- reprezentare funcional;b- funcionare pe principiu de baz de diagrame de timp.

n stare de eantionare, impus prin nivelul logic 1 al semnalului de comand E/M circuitul deeantionare i memorare funcioneaz ca repetor. Frontul de coborre al semnalului E/M determin

memorarea valorii de intrare ui de la momentul corespunztor frontului. Aceast valoare a tensiunii deintrare este meninut la ieirea circuitului de eantionare i memorare n intervalul corespunztor striide memorare impus prin nivelul logic 0 al semnalului de comand E/M.

Circuitele de eantionare i memorare se utilizeaz n sisteme de achiziie i distribuie de date.Astfel, ntr-un sistem de achiziie de date ieirea circuitului de eantionare i memorare (CEM) esteconectat la intrarea convertorului analogic-numeric (CAN). n intervalul corespunztor efecturii uneiconversii analog.numerice, circuitul de eantionare i memorare este comandat n stare de memorarepentru a menine constant tensiunea la intrarea convertorului analog-numeric. Astfel se obinemrirea valorii limitei superioare a domeniului de frecvene ale semnalului de intrare la care CAN esteutilizat la rezoluia maxim dat de numrul de bii ai acestuia. Se precizeaz c acest deziderat esteatins dac tensiunea de la intrarea CAN nu se modific n intervalul efecturii conversiei cu mai mult

de 1/2 LSB.n sistemele de distribuie a datelor, circuitele de eantionare i memorare sunt utilizate pentrureconstituirea semnalelor multiplexate n timp.

n cele ce urmeaz se prezint caracteristicile unui circuit de eantionare i memorare, ncorelaie cu procesul de achiziie de date, pe baza caracteristicii de funcionare, prezentat n figura1.9.

8/4/2019 APDcurs

13/56


13

Figura 1.9 Caracteristica de funcionare a unui circuit de eantionare i memorare

Erorile de decalaj i ctig ale CEM n stare de eantionare trebuie apreciate n raport curezoluia conversiei analog-numerice, exprimat prin mrimeaLSB.

Timpul de aperturtap, din figura 1.9, reprezint intervalul ntre frontul de comand a strii dememorare pentru CEM i comutarea efectiv a circuitului n stare de memorare. Rezult c n procesulde achiziie, fronturile de comand a strii de memorare trebuie s fie decalate cu tap, nainte fa demomentele impuse de prelevarea eantioanelor. Instabilitatea timpului de apertur tiap, figura2,reprezint limita maxim a variaiilor aleatoare ale timpului de apertur. Rezult c valorile memorateale eantioanelor sunt afectate de erori cu limita maxim:

iaptp = maxmax (1.11)

undepmax reprezint panta maxim a semnalului de intrare ui. n procesul de achiziie eroarea maxtrebuie s satisfac relaia:

LSBtpiap 2

1maxmax = (1.14)

unde mrimeaLSB este caracteristic convertorului analog-numeric conectat la ieirea CEM. Rezultc instabilitatea timpului de apertur limiteaz superior domeniul de frecvene al semnalului de intrareui la care circuitul de eantionare i memorare permite utilizarea unui convertor analog-numeric larezoluia maxim. Pentru o apreciere cantitativ a acestei limite se consider semnalul de intrare:

ftUui 2sinmax = (1.12)

8/4/2019 APDcurs

14/56


14

unde valorile Umax corespund domeniilor de variaie a tensiunii de la intrarea i ieirea CEM precumi la intrarea CAN. Rezult:

1maxmax

22

21

=

=

NN

UULSB (1.13)

undeNeste numrul de bii ai convertorului analog-numeric. Panta maxim a semnalului de intrare uieste dat de relaia:

maxmax 2 Ufp = (1.17)

Din relaiile (2), (4), (2) rezult succesiv:

1max

max 22

12

Niap

UtUf (1.18)

iap

N tf

+121

(1.19)

Se precizeaz c n cazul achiziiei fr CEM, pentru utilizarea unui CAN la rezoluie maxim,se deduce o relaie similar cu (7) n care tiap se nlocuiete cu timpul de conversie Tc al convertoruluianalogic-numeric. Avantajul utilizrii circuitului de eantionare i memorare rezult din aceea ctiap

8/4/2019 APDcurs

15/56


15

1.4.2 Ansamblul CEM-CAN

n acest paragraf se prezint modul de comand al ansamblului CEM-CAN, figura1.10, ncorelaie cu caracteristicile celor dou componente ale ansamblului.

Figura 1.10 Ansamblul CEM-CAN: a- structura de principiu;b- diagramele de timp ale semnalelor de control

Semnalele de control ale CAN, figura1.10a, sunt: START CONVERSIE, care permitedeclanarea proceselor de conversie analog-numeric prin fronturile de ridicare corespunztoareacestui semnal i STARE CONVERSIE, care indic prin nivelul logic 1 efectuarea de ctre CAN uneiconversii i deci prin frontul de coborre indic sfritul conversiei analog-numerice.

n scopul achiziiei unui eantion (realizrii unei conversii analog-numerice), circuitul deeantionare i memorare este comandat n stare de memorare la momentul t1, figura 1.b. Declanareaconversiei analog-numerice se realizeaz la momentul t2, dup stabilizarea ieirii CEM, adic:

8/4/2019 APDcurs

16/56


16

sap tttt + 12 (1.40)

Momentul t1 reprezint sfritul conversiei analog-numerice i este precizat de comutarea lanivel logic 0 a semnalului STARE CONVERSIE. Rezult:

cTtt =

3(1.41)

unde Tc este timpul de conversie al CAN. La momentul t1, CAN ncarc liniile de ieire b1,b2,....,bNcurezultatul conversiei i se comand circuitul de eantionare i memorare n stare de eantionare.Aceast stare este meninut pn la momentul t4, astfel nct:

acttt 34 (1.42)

unde tac este timpul de achiziie CEM. Perioada de achiziie minim caracteristic ansamblului CEM-CAN, Tacmin, reprezint intervalul de timp minim ntre momentele de prelevare a dou eantioaneconsecutive. Din relaiile (8), (9), (10) rezult:

( ) accsapac tTttttT +++== min14min (1.41)

1.4.3 Principii de construcie CEM

Pentru construcia circuitelor de eantionare i memorare se utilizeaz amplificatoareoperaionale, condensatoare, ca elemente de memorare i comutatoare prin care se realizeaz comandan strile de eantionare i, respectiv, memorare, figura 1.11.

Amplificatorul operaional de intrare AO1, figura 1.11, asigur o impedan mare de intrare aCEM i impedan mic pentru ncrcarea condensatorului C n starea de eantionare, ceea ce conducela un timp de achiziie redus. Amplificatorul operaional de ieire AO2 este cu tranzistoare cu efect decmp n circuitul de intrare, ceea ce conduce la descrcarea lent a condensatorului C n starea dememorare i deci la o vitez de alterare redus. Valoarea capacitii condensatorului de memorare C sealege n funcie de caracteristicile aplicaiei n care se utilizeaz circuitul de eantionare i memorare.Astfel, creterea valorii capacitii condensatorului de memorare conduce la creterea timpului deachiziie al CEM i la scderea vitezei de alterare a tensiunii de ieire n starea de memorare.

Figura 1.11 Structura de principiu a unui circuit de eantionare i memorare cu bucl de reacieglobal

8/4/2019 APDcurs

17/56


17

Reducerea erorilor de decalaj ale CEM se poate obine prin includerea celor dou amplificatoare AO1i AO2 ntr-o bucl de reacie global, figura 1.12.

Figura 1.12 Structura de principiu a unui circuit de eantionare i memorare cu bucl de reacie

global

Efectul principal al utilizrii reaciei globale const practic n eliminarea erorilor de decalajcorespunztoare amplificatorului operaional de ieire AO2. Rezult c, n cazul structurii de principiudin figura 2, erorile de decalaj ale CEM sunt date de amplificatorul operaional de intrare AO1, caretrebuie ales cu deriv redus a tensiunii de decalaj. Se precizeaz c n starea de memorare cele douamplificatoare operaionale lucreaz separat n configuraii de repetare.

mbuntirea performanelor circuitului de eantionare i memorare se obine prin dezvoltareastructurii de principiu din figura 1.12 conform structurii din figura 1.11.

Figura 1.11 Structura de principiu a unui circuit de eantionare i memorare cu trei

comutatoare

Utilizarea comutatoarelor Kci Ka, figura 1.11, conduce la reducerea pronunat a diafoniei n stareade memorare a CEM. n cazul structurii din figura 1.12, diafonia rezult ca urmare a transmiteriitensiunii de la ieirea amplificatorului operaional de intrare AO1 prin capacitatea parazit Cd acomutatorului K n poziia corespunztoare strii de memorare. Diafonia este att mai pronunat cuct raportul Cd/C este mai mare.

8/4/2019 APDcurs

18/56


18

n cazul structurii de principiu din figura 1.11, tensiunea de la ieirea amplificatorului AO1 esteredus cu divizorul format din capacitile parazite Cd (Kc) i Cp. Diafonia se reduce deoarece ncazurile practice Cd

8/4/2019 APDcurs

19/56


19

2. Conversia numeric-analogic a semnalelor

2.1. Introducere. Definiii

Semnalele purttoare de informaii care provin de la traductoare sunt de cele mai multe orianalogice, iar calculatoarele accept informaii sub form digital. Pentru a realiza procesarea digitala semnalelor, dup condiionarea acestora este necesar conversia analog-numeric. Conversia analog-numeric este procesul prin care unui semnal analogic i se asociaz o secven de coduri numerice,compatibile cu structura intern a calculatoarelor. Ea este format practic din trei procese succesive, cedefinesc:

-eantionarea;-cuantizarea;-codarea.

Procesul invers, prin care unei secvene de coduri numerice i se asociaz un semnal continuu,se numete conversie numeric-analogic (sau digital-analogic).

Att conversia analog-numeric ct i conversia digital-analogic se realizeaz cu dispozitivefizice specifice. Astfel, n circuitele de eantionare-memorare se realizeaz eantionarea, iarconvertoarele analog-numerice asigur cuantizarea i codarea, separarea acestor dou procese fiindposibili necesar numai din punctul de vedere al analizei conceptuale. Conversia analog-numericare un rol important n prelucrarea numeric a semnalelor, fiind operaia premergtoare prelucrriinumerice de care depind n mare msur rezultatele obinute, dup cum se vede pe figura 2.1

Fig. 2.1 Locul conversiei numeric-analogice n procesul de prelucrare numeric

Dac un semnal continuu, analogic este convertit ntr-un numr binar, acest numr binar esteproporional cu semnalul (de obicei tensiune) de intrare dup o relatie de forma:

LSBMSBZundeU

U

Z LSB

IN

...==

(2.1)

undeLSB

U este unitatea de tensiune corespunztoare bitului celui mai puin semnificativ (Least

Signifiant Bit), adic tensiunea corespunztoare lui 1=Z . La conversie numeric-analogic, numrulbinar este transformat ntr-o tensiune proporional cu acest numr, de regul dup o relaie de forma:

ZUULSBOUT

= (2.2)

8/4/2019 APDcurs

20/56


20

2.2 Principiile conversiei numeric analogice

Convertoarele numeric-analogice(CNA) utilizeaz trei principii pentru conversia unui numrbinar ntr-o mrime continu (de obicei tensiune):

-metoda direct (paralel)-metoda ponderrii

-metoda numrtoruluiAceste trei metode sunt ilustrate pe figura urmtoare:

a b c

Fig. 2.2 Principiile conversiei numeric-analogice

Pe figura a cu ajutorul divizorului de tensiune poate fi obinut practic oricare din nivelele detensiune cu ajutorul unui decodificator 1 din n care comand comutatoarele.

La metode ponderrii (figura b )fiecrui bit i corespunde un comutator, iar tensiunea de ieirese obine prin nsumarea unor tensiuni prin rezistene ponderate.

Pe figura c se prezint principiul metodei cu numrator, unde se utilizeaz un singurcomutator, care se deschide i se nchide periodic. Factorul de umplere este fixat astfel nct valoareamedie a tensiunii de ieire s fie o valoare prescris.

Se observ c prima metod necesit cele mei multe comutatoare, MAXZ , metoda ponderrii

necesitnd un numr deMAX

Z2log comutatore. Prima metod este rar utilizat din cauza numruluimare de comutatoare, la fel i metoda numrtorului, deoarece la aceast metod este inevitabilutilizarea unui filtru trece-jos, care nu permite variaii rapide de semnal. Metoda cu rezisteneponderate este foarte des utilizat, deoarece are multiple posibiliti de realizare tehnologic. Pentrurealizarea comutatoarelor electronice exist practic dou soluii foarte rspndite, invertorul MOS ntehnologie CMOS, respectiv comutatorul electronic n conexiune diferenial , n tehnologie bipolar

8/4/2019 APDcurs

21/56


21

2.3 Parametri convertoarelor numeric analogice

2.3.1 Parametri statici

Parametri statici se definesc ca acei parametri la care nu se ia n considerare timpul depropagare a semnalelor prin circuitele electronice ce alctuiesc CNA, nici fenomenele tranzitorii.

Astfel de parametri sunt: caracteristica de transfer, rezoluiile absolute i relative, precizia, erorile deoffset, de neliniaritate, eroarea de ctig, etc

2.1.1.1 Caracteristica de transfer ideal

Figura 2.1 arat caracteristica ideal de transfer a unui convertor numeric-analogic de 1 bii.Graficul este alctuit dintr-un numr finit de puncte, deoarece numrul valorilor pe care le poate luaZeste finit ( n2 pentru n bii). Toate punctele sunt situate pe segmentul de dreapt care trece prinoriginea sistemului de coordonate. Proiectnd valorile posibile ale numrului binar Z pe axaorizontal, prin caracteristica de transfer, pe axa tensiunii de ieire (vertical) rezult un numr finit devalori discrete echidistante.

Fig. 2.1 Caracteristica ideal de transfer a unui convertor numeric-analogic de 1 bii [2]

8/4/2019 APDcurs

22/56


22

2.3.1.2 Eroarea (tensiunea) de offset

Eroarea (tensiunea) de offset (offset error voltage) este valoarea mrimii analogice de ieirecnd numrul de intrare este 0. Figura 2.4 arat o caracteristic de transfer afectat de eroarea de offsetcomparat cu cea ideal.

Fig. 2.4 Eroarea de offset [2]

2.3.1.1 Rezoluia absolut

Rezoluia absolut (absolute resolution) se definete ca variaia minim a semnalului de ieire aunui CNA ideal. O astfel de variaie minim a semnalului de ieire poate fi obinut doar ca urmare amodificrii (minime) a numrului aplicat la intrare cu 1LSB. Pentru un convertor ideal (fr eroristatice) rezoluia este distena ntre oricare dou valori succesive ale tensiunii de ieire. Rezoluiaabsolut se msoar n aceleai uniti ca mrimea analogic de ieire a CNA

Z

FSLSBABS

N

UUR == (2.1)

undeZ

N este numrul de valori posibile ale lui { }Z

FSU este domeniul de tensiune pentru tensiunea de ieire (Full Scale)

Pentru un CNA unipolar, de n biin

FSLSBABS UUR

== 2 (2.4)

Se mai definete rezoluia relativca fiind rezoluia absolut normat la FSU

FS

abs

relU

RR = (2.2)

8/4/2019 APDcurs

23/56


23

2.3.1.4 Eroarea de ctig

Eroarea de ctig (gain error) este abaterea factorului de proporionalitate ntre mrimea deintrare i cea de ieire fa de valoarea ideal (figura 2.2)

Fig. 2.2 Eroarea de ctig [2]

2.3.1.2 Eroare de neliniaritate diferenial (Nonlinearity error)

Eroare de neliniaritate diferenial (Differential nonlinearity error) este diferena dintre distanareal ntre dou valori adiacente ale tensiunii de ieire i distana corespunztoare ideal,

LSBU

Fig. 2.3 Eroarea de neliniaritate [2]

8/4/2019 APDcurs

24/56


24

2.3.1.3 Eroare de neliniaritate integral

Eroarea de neliniaritate integral (integral nonlinearity error) este diferena ntre valoareaanalogic de la ieire obinuit pentru un numr de intrare i valoarea ideal.

Fig. 2.7 Eroarea de neliniaritate integral [2]

2.3.1.7 Precizia absolut

Precizia absolut este eroarea maxim garantat a mrimii analogice de ieire

Fig. 2.8 Precizia absolut [2]

8/4/2019 APDcurs

25/56


25

2.3.2 Parametri dinamici

Parametri dinamici msoar fenomenele tranzitoriila ieirea convertorului NA, cele maiimportante sunt

Durata conversiei ct (conversion time) sau timpul de stabilire (settling time) se msoar de laschimbarea numrului de la intrare pn cnd mrimea de ieire intr definitiv n domeniul deeroare admis n jurul valorii ideale

Frecvena maximde transfer(maximum throughput rate) este inversul duratei conversiei,respectiv numrul de conversii A/N succesive n unitatea de timp

Supracreterea (overshot) care apare n cazul unui rspuns oscilant amortizat Viteza de variaie (slew rate) caracterizeaz panta de variaie a ieirii analogice a CNA la o

excursie de la un capt la altul al domeniului de variaie

Zgomotul de impuls (glitch) care apare din cauz c la schimbarea codului aplicat la intrare untoi biii i fac efectul simultan. Acesta se manifest prin apariia unor vrfuri care pot atingeamplitudini de

FSU21 , adic jumtate din excursia maxim a mrimii analogice de ieire

2.4 Structuri de convertoare N/A

2.4.1 Convertoare N/A cu rezistene ponderate

Circuitul de pe figura 2.9 face conversia unui numr binar ntr-o tensiune proporional prinacionarea comutatorului corespunztor bitului de valoare 1 logic. Curenii pariali nu interacioneaz

deoarece datorit reaciei negative realizate cu rezistena R n punctul de nsumare potenialul sepstreaz nul:

Fig. 2.9 CNA cu rezistene ponderate

Dac comutatorul comandat cu 0z este nchis, tensiunea de ieire este:

REFREFLSBOUTU

R

RUUU

16

1

16=== (2.3)

8/4/2019 APDcurs

26/56


26

Dac toate comutatoarele sunt nchise (toi biii se afl n starea 1 logic):

REFREFOUTOUTU

R

RUUU

16

15

16

15max === (2.7)

ntr-un caz general (numr binar 0123 zzzzZ = arbitrar) :

1+==

MAX

REFLSBOUTZ

ZUZUU (2.8)

Circuitul de mai sus are dezavantajul c pe comutator pot aprea tensiuni mari, deoarece nstare deschis avem tensiunea REFU , iar n stare nchis avem tensiunea 0 . Astfel la fiecare comutareapar capaciti parazite care influeneaz buna funcionare a comutatoarelor.

Acest dezavantaj poate fi eliminat prin utilizarea unor comutatoare de tip morse, care suntamplasate ntre masi punctul de nsumare, astfel curenii rmn identici pe rezistene ca i curentultotal absorbit de la sursa de tensiune de referin

REFU , deoarece rezistena pe care o vede sursa vaavea valoarea:

RRRRRRIN16

1516842 == (2.9)

Schema electric se poate vedea pe figura urmtoare:

Fig. 2.10 CAN cu comutatoare tip Morse

1+=

MAX

REFK

Z

Z

R

UI

1'

+

=

MAX

MAXREFK

Z

ZZ

R

UI

1+=

MAX

REFOUTZ

ZUU (2.10)

2.4.2 Convertoare N/A cu reele de rezistene R-2R

Stabilitatea i acurateea acestor convertoare numeric-analogice depind de exactitatea absoluta rezistenelor i de posibilitatea acestora de a varia identic la variaia temperaturii. Obinerea unorcaracteristici termice identice este foarte greu, n special pentru un numr mare de bii, deoarecerezistenele de valoare mare sunt mult mai instabile din punct de vedere termic.

8/4/2019 APDcurs

27/56


27

Pentru a elimina aceste inconveniente, se recurge la utilizarea unor reele rezistive care au labaz o structur simpl de tipul celei de pe figura 2.11.

Fig. 2.11 Reeaua R-2R

Divizorul rezistiv format din rezistenele 21,RR avnd sarcina SR are proprietatea c rezistena de

intrare are aceeai valoare cai rezistena de sarcin la un transfer de tensiune de o valoare binedeterminat:

( )S

S

RRR

RR

U

U

+

==

21

2

1

2 ; ( )SIN RRRR += 21 ;( )

2

2

1

1RR

= ;

( )2

1RRS

= (2.11)

Aceste ecuaii de dimensionare ne dau valorile rezistenelor. Pentru un cod binar avem5.0= . Presupunnd RR 22 = , atunci RR =1 , respectiv RRS 2= , obinem reeaua numit R-2R.

Sursa de referin vede rezistena de intrare egal cu cea de sarcin, iar tensiunea la ieire:

( )

1616

248 0123 ZUzzzz

URIUREFREFKOUT

=+++

== (2.12)

Astfel, reeaua are proprietatea c, n fiecare nod al reelei, curentul electric dintr-o ramur se divide nexact dou pri egale la trecerea n celelalte dou ramuri adiacente. Aceast proprietate este ideal

pentru a produce cureni ponderai binar. Avantajul utilizrii acestei reele const n faptul c seutilizeaz rezistene de o singur valore, rezistenele duble se obin prin nserierea a dou rezistene deaceeai valoare. O astfel de schem este prezentat n figura urmtoare:

Fig. 2.12 CNA cu reea de rezistene de tip R-2R

Pentru asigurarea unei tensiuni precise la ieire i rezistenaR de reacie trebuie realizat peaceeai suprafa semiconductoare ca i elementele reelei.

8/4/2019 APDcurs

28/56


28

2.4.1 Convertoare N/A n tehnologie bipolar

n tehnologie bipolar convertoarele N/A sunt realizate cu generatoare de curent constant,curentul de ieire din convertor fiind suma curenilor dai de aceste generatoare. Valorile curenilorsunt ponderate i corespund biilor din numrul binar. n funcie de valoarea bitului, curentul dat degeneratorul corespunztor va trece spre iesire sau spre mas, dup cum se vede pe schema de principiu

prezentat pe figura de mai jos:

Fig. 2.11 C NA cu generatoare de cureni ponderai

Generatoarele de curent constant sunt realizate cu circuite simple cu tranzistoare bipolare , ovariant de convertor N/A n tehnologie bipolar se prezint pe figura urmtoare:

Fig. 2.14 CNA n tehnologie bipolar cu oglinzi de curent bipolare

Distribuia corespunztoare a curenilor este realizat de reeaua R-2R. Potenialele bazelortranzistoarelor sunt egale i este dat de amplificatorul operaional.

Rezistena care nchide reeaua de rezistene nu se poate conecta la mas ci la un potenial deemitor, situaie rezolvat de tranzistorul 6T , de altfel nefolosit. n principiu emitoarele tranzistoarelor

5T i 6T se pot lega mpreuni conectate printr-o singur rezisten de valoareR la mas.

8/4/2019 APDcurs

29/56


29

3. Conversia analog-numeric a semnalelor

3.1 Introducere. Definiii. Principii

Convertorul analog-numeric (CAN) transform o mrime analogic (de regul o tensiune

electric) ntr-un numr binar prin procedura de cuantizare. Mrimea analogic poate lua o infinitate devalori (numere reale) pe intervalul ei de variaie, pe cnd cu ajutorul a n bii se poate exprima omulime finit de valori (n codul binar natural cu n bii se pot reprezenta numere naturale cuprinsentre 0 i 12 n ). Dup cum s-a vzut n capitolele anteriore, cuantizarea este precedat de o filtrare io eantionare-memorare.

Fig. 3.1 Locul conversiei analog-numerice n prelucrare numeric

Convertoarele analog-numerice au sarcina de a transforma o tensiune de intrare ntr-un numrbinar proporional. Exist trei moduri (principii) prin care se poate realiza conversia A/D:

metoda direct (word at time) metoda aproximrilor succesive (digit at time) metoda numrtorului (level at time)

n primul caz tensiunea de intrare este comparat cu n tensiuni de referini se apreciaz ntrecare dou nivele se situeaz, astfel numrul binar este obinut ntr-o singur etap (word at time).Circuitul este complicat deoarece fiecrui numr i este asociat un comparator, ceea ce nseamn cpentru o conversie de n bii avem nevoie de n2 de comparatoare.

La metoda aproximrilor succesive, rezultatul nu se obine ntr-un singur pas ci n mai multe,compararea ncepe cu tensiunea corespunztoare bitului celui mai semnificativ, apoi cu valoareaurmtoare, rezultatul obinndu-se ntr-un numr de pai egal cu lungimea cuvntului binar.

Cea mai simpl metod este cea a numrtorului, la care se numr de cte ori trebuie adunattensiunea de referuin corespunztoare bitului celui mai puin semnificativ ca s obinem tensiunea deintrare. Tabelul de mai jos sintetizeaz cele trei metode prezentate:

Metoda Nr pai Nr tensiuni de referin Propriti

Direct 1 n rapid, scumpAproximri succesive ld n ld n

Cu numrtor n 1 ieftin, lent

8/4/2019 APDcurs

30/56


30

3.2 Parametrii convertoarelor analog/numerice

3.2.1 Parametri statici

3.2.1.1 Caracteristica de transfer ideal

Caracteristica de transfer ideal este dependena numrului de ieire al convertorului, n regimstaionar. La valori continuu consecutive ale tensiunii (interval de valori reale) ieirea poate dobndidoar un numr finit de stri. n cazul simplu al unui CAN cu 3=n bii, codul de ieire fiind binarnatural, nivelele de decizie (mijloacele segmentelor orizontale) se afl la tensiunile de valoare multiplucomun al cuantei ( LSBU ), unde cuanta are valoarea

823RR

UUq == (3.1)

Fig. 3.2 Caracteristica static ideal de transfer al CAN [2]

8/4/2019 APDcurs

31/56


31

3.2.1.2 Eroarea (tensiunea) de offset

Eroarea (tensiunea) de offset (offset error (voltage)) este diferena dintre nivelul de tranziieideal i cel real care modific numrul de ieire de la 0 la 1LSB.

Fig. 3.1 Eroarea de offset la CA [2]

3.2.1.1 Rezoluia absolut

Rezoluia absolut (absolute resolution) este variaia minim a semnalului de intrare a unuiCAN ideal care este cu siguran sesizat la ieire (n cazul cel mai defavorabil)

Z

FSLSBABS

N

UUR == (3.2)

undeZN este numrul de valori posibile ale lui { }Z

FSU este domeniul de tensiune pentru tensiunea de ieire (Full Scale)Pentru un CAN unipolar, de n bii

n

FSLSBABSUUR == 2 (3.1)

Se mai definete rezoluia relativca fiind rezoluia absolut normat la FSU

ZFS

LSB

FS

abs

relNU

U

U

RR

1=== (3.4)

8/4/2019 APDcurs

32/56


32

3.2.1.4 Eroare de ctig

Eroarea de ctig (gain error) este abaterea factorului de proporionalitate dintre mrimea deintrare i cea de ieire fa de valoarea ideal (figura 3.4)

Fig. 3.4 Eroarea de ctig al CAN [2]

3.2.1.2 Eroare de neliniaritate diferenial

Eroarea de neliniaritate diferenial (differential nonlinearity error) este diferena ntre limeatreptei ideale ( LSBU ) i limea treptei din caracteristica real

Fig. 3.2 Eroarea de neliniaritate diferenial [2]

8/4/2019 APDcurs

33/56


33

3.2.1.3 Eroare de neliniaritate integral

Fig. 3.3 Eroare de neliniaritate integral [2]

3.2.1.7 Precizia absolut

Precizia absolut (absolute accuracy) este modulul diferenei maxime dintre valoarea teoretica mrimii analogice de intrare corespunztoare unui numr de ieire dat. i valoarea real care produceacel numr (figura 3.7)

Fig. 3.7 Precizia absolut a CAN [2]

8/4/2019 APDcurs

34/56


34

3.2.2 Parametri dinamici

Parametri dinamici msoar fenomenele tranzitoriila ieirea convertorului analog-numeric, celemai importante sunt

Durata conversiei ct (conversion time) sau timpul de stabilire (settling time) reprezintintervalul de timp de la nceperea conversiei (de regul conversia este declanat secvenial deun impuls de start) pn la obinerea numrului la ieirea CAN. Anumite convertoare includ icircuite de eantionare-memorare, n acest caz timpul de conversie include i interrvalul(intervalele) de eantionare. Timpul de conversie depinde de principiul de funcionare alconvertorului, de tehnologia de integrare n semiconductor i are valori uzuale ntre

msns 100....1 Timpul de relaxare rt este timpul necesar convertorului analog-numeric pentru a reveni n

starea necesar iniierii unei noi conversii. Anumite tipuri un necesit o anumit stare iniialdar altele trebuie s nceap conversia de la o aceeai stare iniial

Rata de conversie (viteza de conversie) este numrul maxim de conversii complete efectuatede CAN n unitatea de timp i se poate defini

rc

Ctt

r+

=1

(3.2)

viteza de conversie se exprim n conversii pe secund, n uniti de frecven (kHz, MHz)sau n eantioane pe secund (sample per second) cnd CAN este asociat cu circuit deeantionare-memorare

Viteza de variaie (slew rate) este viteza maxim admis a variaiei tensiunii la intrarea CAN,care poate fi urmrit prin producerea de coduri numerice la ieire, fr erori suplimentare.

Acest parametru se exprim n uniti de tensiune pe uniti de timp (uzual smV / ) Zgomot de cuantizare n procesul de cuantizare eroarea static este 2q . La cuantizarea

unui semnal variabil u(t), aplicnd eantionarea neuniform, eantionele U sunt meninuteconstante, codul cuantizat al eantionului se situeaz la nivele de cuante intregi, iar eroareaabsolut de cuatizare e=U-u(t) nu depete limitele 2q . Valoarea efectiv a zgomotuluide cuantizare se poate calcula pe baza aproximrii erorii de cuantizare e cu segmente dedreapt. Considernd originea la trecerea prin zero a unui segment de dreapt deecuaie mte = , valoarea efectiv a erorii este:

q=

+

dte 2

2

1= ( )

m

q

m

q

dtmtq

m 2

2

2 =12

q, (3.3)

unde s-a determinat din condiia = 2q . n literatura de specialitate se consider c acest

zgomot de cuantizare cu valoarea efectiv 12q este uniform repartizat pe tot spectrul defrecvene al sistemului de eantionare-memorare-ADC, fiind considerat un zgomot alb.

8/4/2019 APDcurs

35/56


35

3.3 Tipuri constructive

3.3.1 Convertoare A/D de tip paralel (FlashConverter)

Tehnica de conversie utilizat la acest tip de convertor const n comparaia simultan asemnalului de intrare cu nivele de referin echidistante. Diferena ntre aceste nivele este egal cu

pasul de cuantizare. n urma comparrii se stabilete numrul intervalului care conine semnalul deintrare. Acest numr exprimat n binar va fi rezultatul conversiei.

Fig. 3.8 Convertor A/D de tip paralel

Dac de exemplu tensiunea de intrare este ntre nivelele LSBU2

5

i LSBU2

7

atunci comparatoarele 11vor avea ieiri n starea 1 iar comparatoarele 47 ieiri n starea 0 Este nevoie de un circuit carepentru aceste stri de comparatoare s dea la ieire numrul 1 n binar. Acest circuit este decodorul deprioritate, care ns nu poate fi conectat direct la ieirea comparatoarelor, deoarece dac tensiunea deintrare nu este constant obinem rezultate eronate. Circuitele bistabile de tip D au rolul de a transferasimultan (la tactul ) strile ieirilor comparatoarelor ctre decodorul de prioritate, evitndu-se astfelfuncionarea greit.Astfel se asigur semnal continuu pe intrarea decodorului de prioritate pe durata unei perioade asemnalului de tact.

8/4/2019 APDcurs

36/56


36

Pentru schema de mai sus numrul binar de la ieire va avea valoarea

REF

IN

REF

IN

LSB

IN

U

U

U

U

U

UZ Zmax7 === (3.7)

Tabelul de mai jos conine strile comparatoarelor i iirile corespunztoare:Tabel 3.1

TensiuneDe intrare Strile comparatoarelor

NumrBinar

Numrzecimal

UIN/ULSB C7 C3 C2 C4 C1 C2 C1 z2 z1 z0 Z0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 12 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 14 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 42 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 23 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7

Tabel 3.1 Relaiile dintre strile comparatoarelor i ieirea convertorului

Unele convertoare de acest tip au la ieire un registru tampon (latch) pentru memorareatemporar a codului numeric de la ieire.Acest tip de convertor este cel mai rapid, toate comparrileexecutndu-se simultan, astfel nct timpul de conversie este determinat de timpul de rspuns al unui

comparator, plus ntrzierea datorat logicii de codificare binar. Folosirea unor circuite integrate detip ECL sau TTL Shottky permite obinerea unor durate de conversie de zeci de nanosecunde.Principalul neajuns al acestor convertoare este volumul mare de elemente componente, de

exemplu pentru o conversie de 10 bii avem nevoie de 1021 de comparatoare

3.3.1.1 Convertoare A/N paralel-serie

Convertoarele de tip paralel sunt cele mai rapide presupunnd ns un numr mare decomponente. Pentru a reduce numrul de componente (n special comparatoare) se recurge la o solu iemixt, paralel-serie, evident cu micorarea vitezei de conversie.

La acest tip de convertor o prim conversie A/N rapid asigur primii p bii cei maisemnificativi ai codului binari de ieire caracterizat de n bii. Acest cuvnt de p bii este reconvertit nanalog printr-un convertor N/A rapid de nalt precizie i se scade din tensiunea de intrare. Rezultatul(reprezentnd eroarea de cuantizare a primului convertor) este amplificat pentru a rmne la ordinulde mrime al tensiunii de referin i este convertit A/N cu vitez mare ntr-un cuvnt de q bii,reprezentnd biii cei mai puini semnificativi ai codului binar de la ieire )( qpn += .Figura 3.9 prezint o astfel de schem pentru un convertor de 10 bii format din dou convertoare de 2bii legate n cascad :

8/4/2019 APDcurs

37/56


37

Fig. 3.9 Principiul conversiei paralel serie (n cascad)

REF

IN

REF

INMAX

U

U

U

UZZ 1023== (3.8)

n prima faz se face o conversie prin care se obin cei 2 bii superiori, ce reprezint o valoarecuantizat cu rezoluie mare (precizie mic) a tensiunii de intrare, valoare ce este reconvertit cu unconvertor N/A. Tensiunea analogic astfel obinut este sczut din tensiunea de intrare obinndu-se odiferen ce este cuantizat cu al doilea convertor A/N de 2 bii. Dac diferena este amplificat de 12ori, cele dou convertoare lucreaz n acelai domeniu de tensiune, singura diferen dintre ele fiindprecizia dorit. Primul convertor ar trebui s aib o precizie corespunztoare pentru 10 bii, altfeldiferena de tensiune n-ar mai avea aceeai cantitate informaional. Dar astfel de convertoare directede mare liniaritate nu se gsesc i nici nu se pot realiza pentru frecvene mari. Acest lucru nseamn caal doilea convertor poate fi depit de semnalul de intrare iar la ieire pot aprea erori mari (missingcodes-coduri binare lips).

Acest lucru poate fi evitat dac se dubleaz domeniul de tensiune al celui de al doileaconvertor, mrindu-se astfel rezoluia cu un bit, dup cum se vede pe figura urmtoare.

Se observ c bitul 2 se regsete att la conversia dur ( 5z ) ct i la cea fin ('5z ). Dac din

cauza erorii de neliniaritate a primului convertor va;oarea semnalului depete al doilea domeniu detensiune, atunci '5z este mrit sau sczut cu 1, astfel eroarea de neliniaritate a primului convertor poate

fi meninut n domeniul LSB21 . Soluia este prezentat pe figura urmtoare

8/4/2019 APDcurs

38/56


38

Fig. 3.10 Convertor A/D paralel-serie cu corector de eroare

Cele dou valori, cea precisi cea mai puin precis trebuie obinute cu aceeai tensiune deintrare, fapt pentru care valoarea tensiunii de intrare trebuie meninut atta timp ct s se faci ceade a doua conversie. Meninerea intrrii pentru o durat de timp mai mare este de fapt principaluldezavantaj al acestor convertoare, marele avantaj fiind numrul redus de componente fa deconvertoare directe.

Dac de exemplu pentru o conversie de 10 bii convertorul direct necesit un numr de10231210 = comparatore, n cazul soluiei paralel serie de 2 + 2 bii acest numr se reduce la

621212 55 =+ Aceste calcule sunt valabile i pentru alte elemente de circuit (rezistene, circuitebistabile, etc)

Structura serie a convertorului nu trebuie s nsemne c timpul de conversie total este egal cusuma timpilor necesari fiecrui bloc pentru a-i executa operaia proprie de prelucrare a semnalului .Ostructur serie poate permite o funcionare de tipul " pipeline " care asigur ca n diverse poriuni alestructurii serie s se execute simultan diverse operaiuni .

Acest mod de funcionare permite reducerea timpului total de prelucrare ntr-o structur serie laceva mai mult dect durata celei mai lungi operaiuni de prelucrare .

Cteva convertoare analog-numerice de acest tip sunt urmtoarele: CAV 1040 de 10 bii, CAV1220 de 12 bii fabricate de firma Analog Devices), CX 20200, CX20204 de 10 bii fabricate de firmaSony.

3.3.2. Convertoare A/N cu aproximaii succesive (de tip serie)

Acest tip de convertor asigur o vitez de lucru relativ mare i o bun rezoluie la un grad decomplexitate mediu. Aceste convertoare se realizeaz sub form integrat n tehnologie monolitic, nuse recomand realizarea lor cu elemente discrete, dect n cazuri foarte speciale.

8/4/2019 APDcurs

39/56


39

Comparatorul C compar rezultatul intermediar obinut printr-o conversie N/A cu tensiunea deintrare provenit din circuitul de eantionare-memorare. La nceputul conversiei numrul Z este nul(resetat la fiecare nceput), apoi bitul cel mai semnificativ (MSB) este pus n 1, dup care se compartensiunea de intrare cu ieirea convertorului N/A. Dac tensiunea de intrare este mai mare, MSB sepstreaz 1 , dac nu, va lua valoarea 0. Dup care aceast operaie de comparaie se face de n ori,pentru fiecare bit al numrului binar, pn ce se compari bitul cel mai puin semnificativ (LSB). n

acest moment registrul de aproximri succesive conine un numr binar Z, care dac este transformatcu convertorul N/A se obine o tensiune care este egal cu cea de la intrare cu o precizie de LSBU2

1 .

Pe figura de mai jos se prezint schema de principiu al unui astfel de convertor:

Fig. 3.11 Convertor A/D cu aproximri succesive

( ) INMAX

REFU

Z

ZUZU =

+=

1;

REF

IN

MAXU

UZZ )1( += (3.9)

Dac tensiunea de intrare variaz pe durata de conversie este necesar un circuit de eantionare-memorare, altfel eroarea de conversie este de mrimea variaiei tensiunii de intrare.

n concluzie, dup metoda aproximaiilor succesive, se realizeaz n comparaii succesive cu unsingur comparator n ritmul frecvenei de tact, n loc de n comparaii simultane cu 12 n comparatoare ( n fiind rezoluia exprimat n numr de bii).

Principalul inconvenient al convertoarelor A/N cu aproximri succesive const n slaba rejeciea semnalelor perturbatoare, dar aceste convertoare sunt destul de rapide i de ieftine fiind cele mairspndite n sistemele pentru achiziia de date.

Organigrama de pe figura urmtoare prezint trei pai n procesul de comparaie laconvertoarele cu aproximri succesive:

8/4/2019 APDcurs

40/56


40

Fig. 3.12 Organigrama aproximrii succesive

n continuare se prezint diagrama de timp corespunztoare aproximaiilor succesive:

Fig. 3.11 Diagrama de timp n cazul aproximrilor succesive

Registrul cu aproximri succesive este constituit de obicei din n bistabili i un circuit logic decomand. Se realizeazi convertoare n dou trepte care asigur o prim conversie A/D rapid de tipparalel furniznd primii p bii cei mai semnificativi ai codului numeric de la ieire urmat de o a douaconversie A/D utiliznd tehnica aproximrii succesive, furniznd apoi cei q bii mai puin

semnificativi.

3.3.1 Convertoare A/N cu numrtor

Convertoarele A/N care utilizeaz numrtoare sunt cele mai ieftine i deci cele mai rspndite.Timpul de conversie al acestor convertoare este n general mare fa de alte tipuri, de ordinul 1ms1s,dar pentru semnale lente, cum ar fi de exemplu variaia temperaturii sau pentru voltmetre numericesunt corespunztoare. Exist mai multe tipuri de convertoare A/N care utilizeaz numrtoare, cea maiimportant fiind varianta cu pant dubl de integrare.

8/4/2019 APDcurs

41/56


41

3.3.1.1 CAN cu numrtor. Comparare n tensiune

Aceast metod seamn ntr-un fel cu metoda aproximrilor succesive, numai c n loculregistrului se utilizeaz un numrtor. nainte de nceperea conversiei numrtorul este resetat. Lapasul 0=k CNA genereaz tensiune de comparat ( )ZU egal cu zero. La sfritul pasului 0 avem

( )( ) ( ) 01 = . Principiul este foarte

simplu dar neconvenabil din punct de vedere practic, deoarece durata conversiei este mare iimpredictibil (depinde de valoarea instantanee a tensiunii de intrare. n cazul cel mai defavorabil,timpul maxim de conversie este

CLK

n T2 . Schema de principiu formele de und sunt prezentate pe

figura 3.12:

Fig. 3.14 CAN cu numrtor. Comparare n tensiune. Forme de und.

8/4/2019 APDcurs

42/56


42

3.3.1.2 Convertor analog-numeric cu urmrire (Tracking ADC)

Diferena fa de schema anterioar este c numrtorul s-a nlocuit cu unul reversibil. Existdou pori logice pentru comanda numrrii nainte i napoi (figura 3.11). Dac la nceperea primeiconversii, coninutul numrtorului este nul, primii pai de conversie se desfoar similar cu schema

din figura 3.12. Numrul prezent n numrtor la momentul n care semnalul de intrare este prinseste rezultatul conversiei analog-numerice. Din acest moment, funcionarea CAN cu urmrire difer decea a CAN cu numrtor. Nu se mai genereaz semnal de tergere, n schimb se genereaz comandpentru inversarea numrrii.Dac BITU este pozitiv, atunci numrtorul numr nainte, dac diferena este negativ, numrtorulnumr n jos, astfel tensiunea de compensare variaz pn ce atinge nivelul tensiunii de intrare.Aceste convertoare se mai numesc i convertoare cu urmrire (Tracking ADCs).

Fig. 3.12 CAN cu urmrire

8/4/2019 APDcurs

43/56


43

Dezavantajul schemei de mai sus este faptul c nu se oprete niciodat, ieirea va varia cu 1LSB n jurul tensiunii de intrare. Acest dezavantaj se poate elimina utiliznd un comparator tipfereastr n locul comparatorului, care s opreasc numrtorul, dac tensiunea de intrare a fost

aproximat cu o precizie deLSB

U2

1 de ctre ( )ZU . Viteza este sczut pentru c urmrirea se

realizeaz cu pasul LSBU . Un astfel de convertor este convertorul ADC 823 al firmei Datel, cu o

rezoluie de 10 bii, cu timpul de conversie LSBs/1

3.3.1.1 Metoda tensiunii liniar variabile (single slope)

Schema de principiu a unui astfel de convertor prezentat pe figura de mai jos, ne arat c nu seutilizeaz convertor D/A. Tensiunea de intrare este convertit ntr-o durat de timp proporional cucomparatorul de tip fereastr format din comparatoarele 1C , 2C i poarta 1P conectat la ieireageneratorului de tensiune liniar variabil (tensiune dini de ferstru) GTLV:

Fig. 3.13 CAN cu integrare

Tensiunea liniar variabil are o variaie de la valori negative ctre valori pozitive dupurmtoarea regul:

0UtU

U REFTLV

=

(3.11)

La ieirea porii SAU-EXCLUSIV 1P avem valoarea 1 logic pe durata ct tensiunea liniar variabil are

valori ntre 0 iIN

U . Aceast durat este egal cu:

IN

REF

UU

t

= (3.12)

durat ce este msurat cu perioada oscilatorului cu cuar. Dac la nceput numrtorul a fost resetatatunci la depirea pragului superior coninutul numrtorului va fi:

IN

REF

UU

f

T

tZ

=

= (3.11)

8/4/2019 APDcurs

44/56


44

Dac la intrare avem tensiune negativ, atunci tensiunea liniar variabil atinge nti nivelultensiunii de intrareapoi devine egal cu zero, iar din aceast ordine se poate determina semnul tensiuniimsurate. Durata de msurare nu depinde de semn ci numai de valoarea absolut a tensinii deintrare.Dup fiecare msurare numrtorul trebuie resetat, iar generatorul de tensiune liniar variabiltrebuie fixat n starea de nceput de valoare negativ a tensiunii.Dezavantajul ar fi c rezultatul esteputernic influenat de constanta de timp a generatorului de tensiune liniar variabil.

3.3.1.4 Metoda integrrii duble (dual slope)

n cazul acestei metode se integreaz att tensiunea de referin ct i tensiunea de intrare, dupcum se vede pe schema de principiu de pe figura de mai jos:

Fig. 3.17 CAN cu dubl integrare

n stare de nceput comutatoarele 21 , KK sunt deschise, 3K este nchis, la ieirea integratoruluitensiunea este nul. La nceputul conversiei numrtorul este resetat, comutatorul 3K se deschide iar

1K se nchide, n acest cay se integreaz tensiunea de intrare. Dac tensiunea de intrare (de msurat)

este pozitiv, tensiunea 1U de la ieirea integratorului va fi negativ, comparatorul C permite trecereasemnalului de tact ctre numrtor. Durata msurrii ia sfrit n momentul n care ieireanumrtorului este depit (dup 1+

MAXZ perioade), coninutul acestuia fiind din nou zero. La

fritul acestei durate de msurare la ieirea integratorului avem tensiunea

( ) ( )TZTU

dtUtU

t

MAXIN

IN +==1

0

11 11

(3.14)

Dup aceast durat (n care numrtorul are din nou zero la ieire), circuitul va comuta la integrareatensiunii de referin. Polaritatea tensiunii de referin va fi reglat invers fa de polaritatea tensiuniide intrare, astfel tensiunea la ieirea integratorului va crete spre zero, aa cum este artat pe figur

8/4/2019 APDcurs

45/56


45

Fig. 3.18 Integrare dubl

n momentul n care tensiunea de la ieirea integratorului devine nul, comparatorul blocheaz trecereasemnalului de tact ctre numrtor. Durata aceasta este

( )112 TUU

ZTt

REF

== (3.12)

Lund n considerare rezultatul anterior, avem

( )1+=MAX

REF

IN ZU

UZ (3.13)

Este de remarcat faptul c n rezultatul final, nu apare nici constanta de intagrare ,nici perioadasemnalului de tact T , rezultatul fiind independent de acetia. Pentru precizie este necesar ca perioadasemnalului de tact s fie constant pe durata 21 tt + , acest lucru poate fi asigurat cu generatoare de tactrelativ simple. Pe parcursul demonstraiei s-a vzut c rezultatul depinde de valoarea medie pe durata

1t a tensiunii de intrare INU i nu de valoarea instantanee a acesteia. Din acest motiv componentele de

semnal alternativ vor fi rejectate, mai mult, acele componente care au frecvena multiplu comun a lui

11 t vor fi rejectate total. Din acest motiv, pentru rejectarea frecvenei de reea (brum de reea) se

recomand alegerea duratei 1t , astfel nct frecvena rezultat s fie multiplu comun al frecvenei de20 Hz. Deoarece metoda integrrii duble este ieftin, precisi rejecteazi semnalele alternative, seutilizeaz mai mult n voltmetre digitale, unde timpul de conversie relativ mare nu este un dezavantaj.Iar n acest caz nici numrtoarele nu trebuie s fie binare, pot fi utilizate numrtoare BCD pentruafiaj

3.3.4 Convertoare delta-sigma

O caracteristic important a sistemelor de eantionare-memorare i conversie analog-numericeste raportul semnal-zgomot, cunoscut sub denumirea de SNR (Signal to Noise Ratio):

SNR=20lgvaloarea

valoarea

efectiva

efectiva

a

a

zgomotului

semnalului, exprimat n dB (3.17)

Valoarea SNR se determin experimental prin aplicarea la intrarea circuitului n cauz a unui semnalsinusoidal de valoarea efectiv cunoscut (deci se cunoate numrtorul raportului).

8/4/2019 APDcurs

46/56


46

Datele eantionate i cuantizate fiind prelucrate prin algoritmul FFT, se elimin fundamentala iarmonicele sinusoidei (care apar dup conversiaA/D), apoi se calculeaz suma valorilor efective alecomponentelor spectrale (se obine numitorul raportului). Referitor la convertoarele analog-digitale,exist o relaie de calcul a raportului semnal-zgomot:

( ) ( )dBdBnSNR ef 76.102.6 += SNR=3,02 (db)+1,73(db), (3.18)

unde efn este numrul de bii efectivi ai convertorului ADC.

Dac cerinele referitoare la SNR erau la nceputulanilor '70 de dBSNR 40= pentru aplicaiiaudio i dBSNR 50= n domeniul video, aceste cerine sunt n prezent de dBSNR 70= n domeniulaudio, dBSNR 100= n video.

Valoarea SNR fiind corelat cu numrul de bii ai CAN, singura modalitate de a creterezoluia convertorului (creterea efn ) este reducerea zgomotului de cuantizare q , lucru realizabil

prin supraeantionare, modulaie sigma-delta ( ) , filtrare digitali decimare.

Un CAN, la care frecvena de eantionare ef respect condiia Nyquist max2ffe > cu mf frecvena

maxim a semnalului), este precedat de filtrul analogic trece jos, cu frecvena de tiere Tf i frecvenade oprire 2

ef . Zgomotul de cuantizare este distribuit uniform pe toat banda de frecven pn

la 2e

f , suprafaa fiind12

qq = . Cu aceast tehnic de conversie nu s-au putut obine rezoluii de

CAN mai mari de 1413 bii.

Fig. 3.19 Conversie A/D cu eantionare normali caracteristici de frecven

Introducnd supraeantionarea n conversia A/N, se procedeaz la prelevarea de un numr de kori mai mare peste necesar conform teoremei eantionrii. Adic eantionarea are loc cu o frecvena

efk , unde k se numete factor de supraeantionare.

8/4/2019 APDcurs

47/56


47

Fig. 3.20 Conversie A/D cu supraeantionare

Frecvena datelor furnizate de ADC este efk . Zgomotul de cuantizare de valoare efectiv, repartizat

n intervalul de frecven pan la2

ef

k , care este frecvena de oprire a filtrului analogic antialiere de

la intrare. Prin repartizarea zgomotului de cuantizare pe intervalul (2

...0 ef

k ), zgomotul din intervalul

(2

...0 ef

) este mai mic. Filtrul digital trece jos (cu frecvena de oprire2

ef

), rejecteaz ntregul zgomot

situat ntre2

ef

ie

fk . Zgomotul rmas este mult mai mic dect cel de la conversia fr

supraeantionare. Ctigul realizat prin aceast metod se exprim prin creterea raportului semnal-zgomot SNR cu klg10 .

Dup reducerea zgomotului de cuantizare prin filtrarea digital, volumul de date este preamare, avnd o redundan ( )1k fa de rata de date necesar cu respectarea condiiei Nyquist. Dateleredundante se elimin prin decimare, adic reinerea a cte unui eantion din pachete de k eantioaneconsecutive, astfel n final rezult o rat de date cu frecvena ef .

Un ctig semnificativ la o rezoluie prin supraeantionare se obine ns cu factori desupraeantionare prea mari.

Dup cum s-a amintit anterior reducerea zgomotului de cuantizare se obine numai prin

aplicarea a nc unei tehnici adiionale, modulaia sigma-delta

. Modulatorul

, asociat cusupraeantionarea, asigur scderea puternic a zgomotului de cuantizare. ntre frecvenele

2e

fsi

2e

fk prin utilizarea filtrului digital.

Modulatoarele sigma-delta sunt de ordinul unu sau de ordin superior .Cu ct crete ordinul, cu

att rmne mai puin zgomot n intervalul de frecven ( )2

,0 ef

dar totodat scade stabilitatea

modulatorului. Astfel, modulatoarele utilizate n practic nu depesc ordinul trei.

8/4/2019 APDcurs

48/56


48

3.3.4.1 Modulator sigma-delta de ordinul unu.

n conformitate cu principiul amintit se prezint un modulator de ordinul unu. Acestaconine un sumator analogic :

CXuuU = ; (3.19)

un integrator

( )0 += iiii udtuku (3.20)

unde ik este constanta de integrare, iar ( )0iu este tensiunea iniial pe integrator, un comparator cu

eantionare i blocare (compar iu cu potenialul nul doar la momentele impuse de tactul efk , apoi

menine starea binar a ieirii pn la o nou comparaie) i un convertor numeric-analogic de un bit,

care va avea RC uu += pentru bitul 1=B i RC uu = pentru 0=B , Ru fiind tensiunea de referin.La ieirea comparatorului se obine un flux de cte un bit (flux serial de date), care se va

prelucra digital. Funcionarea modulatorului se explic cu exemplul cocret al unor tensiuni deintrare pozitive i negative. Gama tensiunii de intrare

Xu este considerat FS (Full Scale) cuprins

ntre Ru i Ru+ (cu o rezoluie de 1 bii) care nseamn repetarea unui ciclu de 8 eantionri lacomparator.

Fig. 3.21 Convertor sigma-delta de ordinul 1

8/4/2019 APDcurs

49/56


49

4.Semnale discrete n timp

4.1 Definiii i notaii

Un semnal discret este un ir de valori numerice reale sau complexe, care se noteaz cu

( ) [ ]nxnx , sau ( ){ }nx , notatii prel;uate din teoria irurilor matematice. Un semnal discret, n electronicse obine n mod uzual prin eantionarea uniform a unui semnal analogic (continuu) ( )tx cu perioada

de eantionareS

T . Cu ajutorul valorilor amplitudinilor ( )S

nTx se formeaz semnalul discret

( ) ( )nxnTx S = , cu Zn . Trebuie subliniat faptul c semnalul este definit pentru valorile ntregi ale

lui n i nu este definit pentru valorile nentregi:

( ) ( )CZ :nx (3.1)

n domeniul timp relaia ( ) ( )nxnTx S = este echivalent cu normarea axei timpului n raport cu

perioada de eantionare n urma cruia momentele de timp SnT de localizare a eantioanelor ( )SnTx trec n momentele Z= nTnT SS .

n domeniul frecven se face o normare a axei frecvenelor n raport cu frecvena deeantionare

SSTf 1= , de exemplu pentru semnalul ( ) ( )tAtx 0sin = , semnalul ( )nx va fi:

( ) ( ) ( ) nAnTAnTxnx SS 00 sinsin === cuSf

fT 200 == (3.2)

De exemplu pentru un semnal sinusoidal de kHzf 10= cu kHzfS 40= se obine:

( )

===

2sin

2401

1020

nAnxnnnTS (3.1)

Prin urmare se obin pulsaii normate f= 2 i frecvene normateSf

ff = . Avnd n vedere c

spectrele semnalelor eantionate sunt semnale periodice de perioadS

ST

f1

= , analiza i reprezentarea

grafic este suficient pe intervalul de frecven

+

2,

2SS

fff , adic pentru un semnal ( )nx

constituit din eantioanele semnalului continuu ( )tx vor fi suficiente analiza i reprezentarea pe scarafrecvenelor normate, adic:

[ ]

++

2

1;

2

1,; f (3.4)

Semnalele discrete pot fi i eleperiodice sau neperiodice. Aceast clasificare este importantpentru alegerea adecvat a instrumentului matematic de analiz spectral.

8/4/2019 APDcurs

50/56


50

Un semnal discret esteperiodic dac :

( ) ( )nxNnx =+ pentru Nn (3.2)

unde N este cel mai mic numr ntreg, pozitiv pentru care relaia (3.2) este valabil.Fie semnalul exponenial complex analogic ( ) tjetx 0= i semnalul exponenial

discret ( )nj

enx 0

= obinut din ( )tx prin discretizare (vezi relaia 3.2), utiliznd normarea frecvenei.

Dac exponeniala analogic este totdeauna periodic, de perioada00

0

12

fT ==

, n schimb

exponeniala complex discret poate s fie sau poate s nu fie exponenial.

( )

N

pf

N

peeee pj

NjnjNnj=====

+

002 21000

(3.3)

unde Np, sunt numere prime ntre ele, altfel N nu ar fi cel mai mic numr ntreg posibil. Dinexpresia (3.3) reiese faptul c semnalul exponenial discret este periodic numai dac frecvena normat

of se exprim printr-un numr raional (n numitor avem chiar perioada N). n cazul n care semnalul

discret s-a obinut prin discretizarea unui semnal de tipul ( ) tjetx 0= , condiia de periodicitate devine:

N

pTT

p

Nff

N

p

f

fS

S

000 === (3.7)

ObservaieEantionarea unui semnal periodic (exponenial complex analogic) conduce la un semnal discret,

periodic numai dac perioada de eantionare este o fracie raional din perioada exponenialeicomplexe analogice.

4.2 Analiza spectral a semnalelor discrete periodice

Pentru analiza spectral a semnalelor periodice discrete vom folosi seria Fourier care utilizeazirul de funcii ortogonale :

( )njk

k en0 = cu

N

20 = i { }1,...,2,1,0 Nk (3.8)

Trebuie remarcat faptul c seria Fourier complex corespunztoare semnalului analogic utilizeaz setulde funcii ( ) tjkk et

0 = , care contine o infinitate de funcii ( )Zk , pe cnd setul ( )njk

k en0 =

conine numai N funcii distincte, ntr-adevr, irul de funcii ortogonale este periodic, dup cum sevede:

( )( )

( ) Z===+

+lneeen k

ljn

Njkn

NlNkj

lNk ,2

22

(3.9)

n continuare vom prezenta spectrul semnalelor discrete periodice , ns fr a demonstra aceste relaii.

8/4/2019 APDcurs

51/56


51

Seria Fourier pentru o secven periodic de perioada N se definete ca fiind :

( ) 1,...,2,1,0,1

0

2

==

=

NnecnxN

k

N

knj

k

(3.10)

unde coeficienii kc se calculeaz conform relaiei

( ) 1,...,2,1,0,1 1

0

2

==

=

NkenxN

cN

n

N

knj

k

(3.11)

ObservaieSe remarc analogia cu seria Fourier a semnalelor analogice periodice, unde n loc de integral seface suma (tot pe o perioad) a componentelor spectrale ponderate prin coeficieni.

Seria Fourier discret n timp pentru secvene periodice descrie ( )nx n domeniul frecven,

coeficienii kc furniznd amplitudinea i faza asociat armonicei a k-a (componenta de frecvenNkf

k = ):

( )N

keens k

njN

knj

kk

2,

2

=== (3.12)

Secvenele periodice ( )nsk sunt periodice i ele cu perioada N.

Aplicaie

Spectrul semnalului ( ) 8cos2

n

nx

= se obine scriind semnalul sub urmtoarea form

88

cos2 872

8

2

=+=

Neen

nj

nj

rezult pentru coeficieni:

0,1 65432071 ======== cccccccc

Rezult spectrul periodic de perioada 8=N din figura de mai jos (fig 3.1)

fig 3.1 Spectrul semnalului ( )8

cos2n

nx

=

8/4/2019 APDcurs

52/56


52

AplicaieFie secvena periodic ( )6=N : ( )0,0,1,1,1,1 , de pe figura 3.2:

fig 3.2

Aplicnd relaia (3.11):

( ) ===

=

===

3

0

3

0

3

0

6

25

0

6

2

3sin63cos6

116

1

6

1

nnn

knj

n

knj

k

knjjknj

eenxc

rezult:

3

21

6

1 3

00 ==

=n

c

6

3

63

2sin

3sin

6

cos3

2cos

3cos1

3sin

63cos

6

1 3

0

3

01 jj

njjnjc

nn

=

+

+++

== ==

3

31

6

02

3

2

3

6

1331

6

2sin34sin32sin

6

2cos34cos32cos1

3

2sin

63

2cos

6

1 3

0

3

02

=

+

+

=

=++

+++

== ==

j

jnjjnj

cnn

06

1111

6

3cos2coscos1

3

3sin

63

3cos

6

1 3

0

3

03 =

+=

+++==

==

nn

njjnjc

3

31

62

3

2

3

6

1331

63

8sin3

4sin

6

4cos3

8cos3

4cos1

3

4sin

63

4cos

6

1 3

0

3

04

=

+

+

=

=

+

+++

== ==

j

jnjjnj

cnn

8/4/2019 APDcurs

53/56


53

63

331

602

3

2

3

61331

6

5sin3

10sin

3

5sin

6

5cos3

10cos

3

5cos1

3

5sin

63

5cos

6

1 3

0

3

05

jj

jnjjnj

cnn

+=

+

+=

=

++

+++

== ==

Obinem spectrul semnalului, o secven de forma:

6

3

6

31,

6

31,0,

6

31,

6

3,

3

2jj

spectrul de faze asociat secvenei spectru va fi:

31

3,0,0,0,2,0 arctg

Proprieti

Secvena kc este periodiccu aceeai perioadN Nkk cc += , deoarece kc este o sum finit defuncii periodice de aceeai perioad , astfel spectrul unei secvene periodice este o secvenperiodic de aceeai perioad. Astfel orice N eantioane consecutive ale semnalului sau aspectrului d o reprezentare complet a semnalului discret periodic, att in domeniul timp ct i ndomeniul frecven

Simetrie. Dac ( ) nx , atunci kk cc =* . Din care rezult spectru de amplitudini par: kk cc = ispectru de faze impar: kk cArgcArg = . Prin urmare descrierea complet a secvenei necesit

20% din informaie, adic avem urmtoarele relaii, innd cont i de periodicitatea spectrului:

kkNkkN cArgcArgcc == ;

Dac ( ) nx , atunci ( )nx permite o dezvoltare de forma:

( ) = =

+=

++=

M

k

M

k

kkokkN

kn

bN

kn

aaN

kn

ccnx1 1

0

2

sin

2

cos

2

cos2

(3.11)

unde*

00 2;sin2;cos2;

====

NMcbcaca kkkkkk

1 (3.14)

Acest lucru poate fi verificat uor n cazul aplicaiei precedente.

1 Expresia [x]* este partea ntreag a lui x

8/4/2019 APDcurs

54/56


54

Relaia Parseval pentru semnale periodice discrete stabilete relaia dintre puterea secvenei icoeficienii si Fourier:

( ) ( )

=

=

==

1

0

21

0

21 N

k

k

N

n

nx cnxN

P (3.12)

Cu alte cuvinte, secvena2

kc este densitatea spectral de putere a secvenei ( )nx

Energia unei secvene de-a lungul unei perioade este( )

=

=

==

1

0

21

0

2N

k

k

N

n

N cNnxE (3.13)

Densitatea spectral de putere nu conine nici o informaie despre faz4.3 Analiza spectral

a semnalelor discrete neperiodice

Semnalele neperiodice pot fi considerate un caz limit a semnalelor periodice, caz n care Ntinde la infinit, astfel relaiile (3.10), (3.11) devin relaii integrale (sume infinite), astfel transformataFourier directa unei secvene neperiodice de energie finitse definete prin:

( ) ( )+

=

=

n

njenxX

(3.17)

transformata Fourier inversse definete prin relaia :

( ) ( )

deXnx

nj

=

+

2

1

(3.18)

Proprieti

Transformata Fourier este o funcie periodicde( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XenxeenxenxX

n

nj

n

njnj

n

nj====+

+

=

+

=

=

+ 222 (3.19)

Convergena transformatei Fourier( ) ( ) ( ) XenxX N

n

nj

N =

+

=

(3.20)

Convergena uniform este garantat de sumabilitatea absolut a lui ( )nx , adic:

( )

8/4/2019 APDcurs

55/56


55

Spectrul secvenelor neperiodice este o funcie definitpe:

C+ ],(: X i ( ) ( ) ( )( ) XjArgeXX = (3.22)

unde ( )X este modulul densitii spectrale iar ( )( )XArg este faza densitiispectrale

Dac ( ) ,nx atunci ( ) ( ) *XX = avem proprieti de simetrie:Densitate spectralde amplitudini par:

( ) ( ) XX = (3.21)

faza densitii spectrale de amplitudini impar:

( ) ( ) XArgXArg = (3.24)

Astfel n acest caz descrierea complet a secvenein frecven necesit doarjumtatea din informaia solicitat n cazul general (domeniul de frecvena poate filimitat la ( ),0

Energia unei secvene neperiodice ( )nx este:( ) ( ) ( )

+

=

+

=

==nn

x nxnxnxE*2 (3.22)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

dXXdenxX

deXnxnxnx

n

nj

nj

nn

==

==

+

+

+

=

+

+

=

+

=

2

1

2

1

21*

Densitatea spectralde energie se dinete i cu formula:( ) ( )

2 XSxx = (3.23)

Aceast relaie se numeteteorema lui Parseval pentru secvene neperiodice.Densitatea spectral de energie nu conine nici o informaie despre faz

Energia unei secvene neperiodice este:( ) ( )

+

+

=

==

dXnxEn

x

22

2

1(3.27)

8/4/2019 APDcurs

56/56


Aplicaie

S se gseasc spectrul secvenei aperiodice din figura 3.1:

fig 3.1 Secven aperiodic

Secvena este absolut sumabil, astfel:

( ) ( ) 323

0

1 jjj

n

nj

n

nj eeeeenxX

=

+

=

+++===

sau nsumnd progresia geometric:

( )

jeX =

2sin

2sin

AplicaieS se afle spectrul secvenei neperiodice, definit prin relaia: ( ) ( ) ( )tunx

n

= 25,0 Secvena este absolut sumabil, deoarece:

( )

APDcurs

Documents

Transcript of APDcurs