Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 95

ANTINOMIA MINCINOSULUI

Paul Sfetcu Institutul Naional de Cercetare - Dezvoltare n Informatic - ICI, Bucureti

psfetcu@yahoo.com

Rezumat: n acest articol prezentm cel mai vechi i mai dificil paradox aprut nc din Antichitatea greac, prezentnd i soluia dat de Anton Dumitriu, bazat pe principiile logicii clasice, pe regulile definiiei i pe sistemul formal din Principia mathematica, construit de B. Russell i A. Whitehead.

Cuvinte cheie: principiile logice, tautologie, negaie.

Abstract: In this paper we present the oldest and the most difficult of all the paradoxes, appeared in the Greek Antiquity. We also present Anton Dumitrius solution, based on the clasic logic principles, the rules of definition and the formal system presented by B. Russell and A. Whitehead in Principia mathematica.

Key words: logical principles, tautology, negation.

1. Introducere

Acest paradox, care este cel mai vechi paradox cunoscut, a creat mari dificulti nc din Antichitate. El a stat i n atenia logicienilor din Evul Mediu care, cu meticulozitatea lor scolastic, i-au dat soluii subtile. Momentul n care a aprut necesitatea fundamentrii matematicilor prin formalizare i axiomatizare coincide cu primele ncercri de a-i da o soluie formal.

Antinomia mincinosului se pare c a fost construit de megaricul Eyboulides. Diogenes Laertios, n lucrarea sa Despre vieile i doctrinele filosofilor (VII, 180), menioneaz c logicianul Chrysippos a scris cel puin apte tratate despre mincinos. Chiar i Aristoteles, n De sophisticis elenchis (25), Ethica nicomachic (VII, 3) i n Metafizica (IV, 4, i 8) i-a consacrat o parte nsemnat n studiile sale logice; Ciceron l citeaz n Libri academici (II, 29); Seneca (Epistolae ad Lucilium, 45) menioneaz c multe cri au fost scrise despre el; Aulus Gellius trateaz acest subiect pe larg n Noctes atticae (XVIII, 2); Ploutarchos l menioneaz n lucrarea sa Contradiciile stoicilor (2 i 24). Scolasticii (n special Buridan, Albertus de Saxonia, Petrus de Allyaco, Paulus Nicolettus Venetus .a) au scris numeroase lucrri asupra acestei probleme, ntr-un capitol important din logic, purtnd titlul Insolubilia, n care paradoxul mincinosul era formulat n diverse variante (pentru dezvoltri, a se vedea lucrarea lui Anton Dumitriu Istoria logicii, ca i numeroasele sale articole scrise pe aceast tem).

ntlnind n teoria sa logico-matematic privitoare la fundamentele matematice unele contradicii sau paradoxe, Bertrand Russell a recunoscut c acestea sunt toate de acelai tip cu antinomia mincinosului. n lucrarea sa Principia mathematica (primul vol. 1910, scris mpreun cu A. N. Whitehead), el a schiat o soluie formalist pentru paradoxe avnd la baz pe teoria tipurilor dar propunnd numai soluii restrictive, convenionale pentru ca paradoxele s nu mai poat aprea. Numeroi sunt cei care au avut contribuii n aceast problem, dar eforturile lor nu au depit soluia lui Russell, ci numai au ncercat s o perfecioneze. Aa sunt studiile lui R. Carnap (Logische Syntax der Sprache, Springer, Viena, 1934), A. Tarski (Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (Studia Philosophica, Leopoli, 1933) .a.

Referitor la literatura asupra acestei probleme, avem cartea The Paradox of the Liar, editat de Robert L. Martin (Yale University Press, New Haven and London, 1970), precum i un articol al lui John F. Post Shades of the Liar (Journal of Philosophical Logic, 2, 1973).

2. Enunul paradoxului i principalele lui soluii

Formularea antinomiei mincinosului n Antichitate era urmtoarea: Minte cineva cnd spune c minte?. Este evident c nu exist dect dou rspunsuri posibile: 1. minte; 2. nu minte.

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 96

1. Dac cineva minte, atunci nu minte cnd spune c minte, deci nu minte.

2. Dac cineva nu minte cnd spune c minte, atunci minte.

Contradicia este evident: dac minte, nu minte; dac nu minte, minte.

O alt form a acestui paradox este argumentul reciproc, numit de greci antistrephon () i de latini reciprocum. Este n aa fel construit nct el poate fi ntors i ntrebuinat, cu aceeai for, mpotriva aceluia care l folosete. Diogenes Laertios citeaz acest argument ca pe un fapt real din viaa lui Protagoras. n Noctes atticae, Aulus Gellius l expune astfel: Protagoras a fost angajat ca profesor de ctre discipolul su Eylathos, acesta trebuind s i plteasc onorariul atunci cnd va ctiga primul su proces. Totui, timpul trecea i Eylathos nu voia s ia niciun proces, astfel c nu avea nicio obligaie de plat fa de profesorul su. Dndu-i seama de neltorie, Protagoras l-a chemat n judecat pe Eylathos, invocnd urmtorul argument: Dac vei ctiga, va trebui s mi plteti n baza contractului nostru, deoarece ai ctigat primul tu proces; dac pierzi, va trebui s mi plteti conform sentinei tribunalului. Eylathos i-a ntors argumentul n felul urmtor: Dac pierd procesul, nu va trebui s i pltesc onorariul, deoarece contractul prevede c va trebui s o fac numai cnd voi ctiga primul meu proces; dac l ctig, nu voi fi forat s i pltesc prin sentina tribunalului.

n Les fondements des mtathmatiques (Edition Blanchard, Paris, 1926), Ferdinand Gonseth enun una dintre multe alte variante ale acestui paradox.

Logicienii scolastici au formulat aceast antinomie n 14 variante, dup cum apare n tratatul lui Albertus de Saxonia Perutilis logica (tiprit pentru prima dat la Veneia, 1522). Dintre acestea, vom cita acele variante care sunt fundamentale, celelalte reducndu-se la acestea.

1. Ego dico falsum Eu spun falsul.

2. Propositio scripta in illo folio est falsa Propoziia scris pe aceast foaie de hrtie este fals.

3. Forma antistrephon sau reciprocum din procesul Protagoras-Eylathos are urrntoarea formulare scolastic: Sokrates spune o singur propoziie: Plato dicit falsum i Platonos spune o singura propoziie: Sokrates dicit verum; care dintre aceste propoziii este adevrat i care fals? Este evident c orice valoare de adevr am acorda uneia din aceste propoziii, ea este anulat de cealalt i prin aceasta se arat caracterul insolubil al acestor propoziii (ca i n cazul mincinosului).

Care sunt soluiile principale oferite pn acum?

Prima soluie pare s fie aceea a lui Aristoteles. Nu aceea din De sofisticis elenchis, ci aceea dat n Metafizica (IV, 4, 1 008 a i IV. 8, 1012 b). El scrie: Acela care afirm c totul este adevrat, d putere de adevr i afirmaiei contrare, de unde rezult c propria lui afirmaie este fals. i acela care afirm c totul este fals, afirm c i propria lui aseriune este fals. S detaliem soluia lui Aristoteles. S presupunem c enunm propoziia universal:

1. Toate propoziiile sunt adevrate.

S formulm acum propoziia:

2. Propoziia (1) este fals.

Propoziia (1) antreneaz adevrul propoziiei (2) i propoziia (2) antreneaz falsitatea propoziiei (1). Deci, dac (1) este adevrat, (2) este adevrat de asemenea i atunci (1) este fals, ceea ce este o contradicie.

n acelai mod, s considerm propoziia universal a mincinosului:

(3) Toate propoziiile sunt false.

S scriem acum propoziia urmtoare:

(4) Propoziia (3) este adevrat.

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 97

Propoziia (3) antreneaz falsitatea propoziiei (4) i aceasta antreneaz falsitatea propoziiei (3). Aadar, dac (3) este adevrat, (4) este fals i atunci (3) este fals, ceea ce este o contradicie.

Cu alte cuvinte, exist propoziii care, cu toate c n mod aparent nu prezint niciun pericol logic, conin totui o contradicie ce poate fi explicitat mai mult sau mai puin direct. Afirmaiile (1) i (2), sau (3) i (4), dei par ireproabile, conin totui o contradicie care le anihileaz.

Soluia lui Aristoteles, aa cum a fost detaliat mai sus, se reduce de fapt la o constatare simpl. i cel care afirm c toate propoziiile sunt adevrate, i cel care afirm c toate propoziiile sunt false, pleac de la urmtoarea axiom, admis implicit:

(1) Exist dou valori de adevr ale propoziiilor, A (adevrat) i F (fals).

Una dintre urmtoarele propoziii:

(2) Toate propoziiile sunt adevrate,

(3) Toate propoziiile sunt false,

admind numai o singur valoare de adevr pentru propoziii, este contradictorie cu (1) i este respins de aceast axiom.

n concluzie: dac presupunem c exist dou valori de adevr ale propoziiilor, nu putem s spunem apoi: nu exist dect o singur valoare de adevr a propoziiilor. Aceasta este ntreaga contradicie a mincinosului.

Referitor la soluiile scolastice, trei dintre acestea sunt mai importante i le vom meniona pe scurt.

(1) Soluia lui Buridan (n lucrarea sa Summulae, tiprit la Veneia, 1499). Aceast soluie cere un timp pentru oricare propoziie, ceea ce mpiedic producerea paradoxelor de acest fel. Momentul n care este afirmat propoziia este diferit de momentul n care este fcut judecata asupra acestei propoziii (a se vedea articolul lui Anton Dumitriu, Soluiile contemporane i scolastice ale antinomiilor logico-matematice).

(2) Soluia lui Albertus de Saxonia (n lucrarea Perutilis logica, tiprit pentru prima dat la Veneia, 1522). Pentru Albertus, eroarea fcut n problemele de acest fel const n faptul c se ia partea drept ntreg.

(3) Soluia lui Petrus de Allyaco (n tratatul asupra problemei Insolubilia, tiprit pentru prima dat la Paris n 1494) este bazat pe o distincie subtil fcut ntre propoziiile vocale sau scrise i propoziiile mentale. Numai propoziiile vocale sau scrise pot indica valoarea de adevr a unei propoziii mentale. Propoziiile scrise, adic prezentate n mod formal, nu pot spune nimic despre ele nsele (aceasta este i soluia indicat de Ludwig Wittgenstein n Tractatus logico-philosophicus).

Din Evul Mediu i pn la apariia monumentalei opere Principia mathematica nu s-a mai scris nimic pe acest subiect. Antinomia mincinosului este pus din nou n discuie, n aceast lucrare, de Bertrand Russell. S considerm, o dat cu el, propoziia p i declaraia c p este fals.

(1) p este fals.

S considerm acum aceast nou propoziie (1) i s o declarm fals:

(2) propoziia p este fals este fals.

Ce spune Russell? C fals din (1) nu are acelai nivel cu al doilea fals din (2), c ele trebuie deosebite i c nu pot fi considerate ca unul i acelai lucru. n propoziia (1) ntrebuinm un tip de adevr care nu este identic cu al doilea. Dac se face o astfel de tipizare a adevrului (i falsului), paradoxul mincinosului nu mai poate aprea i nici celelalte paradoxe nrudite cu acesta. Acestei soluii russelliene Tarski i-a dat o form riguroas i a demonstrat c o definiie formal corect a propoziiei adevrate nu poate fi construit ntr-un sistem formal, ci ntr-un sistem care are un nivel superior, adic acela care vorbete despre proprietile primului (metasistemul sistemului).

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 98

3. Paradoxul filosoful i califul (variant) S relum problema din procesul dintre Protagoras i elevul su Eylathos. Dintre variantele

acestui argument antistrephon o vom considera pe urmtoarea: Un filosof este condamnat la moarte de ctre un Calif, care i acord permisiunea s i aleag singur felul morii. Dac spui o minciun, vei fi spnzurat; dac spui un adevr, vei fi decapitat. Dup un timp de reflecie, filosoful rspunde: Voi fi spnzurat. Aceast propoziie, aparent att de simpl, conduce ns la o contradicie: dac ea este adevrat, filosoful trebuie s fie decapitat, dar n acest caz, propoziia lui este fals i, deci, trebuie s fie spnzurat! Dac propoziia este fals, filosoful trebuie s fie spnzurat, conform condiiei puse de Calif, dar atunci aceast propoziie este adevrat i el trebuie decapitat! Propoziia filosofului Voi fi spnzurat nu poate fi declarat nici adevrat, nici fals, dei ea trebuie s fie sau adevrat sau fals.

S vedem mai nti cum apare cercul vicios. Condiiile Califului sunt: filosoful va spune o propoziie care, prin adevrul sau falsitatea ei, va determina modul su de execuie. Filosoful enun o propoziie al crei adevr sau falsitate depinde de modul su de execuie. Condiiile iniiale au fost schimbate. Califul spune:

(1) Modalitatea executrii tale depinde de valoarea de adevr a propoziiei pe care o vei spune.

Filosoful spune:

(2) Valoarea de adevr a propoziiei mele depinde de modalitatea executrii mele.

Cu alte cuvinte, Califul a stabilit un antecedent logic care va determina consecina sa, pe cnd filosoful schimb problema i propoziia lui ia ca antecedent logic ceea ce tocmai problema declarase ca fiind consecvent.

Criteriile (1) i (2) sunt considerate ca fiind identice, nu se face nicio distincie ntre ele, ca i cum ar fi un singur criteriu, de unde cercul vicios.

n general, fiind dat o problem n care un rezultat este o consecin a adevrului sau a falsitii unei propoziii p, se obine o petitio principii sau un cerc vicios dac facem s depind valorile de adevr ale propoziiei p de nsui acest rezultat, adic dac introducem un criteriu invers, n mod implicit sau explicit, n raport cu criteriul prin care sunt determinate valorile de adevr ale lui p. S notm cu K1 criteriul conform cruia sunt deduse consecinele dintr-o astfel de problem. S notm cu K2 criteriul care determin valorile de adevr ale lui p. Pentru K1 K2, nu poate exista nicio contradicie. Dac nu se ine seama de aceast condiie, se ajunge la o problem iluzorie, n care nu se spune nimic i care apare sau ca o tautologie, sau ca o contradicie, i anume: dac valoarea de adevr a unei propoziii p este obligat s depind de nsi consecina determinat de adevrul propoziiei p, atunci avem o tautologie; dac adevrul propoziiei este fcut s depind de nsi consecina determinat de falsitatea propoziiei p, atunci avem o contradicie.

4. Mincinosul Ce nseamn a fi mincinos? Prin acest termen nelegem c mincinosul n cauz este un

mincinos absolut, care minte totdeauna, fr nicio excepie. A mini n mod permanent nseamn a afirma ca fiind adevrat ceea ce este fals i ca fiind fals ceea ce este adevrat. Pentru a putea mini, mincinosul trebuie s cunoasc dac ceea ce va spune se refer la ceva fals sau adevrat; altfel, necunoscnd acest lucru, el poate s spun chiar adevrul, minind la ntmplare, ceea ce este mpotriva ipotezei. Mincinosul absolut i ia o obligaie care este chiar definiia lui enunat de propoziia Eu mint: orice propoziie, oricare ar fi ea, determinat prin valoarea ei de adevr, este declarat de el fals i prin aceasta capt o valoare contrar aceleia atribuit ei. Mincinosul poate opera aceast inversiune a valorii de adevr a unei propoziii utiliznd functorii de adevr A i F (n fapt numai pe F) sau utiliznd negaia, care este suficient pentru intenia sa.

Cu alte cuvinte, prin propoziia sa: Eu mint mincinosul spune: Adevrul sau falsitatea unei propoziii p determin falsitatea sau adevrul pe care l atribui eu propoziiei p, oricare ar fi ea.

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 99

Dup cum se vede, i n acest caz exist un antecedent i un consecvent, dup cum am vzut n paradoxul Califul i filosoful. Antecedentul logic este valoarea de adevr a propoziiei p; consecventul este valoarea contrar de adevr dat de mincinos propoziiei p.

Invers, i noi avem un criteriu pentru a determina valorile de adevr ale propoziiei p pe care mincinosul le schimb: orice propoziie declarat adevrat de mincinos va avea, independent de mincinos, valoare fals, i orice propoziie declarat fals de mincinos trebuie s fie adevrat.

(1) Criteriul mincinosului. Valoarea de adevr a propoziiei p, oricare ar fi ea, determin valoarea de adevr pe care o atribui eu acestei propoziii p, anume n mod invers (prin negaie).

(2) Criteriul independent de mincinos. Valoarea de adevr atribuit de mincinos unei propoziii p, oricare ar fi ea, determin valoarea de adevr atribuit acestei propoziii independent de mincinos, anume n sens invers (prin negaie).

Prin urmare, orice propoziie p poate avea, n cadrul acestei probleme, fie o valoare de adevr independent de mincinos, fie valoarea de adevr dat ei de ctre mincinos. Confundnd cele dou criterii i considerndu-le ca fiind un singur criteriu, facem o confuzie ntre dou valori de adevr distincte, dar inverse aceea a mincinosului i aceea independent de mincinos; de unde apare contradicia exact ca i n cazul Califul i filosoful.

Antinomia mincinosului se reduce la aceste dou propoziii contradictorii: Mincinosul spune:

(1) Nu exist dect o singur valoare de adevr pentru propoziii, anume falsul.

ncercnd s vedem dac aseriunea mincinosului este adevrat sau fals, s-a admis implicit c exist de fapt dou valori de adevr pentru propoziii. Astfel, n paradoxul mincinosului mai exist implicit o aseriune:

(2) Exist dou valori de adevr ale propoziiilor, adevrat i fals.

Aseriunile (1) i (2) sunt contradictorii, dar ele funcioneaz simultan n paradox, fr a fi distincte, i atunci nu este de mirare c aceasta creeaz iluzia unei antinomii.

Prin urmare, orice propoziie p poate s se prezinte, n cadrul acestei probleme, cu valoarea sa de adevr, independent de mincinos, sau cu valoarea de adevr pe care i-o atribuie mincinosul (care inverseaz prin negare, valorile de adevr).

Confundnd cele dou criterii, noi confundm adevrul sau falsitatea mincinosului cu adevrul sau falsitatea propoziiei independente de mincinos; s notm cu W criteriul dup care acordm unei propoziii p valoarea adevrat sau fals, independent de mincinos; s notm cu V criteriul mincinosului (de a atribui oricrei propoziii p valori de adevr contrare celor acordate lui p de criteriul W). n aceste condiii, prin definiie, W i V nu sunt identice, adic W V. Acum, s vedem cum se confund cele dou criterii, deci valorile de adevr atribuite de mincinos lui p cu valorile de adevr atribuite lui p, independent de mincinos.

Eyboulides Megaricul l ntreab pe mincinos: eti mincinos sau nu eti? Propoziia eu mint o declari adevrat sau fals? Dar mincinosul nu poate rspunde dect n dou moduri, tertium non datur: 1) propoziia eu mint este adevrat; 2) propoziia eu mint este fals.

1. S presupunem c mincinosul atribuie propoziiei eu mint valoarea adevrat (criteriul V). Atunci Eyboulides Megaricul face urmtorul raionament: dac aceast propoziie este adevrat (criteriu V), atunci este adevrat c mini (criteriul W), deci nu mini (criteriul W) cnd spui c mini (criteriul V), deci nu mini (criteriul W).

2. S presupunem c mincinosul atribuie valoarea fals propoziiei eu mint. Atunci Eyboulides Megaricul face urmtorul raionament: dac aceast propoziie e fals (criteriul V), atunci e fals c tu mini (criteriul W), deci tu nu mini (criteriul W), cnd spui ca mini (criteriul V), deci tu mini (criteriul W). Se observ c criteriul V funcioneaz n acelai timp cu criteriul W, fr nicio distincie, ca i cnd ar fi un singur criteriu W = V; se confund astfel ntotdeauna adevrul propoziiei eu mint pentru mincinos (criteriul V) cu adevrul propoziiei independent de mincinos (criteriul W). Confuzia valorilor de adevr inverse ale propoziiei eu mint provoac paradoxul.

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 100

S inem seama de definiia mincinosului, exprimat prin propoziia eu mint n virtutea creia valorile de adevr (criteriul W) sunt inversate de mincinos (criteriul V). Avem aceste dou situaii posibile:

1. Propoziia eu mint e declarat adevrat de ctre mincinos (criteriul V). Atunci, deoarece, prin definiie, mincinosul inverseaz valoarea de adevr a propoziiei eu mint, trebuie s spunem c valoarea care rezult pentru propoziia eu mint e fals (criteriul W). Deci, n realitate, mincinosul, declarnd c e adevrat c minte (criteriul V), a declarat c e fals c minte (criteriul W), adic c nu minte (criteriul W). Nu rezult nicio contradicie, fiindc rezultatul e compatibil cu definiia mincinosului.

2. Propoziia eu mint este declarat fals de ctre mincinos (criteriul V). Atunci, fiindc, prin definiie, mincinosul inverseaz valoarea de adevr a propoziiei eu mint, trebuie s spunem c valoarea care rezult pentru propoziia eu mint e adevrat (criteriul W). Deci, n realitate, mincinosul, declarnd c e fals c minte (criteriul V), a declarat c e adevrat c minte (criteriul W), adic c el minte (criteriul W). Nu rezult nicio contradicie fiindc rezultatul e compatibil cu definiia mincinosului!

Cu alte cuvinte, dac inem seama de faptul c mincinosul afirm ca fiind adevrat ceea ce e fals i ca fiind fals ceea ce e adevrat i c noi trebuie, n consecin, s transformm valorile de adevr atribuite de el unei propoziii (oricare ar fi ea), propoziia eu mint poate fi declarat sau adevrat, sau fals de ctre mincinos i nu rezult absolut nimic, la fel cum nu rezult nimic din faptul c noi declarm propoziia eu spun adevrul adevrat sau fals. Regsim astfel a cincea soluie a logicienilor scolastici.

5. Soluia formal

Vom utiliza aici sistemul formal din Principia mathematica.

Am vzut c definiia mincinosului este: acela care neag valorile de adevr date oricrei propoziii p. Vom preciza c semnul de definiie = definete dou expresii propoziionale echivalente. n acest caz, aceste expresii pot fi nlocuite una prin alta (condiia lui Pascal a definiiei). El mai poate fi i semnul de identitate.

Semnul arat c dou expresii propoziionale nu pot fi n relaie de definiie, nici nu sunt echivalente, nici nu pot fi nlocuite una prin alta i nici nu sunt identice.

Dac afirmm echivalena

(x) (x) ~(x) (I)

aceast echivalen poate s fie adevrat numai dac . Cu alte cuvinte, echivalena (I) implic o condiie necesar: neidentitatea dintre simbolurile i , pentru a nu avea o definiie contradictorie. Dar aceast condiie nu este suficient: se poate ca simbolurile i s nu fie identice i totui echivalena (I) s nu fie adevrat. ntr-adevr, dac avem dou funcii propoziionale (x) i (x), din faptul c simbolurile i nu sunt identice ( ), nu rezult ca ele sunt echivalente i nc pentru orice x. Relaia dintre expresia (x) (x) ~(x) i expresia este deci exact relaia de implicaie: nu este cazul ca (x) (x) ~(x) s fie adevrat i s fie fals. Dar inversa nu este valabil: este posibil ca s fie adevrat i (x) (x) ~(x) s fie fals. Prin acestea, Anton Dumitriu a stabilit urmtoarea formul, care este o implicaie i pe care o noteaz cu T:

T | : (x) (x) ~(x) . Aceast formul este o tautologie i se bazeaz exclusiv pe principiul contradiciei i nu

face nimic altceva dect s exprime acest principiu n cazul studiat mai sus.

Se poate vedea uor c formula T este o tautologie. ntr-adevr, primul membru poate fi adevrat sau fals, fiind o propoziie general (variabila x este aparent).

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 101

n cazul mincinosului, propoziia p = Eu mint face ca orice propoziie q s aib o valoare de adevr invers dect aceea atribuit ei. Avem astfel definiia:

Eu mint = ~q Df

Aceast definiie este general. Avem astfel echivalena:

Eu mint ~q

Aceast echivalen este valabil pentru orice propoziie care ar reprezenta variabila q; pentru q = Eu mint obinem contradicia:

Eu mint ~ Eu mint (Eu mint este echivalent cu Eu nu mint).

Problema este: pentru ce n definiia de mai sus i n echivalena derivat din ea q, care prin definiie este arbitrar, nu poate deveni Eu mint? Pentru ce avem i trebuie s avem q Eu mint?

Vom pleca de la urmtoarea tautologie, unde semnul = este ntrebuinat n sensul specificat mai sus:

p = q p q (1) Aceasta este evident i nseamn: dac propoziiile p i q sunt n relaie de definiie sau

sunt identice, atunci ele sunt echivalente.

Propoziia invers nu este adevrat: dac propoziiile sunt echivalente, nu urmeaz c ele sunt n relaie de definiie (sau identice). Formula (1) este o implicaie i nu o echivalen.

Prin transpoziie obinem:

~(p q) ~( p = q) Dar, deoarece ~(p = q) se poate scrie p q, avem:

~(p q) p q (2) n Principia mathematica exist teorema 5.18:

5.18 (p q) ~( p ~q)

Sau prin transpoziia negaiei:

5.18 ~(p q) p ~q.

nlocuind n (2) primul membru ~(p q) p ~q, conform regulii de nlocuire (replacement), obinem teorema pe care Anton Dumitriu a numit-o T:

p ~q q p. n consecin, dac avem definiia Eu mint = ~q (Df.), avem i echivalena Eu mint

~q care, mpreun cu teorema T duce la rezultatul Eu mint q.

ntr-o astfel de echivalen, propoziia q nu poate fi Eu mint.

Explicaia este simpl i calculul a implicat cele dou criterii care nu trebuie confundate, ceea ce s-ar ntmpla dac q ar fi Eu mint (fiindc ar rmne numai criteriul mincinosului).

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 102

Vedem c propoziia: Afirm p i p este fals (1), care este o form a antinomiei mincinosului este numai un caz particular al propoziiei mai generale: Afirm p i p afirm c q este fals (2), q fiind o propoziie arbitrar. Putem s lum imprudent q = p i atunci propoziia general (2) devine propoziia (1), pe care pare s o includ: Afirm p i p afirm c p este fals. Dar propoziia (1) a fost exclus prin calcul dintre toate propoziiile care pot fi reprezentate de propoziia (2). Prin urmare, propoziia (2) nu este o universal, din cauz c este o convenie. Angajamentul luat de mincinos, de a falsifica orice propoziie a crei valoare de adevr este dat, este o convenie i orice convenie este o propoziie particular, din cauz c nu poate fi derivat din axiomele sistemului (sau din teoremele lui), tocmai fiindc este o convenie i nu un adevr n universul sistemului.

6. Concluzii

Am demonstrat teorema T n cadrul logic din Principia mathematica. Dar este uor de vzut c aceast formul este valid n orice sistem propoziional, (care admite urmtoarele idei:

(1) Variabile propoziionale p, q, r, ... care pot lua dou valori, adevrul (A) sau falsul (F).

(2) Definiia, desemnat prin semnul = care poate fi i semnul de identitate; nondefiniia sau nonidentitatea, desemnat prin semnul .

(3) Negaia.

(4) Echivalena p q.

(5) Implicaia p q. Orice sistem care admite aceste cinci idei admite de asemenea formula T, care are

ntotdeauna valoarea A (este o tautologie) n sistem.

T | p ~q q p. (semnul lui Frege | este semnul de aseriune, deci nu este un semn logic, ca i semnele de

punctuaie). Formula T exclude antinomia mincinosului.

n final, trebuie s scoatem n eviden un aspect care a scpat din vederile celor care au cutat s dea o soluie formal acestui paradox (i n general tuturor paradoxelor).

Prin enun se vede c: dac o propoziie este adevrat, ea este fals; dac este fals, ea este adevrat. De aici se vede c propoziia este i adevrat, i fals n acelai timp, ceea ce este o contradicie n termeni.

n Principia mathematica avem:

p q . = . ~(~p q) S facem q = ~p. Vom obine:

p ~p . = . ~(p ~p) S negm acum relaia:

~ (p ~p) . = . p ~p. Am obinut, la nivel formal, identitatea dintre principiul contradiciei (este fals c o

propoziie poate fi adevrat i fals n acelai timp) i principiul teriului exclus (o propoziie este sau adevrat, sau fals, a treia posibilitate nu exist).

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 103

Dar cei care s-au ocupat de aceast problem au concluzionat n mod imprudent c paradoxele, nefiind nici adevrate, nici false, scap principiului teriului exclus i au introdus o a treia valoare de adevr pentru propoziii. Dar din faptul c o propoziie este i adevrat, i fals n acelai timp conduce la distrugerea ei. Acest lucru a fost afirmat nc din Antichitate, cnd stoicii au formulat aceast propoziie logic, care n zilele noastre a fost pus n hain formal astfel:

p ~p . . ~p Nici intuiionitii, care contest principiul teriului exclus n domeniul infinitului, nu au luat

n considerare acest lucru evident.

Dar realitatea fenomenal, ca i realitatea logic, este guvernat de principii, care nu sunt contingente, adic nu se supun conjuncturii materiale. Iar Aristoteles a afirmat pregnant acest lucru, spunnd c toate principiile se reduc la principiul contradiciei, care este cel mai puternic dintre toate.

BIBLIOGRAFIE

1. ALBERTUS DE SAXONIA, Perutilis logica (Veneia, 1522).

2. ARISTOTELES, De sophisticis elenchis; Ethica nicomachic; Metafizica.

3. AULUS GELLIUS, Noctes atticae.

4. BURIDAN, Summulae (Veneia, 1499).

5. CARNAP, R., Logische Syntax der Sprache. Ed. Springer (Viena, 1934).

6. CICERON, Libri academici.

7. DIOGENES LAERTIOS, Despre vieile i doctrinele filosofilor (trad. de Aram Frenkian, 1964).

8. DUMITRIU, A., Soluia paradoxelor logico-matematice (Bucureti, 1966); Mecanismul logic al matematicilor (Ed. Academiei Romne, 1968); Istoria logicii, Ed. tehnic (Bucureti, vol. IV, 1998); Paradoxele n Evul Mediu (Revue roumaine des sciences sociales, s. de philosophie et de logique, 3, 1965); Problema paradoxelor logico-matematice (Scientia, Milano, 1968); Wittgenstein i soluia paradoxelor (Journal of the History of Philosophy, 2, Washington-San Diego, 1974); Soluiile contemporane i scolastice ale antinomiilor logico-matematice (International Philosophical Quarterly, 2, New York, 1974).

9. GONSETH F., Les fondements des mtathmatiques (Edition Blanchard, Paris, 1926).

10. MARTIN, ROBERT L., The Paradox of the Liar. Yale University Press, New Haven and London, 1970.

11. PETRUS DE ALLYACO, Insolubilia (Paris, 1494).

Revista Romn de Informatic i Automatic, vol. 21, nr. 2, 2011 104

12. POST, JOHN F., Shades of the Liar (Journal of Philosophical Logic, 2, 1973).

13. PLOUTARCHOS, Contradiciile stoicilor.

14. RUSSELL, B.; A. WHITEHEAD. Principia mathematica (vol. I, 1910).

15. SENECA, Epistolae ad Lucilium.

16. TARSKI, A. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (Studia Philosophica, Leopoli, 1933).