7/24/2019 ansem2_enunturi

1/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 1

an univ. 2012=2013

SEMINAR NR. 2, ENUNTURIAnaliza matematica I

1. Sa se determine minorantii, majorantii, infA,sup A,min A,max A, marginireapentruARdata prin A =fxn; n2Nmg, unde:a) xn=

1

n; 8n2N;

b)xn=(1)n

n ; 8n2N;

c)xn=n+ 1

n ;8n2N;

d)xn= n

2n 5 ; 8n2N;

e) xn= (1)n

n + 1

n ;8n2N

;

f) xn= (1)nn 1n+ 1

;8n2N;g)xn = n2(1)

n

;8n2N;h)xn=

n2

n+ 1; 8n2N;

i) xn=

8>:

cos1

n; n par

sin1

n; n impar

; 8n2N:

Sa se utilizeze notatiile infn2Nm

xn, supn2Nm

xn, minn2Nm

xn, maxn2Nm

xn.

2. Sa se studieze marginirea sirului

a) xn= 1nncos n

!

2 ; 8n2N;b)xn=

1nn

sin n2 ;8n2N;c)xn= 2

n; 8n2N:

3. Sa se studieze monotonia, infn2Nm

xn; supn2Nm

xn; minn2Nm

xn; maxn2Nm

xn, marginirea,

convergenta n R pentru urmatoarele siruri si, conform denitiei limitei, sa searate ca:

a) xn= 1 n1 +n

; 8n2N; limn!1

xn=1; limn!1

xn6= 1;b)xn=

n

1 +n2; 8n2N; lim

n!1xn= 0; lim

n!1xn6= 1;

c)xn= 1 + (1)nn+ (

1)

n;

8n

2N; lim

n!1xn = 0; lim

n!1xn

6= 1;

d)xn=n+ (1)n2 + (1)n; 8n2N; limn!1xn = +1;

limn!1

xn6= 1;

e) xn= n+ 1

2n 1 ;8n2 N; lim

n!1xn=

1

2; lim

n!1xn6= 2;

f) xn= (1)n nn2 + (1)n ; 8n2N2; limn!1xn= 0;

limn!1

xn6= 1;

g)xn = n2

1 +n;8n2N; lim

n!1xn= +1; lim

n!1xn6= 0;

h)xn=5n2 + 3;8n2N; limn!1

xn=1:

7/24/2019 ansem2_enunturi

2/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 2

4. Sa se arate ca sirul denit prin

xn =

8>:

1

n , daca n6= 3k2

n, daca n = 3k

;8n2N

are valori pozitive, converge la 0 n Rdar nu este monoton.

5. Sa se studieze monotonia, infn2Nm

xn, supn2Nm

xn, minn2Nm

xn, maxn2Nm

xn, marginirea,

limn!1

xn, limn!1

xn, , limn!1

xn, si sa se verice ca

infn2Nm

xn limn!1

xn limn!1

xn supn2Nm

xn

pentru urmatoarele siruri:

a) xn= (1)n

n ; 8n2N;

b)xn= (1)n n + 1n

; 8n2N;c)xn= (1)n2n+ 1

3n ; 8n2N;

d)xn= (1)n+1

(2 + (1)n)n ; 8n2N;

e) xn=(1 + (1)n) n

n+ 1 ;8n2N;

f) xn= n+ 1 + (1)n

n (2 + (1)n); 8n2N;

g)xn = (1 + (1)n) n+ 1n

;8n2N;

h)xn= (1)n1

2 +3

n

; 8n2N;i) xn=

1

n ((1)n n+ 2) ;8n2 N:

6. Sa se studieze limn!1

xn, limn!1

xn, , limn!1

xn pentru urmatoarele siruri:

a) xn=(1 + (1)n) n2 +n

n+ 1 ; 8n2N;

b)xn= sin n

2 ;8n2N;c)xn= cos

n

3 ;8n2N:

7. Sa se arate ca sirul denit prin

xn =8>:

1

n; npar

1 1n

; nimpar;8n2N

este marginit, dar nu converge n R:

8. Sa se studieze monotonia, infn2N3

xn, supn2N3

xn, minn2N3

xn, maxn2N3

xn, marginirea,

limn!1

xn, limn!1

xn, , limn!1

xn, si sa se verice ca

infn2Nm

xn limn!1

xn limn!1

xn supn2Nm

xn

pentru

7/24/2019 ansem2_enunturi

3/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 3

xn =8>>>>>>>:

1

k, daca n = 3k; k2 N

1 1k

, daca n = 3k+ 1; k2 N1

k 1, daca n = 3k+ 2; k2 N:

9. Sa se studieze monotonia, infn2Nm

, supn2N

m

, minn2Nm

, maxn2Nm

, marginirea, limn!1

, limn!1

,

, limn!1

, pentru sirurile(xn)n2Nm,n

pxnn2Nm

,

xn+1

xn

n2Nm

daca:

a) xn= (1)n1 + (2)n ; 8n2N;

b)xn=3n + (2)n

n ; 8n2N;

c)xn= 2 + (

1)

n

2n+ (1)n ; 8n2N;

d)xn=

2 + (1)n

5

n

; 8n2N:Sa se verice ca

0 limn!1

xn+1xn

limn!1

n

pxn lim

n!1

n

pxn lim

n!1

xn+1xn

+1: