Anexa 1. Matrice de date

A1.1 Date privind autoturismele

Tabelul 1 conine datele a 7 caracteristici msurate asupra a 26 de mrci de autoturisme. Putem folosi urmtoarele notaii:

P Preul (exprimat n $); K Capacitatea cilindric (cmc); V Viteza maxim (km/h); C Consumul de carburant (exprimat n litri/100 km); H Capacitatea habitaclului; L Lungimea (exprimat n cm); R Raportul greutate/putere.

Tabelul 1

Cod Model Pre Cap. cil.

Viteza maxim

Consum Cap. hab.

Lun-gime

Gr./P

1.A Austin Metro Special 12000 998 140 6.2 955 340 23.2 2.C CitroenAX 10RE 13275 954 145 5.6 1170 350 19.4 3.D DaihatsuCharadeTS 14625 993 145 6.7 1151 361 20.8 4.Fl FiatUno45Fire 13475 999 145 6.2 968 364 21.5 5.F2 FiatUnoTurboTE 25005 1301 200 8.9 968 364 11.0 6.F3 FiatUno70SL 17845 1302 165 7.7 968 364 16.0 7.F4 FordFiestaJunior 13050 1117 137 7.0 900 364 22.7 8.FS FordFiestaXR-2 21743 1597 180 9.3 973 364 12.0

Tabelul 1 (cont.)

Cod Model Pre Cap. cil.

Viteza maxim

Consum Cap. hab.

Lun-gime

Gr./P

9.N Nissan Micra 1.0 DX 12400 988 140 6.4 375 364 17.0 10.O Opel Corsa Swing 13050 993 143 7.2 845 362 22.4 11.P1 Peugeot20SXE 13260 954 134 6.8 1200 370 23.8 12.P2 Peugeot20SGL 15780 1124 142 5.8 1200 370 21.4 13.P3 Peugeot20SGT 18965 1360 170 9.2 1200 370 13.9 14.P4 Peugeot20SGTI 25175 1580 190 8.7 1200 370 11.2 15.Ri Renault4TL 12981 956 115 6.3 950 367 33.1 16.R2 RenauIt4GTL 13806 1108 120 6.3 950 367 28.4 17.R3 Renault5SL 14156 1108 143 5.8 915 359 20.6 18.R4 Renault5GTS 17250 1397 167 7.9 915 359 13.8 19.RS Renault5GTTurbo 25319 1397 200 8.7 915 359 10.2 20.SI SEATIbizaGLX 19283 1461 175 8.8 1200 364 14.7 21.S2 SEATMarbellaGL 10970 903 131 7.3 1088 347 23.4 22.S3 SuzukiSwiftGA 12115 993 145 6.4 400 358 18.4 23.54 SuzukiSwiftGL 14655 1324 163 6.5 400 358 14.0 24.Ti ToyotaStarlettL 14000 999 150 6.1 202 370 19.5 25.T2 ToyotaStarlettXL 16850 1295 170 6.8 202 370 15.0 26.V Volkswagen Polo 18045 1272 170 8.0 1040 365 14.0

A1.2 Date (indicatori financiar-contabili) privind firmele

S-a ncetenit ideea c analistul finanist trebuie s calculeze, n scopul emiterii unui diagnostic al firmei, diverse rate (sau rapoarte) ntre dou poziii ale bilanului contabil i/sau ale contului de rezultat. Teoretic, dar i practic, exist posibilitatea de a calcula un numr mare de asemenea rate (indicatori). Iat cteva exemple:

A) Indicatori ai structurii financiare. Se calculeaz fcnd raportul ntre orice dou seciuni ale pasivului sau/i activului. Ca exemple avem:

1) mediu silung termen pe datorii

propriicapitaluri , care exprim gradul de ndatorare n termen (recomandat a fi mai mare ca 1);

2) permanente capitaluri

propriicapitaluri , care exprim solvabilitatea i independena financiar;

3) scurttermen pe datorii

propriicapitaluri , care exprim securitatea financiar;

4) fixe activepropriicapitaluri , care exprim gradul n care activele sunt finanate numai din capitaluri proprii;

5) exigibil pasivactiv total , care exprim gradul n care creditorii firmei sunt garantai prin valoarea bunurilor i a crean-

elor existente. Raportul trebuie s fie sensibil supraunitar;

6) exigibil pasiv

proprii capitaluri , care exprim independena fa de bnci. Raportul este, n mod obinuit, subunitar.

B) Indicatori ai lichiditii i ai trezoreriei sunt i ei indicatori ai structurii financiare, care exprim potenialul firmei pentru plata datoriilor pe termen scurt. Exemple:

1) Rata lichiditii generale (rata curent) este raportul scurttermen pe datorii

circulant activRC = ;

2) Rata lichiditii reduse este raportul scurttermen pe datorii

stocuri- circulant activ ;

3) Rata lichiditii imediate este raportul scurttermen pe datorii

activa trezoreria .

C) Indicatori de rentabilitate, care se calculeaz folosind i elemente din contul de rezultat. Exemple:

1) Rata rentabilitii financiare (ROE = Return on Equity ), calculat ca raport proprii capitalurinet profit , care exprim

ct profit net revine la o unitate investit. Este important mai ales din punctul de vedere al unui investitor;

2) Rentabilitatea economic (ROI = Return on Investment), care se calculeaz prin raportul pasiv total

net profit i

exprim rentabilitatea investiiilor. Analog activ totalbrut profitROA = ;

3) Rata rentabilitii produciei = afaceri de cifra

net profitul .

Evident, lista de indicatori financiari calculai ca rate poate continua i n funcie de poziia n care ne situm n raport cu firma respectiv, anume ca investitor, resp. creditor, acionar etc.

Prezentm n tabelul de mai jos civa indicatori din categoriile celor descrii anterior, calculai pentru un lot de 12 firme. Acetia sunt:

I1: Total datorii/capital social; I2: Cifr de afaceri/total activ; I3: Profit brut/total activ; I4: Capital social/cifr de afaceri; I5: Datorii/total activ; I6: log(Activ); I7: Rata de cretere a activului.

Tabelul 2

Firma I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 1 0,414 0,032 0,000 5,59 0,677 7,03 0,62 2 0,231 0,324 0,034 2,45 0,165 7,45 0,40 3 0,432 0,684 0,054 1,05 0,204 7,32 0,40 4 0,156 0,326 0,020 2,59 0,129 7,16 0,47 5 0,227 0,124 -0,080 7,49 0,149 7,54 0,43 6 0,295 0,176 0,026 4,33 0,199 7,72 0,45 7 0,261 0,470 0,023 1,77 0,147 7,62 0,46 8 0,446 0,343 0,020 2,17 0,240 8,08 0,38 9 0,352 0,831 0,036 0,82 0,243 7,18 0,37 10 0,267 0,141 0,003 5,20 0,258 8,27 0,31 11 0,703 0,185 0,002 3,27 0,268 8,15 0,42 12 0,206 0,969 0,029 0,72 0,26 8,38 0,36

A1.3 Date privind calitatea vieii

Prezentm n tabelul 3 informaii privind calitatea vieii pentru 23 de ri (dup LEtat du Monde, Edition 1992, Annuaire conomique et geopolitique mondial).

Criteriile importante pentru exprimarea calitii vieii sunt:

SN: sporul natural al populaiei (n %); MI: mortalitatea infantil (n ); UR: gradul de urbanizare (n %);: NM: numrul de medici la mia de locuitori; TV: numrul de receptoare de televiziune la mia de locuitori; RI: rata inflaiei (n %); CE: cheltuieli pentru educaie (n % din P.I.B.); CA: cheltuieli pentru aprare (n % din P.I.B.); IM: import anual pe locuitor (n mii $); EX: export anual pe locuitor (n mii $); EE: consum de energie pe locuitor (n mii kWh).

Tabelul 3

ara SN MI UR NM TV RI CE CA IM EX EEAfrica 2.2 67.0 59 0.7 98 14. 2.6 3.8 0.48 0.6 3.1Australia 1.4 7.5 86 2.2 484 6.9 5.5 2.8 2.47 2.3 6.7Brazilia 2.1 6.0 75 0.9 194 165 4.5 0.4 0.15 0.2 0.7Bulgaria 0.1 15.0 68 3.8 185 19. 6.9 4.7 1.44 1.4 5.7Canada 0.9 7.0 77 2.2 586 5.0 7.1 1.8 0.47 0.4 1.0

Tabelul 3 (cont.)

ara SN MI UR NM TV RI CE CA IM EX EEChina 1.4 29.5 33 0.9 24 2.0 2.4 1.7 0.05 0.0 0.7Frana 0.4 7.5 74 2.6 399 3.4 6.4 2.9 4.18 3.8 3.7Germania - 8.5 85 3.0 378 1.7 4.5 3.4 3.53 4.1 3.8India 2.1 93.5 27 0.4 7 1.2 3.3 3.0 0.03 0.0 0.3Indonezia 1.9 70.0 30 0.1 41 8.5 1.0 1.4 0.11 0.1 0.3Iran 2.7 46.0 57 0.3 53 20 3.4 6.0 0.35 0.4 1.2Italia 0.0 10.0 69 4.2 419 6.8 5.0 1.8 3.19 2.9 3.6Japonia 0.4 5.0 77 1.6 589 3.8 4.9 1.0 1.92 2.3 3.9MareaBritan 0.2 8.5 89 1.4 435 9.3 5.0 3.7 3.91 3.2 4.9Mexic 2.2 39.0 72 1.0 124 30 2.1 0.3 0.37 0.3 1.6Nigeria 3.3 100. 35 0.1 6 15 1.5 0.9 0.07 0.1 0.2Pakistan 3.4 103. 32 0.5 13 13. 3.1 7.1 0.06 0.0 0.2Polonia 0.6 17.5 62 2.1 263 226 3.6 1.7 0.21 0.3 4.7Romania 0.5 20.0 53 2.1 159 40 2.1 1.8 0.35 0.2 4.7Spania 0.3 9.5 78 3.7 380 6.5 3.2 1.7 2.25 1.4 2.3S.U.A. 0.8 9.0 75 2.3 812 6.1 6.8 5.3 2.07 1.5 9.9Turcia 2.1 69.0 61 0.8 172 60 1.8 2.8 0.36 0.2 0.9Ungaria - 18.5 61 3.4 404 33. 5.4 2.0 0.79 0.8 3.6

A1.4 Repartiia bugetului Datele din tabelul 4 reprezint observaii anuale (exprimate n %) privind repartiia cheltuielilor statului

francez n 24 ani din perioada 1872-1971 (vezi [1]). n tabelul de date se consider urmtoarele cheltuieli: cele publice (PVP), cele pentru agricultur (AGR), pentru comer (CMI), pentru transport (TRA), pentru amenajri de teritoriu (LOC), pentru educaie i cultur (EDU), pentru aciuni sociale (ACS), pentru veterani de rzboi (ACO), pentru aprare (DEF), apoi datoriile (DET) i alte cheltuieli (DIV).

Tabelul 4

Anul PVP AGR CMI TRA LOC EDU ACS ACO DEF DET DIV

1872 18,0 0,5 0,16 6,7 0,52 2,12 2,0 26,4 41,52 2,1

1880 14,1 0,8 0,1 15,3 1,9 3,7 0,5 29,8 31,3 2,5

1890 13,6 0,7 0,7 6,8 0,6 7,1 0,7 33,8 34,4 1,7

1900 14,3 1,7 1,7 6,9 1,2 7,4 0,8 37,7 26,2 2,2

1903 10,3 1,5 0,4 9,3 0,6 8,5 0,9 38,4 27,2 3,0

1906 13,4 1,4 0,5 8,1 0,7 8,6 1,8 38,5 25,3 1,9

1909 13,5 1,1 0,5 9,0 0,6 9,0 3,4 36,8 23,5 2,6

1912 12,9 1,4 0,3 9,4 0,6 9,3 4,3 41,1 19,4 1,3

1920 12,3 0,3 0,1 11,9 2,4 3,7 1,7 1,9 42,4 23,1 4,2

1923 7,6 1,2 3,2 5,1 0,6 5,6 1,8 10,0 29,0 35,0 0,9

Tabelul 4 (cont.)

Anul PVP AGR CMI TRA LOC EDU ACS ACO DEF DET DIV

1926 10,5 0,3 0,4 4,5 1,8 6,6 2,1 10,1 10,9 41,6 2,3

1929 10,0 0,6 0,6 9,0 1,0 8,1 3,2 11,8 28,0 25,8 2,0

1932 10,6 0,8 0,3 8,9 8,0 10,0 6,4 13,4 27,4 19,2 0

1935 8,8 2,6 1,4 7,8 1,4 12,4 6,2 11,3 29,3 18,5 0,4

1938 10,1 1,1 1,2 5,9 1,4 9,5 6,0 5,9 40,7 18,2 0

1947 15,6 1,6 10,0 11,4 7,6 8,8 4,8 3,4 32,2 4,6 0

1950 11,2 1,3 16,5 12,4 15,8 8,1 4,9 3,4 20,7 4,2 1,5

1953 12,9 1,5 7,0 7,9 12,1 8,1 5,3 3,9 36,1 5,2 0

1956 10,9 5,3 9,7 7,6 9,6 9,4 8,5 4,6 28,2 2,2 0

1959 13,1 4,4 7,3 5,7 9,8 12,5 8,0 5,0 26,7 7,5 0

1962 12,8 4,7 7,5 6,6 6,8 15,7 9,7 5,3 24,4 6,4 0,1

1965 12,4 4,3 8,4 9,1 6,0 19,5 10,6 4,7 19,8 3,5 1,8

1968 11,4 6,0 9,5 5,9 5,0 21,1 10,7 4,2 20,0 4,4 1,9

1971 12,8 2,8 7,1 8,5 4,0 23,8 11,3 3,7 18,8 7,2 0

A1.5 Date privind evoluia unor active pe piaa de capital

Vom prezenta informaii privind evoluia tranzaciilor pe piaa de capital a unui numr de 13 companii din domeniul TIC, companii listate pe S&P 500. Aceste companii sunt:

Compania din domeniul TIC Simbolul Compania din domeniul TIC Simbolul Apple Computer, Inc AAPL Lexmark International Group, In LXK Compaq Computer Corp CPQ Ncr Corp New NCR Dell Computer Corp DELL Network Appliance Inc NTAP EMC Corp EMC Palm Inc PALM Gateway Inc GTW Sun Microsystems Inc SUNW Hewlett-Packard HWP Unisys Corp UIS International Business Machines IBM

n tabelul 5 apar informaii despre cele 13 companii n perioada 2000 - 2001 referitoare la: numele companiei; preul la deschidere (exprimat ca valoare medie n anul respectiv); preul maxim (exprimat ca valoare medie n anul respectiv); preul minim (exprimat ca valoare medie n anul respectiv); preul la nchidere (exprimat ca valoare medie n anul respectiv); ctigul mediu n %; volumul tranzaciilor (exprimat ca valoare medie n anul respectiv).

Tabelul 5

Compania Preul la deschidere

Preul maxim

Preul minim

Preul la nchidere

Ctigul mediu (in %) pe 2000

Volumul mediu al tranzaciilor pe 2000

AAPL 45.55 46.96 44.12 45.41 -0.45 81016.35 CPQ 26.97 27.64 26.35 27.00 0.14 145060.8 DELL 35.79 36.66 34.74 35.67 -0.28 314750.6 EMC 87.37 89.57 85.02 87.42 0.14 97886.05 GTW 50.17 51.34 48.69 49.99 -0.40 22757.61 HWP 91.90 93.84 89.71 91.63 -0.32 54574.59 IBM 109.14 111.16 107.32 109.20 0.06 68456.00 LXK 52.06 53.66 50.56 52.12 0.29 14818.66 NCR 41.08 41.80 40.42 41.20 0.31 4482.66 NTAP 93.47 97.74 89.16 93.38 0.06 75983.93 PALM 45.47 47.60 43.55 45.61 0.50 113695.4 SUNW 94.36 97.03 91.73 94.32 -0.16 250215.0 UIS 14.93 15.31 14.49 14.90 -0.06 34421.74

Tabelul 5 (cont.)

Compania Preul la deschidere

Preul maxim

Preul minim

Preul la nchidere

Ctigul mediu (in %) pe 2001

Volumul mediu al tranzaciilor pe 2001

AAPL 20.87 21.60 20.24 20.95 0.48 86409.16 CPQ 19.38 19.94 18.84 19.34 -0.14 120773.6 DELL 24.52 25.55 23.73 24.64 0.69 375272.2 EMC 48.23 49.98 46.17 48.04 -0.30 203199.5 GTW 18.22 18.90 17.59 18.21 0.04 28149.84 HWP 31.06 31.94 30.24 31.07 0.07 79269.67 IBM 104.81 106.95 103.04 105.03 0.24 97103.06 LXK 53.66 55.22 52.36 53.96 0.61 14693.45 NCR 44.72 45.56 43.95 44.84 0.29 6510.46 NTAP 33.22 35.18 31.15 33.10 -0.15 127149.3 PALM 16.58 17.25 15.54 16.24 -1.88 160814.0 SUNW 22.10 22.95 21.13 22.02 -0.30 504142.1 UIS 14.82 15.20 14.39 14.84 0.19 21309.76

A1.6 Date pentru analiza riscului returnrii unui credit

Fiierul de date conine informaii financiare i demografice privind clienii unor bnci. Informaiile se refer la:

1) Vrsta clientului n ani (age); 2) Nivelul educaiei (ed) cu urmtoarele modaliti 1 Fr liceu 4 Liceniat 2 Doar cu liceu 5 Postuniversitare 3 Facultate neterminat 3) Ani vechime ca salariat (employ) 4) De ci ani este la locuina curent (address) 5) Venitul familiei, n mii euro (income) 6) Datorii raportate la venit [x100] (debtinc) 7) Datoria pe cartea de credit, n mii euro (creddebt) 8) Alte datorii, n mii euro (othdebt) 9) Dac a avut probleme de rambursare nainte (default) 0 Nu 1 Da

n tabelul 6 este prezentat situaia unui numr de 28 de clieni. Acetia reprezint o selecie din informaiile asupra 850 de clieni.

Tabelul 6

age ed employ address income debtinc creddebt othdebt default 41 3 17 12 176 9.30 11.36 5.01 1 27 1 10 6 31 17.30 1.36 4.00 0 40 1 15 14 55 5.50 0.86 2.17 0 41 1 15 14 120 2.90 2.66 0.82 0 24 2 2 0 28 17.30 1.79 3.06 1 41 2 5 5 25 10.20 0.39 2.16 0 39 1 20 9 67 30.60 3.83 16.67 0 43 1 12 11 38 3.60 0.13 1.24 0 24 1 3 4 19 24.40 1.36 3.28 1 36 1 0 13 25 19.70 2.78 2.15 0 27 1 0 1 16 1.70 0.18 0.09 0 25 1 4 0 23 5.20 0.25 0.94 0 52 1 24 14 64 10.00 3.93 2.47 0 37 1 6 9 29 16.30 1.72 3.01 0 48 1 22 15 100 9.10 3.70 5.40 0 36 2 9 6 49 8.60 0.82 3.40 1

age ed employ address income debtinc creddebt othdebt default 36 2 13 6 41 16.40 2.92 3.81 1 43 1 23 19 72 7.60 1.18 4.29 0 39 1 6 9 61 5.70 0.56 2.91 0 41 3 0 21 26 1.70 0.10 0.34 0 39 1 22 3 52 3.20 1.15 0.51 0 47 1 17 21 43 5.60 0.59 1.82 0 28 1 3 6 26 10.00 0.43 2.17 0 29 1 8 6 27 9.80 0.40 2.24 0 21 2 1 2 16 18.00 0.24 2.64 1 25 4 0 2 32 17.60 2.14 3.49 0 45 2 9 26 69 6.70 0.71 3.92 0 43 1 25 21 64 16.70 0.95 9.74 0

Anexa 2. Date dintr-un chestionar

Un chestionar este un grupaj de ntrebri cu rspunsuri fixate sau libere, gndit de un specialist n scopul realizrii unor obiective impuse de o activitate de cercetare. Prezentm n cele ce urmeaz un chestionar posibil pentru aflarea strii actuale privind dotarea populaiei cu aparate audio-video, a mrcile de televizoare mai cunoscute dar i a celor preferate.

Chestionarul TELE 1. Ce aparate audio-video avei n prezent n cas? radio Da Nu televizor Da Nu video Da Nu

2. Care considerai a fi criteriul hotrtor n achiziionarea unui aparat audio-video? preul 1 performanele tehnice 2 designul 3 nu tiu 4 altele, care 5 ..

3. n alegerea unei anumite mrci de aparat audio-video, n ce msur v influeneaz reclama? M influeneaz: foarte mult mult potrivit puin deloc 1 2 3 4 5

4. Dup opinia dvs., cum ar trebui s fie publicitatea pentru aparate audio-video? (ATENTIE! Indicai ordinea de preferin, acordnd nota 1 pentru tipul de reclam preferat, nota 2 pentru tipul urmtor , pn la 6)

informativ cu simul umorului original credibil ocant obsedant

5. Pentru care dintre urmtoarele mrci de aparate TV ai vzut, ai auzit sau ai citit reclame n ultimul timp? Acordai fiecreia o not de la 1 la 5 n funcie de gradul de publicitate corespunztor (1 foarte mare, 2 mare etc.) Nota Cromatic 1 Goldstar 2 Olt 3 Panasonic 4 Philips 5

Samsung 6 Sanyo 7

6. Pentru anul acesta v propunei s achiziionai un aparat audio-video Tipul Marca

Da 1 Nu 2 Nu tiu 3 7. Indicai numrul membrilor din familia dvs. 8. Indicai categoria socio-profesional a capului de familie

fermier 1 salariat agricol 2 patron 3 liber profesionist 4 funcionar 5 muncitor 6 alte categorii 7

9. Care este venitul dvs. mediu lunar pe membru de familie? . 10. Indicai categoria de vrst n care v ncadrai 16-20 ani 1 21-30 ani 2 31-40 ani 3 41-50 ani 4 peste 50 ani 5

Anexa 3. Incursiune n domeniile matematicii i statisticii

A3.1 Concepte de baz ale calculului matriceal

O matrice A este un tablou de numere cu n linii i p coloane pe scurt , de forma: ( ) pnA

=

npnpnn

ipijii

pj

pj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

........................

........................

......

......

21

21

222221

111211

care se mai poate scrie ( )pjniij

aA,...,2,1;,...,2,1 === sau doar ( )ijaA = n caz c

dimensiunile pn sunt subnelese. Cazuri particulare de matrice i noiuni speciale:

dac n = p = 1, atunci matricea se reduce la un scalar, notat de exemplu a; dac p = 1 avem de-a face cu un vector coloan, notat a;

dac n = 1 avem de-a face cu un vector linie, notat ; Ta dac n = p avem o matrice ptratic;

dac ntr-o matrice ptratic avem 0=ija pentru ji , atunci matricea este diagonal i o notm diag ; )( iia

despre o matrice diagonal de forma spunem c este matricea unitate, notat cu I;

)1,...,1(diag

dac o matrice ptratic are determinantul diferit de zero, atunci putem vorbi de inversa ei ca fiind acea matrice 1A cu proprietatea c

IAAAA == 11

dac ntr-o matrice ptratic jiij aa = pentru orice ji , spunem c matricea este simetric.

Reamintim cteva operaii cu matrice:

1) Transpunerea matricei A are ca rezultat o nou matrice, notat TA , cu p linii i n coloane:

( )nipjji

aA,...,2,1 ;,...,2,1

T=== .

(Transpunerea unui vector linie are ca rezultat un vector coloan i reciproc.)

2) Opusa matricei A este matricea ( )ijaA = . 3) Suma a dou matrice A i B (amndou avnd acelai numr n de linii i

acelai numr p de coloane) nseamn o nou matrice

( )ijij baBA +=+ . 4) Diferena a dou matrice A i B este o nou matrice

( )ijij baBA = . (Evident, )( BABA += .)

5) Produsul unei matrice cu un scalar c este o nou matrice

( )ijaccA = . 6) Produsul a dou matrice ( )pnA i ( )mpB este o matrice

mkni

p

jjkijbaBA

,...,1;,...,11 ===

= .

(Atenie, produsul BA are dimensiunea mn .) Reamintim c vectorii coloan sunt numii liniar

independeni dac o combinaie liniar sxxx ,...,, 21

ssccc xxx +++ ...2211 coincide cu vectorul nul 0 doar dac toi coeficienii ck sunt nuli. O definiie analoag este valabil i pentru vectorii linie.

Reamintim cteva caracteristici ale unei matrice: 1) Rangul unei matrice A, notat rang(A), este definit ca fiind numrul

maxim de coloane liniar independente. Acest numr coincide cu numrul maxim de linii liniar independente.

2) Urma unei matrice A, notat trace(A), este suma elementelor de pe diagonala principal

trace(A) = . =

p

iiia

1

3) Determinantul unei matrice ptratice (n = p) este un numr

det(A) = )()(

)2(2)1(1 ...)1( ppaaa

;

nsumarea se face dup toate permutrile ale mulimii , iar || nseamn signatura permutrii .

},...,2,1{ p

Descompunerea spectral (Jordan) a unei matrice Reamintim c o matrice este numit ortogonal dac

IAAAA == TT cu alte cuvinte dac inversa sa coincide cu transpusa. (Evident, aceasta presupune c .) 0)( Adet

S considerm o matrice ptratic ( )ppA . Dac exist un scalar i un vector x astfel nct

xx =A atunci scalarul este numit valoare proprie, iar vectorul x este numit vector propriu pentru matricea A.

Despre dou matrice A i B, se spune c sunt similare dac au aceleai valori proprii.

Se poate vedea imediat c o valoare proprie este o soluie a ecuaiei polinomiale de gradul p obinut din anularea determinantului matricei IA , asociat matricei A, adic

0)det( = IA (1)

Ecuaia (1) se numete ecuaia caracteristic asociat matricei A, iar soluiile (rdcinile) sale, fie ele p ,...,, 21 , se numesc valorile proprii ale matricei A.

Putem considera matricea ),...,( 1 pdiag = . Pentru fiecare valoare proprie exist un vector propriu corespunztor obinut din ecuaia (1). Putem considera matricea

j jx),...,( 1 pxx= format cu vectorii

proprii corespunztori valorilor proprii. Se poate arta ca matricea este inversabil i ortogonal.

Teorema 1. (Descompunerea Jordan). Fiecare matrice ptratic poate fi scris sub forma: ( ppA )

1=A . Observaie: Cum valorile proprii ale matricei A sunt aceleai cu cele

ale matricei , cele dou matrice sunt similare. Teorema 2. Fiecare matrice simetric ( )ppA poate fi scris sub

forma: T=A .

Exemplu. Fie matricea . Valorile proprii ale matricei se

obin ca rdcini ale ecuaiei :

=

2221

A

04)3)(1(22

21 ==

adic 521 += i 522 = . Cei doi vectori proprii x se obin rezolvnd ecuaia xx = 1A respectiv xx = 2A . Matricea vectorilor proprii este:

= 5257.08506.08506.05257.0

.

A3.2 Aspecte geometrice ntr-un spaiu vectorial

Distana Fie vectorii care definesc dou puncte din spaiul pyx R, pR . S

definim o distan ntre ei. Aceast distan, notat cu d, este o funcie cu proprietile: + RRR: ppd

0),( >yxd pentru orice yx ; 0),( =yxd dac i numai dac x = y;

),(),(),( yzdzxdyxd +< pentru orice zyx ,, . Distana euclidian ntre dou puncte x i y este definit astfel:

)()(),( T2 yxAyxyxd = unde A este o matrice pozitiv definit numit metric.

Exemplu: Ca un caz particular putem considera c matricea A este I (matricea unitate); pentru acest caz obinem distana euclidian clasic

. =

=p

iii yxyxd

1

22 )(),(

Distana euclidian definit de matricea pozitiv definit A conduce n 2R la o curbele de nivel

{ }20T0 )()(| dxxAxxxE pd == R care sunt elipse definite de centrul x0, matricea A i constanta d > 0. Dac A este matricea unitate, atunci elipsele sunt cercuri cu raza d.

Norma unui vector

Fie un vector . Norma vectorului x exprim lungimea sa i este definit prin:

pRx

),0(|||| xx d= . Dac norma vectorului este egal cu 1 (adic 1=x ), x este numit

vector unitar sau versor.

Fie doi vectori . Putem defini unghiul dintre cei doi vectori prin intermediul cosinusului su. Astfel dac unghiul este notat cu atunci avem:

pRyx,

yxyx

)cos(

T = .

O varietate de msuri de distan pot fi generate de norma Lr cu r 1 definit pentru doi indivizi i i j vzui ca linii ale matricei de date:

rp

k

rjkikrjiij xxxxd

/1

1

||||||

== =

.

Aici xik reprezint valoarea caracteristicii k pentru individul i. Pentru r = 2 regsim norma euclidian i respectiv distana euclidian

2/1

1

22 )(||||

== =

p

kjkikjiij xxxxd .

A3.3 Indicatori statistici elementari

Fie dou caracteristici C1 i C2 (caracteristici cantitative) asupra crora avem n valori observate. Fie valorile observate asupra primei i valorile observate asupra celei de a doua. Putem calcula urmtorii indicatori statistici elementari:

nxxx ,..., , 21nyyy ,..., , 21

1) Media Definim media caracteristicii C1 pe baza valorilor observate prin:

= n ix xnm1

1 dac fiecare valoare xi are ponderea n1

sau

= n iix xpm1

unde pi sunt ponderi pozitive asociate valorilor

observate (i prin urmare ). =n ip1

1

Media este un indicator statistic de centrare a secvenei de valori observate.

Analog, calculm i media caracteristicii C2, fie ea . ym

Vom numi centru de greutate asociat celor dou caracteristici punctul din plan de coordonate . ) ,( ymmx

Putem vorbi n acest context de centrarea datelor n raport cu valoarea medie adic, de noile valori de forma

),..., ,( 21 xnxx mxmxmx , resp. ),..., ,( 21 ynyy mymymy . Se observ imediat c aceste secvene de valori au mediile zero.

2) Dispersia Definim dispersia caracteristicii C1 calculat pe baza valorilor

observate prin:

=n

xix mxns

1

22 )(1

1 dac fiecare valoare xi are aceeai pondere n1 sau

folosind ponderile p = n xiix mxps1

22 )( i pozitive cu . =n ip1

1

Pentru analiza secvenei de valori observate se mai folosete radicalul dispersiei, se obine abaterea medie ptratic (abaterea standard)

2xx ss = .

Analog, pentru caracteristica C2 calculm dispersia i abaterea

medie ptratic .

2ys

ysDispersia i abaterea medie ptratic sunt indicatori statistici ce

exprim mprtierea valorilor observate n jurul valorii medii.

Se observ faptul c dispersia, ca msur a mprtierii valorilor n jurul mediei, poate exprima pe de o parte cantitatea de informaie pe care o ofer datele observate (tiind c o dispersie nul este asociat unei informaii nule); pe de alt parte, ea poate fi folosit i ca msur a riscului. O mprtiere mare a valorilor observate asupra unei caracteristici poate exprima un risc mare.

Dac pentru o secven de valori s-au calculat indicatorii elementari (media i abaterea standard), putem standardiza valorile folosind, pentru orice valoare xi, transformarea:

x

xii s

mxz

= . Noua secven de valori va avea media 0 i abaterea standard 1. iz

3) Covariana i coeficientul de corelaie Covariana ntre cele dou caracteristici, pe baza valorilor observate,

este definit prin formula:

=n

yixixy mymxns

1

)()(1

1 . (2)

Se observ c, dac aplicm formula (2) pentru aceeai caracteristic, de exemplu pentru C1, obinem:

==n

xxixx smxns

1

22)(1

1 (3)

adic dispersia caracteristicii calculat pe baza celor n valori observate. Se obinuiete a se asocia celor dou caracteristici C1, C2 aa numita

matrice de covarian (empiric, calculat pe baza celor n observaii) exprimat prin:

=

yyxy

xyxx

ssss

S (4)

Dup cum se observ cu uurin, aceasta este o matrice simetric.

Folosind covariana i dispersiile celor dou caracteristici putem calcula raportul

yx

xyxy ss

sr = (5)

Numrul astfel calculat se numete coeficientul de corelaie (Pearson) i exprim intensitatea unei legturi liniare (calculat folosind cele n valori observate) ntre cele dou caracteristici. Coeficientul de corelaie

ia valori n intervalul [-1, 1].

xyr

xyr

Este evident c 1 i putem s asociem celor dou caracteristici matricea

=xxr

=

11

xy

xy

rr

R (6)

numit matricea corelaiilor calculat pe baza celor n observaii.

Observaie: Dac n locul valorilor observate respectiv

se vor folosi valorile standardizate (resp.

) date de

nxxx ,..., , 21

nyyy ,..., , 21''

2'1 ,..., , nxxx

''2

'1 ..., , nyyy

x

xii s

mxx =' (resp. y

yii s

myy

=' ),

atunci matricea de covarian este tocmai matricea corelaiilor.

ntr-adevr,

===n

ii

n

yixiyx yxnmymx

ns

11'''' ''1

1)'()'(1

1

=n

y

yi

x

xis

mys

mxn

11

1

xyyx

xyn

yixiyx

rss

smymx

nss===

1

)()(1

11 .

ANEXEAnexa 1. Matrice de date