algsem6_enunturi

7/24/2019 algsem6_enunturi

1/4

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 1

an univ. 2012=2013SEMINAR NR.6, ENUNTURI

Algebra liniara si Geometrie analitica

1. Fie spatiul liniarR3; +; ;R

si functiile T : R3 ! R3 denite prin 8x 2

R3;x= (x1; x2; x3) :

a) T(x) = a; a 2 R3 xat ;b) T(x) = x + a; a2 R3 xat ;c)T(x) = a; a2 R3 xat, 2 R xat ;d) T(x) =

x1; x2; x

23

;

e)T(x) = (x3; x1; x2+ 3) ;f) T(x) = (x1; cos x2; sin x3) ;g)T(x) = (x1+ 2x2 3x3; 3x1 x2; x3) ;

Fie spatiile liniare

R3; +; ;R

si

R2; +; ;R

si functia T : R3 ! R2 denita

prin8x2 R3;x= (x1; x2; x3) :h) T(x) = (2x1+x2; 4x3) ;

Care din functiile de mai sus sunt liniare?

2. Fie functia T : R3 ! R3;denita prin8x2 R3;x= (x1; x2; x3) :T(x) = (x1+x2; 2x1+ 3x2 x3; x1 x3) :

a) Sa se demonstreze caT este o aplicatie liniara.b) Fie C = (e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1)) baza canonica si B =(v1 = (0; 1; 1) ;v2 = (1; 0; 1) ;v3 = (1; 1; 0)) o alta baza n

R3; +; ;R

. Sa se

determine matricele aplicatiei liniare n raport cu perechile de baze propuse

C(T)C; B(T)C, B(T)B:c) Sa se determine ker T; Im T, sa se precizeze o baza n ele. Sa se studiezeinjectivitatea si surjectivitatea lui T.

3. Fie spatiile liniare reale (M22(R) ; +; ;R) siR3; +; ;R

: Denim functia

T : R3 ! M22(R)prin8x2 R3;x= (x1; x2; x3) ;

T(x) =

x2 x3x1 0

:

a) Sa se demonstreze caT este o aplicatie liniara.b)FieC1 = (e1 = (1; 0; 0) ;e2 = (0; 1; 0) ;e3 = (0; 0; 1))baza canonica n

R3; +; ;R

siC2 =

E11 =

1 00 0

; :::;E22 =

0 00 1

baza canonica din(M22(R) ; +; ;R).

Sa se determine matricele aplicatiei liniare n raport cu perechile de baze pro-puse C1(T)C2 :c) Sa se determine ker T si Im T, sa se precizeze o baza n ele. Sa se studiezeinjectivitatea si surjectivitatea lui T :

4. Fie spatiile liniare reale(M23(R) ; +; ;R) si(R2[x] ; +; ;R) :Denim functia

T :M23(R)! R2[x] prin8A2 M23(R) ; A=

a11 a12 a13a21 a22 a23

;

T(A) = (a11+a13) x2 + (a21 a22) x+a23:


2/4


a) Sa se demonstreze caT este o aplicatie liniara.

b) Fie C1 =E11 =

1 0 00 0 0

;:::;E23 =

0 0 00 0 1

baza canonica n

(M23(R) ; +; ;R) siC2 =p0 = 1;p1= x; p2 = x

2

baza canonica n(R2[x] ; +; ;R).Sa se determine matricele aplicatiei liniare n raport cu perechile de baze pro-puse C1(T)C2 :c)Sa se precizezeker T siIm T si cte o baza n ele. Sa se studieze injectivitateasi surjectivitatea lui T :

5. Fie spatiile liniare reale (R4[x] ; +; ;R) si (R3[x] ; +; ;R) : Sa se determinematricea asociata aplicatiei liniare T : R4[x]! R3[x] denita prin 8p2R4[x] ;T(p) = p0 (p0 este derivata functiei polinomiale p : R ! R atasata poli-nomului p) n raport cu bazele C1 =

1; x ; x2; x3; x4

n (R4[x] ; +; ;R) si

C2 =

1; x ; x2; x3

n (R3[x] ; +; ;R) :

6. FieT 2 LR4

o aplicatie liniara denita astfelT(x) = (x2+x3; x1 x2+x4; x1+x2 x4; x1+x3+x4) :

Sa se determine caker T; Im T: (Sa se observe ca ker T= Im T)

7. Sa se determine functia liniaraT : R4 ! R2, daca se cunoaste:T(e1) = (1; 0) ; T(e2) = (0; 1) ; T(e3) = (1; 1) ; T(e4) = (1; 1) ;

unde(e1; e2; e3; e4)este baza canonica dinR4; +; ;R

:

8. Fie spatiul liniar realR3; +; ;R

si bazele

B1 = (u1 = (1; 2; 2) ;u2= (0; 2; 1) ;u3 = (1; 2; 1)) ;B2 = (v1 = (1; 1; 0) ;v2 = (1; 1; 1) ;v3 = (2; 0; 1)) :Sa se determine aplicatia liniara T care duce vectorii bazei B1 n vectorii

bazeiB2. Sa se determine matricele aplicatiei liniare n bazele propuse B1(T)B2 ,C(T)C: Sa se determine T(x), unde x = (2; 2; 2) ; coordonatele ind date nbaza canonica din R3.

9. Se da aplicatia liniara T : R3 ! R3, denita prin 8x2 R3;x= (x1; x2; x3) ;T(x) = (2x1+ 3x2 x3; 3x1; 2x2+ 5x3).

Se dau vectorii u1 = (1; 1; 0) ; u2 = (1; 2; 3) ; u3 = (0; 1; 1). Sa se studieze de-pendenta liniara a vectorilor(u1;u2;u3) si a vectorilor(T(u1) ; T(u2) ; T(u3)).

10. Fie spatiile liniare realeR3; +; ;R

si

R2; +; ;R

:Se denesc aplicatiile :

T : R3 ! R2; 8x= (x1; x2; x3) ; T(x) = (x1 x2+x3; x1+x3) ;S: R2 ! R3; 8y= (y1; y2) ; S(y) = (y1; y1 y2; y2) :

a) Sa se verice ca T siS sunt aplicatii liniare.

b)Sa se determine, daca e posibil,T S siS T si sa se verice ca sunt aplicatiiliniare.c) Sa se verice ca :

C1(S T)C1 =C2 (S)C1C1(T)C2 ;

C2(T S)C2 =C1 (T)C2 C2(S)C1 ;


3/4


unde este operatia de compunere a functiilor, iar este operatia de nmultirea matricelor,C1 este baza canonica din R

3, iar C2 este baza canonica din R2 .

11. Fie spatiile liniare reale(R1[x] ; +; ;R) ; (R2[x] ; +; ;R) si(R3[x] ; +; ;R) :Se denesc aplicatiile :

T : R1[x]! R2[x] ; 8p= a0+a1x; T(p) = 2a0 a1x2 ,

S: R2[x]! R3[x] ; 8q= b0+b1x+b2x2; S(q) = b2+b1x

2 3b0x3.

a) Sa se verice ca T siS sunt aplicatii liniare.b) Sa se determine S T si sa se verice ca este aplicatie liniara.c) Sa se verice ca :

C1(S T)

C3=C2 (S)C3 C1(T)C2 ;

unde este operatia de compunere a functiilor, iar este operatia de nmultirea matricelor, C1= (1;x) este baza canonica din (R1[x] ; +; ;R), C2=

1;x;x2

este baza canonica din(R2[x] ; +; ;R),C3=

1;x;x2; x3

este baza canonica din

(R3[x] ; +; ;R).


si

R4; +; ;R

: Se denesc aplicatiile

liniare :T : R3 ! R4; 8x= (x1; x2; x3) ; T(x) = (x1+x2; 2x1 x2+x3; x1+ 2x3; 3x3) ;S: R4 ! R3; 8y= (y1; y2; y3; y4) ; S(y) = (y1+y2 y3 y4; 2y2 3y4; y1 y3+ 2y4) :Sa se determine nucleele si imaginile aplicatiilor T si S. Sa se determine

aplicatiile compuse T S si S T. Sa se verice ca matricea aplicatiei com-puse este egala cu produsul matricelor celor doua aplicatii n bazele canonicecorespunzatoare.

13. Fie spatiul liniar realR2; +; ;R

. Se deneste functia

T : R2 ! R2; 8x= (x1; x2) ; T(x) = (x1 2x2; x2 x1) ;

a) Sa se verice ca T este aplicatie liniara.b) Sa se studieze daca T este inversabila si, daca da, sa se arate ca T1 esteliniara.c) Sa se verice daca C0

T1

C

= (C(T)C)1

, unde C = ((1; 0) ; (0; 1)) este

baza canonica din R2:


si (R2[t] ; +; ;R). Se deneste functia

T : R3 ! R2[t] ; 8x2 R3;x= (x1; x2; x3) ;

T(x) = (x1+x3) +x2t (x1+x2) t2;a) Sa se verice ca T este aplicatie liniara.b) Sa se studieze daca T este inversabila si, daca da, sa se arate ca T1 esteliniara.c)Sa se verice daca C0

2 T1

C1 = C1(T)C21

, undeC1 = ((1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1))

este baza canonica din R3 iarC2 =

1; t ; t2

este baza canonica din R2[t].

15. Fie spatiul liniar real (R2[x] ; +; ;R). Se deneste functiaT : R2[x]! R2[x] ; 8p= a0+a1x+a2x2; T(p) = a1(a0+a2)x+(a1+a2)x2:

a) Sa se arate ca T este aplicatie liniara si sa se determine matricea asociata


4/4


aplicatiei liniare n raport cu bazele C=

1; x ; x2

siB =

x+ 1; x 1; x2 + 1

:

b) Sa se verice ca T este injectiva si sa se demonstreze ca B T1C =(C(T)B)

1 :

16. Fie T : R3[x]! R3[x], T(p) =p0 p; (p0 este derivata functiei polino-

miale p : R ! R atasata polinomului p). Sa se arate ca Teste un izomorsmsi caT1 (p) = p p0 p00 p000.

17. Fie spatiile liniare realeV =ffjf : ]a; b[! R; f derivabila pe ]a; b[g ;W =fgjg: ]a; b[! Rg.

DenimT : V ! W,T(f) = f0: Sa se arate ca T este o aplicatie liniara si sa sedetermineker(T) :

18

. Fie spatiul liniar real V = ffjf : [a; b]! R; f continua pe [a; b]g. Se de-neste aplicatiaT : V ! V; (T(f)) (x) =

Rx

a f(t) dt; 8x2 [a; b] :

Sa se arate caTeste o aplicatie liniara si sa se determine ker(T) siIm (T) :

19.Fie spatiile liniare reale (Rn[x] ; +; ;R),(Rn+1[x] ; +; ;R) si(R1[x] ; +; ;R)identicate cu spatiile functiilor polinomiale p : R ! R atasate. Se denescfunctiile :

T1 : Rn[x]! Rn+1[x],8p2 Rn[x] ; (f1(p)) (x) = x p (x) ;

T2 : Rn[x]! R1[x] ;

8p2 Rn[x] ; (f2(p)) (x) = xR10

t p(t)dt.a) Sa se arate ca T1 si T2 sunt functii liniare.

b) Sa se arate caT1 este injectiva siT2 nu este surjectiva.c) Sa se determine ker(T2)si Im (T1).

20. Fie aplicatia liniara f : X ! Y, unde X;Y spatii liniare peste cmpul K,V1;V2 subspatii liniare ale lui X: Sa se arate caa) f(V1+ V2) = f(V1) +f(V2) ;b) f(V1\ V2) f(V1) \ f(V2) :

21. Fief : X ! Y sig : Y ! Zaplicatiile liniare denite peste spatiile liniareX;Y;Z peste cmpul Kastfel nct g f= . Sa se arate caa) dacafsurjectiva atuncig = b) dacag injectiva atuncif= .

22. Sa se arate ca daca f 2 L (X;X) satisface f2 f+ iX = atunci f esteautomorsm al lui X.

algsem6_enunturi

Documents

Transcript of algsem6_enunturi