ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR...

140
Universitatea ,,Al. I. Cuza”, Ia¸ si Facultatea de Matematic˘ a Lucrare de Doctorat ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT ¸ IILOR ECUAT ¸ IILOR CU DERIVATE PART ¸ IALE DE TIP ELIPTIC S ¸I APLICAT ¸II drd. R˘ azvan S ¸tef˘ anescu Coordonator ¸ stiint ¸ific prof. dr. Viorel Arn˘ autu

Transcript of ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR...

Page 1: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Universitatea ,,Al. I. Cuza”, Iasi

Facultatea de Matematica

Lucrare de Doctorat

ALGORITMI NUMERICIPENTRU APROXIMAREASOLUTIILOR ECUATIILOR

CU DERIVATE PARTIALE DETIP ELIPTIC SI APLICATII

drd. Razvan Stefanescu

Coordonator stiintific

prof. dr. Viorel Arnautu

Page 2: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme

de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Metode cu diferente finite pentru ecuatii eliptice . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 O ecuatie cu derivate partiale de tip eliptic de ordinul doigenerala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Aproximarea numerica a ecuatiei Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice liniare . . . . . . . . . . 71.1.4 Aplicarea metodelor iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Descrierea algoritmilor si rezultatele numerice obtinute . . . . 13

1.2 Metode spectrale pentru ecuatii eliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Aproximarea Galerkin a ecuatiei Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3 Operatori de proiectie si estimarea erorii . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.4 O metoda de colocatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.5 Implementarea algoritmilor si rezultate numerice . . . . . . . . . . 34

1.3 O problema de control optimal distribuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.1 Conditiile de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.2 Aproximarea Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.3 Rezultate de estimare a erorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.4 Un algoritm numeric si rezultatele numerice obtinute . . . . . . 43

2 Probleme cu frontiera libera si aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1 Problema Stefan cu o faza ın cazul unidimensional . . . . . . . . . 48

2.1.1 Problema Stefan inversa si problema de control optimalcorespunzatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2 Conditiile necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Implementarea algoritmului si rezultatele numerice obtinute 542.1.3 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2 Problema Stefan cu doua faze ın cazul unidimensional . . . . . . 612.2.1 Problema de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2 Aproximarea problemei de control optimal . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.3 Conditiile necesare de optimalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3 Algoritm numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.4 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 O problema cu frontiera libera pentru un sistem de tip prada-pradator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3.1 Descrierea modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1

Page 3: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

2.3.2 Aproximarea numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.3.3 Rezultate numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Sisteme de tip Reactie-Difuzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1 Serii Fourier si transformata Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Transformata Fourier si transformata Fourier inversa . . . . . . 853.1.3 Transformata Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.4 Transformata Fourier rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Integratori exponentiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3 Definirea modelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.1 Modelul Gierer Meinhardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.2 Modelul Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3 Modelul CIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3.4 Modelul de transformare a glucozei ın acid lactic cu dega-

jare de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Aproximarea numerica si rezultatele numerice obtinute . . . . . 103

4 Modele de dinamica populatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.1 Descrierea modelulului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Comportarea asimptotica a solutiei sistemului dinamic . . . . . . 1154.3 Problema de recoltare optimala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Un algoritm numeric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5 Simulari numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A Notiuni de analiza functionala si convexa . . . . . . . . . . . . . . . . 126A.1 Notiuni de diferentiabilitate pe spatii normate . . . . . . . . . . . . . . 126A.2 Notiuni de analiza convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.3 Subdiferentiala unei functionale convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2

Page 4: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Introducere

Introducere

Procesele si fenomenele naturale, stationare sau cele care se desfasoara evolutivın timp, se modeleaza matematic prin probleme la limita cu valori initiale pentruecuatii cu derivate partiale. Pentru ca un model matematic sa fie valabil si astfelutilizabil din punct de vedere practic, trebuie sa reflecte cat mai fidel realitateape care o simuleaza. Mai ıntai, trebuie studiata existenta si unicitatea solutiei ınsens clasic sau generalizat si proprietatile acestei solutii. Modelul nu are ınsa nicio utilitate practica daca nu este parcursa cea de a doua etapa, aceea a studieriiunor metode de calcul a solutiei, mai precis de aproximare a ei, pentru ca ıngeneral rezolvarea exacta nu este posibila. La fel de importanta este si cea de atreia etapa prin care metodele de aproximare sunt implementate pe calculator.Rezultatele numerice obtinute permit testarea validitatii modelului, care abiadupa acesta ultima faza poate fi utilizat cu succes ın practica.

Asa cum spune si titlul, ın lucrarea de fata ne-am ındreptat atentia asuprarezolvarii numerice a ecuatiilor cu derivate partiale de tip eliptic si nu numai.Astfel, modelele matematice studiate pe parcursul ıntregii teze sunt tratate ınmaniera prezentata ın primul paragraf, atentia fiind focalizata pe metodele deaproximare si simularile numerice.

Lucrarea este structurata ın patru capitole: I. Aproximarea ecuatiilor elipticesi aplicatii la probleme de control optimal; II. Probleme cu frontiera libera siaplicatii; III. Sisteme de tip Reactie - Difuzie; IV. Modele de dinamica populatiei,Introducere, Bibliografie, Anexa.

Primul dintre ele contine studii numerice cu privire la ecuatia Poisson 2D si oproblema de control optimal cu ecuatia de stare de tip eliptic. In cazul problemeiPoisson, am folosit pentru discretizare metoda diferentelor finite, iar solutia sis-temului algebric liniar obtinut a fost determinata cu ajutorul metodelor iterativeJacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxarii (SOR). S-a efectuat o analiza comparativaasupra timpilor de lucru, acuratetii solutiilor aproximante si gradului de dificul-tate ıntampinat la realizarea implementarii algoritmilor. In plus, am confirmatcu rezultate numerice ratele de convergenta estimate teoretic.

In cazul problemei de control optimal, sistemul de stare corespunde ecuatieiPoisson. Aceasta a fost rezolvata numeric din nou, atat ın cazul 1D si 2D, metodade aproximare folosita fiind o metoda spectrala. S-a discutat legatura careexista ıntre metoda spectrala si o metoda de colocatie, liantul fiind asiguratde formula de integrare numerica Gauss-Lobatto. Tot aici, s-a construit unalgoritm de tip Newton-Raphson pentru calcularea radacinilor polinoamelorLegendre. Problema de control optimal a fost rezolvata cu metoda AzimuthMark si cu un algoritm de tip gradient. Solutiile numerice obtinute cu programeC++, ın cazul 1D si 2D, sunt descrise ın sectiunea 1.2.5.

In capitolul doi se studiaza probleme cu frontiera libera. Doua astfel de pro-bleme au fost supuse cercetarii. Prima dintre ele este cunoscuta sub numele deproblema Stefan inversa. Modelul matematic este o problema de control optimalsi fenomenul vizat corespunde unui proces de solidificare (topire). S-a considerat

3

Page 5: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Introducere

cazul problemei cu o faza, tratat cu o metoda cu domeniu necilindric si cazulproblemei cu doua faze, tratat cu domeniu cilindric. Algoritmii propusi sunt detip Rosen si se gasesc ın sectiunile 2.1.2 si 2.2.3.

In cazul celei de a doua probleme, modelul matematic corespunzator constaıntr-un sistem de ecuatii cu derivate partiale parabolice semiliniare si caracte-rizeaza un fenomen ecologic de migratie a unor populatii de tip prada - pradator.Luand ın calcul dinamica sistemului, am construit un algoritm cu care am deter-minat solutia numerica. Sistemul de ecuatii algebrice neliniare, obtinut ın urmadiscretizarii, a fost rezolvat cu metoda Newton-Raphson.

Capitolul trei este dedicat sistemelor de tip reactie difuzie cu aplicatii ınchimie si biochimie. Rezolvarea numerica a unor astfel de probleme implica o serieıntreaga de dificultati, mai ales ın situatia ın care coeficientul difuziei este foartemic. Problemele propuse aici au fost alese ın asa fel ıncat, dupa semidiscretizareaspatiala, sa fie aduse la o forma ın care partea neliniara sa fie separata de partealiniara, pentru ca apoi, sa folosim scheme numerice din categoria integratorilorexponentiali special construite pentru astfel de cazuri.

Ultimul capitol trateaza o problema de recoltare optimala, asociata unuisistem cu dependenta de varsta, cu termen logistic si cu rate vitale (natalitate,mortalitate) periodice. S-au folosit conditii necesare de optimalitate de ordinul1 si s-a obtinut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal. Infinal au fost descrise simularile numerice efectuate.

Programele de calculator corespunzatoare metodelor numerice din lucrare aufost scrise ın limbajele C/C++ si Matlab.

Programul de cercetare a fost partial finantat de CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 569/ 1.10.2007, cod TD-201.

Programul de cercetare a fost partial finantat de CNCSIS-UEFISCSU, con-tract nr. 342/2009, tip IDEI.

4

Page 6: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

1 Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii laprobleme de control optimal

1.1 Metode cu diferente finite pentru ecuatii eliptice

1.1.1 O ecuatie cu derivate partiale de tip eliptic de ordinul doi ge-nerala Fie urmatoarea problema

a∂2u∂x2 (x, y) + b∂u

∂x (x, y) + c∂2u∂y2 (x, y) + d∂u

∂y (x, y) + eu(x, y) = f(x, y),(x, y) ∈ Ω ,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,

unde Ω = (x1, x1 + C)× (y1, y1 + C), f ∈ C2(Ω), a, b, c, d, e, x1, y1 sunt numerereale, iar C este un numar real pozitiv.

Pentru a rezolva aceasta problema vom folosi o metoda cu diferente finite.Fie N un numar natural si h = C

N−1 . Construim o retea de noduri echidistante,de pas h, pe intervalele [x1, x1 + C], respectiv [y1, y1 + C]

xi = x1 + (i− 1)h, i = 1, .., N, yj = y1 + (j − 1)h, j = 1, .., N.

Metoda cu diferente finite consta ın aproximarea solutiei exacte ın punctelegrilei. Astfel spus, vom cauta un vector dublu indexat (ui,j)i=2,..,N−1; j=2,...,N−1,care sa reprezinte aproximarea solutiei ın nodul M(xi, yj), calitatea aproximariifiind cu atat mai buna cu cat pasul h este mai mic.

Din conditiile la frontiera obtinem

u(x1, yj) = 0, u(x1 + C, yj) = 0u(xi, y1) = 0, u(xi, y1 + C) = 0, pentru i = 1, ..N, j = 1, .., N.

Presupunem ca u ∈ C4(Ω). Utilizand dezvoltarea ın serii Taylor, ajungem laurmatoarele formule

∂2u

∂x2(xi, yj) =

u(xi+1, yj) + u(xi−1, yj)− 2u(xi, yj)h2

+ O(h2) ,

∂2u

∂y2(xi, yj) =

u(xi, yj+1) + u(xi, yj−1)− 2u(xi, yj)h2

+ O(h2) ,

∂u

∂x(xi, yj) =

u(xi+1, yj)− u(xi−1, yj)2h

+ O(h2),

∂u

∂y(xi, yj) =

u(xi, yj+1)− u(xi, yj−1)2h

+ O(h2).

Inlocuind aceste expresii ın problema obtinem

(2a + hb)u(xi+1, yj) + (2a− hb)u(xi−1, yj) + (2c + hd)u(xi, yj+1)++(2c− hd)u(xi, yj−1) + (2eh2 − 4a− 4c)u(xi, yj) + O(h2) = 2h2f(xi, yj),pentru i = 2, ..N − 1, j = 2, ..N − 1.

5

Page 7: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Pentru h suficient de mic, putem neglija cantitatile O(h2) si astfel gasimproblema discreta corespunzatoare

(2a + hb)ui+1,j + (2a− hb)ui−1,j + (2c + hd)ui,j+1

(+2c− hd)ui,j−1) + (2eh2 − 4a− 4c)ui,j = 2h2fi,j ,i = 2, ..N − 1, j = 2, ..N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1, .., N.

Am folosit mai sus urmatoarele notatii

ui,j ' u(xi, yj), fi,j = f(xi, yj), pentru i, j = 1, ..., N.

Observatie 1.1. In fapt, problema discreta este un sistem algebric liniar, carepoate fi rezolvat folosind atat metode directe, cum ar fi metoda factorizarii matri-cei, metoda matricei inverse, metoda de eliminare a lui Gauss etc., cat si metodeiterative, din care amintim metoda Jacobi, metoda Gauss-Seidel si metoda supra-relaxarii (SOR), acestea din urma fiind descrise mai amanuntit ın subcapitoleleurmatoare.

Observatie 1.2. Metoda cu diferente finite poate fi aplicata si pentru o problemamai generala, ın care a, b, c, d si e sunt functii de x si y.

1.1.2 Aproximarea numerica a ecuatiei Poisson In cele ce urmeaza, vomintroduce ecuatia Poisson pentru cazul bidimensional

(P )

∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω,u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω ,

unde Ω = (x1, x1+C)×(y1, y1+C), iar f este proportionala cu sursa de caldura,f ∈ C2(Ω). In aceste conditii, exista o unica solutie u ∈ C4(Ω).

Problema este rezolvata cu metoda diferentelor finite, iar solutia sistemuluialgebric liniar obtinut este determinata cu ajutorul metodelor Jacobi, Gauss-Seidel, suprarelaxarii si Gauss. Pe baza rezultatelor numerice, calculate cu pro-grame realizate ın Matlab, vom ıncerca sa efectuam o analiza comparativa asupratimpilor de lucru, acuratetii solutiilor aproximante, gradului de dificultate ıntam-pinat ın realizarea implementarii algoritmilor. In plus, vom verifica daca ratelede convergenta estimate teoretic, ın cazul metodelor iterative, concorda cu rezul-tatele practice.

Fiind un caz particular al problemei generale prezentate anterior, pentrua = c = 1, b = d = e = 0, vom continua prin a introduce, fara informatiisuplimentare, problema discreta asociata (Ph), mentionand ca am folosit, pentrudiscretizarea domeniului, o retea de noduri echidistanta similara.

(Ph)

ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j = h2fi,j ,i = 2, N − 1, j = 2, N − 1,u1,j = uN,j = ui,1 = ui,N = 0, i = 1, .., N, j = 1, .., N.

Pentru mai multe detalii despre metodele cu diferente finite, vezi [68].

6

Page 8: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

1.1.3 Metode iterative pentru sisteme algebrice liniare Metodele ite-rative permit, ın principiu, gasirea solutiei unui sistem de ecuatii liniare, pornindde la aproximarea initiala a solutiei. Daca sistemul este bine conditionat numeric(matricea lui satisface anumite conditii), procesul iterativ converge catre solutiaexacta a sistemului. Cu cat aproximatia initiala este mai apropiata de solutiaexacta, cu atat convergenta metodelor iterative este mai rapida. Fie A o matricepatratica de ordinul n nesingulara si urmatorul sistem de ecuatii liniare

Ax = b.

Introducem forma generala a metodelor iterative x(i+1) = Φ(xi), i = 0, 1, ...Folosind o matrice patratica nesingulara oarecare, rescriem sistemul de ecuatii

Bx + (A−B)x = b.

O metoda iterativa este data prin

x(i+1) = (I −B−1A)x(i) + B−1b, (1.1)

unde I reprezinta matricea unitate. In continuare, descompunem matricea Aastfel :

A = L + D + U,

unde D contine partea diagonala a lui A cu 0 ın rest, L partea subdiagonala cu0 ın rest, iar U cea superioara cu 0 ın rest.

Cu notatiile H = I −B−1A si b = B−1b, ınlocuim ın (1.1), de unde obtinem

x(i+1) = Hx(i) + b. (1.2)

In cazul metodei Jacobi, B = D, de unde deducem ca matricea de iteratieare forma HJ = −D−1(L + U), iar pasul de iteratie (i + 1) este

x(i+1)j =

(bj −

k 6=j

ajkx(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n.

In cazul metodei Gauss-Seidel, B = D + L, astfel ca, matricea iterativa esteHGS = − (D + L)−1U , iar pasul de iteratie (i + 1) corespunzator este

x(i+1)j =

(bj −

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n.

Pentru a gasi formula ın cazul metodei suprarelaxarii, vom rescrie ecuatia demai sus astfel

x(i+1)j = x

(i)j +

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −ajjx

(i)j −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

)/ajj , j = 1, 2, ..., n

7

Page 9: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

ın care introducem parametru de relaxare

x(i+1)j = x

(i)j +

ω

ajj

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −ajjx

(k)j −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

), j = 1, 2, ..., n .

De aici obtinem formula corespunzatoare metodei suprarelaxarii

x(i+1)j = (1−ω)x(i)

j +ω

ajj

(bj−

j−1∑

k=1

ajkx(i+1)k −

n∑

k=j+1

ajkx(i)k

), j = 1, 2, ..., n.

Mai departe, ınmultind expresia de mai sus cu aij , rescriem expresia sub formamatriceala

(D + ωL)x(i+1) =[(1− ω)D − ωU

]x(i) + ωb .

Comparand cu (1.2), avem ca

H = H(ω) = (D + ωL)−1[(1− ω)D − ωU ]

=(

1ω D + L

)−1(1−ω

ω D − U

)= I −

(1ω D + L

)−1

A,

de unde obtinem ca B = 1ω D + L, ın cazul metodei suprarelaxarii.

Observatie 1.3. Daca care ω = 1, metoda SOR coincide cu metoda Gauss-Seidel.

Mai departe, prezentam o serie de rezultate legate de convergenta metodeloriterative.

Definitie 1.4. O metoda iterativa este convergenta, daca oricare ar fi o aproxi-mare initiala a solutiei x(0), sirul x(i)i=0,1,.. converge la solutia exacta x∗ =A−1b.

In continuare, vom ıntelege prin ρ(C) raza spectrala a matricei C.

Teorema 1.5. (a) Metoda iterativa (1.2) coverge, daca si numai daca ρ(H) < 1.(b) Daca exista o norma matriceala astfel ıncat ||H|| < 1, atunci metoda (1.2)este convergenta.

Teorema 1.6. (a) Criteriul tare al sumei pe linii: Metodele Jacobi si Gauss-Seidel sunt convergente, daca matricea A satisface

| aii |>∑

k 6=i

| aik | , i = 1, 2, ..., n .

(b) Criteriul tare al sumei pe coloane: Metoda Jacobi este convergenta, dacapentru elementele matricii A, este adevarata inegalitatea

| akk |>∑

i 6=k

| aik | , i = 1, 2, ..., n .

Mai mult, are loc ‖ HGS ‖≤‖ HJ ‖< 1.

8

Page 10: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Aceasta ultima relatie afirma ca, daca metoda Jacobi converge, atunci acelasilucru se ıntampla si cu metoda Gauss-Seidel.

Teorema 1.7. (Ostrowski-Reich) Daca matricea de iteratie este hermitiana (si-metrica) si pozitiv definita si daca 0 < ω < 2, atunci metoda suprarelaxarii esteconvergenta.

Pentru mai multe informatii despre metodele iterative, vezi [60] si [25].

1.1.4 Aplicarea metodelor iterative In continuare, vom aplica metodeleiterative descrise anterior, pentru rezolvarea numerica a problemei (P ). Astfel,vom cauta sa rescriem sistemul algebric Ph sub forma matriceala. Pentru asta,vom construi doi vectori, unul continand valorile ui,j , iar celalat valorile h2fi,j ,pentru i = 2, ..., N − 1 si j = 2, ..., N − 1

u = [u2,2, u2,3, ..., u2,N−1, u3,2, ..., u3,N−1, ..., uN−1,2, ..., uN−1,N−1],

b = h2[f2,2, f2,3, ..., f2,N−1, f3,2, ..., f3,N−1, ..., fN−1,2, ..., fN−1,N−1].

Mai mult, definind l = (i − 2)(N − 2) + j − 1, pentru i = 2, ..., N − 1 si j =2, ..., N−1, obtinem urmatorul sistem cu (N−2)2 ecuatii si (N−2)2 necunoscute

ul+N−2 + ul−N+2 + ul+1 + ul−1 − 4ul = h2fl,i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.

Acum putem scrie sistemul ın forma matriceala: Au = b, unde A este omatrice patratica de ordinul (N − 2)2 × (N − 2)2.

A este partitionata ın blocuri Ai,j de ordinul N − 2, consecinta a modului ıncare am organizat valorile ui,j si fi,j . Matricea A este rara, continand cel mult5 elemente nenule pe o linie. In plus, matricea A nu satisface criteriul tare alsumei pe linii (vezi teorema 1.6), existand linii ın care | aii |=

∑k 6=i | aik |. Din

fericire, algoritmii functioneaza din punct de vedere practic.Matricea de iteratie ın cazul metodei Jacobi are structura urmatoare:

HJ = −D−1(L + U) =14(L + U) ,

iar iteratia k este data prin

u(k)l = 1

4

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k−1)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k−1)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.(1.3)

9

Page 11: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

A =

−4 1 1

1. . . . . . . . .. . . . . . 1

. . .1 −4 1

1 −4 1. . .

. . . 1. . . . . . . . .

. . . . . . . . . 1. . .

1 1 −4. . .

. . . . . . 1. . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . 1

1 −4 1. . . 1

. . . . . .. . . . . . . . . 1

1 1 −4

=

A1,1 A1,2 0

A2,1. . . . . .. . . . . . AN−3,N−2

0 AN−2,N−3 AN−2,N−2

Autovalorile matricei HJ pot fi determinate explicit. Astfel, raza spectrala alui HJ este

ρ(HJ) = cosπ

N,

(vezi [57], Capitolul 17). Numarul de iteratii k necesar pentru a obtine o acuratetede 10−p

||u∗ − u(k)|| ≤ 10−p||u∗ − u(0)||, (1.4)

unde prin u∗ si u(0) am notat solutia exacta respectiv solutia aproximativa lamomentul initial, este estimat la :

k ≈ p ln10−ln ρ(HJ)

.

10

Page 12: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Demonstratie Daca u∗ este solutia exacta, atunci avem

u(k) = 14 (L + U)u(k−1) − 1

4b,u∗ = 1

4 (L + U)u∗ − 14b.

Scazaind cele doua expresii obtinem

u(k) − u∗ =14(L + U)(u(k−1) − u∗).

Cum expresia de mai sus are loc pentru orice k natural mai mare sau egal cuunu, au loc

u(k−1) − u∗ = HJ(u(k−2) − u∗)...u(1) − u∗ = HJ (u(0) − u∗),

de unde obtinem

u(k)−u∗ = HkJ (u(0)−u∗) ⇒ ||u(k)−u∗|| = ||Hk

J (u(0)−u∗)|| ≤ ||HJ ||k||u(0)−u∗||,unde || · || reprezinta o norma arbitrara adecvata. Fie λi o autovaloare a luiHJ . Din HJu = λiu ⇒ ||HJu|| = |λi| · ||u|| ⇒ |λi| = ||HJu||

||u|| . Cum ρ(HJ) =max|λi|, λi −multimea autovalorilor lui HJ, vom aveam ca

||HJu||||u|| ≤ ρ(HJ).

Trecand la supremum ın stanga, obtinem ||HJ || ≤ ρ(HJ) si mai departe ||HJ ||k ≤ρ(HJ)k. Pentru a ındeplini conditia de relaxare (1.4) trebuie sa aiba loc :

ρ(HJ)k ≤ 10−p ⇒ k ln ρ(HJ) ≤ ln 10−p.

Inmultind cu −1 ultima relatie gasim

k ≥ p ln 10− ln(ρ(HJ ))

.

Pentru valori ridicate ale lui N , raza spectrala este

ρ(HJ) ' 1− π2

2N2. (1.5)

Acuratetea de 10−p se obtine dupa un numar de iteratii

k ' 2pN2ln10π2

' 12pN2 .

Numarul de iteratii proportional cu N2, evidentiaza ineficacitatea practica ametodei Jacobi.

11

Page 13: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Matricea de iteratie, ın cazul metodei Gauss-Seidel, are forma

HGS = −(L + D)−1U ,

iar formula pentru iteratia k este

u(k)l = 1

4

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.(1.6)

Raza spectrala a matricii HGS este egala cu

ρ(HGS) = cos2π

N,

(vezi [57], Capitolul 17). Pentru valori mari ale lui N avem ca

ρ(HGS) ' 1− π2

N2.

Numarul de iteratii k necesar pentru a obtine o acuratete de 10−p este

k ' pN2ln10π2

' 14pN2 ,

ceea ce dovedeste ca metoda Gauss-Seidel este mai rapida decat metoda Jacobi.Metoda suprarelaxarii se obtine pornind de la metoda Gauss-Seidel, la care

se mai adauga, dupa cum am vazut ın sectiunea precedenta, un parametru derelaxare ω. Este cunoscut faptul ca metoda converge pentru ω ∈ (0, 2) (veziteorema 1.7 - Ostrowski-Reich), iar pentru valori ale lui ω ıntre (0, 2) (cazulsuprarelaxarii), convergenta poate fi mai rapida decat ın cazul metodei Gauss-Seidel. Matricea de iteratie ın cazul metodei SOR are structura

HSOR = I − (1ω

D + L)−1A,

iar iteratia k este data prin

u(k)l = (1− ω)u(k−1)

l + 14ω

(u

(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − h2fl

),

i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.

(1.7)In [57] gasim o valoare optimala pentru ω :

ω =2

1 +√

1− ρ(HJ)2.

Pentru aceasta valoare optimala, raza spectrala este

ρ(HSOR) =

(ρ(HJ)

1 +√

1− ρ(HJ)2

)2

.

12

Page 14: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Pentru valori mari ale lui N , obtinem ca

ω ' 2/(1 +π

N) si ρ(HSOR) ' 1− 2π

N.

Numarul de iteratii k necesar pentru a obtine o acuratete de 10−p este

k ' pNln102π

' 13pN.

Comparand rezultatele, observam ca metoda SOR are nevoie de un numar deiteratii de ordinul O(N), fata de ordinul O(N2) iteratii necesar ın cazul metodelorJacobi si Gauss-Seidel.

1.1.5 Descrierea algoritmilor si rezultatele numerice obtinute In con-tinuare, vom prezenta algoritmii numerici corespunzatori metodelor iterative des-crise anterior, precum si rezultatele numerice obtinute de programe implementateın Matlab.

In cazul metodei Jacobi (vezi (1.3)), algoritmul calculeaza valoarea lui u laiteratia (k), ıntr-un nod al retelei M(xi, yj), folosind valori ale lui u la pasul(k − 1) ın cele 4 puncte vecine lui M(xi, yj). Asfel, avem nevoie doar de doivectori pentru a stoca informatia la fiecare iteratie. De asemenea, trebuie safolosim un criteriu de oprire, deoarece procedeul de iterare este infinit.

||u(k) − u(k−1)||2 < 10−p. (1.8)

Spre deosebire de metoda Jacobi, algoritmul metodei Gauss-Seidel permite proce-sarea solutiei aproximative u la pasul (k), ıntrebuintand pe langa valori ale luiu obtinute la pasul (k − 1) si valori ale lui u deja calculate la iteratia (k). Dinnou, se observa nevoia rezervarii a doi vectori, unul pentru solutia de la iteratiacurenta si altul pentru solutia de la iteratia precedenta, precum si utilizarii unuicriteriu de oprire.

In cazul metodei SOR, notand cu

ξl = u(k−1)l+N−2 + u

(k)l−N+2 + u

(k−1)l+1 + u

(k)l−1 − 4u

(k−1)l − h2fl,

rescriem (1.7) astfel u

(k)l = u

(k−1)l + ω

4 ξl,i = 2, N − 1, j = 2, N − 1.

Solutia aproximativa va fi calculata folosind o tehnica de numerotare diferita,bazata pe paritatea sumei indicilor, tehnica care se mai numeste odd/even sauwhite/black. Astfel, la fiecare iteratie, solutia ın nodurile impare este evaluatadoar utilizandu-se valorile din nodurile pare si reciproc.

13

Page 15: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Norma rezidului ξl poate fi folosita ca si criteriu de oprire. Cu tehnica Cebısevde accelerare, ω optim se actualizeaza la fiecare jumatate de iteratie astfel :

ω(0) = 1 ,

ω12 = 1/(1− ρ2

Jacobi

2 ),

ω(k+ 12 ) = 1/(1− ρ2

Jacobiω(k)

4 ), k = 12 , 1, ..,

limk→∞ ω(k) = ωoptimal.

In plus, norma rezidului scade dupa fiecare iteratie.In continuare, va prezentam rutinele pentru metodele Jacobi, Gauss-Seidel

si SOR ımpreuna cu tehnica Cebısev de accelerare si tehnica de numerotareodd/even pentru problema (P ).

Partea principala a programului este :

clear all;global x1 x2 y1 y2 h2;global x y;global N iter;global u unew uold;N = input(′N : ′);x1 = input(′x1 : ′);y1 = input(′y1 : ′);q = input(′length : ′);tol = input(′precision : ′);maxit = input(′maxiter : ′);disp(′1 = Jacobi, 2 = Gauss− Seidel, 3 = SOR′);disp(′What do you want to choose : ′);M = input(′ ′);x2 = x0 + q;y2 = y0 + q;h = q/(N − 1);h2 = h∧2;forj = 1 : N

temp = (j − 1) ∗ h;x(j) = x1 + temp ;y(j) = y1 + temp ;

enda = 1.0;b = 1.0;c = 1.0;d = 1.0;e = −4.0;rjac = 1.0− 0.5 ∗ (pi/N)∧2;ro = rjac∧2;u = zeros(N,N) ;

14

Page 16: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

uold = zeros(N,N) ;unew = uold ;ifM == 3

kod = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);ifkod ∼= 0

error(′Sorfailed′);end

endifM == 1

Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol);disp(′Solution obtained′);

endifM == 2

Gauss− Seidel(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol);disp(′Solution obtained′);

endmesh(u)uiter

Functia corespunzatoare metodei Jacobi este:

function Jacobi(a, b, c, d, e, ro,maxit, tol)global x yglobal N iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while ∼ flag

iter = iter + 1;for i = 2 : N − 1

for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(a∗uold(i−1, j)+b∗uold(i+1, j)+c∗uold(i, j−1)+

+ d ∗ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), x(j))/e;end

endif all (abs(unew − uold) <= tol)

flag = 1;u = unew;

endif (iter > maxit)

disp(′Jacobifailure′);break

enduold = unew;

15

Page 17: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

end

Functia corespunzatoare metodei Gauss-Seidel este prezentata ın randurilede mai jos:

global x yglobal N iterglobal u unew uoldflag = 0;iter = 0;while ∼ flag

for i = 1 : Nunew(i, 1) = 0;unew(i,N) = 0;

endfor j = 1 : N

unew(1, j) = 0;unew(N, j) = 0;

enditer = iter + 1;for i = 2 : N − 1

for j = 2 : N − 1unew(i, j) = −(unew(i− 1, j) + uold(i + 1, j) + unew(i, j − 1)+ uold(i, j + 1))/e + Fbvp(x(i), y(j))/e;

endendif all(abs(unew − uold) <= tol)

flag = 1;u = unew;

endif (iter > maxit)

error(′Gauss Seidel failure′);enduold = unew;

end

In randurile urmatoare introducem functia corespunzatoare metodei SOR :

function koderr = relax(a, b, c, d, e, ro, maxit, tol)global x yglobal Nglobal u unew uold iterkoderr = 1;anormf = 0.0;for j = 2 : N − 1

for l = 2 : N − 1anormf = anormf + abs(Fbvp(x(j), y(l)));

16

Page 18: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

end

end

omg = 1.0;for i = 1 : maxit

anorm = 0.0;for j = 2 : N − 1

for l = 2 : N − 1ifmod(j + l, 2) == mod(i, 2)resid = a∗u(j+1, l)+b∗u(j−1, l)+c∗u(j, l+1)+d∗u(j, l−1)+e∗u(j, l)− Fbvp(x(j), y(l));anorm = anorm + abs(resid);resid = (e∧ − 1) ∗ resid;u(j, l) = u(j, l)− omg ∗ resid/e;

end

end

end

if i == 1omg = 1.0/(1.0− ro/2.0);

else

omg = 1.0/(1.0− ro ∗ omg/4.0);end

iter = i;if (i > 1)&(anorm < (tol ∗ anormf))

koderr = 0;disp(′Residual norm used for stopping criterion′);break

end

if (mod(i, 2) == 0)unew = u;if all(abs(unew − uold) <= tol)

koderr = 0;disp(′ Difference criterion used′);break

end

uold = unew;end

end

Functia Fbvp ce returneaza valoarea functie f(x, y) este

function z = Fbvp(a, b)global x1 x2 y1 y2 h2temp = −2 ∗ (b− y1) ∗ (b− y2)− 2 ∗ (a− x1) ∗ (a− x2);z = h2 ∗ temp;

17

Page 19: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Rezultatele numerice au fost obtinute pentru

x1 = 1, y1 = 1, C = 4, maxit = 2000, N = 40

f(x, y) = −2(y − y1)(y − y1 − 4)− 2(x− x1)(x− x1 − 4).

In aceste conditii, solutia exacta este :

uexact(x, y) = −(x− x1)(x− x1 − 4)(y − y1)(y − y1 − 4).

In continuare, ne propunem sa comparam acuratetea solutiilor obtinute cucele trei metode, ın raport cu solutia exacta. Mentionand ca am folosit aceeasiconditie de oprire (1.8) pentru p = 3, avem

Jacobi Gauss-Seidel SOR||u− uexact||2 5,9991 2,9843 0,03485

Nr. iter. 1236 726 92Nr. iter. asteptat O( 1

2pN2) O( 14pN2) O( 1

3pN)

Numarul de iteratii obtinut confirma estimarile teoretice. Astfel, putem afirmaca metoda SOR este mult mai rapida, iar acuratetea solutiei este mai buna decatın cazul celorlate doua metode.

010

2030

40

0

10

20

30

40−20

−15

−10

−5

0

Fig. 1. Solutia numerica ın cazul metodei SOR cu tehnica Cebısev de accelerareΩ = [0, 4]× [0, 4], N = 40, p = 14

Am rezolvat problema (P ) folosind si metoda de eliminare a lui Gauss. Fiindo metoda directa, ne-am astepta ca eroarea fata de solutia exacta sa fie mai mica

18

Page 20: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

decat ın cazul metodelor iterative. Astfel am obtinut

||uGauss − uexact||2 = 7, 6575 · 10−13.

In cazul metodei SOR, cerand ca precizia sa fie din ce ın ce mai mare, gasimurmatoarele valori

precizia-10−p Nr. iter ||uSOR − uexact||10−5 172 9, 222 · 10−4

10−11 348 8, 992 · 10−10

10−13 402 8, 474 · 10−12

10−14 440 1, 3824 · 10−13

Observam ca pentru p = 14, eroarea este mai mica decat cea obtinuta cumetoda de eliminare a lui Gauss. Desi solutia a fost determinata ın 410 iteratii,metoda SOR nu este cu mult mai lenta decat metoda directa, timpii de lucrufiind sensibili egali.

Graficul solutiei numerice este prezentat ın figura 1.Simplitatea codificarii metodelor iterative sub forma de programe, reprezinta

un argument ın plus pentru folosirea metodei SOR cu tehnica Cebısev de accele-rare ca alternativa la metodele directe.

Rezultate numerice ın cazul unei probleme similare cu (P ), pot fi gasite ın[12]. In acest caz ınsa, domeniul este o elipsa iar discretizarea a fost realizata cumetoda elementului finit.

1.2 Metode spectrale pentru ecuatii eliptice

Metodele spectrale reprezinta o alta modalitate de aproximare a ecuatiilor cuderivate partiale, prin utilizarea de polinoame de grad ınalt. In acest subcapitol,ne propunem sa rezolvam numeric problema Poisson folosind o astfel de metoda.Mai ıntai, vom aminti o serie de proprietati ale polinoamelor Legendre si vomintroduce forma variationala a ecuatiei Poisson, precum si problema finit dimen-sionala corespunzatoare, dezvoltata pe baza aproximarii de tip Ritz-Galerkin.In continuare, vom prezenta o serie de rezultate cu privire la estimarea erorilor,de remarcat fiind lipsa dependentei dintre ordinul erorii si solutia aproximativa.Mai departe, vom analiza legatura dintre o metoda spectrala si o metoda decolocatie. Finalul acestei parti este dedicat dificultatilor numerice ıntampinatesi solutiilor numerice obtinute.

1.2.1 Polinoame Legendre Fie Ω = (−1, 1). Familia polinoamelor Legendre(Ln)n≥0 se defineste prin

(Li, Lj) = 0, pentru i 6= jLn este de grad n,Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, ∀n ∈ N,

19

Page 21: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

unde (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).Reamintim mai jos cateva rezultate bine cunoscute pentru polinoamele

Legendre.

Propozitie 1.8. Pentru orice n ≥ 0, polinomul (Ln)n≥0 satisface ecuatia diferen-tiala

d

dx[(1− x2)L

′n] + n(n + 1)Ln = 0. (1.9)

Cautam o solutie a ecuatiei sub urmatoarea forma

Ln(x) =∞∑

k=0

akxk+r.

Introducand Ln(x) ın ecuatia (1.9), se obtine dupa identificarea coeficientilor

a0r(r − 1) = 0,a1r(r + 1) = 0,

ak =−ak−2[n(n + 1)− (k + r − 2)(k + r − 3)− 2(k + r − 2)]

(k + r)(k + r − 1), ∀k ≥ 2

Pentru r = 0 avem

a0 = a0,

a2 = −n(n + 1)2!

a0,

a4 =n(n− 2)(n + 1)(n + 3

4!a0,

...........................................................

sia1 = a1,

a3 = − (n− 1)(n + 2)3!

a1,

a5 =(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)

5!a1,

...........................................................

Astfel, solutia ecuatiei (1.9) este

Ln(x) = a0

[1− n(n + 1)

2!x2 +

n(n− 2)(n + 1)(n + 3)4!

x4 − ...

]+

+a1

[x− (n− 1)(n + 2)

3!x3 +

(n− 1)(n− 3)(n + 2)(n + 4)5!

x5 − ...

],

20

Page 22: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

cu a0, a1 ∈ R. Multimea de convergenta pentru ambele serii este (−1, 1).Alegand

a0 = (−1)n2

n!2n[(n

2 )!]2,

a1 = (−1)n−1

2(n + 1)!

2n(n−12 )!(n+1

2 )!,

obtinem formula polinoamelor Legendre :

L0(x) = 1, L1(x) = x, L2(x) = 12 (3x2 − 1),

L3(x) = 12 (5x3 − 3x), L4(x) = 1

8 (35x4 − 30x2 + 3),L5(x) = 1

8 (63x5 − 70x3 + 15x) si asa mai departe.

Pe scurt,

Ln(x) =N∑

k=0

(−1)k(2n− 2k)!2nk!(n− k)!(n− 2k)!

xn−2k, (1.10)

unde N = n2 , pentru n ∈ N par si N = n−1

2 , pentru n ∈ N impar.Se observa cu usurinta ca

Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1)n, ∀n ∈ N.

Introducem operatorul diferential

Aϕ = − d

dx[(1− x2)ϕ

′].

Inlocuind ın (1.9) obtinem

ALn = n(n + 1)Ln (1.11)

si deci Ln este o functie proprie pentru operatorul A. Prin urmare, metoda deapro-ximare pe care urmeaza sa o prezentam poarta numele de metoda spectrala.

Observatie 1.9. A este un operator Sturm-Liouville autoadjunct si pozitiv ınL2(Ω), cu domeniul

D(A) = ϕ ∈ H1(Ω) (1− x2)ϕ′′ ∈ L2(Ω).

Detalii ın privinta operatorului A si a domeniului sau D(A) se pot gasi ın[33], cap. VIII.

Propozitie 1.10. Sirul de polinoame Ln satisface formula lui Rodrigues

Ln(x) =(−1)n

2n · n!· dn

dxn[(1− x2)n] (1.12)

si formeaza un sistem ortogonal ın L2(−1, 1).

21

Page 23: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Demonstratie Plecand de la formula binomiala, obtinem

(1− x2)n = (−1)nn∑

k=0

(−1)k n!(n− k)!k!

x2n−2k.

Derivand de n ori ın raport cu x gasim

dn

dxn[(1− x2)n] = (−1)n

N∑

k=0

(−1)kn!(2n− 2k)!k!(n− k)!(n− 2k)!

xn−2k,

cu N = n2 , pentru n ∈ N par si N = n−1

2 , pentru n ∈ N impar. Comparand cu(1.10) se obtine formula (1.12).

Pentru a arata ca familia Ln formeaza un sistem ortogonal, introducemurmatoarele notatii : Im = xm, f(x) = (x2 − 1)n, iar f (k) derivata de ordin ka functiei f . In cazul m ≤ n, integrand prin parti obtinem:

2n!(Im, Ln) =∫ 1

−1

xmf (n)(x)dx = −m

∫ 1

−1

xm−1f (n−1)(x)dx = ...

= (−1)mm!∫ 1

−1

f (n−m)(x)dx.

Cum pentru orice k ≤ n, f (k) = qk(x)(x2 − 1), unde qk(x) este un polinom degrad (2n− k − 2), obtinem pentru m < n

2nn!(Im, Ln) = (−1)mm![f (n−m−1)(x)]1−1 = 0,

adica (Im, Ln). Dar Lm este un polinom de grad m ın x, de unde rezulta(Lm, Ln) = 0, ∀m 6= n.

Daca m = n, atunci

(Ln, Ln) =(2n)!

2n(n!)2(In, Ln) =

(2n)!2n(n!)2

(−1)n

∫ 1

−1

f(x)dx =

=(2n)!

2n(n!)2(−1)n (−1)n2n+1n!

(2n + 1)(2n− 1) · · · 3 =2

2n + 1.

Deci Ln formeaza un sistem ortogonal pe (−1, 1).

Mai departe, vom aminti mai multe rezultate, dintre care primele doua nevor permite sa determinam numeric valorile polinoamelor Legendre.

Propozitie 1.11. Polinomul Ln satisface pentru n ≥ 1 ecuatia integrala∫ x

−1

Ln(t)dt =1

2n + 1(Ln+1(x)− Ln−1(x)).

22

Page 24: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Propozitie 1.12. Familia Ln satisface relatia de recurenta

L0(x) = 1, L1(x) = x,(n + 1)Ln+1(x) = (2n + 1)xLn(x)− nLn−1(x), n ≥ 1 (1.13)

Propozitie 1.13. Familia derivatelor polinoamelor Legendre (Ln)′ este o familiede polinoame ortogonale cu functia pondere p(x) = 1− x2.

Demonstratie Inmultim ecuatia (1.9) cu Lm si integrand pe (−1, 1), obtinem∫ 1

−1

d

dx[(1− x2)L′n]Lmdx + n(n + 1)

∫ 1

−1

LnLm = 0

Folosind integrarea prin parti ajungem la∫ 1

−1

(1− x2)L′nL′mdx = n(n + 1)∫ 1

−1

LnLm = 0. (1.14)

Propozitie 1.14. (a) Pentru orice ıntreg l ≥ 0, operatorul diferential A definitmai sus este continuu de la H l+2(Ω) la H l(Ω).(b) Pentru orice ıntregi k, l ≥ 0 operatorul diferential Ak este continuu de laH l+2k(Ω) la H l(Ω)

Demonstratie (a) Folosind inductia si definitia operatorului diferential avem

ds

dxs(Aϕ) = −(1− x2)

ds+2ϕ

dxs+2+ 2(s + 1)x

ds+1ϕ

dxs+1+ s(s + 1)

dsϕ

dxs+2,

si deci exista c ≥ 0 astfel ıncat

||(Aϕ)(s)||L2(Ω) ≤ c[||ϕs+2||L2(Ω) + ||ϕs+1||L2(Ω) + ||ϕs||L2(Ω)]

pentru 0 ≤ s ≤ l. De aici obtinem continuitatea lui A.(b) Se itereaza de k ori rezultatul de la punctul (a).

Aplicand punctul (b) din propozitia precedenta, pentru l = 0 gasim

Observatie 1.15. Pentru orice ıntreg k ≥ 0 si orice ϕ ∈ H2k(Ω) exista c ≥ 0asa ıncat

||Akϕ||L2(Ω) ≤ c||ϕ||H2k(Ω).

In cazul ın care luam l = 1 ın propozitia 1.14 obtinem

Observatie 1.16. Pentru orice ıntreg k ≥ 0 si orice ϕ ∈ H2k+1(Ω) exista c ≥ 0astfel ıncat

||Akϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2k+1(Ω).

23

Page 25: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

1.2.2 Aproximarea Galerkin a ecuatiei Poisson Sa consideram urmatoareaproblema eliptica

(P )−∆u = f pe Ω,

u = 0 pe Γ,

unde Γ este frontiera neteda a multimii deschise, marginite si convexeΩ ⊂ Rd, d = 1, 2, 3 si f ∈ L2(Ω). In aceste conditii, problema (P ) are solutieunica.

Fie V = H10 (Ω) si introducem forma biliniara a : V × V → R definita prin

a(u, v) =∫

Ω

∇u∇vdx.

Aceasta este simetrica si pozitiva ın sensul

a(u, v) = a(v, u), ∀ u, v ∈ V, si a(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ V.

Inmultind ecuatia din (P ) cu v ∈ V , obtinem folosind formula lui Green

(P ′)

Sa se determine u ∈ V astfel ıncata(u, v) = (f, v), pentru orice v ∈ V.

Reamitim ca (·, ·) este produsul interior din L2(Ω).In continuare vom folosi urmatoarele norme echivalente pentru V = H1

0 :

||v||H1 =[∫ 1

0

(v2 + (∇v))2dx

]1/2

, |v|H1 =[∫ 1

0

(∇v)2dx

]1/2

= [a(v, v)]1/2.

Teorema 1.17. Problema (P’) are solutie unica u ∈ H10 (Ω) si aceasta satisface

estimarea :||u||H1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω).

Demonstratie Folosind inegalitatea lui Poincare-Friederics gasim

||u||2H1(Ω) =∫

Ω

u2dx +∫

Ω

(∇u)2dx ≤ c0

Ω

(∇u)2dx+ (1.15)

Ω

(∇u)2dx = (1 + c0)∫

Ω

(∇u)2dx, ∀u ∈ H1(Ω).

De aici obtinem ca

a(u, u) ≥ 11 + c0

||u||2H1(Ω), oricare ar fi u ∈ H1(Ω).

Din definitia normei |u|H1 rezulta ca forma a este V−eliptica, indiferent denorma pe care o adoptam pe spatiul V = H1

0 (Ω).

24

Page 26: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

In conditiile ın care forma biliniara a este V−eliptica, teorema lui Lions-Stampacchia (vezi [13], cap. II) asigura existenta si unicitatea solutiei problemei(P ′).

Mai departe, luam v = u ın (P ′) si obtinem∫

Ω

(∇u)2dx =∫

Ω

fudx ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||L2(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) · ||u||H1(Ω).

Folosind inegalitatea de mai sus ın (1.15) ajungem la

||u||H1(Ω) ≤ (1 + c0)||f ||L2(Ω)||u||H1(Ω),

de unde se obtine concluzia.

Introducem acum problema finit dimensionala. Fie Xn ⊂ H10 (Ω) un spatiu finit

dimensional cu dimXn = n.

(P ′n)

Sa se determine un ∈ Xn astfel ıncata(un, vn) = (f, vn), pentru orice vn ∈ XN .

In continuare, fixam o baza ın Xn = spamϕ1, ϕ2, ..., ϕn. Atunci,

un =n∑

i=1

uiϕi, vn =n∑

i=1

vjϕj .

Astfel ecuatia din (P ′n) devine

a

( n∑

i=1

uiϕi,

n∑

j=1

vjϕj

)=

(f,

n∑

j=1

vjϕj

),

n∑

i=1

n∑

j=1

uivja(ϕi, ϕj) =n∑

j=1

vj(f, ϕj).

Notamai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., n

bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., n

si obtinemn∑

j=1

[(

n∑

i=1

ai,j ui − bj)vj

]= 0.

Cum expresia de mai sus are loc pentru orice vn ∈ Xn, ınseamna ca are locsi pentru orice vj ∈ R. Deci obtinem un sistem de n ecuatii algebrice cu nnecunoscute

n∑

i=1

ai,j ui = bj , j = 1, 2, ..., n.

25

Page 27: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Matricea sistemului A = [ai,j ] este simetrica si pozitiv definita, ultima proprie-tate rezultand din V−elipticitatea lui a. Astfel, matricea sistemului fiind nesin-gulara, teorema lui Cramer asigura existenta si unicitatea solutiei sistemuluiliniar.

Mai jos, prezentam un rezultat cunoscut sub numele de lema lui Cea.

Lema 1.18. Fie u solutia problemei (P ) si un solutia problemei (P ′n). Exista oconstanta c > 0 care nu depinde de u si de Xn astfel ıncat

|u− un|H1(Ω) ≤ c|u− vn|H1(Ω), pentru orice vn ∈ Xn.

Demonstratie Daca luam v = vn ın (P ) obtinem a(u, vn) = (f, vn), pentru oricevn ∈ Xn. Scadem (P ′n) din ecuatia de mai sus si gasim

a(u− un, vn) = 0, pentru orice vn ∈ Xn.

Din definitia formei biliniare a avem

|u− un|2H1(Ω) = a(u− un, u− un) = a(u− un, vn − un) + a(u− un, u− vn) =

= a(u− un, u− vn) ≤ c|u− un|H1(Ω) · |u− vn|H1(Ω),

de unde rezulta inegalitatea cautata.

Observatie 1.19. Lema lui Cea este adevarata si ın cazul ın care ın loc de| · |H1(Ω), folosim || · ||H1(Ω).

1.2.3 Operatori de proiectie si estimarea erorii Consideram Ω = (−1, 1)si notam cu PN (Ω) spatiul polinoamelor de grad mai mic sau egal cu N , iar cuP 0

N spatiulP 0

N (Ω) = p ∈ PN (Ω); p(1) = p(−1) = 0.Spatiul polinoamelor peste Ω este un subspatiu dens al spatiului C(Ω) si

deci al lui L2(Ω). Ca urmare orice ϕ ∈ L2(Ω) poate fi dezvoltat dupa familia depolinoame Legendre:

ϕ =∞∑

n=0

ϕnLn,

unde

ϕn =(ϕ,Ln)L2(Ω)

||Ln||2L2(Ω)

=

∫ 1

−1ϕLndx

||Ln||2L2(Ω)

.

Definim operatorul de proiectie ortogonala πN : L2(Ω) → PN (Ω) ın urmatoareamaniera

πNϕ =N∑

n=0

ϕnLn.

In cele ce urmeaza, vom da un rezultat de estimarea erorii pe L2(Ω)

26

Page 28: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Teorema 1.20. Pentru orice ıntreg m ≥ 0, exista o constanta c > 0 care depindenumai de m astfel ıncat

||ϕ− πNϕ||L2(Ω) ≤ cN−m||ϕ||Hm(Ω),

pentru orice ϕ ∈ Hm(Ω).

Demonstratie Din dezvoltarea ın serii Fourier a lui ϕ si din definitia opera-torului de proiectie avem :

ϕ− πNϕ =∞∑

n=N+1

ϕnLn. (1.16)

Formula coeficientilor din dezvoltarea Fourier a lui ϕ si si (1.11) conduc la

ϕn =1

||Ln||2L2(Ω)

· 1n(n + 1)

∫ 1

−1

ϕ(x)(ALn)(x)dx =

=1

||Ln||2L2(Ω)

· 1n(n + 1)

∫ 1

−1

(Aϕ)(x)Ln(x)dx.

Aplicam de p ori formula (1.11) si obtinem

ϕn =1

||Ln||2L2(Ω)

· 1[n(n + 1)]p

∫ 1

−1

(Apϕ)(x)Ln(x)dx.

Introducem expresia de mai sus ın formula (1.16) si folosind proprietatea deortogonalitate a polinoamelor Legendre pe L2(Ω) gasim

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑

n=N+1

ϕ2n||Ln||2L2(Ω) =

=∞∑

n=N+1

[n(n + 1)]−2p ·[∫ 1

−1(Apϕ)(x)Ln(x)dx

||Ln||2L2(Ω)

]2

· ||Ln||2L2(Ω).

Cum n(n + 1) ≥ N2 avem ca 1/[n(n + 1)] ≤ 1/N2 si deci

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ N−4p ·∞∑

n=0

[(Apϕ, Ln)||Ln||2L2(Ω)

]2

· ||Ln||2L2(Ω) =

= N−2m||Apϕ||2L2(Ω).

Din observatia 1.15 avem ||Apϕ||L2(Ω) ≤ c||ϕ||H2p(Ω), care ımpreuna cu ine-galitatea precedenta dau

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤ cN−2m||ϕ||Hm(Ω),

27

Page 29: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

de unde rezulta estimarea cautata.Trecem acum la cazul cand m = 2p + 1. Iteram formula (1.11) de p + 1 ori si

obtinem

ϕn =1

||Ln||2L2(Ω)

· 1[n(n + 1)]p+1

∫ 1

−1

(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx. (1.17)

Tinem cont de

Ap+1ϕ = A(Apϕ) = −[(1− x2)(Apϕ)′]′

si integrand prin parti avem

∫ 1

−1

(Ap+1ϕ)(x)Ln(x)dx =∫ 1

−1

(Apϕ)′L′n(x)(1− x2)dx.

Folosind (1.17) ajungem la

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) =∞∑

n=N+1

ϕ2n||Ln||2L2(Ω) = (1.18)

=∞∑

n=N+1

[n(n + 1)]−2(p+1)

||Ln||2L2(Ω)

·[∫ 1

−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx

]2

.

Conform propozitiei 1.13, orice ψ ∈ L2(Ω) se poate dezvolta sub forma

ψ =∞∑

n=0

ψnLn,

unde

ϕn =

∫ 1

−1ψ(x)L′n(x)(1− x2)dx

∫ 1

−1[L′n(x)]2(1− x2)dx

.

Din (1.14) obtinem pentru m = n

∫ 1

−1

[L′n(x)]2(1− x2)dx = n(n + 1)∫ 1

−1

L2n(x)dx = n(n + 1)||Ln||2L2(Ω).

Atunci ∫ 1

−1

[ψ(x)]2(1− x2)dx =∞∑

n=0

ψ2n

∫ 1

−1

[L′n(x)]2(1− x2)dx =

=∞∑

n=0

1n(n + 1)

· 1||Ln||2L2(Ω)

·[∫ 1

−1

ψ(x)L′n(x)(1− x2)dx

]2

.

28

Page 30: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Luam ψ = (Apϕ)′ si obtinem

∫ 1

−1

[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx =

=∞∑

n=0

1n(n + 1)

· 1||Ln||2L2(Ω)

·[∫ 1

−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx

]2

.

Folosind si (1.18) facem urmatorul calcul

||ϕ− πNϕ||2L2(Ω) ≤

≤∞∑

n=0

1[n(n + 1)](2p+2) · ||Ln||2L2(Ω)

·[∫ 1

−1

(Apϕ)′(x)L′n(x)(1− x2)dx

]2

≤ N−2(2p+1)

∫ 1

−1

[(Apϕ)′(x)]2(1− x2)dx ≤

≤ N−2m||(Apϕ)′||2L2(Ω) ≤ N−2m||Apϕ||2H1(Ω).

Din observatia 1.16 avem

||Apϕ||H1(Ω) ≤ c||ϕ||H2p+1(Ω),

care se combina cu inegalitatea anterioara si se obtine imediat estimarea cautata.

Pentru operatorul de proiectie ortogonala π1,0N : H1

0 (Ω) → P 0N (Ω), care se

defineste prin∫ 1

−1

(ϕ− π1,0N ϕ)′(x)ψ′N (x)dx = 0, pentru orice ψN ∈ P 0

N (Ω),

avem urmatorul rezultat de estimare a erorii.

Teorema 1.21. Pentru orice ıntreg m ≥ 1, exista o constanta c > 0 care depindenumai de m astfel ıncat pentru orice ϕ ∈ Hm(Ω) ∩ H1

0 (Ω) au loc urmatoareleinegalitati

|ϕ− π1,0N ϕ|H1(Ω) ≤ cN1−m||ϕ||Hm(Ω),

||ϕ− π1,0N ϕ||L2(Ω) ≤ cN−m||ϕ||Hm(Ω).

29

Page 31: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

1.2.4 O metoda de colocatie

Cazul 1-Dimensional. Daca subspatiul finit dimensional Xn ⊂ H10 (Ω), din

aproximarea Galerkin a problemei (P ), este ales Xn = P 0N (Ω), atunci problema

finit dimensionala (P ′n) devine

(P ′N )

Sa se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ıncat

a(uN , vN ) = (f, vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),

cu Ω = (−1, 1). Problema finit dimensionala (P ′N ) conduce la un sistem algebricliniar (vezi paragraful 1.2.2)

AU = F,

unde P 0N (Ω) = spanϕ1, ϕ2, ..., ϕN, A = [ai,j ], U = (u1, u2, ..., uN )T , iar ui este

un coeficient din dezvoltarea lui uN ∈ P 0N (Ω), F = (f1, f2, ..., fN )T si

ai,j = a(ϕi, ϕj), i, j = 1, 2, ..., N

bj = (f, ϕj), j = 1, 2, ..., N.

Este binecunoscut ca punctele de extrem si punctele ın care se anuleaza poli-noamele Legendre si Cebısev, se pot utiliza ın cadrul unor formule de quadraturanumerica de ınalta precizie. Mai mult, ın situatia ın care se folosesc spatii de poli-noame cu grad ınalt, acest tip de metode ofera solutii exacte.Amintim aici doua astfel de metode, Gauss si Gauss-Lobatto, care sunt descriseın detaliu ın [32].

In continuare, ne propunem sa rezolvam problema (P ′N ), folosind formula deintegrare numerica Gauss-Lobatto. Fie

−1 = θ0 < θ1 < ... < θN = 1,

radacinile polinomului (1 − x2)L′N (x). Atunci pentru orice functie g ∈ C(Ω)avem ∫ 1

−1

g(x) =N∑

j=0

ρjg(θj) + RN+1, (1.19)

unde ρj sunt coeficientii formului si RN+1 este restul. Acesti coeficienti se de-termina ın mod unic astfel ıncat

∫ 1

−1

q(x) =N∑

j=0

ρjq(θj), pentru orice q ∈ P2N−1(Ω) (1.20)

Pentru f ∈ C(Ω), integralele care definesc ai,j si fi se aproximeaza cu ajutorulformulei Gauss-Lobatto. Astfel, rescriem problema (P ′N )

(P ′N ),

Sa se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ıncat

aN (uN , vN ) = (f, vN )N pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).

30

Page 32: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

undeaN (uN , vN ) =

∑Nj=0 ρju

′N (θj)v′N (θj),

(f, vN )N =∑N

j=0 ρjf(θj)vN (θj).

Mai departe, avem

aN (uN , vN ) =∫ 1

−1

u′N (x)v′N (x)dx

si integrand prin parti obtinem, folosind si faptul ca vN (−1) = uN (1) = 0,

aN (uN , vN ) =∫ 1

−1

u′′N (x)v′N (x)dx = −N∑

j=0

ρju′′N (θj)vN (θj).

Introducem o baza Lagrange pe spatiul P 0N (Ω) = spanψ1, ψ2, ..., ψN−1, astfel

ıncatψi(θj) = δi,j , pentru i, j = 1, 2, ..., N − 1,

unde δi,j este simbolul lui Kronecker.Proprietatea ψi(θ0) = ψi(θN ), pentru i = 1, 2, ..., N −1, permite sa eliminam

functiile ψ0 si ψN din baza. Fie

vN =N−1∑

i=1

viψi.

Atunci, ınlocuind pe vN ın expresia lui aN (uN , vN ) determinata mai sus obtinem

aN (uN , vN ) = −N∑

j=0

ρju′′N (θj)

(N−1∑

i=1

viψi(θj))

=

= −N−1∑

i=1

vi

( N∑

j=0

ρju′′N (θj)ψi(θj)

)= −

N−1∑

i=1

viρiu′′N (θi).

Pe de alta parte,

(f, vN )N =N∑

j=0

ρjf(θj)(N−1∑

i=1

viψi(θj))

=

=N−1∑

i=1

vi

( N∑

j=0

ρjf(θj)ψi(θj))

=N−1∑

i=1

viρif(θi).

Inlocuind rezultatele obtinute ın (P ′N ) gasim

−N−1∑

i=1

viρiu′′N (θi) =

N−1∑

i=1

viρif(θi),

31

Page 33: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

adicaN−1∑

i=1

vi(ρiu′′N (θi) + ρif(θi)) = 0.

Cum vN este oarecare ın P 0N (Ω) atunci (vi) este oarecare ın RN−1 si deci, ecuatia

de mai sus conduce la

−ρiu′′N (θi) = ρif(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.

Deoarece uN ∈ P 0N (Ω), am obtinut problema de colocatie

(PC1)−u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1,

uN (−1) = uN (1) = 0.

Aici ecuatia −u′′ = f este satisfacuta doar ın punctele de colocare θi, pentrui = 1, 2, ..., N − 1, care sunt tocmai radacinile polinomului L′N (x).

Cazul 2-Dimensional. Fie (Ω) = (−1, 1)× (−1, 1) si introducem problema (P ′N )adaptata la domeniul bidimensional.

(P ′N )

Sa se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ıncat

a(uN , vN ) = (f, vN ), pentru orice vN ∈ P 0N (Ω),

unde P 0N (Ω) = spanlj(x)lk(y); 0 ≤ j, k ≤ N, lp ∈ P 0

N (−1, 1).Dupa cum am vazut ın prima parte a paragrafului, o astfel de problema

conduce la un sistem algebric liniar compatibil determinat care, ın cazul de fata,are N2 ecuatii si N2 necunoscute.

In continuare, consideram grila Gauss-Lobatto

ΩN = (θj , θk); j, k = 0, ..., N,

cu (θi)i=0,...,N radacinile polinomului (1− x2)L′N (x).Consideram f ∈ C(Ω). Aproximam integralele care definesc elementele ma-

tricei sistemului si elementele vectorului termen liber cu formulele Gauss-Lobatto(1.19), (1.20) si obtinem

(P ′N ),

Sa se determine uN ∈ P 0N (Ω) astfel ıncat

aN (uN , vN ) = (f, vN )N , pentru orice vN ∈ P 0N (Ω).

unde

aN (uN , vN ) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk

[∂uN

∂x(θj , θk) · ∂vN

∂x(θj , θk)+

+∂uN

∂y(θj , θk) · ∂vN

∂y(θj , θk)

],

32

Page 34: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

(f, vN )N =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj).

Mai departe, folosind formula (1.19) ajungem la

aN (uN , vN ) =∫ 1

−1

N∑

k=0

ρk∂uN

∂x(x, θk) · ∂vN

∂x(x, θk)dx+

+∫ 1

−1

N∑

j=0

ρj∂uN

∂y(θj , y) · ∂vN

∂y(θj , y)dy.

Integrand prin parti si tinand cont ca vN (−1, ·) = vN (1, ·) = vN (·,−1) == vN (·, 1) = 0, obtinem

aN (uN , vN ) =N∑

k=0

ρk

[∂uN

∂x(x, θk) · vN (x, θk)

∣∣∣∣1

−1

−∫ 1

−1

∂2uN

∂x2(x, θk) · vN (x, θk)dx

]+

N∑

j=0

ρj

[∂uN

∂y(θj , y) · vN (θj , y)

∣∣∣∣1

−1

−∫ 1

−1

∂2uN

∂y2(θj , y) · vN (θj , y)dy

]= −

N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk

[∂2uN

∂x2(θj , θk) · vN (θj , θk)+

+∂2uN

∂y2(θj , θk) · vN (θj , θk)

]= −

N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk).

Inlocuim ın ecuatia din (P ′N ) si gasim

−N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)vN (θj , θk) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)vN (θj , θj), (1.21)

∀vN ∈ P 0N (Ω).

Introducem o baza Lagrange pe spatiul P 0N (Ω) = spanlj(x)lk(x); j, k =

1, .., N − 1, cu lj(θk) = δj,k, pentru j, k = 1, .., N − 1. Relatia de mai sus estesatisfacuta pentru orice vN ∈ P 0

N (Ω) daca si numai daca este satisfacuta pentruorice functie din baza.

Luand vN = lp(x)lq(y) ın (1.21) avem

−N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρk(∆uN (θj , θk)lp(θj)lq(θk) =N∑

j=0

N∑

k=0

ρjρkf(θj , θk)lp(θj)lq(θk).

De unde−ρpρq(∆uN (θp, θq) = ρpρqf(θp, θq) si mai departe

33

Page 35: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

−(∆uN )(θp, θq) = f(θp, θq) p, q = 1, 2, ..., N − 1.

S-a obtinut astfel o problema de colocatie corespunzatoare problemei (P ′N )

(PC2) −(∆uN )(x, y) = f(x, y), pe ΩN ∩Ω,

u = 0, pe ΩN ∩ ∂Ω.

1.2.5 Implementarea algoritmilor si rezultate numerice Aici vom des-crie pasii necesari obtinerii solutiilor numerice corespunzatoare problemelor decolocatie introduse mai sus. Mai ıntai trebuie sa determinam radacinile polino-mului (1− x2)L′N (x). Cum gradul lui L′N este N − 1, putem scrie

L′N (x) = k(x− x1)(x− x2)...(x− xN−1).

Avand o aproximatie initiala x(0)1 a radacinii x1, metoda Newton-Raphson per-

mite gasirea unei aproximatii ınbunatatite x(1)1 , ca intersectie a tangentei dusa la

graficul lui L′N (x) ın punctul de coordonate (x(0)1 , L′N (x(0)

1 )), cu axa Ox. Procesulse itereaza si obtinem urmatoarea formula de recurenta:

x(k)1 = x

(k−1)1 − L

′N (x(k−1)

1 )

L′′N (x(k−1)

1 ).

Odata determinat x1, construim un alt polinom f(x) de grad N − 2

f(x) = k(x− x2)...(x− xN−1).

Aplicand aceiasi tehnica pentru f(x), gasim radacina x2. Astfel, dupa p iteratii,obtinem urmatorul polinom

f(x) =L′N (x)∏p−1

i=1 (x− xi),

iar pentru a-i determina o radacina, care corespunde cu radacina xp a lui L′N (x),se foloseste formula

x(k)p = x(k−1)

p − f(x(k−1)p )

f ′(x(k−1)p )

.

Dar

f′(x) =

1∏p−1i=1 (x− xi)

[L′′N (x)− L

′N (x)

p−1∑

i=1

1(x− xi)

],

de unde ajungem la

x(k)p = x(k−1)

p − L′N (x(k−1)

p )

L′′N (x(k−1)

p )− L′N (x(k−1)

p )∑p−1

i=11

(x(k−1)p −xi)

,

34

Page 36: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

pentru p = 1, 2, ..., N − 1. Din relatia de recurenta (1.13) se obtin urmatoareleformule pentru Li(x) , L

′i(x) si L

′′i (x)

L0(x) = 1, L1(x) = x,Li(x) = 2i−1

i xLi−1(x)− i−1i Li−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

L′0(x) = 0, L

′1(x) = 1,

L′i(x) = 2i−1

i Li−1(x) + 2i−1i xL

′i−1(x)− i−1

i L′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

L′′0 (x) = 0, L

′′1 (x) = 0,

L′′i (x) = 2 · 2i−1

i L′i−1(x) + 2i−1

i xL′′i−1(x)− i−1

i L′′i−2(x), ∀i = 2, 3, ..., N

Descrierea algoritmului este completa, odata cu enuntarea aproximatiilorinitiale folosite

x01 = −1, x0

i = xi−1 + 3 · 10−3, i = 2, 3, ..., N − 1 si

conditiilor de oprire utilizate|x(k)

p − x(k−1)p | < ε, |L′N (x(k)

p )| < ε, p = 1, 2, ..., N − 1,

unde ε reprezinta o eroare prestabilita.Odata cu gasirea racinilor polinomului L′N (x), avem toate ingredientele nece-

sare rezolvarii problemelor (PC1) si (PC2). Mai ıntai ne ocupam de cazul uni-dimensional. Solutia problemei (PC1) apartine spatiului

P 0N (−1, 1) = p ∈ PN (Ω); p(−1) = p(1) = 0 = spanψ1, ψ2, ..., ψN−1.

Alegem ψj(x) = (1 − x2)L′j(x), j = 1, 2, ..., N − 1, unde Lj sunt polinoamele

Legendre. Fie atunci

uN =N−1∑

j=1

ujψj .

Ecuatiile −u′′N (θi) = f(θi), i = 1, 2, ..., N−1 conduc la urmatorul sistem algebricliniar

N−1∑

j=1

(−ψ′′j (θi))uj = f(θi), i = 1, 2, ..., N − 1.

Din definitia functiei ψj se obtin

ψ′j(x) = −2xL

′j(x) + (1− x2)L

′′j (x),

ψ′′j = −2L

′j(x)− 4xL

′′j (x) + (1− x2)L

′′′j (x).

Sistemul algebric liniar cu N − 1 ecuatii si N − 1 necunoscute a fost rezolvatcu metoda de eliminare a lui Gauss.

Exemplul numeric urmator a fost realizat pentru

f(x) = 42x5 − 20x3 − 24x2 + 4.

35

Page 37: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

−1 −0.5 0 0.5 1−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

u

10

uexact

u25

Fig. 2. Solutia exacta: (1 − x2)(x5 − 2x2); Solutia aproximativa pentru N = 25 sipentru N = 10.

In acest caz solutia exacta a problemei (P ) este egala cu

uexact = (1− x2)(x5 − 2x2). (1.22)

Pentru N = 10 si pentru o valoare a erorii ε = 10−3, am obtinut urmatoareleradacini ale polinomului L′10(x)

θ1 = −0.934, θ2 = −0.784, θ3 = −0.565 θ4 = −0.295, θ5 = 0

θ6 = 0.295, θ7 = 0.565, θ8 = 0.784 θ9 = 0.934

De asemenea, am gasit urmatoarele valori pentru coeficientii uj

u1 = −0.4, u2 = 0.0793, u3 = 0.26666, u4 = 0.00519, u6 = 0.011544.

Ceilalti uj sunt egali cu 0. Astfel, solutia este:

u10(x) = −0.4(1− x2)L′1(x) + 0.0793(1− x2)L

′2(x)+

+0.26666(1− x2)L′3(x) + 0.00519(1− x2)L

′5(x) + 0.011544(1− x2)L

′6(x).

Pentru a desena graficul solutiei exacte (1.22), am folosit o retea de 201 noduriechidistante pe intervalul (−1, 1). In figura 2, putem observa ca solutiile aproxi-mante coincid cu solutia exacta ın punctele de colocatie, de unde concluzionam

36

Page 38: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

ca un numar mai mare de astfel de puncte θi, confera solutiei aproximante oacuratete mai buna. Ultima afirmatie este valabila pentru situatia ın care Neste mai mic sau egal cu gradul solutiei exacte. In caz contrar, calitatea solutieinu se ımbunatateste, dar cu cat numarul de puncte folosit pentru reprezentareasa grafica creste, cu atat graficul ei este mai apropiat de graficul solutiei exacte.

Trecem acum la problema (PC2). Solutia ei apartine spatiului

P 0N (Ω) = spanli(x)lj(y); 0 ≤ i, j ≤ N, lp ∈ P 0

N (−1, 1),

cu Ω = (−1, 1)× (−1, 1). Alegem o baza formata din

ψi,j(x, y) = (1− x2)(1− y2)L′i(x)L′j(y),

unde Lj sunt polinoame Legendre. Fie atunci

uN =N−1∑

i=1

N−1∑

j=1

ai,jψi,j . (1.23)

Mai departe, renumerotam indicii coeficientilor ai,j , respectiv functiilor din bazaψi,j , construind urmatorii doi vectori

a = (a1,1, a1,2, ..., a1,N−1, a2,1, ..., a2,N−11,, ..., aN−1,1, .., aN−1,N−1)

ψ = (ψ1,1, ψ1,2, ..., ψ1,N−1, ψ2,1, ..., ψ2,N−11,, ..., ψN−1,1, .., ψN−1,N−1).

Astfel (1.23) devine

uN =M∑

l=1

alψl, unde M = (N − 1)(N − 1).

Inlocuim ın ecuatia problemei (PC2) si obtinem

−M∑

l=1

alψl

(∂2ψl

∂x2(θp, θk) +

∂2ψl

∂y2(θp, θk)

)= f(θp, θk), 1 ≤ p, q ≤ N − 1.

Daca reorganizam modul de numerotare al perechilor (θp, θq)

θ =[(θ1, θ1), (θ1, θ2), ..., (θ1 θN−1), (θ2, θ1), ..

],

obtinem urmatorul sistem de (N−1)(N−1) ecuatii si (N−1)(N−1) necunoscute

−M∑

l=1

alψl

(∂2ψl

∂x2(θk) +

∂2ψl

∂y2(θk)

)= f(θk), k = 1, 2, .., (N − 1)(N − 1), (1.24)

37

Page 39: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

−1

−0.5

0

0.5

1

−1−0.5

00.5

1−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Fig. 3. Solutia uN a problemei de colocatie (PC2), pentru N=12

unde ∂2ψl

∂x2 , ∂2ψl

∂y2 sunt calculate dupa formulele:

∂2ψl

∂x2=

[−2L′i(x)− 4xL′′i (x) + (1− x2)L′′′i (x)

](1− y2)L′j(y),

∂2ψl

∂y2=

[−2L′j(y)− 4yL′′j (x) + (1− y2)L′′′j (x)

](1− x2)L′i(x).

Metoda de eliminare a lui Gauss a fost aleasa pentru rezolvarea sistemului(1.24).

Pentru f(x, y) = 2x7 + 42x5y2 − 44x5 + 18x3 − 8x3y2 + 20x2y3 − 6x2y++6xy4 − 18xy2 + 2x + 2y5 − 22y3 + 6y, solutia exacta a problemei (P ) este

uexact = (1− x2)(1− y2)(x5 + y3 + xy2).

In figura 3, gasim graficul solutiei aproximative obtinuta pentru N = 12si ε = 10−3. Solutia numerica este precisa ın punctele de colocatie, dupa cumobservam din urmatorul rezultat

||uN − uexact|| = 0, 035726.

Solutia continua ce se obtine ın urma rezolvarii sistemelor algebrice liniarederivate din (PC), constituie un plus, deloc lipsit de importanta, pentru metoda

38

Page 40: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

de colocatie ın comparatie cu metoda diferentelor finite. De fapt, aceasta ca-racteristica este comuna metodelor spectrale ın general, clasa din care face partesi metoda prezentata aici.

1.3 O problema de control optimal distribuit

In aceasta sectiune vom descrie o problema de control optimal, ın care sistemulde stare este dat de ecuatia Poisson. Mai departe, vom introduce o aproximarede tip Ritz-Galerkin a problemei, precum si o serie de rezultate teoretice cuprivire la estimarea erorilor. Mai mult, vom vedea ın ce fel acuratetea solutieisistemului de stare se reflecta ın comportamentul perechii optimale. Apoi vomprezenta un algoritm, cu ajutorul caruia vom obtine solutii numerice descrise lafinal.

Fie Ω = (−1, 1) si consideram din nou problema

(P )−∆y = u, pe Ω,

y = 0, pe Γ .

Introducem spatiile V = H10 (Ω), U = H = L2(Ω), V ∗ = H−1(Ω) si forma

variationala a lui (P )

(SE)

Sa se determine y ∈ V astfel ıncata(y, v) = (u, v)H , ∀v ∈ V,

unde prin (·, ·)X , ıntelegem produsul interior din X. Definim functionala de cost

J(y, u) =12||y − yd||2H +

12||u||2U ,

unde yd ∈ V este o functie data si introducem problema de control optimal :(P ∗) Sa se minimizeze J(y, u), pentru u ∈ U si y ∈ V solutiile ecuatiei de

stare (SE).Este cunoscut ca (P ∗) admite o unica pereche optimala. O problema mai

generala este descrisa ın [11].

1.3.1 Conditiile de optimalitate Introducem starea adjuncta p ∈ V solutiaecuatiei adjuncte:

(AE) a(p, v) = (y − yd, v)H , pentru orice v ∈ V.

De asemenea consideram funtionala de cost

Φ(u) = J(y, u),

unde y este solutia lui (SE) corespunzatoare lui u. Daca [u + λw, y + λθ] este opereche admisibila pentru sistemul de stare, iar [u, v] solutia optimala a lui (P ∗)atunci, din conditiile de optimalitate deducem ca

Φ(u + λw) ≥ Φ(u), pentru orice w ∈ U.

39

Page 41: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

De aici se obtine

(y − yd, θ)H + (u,w)U +λ

2[||w||2U + ||θ||2H ] ≥ 0.

Trecem la limita λ → 0 si gasim

(∇Φ(u), w) = (y − yd, θ)H + (u,w)U ≥ 0.

Cum [u, v] si [u + λw, y + λθ] satisfac ecuatia de stare (SE) avem

a(y + λθ, v) = (u + λw, v)a(y, v) = (u, v), ∀v ∈ V.

Scazand cele doua expresii se ajunge la

a(θ, v) = (w, v)H , pentru orice v ∈ V. (1.25)

Daca consideram v = θ ın ecuatia adjuncta obtinem

a(p, θ) = (y − yd, θ)H (1.26)

si luand v = p ın (1.25), gasim ın baza simetriei lui a, ca a(p, θ) = (w, p)H , deunde egaland cu (1.26) se obtine

(y − yd, θ)H = (p, w)U .

Introducem acest rezultat ın formula gradientului funtionalei de cost obtinutamai sus si ajungem la

(∇Φ(u), w) = (u + p, w)U ≥ 0 pentru orice w ∈ U,

si deci ∇Φ(u) = 0. Astfel, conditiile de optimalitate pentru problema (P )∗ suntdate de (SE), (AE) si u + p = 0.

1.3.2 Aproximarea Galerkin Consideram spatiile finit dimensionale Vn =PN ∩ V = P 0

N , Un = PN ∩ U si operatorii de proiectie π1,0N : V → Vn, πU

N : U →Un, definiti la fel ca cei din paragraful 1.2.3. Aproximarea Galerkin a ecuatiei(SE) este data prin

(SEN )

Sa se gaseasca yN ∈ P 0N (Ω) astfel ıncat

a(yN , vN ) = (uN , vN ), ∀vN ∈ P 0N (Ω).

Existenta si unicitatea solutiei yN a fost discutata ın sectiunea 1.2.2 (vezi [20],teorema 3.2, p. 62). Functionala de cost corespunzatoare este

JN (yN , uN ) =12||yN − π1,0

N yd||2L2(Ω) +12||uN ||2L2(Ω).

40

Page 42: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Introducem problema de control discreta

(P ∗N ) Sa se minimize JN (yN , uN ) pentru uN ∈ UN si yN ∈ VN solutia sis-temului de stare (SEN ).

Fie pn ∈ Vn starea adjuncta care satisface ecuatia adjuncta

(AEN ) a(pN , vN ) = (yN − π1,0N yd, vN ), pentru orice vN ∈ VN .

Intr-o maniera similara, ca ın cazul problemei (P ∗), se obtine

uN + pN = 0,

care ımpreuna cu ecuatiile (SEN ) si (AEN ) dau conditiile de optimalitate pentru(P ∗N ).

1.3.3 Rezultate de estimare a erorilor In continuare, vom da cateva rezul-tate teoretice, cu privire la acuratetea solutiilor problemelor (SEN ) si (AEN ).Pentru demonstrarea unora dintre ele, vom face apel la teoremele deja introduseın paragraful 1.2.3.

Teorema 1.22. Fie y solutia ecuatiei SE si yN solutia ecuatiei SEN . Dacay ∈ Hm(Ω) atunci, pentru orice ıntreg m ≥ 1 are loc urmatoarea inegalitate

||y − yN ||L2(Ω) ≤ cN−m||y||Hm(Ω),

unde c > 0 este o constanta care depinde numai de m.

Demonstratie Aplicam Lema 1.18 pentru vn = π1,0N si obtinem

|y − yN |H1(Ω) ≤ c1|y − π1,0N y|H1(Ω), c1 > 0

Apoi, folosim prima inegalitate din teorema 1.21 pentru y si gasim

|y − π1,0N y|H1(Ω) ≤ c2N

1−m||y||Hm(Ω), c2 > 0.

Mai mult, din inegalitatea Poincare-Friederics avem

||y − yN ||L2(Ω) ≤ c3|y − yN |H1(Ω), c3 > 0,

de unde se obtine estimarea ce trebuia demonstrata.

Fie [u∗, y∗] si [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P ∗) si (P ∗N ) si introducemurmatoarele variabile de interpolare:

rN−solutia ecuatiei

a(rN , vN ) = (u∗, vN )H , ∀vN ∈ Vn, (1.27)

qN−solutia ecuatiei

a(qN , vN ) = (rN − π1,0N yd, vN )H , ∀vN ∈ Vn, (1.28)

41

Page 43: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

sN−solutia ecuatiei

a(sN , vN ) = (y∗ − yd, vN )H , ∀vN ∈ Vn. (1.29)

Pentru demonstratia urmatorului rezultat facem trimitere la [11], sectiunea6:

Lema 1.23. Urmatoarele relatii sunt adevarate:

(pN − qN , u∗N − u∗)U ≥ 0, (1.30)

(zN − z, u∗N − u∗)U = 0 (1.31)

undez = −(p + u) si zN = −(pN + u∗N ).

Teorema 1.24. Fie [u∗, y∗] si [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P ∗) si (P ∗N ).Atunci are loc

||u∗ − u∗N ||U ≤ ||p− qN ||U . (1.32)

Demonstratie Din definitia lui z si a lui zN avem

p− qN = (pN − qN ) + (u∗N − u∗) + (zN − z)

de unde gasim

(p− qN , u∗N − u∗)U = (pN − qN , u∗N − u∗)U + ||u∗N − u∗||2U + (zN − z, u∗N − u∗)U .

Folosind (1.30) si (1.31) se obtine

(p− qN , u∗N − u∗)U ≥ ||u∗N − u∗||2Usi aplicand inegalitatea lui Schwarz gasim (1.32).

Mai departe, observam ın baza teoremei 1.22, ca daca y ∈ Hm(Ω), are loc :

||y − yN ||H ≤ c1N−m, m ∈ Z∗, c1 > 0. (1.33)

Din a doua inegalitate din teorema 1.21, sectiunea 1.2.3, deducem ca pentruyd ∈ Hm(Ω) ∩H1

0 (Ω) este adevarata expresia:

||yd − π1,0N yd||H ≤ c2N

−m, m ∈ Z∗, c2 > 0. (1.34)

Cum seminorma | · |H1(Ω) este echivalenta cu norma pe H1(Ω) pentru ele-mente din V = H1

0 (Ω), ın cazul ın care y∗ ∈ Hm(Ω)∩H10 (Ω), obtinem, folosind

prima estimare din teorema 1.21, urmatorul rezultat:

||y∗ − π1,0N y∗||V ≤ c3N

1−m, m ∈ Z∗, c3 > 0. (1.35)

Acum, suntem ın masura sa introducem urmatoarele estimari:

42

Page 44: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Teorema 1.25. Fie [u∗, y∗] perechea optimala a problemei (P ∗) si u∗N controluloptimal pentru problema (P ∗N ). Daca yd, y

∗ ∈ Hm(Ω)⋂

H10 (Ω), pentru m ∈ Z∗,

atunci are loc:||u∗ − u∗N ||L2(Ω) = O(N−m).

Teorema 1.26. Fie y∗ starea optimala a problemei (P ∗) si y∗N starea optimalapentru problema (P ∗N ). Atunci, daca yd, y

∗ ∈ Hm(Ω)⋂

H10 (Ω) pentru m ∈ Z∗,

are loc:||y∗ − rN ||L2(Ω) = O(N−m),

unde rN este solutia ecuatiei (1.27) si

||y∗ − y∗N ||H1(Ω) = O(N1−m).

Teorema 1.27. Fie [u∗, y∗] si [u∗N , y∗N ] perechile optimale pentru (P ∗) si (P ∗N ).In ipotezele teoremei 1.25 avem

|J(y∗, u∗)− JN (y∗N , u∗N )| = O(N1−m).

Demonstratiile ultimilor trei rezultate pot fi consultate ın [11], sectiunea 6.

1.3.4 Un algoritm numeric si rezultatele numerice obtinute Pentrutestele numerice efectuate, am luat

yd = (1− x2)(x6 + x2 + 1).

Introducem din nou o baza pe spatiul P 0N (Ω) astfel ıncat

P 0N (−1, 1) = spanψ1, ψ2, ..., ψN−1,

cu ψj = (1 − x2)L′j(x), ∀ j = 1, 2, ..., N − 1, unde Lj reprezinta polinomul Le-gendre de grad j. Astfel, dupa cum am vazut ın sectiunea 1.2.5, folosind metodade colocatie, stim sa determinam solutiile problemelor (SEN ) si (AEN ).

In continuare, prezentam pas cu pas, un algoritm cu ajutorul caruia amobtinut solutiile numerice pentru problema (P ∗N )

Algoritm ALG(S0) Se alege u

(0)N ∈ Un si se fixeaza k = 0.

(S1) Se calculeaza y(k)N din (SEN ).

(S2) Se calculeaza p(k)N din (AEN ).

(S3) Se calculeaza g(k) = ∇Φ(u(k)N ) = u

(k)N + p

(k)N , unde Φ este funtionala de

cost : Φ(uN ) = JN (yN , uN ).(S4) Se calculeaza ρk ≥ 0, solutia problemei de minimizare :

minΦ(u(k)N − ρkg(k)), ρk ≥ 0 =

43

Page 45: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

= minΦ((1− ρk)u(k)N − ρkp

(k)N ), ρk ≥ 0

Se alege u(k+1) = (1− ρk)u(k)N − ρkp

(k)N .

(S5) Conditia de oprire :

Daca |Φ(u(k))−Φ(u(k−1))| < ε, atunci algoritmul se opreste, furnizand solutiau = u(k), ın caz contrar k = k + 1 si se reia procedeul de la pasul (S1).

A fost dificil de gasit un control initial adecvat pentru startarea algoritmuluiALG. Am cautat sa ımbunatatim performantele functionalei de cost, aleganddiferite valori constante pozitive pentru u

(0)N , care le-am notat cu R.

In tabelul urmator, putem observa valori ale lui Φ respectiv Φ1, corespunzatoareunor valori R crescatoare si pentru N = 21, unde Φ1 = 1

2 ||yN − π1,0N yd||L2(Ω)2 .

R Φ Φ1R = 1 Φ = 500.774 Φ1 = 499.774R = 2 Φ = 487.610 Φ1 = 483.610R = 32 Φ = 1146.26 Φ1 = 122.255R = 64 Φ = 4096.40 Φ1 = 0.39500R = 128 Φ = 16956.9 Φ1 = 572.942

Am ıncercat sa gasim valori mai bune pentru Φ. Astfel, am folosit metodaAzimuth Mark(numita si metoda mirei) ın raport cu R. Pentru o descriere de-taliata a acestei proceduri vezi [59]. Am folosit doua strategii: una ın care nune-a interesat marimea controlui si cealata ın care u a fost luat ın calcul. Astfelam avut conditii de oprire diferite pentru ALG:

(I) |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)

N )| < 0.001,

(II) |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)

N )| < 0.001.

Am obtinut urmatoarele rezultate :

I.-dupa 25 de iteratii, cu metoda mirei am obtinut R = 62, 332, Φ1N (u(0)N ) =

0.0256, ||y(0)N − yd||max = 0.2657, ΦN (u(0)

N ) = 3885.31.

II.-dupa 20 de iteratii, cu metoda mirei am obtinut R = 7.309, ΦN (u(0)N ) =

509.098, ||y(0)N − yd||max = 27.2046, Φ1N (u(0)

N ) = 455.669.

In continuare, am modificat formula de cautare pentru u(k+1)N , datorita valo-

rilor mici ale lui p(k)N obtinute si astfel algoritmul ALG s-a modificat. Pasul S3 a

fost eliminat, iar pasul (S4) a devenit:(S4) Se calculeaza ρk ≥ 0, solutia problemei de minimizare:

minΦ(u(k)N − ρkp

(k)N ), ρk ≥ 0

Se alege u(k+1) = u(k)N − ρkp

(k)N .

44

Page 46: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Aproximarea ecuatiilor eliptice si aplicatii la probleme de control optimal

Rezultatele obtinute ın baza algoritmului ALG sunt:

I. In acest caz am folosit doua conditii de oprire diferite

a. |Φ1(u(k+1)N )− Φ1(u(k)

N )| < 0.001 -dupa 3 iteratii:

uN (i) = 62.37, 62.47, 62.61, ..., 62.61, 62.47, 62.37.

Φ1N (uN ) = 0.0218, ||y(0)N − yd||max = 0.2592,

ΦN (uN ) = 3891.85.

b. |Φ(u(k+1)N )− Φ(u(k)

N )| < 0.001 -dupa 2 iteratii:

uN (i) = 62.35, 62.40, 62.46, , ..., 62.46, 62.40, 62.35.

ΦN (uN ) = 3884.24, ||y(0)N − yd||max = 0.2689

Φ1N (uN ) = 0.02395.

II.-dupa 2 iteratii:

uN (i) = 7.34, 7.43, 7.56, ..., 7.56, 7.43, 7.34.

ΦN (uN ) = 453.764, ||y(0)N − yd||max = 26.626,

Φ1N (uN ) = 385.931.

Observam ca numarul de iteratii necesare convergentei procedurii ALG esteextrem de mic, datorita metodei mirei folosite la pasul S0. De asemenea, retinemca structura controlului initial este modificata pe parcursul algoritmului ALG.

Pentru un algoritm similar, facem trimitere la [10]. Urmatorul obiectiv esterezolvarea cazului ın care controlul este restrictionat, pentru cazurile 1D si 2D.Pentru cazul bidimensional, problema de control corespunde unui fenomen fizic,prin care o bara fixata la ambele capete este deformata de o forta transversalau(x)dx pe unitatea de suprafata dx, pentru a o aduce la forma dorita yd.

45

Page 47: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2 Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Problemele cu frontiera libera constituie un subiect modern de cercetare mate-matica, caracterizat prin aparitia unor frontiere a caror pozitie este necunoscutaapriori. Aceasta categorie de probleme a beneficiat de un interes redus pana decurand, cand, ın anii saizeci- saptezeci, abordarea moderna a teoriei ecutiilor cuderivate partiale a condus la dezvoltarea unor noi metode de studiu. In ultimeledecenii, atentia deosebita a cercetatorilor fata de acest sector l-a confirmat caun domeniu interdisciplinar important ce cuprinde subiecte de modelare mate-matica, ecuatii diferentiale, ecuatii cu derivate partiale, analiza numerica, calculvariational, control optimal, etc.

In acest capitol am realizat un studiu pentru doua astfel de probleme. Primadintre ele este cunoscuta sub numele de problema Stefan inversa. Modelul mate-matic este o problema de control optimal si se vizeaza conducerea unui proces desolidificare (topire) ın concordanta cu anumiti parametri prescrisi. Am consideratcazul problemei cu o faza, tratat cu o metoda cu domeniu necilindric si cazulproblemei cu doua faze tratat cu domeniu cilindric. In cazul celei de-a douaprobleme, modelul matematic corespunzator consta dintr-un sistem de ecuatii cuderivate partiale parabolice semiliniare si caracterizeaza un fenomen ecologic demigratie a unor populatii de tip prada-pradator. Existenta si unicitatea solutiilorclasice, ın cazul ambelor probleme, sunt cunoscute. Luand ın calcul dinamicasistemelor, am construit algoritmi, ce au contribuit la rezolvarea numerica aproblemelor propuse ın cazul 1D, iar rezultatele obtinute sunt prezentate ıncontinuare.

Problema Stefan

Modelul standard pentru problema Stefan se refera la un proces de solidificare aunui lichid(apa), sau la un proces de topire a unui solid(gheata). Domeniul Ω ⊂R2 este alcatuit din doua parti: Ω1(t) este domeniul ce corespunde fazei solide iarΩ2(t) fazei lichide. Interfata dintre cele doua faze este notata cu S(t). Frontieraıntregului domeniu este ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2. In interiorul suprafetei delimitate deΓ1 se afla un dispozitiv, ce antreneaza procesul de solidificare sau topire prinmodificarea temperaturii Γ1. Prin urmare, S(t) este ıntr-o permanenta miscaresi de aceea poarta numele de frontiera libera (vezi figura 4). Fie Ts temperaturade solidificare (topire) si T1(x, t) temperatura fazei solide pentru t ∈ (0, T ) six ∈ Ω1(t). Temperatura T1 satisface urmatoarele ecuatii:

∂T1∂t (t, x)−∆T1(t, x) = 0, (t, x) ∈ Q1 = (0, T )×

(∪r∈(0,T )Ω1(r)

),

T1(t, x) = v0(t, x), (t, x) ∈ Σ1 = (0, T )× Γ1,T1(t, x) = Ts, (t, x) ∈ (0, T )× S(t),T1(0, x) = T0(x), x ∈ Ω1(0),

∂T1∂n = Lv · n, pe S(t).

46

Page 48: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 4. Frontiera libera S(t) dintre cele doua faze Ω1(t), Ω2(t)

Ultima ecuatie este o conditie de curgere pe suprafata S(t), v · n reprezintaviteza normala de ınaintare a frontierei libere, iar L este o constanta. Funtia v0

corespunde unei temperaturi date astfel ıncat v0 ≤ Ts si T0(x) este temperaturainitiala a fazei solide.

In faza lichida avem

T2(t, x) = Ts, (t, x) ∈ Q2 = (0, T )×( ⋃

r∈(0,T )

Ω2(r))

.

Vrem sa obtinem temperatura la frontiera S(t) egala cu 0. Pentru asta, facemurmatoarea schimbare de variabila

θi(t, x) = Ts − Ti(t, x), i = 1, 2.

Astfel ecuatiile ce caracterizeaza procesul fizic devin

∂θ1∂t (t, x)−∆θ1(t, x) = 0, (t, x) ∈ Q1

θ1(t, x) = w0(t, x), (t, x) ∈ Σ1,θ1(t, x) = 0, pe S(t),θ1(0, x) = θ0(x), x ∈ Ω1(0),θ2(t, x) = 0, (t, x) ∈ Q2,

∂θ1∂n = −Lv · n, pe S(t),

unde w0(t, x) = Ts − v0(t, x) ≥ 0 si θ0(x) = Ts − T0(x) ≥ 0.Aminitim ca aceasta problema poate fi interpretata si ca o inegalitate parabolica

variationala (e.g. [17], p. 284).

47

Page 49: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2.1 Problema Stefan cu o faza ın cazul unidimensional

Fie a < b < c si T > 0 , Ω = (a, c) , Γ1 = c si Γ2 = a.Fie x = s(t), ecuatia frontierei libere astfel ıncat s(0) = b.Temperatura θ(t, x) satisface urmatoarele ecuatii:

∂θ

∂t(t, x)− ∂2θ

∂x2(t, x) = 0, t ∈ [0, T ], s(t) < x < c, (2.1)

∂θ

∂x(t, c) + αθ(t, c) = −v(t), t ∈ [0, T ], (2.2)

∂θ

∂x(t, s(t)) = ρs′(t), t ∈ [0, T ], (2.3)

θ(0, x) = θ0(x), x ∈ [b, c], (2.4)

Aici α ≥ 0 si ρ > 0 sunt constante date, iar θ0 este o functie data, astfelıncat:

θ0(x) ≤ 0, ∀x ∈ [b, c].

La momentul t = 0, segmentul de lichid Ω2(0) este [a, b], segmentul de solidΩ1(0) este [b, c], iar punctul b reprezinta interfata. Functia v corespunde tem-peraturii mediului ınconjurator ın punctul x = c si este manipulata de un sistemde racire descris de ecuatia:

v′(t) + γv(t) = u(t), a.p.t. t ∈ [0, T ],v(0) = 0.

(2.5)

Aici γ ≥ 0 este constanta, iar u(t) ∈ [0, R] reprezinta consumul de combustibil.

2.1.1 Problema Stefan inversa si problema de control optimal cores-punzatoare Fie x = l(t) o functie monoton descrescatoare de clasa C1[0, T ],astfel ıncat l(0) = b si

Q = (t, x) ∈ (0, T )×Ω; l(t) < x < c.Problema Stefan inversa poate fi formulata dupa cum urmeaza: sa se deter-

mine controlul u, ce apartine unei multimi admisibile de controale

U = u ∈ L∞(0, T ); 0 ≤ u(t) ≤ R a.p.t. t ∈ [0, T ],astfel ıncat curba data l = s sa fie interfata dintre cele doua faze.

Temperatura y(t, x) trebuie sa satisfaca ecuatiile (2.1)-(2.4):

y(t, x)− yxx(t, x) = 0, t ∈ [0, T ], (t, x) ∈ Q, (2.6)

yx(t, c) + αy(t, c) = −v(t), t ∈ [0, T ], (2.7)

48

Page 50: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

a lichid b c 0

T

x=l(t)

t

x solid

Fig. 5. Frontiera libera l(t) dintre cele doua faze

yx(t, l(t)) = ρl′(t), t ∈ [0, T ], (2.8)

y(0, x) = y0(x), x ∈ [b, c], (2.9)

Pe frontiera ce separa cele doua faze, y satisface:

(t, x); y(t, x) = 0(vezi figura 5)

Rezultatele de existenta si regularitate pentru problema (2.6)-(2.9) sunt binecunoscute. De exemplu, daca v ∈ H1(0, t; L2(Γ )) si y0 ∈ H1(Ω), atunci solutiay ∈ H1(Q) este unica (vezi [36]).

Pentru orice u ∈ U , fie yu solutia problemei (2.5)-(2.9). Problema Stefaninversa poate fi formulata ın y astfel:

Sa se determine u ∈ U astfel ıncatyu(t, l(t)) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. (2.10)

Cu metoda celor mai mici patrate se obtine urmatoarea problema de controloptimal :

(P ) inf T∫

0

y2u(t, l(t))dt, u ∈ U

Controlul este consumul de combustibil u, starea este temperatura y si sis-temul de stare este dat de ecuatiile (2.5)-(2.9).

Propozitie 2.1. Problema de control optimal (P) admite cel putin o solutieu∗ ∈ U(vezi [58], p. 50-51 sau [9]).

49

Page 51: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2.1.2 Conditiile necesare de optimalitate Fie (u, v, y) perechea cores-punzatoare sistemului de stare si (u+λw, v+λθ, y+λz) perechea corespunzatoaresistemului ın variatie. Prin scadere obtinem ecuatiile urmatoare:

zt(t, x)− zxx(t, x) = 0, [t, x] ∈ Q, (2.11)

zx(t, c) + αz(t, c) = −θ(t), t ∈ [0, T ], (2.12)

zx(t, l(t)) = 0, t ∈ [0, t], (2.13)

z0(x) = 0, x ∈ [b, c]. (2.14)

Din (2.5) avem ca:

θ′(t) + γθ(t) = w(t), a.p.t. t ∈ [0, T ],θ(0) = 0.

(2.15)

Introducem functionala de cost:

J(u) =12

T∫

0

y2u(t, l(t))dt + IU (u), (2.16)

unde IU este functia indicatoare multimii U (vezi exemplu A.31). Fie u solutiaproblemei (P ). Asadar avem:

J(u + λw)− J(U))λ

≥ 0 pentru λ > 0.

Utilizand formula (2.16) si pentru λ → 0 obtinem

T∫

0

y(t, l(t))z(t, l(t))dt + I ′+U (u, w) ≥ 0, ∀w ∈ L2(0, T ), (2.17)

unde prin I ′+U (u,w) am notat derivata directionala la dreapta (vezi definitiaA.2) a lui IU . Cum IU este convexa, existenta derivatei directionale la dreaptaeste asigurata de propozitia A.24.

Introducem sistemul adjunct:

pt(t, x) + pxx(t, x) = 0, [t, x] ∈ Q (2.18)

px(t, c) + αp(t, c) = 0, t ∈ [0, T ], (2.19)

px(t, l(t))− p(t, l(t))l′(t) = y(t, l(t)), t ∈ [0, T ] (2.20)

50

Page 52: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

p(T, x) = 0, x ∈ [a, c] (2.21)

Existenta si unicitatea solutiei p ∈ C(0, T ; L2(Ω)) este cunoscuta.Inmultim (2.11) cu p si integram peste Q. Folosind ecuatia (2.13) obtinem:

T∫

0

c∫

l(t)

ztp dx dt−T∫

0

c∫

l(t)

pxxz dx dt− (2.22)

−T∫

0

[zx(t, c)p(t, c)− z(t, c)px(t, c) + z(t, l(t))px(t, l(t))]dt = 0

Mai departe avem:

c∫

l(t)

ztp dx =d

dt

( c∫

l(t)

zp dx

)−

c∫

l(t)

zpt dx + z(t, l(t))p(t, l(t))l′(t)

Astfel (2.22) revine la

T∫

0

(z(t, c)px(t, c)− zx(t, c)p(t, c))dt−

−T∫

0

z(t, l(t))px(t, l(t))dt +

T∫

0

z(t, l(t))p(t, l(t))l′(t)dt = 0.

Din ultima ecuatie si din formulele (2.12),(2.19) si (2.20) gasim:

T∫

0

p(t, c)θ(t)dt =

T∫

0

y(t, l(t))z(t, l(t))dt.

Din (2.17) si din ecuatia de mai sus avem:

T∫

0

p(t, c)θ(t)dt + I ′+U (u,w) ≥ 0, ∀w ∈ L2(0, T ).

Cum solutia problemei (2.15) este:

θ(t) =

t∫

0

eγ(s−t)w(s)ds,

51

Page 53: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

ajungem laT∫

0

p(t, c)

( t∫

0

eγ(s−t)w(s)ds

)dt + I ′+U (u,w) ≥ 0, ∀w ∈ L2(0, T ). (2.23)

In continuare facem urmatoarele notatii

F (t) =∫ t

0

eγsw(s)ds si G(t) = p(t, c)e−γt.

Integrand prin parti obtinemT∫

0

p(t, c)

( t∫

0

eγ(s−t)w(s)ds

)dt =

∫ T

0

F (t)G(t)dt =

=∫ T

0

F (t)d

dt

(∫ t

0

G(s)ds

)dt = F (T )

∫ T

0

G(s)ds−∫ T

0

(∫ t

0

G(s)ds

)F ′(t)dt =

=∫ T

0

p(s, c)e−γsds ·∫ T

0

eγsw(s)ds−∫ T

0

(∫ t

0

p(s, c)e−γsds

)eγtw(t)dt =

=∫ T

0

eγtw(t)[∫ T

0

p(s, c)e−γsds−∫ t

0

p(s, c)e−γsds

]dt =

=∫ T

0

(∫ T

t

eγ(t−s)p(s, c)ds

)w(t)dt.

Mai departe ınlocuim ın (2.23) si obtinemT∫

0

(∫ T

t

eγ(t−s)p(s, c)ds

)w(t)dt + I ′+U (u,w) ≥ 0, ∀w ∈ L2(0, T ),

Daca notam q(t) =∫ T

teγ(t−s)p(s, c)ds avem

(q, w) + I ′+U (u,w) ≥ 0, pentru orice w ∈ L2(0, T ),

unde (·, ·) este produsul interior din L2(0, T ). Teorema A.29 afirma ca

I ′+U (u, w) = max(y, w); y ∈ ∂IU (u),de unde gasim

−q(t) ∈ ∂IU (u(t)) a.p.t. t ∈ [0, T ].

Acum facem apel la (A.7) si gasim

∂IU (u) = z; (z, v − u) ≤ 0, ∀v ∈ U,deci ∫ T

0

q(t)(v(t)− u(t))dt ≥ 0, ∀v ∈ U.

Din ultima formula obtinem

52

Page 54: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Propozitie 2.2. Controlul optimal u, corespunzator problemei (P ), satisface

u(t) =

R, daca q(t) < 0,0, daca q(t) > 0,

a.p.t. t ∈ [0, T ], unde R este cel din definitia lui U.Propozitia de mai sus aigura faptul ca u este un control de tip bang-bang.

Folosind un algoritm de tip Rosen, am obtinut urmatorul algoritm descendentpentru problema (P ).

Algoritm:

(S0): Se alege u(0); se fixeaza k = 0.(S1): Se calculeaza v(k) din (2.5):

v(k)t + γv(k) = u(k), t ∈ [0, T ],

v(k)(0) = 0.

(S2): Se calculeaza y(k) din (2.6)-(2.9) astfel:

y(k)t (t, x)− y(k)

xx (t, x) = 0, [t, x] ∈ Q,

y(k)x (t, c) + αy(k)(t, c) = −v(k)(t), t ∈ [0, T ],

y(k)x (t, l(t)) = ρl′(t), t ∈ [0, t],

y(k)(0, x) = y0(x), x ∈ [b, c].

(S3): Se calculeaza p(k) din (2.18)-(2.21)

p(k)t (t, x) + p(k)

xx (t, x) = 0, [t, x] ∈ Q,

p(k)x (t, c) + αp(k)(t, c) = 0, t ∈ [0, T ],

p(k)x (t, l(t))− p(k)(t, l(t))l′(t) = y(k)(t, l(t)), t ∈ [0, T ],

p(k)(T, x) = 0, x ∈ [a, c].

(S4): Se calculeaza q(k) din:

q(k)(t) =

T∫

t

eγ(t−s)p(k)(s, c)ds, pentru t ∈ [0, T ].

53

Page 55: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

(S5): Se calculeaza w(k) din:

w(k)(t) =

R, q(k)(t) < 0,0, q(k)(t) ≥ 0,

pentru t ∈ [0, T ].(S6): Se calculeaza λk ∈ [0, 1], solutia urmatoarei probleme de minimizare:

minλ

Φ(λu(k) + (1− λ)w(k)); λ ∈ [0, 1]

,

unde Φ este functionala de cost:

Φ(u) =

T∫

0

y2u(t, l(t))dt,

iar yu reprezinta starea corespunzatoare controlului u.Se alege u(k+1) = λku(k) + (1− λk)w(k).

(S7): Criteriul de oprire:Daca ‖ u(k+1) − u(k) ‖< ε, atunci algoritmul se opreste, iar u(k) este solutia

cautata. In caz contrar, k = k + 1 si se reia tot procedeul de la pasul S1 (ε esteprecizia dorita).

Daca intentionam sa calculam un control suboptimal de tip bang-bang, atuncipasul (S6) al algoritmului trebuie modificat. Se observa cu usurinta ca o combina-tie convexa de functii bang-bang nu este de tip bang-bang. Printr-o functie detip bang-bang ıntelegem :

ϕ : [0, T ] → 0, R, ϕ(t) ∈ 0, R, ∀t ∈ [0, T ].

Un punct ın care ϕ ısi schimba valoarea se numeste punct de schimbare. Pentrua pastra u(k+1) de tip bang-bang, vom folosi la pasul (S5) o combinatie convexaıntre punctele de schimbare ale functiilor u(k) si w(k). Mai multe informatii legatede tehnica punctelor de schimbare se pot gasi ın [38] si [10].

2.1.3 Implementarea algoritmului si rezultatele numerice obtinuteTestele numerice au fost facute cu urmatoarele valori: T = 1, a = 0, b = 1, c = 2,α = 1, ρ = 1, γ = 1, 3, l(t) = 1− t, N = 61, M = 31, y0(x) = (1− x)(2− x).

Am folosit metoda diferentelor finite pentru discretizare, iar reteaua de noduriechidistante este:

a = x1 < x2 < .... < xN = c, b = xn+1, N = 2n + 1,0 = t1 < t2 < .... < tM ,xj = a + (j − 1)dx, j = 1, .., N, dx = (c− a)/2n,ti = (i− 1)dt, i = 1, .., M, dt = T/(M − 1).

54

Page 56: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Datorita geometriei domeniului, pentru orice ti, am luat ın calcul doar acelevalori ale lui y, pentru care l(ti) ≤ x ≤ c. Astfel am construit un vector IS carecontine indexul primului nod de pe axa 0x folosit la pasul de timp t = ti, pentrui = 1, 2, ...,M .

Functia v de la pasul (S1) se obtine dupa urmatoarea formula:

v(t) =t∫0

eγ(s−t)u(s)ds = e−γtt∫0

eγsu(s)ds, t ∈ [0, T ],

v(ti) = e−γti

ti∫0

eγsu(s)ds, i = 1, 2, ..M.

Pentru aproximarea integralei am folosit metoda trapezelor.La pasul (S2), problema parabolica a fost rezolvata cu ajutorul unui algoritm

de timp ascendent. Am folosit o schema standard implicita. Se stie ca o astfelde schema este stabila, nefiind conditionata de alegerea retelei de puncte carediscretizeaza domeniul. Fie y

(i)j , p

(i)j , vi aproximari ale lui y(ti, xj), p(ti, xj) si

v(ti). Din conditia initiala (2.9) avem

y(1)j = y0(xj), j = n + 1, ..., 2n + 1.

Punctele xj , pentru j = n + 1, ..., 2n + 1, corespund lui x ∈ [b, c].Mai departe, cautam sa gasim valori ale lui y, la un moment de timp ti+1,

pe baza valorilor obtinute la pasul de timp ti. Discretizam ecuatia (2.6), folosinddezvoltarea ın serii Taylor

y(i+1)j − y

(i+1)j

dt=

y(i+1)j+1 − 2y

(i+1)j + y

(i+1)j−1

dx2. (2.24)

Presupunand ca valorile y(i)j sunt deja cunoscute, avem de calculat necunoscutele

y(i+1)j , pentru j = IS[i + 1], ..., 2n + 1. Notand h = dt

dx2 , rescriem ecuatia (2.24)

−hy(i+1)j−1 + (1 + 2h)y(i+1)

j − hy(i+1)j+1 = y

(i)j , j = IS[i + 1] + 1, ..., 2n. (2.25)

Sistemul de ecuatii liniare obtinut are un numar de ecuatii mai mic cudoi decat numarul necunoscutelor. Astfel, vom elimina necunoscutele y

(i+1)IS[i+1]

si y(i+1)2n+1 , folosind conditiile la frontiera. Discretizarea ecuatiei (2.7) conduce la

y(i+1)2n+1 − y

(i+1)2n

dx+ αy

(i+1)2n+1 = −vi+1,

de unde obtinem

y(i+1)2n+1 =

y(i+1)2n − dx · vi+1

1 + αdx. (2.26)

Introducem y(i+1)2n+1 din (2.26) ın ecuatia corespunzatoare lui j = 2n din sistemul

algebric (2.25) si gasim

−hy(i+1)2n−1 +

(1 + 2h− h

1 + αdx

)y(i+1)2n = y

(i)2n −

dxh

1 + αdxvi+1. (2.27)

55

Page 57: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Discretizand ecuatia (2.8) avem

1dx

(y(i+1)IS[i+1]+1 − y

(i+1)IS[i+1]

)= ρl′(ti+1)

si ajungem lay(i+1)IS[i+1] = y

(i+1)IS[i+1]+1 − ρl′(ti+1). (2.28)

Introducand y(i+1)IS[i+1] ın (2.25) pentru j = IS[i + 1] + 1, obtinem

(1 + h)y(i+1)IS[i+1]+1 − hy

(i+1)IS[i+1]+2 = y

(i)IS[i+1]+1 − ρhdxl′(ti+1). (2.29)

Acum, suntem ın masura sa rezolvam numeric sistemul (2.6)-(2.9), la pasul detimp ti+1. Mai ıntai, am folosit metoda lui Gauss si am gasit solutiile y

(i+1)IS[i+1]+1, ..,

y(i+1)2n , corespunzatoare sistemului algebric liniar format din ecuatiile (2.27),

(2.25), pentru j = IS[i + 1] + 2, ..., 2n − 1 si (2.29). Matricea sistemului estetridiagonala. Valorile y

(i+1)2n+1 si y

(i+1)IS[i+1] se calculeaza cu formulele (2.26) si (2.28).

La pasul (S3) avem de rezolvat sistemul adjunct (2.18)-(2.21). In acest cazam folosit un algoritm de timp descendent. Discretizarea sistemului a condus laun sistem de ecuatii cu o structura similara cu cea a sistemului obtinut la pasul(S2).

Din conditia finala (2.21) avem

p(M)j = 0, j = 1, 2, ..., 2n + 1.

Ne propunem sa gasim solutia p la pasul de timp ti, utilizand solutia p de lapasul ti+1. Discretizarea ecuatiei (2.18) pentru (t, x) = (ti+1, xj) este:

p(i+1)j − p

(i)j

dt+

p(i)j+1 − 2p

(i)j + p

(i)j−1

dx2= 0,

de unde obtinem

−hp(i)j−1 + (1 + 2h)p(i)

j − hp(i)j+1 = p

(i+1)j , j = IS[i] + 1, ..., 2n. (2.30)

Introducem discretizarea ecuatiei (2.19)

p(i)2n+1 − p

(i)2n

dx+ αp

(i)2n+1 = 0,

si gasim

p(i)2n+1 =

p(i)2n

1 + αdx. (2.31)

Introducem p(i)2n+1 din (2.31) ın (2.30), pentru j = 2n si gasim

−hp(i)2n−1 +

(1 + 2h− h

1 + αdx

)p(i)2n = p

(i+1)2n . (2.32)

56

Page 58: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Discretizarea ecuatiei (2.20) conduce la

p(i)IS[i]+1 − p

(i)IS[i]−1

2dx− p

(i)IS[i]l

′(ti) = y(i)IS[i],

unde p(i)IS[i]−1 reprezinta aproximarea lui p ın punctul (ti, xIS[i]−1), aflat ın afara

domeniului Q. Din aceasta ecuatie obtinem

p(i)IS[i]−1 = p

(i)IS[i]+1 − 2dx

(p(i)IS[i]l

′(ti) + y(i)IS[i]

). (2.33)

Scriem ecuatia (2.30) pentru j = IS[i]

−hp(i)IS[i]−1 + (1 + 2h)p(i)

IS[i] − hp(i)IS[i]+1 = p

(i+1)IS[i] .

Introducem p(i)IS[i]−1 din (2.33) ın expresia de mai sus si ajungem la

(1 + 2h + 2hdxl′(ti))p(i)IS[i] − 2hp

(i)IS[i]+1 = p

(i+1)IS[i] − 2hdxy

(i)IS[i]. (2.34)

Necunoscutele p(i)j sunt calculate astfel. Mai ıntai, folosim metoda lui Gauss

si rezolvam sistemul algebric liniar format din ecuatiile (2.34), (2.30), pentru j =IS[i] + 1, ..., 2n− 1 si (2.32), obtinand valorile p

(i)IS[i], .., p

(i)2n. In final, se determina

p(i)2n+1 din (2.31).

Functia q de la pasul (S4) se calculeaza dupa cum urmeaza:

q(ti) = eγti

T∫

ti

e−γsp(s, c)ds, i = 1, 2, ..M.

Rutina numerica folosita este similara cu cea utilizata la pasul S1.Am mentionat deja ca o combinatie convexa de functii de tip bang-bang nu

este o functie bang-bang. Astfel, la pasul (S6), vom utiliza combinatii convexede puncte de schimbare corespunzatoare functiilor u(k) si w(k). Pentru asta, vomintroduce o structura fixa de puncte de schimbare τi astfel:

τ1 = t1; τi = (ti−1 + ti)/2, i = 2, .., M ; τM+1 = tM ;

Functia control u : [0, T ] → R este definita dupa cum urmeaza:

u(t) = u(ti), ∀t ∈ [τi, τi+1)

Practic, pentru un control de tip bang-bang dat, punctele de schimbare reprezintasingurele puncte ın care u ısi poate schimba valoarea. Mai departe, procesul deminimizare este realizat folosindu-se un numar finit de valori pentru λ. Valorilefunctionalei de cost sunt calculate cu aceleiasi rutina folosita la pasul S1.

57

Page 59: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 6. Valorile funtionalei de cost pentru diverse valori crescatoare ale lui R ın cazulunui control constant, respectiv alternant.

Rezultate numerice A fost dificil sa gasim un control potrivit u0 pentrustartarea algoritmului. Am folosit doua strategii ın ıncercarea noastra:1). control constant de forma u(t) = R, ∀t ∈ [0, T ];2). control alternant de forma:

u(t) =

R, t ∈ [τi, τi+1)0, t ∈ [τi+1, τi+2),

cu i = 1, 3, 5, ...

Am facut mai multe ıncercari, iar rezultatele obtinute se gasesc ın tabeluldin figura 6.

Am remarcat ca odata cu cresterea cantitatii de combustibil R, se modifica sipozitia frontierei libere. Astfel faza solida se apropie de frontiera dorita. PentruR = 1024, aproape tot domeniul Q (exceptand 2 noduri) devine solid, dar tre-buie reamintit ca luam ın calcul doar faza solida. Mai mult, odata cu crestereacantitatii de carburant, valorile lui y pe frontiera dorita cresc. Acest fapt conducela cresterea functionalei de cost Φ dupa cum se poate observa si ın tabel.

Am ıncercat sa gasim valori mai bune pentru Φ. Am folosit metodaAzimuth Mark (e.g. [59]) ın raport cu R, atat ın cazul controlului constant catsi ın cazul controlului alternant. Procedura a fost urmatoarea: s-au localizat celemai mici valori ale lui Φ, iar valorile R corespunzatoare au fost notate prin r1

si r2 (r1 = 16, r2 = 32 pentru control constant, r1 = 32, r2 = 64 pentru controlalternant). Pentru pornirea algoritmului Azimuth Mark, am folosit (r1 + r2)/2pentru centrul mirei, r1 si r2 pentru capetele mirei si | r2 − r1 | /2 pentru razaei.

Am obtinut urmatoarele rezultate ın cazul algoritmului Azimuth Mark :1). control constant: dupa 21 de iteratii, R = 39.09375 si

Φ(u(0)) = 0.0649.

58

Page 60: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 7. Comportamentul frontierei libere ın cazul controlului constant.

2). control alternant: dupa 23 de iteratii, R = 78.2421875 si

Φ(u(0)) = 0.06508.

Cu controalele obtinute mai sus, am startat algoritmul de tip Rosen si amgasit :1). control constant: dupa 2 iteratii

u(t) =

39.09375, t ∈ [0, 0.45491)0, t ∈ [0.45491, 1]

w(t) =

39.09375 , t ∈ [0, 0.51666)0, t ∈ [0.5166, 1]

Valoarea optimala corespunzatoare este Φ∗ = 0.05758. In Figura 7 prezentamfrontiera libera corespunzatoare. Simbolurile din figura 7 reprezinta:A: faza lichida a domeniului;+: un punct de coordonate (ti, xj) pentru care y

(i)j > 0;

−: un punct de coordonate (ti, xj) pentru care y(i)j < 0;

0 : un punct de coordonate (ti, xj) pentru care y(i)j = 0;

2). control alternant: dupa 3 iteratii :

u(t) =

78.2421875, t ∈ [0, 0.153),0, t ∈ [0.153, 0.729)alternant, t ∈ [0.729, 1]

59

Page 61: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 8. Comportamentul frontierei libere ın cazul controlului alternant.

w(t) =

78.2421875, t ∈ [0, 0.216),0, t ∈ [0.216, 0.65)78.2421875, t ∈ [0.65, 0.983)0, t = 1.

Valoarea optimala corespunzatoare este Φ∗ = 0.01677. In Figura 8 este ilus-trata frontiera libera obtinuta.

Numarul de iteratii necesar algoritmului Rosen a fost foarte mic, datoritaalgoritmului Azimuth Mark folosit la pasul (S0). De asemenea, retinem ca al-goritmul Rosen modifica structura de puncte de schimbare a controlului u(0).Rezultatele au fost obtinute de programe Matlab.

60

Page 62: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2.2 Problema Stefan cu doua faze ın cazul unidimensional

Procesul fizic este descris ın paragraful introductiv al acestui capitol. De dataaceasta, evolutia temperaturii ın faza lichida este luata ın considerare. Ecuatiilecorespunzatoare sunt:

∂θ1

∂t(t, x)− χ1

∂2θ1

∂x2(t, x) = 0, t ∈ [0, T ], a < x < s(t),

∂θ2

∂t(t, x)− χ2

∂2θ2

∂x2(t, x) = 0, t ∈ [0, T ], s(t) < x < c,

θ1(t, s(t)) = θ2(t, s(t)), t ∈ [0, T ],

χ1∂θ1

∂x(t, s(t))− χ2

∂θ2

∂x(t, s(t)) = −ρs′(t), t ∈ [0, T ],

s(0) = b

θi(0, x) = θ0(x), x ∈ [a, b], i = 1, 2,

∂θ1

∂x(t, a) = 0, t ∈ [0, T ],

α∂θ2

∂x(t, c) + θ2(t, c) = −v(t), t ∈ v(t),

unde χ1, χ2, ρ si α sunt constante pozitive iar θ0 ∈ C1[a, c] este o functie data,astfel ıncat:

θ0(x) ≥ 0, x ∈ [a, b],θ0(x) ≤ 0, x ∈ [b, c]

Sistemul de racire v satisface ecuatia (2.5). Se stie (vezi [50]) ca problema demai sus este echivalenta cu:

(β(y))t − yxx = 0, t ∈ (0, T ), x ∈ (a, c) (2.35)yx(t, a) = 0, t ∈ [0, T ] (2.36)

αyx(t, c) + y(t, c) = −w(t), t ∈ [0, T ] (2.37)y(0, x) = y0(x), x ∈ [a, c] (2.38)

unde

y =

χ1θ1, y ≥ 0,χ2θ2, y < 0,

y0 =

χ1θ0, x ∈ [a, b],χ2θ0, x ∈ [b, c],

w = χ2v si β : R→ 2R este o multifunctie data prin:

β(r) =

r/χ1, r ≥ 0,

[−ρ, 0], r = 0,

r/χ2 − ρ, r < 0.

(2.39)

61

Page 63: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Ecuatia suprafetei care separa cele doua faze este

(t, x); y(t, x) = 0.Daca comparam acest model cu cel cu o singura faza, observam ca sun-

tem avantajati de forma cilindrica a domeniului Q. Pe de alta parte ınsa, vomıntampina serioase dificultati la implementarea multifuntiei β.

Vom ıncepe cu un rezultat de existenta si uncitate pentru problema (2.35)-(2.38). Vom considera o problema mai generala:

(β(y))t −∆y = f, pe Q = (0, T )×Ω,

∂y

∂ν= v1, pe Σ1 = (0, T )× Γ1,

α∂y

∂ν+ y = v2, pe Σ2 = (0, T )× Γ2,

y(0, x) = y0(x), x ∈ Ω.

(2.40)

Aici Ω = Ω2∪Ω1, cu Ω1 si Ω2 multimi deschise din Rn, cu frontierele netedeΓ1 si Γ2; β este multifunctia introdusa mai sus, f ∈ L2(Q), y0 ∈ L2(Ω), iarvi ∈ L2(Σi), pentru i = 1, 2, sunt functii date. In cazul particular n = 1 avemΩ1 = Ω2 = (a, c), Γ1 = a, Γ2 = c.

Definim operatorul A : H1(Ω) → (H1(Ω))′) astfel:

(Ay, z) =∫

Ω

∇y∇zdx + α−1

Γ2

yzdσ, ∀ y, z ∈ H1(Ω)

si f ∈ L2(0, T ; (H1(Ω))′ prin:

(f(t), z) =∫

Γ1

v1(t, σ)z(σ)dσ + α−1

Γ2

v2(t, σ)z(σ)dσ, ∀z ∈ H1(Ω).

Am notat cu (H1(Ω))′) dualul lui H1(Ω).Astfel rescriem problema (2.40) ın functie de A si f :

(β(y))t + Ay(t) = f(t), a.p.t. t ∈ [0, T ],y(0) = y0

(2.41)

unde d/dt este luat ın sensul teoriei distributiilor.

Teorema 2.3. Problema (2.41) admite o unica solutie y si satisface:

y ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞(0, T ; L2(Ω)),

β(y) ∈W 1,2(0, T ; (H1(Ω))′) ∩ L∞(0, T ; L2(Ω)).

62

Page 64: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Mai mult, daca vi ∈ W 1,2(0, T ; L2(Γi)), pentru i=1,2 si y0 ∈ H1Ω, atunci :

y ∈ W 1,2(0, T ; L2(Ω)) ∩ Cw(0, T ; H1(Ω))

si functia (v1, v2) → y este compacta din W 1,2(0, T ; L2(Γ1))×W 1,2(0, T ; L2(Γ2))ın C(0, T ; L2(Ω)).

Aici W 1,2(0, T ; X) este spatiul tuturor functiilor absolut continue φ : [0, T ] →X astfel ıncat dφ/dt ∈ L2(0, T ; X), iar X este un spatiu Hilbert real. In conti-nuare vom folosi urmatoarele notatii: C(0, T ; X)- spatiul functiilor tari continuedefinite pe [0, T ] → X si Cw(0, T ; X)- spatiul functilor slab continue.

Teorema 2.3 este echivalenta cu :

Teorema 2.4. Exista si sunt unice y ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) si z ∈ W 1,2(0, T ;(H1(Ω))′) ∩ L∞(0, T ; L2(Ω)) astfel ıncat:

zt + Ay = f, a.p.t. t ∈ [0, T ],z(0) = z0 ∈ β(y0), a.p.t. x ∈ [0, T ],

z(t, x) ∈ β(y(t, x)), a.p.t. (t, x) ∈ Q

(2.42)

Asa cum am mentionat anterior, principala problema a implementarii o con-stituie multifuntia β. Introducem un rezultat de regularitate. Fie βε o functiede clasa C∞, monoton crescatoare pe R astfel ıncat :

| jε(r)− j(r) |≤ Cε ∀r ∈ R (2.43)

unde jε si j sunt primitivele lui βε si β, iar C o constanta pozitiva. Mai mult,alegem βε astfel:

dβε

dr=

dr, pentru r < 0.

Dam un exemplu de functie care ındeplineste conditiile de mai sus, functiefolosita la rezolvarea numerica a problemei (2.35)-(2.38):

βε(r) =∫

R

(βε(r − εθ)− βε(−εθ))ρ(θ)dθ + βε(0),

unde

βε(r) =

χ−11 (r − ε) , r ≥ 2ε,

(ρε−1 + χ−11 )(r − ε)− ρ , r ∈ [ε, 2ε],

χ−12 (r − ε)− ρ , r ≤ ε

si ρ ∈ C∞0 (R).Introducem ecuatia:

(βε(yε))t + Ayε = f, t ∈ [0, T ],yε(0) = y0.

(2.44)

Din teorema 2.3 avem ca ecuatia (2.44) admite o unica solutie

yε ∈ W 1,2(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ; H1(Ω)).

63

Page 65: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Teorema 2.5. Fie yε solutia ecuatiei (2.44). Atunci pentru ε → 0 avem:

yε → y tare ın C(0, T ;L2(Ω)) si slab ın W 1,2(0, T ;L2(Ω))∩L∞(0, T ;H1(Ω)),βε(yε) → z slab ın L2(0, T ; L2(Ω)) si tare ın L2(0, T ; (H1(Ω))′), unde y estesolutia ecuatiei (2.41) si z ∈ β(y) a.p.t. (x, t) ∈ Q satisface ecuatia (2.42).Demonstratiile teoremelor 2.4 si 2.5 pot fi gasite ın [14].

2.2.1 Problema de control optimal La fel ca ın sectiunea 2.1.1, vom folosimetoda celor mai mici patrate pentru obtinerea problemei de control optimalcorespunzatoare problemei Stefan inversa.

Sistemul de stare este format din (2.35)-(2.38) ımpreuna cu ecuatia sistemuluide racire:

w′(t) + γw(t) = χ2u(t), a.p.t. t ∈ [0, T ]w(0) = 0.

(2.45)

Multimea controalelor admisibile este :

U = u ∈ L∞(0, T ); 0 ≤ u(t) ≤ R a.p.t. t ∈ [0, T ] (2.46)

Amintim ca y0 ∈ C1(a, c) cu

y0(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]y0(x) < 0, x ∈ [b, c]

Fie x = l(t) o functie monoton descrescatoare de clasa C1[0, T ] astfel ıncatl(0) = b (vezi figura 5). Din teorema 2.3, pentru fiecare u ∈ U exista yu ∈W 1,2(0, T ; L2(a, c))∩Cw(0, T ; H1(a, c) solutia sistemului de stare. Problema Ste-fan inversa se defineste astfel:

Sa se determine u ∈ U astfel ıncatyu(t, l(t)) = 0, ∀t ∈ [0, T ].

Cu ajutorul metodei celor mai mici patrate, ın continuare, rescriem problemade control optimal:

(P ) inf T∫

0

y2u(t, l(t))dt, u ∈ U

Teorema 2.6. Problema de control optimal (P ) admite cel putin o solutie u∗.

Demonstratie Fie Φ : L2(0, T ) → (−∞, +∞], data prin

Φ(u) = ∫ T

0y2

u(t, l(t))dt, pentru u ∈ U,+∞, u 6∈ U.

Introducem sirul un ∈ U astfel ıncat

φ∗ ≤ Φ(un) ≤ φ∗ +1n

, (2.47)

64

Page 66: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

cu φ∗ = infΦ(u); u ∈ U. Notam yn = yun . Conform teoremei 2.3, yneste compact ın C(0, T ; L2(a, c)). Pe de alta parte, cum yn este marginitın W 1,2(0, T ; L2(a, c)

⋂Cw(0, T ; H1(a, c)), este compact ın L2(0, T ; C[a, c]) (e.g.

[50], Teorema 5.1, Cap. I]). Astfel, extragem un subsir astfel ıncat

yn → y∗ tare ın C(0, T ;L2(a, c))⋃

L2(0, T ; C[a, c]),un → u∗ slab stelat ın L+∞(0, T ), cu u∗ ∈ U .

De aici gasim ca

yn(t, l(t)) → y∗(t, l(t)), a.p.t. t ∈ [0, T ].

Dar

|yn(t, l(t))| ≤ sup|yn(t, x)|; (t, x)) ∈ Q ≤ ||yn||L∞(0,T ;H1(a,c)) ≤ M,

de unde obtinem

y2n(t, l(t)) ⇒ (y∗)2(t, l(t)), pe L1(0, T ).

Folosind din nou teorema 2.3 ajungem la y∗ = yu∗ . Trecand la limita n → +∞ın (2.47), obtinem Φ(u∗) = infΦ(u); u ∈ U.

2.2.2 Aproximarea problemei de control optimal Pentru fiecare ε > 0,fie yu,ε solutia sistemului de stare (2.35)-(2.38), unde β este inlocuit cu βε, ofunctie neteda ce aproximeaza pe β si satisface atat (2.43) cat si problema:

(Pε) inf

T∫

0

y2u,ε(t, l(t))dt, u ∈ U

, unde U este multimea definita ın(2.46).

Fie uε o solutie a problemei (Pε) . Existenta acesteia este asigurata de teo-rema 2.6. In continuare vom folosi urmatoarea notatie yε = yu,ε.

Propozitie 2.7. Exista un subsir εn → 0 astfel ıncat au loc

uεn → u∗ slab stelat ın L∞(0, T ), (2.48)

yεn → y∗ slab ın W 1,2(0, T ; L2(a, c)),

slab stelat ın L∞(0, T ;H1(a, c)), (2.49)

tare ın C(0, T ; L2(a, c)) ∩ L2(0, T ; C[a, c]), (2.50)

unde u∗ este solutia problemei (P ) si y∗ = yu∗ .

65

Page 67: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Demonstratie Cum uε este slab stelat compact ın L∞(0, T ), exista un subsirεn si u∗ astfel ıncat sa aiba loc (2.48). Fie yε solutia sistemului de stare (2.35)-(2.38) corespunzatoare lui u = u ∈ U , cu β = βε. Atunci, are loc

∫ T

0

y2εn

(t, l(t))dt ≤∫ T

0

y2εn

(t, l(t))dt. (2.51)

Din teorema 2.5 si teorema 5.1, Cap. I din [50] obtinem

yε → y = yu slab ın W 1,2(0, T ; L2(a, c)) si

tare ın C(0, T ;L2(a, c)) ∩ L2(0, T ; C[a, c]).

Apelam din nou teorema 2.5 si gasim

yε → y∗ slab ın W 1,2(0, T ; L2(a, c)) si

tare ın C(0, T ;L2(a, c)) ∩ L2(0, T ; C[a, c]).

Trecem la limita εn → 0 ın (2.51) si obtinem∫ T

0

(y∗)2(t, l(t))dt ≤∫ T

0

y2u(t, l(t))dt.

Cum u este un element oarecare din U rezulta ca u∗ este solutia optimalapentru problema (P ).

2.2.3 Conditiile necesare de optimalitate Abordarea este similara cucea realizata ın cazul problemei Stefan cu o singura faza. Introducem urmatorulrezultat:

Teorema 2.8. Fie [uε, yε] o pereche optimala a problemei (Pε). Atunci exista

pε ∈ C(0, T ; L2(a, c)) ∩ L2(0, T ; (H1(a, c))′),

cu∂pε

∂t∈ L2(0, T ; (H1(a, c))′),

solutia sistemului:

∇βε(yε)(pε)t + (pε)xx = yεδ(x− l(t)), t ∈ (0, T ), x ∈ (a, c),(pε)x(t, a) = 0, t ∈ [0, T ],α(pε)x(t, c) + (pε)(t, c) = 0, t ∈ [0, T ],(pε)(T, x) = 0, x ∈ (a, c),

(2.52)

unde δ reprezinta masura Dirac, astfel ıncat

uε(t) =

R, q(t) < 00, q(t) > 0

(2.53)

66

Page 68: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

q(t) =

T∫

t

e−γ(s−t)pε(s, c)ds. (2.54)

(e.g [14], pag.153-157)

Algoritm numeric Pentru calcularea unui control suboptimal corespunzatorproblemei (Pε), am construit urmatorul algoritm numeric derivat dintr-un algo-ritm de tip Rosen. Mai ıntai, am observat ca sistemul adjunct (2.52) poate fiaproximat pentru λ → 0 astfel:

∇βε(yε)(pε)t + (pε)xx = yεgλ, t ∈ (0, T ), x ∈ (a, c)(pε)x(t, a) = 0, t ∈ [0, T ]α(pε)x(t, c) + (pε)(t, c) = 0, t ∈ [0, T ](pε)(T, x) = 0, x ∈ (a, c)

(2.55)

unde gλ reprezinta o aproximare neteda pentru δ(x− l(t) :

gλ(t, x) =

λ−1 exp(∣∣∣∣

x− l(t)l

∣∣∣∣2

− 1)−1

daca | x− l(t) |< l,

0 daca | x− l(t) |≥ λ.

Pentru orice ε, λ > 0 fixati , introducem urmatorul algoritm:Algoritm:

(S0)): Se alege u(0) ∈ U ; se fixeaza k = 0.(S1): Se calculeaza w(k) din (2.45):

w

(k)t + γw(k) = χ2u

(k), a.p.t. t ∈ [0, T ]

w(k)(0) = 0.(2.56)

(S2): Se calculeaza y(k) din sistemul:

(β(y(k)))t − y(k)xx = 0, t ∈ (0, T ), x ∈ (a, c), (2.57)

y(k)x (t, a) = 0, t ∈ [0, T ] (2.58)

αy(k)x (t, c) + y(k)(t, c) = −w(k)(t), t ∈ [0, T ] (2.59)

y(k)(0, x) = y0(x), x ∈ [a, c] (2.60)

(S3): Se determina p(k) din sistemul:

∇βε(y(k))(p(k))t + (p(k))xx = y(k)gλ, t ∈ (0, T ), x ∈ (a, c), (2.61)

(p(k))x(t, a) = 0, t ∈ [0, T ], (2.62)

67

Page 69: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

α(p(k))x(t, c) + (p(k))(t, c) = 0, t ∈ [0, T ], (2.63)

(p(k))(T, x) = 0, x ∈ (a, c). (2.64)

(S4): Se calculeaza q(k) din:

q(k)(t) =

T∫

t

e−γ(s−t)p(k)(s, c)ds, t ∈ [0, T ].

(S5): Se determina v(k) din:

v(k)(t) =

R, q(k)(t) < 00, q(k)(t) ≥ 0,

pentru t ∈ [0, T ].(S6): Se calculeaza µk ∈ [0, 1], solutia urmatoarei probleme de minimizare:

minΦ(µu(k) + (1− µ)w(k)); µ ∈ [0, 1],

unde Φ este functionala de cost corespunzatoare problemei(Pε):

Φ(u) =

T∫

0

y2u,ε(t, l(t))dt.

Se alege u(k+1) = µku(k) + (1− µk)v(k).(S7): Criteriul de oprire: Daca ‖ u(k+1) − u(k) ‖< ε, atunci algoritmul se

opreste, furnizand solutia u(k). Daca nu, k = k + 1 si reluam procedeul de lapasul S1 (ε este precizia dorita).

Asertiunile despre functii de tip bang-bang si despre punctele de schimbarefacute ın cazul algoritmului problemei Stefan cu o faza, se pastreaza si ın acestcaz.

2.2.4 Rezultate numerice Testele numerice au fost facute cu urmatoarelevalori:

a = 0, b = 0.5, c = 1, T = 1, γ = 1.3, α = 1, ε = 0.01, l = 0.45, χ1 = 0.2,

χ2 = 0.25, l(t) = b− t,N = 41,M = 41;

βε(r) =

χ−11 (r − ε), r ≥ 2ε,

χ2−χ1εχ1χ2

(r − 2ε)2 + χ−11 (r − ε) , r ∈ [ε, 2ε),

2χ1−χ2χ1χ2

(r − ε) + ε(χ2−χ1)χ1χ2

, r < ε.

68

Page 70: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Pentru discretizarea problemei am folosit metoda cu diferente finite. Dome-niul a fost acoperit de o retea de noduri echidistante

a = x1 < .. < xN = c, xj = a + (j − 1)dx, j = 1, .., N, dx = (c− a)/(N − 1),0 = t1 < .. < tM , ti = (i− 1)dt, i = 1, .., M, dt = T/(M − 1).

La pasul (S1), calculam solutia w cu formula

w(t) = χ2e−γt

∫ T

0

eγsu(s)ds, t ∈ [0, T ].

Aproximarea numerica a integralei a fost facuta cu metoda lui Simpson.Ca si ın sectiunea 2.1.3, introducem y

(i)j , p

(i)j , wi aproximarile lui y(ti, xj),

p(ti, xj) si w(ti). Ne ocupam de problema parabolica (2.57)-(2.60). Din conditiainitiala obtinem

y(1)j = y0(xj), j = 1, 2, .., N.

Folosind o schema implicita, discretizam ecuatiile (2.57)-(2.59) si gasim

∇βε(y(i)j )

y(i+1)j − y

(i)j

dt=

y(i+1)j+1 − 2y

(i+1)j + y

(i+1)j−1

dx2, j = 2, .., N − 1,

y(i+1)2 − y

(i)1

dx= 0,

αy(i+1)N − y

(i+1)N−1

dx+ y

(i+1)N = −wi+1.

(2.65)

Sistemul cu N − 2 ecuatii si N − 2 necunoscute a fost rezolvat cu metoda deeliminare a lui Gauss.

Sistemul de ecuatii care se obtine ın urma discretizarii (2.61)-(2.64) este

∇βε(y(i)j )

p(i+1)j − y

(i)j

dt+

p(i)j+1 − 2p

(i)j + y

(i)j−1

dx2=

= y(i)j gλ(ti−1, xj), j = 2, .., N − 1,

p(i)2 − y

(i)1

dx= 0,

αp(i)N − p

(i)N−1

dx+ p

(i)N = 0.

p(M)j = 0, j = 1, 2, .., N.

(2.66)

Matricea sistemului este tridiagonala avand o structura similara cu matriceasistemului obtinut la pasul (S3).

Integralele de la pasii S4 si S6 sunt aproximate cu aceeasi rutina numericautilizata la pasul (S1).

69

Page 71: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 9. Valorile funtionalei de cost pentru diverse valori crescatoare ale lui R ın cazulunui control constant, respectiv alternant.

Din datele din figura 9, pentru R = 16 si R = 32, avem cele mai bune valoriale functionalei de cost, ın cazul ın care controlul u este constant, iar pentrusituatia ın care controlul este alternant, valorile cele mai mici ale functionalei decost se obtin pentru R = 32 si R = 64. Notiunile de control constant, respectivalternant au fost introduse ın sectiunea 2.1.3. Cu aceste valori ale lui R amstartat algoritmul Azimuth-Mark folosit la pasul (S0).

Am obtinut urmatoarele rezultate ın cazul algoritmului Azimuth Mark:1). control constant: dupa 20 de iteratii, R = 28.6875 si

Φ(u(0)) = 0.011187.

2). control alternant: dupa 22 de iteratii, R = 57.3906 si

Φ(u(0)) = 0.011196

Cu aceste valori ale lui u0 am lansat algoritmul de tip Rosen si am gasit1). control constant: dupa 2 iteratii

u(t) =

28.6875, t ∈ [0, 0.7625)0, t ∈ [0.7625, 1],

Valoarea optimala corespunzatoare este Φ∗ = 0.011187. In Figura 10 esteproiectata solutia optimala obtinuta, cu specificatia ca interpretarea simbolurilordin imagine a fost deja introdusa ın sectiunea 2.1.3, singura diferenta fiind legatade simbolul A, care ın cazul de fata marcheaza frontiera dorita ıntre cele douafaze. In acesta situatie, valorile lui u ın punctele (t, l(t)) sunt pozitive.

2). control alternant: dupa 5 iteratii am obtinut urmatorul control optimal:

u(t) =

57.3906, t ∈ [0, 0.26073),0, t ∈ [0.26073, 0.44177),alternant, t ∈ [0.44177, 1].

70

Page 72: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 10. Comportamentul frontierei libere ın cazul controlului constant.

Fig. 11. Comportamentul frontierei libere ın cazul controlului alternant.

71

Page 73: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Valoarea optimala corespunzatoare este Φ∗ = 0.010752. In Figura 11 esteilustrata solutia optimala obtinuta.

In ciuda dificultatilor ıntampinate pentru realizarea algoritmului numeric ıncazul problema Stefan cu doua faze, efortul de programare a fost mai redus decatcel efectuat pentru problema Stefan cu o singura faza. In ansamblu, problemelepuse de domeniul necilindric au cantarit mai greu decat cele date de aproximarilenumerice ale multifunctiei β si functiei δ(x− l(t)).

Pentru problema Stefan cu doua faze, ın [14], gasim o comparatie a timpilorde lucru obtinuti, ın urma aplicarii unei scheme cu diferente finite implicitesimilara cu cea folosita aici, respectiv a unei scheme cu diferente finite explicite.

72

Page 74: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2.3 O problema cu frontiera libera pentru un sistem detip prada-pradator

In ultimii ani, modelele ecologice de tip prada-pradator au cunoscut o deosebitaatentie din partea cercetatorilor. Mai multe tipuri de sisteme au fost propuse,avand la baza urmatorul sistem de doua ecuatii de tip reactie difuzie:

Pt − d1∆P = P (a1 − b11P + c12Q), x ∈ Ω, t > 0,Qt − d2∆Q = Q(a2 − b21P − c22Q), x ∈ Ω, t > 0,

(2.67)

unde di, ai, bij , cij sunt constante pozitive, pentru i = 1, 2 si Ω ⊂ RN (N ≥ 1)este un domeniu marginit cu frontiera ∂Ω suficient de neteteda. Din punct devedere biologic, P (x, t) si Q(x, t) reprezinta densitatea speciilor pradator si pradaın locatia x ∈ Ω la momentul t ≥ 0. Populatiile interactioneaza si migreaza ınteritoriul Ω. Valorile di dau ratele de difuzie corespunzatoare, iar numerele realeai ratele de natalitate a celor doua specii. b11 si c22 sunt coeficienti intraspecificiiar b21 si c12 coeficienti interspecifici. In cazul ın care c12 este ınlocuit cu −c12,(2.67) devine binecunoscutul model competitional Lotka-Volterra.

2.3.1 Descrierea modelului Comportamentul asimptotic al populatiilor afost analizat ın literatura de specialitate mai ales ın cazul domeniilor cu frontierafixa. In cele ce urmeaza, vom presupune ca speciile de pradatori sunt limitateinitial la o parte a domeniului. Ca sa fim mai exacti, alegem cazul unidimen-sional. Consideram ca populatiile de tip prada migreaza ın habitatul (0, l) sipopulatiile de tip pradator sunt dispersate, prin difuzie aleatoare, doar ıntr-oparte a domeniului (0, l), 0 < x < h(t). Astfel, nu exista pradatori ın partearamasa.

Fie d1 rata de difuzie a pradatorilor. Atunci, populatia de pradatori caretraverseaza frontiera x = h(t), de la momentul t pana la momentul t + ∆t,este dat de J∆t = −d1(∂P/∂x)∆t. Acesti pradatori migreaza din x = h(t) lax = h(t+∆t) ın intervalul de timp [t, t+∆t] si astfel marimea populatiei decidelungimea h(t + ∆t)− h(t). Presupunem ca

−d1∂P

∂x∆t = f [h(t + ∆t)− h(t)],

deci functia f este crescatoare si f(0) = 0. Folosind dezvoltarea ın serii Taylor afunctiei f obtinem

f [h(t+∆t)−h(t)] = 0+ f′(0)[h(t+∆t)−h(t)]+

12f′′(0)[h(t + ∆t)− h(t)]2 + ...

de unde

−d1∂P

∂x= f

′(0)

[h(t + ∆t)− h(t)]∆t

+12f′′(0)

[h(t + ∆t)− h(t)]2

∆t+ ...

73

Page 75: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Trecand la limita ∆t → 0, ajungem la

−d1∂P

∂x= f

′(0)h

′(t).

Aici f′(0) este o constanta pozitiva, deoarece f este crescatoare si depinde de

rata de difuzie a pradatorilor ın partea domeniului unde nu exista pradatori.Daca f

′(0) este suficient de mare, atunci populatia de pradatori migreaza usor

ın noul teritoriu.Notand µ = d1/f

′(0), atunci conditiile pe frontiera libera sunt

P = 0, − µ∂P

∂x= h

′(t).

Daca ambele populatii nu ıncearca sa migreze din interior, atunci nu exista fluxal speciilor prin frontiera ∂Ω si conditiile la frontiera domeniului sunt de tipNeumann

∂P

∂x(0, t) =

∂Q

∂x(0, t) =

∂Q

∂x(0, t) = 0.

Astfel, avem urmatoarea problema cu necunoscutele P (x, t) si Q(x, t) si cu fron-tiera libera x = h(t)

(P )

Pt − d1Pxx = P (a1 − b11P + c12Q), 0 < x < h(t), t > 0,

Qt − d2Qxx = Q(a2 − b21P − c22Q), 0 < x < l, t > 0,

P (x, t) = 0, h(t) < x < l, t > 0,

P = 0, h′(t) = −µ∂P

∂x, x = h(t), t ≥ 0,

∂P

∂x(0, t) =

∂Q

∂x(0, t) =

∂Q

∂x(l, t) = 0, t > 0,

h(0) = b, (0 < b < l),P (x, 0) = P0(x) ≥ 0, 0 ≤ x ≤ b,

Q(x, 0) = Q0(x) ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l,

(2.68)(2.69)(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)(2.74)(2.75)

unde valorile initiale P0, Q0 sunt nenegative si satisfac P0(x) ∈ C2[0, b], P0(x) >0, pentru x ∈ [0, b), P

′0(x) < 0, pentru x ∈ [0, b], Q0(x) ∈ C2[0, l] si P

′0(0) =

Q′0(0) = Q

′0(l) = 0.

In absenta lui Q, problema se reduce la o problema Stefan cu o singura faza,cu modelul matematic corespunzator mai general decat cel introdus ın paragrafulde ınceput al acestui capitol. Existenta, unicitatea si comportamentul asimptotical solutiei sistemului (P ) sunt cunoscute (e.g. [69]).

Exista numeroase fenomene fizice care pot fi descrise ın modele matematice cufrontiera libera, dintre care amintim scaderea nivelului de oxigenıntr-un muschi ın apropierea unui tromb, gravarea metalelor, stabilirea preturiloroptiunilor Americane (vezi [39]), depozitarea vaporilor chimici ıntr-un reactorcu pereti fierbinti, procesarea imaginilor (e.g. [1]), vindecarea ranilor (e.g [26]),cresterea tumorilor (vezi [27] si [64]), distributia temperaturii ıntr-un ghetarsubpolar (vezi [23]), procese de ardere, etc.

74

Page 76: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

2.3.2 Aproximarea numerica Mai ıntai consideram T = 1, b = l2 . Testele

numerice au fost efectuate pentru T = 1, b = 1, l = 2.Discretizarea a fost realizata cu metoda diferentelor finite. In continuare in-

troducem reteaua de noduri echidistante:

0 = x1 < x2 < ... < x2n+1 = l, xn+1 = b; 0 = t1 < t2 < ... < tm+1 = T.

Mai mult, alegem : xj = (j − 1)∆x, j = 1, 2, ..., 2n + 1 cu ∆x = 1n , si

ti = (i− 1)∆t, i = 1, 2....,m + 1, cu ∆t = Tm .

Aproximarea numerica a problemei (P ) a fost realizata cu o schema standardimplicita din considerente legate de stabilitatea numerica a sulutiei. Fie P

(i)j si

Q(i)j aproximarile necunoscutelor P (ti, xj) si Q(ti, xj).

Mai ıntai vom determina frontiera libera h(ti+1), ınainte de calcularea solutieisistemului (P ), la pasul de timp ti. Vom cauta un interval [xp, xp+1], astfel ıncath(ti) ∈ [xp, xp+1]. Pe urma, ca nodurile de pe frontiera libera sa coincida cunodurile din retea, comparam distantele dintre h(ti+1) si xp respectiv h(ti+1) sixp+1. Distanta cea mai mica indica punctul xf , care reprezinta nodul din reteacorespunzator frontierei libere, la momentul ti+1.

Din conditiile pe frontiera libera (2.71) avem:

h(ti+1) = −µ∆t

∆x[P (xf , ti)− P (xf−1, ti)] + h(ti).

Folosind dezvoltarea ın serii Taylor obtinem, urmatoarele aproximari ale ecua-tiilor sistemului :

−d1∆tP(i+1)j−1 +(∆x2+2d1∆t−a1∆t∆x2)P (i+1)

j −∆t∆x2c12P(i+1)j+1 Q

(i+1)j+1 +

+b11∆t∆x2(P (i+1)j )2 − d1∆tPj+1 −∆x2P

(i)j = 0, j = 2, f − 1,

pentru prima ecuatie si

−d2∆tQ(i+1)j−1 +(∆x2 +2d2∆t−a2∆t∆x2)Q(i+1)

j +b21∆t∆x2Q(i+1)j+1 P

(i+1)j+1 +

+c22∆t∆x2(Q(i+1)j )2 − d2∆tQ

(i+1)j+1 −∆x2Q

(i)j = 0, j = 2, 2n,

pentru cea de a doua.Din discretizarea conditiilor la frontiera (2.72), se gasesc

Q(i+1)2 = Q

(i+1)1 ; Q

(i+1)2n+1 = Q

(i+1)2n ; P

(i+1)2 = P

(i+1)1 .

Mai mult, avem P(i+1)j = 0, j = f, 2n.

Folosind notatiile α1 = ∆x2+d2∆t−a2∆t∆x2, α2 = ∆x2+2d2∆t−a2∆t∆x2,β1 = ∆x2 + d1∆t − a1∆t∆x2 si β2 = ∆x2 + 2d1∆t − a1∆t∆x2, γ = ∆t∆x2,

75

Page 77: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

obtinem problema discreta:(Ph)

α1Q(i+1)2 + b21γQ

(i+1)2 P

(i+1)2 + c22γ(Q(i+1)

2 )2 − d2∆tQ(i+1)3 −∆x2Q

(i)2 = 0,

−d2∆tQ(i+1)j−1 + α2Q

(i+1)j + b21γQ

(i+1)j+1 P

(i+1)j+1 + c22γ(Q(i+1)

j )2−−d2∆tQ

(i+1)j+1 −∆x2Q

(i)j = 0, j = 3, 2n− 1,

−d2∆tQ(i+1)2n−1 + α1Q

(i+1)2n + b21γQ

(i+1)2n P

(i+1)2n + c22γ(Q(i+1)

2n )2 −∆x2Q(i)2n = 0,

β1P(i+1)2 − c12γP

(i+1)2 Q

(i+1)2 + b11γ(P (i+1)

2 )2 − d1∆tP(i+1)3 −∆x2P

(i)2 = 0,

−d1∆tP(i+1)j−1 + β2P

(i+1)j − c12γP

(i+1)j Q

(i+1)j + b11γ(P (i+1)

j )2−−d1∆tP

(i+1)j+1 −∆x2P

(i)j = 0, j = 3, f − 2,

−d1∆tP(i+1)f−2 + β2P

(i+1)f−1 − c12γP

(i+1)f−1 Q

(i+1)f−1 + b11γ(P (i+1)

f−1 )2 −∆x2P(i)f−1 = 0,

P(i+1)j = 0, j = f, 2n.

Acesta este un sistem algebric neliniar cu 4n− 2 necunoscute si 4n− 2 ecuatii.Aici am considerat si P

(i+1)j necunoscute, pentru j = f, .., 2n, desi ele sunt egale

cu 0. Motivul a fost formarea unui sistem algebric cu un numar de ecuatii egalcu numarul de necunoscute.

Pentru rezolvarea acestui sistem de ecuatii neliniare, vom folosi metoda Newton-Raphson. In continuare, introducem necunoscutele xi astfel:

xi = Qi+1, i = 1, 2n− 1; xj = Pj−(2n−2), j = 2n, 4n− 2Mai departe, rescriem problema (Ph) ın felul urmator :

fk(x1, x2, ..., x4n−2) = 0, k = 1, 4n− 2, (2.76)

unde fk reprezinta ecuatia (k) din sistemul discret.Daca notam cu X = (x1, x2, ..., x4n−2), atunci ıntr-o vecinatate a lui X,

fiecare functie fk poate fi dezvoltata ın serii Taylor astfel

fk(X + δX) = fk(X) +4n−2∑v=1

∂fk

∂xvδxv + O(δX2).

Neglijand termenii de ordin mai mare sau egal cu O(δX2), obtinem urmatorulsistem de ecuatii liniare ın δxv, corectii ce apropie toate functiile fk(X + δX) de0 simultan:

4n−2∑v=1

akvδxv = βk, k = 1, 4n− 2,

unde

akv =∂fk

∂xv; βk = −fk(X).

Acest sistem de ecuatii liniare a fost rezolvat cu o metoda directa. Corectiilesunt adaugate la vectorul solutie:

xnewi = xold

i + δxi.

76

Page 78: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Pentru a porni acest proces iterativ, trebuie sa alegem, la fiecare pas de timpti, o estimare initiala a solutiei sistemului, precum si o conditie de oprire, careın cazul nostru a fost

||δX||max ≤ 10−3.

In continuare, prezentam matricea Jacobiana

J =(

A BC D

),

unde:

A =

q2 q1 0 0 · · · · · · 0q1 q3 q1 0 · · · · · · 00 q1 q4 q1 0 · · · 00 0 q1 q5 q1 0 · · ·· · · · · · · · · . . . . . . . . . · · ·0 0 · · · · · · q1 q2n−1 q1

0 0 · · · · · · 0 q1 q2n

, B =

p2 0 · · · · · · 00 p3 0 · · · 0

· · · · · · . . . · · · · · ·0 · · · · · · p2n−1 00 0 · · · 0 p2n

,

C =

s2 0 · · · · · · · · · · · · · · · 00 s3 0 · · · · · · · · · · · · 0

· · · · · · . . . · · · · · · · · · · · · · · ·0 · · · · · · sf−2 0 · · · · · · 00 0 · · · 0 sf−1 0 · · · 00 · · · · · · · · · · · · 0 · · · · · ·0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0

, D =

r2 r1 0 0 · · · · · · · · · · · · 0r1 r3 r1 0 · · · · · · · · · · · · 00 r1 r4 r1 0 · · · · · · · · · 0

· · · · · · . . . . . . . . . · · · · · · · · ·0 0 · · · r1 rf−1 0 · · · · · · 00 0 · · · · · · 0 1 0 · · · 00 · · · · · · · · · · · · · · · 1 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

,

cu

q1 = −d2∆t,q2 = ∆x2 + d2∆t− a2∆t∆x2 + b21∆t∆x2P2 + 2c22∆t∆x2Q2,ql = ∆x2 + 2d2∆t− a2∆t∆x2 + b21∆t∆x2Pl + 2c22∆t∆x2Ql, l = 3, 2n− 1,

q2n = ∆x2 + d2∆t− a2∆t∆x2 + b21∆t∆x2P2n + 2c22∆t∆x2Q2n,pl = b21∆t∆x2Ql, l = 2, 2n,

sl = −∆t∆x2c12Pl, l = 2, f − 1,r1 = −d1∆t,r2 = ∆x2 + d1∆t− a1∆t∆x2 −∆t∆x2c12Q2 + 2b11∆t∆x2P2,

rl = ∆x2 + 2d1∆t− a1∆t∆x2 −∆t∆x2c12Ql + 2b11∆t∆x2Pl, l = 3, f − 1.

Observatie 2.9. (i) Structura matricilor C si D este diferita de cea a matricilorA si B datorita frontierei libere h(t).

(ii) Au loc urmatoarele rezultate de estimare a erorilor :

(i). ||Q(i)j −Q(xj , ti)||max = O(∆x2) + O(∆t), j = 1, 2n + 1, i = 2, n + 1,

77

Page 79: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

0

5

10

15

20

25

30

35

020

4060

80

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

Predator

X0

5

10

15

20

25

30

35

020

4060

80

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

T

Prey

X

dx=1/31 dt=1/31

Fig. 12. Profilul variabilelor de stare ın cazul populatiei prada(partea din stanga)respectiv populatiei pradator(partea dreapta)

(ii). ||P (i)j − P (xj , ti)||max = O(∆x2) + O(∆t), j = 1, 2n + 1, i = 2, n + 1,

deduse din dezvoltarea ın serii Taylor a lui Q(xj , ti) si P (xj , ti).

2.3.3 Rezultate numerice Testele numerice au fost efectuate pentru urma-toarele valori ale parametrilor: l = 2, T = 1, d1 = 0.31, d2 = 0.7, a1 = 0.5,a2 = 1.5, b11 = 0.9, c22 = 1.3, b21 = 0.4, c21 = 1, maxit = 100, eps = 0.001,µ = 0.35, k1 = 0.5, k2 = 1, b = 1, P0(b) = 0.3, n = m = 31.

Aici maxit reprezinta numarul maxim de iteratii permis si eps o valoareprestabilita, necesara criteriului de oprire ın cazul algoritmului Newton-Raphson.Pentru valorile initiale am folosit P0(x) = k1, pentru x1 ≤ x ≤ xn si Q0(x) = k2,pentru x1 ≤ x ≤ x2n+1. In figura 12 sunt ilustrate solutiile P si Q, precum sifrontiera libera h(t).

Am folosit metoda Newton-Raphson pentru rezolvarea sistemului neliniarobtinut. Cum am amintit si mai devreme acest algoritm are nevoie, la fiecarepas de timp, de valori initiale pentru solutiile Q si P . In cazul nostru, la pasulde timp ti+1, estimarile initiale folosite pentru Q si P au fost valorile acestora,obtinute la pasul precedent.

In continuare, analizand rezultatele ıntr-o maniera similara cu cea folositala problema Stefan, separand valorile lui P respectiv Q ın functie de valorileinitiale, observam o noua frontiera libera. Comportamentul acesteia este descrisın figura 13. Interpretarea simbolurilor din imagine este urmatoarea:

I : un punct din retea (ti, xj) astfel ıncat Q(ti, xj) = k1, P (ti, xj) = k2;+ : un punct din retea (ti, xj) astfel ıncat Q(ti, xj) > k1, P (ti, xj) > k2;− : un punct din retea (ti, xj) astfel ıncat Q(ti, xj) < k1, P (ti, xj) < k2;0 : un punct din retea (ti, xj) astfel ıncat P (ti, xj) = 0;

78

Page 80: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Probleme cu frontiera libera si aplicatii

Fig. 13. Frontiera libera corespunzatoare lui Q(t,x), respectiv P(t,x)

In continuare, ne propunem sa discretizam aceasta problema cu ajutorulmetodelor spectrale ın cazurile 1D si 2D. De asemenea, dorim sa extindem cadrulproblemei, intentionand sa plasam un control, cu scopul de a manipula compor-tamentul frontierei libere.

In cazul de fata, am considerat ca populatia de pradatori aflata ın preajmafrontierei libere contribuie esential la pozitia viitoare a acesteia. In [26] poatefi gasit un model matematic care descrie un proces de stimulare a densitatiicelulelor la nivelul corneei, ıntr-o regiune post traumatizata, cu conditii similarela frontiera libera. Daca tinem cont si de faptul ca densitatea populatiei prada,de la frontiera libera, influenteaza ın mod direct fluxul de pradatori, ceea ce esteın concordanta cu natura fenomenului ecologic studiat, am putea ımbunatatimodelul matematic folosit.

79

Page 81: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

3 Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Din punct de vedere cronologic, sistemele de tip reactie difuzie au fost introdusepentru descrierea reactiilor chimice caracterizate de transformarea reactantilorimplicati, ca urmare a interactiunii la nivel local si transportarea lor ın spatiuprin difuzie. In timp, acestea au ınceput sa serveasca drept model de referintapentru studiul unei palete largi de fenomene ıntalnite ın fizica, biologie, ecologie,etc, dintre care amintim : geneza formelor (ın engleza pattern formation), sepa-rarea semnalului, propagarea undelor neliniare, migratia populatiilor, dinamicahaosului, etc.

Rezolvarea numerica a unor astfel de sisteme implica o serie ıntreaga dedificultati cauzate ın principal de termenul de difuzie si de partea neliniara, carede regula induc variatii rapide ın solutie. In cele ce urmeaza, vom conveni sanumim stiff orice element sau parte a problemei care provoaca oscilatii mari ınsolutia numerica.

In acest capitol, am dezvoltat un studiu numeric ın care s-au comparat rezul-tatele obtinute ın cazul a patru modele de tip reactie-difuzie cu aplicatii ın chimiesi biochimie, folosind integratori exponentiali. Acestia au fost construiti pentrurezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale ordinare, ın care partea neliniaraeste separata de partea neliniara:

y′ = Ly + N(y, t), y(t0) = y0, (3.1)

unde y ∈ Cd+1, L ∈ C(d+1)×(d+1), N : C(d+1) × R → Cd+1 si d este unparametru de discretizare egal cu numrul punctelor din reteaua care acoperaspatiul. Multe ecuatii cu derivate partiale pot fi aduse sub aceasta forma ın urmasemidiscretizarii spatiului. Amintim aici ecuatiile Allen-Cahn, Burgers, Cahn-Hilliard, Kuramoto-Sivashinsky, Navier-Stockes, neliniare Schrodinger, etc, darsi sistemele corespunzatoare modelelor studiate ın acest capitol. De regula, dupacum vom vedea mai tarziu, ın urma discretizarii, se obtin ecuatii cu partea liniarastiff si cu parte neliniara nonstiff. Metodele implicite, care rezolva dificultatilegenerate de termeni de difuzie stiff, sunt deficitare, deoarece necesita un efortde implementare ridicat. Pe de alta parte, metodele explicite au nevoie de pasimici de timp si prin urmare timpul necesar obtinerii solutiilor este foarte mare.Din aceasta cauza se impunea cautarea unor metode viabile pentru rezolvareaproblemelor stiff.

Prima schema din categoria integratorilor exponentiali a fost introdusa ın1960 de Lawson. Acesta propunea o alternativa la metodele existente pentruabordarea oscilatiilor numerica. Ideea consta ın integrarea exacta a partii liniarea problemei, parte responsabila de instabilitate si ın folosirea unor aproximariadecvate pentru termenul neliniar. Astfel, ın interiorul schemelor apar functiiexponentiale, de unde si nevoia folosirii ordinatoarelor cu putere mare de calcul.Acesta reprezinta motivul pentru care integratorii exponentiali erau consideratiimpracticabili pana de curand, atunci cand progresul obtinut ın calculul aproxi-mativ al produsului dintre o functie exponentiala matriciala si un vector precumsi evolutia actuala a procesoarelor i-au readus ın atentie.

80

Page 82: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

In prima parte a capitolului reamintim cateva notiuni de baza ale seri-ilor Fourier, transformata Fourier, transformata Fourier inversa. Pe urma, vomintroduce o procedura numerica de estimare a coeficientilor din dezvoltareaFourier, cunoscuta sub numele de transformata Fourier discreta. Mai departe,daca alegem ca reteaua de puncte ce acopera domeniul spatial sa aiba un numarde puncte egal cu o putere a lui doi, putem folosi un algoritm mai eficient pentrucalcularea coeficientilor Fourier. Procedeul este cunoscut sub numele de transfor-mata Fourier rapida. In continuare, vom descrie metodele numerice din categoriaintegratorilor exponentiali si proprietatile acestora si vom introduce doua sistemecu reactii cinetice Gierer-Meinhardt si modelul Thomas. Pe urma, vom descrie unmodel ın care se urmareste un proces de conversie al glucozei ın acid lactic cu de-gajare de energie, respectiv un model ce caracterizeaza un lant de reactii chimiceıntre acidul malonic, un clorit, o clorura, iod si o iodura ın prezenta amidonului(pentru referirea la acest model vom folosi denumire CIMA, derivata din ter-minologia englezeasca a procesului vizat: the chlorite-iodide-malonic acid starchreaction). In ultima parte prezentam aproximarile numerice ale problemelor demai sus si rezultatele obtinute de programe Matlab, care folosesc pachetulEXPINT, descris pe larg ın [19].

3.1 Serii Fourier si transformata Fourier

3.1.1 Serii Fourier In aceasta sectiune vom opera cu functii cu valori com-plexe. Marea majoritate a rezultatelor prezentate ın continuare sunt fara demon-stratie. Fie X un spatiu cu masura.

Definitie 3.1. Spunem ca o functie f : X → C este integrabila pe X, dacapartea sa reala cat si partea imaginara sunt integrabile pe X.

Fie f(x) si g(x) doua functii din L2[a, b] complex. Introducem produsul scalar

< f, g >L2[a,b]=∫ b

a

f(x)g(x)dx

si norma asociata acestui produs scalar

||f ||L2[a,b] =< f, g >12L2[a,b],

unde |f(x)2| = [<f(x)]2 + [=f(x)]2. Inegalitatea lui Schwarz este valabila sipentru produsul scalar complex

| < f, g >L2[a,b] | ≤ ||f ||L2[a,b]||g||L2[a,b].

Definitie 3.2. Fie ϕn : [a, b] → C un sir de elemente nenule din L2[a, b].Spunem ca (ϕn)n∈N este un sistem ortogonal daca

< ϕn, ϕm >L2[a,b]=∫ b

a

ϕn(x)ϕm(x)dx = 0, ∀n 6= m.

81

Page 83: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Propozitie 3.3. (i) Sirul de functii

ϕn(x) = einπx/L, n = 0,±1,±2, ..., (3.2)

constituie un sistem ortogonal pe L2[−L,L]. El se numeste sistemul ortogonalexponential.

(ii) Sirul de functii

1, cosπx

L, sin

πx

L, ..., cos

nπx

L, sin

nπx

L, ... (3.3)

formeaza un sistem ortogonal pe L2[−L,L], numit sistem ortogonal trigonome-tric.

Demonstratie (i) Pentru m 6= n are loc

< ϕn, ϕm >L2[−L,L]=∫ L

−L

ϕn(x)ϕm(x)dx =∫ L

−L

ei(n−m)πx/Ldx =

=∫ L

−L

cos(

(n−m)πx

L

)dx + i

∫ L

−L

sin(

(n−m)πx

L

)dx = 0

Am folosit aici eiθ = cos θ + i sin θ. Mai mult, avem

< ϕn, ϕn >L2[−L,L]=∫ L

−L

ϕn(x)ϕn(x)dx =∫ L

−L

einπx/Le−inπx/Ldx = 2L.

(ii) Ortogonalitatea sistemului trigonometric rezulta imediat din

∫ L

−L

sinnπx

Lcos

mπx

Ldx = 0,

∫ L

−L

sinnπx

Lsin

mπx

Ldx =

∫ L

−L

cosnπx

Lcos

nπx

Ldx =

=

0, pentru n 6= m,L, pentru n = m,

unde m, n ∈ N.

Fie (ϕn)n∈N un sistem ortogonal ın L2[a, b] si f ∈ L2[a, b], astfel ca

f(x) =∞∑

n=1

cnϕn(x), x ∈ [a, b], (3.4)

unde cn ∈ C si n ∈ N.

82

Page 84: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Daca ınmultim ambii membri ai relatiei (3.4) cu ϕm si integram formal egali-tatea obtinuta, utilizand si ortogonalitatea sistemului (ϕn), gasim

< f, ϕm >L2[a,b]=∫ b

a

fϕmdx =∫ b

a

( ∞∑n=1

cnϕn

)ϕmdx =

=∞∑

n=1

cn

∫ b

a

ϕnϕmdx = cm||ϕm||2L2[a,b],

de unde rezulta

cm =< f,ϕm >L2[a,b]

||ϕm||2L2[a,b]

, ∀m ∈ N. (3.5)

Consideratiile de mai sus justifica introducerea urmatoarelor notiuni:

Definitie 3.4. Fie f : [a, b] → C din L2[a, b] si (ϕn)n∈N un sistem ortogonal ınL2[a, b]. Seria

∑∞n=1 cnϕn, unde cn sunt dati prin (3.5), se numeste seria Fourier

asociata functiei f , iar numerele complexe cn se numesc coeficientii Fourier aifunctiei f ın raport cu (ϕn).

Observatie 3.5. (i) Daca f ∈ L2[−L,L], iar (ϕn) este sistemul exponential(3.2), atunci coeficientii Fourier ai functiei f sunt dati prin

cn =1

2L

∫ L

−L

f(x)e−inπx/Ldx, n = 0,±1,±2, ... (3.6)

iar seria Fourier asociata lui f are forma

∞∑n=−∞

cneinπx/L. (3.7)

(ii) Daca f ∈ L2[−L,L], iar (ϕn) este sistemul trigonometric (3.3), atuncicoeficientii Fourier ai functiei f sunt dati prin

an =1L

∫ L

−L

f(x) cos(nπx

L)dx, bn =

1L

∫ L

−L

f(x) sin(nπx

L)dx, n = 0,±1,±2, ...

(3.8)iar seria Fourier asociata lui f are forma

a0

2+

∞∑n=1

(an cos(

nπx

L) + bn sin(

nπx

L))

. (3.9)

Daca functia f ia valori reale, atunci an, bn sunt reali, pentru n = 0, 1, 2, ..si orice suma partiala a seriei (3.9) este un polinom trigonometric. De asemeneaare loc

cneinπx/L + c−ne−inπx/L = an cos(nπx

L) + bn sin(

nπx

L), ∀n ∈ N.

83

Page 85: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Definitie 3.6. Spunem ca un sistem ortogonal (ϕn) este ortonormal daca sa-tisface ın plus conditia

||ϕn||2 =∫ b

a

|ϕn(x)|2dx = 1, n ∈ N.

Daca (ϕn) este un sistem ortonormal, atunci coeficientii Fourier ai unei functiif ∈ L2[a, b] ın raport cu (ϕn) sunt dati prin

cn =< f,ϕn >, n ∈ N.

De regula, ın practica se folosesc sistemele ortonormale. Astfel este util saconsideram odata cu sistemele ortogonale (3.2) si (3.3) si sistemele ortonormalecorespunzatoare

ϕ1(x) =1√2L

, ϕ2n =e−inπx/L

√2L

, ϕ2n+1 =einπx/L

√2L

, x ∈ [−L,L], n ∈ N, (3.10)

numit sistemul ortonormal exponential, respectiv

ϕ1(x) =1√2L

, ϕ2n =sin(nπx/L)√

L, ϕ2n+1 =

cos(nπx/L)√L

, x ∈ [−L,L], n ∈ N,

(3.11)numit sistemul ortonormal trigonometric.

Definitie 3.7. Spunem ca un sistem ortonormal (ϕn) este total daca

< f, ϕn >L2[a,b]= 0, pentru orice n ∈ N, atrage f = 0 a.p.t x ∈ [a, b].

Se stie ca sistemul ortonormal exponential (3.10) si sistemul ortonormaltrigonometric (3.11) sunt totale ın L2[−L,L].

Teorema 3.8. Daca ϕn este un sistem ortonormal ın L2[a, b], atunci urmatoareleafirmatii sunt echivalente:(i) (ϕn) este un sistem total;(ii) ∀f ∈ L2[a, b], seria Fourier asociata lui f are ca suma, ın sensul normei luiL2[a, b], ınsasi functia f ;(iii) pentru orice f ∈ L2[a, b] are loc egalitatea

||f ||L2[a,b] =∞∑

n=1

|cn|2,

numita egalitatea lui Parseval-Liopunov.

Teorema 3.9. Fie f : [−L, L] → R o functie derivabila pe [−L,L], cu f(−L) =f(L). Atunci seria Fourier asociata lui fare ca suma ınsasi functia f .

84

Page 86: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

3.1.2 Transformata Fourier si transformata Fourier inversa Am vazutın sectiunea precedenta ca pentru o functie f , ın anumite conditii, seria Fourierasociata are ca suma chiar functia f . Ne punem problema daca putem gasirezultate similare si pentru functii definite pe toata multimea R. Daca ınlocuimindicele discret n din dezvoltarea Fourier cu o variabila continua, se obtinetransformata Fourier, o functie ce permite reprezentarea sub forma unei integrale(integrala Fourier) a unei functii neperiodice integrabile pe R.

Fie o functie f : R → C, astfel ıncat limx→±∞ f(x) = 0. Dezvoltam ın seriiFourier, folosind sistemul ortogonal exponential (3.2), restrictia lui f la intervalul[−L,L] si avem

f(x) =∞∑

n=−∞cneinπx/L, (3.12)

unde

cn =1

2L

∫ L

−L

f(x)e−inπx/Ldx.

Daca ınlocuim cn ın dezvoltarea (3.12), gasim

f(x) =∞∑

n=−∞

[1

2L

∫ L

−L

f(x)e−iξnxdx

]eiξnx, (3.13)

pentru |x| ≤ L, unde ξn = nπ/L. In continuare introducem urmatoarea notatie

fL(ξ) =∫ L

−L

f(x)e−iξxdx.

Distanta dintre doua puncte ξi+1 si ξi este ∆ξ = π/L. Atunci, putem rescrieecuatia (3.13)

f(x) =12π

∞∑n=−∞

fL(ξn)eiξnx∆ξ. (3.14)

Ecuatia (3.14) seamana cu suma Riemann asociata funtiei fL(ξ)eiξx, pe ıntreagamultime a numerelor reale. Daca trecem la limita L →∞, ne asteptam ca functiafL(ξ) sa convearga la functia

f(ξ) =∫ ∞

−∞f(x)e−iξxdx. (3.15)

Dar L →∞ implica ∆ξ → 0. Astfel, ne asteptam ca ecuatia (3.14) sa conveargala

f(x) =12π

∫ ∞

−∞f(ξ)eiξxdξ. (3.16)

Expresia (3.15) defineste f(ξ), numita transformata Fourier a lui f , iar formula(3.16) arata cum putem sa-l recuperam pe f din f . Acest procedeu poarta nu-mele de transformata Fourier inversa. Cum formulele (3.15) si (3.16) au fostdeterminate ıntr-o maniera formala, introducem urmatorul rezultat.

85

Page 87: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Teorema 3.10. Daca f ∈ L(R) si f ∈ L(R) atunci, notand prin

f(x) =12π

∫ ∞

−∞f(ξ)eiξxdξ, ∀ x ∈ R,

rezulta ca f = g a.p.t. x ∈ R, adica are loc formula de inversiune (3.16).

Asa cum exista tabele pentru derivatele functiilor uzuale, asa exista si ıncazul transformatelor Fourier ale unor functii comune. Astfel, pentru functiaexponentiala

f(x) = e−|x|, avem f(ξ) =2

1 + ξ2,

iar pentru functia lui Gauss

g(x) = e−ξ2/2, transformata Fourier este g(ξ) =√

2π e−ξ2/2.

Teorema 3.11. Teorema lui Plancherel. Fie f : R → C asa ca f ∈ L1(R) ∩L2(R). Atunci f ∈ L2(R) si au loc

∫ ∞

−∞|f(x)|2dx =

12π

∫ ∞

−∞|f(ξ)|2dx,

respectiv ∫ ∞

−∞f(x)g(x)dx =

12π

∫ ∞

−∞f(ξ)g(ξ)dξ.

Daca transformata Fourier a unei functii este derivabila, atunci are loc

f ′(ξ) = iξf(ξ).

Demonstratia acestei formule este urmatoarea

f ′(ξ) =∫ ∞

−∞f ′(x)e−iξxdx = f(x)e−iξx

∣∣∣∣∞

−∞+iξ

∫ ∞

−∞f(x)e−iξxdx =

= iξf(ξ).

Am presupus aici ca f(ξ) scade suficient de rapid, asa ıncat funtia ξ → ξf(ξ) safie integrabila.

3.1.3 Transformata Fourier discreta Fie f(x) o functie periodica de pe-rioada 2π, cu valori reale. Coeficientii din dezvoltarea Fourier al lui f suntcalculati cu formula (3.6), pentru L = π, cu sistemul ortogonal (3.2). Acestiamai pot fi determinati din

ck =12π

∫ 2π

0

f(x)e−ikxdx, k = 0,±1,±2, ..., (3.17)

86

Page 88: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

deoarece functia de sub integrala este periodica de perioada 2π si integrala vaavea aceleasi valori daca domeniul de integrare este de forma [c, c + 2π]. Incontinuare vom cauta o cale prin care sa gasim estimari numerice convenabileale lui ck.

Introducem din nou dezvoltarea ın serii Fourier a lui f

f(x) =∞∑

k=−∞ckeikx. (3.18)

In aceasta maniera, reprezentam f ca o suma infinita de functii exponenentialecomplexe. Totusi, ın practica, chiar daca am putea calcula exact coeficientiiFourier, am putea sa sumam doar un numar finit de termeni, obtinand astfelo aproximare pentru f . Mai departe, ın loc sa calculam coeficientii Fourier,propunem o metoda care sa calculeze un numar de coeficienti ck, astfel ıncatdezvoltarea

N/2∑

k=−N/2

ckeikx

sa coincida cu valorile lui f ın N +1 puncte aflate la egala distanta ın intervalul[0, 2π], unde N este un numar natural par. Pentru usurinta implementarii, con-sideram problema cautarii unor coeficienti dk, pentru k = 0, 1, .., N − 1, astfelıncat

N−1∑

k=0

dkeikx (3.19)

sa coincida cu f ın xj , unde xj = j∆x, ∆x = 2π/N , pentru j = 0, 1, ..., N − 1.Vom vedea ca valorile dk aproximeaza coeficientii Fourier ck.

Astfel avem urmatoarele N ecuatii

N−1∑

k=0

dkeikj∆x = f(xj), j = 0, 1, .., N − 1. (3.20)

Nu am considerat nodul xN ca facand parte din reteaua de puncte xjj=0,N−1

ıntrucat f(0) = f(2π). De asemenea, daca reteaua de puncte ar fi alcatuita dinN +1 noduri, deci si din xN , sistemul de mai sus ar contine doua ecuatii identicepentru j = 0 si j = N . Astfel, (3.20) ar avea un numar de necunoscute mai marecu unu decat numarul de ecuatii. Cu urmatoarele notatii

W jk = eikj∆x = e2iπjk/N si W = e2iπ/N ,

unde WN = cos(2π) + i sin(2π) = 1 si W este o radacina complexa a unitatii,rescriem sistemul (3.20) sub forma matriceala

FNd = f,

87

Page 89: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

cu

FN =

1 1 . . . 11 W . . . W (N−1)

1 W 2 . . . W 2(N−1)

· · . . . ·· · . . . ·1 W (N−1) . . . W (N−1)(N−1)

, d =

d0

d1

d2

··

dN−1

, f =

f(x0)f(x1)f(x2)··

f(xN−1)

Se obtine cu usurinta inversa matricii FN

F−1N =

1N

F

1 1 . . . 11 W . . . W (N−1)

1 W 2 . . . W 2(N−1)

· · . . . ·· · . . . ·1 W (N−1) . . . W (N−1)(N−1)

,

unde W = e−2iπ/N este conjugatul lui W .Funtia DFT : CN → CN data prin DFT (f) = F−1

N f = d, poarta numele detransformarea Fourier discreta, iar coeficientii dk se calculeaza cu formula

dk =1N

N−1∑

j=0

f(xj)W kj , k = 0, 1, .., N − 1. (3.21)

Mai departe vom determina o legatura ıntre dk si coeficientii Fourier ck

definiti ın (3.17). Presupunand ca dezvoltarea ın serii Fourier a lui f are casuma chiar pe f si ca

∑ |ck| < ∞, ınlocuim expresia (3.18) ın (3.21) si gasim

dk =1N

N−1∑

j=0

(∞∑

n=−∞cneinxj )W−kj =

1N

∞∑n=−∞

cn

N−1∑

j=0

W (n−k)j .

Cum WN = 1, avem

1 + W + W 2 + ... + W (N − 1) = 0.

Dar W p este de asemenea o radacina complexa a unitatii, de unde

1 + W p + W 2p + ... + W (N−1)p = 0,

pentru p 6= mN , cu m un numar ıntreg oarecare. Astfel are loc

N−1∑

j=0

W (n−k)j =

0, n− k 6= mNN, n− k 6= mN.

88

Page 90: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Prin urmare, obtinem

dk =∞∑

m=−∞ck+mN , k = 0, 1, .., N − 1.

Pentru 0 ≤ k < N/2,

dk = ck +∞∑

m=−∞ck+mN , (3.22)

Pentru 1 ≤ k < N/2,

dN−k = c−k +∞∑

m=−∞c−k+mN . (3.23)

In expresiile (3.22) si (3.23) indicele de sumare m sare peste valoarea 0. In finalavem

dN/2 = cN/2 + c−N/2 +∞∑

m=−∞cN/2+mN . (3.24)

Suma din (3.24) nu contine termenii pentru m = 0 si m = 1.In general dk nu este egal cu ck. Totusi, ın cazul ın care seria

∑cn este

absolut convergenta, pentru un k fixat, cand N →∞, sumele din (3.22) si (3.23)tind la 0. Deci, are loc

dk → ck, pentru N →∞si

dN − k → c−k, pentru N →∞.

Astfel spus, cu cat alegem o retea mai fina de puncte pentru intervalul [0, 2π],cu atat dk aproximeaza mai bine coeficientii din dezvoltarea Fourier. In schimbecuatia (3.24) arata ca dN/2 nu este o aproximare convenabila pentru cN/2.

Acum putem concluziona ca dk, coeficientii transformatei Fourier discreta,aproximeaza c±k, pentru k < N/2 si N suficient de mare. Mai remarcam capentru o funtie periodica de perioada 2a, matricile FN si F−1

N raman la fel. Deasemenea, relatiile (3.22), (3.23) si (3.24) se pastreaza.

Mai departe, vom arata cum se poate aproxima transformata Fourier si trans-formata Fourier inversa, folosind transformata Fourier discreta. Fie f o functieintegrabila pe R. Introducem transformata Fourier a acesteia

f(ξ) =∫

Rf(x)e−ixξ.

Pentru usurinta, presupunem ca exista a > 0, astfel ıncat f(x) ' 0 pentru x < 0si x > 2a. Atunci

f(ξ) '∫ 2a

0

f(x)e−ixξ. (3.25)

89

Page 91: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Fie ξk = kπ/a pentru k un numar ıntreg. Avem

f(kπ/a) '∫ 2a

0

f(x)e−ikπx/adx = 2ack, (3.26)

unde ck sunt coeficietii din dezvoltarea Fourier a restrictiei lui f la interalul[0, 2a].

Fie ∆x = 2a/N si introducem o retea de N puncte echidistante ce acoperaintervalul [0, 2a] : xj = j∆x, j = 0, 1, .., N − 1. In continuare, vom aproximaintegrala (3.25) folosind sumele Riemann si obtinem

f(ξ) ' hN (ξ) =N−1∑

j=0

f(xj)e−ixjξ∆x = (3.27)

= ∆x

N−1∑

j=0

f(j∆x)e−ij∆xξ.

Stim ca, ın general, transformata Fourier a unei functii nu este periodica, darın continuare, vom ıncerca sa aproximam f(ξ) prin functia periodica hN (ξ) deperioada P = 2π/∆x = πN/a. Din (3.27) ajungem la

f(kπ/a) ' hN (kπ/a) = ∆x

N−1∑

j=0

f(j∆x)e−ij∆xkπ/a = 2a(1N

N−1∑

j=0

f(j∆x)W jk).

Dar (3.21) asigura ca suma de mai sus este transformata Fourier discreta avectorului

f = (f(0), f(∆x), ..., f(2a−∆x)),

de unde obtinemf(kπ/a) ' hN (kπ/a) = 2adk,

unde dk sunt coeficientii transformatei Fourier discrete corespunzatoare restrictieilui f la intervalul [0, 2a]. Cum hN (ξ) are perioada πN/a, avem

hN (−kπ/a) = hN ((N − k)π/a).

Astfelf(−kπ/a) ' hN (−kπ/a) = hN ((N − k)π/a) = 2adN−k,

pentru 1 ≤ k ≤ N.Mai departe, consideram −Nπ/2a ≤ ξ ≤ Nπ/2a intervalul periodic reprezen-

tativ pentru hN (ξ). Punctele ξk = kπ/a, |k| ≤ N/2, apartin acestui interval. Ast-fel, putem aproxima transformata Fourier pe intervalul [−Nπ/2a ≤ ξ ≤ Nπ/2a],ın punctele ξk prin

hN (kπ/a), k = −N

2, ..., 0, ...,

N

2,

90

Page 92: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

sau folosind transformata Fourier discreta

[2adN/2, ..., 2adN−1, 2ad0, 2ad1, ..., 2adN/2]. (3.28)

Observam ca spatiul Fourier discret (multimea formata din punctele ξk) arecardinalul mai mare cu unu decat numarul de puncte folosit la discretizareaspatiului.

Stim ca, din punct de vedere teoretic, putem sa folosim transformata Fourierinversa a unei functii f pentru a-l gasi pe f , ın situatia ın care se cunoastetransformata sa Fourier. Practic, presupunem ca am determinat valorile trans-formatei Fourier a unei functii integrabile pe R, nenula doar pe [0, 2a], ın puncteleξk = kπ/a, pentru k = −N

2 , .., 0, ...N2 . Acestea sunt

f(ξk) = [f(ξ−N2), ..., f(ξN

2)].

In situatia ın care s-a discretizat domeniul [0, 2a] cu o retea de puncte echidis-tante xj , j = 0, 1, ..., N − 1, asa cum am vazut mai devreme, suntem ın masurasa determinam f ın toate punctele xj . Procedeul este urmatorul: se construiesteun vector d- N dimensional

d =12a

[f(ξ0), f(ξ1), ..., f(ξN2), f(ξ−N

2 +1), f(ξ−N2 +2), ..., f(ξ−1)]

si se foloseste urmatoarea formula

f(xj) = (FNd)j , j = 0, 1, .., N − 1, (3.29)

unde FN este matricea patratica de ordinul N , introdusa ın aceasta sectiune.

3.1.4 Transformata Fourier rapida Am vazut ın sectiunea precedenta, omodalitate prin care coeficientii transformatei Fourier discrete pot fi calculatiprin ınmultirea matricii F−1

N cu vectorul f . Totusi, matricea FN este o matricepatratica de ordinul N , cu elemente nenegative. Astfel, pentru evaluarea pro-dusului FNf avem nevoie de N2 ınmultiri. In aplicatii, ıntalnim situatii ın carematricea FN este de ordinul 103 sau chiar 106. Din fericire, transformata Fourierrapida este un algoritm care diminueaza simtitor numarul de operatii necesarcalcularii lui FNf .

Transformata Fourier rapida foloseste forma speciala a matricii FN si ınparticular relatia dintre FN si FN/2. Fie N un numar par, astfel ıncat N = 2M .Reamintim ca

(FN )j,k = W jkN , j, k = 0, 1, ..., N − 1,

unde W = e2πi/N . Retinem ca

W 2N = e4πi/N = e2πi/M = WM .

Fie u = (u0, u1, ..., uN−1) un vector complex N -dimensional si v ∈ CN , astfelıncat v = FNu. Vom arata ca pentru calculul lui v, avem nevoie doar de un

91

Page 93: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

numar de operatii de ınmultire necesar evaluarii produsului FMu. Componentaj a lui v este

vj =N−1∑

k=0

W jkN uk =

N−2∑

k=0,par

W jkN uk +

N−1∑

k=1,impar

W jkN uk,

de unde, introducand indicele de sumare l = 0, 1, ...,M − 1, obtinem

vj =M−1∑

l=0

W jN2lu2l +

M−1∑

k=1

W jN2l + 1u2l+1.

Folosind Wj(2l)N = (W 2

N )jl = W jlM avem

vj =M−1∑

l=0

W jlMu2l +

M−1∑

k=1

W jlMu2l+1,

sau sub forma vectoriala

vj = (FMupar)j + (FMuimpar)j , pentru j = 0, 1, .., M − 1, (3.30)

unde upar = (u0, u2, ..., uN−2) si uimpar = (u1, u3, ..., uN−1).Pentru j = M, .., N − 1, fie j = j′ + M , unde j′ = 0, 1, ..,M − 1. Observam

caW jl

M = W(j′+M)lM = W j′l

M ,

si

W jN = W j′+M

N = WN/2N W j′

N = −W j′

N .

Din ultimele doua relatii rezulta

vj′+M = (FMupar)j′ −W j′

N FMuimpar)j′ , j′ = 0, 1, ...,M − 1. (3.31)

Fie r(N), numarul de operatii de ınmultire necesare calcularii lui FNu. Din(3.30) si(3.31) vedem ca trebuie sa evaluam FMupar respectiv FMuimpar, fiecareavand nevoie de r(M) ınmultiri. In plus, trebuie sa contorizam si M operatii deınmultire pentru determinarea produsului W j

N (FMuimpar)j , j = 0, 1, .., M − 1.Astfel

r(N) = 2r(M) + M. (3.32)

Daca M este par, putem folosi aceeasi descompunere pentru reducerea numaruluide ınmultiri necesare calculului FMupar si FMuimpar. Considerand ca N = 2p,pentru p ∈ Z∗, putem repeta descompunerea pana ajungem la evaluari aleınmultirilor cu F2. Din formula (3.32) si folosind ca r(2) = 1, gasim

92

Page 94: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

p N r(N)1 2 22 4 43 8 124 16 32· · ·· · ·

de unde, prin indutie, obtinem

r(N) =NP

2=

12N log2 N.

Acum, suntem ın masura sa facem o comparatie asupra numarului de operatiide ınmultire ın cazul transformatei Fourier rapida, respectiv transformatei Fourierdiscreta. Daca N = 210, prima procedura are nevoie de 5120 de ınmultiri, pe candcea de a doua efectueaza 106 ınmultiri. Astfel, am redus numarul de ınmultiride 200 de ori. Acest simplu test ne da masura eficacitatii transformatei Fourierrapide.

Un program Matlab, care calculeaza coeficientii transformatei Fourier dis-creta, pentru o functie data, cu ajutorul transformatei Fourier rapida, se gasesteın [29], p. 253.

3.2 Integratori exponentiali

Integratorii exponentiali sunt scheme numerice construite sa rezolve ecuatii dife-rentiale, unde exista posibilitatea ca partea liniara sa fie separata de cea liniara

y′ = Ly + N(y, t), y(t0) = y0, (3.33)

unde y ∈ Cd+1, L ∈ C(d+1)×(d+1), N : C(d+1)×R→ Cd+1. Exista trei clase prin-cipale de integratori exponentiali: metode exponentiale liniare multipas, metodeexponentiale Runge-Kutta si metode exponentiale liniare generale. Un integra-tor exponential are doua proprietati importante:(i) Daca L = 0, atunci schema revine la o schema generala liniara standard,numita schema liniara generala de baza;(ii) Daca N(y, t) = 0, pentru orice y si t, atunci schema calculeaza exact solutiaecuatiei (3.33).

Pentru a satisface (i), functia exponentiala trebuie sa fie continuta ın schemanumerica. In general ınsa, pentru a obtine scheme cu adevarat eficiente, se vorfolosi ın interiorul schemei, functii apropiate de functia exponentiala, numitefunctii ϕ. Acestea vor fi introduse ın sectiunea curenta, ın (3.37). Mai ıntai vomdiscuta despre metodele multipas, ce utilizeaza factori integranzi si aproximaride tip ETD (exponential time differencing) pentru rezolvarea problemei cu valoriinitiale (3.33).

93

Page 95: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Ideea care sta la baza metodelor de tip factor integrant a fost introdusade Lawson ın lucrarea [48]. El foloseste schimbarea de variabila (transformareaLawson) v(t) = e−tLy(t) pentru ameliorarea efectului de instabilitate cauzat departea stiff liniara a ecuatiei (3.31). Astfel, (3.31) devine

v′(t) = e−tLN(etLv(t), t) = g(v, t), v(t0) = e−t0Ly0. (3.34)

In cele ce urmeaza vom vedea de ce este preferata aceasta formulare. CalculamJacobianul noii probleme. Cum

∂g

∂v= e−tL ∂N

∂uetL,

obtinem ca autovalorile lui ∂g∂v coincid cu autovalorile lui ∂N

∂u . Astfel, ne asteptamca metodele numerice folosite la rezolvarea ecuatiei (3.34) sa depinda de conditiide stabilitate mai relaxate decat schemele aplicate direct problemei (3.33). Acum,ideea este sa aplicam orice tip de integrator numeric (ın cazul lui Lawson,metodele de tip Runge-Kutta) pe ecuatia (3.34), solutia gasita fiind adusa subforma variabilei originale. Folosind metoda lui Euler, se obtine urmatoarea schemanumerica

yn = ehLyn−1 + ehLhNn−1 (3.35)

unde h reprezinta pasul metodei si Nn−1 = N(yn−1, tn−1). Aceasta este cunos-cuta ca metoda lui Euler cu factor integrant. Metoda lui Euler cu factor integrantimplicita este

yn = ehLyn−1 + ehLhNn.

Aceasta aproximare poate fi extinsa cu usurinta la clasa de metode liniare mul-tipas Adams. In general, metodele cu factor integrant Adams cu k pasi suntdefinite astfel

yn = ehLyn−1 +k∑

i=0

βieihLhNn−i,

unde βi sunt coeficientii metodei Adams iar Nn−i = N(yn−i, tn−1), pentrui = 0, 1, , ..., k. Schemele cu factor integrant ce folosesc metode BDF (backwarddifferentiation formulae) sunt definite astfel

yn =k∑

i=0

αiyn−1 + β0hNn,

unde β0 si αi sunt coieficientii metodei BDF. In continuare, dam ca exemplu ometoda de ordinul doi cu factor integrant Adams-Bashforth considerata ın [30]

yn = ehLyn−1 +32ehLhNn−1 − 1

2e2hLhNn−2.

Din cunostintele noastre, prima lucrare ın care a fost propusa o metodaETD a fost [24]. Rationametul consta ın construirea unor integratori de tip

94

Page 96: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

multipas, folosind formula variatiei constantelor. Pentru a obtine o astfel deformula, ınmultim ecuatia (3.33) cu factorul integrant e−tL

e−tLy′ = e−tLLy + e−tLN(y, t),

de unde mai departe(e−tLy)′ = e−tLN(y, t).

Se integreaza ultima ecuatie pe intervalul [tn−1, tn], cu tn = tn−1 + h si gasim

y(tn−1 + h) = ehLyn−1 + etnL

∫ tn−1+h

tn−1

e−τLN(y(τ), τ)dτ =

= ehLyn−1 +∫ h

0

e(h−τ)LN(y(tn−1 + τ), tn−1 + τ)dτ. (3.36)

Remarcam ca formula (3.36) a fost obtinuta folosind numai calcule exacte.Deci, solutia ei este solutia exacta a problemei (3.33), cu conditia initialay(tn−1) = yn−1. Mai departe, se aproximeaza partea neliniara N cu un poli-nom Newton de interpolare. Integrand exact se obtine solutia. Cel mai simplucaz este sa aproximam N(y(tn−1 + τ), tn−1 + τ) printr-o constanta Nn−1 si seajunge la

yn = ehLyn−1 +∫ h

0

eh−τLNn−1dτ = ehLyn−1 + ϕ1(hL)hNn−1,

unde ϕ1(z) = ez−1z . Aceasta metoda este cunoscuta sub numele de metoda

Euler ETD. Ea se reduce la metoda Euler clasica cand L = 0. Metoda EulerETD implicita este definita astfel

yn = ehLyn−1 + ϕ1(hL)hNn.

In general, se obtin urmatoarele forme explicite ale metodelor Adams-BashforthETD, prin aproximarea termenului neliniar din (3.36) cu un polinom cu gradınalt si cu ajutorul valorilor obtinute la pasii anteriori (vezi [30])

yn = ehLyn−1 + h

k−1∑

i=0

gi(hL)∇iNn−1, (3.37)

unde ∇iNn−1 se calculeaza dupa formulele

∇0 = Nn−1, ∇i+1Nn−1 = ∇iNn−1 −∇iNn−2, pentru i = 0, 1, 2, ...,

iar funtia gi(z) prin relatia de recurenta

zg0(z) = ez − 1,

zgi+1(z) + 1 = gi(z) +12gi−1(z) +

13gi−2(z) + ... +

1i + 1

g0(z).

95

Page 97: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Intr-o maniera similara putem construi metode Adams-Moulton ETD. Incontinuare, prezentam o alta cale prin care se obtin metode Adams ETD. Acesteafolosesc urmatoarea reprezentare exacta a solutiei.

Lema 3.12. Solutia exacta a problemei cu valori initiale

y′ = Ly + N(y, t), y(tn−1) = yn−1,

poate fi exprimata sub forma

y(tn−1 + h) = ehLyn−1 +∞∑

i=0

hi+1ϕi+1(hL)N (i)n−1,

unde

N in−1 =

di

dti

∣∣∣∣t=tn−1

N(y(t), t),

si ϕi(z) este definita recursiv

ϕ0(z) = ez, ϕi+1(z) =ϕi(z)− 1

i!

z, pentru i = 0, 1, 2, ... (3.38)

Demonstratie Folosind dezvoltarea ın serii Taylor ın a funtiei y ın punctultn−1 obtinem

y(tn−1 + h) = yn−1 +∞∑

k=1

hk

k!y(k)n−1, (3.39)

unde

y(k)n−1 =

dk

dtk

∣∣∣∣t=tn−1

y(t).

Din ecuatia diferentiala data se gaseste relatia

y(k)n−1 = Lkyn−1 +

k−1∑

i=0

Lk−1−iN(i)n−1, k = 1, 2, ..

Inlocuind y(k)n−1 ın (3.39), ajungem la relatia

y(tn−1 + h) =∞∑

k=0

hk

k!Lkyn−1 +

∞∑

k=1

k−1∑

i=0

hk

k!Lk−1−iN

(i)n−1 =

= ehLyn−1 +∞∑

k=0

k∑

i=0

hk+1

(k + 1)!Lk−iN

(i)n−1.

Mai departe, schimbam ordinea sumarii ın al doilea termen

∞∑

k=0

k∑

i=0

hk+1

(k + 1)!Lk−iN

(i)n−1 =

∞∑

i=0

( ∞∑

k=i

hk+1

(k + 1)!Lk−i

)N

(i)n−1 =

96

Page 98: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

=∞∑

i=0

hi+1

((hL)−(i+1)

∞∑

k=i+1

(hL)k

k!

)N

(i)n−1 =

∞∑

i=0

hi+1ϕi+1(hL)N (i)n−1, (3.40)

de unde obtinem concluzia.

Lema 3.12 ne da o formula alternativa a solutiei exacte, pe baza careia s-adezvoltat urmatorul tip de aproximare numerica

yn = ehLun−1 + h

k∑

l=0

βlNn−1,

unde β0, β1, ..., βk sunt coeficienti care se vor calcula ın functie de ordinul dorit.Pentru asta, se foloseste dezvoltarea ın serii Taylor a termenului neliniar ın tn−1.Cum

h

k∑

i=0

βlNn−l =∞∑

i=0

hi+1

i!

( k∑

l=0

βl(1− l)i

)N

(i)n−1, (3.41)

coeficientii βl pentru metode Adams ETD se obtin comparand (3.40) cu (3.41),de unde rezulta

1i!

k∑

l=j

βl(1− l)i = ϕi+1(hL), i = 0, 1, 2, ..., k − j.

Pentru j = 0 obtinem metode de tip Adams-Moulton ETD, respectiv metodede tip Adams-Bashforth ETD pentru j = 1. Schema Adams-Moulton ETD deordinul 1 este cunoscuta sub numele de metoda Euler ETD si este data prin

yn = ehLyn−1 + ϕ1(hL)N(yn−1, tn−1) (3.42)

Asa cum am mentionat si mai devreme, prima metoda Runge-Kutta expo-nentiala a fost construita de Lawson ın [48]. Este relativ usor sa obtinem ometoda Runge-Kutta cu factor integrant, odata ce am adus problema initiala(3.33) la forma (3.34). Ca si ın cazul metodelor multipas, ideea centrala constaın aplicarea unei metode Runge-Kutta de ordinul s, numita de baza, pentrurezolvarea ecuatiei transformate (3.34), pe urma solutia obtinuta fiind transfor-mata ın variabila originala.

Pentru o metoda Runge-Kutta exponentiala de ordinul s, definim urmatoareaschema generala

Yi = h

s∑

j=1

aij(hL)N(Yj , tn−1 + cjh) + ui1(hL)yn−1 , i = 1, . . . , s ,

yn = h

s∑

i=1

bi(hL)N(Yj , tn−1 + cjh) + v1(hL)yn−1 . (3.43)

Integratorii exponentiali trebuie sa satisfaca proprietatea de baza (i), intro-dusa la ınceputul sectiunii, asa ca ui1(0) = 1, aij(0) = aij , v1(0) = 1 si bi(0) = bi,

97

Page 99: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

unde aij si bi sunt coeficientii schemei de baza Runge-Kutta. Functiile utilizateın (3.43) se pot aranja convenabil ıntr-un tablou Butcher.

c1 a11(z) . . . a1s(z) u11(z)...

......

...cs as1(z) . . . ass(z) us1(z)

b1(z) . . . bs(z) v1(z)

unde z = hL.Chiar daca nu sunt metode exponentiale de tip Runge-Kutta, metoda Euler

cu factor integrant, respeciv metoda Euler ETD, definite ın (3.35) si (3.42), sepot reprezenta ıntr-un tablou Butcher

0 0 1ez ez

0 0 1ϕ1(z) ez

fiind cazuri particular ale expresiei (3.43).In cazul schemelor exponentiale liniare generale, la fiecare pas h, avem nevoie

de r aproximatii y[n−1]i , i = 1, 2, .., r, pentru calculul solutiei. Valorile functiei

Ly+N(y, t) ın punctele intermediare ci sunt notate cu Yi, i = 1, 2, .., s, la fel ca ıncazul metodei exponentiale Runge-Kutta. Dupa fiecare pas, sunt recalculate celer aproximari necesare la pasul urmator. Fiecare pas al unei metode exponentialeliniare generale poate fi descris prin

Yi = h

s∑

j=1

aij(hL)N(Yj , tn−1 + cjh) +r∑

j=1

uij(hL)y[n−1]j , i = 1, . . . , s ,

y[n]i = h

s∑

j=1

bij(hL)N(Yj , tn−1 + cjh) +r∑

j=1

vij(hL)y[n−1]j , i = 1, . . . , r.

(3.44)

Se obseva usor ca integratorii exponentiali Runge-Kuta sunt un caz partic-ular al schemelor exponentiale liniare generale, pentru r = 1, ui1(z) = ai0(z),v11(z) = b0(z) si bij(z) = bj(z). Coeficientii functiilor din (3.44) pot fi grupatiın tabloul

c1 a11(z) . . . a1s(z) u11(z) . . . u1r(z)...

......

......

cs as1(z) . . . ass(z) us1(z) . . . usr(z)b11(z) . . . b1s(z) v11(z) . . . v1r(z)

......

......

br1(z) . . . brs(z) vr1(z) . . . vrr(z)

In continuare, prezentam integratorii exponentiali utilizati ın sectiunea 3.4, pen-tru rezolvarea numerica a problemelor care urmeaza sa fie introduse ın sectiunea

98

Page 100: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

3.3, sub forma de tablouri Butcher. Din ratiuni estetice si de spatiu, facemnotatiile

ϕi,j = ϕi(cjz), i = 0, 1, .., si j = 2, .., s,

ϕi = ϕi(c1z), i = 0, 1, .., cu ϕ0(z) = ez.

Schema 3-1. ABLawson 4

0 1 0 0 01 55

12ϕ0 ϕ0 − 5924ϕ2

03724ϕ3

0 − 38ϕ4

05512ϕ0 0 ϕ0 − 59

24ϕ20

3724ϕ3

0 − 38ϕ4

0

1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

Schema 3-2. Lawson 4

0 112

12ϕ0,2 ϕ0,2

12

12 ϕ0,2

1 ϕ0,2 ϕ016

13ϕ0,2

13ϕ0,2

16 ϕ0

Schema 3-3. ABNørsett 4

0 1 0 0 01 ϕ1 + 11

6 ϕ2 + 2ϕ3 + ϕ4 ϕ0 −3ϕ2 − 5ϕ3 − 3ϕ432ϕ2 + 4ϕ3 + 3ϕ4 − 1

3ϕ2 − ϕ3 − ϕ4

1 ϕ1 + 116 ϕ2 + 2ϕ3 + ϕ4 0 ϕ0 −3ϕ2 − 5ϕ3 − 3ϕ4

32ϕ2 + 4ϕ3 + 3ϕ4 − 1

3ϕ2 − ϕ3 − ϕ4

1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0

Schema 3-4. ETD4RK

0 112

12ϕ1,2 ϕ0,2

12

12ϕ1,2 ϕ0,2

1 12ϕ1,2(ϕ0,2 − 1) ϕ1,2 ϕ0

ϕ1 − 3ϕ2 + 4ϕ3 2ϕ2 − 4ϕ3 ϕ2 − 4ϕ3 −ϕ2 + 4ϕ3 ϕ0

99

Page 101: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Schema 3-5. Strehmel-Weiner

0 112

12ϕ1,2 ϕ0,2

12

12ϕ1,2 − 1

2ϕ2,212ϕ2,2 ϕ0,2

1 ϕ1 − 2ϕ2 −2ϕ2 4ϕ2 ϕ0

ϕ1 − 3ϕ2 + 4ϕ3 0 4ϕ2 − 8ϕ3 −ϕ2 + 4ϕ3 ϕ0

Schema 3-6. Friedli

0 112

12ϕ1,2 ϕ0,2

12

12ϕ1,2 − 1

2ϕ2,212ϕ2,2 ϕ0,2

1 ϕ1 − 2ϕ2 − 2625ϕ1 + 2

25ϕ22625ϕ1 + 48

25ϕ2 ϕ0

ϕ1 − 3ϕ2 + 4ϕ3 0 4ϕ2 − 8ϕ3 −ϕ2 + 4ϕ3 ϕ0

Schema 3-7. Hochbruck-Osterman

0 112

12ϕ1,2 ϕ0,2

12

12ϕ1,2 − ϕ2,2 ϕ2,2 ϕ0,2

1 ϕ1 − 2ϕ2 ϕ2 ϕ2 ϕ012

12ϕ1,2 − 2a5,2 − a5,4 a5,2 a5,2 a5,4 ϕ0,2

ϕ1 − 3ϕ2 + 4ϕ3 0 0 −ϕ2 + 4ϕ3 4ϕ2 − 8ϕ3 ϕ0

undea5,2 =

12ϕ2,2 − ϕ3 +

14ϕ2 − 1

2ϕ3,2, a5,4 =

14ϕ2,2 − a5,2.

Schema 3-8. RKMK42

0 112

12ϕ1,2 ϕ0,2

12

z8ϕ1,2

12 (1− z

4 )ϕ1,2 ϕ0,2

1 ϕ1 ϕ016ϕ1(1 + z

2 ) 13ϕ1

13ϕ1

16ϕ1(1− z

2 ) ϕ0

3.3 Definirea modelelor

In aceasta sectiune, vom descrie pe scurt modelele matematice ce guverneazadiferitele reactii cinetice din chimie si biochimie, care urmeaza sa fie rezolvatenumeric ın sectiunea 3.4.

Folosind o procedura de adimensionalizare a sistemului ın spatiu, astfel ıncatdomeniul spatial sa devina [0, 1], introducem urmatorul sistem general dat deecuatiile

(P ) ut = Duuxx + f(u, v) , vt = Dvvxx + g(u, v) ,

100

Page 102: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

unde u si v reprezinta concentratia celor doi morfogeni implicati ın proces, Du

si Dv sunt coeficientii de difuzie corespunzatori, iar f(u, v) respectiv g(u, v)ınmagazineaza reactiile cinetice existente ıntre u si v.

3.3.1 Modelul Gierer Meinhardt Acesta este un sistem de tip activator-inhibitor care guverneaza multe procese naturale de tip pattern formation simorfogeneza. Aici, reactiile cinetice au fost alese ın asa fel ıncat una dintresubstantele chimi-ce (numita activator) actioneaza, stimuland productia celeilaltesubstante chimi-ce (inhibitorul), care ın schimb inhiba productia activatorului.Sistemul de tip reactie difuzie este dat prin :

(P1)

∂u

∂t= Du∇2u + γ

(a− bu +

u2

v(1 + κu2)

), x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

∂v

∂t= Dv∇2v + γ(u2 − v), x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

u(0, t) = u(1, t), v(0, t) = v(1, t), t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ [0, 1],

unde u(x, t) este concentratia activatorului, v(x, t) concentratia inhibitorului si∇2 este operatorul Laplace unidimensional. Du, Dv, a, b si γ sunt parametripozitivi, iar κ este un coeficient ce masoara concentratia de saturatie. O in-terpretare biologica a reactiilor cinetice din (P1) ar putea fi ca u este produsın mod constant cu o rata γa si se degradeaza liniar cu o rata γb. Termenulγ u2

v(1+κu2) implica un mecanism ın care u este capabil de autocataliza, ce con-duce la saturatie ın cazul ın care concentratia activatorului are un nivel ridicatsi la un proces care activeaza productia lui v ın dauna lui u. In cea de-a douaecuatie a sistemului (P1), v este activat(produs) de u, pe urma degradandu-seliniar. Modelul a fost formulat prima data de Alfred Gierer si Hans Meinhardtın 1972 ın lucrarea [37]. Pentru o descriere mai ampla a mecanismelor naturaleimplicate, facem referire la [54].

3.3.2 Modelul Thomas Acest model se bazeaza pe un proces de inhibarea activitatii uricazei (unicooxidaza- o enzima prezenta ın ficatul mamiferelorcu exceptia primatelor) de catre substratele de oxigen v(x, t), obtinute ın urmaoxidarii acidul uricic u(x, t), reactie catalizata de aceeasi enzima. Reactiile ci-netice determinate din date experimentale (vezi [67]), pot fi scrise ın urmatoareaforma

(P2)

∂u

∂t= Du∇2u + γ(a− u− h(u, v)), x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

∂v

∂t= Dv∇2v + γ(αb− αv − h(u, v)), x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

u(0, t) = u(1, t), v(0, t) = v(1, t), t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ [0, 1],

101

Page 103: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

cu h(u, v) = ρuv1+u+Ku2 . Aici Du, Dv, a, α, b, γ si ρ sunt parametri pozitivi.

Termenul h(u, v) indica ratele de evolutie ale lui u si v si ın particular exprimaceea ce se cunoaste sub numele de inhibitie substratala. Adica pentru valori miciale lui u, h(u, v) creste, ın timp ce descreste pentru valori mari ale lui u.

3.3.3 Modelul CIMA Prima structura de tip Turing a fost observata ınreactia CIMA (vezi [44]). Modelul propus de Lengyel si Epstein ([49]) ınglobeazatrei procese : reactia dintre acidul malonic si iod ın urma careia se obtine oiodura, reactia dintre iodura si un clorit din care rezulta o clorura si reactiadintre clorura si iodura. Formula exacta acestor reactii poate fi gasita ın [31].

Impunand ca nivelul concentratiilor de acid malonic, dioxid de clor si iod safie constant, ın concordanta cu fenomenul natural descris, Lengyel si Epstein auobtinut urmatorul model:

(P3)

∂u

∂t= k1− u− 4uv

1 + u2+∇2u, x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

∂v

∂t= k2

[k3

(u− uv

1 + u2

)+ c∇2v

], x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

u(0, t) = u(1, t), v(0, t) = v(1, t), t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ [0, 1],

unde u, v sunt concentratiile iodurii respectiv cloritului, iar k1, k2, k3 si c suntconstante pozitive.

3.3.4 Modelul de transformare a glucozei ın acid lactic cu degajarede energie Ultimul model pe care urmeaza sa-l analizam ın acest capitol de-scrie un mecanism de conversie a glucozei, prin care activatorul u ısi marestesingur cantitatea componentei celulare (RNA, proteine, etc) si se implica ın des-cresterea nivelului componentei celulare a inhibitorului v, pe cand inhibitorulstimuleaza cresterea cantitatii componentei celulare a activatorului si ısi autodes-creste nivelul componentei celulare. Ecuatiile corespunzatoare sunt introduse maijos

(P4)

∂u

∂t= Du∇2u + ru2v + νv − µu, x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

∂v

∂t= Dv∇2v + r(1− u2v)− νv, x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ],

u(0, t) = u(1, t), v(0, t) = v(1, t), t ∈ [0, T ],u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ [0, 1],

cu Du, Dv, r, ν si µ constante pozitive.

102

Page 104: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

3.4 Aproximarea numerica si rezultatele numericeobtinute

Sectiunea curenta este dedicata schemelor numerice, ın baza carora am obtinutsolutiile problemelor (P1), (P2), (P3), (P4). Mai ıntai, avem nevoie sa aducemproblemele introduse ın sectiunea 3.3 la forma (3.1), pentru ca apoi sa putemaplica metode din categoria integratorilor exponentiali prezentate ın sectiunea3.2.

Discretizam domeniul spatial [0, 1] cu o retea de noduri echidistante

0 ≤ x0 < x1 < ... < xND−1 < 1, ∆x =1

NDsi xj = j∆x, j = 0, 1, ..., ND − 1.

Reteau de puncte nu acopera si x = 1, deoarece ın toate modelele (P1)-(P4)u(0, t) = u(1, t) si v(0, t) = v(1, t), pentru oricare t ∈ [0, T ]. Pentru a beneficiade eficienta transformatei Fourier rapide, ın testele numerice am ales ND = 2p,cu p ∈ N. Folosind o procedura de aproximare a transformatei Fourier introdusaın (3.28), aducem problemele (P1), (P2), (P3), (P4), ın urma semidiscretizariispatiale, la forma dorita (3.1),

(Pk)

y′(ξk, t) = L1y(ξk, t) + N1(y(ξk, t), t), k =−ND

2, ...,

ND

2, t ∈ [0, T ],

z′(ξk, t) = L2z(ξk, t) + N2(z(ξk, t), t), k =−ND

2, ...,

ND

2, t ∈ [0, T ],

y(ξk, 0) = F(u0)(ξk), k =−ND

2, ...,

ND

2,

z(ξk, 0) = F(v0)(ξk), k =−ND

2, ...,

ND

2,

pentru ξk = 2πk.Aici y : CND → CND+1 si z : CND → CND+1 sunt aproximarile transfor-

matelor Fourier ale lui u si v ın raport cu variabila spatiala, pentru un t fixat, L1

si L2 sunt matrici patratice diagonale de ordin (ND + 1)2, iar N1 respectiv N2

sunt doi operatori neliniari din CND+1. Am notat prin F , un operator definit peCND cu valori ın CND+1 care defineste aproximarea transformatei Fourier (vezi(3.28)) ın raport cu x a functiei g, ın punctele xi, pentru i = 0, 1, ..., ND − 1.

Pentru fiecare model ın parte, introducem matricile L1, L2 respectiv termeniineliniari N1 si N2.

103

Page 105: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Modelul Gierer Meinhardt

L1k,k = −4π2Duk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

L2k,k = −4π2Dvk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

N1(y, t) = F

(γ(a− bF−1(y) +

(F−1(y))2

F−1(z)(1 + κ(F−1(y))2)))

,

N2(z, t) = F

(γ((F−1(y))2 − F−1(z))

),

unde F−1 : CND+1 → CND este o aproximare a transformatei Fourier inverse,ın raport cu variabila spatiala, data priin (3.29).

Modelul Thomas

L1k,k = −4π2Duk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

L2k,k = −4π2Dvk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

N1(y, t) = F

(γ(a− F−1(y)− ρF−1(y)F−1(z)

1 + F−1(u) + K(F−1(y))2))

,

N2(z, t) = F

(γ(αb− αF−1(z)− ρF−1(y)F−1(z)

1 + F−1(u) + K(F−1(y))2))

.

In cazul modelului CIMA avem

L1k,k = −4π2k2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

L2k,k = −4π2k2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

N1(y, t) = F

(k1 − F−1(y)− 4F−1(y)F−1(z)

1 + (F−1(u))2

),

N2(z, t) = F

(k2k3(F−1(y)− F−1(y)F−1(z)

1 + (F−1(y))2))

)

104

Page 106: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

si pentru modelul de transformare a glucozei

L1k,k = −4π2Duk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

L2k,k = −4π2Dvk2, k =

−ND

2, ...,

ND

2,

N1(y, t) = F

(r(F−1(y))2F−1(z) + νF−1(z)− µF−1(y)

),

N1(y, t) = F

(r(1− (F−1(y))2F−1(z))− νF−1(z)

).

Mai departe, vom descrie schemele numerice din categoria integratorilorexponentiali, care au fost utilizate la realizarea acestui studiu comparativ. Tablo-urile Butcher aferente au fost introduse la finalul sectiunii 3.2. Pentru deter-minarea solutiilor numerice corespunzatoare problemelor (Pk), am folosit pa-chetul EXPINT. Acesta contine rutine Matlab corespunzatoare unui numar ridi-cat de integratori.

Prima schema numerica aplicata se numeste Lawson 4. Aceasta are la bazao metoda Runge-Kutta de ordinul 4 si apartine schemelor de tip Lawson. Elefolosesc transformari de tip Lawson, pe probleme semiliniare. Tablou Butchercorespunzator se gaseste ın sectiunea 3.2, schema (3-2) .

Metoda numita Hochost 4, definita prin tabloul (3-7), a fost dezvoltata deHochbruck si Ostermann si se bazeaza pe o metoda Runge-Kutta de ordinul 5.

In articolul [55], Nørsett a construit o clasa de scheme, care pentru L = 0,se reduc la metode Adams-Bashforth. AbLawson 4 corespunde tabloului (3-1).Este o schema dezvoltata pe o metoda Adams-Bashforth de ordinul patru, undela fiecare pas de timp h, se folosesc aproximarile obtinute la pasi precedenti:

y[n−1] = [yn−1, hNn−2, hNn−3, hNn−4]T (3.45)

In pachetul EXPINT, schema ABNørsett 4 (tabloul (3-3)) a fost implemen-tata, astfel ıncat, la fiecare pas de timp, pentru evaluarea solutiei, are nevoie deaceleasi estimari (3.45), ca si metoda AbLawson 4.

Dupa cum am vazut ın sectiunea dedicata integratorilor exponentiali, scheme-le de tip ETD folosesc aproximari algebrice ale termenilor neliniari si se obtinplecand de la formula variatiei constantelor. Metoda ETD4RK este o schema detip Runge-Kutta exponentiala, iar tabloul Butcher corespunzator se gaseste ınschema (3-4). Cealalta metoda din aceasta categorie de integratori este schemaETD5RKF si are la baza o metoda Runge-Kutta de ordinul 4. Schema ETD4RKa fost descrisa pentru prima data ın lucrarea [30].

Metoda RKMk4t se ıncadreaza ın categoria schemelor de tip Munthe-Kaas(vezi [52]). Are la baza o metoda Runge-Kutta de ordinul 4. In cazul acestuitip de metoda, solutia numerica obtinuta comporta mari oscilatii, produse deutilizarea unor conditii neperiodice la frontiera. Tabloul sau Butcher este dat deschema (3-8).

105

Page 107: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Fig. 14. Comportamentul variabilei u(x, t) reprezentand concentratia activatoruluicare stimuleaza productia inhibitorului notat prin v(x, t).

In figurile 14 si 15 prezentam graficele solutiei u(x, t), ın cazul modelelorGierer-Meinhardt si Tomas.

Am folosit trei tipuri de teste. Primul dintre ele da masura erorii globale,calculata ıntre solutiile obtinute cu integratorii exponentiali si solutia considerataexacta, determinata cu rutina Matlab ode15s.

Discretizam intervalul de timp [0, T ] cu o retea de puncte

ti, i = 0, 1, ...,M, ti = i · h, h =T

M

si notam cu [u(xj , ti), v(xj , ti)], j = 0, .., ND − 1, i = 0, ..,M , vectorul solutieobtinut ın urma rezolvarii problemei (Pk) cu un integrator exponential. Folosindnotatia

[uode(xj , ti), vode(xj , ti)], j = 0, .., ND − 1, i = 0, ..,M,

pentru solutia lui (Pk), calculata cu rutina ode15s, introducem formula eroriiglobale

Global Err. = ||[u, v]− [uode, vode]||2In simularile realizate, am folosit mai multe valori pentru pasul de timp

h. Astfel, pentru fiecare ın parte, calculatorul are nevoie de o anumita pe-rioada de timp pentru gasirea solutiei. Legatura dintre eroarea globala si timpulcomputational necesar, reprezinta al doilea tip de test utilizat ın acest studiu.Ultimul dintre ele, corespunde unui test ın care se masoara nivelul erorii pediferite subintervale ale lui [0, T ]. O numim eroare locala si se determina cu

Local Err. = ||[u(xj , τl), v(xj , τl)]− [uode(xj , τl), vode(xj , τl)]||2,

106

Page 108: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

Fig. 15. Comportamentul variabilei u(x, t) reprezentand concentratia de acid uric ceinteractioneaza cu substratul de oxigen v(x, t), ın reactia de inhibitie substratala.

unde (τl)l=0,..,R este o multime de puncte R care alcatuieste reteaua de noduridin intervalul [0, ti], cu ∆τ = ti

R , pentru i = 1, 2, ..., M , unde

τl = l∆τ, l = 0, 1, .., R.

In figurile 16,17 sunt ilustrate rezultate comparative cu privire la calitateaschemelor numerice folosite la rezolvarea sistemelor ın cazul modelelor Gierer-Meinhardt si Tomas. Aici se poate observa comportamentul erorii globale cafunctie de pas de timp folosit, unde h ia valori ınte 10−2 si 10−1. In cazul mode-lului Gierer-Meinhardt, schemele Lawson 4, hochost 4, ETD4rk si ABLawson 4au obtinut rezultatele cele mai bune. Pentru modelul Thomas, solutia obtinutacu metoda ETD5rkf este cea mai apropiata de solutia exacta.

In figura 18, putem vedea rezultate ale erorii globale pentru valori ale lui hcuprinse ıntre 10−3 si 10−1, ın cazul modelului de conversie al glucozei. Cele maibune aproximari s-au obtinut cu schemele genlawson45 si modgenlawson45.

Genlawson45 este o schema descrisa de Krogstad ın [45] si reprezinta o ca-tegorie de metode special construite pentru ımbunatatirea schemelor de tipLawson. Aceste scheme folosesc transformari sofisticate, care aproximeaza maibine dinamica sistemului de ecuatii diferentiale initial si fac parte din clasametodelor exponentiale liniare generale.

Modgenlawson45 este o schema Lawson generala modificata care, ın anu-mite situatii, determina o solutie aproximanta mai fina decat cea obtinuta cu cuschema genlawson45. In lucrarea [56] este prezentata pe larg structura acesteimetode.

107

Page 109: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

10−2

10−1

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Timestep h

Glo

bal e

rror

Gierer−Meinhardt, ND=128, IC: Smooth, a=0.035, b=0.065, κ=1, γ=0.1

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 16. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de pas de timp, pentru modelul Gierer-Meinhardt.

10−3

10−2

10−1

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Timestep h

Glo

bal E

rror

Thomas, ND=128, IC: Smooth, a=0.075, α=0.095, b=0.05, ρ=0.0085, κ=1, γ=0.001

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 17. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de pas de timp, pentru modelul Thomas.

108

Page 110: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

10−3

10−2

10−1

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Timestep h

Glo

bal e

rror

Glycolysis, ND=128, IC: Smooth, r=0.025, miu =0.045, niu =0.35

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 18. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de pas de timp, pentru modelul de transformare a glucozei.

Tabelul urmator furnizeaza date ale erorii globale determinate pentru di-verse valori ∆t. Modelul vizat este CIMA. De asemenea, timpii computationaliobtinuti sunt prezentati.

CIMA, ND=128, IC: Smooth, c = 0.1, k1 = 0.095, k2 = 0.5, k3 = 3.5

Etd5rkf Ablawson Genlawson4Timestep Timeused Global Err. Timeused Global Err. Timeused Global Err.0.0010 1.203 3.940E-08 0.625 8.816E-05 1.297 5.498E-070.0020 0.656 8.524E-07 0.313 4.193E-04 0.625 7.032E-060.0032 0.422 5.271E-06 0.234 9.923E-04 0.438 3.136E-050.0063 0.266 5.428E-05 0.125 2.893E-03 0.219 2.134E-040.0127 0.188 3.494E-04 0.063 6.866E-03 0.141 1.007E-030.0313 0.094 2.264E-03 0.094 1.701E-02 0.078 4.987E-030.0625 0.078 7.078E-03 0.016 2.411E-02 0.063 1.380E-020.1000 0.063 1.445E-02 0.031 1.332E-01 0.047 1.001E-01

Imaginile 19, 20 si 21 evidentiaza dependenta ıntre eroarea globala si tim-pul computational. Rezultate bune au fost obtinute cu schemele Lawson 4,ETD4RK si ABLawson 4 ın cazul modelului Gierer-Meinhardt, respectiv Lawson4, rkmk4t, ETD5RKF pentru modelul Thomas. In situatia modelului de conver-sie al glucozei, erorile globale cele mai mici s-au obtinut cu schemele Lawson 4,ETD4RK si rkmk4t.

109

Page 111: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

10−2

10−1

100

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Time used

Glo

bal e

rror

Gierer−Meinhardt, ND=128, IC: Smooth, a=0.035, b=0.065, κ=1, γ=0.1

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 19. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de timp computational, pentru modelul Gierer-Meinhardt.

10−2

10−1

100

101

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

Time used

Glo

bal e

rror

Thomas, ND=128, IC: Smooth, a=0.075, α=0.095, b=0.05, ρ=0.0085, κ=1, γ=0.001

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 20. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de timp computational, pentru modelul Thomas.

110

Page 112: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

10−2

10−1

100

101

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Time used

Glo

bal e

rror

Glycolysis, ND=128, IC: Smooth, r=0.025, miu =0.045, niu =0.35

lawson4hochost4etd4rkrkmk4tabnorsett4ablawson4etd5rkfgenlawson45modgenlawson45

Fig. 21. Rezultate comparative asupra calitatii schemelor numerice: eroarea globala cafuntie de timp computational, pentru modelul de transformare a glucozei.

In tabelele urmatoare se gasesc estimari ale erorilor obtinute pe diverse inter-vale [0, ti] ⊂ [0, T ], pentru reactia CIMA si modelul de transformare al glucozei.

CIMA, ND=128, IC: Smooth, c = 0.1, k1 = 0.095, k2 = 0.5, k3 = 3.5

ti Lawson4 Hochost4 Etd4rkt Rkmk4t Friedli0.001 3.864E-06 6.181E-06 6.169E-06 3.467E-05 6.176E-060.002 3.993E-05 5.126E-05 5.122E-05 2.134E-04 5.125E-050.004 3.391E-04 3.036E-04 3.038E-04 8.104E-04 3.037E-040.016 6.391E-03 4.553E-03 4.565E-03 8.255E-03 4.551E-030.032 1.693E-02 1.293E-02 1.294E-02 3.911E-02 1.291E-020.126 7.011E-02 7.457E-02 7.325E-02 4.028E-01 7.363E-020.251 1.569E-01 1.739E-01 1.443E-01 1.024E+00 1.447E-01

Glycolysis, ND=128, IC: Smooth, r = 0.025, miu = 0.045, niu = 0.35

Timestep Lawson4 Hochost4 Etd4rkt Rkmk4t Friedli0.001 5.700E-14 1.690E-13 1.610E-13 5.770E-13 1.650E-130.002 1.820E-13 5.012E-12 4.771E-12 1.792E-11 4.884E-120.004 4.216E-12 1.524E-10 1.450E-10 5.453E-10 1.485E-100.016 2.157E-09 1.169E-07 1.111E-07 4.210E-07 1.139E-070.032 3.287E-08 2.628E-06 2.495E-06 9.591E-06 2.562E-060.126 7.105E-06 5.068E-04 4.753E-04 2.038E-03 4.925E-040.251 9.375E-05 3.737E-03 3.439E-03 1.709E-02 3.609E-03

111

Page 113: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Sisteme de tip Reactie-Difuzie

In simularile legate de eroarea locala, am mai folosit alte doua metode expo-nentiale de tip Runge-Kutta, Strehmel-Wiener si Friedli, introduse ın sectiunea3.2 (vezi schemele (3-5) si (3-6)).

Graficele si tabelele precizeaza ın titlurile lor ND = 128 si IC : Smooth.Asta ınseamna ca am folosit ın experimentele noastre o retea de ND punctepentru discretizarea domeniului spatial si ca valori initiale u0 si v0, un set dedate ce urmeaza o distributie Gaussiana :

u0(x) = 1− 12e(−150·(x− 1

2 )2), x ∈ [0, 1],

v0(x) = 1− e(−150·(x− 12 )2), x ∈ [0, 1].

112

Page 114: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

4 Modele de dinamica populatiei

4.1 Descrierea modelulului

In aceasta sectiune este tratata o problema de recoltare optimala asociata unuisistem cu dependenta de varsta si cu termen logistic. Se pleaca de la urmatorulsistem ın care este descrisa dinamica unei singure populatii

Dp(a, t) + µ(a, t)p +M(t, P (t))p = −u(t)p, (a, t) ∈ Q

P (t) =∫ A

0

p(a, t)da, t ≥ 0

p(0, t) =∫ A

0

β(a, t)p(a, t)da, t ≥ 0

p(a, 0) = p0(a), a ∈ [0, A),

(4.1)

unde cu Dp am notat derivata directionala

Dp(a, t) = limε→0+

1ε[p(a + ε, t + ε)− p(a, t)] ,

si Q = [0, A)×R+, cu A ∈ (0,+∞). Aici p(a, t) reprezinta densitatea populatieide varsta a la momentul t si A este speranta maxima de viata a populatiei.

Ratele vitale β si µ corespund ratelor de fertilitate si de mortalitate. Eledepind de varsta si timp si sunt considerate T - periodice ın raport cu t. Prin P (t)ıntelegem densitatea populatiei totale la momentul t, iar prin M(t, P (t)) o rataaditionala de mortalitate ce apare ın cazul suprapopularii. A treia ecuatie din(4.1) descrie dinamica natalitatii populatiei, unde p(0, t) reprezinta densitateade nou nascuti la momentul t. Densitatea initiala a populatiei de varsta a estep0(a). O prezentare amanuntita a modelului se poate gasi ın [70, 66, 43, 6].

Functia T - periodica u este efortul de recoltare si coincide cu o rata suplimen-tara de mortalitate. Se stie ca ın anumite ipoteze naturale, solutia pu a sistemului(4.1) satisface:

limt→+∞

‖pu(t)− pu(t)‖L∞(0,A) = 0,

cu pu solutia maximala nenegativa a problemei

Dp(a, t) + µ(a, t)p +M(t, P (t))p = −u(t)p, (a, t) ∈ Q

P (t) =∫ A

0

p(a, t)da, t ≥ 0

p(0, t) =∫ A

0

β(a, t)p(a, t)da, t ≥ 0

p(a, t) = p(a, t + T ), (a, t) ∈ Q.

(4.2)

De fapt, (4.2) are cel mult doua solutii nenegative, p ≡ 0 fiind ın mod evidentuna dintre ele.

113

Page 115: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Rezultate similare au fost obtinute de Chan si Guo [28], pentru cazul par-ticular cand funtiile β si µ depind doar de varsta. Alte rezultate importantecu privire la solutiile periodice ale sistemelor ce descriu dinamica populatiilorstructurate se gasesc ın [46, 47].

In continuare, consideram problema gasirii efortului de recoltare u core-spunzator recoltei maxime pe intervalul [t, t + T ], cand t →∞.

Pentru orice valori pozitive ale densitatii initiale a populatiei de varsta a areloc ∫ t+T

t

∫ A

0

u(s)pu(a, s)da ds →∫ T

0

∫ A

0

u(s)pu(a, s)da ds,

pentru t →∞ (recolta totala a populatiei descrisa de (4.1) pe intervalul de timp[t, t+T ], tinde la recolta totala pe intervale de timp de lungime T, ın cazul uneipopulatii periodice ce satisface (4.2)). Problema ar putea fi reformulata astfel

Sa se maximizeze∫ T

0

∫ A

0

u(s)pu(a, s)da ds, pentru toti u ∈ U , (OH)

unde multimea controalelor admisibile U este data prin

U = v ∈ L∞(R+); 0 ≤ v(t) ≤ L, v(t) = v(t + T ) a.p.t ın R+

si L ∈ (0,+∞).Specificatia lui (OH) este urmatoarea: u(t)yu(a, t) reprezinta recolta la mo-

mentul t a indivizilor de varsta a, prin urmare

∫ A

0

u(t)pu(a, t)da

reprezinta recolta obtinuta din indivizi de toate varstele la momentul t.Desi problema recoltarii optimale ın cazul populatiei structurate pe varsta, cu

valori initiale pentru densitatea populatiei, a fost studiata intens (amintim aicilucrarile [53, 21, 22, 40–42, 6, 18]), doar cateva lucrari trateaza cazul dinamiciiunei populatii structurate pe varsta periodice. Ne referim la [4, 5, 51] pentrumodele liniare si la [3] pentru cazurile neliniare.

Presupunerile din [4, 5, 51] conduc la extinctia populatiei, ın conditiile ın carenu exista migratie din exterior. Aici conditiile folosite sunt naturale; nu existainfuzie de populatie si ın lipsa termenului logistic si controlului u, populatia artinde la +∞.

Introducem ipotezele

β ∈ C(R+; L∞(0, A)),β(a, t) ≥ 0, β(a, t) = β(a, t + T ) a.p.t (a, t) ∈ Q,∃δ, τ > 0 si a0 ∈ (0, A) astfel ıncat a0 + T ≤ A siβ(a, τ) ≥ δ a.p.t a ∈ (a0, a0 + T );

(H1)

114

Page 116: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Ultima ecuatie ne spune ca perioada de varsta a populatiei ın care aceasta estefertila este mai mare sau egala cu T .

µ ∈ C(R+;L∞(0, A)), ∀A ∈ (0, A),µ(a, t) ≥ 0, µ(a, t) = µ(a, t + T ) a.p.t (a, t) ∈ Q;

(H2)

p0 ∈ L∞(0, A), p0(a) > 0 a.p.t in (0, A); (H3)

M : R+ × R+ → R+ (H4)

este o functie continua, continua diferentiabila ın raport cu a doua variabila, iarderivata ın raport cu a doua variabila MP este pozitiva pe R+ × R+. In plus

M(t, P ) = M(t + T, P ), ∀t, P ∈ R+,M(t, 0) = 0, ∀t ∈ R+,

limP→+∞

M(t, P ) = +∞ , uniform ın raport cu t.

4.2 Comportarea asimptotica a solutiei sistemului dinamic

Definitie 4.1. Printr-o solutie a problemei (4.1) ıntelegem o functie pu ∈L∞(QT ), care pentru orice T ∈ (0,+∞), cu QT = (0, A)× (0, T ), satisface

(i) Dpu(a, t) = −µ(a, t)pu(a, t)−−M(t, Pu(t))pu(a, t)− u(t)pu(a, t) a.p.t. ın Q,

(ii) Pu(t) =∫ A

0

pu(a, t)da a.p.t. t ∈ R+,

(iii) limε→0+

pu(ε, t + ε) =∫ A

0

β(a, t)pu(a, t)da a.p.t. t ∈ R+,

(iv) limε→0+

pu(a + ε, ε) = p0(a) a.p.t. a ∈ [0, A).

Din (i) rezulta ca solutia pu trebuie sa fie o functie absolut continua peaproape toate dreptele de ecuatie a− t = k, (a, t) ∈ Q, k ∈ R, pentru ca (iii) si(iv) sa aiba consistenta.

Definitie 4.2. Printr-o solutie a sistemului (4.2) ıntelegem o functie pu ∈L∞(Q), astfel ıncat

(i)′ Dpu(a, t) = −µ(a, t)pu(a, t)−−M(t, Pu(t))pu(a, t)− u(t)pu(a, t) a.p.t. ın Q

(ii)′ Pu(t) =∫ A

0

pu(a, t)da a.p.t. t ∈ R+

(iii)′ limε→0+

pu(ε, t + ε) =∫ A

0

β(a, t)pu(a, t)da a.p.t. t ∈ R+

(iv)′ pu(a, t) = pu(a, t + T ) a.p.t. ın Q.

115

Page 117: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

O solutie pu trebuie sa fie o functie absolut continua pe aproape toate dreptelede ecuatie a− t = k, (a, t) ∈ Q, k ∈ R, astfel ıncat (iii)′ sa fie consistenta.

Un rezultat de ergodicitate stabilit de Thieme ın [65] si [66] implica existentaunei perechi unice (α, p∗) ∈ R×C(R+; L∞(0, A)), unde p∗ este solutia nenegativaa problemei

Dp∗(a, t) + µ(a, t)p∗ + αp∗ = 0, (a, t) ∈ Q,

p∗(0, t) =∫ A

0

β(a, t)p∗(a, t)da, t ∈ R+,

p∗(a, t) = p∗(a, t + T ), (a, t) ∈ Q,

(4.3)

si satisfaceEss sup p∗(a, t); (a, t) ∈ Q = 1.

Mai mult, urmeaza ca p∗ este pozitiv pe (0, A)× (0, +∞). Multimea tuturorsolutiilor sistemului (4.3) formeaza un spatiu liniar unidimensional.

Teorema 4.3. Pentru oricare u ∈ U , (1.1) admite o solutie unica pu si are loc

limt→+∞

‖pu(t)− pu‖L∞(0,A) = 0,

unde pu este solutia maximala nenegativa a problemei (4.2).

In plus (i) Daca Tα >

∫ T

0

u(t)dt, atunci pu 6≡ 0 este solutia unica nenegativa

a lui (4.2);

(ii) Daca Tα ≤∫ T

0

u(t)dt, atunci pu ≡ 0 este singura solutie nenegativa a

problemei (4.2).

Observatie 4.4. Daca Tα >

∫ T

0

u(t)dt, atunci pu(a, t) = c0p∗(a, t)hu(t), pen-

tru (a, t) ∈ Q, unde c0 ∈ (0, +∞) este o constanta oarecare si hu este solutianenegativa si netriviala a urmatorului sistem

h′(t) +M(t, P ∗0 (t)h(t))h(t)− αh(t) = −u(t)h(t), t ∈ R+

h(t) = h(t + T ), t ∈ R+.(4.4)

unde P ∗0 (t) = c0

∫ A

0

p∗(a, t)da, t ≥ 0.

Este evident ca hu depinde de c0 prin intermediul P ∗0 . Totusi, c0hu este

independent de c0.

Observatie 4.5. Rezultatul teoremei 4.3 permite aproximarea solutiei nenega-tive maximale corespunzatoare lui (4.2), avand ca punct de plecare solutia prob-lemei (4.1).

116

Page 118: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

4.3 Problema de recoltare optimala

Din teorema 4.3 se gaseste ca pentru oricare u ∈ U are loc

∫ T

0

∫ A

0

u(t)pu(t)da dt =∫ T

0

u(t)P ∗0 (t)hu(t)dt,

unde hu este solutia maximala nenegativa a ecuatiei (4.4) si deci problema derecoltare poate fi adusa la urmatoarea forma

Sa se maximizeze∫ T

0

u(t)P ∗0 (t)hu(t)dt, pentru toti u ∈ U . (OH)

Daca α ≤ 0, rezulta conform teoremei 4.3 ca hu ≡ 0, pentru orice u ∈ U , deunde obtinem ca problema (OH) este triviala. In aceasta situatie, populatia estepredispusa la extinctie chiar si ın conditiile nerecoltarii.

In continuare, vom considera cazul

α > 0,

cand, daca termenul∫ T

0

u(t)dt este mic, atunci hu(t) > 0, ∀t ∈ [0, T ].

S-a demonstrat ın [3] ca exista cel putin un efort de recoltare optimal u∗.Mai mult,

Teorema 4.6. Fie (u∗, h∗) perechea optimala pentru (OH). Daca q este solutia

q′(t)−M(t, P ∗0 (t)h∗(t))q(t)−MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t)h∗(t)q(t)+ αq(t) = u∗(t)(P ∗0 (t) + q(t)), t ∈ R+

q(t) = q(t + T ), t ∈ R+,(4.5)

atunci

u∗(t) =

0, daca P ∗0 (t) + q(t) < 0,L, daca P ∗0 (t) + q(t) > 0,

(4.6)

Demonstratie Daca h∗ este o solutie pozitiva pentru

(h∗)′(t) = γ(t)h∗(t), t ∈ R+,h∗(0) = h∗(T ), t ∈ R+,

unde γ(t) = α − u∗(t) −M(t, P ∗0 (t)h∗(t))) a.p.t. t ∈ R+. Din T -periodicitatealui h∗, rezulta

∫ T

0γ(t)dt = 0.

117

Page 119: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Mai ıntai, vom arata ca sistemul (4.5) are o solutie unica q. Rescriem (4.5)astfel :

q′ = −γ(t)q +MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t)h∗(t)q(t) + u∗(t)P ∗0 (t), t ∈ R+,q(t) = q(t + T ), t ∈ R+.

Solutia q ar trebui sa ındeplineasca

q(t) = q(0) exp∫ t

0

[−γ(s) +MP (s, P ∗0 (s)h∗(s))P ∗0 (s)h∗(s)]ds

+∫ t

0

u∗(s)P ∗0 (s) exp∫ t

s

[−γ(θ) +MP (θ, P ∗0 (θ)h∗(θ))P ∗0 (θ)h∗(θ)]dθ

ds,

pentru orice t ∈ R+. Cum q(0) = q(T ), avem

q(0) = q(0) exp∫ T

0

[−γ(s) +MP (s, P ∗0 (s)h∗(s))P ∗0 (s)h∗(s)]ds

+∫ T

0

u∗(s)P ∗0 (s) exp∫ T

s

[−l(θ) +MP (θ, P ∗0 (θ)h∗(θ))P ∗0 (θ)h∗(θ)]dθ

ds,

pentru t ∈ R+ si mai departe

q(0) =(

1− exp∫ T

0

[MP (s, P ∗0 (s)h∗(s))P ∗0 (s)h∗(s) + u∗(s)P ∗0 (s)]ds

)−1

·

·∫ T

0

u∗(s)P ∗0 (s) exp∫ T

s

[−γ(θ) +MP (θ, P ∗0 (θ)h∗(θ))P ∗0 (θ)h∗(θ)]dθds < 0

(datorita presupunerilor facute asupra luiM si pozitivitatii lui h∗ si P ∗0 ). FunctiaT -periodica q obtinuta este unica solutie a ecuatiei (4.5).

Fie v ∈ L∞(R+) o functie T periodica oarecare, astfel ıncat u∗ + εv ∈ U ,pentru orice ε > 0 suficient de mic. Este evident ca pentru ε > 0 suficient demic, avem ca Tα >

∫ T

0u∗(t)dt + ε

∫ T

0v(t)dt. Cum u∗ este un control optimal

pentru (OH), deducem

∫ T

0

u∗(t)P ∗0 (t)h∗(t)ds ≥∫ T

0

(u∗(t) + εv(t))P ∗0 (t)hu∗+εv(t)dt,

si ∫ T

0

u∗(t)P ∗0 (t)hu∗+εv(t)− h∗(t)

εdt +

∫ T

0

v(t)P ∗0 (t)hu∗+εv(t)dt ≤ 0,

pentru orice ε > 0 suficient de mic.

118

Page 120: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Urmatorul rezultat este obtinut ıntr-o maniera standard.

Lema 4.7.hu∗+εv → h∗ ın C([0, T ]),1ε[hu∗+εv − h∗] → z ın C([0, T ]),

pentru ε → 0+, unde z este solutia urmatoarei probleme

z′ = γ(t)z −MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t)h∗(t)z(t)− v(t)h∗(t), t ∈ R+

z(t) = z(t + T ), t ∈ R+.

Demonstratia Teoremei 4.6 (continuare) Trecand la limita (ε → 0+) ınultima inecuatie si folosind Lema 4.7, obtinem

∫ T

0

P ∗0 (t)[u∗(t)z(t) + v(t)h∗(t)]dt ≤ 0.

Inmultim prima ecuatie din (4.5) cu z si integram pe [0, T ]. Se gaseste∫ T

0

q′(t)z(t)dt =∫ T

0

z(t)[−γ(t)q(t) +MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 h∗q + u∗(t)P ∗0 (t)]dt.

Dar∫ T

0

q′(t)z(t)dt = −∫ T

0

q(t)z′(t)dt

=∫ T

0

q(t)[−γ(t)z(t) +MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t)h∗(t)z(t) + v(t)h∗(t)]dt

si ajungem la ∫ T

0

u∗(t)P ∗0 (t)z(t)dt =∫ T

0

v(t)h∗(t)q(t)dt.

De aici, obtinem ∫ T

0

v(t)h∗(t)(P ∗0 (t) + q(t))dt ≤ 0,

pentru orice functie T -periodica v ∈ L∞(R+) astfel ıncat u∗ + εv ∈ U si Tα >∫ T

0u∗(t)dt + ε

∫ T

0v(t)dt, pentru orice ε > 0 suficient de mic. Din ultima relatie

rezulta (4.6).

Observatie 4.8. Din (4.5) si (4.6) se obtine ca functia q este solutia problemeiurmatoare

q′(t)−M(t, P ∗0 (t)h∗(t))q(t)−MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t)h∗(t)q(t)+ αq(t) = L(P ∗0 (t) + q(t))+, t ∈ R+

q(t) = q(t + T ), t ∈ R+,(4.7)

unde r+ = maxr, 0, ∀r ∈ R.

119

Page 121: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Observatie 4.9. Daca

(P ∗0 )′(t) 6= M(t, P ∗0 (t)h∗(t))P ∗0 (t) +MP (t, P ∗0 (t)h∗(t))(P ∗0 (t))2h∗(t)− αP ∗0 (t)

a.p.t. ın R+, atunci din (4.7) se gasete

P ∗0 (t) + q(t) 6= 0 a.p.t ın (0, T ).

Din ultima relatie si din (4.6) obtinem

u∗(t) = 0 sau L a.p.t ın (0, T ),

deci u∗ este un control bang-bang.

4.4 Un algoritm numeric

In continuare, vom dezvolta un algoritm pentru aproximarea solutiei problemeide recoltare optimala (OH). Vom folosi conditiile de optimalitate din teorema4.6.

Mai ıntai, introducem o metoda numerica de stabilizare (NSM) a solutieiecuatiilor diferentiale periodice. La fel ca ın sectiunea 4.1, consideram Q =[0, A)× R+ si urmatoarea problema abstracta:

Sa se gaseasca x ∈ X solutia unica a ecuatiei

(Fx)(a, t) = y(a, t), (a, t) ∈ Q,x(a, t) = x(a, t + T ), (a, t) ∈ Q,

(P )

unde y ∈ Y este o funtie T -periodica ın raport cu T si F : X → Y un operator.Problema (P) este T -periodica ın raport cu t. Asa cum am vazut ın sectiuneaprecedenta, solutia lui (P ) poate fi calculata din problema cu valori initiale

(Fx)(a, t) = y(a, t), (a, t) ∈ Qx(a, 0) = x0(a), a ∈ [0, A). (P0)

Algoritm NSM

S0: Se determina x0, solutia problemei (P0) pentru t ∈ [0, T ]; se alege k = 1;S1: Se determina solutia sistemului

(Fx)(a, t) = y(a, t), a ∈ [0, A) , t ∈ [kT, (k + 1)T ]x(a, kT ) = x(k−1)(a, kT ), a ∈ [0, A),

(Pk)

pe care o notam cu x(k).S2: Criteriul de oprire:

Daca ‖x(k) − x(k−1)‖ < ε, algoritmul se opreste, iar x(k) este solutiacautata. In caz contrar k := k + 1 si se reia algoritmul de la pasul S1.

120

Page 122: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

La pasul S2, trebuie folosita o norma adecvata, iar ε > 0 este un parametrudat care indica eroarea dorita. Pentru orice interval [kT, (k +1)T ] de lungime T ,introducem reteaua de puncte echidistante:

kT = t1 < t2 < ... < tN = (k + 1)T

si aproximam valorile x(k) = (x(k)i )i, i = 1, 2, ..., N , prin x

(k)i ≈ x(k)(ti), pentru

i = 1, N . Desigur, fiecare x(k)i are nevoie de o retea de puncte care discretizeaza

intervalul [0, A). Cand algoritmul (NSM) se opreste, solutia furnizata x(k) cores-punde solutiei T -periodice a sistemului (P ).

Sistemele biologice analizate ın acest capitol ındeplinesc proprietatea de sta-bilitate ceruta de (NSM). Independent de alegerea lui x0, solutia x se stabilizeazadupa un numar de intervale de lungime T (vezi [2] pentru teste numerice).

Mai departe, folosind rezultatele matematice obtinute ın sectiunile 4.2 si 4.3,introducem o metoda de tip gradient proiectat pentru aproximarea problemei derecoltare optimala. Cum u este restrictionat la multimea U , vom folosi un algo-ritm de tip Rosen (e.g., [14], p.44). De asemenea, am folosit algoritmul (NSM)ca o subrutina.

Pentru simplificarea formulelor, consideram M(t, P ) = P si c0 = 1.

Algoritm PGM

S0: Se calculeaza parametrul α, daca α > 0S0.0 : Se alege p0(a) > 0 si se rezolva urmatorul sistem (vezi (4.2)),

folosind algoritmul (NSM).

Dp(a, t) + µ(a, t)p + P (t)p = 0, (a, t) ∈ Q

P (t) =∫ A

0

p(a, t)da, t ≥ 0

p(0, t) =∫ A

0

β(a, t)p(a, t)da, t ≥ 0

p(a, t) = p(a, t + T ), (a, t) ∈ Q.

S0.1 : α =1T

∫ (k+1)T

kT

∫ A

0

p(a, t)da dt,

unde k se obtine din algoritmul (NSM) la pasul S2.

S0.2 : Se fixeaza j := 0 si u(j)(t) := u0(t), unde u0 este dat.

S1 : Se calculeaza p(j) solutia sistemului

Dp(a, t) + µ(a, t)p + P (t)p = −u(j)(t)p, (a, t) ∈ Q

P (t) =∫ A

0

p(a, t)da, t ≥ 0

p(0, t) =∫ A

0

β(a, t)p(a, t)da, t ≥ 0

p(a, t) = p(a, t + T ), (a, t) ∈ Q,

121

Page 123: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

cu algoritmul (NSM). Aici p(j) corespunde solutiei problemei (4.2), pu.

S2 : Se calculeaza h(j) solutia sistemului

h′(t) +

(∫ A

0

p(j)(a, t)da

)h(t)− αh(t) = −u(j)(t)h(t), t ∈ R+

h(t) = h(t + T ), t ∈ R+,

folosind algoritmul (NSM). Aici h(j) corespunde solutiei problemei (4.4).

S3 : Se calculeaza q(j)

S3.1 : P(j)0 (t) = (h(j)(t))−1

∫ A

0

p(j)(a, t)da

S3.2 : Se calculeaza q(j) din

q′(t)− 2

(∫ A

0

p(j)(a, t)da

)q(t) + αq(t) = u(j)(t)

(P

(j)0 (t) + q(t)

), t ∈ R+

q(t) = q(t + T ), t ∈ R+,

Mai ıntai se determina q(0). Aice q(j) corespunde solutiei problemei (4.5).S4 : Se calculeaza w(j) din formula

w(j)(t) =

0, if P

(j)0 (t) + q(t) < 0

L, if P(j)0 (t) + q(t) > 0.

Aici w(j) se obtine folosind u∗ din formula (4.6).

S5 : Se calculeaza noul control u(j+1)

S5.1 : Se determina λj ∈ [0, 1], solutia problemei de maximizareMax Φ(λu(j) + (1− λ)w(j)) ; λ ∈ [0, 1],

unde Φ este funtionala de cost corespunzatoare lui (OH).

S5.2 : Se calculeaza u(j+1) = λju(j) + (1− λj)w(j).

S6 : criteriul de oprire Daca ‖u(j+1) − u(j)‖ < ε, algoritmul se opreste,iar u(j+1) este solutia cautata. In caz contrar j := j + 1 si se reia algoritmul dela pasul S1.

In S6, norma aleasa trebuie sa fie adecvata, iar ε > 0 este un parametru datsi indica eroarea dorita.

4.5 Simulari numerice

Mai ıntai precizam ca o combinatie convexa de controale bang-bang nu este ofunctie bang-bang. Din acest motiv, am ınlocuit combinatia convexa λu(j) +

122

Page 124: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

(1− λ)w(j) de la pasul S5.1, din algoritmul (PGM), folosind o idee introdusa deGlashoff si Sachs ın [38] si [14].

Aceasta consta ın utilizarea unei combinatii convexe de puncte de schimbareale lui u(j) si w(j), obtinand astfel un sistem de puncte de schimbare pentru noulcontrol de tip bang-bang. Am folosit aceasta tehnica si ın sectiunea 2.1.2.

In experimentele noastre, am folosit urmatoarele funtii T-periodice cores-spunzatoare ratelor de natalitate si mortalitate.

β(a, t) = B · a2(1− a)(1 + sin(πa))∣∣∣∣sin

2πt

T

∣∣∣∣ , (4.8)

µ(a, t) =e−4a(2 + cos 2πt

T )(1− a)1.4

. (4.9)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

25

30

35

t

p(0,

t)

p0=1 p0=3 p0=exp(−0.5*a2)

Fig. 22. Graficul funtiei p(0, t) pentru diverse valori ale lui p0.

In figura 22 sunt ilustrate graficele functiilor p(0, t), pentru diferite valoriinitiale p0. Remarcam ca pentru valori ale lui t suficient de mari, curbele cores-punzatoare sunt identice, indiferent de valorile alese pentru p0. Mai exact, celetrei curbe coincid pe intervalele [kT, (k + 1)T ], pentru k suficient de mare. Ast-fel, testele numerice confirma existenta unui atractor pozitiv. Mai multe detaliinumerice pot fi gasite ın [2]. Algoritmul (PGM) a fost implementat ın Matlab.

123

Page 125: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

u(t)

Fig. 23. Controlul optimal u(t) obtinut pentru A = 1, T = 0.5, p0(a) = 3,L = 1.5, B = 59.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

u(t)

Fig. 24. Controlul optimal u(t) obtinut pentru A = 1, T = 0, 5, p0(a) = 3,L = 1.5, B = 75.

124

Page 126: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Modele de dinamica populatiei

Pentru calculul efortului de recoltare optimal, am folosit urmatoarele valori

A = 1, T = 0.5, populatia initiala p0(a) = 3 si L = 1.5.

Am realizat teste numerice pentru valori diferite ale lui B, ın formula (4.8).Pentru B = 59, am obtinut α = 2, 0098 si controlul suboptimal bang-bang u(t)corespunzator este dat ın figura 4.5.

Pentru B = 75, am obtinut α = 2, 5006 si controlul suboptimal bang-bangu(t) corespunzator este dat ın figura 24.

Pentru B = 100, am obtinut α = 3, 112 si controlul suboptimal bang-bangu(t) = L, pentru orice t.

Daca alegem B foarte mare, rata de fertilitate β este ridicata si populatiapermite un efort maxim de recoltare. In acest caz, populatia persista, conducandla o recolta maxima totala.

125

Page 127: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

A Notiuni de analiza functionala si convexa

In aceasta anexa ne propunem sa concentram unele notiuni si rezultate de bazadin analiza funtionala si convexa, care au fost utilizate pe parcursul lucrarii.

A.1 Notiuni de diferentiabilitate pe spatii normate

Consideram spatiile normate reale V si H si operatorul F : D ⊆ V → H

Definitie A.1. Numim derivata directionala a lui F ın x ∈intD dupa directiah ∈ V

F ′(x, h) = limλ→0

F (x + λh)− F (x)λ

, (A.1)

ori de cate ori aceasta limita exista.

Se poate observa cu usurinta ca F ′(x, 0) = 0 pentru orice x ∈intD si caoperatorul h → F ′(x, h) este omogen

F ′(x, αh) = αF ′(x, h), pentru orice α ∈ R.

In schimb, operatorul definit mai sus nu este aditiv si ın consecinta nu este liniar.Vom introduce ın continuare derivatele directionale laterale.

Definitie A.2. (i)Derivata directionala la dreapta a lui F ın x ∈intD dupadirectia h ∈ V este definita astfel

F ′+(x, h) = limλ→0+

F (x + λh)− F (x)λ

,

ori de cate ori aceasta limita exista.(ii)Derivata directionala la stanga a lui F ın x ∈intD dupa directia h ∈ V

este data prin

F ′−(x, h) = limλ→0−

F (x + λh)− F (x)λ

,

daca aceasta limita exista.

Analizand functia λ → F (x+λh)−F (x)λ pentru λ tinzand la 0 obtinem

Propozitie A.3. F admite derivata directionala ın x ∈intD dupa directia h,daca si numai daca exista si sunt egale derivatele directionale laterale ale lui Fın x dupa directia h. In acest caz avem

F ′(x, h) = F ′+(x, h) = F ′(x, h).

Mai departe vom defini conceptul de slaba diferentiabilitate (ın sens Gateaux)

126

Page 128: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Definitie A.4. Daca pentru x ∈intD derivata directionala F ′(x, h) exista pentruorice directie h ∈ V si operatorul h → F ′(x, h) este liniar si continuu, atuncispunem ca F este slab diferentiabil (diferentiabil Gateaux) ın x. In acest cazF ′(x) ∈ L(V, H) definit prin

F ′(x)h = limλ→0

F (x + λh)− F (x)λ

poarta numele de derivata slaba (Gateaux) a lui F ın x.

Dam ın continuare o definitie echivalenta a diferentiabilitatii Gateaux

Definitie A.5. Spunem ca F este slab diferentiabil ın x ∈intD daca exista unoperator liniar A : V → H astfel ıncat

limλ→0

||F (x + λh)− F (x)− λAh||λ

= 0,∀h ∈ V.

Astfel avem F ′(x) = A si

limλ→0

F (x + λh)− F (x)λ

= Ah. (A.2)

Lema A.6. Operatorul liniar A din definitia A.5 este unic.

Demonstratie Fie A1 si A2, doi operatori ce satisfac (A.2). Atunci pentru oriceh ∈ V si pentru oricare λ > 0 are loc

||(A1 −A2)h|| = λ−1||λA1h− λA2h|| == λ−1|| − (F (x + λh)− F (x)− λA1h) + (F (x + λh)− F (x)− λA2h)||≤ λ−1(||F (x + λh)− F (x)− λA1h||+ ||F (x + λh)− F (x)− λA2h||.

Trecand la limita pentru λ → 0 obtinem ||(A1 − A2)h|| pentru orice h ∈ V deunde A1 = A2.

Definitie A.7. Spunem ca F : D ⊆ V → H este hemicontinuu ın x ∈intD daca

limλ→0

F (x + λh) = F (x), ∀h ∈ V.

Propozitie A.8. Daca F este slab diferentiabil ın x ∈intD, atunci F estehemicontinuu ın x.

Demonstratie Fie h un element fixat ın V . Introducem functia ϕ(λ) = F (x +λh) cu domeniul

D(ϕ) = λ ∈ R; x + λh ∈ D.Cum x ∈intD, avem ca D(ϕ) contine o vecinatate a lui 0 ∈ R. Pe de alta parte,din definitia lui ϕ stim ca

ϕ(λ)− ϕ(0)λ

=F (x + λh)− F (x)

λ,

127

Page 129: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

care ımpreuna cu proprietatea de diferentiabilitate a lui F ın x, conduc la deri-vabilitatea lui ϕ ın 0. Astfel am obtinut ca ϕ este continua ın 0, de unde rezultalimλ→0 ϕ(λ) = ϕ(0) si de aici concluzia.

Trecem acum la definirea conceptului de tare diferentiabilitate (ın sens Frechet)

Definitie A.9. Operatorul F : D ⊆ V → H este tare diferentiabil (diferentiabilFrechet) ın x ∈intD daca exista un operator liniar marginit A ∈ L(V,H) astfelıncat

lim||h||→0

||F (x + h)− F (x)−Ah||||h|| = 0. (A.3)

Operatorul A se mai noteaza cu F ′(x) si poarta numele de derivata tare (derivataFrechet) a lui F ın x.

Propozitie A.10. Daca F este tare diferentiabil ın x ∈intD, atunci F estecontinuu ın x. Mai mult, exista δ > 0 si c > 0 astfel ıncat pentru orice h ∈ Vcu proprietatea ca ||h|| ≤ δ avem ca x + h ∈ D si

||F (x + h)− F (x)|| ≤ C||h||.Demonstratie Fie x ∈intD. Deci exista δ1 > 0 astfel ıncat x + h ∈ D pentru||h|| ≤ δ1. Din (A.3) obtinem ca pentru orice ε > 0 exista δ2 > 0 asa ıncat||h|| ≤ δ2 pentru care

||F (x + h)− F (x)− F ′(x)h|| ≤ ε||h||.Luand δ = min(δ1, δ2), avem pentru ||h|| ≤ δ

||F (x + h)− F (x)|| ≤ ||F (x + h)− F (x)− F ′(x)h||+ ||F ′(x)||||h|| ≤≤ (ε + ||F ′(x)||)||h||.

Propozitie A.11. Daca F este tare diferentiabil ın x ∈intD, atunci F este slabdiferentiabil ın x.

Demonstratie Din formula (A.3) avem

lim||λh||→0

||F (x + λh)− F (x)− λF ′(x)h||||λh|| = 0.

Fixand h 6= 0, obtinem

limλ→0

||F (x + λh)− F (x)− λF ′(x)h|||λ| = 0

si deci

limλ→0

F (x + λh)− F (x)λ

= F ′(x)h.

Observatie A.12. Propozitia A.11 afirma ca unicitatea derivatei slabe implicaunicitatea derivatei tari.

128

Page 130: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

A.2 Notiuni de analiza convexa

Fie V un spatiu Hilbert real.

Definitie A.13. Spunem ca multimea A ⊆ V este convexa, daca λx1 + (1 −λ)x2 ∈ K, pentru orice x1, x2 ∈ K si oricare λ ∈ [0, 1].

Definitie A.14. Combinatia liniara∑m

i=1 λixi de elemente din V este o combinatieconvexa daca λi ≥ 0, i = 1, 2, .., m si

∑mi=1 λi = 1.

Definitie A.15. Spunem ca multimea C ⊆ V este un con daca λx ∈ C pentruorice x ∈ C si orice λ pozitiv.

Definitie A.16. Functia f : V → R este convexa daca f(λx1 + (1 − λ)x2) ≤λf(x1) + (1− λ)f(x2), oricare ar fi x1, x2 ∈ V si oricare λ ∈ [0, 1].

Definitie A.17. Functia f : V → R este strict convexa daca f(λx1+(1−λ)x2) <λf(x1) + (1− λ)f(x2), oricare ar fi x1, x2 ∈ V cu x1 6= x2 si oricare λ ∈ [0, 1].

Observatie A.18. Orice functionala convexa satisface inegalitatea lui Jensen

f

( m∑

i=1

λixi

)≤

m∑

i=1

λif(xi),

pentru orice combinatie convexa de elemente din V .

De regula, ın analiza convexa se considera funtii care iau valori ınR = R ∪ −∞,∞ cu conventia +∞+ (−∞) = +∞.

Mai departe definim notiunea de domeniu efectiv al unei functionale f prin

D(f) = v ∈ V ; f(v) < +∞.

Definitie A.19. Functionala convexa f : V → R este proprie daca f(x) > −∞pentru orice x ∈ V si daca exista cel putin un element x ∈ V astfel ıncatf(x) < ∞.

Definitie A.20. Epigraful unei functionale f : V → R este o multime care senoteaza cu epi f si este definita astfel

epi f = (x, r) ∈ V × R; f(x) ≤ r.

Propozitie A.21. Funtionala f : V → R este convexa daca si numai dacaepigraful ei este o multime convexa din V × R.

Demonstratie Presupunem ca f este convexa. Fie (x1, r1), (x2, r2) ∈ epi f siλ ∈ [0, 1]. Atunci

f(λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2) ≤ λr1 + (1− λ)r2.

129

Page 131: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Astfel (λx1 + (1− λ)x2, λr1 + (1− λ)r2) ∈ epi f, de unde obtinem ca λ(x1, r1) +(1− λ)(x2, r2) ∈ epi f si deci epi f este convexa.

Acum trecem la demonstratia inversa si consideram ca epigraful lui f este omultime convexa din V × R. Fie x1, x2 ∈ V si λ ∈ [0, 1]. In mod evident avemca (x1, f(x1)) si (x2, f(x2)) sunt elemente din epigraf. Atunci λ(x1, f(x1))+(1−λ)(x2, f(x2)) ∈ epi f, de unde gasim ca (λx1+(1−λ)x2, λf(x1)+(1−λ)f(x2)) ∈epi f.

Din definitia (A.20) obtinem f(λx1 +(1−λ)x2) ≤ λf(x1)+(1−λ)f(x2).

In continuare dam cateva rezultate de diferentiabilitate ın cazul functiilorconvexe. Mai ıntai introducem functionala convexa f : V → R si definim

ϕ(h; λ) =f(x + λh)− f(x)

λ,

pentru h ∈ V \0 si λ ∈ R\0.Propozitie A.22. (i) Funtionala h → ϕ(h; λ) este convexa.

(ii) Functia λ → ϕ(h;λ) este crescatoare.

Demonstratie (i) Fie α ∈ [0, 1] si h1, h2 ∈ V . Atunci are loc

ϕ(αh1 + (1− α)h2; λ) =f(x + λαh1 + λ(1− α)h2)− f(x)

λ=

=f(α(x + λh1) + (1− α)(x + λh2))− f(x)

λ≤

≤ αf(x + λh1) + (1− α)f(x + λh2)− f(x)λ

=

= αf(x + λh1)− f(x)

λ+ (1− α)

f(x + λh2)− f(x)λ

=

= αϕ(h1; λ) + (1− α)ϕ(h2;λ).

Am aratat ca

ϕ(αh1 + (1− α)h2; λ) ≤ αϕ(h1; λ) + (1− α)ϕ(h2; λ), (A.4)

deci ϕ(· ;λ) este convexa.(ii) Fie 0 < λ1 < λ2. Din

f(x + λ1h) = f

(λ1

λ2(x + λ2h) +

λ2 − λ1

λ2x

)≤

≤ λ1

λ2f(x + λ2h) +

λ2 − λ1

λ2f(x) =

λ1

λ2[f(x + λ2h)− f(x)] + f(x),

obtinem

f(x + λ1h)− f(x) ≤ λ1

λ2[f(x + λ2h)− f(x)].

130

Page 132: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Impartind prin λ1 gasimϕ(h, λ1) ≤ ϕ(h, λ2).

Pentru λ1 < λ2 < 0 si λ1 < 0 < λ2 se folosesc rationamente similare.

Din definitia derivatei directionale avem

f ′(x, h) = limλ→0

f(x + λh)− f(x)λ

= limλ→0

ϕ(h;λ).

Folosind propozitia A.22 punctul (i) si trecand la limita λ → 0 ın (A.4) obtinemca functionala h → f ′(x, h) este convexa. Mai mult, stim din sectiunea A.1 caaceasta functionala este omogena. Mai departe, utilizand aceste doua proprietati,gasim

f ′(x, h1 + h2) = f ′(

x, 2(

12h1 +

12h2

))= 2f ′

(x,

12h1 +

12h2

)≤

≤ 2[12f ′(x, h1) +

12f ′(x, h2)

]= f ′(x, h1) + f ′(x, h2).

Astfel am obtinut urmatorul rezultat

Propozitie A.23. Daca f : V → R este convexa, atunci functionala h →f ′(x, h) este omogena, subaditiva si convexa.

Mai departe dam un rezultat de existenta pentru derivatele Gateaux ın cazulfunctionalelor convexe.

Propozitie A.24. Daca f : V → R este convexa, atunci admite derivatedirectionale la stanga si la dreapta ın orice x ∈ V si pentru orice directie h.Mai mult, are loc

f ′−(x, h) ≤ f ′+(x, h).

Demonstratie Cum f ′(x, 0) = 0, discutam doar cazul ın care h 6= 0. Functiaλ → ϕ(h; λ) este monotona conform propozitiei A.22 si deci are limite lateraleın λ = 0. Pentru λ1 < 0 < λ2 avem ϕ(h;λ1) ≤ ϕ(h; λ2) si

ϕ(h; λ1) ≤ limλ1→0−

ϕ(h; λ1) ≤ limλ2→0+

ϕ(h; λ2) ≤ ϕ(h;λ2).

Cum limitele laterale ın λ = 0 sunt finite obtinem

f ′−(x, h) ≤ f ′+(x, h).

Amintim o alta proprietate a functionalei h → f ′(x, h).

131

Page 133: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Propozitie A.25. Fie f : V → R o funtionala convexa. Atunci epigraful oper-atorului h → f ′(x, h) este un con convex ce contine (0, 0) ∈ V × R.

Demonstratie Mai ıntai notam operatorul h → f ′(x, h) cu q. Deci q(h) =f ′(x, h) pentru orice h ∈ V . Propozitia A.23 ne spune ca q este convexa de undeconform propozitiei A.21 avem ca epi q este o multime convexa din V × R.

In continuare aratam ca epi q este con. Daca (h, r) ∈ epi q, atunci f ′(x, h) ≤r. Inmultind cu λ > 0 si folosind proprietatea de omogenitate a lui f ′ ın raport cuh, gasim f ′(x, λh) ≤ λ, de unde rezulta (λh, λr) ∈ epi q. Astfel λ(h, r) ∈ epi qsi deci epi q este con.

Cum f ′(x, 0) = 0 rezulta ca (0, 0) ∈ epi q, unde (0, 0) ∈ V × R.

A.3 Subdiferentiala unei functionale convexe

Fie f : V → R o functionala convexa. Multimea

∂f(x) = w ∈ V ′; f(y) ≥ f(x) + (w, y − x)∀ y ∈ V se numeste subdiferentiala lui f ın x. Aici (·, ·) reprezinta dualitatea V ′ × V .Daca identificam V ′ cu V , atunci (·, ·) devine produsul interior din V. Oriceelement w ∈ ∂f(x) se numeste subgradient al lui f ın x.

Definitie A.26. Funtionala convexa f este subdiferentiabila ın x daca multimea∂f(x) este diferita de multimea vida. Multimea punctelor ın care f este subdife-rentiabila formeaza domeniul subdiferentialei ∂f si se noteaza cu D(∂f).

Daca f nu este identica cu +∞, atunci avem D(∂f) ⊂ D(f).

Introducem urmatoarele rezultate

Teorema A.27. Fie f : V → R o functionala convexa si x ∈ V un punct ın caref este continua. Atunci exista w ∈ V astfel ıncat pentru orice h ∈ V urmatoareleinegalitati sunt adevarate

f(x + h)− f(x) ≥ f ′+(x, h) ≥ (w, h) ≥ f ′−(x, h).

Teorema A.28. Daca f : V → R este o functionala convexa si daca f estecontinua ın x ∈ V , atunci multimea ∂f(x) este nevida, convexa si ınchisa.

Demonstratie Din teorema A.27 reiese ca multimea ∂f(x) este nevida, ıntrucatw, a carei existenta este asigurata de teorema de mai sus, este un subgradient.Fie w1, w2 ∈ ∂f(x), y ∈ V si λ ∈ [0, 1] oarecare. Din definitia subdiferentialeiavem ca

f(y) ≥ f(x) + (w1, y − x) si f(y) ≥ f(x) + (w2, y − x).

Adunand cele doua expresii de mai sus, care ın prealabil au fost ınmultite cu λrespectiv 1− λ, gasim

f(y) ≥ f(x) + (λw1 + (1− λ)w2, y − x).

132

Page 134: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Cum formula de mai sus este valabila pentru un y ∈ V oarecare, obtinem ca∂f(x) este o multime convexa.

Mai departe, vom arata ca ∂f(x) este ınchisa. Fie w(j) un sir din ∂f(x)convergent la w∗. Deci are loc

f(y) ≥ f(x) + (w(j), y − x), ∀y ∈ V.

Trecem la limita j →∞ deducem

f(y) ≥ f(x) + (w∗, y − x), ∀y ∈ V,

de unde w∗ ∈ ∂f(x).

Teorema A.29. Fie f : V → R o functionala convexa care este continua ınx ∈ V .

(i) Urmatoarele proprietati sunt adevarate pentru orice directie h ∈ V :

f ′+(x, h) = max(w, h); w ∈ ∂f(x), (A.5)

f ′−(x, h) = min(w, h); w ∈ ∂f(x) (A.6)

(ii) ∂f(x) este marginita.

Demonstratie (i) Teorema A.28 ne spune ca ∂f(x) 6= ∅, iar propozitia A.24garanteaza existenta derivatelor directionale laterale ale lui f pentru orice directieh ∈ V . Fie w ∈ ∂f(x). Atunci

f(x + λh) ≥ f(x) + (w, λh), pentru λ > 0.

Impartind prin λ si trecand la limita j →∞ obtinem

f ′+(x, h) ≥ (w, h), ∀h ∈ V

de unde avem f ′+(x, h) ≥ max(w, h); w ∈ ∂f(x). Mai departe ar trebui saaratam ca exista w∗ ∈ ∂f(x) astfel ıncat (w∗, h) = f ′(x, h) pentru a demonstra(A.5). Fixam un element nenul h0 ∈ V si introducem subspatiul generat deacesta

V0 = h ∈ V ; h = λh0, λ ∈ R.Pe acest spatiu definim funtionala liniara w0 astfel

w0(h) = w0(λh0) = λf ′+(x, h0).

Din teorema A.27 obtinem

−f(x− h)− f(x)) ≤ f ′+(x, h) ≤ f(x + h)− f(x), ∀h ∈ V,

ceea ce asigura continuitatea funtionalei h → f ′+(x, h) ın h = 0. Atunci, dacanotam cu α = supf ′+(x, h); ||h|| ≤ 1, avem

f ′+(x, h) ≤ α||h||, pentru orice h ∈ V0.

133

Page 135: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Printr-un calcul simplu ajungem la

w0(h) ≤ f ′+(x, h), ∀h ∈ V0.

Aplicam teorema lui Hahn-Banach pentru funtionala h → f ′+(x, h) gasim caexista o functionala liniara w care prelungeste w0 pe tot spatiul V astfel ıncat

w(h) ≤ f ′+(x, h), ∀h ∈ V.

Daca luam h = −h obtinem

−w(h) = w(−h) ≤ f ′+(x,−h) = −f ′−(x, h),

si mai departef ′−(x, h) ≤ w(h) ≤ f ′+(x, h).

Cum f ′−(x, ·) si f ′+(x, ·) sunt marginite, atunci w este marginita si din teoremalui Riesz exista w∗ asa ıncat

(w∗, h) = w(h) = f ′(x, h).

Pentru demonstratia lui (A.6) se foloseste ecuatia (A.5) si proprietatea f ′−(x, h) =−f ′+(x,−h).

(ii) Din (i) avem ca multimea (w, h); w ∈ ∂f(x) este marginita pentruorice h ∈ V . De aici rezulta ca si ∂f(x) este marginita.

Legatura dintre slab diferentiabilitate si subdiferentiabilitate este data prin

Teorema A.30. Fie f : V → R o funtionala convexa. Daca f este slab diferentia-bila ın x, atunci ∂f(x) = f ′(x).Demonstratie Cum f este convexa are loc

f(x + λ(y − x)) ≤ f(x) + λ[f(y)− f(x)],

pentru orice x, y ∈ V si λ ∈ [0, 1]. Impartind prin λ si facand ca λ sa tinda la 0obtinem

(f ′(x), y − x) ≤ f(y)− f(x)

si rezulta ca f ′(x) ∈ ∂f(x).Fie w ∈ ∂f(x). Atunci pentru orice y ∈ V are loc

f(y) ≥ f(x) + (w, y − x).

Daca luam y = x + λz cu λ > 0 ajungem la

(f ′(x), z) ≥ (w, z), ∀z ∈ V.

Mai departe avem ca(f ′(x)− w, z) ≥ 0, ∀z ∈ V.

Luand z = w − f ′(x), gasim

||f ′(x)− w||2 ≤ 0

ceea ce echivaleaza cu w = f ′(x).

134

Page 136: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Notiuni de analiza functionala si convexa

Exemplu A.31.

Fie A o multime convexa, nevida din V . Introducem functia indicator amultimii A

IA(x) =

0, daca x ∈ A,+∞, daca x 6∈ A.

Funtia IA este convexa cu domeniul D(IA) = A. In continuare vom calcula∂IA(x) pentru x ∈ A. Pentru orice w ∈ ∂IA avem din definitie

IA(y) ≥ IA(x) + (w, y − x), ∀y ∈ V.

Dar x ∈ A, de unde

IA(y) ≥ (w, y − x), pentru orice y ∈ V.

Daca y 6∈ A rezulta ca IA(y) = +∞ si inecuatia de mai sus este adevarata.Pentru y ∈ A gasim

(w, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ A.

Astfel am obtinut

∂f(x) = w ∈ V ; (w, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ A. (A.7)

∂IA(x) se numeste conul normal al multimii A ın x ∈ A. Se observa cu usurintaca ∂IA(x) este un con convex ce contine 0 ∈ V .

Vom arata ca daca x ∈intA, atunci ∂IA(x) = 0. Pentru x ∈intA existar > 0 astfel ıncat S(x, r) ⊂ A, unde S(x, r) = x + rt; t ∈ B si B este sferaunitate ınchisa. Luand ın (A.7) z = x + rt, cu t ∈ B, obtinem

(w, z) ≤ 0, ∀z ∈ B.

Daca y = x− rt atunci(w, z) ≥ 0, ∀z ∈ B

si deci(w, z) = 0, ∀z ∈ B. (A.8)

Daca presupunem ca w 6= 0, punem z = w/||w|| ın (A.8) si gasim ||w|| = 0, deunde rezulta ca ∂IA(x) = 0.

135

Page 137: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Bibliografie

Bibliografie

1. A.L. Amadori, J.L. Vazquez (2005). Singular free boundary problem from imageprocessing, Math. Models Methods in Appl. Sci., vol. 15, p. 689–715

2. L.I. Anita, S. Anita, V. Arnautu (2008). Global behaviour for an age-dependentpopulation model with logistic term and periodic vital rates, Appl. Math. Comput.,vol. 206, p. 368–379.

3. L.I. Anita, S. Anita, V. Arnautu (2009). Optimal harvesting for periodic age-dependent population dynamics with logistic term, Appl. Math. Comput., trimisaspre publicare.

4. S. Anita, M. Iannelli, M.Y. Kim, E.J. Park (1998). Optimal harvesting for periodicage-dependent population dynamics, SIAM J. Appl. Math., vol. 58, p. 1648–1666.

5. S. Anita (1998). Optimal harvesting for a nonlinear age-dependent populationdynamics J. Math. Anal. Appl., vol. 228, p. 6–22.

6. S. Anita (2000). Analysis and Control of Age-Dependent Population Dynamics,Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

7. S. Anita, V. Arnautu, R. Stefanescu (2009). Numerical Optimal Harvesting fora Periodic Age-Structured Population Dynamics with Logistic Terms, NumericalFunctional Analysis and Optimization, vol. 30, nr. 3-4, p. 183–198, Taylor andFrancis.

8. N. Apreutesei, G. Dimitriu, R. Stefanescu (2009). Time Optimal ControlProblem for Prey-Predator Systems, Lecture Notes in Computer Science, trimisaspre publicare.

9. V. Arnautu, V. Barbu (1985). Optimal Control of the free boundary in a two-phaseStefan problem, Preprint Series in Mathematics, vol. 11, INCREST, Bucuresti.

10. V. Arnautu (1991). Approximation of the Inverse One-Phase Stefan Problem,International Series of Numerical Mathematics, vol. 99, p. 69–81, BirkhauserVerlag, Basel.

11. V. Arnautu, P. Neitaanmaki (1997). Discretization Estimates for An EllipticControl Problem, Numerical Functional Analysis and Optimization, vol.19, nr. 5-6,p. 431–464

12. V. Arnautu, H. Langmach, J. Sprekels, D. Tiba (2000). On the Approximation andthe Optimization of Plates, Numerical Functional Analysis and Optimization, vol.21, nr. 3-4, p. 337–354.

13. V. Arnautu (2001). Metode numerice pentru probleme variationale, Univ. ”Al. I.Cuza”, Iasi.

14. V. Arnautu, P. Neittaanmaki (2003). Optimal Control from Theory to ComputerPrograms, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

15. V. Arnautu, G. Dura, R. Stefanescu (2007). Simulare numerica pentru problemaStefan inversa, Modele Matematice pentru Procesul de Turnare Continua a Otelului,Universitatea Dunarea de Jos Galati.

16. V. Arnautu, R. Stefanescu (2009). The Numerical Solution for an Elliptic ControlProblem, 10th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms forScientific Computer, p. 173–177, IEE Computer Society, Los Alamitos.

136

Page 138: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Bibliografie

17. V. Barbu (1993). Analysis and Control of Nonlinear Infinite-Dimensional Systems,Nr. 190, Academic Press, Boston, MA.

18. V. Barbu (1994). Mathematical Methods in Optimization of Differential Systems,Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

19. H. Berland, B. Skaflestad, W. Wright (2005). EXPINT– A Matlab packagefor ex-ponential integrators, Numerics, No. 4, Norwegian University of Science and Tech-nology, Trondheim.

20. C. Bernardi, Y. Maday (1994). Approximation spectrales de problemes aux limiteelliptiques, Mathematiques et Applications, Springer-Verlag, Paris.

21. M. Brokate (1985). Pontryagin’s principle for control problems in age-dependentpopulation dynamics, J. Math. Biol., vol 23, p. 75–101 .

22. M. Brokate (1987). On a certain optimal harvesting problem with continuous agestructure, Optimal Control of Partial Differential Equations II, Birkhauser, Boston,p. 29–42.

23. N. Calvo, J. Durany, C. Vazquez (1999). Numerical approach of temperaturedistribution in a free boundary model for polythermal ice sheets, Numer. Math.,vol.83, nr. 4, p. 557–580.

24. J. Certaine (1960). The solution of ordinal differential equations with large timeconstant, Mathematical Methods for digital computers, p. 128–132.

25. P.G. Ciarlet (1990). Introduction a l’analyse numerique matricielle et a l’optimisa-tion, Masson, Paris.

26. X.F. Chen, A. Friedman (2000). A.free boundary problem arising in a model ofwound healing. SIAM J. Math. Anal., vol 32, p. 778–800.

27. X.F. Chen, A. Friedman (2003). A free boundary problem for an elliptic-hyperbolicsystem: an application to tumor growth, SIAM J. Math. Anal., vol. 35, p. 974–986.

28. W.L. Chan, B.-Z. Guo (1990). Global behaviour of age-dependent logisticpopulation models, J. Math. Biol., vol. 28, p. 225–235 .

29. J. M. Cooper (1998). Introduction to Partial Differential Equations with Matlab,Birkhauser, Boston.

30. P.M. Cox, P.C. Mattews (2002). Exponential time differencing for stiff sistems, J.Comp. Phys., vol.176, nr. 2, p. 430–455.

31. E.J. Crampin, P.K. Maini (2001). Reaction-diffusion models for biological patternformation, Methods and Applications of Analysis, vol. 8, nr. 2, p. 415–428.

32. M. Crouzeix, A. Mignot (1984). Analyse numerique des equations differentielles,Mason, Paris.

33. R. Dautray, J.L. Lions (1988). Analyse Mathematique et Calcul Numerique pourles Sciences et les Techniques, Masson, Paris.

34. G. Dimitriu, R. Stefanescu (2009). Numerical Experiments for Reaction-DiffusionEquations Using Exponential Integrators, Lecture Notes in Computer Science, vol.5434, pp. 249–256, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

35. G. Dimitriu, N. Apreutesei, R. Stefanescu (2009). Numerical Simulations withData Assimilation Using an Adaptive POD Procedure, Lecture Notes in ComputerScience, trimisa spre publicare.

36. A. Fassano, M. Primicerio (1977). General free boundary for heat equation. J.Math. Anal. Appl., vol. 57, 58, 59, nr. 3, 1, 1, p. 694–723, 202–231, 1–14.

137

Page 139: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Bibliografie

37. A. Gierer, H. Meinhardt (1972). A theory of biological pattern formation.Kybernetik, vol. 12, p. 30–39.

38. K. Glashoff, E. Sachs (1977). On theoretical and numerical aspects of the bang-bang principle, Numer. Math., vol. 29, nr. 1, p. 93–113.

39. J. Goodman, D. N. Ostrov (2002). On the early exercise boundary of the Americanput option, SIAM J. Appl. Math., vol. 62, nr. 5, p.1823–1835

40. M.E. Gurtin, L.F. Murphy (1981). On the optimal harvesting of age-structuredpopulations: some simple models, Math. Biosci., vol. 55, p. 115–136 .

41. M.E. Gurtin, L.F. Murphy (1981). On the optimal harvesting of persistent age-structured populations, J. Math. Biol., vol. 13, p. 131–148.

42. N. Hritonenko, Y. Yatsenko (2005). Optimization of harvesting age in integralage-dependent model of population dynamics. Math. Biosci., vol. 195, p. 154–167.

43. M. Iannelli (1995). Mathematical Theory of Age-Structured Population Dynamics,Applied Mathematics Monographs - C.N.R., Giardini Editori e Stampatori, Pisa.

44. P. De Kepper, V. Castets, E. Dulos, J. Boissonade (1991). Turing-type chemicalpatterns in the chlorite-iodide-malonic acid reaction, Physica D, vol. 49, p. 161–169.

45. S. Krogstad (2005). Generalized integrating factor methods for Stiff PDEs, J.Comp. Phys., vol. 203, nr. 1, p. 72–88.

46. M. Kubo, M. Langlais (1991). Periodic solutions for a population dynamics problemwith age-dependence and spatial structure, J. Math. Biol., vol. 29, p. 363–378.

47. M. Kubo, M. Langlais (1994). Periodic solutions for nonlinear population dynamicsmodels with age-dependence and spatial structure, J. Diff. Equations, vol. 109, p.274–294.

48. J. Lawson (1967). Generalized Runge-Kutta processes for stable systems with largeLipschitz constants, SIAM J. Numer. Anal., vol. 4, p. 372–380.

49. I. Lengyel, I.R. Epstein (1991). Modeling of Turing structures in the chlorite-iodide-malonic acid-starch reaction system, Science, vol. 251, p. 650–652.

50. J.L. Lions (1969). Quelques methodes de resolution des problemes aux limites nonlineaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris.

51. Z. Luo, W.T. Li, M. Wang (2004). Optimal harvesting control problem for linearperiodic age-dependent population dynamics, Appl. Math. Comput., vol. 151, p.789–800.

52. H. Munthe-Kaas (1999). High order Runge-Kutta methods on manifolds, Appl.Numer. Math, vol. 29, p. 115–127.

53. L.F. Murphy, S.J. Smith (1990). Optimal harvesting of an age-structuredpopulation, J. Math. Biol., vol. 29, p. 77–90.

54. J.D. Murray (1993). Mathematical Biology, Second Edition, Springer-Verlag, NewYork.

55. S.P. Nørsett (1969). An A-stable modification of the Adams-Bashforthmethods, Conference on Numerical solution of Differential Equations, Springer,Berlin, p.214–219

56. A. Ostermann, M. Thalhammer, W. Wright (2006). A Class of Explicit ExponentialGeneral Linear Methods, BIT Numer. Math., Springer Netherlands, vol. 46, Nr. 2,p. 409–431.

138

Page 140: ALGORITMI NUMERICI PENTRU APROXIMAREA SOLUT»IILOR …myweb.fsu.edu/rstefanescu/Papers/Phd_thesis.pdf1 »si s-a obt»inut un algoritm pentru calcularea efortului de recoltare optimal.

Bibliografie

57. W.H. Press et al. (1990), Numerical Recipes in C, Cambridge University Press,New York.

58. C. Saguez (1980). Control Optimal de systemes a frontiere libre, Theese, Universitede Technologie de Compiegne.

59. M. Sibony (1971). Sur l’approximation d’equations et inequations aux deriveespartielles non lineaires de type monotone, J. Math. Anal. Appl., vol. 34, nr. 3, p.502–564.

60. J. Stoer, R. Bulirsch (1980). Introduction to Numerical Analysis, Springer, NewYork.

61. R. Stefanescu, G. Dura (2007). Numerical Algorithms for a Second Order EllipticBVP, Analele Stiintifice ale Universitatii Al. I. Cuza din Iasi, Matematica, TomulLIII, f.1, p. 103-118.

62. R. Stefanescu, G. Dimitriu (2009). Numerical Approximation of a Free BoundaryProblem for a Prey-Predator Model, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5434,p. 548-555, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

63. R. Stefanescu, G. Dimitriu (2009). Numerical Simulations of Reaction-DiffusionSystems Arising in Chemistry Using Exponential Integrators, Lecture Notes inComputer Science, trimisa spre publicare.

64. Y.S. Tao, Chen M.J (2006). An elliptic-hyperbolic free boudary problem modellingcancer therapy, Nonlinearity, vol. 19, nr. 2, p. 419–440

65. H. Thieme (1984). Renewal theorems for linear periodic Volterra integral equations,J. Integral Equations, vol. 7, p. 253–274.

66. H. Thieme (2003). Mathematics in Population Dynamics, Princeton Series inTheoretical and Computational Biology, Wiley and Sons, New York.

67. D. Thomas (1975). Artificial enzyme membrane, transport, memory andoscillatory phenomena. Analysis and Control of Immobilised Enzyme Systems,Springer-Verlag, p.115–150.

68. J. W. Thomas (1995). Numerical Partial Differential Equations, Springer-Verlag,New York.

69. L. Zhigui, (2007). A free boundary problem for a predator-prey model,Nonlinearity, vol. 20, nr. 8, p. 1883–1892.

70. G.F. Webb (1985). Theory of Nonlinear Age-Dependent Population Dynamics,Marcel Dekker, New York.

139