Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice...

1/53

IntroducereMetoda nodala clasica

Descrierea caracteristicilor neliniareAlgoritmi

Algoritmi numerici pentru analiza circuitelorelectrice rezistive neliniare

Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica,Departamentul de Electrotehnica

Suport didactic pentru disciplina Algoritmi numerici,Facultatea de Inginerie Electrica, 2017-2018

Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice rezistive neliniare

2/53



Cuprins1 Introducere

Elemente de circuit rezistive neliniareFormularea problemeiEcuatiiExemple

2 Metoda nodala clasica3 Descrierea caracteristicilor neliniare

Prin codPrin date

4 AlgoritmiMetoda NewtonIdei de implementarePreprocesareProcesare


Notes

Notes

3/53




Elemente ideale - rezistive, liniare

γu

u

αu

u

ρi

i

βi

i

Liniare


4/53




Elemente ideale - rezistive, neliniare

iu

i = g(u)

γ(u)

u

α(u)

u

ρ(i)

i

β(i)

i

Neliniare


Notes

Notes

5/53




Elemente reale - rezistive, neliniare

i

u

i = g(u)

Figura este preluata de la

https://www.technologyuk.net/physics/


6/53




Elemente reale - rezistive, neliniare

i

u

i = g(u)

Figura este preluata de la

https://www.technologyuk.net/physics/


Notes

Notes

https://www.technologyuk.net/physics/electrical-principles/the-diode.shtml

https://www.technologyuk.net/physics/electrical-principles/the-diode.shtml

7/53




Analiza circuitelor electrice rezistive neliniare (c.c.)

Date:Topologia circuitului (graful circuitului) - poate fi descris:

geometric;numeric (matrice topologice/ netlist);

Pentru fiecare latura liniara k :tipul laturii (R,SUCU,SICI,SICU,SUCI, SIT,SIC);caracteristica constitutiva

Rk ;parametrul de transfer αk , βk , γk , ρk ;semnalul de comanda (curent/tensiune, latura/noduri);parametrii surselor: (ek , jk )


8/53




Analiza circuitelor electrice rezistive neliniare (c.c.)

Pentru fiecare latura neliniara k :tipul laturii (Rn,SUCUn,SICIn,SICUn,SUCIn);caracteristica constitutiva neliniaa

fk (i) daca controlul este în curent sau gk(u) daca controluleste în tensiune;dependentele αk (u), βk (i), γk (u), ρk (i);semnalul de comanda (curent/tensiune, latura/noduri);

Se cer: ik (t), uk(t), k = 1,2, . . . ,L.


Notes

Notes

9/53




Ca la c.c. - cazul elementelor liniare

1 Kirchhoff I2 Kirchhoff II3 Ecuatii constitutive pentru elementele rezistive liniare:

laturi de tip SRC, SRT;laturi de tip SIC, SIT;laturi de tip SUCU, SICI, SUCI, SICU - comandate liniar.

relatii algebriceDAR


10/53




Elementele rezistive neliniare

Ecuatii constitutive pentru elementele rezistive neliniare:

rezistoare neliniare;

surse comandate neliniar;

relatii algebrice neliniareSistemul de rezolvat va fi un sistem algebric neliniar

Ce se întâmpla daca surselor independente sunt variabile întimp?


Notes

Notes

11/53




Exemplul 1

E

R

i=?

u=?


11/53




Exemplul 1

E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R


Notes

Notes

11/53




Exemplul 1

E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ


11/53




Exemplul 1

E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

u [V]

i [A

]


Notes

Notes

12/53




Exemplul 2

E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =−E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

u [V]

i [A

]


13/53




Exemplul 3 a)

E

R

I=?

U=?

i = g(u)

i =−E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500


Notes

Notes

14/53




Exemplul 3 b)

E

R

I=?

U=?

i = g(u)

i =−E − u

R

E = 5·1.25V, R = 5·1.25mΩ

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500


15/53




Exemplul 4

D5D3

R2

D6D4

R1E1

uL=?


Notes

Notes

15/53




Exemplul 4

D5D3

R2

D6D4

R1E1

uL=?

?


16/53



Laturi controlate în tensiune

Cazul liniar (SRC)

ik

Gk

uk

(nik ) (nfk )jk

ik = Gkuk + jk

i = Gu + j

G = diagG1,G2, . . . ,GLG ∈ IR

L×L

u, j, i ∈ IRL×1

Cazul neliniar

ik

uk

(nik ) (nfk )

ik = gk(uk )

i = G(u)G = [g1,g2, . . . ,gL]

T

G : IRL → IR

L

u, i ∈ IRL×1


Notes

Notes

17/53




Cazul liniar (SRC)

ik

Gk

uk

(nik ) (nfk )jk

ik = Gkuk + jk

i = Gu + j

Ai = 0

u = AT V

A(GAT V + j) = 0

Cazul neliniar

ik

uk

(nik ) (nfk )

ik = gk(uk )

i = G(u)Ai = 0

u = AT V

A(G(AT V)) = 0


18/53




Cazul liniar (SRC)

ik

Gk

uk

(nik ) (nfk )jk

ik = Gkuk + jk

i = Gu + j

Ai = 0

u = AT V

AGAT V = −Aj

Cazul neliniar

ik

uk

(nik ) (nfk )

ik = gk(uk )

i = G(u)Ai = 0

u = AT V

AG(AT V) = 0


Notes

Notes

19/53




Cazul liniar (SRC)

ik

Gk

uk

(nik ) (nfk )jk

ik = Gkuk + jk

AGAT V = −Aj

Sistem algebric liniar

Cazul neliniar

ik

uk

(nik ) (nfk )

ik = gk(uk )

AG(AT V) = 0

Sistem algebric neliniarF(V) = 0 undeF(V) = AG(AT V)F : IR

(N−1) → IR(N−1)


20/53



Prin codPrin date

Dioda semiconductoare

Modelul exponential (de exemplu modelul cu parametrii Is si uT )

i(u) = Is

(

eu

uT − 1)

unde Is ≈ 10−6A, uT ≈ 25mV


Notes

Notes

21/53



Prin codPrin date


Modele liniare pe portiuni (de exemplu - modelul cu parametriiup, Gd , Gi ) definite prin cod

i(u) =

Giu daca u ≤ up

Gd(u − up) + Giup daca u > up


22/53



Prin codPrin date


Modele liniare pe portiuni - definite prin tabele de valori

Exemplu - modelul lpp cu parametrii up, Gd , Gi

u 0 up 2up

i 0 Giup (Gi + Gd)up


Notes

Notes

23/53



Metoda NewtonIdei de implementarePreprocesareProcesare

Newton

Iteratii Newton:

Ecuatie: f (x) = 0

x (m+1) = x (m) − f (x (m))/f ′(x (m))

sau

z = f (x (m))/f ′(x (m)) (1)

x (m+1) = x (m) + z (2)

Sistem: F(x) = 0

x(m+1) = x(m) − (F′(x(m)))−1F(x(m))

sau

F′(x(m))z = F(x(m)) (3)

x(m+1) = x(m) + z (4)


24/53




Newton

În cazul circuitelor rezistive neliniare F(V) = 0 unde

F(V) = AG(AT V)

Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (5)

V(m+1) = V(m) + z (6)

F′(V) = AG′(AT V)AT


Notes

Notes

24/53




Newton


F(V) = AG(AT V)

Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (5)

V(m+1) = V(m) + z (6)


Calculul Jacobianului necesita evaluarea conductantelordinamice!


24/53




Newton


F(V) = AG(AT V)

Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (5)

V(m+1) = V(m) + z (6)


Calculul Jacobianului necesita evaluarea conductantelordinamice!Evaluarea conductantelor dinamice depinde de modul în care aufost definite caracteristicile neliniare.


Notes

Notes

25/53




Semnificatia iteratiilor Newton

Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (7)

V(m+1) = V(m) + z (8)

F(V) = AG(AT V)


AG′(AT V(m))AT z = −AG(AT V(m)) (9)

Liniare (SRC)AGAT V = −Aj


25/53





Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (7)

V(m+1) = V(m) + z (8)

F(V) = AG(AT V)




Semnificatia relatiei (9):


Notes

Notes

25/53





Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (7)

V(m+1) = V(m) + z (8)

F(V) = AG(AT V)




Semnificatia relatiei (9):La fiecare iteratie se rezolva un circuit liniar, potetialele lui reprezintacorectiile în iteratiile Newton


25/53





Iteratii Newton:

F′(V(m))z = −F(V(m)) (7)

V(m+1) = V(m) + z (8)

F(V) = AG(AT V)




Semnificatia relatiei (9):La fiecare iteratie se rezolva un circuit liniar, potetialele lui reprezintacorectiile în iteratiile NewtonCircuit incremental


Notes

Notes

26/53




Circuite incrementale/liniarizate

NeliniarAG′(AT V(m))AT z = −AG(AT V(m))

LiniarAGAT V = −Aj

G′(m)k

znik znf k

i(m)k

znik = V(m+1)nik

− V(m)nik

znf k= V

(m+1)nf k

− V(m)nf k


26/53







−V(m)nik

G′(m)k V

(m)nf k

znik znf k

i(m)k

Vnik Vnf k

znik = V(m+1)nik

− V(m)nik

znf k= V

(m+1)nf k

− V(m)nf k


Notes

Notes

26/53







G′(m)k

Vnik Vnf k

i(m)k − G

′(m)k u

(m)k

Circuit liniarizat →La fiecare iteratie se rezolva un circuit liniar, potentialele luireprezinta solutiile noi în iteratiile Newton


27/53




Algoritm - bazat pe asamblare de circuite

Ideea (nr. 1):Se rezolva o succesiune de circuite rezistive liniare(liniarizate).

it = 0initializeaza solutia V

repeta

it = it + 1înlocuieste elementele neliniare cu schemele lor liniarizate

rezolva circuitul rezistiv liniar si calculeaza Vn

actualizeaza solutia V = Vn

daca it == itmax scrie mesaj de eroarecât timp norma(V − Vnou) > toleranta impusa si it < itmax


Notes

Notes

28/53




Algoritm - bazat pe rezolvare de circuite

Ideea (nr. 2):Se rezolva o succesiune de circuite rezistive liniare(incrementale).

it = 0initializeaza solutia V

repeta

it = it + 1înlocuieste elementele neliniare cu schemele lor incrementale

rezolva circuitul rezistiv liniar si calculeaza corectiile z

actualizeaza solutia V = V + z

daca it == itmax scrie mesaj de eroarecât timp norma(z) > toleranta impusa si it < itmax


29/53




Algoritm - bazat pe operatii cu matrice

Ideea (nr. 3):Se rezolva o succesiune de sisteme algebricce liniare.

it = 0asambleaza matricea A

initializeaza solutia V

repeta

it = it + 1calculeaza conductantele dinamice si asambleaza G′

rezolva sistemul liniar AG′AT z = −Ai si calculeaza corectiile z

actualizeaza solutia V = V + z

daca it == itmax scrie mesaj de eroarecât timp norma(z) > toleranta impusa si it < itmax


Notes

Notes

30/53




Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazamPrimul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturiSRT

Rk ik

ek

uk

(nik ) (nfk )

; declaratii date - varianta Aîntreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare


30/53




Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazamPrimul algoritm scris pentru circuite rezistive liniare (crl) - laturiSRT

Rk ik

ek

uk

(nik ) (nfk )

; declaratii date - varianta Bînregistrare circuit

întreg N ; numar de noduriîntreg L ; numar de laturitablou întreg ni[L] ; noduri initiale ale laturilortablou întreg nf[L] ; noduri finale ale laturilortablou real R[L] ; rezistentetablou real e[L] ; tensiuni electromotoare

•


Notes

Notes

31/53




Cel mai simplu algoritm - pe ce ne bazam

Sa pp ca avem la dispozitie o procedura:

procedura nodal_crl(circuit,v); rezolva un circuit rezistiv liniar cu metoda nodala; date de intrare: structura circuit; iesire: valorile potentialelor v în noduri, ultimul nod este de referinta· · ·retur

Obs: procedura cuprinde atât asamblarea sistemului de ecuatiicât si rezolvarea lui.


32/53




Cel mai simplu algoritm - ce e nou

Admitem acum în plus, laturi rezistive neliniare, controlateîn tensiune;

Vom presupune ca exista câte o procedura care poate, pentru oricelatura neliniara, sa întoarca

curentul prin latura pentru o tensiune data (ik = gk (uk ));

Daca curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune ointerpolare).

conductanta dinamica a laturii, pentru o tensiune data(G′

k = g′

k (uk )).

Daca curbele neliniare sunt date tabelar - aceasta presupune oderivare numerica).


Notes

Notes

33/53




Cel mai simplu algoritm - etapa de preprocesare

functie citire_date (); declaratii...citeste circuit.N, circuit.Lpentru k = 1,circuit.L

citeste circuit.nik , circuit.nfkciteste circuit.tipk ; tipul poate fi "R" sau "n"daca circuit.tipk = "R"

citeste circuit.ek , circuit.Rk•

citeste tol ; toleranta pentru procedura Newtonciteste itmax ; numarul maxim de iteratii admis•

întoarce circuit


33/53





functie citire_date (); declaratii...citeste circuit.N, circuit.Lpentru k = 1,circuit.L

citeste circuit.nik , circuit.nfkciteste circuit.tipk ; tipul poate fi "R" sau "n"daca circuit.tipk = "R"

citeste circuit.ek , circuit.Rk•

citeste tol ; toleranta pentru procedura Newtonciteste itmax ; numarul maxim de iteratii admis•

întoarce circuit

Dar partea neliniara?


Notes

Notes

34/53





Variante - pentru partea neliniara:

functie g(u)Is = 1e-12Vt = 0.0278întoarce Is*(exp(u/Vt)-1)

functie gder(u)Is = 1e-12Vt = 0.0278întoarce Is*exp(u/Vt)/Vt

functie g(u)nd = 3 ; numarul de puncte de discontinuitateuval = .....ival = ....m = cauta(uval, ival, u)întoarce ival(m) + (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m))*(u - uval(m))

functie gder(u)nd = 3 ; numarul de puncte de discontinuitateuval = .....ival = ....m = cauta(uval, ival, u)întoarce (ival(m+1) - ival(m))/(uval(m+1)-uval(m))

Is, Vt, nd, uval, ival - pot fi citite în etapa de preprocesare (si pot fidiferite pentru diferitele elemente neliniare).


35/53




Algoritm - v3

procedura solve_crnl_v3(circuit,tol,itmax,V)circuit - structura - parametru de intraretol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii NewtonV - vector - parametru de iesire....asambleaza matricea incidentelor laturi noduriA = 0; matrice de dimensiune N x Lpentru k = 1:L

i = circuit.ni(k);j = circuit.nf(k);A(i,k) = 1;A(j,k) = -1;

•

A(N,:) = []; elimina ultima linieV = 0; vector de dimensiune N-1err = 0.01;cor = 1;itk = 0;cât timp abs(norm(cor)) > err si itk < itmax

u = AT∗ V

solve_lin(Fder(u), -F(u), cor) ; rezolva sistemul liniar; si calculeaza corectia

itk = itk + 1;V = V + cor;

•

retur


Notes

Notes

36/53




Algoritm - v3

functie F(u)....G = 0 ; vector coloana de dimensiune Lpentru k = 1:L

daca circuit.tip(k) == "l"G(k) = (u(k) + circuit.e(k))/circuit.R(k)

altfel

G(k) = g(u(k))•

•

întoarce A ∗ G

functie Fder(u)....Gd = 0 ; vector coloana de dimensiune Lpentru k = 1:L

daca circuit.tip(k) == "l"Gd(k) = 1/circuit.R(k)

altfel

Gd(k) = gder(u(k))•

•

Gder = diag(Gd)

întoarce A ∗ Gder ∗ AT

Aici structura circuit si matricea A sunt pp. globale, altfel trebuie date ca parametri.


37/53




Algoritm - v2

procedura solve_crnl_v2(circuit,tol,itmax,V)circuit - structura - parametru de intraretol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii NewtonV - vector - parametru de iesire....initializareV = 0 ; vector de dimensiune Nerr = 1itk = 0cât timp err > tol si itk < itmax

kit = kit + 1pentru k = 1:L

daca circuit.tip(k) == "n"tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k))cond_din = gder(tens)crt = g(tens)circuit.R(k) = 1/cond_dincircuit.e(k) = circuit.R(k)*crt - tens

•

•

nodal_crl(circuit,Vn)err = norma(Vn − V)V = Vn

•

retur


Notes

Notes

38/53




Algoritm - v1

procedura solve_crnl_v1(circuit,tol,itmax,V)circuit - structura - parametru de intraretol, itmax - parametri de intrare, specifici procedurii NewtonV - vector - parametru de iesire....initializareV = 0 ; vector de dimensiune Nerr = 1itk = 0cât timp err > tol si itk < itmax

kit = kit + 1pentru k = 1:L

daca circuit.tip(k) == "n"tens = V(circuit.ni(k)) - V(circuit.nf(k))cond_din = gder(tens)crt = g(tens)circuit.R(k) = 1/cond_dincircuit.e(k) = circuit.R(k)*crt

•

•

nodal_crl(circuit,z)err = norma(z)V = V + z

•

retur


39/53




Exemplul 1 - rezultate

E

R

i=?

u=?


Notes

Notes

39/53





E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R


39/53





E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ


Notes

Notes

39/53





E

R

i=?

u=?

i = g(u)

i =E − u

R

E = 1.25V, R = 1.25mΩ

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

u [V]

i [A

]


40/53





0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


Notes

Notes

40/53





0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


40/53





0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


Notes

Notes

40/53





0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


41/53





D5D3

R2

D6D4

R1E1

uL=?


Notes

Notes

42/53





E1 = 2V , R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, 13 iteratii pentru tol = 0.01Numai initializarea si ultimele patru sunt ilustrate.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D6


42/53






-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D6


Notes

Notes

42/53






-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D6


43/53





E1 = −2V , R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, 13 iteratii pentru tol = 0.01Numai initializarea si ultimele patru sunt ilustrate.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2D6


Notes

Notes

44/53





E1 ∈ [−2,2]V, R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, uR2 =?

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

E [V]

u R [V

]

Caracteristica de transfer


45/53





Sursa variabila în timp? Timpul are un caracter conventional. (Sistemul este algebric!)

e1(t) = 2 sin(2πt)V, R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, uR2(t) =?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

Ten

siun

e [V

]

e

1(t)

uR2

(t)


Notes

Notes

46/53




Concluzii

Analiza circuitelor rezistive neliniare se reduce la osuccesiune de rezolvari de sisteme algebrice liniare (carepot fi privite ca rezolvari de circuite rezistive liniare -incrementale sau liniarizate).

Convergenta procedurii depinde de initializare.

Numarul de iteratii depinde de initializare si de eroareaimpusa solutiei.


47/53




Cazul caracteristicilor lpp

E

R

i=?

u=?

Aproximatia lpp a caracteris-ticii diodei semiconductoare.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

u [V]

i [A

]


Notes

Notes

48/53





E

R

i=?

u=?

Aproximatia lpp a caracteris-ticii diodei semiconductoare.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

u [V]

i [A

]


49/53




Cazul caracteristicilor lppIteratii Newton - initializarea.

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


Notes

Notes

49/53




Cazul caracteristicilor lppIteratii Newton - iteratia 1.

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1

-1000

0

1000

2000

3000

4000

u [V]

i [A

]


50/53





D5D3

R2

D6D4

R1E1

uL=?


Notes

Notes

51/53




Cazul caracteristicilor lppIteratii Newton - initializarea.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D6


51/53





-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D6


Notes

Notes

51/53





-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0

2000

4000

6000D6


51/53




Cazul caracteristicilor lppIteratii Newton - iteratia 2 - zoom in.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1D3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1D6


Notes

Notes

52/53





Eroarea impusa nu influenteaza prea mult numarul deiteratii deoarece dupa determinarea corecta a segmentuluiîn care se afla PSF, eroarea impusa este satisfacuta laurmatoarea iteratie.

Daca initializarea corespunde combinatiei corecte desegmente, atunci se va face exact o singura iteratie.

Numarul maxim de iteratii este egal cu numarul maxim decombinatii de segmente.

Exista o varianta a metodei (cunoscuta sub numele demetoda Katzenelson) în care la fiecare iteratie se modificaun singur segment, cel corespunzator variatiei maxime.Avantaj - convergenta garantata.


53/53




Referinte

[Ioan98] D. Ioan et al., Metode numerice în ingineria

electrica, Ed. Matrix Rom, Bucuresti, 1998. (Capitolul 17)

[Chua75] Leon Chua, Pen-Min Lin, Computer-Aided

Analysis of Electronic Circuits, Prentice-Hall,1975.(Capitolele 5 si 7)


Notes

Notes

Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice...

Documents

Transcript of Algoritmi numerici pentru analiza circuitelor electrice...

BLOCUL DE ACTIONARE · MASINI ELECTRICE MASINI ELECTRICE CU PERII MASINI ELECTRICE FARA PERII Masini electrice de curent continuu cu perii Masini electrice de curent alternativ cu

Electrice Cabluri electrice

MĂSURĂRI GRAVIMETRICE · 2020. 2. 19. · 03 Traductoare tensometrice rezistive și celule de cântărire Traductoare tensometrice rezistive Măsurarea masei în silozuri pe grinzi

· Instalatii electrice pentru iluminat si prize; Instalatii electrice de forta, Tablouri de distributie; Pornirea si protectia motoarelor electrice; Instalatii electrice pentru

Elena Ciuprina Spring 2015

Circuite rezistive - ie.ucv.ro · Utilizând rela ia divizorului de curent se ob ine: Prin deconectarea sursei de curent, configura ia circuitului devine cea din Figura 14. Figura

Prof. dr. ing. Valer DOLGA, - mec.upt.ro · Prof. dr. ing. Valer DOLGA 4 • traductoare de deplasare rezistive potenţiometrice (utilizate în peste 33 % din aplicaţii ); • erori

Interpolarea functiilor. – Metode de interpolare globala.gabriela/studenti/lmn/2017/Slide... · Exista mai multe procedee de deﬁnire a normei.˘ Gabriela Ciuprina Interpolarea

Curs Materiale Electrotehnice - Ciuprina

Aproximarea functiilor prin metoda celor mai mici …mn.lmn.pub.ro/2017/Slideuri2017/curs9_MN.pdfSe cauta˘ o aproximare notata˘ g(x), unde g(xk)≈ yk. Gabriela Ciuprina Aproximarea

Automotoare electrice

Echipamente Electrice

Masini Electrice Si ActionariMasini Electrice Si ActionariMasini Electrice Si ActionariMasini Electrice Si Actionari

Fenomene electrice

Rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii algebrice ...mn.lmn.pub.ro/2017/Slideuri2017/curs12_handoutWithNotes.pdf12 x Gabriela Ciuprina Ecua¸tii s¸i sisteme algebrice neliniare

Traductoare rezistive şi circuite electrice de măsurare

Masurari electrice

Senzori Si Traductoare Rezistive

Simboluri Electrice Si Scheme Electrice

Intreruptoare Electrice