agts

Suport de curs pentru Algebră Liniară, Geometrie Analitică, Geometrie Diferenţială şi Trigoometrie Sferică

CAPITOLE DE ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ, TRIGONOMETRIE SFERICĂ

5

Prefaţă

Prezenta lucrare cuprinde o versiune a cursului de algebră, geometrie

analitică, trigonometrie sferică şi geometrie diferenţială, pe care l-am ţinut

studenţilor din anul I în cadrul Academiei Navale “Mircea cel Bătrân”.

Intenţia mea a fost de a cuprinde într-un volum de dimensiuni

rezonabile un număr cât mai mare de rezultate de bază, care să acopere

programa propusă, expuse într-o manieră accesibilă oricărui student al

anului I dintr-o instituţie tehnică.

La redactarea acestei lucrări am avut în vedere atât rigoarea

matematică cât şi claritatea şi accesibilitatea expunerii.

Camelia Ciobanu


6

BIBLIOGRAFIE

1. Gh. Atanasiu ş.a., Culegere de probleme de algebră liniară, geometrie

analitică, diferenţială şi ecuaţii diferenţiale, Editura 1995. 2. S. Barnett, Matrices: Methods and Applications, Clarendon Press, Oxford,

1990. 3. T.S.Blyth. E.F. Robertson, Matrices and Vector Spaces, Chapman and Hall, London,

1986. 4. N. Bourbaki, Algèbre, Chapt. II (Algèbre lineaire), Chap. III (Algèbre

multilinéaire) Sci. Ind. Hermann, Paris. 5. C. Ciobanu, Algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferenţială,

Editura Academia Navală “Mircea cel Bătrân”, Constanţa, 1996. 6. C. Ciobanu, Algebră şi geometrie, Editura Academia Navală “Mircea cel

Bătrân”, Constanţa, 2002. 7. C. Ciobanu, Capitole de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială,

trigonometrie sferică, Editura Muntenia, Constanţa, 2005. 8. C. Ciobanu, Capitole de Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială,

trigonometrie sferică - Aplicaţii, Editura Muntenia, Constanţa, 2005. 9. M. Craioveanu, I. Albu, Geometrie afină şi euclidiană, Editura Facla,

Timişoara, 1982. 10. Creangă, C. Reischer, Gr. C. Mărculescu, Algebră liniară, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1970. 11. V. Cruceanu, Elemente de algebră liniară şi geometrie, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1990. 12. N. Donciu, D. Flondor, Algebră şi analiză matematică, culegere de probleme,

Vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1990. 13. N.V. Efimov, E.R. Rozendorn, Linéar Algèbra and Multidimensional

Geometry, Editura Mir. Moscow, 1975. 14. I.M. Ghelfand, Lecţii de algebră liniară, Editura Tehnică, Bucureşti, 1953. 15. G. Gîndac, S. Corbu, Culegere de probleme de algebră liniară şi geometrie

analitică şi diferenţială, I.P.B., Bucureşti, 1965. 16. Gh. Gheorghiev, R. Miron, D. Papuc, Geometrie analitică şi diferenţială,

Vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965. 17. P.R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, D. Van Nostrand Co.,

Princeton, 1958. 18. Howard, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, New York,

Chichester, Brisbane, Toronto, 1977. 19. M. Ikramov, Recueil de Problèmes d’Algèbre Linéaire, Ed. Mir., Moscow,

1977. 20. I.D. Ion, N. Radu, C. Niţă, D. Popescu, Probleme de algebră, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.


7

21. D. Ion, N. Radu, Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. 22. N. Jacobson, Basic Algebra, Freemann, San Francisco, 1974, 1980. 23. Kostrikin, Introduction à l’algèbre, Edition Mir., Moscow, 1977. 24. Serge Lang, Algèbra, Ed. Columbia University - New York, 1965. 25. P. Lankaster, Theory of matrics, Academic Press, New York, London, 1969. 26. E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de geometrie analitică şi

diferenţială, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1974. 27. C. Năstăsescu, M. Ţena, C. Andrei, I. Otărăşanu, Probleme de structuri

algebrice, E.A.R.S.R., Bucureşti, 1981. 28. Hans Samelson, An Introduction to Linear Algèbra, Standford University,

Standford, California, 1974. 29. S. Sburlan, Principiile fundamentale ale matematicii moderne, Editura

Academiei Române, Bucureşti, 1991. 30. L. Schwartz, Cours Professé à l’Ecole Polytéchnique, Paris II, Hermann,

1967. 31. D. Teodorescu, Geometrie analitică şi elemente de algebră liniară, ed. a II-a,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1972. 32. C. Udrişte, Probleme de algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1976. 33. C. Udrişte, C. Radu, C. Dicu, O. Mălăncioiu, Probleme de algebră, geometrie

şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şi Pedagogică, 1981.


8

CAPITOLUL 1 SPAŢII VECTORIALE

Algebra liniară studiază multe obiecte matematice importante printre care şi

spaţiile vectoriale. Acest capitol este dedicat studiului general al spaţiilor şi subspaţiilor vectoriale, operaţiilor cu subspaţii vectoriale precum si al dependenţei si independenţei liniare care nu trebuie confundată cu cea funcţională.

Tehnica modernă de vârf cere stabilirea unor modele tot mai perfecţionate ale diverselor procese, ale căror legi de evoluţie se traduc în ecuaţii în spaţii vectoriale. Din aceasta cauză obiectivele urmărite au fost alegerea noţiunilor fundamentale, enunţarea corectă a rezultatelor precum şi clasificarea logică a exemplelor.

1.1 Spaţiu vectorial. Spaţii vectoriale izomorfe Una din structurile algebrice folosite în acest curs este aceea de corp

comutativ sau câmp, structură prezentată deja la orele de algebră din clasa a XII-a; cu toate acestea reamintim definiţia.

Definiţia 1.1. Fie K o mulţime înzestrată cu două operaţii: una aditivă,

cealaltă multiplicativă. Tripletul ⋅+,,K se numeşte corp comutativ (câmp) dacă satisface axiomele:

1. ⋅+,,K este inel comutativ unitar, cu 10 ≠ ; 2. Orice element nenul din K este inversabil. Exemple: ( ) ( ) ( ) ( ) NpZCRQ p ∈⋅+⋅+⋅+⋅+ ,,,,,,,,,,,, număr prim. În cele ce urmează prin K se va înţelege ( )( ⋅+,,RR - corpul numerelor reale)

sau ( )( ⋅+,,CC - corpul numerelor complexe). Spaţiul vectorial este structura algebrică ce va fi des utilizată în disciplinele

aplicate şi ea se defineşte astfel: Definiţia 1.2. Fie V o mulţime arbitrară nevidă, K un câmp şi două aplicaţii:

( ) VyxyxyxVVxV ∈∀+=→ ,,,,: ϕϕ ( ) VyKyyVVxK ∈∀∈∀⋅=→ ,,,,: αααψψ

unde ϕ este o lege de compoziţie internă numită ''adunarea vectorilor'', iar ψ este o lege de compoziţie externă numită ''înmulţirea vectorilor cu scalari''.


9

Dacă ( )+,V este grup abelian şi legea externă verifică axiomele:

a) ( ) VxKxxx ∈∀∈∀+=+ ,,, βαβαβα

b) ( ) VyxKyxyx ∈∀∈∀+=+ ,,,, αααα

c) ( ) ( ) VxKxx ∈∀∈∀= ,,, βααββα

d) VxKxx ∈∀∈=⋅ ,1,1

atunci mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar peste corpul K şi se notează KV / .

Elementele lui V se numesc vectori, elementul neutru al grupului ( )+,V numindu-se vectorul zero, notat cu V0 .

Elementele lui K se numesc scalari. Pentru ( )CRK = KV / se numeşte spaţiu vectorial real (complex). Teorema 1.1. Dacă V este un spaţiu vectorial peste K, atunci: a) VV xx 00 =⇔=α sau 0=α ; b) ( ) ( ) ( )( ) VxKxxxxx ∈∀∈∀=−−−=−=− ,,, αααααα ; c) ( ) ( ) VyxKyxyxxxx ∈∀∈∀−=−−=− ,,,,, βααααβαβα Demonstraţie:

(a) Fie 0=α şi xy ⋅= 0 ; ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) Vyyyyyyyyyyy

yyxxxxy0

000000

=−+=⇒⎭⎬⎫

−++=−++=+=+=⋅+⋅=+=⋅=

Deci Vx 00 =⋅ analog arătându-se că VV 00 =⋅α . Reciproc, presupunem că Vx 0=α dacă 0≠α atunci

( ) ( ) VVxxxx 001 111 ====⋅= −−− ααααα Analog pentru Vx 0≠ . (b) Din ( )( ) ( ) ( )xxxxxVV −⇒−+=−+=⋅= ααααα 00 este opusul vectorului

xα deci ( ) VxKxx ∈∀∈∀−=− ,, ααα .

Analog se arată că ( ) xx αα −=− şi atunci ( )( ) ( )( ) ( ) VxKxxxx ∈∀∈∀=−−=−−=−− ,, ααααα . (c) ( ) ( )( ) ( ) VxKxxxxxx ∈∀∈∀−=−+=−+=− ,,, βαβαβαβαβα

( ) ( )( ) ( ) VyxKyxyxyxyx ∈∀∈∀−=−+=−+=− ,,, ααααααα .

atunci dar


10

Exemple: 1. Orice câmp K este un spaţiu vectorial peste el însuşi.

Fie nVVV ,,, 21 K spaţii vectoriale peste K. Produsul cartezian

( ){ }niVxxxxVVV iinn ,1,,,, 2121 =∈=××× KK

este un spaţiu vectorial peste K dacă definim: ( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,,,,,,,,, 22112121 KKK ,

( ) ( ) KniVyxxxxxxx iiinn ∈∀=∈∀= ααααα ,,1,,,,,,,,, 2121 KK Spaţiul nVVV ××× K21 se numeşte produsul direct al spaţiilor vectoriale

nVVV ,,, 21 K .

În particular ( ){ }niKKKKK inn ,1,,,, 21 =∈=×××= αααα KK este un

spaţiu vectorial peste K, numit spaţiul vectorial aritmetic de dimensiune n. 2. Spaţiul vectorial [ ]( )RC n

ba , cu [ ] RbaNn ⊂∈ ,, al funcţiilor reale de clasă nC definite pe [ ]ba, este format din funcţiile [ ] Rbaf →,: cu derivatele de ordin n continue pe [ ]ba, . Operaţiile sunt cele obişnuite de adunare a funcţiilor şi de înmulţire a funcţiilor cu scalari. 3. Spaţiul vectorial XV , unde V este un spaţiu vectorial peste K, iar X o mulţime nevidă, { }VXffV X →= :: . Operaţiile sunt cele obişnuite de adunare a funcţiilor şi de înmulţire a funcţiilor cu scalari. 4. Spaţiul vectorial NK este spaţiul şirurilor de scalari din K, reprezentând o particularizare a exemplului de mai sus. 5. Spaţiul vectorial ( ), ;M m n K al matricilor de tip ( ),m n cu elemente din K. Operaţiile sunt cele de adunare a matricilor şi de înmulţire ale acestora cu scalari. 6. Spaţiul vectorial [ ]XKn al polinoamelor în nedeterminata X de grad cel mult n,

cu coeficienţi în K,

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈≤=== ∑=

KnpgradfXfXK i

p

i

iin αα ,:

1

Operaţiile considerate aici sunt cea de adunare al polinoamelor şi cea de înmulţire a acestora cu scalari. 7. Spaţiul vectorial al soluţiilor unui sistem liniar omogen de m ecuaţii cu n necunoscute, cu coeficienţi din K:

∑=

==n

jjij mix

1,1,0α


11

Definiţia 1.3. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste câmpul K. O aplicaţie WVF →: care satisface condiţiile:

1) ( ) ( ) ( ) VyxyFxFyxF ∈∀+=+ ,,

2) ( ) ( ) VxKxFxF ∈∀∈∀= ,, ααα se numeşte transformare liniară.

Definiţia 1.4. O transformare liniară bijectivă se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale.

Observaţia 1.1. Sunt izomorfisme:

( )( ).;1,:

;;,1:KnMKFKnMKF

n

n

→

→

1.2 Subspaţiu vectorial

Definiţia 1.5. Fie V un spaţiu vectorial peste câmpul K şi ,1 VV ⊂ 01 ≠V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă KV /1 este spaţiu vectorial în raport cu operaţiile induse pe V1 de operaţiile din V.

Teorema 1.2. O submulţime nevidă V1 a unui spaţiu vectorial V peste K este

subspaţiu vectorial al lui V dacă şi numai dacă sunt îndeplinite condiţiile: a) 11, VuVu ∈+⇒∈∀ νν b) 11, VuVuK ∈⇒∈∀∈∀ λλ Observaţia 1.2. Condiţiile a) şi b) sunt echivalente cu: c) 11,,, VuVuK ∈+⇒∈∀∈∀ μνλνμλ Consecinţa 1.1. Vectorul V0 e comun tuturor subspaţiilor vectoriale.

Exemple:

1. ( ) ( ){ }MMKnnMKnS `;,:, == - mulţimea matricilor pătratice de ordinul n simetrice. 2. ( ) ( ){ }MMKnnMMKnA ';,:, −=∈= - mulţimea matricilor pătratice de ordinul n antisimetrice.


12

3. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, ==∈= ijijs MKnnMMKnT αα pentru }njiji ,1,, => - mulţimea matricilor pătratice de ordin n superior triunghiulare. 4. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, ==∈= ijiji MKnnMMKnT αα pentru }njiji ,1,, =< - mulţimea matricelor pătratice de ordin n inferior triunghiulare.

5. ( ) ( ) [ ]{ 0,;,:, ==∈= ijijMKnnMMKnD αα pentru }njiji ,1,, =≠ - mulţimea matricelor pătratice de ordin n diagonale. 1-5 Furnizează exemple de subspaţii vectoriale pentru spaţiul vectorial

( ), ; .M n n K

6. Dacă { }RRfR R →= :: este mulţimea funcţiilor reale de variabilă reală, atunci ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ){ }RxxfTxfRRfRPer

RxxfxfRRfRI

RxxfxfRRfRP

r ∈∀=+→=

∈∀−=−→=

∈∀=−→=

,::

,::

,::

sunt subspaţii vectoriale ale lui RR . 7. Fiind dat V/K, atunci mulţimea { }V0 este subspaţiu al spaţiului V/K şi se numeşte subspaţiul nul. 8. V este subspaţiu al spaţiului / .V K V şi { }V0 se numesc subspaţii vectoriale improprii.

Definiţia 1.6. Fie V/K un spaţiu vectorial şi S o submulţime nevidă a sa. Un

vector Vu∈ de forma

∑=

=∈∈=n

iiiii niKSvvu

1,,1;;; λλ

se numeşte combinaţie liniară finită de elemente din S.

Teorema 1.3. Dacă S este o submulţime nevidă a lui V/K, atunci mulţimea tuturor combinaţiilor liniare finite de elemente din S este un subspaţiu vectorial al lui V.

Acest subspaţiu se numeşte subspaţiu generat de submulţimea S sau acoperirea liniară a lui S şi se notează cu L(S); mulţimea S se numeşte sistem de generatori al lui L (S).


13

Demonstraţie: Fie

( )

( )( ) ( )∑

∑

∑=

=

= ∈+=+⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∈=

∈=p

iiiin

iii

m

iii

SLuSL

SLu

1

1

1 νμλννμν

νλ

unde ( )nmp ,max= .

( ) ( ) ( )∑∑==

∈=⇒∈=∀∈∀m

iii

m

iii SLuSLuK

11, ναλανλα

Deci ( )SL este subspaţiu vectorial conform teoremei 1.2. Consecinţa 1.2. a) ( )SLS ⊂ ;

b) { }( ) { }VVL 00 = ;

c) ( )( ) ( )31

32

21 SLSSLSSLS

⊂⇒⎭⎬⎫

⊂⊂

1.3 Operaţii cu subspaţii vectoriale

Teorema 1.4. Dacă V1 şi V2 sunt două subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial V/K, atunci:

a) { }22112121 ,: VVVV ∈∃∈∃+==+ ννννν numită suma dintre V1 şi V2 este un subspaţiu vectorial al lui V;

b) { 121 : VVV ∈= ννI şi }2V∈ν este subspaţiu vectorial al lui V;

c) { 121 : VVV ∈= ννU sau }2V∈ν nu este subspaţiu vectorial al lui V, în general (dacă 21 VV ⊂ sau 2112 VVVV U⇒⊂ este subspaţiu vectorial).

Demonstraţie:

a) ⎩⎨⎧

+=+=

⇒∈∀+∈∀21

2121 ,,,

νννβαν

uuuKVVu

cu 111, Vu ∈ν şi 222 , Vu ∈ν .

Cum V1, V2 sunt subspaţii vectoriale ⎩⎨⎧

∈+∈+

⇒222

111

VuVu

βναβνα

.


14

Deci: ( ) ( ) 212211 VVuuu +∈+++=+ βναβναβνα . b) ( ) 2121 ,,, VVvuKVVvu II ∈+⇒∈∈∀ βαβα .

c) Fie 2121, VVvv U∈ astfel încât ⇒⎩⎨⎧

∉∈∉∈

1222

2111

şi şi

VvVvVvVv

2121221

121 VVvvVvvVvv

U∉+⇒⎩⎨⎧

∉+∉+

⇒ .

Teorema 1.5. Fie V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale lui V/K şi 21 VVv +∈ .

Descompunerea 1 2v v v= + este unică dacă şi numai dacă { }1 2 0 .VV V =I

Demonstraţie: Dacă { }VV 0V 21 =I să arătăm că descompunerea este unică. Presupun că n-ar fi unică. Fie 1 2 1 2.′ ′ν = ν + ν = ν + ν Deoarece 1 1 2, ,V′ν ν ∈ şi

2 2 2, ,V′ν ν ∈ vectorul 1 1 2 2u ′ ′= ν − ν = ν − ν e conţinut şi în 1V şi în 2 ,V deci

1 2.u V V∈ I Dar { }1 2 0 ,VV V =I deci descompunerea este unică, adică

1 1 2 2 şi .′ ′ν = ν ν = ν Reciproc, dacă 21 vvv += e unică, să arătăm că { }VVV 021 =I . Într-adevăr, în caz contrar orice vector nenul 1 2w V V∈ I ar avea cel puţin

două descompuneri 2 1

0 0V Vw w w= + = + ⇒ contradicţie cu descompunerea unică,

deci { }1 2 0 .VV V =I Definiţia 1.7. Fie V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale lui KV / . Dacă { }1 2 0 ,VV V =I atunci 1 2V V+ se numeşte sumă directă şi se notează

21V V⊕ .

Dacă VV =⊕ 21V , atunci V1 şi V2 se numesc subspaţii suplimentare.


15

1.4 Dependenţă şi independenţă liniară

Definiţia 1.8. Mulţimea KVS /⊂ se numeşte liniar dependentă şi se notează

SdepK , dacă există o mulţime finită de elemente distincte din S, { } 1,i i nv

= şi

scalarii { } 1,,i i n

K=

λ ⊂ nu toţi nuli, astfel încât ∑=

=n

iViiv

1

0λ .

Definiţia 1.9. Mulţimea KVS /⊂ se numeşte liniar independentă şi se

notează SindK dacă oricare ar fi mulţimea finită de elemente din S, { } 1,i i nv

= şi

scalarii { } 1,,i i n

K=

λ ⊂ astfel încât

niv i

n

iVii ,1,00

1=∀=⇒=∑

=

λλ

Consecinţa 1.3. Dacă SdepK atunci cel puţin unul dintre vectorii { } niiv ,1= este

o combinaţie liniară de ceilalţi. Demonstraţie: Presupunem 0≠iλ . Atunci, din

⇒=+++ Vnnvvv 02211 λλλ K ( )nniiiiiiiii vvvvv λλλλλλλλ 1

111

111

111 −

++−

−−−− +++++−=⇒ KK .

Consecinţa 1.4. Dacă ,kind S atunci dintre vectorii { } 1,i i n

v=

nici unul nu este o

combinaţie liniară de ceilalţi.

Consecinţa 1.5. Dacă ∑=

=n

iiivv

1λ unde { } Vvind iK ⊆ , atunci { } Knii ⊆= ,1λ este

unic determinată. Demonstraţie: Presupunem

( )∑∑∑===

=−⇒==n

iViii

n

iii

n

iii vvvv

1

'

1

'

1

0λλλλ ,

dar { } nivind iiiK ,1,' =∀=⇒ λλ .


16

Teorema 1.6. Fie { } 1,, / ,i Ki n

S v S V K ind S=

= ⊂ şi L(S) este acoperirea

liniară a lui S. Orice mulţime de ( )1n + elemente din ( )L S este liniar dependentă.

Demonstraţie: Fie { } ( )SLw nii ⊂= ,1 atunci 1,1,1

+==∑=

nivwn

jjjii α .

O combinaţie liniară de { } 1,1 += niiw este :

∑∑∑=

+

=

+

=

==n

jVjji

n

ii

n

iii vw

1

1

1

1

10αμμ

de unde rezultă ∑ ∑=

+

=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛n

jVj

n

ijii v

1

1

10αμ , dar SindK , deci ∑

+

=

==1

1

,1,0n

ijii njαμ , ceea

ce reprezintă un sistem de n ecuaţii cu n + 1 necunoscute. Deoarece 1,1, 1

j njii n

rang n== +

⎡ ⎤α =⎣ ⎦ atunci sistemul admite şi soluţii nenule, deci 0≠∃ iμ astfel

încât ∑+

=

=1

10

n

iiiwμ , de unde { } 1,1 += niiK wdep .

Observaţia 1.3.

a) Dacă { } ( )1, , 1, şi ,i jii n i j n

w L S rang n= =

⎡ ⎤⊂ α =⎣ ⎦ atunci { } niiK wind ,1= .

b) Dacă SindK şi { } niivS ,1== , atunci orice { } ( ) SindSLSuS Kmii ,,,1 ⊂= = are nm ≤ .

c) Dacă Kdep S conţine n vectori, atunci orice S S′ ⊃ şi conţine cel puţin

( )1n + vectori este .Kdep S′ Cazuri particulare: 1. Dacă / , / , , KS V K S V K S S dep S′ ′⊂ ⊂ ⊂ atunci 'SdepK .

2. Dacă / , / , , KS V K S V K S S ind S′ ′ ′⊂ ⊂ ⊂ atunci SindK .

3. Orice sistem KVS /⊂ ce conţine vectorul nul este SdepK .

4. Orice sistem KVS /⊂ ce conţine cel puţin doi vectori egali este SdepK . 5. Un sistem KVS /⊂ şi { }1vS = este SdepK dacă şi numai dacă Vv 01 = .

6. Un sistem KVS /⊂ şi { }1vS = este SindK dacă şi numai dacă Vv 01 ≠


17

7. Dacă { }21,vvS = şi 21 vv = atunci SdepK . Observaţia 1.4. Nu trebuie să se confunde dependenţa şi independenţa liniară

cu cea funcţională.

Exemplu: ( ) 0,,,,,1,2, 2122

21

2

1 ≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∈ αα

αα

αα

vuRMvu , 21 αα ≠ ;

u şi ν sunt dependenţi funcţional şi independenţi liniar. Astfel,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡22

21

2

1

2

1

00

αα

αα

αα

, dar

⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇔=+

00

0 22

21

22

1121 α

αλ

αα

λλλ Mvu

00

0212

2221

21211 ==⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+λλ

αλαλ

αλαλ .


18

CAPITOLUL 2 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE

Una din justificările principale ale introducerii şi studiului spaţiilor aritmetice n-dimensionale constă în aceea că evoluţia unor sisteme fizice este strâns legată de indicarea la fiecare moment a parametrilor lor de stare, care pot fi consideraţi ca n mărimi fizice, prin urmare seturile ordonate de n parametri de stare sunt tocmai elemente ale acestor spaţii.

O altă motivaţie constă în simplificarea notaţiilor. Astfel orice funcţie ( ) n

n RARAfxxxf ⊂→ ,:,,,2,1 K de n variabile reale cu valori reale, poate fi considerată ca o funcţie f(x) de o singură variabilă vectorială ( )nxxxx ,,, 21 K= .

Acest capitol este structurat pe două subcapitole, cel de bază şi cel de coordonate şi de schimbări de coordonate.

Obiectivele urmărite sunt cele de a înţelege şi de a defini corect noţiunile de bază şi coordonate, precum şi cel de a argumenta necesitatea lucrului în raport cu baza canonică.

2.1 Baza şi dimensiunea unui spaţiu vectorial

Definiţia 2.1. Fie V un K - spaţiu vectorial, o mulţime B de vectori din V se numeşte bază a lui V dacă:

1) BInd K ; 2) ( ) VBL = Definiţia 2.2. Spaţiul vectorial V se numeşte finit dimensional dacă are o bază

finită (adică formată dintr-un număr finit de elemente) sau dacă { }VV 0= . În caz contrar se numeşte infinit dimensional.

Definiţia 2.3. Se numeşte dimensiunea unui spaţiu vectorial finit dimensional

V şi se notează Vdim , numărul { }⎩⎨⎧

==

VVn

V0 dacă ,0

n vectoricu bază o are V dacă,dim

Dacă V nu e finit dimensional spunem că are dimensiunea ∞ şi notăm ∞=Vdim .


19

Teorema 2.1. (Teorema înlocuirii a lui Steinitz). Dacă { }neeeB ,,, 21 K= e o bază a unui spaţiu vectorial finit dimensional

{ }( )VVV 0≠ şi { }pvvvS ,,, 21 K= este Sind K atunci:

1) np ≤ ,

2) reindexând vectorii lui B, mulţimea { }npp eevvvB ,,,,,, 121` KK += este o

bază a lui V. Demonstraţie. Prin inducţie după p. Presupun { }1,1 vSp == .

0,1,,,0,11

11 ≠∃⇒=∈=≠< ∑=

i

n

iiiiV niKevvn ααα ,

de exemplu 01 ≠α .

Atunci nn eeve1

21

21

11

1αα

αα

α−−−= K .

Deci { }neev ,,, 21 K generează V. Să arătăm că este liniar independentă.

În: Vnneev 02211 =+++ λλλ K folosim ∑=

=n

iiie

11 αν

( ) ( ) ⇒=+++++ Vnnn eee 012221111 λαλλαλλα K

nii ,1,0000,0 21111 =∀=⇒=⇒=⇒≠= λλλαλα

Deci { }neev ,,, 21 K este liniar independentă.

Presupunem adevărat pentru 1−p .

{ }121 ,,, −= pvvvS K are proprietăţile:

1) np ≤−1 ;

2) { }npp eevvvB ,,,,,, 121` KK −= e bază a lui V.

Din np <−⇒ 1)1 căci dacă 11 +=⇒=− npnp deci SdepK . Prin urmare

np <−1 şi np ≤ . Acum nnppppp eevvvv βββββ ++++++= −− KK 112211 cu cel puţin un

0≠iβ . Presupunem 0≠pβ atunci


20

np

np

p

pp

p

p

ppp

pp eevvvve

ββ

ββ

ββ

ββ

ββ

β−−−−−−−= +

+−

−KK 1

11

12

21

11

Deci { }npp eevvv ,,,,,, 121 KK + generează V.

Să arătăm { }nppK eevvvind ,,,,,, 121 KK + . Fie 011112211 =+++++++ ++−− nnpppppp eevvvv λλλλλλ KK

Dar ∑∑=

−

=

+=n

pkkk

p

iiip vvv ββ

1

1

. Deci

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0111

111222111

=++++++

+++++++

+++

−−−

nnnpppppp

pppppp

eee βλβλβλ

νλβλνλβλνλβλ

K

K

Folosind ipoteza de inducţie matematică rezultă

niip

pn

pp

pp

ppp

p

p

,1,00

0

0

0

0

0

0

11

11

22

11

=∀=⇒=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+

=+

=

=+

=+

=+

++

−− λλ

βλ

βλ

βλ

λβλ

λβλ

λβλ

KKKKKKK

KKKKKKK

Deci { }npp eevvv ,,,,,, 121 KK + este liniar independentă şi conform procedeului

inducţiei matematice am demonstrat ceea ce trebuia.

Teorema 2.2. Fie V/K un spaţiu vectorial finit dimensional. Orice două baze ale lui V au acelaşi număr de elemente.

Demonstraţie. Fie B şi B′două baze ale lui V. Fie n numărul de elemente ale

lui B şi n′ numărul de elemente ale lui .B′ Atunci din ( ) ,L B V n n′= ⇒ ≤ iar din

( ) , deci . L B V n n n n′ ′ ′= ⇒ ≤ = Teorema 2.3. Condiţia necesară şi suficientă ca două spaţii vectoriale V/K şi

W/K finit dimensionale să aibă aceeaşi dimensiune este ca ele să fie izomorfe.


21

Demonstraţie. Fie nWV == dimdim şi cele două baze VB şi WB . Avem izomorfismele (sisteme de coordonate)

nKVf →: şi nKW →

Cum 1g − e tot izomorfism WVfgF →= − :1 o este tot izomorfism.

Reciproc fie V şi W izomorfe: WVF →: - izomorfism. Vectorul nul din V trece în vectorul nul din W, WV 00 → .

Apoi VvvvV ∈∀=+ ,0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) WVVV FvFFvFvF 0000 =⇒+=+=

Dacă { }nV eeeB ,,, 21 K= , atunci ( ) ( ) ( ){ }nV eFeFBF ,,1 K= .

Dar ( ) ( ) niFeeeF iVnn ,1,0,02211 =∀==+++ λλλλ K adică

( ) ( ) ( ) nieFeFeF iWnn ,1,002211 =∀=⇒=+++ λλλλ K

Dacă ∑=

=∈n

iiin evKVv

1,/ λ

( ) ( ) nVdeciKWweFvFn

iii =∈==∑

=

dim,/1

λ

Consecinţa 2.1. Toate spaţiile finit dimensionale izomorfe au aceeaşi

dimensiune. Observaţia 2.1. Putem studia proprietăţile unui spaţiu /nV K studiind spaţiul

nK cu care nV e izomorf. Exemple de baze canonice. 1. Baza canonică în nK este:

( )neeeB ,,, 21 K= în care ( )1 2, , ,i i i ine a a a= K şi

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

====≠

=1,,0,0,,1

0,,0,1,0,0,,0,1,,0 21

KK

KK

nij eji

eeadicăjiα

2. Baza canonică în ( ), ;M m n k este ( ) 1,1,

,i nijj n

B E ==

= cu

[ ] 1,1,

0, ,,

1, ,k mij kl kll n

k i l jE

k i l j==

≠ ≠⎧= α α = ⎨ = =⎩


22

0 0 0 00 0 0 0

1 1

0 0 0 0

j

ijE i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

K K

K K

K K K K

K K K K K K

K K

3. Baza canonică în [ ]XKn este ( )nXXXB ,,,,1 2 K= .

2.2 Coordonate. Schimbarea coordonatelor a) Coordonate: În spaţiile vectoriale finit dimensionale se pot introduce şi

defini coordonatele. Pentru aceasta, este necesar să completăm definiţia bazei astfel:

Definiţia 2.4. Fie nV un spaţiu vectorial peste câmpul K, o mulţime

{ } KVnieB ni /,,2,1 ⊂== K se numeşte bază pentru V dacă:

1) BInd K 2) ( ) nVBL = .

Consecinţa 2.2. Orice vector nx V∈ admite o exprimare de forma ∑=

=n

iiiexx

1

în care { } BeniKx inii ∈=∀⊂= ,,1,,1 Definiţia 2.5. a) Mulţimea { } Kx nii ⊂= ,1 ordonată ( ) niix ,1= = ( )nxxx ,,, 21 K se

numeşte mulţimea coordonatelor lui x în baza B.

Notăm [ ] ( )

1

21 2

2

: .tnB

n

xx

x x x x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

KM

matricea coordonatelor vectorului x în

baza B.


23

b) Egalitatea ∑=

=n

iiiexx

1 se numeşte relaţia de descompunere a vectorului

nx V∈ în baza B sau expresia lui x în baza B; pentru a exprima aceasta notăm

1

:n

i i Bi

x x e x=

= =∑ şi formal se poate scrie [ ] .B Bx B x=

Consecinţa 2.3. Într-o bază dată a lui / ,nV K oricărui nx V∈ îi corespunde un

singur n-uplu ordonat ( )1 2, , , nnx x x K∈K şi reciproc. Deci există o bijecţie

nnB KVf →: adică un izomorfism între spaţiile vectoriale /nV K şi nK .

Dacă vom considera ( )1 2, , , nnx x x K∈K ca fiind coordonatele unui vector

nKw∈ în baza canonică, putem scrie:

( )∑=

==n

iiiexw

10,,0,1,0,,0,0 KK

Definiţia 2.6. Izomorfismul : nB nf V K→ prin care unui vector nVν∈ îi

corespunde vectorul nw K∈ ale cărui coordonate în baza canonică a lui nK sunt tocmai coordonatele lui ν în baza dată B, se numeşte izomorfism canonic.

Definiţia 2.7. Bijecţia : nB nf V K→ definită mai sus ( )1 2, , ,

Bf

nx x x x→ K se

numeşte sistem de coordonate în nV . c) Schimbări de baze. Fie B şi B′ două baze ale lui nV atunci:

( ) ( )1 2 1 2, , , şi , , ,n nB e e e B e e e′ ′ ′ ′= =K K au acelaşi număr de vectori liniar independenţi.

Notând ( ), 1,

,tj ij i j n

e=

′⎡ ⎤ = α⎣ ⎦ avem ∑=

=⋅=n

iiijj niee

1

` ,1,α

'

1e '2e K K K '

ne

1e 11α 12α K K K n1α

2e 21α 22α K K K n2αM M M M ne 1nα 2nα K K K nnα


24

Astfel vom obţine matricea ( )

11 12 1

21 22 2,

n

nM B B

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟α α α⎜ ⎟′ =⎜ ⎟⎜ ⎟α α α⎝ ⎠

K

K

M M M M

Kn1 n2 nn

numită

matricea de trecere de la baza B la baza .B′ Observaţie. Matricea de trecere de la o bază B la o bază B′ este de forma ( ) [ ] [ ] [ ]( )BnBB eeeBBM ``

2`1

`, K= , adică matricea are coloana j formată din coordonatele vectorului je′ în baza B.

Formal se poate scrie: ( ) ( ) ( )`21``

2`1 , BBMeeeeee nn KK = adică ( )`` , BBBMB =

Dacă vom considera ( )BBMBB ,``= obţinem, cu relaţia anterioară: ( ) ( ) ( )BBMBBBMBBMBB ,,, ```` ==

dar ( ) ( ) nK IBBMBBMBind =⇒ ,, `` , deci ( ) ( )`1` ,, BBMBBM −= (adică matricile de trecere de la o bază la alta sunt inverse una alteia).

Dacă ( ) ( ) ( )⇒== `````````` ,,, BBMBBBMBBMBB ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

⇒⎭⎬⎫=

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

BIndBBMBBBMBBBM

BBBMBDarBBMBBBMB

K

``````

````

`````` ,,,,

,,

( ) ( ) ( )`````` ,,, BBMBBMBBM =⇒

acestea în ipoteza că , şi B B B′ ′′ sunt baze ale aceluiaşi K - spaţiu vectorial. d) Schimbări de coordonate la schimbarea bazei.

Fie [ ] ( )nB xxxx K21= şi ( )``2

`1 nxxx K se caută legătura între [ ]Bx şi [ ] ,

Bx ′

adică

între coordonatele aceluiaşi vector x în baze diferite. Se consideră:

[ ][ ]

( )

[ ] ( )[ ]

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] .,,

,

,'1'

'

''

''

''

'''

BBBB

K

BBBB

BB

xBBMxxBBMx

BIndxBBBMxB

BBBMB

xBxx

sixBxx

−=⇔=⇒

⎭⎬⎫=

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

==

==


25

CAPITOLUL 3 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE

Începem acest capitol cu studiul noţiunii fundamentale de spaţiu cu produs

scalar, care înlesneşte o extindere fascinantă şi utilă a geometriei euclidiene, permiţând să vorbim de normă şi distanţe, de unghiul dintre doi vectori n-dimensionali nenuli. Spaţiile cu produs scalar şi operatorii pe astfel de spaţii constituie obiectele matematice principale ale mecanici cuantice.

Urmărim însuşirea noţiunilor de spaţiu euclidian, spaţiu metric şi normat precum şi capacitatea de a identifica şi clasifica aceste spaţii.

3.1 Produs scalar. Spaţiu vectorial euclidian

Pe spaţiile vectoriale euclidiene vom putea introduce noţiunea de unghi şi distanţă.

Definiţia 3.1. Se numeşte produs scalar pe un spaţiu RV / o aplicaţie

RVVp →×: care are următoarele proprietăţi:

P1) ( ) Vxxxp ∈∀≥ ,0, şi ( ) 0, =xxp dacă şi numai dacă Vx 0= , P2) ( ) ( ) Vyxxypyxp ∈∀= ,,,, , P3) ( ) ( ) ( ) RVyxxyxpyxpyxxp ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,,, λλλλλλ

Vom nota ( ) ( )xyyxp ,, = , iar în ( ) xyyxpR n =,: .

Consecinţe din axiome: 3.1. ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , , , .x y y x y x y x y y Vμ +μ = μ +μ ∀μ μ ∈ ∀ ∈R 3.2. ( ) ,,,0,0)0,( Vyxyx xv ∈∀==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0y,xy,xyy,xy,0,0y,xy,xyy,x)0,x( xv =−=−==−=−= 3.3 ( ) VyVxyx 0,0, =⇒∈∀=

Dacă ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ⇒=

=+⇒

+=+=+⇒∈∀=

0,0,,

,,,0,,0,

yxyyyx

yyyxyyxdaryyxVxyx

( ) Vyyy 00, =⇒=⇒ 3.4 ( ) ( ) ( ) RVyxyxyxyx ∈∀∈∀== λλλλ ,,,,,,


26

( ) ( )yxyx ,, λλ = din p3 ( ) ( )yxyx V ,,0 λμλ =+ iar

( ) ( ) ( ) ( )yxxyxyyx ,,,, λλλλ === 3.5. Notând ( ) Rxxx ∈= 2, avem:

( ) ( ) Vyxyyxxyx ∈∀++=+ ,,,2 222 (3.1) Într-adevăr: ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=++=+ yxyyxxyxyxyx ,,,2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ,2,,,, yyxxyyxyyxxx ++=+++=

Definiţia 3.2. Un spaţiu vectorial real V pe care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian. Se notează cu E .

Exemple. 1. În spaţiul nR se defineşte pentru nRyx ∈∀ ,

( ) ∑=

=n

iii yxyx

1

,,

care este un produs scalar pe nR . 2. În spaţiul [ ] ( )RC ba

0, se defineşte pentru [ ] ( )RCgf ba

0,, ∈∀

( ) ( ) ( )∫=b

adxxgxfgf ,

care este produs scalar. 3. În orice spaţiu vectorial finit dimensional Vn se poate introduce un produs

scalar astfel: nVyx ∈∀ , . ( ) [ ] [ ]BB

t yxyx =, . Teorema 3.1. Într-un spaţiu RV / euclidian este satisfăcută inegalitatea

Cauchy-Schwartz: ( ) Vyxyxyx ∈∀≤ ,,, 222 (3.2)

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt { }yxdepK , .

Demonstraţie. a) Dacă 0Vx = sau ( ) 0,0 =⇒= yxy V şi 2 0x = sau 2 0,y = deci are loc

egalitatea. b) Dacă ( ) 00,0 2 ≥−⇒≠≠ yxyx VV λ deci,

( ) ( ) 0,2, 222 ≥−−=−− yyxxyxyx λλλλ .

Un trinom de gradul doi în λ este pozitiv pentru R∈∀λ dacă


27

( ) 0,0 222 ≤−⇔≤Δ yxyx de unde relaţia din teoremă.

c) Presupunem { }yxdepK , atunci y x= λ şi ( ) ( ) ( ) ( )( ) 222222 ,,,,, yxxxxxxxxxyx ==== λλλλ

d) Presupunem ( ) 222, yxyx = deci 0Δ = în b) ⇒ ( ) 0,2 222 =+− yyxx λλ

adică ( ) { }yxdepxyyxyxyx KV ,00, ⇒=⇒=−⇒=−− λλλλ

Definiţia 3.3. Se numeşte normă pe un spaţiu vectorial real V o funcţie RVg →: care verifică proprietăţile:

N1) ( ) Vxxg ∈∀≥ ,0 şi ( ) 0=xg dacă şi numai dacă Vx 0= ; N2) ( ) ( ) VxRxgxg ∈∀∈∀= ,, λλλ ; N3) ( ) ( ) ( ) Vxxxgxgxxg ∈∀+≤+ 212121 ,, .

Se notează ( )g x x= şi se numeşte norma lui x. Un spaţiu vectorial pe care s-a introdus o normă se numeşte spaţiu vectorial

normat. Teorema 3.2. Fie E un spaţiu euclidian. Funcţia +→⋅ RE: definită prin

( )xxx ,= este o normă pe E (norma euclidiană). Demonstraţie. 1) Din ( ) ( ) 0,,0,:)1 ≥=⇒∈∀≥ xxxExxxp şi

( ) R

def

xxx 00, =⇔= deci ( ) R

defxxxx 00, =⇔==

2) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxx λλλλλλ ==== ,,, 2

3) ( ) ( ) ≤++=++=+ 2221

21212121 ,2, xxxxxxxxxx

( ) ( ) ≤++=++≤ 22

221

21

2221

21 ,2,2 xxxxxxxx

=+⋅+=+⋅+≤ 2221

21

22

22

21

21 22 xxxxxxxx

( ) 212

21 xxxx +=+=

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă 12 xx λ= cu 0≥λ sau Vx 01 = .


28

Norma, ,x se mai numeşte şi lungimea vectorului x. Cu notaţia pentru normă acum inegalitatea Cauchy-Sehwartz devine:

( ) yxyx ≤, (3.2’`)

care pentru Rx 0≠ şi Ry 0≠ devine:

( ) 1,≤

yxyx (3.2’’)

Definiţia 3.4. Vectorul Ee∈ se numeşte vector unitate sau versor dacă

1=e .

Consecinţa 3.6. Fie RxEx 0, ≠∈ atunci x

e 1= x este un versor ( )1e = .

Deci orice Ee∈ cu Rx 0≠ se poate scrie: 1, =⋅= eexx (3.3)

În acest caz e se numeşte versorul lui x şi se notează cu 0,x astfel că:

0xxx = (3.3’)

Acum folosind (3.2”) putem da: Definiţia 3.5. Fie E un spaţiu vectorial euclidian real şi Eyx ∈, Ryx 0, ≠

Numărul real [ ]πθ ,0∈ definit de relaţia ( )

yxyx,cos =θ (3.4)

se numeşte unghiul neorientat al vectorilor x, y şi se notează cu ( )yx, .

Definiţia 3.6. Fie V un spaţiu vectorial real. Se numeşte distanţă ( metrică) pe V o aplicaţie RVVd →×: care are proprietăţile:

D1) ( ) Vyxyxd ∈∀≥ ,,0, şi ( ), 0d x y = dacă şi numai dacă yx = ; D2) ( ) ( ) Vyxxydyxd ∈∀= ,,,, ; D3) ( ) ( ) ( ) Vzyxyzdzxdyxd ∈∀+≤ ,,,,,, .

Un spaţiu vectorial înzestrat cu o distanţă se numeşte spaţiu metric.


29

Teorema 3.3. Fie V un spaţiu vectorial dotat cu norma euclidiană. Funcţia reală definită prin

( ) Vyxyxyxd ∈∀−= ,,, ,

este o distanţă (metrică) pe V.

Demonstraţie. 1) 0 ,x y x y V− ≥ ∀ ∈ şi 0=− yx dacă şi numai dacă 0x y− = adică yx = ;

2) Vyxxyyx ∈∀−=− , ; 1) şi 2) sunt adevărate datorită definiţiei normei.

3) Vzyxyzzxyzzxyx ∈∀−+−≤−+−=− ,, (definiţia normei).

3.2 Ortogonalitate

Definiţia 3.7. Fie E un spaţiu vectorial euclidian. Doi vectori Eyx ∈, ortogonali dacă ( ), 0.x y = Se notează .x y⊥

O mulţime ES ⊂ se numeşte ortogonală dacă ( ) 0,,, =∈∀ yxSyx . O mulţime ES ⊂ se numeşte ortonormată dacă ( ) 0,, =∈∀ yxSyx şi

1== yx .

Consecinţa 3.7. Vectorul nul este ortogonal cu orice vector. Teorema 3.4. Orice mulţime ortogonală, dintr-un spaţiu vectorial euclidian

E , formată din elemente nenule este liniar independentă. Dacă nE =dim , atunci orice mulţime ortogonală care conţine n elemente din

E este o bază a spaţiului E . Demonstraţie. Fie { } { }Rnii E 0\,1 ⊂=ν să considerăm combinaţia liniară:

∑=

=n

iRii

10νλ , de unde ( )∑

=

==n

ijii nj

1,1,0,ννλ

Dar ( )⎩⎨⎧

=≠

=ji

ji

iji ,

,02ν

νν de unde:

niiii ,1,002 =∀=⇒=⋅ λνλ deci { } niiKind ,1=ν


30

Definiţia 3.8. Fie E un spaţiu vectorial euclidian şi REu 0,, ≠∈ νν se

numeşte proiecţia vectorului u pe v, vectorul (3.7) ( )( )

,,

u vv

v v iar numărul ( )

( ),,

u vv v

se

numeşte mărimea algebrică a proiecţiei vectorului u pe vectorul v. Definiţia 3.9. Un vector E∈ν se numeşte ortogonal mulţimii ES ⊂ dacă

este ortogonal cu orice vector din S. Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali lui S se numeşte “S ortogonal” şi se notează cu .S⊥

Consecinţa 3.8. S⊥ este subspaţiu al lui E iar dacă S este subspaţiu al lui

⊥⇒ SE se numeşte complementul ortogonal al lui S.


31

CAPITOLUL 4 BAZĂ ORTONORMATĂ

În spaţiile euclidiene reale sau complexe de dimensiune n există baze ortonormate. In raport cu acestea se pot determina mult mai uşor distanţele, măsurile unghiurilor şi lungimile vectorilor. Putem spune că de îndată ce este fixată o bază a unui spaţiu vectorial de dimensiune n finită, un vector x este bine determinat prin componentele vectorului relativ la baza respectivă. In acest mod vectorii abstracţi admit realizări numerice şi ''pot fi programaţi''.

Capitolul este structurat pe două subcapitole şi anume cel de bază ortonormată şi cel de construcţie a acesteia.

Ca obiective urmărite le putem preciza pe cele de înţelegerea şi aprofundarea noţiunilor de spaţii euclidiene.

4.1 Bază ortonormată

Definiţia 4.1. O bază ( ) nn EeeeB ⊂= ,,, 21 K se numeşte ortonormată dacă

( )⎩⎨⎧

≠=

==jiji

ee ijji ,0,1

, δ

ijδ se numeşte simbolul lui Kronecker.

Exemplu. În nR faţă de ( ) ∑=

=n

iii yxyx

1

, baza canonică ( )neeeB ,,, 21 K= este

ortonormată. Teorema 4.1. Fie nE un spaţiu vectorial euclidian şi ( )neeeB ,,, 21 K= o

bază ortogonală a lui.

Dacă ∑=

=n

iiiex

1

ν atunci( )( )ji

ii ee

ex

,,ν

= iar dacă B este bază ortonormată,

atunci ( ) niex ii ,1,, =∀= ν


32

Demonstraţie. Din ( ) ( )∑∑==

=⇒=n

ijiij

n

iii eexeex

11

,,νν cum:

( ) ( ) ( )iiiij

ji eexejie

jiee ,,

,,0

, 2 =⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠= ν deci

( )( )ii

ii ee

ex

,,ν

=

Dacă ( ) ijji ee δ=, , atunci ( )ii ex ,ν= . Concluzia este că într-o bază ortogonală

( )( ) i

n

i ii

i eeee∑

=

=1 ,

,νν (4.1)

iar într-o bază ortonormată

( ) i

n

ii ee∑

=

=1

,νν (4.2)

în acest caz ( )ii ex ,ν= se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului nE∈ν .

4.2 Construcţia unei baze ortonormate pornind de la o bază dată

Teorema 4.2. În orice spaţiu euclidian de dimensiune n, nE , există baze

ortonormate. Demonstraţie. Fie ( )nfffB ,,, 21 K= o bază oarecare în nE şi ne propunem

să construim o bază ( )neeeB ,,, 21' K= ortogonală prin următoarea transformare

de bază:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++++=

++=+=

=

−− nnnnnnnn eeeeef

eeefeef

ef

11332211

32231133

21122

11

αααα

ααα

K

KKKKKKKKKKK

În acest caz putem scrie că:


33

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

1 0 0 0

0

1 00 10

1

,

1

3

223

11312

'

K

KMMM

MKMMM

MKMM

K

K

K

nn

n

n

n

BBM

α

αααααα

Cum vectorii ie se construiesc prin inducţie ca să îndeplinească ( ) jiee ji ≠= ,0, , obţinem:

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++++=

+++=

++=

+=

=

−−−

−nn

nn

nnnnn ee

eeef

eeeef

eeeef

f

eeeeef

eeeef

eeeef

f

eeeeef

eeeef

f

eeeeeff

ef

111

12

22

21

11

1

4333

342

22

241

11

144

3222

231

11

133

2111

122

11

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,,,

K

KKKKKKKKKKK

Deci:

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−=

−−−=

−−=

−=

=

−−−

−1

11

12

22

21

11

1

333

342

22

241

11

1444

222

231

11

1333

111

1222

11

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,,,

nnn

nnnnnn e

eeef

eeeef

eeeef

fe

eeeef

eeeefe

eeeffe

eeeef

eeeef

fe

eeeef

fe

fe

K

KKKKKKKKKKK


34

Vom norma acum baza ( )neeeB ,,, 21' K= făcând în plus transformarea:

( )ni

eee

ee

eii

i

i

ii ,1,

,* =∀==

Noua bază ( )**2

*1

'' ,,, neeeB K= fiind ortonormată este cea căutată. Observaţie. Bazele ortonormate simplifică mult calculul: astfel, dacă ( )neeeB ,,, 21 K= este o bază ortonormată în spaţiul nE şi

∑ ∑= =

==n

i

n

iiiii eyyexx

1 1, , atunci:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑===

−===n

iii

n

iii

n

ii yxyxdyxyxxx

1

2

11

2 ,,,,, .


35

CAPITOLUL 5 TRANSFORMĂRI LINIARE

Algebra liniară constituie cadrul matematic abstract pentru tratarea problemelor ''liniare'' (care conduc la ecuaţii şi sisteme de gradul întâi) din diverse domenii. Alături de noţiunea de spaţiu vectorial, un concept de bază îl constituie cel de aplicaţie liniară sau, cum se mai spune, operator liniar, ca ''purtător de informaţie liniară'' de la un spaţiu vectorial la altul.

Structurarea capitolului este făcută pe patru subcapitole şi anume cel legat de definiţii şi proprietăţi generale apoi cel dedicat operaţiilor cu transformări liniare, ca în final să ne ocupăm de nucleul şi imaginea unei transformări liniare.

Obiectivele pe care le-am urmărit au fost acelea de a familiariza studentul cu noţiunile noi legate de transformări liniare, de a-l obişnui pe acesta să stabilească natura unei aplicaţii folosind demonstraţiile cele mai simple dar corecte precum şi a-i dezvolta puterea de analiză a fenomenelor legate de acestea.

5.1 Definiţie. Proprietăţi generale

Definiţia 5.1. Fie U şi V două K-spaţii vectoriale. O funcţie VUF →: cu proprietatea

( ) ( ) ( ) UyxKyFxFyxF ∈∀∈∀+=+ ,,,, βαβαβα (5.1)

se numeşte transformare liniară (operator liniar sau morfism) de la U la V. Mulţimea morfismelor de la U la V se notează cu sau ( )VUHom , .

Vectorul ( ) VxF ∈ pentru x U∈ se numeşte imaginea vectorului x prin F, iar

Ux∈ a cărui imagine este se numeşte preimagine a lui ( )xF . Cazuri particulare.

1. Un morfism injectiv VUF →: se numeşte monomorfism. 2. Un morfism surjectiv VUF →: se numeşte epimorfism. 3. Un morfism bijectiv VUF →: se numeşte izomorfism. În acest caz există şi

UVF →− :1 tot izomorfism. 4. Un morfism UUF →: se numeşte endomorfism. 5. Un morfism KUF →: se numeşte formă liniară. 6. Un morfism bijectiv UUF →: se numeşte automorfism.


36

Exemple: 1. Produsul scalar a doi vectori din ,nE dacă fixăm unul din vectori, este o

formă liniară. 2. În [ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫=

b

aba dxxgxfgfRC ,:0, cu ( )f x fixat este o formă liniară.

Teorema 5.1. Dacă atunci: 1. ( ) VUF 00 = .

2. Dacă U1 este subspaţiu vectorial al lui U, atunci ( )1UF este subspaţiu

vectorial al lui V. 3. Dacă { } niiuS ,1== este Kdep S atunci:

( ) ( ){ } niiuFSF ,1== este ( )SFdepk .

Demonstraţie: 1. În definiţia (5.1.) facem ( ) ( )xFxF ααβ =⇒= 0 şi pentru ⇒= 0α

( ) VUF 00 =⇒ .

2. U1 - subspaţiu vectorial al lui U atunci: K∈∀ βα , şi 11, UyxUyx ∈+⇒∈∀ βα deci

( ) ( ) ( ) ( )1UFyFxFyxF ∈+=+ βαβα . 3. { } UuS nii ⊂= = ,1 şi Kdep S , deci

0 a.i. ,101

≠=∃⇒=∑=

i

n

iUii niu λλ .

Aplicând F putem scrie:

( ) ( ) 0 a.i. ,10011

≠=∃⇒=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑==

i

n

iViiU

n

iii niuFFuF λλλ , deci ( )SFdepK .

Teorema 5.2. Fie Un şi V două K-spaţii vectoriale, B o bază în nU ,

( )neeeB ,,, 21 K= iar { } nii ,1=ν n vectori arbitrari în V, atunci: 1. Există şi este unică cu proprietatea:

( ) nieF ii ,1, ==ν .


37

2. Dacă { } niiKind ,1=ν atunci cu proprietatea ( ) nieF ii ,1, =∀=ν

este monomorfism.

Demonstraţie: 1. Existenţa: Fie ,nx U∈ atunci

[ ]Bn

i

formal

iiB xBexxx ∑=

===1

.

Regula ( ) ∑=

=→n

iiixxFx

1ν defineşte o funcţie VUF n →: cu proprietatea

( ) nieF ii ,1, ==ν asta din ( ) ( )∑=

=n

iii eFxxF

1 sau formal

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]Bn xeFeFeFxF K21= , iar dacă notăm ( ) ( ) ( )( ) ( )BFeFeFeF n =K21 atunci ( ) ( )[ ]BxBFxF = .

Unicitatea: Demonstrăm prin reducere la absurd. Presupunem că mai există cu proprietatea

atunci de unde 2. Pentru nUyx ∈∀ , şi ( ) ( )⇒= yFxF

( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ] [ ]( ) VBBBB yxBFyBFxBF 0=−⇒=

dar ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] yxyBxByxBFind BBBBK =⇒=⇒=⇒ deci F e monomorfism.

Teorema 5.3. Dacă este monomorfism, atunci au loc: 1. Dacă { } ( ) ( ){ } niiKnii uFSFSinduS ,1,1 , == =⇒= este ( )SFind K . 2.Dacă { } niieB ,1== este bază a lui U, atunci ( )BF este ( )BFind K . 3. Dacă nVU == dimdim şi B este bază a lui U, atunci ( )BF este bază a lui

V. Demonstraţie:

1. ;0,,10:1

==∀⇒=∑=

iUi

n

iiK niuSind λλ F monomorfism şi

( ) ViUi uFu 00 ≠⇒≠ , iar pentru ( ) ( )jiji uFuFjiuu ≠⇒≠∀≠ , .


38

Deci ( ) ( ) 0,,1,0011

==∀=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑∑==

i

n

iViiU

n

iii niuFFuF λλλ . Acum 2. şi 3.

rezultă din 1.

5.2 Operaţii cu transformări liniare

Definiţia 5.2. Fie mulţimea tuturor transformărilor liniare de la U la V, adică:

( ) ( ) ( ) ( ){ }, : , , , , .U V U V x y x y K x y U= → α +β = α +β ∀α β∈ ∀ ∈L F F F F În această mulţime definim:

1. egalitatea : = 2. adunarea

3. înmulţirea cu scalari

Proprietăţi: 1. Transformarea liniară 0 :U V→ cu proprietatea ( ) Uxx V ∈∀= ,00 este

transformarea nulă. 2. Transformarea VUF →:' cu proprietatea ( ) ( ) UxxFxF ∈∀−= ,' unde

se numeşte opusa transformării 3. formează grup comutativ faţă de adunarea definită mai sus ţinând

seama de 1. şi 2. 4. împreună cu operaţiile 2. şi 3. definite la (5.2) formează un spaţiu

vectorial peste K. Cazuri particulare. se numeşte spaţiul endomorfismelor lui V. - mulţimea formelor liniare de la V la K se numeşte dualul lui V. Definiţia 5.3. Fie şi atunci

se numeşte compunerea sau produsul transformărilor liniare şi se notează:

→


39

Proprietăţi: 1. Produsul a două transformări liniare este o transformare liniară:

2. Produsul transformărilor liniare este asociativ şi în general nu e comutativ. 3. Produsul transformărilor liniare este distributiv la stânga în raport cu

adunarea transformărilor liniare. Dacă şi atunci

4. Produsul este distributiv şi la dreapta în raport cu adunarea. Dacă

şi atunci

5. În mulţimea ( ),U UL a endomorfismelor introducem transformarea

identică: ( ) UxxxJUUJ ∈∀=→ ,,: . Astfel ( ),U UL se transformă în inel în raport cu adunarea şi înmulţirea transformărilor liniare.

Dacă este mulţimea automorfismelor, adică cu proprietatea atunci

este corp. 6. În mulţimea ( ),U UL a endomorfismelor introducem puterile naturale ale

unei transformări astfel:

5.3 Nucleul şi imaginea unei transformări liniare

Definiţia 5.4. (1) Fie se numeşte nucleul transformării liniare mulţimea preimaginilor vectorului V0 adică:

( ){ } ( ) KerFFuFUu VV ===∈ − :00 1

(2) Se numeşte imaginea transformării liniare F , mulţimea imaginilor lui Uu∈ , adică:

( ){ } ( ) FuFuFUuV Im:, ===∈∃∈ νν

=


40

Teorema 5.4. Fie atunci: 1) KerF este un subspaţiu vectorial al lui U; 2) FIm este subspaţiu vectorial al lui lui V. Demonstraţie. 1) ( ) VuFKKerFuu 0,,, 121 =⇒∈∀∈∀ βα şi ( ) VuF 02 = . Deci ( ) ( ) ( ) KerFuuuuFuFuF VV ∈+⇒=+⇔=+ 212121 00 βαβαβα . 2) UuuKF ∈∃⇒∈∀∈∀ 2121 ,,,Im, βανν a. î. ( ) 11 ν=uF şi ( ) 22 ν=uF . Deci ( ) ( ) ( ) VuuFuFuF ∈+=+⇔+=+ 2121211 2 βνανβαβνανβα adică

FIm21 ∈+ βναν . Teorema 5.5. Dacă atunci FIm este finit dimensional şi:

nUFKerF dimImdimdim ==+ .

Dimensiunea nucleului se numeşte defectul lui ,F iar dimensiunea imaginii se numeşte rangul transformării F.

Demonstraţie. Fie dim şi dim .nU n Ker p= =F Dacă 0,p = atunci

{ }UKerF 0= , adică ( )nn UFUF →: este un izomorfism. Ori două spaţii izomorfe au aceeaşi dimensiune, deci ( ) nFUF n == Imdimdim şi 0n n= + ,

adică relaţia din teoremă este adevărată pentru 0.p =

Dacă 1,p ≥ iar { }peeeB ,,, 21 K= este o bază pentru KerF pe care o

completăm până la o bază a spaţiului { }1 2 1, , , , , , ,n p p nU B e e e e e+′ = K K să

considerăm nx U∈ atunci 1

.n

i ii

x x e=

= ∑

Aplicând F şi ţinând seama de faptul că B este bază în KerF obţinem: ( ) ( ) ( ) ( ) FxFeFxeFxxF nnpp Im,11 ∈++= ++ K .

Deci ( ) ( ){ }np eFeF ,,1 K+ este un sistem de generatori pentru spaţiul FIm .Să arătăm că acest sistem de vectori este şi liniar independent.

Dacă am presupune că este un sistem de vectori liniar dependent, deci ar

exista cel puţin un coeficient nenul, de exemplu 1p+α din relaţia ( ) ( ) ( ) ( )VnnppVnnp eeFeFepF =++⇔=+++ +++ αααα KK 111 01

ar rezulta că:


41

KerFee nnpp ∈++⋅ ++ αα K11 . Cum în { }peeeBKerF ,,,, 21 K= e bază rezultă:

ppnnpp eeeee ααααα +++=++++ KK 221111 cu 01 ≠+pα , deci npp eeeee ,,,,,, 121 KK + sunt liniar dependenţi. Contradicţie cu

{ }npp eeeeeB ,,,,,, 121' KK += - bază.

Deci ( ) ( ){ }np eFeF ,,1 K+ este un sistem de vectori liniar independent, formând chiar bază în FIm .

Prin urmare KerFUF n dimdimImdim −= .


42

CAPITOLUL 6 REPREZENTAREA ANALITICĂ A UNEI TRANSFORMĂRI

LINIARE. VECTORI ŞI VALORI PROPRII

Acest capitol reprezintă un dicţionar perfect, privind corespondenţa între aplicaţii liniare şi matrici. Vom studia cum se schimbă matricea asociată unei aplicaţii liniare când se schimbă bazele şi cum se pot determina vectorii şi valorile proprii corespunzătoare acesteia.

Capitolul cuprinde trei subcapitole dedicate reprezentării analitice, vectorilor proprii şi valorilor proprii asociate unei transformări liniare.

Obiectivele urmărite au fost cele legate de înţelegerea şi însuşirea noilor noţiuni, precum şi cel legat de dezvoltarea capacităţii de lucru, folosind cele mai eficiente metode numerice.

6.1 Reprezentarea analitică a unei transformări liniare. Matricea transformării

Teorema 6.1. Fie o bază a lui ,nU şi

( )pVB ννν ,,, 21 K= o bază a lui pV atunci:

(1) există şi este unică o matrice ( ) ( )KnpMBBFM VU ,,,, ∈ astfel încât ( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,= (6.1)

(2) pentru nUx∈∀ ( )[ ] ( )[ ]

UV BVUB xBBFMxF ,,= (6.2)

Demonstraţie. (1) Existenţa: pentru ⇒∈∀ nUx ( ) ( ) ( )[ ]

VBVp xFBxFVxF =⇒∈ de unde

( ) ( )[ ] njujFBuFVBVj ,1, ==

astfel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ]( )

VV

VVV

BnBV

BnVBVBV

nnU

uFuFB

uFBuFBuFBuFuFuFuuuFBF

,,

,,, ,,,,,,

1

21

2121

K

K

KK

=

=====


43

Notând cu

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )VV BnBVU uFuFBBFM ,,,, 1 K= (6.3)

matricea celulară ale cărei coloane sunt coloanele coordonatelor vectorilor ( ) niuF i ,1, =∀ în baza VB putem scrie că:

( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,= . Deci am demonstrat că există matricea ( )VU BBFM ,, numită matricea

transformării liniare F corespunzătoare bazelor , ;U VB B ea are n coloane, iar fiecare coloană are p linii, deci ( ) ( ); , , ; .U VM B B M p n K∈F

Unicitatea: Prin reducere la absurd, presupunem că există şi ( )VU BBFM ,,1 astfel încât ( ) ( )VUVU BBFMBBF ,,1= deci:

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )VUVU

nVUVUV

VUVVUV

BBFMBBFMBBFMBBFMBBBFMBBBFMB

,,,,0,,,,

,,,,

1

,11

1

=⇒

=−⇒⇒=⋅

aceasta rezultând din VK Bind . (2) [ ]

UBUn xBxUx =⇒∈∀ aplicând ( ) ( )[ ] ( )[ ]

UU BVUVBU xBBFMBxBFxFF ,,==⇒ Adică:

( ) ( )[ ]UBVUV xBBFMBxF ,,= (6.4)

(6.4) este numită expresia transformării liniare F în baza .VB Ţinând seama şi de ( ) ( )[ ]

VBV xFBxF = din (6.4) rezultă că: ( )[ ] ( )[ ]

UV BVUB xBBFMxF ,,= Caz particular. (1) În cazul unui endomorfism fie ( )nuuuB ,,, 21 K= o bază a lui .nU Atunci ( ) ni UuF ∈ deci ( ) ( )[ ]Bii uFBuF = .

În acest caz: ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ).,,,

,,, ,,,

21

21

21

BnBB

BnBB

n

uFuFuFBuFBuFBuFB

uFuFuFBF

K

K

K

=

====

Matricea ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )BFMuFuFuF BnBB ,:,,, 21 =K este o matrice celulară având n coloane, iar fiecare coloană este matricea coloană a coordonatelor vectorului ( )iuF în baza { }niB ,,2,1, K∈ , deci ( ) ( ); , ; .M B M n n K∈F


44

Dacă ( ) ( ) ( ) ( )( )nuFuFuFBBFM ,,,0,det 21' K=⇒≠ este o bază a lui ,nU iar

( );M B′ ′F este tocmai matricea de trecere de la baza B la baza B′ şi putem scrie ( ) ( )BFMBBF ,⋅= .

Teorema 6.2. Fie două endomorfisme şi ,B B′ două baze

în .nU Matricele ( ) ( ); şi M B M′ ′F F;B reprezintă aceeaşi transformare liniară

dacă şi numai dacă ( ) ( ) ( ) ( )1; , ,M B M B B M M B B−′ ′ ′ ′=F F;B , în care ( )', BBM este matricea de trecere de la baza B la .B′

Demonstraţie. Dacă şi aplicând obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ; ; ,B B M B B B M B BM B M B B′ ′ ′ ′= ⇔ = ⇔F F F F

( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , ,B M B B M B B M B M B B−′ ′ ′ ′ ′=F F

ţinând seama de ( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , .Kind B M B M B B M B M B B−′ ′ ′ ′⇒ =F F Reciproc, presupunând că are loc relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )1; , ; , ,M B M B B M B M B B−′ ′ ′=F F

rezultă imediat, parcurgând demonstraţia anterioară în sens invers, că .'FF =

6.2 Vectori proprii

Definiţia 6.1. Fie un endomorfism. Un vector { }UnUx 0\∈ ,

se numeşte vector propriu al endomorfismului F dacă există Kx ∈λ astfel încât: ( ) xxF x ⋅= λ (6.5)

xλ se numeşte valoarea proprie a endomorfismului F corespunzătoare lui x.

Mulţimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului F se numeşte spectrul lui F .

Notând ( ) nnn UxxxIUUI ∈∀=→ ,,: , atunci (6.5) devine: ( )( ) { }unU UxxIF 0\,0 ∈∀=− λ ,

ceea ce arată că ( )IFKerx λ−∈ .

Proprietate. Dacă ( ) xxF xλ= , atunci ( ) { }0\, KkkxkxF x ∈∀= λ .


45

Teorema 6.3. (1) Unui vector propriu al endomorfismului F îi corespunde o singură valoare proprie.

(2) Vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt liniari independenţi.

(3) Mulţimea ( ) ( ){ },S x x x fixatλ = = λ λ −F este un subspaţiu vectorial al lui U, numit subspaţiu propriu.

(4) Subspaţiile proprii corespunzătoare la valori proprii distincte sunt disjuncte.

Demonstraţie. (1) Prin reducere la absurd: presupun că ( ) uuF 1λ= şi

( ) uuF 2λ= cu 21 λλ ≠ atunci din ( ) 0021 =⇒=− uu Uλλ , contradicţie cu

definiţia (6.1.), deci 21 λλ = . (2) Fie pλλλ ,,, 21 K valori proprii distincte şi ( ) pixxF iii ,1, =∀= λ . Să

demonstrăm { } piiK xind ,1= prin inducţie după p.

Dacă ( ) { }UUxxxFp 0\,1 1111 ∈⇒== λ , deci Ux 01 ≠ e liniar independent. Presupunem că vectorii 121 ,,, −pxxx K corespunzători valorilor proprii

distincte 121 ,,, −pλλλ K sunt liniar independenţi. Să considerăm:

U

p

iii x 0

1=∑

=

α (6.6)

de unde

U

p

iii xF 0

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

α (6.7)

sau

U

p

iiii x 0

1=∑

=

αλ (6.8)

Acum, din (6.6), pλ - (6.8) obţinem U

p

iiii

p

iiip xx 0

11=−⋅ ∑∑

==

αλαλ adică

( ) ( ) U

p

ippppiipi xx 0

1

1=−+−∑

−

=

λλαλλα

de unde, ţinând seama de { } 1, −= piiiK xind ,

( ) 0, cu 0, 1, 1 deci 0, 1, 1.i p i p i ii p i p⇒α λ −λ = λ − λ ≠ ∀ = − α = ∀ = −


46

Astfel (6.6) devine 0=pp xα dar

{ } piUx ipUp ,1,000\ =∀=⇒=⇒∈ αα ceea ce trebuia demonstrat.

(3) ( )λSyx ∈∀ , şi ( )( )

( ) ( ) ( )yxyFxFyyF

xxFK βαλβα

βλ

αλβα +=+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅=∈∀ :,

şi ( ) ( ) ( ) ( )yxyxyFxFyxF βαλβλαλβαβα +=+=+=+ , deci ( )λβα Syx ∈+ .

(4) Fie 21 λλ ≠ . Pentru ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇒

⎩⎨⎧

=⇒∈=⇒∈

⇒∈xxFSxxxFSx

SSx22

1121 λλ

λλλλ I

( ) ( ) ( )1 2 1 21 2

1 2

00 deci şi sunt disjuncte. U

U

x x xx S S

⎫λ = λ ⇒ λ − λ = ⎪⇒ = λ λ⎬λ ≠ λ ⎪⎭

Teorema 6.4. Condiţia necesară şi suficientă ca matricea ( ); BM F a

endomorfismului să fie diagonală este ca vectorii bazei să fie vectori proprii ai acestei transformări.

Demonstraţie. Presupunem că ( ) nkeeF kkk ,1, == λ şi ( )nU eeeB .,, 21 K= ,

atunci: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 nB B B

M e e e= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦KF;B F F F

( )knD

n

,

0 0

0000000

2

1

∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

λ

λλ

MMM

K

M

K

Reciproc presupunem că ( ) ( )knDBFM ,, ∈ , atunci:

( ) =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

neee

λ

λλ

0 0

0000000

,,,2

1

21

MMM

K

M

K

K

( )nneee λλλ K2211= adică ( ) nkeeF kkk ,1, =∀= λ


47

6.3 Polinom caracteristic

Să considerăm [ ]BxBx = atunci folosind (6.4), relaţia (6.5) devine: ( )[ ] [ ]BB xBxBFBM λ=,

de unde folosind Bind K rezultă: ( )[ ] [ ]BB xxBFM λ=,

sau, dacă notăm cu ( ), ;nI M n n K∈ matricea unitate, atunci obţinem ecuaţia:

( )( )[ ] ( ),1;0n M n KBM I x− λ =F;B

care se numeşte ecuaţia vectorilor proprii. Această ecuaţie dă coordonatele vectorului propriu Bx cunoscând valorile proprii .λ Notând:

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 , 1,n ijB B B i j nM e e e

=⎡ ⎤= = α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦KF;B F F F

ecuaţia anterioară se poate scrie:

( )KnM

nnnnn

n

n

O

x

xx

,1,2

1

21

22221

11211

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

M

K

MMMM

K

K

λααα

αλααααλα

care este un sistem omogen, iar soluţia banală nu convine problemei, deoarece un vector propriu { }UUx 0\∈ şi atunci notăm ( )( ) ( )λλ PIBFM n =− :,det şi numim polinomul ( )P λ polinom caracteristic. Evident ( ) ngradP =λ , iar ecuaţia

( )( )det ; 0nM B I− λ =F se numeşte ecuaţia caracteristică. Rădăcinile polinomului caracteristic sunt valorile proprii ale endomorfismului .F

Teorema 6.5. Polinomul caracteristic al unui endomorfism este un invariant la schimbarea bazei.

Demonstraţie. Fie ,B B′ două baze în nU şi ( ) ( )',,, BFMBFM matricele

transformării liniare corespunzătoare endomorfismului. Să arătăm că:

( )( ) ( )( )nn IBFMIBFM λλ −=− ,det,(det '


48

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( ).,det

,det,det,det

1

,det,det,det

,,,det

,,,,,det,(det

''

''1

''1

''1''1'

n

n

n

n

nn

IBFM

IBFMBBMBBM

BBMIBFMBBM

BBMIBFMBBM

BBMBBMIBBMBFMBBMIBFM

λ

λ

λ

λ

λλ

−=

=−⋅=

=⋅−⋅=

=−=

=−=−

−

−

−−

Teorema 6.6. Dacă matricea endomorfismului F în baza B, ( )BFM , este reală şi simetrică, atunci valorile proprii sunt reale. (Ecuaţia caracteristică are toate soluţiile reale).

Demonstraţie. Considerăm:

( )[ ] [ ]BB xxBFM λ=, (6.9) conjugând complex obţinem: ( )[ ] [ ]BB xxBFM λ=, (6.10) deoarece ( ) ( )BFMBFM ,, = .

Înmulţind la stânga (6.9) cu [ ]Bt x şi tot la stânga pe (6.10) cu [ ]Bt x obţinem: [ ] ( )[ ] [ ] [ ]BB

tBB

t xxxBFMx λ=, [ ] ( )[ ] [ ] [ ]BB

tBB

t xxxBFMx λ=, aplicând transpusa celei de-a doua relaţii obţinem:

[ ] ( )[ ] [ ] [ ]BBt

BBt xxxBFMx λ=,

care comparată cu prima dă: ( ) [ ] [ ] 0=⋅− B

txxλλ

dar [ ] [ ] Rxx BBt ∈⇒=⇒≠ λλλ0 .


49

CAPITOLUL 7 TRANSFORMĂRI LINIARE PE SPAŢII EUCLIDIENE

În cadrul analizei funcţionale sunt caracterizate funcţionalele liniare (şi continue) pe spaţii înzestrate cu diverse structuri, din această cauză este absolut necesară cunoaşterea în primul rând a transformărilor liniare pe spaţii euclidiene.

Capitolul este dedicat studiului transformărilor liniare simetrice, apoi celor ortogonale translaţiilor şi izometriilor.

Obiectivele urmărite au fost înţelegerea şi însuşirea fenomenelor care se produc în spaţiile euclidiene relativ la transformările liniare.

7.1 Transformări liniare simetrice

Definiţia 7.1. Un endomorfism se numeşte simetric dacă verifică egalitatea

Teorema 7.1. Condiţia necesară şi suficientă ca endomorfismul

să fie simetric este ca ( ) ( )knSBFM ,, ∈ într-o bază ortonormată. Demonstraţie. Dacă nUu ∈ν, , iar ( )neeeB ,,, 21 K= e baza ortonormată,

atunci ∑∑==

==n

jjj

n

iii eeuu

11

, νν , deci:

( ) ( )∑∑∑∑= ===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii eeueeuu

1 111,,,, ννν

dar ( ) ijji ee δ=, , deci:

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]BBt

BBt

n

iii uuuu νννν === ∑

=1,

sau ceea ce se mai poate scrie: [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]BB

tBB

tBB uuBuB ννν ==,

Deci ( )( ) [ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]BBt

BB BFMuBFBMuBFu ννν ,,,, == , ( )( ) ( )[ ] [ ]( ) [ ] ( )[ ]Bt

Bt

BB BFMuBuBFBMuF ννν ,,,, == Dacă F este simetrică, din ultimele relaţii rezultă ( )BFMBMF t ,, = , deci ( ) ( )knSBFM ,, ∈ .

(7.1)

n


50

Reciproc: Presupunând că ( ) ( ); ,M B S n K∈F atunci nUu ∈∀ ν, :

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ]BBt

Bt

Bt

BBt uBFMBFMuBFMu ννν ,,, ==

deci [ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] [ ]( )BBBB BuBFBMBFBMuB νν ,,,, = , adică: ( )( ) ( )( )νν ,, uFFu = .

7.2 Transformări ortogonale

Definiţia 7.2. Transformarea liniară se numeşte ortogonală dacă ea conservă produsul scalar, adică:

( ) ( )( ) ( ) nEyxyxyFxF ∈∀= ,,,, Notăm cu Teorema 7.2. Condiţia necesară şi suficientă ca o transformare liniară să fie ortogonală este ca ea să conserve norma vectorilor, adică:

( ) nExxxF ∈∀= , (7.2) Demonstraţie. Presupunem F ortogonală, atunci din definiţie:

( ) ( )( ) ( ) ( ) xxFxxxFxF =⇒= ,,

Reciproc: presupunând că ( ) nExxxF ∈∀= , , atunci:

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )yFxFyFxFyFxF

yFxFyxF

yxyxyxyxyx

,21

21

21

21,

22

222

222222

=−−+=

=−−+=

=−−+=−−+=

Consecinţe: 1. Nucleul unei transformări ortogonale conţine numai vectorul nul. 2. Transformarea ortogonală este injectivă. 3. O transformare ortogonală este bijectivă dacă şi numai dacă este surjectivă.


51

Teorema 7.3. 1) Produsul a două transformări ortogonale este o transformare ortogonală.

2) Inversa unei transformări ortogonale surjective este o transformare ortogonală.

Demonstraţie.

1) Fie şi ortogonale atunci: ( )( ) ( ) nExxxFxFF ∈∀== ,112

2) Fie ortogonală surjectivă, atunci ea este bijectivă şi există deci np EEF →− :1 şi ( ) xyFEy p =∈∀ −1 , deci:

( ) ( ) yxFxyF ===−1 Consecinţă. Mulţimea endomorfismelor ortogonale surjective formează grup

în raport cu înmulţirea. Teorema 7.4. Condiţia necesară şi suficientă ca să fie

ortogonală este ca matricea ( )',, BBFM a transformării în raport cu orice baze ortonormate ,B B′ din nE respectiv din pE să verifice egalitatea:

( ) ( ) nt IBBFMBBFM ='' ,,,,

Demonstraţie. Presupun că ortogonală, deci: Pentru nEx∈ , ( ) xxF = , adică ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ]BB

t xxxxxFxF == ,, , iar

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] '', BBt xFxFxFxF ⋅= de unde ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ]BB

tBB

t xxxFxF =⋅ '' .

Dar ( )[ ] ( ) [ ]BBB xBBFMxF ⋅= ',,' care înlocuită mai sus: [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]BB

tB

tB

t xxxBBFMBBFMx =⋅ '' ,,,,' , de unde ceea ce trebuia demonstrat şi parcurgând în sens invers obţinem:

( ) xxF = . Consecinţe:

1. Dacă n p= atunci matricile ( )RnnMA ,,∈ care verifică InAAAA tt =⋅=⋅ se numesc ortogonale. Deci în cazul unui endomorfism ortogonal

este matrice ortogonală.


52

2. Ţinând seama că dacă ( )RnnMBA ,,, ∈ , atunci ( ) BABA detdetdet ⋅=⋅ , rezultă că în cazul matricilor ortogonale avem că:

( ) 1detdetdetdet =⋅⇒=⋅ AAIAA tn

t ,

dar AAt detdet = , deci ( ) 1det 2 =A , de unde 1det ±=A . 3. Un endomorfism ortogonal cu ( ) 1,det =BFM se numeşte rotaţie.

7.3 Translaţii. Izometrii

Definiţia 7.3. Endomorfismul definit prin ( ) nEaaxxF ∈+= , se numeşte translaţie de vector a pe nE .

Teorema 7.5. 1). Dacă 1F e o translaţie de vector 1a pe nE şi 2F este o

translaţie de vector 2a pe nE , atunci 12 FF ⋅ este translaţie de vector 21 aa + pe

nE . 2. Dacă F este translaţie de vector a pe nE , atunci 1−F este translaţie de

vector a− pe nE . Demonstraţie. 1) ( )( ) ( )( ) ( ) 21121212 aaxaxFxFFxFF ++=+==⋅ . 2) ( )( ) ( )( ) ( ) xaxFxxFFxxFF =+⇒=⇒= −−− 111 o . Înlocuind x cu ax − , obţinem ( ) axxF −=−1 . Consecinţă. Mulţimea tuturor translaţiilor pe nE formează un grup comutativ

în raport cu compunerea, grup izomorf cu grupul aditiv pe nE . Definiţia 7.4. O transformare surjectivă care păstrează

distanţa euclidiană ( ) nEyxyxyxd ∈∀−= ,,, se numeşte izometrie. Adică ( ) ( )( ) ( )yxdyFxFd ,, = . Teorema 7.6. Translaţia de vector a este o izometrie. Demonstraţie. Fie

astfel: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxdyxayaxyFxFyFxFd ,, =−=+−+=−= .

deci F este izometrie.


53

CAPITOLUL 8 FORME BILINIARE ŞI PĂTRATICE

Într-unul din capitolele anterioare am introdus produsul scalar, care este o

aplicaţie biliniară hermitică pozitiv definită, prin urmare era absolut necesar introducerea acestei noţiuni, mai ales că analiza matematică va cere determinarea punctelor critice, ori acest lucru se poate face foarte elegant folosind studiul formelor pătratice.

Structurarea capitolului este făcută pe patru subcapitole şi anume: forme biliniare, forme pătratice, reducerea formelor pătratice la expresia canonică şi signatura unei forme pătratice reale.

Acest capitol urmăreşte cu precădere dezvoltarea deprinderilor de a aplica rezultatele legate de transformari liniare, pe care le-au studiat anterior, şi sintetizarea noilor noţiuni în scopul utilizării acestora în cadrul capitolelor următoare.

8.1 Forme biliniare

Definiţia 8.1. Fie nV un K spaţiu vectorial. O aplicaţie KVxVF nn →: se numeşte formă biliniară dacă este formă liniară în ambele variabile, adică:

( ) ( ) ( ) KVyxxyxFyxFyxxF n ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,,, αααααα , ( ) ( ) ( ) KVxyyyxFyxFyyxF n ∈∀∈∀+=+ 212122112211 ,,,,,,,, ββββββ .

Consecinţe 1) ( ) ( ) nVV VyxxFyF ∈∀== ,,00,,0 . Din definiţie pentru:

( ) ( ) ( ) 0,00

,,0

2

22221 =⇒⎭⎬⎫

==⇒=

yFyxFyxF

Vαααα

Analog pentru 0,0 21 == ββ .

2) ( ) [ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyxF ,= . În adevăr:

( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

( )( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

===

,

,,

,,,, 2

1

n

Bt

Bt

B

eF

yeFyeF

xyBFMxyxBFyxFM

,

( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]Bniii

BiBii

yeeFeeFeeFyBxeFMyBeFyeF

,,, ,,,

21 K=

===,


54

[ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyFx ,, = ,

unde: ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

eeFeeFeeF

eeFeeFeeFeeFeeFeeF

BxBFM

,,,

,,,,,,

:,

21

22212

12111

K

MMM

K

K

.

Exemplu: Produsul scalar pe un spaţiu vectorial real. Teorema 8.1. Fie ( )neeeB ,,, 21 K= o bază arbitrară în .nV O formă

biliniară KVxVF nn →: este complet determinată dacă se cunosc valorile sale:

( ) njieeF ijji ,1,,, == α Demonstraţie. Fie [ ] [ ]BBn yByxBxVyx ==⇒∈ ,, sau

∑∑==

==n

jjj

n

iii eyyexx

11,

Deci ( ) ( )∑∑∑∑= ===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

i

n

jjiji

n

jjj

n

iii eeFyxeyexFyxF

1 111

,,, .

Deci F e complet determinată dacă se cunosc: ( )ji eeF , cu nji ,1, = .

Expresia ( ) ( )∑∑= =

=n

i

n

jjiji eeFyxyxF

1 1

,, se numeşte expresia analitică a formei

biliniare în baza considerată, ( )ji eeF , se numesc coeficienţii formei biliniare în baza considerată iar matricea ( )[ ] ( )BxBFMeeF

njiji ,:,,1,=

= se numeşte matricea

formei biliniare în baza considerată. Deci sub formă matricială

( ) [ ] ( )[ ]BBt yBxBFMxyxF ,, =

sau ( ) [ ] ( )[ ]B

tB

t xBxBFMyyxF ,, = de unde ( ) [ ] ( )[ ]( )BB

tt yBxBFMxyxF ,, = . Forma biliară se va numi nedegenerată dacă ( )BxBFM , este nesingulară,

adică ( ) 0,det ≠BxBFM în caz contrar ea va fi degenerată, iar rangul formei biliniare este dat de rang ( )BxBFM ,


55

Definiţia 8.2. 1). Forma biliniară se numeşte simetrică dacă ( ) ( ) nVyxxyFyxF ∈∀= ,,,, .

2) Forma biliniară se numeşte antisimetrică dacă ( ) ( ) nVyxxyFyxF ∈∀−= ,,,, .

Exemplu: Produsul scalar pe nV - spaţiu vectorial real este o formă biliniară simetrică.

Teorema 8.2. 1). O formă biliniară este simetrică dacă şi numai dacă

( ) ( )KnSBxBFM ,, ∈ . 2) O formă biliniară este antisimetrică, dacă şi numai dacă

( ) ( )KnABxBFM ,, ∈ oricare ar fi nVB ⊂ .

Demonstraţie. Presupun că ( ) ( ) nVyxxyFyxF ∈∀= ,,,, şi fie B o bază oarecare în .nV Atunci ( ) [ ] ( )[ ]BB

t yBxBFMxyxF ,, 1= , iar

( ) [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]BtB

tBB

t xBxBFMyxBxBFMyxyF ,,, == de unde ( ) ( )BxBFMBxBFM t ,, = .

Presupunând acum că ( ) ( )BxBFMBxBFM t ,, = şi parcurgând calea inversă, obţinem:

( ) ( ) nVyxxyFyxF ∈∀= ,,,, . 2. Se demonstrează analog. Teorema 8.3. Fie o formă biliniară KVxVF nn →: dată în baza ( )neeeB ,,, 21 K= şi fie ( )''

2'1

' ,,, neeeB K= o altă bază a lui .nV Dacă ',MB este matricea de trecere de la B la baza 'B , atunci:

( ) ( ) ( ) ( )''' ,,',, BBMBxBFMBBMBxBFM t= . Demonstraţie. Fie [ ] [ ] '

', BBn xBxBxVyx ==⇒∈ şi [ ] [ ] ''

BB yByBy == astfel putem scrie că:

( ) [ ] [ ]( ) [ ] ( )[ ] '''''''' ,,, BB

tBB yBxBFMxyBxBFyxF ==

şi ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )

[ ] ( ) ( ) ( )[ ] .,,,

,,,,

''

''

''

''

Bt

Bt

BB

yBBMBxBFMBBMx

yBBBMxBBBMFyxF

=

==

Dar ( ) [ ] ( )[ ] '''',, BB

t yBxBFMxyxF = , de unde: ( ) ( ) ( ) ( )'''' ,,,, BBMBxBFMBBMBxBFM t= .


56

Definiţia 8.3. Fie KVxVF →: o formă biliniară simetrică, mulţimea ( ){ } KerFVyyxFVx =∈∀=∈ :,0, se numeşte nucleul formei biliniare.

Teorema 8.4. Nucleul unei forme biliniare simetrice este un subspaţiu

vectorial al lui V.

Demonstraţie. Fie ( )( ) Vz

zyFzxF

KerFyx ∈∀⎩⎨⎧

==

⇒∈ ,0,0,

, .

Pentru orice ( ) ( ) 0,,,, =+∈ zyFzxFK βαβα , adică ( ) VzzyxF ∈∀=+ ,0,βα ,

deci KerFyx ∈+ βα .

8.2 Forme pătratice

Definiţia 8.4. Aplicaţia KVP →: definită prin egalitatea ( ) ( )VxxxFxP ∈∀= ,, în care ( )yxF , e o formă biliniară simetrică, se numeşte

forma pătratică asociată formei biliniare simetrice F, iar F se numeşte forma polară sau forma dedublată a lui P.

Exemplu: Forma pătratică corespunzătoare produsului scalar real este pătratul

normei euclidiene ( ) 2, xxx = . Teorema 8.5. Dacă se cunoaşte forma pătratică ( )xP atunci forma biliniară

simetrică ( )yxF , este determinată prin:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] VyxyPxPyxPyxF ∈∀−−+= ,,21, .

Demonstraţie.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( )yxFxyFyxF

yyFxxFyyFxyFyxFxxF

yyFxxFyxyxFyPxPyxP

,,,21

,,,,,,21

,,,21

21

=+=

=−−++−=

=−−++=−−+


57

Consecinţe: Expresia formei pătratice asociată formei biliniare simetrice într-o bază VB ⊂ se obţine din expresia formei biliniare simetrice făcând yx = astfel ( ) [ ] ( )[ ]BB

t xBxBFMxxP ,= . Matricea şi rangul formei pătratice P coincid cu matricea şi rangul formei

biliniare simetrice F asociate lui P. Definiţia 8.5. Fie KVxVF →: o formă biliniară simetrică. Vectorii

Vyx ∈, se numesc ortogonali în raport cu F, dacă ( ) 0, =yxF . Definiţia 8.6. Fie 1V un subspaţiu vectorial al K - spaţiu vectorial V şi o formă

biliniară simetrică KVxVF →: . Mulţimea ( ){ } ⊥=∈∀=∈ 11 :,0, VVxyxFVy se numeşte complementul

ortogonal al lui 1V în raport cu F. Definiţia 8.7. Fie KVxVF nn →: o formă biliniară simetrică. O bază ( )neeeB ,,, 21 K= al lui nV se numeşte ortogonală în raport cu forma F dacă

( ) njieeF ijijji ,1,,, == δα . De aici rezultă că într-o bază ortogonală avem:

( ) ( )KnDBxBFM

nn

,

000

000000

, 22

11

∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

α

αα

K

MKMMM

K

K

.

Într-o astfel de bază avem:

( ) ∑=

=n

iiiii yxyxF

1, α ,

iar:

( ) ∑=

=n

iiiii xxxP

1

2α .

Aceste expresii se numesc respectiv expresia canonică asociată formei biliniare simetrice F şi expresia canonică asociată formei pătratice P. Se spune în acest caz că forma biliniară simetrică, respectiv forma pătratică, au fost reduse la expresia canonică.


58

8.3 Reducerea formelor pătratice la expresia canonică

Teorema 8.6. (Metoda Jacobi) Fie RVP n →: o formă pătratică şi ( )BxBFM , matricea ei în baza ( )neeeB K,, 21= . Dacă toţi determinanţii:

( )BxBFMn ,det,,,,,1

333231

232221

131211

32221

121121110 =Δ=Δ=Δ=Δ=Δ K

ααααααααα

αααα

α

numiţi determinanţi minori principali ai matricei ( )BxBFM , sunt nenuli, atunci există o bază ( ) ,,,,, '''

2'1

'nn VBeeeB ⊂= K în raport cu care expresia formei

pătratice, devine:

( ) ∑=

−

ΔΔ

=n

ii

i

i xxP1

2'1 ,

în care ∑=

=n

jjjexx

1

'' .

Demonstraţie: Să considerăm:

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn

n

n

n

BBM

λ

λλλλλλλλλ

000

000

', 333

22322

1131211

MMMM

K

K

K

.Pentru a aduce o formă pătratică P la

forma canonică este suficient ca pentru njji ,1,1,1 =−=∀ să asigurăm condiţia ( ) 0, '' =ji eeF de unde şi ( ) 0, '' =ij eeF ca rezultat al simetriei matricei ( )BxBFM , . Dar ( ) [ ]( ) 0,0, '''' =⇔=

Bjiji eBeFeeF sau ( )[ ] 0, '' =ji eBxeFM , unde:

( ) ( ) ( ) ( )( )niiii eeFeeFeeFBxeFM ,,,, '2

'1

'' K=

sau ţinând seama că ∑=

=j

kkkjj ee

1

' ,λ , atunci ( ) ( )∑=

=j

kkikjji eeFeeF

1

''' ,, λ

ceea ce înseamnă că pentru a realiza ( ) 0, '' =ji eeF e suficient ca:

( )nj

jijk

eeF ji

,11,1

,1,0, ''

=−=

== .


59

Pentru a simplifica raţionamentul mai presupunem ( ) 1,' =ii eeF Cu aceasta obţinem sistemul:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−==

1,

1,1,0,'

'

ii

ki

eeF

ikeeF

Dar: ( ) [ ]( ) [ ] ( )

[ ]( )

( )( )

iiikikik

ik

k

k

iiii

ki

ki

Bit

kBit

kBiki

eeF

eeFe

exBFMeeeBFeeF

λαλαλαα

αα

λλλ

+++=

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

===

K

MKM

2211

2

1

21'

'''

,,,,

,

,,,

de unde sistemul:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

10

00

2

1

2

1

21

11211

2212

12111

MM

K

K

MMM

K

K

ii

ii

i

i

iiii

iiii

i

i

λλ

λλ

αααααα

αααααα

de unde .1

i

iij Δ

Δ= −λ

Teorema 8.7. Fie nE un spaţiu vectorial euclidian. Dacă REP n →: e o

formă pătratică, atunci există o bază ( )''2

'1

' ,,, neeeB K= a lui nE în raport cu care expresia canonică a formei este:

( ) ∑=

=n

iii xxP

1

2'λ ,

în care sunt valorile proprii ale matricei formei ( )BxBFM , , fiecare valoare proprie este scrisă de atâtea ori cât este multiplicitatea sa, iar:

∑=

=n

jjj exx

1

'' .

Demonstraţie. Deoarece ( ) ( )RnSBxBFM ,, ∈ ea admite numai valori

proprii reale şi se poate diagonaliza. Atunci baza căutată ( )''2

'1

' ,,, neeeB K= este


60

formată din vectorii proprii ortonormaţi ai matricei formei. În această bază obţinem expresia canonică a formei.

8.4 Signatura unei forme pătratice reale

Definiţia 8.8. Fie o formă pătratică REP n →: dacă: 1. ( ) nExxP ∈∀≥ ,0 , se numeşte pozitiv semidefinită; 2. ( ) nExxP ∈∀> ,0 se numeşte pozitiv definită; 3. ( ) nExxP ∈∀< ,0 se numeşte negativ definită; 4. ( ) nExxP ∈∀≤ ,0 se numeşte negativ semidefinită. Teorema 8.8.(Criteriul lui Sylvester). Dacă sunt îndeplinite condiţiile

teoremei Jacobi (8.6.), atunci forma pătratică este pozitiv definită dacă şi numai dacă nii ,1,0 =>Δ şi negativ definită dacă şi numai dacă ( ) nkk

k ,1,01 =>Δ− . Demonstraţie. Fie P o formă pozitiv definită. Presupun prin absurd că

npp ≤≤=Δ∃ 1,0 , atunci una din liniile lui pΔ este o combinaţie liniară de celelalte, adică pkk ,,1 K∃ nu toate nule astfel încât:

pikkk pipii ,1,02211 ==+++ αεα K , adică:

( ) ( ) ( )( ) .,1,0,

0,,,

2211

2211

pieekekekF

eeFkeeFkeeFk

ipp

ippii

==+++⇒

=+++

K

K

Cum F e biliniară simetrică, amplificând cu piki ,1, = şi sumând obţinem:

0,,,11

221

11 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑∑===

p

ipiip

p

iii

p

iii eekFkeekFkeekFk K sau:

00,111

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑∑===

n

iii

n

iii

p

iii ekekekF (deoarece F este pozitiv definită).

Cum piki ,1, = nu sunt toţi nuli, atunci neee ,,, 21 K sunt liniar dependenţi - contradicţie cu ipoteza ( )neee ,,, 21 K bază în nV .

Deci npp ,1,0 =≠Δ . Mai mult, conform teoremei Jacobi, există o bază în nV în care:


61

( ) 2'

1

1i

n

i i

i xxP ∑=

−

ΔΔ

=

şi cum P e pozitiv definită, 01 >ΔΔ −

i

i , adică nii ,1,0 =∀>Δ .

Reciproc, dacă nii ,1,0 =∀>Δ , atunci nii

i ,1,01 =∀>ΔΔ − şi, din

( ) 2'

1

1i

n

i i

i xxP ∑=

−

ΔΔ

= atunci ( ) 0≥xP

( ) ,00 ''2

'1 ====⇔= nxxxxP K

deci 0=x . În concluzie, ( ) .0,0 ≠∀> xxP Dacă ( )xP e negativ definită, atunci P− e pozitiv definită şi totul se repetă ca

mai sus având în vedere că matricea lui P− este [ ] .,1, njiijA

=−=− α


62

CAPITOLUL 9

SPAŢII ALE VECTORILOR DIN E3 Unul dintre primele exemple istorice de spaţii vectoriale care stă la baza

interpretărilor geometrice ale algebrei liniare sau în mod dual, a raţionamentelor geometrice prin metode de algebră este spaţiul vectorilor liberi.

Studiul vectorilor a fost puternic impulsionat de fizică (mecanică, electromagnetism etc.) modelând operaţiile cu forţe, viteze. Acest studiu este datorat deopotrivă eforturilor unor matematicieni şi fizicieni ca W.R. Hamilton (1805-1865), H. Grassmann (1809-1877), A. Cayley (1821-1895), J. C. Maxwel (1831-1879) şi J. W. Gibbs (1830-1903).

Am structurat acest capitol pe patru subcapitole dedicate segmentelor orientate, spaţiului vectorilor legaţi, spaţiului vectorilor liberi, bazelor şi reperelor.

În urma parcurgerii acestui capitol cred că au fost atinse obiectivele urmărite şi anume cel de familiarizare cu noile noţiuni şi însuşirea acestora precum şi dezvoltarea capacităţii de operare cu vectori şi de folosire a proprietăţilor acestora în interpretarea diverselor fenomene.

9.1 Segmente orientate. Echipolenţă Notăm cu 3E spaţiul punctual tridimensional euclidian din geometria

elementară, adică al geometriei în care este admisă axioma paralelelor: ''Printr-un punct exterior unei drepte d, trece cel mult o dreaptă paralelă cu dreapta dată''.

Punctul, dreapta, planul şi spaţiul 3E sunt noţiuni primare legate prin anumite axiome, care sunt axiomele geometriei elementare.

Considerăm mulţimea Δ a tuturor dreptelor din 3E . În mulţimea ΔΔ x introducem relaţia 1 2 1 2: “ sau ”.d d d dρ = = Această relaţie are proprietăţile:

− reflexivă, 11 dd ρ ;

− simetrică, 1221 dddd ρρ ⇒ ;

− tranzitivă, 21 dd ρ şi 3132 dddd ρρ ⇒ ,

adică ρ este o relaţie de echivalenţă pe Δ pe care o notăm cu ”∼”.


63

Submulţimea, }{ Cldddd =∼Δ∈ :'' a tuturor elementelor care sunt

echivalente cu un element dat d ∈Δ se numeşte clasă de echivalenţă ce conţine d.

Deoarece d ∼ d, atunci Cldd ∈ şi orice element Cldd ∈' se numeşte reprezentant al clasei Cld .

Ca proprietate semnalăm următoarea: mulţimea claselor de echivalenţă prin relaţia ∼ este o partiţie a mulţimii Δ, în sensul că Δ este o reuniune de submulţimi disjuncte.

Definiţia 9.1. Se numeşte direcţia dreptei ,d ∈Δ clasa de echivalenţă a

relaţiei ” 21 dd sau 21 dd = ” în care d este un reprezentant al acestei clase. Altfel exprimat, o direcţie este mulţimea tuturor dreptelor din spaţiul 3E cu

proprietatea ” 21 dd sau 21 dd = ”. Definiţia 9.2. Se numeşte segment orientat orice pereche ( ) 33, ExEBA ∈ în

care A şi B sunt puncte din 3E şi se notează ( ) ABBA =, .

Grafic se reprezintă printr-o săgeată de la A la B. A se numeşte originea

segmentului orientat AB, iar B se numeşte extremitatea segmentului orientat AB Dreapta determinată de punctele A şi B se numeşte suportul segmentului orientat

şi se notează ABAB sup:= .

A B Caz particular: Dacă A B= segmentul orientat AA se numeşte segment

orientat nul, grafic se reprezintă printr-un singur punct A, iar AAsup este nedeterminat.

Definiţia 9.3. (1) Lungimea, norma sau modulul unui segment orientat AB este

distanţa dintre A şi B şi se notează ( ) ABBAd :, = . (2) Direcţia unui segment orientat AB cu A B≠ este direcţia ABsup .

Segmentele orientate nule au direcţia nedeterminată. (3) Segmentele orientate AB şi BA se numesc opuse. Dacă BABAAB =⇒= .


64

(4) Fie AB un segment orientat nenul, se numeşte sens de parcurs pe ABsup sensul de la A spre B.

(5) O dreaptă împreună cu alegerea unui sens de parcurs se numeşte dreaptă orientată.

(6) O direcţie împreună cu unul din cele două sensuri posibile se numeşte direcţie orientată.

(7) Două segmente orientate nenule AB şi CD au acelaşi sens dacă: a) dCDAB == supsup şi sensul de parcurs determinat de AB pe d este

acelaşi cu sensul de parcurs determinat de CD pe d; b) CDAB supsup şi extremităţile lor B şi D se află în acelaşi semiplan din

planul dreptelor suport, determinat de ACsup , adică ( )BACD ,sup∈ sau ( )DACB ,sup∈ .

Definiţia 9.4. Două segmente orientate nenule se numesc echipolente dacă au

aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Dacă AB şi CD sunt echipolente, aceasta se notează cu AB ∼ CD.

Teorema 9.1. Relaţia de echipolenţă are următoarele proprietăţi: 1) este o relaţie de echivalenţă. 2) AB ∼ CD ⇔ BA ∼ DC. 3) AB∀ şi 33 ! EDEC ∈∃⇒∈∀ astfel încât AB ∼ CD. 4) AB ∼ CD ⇔ AC ∼ BD. Demonstraţia o lăsăm ca temă cititorului.


65

9.2 Spaţiul vectorilor legaţi din E3

Fie 3EO∈ un punct fixat şi mulţimea { } ( )303 : ETEMOM =∈ a segmentelor

orientate din 3E cu originea în O. Introducem în ( )30 ET operaţiile: 1. Adunarea segmentelor orientate din ( )30 ET este definită de relaţia:

OPONOM =+ în care P este simetricul punctului O faţă de mijlocul segmentului [ ]MN . Această regulă e echivalentă cu regula paralelogramului sau cu regula triunghiului.

2. Operaţia de înmulţire a segmentelor orientate cu numere reale este definită

astfel: i) Dacă

00rOMr

≠ şi 0≠λ atunci OMλ este segmentul orientat care are ( )OMOM λsupsup = , acelaşi sens cu OM dacă 0>λ şi sens contrar dacă 0,<λ

lungimea OMλ ;

ii) Dacă 0

0rOMr

= sau 0,=λ atunci OOOM = . Teorema 9.2. Mulţimea ( )30 ET formează un spaţiu vectorial real în raport cu

operaţiile de adunare a segmentelor orientate şi de înmulţire cu numere reale a segmentelor orientate.

Spaţiul vectorial ( )30 ET se numeşte spaţiul vectorial tangent la 3E în O. Elementele sale se numesc vectori legaţi în O sau vectori tangenţi în O la 3E .

Cazuri particulare.


66

1. Fie d o dreaptă în 3E şi ,O d∈ mulţimea { } ( )10: ETdMOM =∈ este un subspaţiu vectorial al lui ( )30 ET . Subspaţiul ( )10 ET se numeşte dreapta vectorială tangentă în O la 3E .

2. Fie α un plan şi ,O α∈ mulţimea { } ( )20: ETdMOM =∈ este un subspaţiu vectorial al lui ( )30 ET şi se numeşte plan vectorial tangent în O la 3E .

9.3 Spaţiul V al vectorilor liberi din E3. Vectori coliniari, vectori coplanari în E3

Definiţia 9.5. 1) Clasele de echivalenţă ale segmentelor orientate relativ la

relaţia de echipolenţă se numesc vectori liberi. Direcţia, sensul şi lungimea care sunt comune segmentelor orientate ce

definesc un vector liber se numesc direcţia, sensul şi lungimea vectorului liber. Fiecare segment orientat din clasa numită vector liber este un reprezentant al

clasei. Notăm mulţimea vectorilor liberi din spaţiul 3E cu V. Vectorii liberi îi vom

nota cu litere mici ale alfabetului latin, prevăzute cu săgeţi deasupra. 2) Fie şi a b

rr doi vectori liberi şi 3EO∈ . Fie OA un reprezentant al clasei lui

ar şi OB un reprezentant al clasei lui b . Se numeşte sumă a vectorilor şi a brr

vectorul liber cr ∼ OBOAOC += şi notăm .c a b= +rr r

3) Fie RVa ∈∈ λ,r şi 3EO∈ . Fie OA un reprezentant al clasei lui .ar Se

numeşte produsul vectorului ar cu scalarul ,λ vectorul br

∼ OAλ şi notăm aλ=b .

Propoziţia 9.1. Mulţimea vectorilor liberi V din 3E înzestrată cu operaţiile

definite mai sus formează un spaţiu vectorial. Definiţia 9.6. 1. Doi vectori { }, , \ 0Va b c V∈

r rr r se numesc coliniari dacă au

aceeaşi direcţie. Vectorul nul având direcţia nedetermină se consideră coliniar cu orice vector din V.

2. Trei vectori { }, , \ 0Va b c V∈r rr r se numesc coplanari dacă 3EO∈∀

reprezentanţii OA, OB, OC ai claselor lui ,a brr respectiv cr sunt situaţi într-un

plan. Vectorul nul se consideră coplanar cu oricare doi vectori din V.


67

Teorema 9.3. 1. Doi vectori { }, \ 0Va b V∈r rr sunt coliniari dacă şi numai dacă

ei sunt liniar dependenţi.

2. Trei vectori { }, , \ 0Va b c V∈r rr r sunt coplanari dacă şi numai dacă ei sunt

liniar dependenţi.

Demonstraţie. 1. Presupunem că { }, \ 0Va b V∈r rr sunt coliniari atunci

cu 0, 0a b a ba b

= ± ≠ ≠rr rrrr

de unde:

Vbaab 0rrrrr

=⋅±⋅ ,

deci { }badepR

rr, . Acum presupunem că R∈∃ βα , astfel încât 022 ≠+ βα şi Vba 0

rrr=+ βα .

Dacă 0α = şi VV ab 00,0,00rrrr

=⇒≠==⇒≠ αββ , deci 0,0 ≠≠ βα de

unde barr

αβ

−= , adică şi a brr sunt coliniari.

2. Presupunem că { }, , \ 0Va b c V∈r rr r şi { }, ,Rdep a b c

rr r deci R∈∃ γβα ,, ,

0222 ≠++ γβα , astfel încât Vcba 0rrrr

=++ γβα . Fie 0γ ≠ atunci:

bacrrr

γβ

γα

−−= .

Reprezentanţii claselor respective OA, OB, OC, 3eO∈∀ verifică:

OBOAOCγβ

γα

−−= ,

adică OC se află în planul determinat de OA şi OB. Reciproc presupun că { }, , \ 0Va b c V∈

r rr r şi coplanari atunci 3EO∈∀

reprezentanţii claselor respective OA, OB, OC sunt în acelaşi plan. Presupunem că

( )IntAOBOC ⊂ . Problema se reduce la construcţia unui paralelogram cu diagonala OC, iar

laturile situate pe OAsup şi OBsup ca în figură. Dar OAOM α= şi OBON β= cu 022 ≠+ βα , de unde OBOAOC βα += şi deci bac

rrr βα += .


68

Consecinţe. i). Oricare doi vectori liberi necoliniari sunt liniar independenţi. ii). Oricare trei vectori liberi necoplanari sunt liniar independenţi.

9.4 Baze şi repere în V

Teorema 9.4. Spaţiul vectorial real V al vectorilor liberi din 3E are dimensiunea 3.

Demonstraţie. Se ştie că în V există trei vectori liberi liniar independenţi şi

anume oricare trei vectori necoplanari ( )cbaS rrr ,,= . Să arătăm că ( ) VSL = adică RVx ∈∃∈∀ γβα ,,,r astfel încât

x a b c ,α β γ= + +rr r r rezultând că S B= - bază în V.

Fie OA, OB, OC, OX reprezentanţii claselor a,b ,c ,rr r respectiv x,r atunci

OCOBOAOPONOMOX γβα ++=++= , deci x a b cα β γ= + +rr r r , adică

( ) VSL = . Concluzia este că 3dim =V . Consecinţa 9.2. i). Fiind dată o bază ( )321 ,, eeeB rrr

= a lui V atunci Vx∈∀r se

poate scrie [ ]1 1 2 2 3 3 Bx x e x e x e B x= + + =r r r r r în care [ ] ( )t

1 2 3Bx x x x=r şi astfel se


69

poate stabili un izomorfism între V şi 3E dacă B este fixată: 3: RVf B → ,

( ) ( )B 1 2 3f x x ,x ,x .=r

ii). Egalitatea, adunarea vectorilor şi înmulţirea vectorilor cu scalari dacă vectorii sunt exprimaţi în aceeaşi bază se reduc la aceleaşi operaţii în R3 între coordonate:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) 332221321321 ,,,,,, yxyxyxyyyxxx

yxyxyBxByx Bt

Bt

BBBB

===⇔=⇔

⇔=⇔=⇔=⇔=rrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )

333222111

321321321

,, ,,,,,,

zyxzyxzyxzzzyyyxxx

zyxzyx

zByxBzByBxBzyx

Bt

Bt

Bt

BBB

BBBBBB

=+=+=+⇔⇔=+⇔

⇔=+⇔=+⇔

⇔=+⇔=+⇔=+rrrrrr

rrrrrrrrr

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) .,,,,,, 332211321321 xyxyxyxxxyyy

xyxyxByBxy Bt

Bt

BBBB

λλλλλλλλ

===⇔=⇔

⇔=⇔=⇔=⇔=rrrrrrrr

iii). Dacă vectorii sunt coliniari, atunci coordonatele lor în aceeaşi bază sunt proporţionale şi reciproc.

iv). Trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă rangul matricei formate din coordonatele lor, în aceeaşi bază, este mai mic decât trei.

Fie { }Vx, y,z V \ 0∈rr r r coplanari, atunci:

1 1 1 2 2 2 3 3 3z x y z x y , z x y , z x y ,λ μ λ μ λ μ λ μ= + ⇒ = + = + = +r rr

atunci 1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y zdet x y z 0,

x y z

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece coloana a 3-a este o combinaţie liniară a

celorlalte două, reciproca fiind imediat adevărată, parcurgând demonstraţia invers. Putem spune astfel că trei vectori nu sunt coplanari dacă şi numai dacă rangul

matricei formate din coordonatele lor este trei.

Definiţia 9.7. Fie ( )321 ,, eeeB rrr= o bază în V, 3EO∈ şi vectorii ,, 21 OEOE

3OE reprezentanţi ai claselor lui 1 2e ,er r respectiv 3e .r Se numeşte reper în 3E ansamblul ( ){ }321 ,,; OEOEOEO .

Punctul O se numeşte originea reperului. Dacă OzOEOyOEOxOE === 321 sup,sup,sup sunt orientate în sensul

vectorilor ( )321 ,, eee rrr , atunci în loc de reperul ( ){ }321 ,,; OEOEOEO considerăm


70

triedrul Oxyz care are axele de coordonate Ox,Oy,Oz şi planele de coordonate zOxyOzxOy ,, .

Prin alegerea unui reper, oricărui punct 3EP∈ îi corespunde ( )30 ETOP∈ care se numeşte vectorul de poziţie al punctului P în raport cu ( )30 ET şi reciproc.


71

CAPITOLUL 10 UNGHIURI, PROIECŢII ŞI PRODUSE DE

VECTORI LIBERI Este cunoscut faptul că multe probleme din fizică cer cunoaşterea noţiunilor

prezentate în acest capitol. Astfel momentul unei forţe relativ la un punct se determină cu ajutorul produsului vectorial, apoi determinarea volumelor, ariilor, a sensului intensităţii electrice şi a inducţiei electromagnetice precum şi direcţia de propagare a unei unde electromagnetice plane în vid, nu se pot face decât printr-o serioasă aprofundare a calculului vectorial.

Acest capitol cuprinde patru subcapitole: unghiuri şi proiecţii ortogonale, produsul scalar a doi vectori, produsul vectorial a doi vectori şi produsul mixt a trei vectori.

Obiectivele urmărite sunt cele de înţelegere, aprofundare a noţiunilor şi formarea deprinderii de a utiliza în practică cunoştinţele dobândite aici.

10.1 Unghiuri. Proiecţii ortogonale

Definiţia 10.1. (1) Orice vector { }Va V \ 0∈rr care are aceeaşi direcţie cu o

dreaptă dată d ∈Δ se numeşte vector director al dreptei. Dacă ar este vectorul director al dreptei d, atunci orientarea dreptei e aceeaşi

cu a vectorului director.

(2) Unghiul dintre doi vectori { }Va ,b V \ 0∈r rr este unghiul determinat de

reprezentanţii claselor corespunzătoare adică unghiul dintre OA şi OB şi se

notează ( )barr, , iar ( ) [ ]πμ ,0, ∈ba

rr .

3) Vectorii a şi brr se numesc ortogonali dacă ( )

2, πμ =barr .

(4) Unghiul dintre un vector ar şi o dreaptă orientată de vector director br

este unghiul dintre a şi b .

rr (5) Unghiul dintre două drepte orientate este unghiul dintre vectorii lor

directori.


72

Teorema 10.1. (1) Oricare ar fi { }Va V \ 0∈rr şi d ,∈Δ atunci există şi sunt

unici doi vectori liberi a şi a′ ′′r r astfel încât a′r să fie coliniar cu d, iar a′′r ortogonal cu d şi a a a .′ ′′= +

r r r (2) Oricare ar fi vectorii { }Va şi b V \ 0∈

r rr există şi sunt unici doi vectori

a şi a , a′ ′′ ′r r r coliniar cu b ,r

iar a′′r ortogonal cu br

astfel încât a a a .′ ′′= +r r r

(3) Oricare ar fi { }Va V \ 0∈rr şi un plan α din 3E există şi sunt unici doi

vectori a şi a , a′ ′′ ′r r r coplanar cu α iar a′′r ortogonal cu α astfel încât a a a .′ ′′= +r r r

Demonstraţia rămâne ca exerciţiu. Definiţia 10.2. (1) Componenta coliniară a unui vector { }Va V \ 0∈

rr cu o

dreaptă d se numeşte proiecţia vectorului pe dreapta d şi se notează ( )adrπ .

(2) Componenta coliniară a vectorului ar cu vectorul br

se numeşte proiecţia vectorului ar pe vectorul b

r şi se notează cu ( )ab

rrπ .

(3) Componenta coplanară a unui vector { }Va V \ 0∈rr cu un plan α se numeşte

proiecţia vectorului pe planul α şi se notează cu ( )arαπ . Consecinţe. 1) Mulţimea proiecţiilor vectorilor liberi pe o dreaptă din 3E este

un spaţiu vectorial unidimensional. 2) Mulţimea ( ) { }{ }Vb a a,b V \ 0 ,b fixat∈π r

r rrr r este un spaţiu vectorial

unidimensional. 3) Mulţimea proiecţiilor vectorilor liberi pe un plan din 3E formează un spaţiu

vectorial bidimensional.


73

4) Dacă 0bb ,b

=r

rr atunci:

( ) ( ) 0,cos bbaaab

rrrrrr ⋅=π ,

iar ( )baarrr ,cos se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei vectorului ar pe

vectorul br

şi se notează cu ( )aprb

rr astfel ( ) ( ) 0bapra bb

rrrrr =π .

10.2 Produsul scalar

Definiţia 10.3. Se numeşte produsul scalar al vectorilor a,b V∈rr funcţia

RVxVF →: definită prin:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

≠≠⋅=⋅=

VV

VV

bsauadacă

bşiadacăbabababaF

00,0

00,,cos:, rr

rrrrrrrrrr

Proprietăţi: 1. Dacă b

r este versor, ( )1=b

r atunci:

( ) Vaaprbaaba b ∈∀==⋅rrrrrrr

r ,,cos .

2. ( )aba b pr a b pr b a , a ,b V .⋅ = ⋅ = ∀ ∈r rr r r rr r r r

3. Dacă a b ,=rr atunci 2a a a .⋅ =

r r r

4. a b b a, a ,b V .⋅ = ⋅ ∀ ∈r r rr r r

5. ( ) Vcbacbcacba ∈∀⋅+⋅=⋅+rrrrrrrrrr ,,, .

Astfel: ( ) ( ) ( ) ( ) cbcacbprcaprcbaprcba ccc

rrrrrrrrrrrrrrrrr ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅+

(ştiind că OD=OA+AD=OA+OA).


74

Consecinţă. Funcţia ( ) babaFrrrr⋅=, definită mai sus este un produs scalar pe

RV / . 6. ( )a b a b cos a,b a b .⋅ = ⋅ ≤ ⋅

r r r rr r r r

7. Doi vectori liberi sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.

8. Expresia produsului scalar dacă vectorii sunt exprimaţi în aceeaşi bază ( )321 ,, eeeB rrr

= devine:

[ ]( ) [ ]( ) [ ] ( )[ ]BBt

BB bBxBFMabBaBbarrrrrr ,==⋅

unde

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

322221

312111

,eeeeeeeeeeeeeeeeee

BxBFMrrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

este matricea formei biliniare F definită de (10.3), denumită şi matricea Gram a vectorilor ( )321 ,, eee rrr .

Caz particular. Dacă baza ( )321 ,, eeeB rrr= este ortonormată: i j ije e ,δ=r r atunci

( ) 3, IBxBFM = şi [ ] [ ] 332211 bababababa BBt ++==⋅

rrrr .

9. O bază ortonormată în V se notează cu ( )kjiBrrr

,,= . Pentru Vx∈∀r avem

kxjxixxrrrr

321 ++= şi:

.3

2

1

xprkxx

xprjxx

xprixx

k

j

i

rrr

rrr

rrr

r

r

r

=⋅=

=⋅=

=⋅=

Într-o bază ortonormată coordonatele vectorului sunt mărimile algebrice ale proiecţiilor vectorului pe vectorii bazei şi se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului.

În baza ( )kjiBrrr

,,= avem Vxxxxx ∈∀++=rr ,2

322

21 şi:

( ) ,,,,cos23

22

21

23

22

21

332211 Vbabbbaaa

babababa ∈∀++⋅++

++=

rrrr

iar condiţia de ortogonalitate a vectorilor a şi brr se exprimă prin:

.0332211 =++ bababa


75

10.3 Produsul vectorial

Definiţia 10.4. Vectorul: ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ⋅⋅⋅

=coliniari, şi a dacă ,0

inecoliniar şi dacă ,,sin

V b

baebababxa rrr

rrrrrrrrr

în care er este un versor perpendicular pe a şi brr cu sensul dat de regula şurubului

cu filetul pe dreapta pentru tripletul ( ), , ,a b err r se numeşte produsul vectorial al

vectorilor a şi b.rr

Proprietăţi:

1. a b b a, a,b V .× = − × ∀ ∈r r rr r r (cu aceasta spaţiul vectorial al vectorilor liberi

devine o algebră necomutativă) 2. ( ) RkVbabkxabxakbxak ∈∀∈∀== ,,,

rrrrrrrr . 3. Vaaxxa VVV ∈∀==

rrrrrr ,000 .

4. Vaaxa V ∈∀=rrrr ,0 .

5. Vbxa 0rrr

= pentru { } *,0\, RbaVba V ∈∀=⇔∈ λλrrrrr .

6. Construcţia geometrică a produsului vectorial a doi vectori { }VVba 0\,rrr

∈ (construcţia lui Jukovski).

Fie α un plan perpendicular în O pe ar şi ( )b

rαπ - proiecţia vectorului b

r pe α.

Notăm cu ( )( )bRrr

απ π2

vectorul ( )br

απ rotit în planul α cu .2π


76

Deoarece ( ) ( )babbrrrr

,sin⋅=απ atunci ( )( )bRabxarrrrr

απ π2

= .

7. ( ) cxabxacbxa rrrrrrr+=+ .

Într-adevăr: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) cxabxacRabRa

cbRacbRacbxa

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrr

+=+=

=+=+=+

απαπ

ααπαπ

ππ

πππ

22

22

8. ( ) cxbcxacxba rrrrrrr+=+

9. ( )2222bababxarrrrrr⋅−⋅= (Identitatea lui Lagrange).

Într-adevăr:

( ) ( )( )( )222

2222222

,cos1sin

baba

bababababxarrrr

rrrrrrrrrr

⋅−⋅=

=−⋅=⋅⋅=

10. Dacă a şi brr nu sunt coliniari,

( )bababxarrrrrr ,sin⋅=

este aria paralelogramului construit pe reprezentanţii OA şi OB. 11. Expresia produsului vectorial, dacă vectorii sunt exprimaţi în aceeaşi bază ( )321 ,, eeeB rrr

= .

Ţinând seama de faptul că i j Ve e 0× =rr r atunci pentru [ ]B

x B x=r r şi [ ]B

y B y=r r

putem scrie: ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

=−+−+−==++++=

3

2

1

12

13

23

211332

211221133113322332

332211332211

00

0

yyy

xxxx

xxexeexeexe

exeyxyxexeyxyxexeyxyxeyeyeyxexexexyxx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

sau dacă notăm matricea antisimetrică

[ ]aBxxx

xxxx

r=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

00

0

12

13

23

atunci ( )[ ] [ ]a2 3 3 1 1 2 B B

x y e e e e e e x y .× = × × ×r r r r r r r r r r


77

Dacă alegem baza ortonormată astfel încât kjxijixkikxjrrrrrr

=== ,, , adică astfel încât reprezentanţii lor OA, OB, OC să determine un reper ortogonal drept, atunci:

( )[ ] [ ] [ ] [ ]BaBB

aB yxByxkjiyxx rrrrrrrrr

== , ceea ce se mai poate scrie sub forma determinantului formal:

.

321

321

yyyxxxkji

yxx

rr

rr=

Definiţia 10.5. Dublul produs vectorial a trei vectori a,b ,c

rr r este expresia: ( )cxbxa rrr .

Vom arăta că ( ) ( ) ( )cbabcacxbxa rrrrrrrrr⋅−⋅= .

Să considerăm pentru aceasta ( )cbaT rrr ,,0 . În acest caz ( )OBCcxb ⊥rr

, iar

( ) ( )OADcxbxa ⊥rrr .

Fie ( ) ( )OBCOADOF I= . Considerăm reperul ortonormat drept ( ){ }kjiO

rrr,,, ca în figură, atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jjciiccjjbiibbkkajjaarrrrrrrrrrrrrsrrrrrvr

+=+=+= ,, ,

de unde

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )b c b i c j b j c i k ,a b a j b j , a c a j c j ,⎡ ⎤× = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎣ ⎦r r r r r rr r r r r r r rr r r r r r r r r

iar ( ) ( )( )( ) ( )( )[ ]icjbjcibjacxbxarrrrrrrrrrrrv ⋅⋅−⋅⋅⋅= .

Acum, dacă înmulţim la stânga cu a c⋅r r pe b ,r

cu a b⋅rr pe cr obţinem:


78

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )a c b a b c a j b i c j b j c i i ,⎡ ⎤⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎣ ⎦r r r rr r r r r rr r r r r r r deci:

( ) ( ) ( )cbabcacxbxa rrrrrrrrv ⋅−⋅=

Ca proprietate, ( ) ( ) ( )a b c a c b b c a.× × = ⋅ − ⋅r r rr r r r r r

Într-adevăr, Deci produsul vectorial nu e asociativ şi putem scrie că:

( ) ( ) ( ) ( )bcaacbbxaxccxbxarrrrrrrrrrrr

⋅+⋅−=−= .

10.4 Produsul mixt

Definiţia 10.6. Fiind daţi trei vectori a,b ,crr r se numeşte produsul mixt al

acestor vectori numărul ( )a b c×rr r adică produsul scalar dintre vectorul ar şi

produsul vectorial al vectorilor b şi c .r r

Proprietăţi:

1. Dacă vectorii a,b ,crr r nu sunt coplanari fie OA, OB, OC reprezentanţii

claselor respective, atunci modulul produsului mixt reprezintă volumul paralelipipedului construit pe reprezentanţii claselor respective.

Într-adevăr, ( ) ( )cxbacxbacxba rrrrrrrrr ,cos⋅=⋅ dar [ ]OBCcxb σ2=rr

, iar

( ) ( )aprcxbaa cxb

rrrrrrr=,cos , deci, ( ) [ ]''' CMOBCMABVcxba =⋅

rrr .

2. Dacă ( )(D ,A atunci a b c 0∈ ⋅ × >α

rr r în acest caz reperul ( ){ }cbaO rrr ,,; se

numeşte reper orientat pozitiv.


79

Dacă 'D aparţine semispaţiului opus, atunci ( )a b c 0⋅ × <rr r şi reperul

( ){ }cbaO rrr ,,; se numeşte reper orientat negativ.

3. ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b ,× × = ⋅ × = ⋅ ×r r rr r r r r r adică produsul mixt e invariant la o

permutare circulară a factorilor. Din această cauză uneori produsul mixt se mai notează când nu e pericol de confuzie ca triplete ordonate ( )cba rrr ,, .

4. ( ) ( )bxcacxbarrrrrr

⋅−=⋅ .

5. ( ) ( ) ( )a b c a b c a b c , .⋅ × = ⋅ × = ⋅ × ∀ ∈Rλ λ λ λr r rr r r r r r

6. ( ) ( ) ( ) ( )cxbacxbacxbaa rrrrrrrrrr⋅+⋅=⋅+ 2121 .

7. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )( ) ( )( ).cbdadbca

badabdcbxaxdcdxcbxarrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrr

⋅⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅⋅=⋅=⋅

8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d a b d c a b c d c d a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤× × × = × ⋅ − × ⋅ = − × × × =⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r r r r rr r r r r r r r

( ) ( ) ( ) ( )c d b a c d a b c d a b c d b a.⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − × ⋅ + × ⋅ = × ⋅ − × ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r r r r rr r r r r r r r

9. Dacă ( )cbaB rrr ,,= este o bază atunci din 8) rezultă că orice vector d V∈r

se poate exprima prin:

( )( )

( )( )

( )( )

d b c d a bd c ad a b c

a b c a b c a b c

⋅ × ⋅ ×⋅ ×= + +

⋅ × ⋅ × ⋅ ×

r r r rrr rr rr rr rr r rr r r r r r

din 8) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )d a b c c d b a c d a b a b d c ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ⋅ = × ⋅ − × ⋅ + × ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r r r r rr r r r r r r r

( ) ( ) ( ) ( )d a b c d b c a d c a b d a b c ,⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ × = ⋅ × + ⋅ × + ⋅ ×⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r r r r r rr r r r r r r r

deci: ( )( )

( )( )

( )( )

d b c d a bd c ad a b c.

a b c a b c a b c

⋅ × ⋅ ×⋅ ×= + +

⋅ × ⋅ × ⋅ ×

r r r rrr rr rr rr rr r rr r r r r r

Notăm ( ) ( ) ( )*: , * : , * : ,b c c a a ba b ca b c a b c a b c

× × ×= = =

⋅ × ⋅ × ⋅ ×

r rr r r rrr rr r rr r r r r r numiţi vectori

reciproci ai vectorilor necoplanari , ,a b crr r şi ( ) ( ) ( )* * *d d a a d b b d c c= ⋅ + ⋅ + ⋅

r r r r r rr r r r

este expresia unui vector d în baza reciprocă. Baza ( )**** ,, cbaB rrr

= fiind numită baza reciprocă bazei B.

10. ( ) 0a b c⋅ × =rr r dacă şi numai dacă:


80

i) cel puţin unul din vectorii , ,a b crr r este nul;

ii) doi dintre cei trei vectori sunt coliniari; iii) vectorii , ,a b c

rr r sunt coplanari. 11. Dacă ( )kjiB

rrr,,= şi [ ] [ ], , .

B BBa B a b B b c B c⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

r rr r r r

( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]BBBt

BBt cbacxbacxba rrrrrrrr 0

==⋅

( ) ( ) .

321

321

321

321

321321

cccbbbaaa

cccbbbkji

kajaiacxba =++=⋅

rrr

rrrrrr


81

CAPITOLUL 11 PLANUL ÎN SPAŢIU

Acest capitol este structurat pe şapte subcapitole, acestea prezentând toate tipurile de ecuaţii pentru diverse determinări de plane.

Am avut drept obiective înţelegerea şi aprofundarea problemelor teoretice, astfel încât în urma parcurgerii acestui capitol, să se poată uşor încadra o problemă într-una din variantele teoretice studiate.

În cele ce urmează vom stabili condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească coordonatele carteziene ( ), ,x y z ale unui punct oarecare P în raport cu reperul dat pentru ca acesta să aparţină unui plan din 3E .

Fie deci 3E spaţiul euclidian şi fie V spaţiul vectorilor liberi din 3E iar

( ){ }kjirrr

,,;0 un reper ortonormat drept.

11.1 Planul determinat de un punct şi un vector normal la plan

Consider ( ) π∈00 rP r şi Nr

vectorul normal la plan; condiţia pe care trebuie să o îndeplinească P astfel încât el să se afle în plan este:

00 =⋅ NPPrr

adică ( ) 00 =− Nrrrrr

Astfel, considerăm că ecuaţia vectorială a planului determinat de un punct şi

un vector normal este: ( ) 0: 0 =− Nrr

rrrπ

sau notând cu Nrrr

0:=α obţinem 0: =−απ Nrrr , numită ecuaţia vectorială

parametrică a planului .π


82

Presupunând că 0P are coordonatele ( )000 ,, zyx atunci:

kzjyixrrrrr

0000 ++=

Ştiind că kzjyixrrrr

++= , iar { } kCjBiANVN V

rrrrrr++=∈ ,0\ unde

0222 ≠++ CBA , atunci ecuaţia vectorială a planului devine: ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− CzzByyAxx

sau ( ) 0000 =++−++ CzByAxCzByAx .

Notând DCzByAx −=++ 000 , ecuaţia se mai scrie 0=+++ DCzByAx numită ecuaţia generală a planului în coordonate carteziene unde , ,A B C sunt coordonatele carteziene ale vectorului normal la plan.

Fie acum 'O pr Oπ= şi notez cu ( )',: OOdd = deci, 0rprd N

rr= .

Acum 00 rprNNr N

rrr=⋅=α .

222222

0000

CBA

D

CBA

CzByAx

N

Nr

Nd

++

−=

++

++=== r

rr

rα

.

Deci, 00 =⇔= Dd - aceasta fiind condiţia ca planul să treacă prin origine. Dacă notăm ( ) DCzByAxzyxf +++=,, , atunci : ( , , ) 0f x y zπ = reprezintă

un plan în care avem pentru Nr

expresia:

kzfj

yfi

xfgradfN

rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

== .

Cazuri particulare: 0==⇒⊥ CBir

π şi 0: =+ DAxπ analog pentru jr

⊥π şi kr

⊥π , iar 0=⇒ AOxπ şi 0: =++ DCzByπ

11.2 Planul determinat de un punct şi care este paralel

cu doi vectori necoliniari

Fie ( ) VbarP ∈∈rrr ,,00 π deci:

1 2 3 1 2 3, , .N a b a a i a j a k b b i b j b k= × = + + = + +r r r rr r r r rr r

Condiţia pe care trebuie să o îndeplinească P pentru ca el să fie în planul π este:

( ) ( )0'0 bxarrrrrr

⋅−π motiv pentru care spunem că planul π este dat prin ecuaţia de mai sus, numită ecuaţie vectorială sau prin cea echivalentă cu ea, dată prin:


83

0:

321

321

000

=−−−

bbbaaa

zzyyxxπ .

Vectorii a şi brr fiind necoliniari bauPP

rr ν+=⇒ 0 cu Ru ∈ν, şi putem scrie:

baurrrrrr νπ ++= 0: ,

numită ecuaţia vectorială a planului sub formă parametrică.

Exprimând în coordonate carteziene:

,

,

,

,

321

321

0000

kbjbibb

kajaiaa

kzjyixr

kzjyixr

rrrr

rrrr

rrrr

rrrr

++=

++=

++=

++=

şi proiectând obţinem:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

=

330

220

110

buazzbuayybuaxx

ννν

π

ecuaţiile parametrice ale planului în coordonate carteziene u, R∈ν .


84

11.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare

Se dau ( ) ( ) ( ) π∈332211 ,, rPrPrP rrr cu condiţia ca vectorii P1P2 şi P1P3 să nu fie coliniari.

În acest caz putem scrie că: .3121 PPxPPN =

r

Reducem problema la a scrie ecuaţia planului ce trece prin 1P şi are vector

normal la plan pe .Nr

Considerăm şi un punct ,P∈π atunci: ( )

( ) ( ) ( )[ ] 0:0:

13121

31211

=−−−=

rrxrrrrPPxPPPP

rrrrrrππ

sau

⇔=−−−−−−−−−

0:

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

π

0

1111

:

333

222

111 =⇔

zyxzyxzyxzyx

π

Dar ecuaţia vectorială de mai sus este echivalentă cu coplanaritatea vectorilor

211 , PPPP şi 31PP adică Ru ∈∃ ν, astfel încât .31211 PPPuPPP ν+=


85

Deci putem scrie că: ( ) ( ).: 13121 rrrrurr rrrrrr

−+−+= νπ Caz particular: Ecuaţia planului prin tăieturi: Presupunem că 1 2 3, , ,r ai r bj r ck= = =

rr rr r r deci:

( ) ( ) ( )1 2 3,0,0 , 0, ,0 , 0,0,P a P b P c ⇒

( )( ) ( )[ ]( )[ ]( )( )

,:0:0:

0:

0:

abcabcabzacybcxabzacyaxbc

jackabibckzjyiax

iakcxiajbiakzjyix

=−++

⇔=++−⇔=++++−

⇔=−−−++

πππ

πrrrrrr

rrrrrrrr

deci

,01: =−++cz

by

axπ

ecuaţia planului prin tăieturi.

11.4 Ecuaţia normală a planului. Ecuaţia normalizată a planului sub formă generală

Fie OprO π=' şi ( ).,πOdd =

Fie cos cos cos , 1,n i j k n= α + β + γ =rr rr r unde:

( )ininrrrr ,coscos =⋅=α

( )jnjnrrrr ,coscos =⋅=β

( )knknrrrr ,coscos =⋅=γ

1coscoscos 222 =++ γβα Putem scrie că ,Or d n′ = ⋅

r r iar ecuaţia planului devine:


86

( ) ,0: =− nndr rrrπ de unde ,r n d⋅ =

r r şi, folosind ,r xi yj zk= + +rr rr atunci:

,0coscoscos: =−++ dzyx γβαπ numită ecuaţia normală a planului.

Dar 0: =−απ Nrrr , de unde:

0: =−

NNrr

rr

εαπ

în care 1±=ε cu condiţia 0>εα această ultimă ecuaţie numindu-se ecuaţia generală a planului sub formă normalizată, sau:

0:222=

++

+++

CBADCzByAx

επ

în care 1±=ε cu condiţia 0<Dε .

11.5 Distanţa de la un punct la un plan

Fie ( ) ( ) ( ) ( )011'

1111'

1 ,,,, rrprPdPPdPdPprP N

rrr −=⇔== πππ .

Folosind definiţia produsului scalar obţinem:

( ) ( ) NrNrN

NrrN

Pdrrrr

rrrr

r 0101111, −=−=π

de unde:

( ) .,222

1111

CBA

DCzByAxPd

++

+++=π


87

11.6 Distanţa dintre două plane paralele

Consider 0:,0: 2211 =−=− απαπ NrNrrrrr şi

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .1,

,,,,

2121212121

'11211

'1 2

NN

NrNrNrr

Nrrprd

PPddPprP

N rr

rrrrrrr

rrr

rαα

ππ

πππ

−=

−=−=−=

==

deci:

( ) ., 2121

Nd r

ααππ

−=

Dacă 0:,0: 2211 =+++=+++ DCzByAxDCzByAx ππ , atunci:

( ) .,222

1221

CBA

DDd

++

−=ππ

11.7 Semispaţiu. Plan orientat. Unghiul dintre două plane orientate

Spaţiul punctual E3 este împărţit în două semispaţii deschise, de un plan, care

sunt mulţimi convexe, iar planul este frontiera celor două semispaţii. Considerăm un plan π şi un reper ( ){ }kji

rrr,,;0 . În acest caz, alegerea normalei

Nr

la planul π caracterizează cele două semispaţii şi frontiera prin semnul funcţiei ( ) α−= Nrrf

rrr , astfel ( ) ( ) 0111 =⇒∈ rfrP rr π , unde:


88

( ) ( ) .11111 NPPNPPNrPPrfrf

rrrrrr⋅=−⋅+=+= α

Să considerăm: ( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ,0,cos,0 1131 >−⋅−=>∈= NrrNrrrfrfErPS

rrrrrrrrr

deci ( )( ) ( ) ,2

,0,0,cos 11 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈−⇒>−

πμ NrrNrrrrrrrr deci în 1S sunt puncte care sunt

situate în semispaţiul spre care este orientat vectorul Nr

. Notăm += π:1S . Analog se arată că ( ) ( ){ }032 <∈= rfErPS rr este format din

puncte situate în semispaţiul spre care este orientat vectorul Nr

notat cu .π Definiţia 11.1. Perechea formată dintr-un plan şi un vector normal la plan

poartă numele de plan orientat. Unghiul dintre două plane orientate este unghiul format de normalele la

planele orientate şi

( ) ( ) .,cos,cos21

212121

NNNNNN rr

rrrr

⋅

⋅==ππ

Iar dacă ,0:,0: 2222211111 =+++=+++ DzCyBxADzCyBxA ππ atunci:

( )22

22

22

21

21

21

21212121 ,cos

CBACBA

CCBBAANN

++⋅++

++=

rr

Caz particular: .021212121 =++⇔⊥ CCBBAAππ


89

CAPITOLUL 12 DREAPTA ÎN SPAŢIU

Capitolul dedicat dreptei în spaţiu cuprinde trei subcapitole şi anume dreapta determinată de un punct şi un vector director, dreapta determinată de două puncte distincte şi dreapta determinată de două plane secante.

Obiectivele urmărite sunt înţelegerea şi însuşirea noţiunilor în scopul rezolvării diverselor probleme de geometrie analitică.

12.1 Dreapta determinată de un punct şi un vector director

Fie dreapta d, şi un punct dP ∈0 de vector de poziţie 0.rr Fie ar vectorul director al dreptei d. Un punct oarecare P de vector de poziţie rr se află pe d dacă verifică>

( ) .0: 0 Vaxrrdrrrr

=− Vom spune că ecuaţia anterioară se numeşte ecuaţia vectorială a dreptei d, ea

reprezentând de fapt condiţia ca ar şi PP0 să fie coliniari, deci între ar şi PP0 există o relaţie de liniar dependenţă, adică R∈∃λ , astfel încât:

,: 0 arrd rrr λ+= această ultimă ecuaţie numindu-se ecuaţia vectorială parametrică a dreptei d.

Dacă notăm baxrrrr

=:0 , atunci .: baxrdrrr

= Dacă:

,

0000

knjmila

kzjyixr

kzjyixr

rrrr

rrrr

rrrr

++=

++=

++=

atunci ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=∈+=

+=

nzzRmyy

lxxd

λλλ

λ

0

0

0

,,:

numite ecuaţiile parametrice ale dreptei în coordonate carteziene.


90

Dacă eliminăm ,λ atunci:

,: 000 λ=−

=−

=−

nzz

myy

lxx

d

numită ecuaţia dreptei în coordonate carteziene, , ,l m n fiind parametrii directori ai dreptei.

Dacă ⇒++=⇒= kjiaaaa

rrrrr

r

γβα coscoscos00 şi:

,coscoscos

: 000 λγβα

=−

=−

=− zzyyxx

d

de unde ( ) 222coscoscos nmlkjiknjmil ++⋅++=++rrrrrrγβα

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

++=

++=

222

222

222

cos

cos

cos

nmln

nmlm

nmll

γ

β

α

numite cosinusurile directoare ale dreptei d.

12.2 Dreapta determinată de două puncte distincte

Pentru ( ) ( ) ,,, 12212211 rrPPadrPrP rrrrr−==∈ putem prezenta:


91

( ) ( )( )

( ) ( )

{ } ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−∈++

=

=−−

∈−+==−−

1\,1

rr:d

sau 0:

analog ,,:sau 0:

21

21

121

121

Rrrrxrrd

Rrrrrdrrxrrd

V

V

λλλ

λλ

rrr

rrrrr

rrrr

rrrrr

ecuaţiile vectoriale ale dreptei d.

Pornind de la ecuaţia ( )121: rrrrd rrrr−+= λ şi folosind ,r xi yj zk= + +

rr rr

1 1 1 1 2 2 2 2,r x i y j z k r x i y j z k= + + = + +r rr r r rr r , obţinem:

12

1

12

1

12

1:zzzz

yyyy

xxxxd

−−

=−−

=−−

sau

( )

( )

( ) { }

1 2

1 2

1 2

11

111 , \ 1 ,

1

x x x

y y y

z z z

⎧ = + λ⎪ + λ⎪⎪ = + λ⎨ + λ⎪⎪ = + λ λ∈ −⎪ + λ⎩

R

numite ecuaţiile parametrice ale dreptei în coordonate carteziene.

12.3 Dreapta determinată de două plane secante

Fie 0: 111 =−απ Nrrr şi 0: 222 =−απ Nr

rr două plane secante, adică

VNxN 021 ≠rr

, deci 1 2.d∃ = π πI

( )

( )( ) ( ) 21122112

122

211

NNNNrNNr

NNr

NNr

rrrrrrrr

rrr

rrr

αα

α

α

−=−

+−−−−−−−−−−

⋅=

−⋅=

adică ( ) .211221 NNNxNxrrrrrr αα −=

Deci ( ) ( ) .: 211221 NNNxNxrddrPrrrrrr αα −=⇔∈

Dacă se cunoaşte ( ) 2100 ππ Ir

=∈ drP , atunci ( ) ( ) VNxNxrrd 0: 210

rrrrr=− , iar

dacă: kCjBiANrrrr

1111 ++= ,2222 kCjBiANrrrr

++=


92

atunci condiţia ca planele:

,0:0:

22222

11111

=+++=+++

DzCyBxADzCyBxA

ππ

să se intersecteze este ca ,021 VNxNrrr

≠ adică:

2sau 0222

111

222

111 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠

CBACBA

rangCBACBAkji

V

r

rrr


93

CAPITOLUL 13 PROBLEME ASUPRA PLANELOR ŞI DREPTELOR

Problemele relative la plane şi drepte pot fi împărţite in trei categorii şi anume: poziţiile relative ale planelor, fascicule de plane şi poziţiile unei drepte faţă de un plan.

În acest capitol am urmărit ca obiective: dezvoltarea deprinderilor de a încadra problemele în cadrul corespunzător şi de a prezenta cele mai variate şi atractive soluţii.

13.1 Poziţiile relative a două plane

Fie două plane 1π şi 2π având ecuaţiile vectoriale:

222

111

:

:

απ

απ

=

=

Nr

Nrrr

rr

sau în coordonate carteziene:

.0:0:

22222

11111

=+++=+++

DzCyBxADzCyBxA

ππ

a) ⇔≠==⇔= 0,, 212121 λλααλππ NN

rr

0,2

1

2

1

2

1

2

1 ≠==== λλDD

CC

BB

AA

.0,0 212121 ≠=⇔=⇔= λλππ NNNxN V

rrrrr

Fie ( ) 111 π∈rP r şi ( ) 222 π∈rP r şi ( ) ( )2211 rPrP rr≠ , atunci:


94

( ) ,21221222222

121111 λααλλαλα

αλα−=−⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=⇒=

=⇒=Nrr

NrNr

NrNr rrrrrrr

rrrr

dar ( ) 21221 0 λαα =⇒=− Nrrrrr . Deci, din 21 NN

rrλ= şi ⇒= 21 λαα

.2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

==== λ

b) 1 2 1 2 1 2, , 0N N a aπ π ⇔ = λ ≠ λ λ ≠ ⇔r r

.2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠==

.0,0 212121 ≠=⇒=⇒ λλππ NNNxN V

rrrr

Fie ( ) 111 π∈rP r şi ( ) 222 π∈rP r , atunci 111 α=Nrr

şi 222 α=Nrr

de unde:

( ) 21221222

121 λααλλαλ

αλ−=−⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=Nrr

Nr

Nr rrrrr

rr

dar ( ) 21221 0 λαα ≠⇒≠− Nrrrrr , deci:

.2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠==

c) 0,2121 ≠≠⇔≠ λλφππ NNrr

I .0,00 212121 ≠≠⇔≠⇔≠ λλππ NNNxN V

rrrrrI

Reciprocele sunt imediate.


95

13.2 Fascicul de plane. Stea de plane. Ecuaţia planului determinat de o dreaptă şi un punct ce nu aparţine

dreptei. Distanţa de la un punct la o dreaptă

Definiţia 13.1. Fiind dată o dreaptă d se numeşte fascicul de plane mulţimea tuturor planelor din E3 care conţin dreapta d, numită axa fasciculului.

Fie planele date de ecuaţiile ,:;: 222111 απαπ == NrNrrrrr cu condiţia

,021 VNxNrrr

≠ în acest caz d=21 ππ I .

Fie απ =Nrrr: un plan arbitrar din fascicul, atunci 2211 NNN

rrrλλ += cu

022

21 ≠+ λλ , de unde rezultă:

.02211 =−+ αλλ NrNrrrrr

Fie ( ) drP ∈00r , atunci 0 1 1 0 2 20 0r N a şi r N a− = − =

r rr r , de unde:

( ) ( ) .0221122110 =+−+ λαλαλλ NNrrrr

Dar π face parte din fascicul, de unde:

( ) , deci ,0 221122110 αλαλααλλ +==−+ NNrrrr

care înlocuit dă: ( ) ( ) .0,0 2

22122112211 ≠+=+−+ λλλαλαλλ NNr

rrr Planele 1 2 şi π π care au proprietatea 1 2 dπ π =I se numesc planele de bază

ale fasciculului. În cazul în care planele sunt date prin ecuaţiile generale în coordonate

carteziene, ecuaţia fasciculului devine: ( ) ( ) 02222211111 =+++++++ DzCyBxADzCyBxA λλ

cu 022

21 ≠+ λλ .


96

Definiţia 13.2. Fiind dat un plan π se numeşte fascicul de plane paralele mulţimea tuturor planelor din E3 care sunt paralele cu planul .π

Fie ecuaţia vectorială a planului 0: =−απ Nrrr şi 0: 111 =−απ Nr

rr ecuaţia vectorială a unui plan ce face parte din fasciculul de plane paralele, atunci

0,1 ≠= λλNNrr

şi 1λαα ≠ atunci 0: 111 =− λαλπ Nrrr şi 1 , 0,a a−λ = − +μ μ ≠

de unde 1 1: 0r N aπ λ − +μ =rr , adică orice plan din fascicul este de forma:

.0: =+− μαπ Nrrr

Dacă ecuaţia planului este dată sub forma generală în coordonate carteziene, atunci ecuaţia fasciculului de plane este:

.0=++++ μDCzByAx Definiţia 13.3. Se numeşte stea de plane determinată de punctul ( )00 rP r

mulţimea tuturor planelor din E3 care conţin punctul 0.P Fie trei plane date de ecuaţiile lor vectoriale:

3,1,: == iNr iii απrr , cu condiţia ( ) 0321 ≠NxNN

rrr sau prin ecuaţiile lor

generale în coordonate carteziene; 3,1,0: ==+++ iDzCyBxA iiiiiπ , cu condiţia ca:

.3

333

222

111

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

CBACBACBA

rang

Fie απ =Nrrr: un plan din steaua de plane, deoarece ( ) 0321 ≠NxNN

rrr,

vectorii 3,1, =iNi

r pot forma o bază în E3 şi

332211 NNNNrrrr

λλλ ++= cu ,023

22

21 ≠++ λλλ

care înlocuit în ecuaţia lui ,π dă .332211 αλλλ =++ NrNrNrrrrrrr

Punând condiţia ca ( ) π∈00 rP r avem:

.303202101 αλλλ =++ NrNrNrrrrrrr

de unde: ααλαλαλ =++ 332211

deci ecuaţia stelei de plane este: ( ) ( ) ( ) 0333222111 =−+−+− αλαλαλ NrNrNr

rrrrrr sau în cazul în care planele sunt date prin ecuaţiile generale în coordonate carteziene obţinem:


97

( ) ( )( ) 0,0 2

322

2133333

2222211111

≠++=++++

++++++++

λλλλ

λλ

DzCyBxA

DzCyBxADzCyBxA

13.2.1 Ecuaţia planului determinat de o dreaptă şi un punct ce nu aparţine dreptei

Fie dreapta ( ) ( ) drPdrPbaxrd ∈∀∉= 1100 ,,: rrrrr , atunci:

( ) ( )[ ]( )( ) .0:

,0:

00

100

=−−

=−−

baxrrr

axrrrrrrrrr

rrrrr

π

π

În cazul în care dreapta e determinată ca intersecţia a două plane, ecuaţia

planului se determină impunând condiţia ca ecuaţia fasciculului să fie verificată de coordonatele punctului.

13.2.2 Distanţa de la un punct la o dreaptă

( ) [ ] ( ),

2,

22 021010

dPdaPPPaxrr rrrr

=⋅⋅=− σ

de unde:

( ) .,0

0 a

baxrdPd r

rrr−

=


98

13.3 Poziţia unei drepte faţă de un plan. Unghiul dintre o dreaptă orientată şi un plan orientat

Fie dreapta d şi planul π date prin ecuaţiile vectoriale απ == Nrbaxrd

rrrrr :,: sau prin ecuaţiile în coordonate carteziene:

⎩⎨⎧

=+++=++

⇔=+⇔=⇔⊂

=+++

−=

−=

−

00

00

0:

:

000

000

DCzByAxCnBmAl

abxNNad

DCzByAxn

zzm

yylxx

d

V

rrrrrr απ

π

Fie ( ) baxrdrP

rrrr=⇒∈ 000 şi .0 α=⋅ Nr

rr

Dacă înmulţim vectorial la stânga cu Nr

penultima relaţie, obţinem ( ) bxNaxrxN

rrrrr=0 , adică ( ) ( ) bxNarNraN

rrrrrrrr=⋅−⋅ 00 , dar 0,aN =

rr iar 0r N = αrr

deci: .0VabxN

rrrr=⋅+α

Celelalte două relaţii fiind evident verificate.

⎩⎨⎧

≠+++=++

⇔≠⋅+=⇔.0

00,0

000 DCzByAxCnBmAl

abxNNad V

rrrrrr απ

Fie ( ) baxrdrPrrrr

=⇒∈ 000 şi 0 .r N ≠ αrr

Procedând ca mai înainte ( ) bxNaxrxNrrrrr

=0 , adică ( ) VaNrbxN 00

rrrrrr=⋅+ dar

0r N ≠ αrr , de unde .0VabxN

rrrr=⋅+α

{ } 00 ≠⋅⇔= NaPdrr

Iπ cu 00 ≠++⇔⋅

⋅+= CnBmAl

aNabxNr rr

rrrr α

ar

ar


99

Fie ( ) baxrdrPrrr

Ir

=⇒= 000 π şi 0 .r N = αrr

Procedând ca mai înainte ( ) bxNaxrxNrrrrr

=0 , de unde:

( ) ( )0 0 0 .N b aNa r Nr a N b rN a× + α

− = × ⇒ =⋅

rr rrr r rr r r r rr r

Considerând un punct ( ) drP ∈r şi PprP π=' , atunci ( ) ( )'0 ,,, PPdd =π , unde

( ) ( )Nadrr,

2, μππμ −= , deci ( ) ( )Nad

rr,cos,sin =π , adică:

( ) ( )222222 CBAnm1

CnBm1ANaNaN,acos,dsin

++++

++=

⋅==π rr

rrrr


100

CAPITOLUL 14 POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE

Problemele legate de poziţiile a două drepte au fost încadrate în patru subcapitole: poziţii relative ale dreptelor, unghiul dintre două drepte orientate, distanţa dintre două drepte paralele şi perpendiculara comună a două drepte în spaţiu.

Obiectivele urmărite au fost însuşirea celor mai eficiente metode de rezolvare al problemelor legate de plane şi drepte.

14.1 Poziţiile relative a două drepte

Considerăm două drepte date prin ecuaţiile vectoriale:

222

111

:

:

baxrd

baxrdrrr

rrr

=

=

sau prin ecuaţiile în coordonate carteziene:

.:

:

2

2

2

2

2

22

1

1

1

1

1

11

nzz

myy

lxxd

nzz

myy

lxxd

−=

−=

−

−=

−=

−

a) .0

0

1

21

1

21

1

21

2

1

2

1

2

1

21

21

21

2121

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

−

==⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

=

=⇔=

nzz

myy

lxx

nn

mm

ll

bxb

axabb

aadd

V

Vrrr

rrr

rr

rr

λ

λ


101

Dacă 2121 aadd rr λ=⇒= . Fie ( ) ⇒=∈ 2111 ddrP r

21

221

121

221

111 bbbaxr

baxr

baxr

baxr rrrrr

rrr

rrr

rrr

λλλ

λ=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=,

deci 1 2 1 2 1 2 1 20 0 ,V Va a şi b b a a şi b b= λ = λ ⇔ × = × =r r r rr rr r r r de unde şi celelalte

condiţii.

b) ( )

.00

0

121

2

1

2

1

2

1

21

21

21

2121

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−

===⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=⇔

⎩⎨⎧

≠

=⇔

VV

V

axrr

nn

mm

ll

bxb

axabb

aadd

rrrrrrr

rrr

rr

rr λ

λ

λ

Dacă 2121 aadd rr λ=⇒ Fie ( ) 111 drP ∈

r şi ( ) ⇒∈ 222 drP r

( ) ,021121

221

121

221

111Vbbaxrr

baxr

baxr

baxr

baxr rrrrrrrrr

rrr

rrr

rrr

≠−=−⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

=λ

λλ

λ

λ

deci 1 2 1 2 1 2 1 20 0 ,V Va a şi b b a a şi b b= λ ≠ λ ⇔ × = × ≠r r r rr rr r r r de unde şi celelalte

condiţii.

c) ( ){ } ,0, 1221210021 =+≠⇔= babaaarPddrrrrrrr

I λ

.12

210 ba

bxbr rr

rrr

⋅=

Dacă ( ){ }⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒≠=

.,

220

110210021

baxr

baxraarPdd rrr

rrrrrr

I λ


102

Înmulţind scalar la stânga cu 2ar în prima ecuaţie şi cu 1ar în a doua obţinem:

( )( )

.01221

12210

21210 =+⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=baba

abaxar

abaxar rrrrrrrrr

rrrrr

Dacă ecuaţia 0 1 1r a b× =

rr r o înmulţim vectorial cu 2br

la dreapta obţinem:

( ) ( ) .12

21021021120 ba

bxbrbxbrbaabr rr

rrrrrrrrrrr

⋅=⇒=−

d) 1 2,d d - oarecare în spaţiu 21 aa rr λ≠⇔ şi .01221 ≠+ babarrrr

Dacă d1 şi d2 sunt oarecare în spaţiu nu au puncte comune şi 1 2.a a≠ λ

r r

Pentru orice ( ) ( ) 1 1 11 1 1 2 2 2

2 2 2

r a bP r d şi P r d

r a b

⎧ × =⎪∈ ∈ ⇒ ⎨× =⎪⎩

rr rr r

rr r

Procedând ca mai înainte: ( )( )

( )( ) 012212121

12212

21211 ≠+=−⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=⇒ babaaxarr

abaxar

abaxar rrrrrrrrrrrrr

rrrrr

14.2 Unghiul dintre două drepte orientate

Se poate determina din relaţia:

( ) .,cos22

22

22

21

21

21

212121

21

2121

nmlnmlnnmmll

aaaaaa

++⋅++

++=

⋅⋅

= rr

rrrr

1ar


103

14.3 Distanţa dintre drepte paralele

Fie dreptele date prin ecuaţiile vectoriale:

222

111

:

:

baxrd

baxrdrrr

rrr

=

=

Considerăm ( ) 111 drP ∈

r şi ( ) 222 drP ∈r şi cum 1 2a a= λ

r r , atunci:

( ) ( )1 1 2 1 2 1, ,a d d d r r a= − ×r r r r

adică: ( )

11 1 2 1 1 2, ,a d d d r x a r x a= −r r r r r

dar: ,, 212222111 baxrbaxrbaxr

rrrrrrrrr λ=⇒== deci:

( ) .,1

2121 a

bbddd r

rrλ−

=

14.4 Perpendiculara comună a două drepte în spaţiu. Distanţa dintre două drepte în spaţiu

Fie două drepte oarecare în spaţiu date prin ecuaţiile vectoriale:

.:

:

2222

1111

baxrd

baxrdrrr

rrr

=

=


104

Pentru determinarea perpendicularei comune se poate proceda astfel: prin

dreapta d2 se duce un plan π paralel cu d1. Acest plan se obţine dacă printr-un punct ( ) 222 drP ∈

r , se duce dreapta 1'1 dd . Se proiectează pe planul astfel obţinut

dreapta d1 în 1,d ′′ care intersectează d2 în ( )'1'

1 rP r . Perpendiculara în '1P pe planul π

aparţine planului format de d1 şi ''1d , ea intersectând d1 în ( )11 rP r . Dreapta '

11PP este perpendiculara căutată.

Din ( ) 111111 baxrdrPrrrr

=⇒∈ şi ( ) 222222 baxrdrPrrrr

=⇒∈ . Fie ( ) drP ∈

r , atunci din condiţia ca 1 2,d d şi d să fie coplanare rezultă:

( ) ( )( ) ( )

2

1 1 1 2

2 1 2

0

0.

r r a x a x a

r r a x a x a

− =⎡ ⎤⎣ ⎦

− =⎡ ⎤⎣ ⎦

r r r r r

r r r r r

Deci dreapta d rezultă ca intersecţia a două plane. Pentru a determina distanţa dintre 1 2 ,d şi d

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ).,cos

;,,,

212121212121

2121211121

21

21

rrpraxaaxarraxarr

axarrrrprPdddddd

axa

axa

rrrrrrrrrrrr

rrrrrr

rr

rr

−⋅=−⋅⋅−=

=−−=== ππ

Deci:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.

,

21

2112

21

221112

21

221121

21

212211

21

212121

axa

baba

axaaxraaxra

axarxaarxaa

axaaxaraxar

axaaxarr

ddd

rr

rrrr

rr

rrrrrr

rr

rrrrrr

rr

rrrrrr

rr

rrrr

+=

=+

=−

=

=−

=−

=


105

CAPITOLUL 15 SFERA

Prezentul capitol este structurat pe şase subcapitole: reprezentări ale sferei, poziţia unei drepte faţă de o sferā, poziţiile unui plan faţă de o sferă, intersecţia a două sfere, fascicul de sfere şi puterea unui punct faţă de o sferă.

Obiectivele urmărite au fost: înţelegerea, însuşirea şi aprofundarea problemelor legate de acest capitol.

Fie E3 spaţiul punctual euclidian tridimensional şi ( ){ }kjirrr

,,;0 un reper cartezian triortogonal orientat pozitiv.

15.1 Reprezentări ale unei sfere

Fie ( ) 30 ErC ∈r şi [ ]∞∈ ,0R . Se numeşte sferă de centru C şi rază R, mulţimea

tuturor punctelor din spaţiu care se află la distanţa R faţă de punctul C, adică mulţimea notată:

{ }RCPEPPS RC =∈= ,3, . Reprezentări implicite:

( )( ) ( ) ( ) 0:

;0:22

02

02

0,

220,

=−−+−+−

=−−

RzzyyxxS

RrrS

RC

RCrr

- reprezintă ecuaţia carteziană implicită; 0: 222

, =++++++ dczbyaxzyxS RC - reprezintă ecuaţia carteziană generală a sferei unde ( )000 ,, zyxC cu:

2,

2,

2 000czbyax −=−=−= , iar .

4

2222 dcbaR −

++=


106

Pentru 0: 2222, =−++ RzyxS RC , având reprezentarea parametrică:

[ ] [ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∈∈=

=

νπνπν

ν

cos,0,2,0sinsin

sincos:,

RzuuRy

uRxS RC şi

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

ννν

cossinsinsincos

:

0

0

0

,

RzzuRyyuRxx

S RC ,

asta deoarece pentru ( ) ( ) CPrrRCSrP +=∈ 0,, rrr , unde:

kRjuRiuRCPrrr

ννν cossinsincossin ++= .

15.2 Poziţiile unei drepte faţă de o sferă

Fie sfera dată prin ( ) 220, : RrrS RC =−rr şi dreapta d dată prin arrd rrr λ+= 1: ,

considerând ( )⎩⎨⎧

+==−arr

Rrrrrr

rr

λ1

220 obţinem:

( ) ( )⎩⎨⎧

+==−−+−+

arrRrrarra

rrr

rrrrrr

λλλ

1

220101

22 02 .

Considerând ( )0rC r , atunci ( ) ( )a

axrrdCd r

rrr01,

−= .

Pentru ecuaţia de gradul II în λ obţinem: ( )[ ] ( ) 222

0122

01 Rarraarr rrrrrrr+−−⋅−=Δ

Ştiind că: ( ) ( )[ ]201

2201

201 arrarraxrr rrrrrrrrr

−−⋅−=− obţinem:

( )[ ].,222 dCdRa −=Δr

Astfel că: ( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>⇔<Δ=⇔=Δ<⇔>Δ

sferei. azăintersectenu dreapta ,,0sferei; tangentăeste dreapta ,,0

sferei; secantă este dreapta ,,0

RdCdRdCdRdCd


107

15.3 Poziţiile unui plan faţă de o sferă

Fie sfera ( )2 2, 0: 0C RS r r R− − =

r r şi planul : 0,rN aπ − =rr iar distanţa de la

centrul sferei la plan ( ) 0, .r N a

d CN

−π =

rr

r

Dacă ( ) RCd <π, planul intersectează sfera după un cerc; Dacă ( ) RCd =π, planul e tangent la sferă; Dacă ( ) RCd >π, planul nu intersectează sfera. Deci ecuaţiile unui cerc în spaţiu vor fi date de:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−−

.0

0220

αNr

Rrrrr

rr

Planul tangent într-un punct ( )11 rM r la sferă este planul care trece prin M1 şi admite ca vector normal pe 1CM .

( )( ) ,0:,02:

011

2200

2,

=−−

=−+−

rrrrRrrrrS RC

rrrr

rrrr

π

sau ( ) ,02: 2

101011 =−++− rrrrrrrr rrrrrrrrπ dar

( ) ,202 220

2101

22010

2111 RrrrrRrrrrSrM −=−⇒=−+−⇒∈

rrrrrrrrr deci


108

( ) ,0: 220011 =−++− Rrrrrrr rrrrrrπ

sau ( ) ( ) ( ) 0: 2222

111111 =−++++−+−+−++ Rcbaczzbyyaxxzzyyxxπ dacă 0 .r ai bj ck= + +

rr rr

15.4 Intersecţia a două sfere, unghiul dintre două sfere

Fie sferele: ( )( ) 0:

0:22

22,

21

21,

22

11

=−−

=−−

RrrS

RrrS

RC

RC

rr

rr

⇒ ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+−+−

=−−

,02

02

122

22

2112

21

22

RRrrrrr

Rrrrrrrr

rr

deci intersecţia a două sfere este un cerc. Considerăm în, cele ce urmează, că .21 RR >

Dacă 211221 RRrrCC +>−=rr sferele sunt exterioare şi cercul lor de

intersecţie este imaginar. Dacă 2112 RRrr +=−

rr sferele sunt tangente exterioare şi cercul lor de intersecţie se reduce la un punct.

Dacă ,211221 RRrrRR +<−<−rr sferele sunt secante.

Dacă 2112 RRrr −=−rr sferele sunt tangente interioare.

Dacă 2112 RRrr −<−rr sferele sunt interioare nesecante.

Dacă 012 =− rr rr sferele sunt concentrice.

Considerând ( ) ( ) 0:,0: 22

22,

21

21, 2211

=−−=−− RrrSRrrS RCRCrrrr şi

2211 ,, RCRC SSM I∈ unghiul celor două sfere este unghiul dintre planele tangente celor două sfere în unul din punctele comune, adică unghiul normalelor la cele două plane.


109

Astfel, ( ) .

2cos

21

212

22

21

21 RRrrRRMCCrr

−−+=

15.5 Fascicul de sfere

Ecuaţia ( ) ( ) RrSrS ∈=+ λλ ,021rr reprezintă ecuaţia fasciculului de sfere

determinat de cele două sfere, adică toate sferele ce trec prin cercul de intersecţie al celor două sfere.

Prin fiecare punct din spaţiu care nu e comun celor două sfere, trece câte o singură sferă din fascicul.

Cele două sfere, ,, 21 SS care determină fasciculul corespund respectiv lui ∞→= λλ ,0 .

Fie RCS , notată cu ( ) ( ) 0220 =−−= RrrrS rrr şi planul π de ecuaţie:

( ) .0=−= αNrrPrrr

Toate sferele care trec prin cercul de intersecţie dintre sfera RCS , şi planul π sunt date de ecuaţia ( ) ( ) RrPrS ∈=+ λλ ,0rr care reprezintă ecuaţia fasciculului

de sfere determinat de sfera RCS , şi planul π.

15.6 Puterea unui punct faţă de o sferă

Fie ( )11 rM r şi ( ) ( ) 0: 220, =−−= RrrrSS RCrrr . Dacă o dreaptă variabilă d care

trece prin punctul 1M intersectează sfera în punctele M ′ şi ,M ′′ atunci:

( )( ).1"

1'

1 MKMMMM rS rρ==⋅


110

Constanta K ce intervine în relaţia precedentă se numeşte puterea punctului

1M faţă de sfera RCS , .

Astfel, ( )( ) ( ) .221

22011 RCMRrrMrS −=−−=rr

rρ Planul radical al sferelor

2211 ,, , RCRC SS este mulţimea tuturor punctelor din spaţiul E3 care au aceeaşi putere faţă de ele, plan perpendicular pe dreapta:

( ).2121 CCCC ≠ Ecuaţia planului radical al celor două sfere este:

( ) ( ) ( ) .002: 212

122

22

2112 =−⇔=−+−+− rSrSRRrrrrrr

rrrrrrrrπ

Considerând trei sfere 332211 ,,, ,, RCRCRC SSS ale căror centre sunt necoliniare,

planele lor radicale (considerate câte două) trec prin aceeaşi dreaptă, numită axa radicală a celor trei sfere care este perpendiculară pe planul determinat de cele trei centre. Axa radicală e formată din toate punctele care au aceeaşi putere faţă de cele trei sfere.

Ecuaţiile axei radicale sunt ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=−=−

.00

31

21

rSrSrSrSrr

rr

Dându-se patru sfere ale căror centre sunt necoplanare, există un singur punct care are aceeaşi putere faţă de cele patru sfere. El se află pe axa radicală a trei dintre sfere şi în planul radical al celei de-a patra sfere cu una din celelalte trei sfere.

Deci ( )P rr este dat ( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=−

.000

41

31

21

rSrSrSrSrSrS

rr

rr

rr


111

CAPITOLUL 16 ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE SFERICĂ

Trigonometria sferică a apărut şi s-a dezvoltat mai întâi în ţările Orientului antic. Dezvoltarea cunoştinţelor de astronomie a contribuit la apariţia şi dezvoltarea trigonometriei sferice din care, ca un caz particular, s-a dezvoltat şi trigonometria plană.

Părinte al trigonometriei sferice şi plane este considerat astronomul grec Hipparc, de la Şcoala din Alexandria (180 – 125 î.e.n.). Merite importante în dezvoltarea trigonometriei au şi matematicienii greci: Teodosiu (secolul al II lea î.e.n.), Menelau din Alexandria (sec. II – I î.e.n.), Ptolemeu Claudiu (sec. II î.e.n.).

Ulterior, trigonometria sferică s-a dezvoltat la hinduşi şi în mod deosebit la arabi şi alte popoare din Asia. Între învăţaţii acestor popoare se numără Al Battanii (850 – 930) care lucrează în jurul anului 900 la Observatorul oraşului Rei, în apropiere de Teheran. Într-o problemă, el obţinu-se o relaţie, care numai formal se deosebeşte de una din cele mai importante teoreme ale trigonometriei sferice, şi anume, teorema cosinusurilor, care va fi apreciată după merit de Regiomontanus.

Mai amintim pe Abu - I – Vafa (940 – 998) şi pe Nasir-ed-Din (1201 – 1274) care în cartea sa “Tratat despre patrulater”, sintetizează rezultatele lucrărilor din domeniul trigonometriei sferice şi plane de până la el.

Mai târziu, trigonometria sferică a fost dezvoltată de Regiomontanus (1435 – 1476), Tycho Brahe (1546 – 1601), Kepler (1571 – 1630) şi alţii.

Descoperirea logaritmilor, stabilirea proprietăţilor lor, întocmirea tabelelor de valori naturale ale funcţiilor trigonometrice şi a tabelelor de logaritmi pentru funcţiile trigonometrice, duc la transformarea calculelor din trigonometria sferică şi dau eleganţă şi simplitate formulelor ei.

Trigonometria sferică, aşa cum este cunoscută astăzi, se datorează oamenilor de ştiinţă ai secolelor XVIII şi XIX: Euler, Lobacevski, Moebius, Gauss, Lagrange.

Euler Leonhard (1707 – 1783) s-a ocupat în mod special de trigonometria sferică în două articole mari, abordând-o din puncte de vedere diferite. În primul (1755) el a construit într-un mod cu totul general trigonometria sferică ca geometrie a triunghiurilor formate pe suprafaţa sferei din linii de distanţă minimă. În al doilea (1779) Euler adoptă o bază elementară pentru a construi sistemul formulelor ei. El pleacă de la un triedru pe care îl intersectează cu plane corespunzătoare pentru a putea aplica apoi teoremele trigonometriei plane (ca şi Copernic). Astfel el a dedus teorema sinusurilor, teorema cosinusului pentru laturi şi o formulă nouă care leagă între ele cinci elemente; relevând că aceste trei formule conţin întreaga trigonometrie sferică. A treia ecuaţie pe care a obţinut-o este supusă unor transformări multiple. El deduce din ea aşa-numita formulă a


112

cotangentelor, teorema cosinusurilor pentru unghiuri şi, cu ajutorul teoremei sinusurilor, formula ei polară. Abia pe urmă, el introduce triunghiul polar şi explică utilizarea lui, dă formulele logaritmabile, pe care le deduce parţial într-un mod nou, şi declară cu deplină îndreptăţire, că articolul său oferă o expunere completă (putem adăuga: prima expunere completă) a sistemului trigonometriei sferice.

Lagrange J.L (1736 – 1813) a dat pentru prima oară (1798) datorită unei mânuiri mult mai iscusite a formulelor, o formă modernă deducţiei tuturor egalităţilor trigonometrice. El demonstrează relaţia celor cinci elemente a lui Euler precum şi formula analogă acesteia. El deduce tot atât de simplu regula cotangentelor şi subliniază cum cu ajutorul acestor formule se poate rezolva orice problemă. Articolul lui Lagrange a constituit o încununare a progreselor trigonometriei în pragul sec. al XIX-lea.

Capitolul dedicat elementelor de trigonometrie sfericā, este absolut necesar viitorilor navigatori de pe mările şi oceanele lumii, din această cauză el va trata probleme de geometrie sferică şi va pune la dispoziţie aparatul matematic necesar navigaţiei astronomice.

Obiectivele pe care le-am urmărit au fost introducerea şi familiarizarea cu noile concepte de trigonometrie sferică, abordarea problemelor întâlnite în practică folosind corect aparatul matematic disponibil.

Vom prezenta mai întâi câteva noţiuni de geometrie sferică pentru a putea introduce elementele trigonometriei sferice.

Considerând o sferă, iar A şi B două puncte ale unui cerc mare al sferei, acestea vor împărţi cercul mare în două arce. Arcul mai mare se numeşte arc major, iar arcul mai mic arc minor; dacă A şi B sunt diametral opuse, cele două arce sunt semicercuri egale între ele.

Definiţia 16.1. Dându-se două puncte A şi B pe o sferă, arcul minor al celor

două puncte se numeşte distanţa sferică între cele două puncte de pe sferă, mărimea distanţei sferice exprimându-se prin mărimea arcului subîntins de razele corespunzătoare celor două puncte.


113

Definiţia 16.2. Arcul cercului mare care trece prin cele două puncte se numeşte şi ortodromă, iar distanţa sferică dintre cele două puncte se numeşte şi distanţa ortodromică.

Definiţia 16.3. Se numesc polii unui cerc, punctele în care diametrul

perpendicular pe planul acestui cerc înţeapă sfera. Definiţia 16.4. Arcul cercului mare care uneşte polul unui cerc de pe sferă cu

un punct al cercului este constant şi se numeşte rază polară sau rază sferică a cercului. Raza sferică a unui cerc mare este egală cu un sfert de cerc mare.

Cercul mare corespunzător polului P se numeşte polara punctului P. Definiţia 16.5. Unghiul a două semicercuri mari, ale căror extremităţi coincid

cu extremităţile diametrului lor comun, este egal cu unghiul semiplanelor care le conţine. El are ca măsură arcul cuprins între ele de pe cercul mare având ca poli punctele lor comune.

Definiţia 16.6. Figura geometrică formată pe sferă de trei arce de cerc mare

care se taie două câte două se numeşte triunghi sferic. Fie arcele de cerc mare Ele formează triunghiul sferic Elementele triunghiului sferic sunt: 3 unghiuri , ,A B C fiecare mai mic decât

două unghiuri drepte; 3 laturi , , ;a b c dacă fiecare latură este mai mică decât un semicerc, atunci triunghiul sferic se numeşte triunghi sferic simplu sau Euler.

După relaţiile dintre laturi sau unghiuri, triunghiurile sferice ca şi triunghiurile plane pot fi: echilatere, isoscele, oarecare.

După mărimea laturilor pot fi oarecare şi cvadrantice sau rectilatere. Se numesc triunghiuri sferice cvandrantice sau rectilatere triunghiurile sferice care au cel puţin o latură egală cu un sfert de cerc. Triunghiurile sferice cvadrantice pot fi rectilatere, birectilatere sau trirectilatere.

După mărimea unghiurilor pot fi oarecare şi dreptunghice. Triunghiurile sferice dreptunghice pot fi dreptunghice, bidreptunghice sau tridreptunghice.

Un triunghi sferic poate avea unul sau toate unghiurile obtuze. Triunghiurile sferice care au laturile mai mari decât un semicerc se numesc

triunghiuri Moebius-Study. În cele ce urmează ne vom ocupa de triunghiuri sferice Euler. Planele arcelor de cerc mare care constituie laturile triunghiului sferic

formează un triedru cu vârful în centrul sferei, având ca muchii razele corespunzătoare vârfurilor triunghiului. Acest triedru se numeşte triedrul corespunzător triunghiului sferic dat.

Fie triunghiul sferic ABC şi OABC triedrul corespunzător lui.


114

Feţele triedrului AOB, BOC, COA sunt unghiurile la centru corespunzătoare laturilor AB, BC, CA.

Diedrele triedrului au unghiurile plane egale cu unghiurile A,B,C ale triunghiului sferic.

Scopul trigonometriei sferice este de a rezolva triunghiurile sferice, adică de a

calcula elementele necunoscute atunci când se cunosc trei elemente oarecare ale unui triunghi sferic (aceasta rezultând din cazurile de congruenţă ale triunghiurilor sferice). Rezultă că trigonometria sferică trebuie să stabilească relaţiile care leagă între ele patru elemente oarecare ale triunghiului sferic şi că între cele 6 elemente ale triunghiului sferic se vor obţine:

4 26 6 15 ,C C formule= =

care rezolvă 6 probleme principale ale trigonometriei. Acestea se împart în două grupe: Grupa I

1. Sunt date 3 laturi a,b,c; 2. Sunt date 2 laturi şi unghiul cuprins între ele; 3. Sunt date 2 laturi şi unghiul opus uneia din ele.

Cu aceste 3 probleme şi cu ajutorul triunghiului sferic polar se rezolvă şi celelalte 3 probleme principale:

Grupa II 4. Sunt date 3 unghiuri; 5. Sunt date o latură şi 2 unghiuri alăturate; 6. Sunt date 2 unghiuri şi latura opusă unuia din ele.

Se vor distinge deci 15 formule care conţin relaţii între trei laturi şi un unghi, între două laturi şi două unghiuri, între trei unghiuri şi o latură.

La baza formulelor din trigonometria sferică stă o formulă care se consideră fundamentală şi din care, prin transformări analitice, se pot obţine şi celelalte.

Matematicianul arab Al-Battanii a dat ca formulă fundamentală relaţia care leagă trei laturi şi un unghi, numită ''formula cosinusului unei laturi.''


115

Teorema 16.1. Într-un triunghi sferic, cosinusul unei laturi este egal cu produsul cosinusurilor celorlalte două laturi mărit cu produsul sinusurilor lor prin cosinusul unghiului cuprins între ele (opus primei laturi).

.cossinsincoscoscos Acbcba += Demonstraţie. Stabilirea vectorială a formulei fundamentale este extrem de

simplă. Fie triunghiul sferic ABC pe sfera de rază R = 1 şi OABC triedrul

corespunzător. Să calculăm produsul multiplu de vectori:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ),

2 OBxOAOCxOAOCxOBOA

OBOAxOCOAOBxOCOAOBxOAxOCOAOCxOAOBxOA

⋅−⋅=

=⋅−⋅⋅==⋅=⋅

unde .sin,sin bOCxOAcOBxOA ==

Unghiul format de feţele b şi c este A şi 12 =OA .cos,cos,cos cOBOAbOCOAaOCOB =⋅=⋅=⋅

Rezultă: cbaAbc coscoscoscossinsin ⋅−=⋅⋅ , deci: ;cossinsincoscoscos Acbcba ⋅+⋅=

prin permutări circulare obţinem şi:

.cossinsincoscoscos;cossinsincoscoscos

CbabacBacacb

⋅+⋅=⋅+⋅= (16.1)

Definiţia 16.7. Fie ABC un triunghi sferic, A′ polul cercului mare BC, situat

în aceeaşi emisferă cu ,A B′ polul cercului mare AC situat în aceeaşi emisferă cu ,B C′ polul cercului mare AB situat în aceeaşi emisferă cu C. Triunghiul sferic

A B C′ ′ ′ astfel format se numeşte triunghi sferic polar al triunghiului sferic ABC sau triunghiul sferic suplimentar.


116

Triedrele OABC şi OA B C′ ′ ′ fiind suplimentare între feţele şi diedrele lor avem relaţiile:

.22

'''

'''

drcCbBaAdrcCbBaA

=+=+=+

=+=+=+

Teorema 16.2. Într-un triunghi sferic cosinusul unui unghi este egal cu

produsul sinusurilor celorlalte două unghiuri prin cosinusul laturii opuse primului unghi micşorat cu produsul cosinusurilor celorlalte două unghiuri.

.cossinsincoscoscos aCBCBA +−=

Demonstraţie. Această formulă se poate obţine uşor aplicând formula fundamentală triunghiului sferic polar.

Deci '''''' cossinsincoscoscos Acbcba += , dar:

.180,180,180,180,180,180

''

''

''

cCCcbBBbaAAa

−=−=

−=−=

−=−=

oo

oo

oo

Înlocuind în relaţia de mai înainte obţinem: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).180cos180sin180sin 180cos180cos180cos

aCBCBA

−−−+

+−−=−ooo

ooo

Deci: aCBCBA cossinsincoscoscos −=−

sau .cossinsincoscoscos aCBCBA +−= Prin permutări circulare obţinem:

.cossinsincoscoscos,cossinsincoscoscos

cBABACbACACB

+−=+−= (16.2)

Teorema 16.3. Sinusurile unghiurilor sunt proporţionale cu sinusurile laturilor

opuse lor:


117

cC

bB

aA

sinsin

sinsin

sinsin

== (formula sinusurilor).

Demonstraţie. Calculând produsul multiplu vectorial,

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] . OAOCxOBOAOAOBxOAOC

OCOAOBxOAOAOCOBxOAOCxOAOBxOA⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅=⋅

Cum cOBxOA sin= considerând triunghiul sferic ABC pe sfera de rază 1=R şi OABC triedrul la centru corespunzător.

Apoi bOCxOA sin= .

Unghiul format de b şi c este A, iar 1=OA , deci vom putea scrie că:

( )OCxOBOAAcb ⋅=sinsinsin , deoarece:

( )[ ] ( ) ( ).OCxOBOAOAOCxOBOAOAOCxOBOA ⋅=⋅⋅=⋅⋅ Prin permutări circulare vom obţine

( ) ( )OCxOBOACbaOCxOBOABac ⋅=⋅= sinsinsin,sinsinsin de unde:

,sinsinsinsinsinsinsinsinsin CbaBacAcb == şi, împărţind cu cba sinsinsin obţinem:

cC

bB

aA

sinsin

sinsin

sinsin

== (16.3)

Teorema 16.4. Între cinci elemente ale unui triunghi sferic avem relaţia dată

de ''formula celor cinci elemente'': AbccbBa cossincossincoscossin −=

Demonstraţie. Din formula fundamentală a trigonometriei sferice:

,cossinsincoscoscos Bcacab += înlocuind ,cossinsincoscoscos Acbcba += obţinem :

BcaAccbcbb coscossincoscossinsincoscoscos 2 ++= sau

( ) ( )BaAcbccb cossincoscossinsincos1cos 2 +=− sau

BaAcbcb cossincoscossinsincos += sau

.coscossinsincoscossin AcbcbBa −=


118

Prin permutări circulare obţinem:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−=−=−=−=

.cossincossincoscossin,cossincossincoscossin,cossincossincoscossin,cossincossincoscossin,cossincossincoscossin

CbaabBcCabbaAcBcaacCbBaccaAbAcbbcCa

(16.4)

Teorema 16.5. Între cinci elemente ale unui triunghi sferic avem relaţia dată

de formula produsului sinusului unghiului prin cosinusul laturii alăturate: .cossincossincoscossin aBCCBbA +=

Demonstraţie. Această relaţie se stabileşte cu uşurinţă aplicând formula celor

cinci elemente triunghiului sferic polar celui dat: ''''''' cossincossincoscossin AbccbBa −= ,

dar aAa −== oo 180,180 '' , înlocuind, obţinem: .cossincossincoscossin aBCCBbA −−=−

Înmulţind cu -1 obţinem: .cossincossincoscossin aBCCBbA += (16.5)

Asemănător vom obţine prin permutări circulare încă cinci astfel de formule: sin cos cos sin cos sin cossin cos cos sin cos sin cossin cos cos sin cos sin cossin cos cos sin cos sin cossin cos cos sin cos sin cos

A c C B B C aB a A C C A bB c C A A C bC a A B B A cC b B A A B c

= + ⎫⎪= + ⎪⎪= + ⎬⎪= +⎪

= + ⎪⎭

(16.6)

Grupul de formule: cos cos cos sin sin cossin cos cos sin cos sin cossin sin sin sin

a b c b c Aa B b c c b Aa B B A

= += −=

(16.7)

formează grupul lui Gauss. Acest grup de formule este general şi poate fi aplicat oricărui triunghi sferic.

În geometria analitică în spaţiu se demonstrează că aceste formule exprimă o schimbare a axelor de coordonate în cazul rotaţiei lor în jurul uneia din ele.

A doua formulă din grupul lui Gauss este folosită sub forma unei relaţii între 4 elemente consecutive ale unui triunghi sferic sau “formula cotangentelor”.

Între patru elemente consecutive ale unui triunghi sferic avem relaţia dată de formula cotangentelor

sin cos cos sinctgb c c A ActgB= +


119

Teorema 16.6. Produsul cotangentei laturii extreme prin sinusul laturii de mijloc este egal cu produsul cosinusului laturii de la mijloc prin cosinusul unghiului cuprins între ele mărit cu produsul sinusului unghiului de la mijloc prin cotangenta unghiului opus primei laturi.

Demonstraţie Pentru a stabili această grupă de formule împărţim parte cu

parte ultimele două formule din grupa lui Gauss sin cos cos sin cos sin cossin sin sin sin

a B b c c b Aa B b A

= −=

şi obţinem: sin coscossin sin

c ActgB ctgb cA A

= −

sau sin sin cos cosctgB A c ctgb A c= −

sau sin cos cos sin ,ctgb c c A ActgB= +

prin permutări circulare obţinem şi: sin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sin

ctga b b C CctgActga c c B BctgActgb a a C CctgBctgc a a B BctgCctgc b b A ActgC

= + ⎫⎪= + ⎪⎪= + ⎬⎪= +⎪

= + ⎪⎭

(16.8)

Între patru elemente ale triunghiului sferic am obţinut 15 formule grupate în patru grupe astfel:

cos cos cos sin sin coscos cos cos sin sin coscos cos cos sin sin cos

a b c b c AI b c a c a B

c a b a b C

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩

cos cos cos sin sin coscos cos cos sin sin coscos cos cos sin sin cos

A B C B C aII B C A C A b

C A B A B c

= − +⎧⎪ = − +⎨⎪ = − +⎩

sin sin sinsin sin sin

A B CIIIa b c= =


120

sin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sinsin cos cos sin

ctga b b C C ctgActga c c B B ctgActgb c c A Actgb

IVctgb a a C C ctgBctgc a a B B ctgCctgc b b A ActgC

= +⎧⎪ = +⎪

= +⎪⎨ = +⎪⎪ = +⎪

= +⎩

Observaţie 16.1. Grupele formate nu sunt calculabile prin logaritmi cu

excepţia grupei a III-a , formula sinusurilor. Deci rezolvarea triunghiurilor sferice va trebui să fie precedată de transformarea acestor formule în formule calculabile prin logaritmi.

În formulele stabilite, laturile şi unghiurile triunghiului sferic intră întregi - aceste formule se numesc formule de speţa I.

Transformând formulele de speţa I în formule calculabile prin logaritmi, obţinem formule în care intră semilaturile şi semiunghiurile triunghiurilor sferice; aceste formule se numesc de speţa a II -a.

În formula: Acbcba cossinsincoscoscos +=

înlocuind pe 2

sin21cos 2 AA −= , obţinem:

( )2

sinsinsin2sinsincoscoscos 2 Acbcbcba −+=

sau ( )

cbacbA

sinsincoscos

2sin2 2 −−

=

cb

cbacbaA

sinsin2

sin2

sin

2sin2 2

+−−+

=

Notând pcba 2=++ şi ştiind că triunghiurile sunt Euler:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−−=

−−=

−−=

babpapC

cacpapB

cbcpbpA

sinsinsinsin

2sin

sinsinsinsin

2sin

sinsinsinsin

2sin

(formula sinusului semiunghiului) (16.9)


121

Dacă în aceeaşi formulă 12

cos2cos 2 −=AA , obţinem:

( ) ,sinsin2

cos2coscos

,sinsin2

cos2sinsincoscoscos

2

2

cbAcba

cbAcbcba

++=

+−=

sau ( )cb

cbasinsin

coscoscos2 2 +−=

cb

acbcbaA

sinsin2

sin2

sin

2cos2

−+++

=

de unde analog: ( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

−=

−=

bacppC

cabppB

cbappA

sinsinsinsin

2cos

sinsinsinsin

2cos

sinsinsinsin

2cos

(formula cosinusului semiunghiului) (16.10)

Observaţia 16.2. Formulele sunt analoge cu cele din trigonometria plană. Făcând raportul dintre formulele (16.9) şi (16.10) se obţine:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

sin sin2 sin sin

sin sin2 sin sin

sin sin2 sin sin

p b p cAtgp p a

p c p aBtgp p b

p a p bCtgp p c

⎫− −= ⎪

− ⎪⎪

− − ⎪= ⎬− ⎪⎪

− − ⎪= ⎪− ⎭

(16.11)

Aplicând formulele (16.9), (16.10) şi (16.11) triunghiului sferic polar, se obţin:


122

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

sin sinsin

2 sin sin

sin sincos

2 sin sin

sin sin2 sin sin

p b p cAb c

p p aAb c

p b p cAtgp p a

′ ′ ′ ′− −′=

′ ′

′ ′ ′−′=

′ ′

′ ′ ′ ′− −′=

′ ′ ′−

Dar: 180 180 180180 180 180

A a B b C ca A b B c C

′ ′ ′= − = − = −

′ ′ ′= − = − = −

o o o

o o o

şi notând 2 540 2 2A B C P a b c P p′ ′ ′ ′+ + = + + = − =o rezultă: 270p P′ = −o

şi succesiv:

( )( )( )

90

90

90

p a P A

p b P B

p c P C

′ ′− = − −

′ ′− = − −

′ ′− = − −

o

o

o

înlocuind mai sus, avem: ( )

( )

( )

cos cossin

2 sin sin

cos cossin

2 sin sin

cos cossin

2 sin sin

P P AaB C

P P BbC A

P P CcA B

⎫− −= ⎪

⎪⎪

− − ⎪= ⎬⎪⎪− − ⎪=⎪⎭

(16.12)

analog: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cos coscos

2 sin sin

cos cos2 sin sin

cos coscos

2 sin sin

P B P CaB C

P C P AbcosC A

P A P BcA B

⎫− −= ⎪

⎪⎪

− − ⎪= ⎬⎪⎪− − ⎪=⎪⎭

(16.13)

analog:


123

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

cos cos2 cos cos

cos cos2 cos cos

cos cos2 cos cos

P P AatgP B P C

P P BbtgP C P A

P P CctgP A P B

⎫− −= ⎪

− − ⎪⎪

− − ⎪= ⎬− − ⎪⎪

− − ⎪= ⎪− − ⎭

(16.14)

Dar se ştie că 180 2A B C+ + − = εo - excesul sferic al triunghiului sferic ABC

şi se exprimă în unităţi de unghi. Expresia excesului sferic este 21802

SR

ε = ⋅π

oo

unde S este aria triunghiului sferic. Prin urmare 90P = + εo de asemenea:

( )( )( )

90

90

90

P A A

P B B

P C C

− = − − ε

− = − − ε

− = − − ε

o

o

o

Înlocuind în formulele de mai sus obţinem: ( )

( )

( )

sin sinsin

2 sin sin

sin sinsin

2 sin sin

sin sinsin

2 sin sin

AaB C

BbA C

CcA B

⎫ε − ε= ⎪

⎪⎪

ε − ε ⎪= ⎬⎪⎪ε − ε ⎪=⎪⎭

(16.15)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

sin sincos

2 sin sin

sin sincos

2 sin sin

sin sincos

2 sin sin

B CaB C

A CbA C

A BcA B

⎫− ε − ε= ⎪

⎪⎪

− ε − ε ⎪= ⎬⎪⎪− ε − ε ⎪=⎪⎭

(16.16)


124

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

sin sin2 sin sin

sin sin2 sin sin

sin sin2 sin sin

AatgB C

BbtgA C

CctgA B

⎫ε − ε= ⎪

− ε − ε ⎪⎪

ε − ε ⎪= ⎬− ε − ε ⎪⎪

ε − ε ⎪= ⎪− ε − ε ⎭

(16.17)


125

CAPITOLUL 17 STUDIUL CUADRICELOR PE ECUAŢII REDUSE

Un prim pas în studiul suprafeţelor se poate face cu studiul cuadricelor pe ecuaţii reduse. Acest capitol cuprinde două subcapitole, unul dedicat cuadricelor nedegenerate şi unul celor degenerate.

Am urmărit ca studiul acestui capitol sa ducă la determinarea precisă a tipului de cuadrică investigat.

Fie E3 spaţiul punctual euclidian tridimensional şi V3 spaţiul vectorial ataşat raportat la un reper ( ){ }kji

rrr,,;0 ortonormat orientat pozitiv.

Definiţia 17.1. Se numeşte cuadrică mulţimea punctelor din E3 ale căror coordonate verifică o ecuaţie de gradul doi în x, y, z adică o ecuaţie de forma:

0222222 443424142313122

332

222

11 =+++++++++ azayaxayzaxzaxyazayaxa (17.1)

Dacă o cuadrică are o poziţie specială faţă de reper, prezintă maximum de simetrii faţă de planele de coordonate, (originea, axele şi planele de coordonate pot fi elemente de simetrie), ecuaţia cuadricei devine mai simplă, unii din coeficienţi anulându-se. Există un număr determinat de forme ale ecuaţiei (17.1) corespunzătoare fiecărui tip de cuadrică, numite ecuaţiile sub formă redusă ale cuadricelor.

17.1 Cuadrice nedegenerate 17.1.1 Elipsoidul

Ecuaţia redusă a elipsoidului este .012

2

2

2

2

2

=−++cz

by

ax


126

Punctele de intersecţie cu axele, numite vârfurile suprafeţei le determinăm din:

( ) ( )0,0,,0,0,00

: ' aAaAzy

Ox −⇒⎩⎨⎧

==

I

( ) ( )cCcCyx

Oz −⇒⎩⎨⎧

==

,0,0,,0,000

: 'I

( ) ( )0,,0,0,,000

: ' bBbBzx

Oy −⇒⎩⎨⎧

==

I

Curbele de intersecţie cu planele de coordonate:

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=by

axzxOyI elipsă reală situată în planul xOy,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=cz

axyxOzI elipsă reală situată în planul xOz,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=cz

byxyOzI elipsă reală situată în planul yOz.

Elipsoidul este o suprafaţă închisă situată într-un paralelipiped dreptunghic, ale cărui feţe sunt tangente elipsoidului în vârfurile lui.

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Dacă ,a b b c= = sau ,a c= elipsoidul e de rotaţie (în jurul axei ).zz′K Dacă ,a b c= = elipsoidul e o

sferă cu centrul în O şi de rază a. Elipsoidul este o suprafaţă generată de o familie de elipse care se sprijină pe o

elipsă fixă, adică de familia:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

μ

λγ μλ

xcz

by

2

2

2

2

, : şi elipsa ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

0

01: 2

2

2

2

zby

ax

γ

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

ννν

cossinsinsincos

czubyuax

unde [ ] [ )πνπ ,0,2,0 ∈∈u .


127

17.1.2 Hiperboloidul cu o pânză

După poziţia suprafeţei faţa de axele de coordonate, ecuaţia hiperboloidului cu o pânză are una din formele:

012

2

2

2

2

2

=−−+cz

by

ax

012

2

2

2

2

2

=−+−cz

by

ax

012

2

2

2

2

2

=−++−cz

by

ax .

Reperul în raport cu care e scrisă ecuaţia are centrul, axele şi planele de

coordonate elemente de simetrie ale cuadricei. Punctele de intersecţie cu axele:

( ) ( )0,0,,0,0,00

: ' aAaAzy

Ox −⇒⎩⎨⎧

==

I

( ) ( )0,,0,0,,000

: ' bBbBzx

Oy −⇒⎩⎨⎧

==

I


( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=by

axzxOyI elipsă colier,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=cz

axyxOzI hiperbolă,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+⇒=cz

byxyOzI hiperbolă.


128

Numerele a, b, c se numesc semiaxe. Dacă ,a b= hiperboloidul cu o pânză se numeşte de rotaţie în jurul axei Oz.

Ecuaţia 02

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax defineşte conul asimptotic al hiperboloidului cu o

pânză.

Hiperboloidul cu o pânză e generat de familia de elipse ,λ μγ care se sprijină pe hiperbola γ:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

μ

λγ μλ

zby

ax

2

2

2

2

, : ; ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−

0

01: 2

2

2

2

ycz

ax

γ

Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu o pânză sunt

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.,sin

cos

cshuzchubychuax

νν

[ ] Ru∈∈ ,,0 πν

Din studiul secţiunilor făcute în hiperboloidul cu o pânză cu plane paralele cu planele de coordonate se obţin elipse reale, nedegenerate şi hiperbole, unele din hiperbole degenerând în drepte reale concurente. Aceste drepte sunt generatoare rectilinii pe care le putem determina:

.11

101 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⇔

⇔−=−⇔=−−+

by

by

cz

ax

cz

ax

by

cz

ax

cz

by

ax

Deci, pe hiperboloidul cu o pânză, sunt situate două familii de generatoare rectilinii.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

by

cz

ax

by

cz

ax

G11

1:

λ

λ

λ , şi

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

by

cz

ax

by

cz

ax

G11

1:

μ

μ

μ

Prin fiecare punct al hiperboloidului cu o pânză trece câte o generatoare din fiecare familie.

Două generatoare din aceeaşi familie nu se întâlnesc. Orice generatoare dintr-o familie întâlneşte toate generatoarele celeilalte familii.


129

17.1.3 Hiperboloidul cu două pânze

Se numeşte hiperboloid cu două pânze suprafaţa a cărei ecuaţie are una din formele:

012

2

2

2

2

2

=−+−−cz

by

ax

012

2

2

2

2

2

=−−+−cz

by

ax

012

2

2

2

2

2

=−−−cz

by

ax .

Punctele de intersecţie cu axele de coordonate:

( ) ( )cCcCyx

Oz −⇒⎩⎨⎧

==

,0,0,,0,000

: 'I


( ) ,010: 2

2

2

2

=++⇒=by

axzxOyI elipsă imaginară,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+−⇒=cz

axyxOzI hiperbolă,

( ) ,010: 2

2

2

2

=−+−⇒=cz

byxyOzI hiperbolă.

Dacă ,a b= hiperboloidul cu două pânze este de rotaţie în jurul axei 'zz . Hiperboloidul cu două pânze este o suprafaţă generată de familia de elipse:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

μ

λγ μλ

zby

ax

2

2

2

2

, :

care se sprijină pe hiperbola fixă:


130

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

0

01: 2

2

2

2

ycz

ax

γ

Ecuaţiile parametrice ale hiperboloidului cu două pânze:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.,ν

νν

cchuchzbshyashuchx

Ru ∈ν,

17.1.4 Paraboloidul eliptic

După poziţia suprafeţei faţă de axele de coordonate, ecuaţia redusă a paraboloidului eliptic are una din formele:

zby

ax ε22

2

2

2

=−

xcz

by ε22

2

2

2

=+

1,22

2

2

2

±==+ εεycz

ax .

Singurul punct de intersecţie cu axele de coordonate este ( )0,0,0O . Curbele de intersecţie cu planele de coordonate: ( ) ( )0,0,00: OzxOy ⇒=I ( ) zaxyxOz 22 20: =⇒=I parabolă cu axă de simetrie axa zz’, ( ) zbyxyOz 22 20: =⇒=I parabolă cu axă de simetrie axa xx’.


131

Dacă ,a b= atunci paraboloidul eliptic este de rotaţie în jurul axei . Paraboloidul eliptic este o suprafaţă generată de familia de elipse:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

μ

λγ μλ

zby

ax

2

2

2

2

, : care se sprijină pe parabola fixă

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0

2: 2

2

y

zax

γ

Ecuaţiile parametrice ale paraboloidului eliptic:

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∈=

∈==

Ruuz

buyaux

,2

2,0,sincos

2

πννν

17.1.5 Paraboloidul hiperbolic

Ecuaţia redusă a paraboloidului hiperbolic are una din formele:

zby

ax ε22

2

2

2

=−

xcz

by ε22

2

2

2

=−

1,22

2

2

2

±==− εεycz

ax .

Suprafaţa intersectează axele numai în origine.


132


( ) xabyzxOy ±=⇒= 0:I , două drepte,

( ) zaxyxOz 22 20: ε=⇒=I parabolă,

( ) zbyxyOz 22 20: ε−=⇒=I parabolă . Pentru a determina forma mai exactă a suprafeţei, se fac secţiuni paralele cu

planele de coordonate. Pentru 1,ε = se obţine simetrie faţă de ( )xOy ca în figură. Paraboloidul hiperbolic e generat de o familie de parabole:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+−

μ

λγ μλ

x

zby 2: 2

2

, care se sprijină pe parabola fixă

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0

2: 2

2

y

zax

γ

Ecuaţiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic sunt:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∈=

==

Rucuz

shubychuax

νν

νν

,,21 2

Generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic sunt: 2

:

x y za bgx ya b

λ

⎧ + =⎪⎪ λ⎨⎪ − = λ⎪⎩

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+

μ

μ

μ zby

ax

by

ax

g2

:

Toate generatoarele din aceeaşi familie gλ sunt paralele cu acelaşi plan de

ecuaţie 0,x ya b− = iar generatoarele din familia gμ sunt paralele cu planul de

ecuaţie 0.x ya b+ = Prin orice punct al paraboloidului trece câte o singură

generatoare din fiecare familie. Două generatoare din aceeaşi familie nu sunt concurente.


133

17.2 Cuadrice degenerate 17.2.1 Conul de ordinul doi

Este reprezentat de ecuaţii de forma:

;02

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax

;02

2

2

2

2

2

=+−cz

by

ax

2 2 2

2 2 2 0.x y za b c

− + + =

Intersecţia cu axele de coordonate se face doar în origine, aceasta fiind vârful

conului. Intersecţia cu planele de coordonate

( ) ,0: zcbyxyOz ±=⇒=I două trepte,

( ) ,0: zcaxyxOz ±=⇒=I două trepte.

Aceste drepte sunt generatoare. Planele paralele cu ( )xOy intersectează

suprafaţa după o elipsă, iar ( )xOy o intersectează în vârf.

17.2.2 Cilindrul de ordinul doi

Este reprezentat de ecuaţii de forma:

012

2

2

2

=−+by

ax cilindru eliptic,

012

2

2

2

=−−by

ax cilindru hiperboic,

pxy 22 = cilindru parabolic.


134

Trebuie amintite şi:

• perechea de plane secante reprezentate de ecuaţia 2 2

2 2 0,x ya b

− = şi

similarele obţinute prin permutări circulare; • perechea de plane paralele 2 2 0x a− = şi similarele obţinute prin permutări circulare; • perechea de plane confundate 2 0x = şi similarele;

• dreapta dublă 2 2

2 2 0,x ya b

+ = reprezintă axa Oz şi similarele;

• punctul origine: 2 2 2

2 2 2 0;x y za b c

+ + =

• mulţimea vidă: 2 2 2

2 2 2 1 0x y za b c

+ + + = (elipsoid imaginar)

sau 2 2

2 2 1 0x ya b

+ + = (cilindru eliptic imaginar)

sau 2 2 0x a+ = (plane paralele imaginare). Intersecţia unei cuadrice dată prin ecuaţia redusă cu un plan este o conică ce

poate fi reală, degenerată sau imaginară. Planul format din toate tangentele, în acelaşi punct, la curbele de pe suprafaţa,

ce trece prin punctul respectiv se numeşte planul tangent la suprafaţă în acel punct.

Planul tangent în punctul ( )0000 ,, zyxM de pe cuadrică se obţine prin dedublarea ecuaţiei cuadricei.

Astfel, pentru cuadrice cu centru:


135

1,01: 2

2'

2

2

2

2

±==−++∑ εεεcz

by

ax

planul tangent: .1,01: 20'

20

20 ±==−++ εεεπ

czz

byy

axx

t

Pentru cuadrice fără centru:

∑ =+ zby

ax '

2

2

2

2

2: εε

planul tangent: ( ) .1,: 0'

20

2

20 ±=+=+ εεεπ zz

byy

axx

t

Perpendiculara pe planul tangent în punctul de contact se numeşte normala la suprafaţă în acel punct.


136

CAPITOLUL 18 STUDIUL CUADRICELOR PE ECUAŢII GENERALE

Acest capitol tratează cuadricele plecând de la ecuaţiile lor generale şi este

structurat pe trei subcapitole: ecuaţia cuadricei şi poziţia unei drepte faţă de o cuadrică, centrul de simetrie al cuadricei, planul său diametral şi direcţii conjugate, planul de simetrie, direcţiile principale ale cuadricei şi planul tangent la o cuadrică într-un punct.

Obiectivele urmărite au fost cele de determinare şi recunoaştere a elementelor caracteristice ale unei cuadrice folosind reprezentarea sub formă matricială a acestora.

18.1 Ecuaţia cuadricei. Poziţia unei drepte faţă de o cuadrică Cuadrica sau suprafaţa de ordinul doi este suprafaţa a cărei ecuaţie sub formă

implicită în coordonate carteziene în raport cu un reper ( ){ }kjiRrrr

,,;0= este dată

printr-o funcţie polinomială de gradul doi în x, y, z adică: ( )

,0222 222,,:

44342414

2313122

332

222

11

=++++

++++++=∑azayaxa

yzaxzaxyazayaxazyxF

care se mai poate scrie sub formă matricială:

( ) ( ) ,02: 44342414

332313

232212

131211

=+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑ azyx

aaazyx

aaaaaaaaa

xyz

sau, introducând notaţiile: [ ] ( ), ,

Br xi yj zk B r cu B i j k= + + = =

r rr r r rr r

,:

332313

232212

131211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

aaaaaaaaa

A unde AAt =

şi 14 24 34 ,B

b a i a j a k B b⎡ ⎤= + + = ⎣ ⎦r r rr r

putem scrie:

[ ] [ ] [ ] 44: 2 0,t tB B BB

r A r b r a⎡ ⎤∑ + + =⎣ ⎦rr r r

deci membrul stâng al ecuaţiei unei cuadrice este o sumă dintre o formă pătratică, o formă liniară şi o constantă.


137

În cazul unei translaţii, trecând de la reperul ( ){ }kjiRrrr

,,;0= la reperul ( ){ }''''' ,,;0 kjiR

rrr= în care 0

'00 rr= , avem rrr rrr+= 0

' şi în această situaţie:

[ ] [ ] [ ]0 0 0 44: 2 0,t tB B BB

r r A r r b r r a⎡ ⎤∑ + + + + + =⎣ ⎦rr r r r r r

de unde: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] ,022

:

440

0000

=+++

++++∑arbrb

rArrArrArrAr

BBBBt

Bt

Bt

BBt

BBt

Bt

Bt

rrrr

rrrrrrrr

sau [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,022: 440000 =+++++∑ arbrArrbArrAr BB

tBB

tBB

tB

tBB

t rrrrrrrrr

de unde rezultă că matricea formei pătratice, A, este invariantă la o translaţie.

Fie acum cuadrica Σ dată prin ecuaţia: [ ] [ ] [ ] 44: 2 0t t

B B BBr A r b r a⎡ ⎤∑ + + =⎣ ⎦

rr r r

şi dreapta d dată prin ecuaţia: .,: 0 Rarrd ∈+= λλrrr

Pentru a studia poziţia dreptei faţă de cuadrică, vom considera sistemul format din cele două ecuaţii, acestea fiind echivalente cu ecuaţia:

[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]20 0 0 0 442 2 0.t t t t

B B B B B B BB Ba A a r A b a r A r b r a⎡ ⎤ ⎡ ⎤λ + + λ + + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r rr r r r r r r

Introducând notaţiile: [ ] [ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ] [ ] 44000

0

2:

:

:

arbrAr

abAr

aAa

Bbt

BBt

BBtt

Bbt

++=

+=

=

rrrr

rrr

rr

γ

β

α

obţinem: .022 =++ γβλαλ Dacă 0≠α , atunci ecuaţia de mai sus este o ecuaţie de gradul II în λ, pentru

care .2 αγβ −=Δ


138

Pentru { }1 2 1 20 : ,d P P P PΔ > ⇒ ∑ = ≠I adică dreapta este secantă pentru cuadrică.

Pentru { }1 2 1 20 : ,d P P P PΔ = ⇒ ∑ = =I - dreapta e tangentă la cuadrică. Pentru 00 =Σ⇒<Δ Id - dreapta nu intersectează cuadrica. Definiţia 18.2. Direcţiile ar pentru care [ ] [ ] 0== αBB

t aAa rr se numesc direcţii asimptotice în raport cu cuadrica.

Dacă { }10,0 Pd =Σ⇒≠= Iβα , dreapta intersectează cuadrica într-un punct, fără a fi tangentă.

Dacă 0,0 == βα şi ( )( )Σ∉≠ 000 rP rγ atunci ecuaţia de gradul II este incompatibilă, este cazul asimptotelor la hiperbole.

Dacă 0,0 == βα şi ( )( )Σ∈= 000 rP rγ atunci ecuaţia de gradul II este compatibilă nedeterminată şi e verificată pentru orice R∈λ şi acum ( ) Σ∈00 rP r înseamnă că dd =ΣI adică d este generatoare rectilinie a cuadricei sau cuadrica admite generatoare rectilinii.

18.2 Centrul de simetrie al cuadricei. Plan diametral şi direcţii conjugate

Dacă ( )00 rP r este centru de simetrie al cuadricei, atunci dreapta d intersectează

cuadrica Σ în două puncte ( )1 1P rr şi ( )2 2P rr cu 1 20 ,

2r rr +

=r r

r iar pentru 1 0 1r r a= + λr r r

şi ( )2 0 2 1 2 0r r a a= + λ ⇒ λ + λ =r r r r de unde 1 2 0.λ + λ = Deci, dacă 00 =⇒≠ βα ,

de unde [ ] [ ] 00 =+ BB brArr . Dacă ,0det ≠A atunci [ ] [ ]BB bAr

rr 10

−−= , adică avem de-a face cu o cuadrică cu centru unic. Deci, cuadrica cu centru e caracterizată de det 0.A ≠

Teorema 18.1. Locul geometric al mijloacelor coardelor cuadricei Σ paralele

cu direcţia 0Va ≠r este o porţiune din planul π de ecuaţie:

[ ]( )[ ] [ ] [ ] .0: =+ BBt

BBt barAa

rrrrπ Planul π se numeşte planul diametral al lui ∑ conjugat direcţiei .ar


139

Demonstraţie. Dacă ( )00 rP r este mijlocul coardei cuadricei având vectorul director ,ar atunci extremităţile ( )11 rP r şi ( )22 rP r ale acestei coarde se află la distanţe egale de 0P în sensuri contrare. De aceea, adică de unde:

[ ] [ ]( )[ ] ,0: =+= BBt

Bt abAr rrrβ

în care ar este dat. Mulţimea punctelor ( )rP r care verifică ecuaţia 0=β este: [ ]( ) [ ] [ ] 0=+ BB

tb

t abAr rrr sau transpunând [ ] [ ] [ ] [ ] .0=+ BBt

BBt barAa

rrrr Consecinţă. Matricea A transformă vectorul ar director al coardelor în vector

normal al planului diametral cuadricei Σ. Definiţia 18.3. Intersecţia a două plane diametrale ale lui Σ conjugate cu două

direcţii 1ar şi ( )2 1 2 0Va a a× ≠r r r se numeşte diametru.

18.3 Plan de simetrie şi direcţiile principale ale cuadricei. Planul tangent la o cuadrică într-un punct

Planul de simetrie al cuadricei este planul diametral perpendicular pe direcţia

coardelor. Astfel, dacă ar este vectorul director al coardelor conjugate cu planul de simetrie, vectorul normal la planul de simetrie va fi coliniar cu vectorul ar adică [ ] [ ]BB aaA rr λ= şi, prin urmare, vectorul normal la planul de simetrie al cuadricei este vector propriu al matricei A. Direcţiile perpendiculare planelor de simetrie ale cuadricei se numesc direcţiile principale ale cuadricei.

Dacă ( ) Σ∈00 rP r , atunci [ ] [ ] [ ]0 0 0 442 0t tB B BB

r A r b r a⎡ ⎤γ = + + =⎣ ⎦rr r r şi ecuaţia de

gradul II în λ devine 022 =+ βλαλ , care are o rădăcină egală cu zero. Pentru ca dreapta arrd rrr λ+= 0: să fie tangentă la cuadrică, atunci şi a doua

rădăcină a ecuaţiei de mai sus trebuie să fie tot zero. Deci 021 =+ λλ , de unde şi 0=β adică [ ] [ ]( )[ ] 00 =+ BB

tB

t abAr rrr şi cum

0 ,r r a− = λr r r atunci [ ] [ ]( )[ ] 000 =−+ BB

tB

t rrbAr rrrr sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 00000 =−+− BBt

BBt

BBt

BBt rbrbrArrAr rrrrrrrr

care adunat cu 0γ = ne dă:

[ ] [ ] [ ]0 0 44 0t tB B BB

r A r b r r a⎡ ⎤+ + + =⎣ ⎦rr r r r .


140

Aceasta este ecuaţia planului tangent în ( ) Σ∈00 rP r şi este forma dedublată a ecuaţiei cuadricei.

Deoarece matricea A este reală şi simetrică, valorile proprii ( )3,1, =iiλ ale polinomului caracteristic al transformării sunt reale, iar vectorii proprii sunt ortogonali, putem construi o bază ortonormată, astfel încât matricea A să fie diagonală, iar diagonala principală să fie formată din valori proprii.


141

CAPITOLUL 19 NOŢIUNI INTRODUCTIVE ÎN GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ. TRIEDRUL LUI FRENET

Geometria s-a impus ca un ansamblu coerent de abstracţiuni ale relaţiilor materiale, sintetizând multe proprietăţi obţinute prin observaţie directă şi verificate prin experiment. Devenită ştiinţă raţională încă la grecii din antichitate, geometria a descris până la Riemann şi Lobacevski un univers incolor, inodor, fără forţe, omogen (toate punctele jucând acelaşi rol) şi izotrop (fără direcţii privilegiate). Fizica modernă a pus problema înţelegerii de fond a conceptului de spaţiu, propunând şi asimilând modele geometrice tot mai complexe. Geometria nefiind totuşi un capitol de fizică, este necesar un studiu riguros, pe baze intuitive dar şi prin raţionamente deductiv imateriale, al configuraţiilor geometrice, în pas cu progresele algebrei şi analizei. Mult timp, prin geometrie s-a înţeles geometria lui Euclid în plan şi în spaţiu şi este comod să urmărim evoluţia conceptelor geometrice folosind exemplul acestei vechi şi foarte particulare discipline matematice.

Geometria s-a dezvoltat în legătură cu înţelegerea tipurilor de interacţiuni din universul fizic, prin elaborarea conceptului de varietate, generalizând deopotrivă curbele şi suprafeţele. Curbele au apărut prin modelarea traiectoriilor, iar suprafeţele ca frontiere ale corpurilor.

În acest context să precizăm faptul ca acest capitol dedicat studiului curbelor este structurat pe trei subcapitole, unul legat de curbe definite prin ecuaţii vectoriale şi parametrice, al doilea tratează curbele definite prin ecuaţii carteziene implicite iar cel de-al treilea prezintă triedrul lui Frenet.

Obiectivele au fost cele de recunoaştere a diverselor tipuri de reprezentări ale curbelor pe formarea deprinderii de construcţie a unui reper Frenet intr-un anume punct al unei curbe.

Funcţiile care participă în reprezentările analitice ale suprafeţelor şi curbelor sunt de următoarele tipuri:

a) ;3,1,: =→ pRRf p b) .3,1,: =→ mEEq mp Prin intermediul unei baze, studiul celui de-al doilea tip se reduce la primul

tip. De exemplu, pentru .3,1,:,332211 =→++= iRRqeqeqeqq p

irrr

Înainte de a intra în studiul propriu-zis al curbelor şi suprafeţelor, vom recapitula câteva noţiuni legate de funcţii derivabile şi diferenţiabile.


142

O funcţie de tipul a) este diferenţiabilă într-un punct dacă admite derivate parţiale continue în acel punct, iar funcţia de tipul b) este diferenţiabilă dacă sunt diferenţiabile coordonatele sale.

Definiţia 19.1. O funcţie RRXf n →⊂: este derivabilă în raport cu

variabila kx în punctul ( ) Xaaaa n ∈= ,,, 21 K dacă: ( ) ( )

kk

nkkknkkk

ax axaaaaaafaaxaaaf

kk −− +−+−

→

,,,,,,,,,,,,,,lim 11211121 KKKK

există şi este finită. Limita însăşi se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu kx în punctul ( )naaa ,,, 21 K şi se notează ( )nx aaaf

k,,, 21 K sau

( )k

n

xaaaf

∂∂ ,,, 21 K

Definiţia 19.2. Fie o funcţie vectorială de variabilă vectorială:

( ).,,,,: 21 mmn ffffRRXf K=→⊂

Dacă RRXf ni →⊂: este derivabilă parţial în raport cu fiecare variabilă în

punctul ( ) Xaaaa n ∈= ,,, 21 K atunci f este derivabilă parţial în

( ) Xaaaa n ∈= ,,, 21 K şi 1 2, , , .m

k k k k

f f f fx x x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

K

Definiţia 19.3. Fie ( Δ→⊆Δ→ ,:: mpmp EEfEEf o mulţime deschisă).

Matricea următoare se numeşte matricea Jacobi ataşată funcţiei f sau matricea jacobian

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

p

mmm

p

p

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

fJ

L

M

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Dacă ,p m= atunci ( )fJdet se numeşte jacobianul funcţiei f.


143

19.1 Curbe definite prin ecuaţii vectoriale şi parametrice

Definiţia 19.4. Fiind dată o funcţie diferenţiabilă nRIr →: se numeşte curbă în nR mulţimea ( ){ }trPItRP n =∈∃∈=Γ , sau echivalent:

( ){ }., trOPItRP n r=∈∃∈=Γ

Ecuaţia ( ) ,r r t t I= ∈r r se numeşte ecuaţia vectorială a curbei ,Γ iar ecuaţiile

( ) ( ) ( ) Ittxxtxxtxx nn ∈=== ,,,, 2211 K se numesc ecuaţiile parametrice ale curbei .Γ

Definiţia 19.5. Un punct ( )IrP∈ se numeşte simplu dacă există o singură

valoare It∈ astfel încât ( ) Ptr = . Dacă există mai multe valori distincte

nttt ,,, 21 K astfel încât ( ) ( ) ( ) PtrPtrPtr n === ,,, 21 K , atunci P se numeşte punct multiplu de ordinul n.

Definiţia 19.6. O funcţie diferenţiabilă şi injectivă defineşte o curbă simplă. Observaţie:

1. O curbă simplă e formată numai din puncte simple. 2. Dacă numai una din funcţiile ( )txi este injectivă, atunci rt este curbă simplă.

Definiţia 19.7. O funcţie diferenţiabilă [ ] nRbar →,: pentru care ( ) ( )brar =

se numeşte curbă închisă.


144

Definiţia 19.8. O curbă închisă pentru care restricţia la [ ),a b este injectivă se numeşte curbă simplă şi închisă.

Definiţia 19.9. Fie o curbă Γ dată prin ecuaţia vectorială ( ) , ,r r t t I= ∈

r r iar ( )trP = şi ( ) IhtthtrQ ∈++= ,, două puncte pe .Γ Se numeşte derivata funcţiei

vectoriale rr în P la Γ limita

( ) ( ) ( ) .limlim00 h

PQh

trhtrtrhh →→

=−+

=rr

r

Dacă ( )trr există şi ( ) 0' ≠trr , atunci ( )tr 'r este un vector situat pe tangenta la Γ în P şi se numeşte vector viteză în punctul P, sensul său fiind sensul creşterii parametrului t.

Faţă de reperul canonic al lui ( ){ }in eE r;0, , avem

( ) ( ) ( ) ( ) .'2

'21

'1

'nn etxetxetxtr r

Krrr

+++= Definiţia 19.10. Un punct ( )trP = al curbei Γ se numeşte punct regulat dacă

( ) 0' ≠trr în acest punct. Dacă ( ) Ittr ∈∀≠ ,0'r , atunci curba Γ se numeşte curbă regulată. Definiţia 19.11. Dacă P este un punct regulat al curbei ,Γ dreapta care trece

prin P şi are ca vector director pe ( )trr se numeşte tangenta la Γ în punctul P. Ecuaţia tangentei: ( ) ( ) RtrtrRT ∈+= λλ ,: 'rrr

sau ( )

( )( )

( )( )

( ) .: ''2

22'1

11

txtxX

txtxX

txtxXT

n

nn −==−

=−

K

Prima ecuaţie se numeşte ecuaţia vectorială a tangentei, iar cea de-a doua se numeşte ecuaţia scalară.

Q


145

Cazuri particulare:

- în ( )( )

( )( ) ;:, ''

2

tytyY

txtxXTR −=

−

- în ( )( )

( )( )

( )( )

3' ' ', : .

X x t Y y t Z z tR T

x t y t z t− − −

= =

Definiţia 19.12. Hiperplanul care trece prin P şi are drept vector normal pe

( )tr 'r se numeşte hiperplanul normal la curba Γ în P. Ecuaţia hiperplanului normal este:

( )( ) ( ) 0: ' =⋅− trtrRN rrr

sau ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .0: ''

222'111 =−++−+− txtxXtxtxXtxtxXN nnnK

Cazuri particulare: În R2 hiperplanul normal se reduce la o dreaptă care trece prin P şi este

perpendiculară pe ( ) :r t′r

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .0: '' =−+− tytyYtxtxXN

În R3 hiperplanul este un plan ce trece prin P şi este perpendicular pe ( ) :r t′r

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .0: ''' =−+−+− tztzZtytyYtxtxXN Definiţia 19.13. Un punct ( ) Γ∈= trP corespunzător unei anumite valori a lui

t pentru care ( ) 0' =trr se numeşte punct singular pentru .Γ Dacă 1>∃m astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )1 0mr t r t r t−′ ′′= = = =

r r rK şi ( ) ( ) 0,mr t ≠

r atunci P se numeşte punct singular de ordin m.

În vecinătatea unui punct singular de ordin m dezvoltarea cu ajutorul formulei lui Taylor a funcţiei rr este:


146

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,!

mmhr t h r t r t h t h I

m⎡ ⎤+ = + + ε ∈⎣ ⎦

rr r r

cu ( ) .0lim0

=→

hh

εr

Dacă notăm ( )trP = şi ( )htrQ += atunci: ( ) ( )

( )( ).!lim!lim

00

mtmhmh

rhPOm

htrhtrm r

rr==

−+→→

Vectorii ( ) OPtr =r şi ( ) OQhtr =+

r au originea în O, iar vectorii

( ) ( )Krr ,, ''' trtr au originea în P (extremitatea lui ( )r tr ). Definiţia 19.14. Vectorul ( ) ( )mr tr se numeşte vector tangent la Γ în punctul

singular P de ordinul m. Dreapta determinată de punctul singular P şi vectorul ( ) ( )mr tr se numeşte

tangenta la Γ în punctul singular de ordinul m.

Hiperplanul care trece prin P şi are ca vector normal pe ( ) ( )mr tr se numeşte

hiperplanul normal la Γ în P. Astfel, ecuaţia tangentei va fi:

( ) ( ) ( ) RtrtrRT m ∈+= λλ ,: rrr

sau ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) .:2

22

1

11

txtxX

txtxX

txtxXT m

n

nnmm

−==

−=

−K

iar ecuaţia hiperplanului normal va fi: ( )( ) ( ) ( ) 0: =⋅− trtrRN mrrr

sau

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) .0: 222111 =−++−+− txtxXtxtxXtxtxXN mnnn

mm K

19.2 Curbe definite prin ecuaţii carteziene implicite

Fie funcţiile diferenţiabile RRgf →3:, . Mulţimea ( ) ( ) ( ){ }3, , , , , , ,C x y z f x y z a g x y z b= ∈ = =R se numeşte

mulţimea de ecuaţii carteziene implicite ( ) ( ) .,,,,, bzyxgazyxf ==


147

Definiţia 19.15. Un punct al mulţimii C se numeşte punct regulat dacă în acel

punct cel puţin unul din determinanţii funcţionali ( )( )

( )( )

( )( )

, , ,, ,

, , ,D f g D f g D f gD y z D z x D x y

este nenul. Deci, se numeşte punct regulat al mulţimii C un punct în care matricea

funcţională

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zg

yg

xg

zf

yf

xf

gfJ ,

are rangul doi. b) Un punct al mulţimii C în care rang ( ) 2, <gfJ se numeşte punct singular

sau punct critic al mulţimii C. Teorema 19.1. Dacă 0 0 0 0( , , )M x y z este un punct regulat al mulţimii

( ) ( ) ( ){ }3, , , , , , , ,C x y z f x y z a g x y z b= ∈ = =R atunci există o vecinătate a

acestui punct în care ecuaţiile ( ) azyxf =,, şi ( ) bzyxg =,, definesc o curbă regulată simplă.

Demonstraţie. Prin ipoteză 0 0 0 0( , , )M x y z C∈ este un punct regulat, deci cel

puţin un minor de ordinul doi al matricei ( )gfJ , este nenul în M0. Fie de exemplu:

( )( ) ( ) 0,,

,,

000 ≠zyxzyDgfD .

Pe baza teoremei funcţiilor implicite rezultă că sistemul ( )( )⎩

⎨⎧

==

bzyxgazyxf

,,,,

defineşte două funcţii diferenţiabile ( )xyx → şi ( )xzx → în vecinătatea l a lui

0x astfel încât Ix∈∀ să avem: ( )( )( )( )

( )( )( )( )

.

,,,,

,

,,,,

zyDgfDyxDgfD

dxdz

zyDgfDxzDgfD

dxdy

==

Deci, problema din vecinătatea punctului M0 este reprezentată acum de

ecuaţiile explicite ( )( )

, .y y x

x Iz z x

⎧ =⎪ ∈⎨=⎪⎩


148

Astfel, porţiunea din C, din vecinătatea punctului M0 apare ca imaginea lui l prin aplicaţia ( )trr = în care ( ) ( ) ( )( ) Ittztyttr ∈= ,,, de aceea această porţiune este o curbă simplă şi regulată.

Mulţimea C care admite puncte regulate apare ca o reuniune de curbe simple

şi regulate, numindu-se curbă de ecuaţii carteziene implicite

Vectorul director al tangentei la curba ( )( )

, ,:

, ,

f x y z aC

g x y z b

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩ într-un punct

regulat ( )0 0 0 0, ,M x y z C∈ este ( ) ( ) ( )kxdxdzjx

dxdyixr

rrrr000

' ++= şi presupunând că

( )( ) 0

,,

≠zyDgfD în 0,M ştiind că

( )( )( )( )

( )( )( )( )

, ,, ,

,, ,, ,

D f g D f gD z x D x ydy dzD f g D f gdx dxD y z D y z

= = avem:

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) k

yxDgfDj

xzDgfDi

zyDgfDxrW MMM

rrrrr000 ,

,,,

,,

0' ++== λ

sau gradgxgradfW =r

în 0,M unde:

kzfj

yfi

xfgradf

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

kzgj

ygi

xggradg

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

şi


149

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zg

yg

xg

zf

yf

xf

kji

W

rrr

r

Astfel ecuaţia tangentei în 0M este: ( ) gradgxgradfrrT λ=− 0: rr

sau

( )( )

( )( )

( )( )

000,,

,,

,,

:

M

o

M

o

M

o

yxDgfDzz

xzDgfDyy

zyDgfDxxT −

=−

=−

iar ecuaţia planului normal este ( ) [ ] 0:

00 =⋅−

MgradgxgradfrrN rr

sau

0:

000

000

000

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−−−

MMM

MMM

zg

yg

xg

zf

yf

xf

zzyyxx

N

sau

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 0

,,

,,

,,:

000

000 =−+−+−MMM yxD

gfDzzxzDgfDyy

zyDgfDxxN

Se va înţelege prin ( )( )

0,,

MzyDgfD valoarea determinantului ( )

( )zyDgfD

,, în punctul

0,M iar prin 0Mx

f∂∂ valoarea derivatei parţiale

xf∂∂ în punctul 0.M


150

19.3 Triedrul şi formulele lui Frenet

Voi face mai întâi câteva observaţii în ceea ce priveşte forma unei curbe în spaţiu în vecinătatea unui punct regulat al său.

Fie curba ( ) Ittrr ∈=Γ ,: rr . O aproximare a formei unei curbe din spaţiu se poate obţine utilizând trei derivate liniar independente.

De exemplu, presupunem că în punctul Γ∈P regulat, primele trei derivate ( ) ( ) ( )trtrtr '''''' ,, rrr alcătuiesc o bază a spaţiului tangent ( )3RTp .

Utilizând formula lui Taylor de ordinul trei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]htrhtrhtrhtrhtr εrrrrrr

++++=+ '''3

''2

'

!3!2!1

în care 0lim0

=→εr

h, rezultă că pentru h suficient de mic coordonatele vectorului

( ) ( )trhtrPO rr−+= în baza aleasă sunt date cu aproximaţie de către tripletul

.!3

,!2

,32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ hhh

Când h tinde la zero prima şi ultima coordonată îşi schimbă semnul, iar cea

din mijloc şi-l păstrează. Astfel, în vecinătatea lui P arcul se află în acelaşi semispaţiu faţă de planul ( ) ( )( )trtrP '''' ,, rr intersectează planul ( ) ( )( )trtrP ''' ,, rr şi dreapta ce trece prin P şi are

vector director ( )tr '''r . Planul determinat de ( ) ( )trtrP ''' ,, rr se numeşte plan osculator. În vecinătatea lui P, curba are o abatere de la tangentă (curbare) şi o abatere de

la planul osculator (torsionare).


151

Considerând o curbă parametrică dată prin ( )srrRJr rr=→ ,: 3 în care s este

un parametru natural, adică Jsdsrd

∈∀= ,1r

notăm ( ) drsds

τ =r

r versorul tangentei

în ( )srP = .

Derivând produsul scalar 1=⋅dsrd

dsrd rr

obţinem 02 2

2

=⋅dsrd

dsrd rr

. Cum 0≠dsrdr şi

02

2

≠ds

rd r, atunci 2

2

dsrd

dsd rr

=τ este ortogonal cu ( );sτ

r curba Γ se înconvoaie în

acelaşi sens cu 2

2

dsrd

dsd rr

=τ .

Înconvoierea lui Γ creşte odată cu creşterea lui 2

2

dsrd r

, de fapt 2

2

dsrd

dsd rr

=τ

estimează curbarea în vecinătatea lui P, iar lungimea lui dsdτr dă o măsură

numerică a acestei curbări.

Definiţia 19.16. i) Funcţia [ ) ( )dsdsKJK τr

=∞→ ,,0: se numeşte curbura lui

Γ în P, iar ( )1

K s se numeşte rază de curbură şi se notează ( ).R s

ii) Presupunând 0,K > versorul ( ) 1 dsK ds

τν =

rr se numeşte versorul normalei

principale la Γ în P; νr indică în fiecare punct sensul de curbare. Versorii ( ) ( )s şi sτ ν

rr determină planul osculator al curbei Γ în P.

Pentru determinarea abaterii curbei de la planul osculator în vecinătatea lui P se utilizează vectorul normal la acest plan.

Definiţia 19.17. Versorul ( ) ( ) ( )s s sβ = τ × ν

r rr normal la planul osculator la Γ în P se numeşte versor al binormalei la Γ în P.

Definiţia 19.18. Reperul ( ) ( ) ( )( ){ }sssP βντ

rrr ;;; ortonormat drept se numeşte reper Frenet ataşat punctului P de pe curba .Γ

Muchiile acestui triedru sunt: T - tangenta,

T

N

B

P

τr ν

r

βr


152

N - normala principală, B - binormala.

Planele de coordonate se numesc:

(P,T,N) plan osculator, (P,N,B) plan normal, (P,B,T) plan rectificant.

Utilizarea reperului lui Frenet constă în aceea că putem determina

, ,d d dds ds dsτ ν β

rrr în raport cu , , .τ ν β

rrr Astfel, ( ) ( ).d K s sdsτ= ⋅ ν

rr

Definiţia 19.19. Presupunând ( ) 0,K s > punctul C situat pe normala

principală N astfel ca ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1PC s R s s sK s

= ρ = ν = νuuur r r r se numeşte centru de

curbură.

Să calculăm acum .ddsβr

Cum ( ), 1β β =r r

derivând obţinem 2 0,ddsβ

β =r

r adică

,ddsβ

β ⊥r

r dacă 0,d d deci

ds dsβ β≠

r r

e în planul osculator.

Deoarece 0,β ⋅ τ =r r prin derivare se obţine 0.d d

ds dsβ ττ +β =

r rrr Dar ,d Kdsτ= ⋅ ν

rr de

unde 0 0,d K dar dsβτ +β ν = βν =

rr rr rr deci 0,d

dsβτ =

rr de unde ,d

dsβ⊥ τ

rr adică d

dsβr

e

coliniar cu .νr

Definiţia 19.20. Funcţia reală :t J → R definită prin d tdsβ= − ν

rr se numeşte

torsiunea curbei.

Să exprimăm acum ddsνr

în raport cu , şi τ ν βrrr :

ββννννττνν rrrrr

rrr

rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

dsd

dsd

dsd

dsd

( ) ( ) ββνβνττντνν rr

rrrrr

rrrr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅=

dsd

dsd

dsd

dsd

dsd 0


153

( ) ( )βνντννββνττνν rrrrrrrr

rrr

rr

tKdsd

dsd

dsd

⋅+⋅−=−−=

deci .βτν rrr

tKdsd

+−=

Am demonstrat astfel următoarea teoremă: Teorema 19.2. Dacă 3: RJr → este o curbă de curbură K şi torsiune t,

atunci:

( ) ( ) ,d K s sdsτ= ν

rr

( ) ( ) ( ) ( )sstssKdsd βτν rrr

+−= ,

( ) ( ).sstdsd νβ rr

−=

Aceste relaţii se numesc formulele lui Frenet pentru o curbă parametrizată natural.

Lema 19.1. Dacă 3: RIr → defineşte o curbă regulată având ,dr vdt

=r

atunci:

( )

2 32

2 3

22 3 2 3

2

; ;

.

dr d r dv d rv Kvdt dt dt dt

d v dv dK v Kv Kv Ktvdt dt dt

= ⋅ τ = τ + ν =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − τ + + ν + β⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

r rrr r

rrr

Demonstraţie.

.dr dr ds vdt ds dt

= ⋅ = τr r

r

Deoarece:

( ) ( )

( ) ( )

,

.

dr dr ds d v K s v sdt ds dt dsd d ds d v t s v sdt ds dt ds

τ= ⋅ = = ν

β β β= ⋅ = = − ν

r r rr

r r rr

Putem scrie că:


154

( )

( )

( )

( ) ( )

22

2

3 22 2

3 2

22 2

2

22 3

2

3 2

3 2

,d r d dv d dvv v Kvdt dt dt dt dtd r d dv d v dv dKv Kv Kvdt dt dt dt dt dt

d v dv d dKv Kv Kvdt dt dt dtd v dv dKv Kv Kv K tdt dt dtd r d v dv Kvdt dt dt

τ= τ = τ + = τ + ν

⎛ ⎞= τ + ν = τ + ν + ν =⎜ ⎟⎝ ⎠

ν= τ + ν + ν + =

= τ + ν + ν + − τ + β ⇒

⇒ = τ +

rrr r r

rr r rr r

rr rr

rr rr r

rrr ( )

( )

2 2 3 3

22 3 2 3

2 .

d Kv K v Kv tdt

d v dv dK v Kv Kv Kv tdt dt dt

ν + ν − τ + β =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − τ + + ν + β⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

rr r

rrr

Teorema 19.3. Dacă 3: RIr → defineşte o curbă regulată, atunci

( )( ) '''

'''

'

'

,,rxrrxrx

trtr

rr

rrrrrrr

rr

=== βτβντ ,

3'

'''

r

rxrK r

rr

= ,

( ).2'''

''''''

rxr

rxrrt rr

rrr

=

Demonstraţie. Din ( )r t v′ = ⋅ τr r şi ( )v r t′= ⇒

r ( )( )

.'

'

trtrr r

rr=

Plecând de la 2 3 3 ,dvr r v Kv Kv Kvdt

⎛ ⎞′ ′′× = τ × τ + ν = τ× ν = β⎜ ⎟⎝ ⎠

rr rr r r r r obţinem:

3 .r rKv′ ′′×

β =r rr

Cum βr

e un versor, deci:

31 1r r r rKv r r′ ′′ ′ ′′× ×

β = ⇒ = ⇒ β −′′ ′′×

r r r rr rr r


155

şi deci 3 ,r r

Kv′ ′′×

=r r

dar ( ) 33 ,v r t′=r de unde 3 .

r rK

r

′ ′′×=

′

r r

r

Pentru determinarea torsiunii t considerăm produsul mixt ( ) ( ) ( ) 3 3 2 6 .r r r r r r r r r Ktv Kv K v t′ ′′ ′′′ ′′ ′′′ ′ ′′′ ′ ′′× = × = × = β ⋅ β =

r rr r r r r r r r r

De unde ( )2 6 ,

r r rt

K v′ ′′ ′′′×

=r r r

adică ( )2 .

r r rt

r r

′ ′′ ′′′×=

′ ′′×

r r r

r r


156

CAPITOLUL 20 GEOMETRIA DIFERENŢIALĂ A SUPRAFEŢELOR

Suprafeţele au apărut în conştiinţa noastră ca frontiere ale unor corpuri materiale; de exemplu, suprafeţe plane, cilindrice, sferice etc. ele fiind obiecte geometrice esenţiale pentru cunoaştere.

Prezentul capitol dedicat studiului suprafeţelor, este structurat pe şapte subcapitole, astfel: reprezentări ale suprafeţelor, elementul de arc pe o suprafaţă, unghiul a două curbe trasate pe o suprafaţă, elementul de arie, ecuaţiile planului tangent, normala la o suprafaţă şi a doua formă fundamentală a suprafeţelor.

Obiectivele urmărite sunt cele de înţelegere, însuşire şi aprofundare a noţiunilor legate de teoria suprafeţelor.

20.1 Reprezentări ale suprafeţelor

Cadrul în care lucrăm este spaţiul euclidian real tridimensional. Fie

( ){ }0; , ,i j krr r

reperul ortonormat drept.

O mulţime de puncte din spaţiu homeomorfă cu mulţimea punctelor din interiorul unei curbe simple închise dintr-un plan se numeşte porţiune simplă de suprafaţă.

Notând cu u şi v coordonatele punctelor din interiorul curbei, iar cu x,y,z coordonatele punctelor din spaţiu corespunzătoare, avem:

( )( ) [ ] [ ]( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=∈∈=

=Σ

νϕνν

ν

,,,,,,

,:

uzdcbauugy

ufx (20.1)

Pentru ca ecuaţiile (20.1) să definească o porţiune simplă de suprafaţă, trebuie ca f,g şi ϕ să fie conţinute în tot intervalul curbei considerate.


157

Ecuaţiile (20.1) se numesc ecuaţiile parametrice ale suprafeţei Σ. Variabilele u şi v se numesc parametri sau coordonate curbilinii pe suprafaţă. Un punct de pe suprafaţă îl vom nota cu ( )0 0, .M u v Vom considera că funcţiile f, g şi ϕ sunt continue şi admit derivate parţiale

continue de cel puţin ordinul doi. Notând cu ,r xi yj zk= + +

rr rr vectorul de poziţie al unui punct curent de pe Σ atunci ( ) ( ) ( )kujugiufr

rrrr νϕνν ,,, ++= sau ( )ν,urr rr= , acestea numindu-se

ecuaţiile vectoriale ale suprafeţei Σ. O altă reprezentare pentru Σ este cea explicită: ( )yxzz ,= .

Într-adevăr, dacă luăm

( ),

x uy vz z u v

⎧ =⎪

=⎨⎪ =⎩

aceste ecuaţii sunt de fapt echivalente cu

primele. O altă formă a ecuaţiei unei suprafeţe este ecuaţia implicită: ( ), , 0.F x y z = Dacă eliminăm pe u şi v din primele ecuaţii, obţinem această ultimă ecuaţie.

Dacă presupunem de exemplu că 0,Fz

∂≠

∂ putem rezolva ecuaţia implicită şi

ajungem la o ecuaţie explicită ( )yxzz ,= . Punctele ( ),M u v de pe Σ pentru care ( ), 0F u v = reprezintă o curbă pe Σ.

Într-adevăr, dacă 0,Fv

∂≠

∂ putem rezolva ecuaţia ( ), 0F u v = în raport cu

( ),v v v u= şi obţinem:

( )( )( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

===

uuzuugyuufx

νϕνν

,,,

Aceste ecuaţii reprezintă pe x,y,z în funcţie de acelaşi parametru, deci reprezintă o curbă situată pe suprafaţă.

Curbele u = constant, respectiv v = constant de pe suprafaţă se numesc curbe coordonate.

Dacă ecuaţia implicită a suprafeţei e o ecuaţie algebrică de gradul n, suprafaţa se numeşte algebrică de gradul n. Suprafaţa care nu este algebrică se numeşte transcendentă.


158

20.2 Elementul de arc pe o suprafaţă

Considerăm pe suprafaţa ( )( )( )

( ),

: , .

,

x x u v

y y u v o curbă v v u

z z u v

⎧ =⎪

∑ = =⎨⎪ =⎩

Fie M un punct al curbei şi rr vectorul de poziţie,

( ) ( ) ( )kuzjuyiuxrrrrr ννν ,,, ++=

atunci

. νννν

νν

νν

νν

dkzjyixdukuzj

uyi

uxkdzdu

uz

jdyduuyidxdu

uxkdzjdyidxrd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=++=

rrrrrrr

rrrrrr

Deci:

,νν

drduurrd

∂∂

+∂∂

=rr

r

unde am notat cu

kuzj

uyi

ux

dur rrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂ şi cu .kzjyix

dr rrrr

νννν ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

Vectorul drr este un vector infinitezimal tangent curbei în punctul M considerat.

Să calculăm elementul de arc: rdds r

=

22

22

2

2 νν

νν

νν

νν

drdudrurdu

ur

drduurdrdu

urrdrdds

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=⋅=

rrrr

rrrrrr


159

unde:

Edu

zdu

ydu

xdur

dur

dur

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂=

∂⋅

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

2222 rrr

Gd

zdvy

dx

dr

dr

dr

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂=

∂⋅

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂

2222

ννννν

rrr

,Fd

zdu

zdvy

duy

dx

dux

dr

dur

=∂

⋅∂

+∂⋅

∂+

∂⋅

∂=

∂⋅

∂ννν

rr

de unde .2 222 νν GdFdudEduds ++= Membrul drept se numeşte prima formă diferenţială pătratică a lui Gauss sau

prima formă fundamentală în geometria diferenţială. O curbă u pe o suprafaţă e caracterizată prin 0,dv = iar o curbă v e

caracterizată prin 0.du = În acest caz, elementul de arc pe o curbă u respectiv v se scrie:

,ud s Edu= respectiv .vd s Gdv=

20.3 Unghiul a două curbe trasate pe o suprafaţă

Fie ( )( )( )

1

2

3

,

: ,

,

x f u v

y f u v

z f u v

⎧ =⎪

∑ =⎨⎪ =⎩

şi fie o curbă pe această suprafaţă dată prin ecuaţia

( ) ,v f u= atunci curba se mai poate scrie parametric:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

======

uFufufzuFufufy

uFufufx

33

22

11

,,,

O altă curbă pe Σ poate fi dată prin ( )v g u= care se mai poate reprezenta prin:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

======

uGugufzuGugufy

uGugufx

33

22

11

,,,

Pentru prima curbă ,fdv duu∂

=∂

iar pentru a doua uugv δ⋅∂∂

=δ .


160

Vectorul tangent într-un punct M la prima curbă este ,r rdr du dvu v∂ ∂

= +∂ ∂

r rr iar

pentru a doua curbă este r rr u vu v∂ ∂

δ = δ + δ∂ ∂

r rr .

Notând cu θ unghiul dintre cei doi vectori tangenţi care este tocmai unghiul

celor două curbe pe Σ, se obţine

rrdrrdrrdrrd rr

rrrrrr

δδθθδδ⋅

=⇒⋅= coscos

dar:

( ) νδννδδνδ

νδνν

νδν

δνν

δδ

GdudduFuEdu

dd

ruddur

drdu

dr

durudu

durrrd

+++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+

∂∂+

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂=

22 rrrrrrrr

2222 22 δνδνδδννδδ GuFuEGdFdudEdusdsrrd ++⋅++==⋅rr

( )2222 22

cosδνδνδδνν

νδννδδνδθGuFuEGdFdudEdu

GdudduFuEdu++⋅++

+++=

În cazul curbelor parametrice: pentru curba parametrică u obţinem 0,dv = iar o curbă parametrică v este caracterizată prin 0.uδ =

Notând acum cu ϕ unghiul curbelor parametrice, obţinem:

.cosEGF

GEduFdu

=⋅

=δν

δνθ

Dacă 0,F = curbele sunt ortogonale. În cazul reprezentării carteziene ( )νν ,,, uzzyux === ,

puz

uy

ux

=∂∂

=∂∂

=∂∂ ;0;1


161

qzyx=

∂∂

=∂∂

=∂∂

ννν;1;0

22222

1 puz

uy

ux

urE +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=r

pqzuzy

uyx

uxr

urF =

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂

⋅∂∂

=νννν

rr

22222

1 qzyxrG +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=νννν

r

şi ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ).

1111

12112111cos

222222

22222222

22

qppq

qduppqdu

qupqupdqpqduddupdquddupqudup

++=

+⋅+=

=++++⋅++++

+++++=

δν

δνδνδνδδνν

νδννδδνδθ

20.4 Elementul de arie pe o suprafaţă definită prin ecuaţiile ei parametrice

Vom lua ca element de arie, aria paralelogramului construit cu ajutorul

vectorilor infinitezimali tangenţi în M curbelor parametrice care trec prin M.

Pe curba u, ,urdr du r duu∂ ′= =∂

rr r iar pe curba v, .v

rdr dv r dvv∂ ′= =∂

rr r


162

Notând cu dσ elementul de arie, atunci ϕσ ν sinssddd u=

Dar νν dGsdduEsdu == , , deci νϕσ dudEGd sin= ; cum:

EGF

=ϕcos , deci EG

FEG 2

sin −=ϕ , de unde νσ dudFEGd 2−= .

În cazul reprezentării parametrice, dxdyqpd 221 ++=σ unde ν== yux ,

şi ( )ν,uzz = .

20.5 Ecuaţiile planului tangent la o suprafaţă definită prin ecuaţiile parametrice

În relaţia ,r rdr du dv dr

u v∂ ∂

= +∂ ∂

r rr r este un vector tangent la o curbă trasată pe

suprafaţa considerată într-un punct pe ea, iar r duu∂∂

r şi r dv

v∂∂

r sunt vectori

infinitezimali tangenţi în M la curbele parametrice care trec prin M. Relaţia scrisă mai sus ne spune că oricare ar fi curba trasată pe suprafaţă, ce

trece prin M, tangenta la ea în M e în acelaşi plan cu tangentele la curbele parametrice care trec prin M.

Presupunând că 0,r ru v∂ ∂

× ≠∂ ∂

r r adică M e punct ordinar al suprafeţei (altfel ar fi

fost singular), atunci putem spune că locul geometric al tangentelor la toate curbele trasate pe o suprafaţă ce trece prin M este planul tangent la suprafaţă în punctul M.


163

Fie ( ), ,P X Y Z situat în planul tangent în ( ), ,M x y z la suprafaţă. Ecuaţia planului tangent este:

( ) 0: =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−ν

π rxurrRt

rrrr

- ecuaţia vectorială

sau trecând la coordonate carteziene

: 0t

X x Y y Z zx y zu u ux y zv v v

− − −∂ ∂ ∂

π =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

- ecuaţie carteziană

Când suprafaţa e reprezentată prin ecuaţia carteziană explicită , ,x u y v= = ( ), ,z x y= ecuaţia planului tangent este:

01001: =

−−−

qp

zZyYxX

tπ

sau ( ) ( )yYqxXpzZ −+−=− . Să considerăm acum suprafaţa reprezentată printr-o ecuaţie implicită ( ) 0,,: =Σ zyxF şi un punct ( )0000 ,, zyxM situat pe Σ, adică ( ) 0,, 0000 =zyxF .

O dreaptă care intersectează suprafaţa în două puncte confundate se numeşte tangentă la suprafaţă. Dacă intersectăm suprafaţa dată cu o dreaptă dată prin ecuaţiile parametrice:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

nzzmyylxx

dλλλ

0

0

0

,: vom obţine

( ) 0,, 000 =+++ nzmylxF λλλ (20.2) Dacă dezvoltăm (20.2) în serie Taylor în jurul punctului 0M şi ţinem seama

de relaţiile anterioare, ordonând după ,λ vom obţine: ( ) (

) 02ln22 2''''''

''2''2''2'''

000000

'0

'0

'0000

=++++

++++++

Kλ

λ

zyxxyx

zyxzyx

mnFFlmF

FnFmFlnFmFlF

unde prin K,,,, ''''''00000 yxxyx FFFF am notat

K,,,,0000

2

2

2

MMMM yxF

zF

yF

xF

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂


164

Termenii nescrişi în dezvoltare conţin pe λ, la cel puţin puterea a 3-a. Pentru ca dreapta să intersecteze suprafaţa în două puncte confundate

reprezentate de 0,M trebuie ca ecuaţia să aibă o rădăcină dublă 0,λ = adică .0'''

000=++ xxx nFmFlF

Pe de altă parte 0 0 0, ,x x y y z zl m n− − −= = =

λ λ λ de unde

( ) ( ) ( ) 0'0

'0

'0 000

=−+−+− xxx FzzFyyFxx Această ultimă ecuaţie este ecuaţia planului tangent la suprafaţă în punctul

0.M Dacă cel puţin una din derivatele parţiale ale funcţiei ( ), ,F x y z calculate în

0M este nenulă, atunci planul tangent e bine determinat şi 0M se numeşte punct ordinar al suprafeţei. Tangentele într-un punct ordinar la o suprafaţă formează planul tangent la suprafaţă în punctul considerat.

Dacă în 0M avem ( ) 0,, 000'''000

==== zyxFFFF zyx punctul 0M se numeşte punct singular al suprafeţei.

Dacă toate derivatele parţiale până la ordinul p se anulează în 0,M iar cea de ordinul p nu se anulează, atunci 0M este un punct singular de ordin p.

Deci, orice dreaptă ce trece printr-un punct singular de ordinul p al unei suprafeţe o întâlneşte în p puncte confundate.

Dacă o suprafaţă e intersectată în ( )1p + puncte confundate de o dreaptă, într-un punct singular de ordin p, dreapta se numeşte tangentă la suprafaţă.

Într-un punct singular de ordinul 2, pentru ca dreapta dată să fie tangentă la suprafaţă, trebuie ca 0λ = să fie rădăcină triplă, deci revenind la dezvoltarea în seria Taylor obţinem:

02ln22 ''''''''2''2''0000002

020

20

=+++++ zyxxyxxyxmnFFlmFFnFmlF

şi înlocuind pe l, m, n obţinem: ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) 022

2''

00''

00

''00

''20

''20

''20

0000

0020

20

20

=−−+−−+

+−−+−+−+−

zyzx

yxzyx

FzzyyFzzxx

FyyxxFzzFyyFxx

Deci, tangentele la suprafaţă într-un punct singular de ordinul doi sunt situate pe un con, numit conul tangentelor în punctul respectiv.


165

20.6 Normala la suprafaţă. Contactul dintre o curbă şi o suprafaţă

Definiţia 20.1. Fie ecuaţia carteziană a unei suprafeţe ( ) ( ) 0,,: =Σ zyxF .

Dreapta perpendiculară pe planul tangent la o suprafaţă în punctul ordinar 0M se numeşte normala la suprafaţă în acel punct.

Parametrii directori ai normalei la suprafaţă sunt coeficienţii planului tangent şi atunci ecuaţia normalei este:

.'0

'0

'0

000 zyx Fzz

Fyy

Fxx −

=−

=−

Considerăm o curbă Γ dată prin ecuaţiile parametrice: ( ) ( ) ( ).,, tzztyytxx ===

Curba Γ şi suprafaţa Σ au în punctul ( )0 0M t un contact de ordinul n dacă au

în ( )0, 1M n + puncte confundate. Intersectând curba şi suprafaţa vom obţine:

( ) ( ) ( )[ ] 0,, =tztytxF sau 0=φ . Pentru ca ecuaţia să aibă rădăcina 0t cu ordin de multiplicitate 1n + trebuie ca

( ) ( ) ( ) 000'

0 ==== ttt nφφφ K , iar ( ) ( ) 001 ≠+ tnφ .

20.7 A doua formă fundamentală a suprafeţei

Să determinăm unghiul θ format de normala la suprafaţă într-un punct ordinar M şi normala principală la o curbă trasată pe suprafaţă şi care trece prin M.

Fie nr versorul normalei la Σ în M şi νr versorul normalei principale, iar θ unghiul dintre cei doi versori.


166

Putem scrie că θθνν coscos =⋅⋅=⋅rrrr nn .

Din prima formulă a lui Frenet:

2

211ds

rdKds

dK

Kdsd rr

rrr

⋅=⋅=⇒⋅=τνντ

.cos,1cos 2

2

2

2

dsrdnK

dsrd

Kn

rr

rr

=⋅⋅= θθ

Versorul nr este perpendicular pe planul tangent, deci este perpendicular şi pe

,r r şi pe u v∂ ∂∂ ∂

r r deci:

ν

ν

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=rx

ur

rxur

n rr

rr

r

⇒

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

ννν

νzyxuz

uy

ux

kjirx

ur

rrr

rr

222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

uxzx

uz

uzyz

uy

uyxy

uxrx

ur

ννννννν

rr.

Ţinând seama de identitatea lui Lagrange: ( )2222 ννν

rrrrrr⋅−⋅= uuxu

obţinem:

=∂∂

∂∂

νrx

ur rr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ 2222222

ννννννz

uzy

uyx

uxzyx

uz

uy

ux

2FEG −= deci,

2FEG

rxur

n−∂∂

∂∂

= ν

rr

r

Să determinăm şi 2

2 .d rds

r


167

Pentru aceasta ,r rdr du dvu v∂ ∂

= +∂ ∂

r rr atunci:

22

222

2

22 2 ν

νν

νdrdud

udrdu

urrd

∂∂

+∂∂

+∂∂

=rrr

r

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

νν

νν

νν

GdFdudEdu

drdudud

rduur

dsrd

++∂∂

+∂∂

+∂∂

=

rrrr

înlocuind în

( )222

22

222

2

2

22

22

2

22

2

22

2

F-EG

2

Edu

2

coscos

νν

ννν

νννν

νν

νν

νν

ννθθ

GdFdudEdu

drxurrdudrx

ur

udrdurx

ur

ur

GdFdud

drdudu

rduur

FEGd

rxur

dsrd

FEGd

rxur

dsrdn

RK

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

=

=++

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

⋅

⋅−

∂∂∂

=⋅−

∂∂∂

===⋅

rrrrrrrrr

rrr

rrr

rrr

r

Notăm

Lrxur

ur

FEG=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

− ν

rrr

2

2

2

1

Mrxur

udr

FEG=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

− νν

rrr2

2

1

Nrxurr

FEG=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

− νν

rrr

2

2

2

1

atunci

22

22

22cos

ννννθ

GdFdudEduNdMdudLdu

R ++++

= .

Trinomul 22 2 νν NdMdudLdu ++ se numeşte a doua formă fundamentală în teoria suprafeţelor.


168

CAPITOLUL 21 TEOREMA LUI MEUSNIER ŞI LINIILE DE

CURBURĂ PE O SUPRAFAŢĂ

Studiul celei de a doua forme fundamentale a unei suprafeţe, ne conduce către determinarea principalelor tipuri de linii şi de curburi ale unei suprafeţe. Prin urmare, acest capitol, prin cele patru subcapitole ale sale, abordează liniile asimptotice, teorema lui Meusnier, curbura curbelor şi liniile de curbură pe o suprafaţă.

Prezentul capitol a urmărit ca obiective determinarea şi recunoaşterea elementelor caracteristice ale suprafeţelor.

21.1 Linii asimptotice

Dacă în formula 2 2

2 2cos 2

2Ldu Mdudv Ndv

R Edu Fdudv gdvθ + +=

+ + facem cos 0,

Rθ= obţinem

02 22 =++ νν NdMdudLdu (21.1) În acest caz normala la suprafaţă este perpendiculară pe normala principală,

adică versorii n şi νrr sunt perpendiculari. Normala principală şi versorul ei νr sunt conţinuţi în planul tangent la

suprafaţă. În planul tangent la suprafaţă mai este situat şi versorul tangent .τr Ori

vectorii şi ν τr r sunt situaţi în planul osculator. Deci pentru

2π

θ = planul osculator

devine plan tangent la suprafaţă. Definiţia 21.1. Curbele de pe suprafaţă, pentru care planul osculator este

tangent la suprafaţă, se numesc linii asimptotice ale suprafeţei. Rezultă că ecuaţia diferenţială a liniilor asimptotice ale unei suprafeţe este

ecuaţia 21.1. Împărţind ecuaţia 21.1 cu 2,dv obţinem:

022

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ N

dduM

dduL

νν (21.2)

de unde:

LLNMM

ddu −±−

=2

ν

sau


169

2

2

M M LNdu dvL

M M LNdu dvL

⎧ − + −=⎪⎪

⎨− − −⎪ =⎪⎩

două ecuaţii diferenţiale, cu soluţiile de forma: ( )( )⎩

⎨⎧

==

22

11

,,

CufCuf

νν

(C1, C2 = constante)

Deci, pe o suprafaţă sunt, în general, două familii de linii asimptotice. Punând condiţia ca liniile asimptotice să treacă prin punctul ( )000 , yxM ,

obţinem: ( )( )⎩

⎨⎧

==

0022

0011

,,νν

ufCufC

(C1, C2 = constante)

Rezultă că printr-un punct situat pe o suprafaţă trec, în general, două linii asimptotice.

După natura rădăcinilor ecuaţiei (21.2) distingem: a) Dacă 02 >− LNM în punctul 0,M cele două linii asimptotice care trec

prin 0M sunt reale şi diferite şi punctul 0M se numeşte hiperbolic. b) Dacă 02 =− LNM în punctul 0,M cele două linii asimptotice care trec

prin 0M sunt confundate şi punctul 0M se numeşte parabolic. c) Dacă 02 <− LNM în punctul 0,M cele două linii asimptotice care trec

prin 0M sunt imaginare şi punctul 0M se numeşte eliptic. ....................................................................................................

21.2 Teorema lui Meusnier

Centrul de curbură într-un punct M al unei curbe (C) trasate pe o suprafaţă este proiecţia ortogonală a centrului de curbură a secţiunii normale tangente în M la curbă pe planul osculator al curbei (C).

Am văzut că avem:

22

22

22cos

νννν

ρθ

GdFdudEduNdMdudLdu

++++

=

Împărţind membrul doi al relaţiei (21.1) cu 2dv la numărător şi numitor, obţinem:


170

GdduF

dduE

NdduM

dduL

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

νν

ννρθ

2

2cos

2

2

(21.3)

şi dacă notăm ,dudv

= λ , relaţia (21.3) devine

GFENML

++++

=λλλλ

ρθ

22cos

2

2

(21.4)

Membrul doi din (21.4) depinde de punctul ( ),M u v de pe suprafaţă şi de

raportul ,dudv

= λ adică de tangenta la curba (C) în acest punct.

Să considerăm o altă curbă ( )1C tangentă la ( )C în punctul ( ), .M u v Dacă notăm cu 1θ unghiul format de normala principală la curba 1,C şi normala la suprafaţă în M şi cu 1ρ raza de curbură a curbei în acest punct, avem:

GFENML

++++

=λλλλ

ρθ

22cos

2

2

1

rezultă că

1

coscosρθ

ρθ= (21.5)

Să presupunem că în punctul ( ),M u v curbele ( )C şi ( )1C au acelaşi plan osculator, care diferă de planul tangent la suprafaţă, deoarece dacă ar coincide,

1 ,2π

θ = θ = iar 1cos cos cos 02π

θ = θ = = şi ambii membri ai relaţiei (21.5) ar fi

nuli. În cazul acesta 1θ = θ şi din (21.5) rezultă că 1.ρ = ρ Acest lucru se întâmplă dacă luăm curba ( )1C rezultată din secţiunea plană a

suprafeţei cu planul osculator la curba (C) în punctul ( ), .M u v Deci studiul curburii curbelor trasate pe o suprafaţă se reduce la studiul

curburii curbelor plane ale suprafeţei. Să considerăm o curbă ( )C trasată pe o suprafaţă şi fie ( ),M u v un punct

situat pe ea (fig.1).


171

Numim secţiune normală tangentă în M la curbă, curba plană ( ) ,nC care se obţine prin secţionarea suprafeţei cu planul determinat de normala la suprafaţă în M şi tangenta la curba ( )C în acest punct.

Figura 1 Figura 2

Dacă notăm cu nρ raza de curbură a secţiunii normale ( )nC şi mai

presupunem că sensul pozitiv al normalei la suprafaţă în M este acelaşi cu sensul pozitiv al normalei la secţiunea normală ( ) ,nC avem 1 0θ = şi relaţia (21.5) devine:

θρρ cosn= (21.6)

Dacă notăm cu 1C centrul de curbură al curbei ( )C (fig. 2) în punctul

( ),M u v şi cu 2C centrul de curbură al secţiunii normale ( )nC în acelaşi punct, avem:

1

2n

MCMC

ρ =⎧⎨ρ =⎩

Înlocuind în (21.6) avem: 1 2 cosMC MC= θ

de unde rezultă că triunghiul 1 2MC C este dreptunghic în 1C deci 2 1C C este perpendiculară pe 1,MC adică pe normala principală la curba ( ).C

Dreapta 2 1C C este situată în planul normal la curba ( ) ,C deci este perpendiculară şi pe tangenta la curba C în M. Atunci dreapta 2 1C C este perpendiculară şi pe planul determinat de normala principală şi tangenta în M la curbă, adică pe planul osculator.

Putem spune că 1C este proiecţia punctului 2C pe planul osculator la curba

( )C în punctul M şi teorema lui Meusnier este demonstrată. ...................................................................................................................


172

21.3 Curbura curbelor pe o suprafaţă

Pentru 0,θ = formula (21.1), devine:

R=GFENML

++++

=λλλλ

ρ 221

2

2

(21.7)

Numim cantitatea 1ρ

curbura normală a curbei ( )C în punctul M. Fiind dat

un punct M pe o suprafaţă, prin el trec o infinitate de curbe trasate pe suprafaţă. Fiecărei curbe i se ataşează câte o curbură normală. Prin urmare, unui punct

situat pe o suprafaţă i se ataşează o infinitate de curburi normale. Să arătăm că mulţimea acestor numere este mărginită inferior şi superior. Ordonând ecuaţia (21.7) după puterile lui λ, găsim discriminantul ei:

21 1 1F M E L G Nρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − − − = Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (21.8)

Făcând calculele în (21.8) şi ordonând după puterile lui 1 ,ρ

obţinem ecuaţia

atasata:

( ) ( ) 0121 22

2 =−+−+−− MLNFMGLENFEGρρ

(21.9)

Ţinând seama că 02 >− FEG , inegalitatea 0Δ ≥ este satisfăcută pentru:

21

111ρρρ

≤≤

unde 1

1ρ

şi 2

1ρ

sunt rădăcinile ecuaţiei (21.9).

Valorile 1

1ρ

şi 2

1ρ

sunt, respectiv, valoarea minimă şi maximă a curburii

normale. Aceste curburi se numesc curburile principale în punctul M de pe suprafaţă. Expresia

21

1ρρ

=K

se numeşte curbura totală a suprafeţei într-un punct M situat pe suprafaţă. Ţinând seama de ecuaţia (21.9), avem:

2

2

21

11FEGMLN

acK

−−

==⋅=ρρ

Expresia


173

21

11ρρ

+=H

se numeşte curba medie a suprafeţei într-un punct M al ei. Ţinând seama de ecuaţia (21.9), avem:

221

211FEG

FMGLENabH

−−+

=−=+=ρρ

Suprafeţele care au curbura totală constantă se numesc suprafeţe minimale.

21.4 Linii de curbură pe o suprafaţă

Curbele de pe o suprafaţă care trec printr-un punct M al suprafeţei ale căror curburi normale în punctul M sunt curburile principale în acest punct se numesc liniile de curbură ale suprafeţei.

Considerăm relaţia (21.7)

GFENML

++++

=λλλλ

ρ 221

2

2

1ρ

este considerată ca funcţie de λ, putem găsi extremele ei anulând derivata de

ordinul I. Avem:

( )( ) ( )( )( )22

22

222221

GFENMLFEGFEML

++

+++−+++=

λλ

λλλλλλρ

(21.10)

curburile principale ale suprafeţei în M se obţin anulând derivata (21.10): ( )( ) ( )( ) oNMLFEGFEML =+++−+++ λλλλλλ 22 22

sau scrisă sub forma unei proporţii:

FEML

GFENML

++

=++++

λλ

λλλλ

22

2

2

(21.11)

Înmulţim partea a doua a relaţiei (21.11) cu ( )−λ şi facem suma numărătorilor pe suma numitorilor, avem:

FEML

GFNM

FEML

GFENML

++

=++

=−−−−

=++++

λλ

λλ

λλλλ

λλλλ

22

2

22 (21.12)

Făcând produsul mezilor egal cu produsul extremilor în ultimile rapoarte din (21.12), obţinem:

( ) ( ) ( ) 02 =−+−+− GMFNGLENFLEM λλ (21.13)


174

Înlocuind pe ,dudv

λ = obţinem ecuaţia diferenţială care ne dă liniile de curbură

ale suprafeţei: ( ) ( ) ( ) 022 =−+⋅−+− νν dGMFNdduGLENduFLEM (21.14)

În general, ecuaţia (21.14) are două rădăcini în .du dv sau dv du

Natura rădăcinilor ecuaţiei (21.14) depinde de semnul realizantului: ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 042

4

2

22

2

≥−−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−=

=−−−−=Δ

EFLEMFEGFLEM

EFGLEN

GMFNFLEMGLEN

care este întotdeauna pozitiv sau nul. Deci ecuaţia (21.14) are întotdeauna rădăcini reale. Rezolvând ecuaţia (21.14), obţinem ecuaţiile diferenţiale:

( ) ( )νν

νν

,;, 21 ufdduuf

ddu

==

unde 1 2,f f depind de E, F, G, L, M, N. Prin integrare găsim curbele

( ) ( ) 2211 ,,, CuFCuF == νν Deci pe o suprafaţă există două familii de linii de curbură 1 2.C şi C Liniile de curbură care trec prin punctul ( )0 0 0,M u v sunt:

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

0022

0011

,,,,νννν

uFuFuFuF

Am înlocuit pe ( )0011 ,νuFC = şi ( )0022 ,νuFC = . Deci, printr-un punct de pe suprafaţă trec două linii de curbură. Să determinăm unghiul θ format de două linii de curbură care trec prin acelaşi

punct ( )ν,uM . Ştim că:

( )2222 22

cosδνδνδδνν

νδννδδνδθGuFuEGdFdudEdu

GdduduFuEdu++⋅++

++++=

Împărţind numărătorul şi numitorul părţii din dreapta a relaţiei de mai sus cu dv vδ obţinem:

GuFuEGdduF

dduE

Gdudd

duFd

udduE

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅+⋅

=

δνδ

δνδ

νν

νδνδν

ννδ

νθ22

2

cos (21.15)


175

ori du u şi dv v

δδ

sunt rădăcinile ecuaţiei (21.13) şi avem:

FLEMENGL

abu

ddu

−−

=−=+δνδ

ν

şi

FLEMGMFN

acu

ddu

−−

==⋅δνδ

ν

calculând numărătorul din relaţia (21.15), obţinem:

0=−

−++−=+

−−

+−−

FLEMFGLEGMFGLEGMG

FLEMEFNFGL

FLEMEGMEFN

deci

2,0cos πθθ ==

Rezultă că liniile de curbură de pe o suprafaţă constituie un sistem ortogonal de curbe ale suprafeţei.

Să facem o schimbare de parametru pe suprafaţă astfel încât liniile de curbură să fie curbele coordonate.

În acest caz liniile de curbură fiind ortogonale avem condiţia: 0F =

şi ecuaţia (21.14) devine: ( ) 022 =−−+ νν GMddudGLENEMdu (21.16)

Ecuaţia (21.16) trebuie să fie verificată de .constu = şi .const=ν

Adică trebuie să avem: 0=EM şi 0=GM

de unde 0=M

Deci, sistemul de coordonate ortogonale pe suprafaţă pentru care avem 0,M = este format din liniile de curbură şi reciproc.

Punctul de pe suprafaţă în care liniile de curbură sunt nedeterminate se numeşte punct ombilical al suprafeţei.

Pentru ca un punct al unei suprafeţe să fie ombilical din ecuaţia (21.14) trebuie să avem:

0,0,0 =−=−=− GMFNGLENFLEM (21.17) sau

GN

FM

GN

EL

FM

EL

=== ,,

sau


176

GN

FM

EL

==

Într-un punct ombilical avem:

En

11=

ρ

Deci curburile normale într-un punct ombilical al curbelor de pe suprafaţă care trec prin acest punct sunt egale.

Dacă realizantul Δ este nul şi ţinem seama de (21.17) rezultă că dacă într-un punct al suprafeţei liniile de curbură sunt confundate, punctul respectiv este ombilical.

agts

Documents

Transcript of agts