m (n- 1971)

n Hidtnica din Timigoara'-la+je Ortodoxd ]ustininn.hrregti (198). Absolventr Tedogie (2002) qi actua1-la la Factltatea de Teologierful a Universid$i dinGfi referitoare la relafiaiUmrate de Ia Institutullf,Gil e ti postuniversitare,i dirdle Tmlogie s,i $tiinfe.f, al Centrului de Dialog gidriilii de Teologie Ortodoxi

tfugeticn Ortodoxd, voI. l-llLme (Ed. Basilica, Bucuregti,Bucures,ti, 2010); coordona-

tugie qi Etiinld (Ed. Basilica

S in colaborare cu pr. dr.tt, Mogie ortodoxd 6i gtiinld,lrblui Biblic gi de Misiune5r:s;l,l eshntologic al ueatieifugie gi s,tiinld coordonat der )O0l Bucuregti, 2001); coor-rftmrclor: Adeod1 cunoaqtere,iL Basilica/Ed. Universitifii$k mimntul tempor alitdlii -L Universitnli din Bucureqti/tu gi *mnifcalia spaliului -L lJniversit4ii din Bucuregti/i artiole focalizate pe rela$aF lale de cercetare in dome-

Adrian LEMENI

ADEVAR SI DEMONSTRATIE) t --De la incompletitudinea lui Giidel

la vederea mai presus de orice intelegerea SfAntului Grigorie Palama

Edilia a II-a, revizuiti

https://www.libris.ro/adevar-si-demonstratie-ed-2-adrian-lemeni-BAS978-606-29-0349-7--p19030352.html

;pre adev5r, e fericit de a:vir. Raliunea nu e scoasdo ratiune asistatd de toatesntru cd are evidenla cd

De la incompletitudinea luiiegne a Sfdntului Grigoriehegii cdrfi, sd nu rdmAnegiturilor dintre teologie,;dr gi demonstratie, ci amerspectivd care constituievirul Hristos este temei giin om, iar orientarea one-:onduce, Ei in cunoagtere,l r-izitoare a adevirului.lre nu este echivalenti cu:i tri'iti in Duh gi Adevdr

:unostinle, instrumentali-lurrul de fatd reprezintd olintre teologie, filosofie giinaEa gi de impresionareair-e 9i discurs megtegugifpe plac cu orice chip, ci de:Ald acest lucru devine orrisi adevdrul este o lec{iesticul Sf. Grigorie Palama,.e astdzi, cAnd adesea ade-at. din dorin(a de a avea o

Adrian Lemeni

i:: :-! -:i Orlodoxe, Ed. Institutuluire. Bucuresti,2002, p. 238. I

ADEVAR SI DEMONSTRATIE.tDe la incompletitudinea lui Giidel

la vederea mai presus de orice infelegerea SfAntului Grigorie Palama

I.Kurt Giidel - martor al adevirului mai presus de

demonstratie. Structura non-computalionali a minlii

1. Kurt Giidel - un logician de geniu ..............171.1. Repere ale vielii gi personalitdlii lui Kurt Godel........171..2.Teza de doctorat qi de abilitare .............22

2. Teoremele de incompletitudine ale lui Giidel ..................312.1. Formularea teoremelor de incompletitudine gi

implicaliile acestora......... .......................312.2. Ralionamentul lui Godel in demonstrarea

teoremelor de incompletitudine ...................................452.3. Adevdr si demonstrafie in logica matematicd.... .........542.4. Receptarea teoremelor de incompletitudine ale

lui Gcide1....... ....................59

3. Repere gtideliene in afirmarea structurii non-computafionale a mintii..... ........63

3.1. Logicd gi calcul. Algebrizarea logicii............................633.2. Programul lui David Hilbert.........................................663.3. Gcidel, Hilbert gi Bemays...... .................71,3.4. Gcidel gi gAndirea computalionald. Depdgirea

programului lui Hilbert .........................773.5. Dimensiunea non-computafionald a gAndirii

evidenliatd de implicaliile teoremelor lui Gode1........83

4. Giidel si fi2ica........... ................9313

CUPRINS

5. Filosofia matematicd a lui Giidel.... ..............gg5.1. Relafia dintre matematicd gi filosofie in gAndirea

lui Godel....... ....................995.2. Realismul matematic al lui Godel...............................1115.3. Godel si fenomenologia .................. .............................127

6. Religia si gAndirea lui Giidel...... ................1336.1. Raportarea lui Gcidel la religie....................................1336.2. Argumentul ontologic pentru dovedirea

existenlei lui Dumnezeu ......................13g

II.Adevirul - temei gi mizi a gAndirii.

Repere filosofice,plecAnd de la preocupirile lui Kurt Giidel in filosofie

l.Vederea adevirului dat in realitat e nersus fantasmaadevirului construit la nivelul min{ii...................................143

1.1. Coordonate ale realismului platonic..........................1431.2. Prioritatea adevdrului si puterea de al rosti............1511.3. GAndirea - experien{d a suflefului mai presus de

simluri si de instrumente .............................................1541.4. Cunoagterea ca memorie a sufletului 9i iluzia

cunoasterii dobAnditd prin informafiile unuitext scris .........................159

1.5. Dimensir.rnea purificatoare a experienlei adevdrului...1731.6. Dimensiunea misticd qi contemplativd a

cunoasterii evidenf iatd de fi losofi a lui platon...........17 7

2. Repere ale logicii 9i cunoagterii lui Leibniz ....................193

3. Vederea intuitivi a adevirului - coordonatisemnificativi a fenomenologiei lui Edmund Husserl .......1g2

3.1. Repere ale metodologiei fenomenologice infilosofia lui Edmund Husserl.......... ............................I92

1,4

99

CUPRINS

3.2. Incompletitudinea qtiinlei qi temeiul gtiinfifi citdliiin lucruri, nu in concepte...................... .......................I92

3.3. Fenomenologia treptelor cunoagterii.Semnifica{ie gi intuifie ..........................205

3.4. Experien{a originard a lumii gi a vie(ii - premisda dezvoltdrii judecdfii in cunoaqtere ...........................2I2

4. Premise fenomenologice in raportarea la Adevir ...........21,8

5. Recuperarea semnificatieilui aletheia gi for{agAndirii originare - repere ale filosofiei lui MartinHeidegger in cultivarea unei vederi pitrunzitoare aadevirului.... .......290

5.1. Adevdrul ca stare de neascundere, de dezvdluire.Implicaliile semnifi caf iilo r lui aletheia ........................230

5.2. Adevirul - vedere tainici mai presus derationalitatea tehnicd ............................234

5.3. Schimbarea esentei adevdrului prin trecerea de laaletheiala oeritas .............245

5.4. Adevirul - temei gi mizd a gAndirii...........................2555.5. Adevdr qi logos. Deturnarea semnificafiei

originare a logos-ului prin logica formald.......... ........262

III.SfAntul Grigorie Palama - mirturisitor al adevirului vizut

prin experienla luminii necreate.Repere edificatoare pentru dialogul dintre teologie,

filosofie 9i gtiinli de astizi

1. Premise pentru angajarea intr-o cunoastere incontinuitate cu duhul Traditiei patristice ............................269

1.1. Necesitatea de a fi in continuitate prin viafd gicuget cu duhul Sfinlilor Pdrinfi pentru a vedeaAdevdrul....... ..................269

1.2. Cuviinla si evlavia - premise ale cunoaqterii............27\

Llosofie in gAndireaoo

>del...............................111.............127

133133

dovedirea

e a gAndirii.C€,

urt Giidel in filosofie

| ?ersus fantasmaii...................... .............143|atonic............. .............1.43rea de a-1 rosti............151rrlui mai presus de

f,etului gi iluzia:ormatiile unui

.............159perienfei adevdrului... 173nplative asofi a lui Platon...........177

i Leibniz ....................183

oordonati:dmund Husserl .......192nenologice in

138

1,54

L92

15

---.

CUPRINS

2. Puterea unificatoare a mintii.......... .............2gg2.1. Adunarea minfii din cele exterioare gi angajarea

ei in unificarea puterilor sufletegti in inimd..............2gg2.2. Smerenia - realitate fundamentald pentru a

dobAndi o minte vdzdtoarc a Adevirului. .................29g

3. $tiin{a profani si cunoasterea duhovniceasci.................3053.1. Culturd profand gi infelepciune intemeiatd prin

Revelafie .........................3053.2. Erudilie profand gi cunoagtere mdrturisitoare a

Adevdrului in duhul Sfinfilor Pdrinfi.........................3133.3. Cercetarea din domeniul qtiinfelor profane qi

cunogtin(a Adevdrului mAntuitor...............................319

4. Credinla - vedere mai presus de orice intelegere..... ......92g4.1. Cunoagtere apodicticd, cunoastere dialecticd qi

credinle......... ..................31294.2. Credinfa - vedere duhovniceascd a Adevdrului

mai presus de metodele stiinfelor lumegti ................3344.3. Credin{a - vedere trditi ca dobAndire a

Adevdrului celor crezute 9i niddjduite. .....................942

5. Distinctia dintre lumina harului qi lumina cunogtrnlei.....3475.1. Puterea cunoasterii - realitate a viefii trdite in

Duhul Adevdrului, dincolo de cuvinte ..... .................3 475.2. Vederea duhovniceascd - lumind a harului mai

presus de minte............. ........................3515.3. Vederea Adevdrului - experienfd a slavei

necreate, mai presus de lumina cunogtinteidobAndite prin cercetarea gtiinfificd...........................360

76

.288)noare 91 angalareartesti ii:r inimd..............288ntald pentru aAdevdrului.... ..............298

hovniceasci.................305re intemeiati prin

e mdrturisitoare aPerinti.........................313

rtelor profane si1itor...............................319

lrice infelegere...........328

-qtere dialectici qi.328

asci a Adevdruluielor lumegti ................334rbAndire aidajduite........ ..............342

lumina cunogtinlei .....347: a vietii trdite ine cuvinte........ ..............347rini a harului mai

..351:nti a slaveira cunogtinleintitici...........................360

Tl-

Kunr Gonnrmartor al adevirultai

rnai presus de den:lonstrafie.

..30s

Structura non-computafionali a rnintii

1. Kurt Giidel - un logician de geniu

l.l. Repere ale aie{ii gi personalitdlii lui Kurt Gijdel

in vremurile de astdzi, marcate de diverse confuzii, ames-tecuri, ipocrizii qi formalisme, asumarea vie{ii ca trdire intruadevdr reprezinti o exigenli greu de implinit. Niciodati nua fost facili cdutarea adevdrului gi angajarea consecventd pecalea lui. Cu atAt mai mult pentru mentalitatea iumii contempo-rane, structurati prin ideologii care dilueazd pAnd la disolulieconstiinta orientatd spre adevir, este greu de invocat repereale unei viefi ce necesitd curajul ciutdrii gi mdrturisirii ade-vdrului. Omul de astdzi, anesteziat prin pldceri gi comoditdfide tot felul, tot mai incapabil sd triiascd in stare de jertfd, cugreu iqi poate imagina (cu atAt mai mult sd triiascd) jertfelniciaderivatd din condilia de martor al adevirului. Cineva indrd-gostit de adevdr, trdind in proximitatea acestuia gi dispus sd-lmdrfuriseascd indiferent de circumstante trebuie sd-si asume

17

Adrian Lrr'.rnrr

condilia, deloc facild, nu doar de a nu avea o imagine favora-bild in fala lumii (cuantificate printr-un numdr apreciabil deIike-wl), ci de a fi impotriva valului.

Intr-o lume care preferd fantasma tn detrimentul adeodru-Iui, iluzia tn locul luciditdtii pare un real scandal imperatioulcentralitdlii adeadrului ca program de aiald. pentru cineva careeste obisnuit cu fascinatia gi comoditatea minciunii poate sddevind un goc destrdmarea iluziilor prin lumina adevirului.In aceste condilii, reperele unei ztieti lnchinate adeadrului sunt demaximd sctualitate. O astfel de aiald a fost cea a lui Kurt Gijdel,un martor incomod al adeadrului, mai ales pentru cei care preferdautosuficienta unei increderi in sine, ?n propriile puteri. Cercet6.-rile lui Kurt Gcidel din domeniul logicii matematice au avutimplicalii adAnci in ceea ce inseamnd modul de manifestareal gAndirii. Cu toate acestea, el rdmAne pulin cunoscut pentrupublicul larg, in raport cu contribu{iile sale epocale din logicamatematicd 9i filosofia minfii. Reperele vielii si personalitdgiilui Godel ne pot ajuta sd ne intdrim curajul asumirii trdirii gimirturisirii adevdrului.

Godel s-a ndscut la 28 aprilie 1906la Brun (orasul a deve-nit Brno dupi ce a devenit parte a Cehoslovaciei - in urmaPrimului Rdzboi Mondial) in Moravia (la acea datd in Impe-riul Austro-Ungar). A mai avut un frate, Rudolf, care a urmatmedicina Ia Viena. Tatdl sdu, Rudolf, s-a nescut Ia 28 februa-rie 1.87 4 si a murit prematur 1n 1929. A lucrat intr-o faimoasifabricd de textile a lui Friedrich Redlich, ajungAnd directorqi ulterior partener al acestuia. Mama, Marianne Handschuh(1897-1966), a avut o educafie literarS, urmAnd pentru o peri-oadd scoala francezd din Brun. A fost o femeie plind ae itiale,afectivd, iubind muzica, teatruf lectura, sportul (in mod spe-cial, a fost o excelentd patinatoare).

^ Marianne qi Rudolf Gridel s-au cdsdtorit la 22 aprilie I90I.In februarie 1902 s-a ndscut primul copil, Rudolf. Marianneera de credinli luterani, fiind crescutd in spiritul credinlei

18

u avea o imagine favora--un numdr apreciabil de

in detrimentul adeadru-t renl scandal imperatiaulrlntri. Pentru cineva careLtatea minciunii poate sdprin lumina adevdrului.'chinate adeadrului sunt de

.iost cea a lui Kurt Giidel,es pentru cei care preferd.

p r op r iile p ut er i. Cerceti-5icii matematice au avutLd modul de manifestarere putil cunoscut pentrule sale epocale din logicaele r.iefii gi personalitdliicurajul asumirii trdirii qi

6 la Brun (oragul a deve-Cehoslovaciei - in urmaia (la acea dati in Impe-ate, Rudolf, care a urmat. s-a nascut la 28 februa-A lucrat intr-o faimoasi

dlich, ajungAnd directorLa, \larianne Handschuhi, urmAnd pentru o peri-t o femeie plind de viafd,rra, sportul (in mod spe-

isatorit Ia 22 aprllie t901..copi1, Rudolf. Marianne:uta in spiritul credinlei

ADEVAR sI DEMONSTRA,TIE

gi participAnd la viala Bisericii luterane. Soful sdu, formalaparlinea vechilor catolici. Pdrinlii au cuitivat cultura sitraditia germand in familia lor, insd nu le-au oferit copiilor oeducatie religioasi. Rudotf, fratele lui Godef a rdmas indife-rent din punct de vedere religios. Kurt Gcidel a dezvoltat destulde timpuriu interes pentru teologie, plecAnd de la cercetdrilesale din logicd. in 1975, Godelmdrturisea cd formal este bote-zat luteran, fdrd sd aparlind unei comunitili religioase, afir-mAnd: ,,Credinta mea este teisti, nu panteistd, urmAndul maidegrabd pe Leibniz, decAt pe Spinoza"l. Sofia lui Godel, Adele,spunea cd acesta citea (in mod speciaf duminica) SfAnta Scrip-turd, fdrd insd sd participe la slujbele Bisericii.

AmAndoi copiii au fost mai apropiali de mama 1or, decAtde tatd. Mama sa a observat inteligenla precoce a lui Kurt. Elera poreclit der Herr Warum (domnul De ce), intrucAt in modinsistent cduta sd infeleagd motivul fiecdrui lucru sau al fapte-lor din existenta cotidian5, manifestAndu-se in acest fel de lavArstd {ragedd. Bunica din partea mamei a anticipat, in 1911,ci Godel va ajunge celebru in lumea gtiinlificd. Din septem-brie 1912 pAnd in iulie 1916, Godel a urmat scoala luterand dinBrun. AtAt in studiile gimnaziale, cAt gi in cele liceale, Godela fost un elev strdluci! uimindu-qi adesea profesorii Ei colegiiprin profunzimea judecdlilor sale. in timpul liceului, el delafolosea la matematicd materiale universitare.

Godel a intrat la Universitatea din Viena in toamna anu-Iui 7924 pentru a studia fizica teoreticd. Interesul sdu pen-tru precizie qi claritate in judecatd l-a determinat sd treaci lamatematicd in 1926 9i apoi din L928 se va concentra asupralogicii matematice. I-a avut ca profesori pe Philipp Furtwan-glet (1869-1939), Hans Hahn (1879-1934), Wilhelm Wirtinger(1865-1945), Karl Menger (1902-1985). O colegi de-a tui Godel

r Hao W:ruc, A Logical loLllney. From G6deI to philosop,hy, MIT press,Massachusetts, 7996, p. 27.

19

Adrian LErr,rsrr

din perioada studenliei, Olga Tanssky, menfiona despre el cd,,,era foarte pregetit in toate domeniile matematicii gi cd puteaidiscuta cu el qi despre alte lucruri, mintea sa fiind impresio_nantd qi clar5, producAnd delectare in timpul discugiiloi,,r.

$i-a finalizat studiile cu o tezi de doctorat foarte devreme(in 1929) despre completitudinea predicatelor logice. Din pri_mdvara lui 1929 pAnd in toamna lui 1930, Gridel a realizatcontribulii fundamentale in logica matematici, culminAnd cuteoremele sale de incompletitudine care l-au fdcut celebru inintreaga lume. in martie 1933 devine priaatdozent, sttstinLnd siteza de abilitare. in 1938 se cdsitoreste cu Adele porkei. ln aniirespectivi a fost invitat c a Visiting profesor la universitdli ameri_cane. Din cauza regimului nazist (a avut un adevdrat goc dupdce un student nazist i-a asasinat pe profesorul Moritz Schlick),a plecat impreund cu sofia lui, in 18 ianuarie 1940 in SUA' sta-bilindu-se la Princetory la invitalia ficutd de Oswald Veblen.

Intre I929-t940 Gcidel realizeazd gi publicd majoritatealucrdrilor sale. ln 1940 este cooptat la institutul de StudiiAvansate din Princetory devenind membru titular in L946 qiprofesor in 1953. in 1948 primeste cethtenia americand. S-aretras la pensie de la Institut Ia vArsta de Z0 de ani, in L976.Deqi a avut o activitate intensd de cercetare, Godel a publi-cat pulin in anii de la Institut. Studiile sale publicate (aiesteafiind solicitate) sunt: materiale in onoarea lui Bertrand Russell(1944), Albert Einstein (1949), PauI Bemays (1958), doud textepentru conferinle susiinute cu ocazia aniversdrii bicentenaru-lui Universitdlii Princeton, unul Ia Congresul Internafional deMatematicd (1950) gi unul despre problema continuum-ului inteoria lui Cantor (1947). Singurul studiu, publicat din proprieini{iativd, se referd la noi solufii matematice aplicate ecualillorcAmpurilor lui Einstein, fiind publicat in 1949 in revista Rezl_ezus of Modern Plrysics.

'?H. WaNc, A Logi cal lourney..., p.33.

20

r; menfiona despre el cd: matematicii gi cd puteainintea sa fiind impresio-r timpul disculiilor"2.doctorat foarte devremedicatelor logice. Din pri-i 1930, Godel a rcalizatatematici, culminAnd cu:are l-au ficut celebm inP i.- at dozent, sus{inAnd qie cu Adele Porket. in aniiisor la universitili ameri-,'ut un adevirat goc dupd:ofesorul Moritz Schlick),anuarie 1940 in SUA,, sta-:uta de Oswald Vebien.i pi publicd majoritateat la lnstitutul de Siudiirembru titular in L946 qicetitenia americand. S-a;ta de 70 de ani, in 1976.:ercetare, Godel a publi-le sale publicate (acesteararea 1ui Bertrand Russellernarzs (1958), doud texter aniversdrii bicentenaru-rngresul Internalional deblema continuum-ului indiu, publicat din propriematice aplicate ecuafiilor* in 1949 in revista Reol-

'-.

ADEViR gr DEMoNSTRApE

Dinl942 pAnd in 1955, Godel a fost intr-o strAnsd legdturdcu Einstein. Ei erau oarecum vecini, fiind amAndoi la Institu-tul de Studii Avansate gi mergAnd adesea la birou impreuni.Ernst Straus preciza cd Godel a fost la Princeton cel mai apro-piat prieten al lui Einsteiry degi cei doi aveau temperamentediferite (Einstein - sociabil, nonconformist, vesel si glume!;G

Adrian Lrlrerqt

rdmane primitivd. Godel aratd cd adevirata firosofie constd ina te cunoaste pe tine insufi qi cd filosofia permite analizarea siinterpretarea rezultatelor din gtiinfd.

. . l.:rt" succinte repere privind via{a lui Godet ne indicdfelul sdu profund in tot ceea ce triia jl fe""u. Viala lui Gi)delpo.1f fi o leclie a profunzimii, de mnre actualitate tn contextul alie_ndrii gdndirii de astdzi, tn mod predilect prin diaertisment. pentrrtcineva obiqnuit sd trdiascd orice clipd ca un spectacol, format inabilitatea de a transform a totul in shozLt, prjunzimea raportd_rii lui Gcidel pare amefitoare. Totodatd, ieperele aietii lui G6d,elaratd prioritatea oiziunii tn raport cu detaliile unor informalii, aoederii adeodrului lucrului fald de argumentalia raliunii tehnice,generatoare de algoritmi si concepte. ii cunoagierc ceea ce conteazdnu line de informa[ie sau de performanla consiruirii unor conexiuniintre info.rmalii" ci esenliald este tnlelegerea realitdlii printr_o oedereaddncd gi cuprinzdtoare a lumii.

-1..2. Teza de doctorat qi de abilitare

_ Se cunoaqte cu certitudine cd Gddel a fost platonist incdde foarte de tAndr (autori precum Feferman, Kohler, Kennedyau subliniat acest fapt). Spre deosebire de aceasti perspectivd,profesorii Hahn, Schlik gi filosoful Carnap, membri ,"p."r"rr_tativi ai Cercului de la Viena (pe linia unei logici empirice),au promovat o gAndire pozitiviste prin care logica se iuru puexperiment gi analizd. Godef degi i frecventaticest Cerc, iua fost de acord cu linia cultivatd in plan filosofic qi gtiinfific incadrul respectiv.

Profesorul coordonator al tezei de doctorat a lui Gcidel afost Hans Hahn, un eminent matematician si unul dintre fon_datorii analizei funcfionale. incd de la inceputul secolului alXX-lea, Hahn a fost interesat de fundamentele matematice, inmod special de lucririle in acest domeniu ale lui Frege, Russell

),,

l\-erata filosofie constd incfia permite analizarea si

'iata lui Gcidel ne indicda si fdcea. Viala lui Gddelctttalitate tn contextul alie-p r in dirs er t isment. P entru

ca un spectacol, format in)ir, profunzimea raportd-tA, reperele oielii lui GijdeIletaliile unor informa[ii, anrentatia r aliunii tehnice,:wnastere ceea ce conteazdco ns tr uir ii unor con e xiuni

"ea realitdlii printr-o oedere

,del a fost platonist incierrnan, Kohler, Kennedye de aceastd perspectiv5,rmap, membri reprezen-ia unei logici empirice),in care logica se baza pe:recventat acest Cerc, nuan filosofic gi gtiinlific in

e doctorat a lui Gcidel atician gi unul dintre fon-la inceputul secolului alamentele matematice, inrniu ale lui Frege, Russell

ADEVAR SI DEMONSTRATIE

qi Hilbert. in referatul corelativ tezei de doctorat a lui Godel incare era demonstratd completifudinea predicatelor logice (oproblemd ridicatd de Hilbert), profesorul Hahn menliona in13h;]ie1929:

,,[...] lucrarea se referd la aga numitul calcul functional restrictival logicii prin care cuantificatorii opereazi doar asupra variabile-lor individuale gi nu asupra variabilelor funclionale. Se arati cdsistemul axiomatic a1 primei ordini logice folosit de Whitehead gi

Russell in Prlnclpia Mathemstica este complet, in sensui ci in gene-

ra1 fiecare formuli validX a acestui calcul poate fi derivatd in modformal prin sistemul de axiome. Mai mul! independenta axiome-lor este demonstrati. Acest lucru rezolvi doui probleme prezen-tate in mod explicit gi nerezolvate de citre Hilbert-Ackermann inFundamentele logicii teoretice [...]. Lucrarea are o contribulie valo-

roasi in calculul logic, indeplinind pe deplin cerinle1e unei teze

de doctorat gi meriti si fie publicatd"3.

Problema completitudinii sistemelor din logica formali afost pusd de Frege inch din 1'879 gi dezvoltatd in lucrarea luiHilbert gi Ackermann din 1928. Nici in tuaditia logici funda-mentate de Frege gi continuatd de Russell gi VVhitehead, niciin cea a algebrei logice fundamentate de Boole gi continu-ati de Peirce gi Schroder, problema completitudinii nu a fostdezbdtutd. De ce? Pentru Frege, Russell gi Whitehead logicaera universald: orice formulare logicd a oricdrui ralionamentdeductiv poate fi formalizatd. in aceastd perspectivi, ridicareaproblemei completitudinii nu avea sens. Pentru Peirce, Schro-der gi alli logicieni care au urmat tradilia logicii algebrizate,cuantificarea formulelor constituia preocuparea de baz6., iarnotiunea de sistem formal era absenti.

in lucrarea logicianului Post din 1921 despre matematiciledin Principia Mathematica a lui Russell gi Whitehead, acesta se

3 Karl SrcvuNo, Dozent Gddel WiIl Not Lecture, p.77.

23 1

Adrian LsMrN'r

diferenliazd de cele doui tradilii logice amintite anterior siptecizeaze cu claritate notiunea sistemului formal. post scri,ece

,,[...] in mod constant am pdvit sistemul logic din principin Mathe_matica gi generalizdrile rezultate din acesta ca dezooltdri formale giam folosit instrumentele logicii matematice pe care le_am consi-derat utile in studiul dezvoltXrilor respective,,a.

in,septembrie 1928, in cadrul conferintei suslinute la Con_gresul Internalional de la Bologna, David Hiibert prezint|problema completitudinii teoriei numerelor in forma rela_tatd de Post cu privire la completitudinea pentru calcululpropozifional. Ideea problematicii este publicatd in lucrareadin 1928 scrise cu Ackermann. Godel rezolvd problema com,pletitudinii logice pentru sistemele formale primare in tezasa de doctorat din 1,929. in tezd, pe lAngd relolvarea acesteiprobleme, este abordatd incipient problema incompletitudinii,criticAnd pozilia lui Hilbert (fdrd sdJ nominalizeze; d,e 1apt,Godel in mod constant, nu a invocat numele autorilor ideiiorcriticate, ci a precizat doar ideile). G6deI aratd cd tncred.erea tncapacitatea rezoladrii tuturor problemelor in matematicd este ero_natd,-existdnd propozilii matematice sau negatii ale acestora care nupot fi demonstrate. Ideea aceasta este prrririd deja tn lucrarea luiSkolem din 1.923, dar acesta nu a fdcut-o cunoscuid suficient qi nu afost conseusent pdnd Ia capdt cu propriile cercetdri.

Gcidel recunoagte acest lucru intr-o scrisoare trimisd in 14qrrgust 1964lui van Heijenoort, apoi intr_o scrisoare datatd din7 decembrie 1967, adresatdlui Hao Wang:

,,Teorema de completitudine pe care am demonstrat_o ?n teza dedoctorat este aproape o trivialX consecintd a tezei lui Skolem din

a K. Srcuurvo, Doz ent Gbdet..., p. 46.

ADEVAR qI DEMONSTRATIE

1923. Cu toate acestea" de fapt, in acea vreme, nimeni (inclusivSkolem) nu a tras aceastd concluzie"5.

rgice amintite anterior qiemului formal. Post scrie

I lo$c dtn Principia Mathe-)>ta ca dezzjoltdli formale gi

atice pe care le-am consi-3ctive"{.

ferinlei sustinute la Con-David Hilbert prezinti

lmerelor in forma rela-itudinea pentru calcululste publicatd in lucrareaI rezolvd problema com-formale primare in tezalAngi rezolvarea acesteiblema incompletitudinii,-1 nominalizeze; de fapt,numele autorilor ideilorddel aratd cd tncrederea tnor in matematicd este ero-nega[ii ale acestora care nu'ezenta deja in luuarea luicwloscutd suficient qi nu a' cercetdri.

o scrisoare trimisd in 14ntr-o scrisoare datatd din'an8:

demonstrat-o in teza derta a tezei lui Skolem din

Teza de doctorat a lui Gcidel din 1929, intitulatdDespre com_pletitudinea calculului logicii, incepe explicit cu motivatia:

,,Scopul principai al investigatiei este de a demonstra completitu_dinea sistemului axiomatic a ceea ce este numit calculul funcfionalrestrictig denumire datd sistemului de \Atritehead gi Russell in1910 gi" intr-o formX similarX, de Hilbert gi Ackermann in 1928t..1. L.E. Brouwe a subliniat cd pentru a demonstra consistenlaunui sistem axiomatic trebuie construit un model [...]. Cineva (sereferea 1a Hilbert, firi siJ nominalizeze * n.n.) ar putea spune ciin acest fel s-ar putea rezolva orice problemi matematicX [...]. insdnu putem exclude nerezolvarea unor probleme matematice,,6.

Lucrarea a fost publicati cAteva luni mai tArziu in Rez:istade Matematicd gi Fizicd, al cdrei editor gef era Hans Hahn. inversiunea publicati au existat unele diferente fatd de variantainiliald a iezei. ln urma susfinerii tezei, Godel nu a primit opozifie academice gi nicio susfinere financiari pentru o cer-cetare postdoctoralS (criza economicd majord din acei ani s-aresimtit puternic in cadrul Universitd{ii din Viena). Gcidel acontinuat munca sa de cercetare in domeniul logicii matema-tice, lucrAnd pAnd tArziu qi ajutAndu-l voluntar pe profesorulHahn la seminariile sale, pregetindu-i pe studenfi pentru dez-bateri gi petrecand mult timp in biblioteci. i.r ucei perioadd,profesorul de geometrie Karl Menger a coagulat un grupde tineri matematicieni, de doctoranzi gi de studenli, avAndintAlniri cu dezbateri consistente pe subiecte relevante in cer-cetarea matematicd. Godel a fost unul dintre cei mai activi

5 K. SrcuuNu, Dozent Gddel..., p.526 K. Srcvuur, Doz ent Gbdel., pp.67, 63.

25 I

Adrian LEurNr

participanfi. impreund cu Menger, Gridel s-a distan{at treptatde Cercul de la Viena, rdmAnAnd in legdfuri personale cu uniimembri, in mod special cu Camap, cu care se mai intAlnea launele cafenele din oras.

In 26 august 1930, la una dintre aceste intAlniri, la cafe-neaua Cafe Reichsrat, Gcidel dezvdluie pentru prima datd des-coperirea care urmeazd sd devind epocald: aritmetica esteincompletd (existi propo zilli care sunt adevdrate, dar carenu pot fi demonstrate formal prin intermediul axiomelor). licomunicd lui Carnap aceastd idee, pe care o expune concentratin conferinla de la Kcinigsberg din septembrie 1930. John vonNeumann a infeles impactul acestei prezentdri, pe care Godelo argumenteazd qi o publicd sub forma teoremelor de incom-pletitudine in ianuarie 1931.

Aceastd descoperire a fost mai mult decAt suficientd pentruca Godel sa primeasce abilitarea, conferindu-i-se titlul de Prl-antdozent, care-i permitea sd predea in Universitate, dar fdrd sdfie pldtit ca profesor. Primea o sumi micd, in funclie de num6-rul studenfilor inscrisi la curs. Cutuma existentd la Universi-tatea din Viena era ca titlul de abilitare si nu fie acordat decatcel mai devreme la patru ani dupd suslinerea tezei de docto-rat. In situalia lui Gridel s-a ficut o excepfie,, tinAndu-se seamade faptul cd el reprezenta un caz exceptional, acordAndu-i-setitlul in 1933, dupd ce Gridel ahnalizatteza de abilitare int932.

Odatd cu trimiterea tezei de abilitare, candidatul trebuiasd propund cAteva tematici pentru cursul pe care urma sd-lsusflna. Gcidel a trimis trei tematici: construirea propoziliilornedemonstrabile din punct de vedere formal, calculul intui-tiv al propozifiilor, mulfimea valorilor seriilor convergente inmod condifionat. Comisia de profesori a ales cea de-a douatematich propuse de Godel. Comisia l-a desemnat pe pro-fesorul Hans Hahn sd urmireascd gi si prezinte rezultatelegtiinlifice ale activitdlii lui Gridel. in minuta intAlnirii Comisieidin 1 Decembie 1932 se mentioneazi:

lra