a5qwdqwd

Modelarea i simularea sistemelor auto i auto-blindate

114

CAPITOLUL 5

STABILITATEA SISTEMIC A AUTOMOBILELOR

5.1. Stabilitatea n domeniul timpului

n domeniul timpului exist dou definiri ale noiunii de stabilitate la funcionarea n regim dinamic a sistemelor. Conform primei definiri (folosite ulterior), un sistem este stabil dac, dup ce sub aciunea unei perturbaii momentane i limitate ca valoare, micarea sa perturbat

se apropie tot mai mult de micarea neperturbat a sistemului, ultima fiind impus, prestabilit [31; 44]. Conform celei de-a doua definiri, se spune c un sistem este stabil dac, dup ce sub aciunea

unei perturbaii limitate ca valoare i prsete starea de echilibru static, acesta tinde s revin n regim staionar odat ce perturbaia dispare. Sau, altfel spus, ntr-un sistem stabil o perturbaie momentan i limitat ca valoare genereaz un proces tranzitoriu amortizat [44; 45].

Conform acestei ultime definiri, rezult c n figura nr. 5.1 se prezint un proces tranzitoriu aperiodic amortizat, cu funcia de transfer (1) din grafic pentru un sistem stabil; n figura nr. 5.1 se redau i performanele sistemice aferente (vezi capitolul 4).

Rspunsul indicial al unui sistem de ordinul I stabil

Fig. nr. 5.1

De asemenea, n figura nr. 5.2 se prezint un proces tranzitoriu oscilatoriu amortizat, cu funcia de transfer (1) din grafic pentru un sistem stabil; n figura nr. 5.2 se redau i performanele sistemice aferente, inclusiv suprareglajul .


115

Rspunsul indicial al unui sistem de ordinul al II-lea stabil

Fig. nr. 5.2

Invers, la un sistem instabil rspunsul acestuia fie c tinde la infinit ndeprtndu-se continuu de valoarea corespunztoare echilibrului static, fie c execut oscilaii permanente n jurul valorii staionare a rspunsului; n acest caz exist un proces tranzitoriu neamortizat.

Stabilitatea unui sistem se poate aprecia fie direct, pe baza curbei procesului tranzitoriu (ca n figurile nr. 5.1 i 5.2), fie indirect prin aplicarea unor criterii de stabilitate n domeniul timpului. Dintre criteriile de stabilitate n domeniul timpului cele mai folosite sunt criteriile algebrice, iar dintre acestea criteriul poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice [44; 45].

Conform denumirii, criteriul poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice folosete ecuaia caracteristic a sistemului, deci trebuie s existe descrierea matematic a acestuia. Astfel, dac se consider un sistem continuu monovariabil la intrare i la ieire, atunci dinamica acestuia este descris de ecuaia diferenial de ordinul n din expresia (4.21). Ecuaia caracteristic a sistemului este A(s) = 0, adic din expresia (4.16):

11 1 0( ) 0 ... 0

n nn nA s a s a s a s a

, (5.1) care are n rdcini, ce pot fi reale, complex-conjugate (inclusiv pur imaginare) sau nule; polii funciei de transfer a sistemului sunt rdcinile ecuaiei caracteristice.

nainte de a prezenta criteriul poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice, trebuie menionat condiia necesar de stabilitate: pentru ca un sistem continuu s fie stabil este necesar ca toi coeficienii ecuaiei caracteristice s fie strict pozitivi; aadar, nainte de toate e necesar ca n ecuaia (5.1):

0, 0ia i n (5.2) Criteriul poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice a unui sistem se formuleaz n felul

urmtor (evident, cu ndeplinirea condiiei necesare de stabilitate, aceea ca toi coeficienii ai s fie strict pozitivi). Un sistem este stabil dac toate rdcinile ecuaiei sale caracteristice se gsesc n semiplanul complex stng (SCS) al variabilei s; altfel spus, un sistem este stabil dac toate rdcinile ecuaiei caracteristice sunt reale i negative sau unele din rdcini sunt reale i negative


116

iar celelalte complex-conjugate cu partea real negativ. Dac cel puin una din rdcini este n semiplanul complex drept (SCD), atunci sistemul este instabil. Dac exist cel puin o pereche de rdcini pur imaginare (situate pe axa imaginar), atunci sistemul se gsete la limita de stabilitate oscilatorie. Dac exist cel puin o rdcin nul (situat n originea axelor), atunci sistemul se gsete la limita de stabilitate aperiodic.

Spre exemplu, n figura nr. 5.3 se prezint poziia rdcinilor ecuaiei caracteristice (deci polii P ai funciei de transfer) i poziia zerourilor funciei de transfer (deci zerourile Z ale acesteia) pentru un sistem continuu de ordinul VI.

Polii i zerourile funciei de transfer a unui sistem de ordinul VI (planul variabilei complexe s)

Fig. nr. 5.3

Sistemul din figura nr. 5.3 are funcia de transfer:

4 3 2

6 5 4 3 2( ) 2 4 2 5( )( ) 6 22 32 21 26

B sA s s s s

s s s sWs s

ss

(5.3)

Dup cum se remarc din figura nr. 5.3, exist un pol n originea O a axelor de coordonate, notat P1(0;0), ceea ce nseamn c ecuaia caracteristic are o rdcin nul s1 = 0. De asemenea, exist doi poli complex-conjugai P2(2; 3) i P3(2; 3), ecuaia caracteristic avnd rdcinile s2,3 = 2 3i, cu 1i . Mai exist o rdcin real i negativ s4 = 2, aferent polului P4(2; 0). n sfrit, polii pur imaginari, evident complex-conjugai, P5(0; 1) i P6(0; 1), aparin rdcinilor s5,6 = i.

Din figura nr. 5.3 mai rezult i cele patru zerouri ale funciei de transfer (5.3), redate pe grafic cu simbolizrile Z1, Z2, Z3 i Z4; zerourile funciei de transfer sunt rdcinile numrtorului acesteia, deci rdcinile ecuaiei B(s) = 0.

n grafic mai sunt separate i cele dou semiplane ale planului complex al variabilei s, notate SCS (semiplanul complex stng) i respectiv SCD (semiplanul complex drept); de asemenea, graficul mai red i cele dou axe, cea real i cea imaginar, ultima delimitnd cele dou semiplane.


117

n continuare se va analiza stabilitatea sistemic a automobilului pe baza modelelor matematice stabilite anterior (capitolul 3), sau a altora n funcie de scopul urmrit. Trebuie precizat de la nceput c studiul stabilitii n prezena neliniaritilor generate de ofer prin acionarea pedalei de acceleraie i studiul stabilitii innd cont de timpul de reacie al acestuia se vor efectua separat, n domeniul frecvenei.

Astfel, n figura nr. 5.4 se prezint stabilirea modelului matematic V = f(), prin componenta sa liniar, cu dependena vitezei de deplasare V n funcie de poziia clapetei obturatoare , pentru proba experimental L8, similar cu modelul prezentat n figura nr. 3.12. De data aceasta s-au prezentat numai polinoamele B(s) i A(s) ale modelului continuu, astfel c pentru aceast prob funcia de transfer este de forma (3.57):

( ) 1,17( )( ) 0,623

B sW sA s s

(5.4) ceea ce corespunde unei ecuaii difereniale de ordinul I de forma (3.59):

( ) 0,623 ( ) 1,17 ( )V t V t w t , (5.5) adic de forma (3.60):

( ) 0,623 ( ) 1,17 ( ( ))V t V t f t (5.6) cu neliniaritatea static din figura nr. 5.5, unde este redat i timpul de ntrziere .

Dup cum se constat din figura nr. 5.4, ecuaia caracteristic A(s) = 0: ( ) 0 0,623 0 0,623 0A s s s (5.7)

are rdcina n SCS i deci sistemul este stabil.

Viteza de deplasare n funcie de poziia clapetei obturatoare, V = f(), proba L8, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.4


118

Neliniaritatea static de la intrare i timpul de ntrziere intrare ieire, model V = f(), proba L8, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.5

n figura nr. 5.4 se prezint i valorile coeficientului de transfer static k i ale constantei de timp T pentru proba L8, caz n care expresia (5.4) devine:

1,88( )1 1,61 1

kW sTs s

(5.8) ce constituie exprimarea standard a funciei de transfer a unui sistem dinamic de ordinul I.

Pentru toate cele 60 probe experimentale, anterior s-a stabilit modelul matematic de tipul V = f(), coeficienii afereni ai funciilor de transfer fiind prezentai n figura nr. 3.20. Corespunztor acestora, n figura nr. 5.6 se redau polii funciilor de transfer pentru cele 60 probe experimentale.

Valorile polilor funciei de transfer pentru modelul V = f(),

60 probe experimentale, autoturismul Logan Laureate

Partea real

Fig. nr. 5.6


119

Dup cum se constat din figura nr. 5.6, toate rdcinile ecuaiei caracteristice (toi polii funciilor de transfer) se gsesc n SCS (semiplanul complex stng al variabilei s), n plaja s {6,177; 0,127} i ca urmare sistemul este stabil; mai mult, se constat c toi polii sunt reali (cu partea imaginar nul).

n mod similar se procedeaz i pentru alt tip de model matematic. Spre exemplu, n continuare este vizat modelul de tip V = f(, n) care ofer valorile vitezei de deplasare V n funcie de poziia clapetei obturatoare (aciunea oferului) i de turaia motorului n. Pentru acest model, n figura nr. 3.27 a fost oferit exemplul probei L29, unde s-a stabilit o ecuaie diferenial de ordinul I similar ca la modelul V = f(). Pentru toate cele 60 probe experimentale, n figura nr. 5.7 se prezint dispunerea polilor funciilor de transfer n cazul modelului de tip V = f(, n) la care se adopt o ecuaie diferenial de ordinul I. Dup cum se constat din grafic, toi polii sunt situai n SCS (rdcinile ecuaiei caracteristice sunt reale i negative) i ca urmare sistemul este stabil; mai trebuie observat c n acest caz nu exist zerouri ale funciilor de transfer, deoarece polinomul de la numrtor este o constant (vezi figura nr. 3.27).

Dispunerea polilor funciilor de transfer, model matematic V = f(, n), ecuaie ordinul I

60 probe, autoturismul Logan Laureate

Axa real

Fig. nr. 5.7

Pentru a evidenia semnificaia stabilitii n sens sistemic, n continuare se ncearc, din considerente de precizie ridicat, stabilirea unor modele de tipul V = f(, n) la care se adopt o ecuaie diferenial de ordinul al II-lea; un asemenea exemplu este dat n figura nr. 5.8 pentru proba L11. Din grafic rezult polinomul caracteristic:

2( ) 0,505 0,53A s s s , (5.9) de unde se obin rdcinile ecuaiei caracteristice (polii funciilor de transfer, aici fiind dou):

2 1,2( ) 0 0,505 0,53 0 0,252 0,683A s s s s i , (5.10) deci dou rdcini complex-conjugate, cu partea real negativ, deci rdcinile sunt n SCS; conform criteriului de stabilitate al poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice, rezult c sistemul este stabil la proba L11.


120

n mod similar se procedeaz pentru orice prob experimental n cazul aceluiai model de tip V = f(, n). Dac ns se adopt ecuaii difereniale de ordinul al II-lea pentru toate probele, se obine graficul din figura nr. 5.9.

Viteza de deplasare n funcie de poziia clapetei obturatoare i de turaia motorului,

V = f(, n), proba L11, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.8

Dispunerea polilor i zerourile funciilor de transfer, model V = f(, n), ecuaie ordinul II,

60 probe, autoturismul Logan Laureate

Axa real

Fig. nr. 5.9


121

Aa cum se constat din figura nr. 5.9, exist probe la care polii funciei de transfer sunt situai n SCD i deci n aceste cazuri sistemul nu este stabil. De exemplu, proba marcat B are o funcie de transfer cu doi poli complex-conjugai de valori s1,2 = 0,426 0,799i. Deoarece partea real este pozitiv, rezult c polii sunt situai n SCD i ca urmare sistemul este instabil pentru aceast prob, care are polinomul caracteristic A(s) = s2 0,852s + 0,82.

n figura nr. 5.9 se prezint i proba marcat A, la care suprareglajul depete valorile recomandate i menionate anterior; la aceast prob = 50,4 % fa de maxim 25 % recomandat pentru un sistem performant.

Aadar, pentru modelul de tip V = f(, n) nu trebuie adoptat o ecuaie diferenial de ordinul al II-lea la fiecare din cele 60 probe experimentale avute la dispoziie, deoarece la unele din acestea sistemul devine instabil dinamic; n plus, la probele la care este stabil, se pot obine performane nesatisfctoare. n schimb, aa cum se constat din figura nr. 3.28, pentru modelul V = f(, n) se poate adopta o ecuaie diferenial de ordinul al II-lea dar pentru toate datele celor 60 probe experimentale (deci un model matematic generalizat); aa cum se constat din figura nr. 3.28, n acest caz ecuaia caracteristic este:

2( ) 5,43 3,133 0A s s s (5.11) cu rdcinile s1,2 = 0,5 2,883i, care sunt situate n SCS (partea real negativ i partea imaginar nenul) i deci sistemul este stabil.

n mod similar, aa cum se constat din fig.3.30, pentru modelul a = f(, n), cu a acceleraia automobilului, se poate adopta o ecuaie diferenial de ordinul al II-lea pentru toate datele celor 60 probe experimentale (deci un model matematic generalizat); aa cum se constat din figura nr. 3.30, n acest caz ecuaia caracteristic este:

2( ) 1,678 4,198 0A s s s (5.12) cu rdcinile s1,2 = 0,5 2,372i situate n SCS i deci sistemul este stabil.

5.2. Stabilitatea n domeniul frecvenei Pentru studiul stabilitii n domeniul frecvenei se aplic criteriile lui Nyquist, Bode, Nichols

i Mihailov; deoarece necesit o abordare mai ampl, n continuare se prezint numai unele elemente, n literatura de specialitate fiind redate n detaliu toate criteriile menionate [44; 45].

Criteriul lui Nyquist prezint trei cazuri posibile, toate acestea viznd punctul critic C(1;0) pentru un sistem n stare deschis; punctul critic are coordonatele menionate pentru un sistem cu bucl de reacie negativ unitar.

Astfel, de exemplu conform cazului 1, un sistem stabil n stare deschis este stabil i n stare nchis dac CFAF a sistemului n stare deschis nu nconjoar n sens orar punctul critic C(1;0).

Conform acestei formulri, sistemul din figura nr. 5.10 este stabil n stare nchis, deoarece curba pentru pulsaii pozitive nu nconjoar punctul critic C; n grafic este redat i expresia funciei de transfer (1), cu rdcinile (2) situate n SCS, deci sistemul n stare deschis este stabil.

Conform criteriului lui Bode (una din formulri), pentru ca un sistem s fie stabil n stare nchis (cu considerarea buclei de reacie) este necesar i suficient ca reprezentarea faz pulsaie (CLFF) a sistemului deschis (fr considerarea buclei de reacie) s intersecteze orizontala ntr-un punct situat dup intersecia cu axa absciselor a reprezentrii amplitudine pulsaie (CLFA) a acestuia. n figura nr. 5.11 se prezint diagramele lui Bode pentru acelai sistem.


122

Diagrama lui Nyquist (caracteristica de frecven n amplitudine i faz CFAF) pentru un sistem de ordinul II stabil

Fig. nr. 5.10

Diagramele lui Bode (caracteristica logaritmic de frecven n amplitudine i faz CLFAF) pentru un sistem de ordinul II stabil

a) Caracteristica logaritmic de frecven n amplitudine CLFA

b) Caracteristica logaritmic de frecven n faz CLFF

Fig. nr. 5.11

Caracteristicile n frecven redate s-au obinut conform celor prezentate n subcapitolul 4.2.

n figura nr. 5.11 se prezint i valorile rezervelor de stabilitate: marginea de stabilitate n faz Mf = 41,2 grade la pulsaia = 1,73 rad/s; marginea de stabilitate n amplitudine Ma = (vezi subcapitolul 4.2).


123

De asemenea, funciile de frecven (pulsaie) au fost obinute conform celor prezentate n subcapitolul 4.2, pe baza funciei de transfer n imagini Laplace:

21,3( )0,5 2

W ss s

(5.13) Substituind s = j, cu 1j i pulsaia, se obine funcia de transfer n imagini Fourier:

2 21,3 1,3( )

( ) 0,5 2 2 0,5W j

j j j (5.14)

Pe baza relaiilor (4.29) se obin FRF i FIF:

2

4 2 4 22,62 1,31 0,655( ) ; ( )

3,75 4 3,75 4u v , (5.15)

cu care se construiete diagrama lui Nyquist din figura nr. 5.10. De asemenea, pe baza relaiei (4.33) se deduce expresia FFA:

4 2

2 24 2

1,7161 6,4354 6,8644( ) ( ) ( )3,75 4

A u v (5.16) din care se obine FLFA pe baza expresiei (4.37):

4 2

4 21,7161 6,4354 6,8644( ) 20lg ( ) 20lg

3,75 4L A (5.17)

n plus, pe baza relaiei (4.34) rezult FFF:

2( ) 0,655( ) arctan arctan( ) 2,62 1,31

v mu (5.18)

Ca urmare, cu ajutorul expresiilor (5.17) i (5.18) se obin diagramele lui Bode din figura nr. 5.11. n continuare nu se vor aplica criteriile de stabilitate n frecven pentru studiul dinamicii

automobilului, deoarece n acest scop s-a aplicat criteriul de stabilitate n timp, i anume criteriul poziiei rdcinilor ecuaiei caracteristice; de aceea, criteriile n frecven se vor aplica n cazurile speciale de mai jos.

1. n primul rnd, se va studia stabilitatea sistemic innd cont de timpul de ntrziere , unde se ncadreaz i timpul de reacie al oferului; aa cum s-a tratat n subcapitolul 2.1, este cazul sistemelor cu ntrziere. n figura nr. 2.17 s-au prezentat cele dou cazuri de dispunere n schema structural a sistemului a unui element ntrzietor (EI), i anume pe legtura principal i pe bucla de reacie. Conform figura nr. 2.17 i considernd c funcia de transfer a sistemului n stare deschis Wd(s) fr considerarea EI este n imagini Laplace sub forma raportului a dou polinoame:

( )( )( )d

P sW sQ s

(5.19) atunci funcia de transfer a sistemului cu ntrziere n stare deschis (fr considerarea buclei de reacie) este:

( )( )( ) ( )e e ; ( ) ( )e( ) ( )

s s sd

P sP sW s W s P s P sQ s Q s

(5.20)


124

Stabilitatea sistemelor cu ntrziere se apreciaz cu ajutorul criteriului lui Nyquist, care utilizeaz funcia de transfer n frecven a sistemului n stare deschis W (j). Formularea criteriului la aceste sisteme este similar celei de la sistemele fr element ntrzietor, prin stabilirea poziiei caracteristicii de frecven n amplitudine i faz (CFAF) n raport cu punctul critic C(1; 0) dac sistemul are bucl de reacie negativ.

Astfel, din relaia (5.20) rezult: ( )( )( ) ( )e ( )e e ( )e jj j jdW j W j A A

(5.21) Unde A() reprezint funcia de frecven n amplitudine (FFA) a sistemului deschis fr considerarea EI (fr ntrziere), iar () funcia de frecven n faz (FFF) a acestuia. Din relaia (5.21) rezult funcia de frecven n faz a sistemului cu ntrziere n stare deschis:

( ) ( ) (5.22) Din relaiile (5.21) i (5.22) se constat c existena EI nu modific modulul A() al FFA a

sistemului deschis fr ntrziere, dar introduce suplimentar un defazaj negativ proporional cu pulsaia (de valoare ), coeficientul de proporionalitate fiind timpul de ntrziere ; dac aceast mrime este constant, exist un sistem cu ntrziere constant.

Cunoscnd funcia de frecven n amplitudine i faz (deci i CFAF) a sistemului fr ntrziere n stare deschis Wd(j), se construiete uor CFAF a sistemului cu ntrziere n stare deschis W (j). Pentru aceasta, fiecare modul A(i) al vectorului caracteristic Wd (j) trebuie s se roteasc cu unghiul i n sens orar. Pentru o CFAF de spea I (fr intersecii cu axa absciselor n stnga punctului critic), odat cu creterea pulsaiei unghiul i crete, iar modulul A() se micoreaz, de aceea vectorul W (j) are o form spiral i se rotete n jurul originii axelor de coordonate. Pentru CFAF de spea I existena EI nrutete stabilitatea, deoarece din cauza defazajului suplimentar de valoare , CFAF se apropie de punctul critic C(1; 0).

Caracteristica de frecven n amplitudine i faz a sistemului cu ntrziere n stare deschis W (j) se traseaz pe baza relaiilor (5.21) i (5.22). Pentru stabilirea componentelor u() i v() ale funciei W (j) se poate proceda ns i avnd n vedere relaiile similare cu cele pentru Wd (j):

( ) ( )cos ( ); ( ) ( )sin ( )u A v A (5.23) n care () se calculeaz cu expresia (5.22).

Pentru a evidenia posibilitatea stabilizrii unui sistem cu ntrziere se variaz constanta de timp pn cnd caracteristica W (j) trece prin punctul critic C(1; 0), situaie n care sistemul n stare nchis se va gsi la limita de stabilitate; rezult c n acest caz timpul de ntrziere are valoarea critic cr (numit i valoarea-limit lim), modulul funciei W (j) are valoarea 1, iar pulsaia este cr, obinndu-se astfel din relaia (5.21):

( )( ) ( )e ( )e e 1cr cr cr cr crj j jcr d cr crW j W j A (5.24)

Condiia (5.24) se poate scrie separat pentru amplitudine (modul) i faz (argument): amplitudinea:

( ) ( ) 1cr crA W j (5.25) faza:

( )cr ( )cr (2 1) ; 0,1,2,3,...cr cr k k (5.26) Din relaia (5.25) se determin cr i apoi din expresia (5.26) se calculeaz expresia general

pentru cr: ( ) (2 1) ( ) 2cr cr

crcr cr cr

k k (5.27)


125

Pentru sistemele cu ntrziere cea mai mare importan o are timpul de ntrziere minim (pentru k = 0), care constituie totodat i valoarea-limit (expresia particular pentru timpul critic cr):

( )arctg( ) ( ) ( )

d cr

cr d cr crcr

cr cr cr

vu

, (5.28)

unde: ( )

( ) arctg( )

d crcr

d cr

vu

(5.29) reprezint rezerva de stabilitate n faz a sistemului fr ntrziere (cu neglijarea elementului ntrzietor EI).

n continuare se exemplific influena timpului de reacie asupra stabilitii prin considerarea probei L8 a autoturismului Logan Laureate, pentru care s-a stabilit funcia de transfer (5.8), cu rezultatele din figura nr. 5.4:

1,88( )

1 1,61 1kW s

Ts s (5.30)

cu k coeficientul de transfer static i T constanta de timp. Substituind s = j, cu 1j i pulsaia, se obine funcia de transfer n imagini Fourier:

1,88( )

1,61 1W j

j (5.31)

Aplicnd relaiile prezentate n subcapitolul 4.2, se obin FRF i FIF: 21,88( ) Re ( ) 1 2,592u W j (5.32)

i respectiv: 23,027( ) Im ( ) 1 2,592v W j

(5.33) cu care se traseaz diagrama Nyquist din figura nr. 5.12 pentru timpul de reacie nul ( = 0 s), deci curba 1. Dup cum se constat din grafic, curba 1 nu nconjoar punctul critic C(1; 0) i deci sistemul este stabil pentru un timp de reacie nul.

n grafic sunt trasate i alte curbe, corespunztoare unor valori nenule ale timpului de reacie i folosind relaiile prezentate mai sus. n acest scop, la funcia de transfer (5.30) se adaug i funcia de transfer a elementului ntrzietor:

( ) e siW s (5.34)

i deci funcia de transfer a sistemului cu ntrziere devine:

1,88( ) e e

1 1,61 1s skW s

Ts s (5.35)

Folosind relaiile prezentate mai sus i funcia de transfer (5.35) se obin curbele 2 i 3 din figura nr. 5.12, prima pentru = 3,5 s, iar a doua pentru = 4,5s.

Dup cum se constat din figura nr. 5.12, pentru = 3,5 s sistemul este stabil, iar pentru = 4,5 s devine instabil deoarece curba 3 nconjoar n sens orar punctul critic C(1; 0).


126

De asemenea, folosind relaiile date mai sus, din expresia (5.28) se stabilete timpul de reacie critic cr, pentru care curba 4 din figura nr. 5.12 trece prin punctul critic C(1; 0); se obine astfel cr = 4,053 s.

Diagrama lui Nyquist (caracteristica de frecven n amplitudine i faz CFAF)

pentru proba L8, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.12

Referitor la cele prezentate, trebuie menionate dou aspecte importante n practic. Un prim aspect se refer la faptul c studiul stabilitii i determinarea timpului de reacie critic au o mare importan n trafic. Spre exemplu, dac ntr-o coloan (ntr-un trafic aglomerat) un ofer are un timp de reacie mai mare dect cel critic, atunci poate genera accidente prin coliziunea cu un alt autovehicul. n acest caz trebuie observat c stabilitatea micrii simbolizeaz capacitatea unui autovehicul de a satisface o anumit restricie impus (meninerea unei distane minime fa de autovehiculul din fa, pstrarea unei direcii de deplasare etc.).

Un al doilea aspect are la baz faptul c pe timpul deplasrii automobilului intervin de fapt doi timpi de ntrziere. Astfel, n subcapitolul 2.1 s-a evideniat existena timpului de reacie al oferului (vezi i figurile nr. 2.16 i 2.18); similar, n subcapitolul 3.3 s-a evideniat existena timpului de ntrziere dintre mrimea de ieire i cea de intrare a sistemului (vezi i figura nr. 3.19). Ambii timpi menionai au fost notai cu deoarece au aceeai semnificaie i acelai mod de abordare; ca urmare, funcia de transfer (5.34) devine:

1 2( )( ) e siW s , (5.36)

unde 1 reprezint timpul de reacie al oferului, iar 2 timpul de ntrziere dintre mrimea de ieire i cea de intrare a sistemului.

Aadar, la abordarea stabilitii n prezena timpului de ntrziere trebuie luai n considerare ambii timpi menionai, ceea ce nseamn c sistemul devine instabil la timpi de reacie ai oferului mai mici dect n cazul n care se neglijeaz timpul de ntrziere dintre mrimea de ieire i cea de intrare.

Spre exemplu, n continuare se va stabili timpul de reacie critic al oferului 1 n cazul modelului matematic V = f() cu dependena vitezei V n funcie de poziia clapetei obturatoare (aciunea oferului) pentru cele 60 probe experimentale. Pentru acest model matematic, n figura


127

nr. 3.19 s-a stabilit timpul de ntrziere pe probe dintre mrimea de ieire i cea de intrare a sistemului 2. Timpul critic cr se stabilete cu expresia (5.28) i rezult astfel timpul de reacie critic al oferului 1:

1 2cr (5.37) ale crui valori sunt redate n figura nr. 5.13. Dup cum se constat din grafic, pentru o anumit valoare impus 1 = 1 s (la care se consider, de exemplu, c poate aprea un accident), din cele 60 probe experimentale la 6 din acestea timpul de reacie al oferului este sub 1 s, iar la 54 probe este peste 1 s.

Timpul de reacie critic al oferului, modelul matematic V = f(), 60 probe experimentale, autoturismul Logan Laureate

Numr prob

Fig. nr. 5.13

De asemenea, dup cum se remarc din grafic, exist probe la care practic timpul de reacie nu

poate genera o anumit problem n trafic (de exemplu, probele L5, L6, L38, L43 etc.). n mod similar se analizeaz n cazul unui alt model matematic. Astfel, n figura nr. 5.14 se

prezint valorile pe probe ale timpului de reacie critic al oferului 1 n cazul modelului matematic V = f(, n) cu dependena vitezei V n funcie de poziia clapetei obturatoare (aciunea oferului) i turaia motorului n, pentru cele 60 probe experimentale. Dup cum se constat din grafic, introducerea n model a nc unei mrimi factoriale (turaia motorului) schimb valorile timpului de reacie, ceea ce confirm nc odat c la automobilele cu control electronic interdependena dintre mrimi este mai accentuat, calculatorul de bord superviznd funcionarea de ansamblu.


128

Timpul de reacie critic al oferului, modelul matematic V = f(, n), 60 probe experimentale, autoturismul Logan Laureate

Numr prob

Fig. nr. 5.14

Astfel, n acest caz doar la 3 probe timpul de reacie al oferului este mai mare de 1 s, iar la

57 probe este sub 1 s; aceasta nseamn c riscul apariiei unor accidente este mai mare n acest caz fa de cel anterior. Aadar, luarea n considerare a celor dou variabile independente frecvent folosite n literatura de specialitate (turaia i sarcina motorului, ultima prin poziia clapetei obturatoare) asigur un studiu sistemic mai realist al dinamicii automobilului.

2. n al doilea rnd, se va studia stabilitatea sistemic n prezena neliniaritilor statice de tip releu, care, aa cum s-a tratat anterior (subcapitolul 2.1), marcheaz aciunea oferului pe timpul conducerii (prin acionarea pedalei de acceleraie). n acest caz se efectueaz liniarizarea descrierii matematice a unui sistem neliniar prin metoda liniarizrii armonice [44; 45].

Numit i metoda echilibrului armonic (metoda funciilor de descriere sau a bilanului armonic), aceasta constituie o extrapolare la sistemele neliniare a metodei analizei n frecven (pulsaie) aplicat la sistemele liniare; metoda se utilizeaz atunci cnd exist neliniariti statice de tip releu.

Fiind de fapt o metod de studiu al autooscilaiilor sistemelor neliniare, ea d posibilitatea stabilirii condiiilor de existen a autooscilaiilor i permite calculul parametrilor acestor micri periodice. Cum, n planul fazelor, autooscilaiile corespund ciclurilor-limit care separ oscilaiile ce se amortizeaz n timp de cele care se amplific, rezult c metoda permite i studiul stabilitii sistemelor neliniare.

Metoda funciilor de descriere se bazeaz pe aproximarea prin prima armonic (cea fundamental) din dezvoltarea n serie Fourier a unei mrimi care variaz n timp. Pentru a prezenta aceast metod, se consider c n schema structural a unui sistem oarecare se poate separa partea liniar de cea neliniar (nu numai fizic, ci i funcional). De asemenea, se consider c mrimea de intrare a prii neliniare este de tip armonic, i anume de forma:

0( ) sinx t x t , (5.38) n care amplitudinea x0 constituie o mrime necunoscut, de exemplu provenind de la partea liniar a sistemului, iar reprezint pulsaia.


129

Ca urmare, la ieirea prii neliniare se obine o mrime periodic, dar nesinusoidal, a crei form depinde de tipul neliniaritii respective. Variabila oarecare y(t) de la ieirea prii neliniare se poate descompune ntr-o serie de armonici prin dezvoltarea n serie trigonometric Fourier:

0 1 2 1 2( ) sin sin 2 ... cos cos2 ...2ay t a t a t b t b t (5.39)

sau, n form restrns: 0

1( ) sin cos

2 k kk

ay t a k t b k t

(5.40)

n care, dac y(t) este o funcie periodic, de perioad T: 2

00

2 2*

0 0

1 ( )d ;

1 1( )sin d ; ( )cos d ;

T

T T

k k

a y t tT

a y t k t t b y t k t t k NT T

(5.41)

Aa cum s-a mai menionat, metoda utilizeaz doar prima armonic (deci pentru care k = 1) i ca urmare:

01 1( ) sin cos2

ay t a t b t (5.42) Aadar, metoda neglijeaz armonicele superioare i deci adopt ipoteza c partea liniar se

comport ca un filtru trece-jos (acordat pe frecvena autooscilaiilor), astfel c este posibil ca semnalul de la intrarea elementului neliniar s rmn armonic, i anume de forma (5.38).

Fa de relaia general (5.42) exist urmtoarele dou cazuri particulare: dac elementul neliniar este simetric (exist o neliniaritate de tip releu simetric),

componenta continu din seria Fourier este nul (a0 = 0), deci valoarea medie a mrimii y(t) este zero; n acest caz:

1 1( ) sin cosy t a t b t (5.43) dac elementul neliniar este simetric i fr histerezis (adic neliniaritatea este univoc

determinat), atunci se obine a0 = 0, b1 = 0. Ca urmare, n aceast situaie: 1( ) siny t a t (5.44)

Considernd cazul general, definit de relaia (5.42), din expresia (5.38) rezult:

0

( )sin x ttx

, (5.45) precum i:

0d ( ) cos

dx t x t

t (5.46)

Din relaia (5.46) se obine:

0

1 d ( )cosdx tt

x t (5.47)


130

nlocuind expresiile (5.45) i (5.47) n relaia (5.42) rezult: 0 1 1

0 0

d ( )( ) ( )2 da a b x ty t x t

x x t (5.48)

Notnd: 1 1

0 1 00 0

( ) ; ( )a bq x q xx x

(5.49) din expresia (5.48) rezult:

0 1 00

( ) d ( )( ) ( ) ( )2 da q x x ty t q x x t

t (5.50)

sau, n form operaional (p d/dt): 0 1 0

0( )( ) ( ) ( )

2a q xy t q x p x t (5.51)

i respectiv n forma imaginilor Laplace: 0 1 0

0( )( ) ( ) ( )

2a q xY s q x s X s

s (5.52)

Dac neliniaritatea este simetric, atunci a0 = 0 i relaia (5.52) devine: 1 0

0( )( ) ( ) ( )q xY s q x s X s (5.53)

n planul complex Fourier, relaia (5.53) devine, pentru s = j: 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )Y j q x jq x X j (5.54)

Se definete funcie de descriere mrimea: 0 0 1 0( ) ( ) ( )N x q x jq x (5.55)

care reprezint o mrime complex (un fazor), posednd modul i faz, putnd fi deci scris sub forma: 0( )

0 0( ) ( )ej xN x A x (5.56)

n care modulul (amplitudinea) este:

2 20 0 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )A x N x q x q x (5.57)

iar faza rezult din relaia:

1 00 00

( )( ) arg ( ) arctg( )

q xx N xq x

(5.58) Din relaiile (5.54) i (5.55) se constat c funcia de descriere (f.d.d.) se poate considera o

funcie de transfer echivalent a elementului neliniar, dar liniarizat armonic: 0 0 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )nelW x N x q x jq x (5.59)


131

Ca urmare, i funcia de descriere posed proprietile unei funcii de transfer (f.d.t.). Astfel, modulul f.d.d. reprezint raportul dintre amplitudinea fundamentalei semnalului de ieire i amplitudinea semnalului armonic de la intrare, iar faza f.d.d. reprezint defazajul (diferena) dintre fundamental i oscilaia de la intrare. De asemenea, i f.d.d. poate fi reprezentat grafic, pentru o variaie x0 (0,), obinndu-se astfel locul funciei de descriere (hodograful acesteia). n sfrit, trebuie artat c pentru cazul neliniaritilor simetrice i fr histerezis (a0 = 0, b1 = 0), f.d.d. reprezint un numr real ce exprim raportul dintre amplitudinea fundamentalei i cea a oscilaiei de la intrare, ambele fiind n faz (defazajul este nul); n acest caz locul f.d.d. se confund cu semiaxa pozitiv real (de exemplu, n cazul releului ideal).

Aadar, f.d.d. reprezint o mrime complex numai n cazul elementelor neliniare cu caracteristic static tip releu cu bucl histerezis, unde b1 0, deci q1(x0) 0.

Expresiile de tipul (5.50) i (5.51) reprezint, fiecare n parte, o liniarizare armonic a unei funcii neliniare y = f(x). Coeficienii q(x0) i q1(x0), care depind, n acest caz, numai de amplitudinea x0, nu i de pulsaia (ca i funcia de descriere), se pot gsi n tabele prezentate n literatura de specialitate pentru diferite caracteristici statice neliniare de tip releu [44; 45] sau se pot calcula cu ajutorul relaiilor (5.49) i (5.41). n continuare se prezint unele din aceste expresii, aferente neliniaritilor statice de tip releu din figura nr. 2.2:

pentru neliniaritatea de tip releu ideal din figura nr. 2.2a:

0 1 00

4( ) ; ( ) 0cq x q xx

(5.60) pentru neliniaritatea de tip releu cu zon moart din figura nr. 2.2b:

2

0 0 1 020 0

4( ) 1 , cu ; ( ) 0c bq x x b q xx x

(5.61)

pentru neliniaritatea de tip releu cu saturaie din figura nr. 2.2c: 2

0 0 1 020 0 0

2( ) arcsin 1 , cu , ; ( ) 0k b b b cq x x b k q xx x bx

(5.62)

pentru neliniaritatea de tip releu polarizat din figura nr. 2.2d:

2

0 0 1 02 20 0 0

4 4( ) 1 , cu ; ( )c b bcq x x b q xx x x

, (5.63)

ultima coninnd i partea imaginar, conform celor menionate anterior. La sistemele neliniare, n general, pot aprea autooscilaii (micri periodice) de amplitudine

i frecven constante, pe timpul funcionrii acestora n regim liber, deci chiar n absena perturbaiilor armonice la intrarea sistemului. Aceste autooscilaii nu se aseamn cu oscilaiile ntreinute care apar la sistemele liniare aflate la limita de stabilitate oscilatorie, deoarece n acest ultim caz micarea periodic exist chiar de la nceputul procesului dinamic. De asemenea, trebuie remarcat c sistemele liniare care prezint oscilaii ntreinute nu sunt utilizabile n practic, deoarece pot deveni oricnd instabile; n schimb, existena autooscilaiilor la sistemele neliniare nu nseamn implicit c acestea nu se pot utiliza n practic, deoarece oscilaiile cu amplitudine mic nu deranjeaz buna funcionare a sistemului respectiv.

Prezint deci interes s se determine parametrii caracteristici ai autooscilaiilor, adic amplitudinea i frecvena (pulsaia) acestora; n acest sens se utilizeaz relaiile stabilite anterior,


132

considerndu-se c s-au putut separa partea liniar i partea neliniar a unui sistem prevzut cu bucl de reacie negativ unitar (figura nr. 5.15), iar partea neliniar este liniarizat [44; 45].

( ) ( )t y t ( ) 0u t ( )x t ( )y t0( )nelW x

NELINLIN

(p)(p)(p)lin

BWA

Fig. nr. 5.15

Din figura nr. 5.15 rezult ecuaia diferenial ce descrie partea liniar a SA, scris n forma operaional:

A(p) ( ) (p) ( )x t B t , (5.64) n care: A(p) operatorul diferenial liniar al mrimii x(t); B(p) operatorul diferenial liniar al mrimii (t).

Deoarece se analizeaz regimul liber, adic u(t) = 0, rezult (t) = y(t) i deci ecuaia (5.64) devine: A(p) ( ) B(p) ( )x t y t , (5.65)

de unde rezult funcia de transfer a prii liniare, scris n form operaional (de argument p = d/dt): ( ) (p)(p)( ) (p)lin

x t BWy t A

(5.66) sau, n imagini Laplace (de argument s):

( ) ( )( )( ) ( )lin

X s B sW sY s A s

(5.67) Efectund substituia s = j, se obine funcia de transfer n frecven (pulsaie) a prii liniare:

( )( )( )lin

B jW jA j

(5.68) Fiind o mrime complex, Wlin(j) are o parte real i una imaginar:

( ) Re ( ) ; ( ) Im ( )lin lin lin linU W j V W j (5.69) i deci:

( ) ( ) ( )lin lin linW j U jV (5.70)

Din relaia (5.65) rezult: ( )( ) ( )( )

B px t y tA p

(5.71) care se nlocuiete n expresia (5.68) i se obine:

1 0 00

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

q x aA p B p q x p y t A p (5.72)


133

sau, n imagini Laplace:

1 0 00

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

q x aA s B s q x s Y s A s (5.73) Rezult astfel ecuaia caracteristic a sistemului liniarizat armonic:

1 00

( )( ) ( ) ( ) 0q xA s B s q x s (5.74) Efectund substituia s = j, se obine:

0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0A j B j q x jq x , (5.75) de unde rezult:

0 1 0

( ) 1( ) ( ) ( )

B jA j q x jq x

(5.76) sau, avnd n vedere expresia (5.68):

0 1 0

1( )( ) ( )lin

W jq x jq x

(5.77) Ca urmare, innd cont de relaia (5.59), ecuaia caracteristic (5.75) devine:

01 ( ) ( ) 0lin nelW j W x , (5.78) de unde rezult:

0

1( )( )lin nel

W jW x

(5.79) n aceast expresie:

0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( )nelW x q x jq x N x , (5.80) unde N(x0) reprezint funcia de descriere ce constituie o funcie de transfer echivalent a prii neliniare, dar liniarizat armonic.

Membrul stng al relaiei (5.77) conine o singur necunoscut, i anume pulsaia . Membrul drept al acestei expresii conine, de asemenea, o singur necunoscut, i anume amplitudinea x0 > 0. Membrul drept se poate scrie sub urmtoarea form, prin nmulire cu conjugatul numitorului:

0 1 02 2 2 2

0 1 0 0 1 0 0 1 0

( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

q x q xjq x jq x q x q x q x q x

(5.81)

sau:

0 00

1 ( ) ( )( ) nel nelnel

U x jV xW x

, (5.82) unde s-au notat:

0) 1 00 02 2 2 2

0 1 0 0 1 0

( ( )( ) ; ( )( ) ( ) ( ) ( )nel nel

q x q xU x V xq x q x q x q x

(5.83)


134

n felul acesta relaia (5.77) are forma final: 0 0( ) ( ) ( ) ( )lin lin nel nelU jV U x jV x (5.84)

Ca urmare, se pot construi n planul complex (U, V) dou caracteristici de frecven n amplitudine i faz (diagrame Nyquist):

pentru partea liniar: Vlin() = f[Ulin()], prin variaia pulsaiei (0,); pentru partea liniarizat: Vnel(x0) = f[Unel(x0)], prin variaia amplitudinii x0 (0,). Prin intersecia celor dou curbe se obin cele dou necunoscute ce reprezint parametrii

caracteristici ai autooscilaiilor: pulsaia (notat i cu 0, pentru a fi mai clar) i amplitudinea x0. n mod evident, dac nu exist puncte de intersecie ale celor dou curbe, atunci nu exist autooscilaii (micri periodice) n rspunsul sistemului neliniar vizat.

Mai trebuie remarcat c intersecia celor dou curbe nseamn, conform relaiei (5.84), stabilirea amplitudinii x0 i a pulsaiei prin rezolvarea sistemului algebric:

0

0

( ) ( )( ) ( )

lin nel

lin nel

U U xV V x

(5.85)

n cazul n care exist autooscilaii, perioada acestora este: 2T , (5.86)

iar frecvena se calculeaz cu expresiile cunoscute: 1

2 T (5.87)

n relaia (5.79) se noteaz mrimea:

00

1( )( )nel

C xW x

, (5.88) care se numete funcie critic a sistemului liniarizat armonic, iar graficul su constituie un loc geometric al punctelor critice, numit locul critic. Dup cum se constat, la sistemele neliniare nu exist numai un punct critic (ca la sistemele liniare), ci o mulime de puncte critice; altfel spus, sistemele neliniare sunt caracterizate de punct critic variabil.

Avnd n vedere expresia (5.80), din relaia (5.88) rezult:

0 0 00 1 0

1( ) ( ) ( )( ) ( ) nel nel

C x U x jV xq x jq x

(5.89) unde Unel(x0) i Vnel(x0) se exprim prin relaiile (5.83); se poate obine astfel graficul funciei critice, adic locul critic, prin variaia amplitudinii x0 (0,).

Locul critic se folosete pentru studiul stabilitii sistemelor neliniare, n particular n scopul aprecierii stabilitii unui ciclu-limit, deci a unei micri periodice, n cazul existenei unor neliniariti statice de tip releu. n acest scop se aplic criteriul lui Nyquist, care n acest caz se formuleaz astfel: soluia periodic (x0, 0) este stabil dac pentru x > x0 punctul critic (x0, 0) rmne la dreapta pe locul critic C(x0), iar pentru x > x0 rmne la stnga, atunci cnd pulsaia variaz de la zero la infinit. n mod evident, n caz contrar soluia periodic este instabil.

n continuare se prezint un exemplu de stabilire a ciclului-limit la proba experimental L4, n cazul modelului matematic V = f() cu dependena vitezei V de poziia clapetei obturatoare .


135

Conform celor prezentate anterior, pentru aceast prob s-a obinut funcia de transfer n forma imaginilor Laplace:

0,7697( )0,6292

W ss

, (5.90) adic expresia (1) din figura nr. 5.16a. Pentru substituia s = j se obine funcia de transfer n imagini Fourier:

0,7697( )0,6292

W jj

, (5.91) de unde rezult FRF i FIF ale prii liniare:

20,4843( ) Re[ ( )]

0,3959linU W j (5.92)

i respectiv:

20,7697( ) Im[ ( )]

0,3959linV W j (5.93)

Cu cele dou funcii de frecven se traseaz diagrama Nyquist a prii liniare, prezentat n figura nr. 5.16a pentru pulsaii pozitive [0; +].

Pentru acest exemplu, se consider c oferul acioneaz pedala de acceleraie ca n figura nr. 2.2d, deci induce o neliniaritate static de tip releu polarizat din dorina de a menine viteza experimental a probei L4 cu abateri de cel mult 5 km/h. n consecin se opereaz cu expresiile (5.63) ale releului polarizat, unde b = 5 (de la impunerea 5 km/h), iar c = 0,5 (pedala de acceleraie poate fi acionat cu cel mult 50 %). Se pot obine astfel FRF i FIF, Unel i Vnel, ale releului polarizat liniarizat din expresiile (5.83).

Ca urmare, se pot construi n planul complex (U, V) dou caracteristici de frecven n amplitudine i faz (diagrame Nyquist), ca n figura nr. 5.16a: pentru partea liniar: Vlin() = f[Ulin()], prin variaia pulsaiei (0,); pentru partea liniarizat rezult locul critic C(x0): Vnel(x0) = f[Unel(x0)], prin variaia amplitudinii x0 (0,). Prin intersecia celor dou curbe se obin cele dou necunoscute ce reprezint parametrii caracteristici ai autooscilaiilor: pulsaia 0 i amplitudinea x0; aceste valori se evideniaz mai uor n detaliul din figura nr. 5.16b. Intersecia celor dou curbe nseamn rezolvarea sistemului algebric (5.85). Astfel, din Ulin = 0,013 rezult = 6,07 rad/s, iar din Vnel = 0,125 se obine x0 = 4,61, valori care sunt redate pentru punctul A0 din figura nr. 5.16b, aflat la intersecia verticalei U = 0,013 cu orizontala V = 0,125.


136

Stabilirea parametrilor autooscilaiilor n sistemul neliniar cu releu polarizat, proba L4, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.16

Dac se aplic criteriul lui Nyquist prezentat mai sus, se constat c soluia periodic (x0, 0) este stabil deoarece pentru x > x0 punctul critic A0(x0, 0) rmne la dreapta pe locul critic C(x0), iar pentru x > x0 rmne la stnga, atunci cnd pulsaia variaz de la zero la infinit.

Aplicnd relaiile prezentate anterior pentru x i y, se obine graficul din figura nr. 5.17, care evideniaz existena unui ciclu-limit stabil. Pe baza rezultatelor obinute, n figura nr. 5.18 se prezint cele trei componente ale vitezei la proba L4.

Ciclul-limit stabil n sistemul neliniar cu releu polarizat,

proba experimental L4, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.17


137

Viteza de deplasare n sistemul neliniar cu releu polarizat, proba experimental L4, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.18

n mod similar, n figurile nr. 5.19, 5.20 i 5.21 se prezint rezultatele obinute pentru proba experimental L35.

Aa cum se constat din figura nr. 5.19a, partea liniar are funcia de transfer n imagini Laplace: 2,353( )

1,711W s

s (5.94)

Stabilirea parametrilor autooscilaiilor n sistemul neliniar cu releu polarizat,

proba L35, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.19


138

Ciclul-limit stabil n sistemul neliniar cu releu polarizat, proba experimental L35, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.20

De asemenea, dup cum se constat din figura nr. 5.19b, la aceast prob s-a obinut soluia periodic (x0, 0) = (4,61; 19,05), deci cu aceeai amplitudine ca n cazul anterior.

Viteza de deplasare n sistemul neliniar cu releu polarizat, proba experimental L35, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.21


139

Graficele din figurile nr. 5.18 i 5.21 confirm aspectul menionat anterior, acela c existena autooscilaiilor la sistemele neliniare nu deranjeaz buna funcionare a acestora, deoarece oscilaiile au amplitudine mic. De asemenea, cele dou exemple arat c exist cicluri limit n cazul unor neliniariti statice de tip releu polarizat, dar aceste cicluri-limit sunt stabile.

n practic, impunerea meninerii unei viteze constante, care induce o neliniaritate static tip releu polarizat (vezi figura nr. 2.2d), conduce la un ciclu-limit cu variaii ale parametrilor b i c, deoarece oferul nu poate varia poziia pedalei totdeauna strict n aceeai plaj. Acest aspect se confirm i n figura nr. 5.22, unde sunt redate 4 probe experimentale la care s-a impus meninerea unei viteze constante menionate n grafice. Dup cum se constat din figura nr. 5.22, exist cte un ciclu-limit stabil, dar nu aa de perfect simetric ca de exemplu n figura nr. 5.20, unde parametrii b i c au o valoare constant.

Pentru comparaie cu figura nr. 5.22, n figura nr. 5.23 s-au prezentat grafice similare dar fr ca viteza de deplasare s fie impus la o anumit valoare constant (vitez de croazier); ntr-adevr, comparnd figura nr. 5.22 cu figura nr. 5.23, se constat tablouri dinamice diferite, specifice celor dou cazuri vizate.

Aadar, exemplele prezentate arat c exist cicluri-limit n cazul unor neliniariti statice de tip releu polarizat. Este interesant de vzut dac exist cicluri-limit i n cazul unor neliniariti statice cu saturaie (vezi figura nr. 2.2c).

Viteza de deplasare n funcie de poziia clapetei la deplasarea cu vitez constant impus,

4 probe experimentale, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.22


140

Viteza de deplasare n funcie de poziia clapetei la deplasarea cu vitez neimpus, 4 probe experimentale, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.23

n acest sens, n figura nr. 5.24 se prezint, similar cu exemplele anterioare, rezultatele obinute n cazul probei L26, la care funcia de transfer este:

1,579( )1,55

W ss

(5.95) De data aceasta, neliniaritatea este de tip saturaie i deci sunt valabile expresiile (5.62):

2

0 0 1 020 0 0

2( ) arcsin 1 , cu , ; ( ) 0k b b b cq x x b k q xx x bx

, (5.96)

ceea ce nseamn c Vnel = 0 conform expresiilor (5.83); rezult c locul critic C(x0) este o dreapt orizontal.


141

Stabilirea parametrilor autooscilaiilor n sistemul neliniar cu releu tip saturaie, proba L26, autoturismul Logan Laureate

Fig. nr. 5.24

Din grafic se constat c se obine punctul de intersecie dintre cele dou caracteristici A(21,5; 0); deoarece 0 = 0, rezult c nu exist ciclu-limit (perioada este infinit); acelai rezultat se obine i pentru celelalte probe.

Se poate deci concluziona c exist cicluri-limit stabile n cazul unor neliniariti statice de tip releu polarizat i nu exist cicluri-limit n cazul unor neliniariti statice de tip saturaie. Pentru alte tipuri de neliniariti statice, care simbolizeaz moduri de acionare de ctre ofer a pedalei de acceleraie, se trateaz n mod similar.

n sfrit, faptul c ciclurile-limit obinute pe baza datelor experimentale au amplitudine mic i sunt stabile, garanteaz faptul c aciunea oferului nu influeneaz negativ dinamica automobilelor prin pierderea stabilitii n sens sistemic, cu urmri n oprirea motorului, producerea unor accidente etc.

a5qwdqwd

Documents

Transcript of a5qwdqwd