106

METODE BAZATE PE APARATUL TRANSFORMATELORLAPLACE I LAPLACE-STIELTJES

Gh. MICOIUniversitatea Liber Internaional din Moldova, Chiinu

A. COSTEAUniversitatea Maritim din Constana, Romnia

Rezumatn lucrare se discut metoda ,,catastrofelor cunoscut nteorie ateptrii ca metoda introducerii unui evenimentsuplimentar. Se prezint exemple de aplicare a acestei metode.Cuvinte cheie: Transformat Laplace-Stieltjes, flux Poisson,ecuaie funcional Kendall.

1. Introducere

n cercetarea modelelor matematice ale ateptrii se folosesc cusucces diverse metode, fiecare avnd avantajele i neajunsurile ei. n celece urmeaz vom discuta unele metode i procedee bazate pe aparatultransformatelor Laplace i Laplace-Stieltjes, vom aminti unele proprietii noiuni, i vom prezenta o metod de cercetare cu o bogat istorie desucces n obinerea a noi rezultate n Teoria Ateptrii. Este vorba de aanumit metod a ,,catastrofelor, sau, cu alte cuvinte, de metodaintroducerii unui eveniment aleatoriu suplimentar. Aceast metod i areoriginea n lucrrile D. Van. Danzig [1] i H. Casten, J. Runnenburg [2]publicate n 1955 i 1956, respectiv, ns detaliat i argumentat ea a fostdezvoltat de G. P. Klimov n monografia [3], prima ediie a creia aaprut n a. 1966. B. V. Gnedenco, . A. Danielean, B. N. Dimitrov, G. P.Klimov, B. F. Matveev au extins aceast metod pentru cercetareamodelelor cu prioriti, publicnd n 1973 monografia fundamental [4]. Ogeneralizare a metodei ,,catastrofelor i aplicarea ei pentru cercetareamodelelor cu prioriti i timp de orientare a fost dat de G. P. Klimov iG. K. Micoi n monografia [5], publicat n a. 1979. Recent, aceastmetod a fost extins de G. K. Micoi i aplicat n cercetarea modelelorgeneralizate n monografia [6], aprut n 2009 la editura Academiei detiine a Moldovei. Esena metodei ,,catastrofelor const n faptul cintroducnd un eveniment suplimentar (,,catastrofa) se reuete de atribuit

107

un sens probabilist clar transformatelor Laplace i Laplace-Stieltjes, dupce se precaut evoluia sistemului de ateptare i se determin acesteprobabiliti. Mai jos vom precuta aceast metod n detalii prezentnd iunele exemple de aplicare. Dar mai nti vom da definiia de integralStieltjes, transformat Laplace i Laplace-Stieltjes.

2. Noiune de integral Stieltjes

Fie c funciile de variabil real g(x) i A(x) sunt date pe [a,b] i fiec A(x) este o funcie nedescresctoare cu variaie mrginit, continue destnga. Vom deviza [a,b] n n mici segmente astfel

bxxxxa nk =

108

Prin definiie se consider

+

=

b

aba

xdAxgxdAxg )()(lim)()( .

Unele prioriti a integralei Stieltjes

2.1. )()()( aAbAxdAb

a

=Vom observa c dac A(x) este funcie de repartiie a careiva variabile

aleatoare X atunci

}{)( bXaPxdAb

a

109

Dac ns )(s i )(x sunt transformatele Laplace-Stieltjes alefunciilor A(x) i B(x), respectiv, atunci

),()()( sssc = (3.1)unde prin c(s) s-a notat transformata Laplace-Stieltjes a funciei C(x).

Expresia (3.1) ne vorbete c operaia de convoluie se nlocuiete cuprodusul simplu al transformatelor, ceea ce este un mare avantaj, deoarecese evit operaia complicat de convoluie.

Fie c funcia A(t) de variabil real t satisface condiiilor:1. A(t)=0 pentru t

110

3.3. Fie c exist .)(lim AtAt

=

Atunci ),(lim0

sAs

= unde )(seste transformata Laplace-Stieltjes a funciei A(t). aceast proprietate estecunoscut ca teorema Tauber.

4. Metoda ,,catastrofelor

Vom nota prin A durata ,,vieii cruiva element, fie a unei sigurane,iar prin A(t) funcia sa de repartiie. Fie c independent de durata ,,vieiise produc careva evenimente, pe care le vom numi ,,catastrofe i careformeaz un flux Poisson cu parametrul s>0. Atunci numrul

)()(0

tdAes st = , (4.1)este probabilitatea c n durata ,,vieii nu s-a produs evenimentul,,catastrof. ntr-adevr, conform proprietilor fluxului Poisson,probabilitatea )(tPn c n intervalul [0,t) vor fi nregistrate n mesaje afluxului Poisson cu parametrul s, este

.!)()( st

n

n ensttP =

Din ultima expresie, pentru n=0 avem .)(0stetP = Cu alte cuvinte

ste este probabilitatea c n [0,t) nu a fost nregistrat (nu s-a produs) niciun mesaj al fluxului Poisson de ,,catastrofe. Pe de alt parte conformdefiniiei integralei Stieltjes avem

)}.,[{)( dtttAPtdA +=Astfel partea dreapt a formulei (4.1) este probabilitatea c n timpul

,,vieii elementului nu s-a produs nici un eveniment al fluxului de,,catastrofe, sau, cu alte cuvinte, nu s-a produs nici o ,,catastrof. naceasta i const metoda ,,catastrofelor. Datorit introducerii unuieveniment aleatoriu suplimentar ,,catastrof, care evident, nici cum nuinflueneaz asupra duratei ,,vieii elementului precutat, se reuete deatribuit transformatei Laplace-Stieltjes un sens probabilistic binedeterminat. Deoarece s a fost luat arbitrar, concluzia este valabil pentruoriice s>0.

111

n continuare vom prezenta unele exemple de aplicare a acesteimetode.

5. Modelul clasic .1GM Ecuaia Kendall

Vom considera binecunoscutul model de ateptare 1GM careconst dintr-o staie de servire la care sosesc pentru a fi servite un fluxPoisson de mesaje cu parametrul >0. Timpul de servire a mesajelor esteo variabil aleatoare B cu funcia de repartiie }.{)( xBPxB

112

).(!)()]([)(

00xdBe

kxess x

ksx

k

k

= (5.4)

ntr-adevr, pentru ca s se realizeze fr ,,catastrof este necesari suficient ca n timpul servirii B s nu se produc evenimentul,,catastrof (probabilitatea acestui eveniment este )),(xdBe sx nperioadele de ocupare asociate cu cele k0 mesaje sosite n timpul serviriiprimului mesaj, (probabilitatea este x

k

ekx !)(

) s nu se produc de

asemenea ,,catastrofa (probabilitatea este ks)]([ ).Din (5.4) rezult ==

+ )(!

))(()(0 0

)( xdBk

xsesk

k

xs

)(()()(0

))(()(

0

)( ssxdBexdBee xssxsxs +=== + + ,ceia ce i demonstreaz (5.1).

Vom demonstra formula (5.2). Vom observa c derivnd ambele prin (5.3) dup s obinem

).()(0

xdxes sx = Considernd n ultima expresie s=0, avem

10

)()0( == xdx . (5.5)Astfel, am obinut o procedur simpl de calcul a valorii medii a

variabilei aleatoare avnd dat doar transformata ei Laplace-Stieltjes. ncontinuare vom aplica (5.5) pentru a obine (5.2). Avem

)).(())(1()( ssss +=Considernd s=0, obinem

),0())0(1()0( =deoarece ,1)0( = sau 111 )1( += , de unde i rezult (5.2).

113

5.1. Modelul 1GM cu blocarea (vacana) serverului

n modelul clasic 1GM precutat mai sus se considera ca serveruleste oricnd disponibil pentru servire. Exist ns multiple exemple cndaceast condiie nu este realizabil. n prezent exist un bogat spectru depublicaii dedicat modelelor cu vacan a serverului (a se vedea, spreexemplu, monografia [8]). n cele din urm vom considera c n modelul

1GM serverul devine inaccesibil pentru o perioad , imediat cum sencepe perioada de ocupare. Vom nota prin (x) funcia de repartiie avacanei serverului, iar prin )(s i 1 transformata ei Laplace-Stieltjes ivaloarea medie, respectiv. Vom nota prin )(s transformata Laplace-Stieltjes a perioadei de ocupare pentru modelul precutat.

Teorema 5.1),())(()( ssss += (5.6)

unde )).(()( sss +=Dac ,11

114

Bibliografie:

1. D. Van Danzig. Chaines of Markof dans les ensembles abstraitset applications aux processus avec regions absorbantes et anprobleme des boucles. Ann. de IInst. H. Poincare, 1955, fasc.3, pp. 145-199.

2. H. Kesten, J. Runnenburg. The Priority in waiting line problems.Amsterdam, 1956.

3. . . . . , , 2011.

4. . . , . . , . . , . ., . . . . - , , 1973.

5. . . , . . . . - , , 1979.

6. . . . ., tiina, 2009.

7. . . . . ,.: , 2005.

8. N. Tian, Z. G. Zhang. Vacation Queueing Models. Theory andApplications. Springer, 2006.