CAPITOLUL 6

CALCUL MATRICEAL: MATRICE, RANG, OPERAII, SISTEME DE ECUAII

Scurt prezentare teoretic

Definirea matricelor Fie C - mulimea numerelor com97plexe M = {1, 2, , m}; N = {1, 2, , n} Se numete matrice de tipul (m, n) o funcie A: MN C. Notm A(i, j) = aijC, iM, jN i valorile aij se trec ntr-un tablou cu m

linii i n coloane de forma:

....

..................

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

Operaii cu matrice a) Adunarea matricelor Fie A = (aij), B = (bij) Mm,n(C). Se definete suma matricelor A i B o

matrice C = (cij), unde cij = aij + bij, .,1;,1 njmi b) nmulirea matricelor Fie A = (aij), njmi ,1;,1 i B = (bjk), .,1;,1 pknj Definim matri-

cea C = (cik), pkmi ,1;,1 prin:

n

jjkijik bac

1numit produsul dintre A i B

(n aceast ordine). Rangul unei matrice

Fie A = (aij), njmi ,1;,1 i 1 k min(m, n), kN*. Determinantul unei matrice ale crei elemente se afl la intersecia a k linii i k coloane se numete minor de ordinul k.

Fie A Om,n o matrice de tipul (m, n). Se numete rangul matricei A num-rul natural rN cu proprietile:

a) exist un minor de ordinul r al lui A, nenul; b) toi minorii de ordinul (r+1) - dac exist - sunt nuli.

Matrice inversabile O matrice ptratic A se numete nesingular dac detA0. Dac detA=0

matricea se numete singular.

98

Matricea ptratic A se numete inversabil dac exist o alt matrice nota-t A1 astfel nct:

AA1 = A1A = In. Matricea A1 se numete inversa matricei A.

Calculul inversei unei matrice 1) Se calculeaz detA. Dac detA 0 matricea are invers. 2) Se scrie matricea adjunct matricei A: A = (Aji) = matricea complemenilor algebrici ai transpusei matricei A. 3) Se scrie inversa:

....

..................

det1

det1

21

22212

121111

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AAAA

Sisteme de ecuaii Regula lui Cramer Considerm un sistem de n ecuaii cu n necunoscute:

(1)

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

....................................................

......

2211

22222121

11212111

Dac = detA este nenul, atunci sistemul este compatibil determinat i so-

luia este dat de formulele:

nnxxx ...,,, 2211 , unde i, cu ni ,1

este un determinant de ordinul n obinut prin nlocuirea coloanei i din determi-nantul cu coloana termenilor liberi din sistemul dat.

Teorema Kronecker-Cappelli Un sistem de ecuaii de forma (1) este compatibil dac i numai dac ran-

gul matricei este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche Un sistem de ecuaii de forma (1) este compatibil dac i numai dac toi

determinanii caracteristici sunt nuli. Probleme rezolvate

1. Fie matricele:

31

21A , .2132

B Dac f(X) = 2X2 5X + I2, calcu-

lai f(A) + f(B) i f(A+B).

99

Soluie

31

2153121

312125252)()( 2

22

2 IBBIAABfAf

10

01155105

7481210

0121

3252132

2132210

01

.15891

1001

1051510

70072

10

011053510

5310532)(5)(2)( 2

2 IBABABAf

.20154

1001

502515

102092

2. Fie .241212101

A Dac f(X) = X2 +2X + I3, s se calculeze f(A).

Soluie

100010001

482424202

241212101

241212101

2)( 3IAAAAf

.1620312126543

582434203

11125892340

3. S se determine x, y, z, t, u, v astfel nct:

.40410

95

32123

122

52131221

vutz

yx

vutzyx

Soluie Ecuaia din enun se scrie echivalent astfel:

101

722

48402

413103

933512

40410

95

32521132132

12221

vutzyx

vut

zyx

vvuuttzz

yyxx

4. S se determine x, y, u, v astfel nct: .2813

2131

uvxy

vuyx

Soluie Ecuaia din enun se scrie echivalent astfel:

100

3021

221831

13

2813

2131vuyx

uvvu

xyyx

uvvuxyyx

5. Determinai o matrice A astfel nct:

.4214251

151121117

312651042

A

Soluie Ecuaia se mai poate scrie:

3126

510419221613482192216

1348312651042 AA

.1155932

2210101864

21

AA

6. Rezolvai ecuaia: .010131

2011

X

Soluie

Condiiile din enun impun ca X M2,3(R), deci .

fed

cbaX

Avem:

010131

222010131

2011

fedfcebda

fedcba

021

01271

0212

02131

fedcba

fed

fcebda

Prin urmare: .02

10

1271

X

7. S se rezolve ecuaia:

10

112X , unde X M2(R).

Soluie

Fie .222

dcbdcacbdabbca

dcba

dcbaXdc

baX

Ecuaia iniial devine:

)4(1)3(0)()2(1)()1(1

1011

2

2

22

dcbcdabda

bca

dcbdcacbdabbca

101

Din (3) rezult a+d = 0 sau c = 0. Deoarece pentru a+d = 0 ecuaia (2) nu este verificat, rmne c = 0, caz n care sistemul devine:

11)(

1

2

2

dbda

a

Obinem din prima i ultima ecuaie: .11

da

ntruct a+d 0, pentru verificarea ecuaiei a doua avem posibilitile:

a) a = 1, d = 1 ;21b

b) a = 1, d = 1 .21b

Soluiile vor fi: .10211,

10211

21

XX

8. S se rezolve sistemul de ecuaii matriciale: .75312

43212

YX

YX

Soluie

Adunnd cele dou ecuaii obinem: .

2114251

118522

XX

nmulind a doua ecuaie cu 1 i adunnd-o cu prima obinem:

.

43

21

410

32104

YY

Observaie Sistemul se poate rezolva i prin metoda substituiei.

9. Fie

30

02A . Calculai An.

Soluie

.3002;

3002

9004

3323

222

AAAAAA

102

Observm c:

n

nnA3002 (1)

Vom demonstra egalitatea (1) prin inducie matematic. Notm cu P(n) egalitatea de demonstrat. Avem:

30

02:)1( AP care este adevrat;

2

223002:)2( AP propoziie adevrat.

Avem: .30

02:)1( 111

nnnAnP

Fie P(n) adevrat, adic: .3002

n

nnA

.30

023002

3002

111

nn

nnnn AAA Deci P(n) P(n+1).

10. Fie matricea: .100110011

A Calculai An.

Soluie

Avem: ;100310331

;100210121

232

AAAAAA

;100510

1051;

100410641

4534

AAAAAA

Putem scrie: ,100

101

n

anA

nn unde 1nna este un ir de numere reale ce

urmeaz a fi determinat.

100110

111 n

annAAA

nnn (1)

An+1 se mai poate scrie:

100110

11 11 n

anA

nn (2)

Din (1) i (2) obinem relaia de recuren: an+1 = n + an. Dnd valori pentru n de la 1, 2, ... obinem:

103

a2 = 1 + a1 a3 = 2 + a2 a4 = 3 + a3 ................ an1 = n2 + an2 an = n1 + an1 Adunnd aceste ecuaii membru cu membru obinem: an = 1 + 2 + n 1 + a1, cu a1 = 0

Gsim 2)1(

nnan . Prin urmare: .

100

102

)1(1

n

nnn

An

11. Calculai rangul matricei

1111

11

aa

aA n funcie de valorile parametrului

real a. Soluie

.)2()1()2()1(231111

11det 223 aaaaaa

aa

aA

Dac a 1, a 2 rangA = 3.

Dac a = 1 .111111111

A

1 = 1 = 1 0. Toi minorii de ordinul 2 fiind nuli rangul matricei va fi rangA = 1.

Dac a = 2 .112121211

A

;0111

.0112121211

;032111

32

Rangul matricei va fi n acest caz rangA = 2. 12. S se determine valorile parametrului real a astfel nct matricea:

104

a

aA11

121021

s aib rangul 3.

Soluie Deoarece AM3(R), rangA = 3 det(A) 0.

Dar detA = .332)1()1(2211

121021

aaaaaa

a

Cum ecuaia detA = 0 conduce la a = 1, rezult rang(A) = 3 aR \ {1}. 13. S se determine valorile lui aR astfel nct rang(A) = 2, unde

.121

45313421

aaA

Soluie

Deoarece ,013121

1 avem rang(A) = 2 toi minorii de ordinul 3

sunt nuli, adic: 021

531421

2

a

i .0121

431321

3

a

Cum ,2101210832 aaa ,)1(28986)1(33 aaa rang(A) = 2 a = 0.

14. Fie .01101021

aA S se determine a astfel nct matricea A s fie inversi-

bil i n acest caz s se determine A1. Soluie

Deoarece det(A) = 2 a, avem A inversabil det(A) 0 2 a 0 a 2.

Considerm aR \ {2}, avem:

332313

322212312111

AAAAAAAAA

A , unde:

;20102)1(;00

02)1(;010)1( 1331

1221

1111

AaAaaA

;11101)1(;001

01)1(;10111)1( 2332

2222

2112

AAA

.20121)1(;21

21)1(;101)1( 3333

3223

3113

AaaAaaA

105

Obinem: .22101

20

aa

aA

.

212

2102

12

202

22101

202

1det

11

aa

aa

aa

aaa

aa

aaAAA

15. Se consider matricea

000303

ii

A . Studiai inversabilitatea matricei A i

n caz afirmativ gsii matricea invers. Soluie

8)9(

000303

det 2iii

A . Pentru 0, matricea A este inversabil.

Matricea adjunct va fi ,332313

322212312111

AAAAAAAAA

A unde:

;0030)1(;0

0)1(;3003)1( 1331

1221

1111

iAiiAA

;0003)1(;30

03)1(;00)1( 3223

2222

2112

iAAiiA

.833)1(;000

3)1(;0003)1( 3333

3223

3113

iiAiAiA

Obinem: .8000303

ii

A

Matricea invers va fi: .100

083

8

0883

8000303

81

det11

i

i

ii

AAA

16. Fie B = ATA, unde

zyxA

101 M2,3(R). S se arate c pentru orice

valori ale lui x, y, z matricea B nu este inversabil. Soluie

106

.11

11101

101

2

2

2

zyzxzyzyxy

xzxyx

zyxzyx

AAB T

xzzzxzxyyzyxyxxzxx

yzzxz

yzyxyxzxx

yzyzxz

yzyxyxzxyx

B2

22

2

2

2

2

2

1

1

11

11

11

11det

.01

1)(

)(1)()(1 22

zzxzyyxyxxx

xzyxzzzxzxzyyxyxzxxx

y

Deoarece detB = 0 (ultimele dou coloane sunt egale) Matricea B nu este inversabil. 17. S se studieze compatibilitatea i s se rezolve, n caz de compatibilitate

sistemul: .43

72253

321

321321

xxxxxx

xxx

Soluie

Deoarece ,06113221

112

sistemul este cramerian.

.12413721

512;6

143271

152;6

114227

115321

xxx

Soluiile vor fi: .2;1;1 321 321

xxx xxx

18. S se determine valorile parametrilor a, b R, astfel nct sistemul:

2

1

bzyxbzayx

zyax s fie compatibil.

Soluie

Determinantul sistemului este: .32111

1111

2

aaaa

}.1,3{0320 2 aaa a) Dac aR \ {-3, 1} 0 sistemul este compatibil determinat.

107

b) Dac a = 3 sistemul devine:

23

13

bzyxbzyx

zyx

Matricea sistemului este: .111

131113

A

Rangul matricei A este rangA = 2, minorul principal fiind:

.03113

p

Avem un singur minor caracteristic care va fi obinut prin bordarea minoru-lui principal cu coloana termenilor liberi i linia rmas disponibil. Deci:

0)12(41131

1132

2

bb

bbc () b R, deoarece discriminantul

trinomului 2b2 + b + 1 este 7 < 0. Prin urmare c 0, () b R i sistemul este incompatibil.

c) Dac a = 1 sistemul devine: .1

2

bzyxbzyx

zyx

Matricea sistemului este .111

111111

A

Rangul matricei A este rangA = 2, minorul principal fiind:

.01111 p

Avem un singur minor caracteristic care va fi obinut prin bordarea minoru-lui principal cu coloana termenilor liberi i prima linie. Deci:

).1(211

11111

2

b

bbc

Sistemul va fi compatibil c = 0 b = 1. Prin urmare sistemul este compatibil pentru perechile {a, b} cu aR \

\ {3, 1}, b R, precum i pentru a = 1, b = 1. 19. S se discute natura sistemului:

,111

bzyxazyxzayxzyax

108

n funcie de parametrii reali a, b i i n caz de compatibilitate s se rezolve. Soluie

Minorul principal va fi: .2;10;)2()1(11

1111

2 aaaaa

aa

pp

Determinantul caracteristic este:

).32()1(111

111111111

2 abbab

aa

a

c

Dac a 1, 23

ab, atunci sistemul este compatibil determinat cu soluiile:

.21

1111111111111

;21

111111

1111111

;21

111111

1111111

a

aa

a

aa

za

aa

aa

a

ya

aa

aa

a

x zyx

Dac a = 1 i b = 1 p = 1 = 1 0, .1111 bbc

Sistemul va fi compatibil dublu nedeterminat cu soluia: x = 1 y = z = , unde , R.

Dac a = 1, b 1 c 0, sistemul fiind incompatibil. Dac a = 2, b R c 0, sistemul fiind incompatibil.

20. Se consider sistemul: ,)12()1()12(

)2()1()2(1)1()12(

azayaxaazayaxa

azaayxa aR.. Determi-

nai valorile parametrului real a astfel nct sistemul s fie incompatibil. Soluie

Determinantul sistemului este:

).1)(1)(2(12112212112

aaaaaa

aaaaaa

= 0 a1 = 1, a2 = 2, a3 = 1. Dac a = 1 determinantul caracteristic va fi:

109

.02101101011

11212

112

1

a

caaaaaa

aaa

n acest caz sistemul va fi incompatibil. Dac a = 2 determinantul caracteristic va fi:

.015213210123

c

Sistemul va fi i n acest caz incompatibil. Dac a = 1 determinantul caracteristic este:

,0123123213

c

sistemul fiind n acest caz compatibil. Probleme propuse

1. Fie matricele: .111

123114

,012112

311

BA S se calculeze:

a) A+2B; b) AB; c) BA; d) ABBA; e) A2; f) B2; g) A2B2; h) (AB) (A+B);

R: ;2151161

1148);

30110345210

);230

154119

2)

ABcBAbBAa

;12042172512

);730

506417

);1116

11351662

) 22

BfAeBAABd

.7216

127271029

))(();81012236419

) 22

BABAhBAg

2. Fie matricea

10234012

aA i funcia f(x) = x2 + x + I3. Determinai aR

astfel nct .3289110343

)(

Af

R: a = 1.

110

3. Fie matricele: .1123,10

31

BA Aflai matricea XM2(R) astfel n-

ct: a) AX = I2; b) XA = I2; c) AXA = I2; d) AXB = I2; e) AX = XB.

R: .0000);31

21);1061);10

31);1031)

XeXdXcXbXa

4. S se rezolve sistemul de ecuaii matriciale: .321123

432132

YX

YX

R:

5/615/81

5/105/71

Y

X

5. Se consider matricea .1901

A Calculai An.

R: .1901

nA

n

6. Se consider matricea ,101

aA aR. Calculai A

n.

R: .101

naA

n

7. Fie ;0

ab

aA a, bR. S se calculeze An.

R: .01

nn

nnabna

aA

8. Fie matricea .100110

11

aA S se calculeze An.

R: .

100

102

)1(1

n

nnnan

An

9. Fie matricea .001100010

A Calculai An.

111

R:

2 3 dac,1 3 n dac ,

3 n dac ,

2

3

knAkAkI

An

10. S se determine puterea n a matricei: .123012001

A

R: .101001

nn

nn

abaA n final: .

122012001

2

nnnnAn

11. Calculai rangul matricei: .211322211112

A

R: RangA = 3.

12. Calculai rangul matricei: .212

121212

aaaa

aA

R: .1 dac ,31 dac ,2Rang

a

aA

13. Calculai rangul matricei:

243211503142121

aaA pentru diferite valori ale pa-

rametrului aR.

R:

3 a i 3 a dac ,4

3 asau 3 a dac ,3ARang

14. S se afle dac matricea ,22122

122

aA aR este inversabil i n caz

afirmativ s se gseasc inversa.

R: Pentru a 8, A este inversabil, .4264

6364642

811

aa

aaa

A

15. Aflai inversa matricei: .3212431100230012

A R: .321423431931

00230012

1

A

112

16. S se determine matricea X din ecuaia: .521234311

111012111

X

R: .035254

023

X

17. Fie .,2132

dc

baBA

a) S se determine toate matricele care comut cu A;

b) S se rezolve sistemul: .22

AYX

BYX

R: a) ,3

ac

caB a, cR

b)

)(21

)(21

1

1

BAAY

BAAX

18. S se studieze compatibilitatea i n caz de compatibilitate s se rezolve

sistemul: .32

1283

21

321321

xxxxxxxx

R: x1=1, x2=1, x3=2. 19. S se rezolve urmtorul sistem n caz de compatibilitate:

43622

43722

52

32131

321

321321

xxxxx

xxxxxx

xxx

R: x1=1, x2=1, x3=2. 20. S se studieze compatibilitatea urmtorului sistem i s se rezolve n caz de

compatibilitate:

3857233752325372

123

543215432154321

54321

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

R: incompatibil. 21. S se studieze compatibilitatea urmtorului sistem i s se rezolve n caz de

compatibilitate:

113

1)32()1()1()1(

zaayxaazaayaxazaayax

R: Dac

0

10

zay

axa , dac .

001

0

zyx

a

22. Rezolvai sistemul: .032

0230

bzyxzayx

zyx

R: Dac ab + 2a + 3b + 11 0 x = y = z = 0.

Dac ab + 2a + 3b + 11 = 0 53;;5

2 azyax , R.