57215238-Memorator-matematic

7/28/2019 57215238-Memorator-matematic

http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 1/66

Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic

1

CUPRINSALGEBRÃ ................................................................................................................ 5

I. Elemente de logicã matematicã...........................................................................5 I.1. Noţiunea de propoziţie ................................................................................. 5 I.2. Operatori logici............................................................................................5

I.3. Expresii în calculul propoziţiilor ..................................................................7 I.4. Noţiunea de predicat .................................................................................... 7 I.5. Cuantificatori ............................................................................................... 7 I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd...........................................7 I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici............................................8

II. Mulţimi..............................................................................................................8 II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: ........................................................................8 II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: ....................................................... 8 II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: ......................................................................9

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: ......................................................................9 II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:........................................................................9 II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:...................................................... 9 II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ......................... 10

II.8. Formulele lui de Morgan (∀∀∀∀A, B⊂⊂⊂⊂E)........................................................ 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: .............................................. 10

III. Relaţii binare .................................................................................................. 11 IV. Funcţii............................................................................................................ 12

IV.1. Noţiunea de funcţie ................................................................................. 12 IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective ...................................................... 12

IV.3. Compunerea funcţiilor............................................................................. 12 IV.4. Funcţia inversã ........................................................................................ 13

V. Operaţii cu numere reale.................................................................................. 13 V.1. Puteri naturale ale numerelor reale............................................................ 13 V.2. Identitãţi fundamentale ............................................................................. 14 V.3. Radicali. Proprietãţi .................................................................................. 14

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi................................................................... 15 VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ................................................... 15 VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine................................................... 15

VI.3. Modului unui numãr real ......................................................................... 16 VII. Numere complexe ......................................................................................... 17

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe.................................................. 17 VII.2. Modulul unui numãr complex ................................................................ 18 VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe ......................................... 18 VII.4. Formula lui Moivre ................................................................................ 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex..................... 18 VII.6. Ecuaţia binomã ...................................................................................... 19

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea........................................................... 19

VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea..................................................................... 19 VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea ............................................. 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali ............................. 22




2

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V........................................................... 24 X. Logaritmi......................................................................................................... 24

X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale............................................ 25 X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale ......................................... 26

XI. Metoda inducţiei matematice.......................................................................... 26

XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano ............................................................. 26 XI.2. Metoda inducţiei matematice................................................................... 26 XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice ................................................. 26

XII. Analizã combinatorie .................................................................................... 27 XII.1. Permutãri ............................................................................................... 27 XII.2. Aranjamente........................................................................................... 27 XII.3. Combinãri .............................................................................................. 27 XII.4. Binomul lui Newton............................................................................... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale....................... 28

XIII. Progresii ...................................................................................................... 28 XIII.1. Progresii aritmetice............................................................................... 28 XIII.2. Progresii geometrice ............................................................................. 29

XIV. Polinoame ................................................................................................... 29 XIV.1. Forma algebricã a unui polinom ........................................................... 29 XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor ................................................................. 30 XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor....................................................................... 30 XIV.4. Ecuaţii algebrice ................................................................................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z .................................................... 31

XV. Permutãri, matrici, determinanţi ................................................................... 31

XV.1. Permutãri ............................................................................................... 31 XV.2. Matrici ................................................................................................... 32 XV.3. Determinanţi .......................................................................................... 33 XV.4. Inversa unei matrici ............................................................................... 34

XVI. Sisteme lineare ............................................................................................ 34 XVI.1. Notaţii: ................................................................................................. 34 XVI.2. Compatibilitatea ................................................................................... 35 XVI.3. Sisteme omogene.................................................................................. 35

XVII. Structuri algebrice ...................................................................................... 35

XVII.1. Monoid................................................................................................ 35 XVII.2. Grup.................................................................................................... 35 XVII.3. Inel...................................................................................................... 36 XVII.4. Corp .................................................................................................... 37

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE..................................................................... 37 Notaţii: ............................................................................................................. 37

I. Triunghiul ......................................................................................................... 38 II. Poligoane convexe ........................................................................................... 38 III. Relaţii metrice în triunghi............................................................................... 38

III.1. Triunghiul dreptunghic ............................................................................ 38 III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c).......................................................... 39

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥⊥⊥⊥BC) ............................................................... 39




3

III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice ........................................... 39 IV. Patrulatere ...................................................................................................... 40

IV.1. Paralelogramul ........................................................................................ 40 IV.2. Dreptunghiul D C......................................................................... 40 IV.3. Rombul ........................................................................................................... 40

IV.4. Pãtratul............................................................................................................ 41 IV.5. Trapezul D C.............................................................. 41 V. Poligoane înscrise în cerc ................................................................................ 41

V.1. Patrulaterul înscris în cerc A .................................................... 41 V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R.......................................... 41

VI. Cercul............................................................................................................. 41 VII. Complemente de geometrie planã ................................................................. 42 VIII. Poliedre ....................................................................................................... 43

VIII.1. Prisma................................................................................................... 43

VIII.2. Piramida ............................................................................................... 44 VIII.3. Trunchiul de piramidã........................................................................... 45 VIII.4. Poliedrul regulat ................................................................................... 46

IX. Corpuri rotunde .............................................................................................. 46 IX.2. Conul circular drept......................................................................................... 47 IX.3. Trunchiul de con ............................................................................................. 47 IX.4. Sfera................................................................................................................ 47

X. Funcţii trigonometrice ..................................................................................... 47 X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice............................................................... 48

XI. Formule trigonometrice.................................................................................. 48

XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:.......................... 48 XI.2. Formule de adunare: ................................................................................ 49 XI.3. Formule pentru multiplii de argument ..................................................... 49 XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument: ..................................................... 50 XI.5. Sume, diferenţe şi produse: ..................................................................... 50

XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice .............................................................. 50 XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple .................................................... 51

XIII.1. Ecuaţii fundamentale ............................................................................ 51 XIII.2. Tabele de valori: ................................................................................... 51

XIV. Elemente de geometrie analiticã .................................................................. 52 XIV.1. Segmente.............................................................................................. 52 XIV.2. Ecuaţia dreptei...................................................................................... 52 XIV.3. Cercul................................................................................................... 53 XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie .................................................... 53

ANALIZÃ MATEMATICÃ .................................................................................... 54 I. Şiruri................................................................................................................. 54

I.1. Şiruri şi limite ............................................................................................ 54 I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir........... 55

I.2. Operaţii cu şiruri convergente .................................................................... 55 I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã .................................................................. 55 I.4. Şiruri tip ..................................................................................................... 56




4

II. Limite de funcţii .............................................................................................. 56 II.1. Definiţii ale limitei.................................................................................... 57 II.2. Operaţii cu limite de funcţii ...................................................................... 57 II.3. Limite tip .................................................................................................. 57 II.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................................. 58

III. Funcţii derivabile............................................................................................ 59 III.1. Definiţia derivatei într-un punct............................................................... 59 III.2. Reguli de derivare.................................................................................... 59 III.3. Derivatele funcţiilor elementare............................................................... 59 III.4. Derivata funcţiilor compuse..................................................................... 60 III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare.......................... 61 III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile .......................................................... 61

IV. Asimptote....................................................................................................... 62 IV.1. Asimptote orizontale ............................................................................... 62

IV.2. Asimptote oblice ..................................................................................... 62 IV.3. Asimptote verticale ................................................................................. 62 V. Primitive.............................................................................................................. 62

Integrarea prin părţi .......................................................................................... 63 V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei.................................................... 63 V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei.................................................. 63 V.3. Tabel de primitive..................................................................................... 63 V.4. Primitivele funcţiilor raţionale .................................................................. 64

VI. Integrale definite ............................................................................................ 64 IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) ........................................... 64




5

ALGEBRÃ

I. Elemente de logicã matematicã

I.1. Noţiunea de propoziţieDefiniţia I.1.1. Se numeş te propozi ţ ie un enun ţ despre care se poate spune cã

este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie

adevãratã.2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un

numãr natural astfel ca x + 5 = 33) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci

nu este o propoziţie.Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propozi ţ ii. Dacã o propoziţie p

este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul;aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau(v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul;aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sauv(q) = f .

I.2. Operatori logici Nega ţ ia

Definiţia I.1.2. Nega ţ ia unei propozi ţ ii p este propozi ţ ia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p .

Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţieiv(non p) = 1 – v(p).

p non p

1 00 1

Conjunc ţ iaDefiniţia I.2.2. Conjunc ţ ia a douã propozi ţ ii p şi q este propozi ţ ia care este

adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propozi ţ ie p şi q este adevãratã.Se noteazã: p ∧ q

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p q p ∧ q 1 1 11 0 00 1 00 0 0




6

Disjunc ţ iaDefiniţia I.2.3. Disjunc ţ ia a douã propozi ţ ii p şi q este propozi ţ ia care este

adevãratã dacã şi numai dacã cel pu ţ in una din propozi ţ iile p, qeste adevãratã.Se noteazã: p ∨ q

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este:

p q p ∨ q 1 1 11 0 10 1 10 0 0

Implica ţ iaDefiniţia I.2.4. Implica ţ ia propozi ţ iilor p şi q este propozi ţ ia care este falsã

dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã.Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “ p implicã q” sau “dacã p, atunci

q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia.Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este:

p q non p (non p)∨ q1 1 0 11 0 0 00 1 1 1

0 0 1 1

Echivalen ţ a logicãDefiniţia I.2.4. Propozi ţ iile p şi q sunt echivalente logic , dacã şi numai dacã

p, q sunt adevãrate sau false simultan.Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨ p; ( p→q) şi (q→ p); p↔q; se citeşte: “ p

echivalent cu q” sau “ p dacã şi numai dacã q”, “ p este condiţie necesarã şi suficientãpentru q”.

Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este:

p q non p non q p→q q→ p (p→q)∧ (q→ p) 1 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1




7

I.3. Expresii în calculul propoziţiilorPropoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔

putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propozi ţ ii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α (p,q,r,…), β (p,q,r,…).

Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie,

adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α , obţinutãpentru propoziţiile p,q,r,… respective.

Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propozi ţ ie adevãratã, oricare ar fi propozi ţ iile p,q,r,… se numeş te tautologie.

Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propozi ţ ii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propozi ţ ii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡ β .

I.4. Noţiunea de predicat

Definiţia I.4.1. Se numeş te predicat sau propozi ţ ie cu variabile un enun ţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se ob ţ ine o propozi ţ ie adevãratã sau o propozi ţ ie falsã.

Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã),binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luândvalori în mulţimi date.

Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propozi ţ iile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

I.5. CuantificatoriDefiniţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈ M , un predicat. Dacã existã (cel pu ţ in) un

element x’∈ M , astfel încât propozi ţ ia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃ xp(x),

(∃ x) p(x) sau (∃ x∈ M ) p(x). Simbolul ∃ se numeş te cuantificator existen ţ ial şi se citeş te “existã”.

Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈ M , un predicat. Dacã p(x) este o propozi ţ ie adevãratã pentru orice x∈ M , atunci scriem ∀ xpx, (∀ x) p(x) sau (∀ x∈ M ) p(x).

Simbolul ∀ se numeş te cuantificator universal şi se citeş te “oricare ar fi”.

Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y);2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);

Reguli de negare:

1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x));2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x));3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y));4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurdAceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne

aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.




8

I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logiciOricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem:

1. non(non p) ≡ p;

2. (p∧q) ≡ (q∧ p) (comutativitatea conjuncţiei);

3.

((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); 4. (p∨q) ≡ (q∨ p) (comutativitatea disjuncţiei); 5. ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); 6. ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei);7. non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan;

non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)

8. (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi(p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia

II. Mulţimi Moduri de definire a mul ţ imilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea

elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietã ţicaracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}).

Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor culitere mici: a, b, c,…

Apartenen ţ a unui element la o mul ţ ime. Dacã un element a aparţine uneimulţimi A, acesta se noteazã a∈ A şi se citeşte “a aparţine lui A”.

Definiţie. Mul ţ imea vidã este mul ţ imea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A)

Proprietã ţ ile egalitã ţ ii:

1. ∀ A, A = A (reflexivitatea);2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria);3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B)

Mulţimea A se numeşte o parte sau o submul ţ ime a lui B.Proprietã ţ ile incluziunii:

1. ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea);2. (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria);

3. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea);4. ∀ A, ∅ ⊂ A




9

Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B}

Proprietã ţ ile reuniunii:

1.

∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea);2. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea);3. ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa);4. ∀ A: A ∪ ∅ = A;5. ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B:A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B}

Proprietã ţ ile intersec ţ iei:

1.

∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea);2. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea);3. ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa);4. ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ 5. ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B6. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã

de reuniune);7. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de

intersecţie);

8. ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mul ţ imile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:A \ B = {xx∈A ∧ x∉B}

Proprietã ţ ile diferen ţ ei: 1. ∀ A: A \ A = ∅;

2.

∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C);3. ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B);4. ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B);5. ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;6. ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);7. ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);8. ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Proprietã ţ ile diferen ţ ei simetrice: 1. ∀ A: A ∆ A = ∅;




10

2. ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea);3. ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A;4. ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea);5. ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C);6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E:( A fiind o parte a lui E , adicã A⊂ E )

CEA = {xx∈E ∧ x∉A}Proprietã ţ i: (∀A, B⊂E)

1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii);2. CEA = E \ A;3. CE∅ = E;4. CEE = ∅;

5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului);6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei);7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA;8. A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB.II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B:

A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B}

Proprietã ţ ile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem):1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B;2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C);3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C);4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)

Definiţia II.9.1. Mul ţ imile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijec ţ ie de la A la B .

Definiţia II.9.2. Fie E o mul ţ ime. Aceasta se numeş te finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈ N , astfel încât E este echipotentã cu mul ţ imea {1,2,…,n}.

Definiţia II.9.3. O mul ţ ime E se numeş te infinitã dacã ea nu este finitã.Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.

Definiţia II.9.4. Fie E o mul ţ ime. Aceasta se numeş te numãrabilã dacã esteechipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.

Definiţia II.9.5. O mul ţ ime se numeş te cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.

Definiţia II.9.6. Fie E o mul ţ ime. Se numeş te cardinalul acestei mul ţ imi un

simbo asociat ei, notat E sau card E , astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F ; cardinalul mul ţ imii vide se noteazã cu 0 , cardinalul mul ţ imii




11

{1,2,…,n} cu n∈ N , senoteazã cu n , iar cardinalul mul ţ imii N se noteazã cu x0 (alef zero).

Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mul ţ imi finite. Atunci:A ∪ B = A + B -A ∩ B

Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mul ţ imi finite. Atunci:

A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Relaţii binare

Rela ţ ia binarã pe o mul ţ imeDefiniţia III.1. Fie M o mul ţ ime nevidã. Se numeş te rela ţ ia binarã R pe M o

parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈ M este rela ţ ia R cu y∈ M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈ R. Deci o rela ţ ie binarã se referã la perechile de elemente din M.

Proprietã ţ i ale rela ţ iilor binare pe o mul ţ ime:

1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa.2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb

implicã bRa.3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şibRa implicã a=b.4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb

implicã bRc implicã aRc.Definiţia III.2. Se numeş te greficul rela ţ iei R definitã pe M mul ţ imea

G = {(x,y) xRy}.Definiţia III.3. O rela ţ ie binarã R definitã pe o mul ţ ime nevidã M se numeş te

rela ţ ie de echivalen ţ ã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã.Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim

urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dauacelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie deechivalenţã.

Definiţia III.4. Fie M o mul ţ ime. R o rela ţ ie de echivalen ţ ã pe M şi a unelement fixat din M. Se numeş te clasã de echivalen ţ ã corespunzãtoare elementului

a mul ţ imea C a = {x ∈∈∈∈ M xRa}. Douã clase de echivalen ţ ã C a şi C b sau coincid (când aRb ) sau sunt disjuncte.

Definiţia III.5. Fie M o mul ţ ime şi R o rela ţ ie de echivalen ţ ã pe M. Se numeş te mul ţ imea cât a lui M în raport cu rela ţ ia R şi se noteazã M/R mul ţ imea claselor de echivalen ţ ã.

Definiţia III.6. Fie M o mul ţ ime nevidã. Se numeş te rela ţ ie de ordin pe M o rela ţ ie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã.

Se noteazã: “<” sau “≤”De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q şi R este o

relaţie de ordine.




12

Definiţia III.7. Fie M o mul ţ ime nevidã şi “ ≤ ≤≤ ≤ ” o rela ţ ie de ordin pe M. Aceastã rela ţ ie de ordin se numeş te rela ţ ie de ordine totalã dacã oricare douãelemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈ M avem sau a<b sau b<a. Mul ţ imea înzestratã cu o rela ţ ie de ordine totalã se numeş te mul ţ ime total ordonatã.

Definiţia III.8. Fie M o mul ţ ime nevidã. O rela ţ ie de ordine pe M se numeş te rela ţ ie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai micelement. Mul ţ imea M, cu aceastã rela ţ ie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã.

O relaţie de bunã ordonare pe M este o rela ţie de ordie totalã pe M.

IV. Funcţii

IV.1. Noţiunea de funcţieDefiniţia IV.1.1. Fie A şi B douã mul ţ imi. Prin func ţ ie definitã pe mul ţ imea

A, cu valori în mul ţ imea B se în ţ elege orice lege (procedeu sau conven ţ ie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈ A i se asociazã un unic element, notat f(a) , din B. Mul ţ imea A se numeş te domeniu de defini ţ ie , iar mul ţ imea B se numeş te codomeniu de defini ţ ie sau domeniul valorilor func ţ iei.

Definiţia IV.1.2. Fie f:A→ B o func ţ ie. Prin graficul acestei func ţ ii în ţ elegem submul ţ imea G f a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)),

a∈ A. deci G f = {(a, f(a) a∈∈∈∈ A} Definiţia IV.1.3. Se numeş te func ţ ie numericã o func ţ ie f:A→ B , pentru care

atât domeniul de defini ţ ie A cât şi domeniul valorilor B sunt submul ţ imi ale mul ţ imilor numerelor reale (deci A, B⊂R ).

IV.2. Funcţii injective, surjective, bijectiveDefiniţia IV.2.1. Fie f:A→ B o func ţ ie. Spunem cã f este o func ţ ie injectivã ,

dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A , x≠ y , avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y

De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, darg:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4.

Definiţia IV.2.2. O func ţ ie f:A→ B este o func ţ ie surjectivã , dacã pentru oriceb∈ B existã cel pu ţ in un element a∈ A , astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→ B nu este surjectivã dacã ∃ b∈ B avem f(a) ≠ b(∀)a∈ A.

De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã.Definiţia IV.2.3. O func ţ ie f:A→ B care este simultan injectivã şi surjectivã se

numeş te func ţ ie bijectivã.De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea funcţiilorDefiniţia IV.3.1. Fie func ţ iile f:A→ B şi f:B→C (domeniul de defini ţ ie al

func ţ iei g coincide cu codomeniul func ţ iei f ). Fie a∈ A, atunci f(a)∈ B, deci existãimaginea sa prin g , adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o func ţ ie h:A→C unde




13

h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈ A . Func ţ ia h astfel definitã se noteazã g◦ f (sau gf ) şi se numeş te compunerea func ţ iei g cu func ţ ia f .

Observaţii:1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea

funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C.

2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcţii, are sens g◦f:A→A şi f ◦g:B→B. îngeneral f ◦g ≠ g◦f.

Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcţii. Atunci fiecare dinfuncţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Funcţia inversãDefiniţia IV.4.1. Fie A o mul ţ ime oarecare. Notãm cu 1 A:A→→→→ A func ţ ia

definitã astfel: 1 A(a) = a pentru ∀∀∀∀ a∈∈∈∈ A. 1 A se numeş te func ţ ia identicã a mul ţ imii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci:

1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A→B avem f ◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C→A avem 1A◦g = gDefiniţia IV.4.2. O func ţ ie f:A→ B se numeş te inversabilã dacã existã o

func ţ ie g:B→ A astfel încât g◦ f = 1 A şi f ◦g = 1 B.

Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.

V. Operaţii cu numere reale

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an

2. (-a)2n = +a2n 3. (-a)2n+1 = -a2n+1 4. am⋅an = am+n 5. am:an = am-n, a ≠ 06. am⋅bm=(a⋅b)m

7. am:bm =m

b

a , b ≠ 0;

8. m

m

ma

a1

a1 −=

= , a ≠ 0;

9.(am)n = amn = (an)m;10. a0 = 1, a ≠ 0;11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N.

Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi saunegativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilorde puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere

naturale.




14

V.2. Identitãţi fundamentaleOricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem:

1. a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2;2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2;3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx +

+ dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2;4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz);7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x);8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab10. a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4);11. a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4);

12. (1 + a)(1 + a2

+ a4

) = 1 + a + a2

+ a3

+ a4

+ a5

;13. a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);14. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1);15. a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2);16. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n);17. (1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprietãţi

1. 0,

1

>= aaamm

;2. 0,

11 1

>==−

aaaa

m

m

m ;

3. ( ) 0, ≥= aaam

m ;4. 0,, ≥=⋅ baabba mmm ;

5. 0,11

>=

a

aa

m

m ;

6. 0,,,, ≥=⋅⋅ cbaabccba mmmm ;

7. 0,0,: >≥= bab

aba mmm ;

8. 0, ≥=⋅ + + aaaa nm nmnm ;

9. 0,: >= + − aaaa nm nmnm ;

10. n mnmaaa 0, ≥= ;

11. ( ) 0, ≥== aaaa m

nn

mm n ;

12. 0, >= aaa n pmn mp ;

13. 0,, ≥⋅=⋅ bababa mn qm pnn qm p ;




15

14. 0, ≥== aaaa n mmnm n ;

15. 0,0,:: >≥= bababa mn qm pnn qm p ;

16. ∈= aaa ,2 R;

17. 0,1212

112 ≥−=−=− +++ aaaa nnn ;

18. ( ) 0,1212 ≥−=−

++ aaan

n ;

19. 0,,2 ≥++=+ baabbaba ;

20.22

C AC A B A

−±

+=± , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui ba ± este ba + iar pentru 33 ba ± este3 233 2

baba ++

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâiVI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine

ax + b = 0, a,b,x∈RFie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã

1. a ≠ 0, x =a

b− (soluţie unicã). S = {

a

b− }.

2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅;3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R.

Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0x

-∞ a

b− +∞

f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a

Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã.y

A(0,b)

x

B(a

b− ,0)

VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine

Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã:1. a > 0, S =(

a

b− , + ∞);




16

2. a < 0, S = (-∞,a

b− );

3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = ∅.Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã:

1. a > 0, S = (+∞,a

b− ]

2. a < 0, S = [a

b− ,+∞)

3. a = 0, b = 0, S = R;4. a = 0, b > 0, S = ∅.

Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţireainecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).

VI.3. Modului unui numãr real

>

=

<−

=

0xdacax,

0xdaca0,

0xdacax,

x

Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem:1. 0= x ⇔ 0= ;

2. x x =− ;

3.

y x = ⇔ y= sau y x −= ;4. a x = ⇔ ∈==− aa xa , R;

5. x x x ≤≤− ;

6. y x y x +≤+ ;

7. y x y x +≤−

8. y x y x −≤− ;

9. y x y x y x +≤+≤− ;

10. y x xy ⋅= ;

11. 0, ≠= y y

x

y

x.

Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul:1. ba x =− , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor)

b S

b < 0 ∅ b = 0 a

b >0 {a – b; a + b}2. ba x >−




17

b S

b < 0 Rb = 0 R\{a}b >0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞}

3. ba x <−

b S

b < 0 ∅ b = 0 ∅ b >0 {a – b; a + b}

VII. Numere complexe

Definiţia VII.1. Se numeş te numãr complex orice element z=(a,b) al mul ţ imii RxR = {(a,b) a,b∈∈∈∈R }, înzestrate cu douã opera ţ ii algebrice, adunarea: ∀ z=(a,b),

∀ z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmul ţ irea: ∀ z=(a,b),

∀ z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b) . Mul ţ imea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexez = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1.Egalitatea a douã numere complexe z şi z’:

a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’Adunarea numerelor complexe are proprietãţile:

este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complexa + bi admite un opus –a – ib.

Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex

a + bi nenul admite un invers ( )

+−

+=+ −

iba

b

ba

abia

2222

1 ; este distributivã faţã

de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.

Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeş te conjugatul

lui z şi se noteazã a – ib = ziba =+ .Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C.

1. z + z = 2a;

2. z - z = 2bi;

3. '' z z z z ±=± ;

4. '' z z zz ⋅= ;

5. ))((' 22biabiaba zz −+=+= ;




18

6. z z

z z

z

z '

'= ;

7. ( )nn

z z = ;

8. z

z

z

z ''=

.

VII.2. Modulul unui numãr complex∀ z∈C

z z z = sau 22ba z +=

Avem apoi:1. z z =

2. '' z z z z +≤+ ;

3. ''' z z z z z z +≤+≤− ;4. '' z z zz = ;

5. 0,''

≠= z z

z

z

z.

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexez = r(cos u + isin u)

unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice r cos u = a şi

r sin u = b.De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci

4

5,2

π == u z şi z = )

4

5sin

4

5(cos2

π π i+ .

VII.4. Formula lui Moivre∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)

Consecinţele formulei lui Moivrecos nu = cosn u + C2

ncosn-2u sin2

u + C4ncosn-4

u sin4u + …;

sin nu = C1ncosn-1

u sin u + C3ncosn-3

u sin3u + …;

tg nu =...1

...4422

55321

−+−−+−

utgC utgC

utgC utgC tguC

nn

nnn .

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complexz = r(cos u + isin u)

( )

( )

( ) 1,...,2,1,0,)12(

sin)12(

cos1

1,...,2,1,0,2

sin2

cos1

1,...,2,1,0,2

sin2

cos1

−=+

++

=−

−=+=

−=

++

+=

nk n

k i

n

k

nk

n

k i

n

k

nk n

k ui

n

k ur z

k

n

k

n

n

k

n

π π

π π

π π




19

Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie:

( )k k

n ε =1 şi ( )k k

n ω =−1

−++

++±=+

22

2222aba

b

bi

abaiba

VII.6. Ecuaţia binomãxn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ )xk = A1/nωk, k = 1,0 −n , A∈R, A < 0;

xk = A1/nεk, k = 1,0 −n , A∈R, A > 0;

xk =

++

+

n

k i

n

k pn

π ϕ π ϕ 2sin

2cos , k = 1,0 −n , A∈C\R

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-leaVIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea

ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 01. Formule de rezolvare: ∆ > 0

a

b x

21

∆+−= ,

a

b x

22

∆−−= , ∆ = b2 – 4ac; sau

a

b x

''1

∆+−= ,

a

b x

''2

∆−−= , b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac.

2. Formule utile în studiul ecua ţ iei de gradul al II-lea: x1

2 + x22 = (x1 + x2)

2 – 2x1x2 = S2 – 2Px1

3 + x23 = (x1 + x2)

3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SPx1

4 + x24 = (x1 + x2)

4 – 2x12x2

2= S4 – 4S2P + 2P2

3. Discu ţ ia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac,P = x1x2, S = x1 + x2.

∆ P S Natura şi semnul rãdãcinilor∆ < 0 - -

Rãdãcini complexe:a

ib x

22,1

∆−±−=

∆ = 0 - -Rãdãcini reale şi egale

a

b x x

221 −==

P > 0 S > 0 Rãdãcini reale pozitive∆ > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini reale negative

P < 0 S > 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este maimare decât valoarea absoluta a celei negativi

P < 0 S < 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã estemai mare în valoare absolutã.




20

4. Semnul func ţ iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2.

x -∞ x1 x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

∆ = 0X -∞ x1 = x2 +∞

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

∆ < 0X -∞ +∞

f(x) semnul lui a

5. Graficul func ţ iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã . Aceastã

funcţie se poate scrie şi sub formaaa

b xa x f

42)(

2 ∆−+

+= , numitã formã canonicã.

y ∆ > 0a > 0A(x1,0)B(x2,0)C(0,c)

C V

∆−−

aab

4,2

O A B xD

6. Maximul sau minimul func ţ iei de gradul al doilea

1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cua4

∆−, minim ce se

realizeazã pentru x =a

b

2

−

2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cua4

∆−, maxim ce se

realizeazã pentru x =a

b

2

−

7. Intervale de monotonie pentru func ţ ia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0




21

1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul

−−∞

a

b

2,( şi strict

crescãtoare pe intervalul

+∞−

),2a

b.

2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul −−∞

ab

2,( şi strict

descrescãtoare pe intervalul

+∞−

),2a

b.

Observaţie: Intervalele

−−∞

a

b

2,( şi

+∞−

),2a

bse numesc intervale de

monotonie ale func ţ iei f .Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind

rãdãcinile trinomului.1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2);2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)

2;3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c

Construirea unei ecua ţ ii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul

rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2.Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R,

a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã:a b c 00 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0a’ b’ c’ 00 a’ b’ c’

Condi ţ ii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în

anumite rela ţ ii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecua ţ iei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + ca,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Rela ţ ii între x1 , x2 , α şi β Condi ţ ii necesare şi suficiente

1 α < x1 < β < x2 sau

x1 < α < x2 <β

1. f(α )f(β) < 0

2 α < x1 ≤ x2 < β

1. ∆ = b2 – 4ac = 02. af(α) > 03. af(β) > 0

4. α <a

b

2

−

5. β >a

b

2

−

3 x1 < α < β < x2 1. af(α) < 02. af(β) < 0 ceea ce atrage dupãsine ∆ >0




22

4 x1 < α < x2 1. af(α) < 0

5 α < x1 ≤ x2

1. ∆ = 02. af(α) > 0

3. α <a

b

2

−

6 x1 ≤ x2 < α 1. ∆ = 02. af(α) > 0

3. a

b

2

−< α

7 f(X) = 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 02. a > 0

8 f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0

2. a < 0Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin

substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anumeay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, x

n = y2.

VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:

∆ a S∆ > 0

∆ > 0∆ = 0∆ = 0∆ < 0∆ < 0

a > 0

a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0

(-∞, x1)∪(x2, +∞)

(x1,x2)R\{x1}

∅ R∅

2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:∆ a S

∆ > 0

∆ > 0∆ = 0∆ = 0∆ < 0∆ < 0

a > 0a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0

(-∞, x1]∪[x2, +∞)[x

1,x

2]

R{x1}

R∅

Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente(prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali

1. Sisteme formate dintr-o ecua ţ ie de gradul al doilea şi una de gradul întâi Aceste sisteme sunt de forma:




23

=+++++

=++

0

0)(

111

2

11

2

1 f ye xd yc xyb xa

cbyaxS

Se rezolvã prin metoda substitu ţ iei. În prima ecuaţie putem presupune cã saua≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b≠0,

atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia bc x

ba

baxc y −−=−−= .

Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) esteechivalent cu sistemul:

=+

−−++

−−+

−−+

−−=

0

)'(

111

2

11

2

1 f b

c x

b

ae xd

b

c x

b

ac

b

c x

b

a xb xa

b

c x

b

a y

S

Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y.Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale,

atunci sistemul (S) are o soluţie realã.2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale,

sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douãsoluţii reale.

3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinãrealã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale.

2. Sisteme de ecua ţ ii omogene Un astfel de sistem este de forma:

=++

=++

2

2

22

2

2

12

112

1)(d yc xyb xa

d yc xyb xaS

Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y

2 şia2X

2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea

lor au acelaşi grad.Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β

diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu α şi cea de adoua cu β şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:

=+++++

=++

0)()()()'(

2

2121

2

22

12

112

1

ycc xybb xaa

d yc xyb xaS

β α β α β α

Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:

=++

=++

0)'(

2

33

2

3

1

2

11

2

1

yc xyb xa

d yc xyb xaS

Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã

x≠0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în




24

x

y: c3

2

x

y+ b3

x

y+ a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru

x

yadicã,

x

y= k1 şi

x

y= k2.

Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douãsisteme:

=++

=

12

112

1

1

1 )(d yc xyb xa

xk yS şi

=++

=

12

112

1

2

2 )(d yc xyb xa

xk yS

Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuãca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecua ţ ii simetrice

Definiţia VIII.3.3. O ecua ţ ie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y şi y cu x , ecua ţ ia nu se schimbã.

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introducnecunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p.

Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemulse reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie degradul al doilea în necunoscutele s şi p.

IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V

IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin

substituţia y = x +x

1: a(x2 +

2x

1) ± b(x +

x

1) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.

IX.2. Ecuaţia bipãtratã

ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0

Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, decia

acbb x

2

42

4,3,2,1

−±−±=

X. Logaritmi

Definiţia X.1. Fie a∈∈∈∈R*+, a ≠ ≠≠ ≠ 1 şi b∈∈∈∈R*

+ douã numere reale. Se numeş telogaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat

numãrul a, numit bazã, pentru a ob ţ ine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab




25

Evident baablog= . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e

obţinem logaritmi naturali.Proprietã ţ i:

1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;

3. loga1 = 04. logaa

c = c; logab

1=- logab; logax

2n = 2n logax , x≠0

5. )2,,0(,log1

log ≥∈>= m N mbbm

ba

m

a;

6. logab logba = 1;

7. Formula de schimbare a bazei logaritmului:a

bb

c

c

a log

loglog =

8.

x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay;9. x>0 şi y>0 ⇒ loga

y

x= logax – logay; cologax = - logay

10. a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0;11. 0<a<1 şi x∈(0,1) ⇒ logax > 0; 0<a<1 şi x>1⇒ logax < 0;12. a>1 şi 0<x<y ⇒ logax < logay;

13. x>0, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ y

x

y

x

b

b

a

a

log

log

log

log= ;

14. x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn;

15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna.Opera ţ ii cu logaritmi zecimali

1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucâtexistã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi celedouã rezultate se adunã algebric.2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului.3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşteseparat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele.4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica estepozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separatmantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prinnumãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesarepentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu semodifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive.X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluţia: x = ab.2. logax > b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:




26

a Sa > 1

0 < a < 1(ab, +∞)(0, ab)

3. logax < b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a S

a > 10 < a < 1

(0, ab)(ab, +∞)

X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale1. ax = b, a>0, a≠1, b>0. Soluţia x = logab, b∈R2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluţie realã3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:

a b Sa > 1

0 < a < 1a > 0a ≠ 1

b > 0

b > 0b < 0

(logab, +∞)

(-∞, logab)R

4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a b S

a > 10 < a < 1

a > 0a ≠ 1

b > 0b > 0b < 0

(-∞, logab)(logab, +∞)

∅

XI. Metoda inducţiei matematice

XI.1. Axioma de recurenţã a lui PeanoFie A o parte a lui N astfel cã:

1. 0∈A2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda inducţiei matematice

Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem:1. P(0) adevãratã;2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru

orice numãr natural n.În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în

loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm amconstatat n≠n0.

XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice

Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem:1. P(n0) adevãratã;




27

2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratãpentru orice numãr natural n≥n0.

XII. Analizã combinatorie

XII.1. PermutãriDefiniţia XII.1.1. O mul ţ ime împreunã cu o ordine bine determinatã de

dispunere a elementelor sale este o mul ţ ime ordonatã şi se notazã (a1 ,a2 ,…,an).

Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mul ţ imi A cu n elemente toate mul ţ imile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈∈∈∈N* , este P n=1⋅ ⋅⋅ ⋅ 2⋅ ⋅⋅ ⋅ 3⋅ ⋅⋅ ⋅ …⋅ ⋅⋅ ⋅ n = n!; 0! = 1 (prin defini ţ ie).

Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! =1n

1)!(n

++

XII.2. AranjamenteDefiniţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤ ≤≤ ≤ n)

ale unei mul ţ imi A cu n elemente, toate submul ţ imile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mul ţ imii A. Se noteazã Am

n.Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:

Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) =

m)!(n

n!

−, n≥m.

Proprietã ţ i: Ann = Pn; A

nn =

0!

n!sau An

n= n!; 1; 01 ==−

n

n

n

n

n A A A .

XII.3. CombinãriDefiniţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤ ≤≤ ≤ n) ale

unei mul ţ imi A cu n elemente toate submul ţ imile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mul ţ imii A. Se noteazã m

nC .

Proprietã ţ i: 1. 1; 0

0

01 ==== C C C nC n

n

nn;

2. 1

11; −−−

− +== m

n

m

n

m

n

mn

n

n

nC C C C C ;

3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n

;4. 1

1

11

1

1

1

1

1 ... −

−

−−

+

−

−

−

− +++++= m

m

m

m

m

m

m

n

m

n

m

nC C C C C C ;

5. )...(

2111

2

1

1 ...!!...!

!−++−−=

m p pn

p

pn

p

n

n

C C C p p p

nunde p1 + … pm-1 < n

XII.4. Binomul lui Newton(x + a)n = nn

n

k k nk

n

n

n

n

naC a xC a xC xC +++++ −− ......110

(x – a)n = nn

n

nk k nk

n

k n

n

n

naC a xC a xC xC )1(...)1(...110 −++−++− −− unde n∈N

Proprietã ţ i: 1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k

nC xn-kak;




28

2. k

n

k

n

k

n

k

nC

k

k nC C

k

k nC

1;

111

1

+−

=+−

= ++

+ ;

3. Tk+2 = x

a

k

k n⋅

+−

1Tk+1 sau Tk+2 =

x

a

k

k n⋅

+−

−1

Tk+1;

4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1;5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali.

Rela ţ ii importante:

22120

2

15311420

1010

)(...)()(

;2...;2...

;0)1(...;2...

n

nnn

n

n

n

nnn

n

nnn

n

n

n

nn

nn

nnn

C C C C

C C C C C C

C C C C C C

+++=

=+++=+++

=−++−=+++−−

Dezvoltãri particulare uzuale: 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);

3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturaleDacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem:

12)122()1(

;30

)196)(1(

2

1(;

6

)12)(1(;

2

)1(

222

5

23

4

2

321

−++=−+++=

+=

++=

+=

nnnnS

nnnnnS

nnS

nnnS

nnS

O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 esteformula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ nS C S C S C

p

p pP p p++++ +−++ 111

2

1

1

1 ...

XIII. Progresii

XIII.1. Progresii aritmeticeDefiniţia XIII.1.1. Se numeş te progresie aritmeticã un şir de numere

a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob ţ ine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit ra ţ ia progresiei. Se noteazã÷a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia,n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = an-1 + r, n≥2 (prin definiţie)an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiţie)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =2

)na(a n1 +




29

n2

1)r(n2aS 1

n

−+=

Termenii echidistan ţ i de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor

echidistan ţ i de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un

termen în mijloc, am+1 , astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã

ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometriceDefiniţia XIII.2.1. Se numeş te progresie geometricã un şir de numere

a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob ţ ine din cel precedent prin înmul ţ irea acestuia cu un acelaşi numãr q (q≠ ≠≠ ≠ 0) numit ra ţ ie. Se noteazã÷÷a1,a2,a3,…an,…

Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi S n suma celor n termeni, atunci avem:an = qan-1, n≥2 (prin definiţie)an = a1q

n-1, n≥2 (an în funcţie de a1, q şi n)

Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =1q

1qa

n

1 −−

Sn = 1q,q1

qaa n1 ≠−−

Termeni echidistan ţ i de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi

termeni echidistan ţ i de extremi este egal cu produsul termenilor extremi:a pan-p+1 = a1an.

Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã untermen la mijloc, am+1 , astfel încât 121

2

1 ++ =mm

aaa .Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã

formeze o progresie geometricã este sã avem b2

= ac.

XIV. Polinoame

XIV.1. Forma algebricã a unui polinom f ∈C[x] este f = a0X

n + a1Xn-1 + a2X

n-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientuldominant, an – termenul liber.

Func ţ ia polinomialã asociatã lui f ∈C[x] este f ~

:C→C f ~

(α) = f(α) ∀α∈C;f(α) fiind valoarea polinomului f în α.

Teorema împãr ţ irii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x]astfel încât f = gq + r, grad r < grad g.

Împãr ţ irea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului f ∈C[x], f ≠0 la

X-a este f(a).




30

Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1X

n-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0X

n + a1Xn-1 + a2X

n-2 + … + an la binomul X-a; precum şirestul acestei împãrţiri r = f(a);

a0 a1 … an-1 an

a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelorDefiniţia XIV.2.1. Fie f,g∈∈∈∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm g f dacã

∃∃∃∃q∈∈∈∈C[x] astfel încât f=gq.Proprietãţi:

1. a f, ∀a∈C*, ∀f ∈C[x];2. g f şi f ≠0 ⇔ r = 0;3. g f şi f ≠0 ⇒ grad f ≥ grad g;4. a∈C* ⇒ af f;

5. f f (refelexivitate);6. f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate);7. f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).

Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeş te cel mai mare divizor comun(c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g.

2) d’ f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele.Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeş te cel mai mic multiplu comun

(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m.

2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’ Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m =

d

gf ⋅

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelorDefiniţia XIV.3.1. Numãrul α αα α ∈∈∈∈C se numeş te rãdãcinã a polinomului f dacã

şi numai dacã f ~

( α αα α ) = 0.Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f ≠0⇔(X-a) f.

Definiţia XIV.3.2. Numãrul α αα α se numeş te rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f

≠0 dacã

şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)

p+1 nu-l divide pe f

.Teoremã: Dacã f ∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1 ,x2 ,x3 ,…,xn suntrãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1 ,m2 ,m3 ,…,mn atunci

nm

n

mm x X x X x X a f )...()()( 21

210 −−−= unde a0 este coeficientul dominant al lui f , iarm1 + m2 + … + mn = grad f .XIV.4. Ecuaţii algebrice

Definiţia XIV.4.1. O ecua ţ ie de forma f(x) = 0 unde f ≠ ≠≠ ≠ 0 este un polinom, se numeş te ecua ţ ie algebricã.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu

se pot rezolva prin radicali.Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sauegal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã).




31

Formulele lui Viete: Dacã numerele x1 ,x2 ,…,xn sunt rãdãcinile polinomuluif ∈C[x], f = a0X

n + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:

−=

−=+++

−=+++

=+++++

−=+++

+−+−+−

−−

−

0

21

021112121

0

312421321

0

2

132121

0

121

)1(...

.......................................................

)1(............

......................................................

...

......

...

a

a x x x

a

a x x x x x x x x x x

a

a x x x x x x x x x

a

a x x x x x x x x

a

a x x x

nn

n

k k

mk mk mk k k

nnn

nnn

n

XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, ZTeoremã: Dacã f ∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite

ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.

Teoremã: Dacã un polinom f ∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0,

d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi pe = a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin,

de mutiplicitate.Teoremã: Dacã un polinom f ∈Z[x], grad f ≥1, admite o rãdãcinã α =

2

p∈Q,

(p,q) = 1 atunci p an şi q a0.În particular dacã f ∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.

XV. Permutãri, matrici, determinanţi

XV.1. PermutãriDefiniţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕϕϕϕ se numeş te permutare de gradul n

daacã ϕϕϕϕ:A→ →→ → A şi ϕϕϕϕ bijectivã.

ϕ =

(n) ... (2) (1)

n ... 2 1

σ ϕ ϕ

Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!

1A = e, permutarea identicã e =

n ... 2 1n ... 2 1




32

Compunerea permutãrilor

Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =

(n))( ... (2))( (1))(

n ... 2 1

τ σ τ ϕ τ ϕ ∈Sn

Transpozi ţ ii Definiţia XV.1.2. Fie i,j∈∈∈∈A, i≠≠≠≠ j, ττττij∈∈∈∈S n , ττττij se numeş te transpozi ţ ie dacã:

≠

=

=

=

ji,kdacak,

jkdacai,

ikdaca j,

)(k ijτ

=

n ... i ...k... j ... 2 1

n ... j ...k... i ... 2 1)(k

ijτ

Observaţii: 1. (τij)-1 = τij;

2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este 2

nC

Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j)∈∈∈∈AxA, i<j, (i,j) se numeş te inversiune a lui ϕϕϕϕ dacã

ϕϕϕϕ(j)<ϕϕϕϕ(i), m(ϕϕϕϕ) numãrul inversiunilor lui ϕϕϕϕ: 2

)1()(0 2

−=≤≤

nnC m nϕ ;

ε(ϕ) = (-1)m(ϕ) se numeşte signatura lui ϕ.Observaţii: 1. Permutarea ϕ se numeşte parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacãε(ϕ) = - 1;

2. Orice transpoziţie este imparã;

3. ∏≤<≤ −

−=

n ji ji

ji

1

)()()(

ϕ ϕ ϕ ε ;

4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).

XV.2. MatriciDefiniţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN→C

A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu

elemente numere complexe.Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeş te pãtraticã de ordinul n , iar mul ţ imea lor se noteazã M n(C).

Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B∈∈∈∈ M m,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀∀∀∀(i,j)∈∈∈∈ MxN.

Operaţii cu matrici:1. Adunarea

Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxNeste suma lor.

Proprietã ţ i ∀A,B,C∈Mm,n(C):1. A+B = B+A (comutativitate);2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);




34

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric alelementului aij din matricea A:

Aij = (-1)i+j

a ... a a ... a a

... ... ... ... ... ... ...

a ... a a ... a a

a ... a a ... a a... ... ... ... ... .... ...

a ... a a ... a a

a ... a a ...a a

nm1nj1-njn2n1

1ni11ji1-1ji12i11i

1n-i11j-i1-1j-i12-i11i

2n12j1-2j2221

1n11j1-1j 12 11

+

++++++

+−

+

+

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2:

21122211

2221

1211 aaaaaa

aa

−=

Determinantul de ordinul 3:

331221233211132231312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

−−−++=

XV.4. Inversa unei matriciFie A∈M

n(C), dacã det A≠0 existã A-1∈M

n(C) astfel încât AA-1 = I

n, I

n∈M

n(C),

In – matricea unitate:

=−

nnnn

n

n

A A A

A A A

A A A

A A

...

............

...

...

det

1

21

22212

12111

1

XVI. Sisteme lineareXVI.1. Notaţii:

aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;

(S)

=+++

=+++

=+++

nnmnmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

...

.......................................

...

...

2211

22222121

11212111

, m – ecuaţii, n – necunoscute;




35

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

,

=

nmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

,

r – rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. CompatibilitateaSistemul (S) este compatibil determinat dacã:

1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI =∆∆

i , unde

=∆

nn

n

n

nnn

i

a

a

a

baa

baa

baa

...

...

...

...

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

2. r = n < m şi rang A= r.Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0) 1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n;2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebriceXVII.1. Monoid

Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului:

M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea);M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru);dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ.Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi;

2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E –nevidã, o – compunerea funcţiilor).

XVII.2. GrupFie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea);G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru);G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x);

dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian).Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;




36

2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ;5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este

comutativ;Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H ⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈ H ⇒

x*y∈ H şi ∀ x∈ H ⇒ x’∈ H (x’ este simetricul lui x în raport cu opera ţ ia *);Fie grupurile (G1,⊥), (G2,∆):Definiţia XVII.2.2. f:G1→G2 se numeş te morfism de grupuri dacã

f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1.Definiţia XVII.2.3. f:G1→G2 se numeş te izomorfism de grupuri dacã f este

bijectivã şi f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1.Definiţia XVII.2.4. f:G1→G2 se numeş te automorfism (endomorfism) al

grupului G1 , dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. InelFie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã;Definiţia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã:

G. (A,+) este grup abelian;M. (A,•) este monoid şiD. • este distributivã faţã de +:

x•(y+z) = x•y + y•z

(y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈Adacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ.

Exemple de inele:1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi;2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z}3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A);5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o):Definiţia XVII.3.1. f:A→A’ se numeş te izomorfism de inele dacã f este

bijectivã şi f(x⊥y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A.Definiţia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0

implicã x• y≠0. Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel pu ţ in douã elemente şi fãrã

divizori ai lui zero se numeş te domeniu integritate.Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅⋅⋅⋅ ) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅⋅⋅⋅ ) este inelul

comutativ al polinoamelor cu coeficien ţ i în A.f ∈A[X], f = a

0+ a

1X + a

2X2 + … + a

nXn este forma algebricã a unui polinom

de nedeterminatã X cu coeficienţi în A:- dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant);




37

- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞.Proprietã ţ i: 1. grad ( f+g) ≤ max{grad f , grad g};

2. grad f ⋅g ≤ grad f + grad g.Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de

integritate şi grad f ⋅g = grad f + grad g, ∀ f,g∈ A[X].

XVII.4. CorpFie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã.Definiţia XVII.4.1. (K,+,• •• • ) este corp dacã (K,+,• •• • ) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0

⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât x• x-1 = x-1 • x = 1.Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ.

Exemple de corpuri:1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raţionale;2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale;

3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe;4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate);5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p ( p∈N*, p >1, p – numãr prim).

Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥ ⊥⊥ ⊥ ,*) şi (K’,∆∆∆∆ , o ), f:K →→→→ K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥ y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀∀∀∀ x,y∈∈∈∈R.

Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X],g≠0: ∀f ∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r,grad r < grad g.

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE

Notaţii:- lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b;- lungimile segmentelor importante în triunghi:

AD = ha (AD⊥BC, ha lugimea înãlţimii din A, D∈BC); AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC)); AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC));

- 2

cba ++= p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);

- AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S;- R – raza cercului circumscris unui poligon;- r – raza cercului înscris într-un poligon;- ln – latura poligonului regulat cu n laturi;- an – apotema poligonului regulat cu n laturi;- P – perimetrul poligonului;- Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã);- Atot – aria totalã, notatã şi A;- V – volumul.




38

I. Triunghiul

Inegalitã ţ i gemetrice:1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior;2. a+b > c, b+c > a, a+c > b

3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A

4. ma <2

cb +

5. p < ma + mb + mc < P

Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC) B C

cb

ba DC

cb

ca BD

AC

AB

DC

BD

+⋅

=+⋅

== ;;

Observaţii:1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie almediatoarelor;

2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor;3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor.4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.

II. Poligoane convexe

Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi:

Sn = (n – 2)⋅180° Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui altcerc.

III. Relaţii metrice în triunghi

III.1. Triunghiul dreptunghicABC (m(∠A) = 90°, AD⊥BC)

1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2;2. Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD;

3. Teorema înãlţimii: 2ah =BD⋅DC;

4. chbhcb

hcba

==⋅

= ,,2

;

5. 222222

4

3,

4

3,

2cambam

am cba −=−== ;

6. ca

abb

ca

acb

cb

cbb cba +

⋅=+

⋅=+⋅

=2

;2

;2 ;

7.

2

cb

A ABC

⋅

= ;




39

8. 2

a R = ;

9. cba

cbr

++⋅

= ;

10. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice:

b = a⋅sin B, b = a⋅cos C , b = c⋅tg B, b = c⋅ctg C .

III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c)

1. 2

3abmh aaa ===

2. 4

32a

A ABC = ;

3. 3

3a R =

4. 6

3ar =

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC)1. Teorema lui Pitagora generalizatã:

a) b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90° ;b) b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90° ;

2. Relaţiile lui Steward O∈(BC):b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO;

3. 4)(2

2222 acbma −+= ;

4. ))()((2

c pb pa p pa

ha −−−= ;

5. bca p pcb

ba )(2

−+

= ;

6. S ha

A a ABC =

⋅=

2;

7.

))()(( c pb pa p pS −−−= ;8.

S

abc R

4= ;

9. p

S r = .

III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice

1. Teorema sinusurilor: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin=== ;

2. Teorema cosinusului:bc

acb A Abccba

2cos;cos2

222222 −+=−+= ;




40

3. Teorema tangentelor:ba

baC tg

B Atg

+−

=−

22;

4. C B A RS A

tga p pS A

C BaS

C abS sinsinsin2,

2)(,

sin2

sinsin,

2

sin 22

=−=== ;

5. 2cos2cos2cos4C B A

R p = ;6. C B Rha sinsin2= ;

7. )sinsincos4(sin222C B A A Rma += ;

8. 2

cos2 A

cb

bcba +

= ;

9. bc

a p p A )(

2cos

−= ;

10. bcc pb p A ))((2sin −−= ;

11. )(

))((2 a p p

c pb p Atg

−−−

= .

IV. Patrulatere

IV.1. Paralelogramul

ABCD (AB CD, BC AD, DE⊥AB) D CAC∩BD = {O}OA = OC, OB = OD OAABCD = AB⋅DEAABCD = AB⋅AD⋅sin A. A E B

IV.2. Dreptunghiul D CABCD (AB CD, BC AD, ∠A = 90°)AC = BD O

AABCD = AB⋅AD A BIV.3. RombulABCD (AB CD, BC AD, AB = BC)AC = d1, BD = d2 AB = a A CAC⊥BD

AABCD =2

dd 21 ⋅

B




41

IV.4. PãtratulABCD (AB CD, BC AD, AB = AC D C∠A = 90°, AB = a, AC = d)AC = BDAC⊥BD O

d = a 2 AABCD = a2. A B

IV.5. Trapezul D CABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M

MN =2

b B +M N

A B

AABCD = hhb B

⋅=⋅+

MN2

)(

V. Poligoane înscrise în cerc

V.1. Patrulaterul înscris în cerc A∠BAD + ∠BCD = 180°; D∠BAC ≡ ∠BDC; M

Teorema lui Ptolomeu α AB⋅DC + AD⋅BC = AC⋅BD CAABCD = ½ AC⋅BD⋅sin α B

V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R

1. Triunghiul echilateral:433

,2

,32

33 R

S R

a Rl === ;

2. Pãtratul: 244 2,

2

2,2 RS

Ra Rl === ;

3. Hexagonul regulat:233

,2

3,

2

66 R

S R

a Rl === ;

4. Poligonul regulat cu n laturi: nnn a pn

Rn

S n

Ran

Rl ⋅====π π π 2

sin2

,cos,sin2 2

unde2

nln p

⋅= .

VI. Cercul

Lungimi şi arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2;




42

larcAB=180

α π R; α - mãsura în grade; A

AsectorAB =180

2α π R α O

µ(∠AOB) = 180

π α ⋅(µ - mãsura în radiani) B

Unghi cu vârful în interiorul cercului: Bm(∠AOB) = )Bm(A

A

m(∠AMB) =2

)Dm(C)Bm(A

+ M

D CUnghi cu vârful pe cercOM⊥MT M

m(∠AMB) =2

)Bm(A

T

m(∠AMT) =2

)Mm(A

A B

Unghi cu vârful în exteriorul cercului MOT⊥MT C

m(∠AMB) =

2

)Dm(C)Bm(A

−D T

m(∠AMB) =2

)Tm(D)Tm(B

−A

B Puterea unui punct fa ţ ã de un cerc B M

OT⊥MT Nρ(M) = MA⋅MB = OM2 – r2 = MT2 Tρ(N) = NA⋅NB = r2 – ON2

A

VII. Complemente de geometrie planã

Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãl ţ imilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi(sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru.

Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse.

Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt

concurente dacã şi numai dacã 1=⋅⋅PB

PA

NA

NC

MC

MB.




43

Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pelaturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri

de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã: 1=⋅⋅PB

PA

NA

NC

MC

MB.

Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G(ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare.

Dreapta lui Simson: Proiec ţ iile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare.

Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersec ţ ia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare.

Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãl ţ imilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi

vârfurile triunghiului sunt conciclice.

VIII. Poliedre

VIII.1. Prisma1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; c Atot = 2(ab + ac + bc); d V = abc b

d2 = a2 + b2 + c2 a 2. Cubul (de laturã a = b = c)A = 6a2 c V = a3 d a = a 3 a b 3. Paralelipipedul D’ C’B’O⊥(ABC) A’ B’B’O = h

V = AABCD⋅h D O CA B

4. Prisma C’ (dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) A’ B’ V = Abazei⋅h h

C

Prisma triunghiularã regulatã A B C’ (AB = a) O’

Alat = 3a⋅h A’ B’




44

Atot = 3a⋅h +2

3a 2

V =4

3a 2

⋅h C O

A B

VIII.2. Piramida1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, AAO⊥(BCD), AM⊥DC)

;2

3,

3

6 a AM

ah ==

B C2. Tetraedul dreptunghic (OA⊥OB⊥OC⊥OA,OA = OB = OC = a, CM⊥AB) C

2;2

6,

2

2a AB

aCM

aOM ===

23

2

a A ABC =

2

3

2

3 22aa

Atot +=

V =6

3a

3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VCVM ⊥ BC, VM – apotemã)

343

2

3

4

3

2

312

2

2

22

haV

VM aa A

VM a A

ahVM

tot

lat

⋅=

⋅+=

⋅=

+=

122;3

3

22ˆsin,3

6ˆsin

32 a

V a A

O M AO B A

==

==




45

Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtratde laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥BC)

3

2

24

2

2

22

haV

VM aa A

VM a A

ahVM

tot

lat

⋅=

⋅+=

⋅=

+=

4. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC,VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)

2

3

32 33

34

3

2

2

22

haV

VM aa A

VM a A

ahVM

tot

lat

=

⋅+=

⋅=

+=

M

A B5. Piramida regulatã

(piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei):

3;

2h A

V A A A

apotemaP A

bazeilat bazeitot

bazeilat

⋅=+=

⋅=

6. Piramida (de înãlţime h):

3;

h AV A A A bazei

lat bazeitot

⋅=+=

VIII.3. Trunchiul de piramidã( B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea)




46

1. Trunchiul de piramidã oarecare:

b Bb Bh

V ⋅++= (3

2. Trunchiul de piramidã regulat

P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici,a p – apotema

)(

3

2

)(2

)(

b Bb Bh

V

a pPb B A

a pP A

p

tot

p

lat

⋅++=

+++=

+=

VIII.4. Poliedrul regulatRelaţia lui Euler: v-m+f = 2

(v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor)Tipurile de poliedre regulate:

- tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;

- cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;

- octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;

- dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;

- icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;

IX. Corpuri rotunde

Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţime

IX.1. Cilindrul circular drept

h RV

G R R A

RG A

Gh

tot

lat

2

)(2

2

π

π

π

=

+=

=

=




47

IX.2. Conul circular drept

3

)(

2

222

h RV

G R R A

RG A

RhG

tot

lat

π

π

π

=

+=

=

+=

IX.3. Trunchiul de con(r – raza bazei mici)

)(3

)()(

)(

)(

22

22

222

Rr r Rh

V

r Rr RG A

r RG A

r RhG

tot

lat

++=

+++=

+=

−+=

π

π π

π

IX.4. Sfera

21sferice

3

2

2

23

4

4

Rh A

Rh A

RV

R A

zonei

calotei

π

π

π

π

=

=

=

=

X. Funcţii trigonometrice

X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic

a

b B =sin ,

a

c B =cos ,

c

btgB = C

b

cctgB = , C B cossin = , ctgC tgB = b a

A c B




48

X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice1. sin:R→[-1,1]

sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z)2. cos:R→[-1,1

cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z)

3. tg:R\{(2k+1)2

π }→R 4. ctg:R\{kπ}→R

tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg xtg(x+kπ) = tg x, (k∈Z) ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)

XI. Formule trigonometrice

XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:1. 1cossin 22 =+α ;

α α α α 22 sin1cos;cos1sin −±=−±=

2. α

α α cos

sin=tg




49

α α

α

α α

22 1

1cos;

1sin

tgtg

tg

+±=

+±=

3. α α π

cos2

sin =

− ; α α π

ctgtg =

−2

4. α α π sin)sin( =− α α π cos)cos( −=− ; α α π tgtg −=− )(

5. α α π

cos2

sin =

+

α α π

sin2

cos −=

+ , α α π

ctgtg −=

+2

6. α π sin)sin( −=+ α α π cos)cos( −=+ ; α α π tgtg =+ )(

7. α α sin)2sin( −=− α α cos)2sin( =− ; α α π tgtg −=− )2(

XI.2. Formule de adunare:

β α

β α β α

β α β α β α

α β β α β α

tgtg

tgtgtg

⋅±

=±

⋅⋅=±

⋅±⋅=±

∓

∓

1)(

sinsincoscos)cos(

cossincossin)sin(

XI.3. Formule pentru multiplii de argument:

...sincossincossincoscos

...sincossincoscossin

1

12cos;

1

22sin

cos3cos43cossin4sin33sin

22

12

2

1

22

1cos2sin21sincos2cos

cossin22sin

55533311

444222

2

2

2

3

3

2

2

2222

−⋅+⋅−⋅=

−⋅+⋅−=

+

−=

+=

−=−=

−=

−=

−=

−=

−=−=−=

⋅=

−−−

−−

α α α α α α α

α α α α α α

α

α α

α

α α

α α α

α α α

α α

α

α α

α α α

α α

α α α α α

α α

nn

nn

nn

nn

nn

n

C C C n

C C n

tg

tg

tg

tg

tgctg

ctg

ctgctg

tgctgtg

tgtg




50

XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:

α

α

α

α

α

α α

α α α α

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

sin

2

2

cos1

2cos;

2

cos1

2sin

+

−±=

−=

+

=

+±=

−±=

tg

XI.5. Sume, diferenţe şi produse:

2cos

2sin2sinsin

β α β α β α

−+=+

2cos

2sin2sinsin

β α β α β α

+−=−

2cos

2cos2coscos

β α β α β α

−+=+

2sin

2sin2coscos α β β α β α −+=−

β α

β α β α

β α

β α β α

coscos

)sin(;

coscos

)sin(

⋅−

=−⋅+

=+ tgtgtgtg

−=

+=+ α π

α π

α α 4

cos24

sin2cossin

−−=

+−=− α π

α π

α α 4

cos24

sin2cossin

β α

β α β α

β α β α β α

β α β α β α

β α β α β α

ctgctg

tgtgtgtg

++

=⋅

−++=⋅

−++=⋅

+−−=⋅

)]sin()[sin(2

1cossin

)]cos()[cos(2

1coscos

)]cos()[cos(21sinsin

XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice

XII.1. arcsin:[-1.1]→[-2

π ,

2

π ], arcsen y = x sin x = y

arcsin (-x) = - arcsin xXII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π - arcos x




51

XII.3. arctg:R

−→2

,2

π π , arctg (-x) = -arctg x

XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π - arctg x

XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple

XIII.1. Ecuaţii fundamentale

}{,.4{,.3

}2arccos{]1,1[,cos.2

}arcsin)1{(]1,1[,sin.1

Z k k accctga x Raactgx

Z k k arctga x Raatgx

Z k k a xaa x

Z k k a xaa x k

∈+∈⇒∈=∈+∈⇒∈=

∈+±∈⇒−∈=

∈+−∈⇒−∈=

π

π

π

π

XIII.2. Tabele de valori:x

funcţia0

6

π

4

π

3

2

π

π

2

3π

2

sin x 0

2

1

22

23

1 0 -1 0

cos x 123

22

23 0 -1 0 1

tg x 0

3

3

1 3 / 0 / 0

ctg x / 3 1

3

3

0 / 0 /

xfuncţia -123−

22−

21− 0

21

22

23 1

arcsin x

2

π −

3

π −

4−

6−

0

6

π

4

3

π

2

π

arcos x

6

5π

4

3π

3

2π

2

π

3

π

4

6

π

0

xfunctia 3−

-1

33− 0

33 1

3




52

arctg x

3

π −

4

π −

6

π −

0

6

π

4

3

π

arcctg x

6

5π

4

3π

3

2π

2

π

3

π

4

6

π

XIV. Elemente de geometrie analiticã

XIV.1. Segmente1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 2

122

12 )()( y y x x −+−

2. Panta dreptei AB:12

12

x x

y ym AB −

−=

3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:

2

,

2

2121 y y y

x x x

+=

+=

4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:

2,

12121 ky y

yk

kx x x

+=

++

=

XIV.2. Ecuaţia dreptei1. Drepte paralele cu axele de coordonate:

(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)2. Dreapta determinatã de punctul M o(xo ,yo) şi vectorul nul at r r d vua o +=:)(:),( ,

t ∈R,o

r -vectorul de poziţie a lui M

o; r-vectorul de pozi

ţie a unui punct M al dreptei d .

+=

+=

vt y y

ut x xd

o

o:)( , t ∈R, ecuaţiile parametrice;

3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine);

4. Ecuaţia prin tãieturi: *);,(,01 Rbab

y

a

x∈=−+

5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul M o(xo ,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0);6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1 ,y2), B(x2 ,y2):

),(,),( 212112

112

1112121 y y x x

x x

x x

y y

y y x x

x x

y y y y ≠≠−

−=−

−−−

−=− sau

0

1

1

1

22

11 =

y x

y x

y x

7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0;

8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = ∆2

1, unde




53

1

1

1

22

11

y x

y x

y x

=∆ , dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare

9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2):

0:)( 1111 =++ c yb xad şi 0:)( 2222 =++ c yb xad d1 = d2, dacã

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a==

d1 d2, dacã2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a≠= ;

d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã2

1

2

1

b

b

a

a≠

10. Distanţa de la punctul M o(xo ,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0

22

00),(ba

cbyaxh M d +

++=

11. Unghiul α determinat de dreptele:

111 :)( n xm yd += şi 222 :)( n xm yd +=

)1(,1 21

21

12 −≠+

−= mm

mm

mmtgα

d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. CerculCercul C de centru M(a,b) şi razã r :1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;

2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde2

ma −= , b =

2

n− şi

r2 =4

1(m2 + n2) – p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie

1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E Ecua ţ ia elipsei: 222

2

2

2

2

,01 acbb

y

a

x=+=−+

BM

A’ F’ F AO

B’

Ecua ţ ia tangentei în punctul M(x o ,y o ), M ∈∈∈∈ E:01

22=−+

b

yy

a

xx oo




54

2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈ H .

Ecua ţ iea hiperbolei: 2222

2

2

2

,01 abcb

y

a

x=−=−−

Ecua ţ ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈∈∈∈ H .

0120

20 =−−

b

yy

a

xx

3. Parabola P: F(2

p,0), h:x = -

2

p(h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P.

Ecua ţ ia parabolei P: y2= 2px

Ecua ţ ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈∈∈∈ P: yyo = p(x + xo)

ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. ŞiruriI.1. Şiruri şi limite

Definiţia I.1.1. Se numeş te şir de numere reale o func ţ ie f:N→→→→R , f(n) = a n .Definiţia I.1.2. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 se numeş te crescãtor (respectiv descrescãtor )

dacã a n ≤ ≤≤ ≤ a n+1 , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N (respectiv a n ≥ ≥≥ ≥ a n+1 , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N ). Ş irurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone.

Definiţia I.1.3. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 este mãrginit dacã şi numai dacã ∃∃∃∃ M>0 astfel încât a n≤≤≤≤ M , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N.

Notaţie: (an)n≥0, an∈R, R = R ∪ {-∞, +∞}.Definiţia I.1.4. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 , a n∈∈∈∈R are limita a şi scriem aan

n

=∞→

lim , a∈ R

dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã to ţ i termenii şirului începând de la un anumit rang.

Definiţia I.1.5. Ş irul este convergent , aann

=∞→

lim , a∈R, dacã ∀ε >0, ∃ N ε ∈N

astfel încât ∀ n> N ε , an - a<ε .Definiţia I.1.6. aan

n

=∞→

lim dacã ∃ε >0, ∃ N ε ∈N astfel încât an > ε , ∀ n > N ε .

Definiţia I.1.7. −∞=∞→

nn

alim dacã ∀ε >0, ∃ N ε ∈N astfel încât an < -ε , ∀ n > N ε .




55

Dacã ±∞=∞→

nn

alim , atunci şirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unuişir1. dacã 0lim =

∞→n

n

b , bn≥ 0 şi an - a≤ bn atunci aann

=∞→

lim ;

2. dacã ∞=∞→

nn

blim şi an ≥ bn atunci +∞=∞→

nn

alim ;

3. dacã −∞=∞→

nn

blim şi an ≤ bn atunci −∞=∞→

nn

alim ;

4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);5. dacã bn ≤ an ≤ cn şi acb n

nn

n

==∞→∞→

limlim atunci aann

=∞→

lim ;

6. criteriul lui Stolz:

- dacã (bn)n≥0 crescãtor: ∞=∞→

nn

blim şi existãnn

nn

n bb

aa

−

−

+

+

∞→ 1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a

−−

=+

+

∞→∞→ 1

1limlim ;

- dacã (an)n≥0, an > 0 şi existãn

n

n a

a 1lim +

∞→atunci n

nn

alim∞→

=n

n

n a

a 1lim +

∞→(Cesaro);

- - dacã (bn)n≥0 crescãtor: 0limlim ==∞→∞→

nn

nn

ba şi existãnn

nn

n bb

aa

−−

+

+

∞→ 1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a

−

−

= +

+

∞→∞→ 1

1

limlim ;

I.2. Operaţii cu şiruri convergenteaan

n

=∞→

lim , bbnn

=∞→

lim , a,b∈R

)0daca(,lim.3

;,lim.2

;)(lim,)(lim.1

≠=

∈=

−=−+=+

∞→

∞→

∞→∞→

bb

a

b

a

Raa

babababa

n

nn

nn

nnn

nnn

α α α

I.3. Operaţii cu şiruri care au limitãaan

n

=∞→

lim , bbnn

=∞→

lim , a,b∈ R

1. dacã ∞=∞→

nn

alim şi bbnn

=∞→

lim , b∈R atunci 01

lim,)(lim =+∞=+∞→∞→ nn

nnn a

ba ,

<∞−

>∞+=⋅

∞→ 0daca,

0daca,lim

b

bba nn

n

2. +∞==∞→∞→

nn

nn

ba limlim atunci +∞=+∞→

)(lim nnn

ba , +∞=⋅∞→

)(lim nnn

ba ;




56

3. dacã −∞=∞→

nn

alim şi bbnn

=∞→

lim , b∈R, atunci −∞=+∞→

)(lim nnn

ba

<∞+

>∞−=⋅

∞→ 0daca,

0daca,lim

b

bba nn

n

;

4. −∞==∞→∞→

n

n

n

n

ba limlim atunci −∞=+∞→

)(lim nn

n

ba , +∞=⋅∞→

)(lim nn

n

ba ;

5. dacã ∞=∞→

nn

alim şi −∞=∞→

nn

blim atunci −∞=⋅∞→

)(lim nnn

ba ;

6. dacã 0lim =∞→

nn

a atunci ∞=∞→ nn a

1lim dacã an > 0 şi −∞=

∞→ nn a

1lim dacã an < 0.

I.4. Şiruri tip

.!

1...

!2

1

!1

11lim.9

;1

1lim.8

;1,1...21lim.7

;0,1lim.6

;)1

...3

1

2

11(lim.5

;1daca,1

1)...1(lim.4

daca,

0sidaca,

0sidaca,

daca,0

...

...lim.3

0daca,

0daca,lim)...(lim.2

1dacaexista,nu

1daca,

1daca,1

11daca,0

lim.1

2

0

0

11

10

11

10

0

001

110

en

en

pn

aa

n

qq

qqq

pk ba

pa pk

pa pk

pk

nnbnbnb

ananana

a

anaananana

q

q

q

q

q

n

n

n

n

n p p pn

n

n

n

n

n

oo

oo

p p p p

k k k k

n

k

nk k

k k

n

n

n

=

++++

=

+

≥∀=+++

>∀=

+∞=++++

<−

=++++

=

<>∞−

>>∞+

<

=++++

++++

<∞−

>∞+==++++

−≤

>∞+

=

<<−

=

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

∞→

−−

−−

∞→

∞→−

−

∞→

∞→

II. Limite de funcţii

Notaţii: f :D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D;




58

0lim =∞→

x

x

a , ∞=−∞→

x

x

alim , dacã 0 < a < 1;

4. }1{ \ finita,0,logloglim*+

→∈>= R x aa

x

α α α α

−∞=

>

→ xa

x

x

loglim

0

0 şi +∞=

∞→ xa

x

loglim dacã a > 1;

+∞=

>→

xa

x x

loglim00

şi −∞=∞→

xa x

loglim dacã 0 < a < 1;

6. α α

sinsinlim =→

x x

, α α

coscoslim =→

x x

Z tgtgx x

π α α α

+∉=→ 2

,lim , Z ctgctgx x

π α α α

∉=→

,lim

∞=

<

→

tgx

x

x

lim

2

2π

π , −∞=

>

→

tgx

x

x

lim

2

2π

π

7. ∞=

>→

ctgx

x xlim

00

, −∞=

<→

ctgx

x xlim

00

]1,1[,arcsinarcsinlim −∈=→

α α α

x x

, ]1,1[,arccosarccoslim −∈=→

α α α

x x

Rarctgarctgx x

∈=→

α α α

,lim , Rarcctgarcctgx x

∈=→

α α α

,lim

2lim

π −=

−∞→arctgx

x

,2

lim =∞→

arctgx x

π =−∞→ arcctgx xlim , 0lim =∞→ arcctgx x ;

8. 1sin

lim0

=→ x

x

x

, 1lim0

=→ x

tgx

x

, 1arcsin

lim0

=→ x

x

x

, 1lim0

=→ x

arctgx

x

;

9. ;1,,0lim >∈∀=∞→

a Z na

x x

n

x

10. ;)1(lim,1

1lim1

0e xe

x x

x

x

x

=+=

+→±∞→

11. ;1)1ln(

lim0 =+

→ x

x

x

12. 0,ln1

lim0

>=−

→aa

x

a x

x

,

13. Rr r x

x r

x

∈∀=−+

→,

1)1(lim

0.

II.4. Continuitatea funcţiilorDefiniţia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D , f este

continuã în xo , dacã )()(lim 00

x f x f x x

=→

, xo se numeş te punct de continuitate.




59

Definiţia II.4.2. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de prima spe ţ ã dacãexistã şi sunt finite limitele laterale în α , dar func ţ ia nu este continuã în α .

Definiţia II.4.3. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de spe ţ a a doua dacã nu este de prima spe ţ ã.

Teoremã. Dacã f:I →R , I – interval şi f continuã pe I , atunci J = f(I) este

interval ( o func ţ ie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcţii derivabile

III.1. Definiţia derivatei într-un punct f :E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:

f’(x0) =

h

x f h x f

x x

x f x f

E h xh x x

)()(lim

)()(lim 00

00

0

00

−+=

−

−

∈+→→

f s’(x0) =0

0 )()(lim

0

0 x x

x f x f

x x x x −

−

<→

, f d ’(x0) =0

0 )()(lim

0

0 x x

x f x f

x x x x −

−

>→

f’(x0) = f s’(x0) = f d ’(x0) Interpretarea geometricã:- dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în

punctul A(x0 ,f(x0));- dacã f este continuã în x0, f d ’(x0) = +∞, f s’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de

întoarcere al graficului;- dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0 , cel puţin una fiind

finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E:

1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);

2. (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; 3. (f ⋅ g)’(x) = f’(x)⋅ g(x) + f(x)⋅ g’(x)

4. dacã g(x)≠ 0,)(

)(')()()(')(2

'

xg

xg x f xg x f x

g

f −=

;

5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci(go f)’(x0) = g’(y0)f’(x0);

6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠ 0, atunci f -1:J→I este

derivabilã în y0 , y0 = f(x0) şi f -1

(y0) =)('

1

0 x f .

III.3. Derivatele funcţiilor elementareFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)C 0




60

xn , n∈N* nx

n-1

xr , r ∈R, x>0 rx

n-1

0, ≥ x x 0,2

1> x

x

loga x, a≠ 1, a>0, x>0

xa

1

ln

1

⋅

ln x, x>0

x

1

a x , a≠ 1, a>0, x>0 a

x ln a

e x

e x

sin x cos x

cos x -sin x

tg x, x Z k k ∈+≠ ,

2

)12(

x2

cos

1

ctg x, x Z k k ∈≠ ,π

x2sin

1−

arcsin x, x∈[0,1] )1,0(,

1

12

∈−

x x

arcos x, x∈[0,1] )1,0(,

1

12

∈−

− x x

arctg x

21

1

x+

arcctg x21

1

x+−

III.4. Derivata funcţiilor compuseFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)u

n , n∈N* nu

n-1⋅ u’

ur , r ∈R, u>0 ux

n-1⋅ u’

0, ≥uu

0,2

'>uu

u

logau, a≠ 1, a>0, u>0

u

u

a

'

ln

1⋅

ln u, u>0'

1u

u⋅

au , a≠ 1, a>0 a

u ln a⋅ u’

eu

eu⋅ u’

sin u cos u⋅ u’

cos u - sin u⋅ u’




61

tg u, cos u≠ 0 '

cos

12

uu

⋅

ctg u, sin u≠ 0 '

sin

12

uu

⋅−

arcsin u, u∈[-1,1] )1,1(,'1

12 −∈⋅− uu

u

arccos u, u∈[-1,1] )1,1(,'

1

12

−∈⋅−

− uuu

arctg u '

1

12

uu

⋅+

arcctg u '

1

12

uu

⋅+

−

uv

, u>0u

v

⋅ v’⋅ ln u + v⋅ u

v-1

⋅ u’III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementareFuncţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f

(n))

xm , m∈N, m≥ n m(m-1)…(m-n+1)x

m-n

N m x

m∈,

1(-1)

nm(m-1)…(m+n-1)

nm x

+

1

e x

e x

a x (ln a)n⋅ a x

ln x (-1)

n-1

(n-1)! n x

1

Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f (n)

)

sin x

+2

sinπ n

x

cos x

+2

cosπ n

x

Formula lui Leibniz:

f f g f C

g f C g f C g f C g f C g f g f

n

k

k k nk n

nnn

nnn

nn

nn

nn

=∑ ⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅

=

−

−−−−

)0(

0

)()(

)()1(1)2(2)1(1)()(

,

'...''')(

III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabileTeorema lui Fermat:

Fie f :I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ estenulã.Teorema lui Rolle:

Dacã funcţia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunciexistã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0.




62

Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b)

astfel încât )(')()(

c f ab

a f b f =

−−

.

Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis),

atunci:1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei;2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei.Teorema lui Cauchy:

Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b)

atunci ∃c∈(a,b) astfel încât)('

)('

)()(

)()(

cg

c f

agbg

a f b f =

−−

IV. AsimptoteIV.1. Asimptote orizontale ( f :D→R)

Definiţia IV.1.1. Dacã 1)(lim l x f x

=+∞→

sau 2)(lim l x f x

=−∞→

, l1 ,l2∈R, dreptele y=l1

şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞∞∞∞, respectiv -∞∞∞∞

IV.2. Asimptote oblice ( f :D→R)

Definiţia IV.2.1. Dacã 0)(

lim ≠=∞→

m

x

x f

x

şi Rnmnmx x f x

∈=−+∞→

,,])([lim

dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞∞∞∞.

Definiţia IV.2.2. Dacã 0')(

lim ≠=∞→

m x

x f

x

şi Rnmn xm x f x

∈=−+∞→

',',']')([lim

dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞∞∞∞.

IV.3. Asimptote verticale ( f :D→R) Definiţia IV.3.1. Dacã ±∞=

<→

)(lim x f

x x

α α

, α - punct de acumulare a lui D ,

dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f .Definiţia IV.3.2. Dacã ±∞=

>→

)(lim x f

x x

α α

, α - punct de acumulare a lui D ,

dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f .

V. Primitive(integrale nedefinite)




63

Definiţia V.1. Fie func ţ ia f :J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f , dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀ x∈ J .

Se noteazã: ∫ += c xF dx x f )()( Proprietã ţ i ale primitivelor:

1. [ ] ∫ ∫+=∫ + dx x f dx x f dx x f x f )()()()( 2121 ;

2. ∫ ∫= dx x f adx xaf )()( ;Integrarea prin părţi ∫ ∫−= dx xg x f xg x f dx xg x f )()(')()()(')( .

V.1. Prima metodã de schimbare a variabileiDacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci

∫ +=⋅ ct F dt t t f )()('))(( ϕ ϕ ϕ

V.2. A doua metodã de schimbare a variabileiDacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,

')( ϕ ϕ ⋅= f h admite primitive (H) atunci ∫ += − c x H dx x f )()( 1ϕ .

V.3. Tabel de primitive: ( I – interval, I ⊂R)

1. N n R xcn

xdx x

nn ∈∈+

+=∫

+

,,1

1

;

2.

∫ −∈+∞∈++=

+

}1{ \ ),,0(,1

1

R xc

x

dx x α α

α α

;

3. 1,0,,ln

≠>∈+=∫ aa R xca

adxa

x x ;

4. R I I xc x x

dx⊂∈+∫ = ,,ln ;

5. },{ \ ,,ln2

1122

aa R I I xca x

a x

adx

a x−⊂∈+

+−

=∫−

;

6.

0,,

1122 ≠∈+=∫ + a R xca

x

arctgadxa x ;7. R xc x xdx ∈+−=∫ ,cossin ;8. R xc x xdx ∈+=∫ ,sincos ;

9.

∈+⊂∈+=∫ Z k k R I I xctgxdx

x 2)12( \ ,,

cos

12

π ;

10. { } Z k k R I I xcctgxdx x

∈⊂∈+−=∫ π \ ,,sin

12

;

11. ∫

∈+⊂∈+−= Z k k R I I xc xtgxdx 2)12( \ ,,cosln

π

;12. { }∫ ∈⊂∈+= Z k k R I I xc xctgxdx π \ ,,sinln ;




64

13. ( ) R xca x xdxa x

∈+++=∫+

,ln1 22

22;

14. 0),,(sau),(,ln1 22

22>−−∞∈+∞∈+−+=∫

−aa xa xca x xdx

a x;

15. 0),,(,arcsin122

>−∈+=∫−

aaa xca xdx

xa

V.4. Primitivele funcţiilor raţionale

1. 0,1,,)()1(

1)( 1 ≠−≠∈++

+=∫ + +

an N ncbaxan

dxbaxnn ;

2. ∫ ≠++=+

0,)ln(1

acbaxabax

dx;

3. ∫ ≠≠∈++−

−=+ −

0,1,,)()1(

1)( 1

an N ncbaxanbax

dxnn

;

4. baca x

b x

bab xa x

dx≠+

++

−=∫

++,ln

1

))((;

5. ∫ ∫ ≠−=∆+∆

−

+

=++

0,4bunde,

42

1 22

22

aacc

aa

b x

dx

acbxax

dx.

Substitu ţ iile lui Euler:1. 0daca,2 >±=++ aa xt cbxax ;

2. 0daca,2 >±=++ cctxcbxax ;

3. 12

12 si04daca),( xacb x xt cbxax >−−=++ este o rãdãcinã a ecuaţiei

ax2

+ bx + c = 0.

VI. Integrale definite

IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann)Notaţii: f :[a,b]→R, ∆ = (a = x0 , x1 , x2 , …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξ i ≤ xi , ξ i – puncte

intermediare, σ ∆(f, ξ ) – suma Riemann: ∑ −==

−∆

n

iiii x x f f

11))((),( ξ ξ σ

Definiţia VI.1.1. f se numeş te integrabilã dacã existã numãrul real I f cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃η ε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu

ε η <∆ şi orice puncte intermediare ξ i are loc ε ξ σ <−∆ f I f ),( unde

)(max 1

1

−

≤≤

−=∆ ii

ni

x x

Se noteazã: ∫=b

a f dx x f I )(




3. Lungimea graficului f :[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã:

∫ +=b

a

dx x f f l2))('(1)(

4. Aria suprafeţelor de rotaţie:

∫ +=

b

a

f dx x f x f A2

))('(1)(2π

57215238-Memorator-matematic

Documents

Transcript of 57215238-Memorator-matematic