teorie memorator

7/27/2019 teorie memorator

1/42

Ovidiu Bdescu

MATEMATIC pentru BAC

Paralelism i calcul vectorial.......................................... 3Elemente de trigonometrie............................................. 9Numere complexe............................................................ 16Conice(cerc, elips, hiperbol, parabol)...................... 19

Mulimi, logic matematic, ecuaii.............................. 21iruri(progresii)............................................................... 26Funcia de gradul I i de gradul II................................. 27Mulimi de numere.......................................................... 32Combinatoric................................................................. 36Permutri......................................................................... 39Matrice............................................................................. 40

Determinani i calcul matriceal.................................... 42Sisteme liniare cu cel mult patru necunoscute............. 46Grup.................................................................................. 48Inele i corpuri................................................................. 54Inele de polinoame........................................................... 56iruri................................................................................ 62Limite de funcii. Funcii continue................................. 68Funcii derivabile............................................................. 74Reprezentarea grafic a funciilor................................. 82Primitive........................................................................... 84Integrale definite............................................................. 91Formule adugate de voi care mie mi-au scpat.......... 97

Editura Neutrino


2/42

Prof. Ovidiu Bdescu memorator matematic BAC

2

2013, Editura NeutrinoTitlul: Matematic pentru BACAutor: Ovidiu Bdescu

ISBN 978-973-8916-33-3

2013, Editura NeutrinoToate drepturile rezervate

Mobil: 0741017700http:www.neutrino.ro

E-mail: [email protected]
http://www.neutrino.ro/mailto:[email protected]:[email protected]://www.neutrino.ro/


3/42


3

GEOMETRIE

PARALELISM I CALCULUL VECTORIAL

1) Condiia ca trei numere reale pozitive , ,a b c s fie laturileunui triunghi este ca : i ia b c b c a c a b 2) Linii importante in triunghia)mediana - unete vrful triunghiului cu mijlocul laturii opuseb)inltimea - perpendiculara din vrf pe latura opusc)bisectoarea - mparte unghiul n dou pri egale

d)mediatoarea - perpendiculara pe mijlocul laturii3) Proprieti n triunghiul dreptunghic cu 90m A

T. lui Pitagora ABC dreptunghic 222 ACABBC T. catetei ABC dreptunghic 2AB BC BD , unde BD esteproiecia catetei AB pe ipotenuzT. nlimii ABC dreptunghic 2AD BD CD Obs.:n ABC cu AMmedian, avem relaia

2BCAM ABC e dreptunghic cu 90m A

4. ABCD paralelogram diagonalele au acelai mijloc5. Teorema lui Thales

n ABC avem:AM AN

MN BCMB NC

6. Teorema fundamental a asemnrii

n ABC avem: AM AN MNMN BC AB AC BC 7. Teorema lui Menelaos n ABC fie , ,M AC P BC N AB .

Atunci punctele , ,M N P sunt coliniare 1AM CP BN

MC PB NA

8. Teorema lui Ceva n ABC fie , ,M AC P BC N AB . Atunci

dreptele , ,AN BM CP sunt concurente 1AM CP BN

MC PB NA


4/42


4

9. Teorema bisectoarei n ABC fie AM bisectoarea unghiului

A, atunci are loc relaia:AB BM

AC CM

10. Suma a doi vectoria) necolininari, regula triunghiuluise poate aplicadoar dac originea celui de-al doileavector coincide cu extremitateaprimului vector, iar rezultatul e unvector ce pornete din origineaprimului vector i are extremitatea n

extremitatea celui de-al

B

AC

doilea, adic AB BC AC b) necolininari, regula paralelogramuluise poateaplica doar dac cei doi vectori

au aceeai origine, iar rezultatul e

un vector ce pornete din originea

comun celor doi vectori i are

extremitatea n cel de-al patrulea

C M

A B

AB AC AM .

11. AMmediana n triunghiul ABC ACABAM 2

1

12. mprirea unui segment ntr-un raport dat

DacBM

k AMC

avem1

1 1

kAM AB AC

k k

13. G este centru de greutate n ABC 0GA GB GC

14. Proprieti ale vectorilor necoliniaria) Dac ,u v sunt necoliniari, *,a b cu 0 0, 0a u b v a b

b) Dac ,u v sunt necoliniari i ,a u b v c u d v a c b d ,*

, , ,a b c d 15. Modulul unei sume de vectorise exprim ntreaga sum de

vectori n funcie de un vector dat, se folosete c av a v , iar

modulul unui vector este lungimea segmentului din care provine


5/42


5

16.Coordonatele unui vector

a)dac jyixu coordonatele sale sunt yx, b) dac tim punctele

,

A A

A x y i

,B B

B x y , atunci coordonatele

vectorului AB sunt ABAB yyxx ; c) Egalitatea a doi vectoridac ,u u v vu x i y j v x i y j ,

atunci siu v u vu v x x y y

17. Coliniaritatea a doi vectoridac * cuk AB k CD

AB CD ,iar dac * cu , ,k AB k AC A B C coliniare

Obs.:doi vectori sunt coliniari doar dac au coordonateleproporionale

18. Modulul vectoruluiv vv x i y j= + este

2 2

v vv x y= +

19. Operaii cu vectori dai prin coordonate

jyyixxuu212121

i jyixu 20. Condiie de paralelism i perpendicularitate a doi vectori

Dac u uu x i y j i v vv x i y j , atunci condiia ca:

a) 0u v u vu v x x y y b)u u

v v

x yu v

x y

21. Produsul scalar a doi vectori -dacu uu x i y j i

v vv x i y j , atunci u v u vu v x x y y sau

2 2 2 2cos ( , ) cosu u v vu v u v u v x y x y ,unde ( , )u v este unghi orientat trigonometric, deci22. Deducerea cosinusului unghiului dintre doi vectori

cos , cos , u v u vu v u v x x y yu v x x y y u v u v u vu v

Obs.1: un unghi e ascuit cos 0


6/42


6

23. Reper cartezian - este format din dou axe de coordonateperpendiculare, axa absciselor Ox i axa ordonatelorOy Obs.: 0

MyOxM 0

MxOyM

24. Distana ntre punctele ( ) ( )1 1 1 2 2 2, i ,M x y M x y (lungimeasegmentului 1 2M M ) este

2 2

1 2 2 1 2 1M M x x y y

25. Coordonatele mijlocului segmentului 1 2M M unde ( )1 1 1, ,M x y

( )2 2 2,M x y sunt1 2

2M

x xx

, respectiv 1 2

2M

y yy

26. Centrul de greutate al triunghiului 1 2 3M M M unde ( )1 1 1, ,M x y

( ) ( )2 2 2 3 3 3, , ,M x y M x y are coordonatele

1 2 3

3G

x x xx

, respectiv 1 2 3

3G

y y yy

27. mprirea unui segment n raport kM mparte BC in

raportulBM

kMC

1

1 1

1

1 1

M B C

M B C

kx x xk k

ky y y

k k

28. Ecuaia cartezian a unei drepte este: : 0d ax by c 29. Determinarea interseciei unei drepte cu axele de coord.:

: 0 ... ...,0Ox y x A

: 0 ... 0,...Oy x y B Obs.: dac dreapta are o singura necunoscut, atunci ea este

perpendicular pe axa a crei necunoscut apare30. Panta unei drepte:

2 1

2 1

d

y y am tg

x x b


7/42


7

31. Determinarea ecuaiei unei dreptea)dac trece prin punctul ),( 111 yxM si are pant cunoscut m ,

atunci ecuaia este: 1 1: ( )d y y m x x

b)dac trece prin dou puncte 1M si 2M ecuaia este

1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

32. Ecuaia unei drepte ce trece prin origine y mx Ecuaia primei bisectoare y x

Ecuaia celei de-a doua bisectoare y x 33. Punctele ( )1 1 1, ,M x y ( ) ( )2 2 2 3 3 3, i ,M x y M x y sunt coliniare

dac i numai dac1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

34. Ecuaia unei drepte paralele cu x a este ,x b b a ecuaia unei drepte paralele cu y a este ,y b b a

35. Intersecia a dou drepte - se gsete rezolvnd sistemulformat din ecuaiile acelordrepte36. Verificarea dac un punct aparine unei drepte nlocuimcoordonatele sale n ecuaia dreptei i dac obinem relaieadevrat, atunci punctul e pe dreapt, dac obinem relaie fals,

punctul nu e pe dreapt

37. Determinarea unui punct situat pe o dreaptdm lui x ovaloare i determinm valoarea lui y .Obs.: analog putem da lui y o valoare i determina valoarea lui x .38. Condiie de paralelism:

1 2 1 2d d m m

Obs.: 1 2 1 2, concurented d m m


8/42


8

39. Condiie de perpendicularitate:

1 2 1 2 1d d m m

40. Dou drepte coincid doar dac au coeficienii proporionali

41. Distana de la un punctul ( ),M MM x y la dreapta: 0d ax by c+ + = este

2 2dist.( , )

M Max by cM d

a b

42. Lungimea medianei Fie ABCV de laturi , ,a b c i AM

median. Atunci

2 2 22

2

4

b c a

AM


9/42


9

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE

1. Trigonometrie n triunghiul dreptunghic.sin

cat op

ip ;

ip

alatcat.cos ;

alatcat

opcattg

.

. ;

opcat

alatcatctg

.

. ;

2. Transformarea din grade inradiani si invers se foloseteregula de 3 simpl

180 ........................................

..........................................x

3. Tabelul

trigonometricE1) n linia deconstrucie se puncifrele de la 0 la 4E2) se extrageradical din fiecareE3) rezultatul seimparte la doi si se

trece la sinus

4. Semnele lui cos i sin n cele patru cadranecos 0

.Isin 0

xx Cd

x

cos 0.II

sin 0

xx Cd

x

cos 0

.IIIsin 0

xx Cd

x

cos 0.IV

sin 0

xx Cd

x

Cadranul III Cadranul IV

Cadranul II Cadranul I

sin

cos


10/42


10

5. Determinarea valorilor funciilor cos i sin n punctelede intersecie ale cercului trigonometric cu axele de coordonate

cos0 1

sin 0 0

cos 02

sin 12

cos 1

sin 0

3cos 0

2

3sin 1

2

6. Formula fundamental a trigonometriei 2 2sin cos 1x x+ = - se folosete atunci cnd tim o funcie trigonometric i cnd secer celelalte, ns semnul trebuie ales n funcie de cadrane7. Funcii complementare

sin cos2

x x

cos sin2

x x

1

2tg x ctgx

tg x

1

2ctg x tgx

ctg x

8. Paritatea, imparitatea functiilor trigonometrice sin sinx x cos cosx x

tg x tgx ctg x ctgx 9. Periodicitatea funciilor trigonometrice

sin 2 sin ,x k x k , cos 2 cos ,x k x k ,tg x k tgx k , ,ctg x k ctgx k



sin

cos


11/42


11

10. Graficele funciilor trigonometricea) trasarea graficului sina) [ ]sin : 1,1 -

b)sin nu e bijectiva,alegem restrictia

:[- ; ] [-1;1]

b)trasarea graficului cosa) [ ]cos : 1,1 -

b)cos nu e bijectiva, alegem

: [0; ] [-1;1]

c)trasarea graficului tg

a) : \2

tg k k p

p +

b)tg nu e bijectiva, alegem restrictia: ,

2 2tg

p p -

d)trasarea graficului ctga) { }: \ctg k k p

b) ctg nu e bijectiva, alegem: (0; )

11. Compararea unor numere reale exprimate prin funciitrigonometrice( cos1,cos2,cos3 ) se face din graficul aceleifuncii trigonometrice

sin 2 2

cos

ctg


12/42


12

12. Funcii trigonometrice inversea) relaii ntre funcie i inversa saarcsin sinx y x y arccos cosx y x y

arctgx y x tg y arcctgx y x ctg y b) paritatea, imparitatea funciilor trigonometrice inverse

arcsin arcsinx x arccos arccosx x arc arctg x tgx arc arcctg x ctg x

c)

d)legtura ntre o funcie trigonoetric i inversa sa

2sin arcsin , sin arccos 1x x x x

2cos arccos , cos arcsin 1x x x x

1,tg arctgx x tg arcctgxx

1

, cctg arcctgx x tg arctgxx

13. Formule trigonometrice fundamentalea) cos pstreaz acelai tip de funcii, schimb semnul

cos( ) cos cos sin sina b a b a b cos( ) cos cos sin sina b a b a b

b) sin schimb funciile, pstreaz semnulsin( ) sin cos cos sina b a b a b

sin( ) sin cos cos sina b a b a b c) tg pstreaz semnul la numrtor, iar la numitor l schimb

1

tga tgbtg a b

tga tgb

1

tga tgbtg a b

tga tgb

1

a barctg a arctg b arctg

ab

1a b

arctg a arctg b arctg ab


13/42


13

d) ctg se transform folosind tg astfel:

1 11

1 1 11 1

1

tga tgb ctga ctgbctg a btga tgbtg a b tga tgb

tga tgb ctga ctgb

Obs.: Se folosesc la sin15 sin 45 30 ,sin75 sin 45 30 , etc.14. Formule trigonometrice pentru dublul unui unghia)sin 2 2sin cosx x x b) 2 2cos2 cos sinx x x , 2cos2 2cos 1x x , 2cos2 1 2sinx x

c)2

22

1

tgxtg x

tg x

d)2 22

2

11

1 1 1 12

2 22 2 2

1

tg x ctg xctg xctg x

tgxtg x tgx ctgx

tg x ctgx

15. Deducereajumtii unui unghi2 21 cos2 1 cos2cos ; sin

2 2

x xx x

1 cos2 1 cos2cos ; sin

2 2 2 2

x x x x

2 2 2 1 cos2cos 2 2cos 1 1 cos2 2cos cos2

xx x x x x

2 2 2 1 cos 2cos2 1 2sin 1 cos2 2sin sin2

xx x x x x

16. Substituia universal

2

22sin

12

atg

aa

tg

;

2

2

12cos

12

atg

aa

tg

;2

22

12

atg

tgaa

tg


14/42


14

17. Transformarea produselor n sume

a) 1sin cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

b) 1cos sin sin( ) sin( )2

a b a b a b

c) 1cos cos cos( ) cos( )2

a b a b a b

d) 1sin sin cos( ) cos( )2

a b a b a b

18. Transformarea sumelor in produs

a) sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b

b) sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b

c) cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b

d)cos cos 2sin sin2 2

a b a b

a b

19. Ecuaii trigonometrice fundamentalea) sinx a are soluii doar dac 1,1a

pt. 1,1a x

pt. 1,1 arcsin 2 arcsin 2a x a k k a k k

Obs: Soluia este echivalent cu 1 arcsink

x a k k

b)cosx a are soluii doar dac 1,1a

pt. 1,1a x

pt. 1,1 arccos 2 arccos 2a x a k k a k k

Obs: Soluia este echivalent cu arccos 2x a k k


15/42


15

c) tgx a are soluii pentru orice a arcx tga k k

d) ctgx a are soluii pentru orice a arcx ctga k k

20. Rezolvarea de ecuaii date prin egaliti de funciia) sin sin 2 sau 2f x g x f x g x k f x g x k b) cos cos 2 sau 2f x g x f x g x k f x g x k c) tg f x tg g x f x g x k

d) ctg f x ctg g x f x g x k

Obs: Ecuaia sin cosf x g x sin sin 2f x g x

21. Rezolvarea ecuaiei de tipul sin cosa x b x c metoda I (nu e general, dar e mai simpl)

- se mparte prin 2 2a b

- se obine2 2 2 2 2 2

sin cosa b c

x xa b a b a b

- dac valorile2 2

a

a bi

2 2b

a bsunt din tabelul trigonometric,

nlocuim cu cost, respectiv sint

- obinem 2 2

sinc

x ta b

metoda II: - se rezolv sistemul2 2

sin cos

sin cos 1

a x b x c

x x

Obs.: la metoda a II-a, nu toate valorile lui xobinute sunt soluii

pentru ecuaia iniial, pentru a fi soluii, trebuie verificate n

ecuaia iniial.

22. Teorema cosinusului: Oricare ar fi triunghiul ABC Abccba cos2222 i analoagele.


16/42


16

23. Teorema sinusurilor Oricare ar fi triunghiul ABC

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

24. Aria triunghiului(suprafaa triunghiului)a) aria triunghiului 1 2 3M M M unde ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , ,M x y M x y M x y

este2

S

, unde

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

b)sin

( )( )( )2 2 4

aa h ab C abcS p p a p b p c r p

R

unde

2

cbap

semiperimetru, r raza cercului nscris,

R raza cercului circumscris

Obs.1: din formulele de arie se deduc ,4

S abcr R

p S

Obs.2: Aria triunghiului echilateral este:

2 3

4

lS

Obs.3: Raportul ariilor a dou figuri asemenea este egal cu ptratulraportului de asemnare25. Aria paralelogramului ABCD - se folosete c 2ABCD ABCA A , deci se deduce c

sin 2 ( )( )( )ABCD aA a h ab C p p a p b p c


17/42


17

NUMERE COMPLEXE

1. Forma algebric a numerelor complexebiaz , 112 ii

Obs.:dac avem ,M a b z a bi este afixul punctului ,M a b

dac avem ,z a bi M a b este imaginea lui z a bi

2. Partea real este Rez a , iar partea imaginar este Imz bi ,unde z a bi 3. Calcularea puterilor lui i

iiiiii nnnn 3424144 ;1;;1 4. Egalitatea a doua numere complexe

2121 aazz si 21 bb

5. Operaii cu numere complexe: dac 1 1 1 2 2 2,z a b i z a b i ,

atunci: 1 2 1 2 1 2z z a a b b i , 1 2 1 2 1 2z z a a b b i , 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a b b a b a b i

6. Conjugatul lui zschimba semnul din faa lui i , se noteaza z,

adic pentru biaz , obinemz a bi

Propr.: a)

n

k

k

n

k

k zz11

b)

n

k

k

n

k

k zz11

c) nn zz )( d)

2

1

2

1

z

z

z

z

Obs.: pentru a calculaa bi

c di

, raionalizm cu conjugatul lui c di

i obinem

2 2

a bi c di

c d

7. Pentru a arta c z a bi artm c z z sau 0b Pentru a arta c *z a bi i (pur imaginar)artm c z z

sau 0a


18/42


18

8. Modulul unui numr complex dac 2 2z a bi z a b

Obs.:nn zz ,

1 2 1 2z z z z ,11

2 2

zz

z z

,2

z z z

9. Scrierea trigonometric a unui numrului complex biaz trebuie adus la forma )sin(cos irz , unde 0;2

Cazul I:dac 0a i 0b , atunci ,M a b este originea axelor,deci unghiul 0 iar 0r

Cazul II: dac 0a sau 0b , atunci ,M a b aparine unei axe,

unghiul este unghiul format de semidreapta pozitiv Ox cusemidreapta OM , iar reste egal cu distana de la O la M Cazul III:dac 0a i 0b , atunci ,M a b nu este pe axe

E1) 2 2r a b iarb

arctg k a

unde valorile lui k se

determin n funcie de cadrane, astfel:Cadranul I 0

Cadranul II 1

Cadranul III 1

Cadranul IV 2

M k

M k

M k

M k

10. Operaii cu numere complexe scrise sub formtrigonometrica) nmulirea: ))sin()(cos( 21212121 irrzz

b) mprirea: ))sin()(cos( 21212

1

2

1 ir

r

z

z

c)determinarea inversului: 1 11 1

1 1cos( ) sin( )i

z r

c) ridicarea la putere: ))sin()(cos( ninrz nn

Obs.: dac (cos sin )z r i atunci (cos( ) sin( ))n nz r n i n


19/42


19

d) formula lui Moivre: este ridicare la putere a numerelor complexecu 1r cos( ) sin( )nz n i n 11. Rdcinile de ordinul n dintr-un numr complex

se cere rezolvarea nz , C )1E se scrie )sin(cos ir

)2E se folosete formula2 2

cos sin , 0, 1nkk k

z r i k nn n

12. Rdcinile de ordinul n ale unitii

n

ki

n

kzk

2sin

2cos1 , 1,0 nk

13. Rezolvarea ecuaiilor de forma nz z

E1) 0;1nn nz z z z z z z

E2) din 0 0z z ,

din 1z , folosind21 1 1 1n n n nz z z z z z z z z

i de aici sau rezolvm algebric, sau folosim

2 2cos sin , 0, 1kk kz i k nn n

14. Rdcinile de ordinul 3 ale unitii

2

312,1

i , au proprietatile: 13 ; 012

15. Rdcinile de ordinul 3 ale lui -1

2

312,1

i , au proprietatile: 13 ; 012


20/42


20

CONICE(cerc, elips, hiperbol, parabol)

1. Ecuaia cercului de centru ,M i raz R este

2 2 2x y R

2. Aria cercului de ecuaie 2 2 2x y R este 2A R=

iar lungimea sa este 2L R=

3. Ecuaia elipsei: ,012

2

2

2

b

y

a

xunde

.222 bca

Obs1.: excentricitatea elipsei: .1a

ce

4. Ecuaia hiperbolei -2 2

2 21 0

x y

a b ,

unde 2 2 2c a b .

Obs1:excentricitatea hiperbolei: 1.c

ea

Obs.2: ecuaiile asimptotelor hiperboleib

y xa

5. Ecuaia parabolei: 2 2 0y px , undep este parametrul parabolei.

6. Ecuaia tangentei la o conic ntr-un punct de pe conic segsete prin dedublarea ecuaiei conicei n punctul respectivFormulele de dedublare sunt:

( )2 1 11

; ; .2

dedublare dedublare dedublarex xx x x x a a +

( )2 1 11

; y ; .2

dedublare dedublare dedublarey yy y y a a +


21/42


21

Et.1) Se verific dac ( )0 0,M x y aparine conicei respective

studiind dac coordonatele sale verific ecuaia conicei respectiveEt.2) Se dedubleaz ecuaia conicei i obinem:

Pentru cercul 2 2 2x y R ecuaia tangentei n

0; 0M x y este 20 0( )( ) ( )( )x x x y y y R .

Pentru elipsa2 2

2 21

x y

a b 0 0

2 21

xx yy

a b .

Pentru hiperbola2 2

2 21

x y

a b 0 0

2 21

xx yy

a b .

Pentru parabola 2 2y px 0 0( )yy p x x .7. Normalala o figur este perpendicular pe tangenta in punctulrespectiv


22/42


22

ALGEBR

MULIMI, LOGIC MATEMATIC, ECUAII

1.Mulimi de numere:a)Numere naturale - se noteaz cu i 0;1;2;3;...... b) Numere ntregi - se noteaz cu i ....; 2; 1;0;1;2;......

c) Numere raionalese noteaz ; , , 0a

a b b

b

d)Numere reale - se noteaz cu i conine toate numerelee)Numere iraionale \ sunt numerele reale care nu suntraionale (au o infinitate de zecimale), sunt de fapt fracii zecimale

infinite i neperiodice2. Intervale din - este mulimea tuturor numerelor reale cuprinsentre capetele intervalului, este o bucat din axa numerelor

Se noteaz: ;a b , ;a b , ;a b sau ;a b 3. Ecuaia de gradul II 2 0, 0ax bx c a .

Calculm 2 4b ac

Dac 0D > ecuaia are rdcini reale 1,22

bx

a

Dac 0D = 1 22

bx x

a

Dac 0D < ecuaia nu are rdcini realeObs.:Condiia ca o ecuaie de gradul II s aib rdcini reale esteca 0 4. Condiia ca dou ecuaii de gradul II sa aib aceleai rdcini

este ca:c

c

b

b

a

a


23/42


23

5. Schema lui Horner de mprire a unei expresii la o expresiede formaX a- Etapa 1) se face

tabel de tipulE2) Linia a III-a se completeaz astfel: primul coeficient secopiaz, se nmulete cu rezultatul, se adun n diagonal;E3) ultimul rezultat este restul, iar celelalte sunt coeficienii ctului,de grad cu 1 mai mic dect mpritorul;6. Rezolvarea ecuaiilor de grad superior ( 2grad> )E1) dac ecuaia nu are termen liber, se d factor comun x la cea

mai mare putereE2) dac ecuaia are termen liber, se calculeaz

termen liberD

adic divizorii termenului liberE2) se face schema lui Horner pentru X d- , unde d este divizor,pnobinem restul 0, celelalte linii se taie.E3) Ecuaia devine ctul obinut 0X d

sau ctul obinut =0x d Obs : Dac cea de-a doua parantez are gradul mai mare decat 2 , odescompunem din nou cu HornerObs.: Dac nu obinem rdcini cu metoda de mai sus, ncercm

schema lui Horner pentru termen liber

coeficient dominant

DD

D=

7. Inecuaii de gradul I i de gradul II rezolvate cu ajutoruluitabelului de semnea) inecuaia de gradul IE1) se rezolva ecuatia ...x E2) se alege x corespunztor din tabelul :

x 0

x

ax b+ sgn a 0 sgn a

unde sgn a nseamn semnul lui a


24/42


24

b) inecuaia de gradul II

E 1) se rezolva ecuaia 1,2 2

bx

a

unde 2 4b ac

E2) se alege linia corespunztoare cazului nostru din tabelulx

1x 1 2x x= 2x

>0 sgn a 0 sgn a 0 sgn a

=0 sgn a 0 sgn a

2, descompunem cu Horner)

E3) se face tabel de semne folosind \0

a ,

0\

0 ,

00

a , 0a

8. Condiia ca o funcie de gradul II s pstreze acelai semn,x

a) 20

0,0

aax bx c x

b) 20

0,0

aax bx c x

c) 2 00,0

aax bx c x

d) 20

0,0

aax bx c x


25/42


25

9. Proprieti ale modulului:fie cun numr real) 0, ;a x x ) 0 0;b x x

) 0 0c x y x y )d x y x y

) , 0 ( ; );e x c c x c c , 0 ( ; ) ( ; )x c c x c c

, 0x c c x , 0x c c x

) ;f x y x y )g x y x y i , 0xx

yy y

Exp.1: 2 ( 2;2);a a );2()2;(2 aa

aa 2 2a a Exp.2: ( )2 1 3 2 1 3;3x x- < - - ( ) ( )2 2;4 1;2x x - -

10. Ecuaii cu moduleE1) se egaleaza cantitatea dinfiecare modul cu 0E2) se face tabelul de semneE3) se discuta pe cazuri, sealege solutia care este in cazulrespectiv, vom obine , ,...I IIS S

E4) soluia final este ...f I IIS S S

11. Inecuaii cu moduleE1) se egaleaza cantitatea dinfiecare modul cu 0E2) se face tabelul de semneE3) se discuta pe cazuri, seintersecteaz soluia cuintervalul n care ne situm, vom obine , ,...I IIS S

E4) soluia final este ...f I IIS S S

12. Parte ntreagprimul ntreg mai mic sau egal dect numrulnostru, se noteaz x (i esteprimul ntreg din stnga numrului)

Parte fracionar : se noteaz x , x x x Obs.: 0;1x

Cantitatea Imodul

Semnecorespunzatoare

Cantitatea

II modul

Semne

corespunzatoare

Cantitatea Imodul


CantitateaII modul



26/42


26

13. Proprieti pentru parte ntreag i parte fracionar:

)a x x d.d. ;x ) 0b x d.d. ;x

) , ;c m x m x m ) , ;d m x x m ) 1 1;e x x x x

14. Ecuaii cu parte ntreag de tipul ( )f x g x E1) notm [ ] ( )( )f x k g x k= =

E2) din ( ) ...g x k x= = n funcie de k

E3) folosim [ ] [ ]( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1f x f x f x k f x k + +

E4) nlocuimxdin E2) n funcie de kinecuaie cu kE5) se aleg din intervalul de soluii doar valorile ntregi ale lui k,apoi revenim la notaia de la etapa 2) i gsim pex15. Formule de calcul prescurtat: 2 2a b a b a b 2 2 22a b a ab b 2 2 22a b a ab b

3 3 3

3a b a b ab a b 3 3 3

3a b a b ab a b

3 3 2 2a b a b a ab b 3 3 2 2a b a b a ab b

1 2 1.... ,n n n n na b a b a a b b n

1 2 1.... , 2 1n n n n na b a b a a b b n

2

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 3 1... ... 2 ...n n n na a a a a a a a a a a a

3 3 3 2 2 23a b c abc a b c a b c ab bc ac

16. Suma puterilor primelor n numere naturale

n

k

n1

1

n

k

nnk

1 2

)1(

n

k

nnnk

1

2

6

)12)(1(

2

3

1

( 1)

2

n

k

n nk


27/42


27

Obs.: e valabil distribuitatea sumei: 1 1 1

n n n

k k k k

k k k

ax by a x b y

17)Egalitati demonstrate prin inducie:

I ) prima valoare posibil adevratP II) Presupunem P k adevarat 1P k adevarat

unde :P k

1 :P k .

III) tim P k , construim termenul cu puncte, puncte din 1P k .

E suficient s artm c ceea ce obinem mai sus este egal cutermenul cellalt din 1P k 18) Inducia cu pasul 2I. Se arat c primele 2 valori sunt adevrateII. Presupunem , 1P k P k adevrate i demonstrm 2P k III) tim P k i 1P k adevrate, construim 2P k i este

asemntoare induciei clasice, cu pas 1.19) Inegaliti demonstrate prin inducie:pot s fie de tipul f n g n , respectiv f n g n I i II sunt aceleai ca la egaliti, difer doar III astfel:III) tim P k , construim termenul cu puncte, puncte din 1P k .E suficient s artm c ceea ce obinem mai sus este mai mare sauegal cu termenul cellalt din 1P k , respectiv mai mic sau egal20) Divizibilitate demonstrate prin inducie:pot s fie de tipul f n , unde , difer doar III astfel:

III) din P k adevrat , c astfel nct f k c , gsimapoi cea mai mare putere a lui kn funcie de c , o nlocuim n

1P k i artm c 1P k e adevrat.


28/42


28

IRURI(PROGRESII)

1. Termenul general al unei progresii aritmetice:

1 1 .na a n r

2. Condiia ca trei numere , ,a b c s fie termenii consecutivi aiunei progresii aritmetice: 2a c b

3. Metode de a demonstra c na este progresie aritmetic

artm c 1 1 2n n na a a , n ;

4. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:

11 2 1

2 2

n

n

a n r na a nS

5. Termenul general al unei progresii geometrice:1

1.n

nb b q

6. Condiia ca trei numere , ,a b c s fie termenii consecutivi ai

unei progresii geometrice: 2a c b

7. Metode de a demonstra c nb este progresie geometric

artm c 21 1 ,n n nb b b ;n

8. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice:

1

1

1; dac 1

1

; dac 1

n

n

b qq

S q

b n q


29/42


29

FUNCIA DE GRADUL I I DE GRADUL II

1. Definiia produsului cartezian a 2 mulimi( ){ }, iA B x y x A y B =

Exp.: A = {2;3;5}i B ={3;4;5}

2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 5,3 , 5,4 , 5,5A B 2. Sistemul cartezian, semnele cadranelor-axa absciselor este axa Ox -axa ordonatelor este axa Oy

Dac avem un punct ,M MM x y rezult c abscisa punctului M

este Mx iar ordonata punctului M este My

0

, .I 0

M

M

x

M x y Cd y

0

, .II 0

M

M

x

M x y Cd y

0

, .III0

M

M

xM x y Cd

y

0, .IV

0

M

M

xM x y Cd

y

3. Funcii periodice: :f A B este o funcie periodic

0T astfel nct ,f x T f x x A

O



y

x


30/42


30

4. Funcii pare, funcii impare:f A B este o funcie par

mulime simetric i ,A f x f x x A :f A B este o funcie impar

mulime simetric i ,A f x f x x A

5. Vrful funciei de gradul al II-lea este vrful ;2 4

bV

a a

6. Maximul sau minimul funciei de gradul II.Fie 2: , , 0f f x ax bx c a . Atunci, dac:

0 are minim egal cu , minim ce se obine cnd4 2

ba f x

a a

0 are maxim egal cu , maxim ce se obine cnd4 2

ba f x

a a

7. Metode de a demonstra monotonia funciilor

1 2x x , calculm )()( 21 xfxf i-l comparm cu 0.

dac din

1 2 1 2 1 2

0s

x x f x f x f x f x f

dac din 1 2 1 2 1 20x x f x f x f x f x f dac din 1 2 1 2 1 20 sx x f x f x f x f x f dac din 1 2 1 2 1 20x x f x f x f x f x f 8. Monotonia funciei de gradul I: Fie f x ax b

0s

a f ; 0 constanta f ; 0 sa f ;

9. Monotonia funciei de gradul II: Fie 2 , 0f x ax bx c a

dac 0 pe , i pe ,2 2

s s

b ba f f

a a

dac 0 pe , i pe ,2 2

s s

b ba f f

a a


31/42


31

10. Proprieti ale monotonieifunciilorDac ,s s sf g f g Dac ,s s

s

f g f g

11. Ecuaii ce se rezolv folosind monotonia funciei :Dac f este strict monoton, atunci ecuaia f x a are celmult o soluie. Se intuiete soluia, deci avem soluie unic.12. Compunerea funciilor:a) f g x f g x i de obicei se nlocuiete funcia dininterior, apoi n f nlocuim x cu g x b) dac avem f i gfuncii cu acolade, ideea e aceeai, ns celmai bine se nelege din exemplu13. Functii injective injectiva a)

b) ,ecuatia are cel mult o solutie

c) ,paralela prin la Ox intersecteaza graficul lui in

cel mult un punct

Obs.:Orice funcie strict monoton este injectiv14. Functii surjective surjectiva a) , a..

b) ,ecuatia are cel putin o solutie


cel putin un punct

15. Funtii bijective bijectiv a) injectiv si surjectivb) ,ecuatia are exact o solutie


exact un punct16. Inversa unei funcii :f A B admite invers feste bijectivE1) se arata ca bijectivE2) notm n funcie de

f 2121 )()( xxxfxf

fCdy yxf )( fD

fCdy y f

f fCdy fx D

yxf )(

fCdy yxf )( fD

fCdy y f

f

ffCdy yxf )( fD

fCdy y f

f

yxf )( .....x y


32/42


32

Obs.1: Dac nu exist sau dac nu e unic nu e bijectiv

nu exista

E3) notam 1f y expresia lui x n funcie de y obinutanterior, apoi revenim la notaia cu x Obs.2: Dac A B B AObs.: Dac funcia f admite invers funcia g, atunci

f a b g b a 17. Forma canonic a funciei de gradul II

2

( ) 2 4

b

f x a x a a

18. Descompunerea polinomului de gradul II in factori:

cbxaxf 2

210 xxxxaf

210 xxaf f 0 ireductibil

19. Relaiile lui VieteAvnd ecuaia 2 0ax bx c , relaiile lui

Viete sunt:1 2

1 2

bS x x

a

cP x x

a

20. Ecuaiaataat2 0x Sx P , se folosete atunci cnd tim

rdcinile.21. Suma puterilor asemenea rdcinilor n funcie de S i P

2 2 2 3 3 3

1 2 1 2

24 4 2 2 2

1 2 1 2

2 3

2 2 4

x x S P x x S PS

x x S P P x x S P

22. Sisteme simetrice - ecuaie simetric: schimbndx cuyecuaiaeste aceeaiE1) se folosesc formulele pentru suma puterilor asemenea

E2) se obine un sistem cu S iP, se obine S=...; P=

x x f

)(1 xf

:f :1f


33/42


33

E3) se formeazecuaia ataat de grad II : 0PStt2

yt

xt

2

1

sau

xt

yt

2

1

Obs.: orice sistem simetric ce are soluia (,) are i soluia (,)23. Sisteme omogene: toi termenii au acelasi grad, considerai nambele necunoscuteE1) notm y t x , nlocuim n ambele ecuaii, dm factor comun

...... .... ...x E2) dac vreuna din cele 2 ecuaii are termenul liber 0 0x sau

... 0 ...t Dac ambii termeni liberi sunt diferii de 0, mprim cele 2 ecuaii,simplificm ...x t =E3) Caz I: 1 ... .....t y x , nlocuim n cea mai simpl ecuaie

soluiileCaz II: 1 ... .....t y x , etc.

24. Inegaliti evidente:

a)Dac 0 2a ba bb a

b) 2 2 2 , , ,x y z xy yz zx x y z

25. Inegaliatea mediilor (valabil pentru numere pozitive):min( ) max( )k h g a p k a m m m m a unde

1

1h n

k k

nm

a

armonic

1

n

ng k

k

m a

geometric

1

n

kk

a

a

mn

aritmetic

2

1

n

k

kp

a

mn

ptratic

Obs.1:Egalitate are loc d.d.toate numerele sunt egale

Obs.2: Cea mai des folosit este1 1

... ...nn na a n a a


34/42


34

MULIMI DE NUMERE

1. Radicali de ordin superior:

Obs.:6

3 6 23x x x= = Obs.: radicalul de ordin par se poate extrage doar din numerepozitive i rezultatul e un numr pozitiv, iar radicalul de ordin

impar se poate extrage din numere att pozitive ct i negative, iar

rezultatul poate fi pozitiv sau negativ.

2.Condiii pentru radicalia)dac apar radicali de ordin par, ( ) ( )2kf x g x=

Cond.:( )

( )

1

1 2

2

0

0c

f x x II I I

g x x I

=

b)dac apar radicali de ordin impar, ( ) ( )2 1k f x g x+ =

Cond.: x 3. Compararea radicalilor de ordin diferitse aduc radicalii laordinul cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor avuii

se compar numerele din interiorfolosind formula a a nb b nx x = 4. Tipuri de ecuaii iraionaleTIP 1: au acelai ordin

Exp.1: ( ) ( )f x g x=

Cond.:

1

2

0

0

f x x I

g x x I

21 IIIC

2

f x g x x . Se aleg doar valorile din CI

Exp.2: ( ) ( )3 f x g x=

Cond.: Cx I =

ab

a b xx


35/42


35

( ) ( )( ) { }3

,f x g x x= K i cum CI = , toate valorile gsite pentru

xsunt soluii.TIP 2:apar doi radicali, de acelai ordin sau ordin diferit, de

exemplu 3 ( ) ( )f x g x a+ =

E1)Cond.: ( ) 0 cg x x I

E2)notam 3 ( ) ...f x u x= = (n funcie de u)

( ) ...g x v x= = (n funcie de v)

E3)egalm x ecuaia (1) ntre u si v

E4) ecuatia (2) este u v a+ = E4)avem un sistem de unde obinem ..., ... ...u v x= = =

5. Proprieti ale puterilor: ;0,1) 0 aaa 0,00) ab a

;1

)x

x

aac ) x y x yd a a a )

xx y

y

ae a

a

)y

x x yf a a ) x x xg a b a b )x x

x

a ah

b b

0,1 atunci)

1, atunci

x y

x y

a a a x yi

a a a x y

)j 00

6. Proprieti ale radicalilor:

xxa k k 2 2) xxb k k 12 12) )n m n mc x x

) n m mnd x x

2

2

2)

k

k

k

xxe

y y si kkk yxxy 222

2 2) k kf x y x y sau yx i yxyx kk 1212

7. Formula radicalilor dubli (compui):

22

22 BAABAABA

Obs:Se utilizeaza doar dac BA 2 este ptrat perfect


36/42


36

8. Conjugat, tipuri de conjugat:-conjugatul unei expresii -expresie cu care dac nmulim expresia iniial, dispare radicalul

Numr Conjugat Rezultat

a a a7 2

a 7 5

a a

a b b ab

ba ba ba

ba ba ba 2 33 ba 3 233 2 baba ba

33 ba 3 233 2 baba ba

3 232 bbaa 3 ba ba 3

9. Definiia logaritmuluilog Nb A N A b , b se numete baz iar A argument

10. Condiii ce se pun la logaritmi

0

10

b

bA

11. Proprieti ale logaritmilorfie 0, 1, 0, 0b b A B

a) log 1 0b b) log 1b b

c) log log logb b bA B A B d) log log logb b bA

A BB

Obs.: Nu exista formul pentru logb A B

, nici pentru

logb A B

e) log lognb bA n A f)1

log lognb bA An

g)1

log logn bb A An h)

1log

loga

b

ba

, pentru 1b


37/42


37

i)log

log log

ln( ) ln

a

b b

b

b

c a

b a b a

a ba c

a e e

j)Schimbarea bazei:loglog

log

ca

c

bb

a sau log log loga c ab b c

Obs: 10log A se noteaz lg A -logaritm zecimal

loge A se noteaz ln A -logaritm natural

12. Scrierea unui numr ca un logaritm ntr-o baz dat:log NbN b

13. Compararea a doi logaritmi

0,1 atunci log log

1, atunci log log

b b

b b

b x y x y

b x y x y

14. Tipuri de ecuaii exponeniale i logaritmicea) 2 ( ) ( )1 2 3 0

f x f xc a c a c

Notm 0f xa y i se obine o ecuaie de gradul II n y , sealeg doar soluiite strict pozitive, apoi se gsete soluia direct sau

se logaritmeazb) f x a , unde f este strict monoton.-se arat c f strict monoton, deci ecuaia are cel mult o soluie-se observ soluia, deci aceast soluie va fi unicc)

Cond: cI

Ec.devine , se aleg solutiile din CI

d) 2log log 0,b bf x f x a notm logb f x t i obinem oecuaie de gradul II n t.Se aleg att soluiile pozitive ct i cele

negative pentru t

( )log ( )f x g x

00

1

f xg x

f x

( ) [ ( )]g x f x


38/42


38

COMBINATORIC

1. Definitia factorialului ! 1 2 ... i 0! 1n n

Obs: n calcule, ntotdeauna descompunem cel mai mare factorial nfuncie de cel mai mic2. Mulimi ordonate: conteaz ordinea, apar paranteze rotundeMulimi neordonate: nu conteaz ordinea, aparacolade3. Definiia permutrilor: numrul mulimilor ordonate cu nelemente, se noteaz !nP n

Exp:Avnd 7 cri colorate diferit, n cte moduri le pot aranja peun raft?Rspuns: n 7 7!P moduri

Obs: Atunci cnd apare nP , se pun condiii n

4. Definiia aranjamentelor:numrul submulimilor ordonate de

k elemente din n elemente posibile, se noteaz !

!

kn

nA

k

n

Exp:Avnd 7 cri colorate diferit, n cte moduri pot aranja 5 dinele pe un raft?Rspuns:conteaz ordinea n care le aleg, deci n 57A moduri

Obs: Atunci cnd apare nP , se pun condiii n

Obs: Atunci cand apare knA , conditii,n k

n k

5. Definiia combinrilor : numrul submulimilor neordonate dek elemente din n elemente posibile,se noteaz

!!!

knk

nC

k

n

Exp:Avnd 7 cri colorate diferit, n cte moduri pot lua cu mine 5din ele pentru a pleca n excursie?Rspuns:nu conteaz ordinea n care le aleg, deci n 57C moduri

Obs : Atunci cnd apare

k

nC , condiii

,n k

n k


39/42


39

6. Regula sumei:Dac un obiect E se poate alege n mmoduri ialt obiect F n n moduri, alegerea lui E sau F se face n m nmoduri

Regula produsului Dac un obiect E se poate alege n mmoduri idac dup fiecare astfel de alegere, un alt obiect F n se poate alege

n n moduri independente de alegerea lui E, atunci alegerea perechii

,E F se face n m n moduri7. Probleme de numrare

a) nr. de funcii oarecare, A

: este Bcard

f A B card

b) nr. de funcii injective,A

B: estecard a

card bf A B A A c) nr. de funcii bijective, AB: este !

card

cardf A B A b cci atunci A

i B au acelai numr de elemente

d) nr. de funcii s , AB: estecard a

card bf A B C C

nr. de funcii s , AB: estecard a

card bf A B C C nr. de funcii strict monotone, : este 2a a ab b bf A B C C C

e) nr. de submulimi cu kelemente ale unei mulimi neordonate cun elemente este knC

f) nr. total de submulimi ale unei mulimi neordonate cu nelemente este 2n g) nr. de submulimi ordonate cresctor cu k elemente ale uneimulimi cu n elemente este knA

nr. de submulimi ordonate descresctor cu kelemente ale uneimulimi cu n elemente este knA 8. Probabilitatea realizrii unui eveniment

numr de cazuri favorabile

numr de cazuri posibileP

9. Propietati ale combinrilor) k n kn na C C

(formula combinrilor complementare)1

1 1)k k k

n n nb C C C

(formul de recuren)


40/42


40

1

1)k k

n nc k C n C

10. Binomul lui Newton 0

nn k n k k

n

k

a b C a b

Obs. 1: 0 0

1n n

n k kk n k k n k k

n n

k k

a b C a b C a b

Obs.2: coeficieni binomiali sunt combinrile ce apar n faafiecrui termen11. Termenul general al dezvoltarii este 1

k n k k

k nT C a b

, rangul

unui termen este pozitia pe care apare, deci n cazul nostru este

1k Obs.: orice binom are 1n termen12. Formula de recuren ntre 2 termeni consecutivi

1 1k

k

T b n k

T a k

13. Rangul termenului maxim - 1kT este termenul de grad maxim

1 2k k kT T T , iar n ipoteza kT pozitiv urmm etapele:

E1)deducem formula 1 1k

k

T b n k

T a k

E2)din 11k

k

T b n k

T a k

deducem

2

1

1 1

1

k

k

n kT b

T a k

E3)rezolvm sistemul

1

2

1

1

1

k

k

k

k

T

T

T

T

E4) alegem kvaloare natural din intervalul determinatE5) rangul cerut va fi 1k

14. Condiia ca un termen sa fie raionalE1) se scrie termenul general 1kT

E2) se aduce la cea mai simpl form


41/42


41

E3) se pune condiia ca toate puterile s fie ntregi, se numrci termeni au aceast proprietateObs.: Dacse cere numrul termenilor raionali i numrul lor este

mare, se folosete formula termenului general al unei progresiiaritmetice: 1 1na a n r , unde 1,na a si r se cunosc15. Condiia ca un termen sa nu-l conin pe x

E1) se scrie termenul general 1kT

E2) se aduce la cea mai simpla formE3) se pune condiia ca puterea lui x s fie 0

16. Calcularea sumelor de combinri:0 1

.... 2n n

n n nC C C 0 1 2 3

. ... 0n n n nC C C C 0 2 1.... 2nn nC C

1 3 1.... 2nn nC C


42/42


teorie memorator

Documents

Transcript of teorie memorator