13. Reziduu. Teorema reziduurilor. Exemplu.

Fie z = a un pol sau un punct singular esenial izolat al funciei f(z). n coroana circular Raz

(2) 1)( = carezf unde 1c este coeficientul lui

az

1 din dezvoltarea n serie Laurent a

funciei f(z) n jurul punctului a.

Metode de calcul a reziduului unei funcii.

Fie a un pol al funciei f(z) i p ordinul su de multiplicitate. Atunci funcia )()()( zfazz p= are n z = a un punct ordinar i 0)( a . innd seama de

aceasta, (1) devine:

= dz

az

z

iarezf p)(

)(21)( pi

sau, innd seama de modul de calcul a derivatelor: 1),()!1(

1)( )1( >

= pa

parezf p .

nlocuind pe )(z cu expresia sa, obinem urmtoarele formule de calcul a reziduului: 1) dac z = a este un pol multiplu de ordinul p al funciei f(z) atunci: (3) )1()]()[()!1(

1)( =

=p

azp zfaz

parezf ;

2) dac z = a este un pol simplu,

(4) azzfazarezf == )]()[()( .

Dac )()()(

zhzg

zf = i dac f(z) are pe a un pol simplu atunci h(a) = 0. n acest caz:

(5) )()()( / ah

agarezf = .

Teorema reziduurilor. Exemplu.

Fie f(z) o funcie olomorf ntr-un domeniu D i C o curb nchis, simpl coninut n D. S notm cu domeniul mrginit care are frontiera C.

2

Onl

y fo

r stu

dent

s

Dac D , adic dac n nu exist singulariti ale funciei f(z), n virtutea teoremei lui Cauchy =

C

dzzf 0)( .

S presupunem acum c n se afl un numr finit de singulariti ale funciei f(z), poli sau puncte singulare eseniale naaa ,...,, 21 (figura).

y

D

)( k ka

( n ) ( 2 ) C na 1a ( 1 ) 2a

O x

Aceste singulariti sunt evident izolate. Pentru fiecare punct ka vom considera un cerc k cu centrul n ka i cu raza k suficient de mic, astfel ca n interiorul lui s nu mai existe o alt singularitate a funciei f( z ) diferit de ka . Dac n ,...,, 21 sunt suficient de mici, cercurile n ,...,, 21 nu au puncte comune i sunt coninute n . Aplicnd teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe,

+++=1 2

)(...)()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzfC

.

innd seama c },...,2,1{),(2)( nkafirezdzzf kk

=

pi , obinem o teorem

important prin aplicaiile sale:

Teorema reziduurilor (Cauchy). Dac n interiorul domeniului mrginit de curba C funcia )(zf are un numr finit de singulariti,

naaa ,...,, 21 , poli sau puncte singulare eseniale, atunci:

(6) )(2)(1

kC

n

kafrezidzzf

=

= pi .

3

Onl

y fo

r stu

dent

s

Observm c n fond teorema reziduurilor este o traducere convenabil a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe folosind noiunea de reziduu. Utilitatea sa const n faptul c pentru calculul reziduurilor avem mijloace relativ simple. Exemplu. S se calculeze integrala: dz

zI

C

z ++

=

1sin1 pi

unde C este elipsa 194

22

=+yx

.

n interiorul domeniului mrginit de (C) sunt dou singulariti ale funciei

zzf z

+

+=

1sin1)(

pi

, i anume 1=z pol simplu i 0=z punct singular

esenial izolat. Folosind teorema reziduurilor avem: )]0()1([2 rezfrezfiI += pi . Observm c: 1)sin1()]()1[()1( 11 =+=+= == zzzzfzrezf pi . Pentru a calcula reziduul relativ la punctul singular esenial 0=z , vom dezvolta pe f(z) n serie Laurent n jurul acestui punct: ( )...1...)1()sin1(

11)( 33!31!1132 ++++=++= zzz zzzzzf

pipipi

valabil pentru 10

Notnd cu (C) o curb nchis ce conine originea i parcurs n sens indirect, obinem innd seama de noiunea de reziduu (8) dzzf

izfrez

Cz == )(2

1)]([pi

.

Din (6) i (8) deducem uor egalitatea: (9) 0)]([)(

1=+

=

=

kzk zfrezarezf .

5

Onl

y fo

r stu

dent

s