il i r.

.3"i

Petre Simion Victor Nicolae',.':]

'i..1

Memorator ,

'Il

pentru claseie g''12- ' .Algebri

"

.i'l'I

Desierea CIP este disponibilala Bibliot@a Nalionald a Roneniei

@ Editura NICULESCU, 2016Bd. Regiei 6D, 060204 - Bucueqti. Rom6niaTelofon: 021 31297 9ziFut02l 31297 83E-roil: editm@niculesu.roInlercc www.niculescu.ro,

Comuie-mil:Camenzi telefoni@; oyl O2O 276, O37l 343 580, 0371 460 442, O2t 312 97 82

Redrctor: Luciu CilimuTehmrcdalor: $erbm-Alerendru PopinaCoperta: Camn Lucrci

Tip&it la FED Prinr S.A.

ISBN 978-973-748-975-3

Toate drepfudle rezeruate. Nicio parte a aestei cd4i nu poate f reproduse sau fansmise sub niciofomd gi prin niciun mijloc, elstrDnic sau mtranic, inclusiv prin lottropire, inregislrare sau prin oriesislem de shcaE li affiare a datelor, fere permisiunea Editurii NICULESCU,orie ntrspectare a ambr prerederi condue in mod aubmat la rlspundeca penalt fatt de legilsn4bnale 9i internalonale privind prcprietatea inblectuali.

Editura iIICULESCU €sb palener Si dbfibuibrOfcial OXFqRD UilrVERSIY FRESS in Romania

E.maih oxfor@nlculescu.ro; lnt€rhst $mwoxford.niculoscu.ro

Cuprins

CAPIToLUL l. Mullimi gi elemente de logiei matematice '..'.'...'.......'..11

1. Numere reale, ordonarea numerelor reale,

modulul unui numerreal. 0peralii cu numere reale .......'...'.........11

2. 0peratii cu intervale de numere reale.

Aproximdri prin lipse sau prin adaos, partea intreage

gi partea fraclionare a unui numdr real .':."'.".'.'12

3. Propozilii logice, operalii cu propozilii, predicate,

cuantificatorulexisten!ial9iuniversal..'...'

4. Relalii $i operalii cu mullimi corelate cu elemente de logici'

Problerne de numirare,..... ..............'.......'.'..'....15

5. Metoda inducliei matematice........

CAPITOLUL ll. Progresii ................................................:.........".'.'.....1 8

1. Noliunea de gir; modalittrli de a defini un gir;

giruri mirginite, $iruri m0n0t0ne................'..:.....'.....''........'.'.....18

2. Tipuri de giruri: piogresii aritmetice, progresii geometrice...'.......19

CAPIT0LUL lll. Funclii (Partea l).....:......1...:...:........................,.......'..21

1. Reper cartezian. Drepte in plan de forma x= m

$iy=m, me IR. Beprezentaregraficd.....'...........:.'.......'.....,.'.'.'.21

2. Funclii; modaliteli de a descrie o funclie. Graficul unei funclii'

lmaginea unei funclii....'... ..............'.-.....'.'...'....22

il

il

3" Funclii numerice. Proprietili ale funcliilor numerice:

paritate, imparitate, simetrii.......... .............'.......23 .

4. Funclii periodice; funclii monotone; funclii mdr9inite...................24

5. Compunereafunclii10r....."....... ..........................25

CAPIT0LUL lV. Functia de gradul intii................... .............................27

1. Definilie, interseclia graficului cu axele de coordonate, repre-

zentarea gralicd a f uncliei l : IR --' tR, f(x) = zsa a b, a, b e n ........27

2. Monotonia gi semnul funcliei de gradul intii.

lnecualii de forma ax + b 3 0 (>, <, >) ..............,""......................".28

3. Pozilia relativd a doud drepte. Sisteme de ecualii liniare

cu doui necunoscute gi sisteme de inecualii liniare

, cu o necunoscutd."....

CAPIT0LUL V. Functia de gradul al d0i|ea...........................................31

1. Ecuatia de gradul al doilea.

Definilia 9i graficul funcliei de gradul al doilea......:..... . ..............31'

2. Relaliile luiVidte; rezolvarea sistemelor simetrice........................33

3. Monotonia functiei de gradul al d0i|ea..............................,..........34

4. Puncte de extrem (vdrful parabolei). Semnul funcliei

de gradul al doilea, rezolvarea inecualiilor de forma

axz + bx+ c < 0 (> 0, > 0, <0).....,....... .........,....35

5. Pozifia relativi a unei drepte fald de o parabold.,

Pozilia relativd a doui parabole. Sisteme"....................................37

CAPIT0LUt Vl. Puteri gi radicali. 109aritmii.........,..............................39

1. Proprietili'ale puterilor cu exponent real ale unui numdr pozitiv.

Aproximiri rafionale pentru numere irati0na|e.................:.......,...39

2. Radical dintr-un numdr real. Proprietdli ale radicalilor """"""""'413. Logaritmul unui numdr pozitiv..........'.... "" """'42

CAFIT0LUL Vll. Funclii (Partea a H-a)'...'.".....':, ...'.""" """" """""'441. Functii. Recapitulare 9i completiri ..... """"""""442. Functii iniective, suriective, biiective. Func!ii inversabile'

Funolii convexe 9i concave...". ... ..,'.""" """"','453. Functia putere $i functia radical... " """""""""'474. Ecualii irali0na|e........... ':....... "" """"" """""'495. Funclia exponenliald 9i |0garitmicd.... ......"""""" " ""':' . """ "50

6. Ecualii exponentiale, ecuatii 10garitmice............." " ""' """" :""'52

CAPIT0LUL vlll. Numere c0mp1exe"........ ... """, ""54

1. Numere complexe sub lorml algebricd; coniugatul

unuinurnir complex, modulul unui numer complex'

0peralii cu numere complexe....',......'......'.':"""."""" """"""': 54

2. Rezolvarea in c a ecualiei de gradul al doilea

cu coeficienti reali; ecuatii bipdtrate...'......." """ "" ' "' """:"""56

3. lnierpretarea geometrici a operaliilor de adunare 9i scddere a

numerelor complexe qi a inmullirii acestora cu un numdr real ""'57

4. Numere complexe sub formd trigonometricd;

inmullirea qi impdrlirea numerelor complexe;

ridicarea la putere (formula lui Moivre)......'.. """""" "' """'59

5. Riddcinile de ordin n ile unui numdr complex Ecualii binome""60

CAPITOLUL lX. Metode de numdrare....'. ....... '.'..."" ' """"""""""611 . Multimi f inite ordonate. Probleme de numdrare """"""" ""'r',""61

2. Permutdri...... " "" """ """" '61

il

3. Combiniri 9i aranjamente..............,..................."............,............61

4. Binomul lui Newt0n......... .................,................62i

CAPIT0LUL X. Matematici financiare.......... ..............63

1. Elemente de calcul financiar: profit, procente, dobdnzi ................... 63

2. Culegerea, clasificarea 9i prelucrarea datelor statistice;

reprezenteri grafice ale datelor statistice ............64

3. lnterpretarea datelor statistice prin parametri de pozilie:

medii, dispersii, abateri de la medie.............................................65

4. Evenimente egal probabile. Probabilitate.

ProbabiliHti condilionate..,..

5. Scheme clasice de probabilitate. Variabile aleatoare ....................67

CAPIT0LUL Xl. Permutiri..... ..........69

1. Permuteri. Operalii cu permutiri

2. lnversiunile unei permutdri. Semnul unei permutdri..,..................71

CAPIT0LUL Xll. Matrice.............. .............................72

1. Noliunea de matrice. Adunarea matricelor

gi inmullirea cu scalari a matricelor.......

2. inmultirea matricelor. Proprietdli......... ..............74

3. Puterea unei matrice pdtratice............ ...............75

CAPIT0I-ULXlll. Determinanli..... ......................,....,.76

1. Determinanli de ordinul 2 gi de ordinul 3.....................................76

2. Proprietel ale determinanlilor de ordinul n..................................77

CAPIT0LUL XlV. Sisteme de ecuatii 1iniare..........................................80

1 . Matrice inversabile. Ecuatii matriceale .........................................80

2. Sisteme de ecualii liniare. Noliuni generale.

Sisteme de tip Cramer.......'. ..'.'....,".',"'.""""""81

3. Rangul unei matrice -"""""""824. Studiul compatibilit5lii sistemelor de ecualii liniare.

Teorema lui Kronecker-Capelli. Teorema lui R0uch6.. """ """""'825. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor de ecualii liniare """'84

CAPIT0LUL XV. Grupuri ...........i......".......'....'...'...........'......-""""""86

1. Legi de compozilie........ ':""""862. Proprieti{ile legilor de compozilie'

Structuri algebrice pregrupale:...'.'.. ..""""""""88

3. Noliunea de grup. Grupuri finite .........'........'....."......'.'..""""""'90

4. Subgrup al unui grup. Subgrup ciclic. Ordinul unui element""""92

5. Reguli de calcul intrun grup ...'..'........'..."""""94

6. Morfisme qi izomorfisme de grupuri...'..... """"'94

CAPIT0LUL XVl. lnele gi corpuri.. .'.......'.'.'.."'"""""96

1. Noliunea de inel ...............................'......'.'...:...'........'.." """"."962. Reguli de calcul intr-un inel...'.'.....'...'.... """""'983. Noiunea oe c0rp.................. .. ........'...""""'99

4. Morfisme de inele 9i corpuri........'..'.. ..'.....'.....100

CAPIT0LUL XVll. Polinoame...:........'.1.'."'....'. ..'..."101

1. lnele de polinoame. 0peralii cu polinoame .'..;..;'.'.......'....""';"'101

2. impi(irea polinoamelor. Teorema restului. Schema lui Horner""'103

3. Divizibilitatea polinoamelor..'.. .............."""""'104

4. Ecualii algebrice. Riddcini multiple........'...'.......'.'..'.'.'......'.....'108

. CaPitolul I

MULrlMl sl ELEMENTE DE LOGICA MATEIVIATICA

' 1. Numere rbale, ordonarea numeqelor reale,

modulul urlui numdr real' Operalii cu numere reale

lnformare gi inv1!ar9,! ' o

INcZcGclR (se noteazd B\ (E mullimea numerelor iraJionale!)

r intre doua numere realq diferite "r < y existb cel pllin qn n-umir

ralional,r gi cel puliir un numdr iraJional a'i x. <.r < y qi x < ct' < yi -

. dot" ar-fi nu-merele.reale x > 0 9i y, existd un numdr n4tural n

astfel ca nx > y (atcior,na lui AThimede) '

o Modulul I x I al unui numir x se defineEe astfel:

( x- x>0I"'"'Ix,x>0r,l*l=] 0. x=0 sau lxl=l ""'-^ sau l*l=*a*(t.l^l I -'" ' r' [-x.x<0

[ -x. x<0Proprieti{ile modululuir) lxl>o,vxe IR.

z) lxl' = v'z =l(-')'1, v.re IR

3).1*l>t,Vxe IR.

4) lrl=l-rl,'vxe,lR.s)llrl-l rll<lr+vl<lxl+l rl, v r,ve' rR'

ol I'rl=l'l lrl. vx.Ye In.

zr lrl=]4 , V xe IR.vye IR..

lll lylel lxl=l tle x=) saux=-Y'

11

Fie s>0.Atunci:9) ltl=s (+t=e sau r=-e.

lo) l*l<e <+xel-e,el.

1 1) | xl > e <+xe (<,-ele[g,6;.

2. Operatii cu intervale de numere reale.Aproximiri prin lipsi sau prin adaos,

partea intreage gi partea fracfio-nari a unui numer real

lnformare gi invilare!o Fie -re lR. Se numegte partea tnteagd a numirului real x numbrul

intreg(unic)n pentru carc n<x<n+l . Notiirn n =[xl .

Diferenfa x - [.rl se nume$te pdr, ea fraclionard a numdrulu i x qi se no-

teazd, lxj. Scriem {r} =.r - [x].De exemplu:

13,211 = 3 i tnl = 3 ; l-5,2tj = 4 ; {3,21 I = 0,21; {-5,2r I = 0,7 9.

Proprietiif :

l) lxleIZ, Vxe IR.

2) fxl= 16 ,.V.3) x - I <[.r] (-r< [x] + 1, V re IR.

4) lx+ pl=[x]+ p, V xeIE,YpeZ,.5) [x]e [0,]), V xe IR.

6) {.r+ p} ={"r},YxeR,Ype7I.

?) rr1+[r++]= [2x], V xe IR.

. Dacd re IR , iar *' gi x"e {D sunt doud aproximdri ale sale prin

lipsi, respectiv prin adaos, numerele (x-x') $i (x-x") reprezintd

erorile aproximdrii.

De exemplu,pentru r=.0, considerim aproximfoile x'=1,414 x'=1\415'

Avem evident | -r- x' | <

| -r'-.r" I = 0,oor 9! l -r-x" | <l x'*'"

| = Qoot'

Spunem ci .r' (respectiv .r") aproximeazbpe x cu o eroare de cel

mult 0,001, prin lips6, respectiv prin adaos.

3. Propozitii logice, operalii cu propozilii, predicate'cudntif icatorul existential 9i univelsal

tnformare gi invdlare!

. Un enunt p care exprimd un adevtrr se nume$te propozilie adevd-

ratd, iar daci enun{ul p exprimd un fals se numeqle propozilie falsd'Oric'arei propozifii p i ie asociazd o valoare de adevdr notat5 v(p) datd de

[t. daca P este adevaratAItr)={0.

dacd p este falsd

Propozitiile se noteaza c\ p, q, r, .--' iar compunerea lor se face cu

ajutorul conectorilor logici: 1 p $on p), p v 4 (p sau d' p ^ s @ $i S)'

-p

- q(p implicd q) 9i p € q (p echivalent cu q)' definili prin urmd-

toarele tabele de adevdr:

13

r O formuld propcizi{ionald de numeqte tautologie daci este adevdratdoricare ar fi valoarea de adevdr a propoziliilor compbnente.Exemple de tautologii:

1)p v-lp - principiul te4iului exclus.

2)1( p ,rf pl - principiul noncontradicliei.

o Doud formule d.( pt. p.,... pn\ Si F\pr. pt-...p,) care au aceeaqi va-

loare de,adevdr, indiferent de alegerea propozillilor pr, p r,... p, se nu-

mesc echivalentegi se noteazd 6y=B sau cr,=B.

Legile lui De Morgan

D1@,.q) = lPvl q

D1rp"0=1pxfq.'Un enunl,care depinde de una sau mai multe variabile gi are proprie-tatea ci pentfu orice valori date variabilelor ii corespunde o propozilie(adeviratd sau falsd) se nume$te predicat. Acesta poate fi unar, binaretc. gi se no\eazd p(xl. q(x, y) etc.c Fie p(x), x e E, un predicat de variabildx.

Mullimea Sor,,=lxoe Eln(.ro)este propozilie adevdratd.J se numeste

valoarea de adevdr lsau mullime de solulii) a predicaruluip(x).

Exemplu: Fie enuntul: p@,#=lO. x e 7,.

14 15

il

Se observE cdp(5) este propozifie adevdratd, lut p!? cu a e Z \ {5}este propozilie falsd, deci p(x) este predicat 9i mulfmea sa de adevir

este Sr,,r = {51.o Reguli de negatie:

l) I tlx, P(x)) =Vx. lP$),

Dl(vx, p(x)) ==x,f p@).

4. Relafii 9i operalii cu multimicorelatecu elemenie de logici. Probleme de numiirare

I nlo rm a re g; i inv4,ta re IO mu[imecu un numdrfinitde elemente senume$te

ryutlme finlta,' .,,Numirul elementelor unei mullimi finite se noteaza I A I = card A (cardi-

nalul mu$imiiA). Notilm cu /(?) mul,timea submu{imilor mu{imii 7-

o Fie A, B e 9 (T; mu[imi finite. Atunci produsul carlezian A x B

este muliime finita 9i I A x r I = I A |' | 6 | = card A' card B'

Exemplu: Dacd A = {a, b, c} qi B = {x. y}. atunci A x B = l(a' x),

G;,;; @, x), (b, y), i, A, fr, yll ei se verificd uqor ca I A x Bl = 6 =

=tal ial.Proprictdf1) DacAA, B sunt mu(imi finite qi A c B, atunci B \ A este finitb 9i

larel=lal-lal.2'tDacltA,B sunt mullimi finite 9i A aB =A,atunci A u B este finilA

ti laual=lel+lal.3) DacdA este o mullime finiti, atunci glA).este finittt gilg@)l=dot'

ryry

Aplbafiil] Demonstrati ed dacd A gi B sunt mullimi finite' atunci avem relaf,a:

l,lrrl=lal+lal-lanrl. l

Demonstrafie: Scriem A w B =A u (B \A) qi cumA n(B\il =,A >=+l a u a I = I a I *l r ta l. o* a ta = B \ (A nB) $i cum A n B c B => I r ta I = I r I -l a n^B I qi, in final I A v n I =lt I + I r I - I a n a l.

Folosind formula anterioard, se poate demonstra relafia:I tv nv cl=l el+l r l+l c l-l a na l-l e nc l-l anc l+l a nrnc I

2. Cite elemente are o mu{ime A , dacd 9(A) are 512 elemente?

Soluyie: 2 Al =5f2 9i cum 512 = 2s + I a I = 9.

3. Cu l0 bile (rogii gi albe) se pot forma 24 de perechi alcdtuite dincf;te o bil[ albd gi una rogie. Aflati cate bile albe $i cete bile ro$ii sunt.So/alie: Notdm cu A mul{imea bilelor rogii gi cu B mullimea bilelor albe.Observdm cd: A a B = A, iu A x B reprezintd mulgimea perechilor debile (una roqie qi una albd).Atunci:

Jla,a l= ro_ Jla l+lr l= ro

\lex al=z+'l1a11n1=z+

llel=e lltl=+Seobtindoudsolutii: {l I sau.{l I

llal=+ llBl=6

5. Metoda i4ducliei matematice

lnformare 9i invdfare!

Varianta I al principiului induc$ei matenratice

Fie A c IN cu propriettrtile:a)0eA;b) dacdn e A, atunci n + I e A.

Atunci A = IN.

Aplicaf.e

Demonstrati cd 2g2n+t - 742n+3 : 15, (V) t? e ['I.

Solufie:NotdmP, enunful: 2g2n+1 - 142il+3 : 15 9i A = 1n e IN l&este adevaratA l. Trebuie sd demonstrim cd A = IN.

I. Se verifica ugor cd 0 e A. adicd Po este adevdratd'

II. Demonstrdm cd, dacd n e A (adicd P, adevdrati), afitncr n + | e A(adicd P,*r adeviratd). Avem ipotezir P, adevdratd, adicS:

2g2n+t -142il+3 - 15 .k,(k^e 7Z)=2g2n+1 - 15 .k^+ 142'*3,k^e 77:

Atunci:

292(n+t)+1 -I4?@+i\+3 -2g2n+1 .2g2-l4)r+s -(15 .k,+ t4u+27 292 -_tp,5 - 15.k,.292+tp*3 e* - 14\- t5 tk.292+1&*3.43) : 15,

adici P,. I este adevaratd.

Conform principiului I al inducfiei matematice re tlta cA A = IN; adic[

P, este adevirati Pentru orice n > 0.

'Varianta a II'a a principiului induc,tiei matematice

FieA c ll'l* cu proPrietdfile:

a) 11,2,...;klcA;b)dac6ze IN,atunciz+fte A.

,

Atunci A = IN*.

17

-

CaPitolul ll

1. Noliunea de gir; modalitSli de a defini un gir;giluri mirginite, giruri monotone

lnformare gi invdlare!

Un gir se poate defini astfel:

f )descriptiv: at=I,az= Lor= l'..' .o^= L,ne IN-;2 " 3', ' n

2) prin termenul general: a,= 3n2 + 1, n e N*;3) printr-o relalie de recurenld; xn * r = xt + a, n e IN*, c e. IR Si xr dat'

o Un gir (a,), . r se nume$te crescdtor (tespecliv strict crescdtor') daclan3an*r (respectiv a,<a,i), (V) n e IN-.

r Un gir. (a^), > r se numeSte dbscrescdtor (respectiv strict descres'

cdtoi dlcd a,>d,* | (respectiv a,> an* t),(V) z e IN-.

. Un $ir (4,)n > r se.num€qte monoton (respectiv strict monoton) dacd

este crescitor sau descrescdtor (respectiv strict crescAtor sau strict des-

crescdtor).. ModalitSlile principale prin care so aratd cd un qir este monoton

sunt:

| ) folosirea definitieil

2) calcularea valorii raportulu, lott Si comparafia acestuia cu I (inan

cazul girurilor cu termeni pozitivi);3) calcularea diferenlei an* 1 - a, gi comparalia acesteia cu 0;

4) prin induclie matematica;5) iolosirea unor inegalitdli cunoscute sau prin diverse artificii.

. Un Sir (a,),>i.se nume$te mdrginit dac,d existi numerele teale m, M,

astfel lncdt 7n 3 a, < M, (V) n > f . in caz contrar, girul se nume$te

nemdrginit.

18

ry

ModalitAile principale prin care se aratd ci un $ir este mdrginit sunt:

1.y prin minorare sau majorare:2.1 prin induc[ie matematicdl3,1 lolosind monoionia girului;4) folosind inegalitdli curioscute sau diverse artificii.

2. Tipuri de giruri: progresii arilmetice'ploglesii geometrice

lnformare gi invilarelProgresii aritmetice

Un gir de numere reale in care fiecare termen, incepAnd cu al doilea, se '

obfine din cel precedent prin adlugarea aceluiaqi numir (numit ralie)

se numette Prog resie aritmeticd 9i se noteazd + a b a2' "' an ""Proprietli{i:l) iz= ai + r, d3 = a2 + r, '..' an= Ln-t I r, uride r este rafia pro-

gresiei;

2) a, * r - an= r, (V) z e tN-:

3) a,= 6, + (n - l)r, (V) n e IN.;

4\a.= a,t+b^rt,(V)n e IN,n >212

5) a1 + ao = a1, + a,-t* r (Y) k = l,n.Dacd not6m S, = a1 * a2 * ... + 4,, atunci:

61 <-= (ar+a,)'n -12a,+tn-l)rl'n ..

2 2-'7) S"* r - S, = a,+ r, (V) n e tN-.

Progresii geometrice

Un gir de numere al.cdrui prim t€rmen este nenul, iar fiecare termen al

s5u incepAnd cu al doilea se obtine din cel precedent prin inmu{ireacu acelagi numdr nenul (mmit ralie) se nume$te progresie geometricd

qi se noteazd + h, bz, bz, ..., b", .

19