3. MODELE MATEMATICE

3.1. STRUCTURA MODELELOR

Un model matematic reprezintă o descriere matematică a unui proces real şi

constituie instrumentul de bază pentru rezolvarea celor două sarcini principale ale

ingineriei chimice: operarea unor instalaţii existente şi proiectarea unor instalaţii noi sau

modificate.

Definiţia acceptată pentru modelul matematic al unui proces (sau sistem) îl

desemnează drept un ansamblu de relaţii matematice apte să descrie în mod corect

interdependenţa variabilelor procesului. Prin relaţii matematice se subînţelege nu numai

acelea de tip ecuaţie sau ineacuaţie, ci în mod general, orice mijloc abstract capabil a

reprezenta cantitativ interdependenţa a două sau mai multe variabile: tabele; diagrame si

alte mijloace grafice de reprezentare a interdependenţelor; programe şi subrutine de

calcul. Este evident faptul că tabelele şi diagramele, si cu atât mai mult subrutinele de

calcul, pot fi transpuse sub forma unor interdependenţe simbolice: ecuaţii si inecuaţii

(vezi şi paragraful 3.2). Din acest motiv, fără a mai menţiona şi avantajul compactităţii

formulării, modelele matematice vor fi considerate în continuare drept sisteme de

ecuaţii şi inecuaţii:

hj (x) = 0 j = 1, 2, ..., l, (3.1)

gj (x) ≤ 0 j= l+ 1, l+ 2, ..., m (3.2)

Vectorul x al variabilelor are n componente, corespunzînd celor n variabile ale

procesului.

3.1.1. Inecuaţiile modelului

Subsistemul de m - l inecuaţii este rezultatul consemnării unor limitări de natură

constructivă, tehnologică sau fizică, impuse sistemului sau variabilelor sistemului.

Pentru o mai bună înţelegere a substratului inecuaţiilor modelului, se vor prezenta

cîteva exemple:

- Temperatura într-un reactor catalitic va trebui să fie cel puţin egală cu aşa-numita

temperatură de aprindere Ta şi să nu depăşească temperatura TM la care catalizatorul solid

începe să se degradeze ; deci

Ta ≤ T ≤ TM (3.3)

- Viteza agentului termic într-un uscător în strat fluidizat trebuie să fie cel puţin

egală cu viteza minimă de fluidizare wm,f:

wm,f ≤ w (3.4)

- Lungimea ţevilor unui schimbător de căldură tubular nu trebuie să depăşească

lungimea lM a ţevilor furnizate:

l ≤ lM (3.5)

- Producţia realizată dintr-un sortiment oarecare i trebuie să fie cel puţin egală cu

producţia planificată Pi,m:

Pi,m ≤ Pi (3.6)

- Conversia (gradul de transformare) al unei materii prime nu poate lua decît valori

cuprinse între zero şi conversia de echilibru xech :

0 ≤ x ≤ xech (3.7)

Trebuie remarcat faptul că inecuaţiile de tip (3.2), la care inecuaţiile (3.3)-(3.7) pot

fi foarte uşor aduse, definesc un domeniu închis de variaţie a variabilelor procesului. În

anumite cazuri însă, realitatea impune consemnarea unor interdependenţe de tipul :

gj (x) < 0, (3.8)

ceea ce corespunde unor domenii de variaţie deschise. Un exemplu sugestiv din această

categorie este cel întâlnit în proiectarea şi operarea coloanelor cu umplutură: viteza fazei

gazoase trebuie să fie mai mică decît viteza de înecare, wm

w < wm (3.9)

Deoarece metodele uzuale de căutare a optimului nu admit restricţii de tipul (3.8),

este necesară transformarea acestora în inegalităţi de tipul (3.2), prin intermediul

artificiului : gj (x) + ε ≤ 0 (3.10)

unde mărimea ε, consistentă dimensional cu gj (x), este pozitivă şi în principiu oricît de

mică. În practică însă, mărimea ε se alege astfel încît să asigure satisfacerea restricţiei

(3.8) în condiţiile desfăşurării reale a procesului. Problema alegerii mărimii ε devine

deosebit de importantă atunci cînd optimul este situat în imediata vecinătate a limitei

impuse; respectiv dacă :

gj (x*) + ε = 0 (3.11)

în care x* este vectorul condiţiilor optime.

În asemenea cazuri problema alegerii valorii mărimii ε devine ea însăşi o problemă

de optimizare. Astfel în cazul vitezei de operare a coloanelor cu umplutură, care asigură o

eficienţă maximă în condiţii foarte apropiate de înecare, cu cât ε este mai mic, se asigură

un proces de transfer de masă mai intens, în schimb creşte riscul ca la eventualele

fluctuaţii ale parametrilor (debite, temperatură) procesul să fie întrerupt prin înecarea

coloanei. În practică se adoptă o marjă rezonabilă de siguranţă, astfel încît viteza să nu

depăşească 80% din viteza de înecare. Prin urmare ε = 0,2 wM iar relaţia (3.9) devine : w

–wM + 0,2 wM ≤ 0 (3.12)

3.1.2. Ecuaţiile modelului, clasificare

Sistemul (3.1) de ecuaţii reprezintă în general ansamblul interdependenţelor

existente între variabilele procesului asigurînd o descriere, în principiu, generală a

procesului. Prin ataşarea sistemului (3.2) de inecuaţii, domeniul de variaţie al variabilelor

este restrîns la un domeniu fesabil, propriu fiecărui caz în parte. Datorită faptului că

descrierea cantitativă a procesului realizată de sistemul de ecuaţii este de obicei generală,

în majoritatea lucrărilor dedicate modelării, modelul matematic este limitat la sistemul de

ecuaţii (3.1). Pentru simplificare, în cele ce urmează se va face abstracţie de sistemul de

inecuaţii, clasificarea modelelor matematice, cum şi prezentarea lor fiind în raport doar

cu natura sistemului de ecuaţii. Nu trebuie însă să se piardă din vedere că a căuta o

soluţie optimă în afara domeniului de existenţă al variabilelor, deci fără a ţine seama

implicit sau explicit de inecuaţiile modelului, nu reprezintă decît un exerciţiu fără sens.

O clasificare rezonabilă a modelelor matematice utilizate în descrierea proceselor

din ingineria chimică le imparte în:

a) Modele bazate pe ecuaţii de conservare, şi

b) Modele empirice.

Modelele din prima categorie au drept ecuaţii principale pe cele bazate pe principiile

fizico-chimice ale proceselor, de obicei concretizate prin ecuaţii de bilanţ, respectiv de

conservare a unor anumite proprietăţi (masă, specie moleculară, energie, moment etc.).

Ecuaţiilor de conservare li se ataşează o serie de ecuaţii complementare, cum ar fi

ecuaţiile de stare sau de echilibru, ecuaţii pentru calculul diferiţilor coeficienţi ce apar în

ecuaţiile de bilanţ, ecuaţii exprimând dependenţa proprietăţilor fizico-chimice ale

sistemului în raport cu parametrii de stare etc.

Modelele empirice ignoră de obicei mecanismul real al procesului realizînd în

esenţă o corelare convenabilă a unor interdependenţe constatate între variabilele

precesului.

Spre deoscbire de modelele bazate pe ecuaţii de conservare, cărora utilizarea

principiilor fizico-chimice le conferă o generalitate în principiu nelimitată, modelele

empirice sînt strict limitate la domeniul în care interdependenţele pe care se bazează au

fost determinate, cum şi la condiţiile în care acestea au fost obţinute. Limitarea

intervalului de aplicabilitate al ecuaţiilor empirice este contrabalansată de simplitatea lor,

caracteristică deosebit de preţioasă în cazul în care căutarea optimului implică

soluţionarea repetată (uneori de un foarte mare număr de ori) a modelului matematic al

procesului.

Alegerea unuia sau altuia dintre tipurile de modele este de foarte multe ori o

chestiune de expcrienţă pentru rezolvarea căreia nu se pot indica reguli precise. Trebuie

însă menţionat faptul că de cele mai multe ori modelul adoptat reprezintă de fapt o

combinaţie a celor două tipuri extreme de modele (de pildă, în cadrul modelelor bazate pe

ecuaţii de conservare, ecuaţiilc de calcul pentru coeficienţi şi pentru proprietăţile fizico-

chimice ale sistemului sunt aproape întotdeauna corelaţii empirice).

3.2. MODELE BAZATE PE ECUAŢII DE CONSERVARE

Structura unui model bazat pe ecuaţii de conservare comportă:

a) un nucleu de bază format din ecuaţiile de conservare a proprietăţii (bilanţuri) cu

precizarea condiţiilor iniţiale şi la limită în cazul în care ecuaţiile sunt diferenţiale, şi

b) ecuaţii ccmplementare permiţând explicitarea şi calculul mărimilor care apar în

ecuaţiile de bilanţ în afara variabilelor procesului. Ecuaţiile complementare pot fi: ecuaţii

de stare sau de echilibru (ecuaţia gazelor, ecuaţii de echilibru interfazic, ecuaţii de

echilibru chimic etc.); ccuaţii pentru calculul coeficienţilor (coeficienţi de transfer de

rnasă şi căldură, constante de echilibru, coeficienţi de frecare etc.); ecuaţii pentru calculul

proprietăţilor fizice-chimice variabile (coeficienţi de difuzie, călduri specifice, viscozitate

funcţie de temperatură, presiune şi compoziţie etc.).

Ecuaţiile de conservare utilizate în modelarea proceselor din tehnologia chimică

sunt:

- ecuaţii de conservare a speciei moleculare (bilanţuri de materiale pe componenţi),

în număr egal cu numărul de componenţi. Suma ecuaţiilor de conservare pcntru toate

speciile moleculare reprezintă bilanţul total de materiale (conservarea masei).

- o ecuaţie de conservare a energiei sau o formă redusă a acesteia cum ar fi de pildă

bilanţul termic (conservarea energiei termice).

- trei ecuaţii de conservare a momentului, în raport cu cele trei axe carteziene de

coordonate.

Principiul care stă la baza tuturor acestor ecuaiii este cel al bilan~ului proprietă~ii

(masă, energie, moment) exprimat prin:

A = I - E + G - D, (3.13)

în care:

A reprezintă acumularea totală a proprietăţii în interiorul volumului sistemului ;

I - intrările, transportul total prin suprafaţa sistemului dinspre exterior ;

E - ieşirile, transportul total prin suprafaţa sistemului înspre exterior ;

G - termenul de generare, totalul proprietăţii generate în volumul ocupat de sistem ;

D - termenul de dispariţie, totalul proprietăţii consumate în volumul ocupat de

sistem.

Ecuaţia (3.13) poate fi scrisă şi sub forma:

A = - vT + GA (3.14)

în care :

vT este variaţia cantităţii transportate, iar

GA - generarea absolută, însumarea algebrică a termenilor de generare şi dispariţie.

Construirea modelelor reprezintă în esenţă înlocuirea simbolurilor din ecuaţiile

(3.13) sau (3.14) prin expresii matematice pe cît posibil riguroase, dar care să conţină cât

rnai puţini parametri necunoscuţi.

Clasificarea modelelor matematice bazate pe ecuaţii de conservare poate fi făcută în

diferite moduri, în raport cu criteriul ales.

O primă clasificare opune modelelor deterministice, în care unui anumit set de

condiţii date îi corespunde un număr definit de valori pentru variabilele procesului,

modelele probabilistice, sau stochastice în care variabilele, parametrii, şi uneori structura

modelului nu sînt cunoscute cu precizie, ci în limita unor previziuni probabilistice.

O altă împăţire pleacă de la modul în care sînt descrişi termenii ecuaţiei de bilanţ

(3.14): în concordanţă cu mecanismul procesului (modele bazate pe fenomenele de

transport) sau prin utilizarea unor funcţii de distribuţie a proprietăţii (modele bazate pe

bilanţuri de populaţie). Cea de-a doua categorie de modele fiind aplicabilă numai

sistemelor în care elemente ale alimentării îşi păstrează identitatea în decursul traversării

sistemului.

În cele ce urmează modelele bazate pe ecuaiii de conservare vor fi prezentate in

raport cu următoarele criterii:

a) modele locale sau modele globale; modelele locale ţin seama de faptul că în

fiecare punct al sistemului se poate efectua un bilanţ de proprietate şi că proprietăţile

variază în raport cu poziţia în sistem şi cu timpul; modelele globale ignoră variaţia

parametrilor în raport cu poziţia şi utilizează valori medii ale proprietăţilor sistemului.

b) modele omogene şi modele eterogene; în primul caz sistemul este ocupat de o

singură fază şi ca atare şi ecuaţiile modelului sunt valabile în orice punct al sistemului ; în

cazul modelelor eterogene este necesar să se ţină seama de existenţa a două sau mai

multe faze, caracterizate fiecare prin proprietăţi diferite şi separate prin interfeţe bine

definite.

3.2.1. Modele omogene locale

Caracterul omogen al modelului este determinat de valabilitatea ecuaţiilor în oricare

punct al sistemului şi de inexistenţa unor interfeţe, altele decît graniţele (limitele)

sistemului pentru care condiţiile de univocitate sunt precizate. Prin interfaţă se înţelege o

suprafaţă de separare a două faze, caracterizată printr-o variaţie abruptă a proprietăţilor

fizico-chimice (densitate, concentraţie, viscozitate, coeficient de difuzie, difuzivitate

termică etc.).

Un exemplu tipic de sistem omogen este cel al unui fluid în curgere prin interiorul

unei conducte.

În cadrul unui model local, bilanţurile (3.14) se efectueazu asupra unui volum

infinitezimal. Datorită însă caracterului omogen al modelului, bilanţul poate fi scris

formal şi pentru un volum unitar, ceea ce simplifică deducerea expresiilor pentru termenii

ecuaţiei (3.14).

3.2.2. Simplificarea modelelor locale

Soluţionarea unor modele ce conţin alături de ecuaţiile de conservare a speciei

moleculare, ecuaţiile de bilanţ termic şi de curgere, reprezintă o sarcină formidabilă, chiar

şi atunci cînd nu se urmăreşte decît obţinerea unei soluţii numerice. Aplicabilitatea

modelelor locale bazate pe ecuaţii de conservare este condiţionată însă de posibilitatea

obţinerii unei soluţii analitice sau numerice care să nu implice consumarea unui volum

excesiv de calcule. Singura cale pentru a permite aceasta constă în simplificarea

ecualţiilor de bază ale modelului. Trebuie menţionat de la bun început însă că simplifi-

carea modelului nu înseamnă în mod obligatoriu reducerea capacităţii sale de a

reprezenta corect fenomenul. În foarte multe cazuri, atunci cînd simplificările rezultă

dintr-o analiză corectă a situaţiei particulare, modelul final permite o descriere mai bună,

deşi mai puţin generală, a procesului.

În continuare, se vor trece în revistă principalele căi de simplificare a modelelor

matematice ale proceselor.

Soluţionarea separată a ecuaţiilor. Datorită faptului că o serie de mărimi ale

modelului intervin în toate ecuaţiile modelului, procedura corectă implică soluţionarea

simultană a tuturor ecuaţiilor modelului (bilanţuri de materiale, de energie, ecuaţiile de

curgere), ceea ce conduce la o complicare excesivă a problemei. Prin rezolvarea separată

a unor anumite ecuaţii se pot obţine soluţii (aproximative) pentru dependenţa spaţială sau

temporală a unor variabile, soluţii ce pot fi ulterior introduse în ecuaţiile încă

nesoluţionate. Un exemplu tipic îl reprezintă soluţionarea independentă a ecuaţiilor de

curgere şi utilizarea expresiilor obţinute pentru distribuţiile de viteze în soluţionarea

ecuaţiilor de bilanţ de materiale şi de căldură. Mai mult chiar, deoarece soluţionarea

separată a ecuaţiilor de curgere nu este întotdeauna posibilă şi uneori chiar soluţiile

obţinute nu sunt suficient de simple, se recurge la utilizarea unor solutii arbitrare, de

maximă simplitate. O astfel de soluţie, frecvent utilizată cu rezultate foarte bune, este cea

cunoscută sub numele de curgere tip piston (sau cu depasare totală), conform căreia

viteza are o singură componentă, în sensul curgerii, iar valoarea acesteia este constantă

sau nu depinde decât de coordonata axială :

wy = wz = 0, wx = w (x) (3.25)

Reducerea numărului de dimensiuni (coordonate). În cazul în care toate

derivatele variabilelor în raport cu una din coordonatele spaţiale sau temporală sunt nule

(sau neglijabile în raport cu derivatele faţă de celelalte coordonate), coordonata

respectivă dispare din sistemul de ecuaţii, realizându-se prin aceasta o simplificare

considerabilă a modelului matematic.

Astfel, în regim staţionar, derivatele tuturor variabilelor în raport cu timpul sunt

nule, iar acesta nu mai apare în model.

Reducerea numărului de coordonate spaţiale poate fi consecinţa fie a unei

configuraţii geometrice speciale (simetrie cilindrică de exemplu, legată însă şi de

o simetri a condiţiilor la limită), fie a neglijării gradienţilor pe una sau două direcţii în

raport cu cei de pe direcţia de curgere. Simplificarea maximă în această direcţie,

consistentă cu modelul curgerii de tip piston, este cea aprofilelor plate de concentraţie şi

temperatură : parametrii sunt constanţi, la valori medii, în sevţiuni perpendiculare pe

direcţia de curgere. În acest caz, modelul devine unidimensional din punct de vedere

spaţial, singurii gradienţi posibili fiind cei în direcţia curgerii.

Constanţa unor proprietăţi fizico-chimice. Prin considerarea unor proprietăţi

fizico-chimice drept constante, deşi acestea prezintă o dependenţă mai mult sau mai puţin

sensibilă de variabilele de stare, se realizează o simplificare pe mai multe planuri

a modelului matematic. Astfel, se elimină ecuaţiile complementare pentru calculul

constantelor fizico-chimice, se fac paşi spre soluţionarea independentă a ecuaţiilor

modelului şi se operează simplificări în însăţi forma ecuaţiilor.

Negljarea unor termeni. O simplificare frecvent utilizată este cea a neglijării

transportului prin difuziune moleculară în raport cu cel convectiv (de cele mai multe ori

aceşti termeni sunt cu circa 6 ordine dde mărime mai mici decât cei convectivi).

Eliminarea termenilor de trasport difuzional are drept consecinţă o simplificare

substanţială a ecuaţiilor de bilanţ de materiale.

Exprimarea integrală a transferului de masă şi căldură. Exprimarea integrală

a proceselor de transfer în locul celei diferenţiale conduce pe de-o parte la simplificarea

ecuaţiilor modelului, iar pe de altă parte permite abordarea unor situaţii mai complexe

(curgere turbulentă) prin intermediul unor modele simple derivate pentru curgeri

idealizate (în cadrul modelelor unidimensionale, cu profil plat de concentraţie şi

temperatură, transportul de substanţă şi căldură de la şi spre exterior nu poate fi exprimat

diferenţial, deoarece gradienţii respectivi de concentraţie şi temperatură sunt consideraţi

nuli în masa fluidului şi infiniţi la periferie).

Asimilarea mecanismelor. Prin utilizarea aceloraşi expresii formale ale ecuaţiilor

locale pentru curgerea laminară dar cu coeficienţi modificaţi, este posibilă abordarea unor

situaţii mai complexe în cadrul unor modele simplificate. Astfel, fluxurile de masă

turbulente pot fi definite, în cadrul unui model în care vitezele şi parametrii sistemului nu

fluctuează, prin similitudine cu fluxurile moleculare.

Utilizînd cu discernămînt metodele de simplificare a modelelor matematice

prezentate anterior este posibilă obţinerea unor modele realiste şi suficicnt de simple

pentru a putea permite o soluţionare comodă şi rapidă.

3.2.3. Modele eterogene locale

O rapidă trecere în revistă a proceselor şi aparatelor din tehnologia chimică scoate în

evidenţă faptul că într-un important număr de cazuri sistemele supuse modelării sunt

caracterizate prin coeexistenţa a două sau mai multe faze distincte (operaţii bazate pe

transferul de masă cum ar fi absorbţia, rectificarea, extracţia, uscarea; operaţii chimice cu

reactanţi în stări de agregare diferite, reactoare catalitice etc.).

Modelarea matematică a unor asemenea sisteme eterogene se poate realiza în

principiu în mod similar sistemelor omogene :

a) se scriu ecuaţiile de conservare pentru fiecare fază; prin fază se înţelege un

domeniu (volum) omogen, separat prin interfeţe definite de alte domenii caracterizate

prin proprietăţi fizico-chimice diferite;

b) se ataşează relaţiile consemnând interdependenţa fazelor, respectiv bilanţurile la

interfaţă (egalitatea dintre cantităţile transferate pentru fazele în contact) şi relaţiile între

condiţiile limită pe interfaţă (în concordanţă cu ipotezele adoptate: egalitate,

proporţionalitate sau echilibru între temperaturi, concentraţii, viteze etc. la interfaţă).

Procedura prezentată permite o tratare oricât de detaliată a sistemului, dar are

dezavantajul că nu poate fi utilizată practic decât în cazul în care fazele sistemului sînt în

număr redus şi ocupă spaţii simetrice sau cu geometrie simplă (într-un absorber pelicular

faza lichidă ocupă spaţiul inelar de pe peretele ţevii iar faza gazoasă circulă prin spaţiul

cilindric din centrul ţevii).

Asemenea situaţii sunt însă rare în tehnologia chimică, deoarece necesitatea măririi

suprafeţei interfazice de contact conduce la dispersarea uneia dintre faze (sub formă de

bule, picături, granule) în interiorul unei alte faze (faza continuă).

Într-un asemenea caz ar fi necesar să se scrie ecuaţiile de conservare, pentru faza

continuă, cum şi pentru fiecare din elementele disperse (fiecare bulă, picătură, granulă

etc.).Soluţionarea unui astfel de model devine însă inabordabilă datorită dimensionalităţii

şi complicaţiilor create în descrierea cîmpului de concentraţii, temperaturi şi viteze în

interiorul fazei continue.

Problema nu poate fi atacată decît în cadrul unor ipoteze simplificatoare. În

continuare, se vor prezenta trei căi obişnuite folosite pentru modelarea sistemelor

eterogene: modelarea pseudo-omogenă, modelarea bazată pe izolarea elementelor

disperse şi modelarea bazată pe idealizarea fazelor în contact.

Modele pseudoomogene. Sistemul dispers este considerat continuu şi omogen,

proprietăţile fizico-chimice ale conţinutului fiind funcţie de proprietăţile fiecărei faze în

parte (cea mai simplă cale pentru a le obţine este medierea ponderată). În felul acesta se

pot utiliza pentru descrierea sistemului ecuaţiile omogene locale cu coeficienţii

modificaţi. Metoda prezentată a permis obţinerea unor rezultate foarte bune în modelarea

unor procese în care interesează în spccial interacţiunea sistemului bifazic cu exteriorul:

curgeri bifazice, transfer de căldură şi de masă la sisteme bifazice, transfer termic la

reactoare catalitice cu strat fix de catalizator etc.

Izolarea elementelor disperse. În cadrul acestei aproximaţii se izolează un element

tipic al fazei disperse şi se analizează modelul format pentru faza continuă şi elementul

izolat al fazei disperse. Astfel, în loc să se analizeze procesul de transfer de la un

ansamblu de bule la faza lichidă continuă, se analizează procesul de transfer de masă de

la o singură bulă la faza continuă. Rezultatele obţinute sunt apoi extrapolate asupra

ansamblului. Metoda, deosebit de simplă, poate fi perfecţionată prin analiza unei serii de

elemente disperse şi ponderarea rezultatelor în raport cu curba de distribuţie a caracte-

risticii elementului dispers (volum sau diametru echivalent al bulei, picăturii sau granulei;

condiţii iniţiale; direcţii de deplasare etc.). Dezavantajul principal al metodei izolării

elementelor disperse constă în ignorarea interacţiunilor directe şi indirecte ale

elementelor disperse în mişcare (ciocniri, coalescenţe, ruperi sau decrepitări, cum şi

perturbarea cîmpurilor de concentraţii, viteze şi temperaturi în jurul elementelor

învecinate).

Modele ideale. Folosirea maximală a căilor de simplificare a modelelor omogene şi

idealizarea comportamentului fazelor în contact pentru a putea utiliza ecuaţiile omogene

simplificate conduce la modele practice, de o remarcabilă simplitate, folosite în mod

uzual cu rezultate foarte bune în modelarea sistemelor eterogene caracteristice

tehnologiei chimice.

Principiile care stau la baza modelării ideale a sistemelor eterogene sînt :

a) Fazele sistemului eterogen (faza continuă şi faza dispersă) se consideră drept

fluide continue în mişcare prin interiorul volumului ocupat de sistem. Această idealizare

este utilizată şi în cadrul sistemelor disperse solid-fluid, în care faza solidă este

considerată a forma un pseudofluid continuu în deplasare. Pe baza acestei prime

idealizări, pentru fazele în contact se pot scrie ecuaţii caracteristice sistemelor omogene.

b) Fiecărei faze i se atribuie un model idealizat de curgere (deplasare) prin sistem,

respectiv o soluţie arbitrară extrem de simplificată a ecuaţiilor de curgere. Se utilizează

două modele ideale de curgere: curgerea tip piston, şi curgerea cu recirculare (sau cu

amestecare perfectă) conform căreia agitarea creată în sistem (prin procesul de curgere

sau prin aport exterior de energie mecanică) conduc la o perfectă omogenizare a fazei

respective. În cazul în care ambele faze se deplasează în curgere tip piston, este necesar

să se definească şi sensul şi direcţia mişcării (echicurent, contracurent, curent încrucişat

etc.).

c) Fiecărei faze i se atribuie un profil de concentraţii şi temperaturi adecvat

modelului idealizat de curgere. Astfel, pentru curgerea tip piston se admit profilele plate

(parametrii constanţi pe secţiune şi variabili în raport cu coordonata axială), iar pentru

curgerea cu recirculare, parametrii nu depind de poziţia în sistem şi sînt egali cu valorile

la ieşirea din sistem.

d) Transferul interfazic de substanţă şi căldură este exprimat în mod integral şi nu

diferenţial.

e) Transferul de masă axial prin difuzia moleculară este neglijabil.

f) Suprafaţa specifică de contact între faze corespunde situaţiei reale şi nu celei

idealizate.

3.2.4. Modele globale

În scrierea bilanţurilor globale se renunţă la detalierea internă a sistemului şi în

consecinţă în formulările matematice nu apar gradienţi spaţiali ai variabilelor procesului.

Singura variabilă independentă în raport cu care se admit derivate este timpul, iar

parametrii de stare (concentraţie, temperatură) în interiorul sistemului reprezintă valori

mediate asupra volumului: delimitat de frontierele sistemului. Datorită absenţei detaliilor

interne ale sistemului, în elaborarea modelelor globale este indiferent dacă sistemul este

omogen sau eterogen. Pentru a putea furniza mai multe informaţii, la modelarea

sistemelor eterogene se scrie, de regulă, un set de ecuaţii globale valabit pentru întregul

sistem şi unul sau mai multe seturi de ecuaţii globale valabile pentru faze sau părţi

componente ale sistemului.

În principiu, ecuaţiile globale se obţin prin integrarea ecuaţiilor locale. În practică

însă modul cel mai indicat pentru deducerea lor pleacă de la forma generală a ecuaţiilor

de conservare, în care termenii sînt explicitaţi în raport cu proprietatea care face obiectul

bilanţului (masă, specie moleculară, energie, căldură, moment) şi cu particularităţile

sistemului analizat.

3.3. MODELE EMPIRICE

Atributul principal al unui model matematic este acela de a reprezenta in mod corect

interdependenţa variabilelor procesului în domeniul de varialie prescris. Din acest punct

de vedere este indiferent dacă relaţiile folosite au un substrat fizic sau sunt simple relaţii

arbitrare care satisfac însă condiţia de reprezentare corectă a procesului. Modelele

empirice, corelări ale unor interdependenţe constatate între variabilele procesului (datele

experimentale), sunt utilizate în cazurile în care:

a) procesul nu este suficient de bine cunoscut sau înţeles. Lipsa de informaţii asupra

mecanismului procesului face imposibilă utilizarea sau chiar elaborarea unui model bazat

pe principiile fizico-chimice (de pildă, in cazul în care se urmăreşte obţinerea unei relaţii

între calităţile unui lac pe bază de polimeri şi componentele reţetei de fabricaţie);

b) procesul este prea complex. Modelele empirice reprezintă substitute convenabile, şi în

principiu oricît de simple, ale modelelor bazate pe ecuaţii de conservare.

Simplitatea expresiilor folosite în cadrul modelelor empirice este dobîndită fie prin

reducerea preciziei cu care modelul reprezintă procesul real, fie prin micşorarea

domeniului de aplicabilitate. Indiferent însă de calea aleasă, extrapolarea previziunilor

modelului, pentru un alt domeniu decît cel în care au fost culese datele experimentale

corelate, este deosebit de riscată. Din acest motiv, cu excepţia expresiilor de corelare

pentru calculul coeficienţilor, modelele empirice nu sînt utilizate în calculele de

proiectare.

Elaborarea modelelor empirice constituie un proces complex ce include obţinerea

datelor experimentale, prelucrarea lor statistică si interpretarea rezultatelor corelării. Prin

extensie (asupra tuturor tipurilor de modele empirice) acest proces va fi denumit analiza

de regresie.

Întrucît obţinerea datelor experimentale comportă o eroare aleatoare, de obicei

normal distribuită, în modelele empirice este introdusă o anumită incertitudine care le

conferă un caracter probabilistic. Deoarece însă majoritatea metodelor de căutare a

optimului, nu sînt adecvate decît modelelor deterministice, în cele ce urmează tratamentul

probabilistic se va limita la prelucrarea datelor experimentale. Din momentul in care

modelul empiric a fost elaborat şi acceptat, va fi considerat în continuare drept model

deterministic.

3.3.1. Etapele analizei de regresie

Desfăşurarea procesului de elaborare a modelelor empirice este ilustrată în fig. 3.1.

Primul pas în cadrul analizei de regresie este reprezentat de inventarierea

variabilelor. O analiză atentă a procesului permite listarea tuturor variabilelor

semnificative. Operaţia este de primă importanţă deoarece o alegere greşită a acestora

poate compromite rezultatul analizei de regresie. Inventarierea variabilelor implică o

cunoaştere aprofundată a procesului, cea mai sigură cale pentru aceasta fiind examinarea

unui model bazat pe ecuaţii de conservare.

Deoarece, după cum se va arăta mai departe, variabilele nesemnificative se elimină

în mod natural în cadrul analizei de regresie în timp ce absenţa unei variabile

semnificative conduce la necorelabilitatea datelor, este de preferat a se proceda cu o

oarecare largheţe în inventarierea variabilelor.

Nu trebuie neglijat însă faptul că volumul de muncă necesar obţinerii datelor

creşte exponenţial cu numărul de variabile.

Prin alegerea formei modelului se înţelege stabilirea numărului de ecuaţii

independente ale modelului şi alegerea unui anumit tip de expresii pentru reprezentarea

interdependenţei variabilelor. Exceptând cazul în care se dispune de indicaţii precise

asupra formei dependenţelor, se recomandă utilizarea unei proceduri pas cu pas; se alege

mai întîi cel mai simplu model (modelul liniar) după care, în funcţie de datele

experimentale şi de corelabilitatea lor prin modelul propus, se poate trece la forme mai

complexe.

Obţinerea datelor (interdependenţelor constatate între variabilele procesului)

reprezintă de obicei partea cea mai laborioasă a analizei de regresie. Pentru a reduce,

eventual la minimum, volumul de muncă necesar se poate proceda la o programare

(proiectare) a experimentelor, în raport cu forma aleasă pentru modelul empiric.

Testarea datelor obţinute permite ca pe baza unor considerente fizice sau statistice

să se selecteze cele mai reprezentative interdependenţe pentru etapa următoare: obţinerea

coeficienţilor modelului. Folosind diverse tehnici depinzînd de natura modelului si de

raportul dintre numărul de date şi numărul de constante ale modelului, se calculează

valorile coeficienţilor (sau valorile cele mai probabile) obţinând astfel o primă formă

finită a modelului.

') Nici modelele bazate pe ecuaţii de conservare, deşi prin definiţie deterministice,

nu sînt lipsite de incertitudine. Eroarea, în acest caz, provine din simplificările introduse

şi din erorile cu care sînt calculaţi coeficienţii modelului. Spre deosebire de modelele

empirice de data aceasta este puţin probabil ca erorile să fie normal distribuite.

Testarea modelului reprezintă în esenţă compararea prezicerilor modelului cu datele

oferite de procesul real. În funcţie de rezultatul testării şi de cerinţele impuse modelului,

acesta poate fi acceptat sau îmbunătăţit. În cel de-al doilea caz procesul este reluat fie de

la prima etapă, fie de la etapa de alegere a modelului.

Fig.3.1. Schema etapelor analizei de regresie

3.3.2. Alegerea formei modelului

Forma de bază a modelelor empirice este cea a unui sistem de ecuaţii algebrice şi ca

atare corespunde unor modele globale în regim staţionar. În cazul în care printre variabile

apare şi timpul, prin derivare se pot obţine şi expresii echivalente modelelor nestaţionare.

Numărul ecuaţiilor independente ale modelului trebuie să fie egal ctr cel al relaţiilor

fundamentale (bazate pe principii fizico-chimice) ce se pot scrie între variabilele

procesului. Acest număr rezultă din inspecţia modelului bazat pe ecuaţii de conservare,

care leagă între ele variabilele procesului. Dcoarece însă elaborarea modelelor empirice

se realizează de obicei în absenţa unui asemenea model, metoda curentă de stabilire a

numărului de ecuaţii pleacă de la împărţirea variabilelor în independente (factori) şi

dependente. Numărul varriabilelor dependente este egal cu numărul de ecuaţii ale mode-

lului. Astfel dacă procesul comportă un număr total n de variabile, dintre care l sînt

dependente, atunci forma generală a modelului empiric va fi :

yi = fi (xl+1, xl+2, ...,xn) (3.41)

i= l, 2, ..., l

Variabilele independente s-au notat cu x iar cele dependente cu y.

Împărţirea variabilelor în dependente şi independente este o chestiune de experienţă

şi de bun simţ tehnic. O greşită categorisire a unor variabile rezultă în incorelabilitatea

datelor.

Datorită faptului că relaţiile modelului sunt independente, iar între variabilele

dependente y nu se presupun interdependenţe, în continuarea discuţiilor privitoare la

elaborarea modelelor empirice se va face abstracţie de faptul că modelul poate fi format

din mai multe ecuaţii. Pentru simplificarea notaţiilor se va omite indicele i al ecuaţiei, iar

numărul de variabile independente (factori) va fi considerat egal cu n.

Alegerea relaţiei funcţionale

y=f(x1, x2, ..., xn) (3.42)

este, de asemenea, o problemă pentru care nu se pot indica reguli fixe. În cazul în care

relaţia nu conţine decît o singură variabila independentă, reprezentarea grafică a datelor

experimentale poate sugera o anumită formă de ecuaţie care ar putea da rezultate bune.

Prin schimbări de variabile, se poate realiza o liniarizare a ecuaţiei propuse şi prin

reprezentarea în noile coordonate, ipoteza poate fi verificată.

De multe ori însă alegerea formei ecuaţiei este anterioară obţinerii datelor care

umează a fi corelate. În acest caz forma este aleasă în mod arbitrar (polinom de un grad

oarecare) sau prin analiză dimensională.

Forma polinomială a relaţiei (3.42) fiind :

y(x) = c0+c1x1+c2x2+...+cix1+cnxn+

c11x12+c12x1x2+...+c1kx1xk+c22x2

2+...+cikxixk+...+xnnxn2+

c111x13+c112x1

2x2+...c11nx12xn+...+cnnnxn

3+

........... (3.43)

poate fi limitată 1a primul rând (ecuaţie liniară în raport cu x), la primele două rînduri

(polinom de gradul doi), sau la gradul care asigură cea mai bună reprezentare a datelor.

Avantajul principal al formei polinomiale este liniaritatea în raport cu coeficienţii ci, cik

etc., ceea ce simplifică în mod considerabil estimarea acestora.

De asemenea, trebuie menţionat, faptul că în principiu, adoptarea unei expresii

polinomiale corespunde unei dezvoltări în serie trunchiată a interdependenţei reale y (x).

Astfel prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei continue şi diferenţiabile y(x) în jurul

punctului de coordonate x=x0, se obţine:.

Deoarece derivatele în punctul de coordonate x=x0 au valori constante, prin

identificarea coeficienţilor între ecuaţiile (3.43) şi (3.44) se obţine:

Analiza dimensionalii consituie un instrument valoros, frecvent utilizat în

stabilirea formei relaţiilor empirice pentru descrierea unor procese unitare. O bună parte

din relaţiile de calcul ale coeficienţilor ecuaţiilor de conservare (coeficienţi parţiali de

transfer de masă, căldură, de frecare) sunt bazate pe forme deduse prin analiză

dimensională. Principiul de bază al analizei dimensionale este asigurarea omogenităţii

dimensionale a relaţiilor (o lungime nu poate fi egală decât cu o lungime, o forţă cu o

forţă etc.). O extindere a principiului omogenităţii dimensionale este reprezentată de

teorema π. Conform acesteia o relaţie între mărimi fizice de tipul

f (x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn) = 0,

omogenă din punct de vedere dimensional, poate fi redusă la o relaţie între un număr mai

mic de produse fără dimensiuni:

ϕ (π1, π2, π3, ..., πi, ..., πm) = 0 ; m < n

Numărul m de produse adimensionale π, este calculabil cu ajutorul regulii practice

m=n-d, în care d este numărul minim de dimensiuni fundamentale (lungime, timp, masă,

temperatură etc.) necesar definirii dimensionale a celor n mărimi xi.

3.3.3. Obţinerea şi testarea datelor

În cazul în care datele culese de pe un proces real urmează să fie corelate printr-un

model empiric este necesar ca:

- numărul datelor experimentale (interdependenţe între variabilele procesului) să

fie suficient de mare pentru a permite determinarea tuturor constantelor

modelului ;

- experienţele să fie astfel distribuite încît să acopert în mod uniform domeniul

de variaţie al variabilelor;

- precizia şi reproductibilitatea cu care este determinată valoarea variabilei

dependente în raport cu valorile stabilite ale factorilor să fie corespunzătoare

cerinţelor impuse modelului.

În practica experimentării, majoritatea rezultatelor diferă de la o replică la alta,

conferînd variabilei dependente un caracter aleator sau probabilistic. În cele ce urmează

se va considera aceasta drept rezultat al introducerii unei erori aleatoare în procesul

obţinerii valorilor variabilei dependente corespunzătoare unui set de valori date ale

factorilor, care, spre deosebire de variabilele dependente, nu au un caracter aleator.

Introducerea erorii în procesul experimentării are cauze multiple: imprecizia

măsurătorilor efectuate asupra variabilelor, apariţia unor fluctuaţii în valorile parametrilor

menţinuţi constanţi, subiectivitatea observatorului, intervenţia unor factori nelistaţi etc.

Prin urmare valoarea măsurată Yj a variabilei dependente în replica j va diferi de

valoarea reală y, care nu poate fi curoscută, ci doar estimată. O imagine a împrăştierii

valorilor măsurate este furnizată de curba de distribuţie a probabilităţilor (prescurtat

distribuţie): modul în care depinde funcţia de densitate a probabilităţii de valoarea Y a

variabilei măsurate. Funcţia densitate a probabilităţii, p (Y) este definită prin

în care P (Y2 – Y1) este probabilitatea ca variabila Y să capete valori cuprinse între Yl şi

Y2.

Drept rezultat al lucrărilor unor matematicieni şi experimentatori din secolele

XVIII şi XIX s-a obţinut o funcţie de densitate a probabilităţii care reprezintă foarte bine

împrăştierea erorilor experimentale. Aceasta este distribuîia normală (Gaussiană), cu bine

cunoscutul aspect de clopot, generată de ecuaţia :

Distribuţia normală este complet caracterizată prin două mărimi: media µ, în acelaşi

timp o măsură a localizării şi dispersia σ2 (varianţa) care reprezintă o măsură a

împrăştierii. Rădăcina patrată a dispersiei are aceleaşi unităţi ca şi mărimea observată Y

şi poartă numele de abatere standard, notată cu σ .

Deoarece în practică nu se dispune decât de un număr oarecare m de valori

experimentale Yj, caracteristicile distribuţiei nu pot fi cunoscute ci doar estimate. Pentru

estimarea mediei µ, se utilizează media aritmetică:

iar pentru estimarea dispersiei expresia :

Prelucrarea statistică a datelor experimentale din cadrul unei analize de regresie (în

special metoda celor mai mici pătrate) se bazează pe presupunerea că variabila

dependentă y este o mărime aleatoare normal distribuită, valoarea y a variabilei putând fi

estimată prin media aritmetică iar dispersia nedepinzînd de localizare (omogenitate a

dispersiilor).

Omcgenitatea dispersiilor este testată cu ajutorul testului F al lui Fisher

în care σl şi σ2 reprezintă dispersiile în două zone diferite.

Valoarea calculată pentru raportul F al celor două dispersii se compară cu valori

tabelate; în cazul în care valoarea calculată nu depăşeşte valoarea tabelată pcntru nivelul

(pragul) de semnificaţie ales (în mod obişnuit 5%), dispersiile pot fi considerate

omogene. Valorile raportului F sînt tabelate în funcţie de numerele υl şi υ2 ale gradelor

de libertate ale dispersiilor de la numărător si numitor.

În cazul dispersiilor, υ=m-1

Obţinerea datelor experimentale se poate desfăşura în două situaţii: a) este posibilă

experimentarea la valori diferite şi prestabilite ale factorilor (experiment programat sau

planificat); b) programarea nu este posibilă.

Situaţia a) este caracteristică experimentărilor de laborator, la scară pilot, cum şi

uneori la scară industrială. Aceeaşi situaţie se intilneşte şi atunci cînd se urmăreşte

obţinerea unui model empiric plecînd de la un model complex bazat pe ecuaţii de

conservare. În cadrul situaţiei a) se deosebeşte cazul în care forma modelului de corelare

este necunoscută şi cazul în care modelul are o formă acceptată.

Atunci cînd forma modelului nu este cunoscută, experienţele trebuie să asigure un

număr suficient de puncte, convenabil distribuite, pentru a putea defini forma şi

caracteristicile suprafeţei y ca funcţie de factorii x1... xn (suprafaţa de răspuns). În acest

caz se atrage doar atenţia asupra inconsistenţei metodei tradiţionale de investigaţie

conform căreia se studiază pe rînd influenţa fiecărui factor asupra variabilei dependente

(ceilalţi factori fiind menţinuţi la valori constante). În felul acesta se obţine doar un

număr de secţiuni disparate ale suprafeţei de răspuns, conducînd la o imagine incompletă

şi uneori eronată asupra acesteia.

În cazul în care modelul are o formă acceptată, este posibil ca experimentele să fie

astfel programate încât printr-un volum minim de experimentare să se obţină cu precizie

maximă constantele modelului.

Metoda de programare a experimentelor mai des utilizată este cea factorială.

Conform acestei metode, numărul total m de experimţnte este: m=zn , în care n este

numărul de factori iar z numărul de nivele.

Numărul z de experimente necesar definirii interdependenţei dintre variabila

dependentă şi una din variabilele independente (numărul de nivele) este egal cu numărul

constantelor acestei relaţii. Astfel în cadrul modelelor liniare, cazul cel mai frecvent, z=2,

deoarece o ecuaţie liniară cu o variabilă independentă comportă două constante, în cadrul

modelelor de ordinul 2 fără termeni de interacţiune (termeni în care apar produse de

factori diferiţi) z = 3, ş.a.m.d.

Principiile de bază ale programării factoriale sunt : acoperirea intregului domeniu de

variaţie şi codificarea variabilelor. Prin codificarea variabilelor acestea pot căpăta, în

cadrul experimentului programat, numai valorile -1, 0 şi +1. Dacă valoarea codificată a

variabilei este dată de:

atunci cste evident că pentru valorile maxime xj max, şi minime, xj mi, ale variabilei

(singurele valori pe care variabilele le poate căpăta în cadrul unui experiment 2n, (deci

aplicabil unor modele liniare) ) variabila codificată va avea valorile +1 şi -l. Prin

codificare se simplifică calculul constantelor modelului şi se schematizează operaţia de

programare a experimentelor. Astfel experimentele vor fi plasate în colţurile unor figuri

geometrice regulate (pătrat,. cub, tetraedru etc).

Deoarece prin experimentul factorial zn se obţine întotdeauna un exces de informaţie

(numărul de determinări este mai mare decât numărul de constante ale modelului) este

posibilă o reducere a numărului de experienţe în baza unor tehnici corespunzătoare

(programare factorial-fracţionată). Astfel în cadrul unui model cu trei variabile

independente, experienţele pot fi plasate în colţurile unui tetraedru, în loc să fie plasate in

colţurile unui cub.

b) În cazul în care o programare a experimentelor nu este posibilă (modelarea unei

instalaţii care funcţionează în conformitate cu un plan de producţie bine stabilit), singura

posibilitate de obţinere a informaţiilor necesare modelării se bazează pe utilizarea

variaţiei întîmplătoare a factorilor. Deoarece regimul de funcţionare a instalaţiilor

industriale este, de regulă, caracterizat printr-o fluctuaţie aleatoare a parametrilor, este

posibil ca, dacă se urmăreşte procesul un timp mai îndelungat, să se obţină un număr

suficient de interdependenţe momentane între variabilele procesului pentru a putea

descrie în mod satisfăcător suprafaţa de răspuns. Datorită caracterului aleator al

procesului de obţinere a datelor, numărul de interdependenţe necesar elaborării modelului

este în acest caz mult mai mare decît în cadrul experimentului programat.

Testarea datelor experimentale comportă două aspecte. Un prim aspect este legat de

obligativitatea respectării ecuaţiilor de conservare în cadrul fiecărui experiment în parte.

Dacă într-un experiment programat aceasta face parte din însăşi metodica determinării

experimentale, în cazul în care datele sînt culese de pe un proces industrial în operare este

necesar să se elimine toate interdependenţele care nu satisfac (în limitele preciziei

impuse) principalele ecuaţii de conservare (bilanţuri de materiale şi de căldură).

Cel de-al doilea aspect se referă la testarea reproductibilităiii datelor, calculul

dispersiei, verificarea omogenităţii dispersiilor şi a normalităţii distribuţiilor

3.3.4. Determinarea coeficienţilor modelului

În literatura de specialitate este prezentată o mare varietate de metode de

determinare a coeficienţilor modelelor şi o încercare de clasificare exhaustivă a acestora

ar fi cel puţin riscată. Alegerea metodei de determinare a coeficienţilor este făcută în

raport cu forma modelului (liniară în raport cu coeficienţii şi variabilele, liniară în raport

cu coeficienţii şi neliniară în raport cu variabilele etc.), cu numărul de grade de libertate

(diferenţa dintre numărul de date şi numărul de coeficienţi care trebuie determinaţi), în

funcţie de mijloacele de calcul disponibile şi bineînţeles, în raport cu preferinţele cercetă-

torului.

În cele ce urmează se vor prezenta cîteva dintre cele mai uzuale metode de

determinare a coeficienţilor ecuaţiilor.

a) În cazul în care numărnl de constante care urmează a fi determinate este egal cu

numărul m de experirnţnte (zero grade de libertate), metoda de calcul este unică si

evidentă.

Prin introducerea valorilor numerice ale factorilor xj şi ale variabilelor dependente

corespunzătoare în ccuaţia modelului se obţine un sistem determinat de ecuaţii :

Y j = f (c, xj) j=1, 2, ..., m

în care coeficienţii c reprezintă necunoscutele. Soluţionarea sistemului de ecuaţii se poate

face folosind diferite subrutine, pentru sisteme liniare în raport cu coeficienţii c, sau

pentru sisteme neliniare.

b) Metoda grafică este aplicabilă ecuaţiilor liniare în raport cu variabilele procesului

sau care printr-un procedeu oarecare au fost aduse la forma liniară. După reprezentarea

datelor se trasează dreapta care le reprezintă aparent cel mai bine. Din caracteristicile

dreptei se calculează constantele ecuaţiei. Meteda este expeditivă, clar puţin precisă şi

cedează locul metodelor statistice de prelucrare (metoda celor mai mici patrate) care,

dacă se dispune de programe adecvate de calcul, sunt cel puţin la fel de rapide. Cu toate

acestea, se recomandă ca ori de cîte ori este posibil să se utilizeze şi reprezentări grafice,

care dau o imagine calitativă a valabilitălii modelului şi pot sugera în acelaşi timp

corecturi în forma modelului.

c) În cazul în care numârul de grade de libertate este mai mare decît zero , sistemul

de ecuaţii este supradeterminat, iar ecuaţiile sînt adesea incompatibile. În asemenea

cazuri este necesar să se calculeze acele valori ale coeficientilor care satisfac în mod

convenabil toate ecuaţiile. Metodele bazate pe procedee de optimizare rezolvă în mod

elegant problema, prin alegerea unui criteriu de optimizare (de obicei o măsura a abaterii

claselor experimcntale faţă de ecuaţia de regresie) şi căutarea acelor valori ale

constantelor care minimizează criteriul ales.

Drept criterii de optimizare se pot alege:

- suma valorilor absolute ale abaterilor datelor experimentale faţă de ecuaţia de

regresie:

- abaterea relativă medie:

- abaterea maximă sau abaterea relativă maximă:

- suma pătratelor abaterilor valorilor experimentale faţă de regresie, denumită uneori

şi suma reziduală a pătratelor sau rezidual:

În aceste ecuaţii, prin Y j, s-au notat valorile măsurate experimental pentru variabila

dependentă, iar prin y j valorile calculate cu ajutorul modelului, pentru aceleaşi valori ale

factorilor x1j, x2j, .... xnj;.

Metoda celor mai mici pătrate. Metoda care se bazează pe criteriul de optimizare

poartă numele de metoda celor mai mici pătrate şi este cu siguranţă cea mai răspîndită

metodă pentru determinarea coeficienţilor unei ecuaţii de regresie. Avantajul principal al

metodei celor mai mici pătrate este de a permite o rezolvare lesnicioasă, prin metode

analitice clasice, a problemei de optimizare în cazul în care ecuaţiile modelului au o

formă polinomială.

Pentru un polinom de gradul unu se obţine, utilizînd drept criteriu de optimizare

ecuaţia (3.65), următoarea expresie pentru funcţia obiectiv :

Anticipând asupra metedelor analitice de optimizare, valorile optime, respectiv

corespunzătoare minimului funcţiei f (c) se obţin prin derivare (în raport cu constantele c)

şi anulare a derivatelor. Se obţine sistemul determinat de ecuaţii:

În mod similar, pentru un polinom de gradul doi se obţine:

În sistemul (3.68) s-a intrcdus, pentru o exprimare mai simetrică, factorul arbitrar

xoj, care are valoarea 1 oricare ar fi numărul j al experimentului.

Spre deosebire de sistemul (3.67), fcrmat din n + 1 ecuaţii, sistemul (3.68) are n

+1+n (n+1)/2 ecuaţii, corespunzător numărului de constante ale modelului (termenii de

interacţiune cik xixk şi cki xk xi se comasează). Creşterea numărului de ecuaţii, o dată cu

creşterea gradului polinomului este însemnată (pentru 10 variabile de pildă vor rezulta 11

ecuaţii în cazul unui polinom liniar şi 66 de ecuaţii pentru un polinom de gradul doi,

ş.a.m.d.). Din punctul de vedere al efortului de calcul, datorită liniarităţii sistemelor de

ecuaţii în raport cu coeficienţii, nu apar probleme deosebite. Datorită însă faptului că

etapele de obţinere a datelor experimentale şi de testare a modelului devin extrem de

laborioase şi complicate, se preferă ca atunci cînd se utilizează polinoame de ordin

superior, numărul de constante să fie substanţial redus prin eliminarea unor termeni puţin

semnificativi.

3.3.5. Testarea modelului

Testarea modelului, respectiv compararea prezicerilor modelului cu datele furnizate

de procesul real, trebuie să asigure o bază cantitativă pentru acceptarea modelului ca

atare sau reluarea analizei de regresie de la una din etapele anterioare, în scopul obţinerii

unui model acceptabil.

În cele ce urmează se vor sugera situaţiile mai frecvent întîlnite şi se vor prezenta

principalele instrumente cantitative ale deciziei de acceptare a modelului.

Condiţia necesară dar nu şi suficientă, pentru acceptarea modelului este satisfacerea

unor teste de adecvanţă (potrivire, compatibilitate între model şi procesul real). În cazul

în care modelul este adecvat, el poate fi acceptat cu condiţia ca să nu poată fi simplificat,

de pildă prin eliminarca unor termeni sau variabile. În acest scop este necesară testarea

semnificaţiei coeficienţilor modelului.

În cazul în care modelul nu este adecvat se pot lua următoarele decizii în scopul

obţinerii unui model adecvat: a) decizii care nu implică schimbarea formei modelului

(modificarca intervalului de variaţie al factorilor, completarea datelor experimentale) şi

b) decizii care implică modificarea formei modelului şi eventual completarea sau reluarea

determinărilor experimentale (transformarea unor variabile, utilizarca unor expresii mai

complexele, în special prin introducerea unor termeni de interacţiune şi de ordin superior,

reconsiderarea factorilor procesului).

Deoarece nu există teste care să indice care din deciziile privind căile de

îmbunătăţire a modelului trebuie adoptate, este necesar să se încerce, simultan sau

concomitent, mai multe dintre acestea. În acest sens este de preferat să se procedeze

astfel încît să se realizeze, pe cît posibil, o economie de timp şi volum de muncă. Astfel,

este indicat să nu se treacă la noi experimentări până ce volumul de date existent nu a fost

prelucrat în mod exhaustiv. Din acest punct de vedere este de meniţionat faptul că

tehnicile actuale de calcul permit prclucrarea simultană a unui anumit volum de date după

mai multe tipuri de modele.

Testarea adecvanţei modelului. Aceasta operaţie poate fi făcută prin intermediul

unor indicatori cantitativi ai gradului în care modelul este capabil să descrie precesul real.

Se pot folosi : abaterea medie, abaterea relativă medie, în paralel cu abaterea maximă sau

abaterea relativă maximă.

Un bun test al adecvanţei modelului este şi testul F (Fisher). În acest caz, spre

deosebire de cazul în care se testează omogenitatea a două dispersii, testul F constă în

raportarea dispersiei datelor faţă de regresie (dispersia adecvanţelor, σ2ad) la dispersia σ2

y

a datelor experimentale faţă de medie (dispersia reproductibilităţii datelor) :

Dispersia σ2

y, a datelor experimentale este o măsură a erorilor experimentale şi se

calculează cu ecuaţia:

în care dispersiile σ2

i ale experimentelor efectuate în N puncte sînt mediate în raport cu

numerele ni ale experimentelor în fiecare punct. Numărul de grade de libertate al

dispersiei σ2y este egal cu suma gradelor de libertate ale dispersiilor mediate, respectiv

Dispersia adecvanţelor este o măsură a erorii modelului şi se calculează cu relaţia :

Se observă că numărătorul relaţiei (3.74) reprezintă suma pătratelor abaterilor

valorilor măsurate faţă de regresie. Numărul de grade de libertate din cadrul expresiei

(3.74) cste diferenţa dintre numărul de date experimentale folosite în corelare şi numărul

de constante ale ecuaţiei :

În cazul modelelor liniare cu n variabile :

Nc = n+1

La fel ca şi pentru testarea omogenităţii dispersiilor, valoarea calculată pentru

raportul F se compară cu valorile tabelate. În cazul în care valoarea calculată nu

depăşeşte valoarea tabelată pentru nivelui de semnificaţie ales (uzual 5%), modelul poate

fi considerat adecvat.

Testarea semnificaţiei coeficienţilor. În cadrul unor modele liniare în raport cu

coeficienţii, importanţa fiecărui termen al regresiei este indicată de valoarea absolută a

coeficientului respectivului termen (în cazul modelelor de ordinul 1, coeficienţii

reprezintă derivatele variabilei dependente în raport cu variabilele precesului). Pentru

termenii afectaţi de coeficienţi cu valoare absolută redusă, Este posibil ca variatiile

determinate asupra variatiaţiei dependente să cadă în limita dispersiei naturale generate

de eroarea experimentală. Ponderea termenului afectat de respectivul coeficient poate fi

apreciată cu ajutorul testeler de semnificaţie a coeficienţilor. Testarea semnificaţiei

fiecărui coeficient se face separat prin compararea valorii absolute a coeficientului cu

intervalul de confidenţă (încredere).

În acest scop este necesar să se calculeze dispersia coeficienţilor de regresie σ2c,

care pentru un model liniar este dată de expresia:

în care σ2y este dispersia reproductibilităţii datelor, iar N este numărul de puncte pe baza

cărora s-a calculat aceasta (a nu se confunda cu numărul de grade de libertate υy).

Intervalul de încredere ∆ci al coeficientului ci, se determină cu relaţia:

în care t reprezintă valorile tabelate ale criteriului t (Student) pentru numărul de grade de

libertate cu care a fost calculată dispersia σ2y şi la pragul de semnificaţie ales (uzual 5%).

Un coeficient ci este semnificativ dacă valoarea sa absolută este mai mare, decît

intervalul de confidenţă ∆ci..

În principiu, existenţa unor coeficienţi evident nesemnificativi poate conduce la

neglijarea termenilor sau variabilelor afectate de aceşti coeficienţi şi ca atare la

simplificarea modelului. Nu trebuie însă să se omită posibilitatea ca nesemnificativitatea

coeficienţilor să fie determinată de o excesivă eroare experimentală sau de o

necorespunzătoare alegere a intervalului de variaţie. Trebuie, de asemenea, remarcat că

simplificarea modelului prin renunţarea la unii termeni nesemnificativi impune, în

principiu, recalcularea coeficienţilor termenilor acceptaţi.