273

CAPITOLUL 8

LINII ELECTRICE LUNGI

8.1. ECUAŢIILE LINIILOR ELECTRICE LUNGI ÎN MĂRIMI INSTANTANEE

Circuitele electrice cu parametri concentraţi sunt cele formate din elemente dipolare de circuit care sunt definite prin modelarea dispozitivelor (componentelor) fizice selectând una din proprietăţile electrice sau magnetice considerată esenţială. De exemplu, pentru un rezistor, tensiunea la borne depinde în fiecare moment de intensitatea curentului la acelaşi moment şi în consecinţă el nu acumulează energie electrică sau magnetică. Deoarece un curent electric produce câmp magnetic, modelarea unui dispozitiv fizic prin rezistor presupune neglijarea energiei magnetice. La o bobină se ia în considerare numai câmpul magnetic stabilit de curentul prin înfăşurare şi se neglijează efectele rezistive din conductorul înfăşurării şi capacitive dintre spire. Analog, la condensatorul sub tensiune, se consideră numai câmpul electric din izolantul dintre armături şi se neglijează efectul rezistiv şi inductiv al armăturilor.

Localizarea fenomenelor de conducţie electrică în rezistoare, a fenomenelor magnetice în bobine şi a celor electrice în condensatoare exclusiv, permite alcătuirea de circuite prin conectarea lor la noduri cu conductoare de conexiune presupuse perfect conductoare. Realizând această aproximare se neglijează în primul rând fenomenele de conducţie din bobine şi condensatoare, a fenomenelor magnetice din rezistoare şi condensatoare şi a celor capacitive din bobine şi rezistoare; în al doilea rând, se neglijează fenomenele care însoţesc curentul prin conductoarele de conexiune a căror conductivitate este în realitate finită.

În cazul în care conductoarele de conexiune sunt suficient de lungi alcătuind linii de transmisie a energiei şi semnalelor electrice între părţi ale circuitului, aceste fenomene nu mai pot fi neglijate. Liniile electrice scurte, adică liniile a căror lungime l este mult mai mică decât lungimea de undă λ a semnalului, se pot modela cu elemente de circuit cu parametri concentraţi.

O linie electrică a cărei lungime este comparabilă cu lungimea de undă a semnalului se numeşte linie electrică lungă. Repartiţia tensiunii şi curentului pe linie este descrisă de ecuaţii cu derivate parţiale şi linia admite o schemă cu rezistoare, bobine şi condensatoare distribuite uniform (circuit cu parametri uniform distribuiţi).

Teoria circuitelor cu parametri distribuiţi se aplică şi la studiul fenomenelor din domenii diferite, cum sunt: studiul supratensiunilor în transformatoare şi în înfăşurările maşinilor electrice, modelarea componentelor electronice (circuite integrate), modelarea circuitelor de interconexiune din circuitele integrate, precum şi în studiul fenomenelor de difuzie a căldurii, cîmpului electromagnetic, de transfer de masă etc.

În acest capitol, se stabilesc ecuaţiile cu derivate parţiale de primul şi al doilea ordin - ecuaţiile telegrafiştilor ale liniilor electrice lungi şi se tratează regimul armonic permanent.

8.1.1. Parametrii primari (naturali) ai liniilor electrice lungi Se consideră linia lungă bifilară reprezentată în figura 8.1 de lungime l constituită din două

conductoare dispuse paralel şi se notează cu 1, 1’ bornele de intrare (dinspre generator), cu 2, 2’ bornele de ieşire (dinspre receptor) şi cu x distanţa măsurată în lungul liniei de la extremitatea 1, 1’ . La o repartiţie dată a tensiunii şi curentului la momentul t = 0, u(x,0) şi i(x,0) – condiţii iniţiale şi la valori date ale tensiunii şi curentului la extremitatea 1, 1’ u(0,t) = u1(t) şi i(0,t) = i1(t) – condiţii la limită, problema fundamentală a liniei constă în determinarea tensiunii u(x,t) la distanţa x între două puncte situate la intersecţia conductoarelor liniei cu un plan trnsversal şi la momentul t, respectiv a curentului i(x,t).

274

Fig. 8.1. Linie lungă bifilară.

În cazul liniei electrice lungi, parametrii se consideră uniform distribuiţi în lungul liniei şi în consecinţă e convenabil să se definească parametrii specifici sau lineici, consideraţi ca densităţi de linie a rezistenţei, inductivităţii, capacităţii şi conductanţei (perditanţei):

• rezistenţa longitudinală lineică Rl

xRR

xl ∆∆

∆ 0lim→

= [Ω/m], (8.1)

• inductivitatea longitudinală lineică Ll

xLL

xl ∆∆

∆ 0lim→

= [H/m], (8.2)

• capacitatea transversală lineică Cl,

xCC

xl ∆∆

∆ 0lim→

= [F/m], (8.3)

• conductanţa (perditanţa) transversală lineică Gl

xGG

xl ∆∆

∆ 0lim→

= [S/m], (8.4)

Circuitele (liniile) care au parametrii lineici constanţi în lungul liniei sunt numite circuite (linii) omogene. În cele ce urmează se presupune că linia este un circuit liniar, adică parametrii săi lineici sunt independenţi de intensitatea curentului şi de tensiune. O porţiune de lungime dx a liniei bifilare are parametrii Rldx, Lldx, Gldx, Cldx şi schema echivalentă reprezentată în figura 8.2.

Fig. 8.2. Schema echivalentă a liniei bifilare de lungime dx. Parametrii Rl, Ll, Gl şi Cl caracterizează intrinsec linia şi se numesc parametrii primari sau naturali. Pentru o linie bifilară, omogenă, aeriană şi izolată cu conductoare subţiri de rază a

275

situate la distanţa D >> a şi la mare depărtare de pământ parametrii Rl, Ll, şi Cl se calculează la frecvenţe joase cu formulele

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

mF

aD

CmH

aDL

maR r

lr

llln

;ln ;1 002

πεεπµµΩ

σπ.

(8.5)

8.1.2. Ecuaţiile cu derivate parţiale de primul ordin Se consideră o linie electrică lungă bifilară care la distanşa x şi la momentul t are tensiunea u(x,t) şi curentul i(x,t). La distanţa x+dx şi momentul t tensiunea u(x+dx,t) şi curentul i(x+dx,t) se dezvoltă în serie Taylor şi reţinând numai primii doi termeni, rezultă expresiile:

( ) ( )

( ) ( ) ...d,,d

...d,,d

+∂∂

+≈+

+∂∂

+≈+

xxitxitxxi

xxutxutxxu

(8.6)

Aplicând a doua teoremă a lui Kirchhoff pe conturul A – C – D – B – A din figura 8.2, şi neglijând termenii cu puteri de ordinul doi ale lui dx, rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )

.

0,d,d,dd,d

tiLiR

xu

txuxxutxux

xitxi

txLx

xitxixR

ll

ll

∂∂

+=∂∂

−⇒

⇒=−∂∂

++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+

(8.7)

Ultima ecuaţie din (8.7) se interpretează astfel: scăderea tensiunii u pe unitatea de lungime

a liniei este egală cu suma dintre căderile de tensiune rezistivă şi inductivă, ambele luate pe unitatea de lungime. Utilizând prima teorema a lui Kirchhoff în nodul A, se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) .0d,,d,d,tuCuG

xix

xitxi

ttxuxCtxxuGtxi llll ∂

∂+=

∂∂

−⇒=∂∂

++∂

∂++−

(8.8)

Ultima ecuaţie din (8.8) se interpretează astfel: scăderea curentulu i pe unitatea de lungime a unui conductor al liniei este egală cu suma dintre curentul de pierderi prin izolantul dintre conductoare şi curentul capacitv, ambii luaţi pe unitatea de lungime. Ecuaţiile (8.7) şi (8.8) formează un sistem de ecuaţii parţiale de primul ordin în raport cu tensiunea u şi curentul i. În cazul în care în locul distanţei x măsurată de la intrare, se consideră distanţa x’ = l – x măsurată de la ieşire, ecuaţiile (8.7) şi (8.8) scrise pentru u(x’,t) şi i(x’,t) în raport cu x’ sunt următoarele:

.'

;' t

uCuGxi

tiLiR

xu

llll ∂∂

+=∂∂

∂∂

+=∂∂ (8.9)

8.1.3. Ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul doi. Ecuaţiile telegrafiştilor Dacă între ecuaţiile de primul ordin (8.7) şi (8.8) se elimină una dintre necunoscutele u(x,t) sau i(x,t) se poate obţine o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi. Derivând ecuaţia (8.7) în raport cu x se obţine:

276

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−∂∂

−=∂∂

xi

tL

xiR

ti

xL

xiR

xu

llll2

2

(8.10)

în care s-a inversat ordinea de derivare în ultimul termen, deoarece linia este fixă, şi se substituie expresia lui xi ∂∂ / din a doua ecuaţie (8.8), rezultă ecuaţia pentru tensiunea u(x,t)

( ) 2

2

2

2

tuCL

tuGLCRuGR

xu

llllllll ∂∂

+∂∂

++=∂∂ .

(8.11)

Procedând similar şi pentru curentul i, se deduce ecuaţia

( ) 2

2

2

2

tiCL

tiGLCRiGR

xi

llllllll ∂∂

+∂∂

++=∂∂ .

(8.12)

În cosecinţă, tensiunea u(x,t) şi curentul i(x,t) satisfac ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi de aceeaşi formă, cu coeficienţi identici numite ecuaţiile telegrafiştilor. Trebuie remacat faptul că cele două ecuaţii nu sunt independente, ele fiind legate prin ecuaţiile de primul ordin (8.7) şi (8.8). Soluţionarea problemei liniilor electrice lungi se efectuează astfel: se integrează una din ecuaţii şi soluţia obţinută se introduce în oricare dintre ecuaţiile de ordinul întâi din care se deduce soluţia celeilalte necunoscute. Constantele de integrare din soluţii se determină din condiţiile iniţiale şi la limită (la extremitatea liniei).

8.1.4. Bilanţul puterilor instantanee pentru un tronson elementar de linie

Îmulţinând ecuaţia (8.7) cu i şi ecuaţia (8.8) cu u şi apoi adunându-le, se obţine:

tuuC

tiiLuGiR

xiu

xui llll ∂

∂+

∂∂

++=∂∂

−∂∂

− 22 , (8.13)

respectiv,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

++=∂∂

−22

2222 uCiL

tuGiRui

xll

ll . (8.14)

Ţinând seama că termenii din paranteză sunt puterea instantanee p, energia magnetică Wm, respectiv energia electrică We pe unitatea de lungime a liniei

22

21 ,

21 , uCWiLWuip lelm === , (8.15)

relaţia (8.13) se poate scrie în forma

( )emll WWt

uGiRxp

+∂∂

++=∂∂

− 22 (5.1)

şi are următoarea interpretare: scăderea puterii instantanee p transmisă liniei este egală cu suma dintre puterile dezvoltate prin efect Joule în conductoarele liniei 2iRl şi în izolantul dintre conductoare 2uGl şi viteza de variaţie în timp a energiilor magnetică Wm şi electrică We, toate calculate pe unitatea de lungime a liniei.

8.2 LINII ELECTRICE LUNGI ÎN REGIM ARMONIC În regim armonic, tensiunea u(x,t) şi curentul i(x,t) sunt în fiecare punct al liniei funcţii sinusoidale de timp de aceeaşi frecvenţă πω 2/=f , de forma

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] sin2, ,sin2, xxtxItxixtxUtxu uu ϕ−α+ω=α+ω= , (8.16)

277

în care valorile efective U(x) şi I(x), faza iniţială α(x) şi defazajul φ(x) depind de distanţa x. Regimul armonic se stabileşte când la una din extremităţile liniei se aplică o tensiune sinusoidală şi după ce componentele libere datorate excitaţiei şi condiţiilor iniţiale se amortizează. De exemplu, se presupun date tensiunea u(0,t) = u1(t) şi curentul i(0,t) = i1(t)

( ) ( ) ( ) ( ).sin2 ,sin2 11111 11ϕαωαω −+=+= uu tItitUtu (8.17)

În studiul regimului armonic al liniilor lungi se poate folosi reprezentarea simbolică în complex, ţinând seama că prin această reprezentare dependenţa spaţială a mărimilor nu este modificată. Imaginile în complex ale tensiunii u(x,t) şi a curentului i(x,t) sunt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xxjxj uu exIxIx,tiexUxUx,tu ϕαα −==== )( ;)( CC (8.18)

Aplicînd operatorul reprezentării în complex ecuaţiilor cu derivate parţiale în mărimi instantanee (8.7) şi (8.8) rezultă următoarele ecuaţii diferenţiale ordinare cu mărimi complexe:

( )ILjRxU

ll ω+=−dd ¸ ( )UCjG

xI

ll ω+=−dd . (8.19)

Mărimile complexe

lll LjRZ ω+= ¸ lll CjGY ω+= (8.20)

se numesc impedanţa complexă lineică longitudinală lZ , respectiv admitanţa complexă lineică transversală lY şi ecuaţiile (5.19) se pot scrie astfel:

IZxU

l=−dd ¸ UY

xI

l=−dd . (8.21)

Pentru obţinerea ecuaţiile telegrafiştilor în complex, se derivează în raport cu x ecuaţiile (8.19) şi se elimină succesiv una dintre necunoscute. În final se obţine:

( )( )UCjGLjRxU

llll ωω ++=2

2

dd ¸ ( )( )ICjGLjR

xI

llll ωω ++=2

2

dd

(8.22)respectiv,

UYZxU

ll=2

2

dd ¸ IYZ

xI

ll=2

2

dd

(8.23) Dacă se noteză cu

lγ mărimea

( )( ) llllllljCjGLjR βαωωγ +=++= (8.24)

numită constantă (lineică) complexă de propagare, ecuaţiile (8.23) iau forma:

UxU

l2

2

2

dd

γ= ¸ Ix

Il2

2

2

dd

γ= .

(8.25) Evident, soluţiile ( )xU şi ( )xI nu sunt independente fiind legate prin ecuaţiile (8.21). Integrarea acestor ecuaţii constă în următoarea procedură: se integrează una dintre ecuaţii, de exemplu pentru ( )xI , iar soluţia ( )xU se deduce din oricare dintre ecuaţiile (8.19). Soluţia ( )xU conţine două constante complexe de integrare care se determină din condiţia ca la

bornele de intrare ale liniei 1, 1’ tensiunea şi curentul complex să aibă valorile date de (8.17):

( ) ( ) ( )111111111 ; ϕαα −==== uu jj eIItieUUtu CC . (8.26)

Integrând ecuaţia (8.23) în raport cu U , se obţine

278

( ) xi

xd

ll eAeAxUγγ

+=−

, (8.27)

unde dA şi iA sunt două constante de integrare. Substituind ecuaţia (8.27) în prima ecuaţie (8.22), se deduce expresia curentului complex ( )xI

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

− xi

xd

l

l ll eAeAZ

xIγγγ

.

(8.28)

Mărimea complexă, cZ definită de expresia

ll

ll

l

lc CjG

LjRZZ

ωω

γ ++

==

(8.29)

poartă numele de impedanţa caracteristică complexă a liniei şi ecuaţia (8.28) devine

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

− xi

xd

c

ll eAeAZ

xIγγ1 .

(8.30) Tensiunea complexă ( )xU şi curentul complex ( )xI conţin câte două componente, una

proporţională cu x

leγ

şi cealaltă cu x

leγ−

, fiecare componentă fiind soluţie elementară a ecuaţiilor telegrafiştilor. 8.2.1. Componentele directe şi inverse ale tensiunii şi curentului Dacă se notează cu ( )xU d primul termen din membru al doilea al relaţiei (8.27) rezultă

( ) ( ) x

d

xdd

ll eUeAxUγγ −−

== 0 (8.31)

în care ( ) 000 duj

ddd eUAU α== . Avînd în vedere relaţia (8.24), expresia (8.31) se poate pune sub forma

( ) ( ) ( )xjxd

xjjdd

ldulldou eeUeeUxU βααβαα −−+− == 000 ,

(8.32)

căreia îi corespunde valoarea instantanee ud(x,t),

( ) ( ) [ ]0

sin22Im, 0 dl

ulx

dtj

dd xteUexUtxu αβωαω +−== − . (8.33)

Analizând termenul ud(x,t) rezultă:

amplitudinea xdo

leU α−2 descreşte exponenţial cu distanţa x, este maximă doU2 la

bornele de intrare ale liniei şi este minimă la bornele de ieşire ldo

leU α−2 (αl > 0), figura 8.3;

dacă se consideră αl = 0, termenul ud(x,t) variază sinusoidal în raport cu unghiul

( )doul xt αβω +− . Intervalul minim de timp după care în acelaşi punct x, componenta ud

are aceeaşi valoare, este perioada de timp T,

( ) ( ) ( ) παβωαβω 2 pentru ,, ++−=+−+⇒∀=+dodo ululdd xtxTtttxuTtxu ; (8.34)

279

Fig.8.3. Propagarea undei directe ud(x,t).

distanţa minimă măsurată în lungul liniei, la care în acelaşi moment t componenta ud are aceeaşi valoare,

( ) ( ) ( ) παβωαλβωλ 2 pentru ,, −+−=++−⇒∀=+dodo ululdd xtxtxtxutxu , (8.35)

este perioada spaţială λ ,

,2

lβπ

λ = (8.36)

adică lungimea de undă. Deci, valoarea instantanee ud(x,t) la distanţa x şi la momentul t este egală cu valoarea instantanee la distanţa xx d+ şi momentul tt d+ ,

( ) ( ) ( ) ( )dodo ululdd xxttxtttxxutxu αβωαβω ++−+=+−⇒++= dd d,d, , (8.37)

din care rezultă relaţia

lv

tx

βω

==dd .

(8.38)

Componenta ud(x,t) este o undă are se propagă de la bornele de intrare către bornele de ieşire (fig. 8.3) şi se numeşte componenta directă de tensiune, v fiind viteza de fază. Datorită exponenţialei xle α− , unda directă e atenuată în sensul propagării

( )( )xU

Ux

d

dl

0ln=α .

(8.39)

Dacă se notează cu ( )xU i cel de-al doilea termen al relaţiei (8.27)

280

( ) xii

leAxUγ

= (8.40)

şi efectuând schimbarea de variabilă x = l – x’, se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) 00

'''0 ,0' iulllll j

il

iix

ixl

ixl

ii eUeAUeUeeAeAxU αγγγγγ=====

−−−. (8.41)

Fig. 8.4. Propagarea undei inverse ui(x’,t).

O analiză similară arată că termenul ( )'xU i are în raport cu x’ aceeaşi formă cu ud(x,t), figura 8.4:

( ) [ ]0

'sin2,' '0 i

lul

xii xteUtxu αβωα +−= − . (8.42)

Avînd în vedere relaţiile (8.31) şi (8.40), curentul complex ( )xI , (8.30) se poate scrie astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xIxIZ

xUZ

xUxI id

c

i

c

d +=−= , (8.43)

în care s-au notat cu dI şi iI componentele

( ) ( ) ( ) ( )c

ii

c

dd Z

xUxI

ZxU

xI −== , . (8.44)

Componentele instantanee corespunzătoare id(x,t) şi ii(x,t) sunt componentele directă, respectivă inversă de curent, ale căror expresii se deduc din relaţiile (8.29), (8.33) şi (8.42):

281

( ) [ ]0

sin2, 0d

lucl

x

c

dd xte

ZU

txi αϕβωα +−−= − (8.45)

respectiv,

( ) [ ]π−α+ϕ−β−ω= α−0

02i

lucl

'x

c

ii 'xtsine

ZU

t,'xi . (8.46)

8.2.2. Parametrii liniilor electrice lungi în regim armonic (parametrii secundari) Ecuaţiile telegrafiştilor (8.11) şi (8.12) conţin parametrii primari Rl, Ll, Gl şi Cl. Soluţiile elementare în regim armonic de tensiune (8.33, 8.42) şi cele de curent (8.45, 8.46) pun în evidenţă mărimile complexe cZ şi

lγ care caracterizează linia în regim sinusoidal, după cum

urmează: • impedanţa caracteristică complexă a liniei definită ca raportul dintre componentele

complexe directe de tensiune ( )xU d şi de curent ( )xI d , respectiv de raportul cu semn schimbat dintre componentele complexe inverse de tensiune ( )xU i şi de curent ( )xI i , cu valoarea independentă de x

( )( )

( )( )

cic

ll

ll

i

i

d

dc eZ

CjGLjR

xIxU

xIxU

Z ϕ=ω+ω+

=−== . (8.47)

Impedanţa caracteristică are modulul Zc şi argumentul cϕ , având expresiile

( )( )

;44

cu 1

21 ;4

222

222

π>ϕ<

π−

ωω+

ω−

ω

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ω−

ω=ϕ

ω+

ω+==

c

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lc

ll

ll

d

dc

,

GC

RL

GC

RL

arctg

GC

arctgRL

arctgCGLR

xIxU

Z

.

(8.48)

• constanta complexă lineică de propagare definită de relaţia (8.24)

( )( ) llllllcjCjGLjR β+α=ω+ω+=γ . (8.49)

Partea reală l

Rel γ=α intervine în exponenţialele xle α− , respectiv 'xle α− şi corespunde

atenuării amplitudinelor componentelor directe şi inverse de tensiune şi de curent, acesta fiind şi motivul denumirii ei - constantă de atenuare. Partea imaginară

lIml γ=β intervine în

fazele componentelor şi poartă numele de constantă de fază. Pentru calculul acestor constante se foloseşte modulul lui 2

lγ şi diferenţa pătratelor

22ll β−α

( )( ) .CLGRRe

CGLR

lllllll

lllllll

2222

222222222

;

ω−=γ=β−α

ω+ω+=β+α=γ

(8.50)

282

Adunând şi scăzând aceste relaţii, se deduc valorile lui lα şi lβ :

( )( )[ ]( )( )[ ] 0.

21

0;21

2222222

2222222

≥ω+ω++−ω=β

≥ω+ω++ω−=α

lllllllll

lllllllll

CGLRGRCL

CGLRCLGR

(8.51)

Prin urmare, în locul celor patru parametri Rl, Ll, Gl şi Cl linia este caracterizată în regim armonic de asemenea de patru parametri lcc ,,Z αϕ şi lβ care depind de frecvenţă şi sunt denumiţi parametri secundari. Trebuie observat că şi viteza de fază v şi lungimea de undă λ depind de asemenea de frecvenţă

( )( )[ ]2222222

21

lllllllll CGLRGRCL

vω+ω++−ω

ω=

βω

= ,

(8.52)

respectiv

( )( )[ ]2222222

21

22

lllllllll CGLRGRCL ω+ω++−ω

π=

βπ

=λ .

(8.53)

Dacă pe linie se transmite de la intrare un semnal cu un anumit spectru de frecvenţă (fig. 8.5), datorită vitezei de propagare (de fază) care este diferită pentru fiecare armonică componentă, semnalul ajunge la bornele de ieşire cu un spectru de frecvenţă diferit şi în consecinţă linia distorsionează semnalul.

Fig. 8.5. Distorsionarea semnalului transmis în lungul liniei.

În reţelele de telecomunicaţii datorită acestui fenomen denumit şi de dispersie, se reduce

fidelitatea semnalelor transmise de linie. Făcând analiza modului de variaţie cu frecvenţa a parametrilor secundari se pot evidenţia

următoarele cazuri particulare: 1. Linia fără pierderi. Liniile electrice lungi fără pierderi sunt acelea în care

rezistenţa lineică Rl şi conductanţa lineică Gl sunt neglijabile în raport cu reactanţa lineică inductivă lLω , respectiv susceptanţa lineică capacitivă lCω ,

; llll CGLR ω<<ω<< (8.54)

şi deci se pot considera egale cu zero 0 ,0 ≅≅ ll GR . În aceste condiţii parametrii secundari sunt independenţi de frecvenţă, iar impedanţa caracteristică este reală

283

,0 ,0 ,0 llllcl

lc CLZ

CL

Z ω≅β≅α≅ϕ=≅ . (8.55)

De asemenea, viteza de fază v rezultă independentă de frecvenţă

llCL

v 1≅ .

(8.56)

Prin urmare, componentele directe ud(x,t), id(x,t) şi inverse ui(x,t), ii(x,t) se propagă neatenuate cu aceeaşi viteză v, asigurând transmisia fără distorsiuni a semnalelor;

2. Linia cu pierderi mici la frecvenţe înalte. Inegalităţile (8.54) rămân valabile şi în cazul când rezistenţa lineică Rl, respectiv conductanţa lineică Gl deşi sunt mici faţă de reactanţa lineică inductivă lLω , respectiv susceptanţa lineică capacitivă lCω , nu se anulează şi prin urmare 0≠α l . Expresia constantei lineice de atenuare lα (8.51) se poate puns sub forma

1121

22

2

22

222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω+ω−=αl

l

l

llllllll C

GL

RCLCLGR

(8.57)

în care dacă se dezvoltă radicalul interior în serie şi se reţin numai primii doi termeni, se obţine:

.21

21

41

21

21

21

211

211

21

2

2222

22

2

22

222

l

ll

l

lll

ll

lll

l

ll

l

lll

l

l

l

llllllll

CL

GLC

RCL

GRL

CG

CLR

GR

CG

LR

CLCLGR

+≅α⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω

+++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω+ω−≅α

(8.58)

Pentru ccZ ϕ, şi v se regăsesc valorile anterioare (8.55, 8.56); 3. Linia fără distorsiuni (condiţia Heaviside). Dacă în expresia constantei de fază

lβ pusă sub forma

11121 22

2

22

2

2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

++ω

−ω=βl

l

l

l

ll

llll C

GL

RCL

GRCL ,

(8.59)

se pune condiţia:

l

l

l

l

l

l

l

l

CG

LR

CG

LR

=⇔ω

+=ω

+ 22

2

22

2

11 , (8.60)

atunci se obţine

CLll ω=β , (8.61)

şi în consecinţă viteza de fază v rezultă independentă de frecvenţă. Condiţia (8.60) dedusă de Heaviside caracterizează linia cu pierderi fără distorsiuni. Pentru ceilalţi parametri se deduc expresiile:

0 , , 0 =ϕ====α cl

lc

l

ll

l

lll Z

CL

ZCL

GLC

R . (8.62)

284

Se constată că în toate cazurile în care linia este fără distorsiuni, impedanţa caracteristică este reală ( 0=ϕc ) şi egală cu rădăcină pătrată din raportul dintre inductivitatea lineică Ll şi capacitatea lineică Cl. Pentru cabluri, datorită capacităţii lineice mari şi a inductivităţii lineice mici, există inegalitatea

l

l

l

l

CG

LR

> . (8.63)

Pentru realizarea condiţiei Heaivside (8.60) este necesar să mărim inductivitatea lineică Ll. Pentru aceasta, se introduc bobine suplimentare de inductivitate Ls la intervale egale şi suficient de mici faţă de lungimea de undă (procedeul Papin) astfel încât

l

l

sl

l

CG

LlLlR

=+

. (8.64)

Alt procedeu (Krarup) constă în înfăşurarea cablului cu o bandă feromagnetică, mărind astfel inductivitatea la valoarea necesară realizării condiţiei Heaviside;

4. Linia cu pierderi la frecvenţe joase. Cînd frecvenţele sunt joase, reactanţa lineică inductivă, respectiv susceptanţa lineică capacitivă sunt mult mai mici decât rezistenţa lineică, respectiv conductanţa lineică,

, llll GCRL <<ω<<ω . (8.65)

În aceste condiţii, parametrii secundari şi viteza v au valorile

0 ,0 =β=α=ϕ= llllcl

lc ,GR,

GR

Z . (8.66)

Deoarece 0=βl , nu are loc propagare şi fiindcă ∞→λ , linia este scurtă. 8.2.3. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în regim armonic Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi sunt soluţiile (8.27) şi (8.28) exprimate în funcţie de mărimile de la intrare sau de la ieşire. Aceste soluţii pot fi puse şi sub forma în care apar distinct componentele directe, respectiv inverse. 8.2.3.1. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în funcţie de componentele directe şi inverse Utilizând ecuaţiile (8.33) şi (8.42) se deduce expresia tensiunii u(x,t), iar din ecuaţiile (8.45) şi (8.46) expresia curentului i(x,t):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ],sin2

sin2,,

0

0

uilxl

io

udlx

doid

xlteU

xteUtxutxux,tul

l

α+−β−ω+

+α+β−ω=+=−α−

α−

(8.67)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ].sin2

sin2,,

0

0

π−α+ϕ−−β−ω+

+α+ϕ−β−ω=+=

−α−

α−

uiclxl

c

io

udclx

c

doid

xlteZU

xteZ

Utxitxix,ti

l

l

(8.68)

285

Când linia este foarte lungă astfel încât 0→α− lle atunci, în ecuaţiile (8.67) şi (8.68) amplitudinile componentelor inverse se pot neglija şi pe linie se transmit numai semnalele care conţin componente directe:

( ) ( ) ( ) ( )txix,titxux,tu dd , ,, ≅≅ . (8.69)

În acest caz linia se numeşte infinit lungă. De fapt, se poate demonstra că existenţa componentelor inverse se datorează reflexiei la una din extremităţile liniei, dacă la cealaltă extremitate se transmite un semnal. În aceste condiţii, componentele inverse sunt reflectate, iar cele directe sunt componente incidente.

8.2.3.2. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi raportate la intrare

Considerând x = 0 şi presupunând cunoscute tensiunea complexă 1U şi curentul complex 1I , ecuaţiile (8.27) şi (8.30) devin

( ) ( ) ( )idc

id AAZ

IIAAUU −==+==10 ;0 11 ,

(8.70)din care rezultă

( ) ( )1111 21 ;

21 IZUAIZUA cicd −=+= .

(8.71) Substituind aceste valori în ecuaţiile (8.27) şi (8.30) se obţine tensiunea complexă ( )xU şi, respectiv curentul complex ( )xI , în funcţie de tensiunea complexă 1U şi curentul complex 1I de la intrare (fig. 8.6,a).

(a)

(b)

Fig. 8.6. a) Ecuaţiile liniilor lungi raportate la intrare; b) Ecuaţiile liniilor lungi raportate la ieşire.

( ) ( ) ; 1111 xsh

ZU

xchIxIxshIZxchUxUl

cllcl

γγγγ −=−= .

(8.72) Considerând x = l, se obţine tensiunea ( ) 2UlU = şi curentul ( ) 2IlI = la ieşire

; 112112 lsh

ZUlchIIlshIZlchUU

lc

llclγ−γ=γ−γ= .

(8.73)

8.2.3.3. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi raportate la ieşire

Dacă se consideră cunoscute tensiunea complexă ( ) 2UlU = la ieşire şi curentul complex ( ) 2IlI = la ieşire, ecuaţiile (8.27) şi (8.30) iau forma:

286

( ) ( ) ( )li

ld

c

li

ld

llll eAeAZ

IlIeAeAUlU γγ−γγ− −==+==1 ; 22 .

(8.74) Rezolvând sistemul (8.74), se obţine

( ) ( ) lci

lcd

ll IZUAIZUA γ−γ−=+= e

21 ;e

21

2222 .

(8.75) Introducând aceste valori în ecuaţiile (8.27) şi (8.31) şi substituind l - x = x’, în care x’ este distanţa măsurată de la ieşire, se obţine tensiunea complexă ( )'xU şi, respectiv curentul complex ( )'xI , în funcţie de tensiunea complexă 2U şi curentul complex 2I de la ieşire (fig. 8.6,b)

( ) ( ) ''' ;''' 2222 xsh

ZU

xchIxIxshIZxchUxUl

cllcl

γγγγ +=+= .

(8.76) Luând x’ = l se dededuce tensiunea complexă 1U şi curentul complex 1I de la intrare:

; 221221 lsh

ZU

lchIIlshIZlchUUl

cllcl

γγγγ +=+= .

(8.77)

8.2.3.4. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în cazuri particulare

Linia adaptată Dacă la bornele de ieş ire ale liniei se conectează o impedanţă complexă de sarcină sZ egală cu impedanţa

caracteristică cZ (fig. 8.7) curentul 2I are expresia

Fig. 8.7. Linia electrică adaptată.

cZU

I 22 = .

(8.78) Înlocuind expresia (8.78) în ecuaţiile (8.76) se obţine

( ) ( )

( ) ( ) . '''''

;'''''

'2222

'22

22

x

cll

cl

cc

x

lllc

cl

l

l

eZU

xshxchZU

xshZU

xchZU

xI

eUxshxchUxshZU

ZxchUxU

γ

γ

γγγγ

γγγγ

=+=+=

=+=+=

.

(8.79)

Considerând x’ = l rezultă

287

l

c

l ll eZU

IeUUγγ 2

121 ; == .

(8.80) Substituind x’ = l – x şi ţinând seama de relaţiile (8.80), ecuaţiile (8.79) se scriu după cum urmează:

( ) ( )

( ) ( ) , '''''

;''2222

2

x

cll

cl

cc

xl

l

ll

eZU

xshxchZU

xshZU

xchZU

xI

eeUxlUxUγ

γγ

γγγγ =+=+=

=−=−

(8.81)

respectiv,

( ) ( ) , 11xx ll eIxIeUxU

γγ −−== , (8.82)

Ceea ce înseamnă că tensiunea ( )xU şi curentul ( )xI conţin numai componente directe şi linia se numeşte adaptată. În consecinţă, pe o linie adaptată semnalele se transmit numai prin componentele lor directe. În circuitele de telecomunicaţii, prin adaptarea liniei se elimină reflexiile undelor incidente la cealaltă extremitate şi în acest fel pe cablu telefonic se evită efectul de ecou în transmiterea convorbirilor.

Linia fără pierderi

Pe o astfel de linie propagarea undelor se face fără pierderi de putere. Deci: Rl = 0, Gl = 0. Constanta de atenuare 0=lα şi constanta lineică de prpopagare

lγ este pur imaginară

lljβγ = , (8.83)

iar ecuaţiile (8.77) devin

sincos ;sincos 221221 l

ZU

jlIIlIZjlUU lc

llcl ββββ +=+= .

(8.84) În consecinţă, undele de tensiune şi de curent se propagă fără atenuare, iar viteza de

propagare LC

v 1=

βω

= , nu depinde de frecvenţă.

Aşadar pe o linie fără pierderi toate undele de tensiune se propagă cu aceeaşi viteză, deci nu există dispersiune.

Deoarece CLZ c = , nu depinde de frecvenţă, unda de curent este de aceeaşi formă ca

unda de tensiune. Expresiile tensiunii şi curentului pentru linia fără pierderi se deduc din relaţia (8.72):

( ) ( ) sincos ;sincos 1111 x

ZU

jxIxIxIZjxUxU lc

llcl ββββ −=−= .

(8.85)

Efectele Ferranti de tensiune şi de curent

Fie o linie electrică lungă fără pierderi ( 0=lα ) în gol la ieşire ( 02 =I ), sub tensiunea complexă 1U la intrare (fig. 8.8,a)

Pentru că 02 =I , prima ecuaţie (8.84) devine

, cos21 lUU lβ= (8.86)

din care rezultă

288

. cos

12 l

UU

lβ=

(8.87)

În cazul în care

( ) ,2

12 πβ += kll (8.88)

urmează 0cos =llβ şi =2U ∞. Luând în consideraţie relaţia (8.36) se poate deduce din relaţia (8.88) raportul dintre lungimea de undă λ şi lungimea liniei l, după cum urmează:

( ) .4

12 λ+= kl (8.89)

(a)

(b)

Fig. 8.8. a) Efectul Ferranti de tensiune; b) Efectul Ferranti de curent.

Aplicând o tensiune la bornele de intrare ale liniei electrice lungi fără pierderi, cu lungimea egală cu multiplu impar de sferturi de lungimi de undă λ şi având bornele deschise la ieşire (în gol), tensiunea de la ieşire rezultă infinită. Deoarece rezistenţa în realitate nu este nulă, tensiunea la ieşire 2U este mărginită. Apariţia de supratensiuni în aceste condiţii constituie efectul Ferranti de tensiune. Când linia fără pierderi are bornele de ieşire în scurtcircuit, =2U 0 (fig. 8.8,b) şi se aplică la intrare o tensiune 1U , a doua ecuaţie (8.84) devine

, cos21 lII lβ= (8.90)

din care rezultă

. cos

12 l

II

lβ=

(8.91)

Dacă este satisfăcută condiţia (8.89), curentul 2I este infinit şi din acelaşi motiv al rezistenţei nenule, este în realitate limitat. Apariţia de supracurenţi în aceste condiţii constituie efectul Ferranti de curent. La frecvenţa de 50 Hz căreia îi corespunde lungimea de undă km 6000=λ , efectele Ferranti apar pe o linie de lungimea l = 6000/4 = 1500 km (k = 0). În regim periodic, efectele Ferranti apar la armonici superioare şi pe linii de lungimi mai mici. Datorită apariţiei supratensiunilor şi supracurenţilor provocate în acest mod, se evită punerea sub tensiune a liniilor cu bornele de ieşire deschise sau scurtcircuitate.

Linia scurtă

Dacă este satisfăcută inegalitatea

,1<<llγ (8.92)

289

funcţiile lchlγ şi lsh

lγ se aproximează prin primii termeni ai dezvoltărilor lor în serie.

Considerând, într-o primă aproximaţie, 1≅lchlγ şi llsh

llγγ ≅ , ecuaţiile (8.77) devin

( )

( ) .

,

222

21

22221

UCjGlIlZU

II

ILjRlUlIZUU

lllc

lllc

ωγ

ωγ

++=+≅

++=+≅

.

(8.93)

Acestor ecuaţii le corespunde schema cu parametri concentraţi reprezentată în figura 8.2. Deoarece ll ll

βγ > , inegalitatea (8.92) scrisă în forma

,1<<llβ (8.94)

respectiv

,1<<λl (8.95)

este identică cu condiţia privind neglijarea efectului de propagare.

8.3. IMPEDANŢA DE INTRARE A LINIEI ELECTRICE LUNGI Dacă la bornele de ieşire se conectează impedanţa complexă de sarcină (fig. 8.9)

,2

22 I

UZ =

(8.96)

Fig. 8.9. Definirea impedanţei complexe de intrare.

impedanţa complexă echivalentă de la intrare rezultă din ecuaţiile (8.77)

.2

2

22

222

1

11

222lthZZlthZZ

Zlsh

ZUlchI

lshIZlchIZI

UZ

lc

lcc

lc

l

lcl

IZUe γ+

γ+=

γ+γ

γ+γ==

=

(8.97)

La o linie fără pierderi, 0ZZ c = , λπ

βγ2jj ll

== şi impedanţa 1eZ are valoarea

.20

0201 ltgZjZ

ltgjZZZZ

l

le β

β++

=

(8.98)

Dacă impedanţa de sarcină este o bobină, LjZ ω=2 şi ( )4

12 λ+= kl , se obţine

,120

1e

e CjLjZ

Zωω

==

(8.99)

290

cu 20/ ZLCe = şi linia transformă inductivitatea L în capacitatea Ce (fig. 8.10,a). În cazul în

care impedanţa de sarcină este un condensator, CjZ ω/12 = şi ( )4

12 λ+= kl , se obţine

,201 ee LjCZjZ ωω == (8.100)

cu 20CZLe = şi linia transformă capacitatea C în inductivitatea Le (fig. 8.10,b).

(a)

(b)

Fig. 8.10. a) Transformarea inductivităţii L în capacitatea Ce; b) Transformarea capacităţii C în inductivitatea Le.

8.4. CALCULUL PUTERILOR TRANSMISE PE LINIILE ELECTRICE LUNGI Puterile complexe, primită de linie pe la bornele de intrare 1S şi transmisă receptorului pe la bornele de ieşire 2S se calculează cu următoarele formule:

, , *22222

*11111 IUjQPSIUjQPS =+==+= (8.101)

unde P1 şi P2 sunt puterile active şi Q1, Q2 puterile reactive corespunzătoare. Curenţii complecşi 1I şi 2I se deduc din ecuaţiile (8.73) şi, respectiv (8.77)

. , 212

111 lshZ

lchUUI

lshZ

UlchUI

lc

l

lc

l

γ

γ

γ

γ −=

−=

(8.102)

Este mai simplu să calculăm *1S şi *

2S . Pentru aceasta, se multiplică ambii membri ai

relaţiilor (8.102) cu *1U , respectiv *

2U şi se obţin relaţiile

.

,

2*21

*2

222*2

*2

1*11

*1

111*1

*1

lshZ

lchUUUUjQPIUS

lshZ

UUlchUUjQPIUS

lc

l

lc

l

γ

γ

γ

γ

−=−==

−=−==

(8.103)

Folosind notaţiile

, ; ;2

1

2

1 δττ σγσγ jjsl

jcl

eUU

UU

elshelch sc === (8.104)

unde

( )

( ) ,12cos2

2sin221 ;2cos2

21

;2cos21

2sin221 ;2cos2

21

s

c

−=−=

+=+=

llchllsh

arcthllch

llchllsh

arcthllch

ll

lllls

ll

llllc

βαβα

τβασ

βαβα

τβασ

(8.105)

291

relaţiile (8.103) devin

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+=−=

++−−−

llch

eUU

ellch

ZU

jQPS

ll

jjll

c

cscsc

βα

βα δϕτϕττ

2cos221

2cos221

1

221

11*1 ,

(8.106)

respectiv

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−=−=

−−−−

llch

ellcheUU

ZU

jQPS

ll

jll

j

c

csccs

βα

βα ϕττϕτδ

2cos221

2cos221

21

122

22*2 ,

(8.107)

Separând părţile reale şi imaginare, se obţin puterile active şi reactive corespunzătoare, după cum urmează:

Puterea activă la intrare P1

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

++−−−+=

llch

UU

llch

ZU

P

ll

cscscll

c βα

ϕτδϕττβα

2cos221

coscos2cos221

1

221

1 ,

(8.109)

Puterea reactivă la intrare Q1

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+++−−+−=

llch

UU

llch

ZU

Q

ll

cscscll

c βα

ϕτδϕττβα

2cos221

sinsin2cos221

1

221

1 ,

(8.110)

Puterea activă la ieşire P2

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−+−−−=

llch

llchUU

ZU

P

ll

cscllcs

c βα

ϕττβαϕτδ

2cos221

cos2cos221cos

2

122

2 ,

(8.111)

Puterea reactivă la ieşire Q2

( ) ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−+−−−−=

llch

llchUU

ZU

Q

ll

cscllcs

c βα

ϕττβαϕτδ

2cos221

sin2cos221sin

2

122

1 .

(8.112)

Exemplul 8.1: Linia electrică lungă reprezentată în figura 8.11 are lungimea 5,0=l m şi

impedanţa caracteristică Ω= 100cZ . Sarcina liniei are Ω100=sR şi 5=sC pF. Să se

292

calculeze impedanţa de intrare a liniei pentru frecvenţa 1000=f MHz ştiind că permitivitatea dielectricului este 9,4=ε r şi permeabilitatea magnetică relativă a mediului 1=µ r . Lungimea de undă pe linie este :

14,019,410

1039

80 =

⋅⋅

=µε

=λrrf

cm.

Constanta de fază rad 45,175,09,349,3414,028,62

=⋅=β⇒==λπ

=β lll .

Fig. 8.11. Linie electrică lungă cu sarcina RC paralel.

Impedanţa complexă de sarcină are valoarea:

292.91051001028.61

10011 129 j

jCRjR

CjR

CjR

Zss

s

ss

s

s

s −=⋅⋅⋅⋅⋅+

=+

=+

= −ωω

ω.

Impedanţa complexă, conform cu formula (8.97), are expresia: ( )

( ) j.-.jj

jjltgZjZltgZjZ

ZZlsc

lcsc 50775358

21,0292.9100212.0100292.91001 =

⋅−+⋅⋅+−

=β+β+

⋅= .

Exemplul 8.2: Să se determine lungimea unui tronson de linie cu impedanţa caracteristică Ω70=cZ având dielectricul cu permitivitatea 2=rε , terminat în scurtcircuit, astfel încât să

se obţină un circuit rezonant serie cu frecvenţa de rezonanţă 2,10 =f GHz. Dacă linia are o atenuare 3,0=lα dB/m să se determine parametrii schemei echivalente. (1 dB/m = 0,115 Np/m).

Linia cea mai scurtă terminată în scurtcircuit care se comportă ca un circuit rezonant serie

este linia de lungime 2λ .

0884,02102,12

10322 9

8

0

0 =⋅⋅⋅

⋅=

ε=

λ=

ffc

lr

m

Pentru o constantă lineică de atenuare 3,0=lα dB/m = 0,0345 Np/m, factorul de calitate

este

575.10290884.0*0345.0

14.30 ==απ

=ω

=lR

LQ

les

es .

Parametrii schemei echivalente sunt:

293

Ω=⋅⋅=α≈ .213500884.00345.070lZR lces , Ω=ω

=ω= 814.2191

00

eseses C

LQR .

Exemplul 8.3: Fie o linie electrică lungă trifazată confecţionată din conductoare din oţel-

aluminiu, utilizată pentru transportul energiei electromagnetice. Linia are următorii parametri lineici calculaţi la proiectare Rl = 0,085 Ω/km; Ll = 1,415.10-3 H/km; Gl = 3,97.10-8 S/km; şi Cl = 9,1.10-9 F/km. Linia electrică are o lungime de l = 850 km şi transmite o putere aparentă nominală S2 = 300 MVA cu 1cos 2 =ϕ la tensiunea nominală de linie U2l = 400 kV şi frecvenţă nominală f = 50 Hz. Se cer:

1. Să se calculeze parametrii lineici secundari (impedanţa complexă caracteristică cZ , constanta lineică de propagare

lγ , constanta lineică de atenuare lα şi constanta

lineică de fază lβ ); 2. Să se determine tensiunile şi curenţii de la bornele de început ale liniei pentru

funcţionarea în gol şi apoi în scurtcircuit la bornele terminale ale liniei cu tensiunea nominală, respectiv curentul nominal;

3. Să se calculeze regimul de funcţionare la bornele primare (de început) ale liniei, dacă regimul de la bornele secundare (de sfârşit) este cel nominal.

1. a) Impedanţa complexă caracteristică:

Impedanţa complexă lineică longitudinală

jLjRZ lLl444.0085.0 +=+= ω ,

Admitanţa complexă lineică transversală

jCjGY lll88 1074.2851097.3 −− ⋅+⋅=+= ω ,

.5

734.397

8088.342.3961074.2851097.3

444.0085.0

c

88

⎩⎨⎧

°−==

⇒

⇒−=⋅+⋅

+== −−

ϕΩc

l

lc

Z

jj

jYZ

Z

b) Constanta lineică de propagare

( )( )

.rad/km 001131.0

dB/km 10 Np/km 0001152.0

001131.00001152.01074.2851097.3444.0085.0

l

3

88

⎩⎨⎧

===

⇒

⇒+=⋅+⋅+==

−

−−

βα

γ

l

llcjjjYZ

2) Tensiunea şi curentul de la bornele primare cu bornele secundare în gol:

( )( )

,8

kV 119.133

57.188275.1320.850*001131.00001152.03

400

10

10

210

⎩⎨⎧

°≅=

⇒

⇒+=+==

u

l

U

jchlchUU

α

γ

294

respectiv

( )( )( )

.91

A 415.479415.479386.9

0.1000*0.850*001131.00001152.08088.342.3963

400

10

10

210

⎩⎨⎧

°≅=

⇒+−=

=+−

==

i

lc

Ij

shj

lshZU

I

α

γ

Valoarea nominală a curentului de la bornele de ieşire este:

A. 012.4333 2

222 ===

US

II

Tensiunea şi curentul de la bornele primare cu bornele secundare în scurcircuit:

( ) ( )( )

,81

kV 224.14250435.1400499.22

0.1000/0.850*001131.00001152.0012.433*8088.342.396

1

1

21

⎩⎨⎧

°≅=

⇒+=

=+−==

scu

sc

lcsc

Uj

shjlshIZU

α

γ

respectiv

( )( )

.8

A 4738.2518225.3405.229

0.850*001131.00001152.0*012.433

1

1

21

⎩⎨⎧

°≅=

⇒+=

=+==

scu

sc

lsc

Ij

chlchII

α

γ

3) Tensiunea şi curentul de la bornele primare ale liniei (în regim nominal) rezultă prin însumarea componentelor de la funcţionarea în gol şi în scurtcircuit, calculate anterior:

,'4745

kV 01876.2220764.1598774.154

1

11101

⎩⎨⎧

°==

⇒+=+=u

scU

jUUUα

respectiv

.65

A 34.5672377.5146545.239

1

11101

⎩⎨⎧

°==

⇒+=+=i

scI

jIIIα

Defazajul curentului 1I faţă de tensiunea 1U are valoarea

°−=−=−= 2.1965789.45111 iu ααϕ .

Puterea activă primită de linie este

MW 3464.353cos3 1111 == ϕIUP

şi deci randamentul liniei are valoarea

8487.01

2 ==PP

η .

Deoarece defazajul 1ϕ este negativ, linia generează putere reactivă la bornele primare:

295

Mvar. 6281.133sin3 1111 =−= ϕIUQ

Exemplul 8.4: O linie electrică trifazată are următorii parametri lineici secundari:

kmgrade 102.61 ,

kmNp 10107.0 3

l3 −− ⋅=⋅= βα l .

1. Pentru ce lungime minimă xmin a liniei tensiunea U20 de la bornele secundare după deconectarea sarcinii (I2 = 0) este egală cu tensiunea de la bornele primare ale liniei?

2. Să se stabilească relaţia care există între curentul de scurcircuit trifazat de la bornele secundare şi curentul de la bornele primare ale liniei.

1. Relaţia dintre tensiunile de la capetele liniei cu distanţa x (măsurată de la bornele secundare către bornele primare, de regulă notată cu x’), pentru funcţionarea în gol are expresia:

xchUUlγ201 = .

Cele două tensiuni U20 şi U1 vor fi egale dacă:

( ) 1=+= xjxchxch lllβαγ .

Dacă notăm cu:

( ) ( )xxf 31 104.122cos −⋅= şi ( ) ( )xchxf 3

2 10214.00.2 −⋅−= ,

soluţionarea ecuaţie de mai sus se poate face grafic conform cu figura 8.11. Din figura 8.11 se obţine

km 2940102.61

1801802

km 1356.2674 3min =⋅°

=°

=<= −l

xβ

λ .

296

Fig. 8.11. Calculul grafic al soluţiei minime.

2) Curenţii de la capetele liniei în scurcircuit fiind în relaţia

min21 xchIIlsc γ= ,

vor avea aceleaşi valori efective, însă vor fi defazaţi cu unghiul

( ) ( )( ) °=⋅== 828.4)(arg minminmin xthxtgarctgxchument lllαβγϕ .

Exemplul 8.5: Să se calculeze impedanţa complexă Z2 a fazei receptorului echilibrat, conectat în stea, ce primeşte putere activă maximă de la o linie electrică trifazată simetrică alimentată la tensiune constantă. Sunt daţi parametrii secundari ai liniei: Zc = 298 Ω, cϕ = -50 şi jljll lll

96.0096.0 +=+= βαγ . Să se determine tensiunile, curenţii şi puterile la bornele liniei, precum şi randamentul. Se cunoaşte tensiunea la bornele primare U1l = kV 2203 . Conform teoremei transferului maxim de putere activă, receptorul primeşte putere activă maximă dacă impedanţa complexă de fază a sa Z2 este egală cu impedanţa complex-conjugată a fazei dipolului generator echivalent care îl alimentează. În cazul liniei lungi date, aceasta este egală cu impedanţa complex-conjugată de scurtcircuit la bornele primare:

( )( )

.6738.422

0262.4058592.12096.0096.096.0096.0)9592.258671.296(

73

*

*

*

**

0

*

11

11

0*2

*2*

22

1

1

°−

=

=

⋅=

=−=++

+=

==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=−==

j

l

lc

Ul

cl

lcl

Usc

e

jjchjshj

lch

lshZ

lshZU

lchI

lshIZlchU

IU

ZZγ

γ

γγ

γγ

Semnul minus apare în relaţia de mai sus, deoarece la bornele de ieşire ale linie se consideră regula de asociere a sensurilor de referinţă de la generatoare pentru sensurile tensiunilor şi curenţilor şi definiţia impedantei complexe de intrare (ieşire) se face cu regula de la receptoare.

Tensiunea complexa U2 şi curentul complex I2, de la bornele secundare, au expresiile

,21.81

kV 5324.6618906.6535566.101

3 2

2

2

12 ⎪⎩

⎪⎨⎧

°−=

=⇒−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=u

f

lc

l

f

Uj

lshZZ

lch

UU

αγγ

respectiv,

.788.7

A 1133.15659833.2116896.1550

2

2

2

22

⎩⎨⎧

°−==

⇒−==u

f Ij

ZU

Iα

Curentul complex primar I1 are valoarea:

297

.68.6

A 9175.27317921.3173309.2713

2

1221

⎩⎨⎧

°==

⇒+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ul

cl

Ijlsh

ZZ

lchIIα

γγ

Puterile active P1 şi P2 de la bornele primare respectiv, secundare au valorile

MW 1715.8883Re MW; 8248.17903Re *222

*111 ==== IUPIUP ff ,

iar randamentul este:

5.01

2 ==PP

η

ceea ce confirmă teorema transferului maxim de putere activă.

BIBLIOGRAFIE 1. M. Preda, P. Cristea, Bazele electrotehnicii, Vol.II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980.

2. C. I. Mocanu, Teoria circuitelor electrice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 3. M. Preda şi alţii, Bazele electrotehnicii - Culegere de probleme (reeditată şi completată), Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 4. Lucia Dumitriu, M. Iordache, Teoria modernă a circuitelor electrice – Fundamentare teoretică, aplicaţii, algoritmi şi programe de calcul, Vol I., Editura All Educational, Bucureşti, 1998. 5. 4. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Teoria modernă a circuitelor electrice – Fundamentare teoretică, aplicaţii, algoritmi şi programe de calcul, Vol II., Editura All Educational, Bucureşti, 2000. 6. M. Iordache, Culegere de probleme de electrotehnică, electronică şi maşini electrice, Litografia Universităţii "Politehnica" Bucureşti, 1984. 7. M. Iordache, Lucia Dumitriu, Culegere de probleme de electrotehnică - Circuite neliniare - Probleme, algoritmi şi programe de calcul, Litografia Universităţii "Politehnica" Bucureşti, 1996. 8. L. O. Chua, and P. M. Lin, Computer-aided of electronic circuit: Algorithms and computational techniques, Englewood Cliffs, NJ: Prentince-Hall, 1975.

9. R. Răduleţ, Bazele Electrotehnicii - Probleme II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975. 10. C. Şora, Cuadripolul electric, Editura Tehnică, Bucureşti, 1964. 11. N. Balabanian, Th. Bickart, Teoria moderna a circuitelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1974. 12. A. D. Calahan, Computer-aided network design, McGraw-Hill Book Company, New York, 1972.

13. A. E. Schwarz, Computer-aided design of microelectronic circuits and systems, Academic Press, Londra, 1987. 14. S. Franco, Electric Circuit Fundamentals, Sauders College Publishing, Harcout Brace College Publishers, N.Y., London, 1995.

15. P. Tuinega, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSPICE, Prentice-Hall, N.Y., 1988.

16. T. Marian, SPICE, Editura Teora, Bucureşti, 1996. 17. M. Badea, Analiza asistată de calculator a circuitelor electrice, Editura InfoMed, Craiova, 1997.