Pentru studiul convergenţei absolute a seriilor de numere complexe se utilizează criteriile de convergenţă pentru serii cu termenii pozitivi. Pentru studiul naturii seriilor de numere complexe pot fi utilizate criteriile de convergenţă pentru seriile de numere reale. 4. Funcţii complexe de o variabilă reală. Limita într-un punct.

Continuitate. Derivata şi diferenţiala. Integrala Riemann. Primitivă.

Fie ⊂E R . Definiţia 1. Numim funcţie complexă de variabilă reală , aplicaţia : (1) f : ⊂E R→ C sau (2) f(t) = x(t) + i y(t) , ∈t R unde x(t)= Re f(t) şi y(t) = Im f(t) . Rezultă că o funcţie complexă de variabilă reală este determinată de o pereche ordonată x = x(t) şi y = y(t), ∈t E de funcţii reale de variabilă reală. Definiţia 2. Spunem că un număr complex ∈l C este limita funcţiei f(t) în punctul ∈0t E' dacă pentru orice 0>ε există un număr 0)( >εη astfel încât oricare ar fi ∈t E , 0tt ≠ , dacă )(0 εη<− tt atunci ε<− ltf )( . Se scrie

ltftt

=→

)(lim0

Are loc: Propoziţia 1. ltxltf

ttttRe)(lim)(lim

00

=⇔=→→

şi ltytt

Im)(lim0

=→

.

Definiţia 3. Spunem că funcţia complexă f(t) este continuă în punctul ⊂∈ Et0 R , dacă pentru orice 0>ε există 0)( >εη astfel încât pentru

Ettt ∈<− ),(0 εη să avem : ε<− )()( 0tftf

Dacă /0 EEt ∩∈ , atunci funcţia complexă f(t) este continuă în punctul

)()(lim 000

tftfttt

=⇔→

.

Propoziţia 2. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca funcţia complexă f(t) = x(t) + i y(t) să fie continuă în punctul ⊂∈ Et0 R este ca funcţiile reale x(t)şi y(t) să fie continue în 0tt

.

Fie CREf →⊂: şi /0 EEt ∩∈

Definiţia 4. Spunem că funcţia complexă f este derivabilă în punctul

0t dacă există şi este finită limita :

(3) 0

0 )()(lim

0 tt

tftftt −

−

→ .

1

Onl

y fo

r stu

dent

s

Valoarea acestei limite se notează )( 0/ tf sau

dt

tdf )( 0 şi se numeşte

derivata funcţiei f în punctul Et ∈0 . Propoziţia 3. Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie complexă f să fie derivabilă într-un punct este ca funcţiile reale x(t) şi y(t) să fie derivabile în acel punct. Se poate scrie :

}{\,)()()()()()(

00

0

0

0

0

0 tEttt

tytyi

tt

txtx

tt

tftf∈

−

−+

−

−=

−

− , de unde

trecând la limită când 0tt → , obţinem egalitatea : (4) )()()( 00

/0

/ tyitxtf ′+= . Menţionăm că regulile de derivare pentru funcţiile reale se păstrează şi în cazul funcţiilor complexe de variabilă reală. Fie f o funcţie complexă derivabilă pe ⊂E R . Prin diferenţiala lui f în punctul Et ∈0 vom înţelege numărul complex: (5) 00

/0 ,)()( ttdtdttftdf −=⋅= .

Explicitând, relaţia (5) poate fi scrisă şi astfel : (6) )()()( tidytdxtdf += , unde dttxtdx )()( /= şi dttytdy )()( /= Regulile de diferenţiere cunoscute pentru sumă, produs şi cât se păstrează şi pentru funcţiile complexe. Definiţia integralei Riemann pentru funcţiile complexe de variabilă reală este analoagă cu cea dată pentru funcţiile reale. Fie funcţia complexă ⊂∈ ],[),( battf R. Să considerăm o diviziune d a lui ],[ ba prin punctele: btttttatd nkk =<<<<<<<= − ......: 1210 . Notăm ],[ 1 kkk tt −=δ , unde },...,3,2,1{ nk ∈ . Prin norma diviziunii d, notată )(dγ , se înţelege numărul real : (7) )(max)( 1

1−

≤≤−= kk

nkttdγ .

Funcţiei complexe f şi diviziunii d a compactului [a ,b] li se asociază numărul complex dτ , numit sumă integrală Riemann, având expresia :

(8) ∑=

−−=n

kkkkd ttff

11 ))(()( ξτ unde punctele ],[ 1 kkk tt −∈ξ

},...,3,2,1{ nk ∈ se numesc puncte intermediare ale diviziunii d a lui [a, b]. Definiţia 5. Funcţia complexă f(t), ],[ bat ∈ este integrabilă pe [a, b], dacă există un număr complex I cu proprietatea următoare : pentru orice

2

Onl

y fo

r stu

dent

s

0>ε există un număr 0)( >εη , astfel încât, oricare ar fi diviziunea d cu )()( εηυ <d şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare kξ , să avem :

(9) ετ <− )( fI d .

Numărul I se notează ∫b

a

dttf )( şi se numeşte integrala funcţiei f(t) pe

intervalul [a, b]. În cazul când integrala există vom scrie :

(10) )(lim)(0)(

fdttfI dd

b

a

τυ →

== ∫

Propoziţia 4. Funcţia complexă f(t) este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă funcţiile reale x(t) şi y(t) sunt integrabile pe [a, b].Aceasta rezultă imediat din inegalităţile :

))((Im))((Re)())((Im

))((RetyItxIfI

tyI

txIddd

d

dτττ

τ

τ−+−≤−≤

−

− , deoarece

))(())(()( tyitxf ddd τττ += . Din egalitatea de mai sus, găsim formula :

(11) ∫ ∫∫ +=b

a

b

a

b

a

dttyidttxdttf )()()( .

Proprietăţile integralei Riemann au loc şi pentru funcţiile complexe. Definiţia 6. Spunem că funcţia complexă F(t), t∈[a, b], este primitiva lui f(t), t∈[a, b], dacă F(t) este derivabilă pe [a, b] şi /F (t)=f(t) , t∈[a, b]. Dacă o funcţie f are o primitivă F, atunci are o infinitate de primitive, anume mulţimea: F(t)+C, t∈ [a, b], C∈C. Această mulţime a primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f care se notează : (9) CtFdttf +=∫ )()( .

În particular, dacă funcţia f este continuă pe [a, b], atunci funcţia

complexă ∫t

a

df ττ )( este primitivă pentru funcţia f pe [a, b] şi /F (t) = f(t),

t∈[a, b]. Ca şi în cazul funcţiilor reale se arată că :

(10) ba

b

a

tFaFbFdttf∫ =−= )()()()( ,

care constituie formula Leibniz-Newton pentru integrala definită a unei funcţii complexe.

5. Funcţii monogene. Derivata unei funcţii complexe. Condiţiile de

monogeneitate a lui Cauchy-Riemann. Proprietăţi.

3

Onl

y fo

r stu

dent

s

Definiţia 1. Spunem că funcţia complexă definită în domeniul D⊂ C este derivabilă în punctul Dz ∈0 , dacă există şi este unică:

(1) 0

0 )()(lim

0 zz

zfzfzz −

−

→.

Valoarea acestei limite se notează )( 0/ zf şi se numeşte derivata

funcţiei f(z) în punctul Dz ∈0 . O funcţie derivabilă într-un punct se numeşte monogenă în acel punct. O funcţie monogenă în fiecare punct al domeniului D se numeşte olomorfă pe domeniul D sau monogenă (monos = unul, genos = a da naştere) pe domeniul D. Propoziţia 1. (Condiţiile de monogeneitate a lui Cauchy-Riemann). Pentru ca funcţia complexă f(z) = u(x,y) + iv(x,y) definită în domeniul D să fie monogenă în punctul Diyxz ∈+= 000 , este necesar ca funcţiile u şi v să admită derivate parţiale de ordinul întâi în punctul ),( 00 yx şi să satisfacă relaţiile:

(2) ),(),(),,(),( 00000000 yxx

vyx

y

uyx

y

vyx

x

u

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

numite condiţiile de monogeneitate ale lui Cauchy-Riemann. Demonstraţie. Pentru 0, zzDiyxz ≠∈+= , putem scrie:

(3) )()(

)],(),([)],(),([)()(

00

0000

0

0

yyixx

yxvyxviyxuyxu

zz

zfzf

−+−

−+−=

−

−

y z z

0y 0z z 0 0x x

Să presupunem că 0zz → pe un drum paralel cu Ox: 0xx → şi 0yy =

Din (3) obţinem:

(4)

−

−+

−

−=

→0

000

0

0000

/ ),(),(),(),(lim)(

0 xx

yxvyxvi

xx

yxuyxuzf

xx.

Dar existenţa derivatei f'( )0z implică existenţa limitelor:

4

Onl

y fo

r stu

dent

s

(5) ),(),(),(

lim 000

000

0

yxx

u

xx

yxuyxuxx ∂

∂=

−

−

→

şi

(6) ),(),(),(

lim 000

000

0

yxx

v

xx

yxvyxvxx ∂

∂=

−

−

→.

Din relaţiile (4), (5) şi (6), obţinem:

(7) ),(),()( 00000/ yx

x

viyx

x

uzf

∂

∂+

∂

∂= .

Presupunând că 0zz → , pe un drum paralel cu axa imaginară Oy, atunci

0xx = şi 0

yy → .

Din (3) obţinem:

(8)

−

−+

−

−=

→0

000

0

0000

/),(),(),(),(1

lim)(0 yy

yxvyxv

yy

yxuyxu

izf

yy

care implică existenţa limitelor:

(9) ),(),(),(

lim 000

000

0

yxy

u

yy

yxuyxu

yy ∂

∂=

−

−

→

şi

(10) ),(),(),(

lim 000

000

0

yxy

v

yy

yxvyxv

yy ∂

∂=

−

−

→.

Din (8), (9) şi (10) găsim:

(11) ),(),(1

)( 00000/ yx

y

vyx

y

u

izf

∂

∂+

∂

∂⋅= .

Comparând relaţiile(7) şi (11) rezultă necesitatea condiţiilor (2) şi astfel propoziţia este demonstrată. Propoziţia 2. Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) olomorfă în domeniul D (se notează ∈f H(D). Dacă u şi v admit derivate parţiale de ordinul doi continue în D atunci funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt armonice, adică: 0,0 =∆=∆ vu ,unde

2

2

2

2

yx ∂

∂+

∂

∂=∆ , reprezintă operatorul lui Laplace.

6. Determinarea unei funcţii olomorfe pe un domeniu când se

cunoaşte partea reală sau partea imaginară. Exemplu.

Să presupunem că f(z)=u(x,y)+iv(x,y) este o funcţie monogenă pe un domeniu D. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) verifică condiţiile lui Cauchy-Riemann:

5

Onl

y fo

r stu

dent

s

y

v

x

u

∂

∂=

∂

∂ şi x

v

y

u

∂

∂−=

∂

∂ .

Să presupunem că se cunoaşte funcţia u(x,y). Funcţia u(x,y) fiind partea reală a funcţiei monogene f(z) , este o funcţie armonică în D. Cunoscând funcţia u(x,y), vom calcula derivatele funcţiei v(x,y):

y

u

x

v

∂

∂−=

∂

∂ , x

u

y

v

∂

∂=

∂

∂

şi diferenţiala sa:

dyx

udx

y

udv

∂

∂+

∂

∂−= .

În partea dreaptă a egalităţii avem o diferenţială totală exactă, deoarece

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂

y

u

yx

u

x u fiind funcţie armonică , 0

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

u

x

u . Funcţia

v(x,y) se poate exprima printr-o integrală curbilinie independentă de drum,

(1) dyx

udx

y

uyxv

AM∫ ∂

∂+

∂

∂−=),(

),( 00 yxA fiind un punct fix, iar M(x,y) un punct arbitrar din D. Drumul de la A la M se parcurge de obicei pe două segmente de dreaptă paralele cu axele de coordonate (figura), dacă acestea sunt cuprinse în domeniul D. y ),( 0 yxC ),( yxM

D

),( 00 yxA ),( 0yxB

0 x Calculând integrala pe drumul ABM, se obţine:

∫ ∫ ∂

∂+

∂

∂−=

x

x

y

y

dttxx

udtyt

y

uyxv

0 0

),(),(),( 0

iar dacă se alege drumul ACM,

6

Onl

y fo

r stu

dent

s

∫ ∫ ∂

∂−

∂

∂=

y

y

x

x

dtyty

udttx

x

uyxv

0 0

),(),(),( 0 .

Integrala (1) determină funcţia v(x,y) în afara unei constante aditive, deci funcţia f(z)=u(x,y)+iv(x,y) va fi determinată în afara unei constante aditive . Se observă uşor că f(z) astfel determinată este monogenă. Într-adevăr, deoarece sub semnul de integrală este o diferenţială exactă, avem:

dyx

udx

y

udv

∂

∂+

∂

∂−= , de unde rezultă

y

u

x

v

∂

∂−=

∂

∂ ,x

u

y

v

∂

∂=

∂

∂ .

În mod analog se arată că, dată fiind o funcţie v(x,y) armonică în D, există o funcţie f(z)=u(x,y)+iv(x,y) monogenă pe D. Funcţia u(x,y) este determinată în afara unei constante aditive prin integrala curbilinie independentă de drum:

(2) dyx

vdx

y

vyxu

AM∫ ∂

∂−

∂

∂=),(

şi cu aceasta f(z) este determinată în afara unei constante aditive . Exemplu . Se dă yeyzv x sin),( = . Să se determine funcţia monogenă f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ştiind că f(0)=1. Se verifică uşor că v(x,y) este armonică. Din condiţiile de monogeneitate obţinem:

yex

v

y

uye

y

v

x

u xx sin,cos −=∂

∂−=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ .

Deci: dyyedxyedu xx ⋅−⋅= sincos şi dyyedxyeyxu x

AM

x ⋅−⋅= ∫ sincos),( .

Integrând pe drumul ABM din figura de mai sus, obţinem:

∫ ∫ −+−=⋅−⋅=x

x

y

y

xxxoxxx yeyeyeyedyyedxyeyxu0 0

0000 coscoscoscossincos),(

şi deci: Cyeyxu x += cos),( C - constantă arbitrară

)cos( 00 yeC x−= .

Rezultă că: yieCyezf xx sincos)( ++= . Din condiţia f(0)=1 găsim C=0. Obţinem funcţia monogenă: yieyezf xx sincos)( +=

7

Onl

y fo

r stu

dent

s

sau iyxiyxx eeeyiyezf +=⋅=+= )sin(cos)( şi deci: zezf =)( .

7. Interpretarea geometrică a derivatei. Transformarea conformă.

8

Onl

y fo

r stu

dent

s