2015_Matematica_Concursul 'Louis Funar' (Craiova)_Clasa a VII-a_Subiecte+Barem
3
MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN DOLJ Str. Ion Mariorescu, nr.6, 200760 Craiova, Telefon 0251/420961(421939), 0351/407395(404397) Fax 0251/421824, 0351/407396 Email [email protected] Web www.isj.dj.edu.ro NOTA : TIMP DE LUCRU 2 ORE 10 PUNCTE DIN OFICIU TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII CONCURSUL DE MATEMATICĂ ”LOUIS FUNAR” 25 octombrie 2014 Clasa a-VII-a Subiectul I (fiecare problemă este notată cu 5 puncte) 1. Fie x şi y numere întregi. Numărul soluţiilor ecuaţiei xy + 3x - 5y = 16 este: a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 2. În paralelogramul ABCD se consideră M şi N mijloacele laturilor opuse [AD] şi [BC]. Dacă considerăm AC BM E şi AC DN F atunci: a. AE AC 2 3 b.AC= 2 EF c. AC = 3 EF d. EC EF 3 1 3. Dacă a , b, c, d sunt numere naturale nenule şi abc + 2∙abd + 3∙acd + 4∙bcd = 3∙abcd atunci valoarea expresiei a a b b c c d d 8056 6042 4018 2014 este: a. 6046 b. 6064 c. 6048 d. 6050 e. alt răspuns 4. Într-un triunghi ΔABC, măsura unghiului B este media aritmetică a măsurilor unghiurilor A şi C. Dacă înălţimea AE, E ) ( BC şi bisectoarea B se intersectează în M, atunci are loc relaţia: a. 3∙AE = 2∙BM b. 2∙AE = 3∙BM c. AE = 2∙BM d. 3∙AE = BM 5. În triunghiul ΔABC oarecare, [BD] este înălțimea corespunzătoare laturii [AC] și O mijlocul lui [BD]. Fie {E}= BC AO și DF AE F AE , , atunci: a. BEDF dreptunghi b. BEDF paralelogram c. BEDF romb d. BEDF trapez 6. În ”Țara Numerelor Naturale” numărul 2010 este Împărat. La masă servesc doar curtenii care sunt numere naturale de forma xyz (unde x, y, z sunt cifre în baza 10 și 0 x ) ce îndeplinesc condiția ) ( , ) ( , ) ( , x z y y x z z y x este număr natural. Numărul curtenilor care-l servesc la masă pe 2010 este: a. 14 b. 20 c. 50 d.56 Subiectul II 1. (15 puncte) Fie n a a a n N n ,...., , , 1 , 2 1 numere raționale pozitive cu 2014 .... 2 1 n a a a . Dacă n x x x ,...., , 2 1 sunt numere raționale pozitive cu proprietatea că 2013 1 ... 1 1 2 2 1 1 n n x a x a x a , calculați suma 1 ... 1 1 2 2 2 1 1 1 n x n x x a x x a x x a 2. (20 puncte) Fie numerele raţionale 100 2 1 ,...., , a a a care satisfac inegalităţile: , 0 2 3 3 2 1 a a a , 0 2 3 4 3 2 a a a ..., . 0 2 3 2 1 100 a a a Demonstraţi că: 100 2 1 .... a a a .
Transcript of 2015_Matematica_Concursul 'Louis Funar' (Craiova)_Clasa a VII-a_Subiecte+Barem
MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN DOLJ
Str. Ion Mariorescu, nr.6, 200760 Craiova, Telefon 0251/420961(421939), 0351/407395(404397) Fax 0251/421824, 0351/407396 Email [email protected] Web www.isj.dj.edu.ro
NOTA : TIMP DE LUCRU 2 ORE
10 PUNCTE DIN OFICIU
TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII
CONCURSUL DE MATEMATICĂ ”LOUIS FUNAR” 25 octombrie 2014
Clasa a-VII-a Subiectul I (fiecare problemă este notată cu 5 puncte)
1. Fie x şi y numere întregi. Numărul soluţiilor ecuaţiei xy + 3x - 5y = 16 este:
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 2. În paralelogramul ABCD se consideră M şi N mijloacele laturilor opuse [AD] şi [BC]. Dacă
considerăm ACBME şi ACDNF atunci:
a. AEAC2
3 b.AC= 2 EF c. AC = 3 EF d. ECEF
3
1
3. Dacă a , b, c, d sunt numere naturale nenule şi abc + 2∙abd + 3∙acd + 4∙bcd = 3∙abcd atunci
valoarea expresiei a
a
b
b
c
c
d
d 8056604240182014
este:
a. 6046 b. 6064 c. 6048 d. 6050 e. alt răspuns 4. Într-un triunghi ΔABC, măsura unghiului B este media aritmetică a măsurilor unghiurilor A
şi C. Dacă înălţimea AE, E )(BC şi bisectoarea B se intersectează în M, atunci are loc
relaţia: a. 3∙AE = 2∙BM b. 2∙AE = 3∙BM c. AE = 2∙BM d. 3∙AE = BM
5. În triunghiul ΔABC oarecare, [BD] este înălțimea corespunzătoare laturii [AC] și O mijlocul lui
[BD]. Fie {E}= BCAO și DF AEFAE , , atunci:
a. BEDF dreptunghi b. BEDF paralelogram c. BEDF romb d. BEDF trapez 6. În ”Țara Numerelor Naturale” numărul 2010 este Împărat. La masă servesc doar curtenii care
sunt numere naturale de forma xyz (unde x, y, z sunt cifre în baza 10 și 0x ) ce îndeplinesc
condiția )(,)(,)(, xzyyxzzyx este număr natural. Numărul curtenilor care-l servesc la
masă pe 2010 este: a. 14 b. 20 c. 50 d.56
Subiectul II
1. (15 puncte)
Fie naaanNn ,....,,,1, 21 numere raționale pozitive cu 2014....21 naaa . Dacă
nxxx ,....,, 21 sunt numere raționale pozitive cu proprietatea că
20131
...11 2
2
1
1
n
n
x
a
x
a
x
a, calculați suma
1...
11 2
22
1
11
n
xn
x
xa
x
xa
x
xa
2. (20 puncte)
Fie numerele raţionale 10021 ,....,, aaa care satisfac inegalităţile: ,023 321 aaa
,023 432 aaa ..., .023 21100 aaa Demonstraţi că: 10021 .... aaa .
MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN DOLJ
Str. Ion Mariorescu, nr.6, 200760 Craiova, Telefon 0251/420961(421939), 0351/407395(404397) Fax 0251/421824, 0351/407396 Email [email protected] Web www.isj.dj.edu.ro
NOTA : TIMP DE LUCRU 2 ORE
10 PUNCTE DIN OFICIU
TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII
3. (25 puncte) Fie triunghiul ABC cu m( A) = 900 şi AB = AC şi M un punct în interiorul său astfel încât m(MBA) = 150 şi m (MCA) = 300. a. Aflaţi măsura unghiului MAC
b. Dacă AQ MB, ,BMQ aflaţi valoarea raportului BM
AQ
GAZETA MATEMATICĂ
CONCURSUL DE MATEMATICĂ “ LOUIS FUNAR “ 25 oct 2014
Nota : orice altă soluție corectă este notată cu punctajul maxim
Soluții și barem de corectare Clasa a-VII-a 10 puncte din oficiu Subiectul I
1 2 3 4 5 6
c c a b a,b,c,d d
Subiectul II
1. 11
k
kk
k
kk
x
aa
x
xa .................................................. 5p
1...
11....
1...
11 2
2
1
121
2
22
1
11
n
n
n
n
xn
x
a
x
a
x
aaaa
x
xa
x
xa
x
xa....8p
Finalizarea .................................................. 2p 2.
Fie S = 10021 .... aaa ...............................................................2p
Adunând fiecare membrii din partea stângă a inegalităţii obţinem S – 3S + 2S = 0 ....2p Deoarece S = 0, avem că fiecare membru stâng al inegalităţi este 0 .............................2p
)(2023 3221321 aaaaaaa ...................................2p
Analog )(2),.....,(2 2111004332 aaaaaaaa ...................................2p
Prin înmulţirea acestor egalităţi obţinem
))...()((2))...()(( 11003221
100
11003221 aaaaaaaaaaaa .........................2p
Deci, 0))...()(( 11003221 aaaaaa ...................................2p
Presupunem că 2121 0 aaaa ...................................2p
Dacă 00 3221 aaaa ...................................2p
Finalizarea ....................................2p
3. a. m 00 3015 MBCmMBA ....................................2p
m 00 1530 MCBmMCA ....................................2p
Fie CP bisectoarea BMPACM , ....................................2p
0120 CPBmPBCPisoscelCPB ....................................2p
0120)( APBmCPAmLLLAPBAPC ...............................2p
(1) 045CAPm ....................................2p
isoscel APMPMAP )(ULUCPMCPA .......................2p
)2(30120 00 APMmisoscel, APM PAMmPMAm ...4p
075MACm ....................................2p
b. 2
300 AMAQAMQmdAQM , rept ....................................2p
MBAMisoscelAMB ....................................1p
2
1
MB
AQ ....................................2p
