Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a XI-a

1

Concursul National “EUCLID” 17 11 2012

Clasa a XI -a Programa I NOTĂ. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p ) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect)

Se consideră matricele

0 11 0

A

,

1001

2I şi

0000

2O .

(4p) 1) Suma elementelor matricei 2A este a) 2 b) 7 c) 2 d) 7

(4p) 2) Cel mai mic număr natural nenul n , pentru care 2IAn , este a) 2 b) 5 c) 4 d) 3

(4p) 3) Matricea 2 32I A A A este

a) 2O b) 2I c) A d) 2A

(4p) 4) Numărul de inversiuni ale permutării 1 2 3 44 3 2 1

este

a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 (4p)

5) Cel mai mic număr natural nenul n pentru care 1 2 3 4 1 2 3 44 3 1 2 1 2 3 4

n

este

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 SUBIECTUL II (40p)

(Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul corespunzător)

(4p) 1) Cât este suma matricelor 1 2 3 43 4 1 2

?

(4p) 2) Cât este produsul matricelor 1 1 1 23 3 1 2

?

(4p) 3) Să se calculeze inversa permutării 1 2 3 42 1 4 3

.

(4p) 4) Să se calculeze produsul permutărilor 1 2 3 4 1 2 3 42 1 4 3 2 3 4 1

.

(4p) 5) Ce monotonie are şirul 13n na , strict crescător sau strict descrescător?

(4p) 6) Să se scrie un şir Nnna strict crescător şi marginit.

(4p) 7) Să se scrie un şir Nnna strict descrescător şi marginit.

(4p) 8) Să se scrie un şir Nnnb care are o infinitate de termeni strict mai mici decât 0 şi o

infinitate de termeni strict mai mari decât 0.

(4p) 9) Să se dea un exemplu de şir mărginit şi nemonoton.

(4p) 10) Să se dea un exemplu de şir nemărginit superior.

Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a XI-a

2

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se notează cu 3S mulţimea permutărilor cu 3 elemente. Pentru o permutare 3S , notăm cu

m numărul de inversiuni ale permutării . Se mai consideră permutările 3, ,x y z S ,

1 2 31 3 2

x

, 1 2 32 1 3

y

, 1 2 33 2 1

z

. Spunem că permutările 3,u v S comută

dacă u v v u şi nu comută dacă u v v u .

(4p) a) Să se calculeze permutările yx şi xy .

(4p) b) Să se arate că oricare două dintre permutările x, y şi z nu comută .

(2p) c) Să se calculeze xm şi ym .

(2p) d) Să se calculeze 3S

m

.

(1p) e) Să se arate că produsul permutărilor din 3S , efectuat în orice ordine, nu poate fi egal cu

permutarea 1 2 32 3 1

.

(1p) f) Să se arate că în orice submultime cu 5 elemente din 3S , există două care comută.

(1p) g) Să se arate că în orice submultime cu 4 elemente din 3S , există două care nu comută.

SUBIECTUL IV ( 15p )

( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se consideră şirurile *( )n na N şi *( )n nb N , 1 3 2 1... 22 4 2n

na nn

şi

1 3 2 1... 2 12 4 2n

nb nn

(2p) a) Să se calculeze 1 1a si b .

(2p) b) Să se arate că 2a Q şi 3a R - Q .

(2p) c) Să se arate că 4b Q şi 5b R - Q .

(2p) d) Să se arate că şirul *( )n na N este strict crescător şi şirul *( )n nb N este strict descrescător .

(3p) e) Să se arate că 0,7 0,9, *n na b n N .

(2p) f) Să se arate că 7 1 3 2 1 9... , *

2 4 210 2 10 2 1n n

nn n

N .

(2p) g) Să se arate că 200,78 0,81a .

Test alcătuit de Ion Savu şi Daniela Catană