7/26/2019 2011 Matematic Etapa Locala Solutii Clasa a VI-A 1

1/2

Olimpiada de matematic faza localVASLUI

(12.02.2011)

Solutii

Clasa a VIa

1.Un numr natural n mprit la 7 d restul 3 i mprit la 8 d restul 5.a) Aflai cel mai mic numr n care ndeplinete condiiile date.b) Ce rest se obine prin mprirea lui n la 56

!oluie"

a) n # 7a $ 3 i n # 8b $ 5% a i b & 7a $ 3 # 8b $ 5 7a ' 8b # (&a # 6 n # 5.

!) n # 7a $ 3 8n # 56a $ ( % n # 8a $ 5 7n # 56b $ 358n ' 7n # 56a ' 56b $ ( ' 35 # 56a ' 56b ' 56 $ 56 $ ( ' 35n # 56*a ' b ' +) $ 5 restul este 5.

2.,e o dreapt se iau punctele O% A+% A(% -.% A+i simetricele lor fa de punctulO" B+% B(% -.% B+% astfel nc/t OA+# + cm% A+A(# ( cm% A(A3# (

(cm% -.% A0A+# (0cm.

a) Comparai lun1imea se1mentului 2B5A+ cu lun1imea se1mentului 2B8A5.

b) 4ac Meste milocul se1mentului 2OA8% aflai kpentru care [ ]+k kM A A +

!oluie" B5A+" (

$ (3$ (($ ( $ + $ + $ ( $ -.$ (0

B8A5# (7

$ -.$ ((

$ ( $ + $ + $ ( $ (3

$ (

.!e obser c B5A+ B8A5cu (

8$ (0 & OA8# + $ ( $ -.$ (7# (8' + # (55.

OM#(55 +

+(7( (

= cm. !e obser c OA7# + $ ( $ -.$ (6# (7' + # +(7

++(7

(< % de

unde re9ult c [ ]7 8M A A .

#.:ie AOB i BOC adiacente suplementare% 2OXbisectoarea BOC i

semidreapta 2OY opus semidreptei 2OX. ;tiind c ( )m BOX este mai mic dec/t

msura complementului acestuia de trei ori% s se determine ( )m YOB i ( )m YOC .

!oluie" 4ac ( ) ( ) ( )m BOX x m XOC m AOY = = = .Complementul BOX are msura 3x% de unde

.3 0x x+ = i ( ) .(( 3

7/26/2019 2011 Matematic Etapa Locala Solutii Clasa a VI-A 1

2/2

$. 4eterminai numerele naturale abc tiind c ++ 8 ) .a b c = .

=> ++?(+

!oluie" 4in relaia dat re9ult c ++ aM % de unde { }&8a .

4ac a# ++ (b c = + % { }+0& (7& 35& 3& 5+bc % deci

{ }+0& (7& 35& 3& 5+abc

4ac a# 8 (( (b c = + % { }78& 86& 0bc % deci { }878& 886& 80abc