2007 Tit
2
TITULARIZARE 2007 Subiectul I Se consider˘ a M mult ¸imea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 ˆ ın scrierea lor ˆ ın baza 10. a) S˘ a se verifice c˘ a1 ∈ M , 10 ∈ M , 18 ∈ M ¸ si 19 / ∈ M . b) S˘ a se determine cel mai mic ¸ si cel mai mare num˘ ar natural din mult ¸imea M care se scriu ˆ ın baza 10 utilizˆand 5 cifre. c) S˘ a se arate c˘ a1+ 1 2 + 1 3 + ... + 1 2 n ≥ n 2 + 1, (∀) n ∈ N * . d) S˘ a se determine num˘ arul de elemente din mult ¸imea M care au ˆ ın scrierea lor zecimal˘a 2007 cifre. e) S˘ a se arate c˘ a1+ 9 10 + 9 10 2 + ... + 9 10 n < 10, (∀) n ∈ N * . f) S˘ a se arate c˘ a pentru orice m> 0,exist˘a n ∈ N * , astfel ˆ ıncˆ at 1 + 1 2 + ... + 1 n ≥ m. g) S˘ a se arate c˘ a, pentru orice n ∈ N * ¸ si pentru orice r 1 <r 2 <...<r n ∈ M , avem 1 r 1 + 1 r 2 + ... + 1 r n < 80. Subiectul II ˆ Intr-un plan se consider˘ a triunghiul ABC de arie S ¸ si punctele M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (CA), astfel ˆ ıncˆ at AM AB = x, BN BC = y ¸ si CP CA = z , unde x, y, z ∈ 0, 1 3 . Dac˘ a QRT este un triunghi, not˘am cu S QRT aria sa. Fie r, s ∈ 0, 1 3 ¸ si funct ¸ia f : 0, 1 3 → R, f (t)= t(1 - r - s)+ r + s - rs. a) S˘ a se arate c˘ a AP AC =1 - z . b) S˘ a se arate c˘ a S AMP = x(1 - z )S. c) S˘ a se arate c˘ a S MNP = S [1 - x(1 - z ) - y(1 - x) - z (1 - y)]. d) S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia f este monoton cresc˘ atoare. e) S˘ a se arate c˘ a f (t) ≤ 2 3 ,(∀) t ∈ 0, 1 3 . f) S˘ a se arate c˘ a S MNP ≥ S 3 · g) S˘ a se arate c˘ a(∀) s ∈ S 3 ,S ,exist˘a X ∈ (AB), Y ∈ (BC)¸ si Z ∈ (CA), astfel ˆ ıncˆ at S XYZ = s. Subiectul III Se consider˘ a funct ¸iile f n : R → R f n (x)= (x 2 - 1) n (n) ,(∀) n ∈ N * . Prin u (n) (x) am notat derivata de ordinul n al funct ¸iei u : R → R ˆ ın punctul x. a) S˘ a se calculeze f 1 (x)¸ si f 2 (x), x ∈ R. b) Dac˘ a f n (x)= a n x n + ... + a 0 , cu a i ∈ R, s˘a se determine coeficientul a n , n ∈ N * . c) S˘ a se arate c˘ a funct ¸ia v :(-1; 1) → (-∞, 0), v(x)= x - 1 x +1 este bijectiv˘ a. d) Utilizˆ and teoremalui Rolle, s˘a se arate c˘ a ecuat ¸ia f n (x) = 0 are n r˘ad˘acinirealedistincte¸ si situate ˆ ın intervalul (-1; 1). e) S˘ a se arate c˘ a, dac˘ a g : R → R este o funct ¸ie de n ori derivabil˘a pe R, cu derivata de ordinul n continu˘ a, atunci 1 -1 f n (x)g(x) dx =(-1) n 1 -1 (x 2 - 1) n g (n) (x) dx. 1
-
Upload
andreea-niculescu -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
description
titularizare
Transcript of 2007 Tit
-
TITULARIZARE 2007
Subiectul I
Se considera M multimea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 n scrierea lor n baza 10.
a) Sa se verifice ca 1 M , 10 M , 18 M si 19 / M .
b) Sa se determine cel mai mic si cel mai mare numar natural din multimea M care se scriu n baza 10 utilizand 5cifre.
c) Sa se arate ca 1 +1
2+
1
3+ . . .+
1
2n
n
2+ 1, () n N.
d) Sa se determine numarul de elemente din multimea M care au n scrierea lor zecimala 2007 cifre.
e) Sa se arate ca 1 +9
10+
(
9
10
)2
+ . . .+
(
9
10
)n
< 10, () n N.
f) Sa se arate ca pentru orice m > 0, exista n N, astfel ncat 1 +1
2+ . . .+
1
n m.
g) Sa se arate ca, pentru orice n N si pentru orice r1 < r2 < . . . < rn M , avem1
r1+
1
r2+ . . .+
1
rn< 80.
Subiectul II
Intr-un plan se considera triunghiul ABC de arie S si punctele M (AB), N (BC), P (CA), astfel ncatAM
AB= x,
BN
BC= y si
CP
CA= z, unde x, y, z
(
0,1
3
]
. Daca QRT este un triunghi, notam cu SQRT aria sa. Fie r,
s
[
0,1
3
]
si functia f :
[
0,1
3
]
R, f(t) = t(1 r s) + r + s rs.
a) Sa se arate caAP
AC= 1 z.
b) Sa se arate ca SAMP = x(1 z)S.
c) Sa se arate ca SMNP = S [1 x(1 z) y(1 x) z(1 y)].
d) Sa se arate ca functia f este monoton crescatoare.
e) Sa se arate ca f(t) 2
3, () t
[
0,1
3
]
.
f) Sa se arate ca SMNP S
3
g) Sa se arate ca () s
(
S
3, S
)
, exista X (AB), Y (BC) si Z (CA), astfel ncat SXY Z = s.
Subiectul III
Se considera functiile fn : R R fn(x) =[
(x2 1)n](n)
, () n N. Prin u(n)(x) am notat derivata de ordinul nal functiei u : R R n punctul x.
a) Sa se calculeze f1(x) si f2(x), x R.
b) Daca fn(x) = anxn + . . .+ a0, cu ai R, sa se determine coeficientul an, n N
.
c) Sa se arate ca functia v : (1; 1) (, 0), v(x) =x 1
x+ 1este bijectiva.
d) Utilizand teorema lui Rolle, sa se arate ca ecuatia fn(x) = 0 are n radacini reale distincte si situate n intervalul(1; 1).
e) Sa se arate ca, daca g : R R este o functie de n ori derivabila pe R, cu derivata de ordinul n continua, atunci 1
1
fn(x)g(x) dx = (1)n
1
1
(x2 1)ng(n)(x) dx.
1
-
f) Sa se arate ca
1
1
fn(x)h(x) dx = 0 pentru orice functie polinomiala h : R R de grad mai mic sau egal cu
n 1.
g) Sa se arate ca functia f : R R, f(x) = (C0n)2xn + (C1n)
2xn1 + . . .+ (Cnn )2, are n radacini distincte situate n
intervalul (, 0).
Subiectul IV
Demonstrati posibilitatile de integrare eficienta a mijloacelor de nvatamant n activitatea didactica, la disciplina/ disciplinele de concurs, avand n vedere:
caracterizarea generala si enuntarea functiilor specifice ale acestora,
clasificarea mijloacelor de nvatamant,
analiza critica a rolului tehnologiei informatiei si a comunicatiilor - TIC,
prezentarea modalitatilor de adaptare si de integrare a mijloacelor de nvatamant la disciplina / disciplinele deconcurs, cu exemplificari.
2
