TITULARIZARE 2007

Subiectul I

Se considera M multimea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 n scrierea lor n baza 10.

a) Sa se verifice ca 1 M , 10 M , 18 M si 19 / M .

b) Sa se determine cel mai mic si cel mai mare numar natural din multimea M care se scriu n baza 10 utilizand 5cifre.

c) Sa se arate ca 1 +1

2+

1

3+ . . .+

1

2n

n

2+ 1, () n N.

d) Sa se determine numarul de elemente din multimea M care au n scrierea lor zecimala 2007 cifre.

e) Sa se arate ca 1 +9

10+

(

9

10

)2

+ . . .+

(

9

10

)n

< 10, () n N.

f) Sa se arate ca pentru orice m > 0, exista n N, astfel ncat 1 +1

2+ . . .+

1

n m.

g) Sa se arate ca, pentru orice n N si pentru orice r1 < r2 < . . . < rn M , avem1

r1+

1

r2+ . . .+

1

rn< 80.

Subiectul II

Intr-un plan se considera triunghiul ABC de arie S si punctele M (AB), N (BC), P (CA), astfel ncatAM

AB= x,

BN

BC= y si

CP

CA= z, unde x, y, z

(

0,1

3

]

. Daca QRT este un triunghi, notam cu SQRT aria sa. Fie r,

s

[

0,1

3

]

si functia f :

[

0,1

3

]

R, f(t) = t(1 r s) + r + s rs.

a) Sa se arate caAP

AC= 1 z.

b) Sa se arate ca SAMP = x(1 z)S.

c) Sa se arate ca SMNP = S [1 x(1 z) y(1 x) z(1 y)].

d) Sa se arate ca functia f este monoton crescatoare.

e) Sa se arate ca f(t) 2

3, () t

[

0,1

3

]

.

f) Sa se arate ca SMNP S

3

g) Sa se arate ca () s

(

S

3, S

)

, exista X (AB), Y (BC) si Z (CA), astfel ncat SXY Z = s.

Subiectul III

Se considera functiile fn : R R fn(x) =[

(x2 1)n](n)

, () n N. Prin u(n)(x) am notat derivata de ordinul nal functiei u : R R n punctul x.

a) Sa se calculeze f1(x) si f2(x), x R.

b) Daca fn(x) = anxn + . . .+ a0, cu ai R, sa se determine coeficientul an, n N

.

c) Sa se arate ca functia v : (1; 1) (, 0), v(x) =x 1

x+ 1este bijectiva.

d) Utilizand teorema lui Rolle, sa se arate ca ecuatia fn(x) = 0 are n radacini reale distincte si situate n intervalul(1; 1).

e) Sa se arate ca, daca g : R R este o functie de n ori derivabila pe R, cu derivata de ordinul n continua, atunci 1

1

fn(x)g(x) dx = (1)n

1

1

(x2 1)ng(n)(x) dx.

1

f) Sa se arate ca

1

1

fn(x)h(x) dx = 0 pentru orice functie polinomiala h : R R de grad mai mic sau egal cu

n 1.

g) Sa se arate ca functia f : R R, f(x) = (C0n)2xn + (C1n)

2xn1 + . . .+ (Cnn )2, are n radacini distincte situate n

intervalul (, 0).

Subiectul IV

Demonstrati posibilitatile de integrare eficienta a mijloacelor de nvatamant n activitatea didactica, la disciplina/ disciplinele de concurs, avand n vedere:

caracterizarea generala si enuntarea functiilor specifice ale acestora,

clasificarea mijloacelor de nvatamant,

analiza critica a rolului tehnologiei informatiei si a comunicatiilor - TIC,

prezentarea modalitatilor de adaptare si de integrare a mijloacelor de nvatamant la disciplina / disciplinele deconcurs, cu exemplificari.

2