2001_grad
5
GRADUL II 2001 BUCURES , TI 1. a) Definit , i not , iunile de sistem de vectori liniar independent , i, sistem de generatori s , i bază într-un spat , iu vectorial. b) Să se arate că polinoamele cu coeficient , i reali f 1 (X )=(X − a)(X − b), f 2 (X )=(X − b)(X − c), f 3 (X )=(X − c)(X − a) sunt liniar independente peste R dacă s , i numai dacă (a − b)(b − c)(c − a) =0. c) Fie p> 0 un număr prim. Să se arate că toate grupurile cu p elemente sunt izomorfe. Este afirmat , ia de mai sus adevărată dacă p nu este prim? Justificat , i răspunsul. 2. Fie f : R → R o funct , ie continuă pentru care există α> 1 astfel încât |f (x) − f (y) ≥ α ·|x − y|, (∀) x, y ∈ R. Să se arate că funct , ia f este injectivă, strict monotonă s , i surjectivă. 3. Se consideră unghiul X 1 OX 2 de măsură 2α, 0 <α< π 2 · O sferă variabilă în spat , iu S (C, r) este tangentă laturilor unghiului dat în punctele A, respectiv B. Se notează cu H proiect , ia centrului sferei C pe planul unghiului dat. a) Să se arate că OH 2 sin 2 α + CH 2 = r 2 . b) Să se determine locul geometric al centrelor sferelor care au raza constantă r s , i care sunt tangente laturilor unghiului dat. 4. Definit , ia probabilităt , ii unui eveniment. Analiza statistică a datelor cantitative. 5. Compunerea funct , iilor. Funct , ii injective, surjective, bijective, inversabile. Inversa unei funct , ii bijective (Considerat , ii teoretice s , i metodice). 1
-
Upload
silvia-done -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
description
cvb
Transcript of 2001_grad
-
GRADUL II2001
BUCURES,TI
1. a) Denit,i not
,iunile de sistem de vectori liniar independent
,i, sistem de generatori s
,i baz ntr-un
spat,iu vectorial.
b) S se arate c polinoamele cu coecient,i reali f1(X) = (Xa)(Xb), f2(X) = (Xb)(Xc),
f3(X) = (X c)(X a) sunt liniar independente peste R dac s, i numai dac
(a b)(b c)(c a) 6= 0.
c) Fie p > 0 un numr prim. S se arate c toate grupurile cu p elemente sunt izomorfe. Estearmat
,ia de mai sus adevrat dac p nu este prim? Justicat
,i rspunsul.
2. Fie f : R R o funct,ie continu pentru care exist > 1 astfel nct |f(x) f(y) |x y|,
() x, y R. S se arate c funct,ia f este injectiv, strict monoton s
,i surjectiv.
3. Se consider unghiul X1OX2 de msur 2, 0