107

06 - Circuite divizoare i legile lui Kirchhoff

1. Circuite divizoare de tensiune

Circuitele serie proporioneaz, sau divizeaz, cantitatea total de tensiune pe fiecare component n parte,

aceste proporii depinznd strict de rezistori: ERn = ETotal (Rn / RTotal

Analiza unui circuit serie simplu (divizor de tensiune)

).

S analizm un circuit electric serie simplu, determinnd cderile

de tensiune pe fiecare rezistor n parte.

Vom introduce valorile cunoscute precum i cele ce le vom afla prin

aplicarea formulelor ntr-un tabel ce cuprinde tensiunea (E), curentul (I) i

rezistena (R), precum i suma acestora n ntreg circuitul. Valorile sunt

exprimate in voli (V), amperi (A), respectiv ohmi ().

Folosind valorile individuale ale rezistenelor, putem determina valoarea

rezistenei totale din circuit, cunoscnd c valoarea total este suma

rezistenelor individuale n cazul circuitelor serie.

De aici, putem folosi legea lui Ohm (I = E / R) pentru determinarea valorii

totale a curentului, ce va fi aceeai cu valoarea curentului prin fiecare

rezistor, curenii fiind egali n toate componentele ntr-un circuit serie.

Cderea de tensiune pe fiecare rezistor este direct proporional cu rezistena sa

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E

45 V

I

A R 5k 10k 7.5k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E

45 V

I

A R 5k 10k 7.5k 22.5k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E

45 V

I 2m 2m 2m 2m A R 5k 10k 7.5k 22.5k

108

Cunoscnd valoarea curentului (2 mA), putem folosi legea lui Ohm (E = IR) pentru calcularea cderilor de

tensiune pe fiecare rezistor n parte.

Putem observa c valoarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor este

proporional cu rezistena, datorit faptului c valoarea curentului este

aceeai prin toi rezistorii (circuit serie).

De asemenea, cderea de tensiune pe rezistorul R2 este dubl fa de cderea de tensiunea pe rezistorul R1,

la fel precum rezistena R2 este dubl fa de rezistena R1

Dac ar fi s modificm valoarea total a tensiunii din circuit, vom vedea c

.

proporionalitatea a cderilor de tensiune rmne constant

.

Cderea de tensiune pe R2 este n continuare exact dublul cderii de pe R1, n ciuda modificrii tensiunii

sursei. Proporionalitatea cderilor de tensiune este strict n funcie de valoarea rezistenelor.

Devine aparent faptul c pe fiecare rezistor, cderea de tensiunea este o fraciune fix din valoarea tensiunii

totale a sursei. Tensiunea pe R1 de exemplu, era 10 voli atunci cnd valoarea tensiunii sursei era de 45 de voli.

Atunci cnd am crescut tensiunea bateriei pn la 180 de voli (de 4 ori mai mult), cderea de tensiune pe R1 a

crescut de asemenea de 4 ori (de la 10 la 40 de voli). Raportul dintre cderea de tensiune pe R1

Formula divizorului de tensiune

i cderea de

tensiune total a rmas acelai:

De asemenea, nici raporturile dintre cderile de tensiune pe celelalte dou rezistene i tensiunea total a

bateriei nu s-au modificat:

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 10 20 15 45 V I 2m 2m 2m 2m A R 5k 10k 7.5k 22.5k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 40 80 60 180 V I 8m 8m 8m 8m A R 5k 10k 7.5k 22.5k

109

Din aceast cauz, un circuit serie poart adesea numele de divizor de tensiune, pentru abilitatea sa de

divizare a tensiunii totale n fracii proporionale cu o valoare constant. Matematic, aceasta se poate exprima astfel:

n cadrul unui circuit divizor de tensiune, raportul dintre rezistenele individuale i cea total este acelai ca

i raportul dintre cderile de tensiune individuale i tensiunea total a sursei. Aceast formul poart denumirea de

formula divizorului de tensiune

Reanalizarea circuitului

, i este o metod mai rapid de aflare a cderilor de tensiune ntr-un circuit serie

faa de folosirea repetat a legii lui Ohm

Folosind aceast formul, putem reanaliza circuitul de mai sus folosind mai puini pai:

Aplicaii

110

Circuitele divizoare de tensiune se folosesc acolo unde o combinaie

specific de rezistori serie este folosit pentru a diviza tensiunea

n cantiti precise (n cazul aparatelor de msur, de exemplu).

2. Poteniometrul

Un poteniometru este o dispozitiv rezistiv variabil cu trei puncte de conectare, folosit frecvent pe post de

divizor de tensiune ajustabil.

Poteniometrul este un divizor de tensiune

Unul dintre dispozitivele folosite frecvent ca i divizor de tensiune este poteniometrul,

un rezistor cu un element mobil poziionat cu ajutorul unei manete. Elementul mobil,

denumit i perie, face contact cu un material rezistiv dezizolat, n oricare dintre punctele

selectate manual.

Pe msur ce contactul periei se apropie de

terminalul 1 i se ndeprteaz de

terminalul 2, rezistena spre terminalul 1

scade iar cea ctre terminalul 2 crete. Dac

apropiem contactul de terminalul 2, vom

obine efectul contrar. Rezistena ntre cele

dou puncte (1 i 2) este constant

indiferent de poziia contactului periei.

111

Poteniometre rotative i poteniometre liniare

Mai jos sunt ilustrate dou tipuri de poteniometre, rotative i liniare:

Raportul de divizare

Dac aplicm o tensiune constant

ntre cei doi terminali de la

extremiti, poziia periei va lua

doar o fraciune din tensiunea

aplicat, msurat ntre contactul

periei i oricare dintre ceilali doi

terminali.

Valoarea acestei fracii depinde n ntregime de poziia fizic a periei

Cu alte cuvinte,

. Ca i n cazul unui divizor de

tensiune fix, coeficientul de divizare este strict o funcie de rezisten i nu depinde de valoarea tensiunii aplicate.

Cu alte cuvinte, dac maneta poteniometrului este deplasat la exact jumtatea distanei dintre cei doi terminali

externi, cderea de tensiune ntre perie i oricare dintre cei doi terminali este exact jumtate (1/2) din valoarea

tensiunii aplicate, indiferent de valoarea aceteia sau de rezistena total a poteniometrului.

un poteniometru acioneaz precum

un divizor variabil de tensiune, iar coeficientul de

diviziune este stabilit de poziia periei

Aceast aplicaie a poteniometrului este una foarte

folositoare pentru obinerea unei tensiuni variabile

cu ajutorul unei surse fixe de tensiune precum

bateria.

.

112

Dac circuitul ce-l construim necesit o anumit valoare a tensiunii mai mic dect valoarea tensiunii la

bornele bateriei, putem conecta terminalii externi ai poteniometrului la baterie iar sarcina (bec, de exemplu) o

conectm ntre terminalul periei i oricare dintre cei doi terminali externi (vezi i exemplul alturat):

3. Legea lui Kirchhoff pentru tensiune

Suma algebric a tuturor cderilor de tensiune dintr-o bulc trebuie s fie egal cu zero

Analiza unui circuit serie simplu

S lum un circuit serie cu trei rezistori i s notm punctele din

circuit.

Dac ar fi s conectm un voltmetru ntre punctele 2 i 1, sonda roie la punctul 2 i sonda neagr la punctul 1, voltmetru va indica valoarea de +45 V. n mod normal, semnul + nu este artat, ci este implicit n cazul citirii aparatelor de msur digitale.

Cnd o tensiune este exprimat cu indice dublu (2-1

n cazul notaiei E2-1), nseamn ca tensiunea este

msurat ntre cele dou puncte. O tensiune exprimat

prin Ecd

ar nsemna c tensiunea msurat este cea

indicat de un voltmetru cu sonda roie conectat la

punctul c i sonda neagr la punctul d.

113

Dac ar fi s lum acelai voltmetru i s

msurm cderea de tensiune de pe fiecare

rezistor, parcurgnd circuitul n sensul acelor de

ceasornic, cu sonda roie n fa i cu cea neagr

n spate, am obine/citi urmtoarele valori:

Suntem deja familiarizai cu conceptul general al circuitelor serie, i anume: suma cderilor de tensiune

individuale este egal cu tensiunea total aplicat. Dar, msurnd cderile de tensiune n acest fel i innd cont de

polaritatea (+ sau -) citirilor, descoperim o alt variant a acestui principiu: suma tensiunilor msurat n acest

fel este zero

Definiie

:

Acest principiu este cunoscut sub denumirea de legea lui Kirchhoff pentru tensiune (descoperit n 1847 de

ctre Gustav R. Kirchhoff), i poate fi exprimat astfel:

Suma algebric a tuturor cderilor de tensiune dintr-o bulc trebuie s fie egal cu zero.

Termenul de sum algebric este folosit pentru a desemna faptul c trebuie luate n considerarea semnele

(polaritile) tensiunilor din circuit pe lng valorile acestora. Prin bucl se nelege orice drum prin circuit ce

ncepe i se termin n acelai punct. n exemplul de mai sus, bucla s-a format ntre punctele 1-2-3-4-1, n exact

aceast ordine. Nu conteaz punctul din care ncepem sau direcia pe care o urmm (n sensul acelor de ceasornic,

sau invers), suma cderilor de tensiune va fi tot zero. Pentru a demonstra acest lucru, putem modifica bucla astfel

(3-2-1-4-3):

114

Pentru o mai bun vizualizare, putem redesena

circuitul serie de mai sus, astfel nct toate

componentele s se regseasc pe aceeai linie dreapt:

Este exact acelai circuit, doar c aranjamentul componentelor este diferit. Observai polaritatea cderilor

de tensiune de pe rezistori n comparaie cu cea a bateriei: tensiunea bateriei este negativ n stnga i pozitiv n

dreapta, pe cnd tensiunile la bornele rezistorilor sunt orientate n sens opus: pozitiv n stnga i negativ n

drepta. Acest lucru se datoreaz faptului c rezistorii ntmpin o rezisten n faa curegerii electronilor mpini de

baterie. Cu alte cuvinte, rezistena mpotriva curgerii electronilor trebuie s fie direcionat n direcie opus sursei

de tensiune electromotoare.

Verificarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune cu ajutorul voltmetrului

Dac am fi s introducem un voltmetru (sau mai

multe voltmetre simultan) n circuit, indicaiile

acestuia ar fi urmtoarele (sonda neagr n stnga,

cea roie n dreapta).

115

Dac am fi s lum acelai voltmetru pentru a citi

cderile de tensiune pentru combinaiile

componentelor din circuit ncepnd cu R1

, putem

observa adunarea algebric a tensiunilor (spre

zero).

n cadrul msurtorilor de mai sus, putem observa importana polaritii cderilor de tensiune atunci cnd le

adunm. Citind rezultatele msurtorilor tensiunii la bornele lui R1, R1--R2 i R1--R2--R3 (folosim simbolul --

pentru a desemna conexiunea serie ntre cei trei rezistori R1R2 i R3) vedem c suma cderilor de tensiune are

valori tot mai mari (dei negative), deoarece polaritatea cderilor de tensiune pe fiecare component are aceeai

orientare (stnga pozitiv, dreapta negativ).

Suma cderilor de tensiune pe R1, R2 i R3 este de 45 de voli, aceeai cu tensiunea la ieirea bateriei, cu

observaia c polaritatea bateriei este opus fa de cea a rezistorilor (stnga negativ, dreapta pozitiv) i prin urmare

rezultatul final este o msurtoare de 0 voli pe toate cele patru componente luate la un loc.

O un alt mod de a privi acest circuit este de a observa c partea stnga a circuitului (stnga rezistorului R1:

punctul 2) este conectat direct la partea dreapta a circuitului (dreapta bateriei: punctul 2), pas necesar pentru

nchiderea circuitului. Din moment ce aceste dou puncte sunt conectate direct, acestea sunt electric comune i prin

urmare, cderea de tensiune dintre cele dou trebuie s fie zero

Analiza unui circuit paralel simplu

.

116

Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (prescurtat LKT)

funcioneaz pentru orice configuraie a circuitului, nu doar

pentru cele serie. S considerm prin urmare un circuit paralel

simplu.

Fiind un circuit paralel, cderile de tensiune pe fiecare rezistor n parte sunt egale cu tensiunea sursei de

alimentare: 6 voli. Msurnd tensiunile n bucla 2-3-4-5-6-7-2, obinem:

Observai notaia cderii de tensiune totale (sumei) cu E2-2. Din moment ce am nceput msurtorile buclei

la punctul 2 i am terminat tot la punctul 2, suma algebric a tuturor cderilor de tensiune va fi aceeai cu tensiunea

msurat ntre acelai punct (E2-2

Legea lui Kirchhoff este universal valabil

), care, desigur, trebuie s fie zero.

Faptul c acest circuit este paralel i nu serie, nu ncurc cu

nimic aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune. Din punctul

nostru de vedere, ntregul circuit ar putea s fie o cutie neagr

- configuraia componentelor s fie complet ascuns i s avem

la dispoziie doar un set de puncte unde s putem msura

tensiunea - i legea lui Kirchhoff tot ar fi valabil.

Dac ncercm orice combinaie de pai, pornind de la oricare terminal n diagrama de mai sus, completnd

o bucl astfel nct s ajungem la punctul de plecare, vom vedea c suma algebric a tuturor cderilor de tensiune

va fi tot timpul

4. Circuite divizoare de curent

egal cu zero.

Circuitele paralel mpart cantitatea total de curent pe fiecare ramur n parte, proporiile fiind strict

dependente de valorile rezistenelor: In = ITotal (RTotal / Rn)

117

Analiza unui circuit paralel simplu

S analizm un circuit paralel simplu, determinnd valorile

curenilor prin fiecare ramur, respectiv prin fiecare rezistor

n parte.

Cunoscnd faptul c pe fiecare component n parte cderea de tensiune este

aceeai, putem completa tabelul tensiune/curent/rezisten astfel (mrimile sunt

exprimate n voli, amperi i ohmi).

Folosind legea lui Ohm (I = E / R) putem calcula curentul prin fiecare ramur.

tiind c n circuitele paralele suma curenilor de pe fiecare ramur reprezint

curentul total, putem completa tabelul cu valoarea total a curentului prin

circuit, 11 mA.

Ultimul pas este calcularea rezistenei totale, folosind legea lui Ohm (R = E /

I), sau folosind formula rezistenelor n paralel; indiferent de metoda folosit,

rezultatul este acelai.

Prin fiecare rezistor, curentul depinde strict de rezistena acestuia

Ar trebui s fie evident deja faptul c prin fiecare rezistor, curentul depinde de rezistena acestuia, tiind c

valoarea tensiunii prin toi rezistorii este aceeai. Aceast relaie nu este una direct proporional, ci invers

proporional. De exemplu, curentul prin R1 este dublu fa de curentul prin R3, iar rezistena lui R3 este de dou

ori cea a rezistorului R1

Dac ar fi s schimbm sursa de tensiune din acest circuit, am descoperi c

acest raport nu se modific.

.

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I

A

R 1k 3k 2k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m

A

R 1k 3k 2k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k 545.45

Mrime R R1 R2 Total 3 Unitate E 24 24 24 24 V I 24m 8m 12m 44m A R 1k 3k 2k 545.45

118

Curentul prin R1 este i de data aceasta dublu curentului prin R3, cu toate c valoarea tensiunii de

alimentare (tensiunea bateriei) s-a modificat. Proporionalitatea curenilor ntre diferite ramuri ale circuitului

depinde de rezisten

Formula divizorului de curent

.

De asemenea, ca i n cazul circuitelor divizoare de tensiune, curenii ramurilor reprezint fraciuni fixe din

curentul total. Cu toate c tensiunea sursei a crescut de patru ori, raportul dintre curentul ramurii i curentul total a

rmas acelai:

Din acest motiv, un circuit paralel este denumit adesea un divizor de curent pentru abilitatea sa de divizare

a curentului total n fracii. Putem determina o formul

Recalcularea circuitului paralel iniial

pentru calculul curentului prin rezistorii paraleli, atunci cnd

cunoatem curentul total, rezistena total i rezistenele individuale:

Raportul dintre rezistena total i rezistena individual este acelai ca i ntre curentul individual (pe

ramur) i cel total. Aceast formul poart denumirea de formula divizorului de curent, i este o metod mai scurt

de determinare a curenilor prin ramur ntr-un circuit paralel atunci cnd se cunoate curentul total.

119

Folosind circuitul paralel original ca i exemplu, putem recalcula curentul prin ramuri folosind aceast

formul, dac ncepem prin a cunoate valoarea total a curentului i a rezistenei:

Comparaie ntre formula divizorului de curent i cea a divizorului de tensiune

Dac facem o comparaie ntre cele dou formule divizoare, putem observa c sunt extrem de

asemntoare. Putem observa totui, c n cazul divizorului de tensiune, raportul este Rn (rezisten individual) la

Rtotal, iar n cazul divizorului de curent, raportul este chiar invers Rtotal la Rn:

Este foarte uor s ncurcm cele dou ecuaii prin inversarea raportului rezistenelor. O modalitate simpl

de memorare a formei corecte este s inem minte c ambele raporturi dintre cele dou ecuaii trebuie s reprezinte

un numr subunitar (ntre 0 i 1). Dac raportul este inversat, vom obine o valoare mai mare dect unu, prin urmare

greit. Cunoscnd faptul c rezistena total ntr-un circuit serie (divizor de tensiune) este tot timpul mai mare

dect oricare dintre rezistenele luate separat, putem s deducem c raportul corect este Rn/Rtotal. La fel, cunoscnd

faptul c rezistena total ntr-un circuit paralel (divizor de curent) este tot timpul mai mic dect valoarea oricrei

rezistene luate individual, putem s deducem raportul corect, Rn/Rtotal

Aplicaii ale divizorului de curent

.

Circuitele divizoare de curent i gsesc aplicaie (de exemplu)

n circuitele de msur, acolo unde o fracie din curentul de

msurat trebuie s fie redirecionat spre un dispozitiv sensibil de

120

detecie. Folosind formula rezistorului de curent, se poate afla valoarea exact a rezistenei folosit pe post de unt

pentru a devia cantitatea precis de curent prin dispozitiv n orice situaie.

5. Legea lui Kirchhoff pentru curent

Suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-un nod trebuie s fie egal cu zero

Analiza unui circuit paralel simplu

S considerm urmtorul circuit paralel.

Calculnd toate valorile tensiunilor i curenilor din acest circuit, obinem

tabelul alturat.

n acest moment cunoatem valorile

curenilor din fiecare ramur precum i

valoarea total a curentului din circuit.

Cunoatem faptul c valoarea total a curentului dintr-un circuit paralel trebuie s fie egal cu suma

curenilor de pe fiecare ramur, dar mai putem observa un principiu foarte important n acest circuit.

S observm aadar ce se ntmpl la fiecare nod (locul de ntlnire a cel puin trei ramuri).

Marime R R1 R2 Total 3 Unitate E 6 6 6 6 V I 6m 2m 3m 11m A R 1k 3k 2k 545,45

121

Pe ramura negativ de jos (8-7-6-5), la fiecare nod curentul

principal se divide pe fiecare ramur succesiv spre rezistori.

Pe ramura pozitiv de sus (1-2-3-4) curentul de pe fiecare

ramur se altur curentului principal. Dac ne uitm mai

atent la un anumit nod, precum 3, observm c valoarea

curentului ce intr ntr-un nod este egal cu valoarea curentului

ce prsete acel nod

Definiie

.

Avem doi cureni care intr n nodul 3, din partea dreapt i de jos. Din partea stng avem un singur curent

care iese din nod, egal ca i valoare cu suma celor doi cureni care intr. Acest lucru este valabil pentru oricare nod,

indiferent de numrul ieirilor/intrrilor. Matematic, putem exprima aceast observaie astfel:

O alt form uor diferit dar echivalet din punct de vedere matematic este urmtoarea:

Pe scurt, legea lui Kirchhoff pentru curent sun astfel:

Suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-un nod trebuie s fie egal cu zero

Adic, dac notm polaritatea fiecrui curent, cu + dac intr ntr-un nod i cu - dac iese, suma lor va

da tot timpul zero.

n cazul nodului 3 de mai sus, putem determina valoarea curentului ce iese din nod prin partea stng

folosind legea lui Kirchhoff pentru curent astfel:

Semnul negativ (-) pentru valoarea de 5 mA ne spune faptul c, curentul iese din acest nod, n contradicie

cu cei doi cureni de 2 mA i 3 mA ce sunt cu semnul pozitiv (+), i prin urmare intr n nod. Cele dou notaii (+

i -) pentru intrarea, respectiv ieirea curentului din nod sunt pur arbitrare, atta timp ct reprezint semne diferite

pentru direcii diferite i prin urmare putem aplica legeal lui Kirchhoff pentru cureni.