NOTE MATEMATICE

H

- 7 -

SSM

O aplicație a Teoremei lui Milnor Claudia Nănuţi, Colegiul Naţional Economic „Theodor Costescu”

TEOREMĂ: Pentru orice notăm . O funcție continuă

se numește câmp de vectori tangenți la sfera dacă , pentru orice . Fie . Dacă este par atunci câmpul de vectori tangenți la sfera se anulează

în cel puțin un punct. APLICAȚIE: Să se arate că în orice moment la suprafața Pământului există un punct unde nu bate vântul. ( Un astfel de punct se numește “ochi de ciclon”). Demonstrație: Identificăm suprafața Pământului cu sfera și definim pe câmpul de vectori dat de viteza vântului la suprafața Pamântului la un moment dat. Aplicația

este continuă. Vom demonstra că există încât .

Fie și .

În ipoteza că este de clasa presupunem prin absurd că există un câmp de vectori tangenți la cu proprietatea că este continuu diferențiabil și nu se anulează pe .

Înlocuim în pe cu (normăm) și în acest caz , pentru .

Deoarece este de clasa rezultă că .

Fie .

Pentru orice definim

, pentru . Pentru orice notăm . Demonstrăm că pentru și , avem:

(1)

.

Pentru a demonstra (1) este suficient să arătăm că:

(2) Dacă rezultă:

(3)

Invers: Fie . Definim . .

Deducem: 1-

Din ; , de unde

Dacă . ; .

Rezultă că este o contracție și atunci există un unic .

NOTE MATEMATICE

- 8 -

.

Din (3) rezultă că:

(4)

Din (3) , (4) .

Fie .

Din (1) deducem că , de unde

Am notat cu măsura Lebesgue in . Admitem cunoscut următorul rezultat: Dacă este o mulțime compactă din cu frontiera de măsură nulă,

o funcție de clasă și și dacă atunci funcția este o funcție polinomială într-o vecinătate a originii.

Datorită faptului că funcția ,

nu este polinomială rezultă că presupunerea este falsă. Prin urmare există încât . Punctul se numește “ochi de ciclon”.

Bibliografie: 1.Daniel Sitaru,Claudia Nănuți-Probleme de concurs–Editura Ecko-Print-Drobeta Turnu Severin-2011 2.Daniel Sitaru,Claudia Nănuți-Matematici pentru olimpiade–Editura Ecko-Print-Drobeta Turnu Severin-2014 3.Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu-Teoreme și probleme de analiză matematică-EDP-București