13 Pearson III

DETERMINAREA DEBITELOR MAXIME CU DIFERITE PROBABILITĂŢI DE DEPĂŞIRE UTILIZÂND CURBA DE PROBABILITATE EMPIRICĂ ŞI CURBA TEORETICĂ PEARSON III

13. DETERMINAREA DEBITELOR MAXIME CU DIFERITE PROBABILITĂŢI DE DEPĂŞIRE UTILIZÂND CURBA DE

PROBABILITATE EMPIRICĂ ŞI CURBA TEORETICĂ PEARSON III

13.1. Noţiuni teoretice

Distribuţia tip Pearson III se caracterizează prin faptul că este caracterizată de faptul că originea axelor de coordonate se află în dreptul modei şi această curbă are densitatea dată de formula :

(13.1)

unde :f0 este ordonata maximă corespunzătoare modei; d, raza de asimetrie; a, variabilitatea curbei (distanţa dintre xmin şi x3); x, variabila aleatoare independentă, reprezentată de mărimea hidrologică considerată.

Curba de distribuţie tip Pearson III, este o curbă asimetrică care depinde de trei parametri şi anume : unul de poziţie (f0); doi de formă: a şi d.

Figura 13.1 Curba de distribuţie Pearson III

196


Atât curba de repartiţie cât şi curba de probabilitate Pearson III, depind de aceşti trei termeni.

Această curbă de distribuţie are o largă aplicare în hidrologie, ajustându-se destul de bine la regimul hidrologic din ţara noastră.

În figura 13.1 se observă că xmax tinde asimptotic către +, fapt care constituie o aproximaţie teoretică a fenomenului fizic, neavând certitudinea că valoarea xmax măsurată este cea mai mare posibilă.

Dacă avem la dispoziţie mai multe curbe de distribuţie teoretice Pearson III, care depind de cei trei parametri se poate rezolva problema pusă în hidrologie adică, alegerea acelei curbe care se înscrie cel mai bine în datele de observaţii şi măsurători punând condiţia ca primele trei momente ale distribuţiei teoretice să fie egale cu primele trei momente calculate cu datele din măsurători (momente de gradul I, II şi III adică: media aritmetică, coeficientul de variaţie Cv şi coeficientul de asimetrie Cs ).

13. 2. Calculul debitelor maxime cu diferite probabilităţi cu distribuţia tip Pearson III

În cazul variabilelor aleatoare continui, probabilitatea de depăşire (probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia valori mai mari decât o valoare dată X) este dată de relaţia:

(13.2)

unde:p(x) este probabilitatea de depăşire; f(x) este densitatea de distribuţie.

Pentru variabilele aleatoare discrete, probabilitatea de depăşire se obţine cu aceeaşi formulă numai că integrala este înlocuită cu o sumă.

La proiectarea, execuţia şi exploatarea lucrărilor hidrotehnice este necesară cunoaşterea unor elemente hidrologice (debite, niveluri, volume etc.) cu diferite probabilităţi de calcul şi verificare. Având la dispoziţie un şir statistic Xi, i=1,2,...,n unde n > 20 de mărimi hidrologice obţinute prin observaţii şi măsurători se poate întocmi curba de probabilitate empirică astfel: se ordonează descrescător ( Xi>Xi+1) şirul de date hidrologice; probabilitatea se calculează cu formula lui Weibull:

[%] (13.3)

197


unde:i este numărul de ordine al termenilor din şir; n, numărul total al termenilor şirului.

Această formulă prezintă inconvenientul că dă valori aproximative ale probabilităţii la capetele intervalului (doar pentru n > 70 aproximaţiile sunt mici ).

rezultatele obţinute se centralizează (tabelul 13.1) şi cu ajutorul lor se reprezintă grafic curba de probabilitate empirică într-un sistem cu axe logaritmice sau semilogaritmice, luând pe abscisă probabilitatea, iar pe ordonată elementul hidrologic analizat.

Tabelul 13.1 Calculul curbei de probabilitate empirică

AnulEelementul hidrologic analizat, ordonat descrescător Xi (Xi>Xi+1)

Probabilitatea empirică

pi = 100

0 1 2

Curba de probabilitate empirică obţinută, reprezintă o importanţă deosebită în practică, pentru că din ea se pot extrage valorile mărimii hidrologice analizate cu probabilităţile dorite.

Sfera de aplicare a acestei curbe este însă redusă, pentru că în majoritatea cazurilor cuprinde amplitudini mici de variaţie ale elementului hidrologic luat în studiu din cauza şirurilor scurte de date folosite la întocmirea ei.

Apare deci o problemă deosebit de importantă şi dificilă şi anume: extrapolarea probabilităţilor la capetele intervalului, problema care poate fi rezolvată cu ajutorul curbei de probabilitate teoretică de tip Pearson III [Giurma I., ş.a., 1980].

Calculele prinvind aceasta curbă teoretică se conduc astfel: şirul statistic de date folosite Xi se ordonează descrescător (Xi > X i+1) şi se calculează media aritmetică cu formula:

(13.4)

se calculează coeficienţii moduli Ki şi coeficientul de variaţie Cv

198


med

ii X

XK

(13.5)

1

)1(1

2

n

KC

n

ii

v (13.6)

se determină coeficientul de asimetrie Cs în funcţie de coeficientul de variaţie Cv

Cs = Cv (13.7)unde, valorile coeficientului se aproximează în funcţie de natura mărimii căreia i se calculează valorile probabilistice şi anume: =0 pentru niveluri maxime; =1,5 pentru debite medii anuale pe râuri care au regim nepermanent; =2,0 pentru debitele medii anuale, minime de vară, maxime de primăvară; =33,5 pentru precipitatii maxime; =3,54,0 pentru debite maxime pe râurile mici.

În cazurile când numărul de date (n) este foarte mare coeficientul de asimetrie se determină cu relaţia:

(13.8)

Calculele efectuate pot fi centralizate în tabelul 13.2.

pentru calculul valorilor cu diferite probabilităţi se folosesc tabelele Foster-Rîbkin sau tabelele lui Krîţkii-Menkel.

Tabelul 13.2 Calculele intermediare (Giurma I., ş.a., 1980) Anul Elementul

hidrologic analizat, ordonat descrescător

Coeficienţii moduli

(Ki-1) (Ki-1)2 (Ki-1)3

199


Xi

(X i>X i+1)

0 1 2 3 4 5

.

.

.

.

.

.

X1

X2

.

.

.

Xn

K1

K2

.

.

.

Kn

(K1-1)(K2-1)

.

.

.(Kn-1)

(K1-1)2

(K2-1)2

.

.

.

(Kn-1)2

(K1-1)3

(K2-1)3

.

.

.

(Kn-1)3

Foster şi Rîbkin au plecat de la constatarea că în distribuţia Pearson III a variabilei K, ordonatele curbei de probabilitate sunt proporţionale cu coeficientul Cv şi au notat cu ordonata curbei de probabilitate pentru Cv=1. Când Cv1, K se determină cu relaţia:

K = 1 + Cv (13.9)

Tabelul Foster-Rîbkin este alcătuit pentru diverse valori ale coeficientului Cs (tabelul 13.3) şi se foloseşte pentru calculul valorilor cu diferite probabilităţi astfel: se intră cu valoarea Cs calculată anterior în prima coloană a tabelului ; corespunzător acestei valori se extrag valorile pentru probabilităţile care sunt

scrise în prima linie a tabelului.Cu ajutorul valorilor extrase se calculează elementul hidrologic analizat,

pentru fiecare probabilitate (tabelul 13.3).Tabelul Foster-Rîbkin este valabil doar pentru =2.Tabelele elaborate de Krîţkii-Menkel au la baza schimbarea de variabilă

x =a b, obţinându-se astfel cu ajutorul lor curba de probabilitate Pearson III pentru orice raport (tabelele 13.5, 13.6, 13.7 şi 13.8).

Aceste tabele se folosesc astfel: se intră cu valoarea lui Cv calculat anterior în prima linie a acestor tabele şi

corespunzător acesteia se extrag direct valorile lui K pentru probabilităţile din prima coloană a tabelelor.

Tabelul 13.3 Abaterile ordonatelor curbei binomiale de probabilitate Foster-Rîbkin pentru =2

p%Cs

0,01 0,1 1 5 10 20 50 80 95 99 99,9

200


0,000,100,200,300,400,50

3,723,944,154,374,604,82

2,092,403,383,523,673,81

2,332,402,472,542,622,68

1,651,671,701,721,751,77

1,281,291,201,311,321,32

0,840,840,830,820,820,80

0,00-0,02-0,03-0,05-0,07-0,08

-0,84-0,85-0,85-0,85-0,86-0,86

-1,64-1,62-1,59-1,56-1,52-1,49

-2,33-2,25-2,18-2,10-2,03-1,95

-3,09-2,95-2,81-2,67-2,53-2,40

0,60 5,05 3,96 2,76 1,80 1,33 0,80 -0,10 -0,86 -1,46 -1,88 -2,270,70 5,27 4,10 2,82 1,82 1,33 0,79 -0,12 -0,86 -1,42 -1,81 -2,140,80 5,50 4,24 2,89 1,84 1,34 0,78 -0,13 -0,86 -1,39 -1,73 -2,020,90 5,72 4,39 2,96 1,86 1,34 0,77 -0,15 -0,85 -1,35 -1,66 -1,901,00 5,96 4,53 3,02 1,88 1,34 0,76 -0,16 -0,85 -1,32 -1,59 -1,791,20 6,41 4,82 3,15 1,91 1,34 0,73 -0,20 -0,84 -1,24 -1,45 -1,58

1,40 6,87 5,10 3,27 1,94 1,34 0,70 -0,22 -0,83 -1,17 -1,32 -1,391,491,60 7,32 5,37 3,39 1,96 1,33 0,68 -0,25 -0,82 -1,09 -1,20 -1,241,80 7,77 5,64 3,50 1,98 1,32 0,64 -0,28 -0,80 -1,02 -1,09 -1,112,002,202,40

8,21--

5,916,206,47

3,603,703,78

2,002,012,01

1,301,281,25

0,610,580,54

-0,31-0,33-0,35

-0,78-0,75-0,71

-0,95-0,90-0,82

-0,99-0,90-0,83

-1,00-0,99-0,83

Tabelul 13. 4 Calculul curbei de probabilitate teoretică cu ajutorul tabelului Foster-Rîbkinp% 0,01 0,1 1 5 10 20 50 80 95 99 99,9

7,07

CvK=1+ CvXp=K Xmed

Cu valorile extrase se calculează elementul hidrologic analizat pentru fiecare probabilitate (tabelul 13.9).

pe acelaşi grafic cu curba de probabilitate empirică se reprezintă şi curba de

probabilitate teoretică luând pe abscisă probabilitatea la scara logaritmică, iar pe ordonată mărimea hidrologică la scara normală pentru =2, sau la scara logaritmică pentru 2. se analizează poziţia pe care o are curba de probabilitate teoretică faţă de curba

de probabilitate empirică.

Dacă între cele două curbe există diferenţe, trebuie să se facă ajustarea curbei de probabilitate teoretică cu datele experimentale (curba de probabilitate empirică) prin modificarea coeficienţilor Cv şi Cs sau a raportului .

Practic întocmirea curbei de probabilitate teoretică se începe luând pentru coeficientul Cs valoarea cea mai probabilă şi anume, Cs = 2 Cv. Se verifică dacă această curbă se suprapune peste curba de probabilitate empirică. În caz afirmativ înseamnă că coeficientul a fost bine ales şi calculul se consideră încheiat.

201


Dacă însă cele două curbe au valori apropiate în zona probabilităţilor medii iar la extremităţi nu se suprapun (caz foarte frecvent) se ia o nouă valoare pentru coeficientul şi se reface calculul, privind curba de probabilitate teoretică, până când acesta se va suprapune peste cea empirică.

Sensul de modificare a coeficientului este funcţie de poziţia pe care o au cele două curbe şi anume: dacă în zona probabilităţilor mici (<10%) curba de probabilitate teoretică este situată sub curba de probabilitate empirică atunci se va lua > 2, iar contrar <2.

Tabelul 13.5 Ordonatele curbei de probabilitate Krîţkii-Menkel pentru =1p% Cv

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0,001 1,45 2,01 2,63 3,30 4,02 4,82 5,62 6,46 7,38 8,37 8,92 10,28

0,01 1,39 1,86 2,39 2,94 3,55 4,20 4,87 5,59 6,07 7,19 8,01 8,82

0,1 1,33 1,70 2,11 2,54 3,02 3,53 4,05 4,50 5,21 5,82 5,58 7,12

1 1,24 1,51 1,78 2,09 2,41 2,76 3,11 3,40 3,90 4,31 4,73 5,16

5 1,17 1,34 1,53 1,72 1,92 2,13 2,35 2,56 2,80 3,05 3,28 3,54

10 1,13 1,26 1,40 1,54 1,69 1,82 1,96 2,11 2,27 2,42 2,56 2,70

20 1,10 1,17 1,25 1,32 1,41 1,43 1,55 1,81 1,67 1,72 1,75 1,77

50 1,00 0,99 0,98 0,98 0,93 0,90 0,86 0,81 0,76 0,70 0,62 0,54

80 0,91 0,83 0,74 0,65 0,57 0,47 0,39 0,31 0,23 0,16 0,11 0,01

95 0,84 0,69 0,55 0,42 0,31 0,21 0,14 0,08 0,04 0,02 0,01 0,00

99 0,78 0,58 0,41 0,27 0,16 0,08 0,04 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00

99,9 0,72 0,47 0,28 0,15 0,07 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Tabelul 13.6 Ordonatele curbei de probabilitate Krîţkii-Menkel pentru =1,5p% Cv

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,001 1,44 1,94 2,46 2,91 3,47 3,95 4,35 4,72 5,02 5,300,01 1,40 1,81 2,25 2,70 3,15 3,37 3,94 4,31 4,88 4,910,1 1,32 1,67 2,08 2,39 2,77 3,14 3,48 3,82 4,13 4,411,0 1,24 1,49 1,75 2,03 2,31 2,59 2,87 3,15 3,45 3,785,0 1,17 1,34 1,52 1,70 1,90 2,10 2,31 2,52 2,78 3,0410 1,13 1,26 1,39 1,58 1,68 1,83 1,99 2,16 2,38 2,5720 1,08 1,17 1,25 1,34 1,42 1,51 1,59 1,89 1,78 1,8850 1,00 0,99 0,99 0,97 0,96 0,93 0,89 0,83 0,16 0,6780 0,91 0,83 0,74 0,65 0,55 0,45 0,35 0,24 0,15 0,0995 0,84 0,58 0,58 0,38 0,26 0,15 0,08 0,04 0,01 0,0099 0,78 0,57 0,38 0,23 0,12 0,05 0,01 0,00 0,01 0,00

99,9 0,70 0,45 0,25 0,11 0,04 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

202


0,001 1,58 2,50 3,82 5,60 8,10 11,00 14,26 17,60 20,60 24,00 27,50 32,900,01 1,51 2,20 3,15 4,36 5,90 7,70 9,57 11,40 13,55 18,60 21,65 20,710,1 1,38 1,87 2,53 3,29 4,20 5,07 8,05 7,02 8,12 9,25 10,42 11,651,0 1,25 1,58 1,94 2,34 2,17 3,17 3,59 4,91 4,43 4,90 5,35 5,825,0 1,17 1,35 1,55 1,75 1,93 2,11 2,28 2,45 2,60 2,77 2,92 3,0110 1,11 1,26 1,38 1,51 1,61 1,72 1,82 1,90 2,00 2,05 2,12 2,1820 1,08 1,15 1,21 1,26 1,31 1,34 1,37 1,40 1,41 1,42 1,43 1,4350 0,99 0,98 0,95 0,92 0,89 0,85 0,82 0,76 0,75 0,71 0,67 0,5380 0,91 0,83 0,75 0,68 0,61 0,55 0,50 0,45 0,40 0,36 0,31 0,2795 0,85 0,72 0,61 0,52 0,44 0,37 0,32 0,26 0,22 0,16 0,15 0,1299 0,80 0,64 0,52 0,42 0,34 0,27 0,22 0,17 0,14 0,11 0,08 0,06

99,9 0,75 0,56 0,43 0,33 0,25 0,19 0,14 0,10 0,09 0,05 0,04 0,00


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,001 1,50 2,28 3,35 4,69 6,21 6,30 10,42 12,80 15,52 18,28 21,30 24,600,01 1,42 2,05 2,85 3,18 5,00 5,28 7,70 9,21 11,00 12,89 14,86 16,860,1 1,35 1,80 2,36 3,00 3,75 4,58 5,43 6,31 6,48 7,33 9,54 10,681 1,25 1,55 1,88 2,25 2,65 3,07 3,49 3,92 4,40 4,88 5,37 5,6510 1,14 1,26 1,39 1,58 1,68 1,76 1,87 1,97 2,09 2,15 2,24 2,3120 1,09 1,16 1,23 1,29 1,33 1,38 1,42 1,45 1,47 1,49 1,49 1,5050 0,99 0,98 0,96 0,98 0,90 0,86 0,82 0,78 0,74 0,91 0,68 0,8180 0,91 0,83 0,75 0,67 0,80 0,53 0,40 0,41 0,36 0,70 0,26 0,2295 0,84 0,71 0,39 0,49 0,41 0,33 0,26 0,21 0,17 0,13 0,10 0,0799 0,79 0,62 0,48 0,37 0,29 0,21 0,16 0,12 0,08 0,06 0,04 0,03

99,9 0,73 0,53 0,38 0,27 0,19 0,13 0,09 0,08 0,03 0,02 0,01 0,01

Tabelul 13.9 Calculul curbei de probabilitate teoretică cu ajutorul tabelelor Krîţkii- Menkel

p% 0,001 0,01 0,1 1 5 10 20 50 80 90 99 99,9

KXp=K Xmed

13.1.2.Exemplu de calcul

În această aplicaţie se prezintă un exemplu de calcul a curbei de asigurare empirice şi a curbei de asigurare teoretice Pearson tip III utilizând ca date debitele maxime înregistrate pe râul xxx, postul xxx.

a) Calculul curbei de probabilitate empirica (Tabelului 13.10)

Reprezentând grafic datele din coloanele 3 şi 5 ale tabelului 13.10 rezultă curba de probabilitate empirică (figura 13.2).

Tabelul 13.10 Elementele necesare întocmirii curbei de probabilitate empiricăAnul Debitul maxim

Qmax

Qi max

ordonat descrescător lg Qi max

Probabilitatea empirică

lg pi

203


[m3/s] [m3/s]

0 1 2 3 4 51977 25 30 1,477 4,347826 0,6382721978 27 29 1,462 8,695652 0,9393021979 29 28 1,447 13,04348 1,1153931980 28 28 1,447 17,3913 1,2403321981 26 28 1,447 21,73913 1,3372421982 26 28 1,447 26,08696 1,4164231983 26 28 1,447 30,43478 1,483371984 26 27 1,431 34,78261 1,5413621985 26 27 1,431 39,13043 1,5925151986 26 27 1,431 43,47826 1,6382721987 24 26 1,414 47,82609 1,6796651988 25 26 1,414 52,17391 1,7174531989 28 26 1,414 56,52174 1,7522161990 30 26 1,414 60,86957 1,78441991 28 26 1,414 65,21739 1,8143631992 28 26 1,414 69,56522 1,8423921993 27 26 1,414 73,91304 1,8687211994 26 26 1,414 78,26087 1,8935451995 28 25 1,397 82,6087 1,9170261996 26 25 1,397 86,95652 1,9393021997 26 25 1,397 91,30435 1,9604911998 25 24 1,380 95,65217 1,980695

b) Calculul curbei de probabilitate teoretică

Pentru calculul mediei aritmetice şi a coeficientului de variaţie se utilizează rezultatele din tabelul 13.11.

m3/s (13.10)

(13.11)

Cs = Cv = 2 x 0,053 = 0,106 (13.12)

Tabelul 13.11 Calcule intermediare pentru trasarea curbei de probabilitate teoretică

204


AnulQmax

[m3/s]

Qi max

ordonat descrescător [m3/s]

Ki - 1 (K i -1)2

0 1 2 3 4 5

1977 25 30 1,122 0,122 0,0151978 27 29 1,085 0,085 0,00721979 29 28 1,047 0,047 0,00221980 28 28 1,047 0,047 0,00221981 26 28 1,047 0,047 0,00221982 26 28 1,047 0,047 0,00221983 26 28 1,047 0,047 0,00221984 26 27 1,010 0,010 0,00011985 26 27 1,010 0,010 0,00011986 26 27 1,010 0,010 0,00011987 24 26 1,010 0,010 0,00011988 25 26 0,972 -0,028 0,00081989 28 26 0,972 -0,028 0,00081990 30 26 0,972 -0,028 0,00081991 28 26 0,972 -0,028 0,00081992 28 26 0,972 -0,028 0,00081993 27 26 0,972 -0,028 0,00081994 26 26 0,972 -0,028 0,00081995 28 25 0,935 -0,065 0,0041996 26 25 0,935 -0,065 0,0041997 26 25 0,935 -0,065 0,0041998 25 24 0,899 -0,103 0,010

- - =588 m3/s - - =0,061

Cu valoarea lui Cs se intră în tabelele Foster-Rîbkin şi rezultă ordonatele curbei polinomiale de probabilitate .

Calculele privind curba de probabilitate teoretică pentru =2 se fac tabelar (tabelul 13.12).

Tabelul 13.12 Curba de probabilitate teoreticăp % 0,01 0,1 1 5 10 20 50 80 95 99 99,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3,94 2,40 2,40 1,67 1,29 0,84 -0,02 -0,85 -1,62 -2,25 -2,95

Cv 0,208 0,127 0,127 0,09 0,07 0,04 -0,001 -0,05 -0,09 -0,12 -0,16

K=1+Cv 1,208 1,127 1,127 1,09 1,07 1,04 0,999 0,95 0,91 0,88 0,84

Qp = K Qmed32,286 30,121 31,121 29,132 28,597 27,796 26,700 25,390 24,321 23,519 22,450

lg p -2 -1 0 0,698 1 1,301 1,698 1,903 1,977 1,995 1,999

lg Qp 1,509 1,478 1,478 1,464 1,456 1,443 1,426 1,404 1,385 1,271 1,351

Reprezentând grafic datele din ultimele două linii ale tabelului 13.12 rezultă curba de probabilitate teoretică ( figura 13.2).

Din figura 13.2 se observă că cele două curbe nu se suprapun, deci =2 nu este satisfăcătoare. Curba de probabilitate teoretică este situată sub curba de probabilitate empirică în zona probabilităţilor mici şi ca urmare trebuie mărit coeficientul şi refăcut calculul curbei de probabilitate teoretică. Calculele sunt

205


asemănătoare cu cele reprezentate anterior, numai că de această dată se folosesc tabelele Krîţkii-Menkel.

Figura 13,2 Curba de probabilitate empirică şi teoretică Pearson tip III

13.4. Concluzii

a) Analizând curbele din figurile prezentate, se observă că pentru probabilităţile

mici, debitele maxime obţinute utilizând curba de probabilitate empirică sunt mai mari decât debitele din curba teoretică Pearson III.b) Curba teoretică Pearson III permite determinarea debitelor maxime cu diferite probabilităţi în zonele extreme adică în zonele unde datorită şirurilor scurte de date din măsurători nu există valori pe curba de probabilitate empirică.

206

13 Pearson III

Documents

Transcript of 13 Pearson III