11.10. REZUMAT - DE LA MECANICA CLASICA LA C˘ AMPURI ...

11.10. REZUMAT - DE LA MECANICA CLASICA LA CAMPURI CLASICE 229

Camp Maxwell

• Densitatea de Lagrangian

∣∣∣∣∣∣∣∣L = −

1

4FµνF

µν − µ0jµAµ (11.237)

Fµν=∂µAν−∂νAµ ; Fµν=∂µAν−∂νAµ (11.238)

• Ecuatiile Euler-Lagrange

∂L∂Aν−∂µ

(∂L

∂(∂µAν)

)=0

∣∣∣∣∣∣∣ ∂µFµν = µ0j

ν (11.239)

Camp Proca

Capitol 12

Campuri cuantice• Trecerea de la mecanica clasica la mecanica cuantica (cuantificarea I) s-a facut prin

ınlocuirea marimilor fizice cu operatori:

x −→ x p −→ p=−i~ ∂∂x

H(x, p) −→ H(x, p)

E −→ E= i~ ∂∂t

{x, p

}−→

1

i~

[x, p

] (12.1)

• Trecerea de la mecanica clasica la campuri clasice, s-a facut prin ınlocuirea variabilelor de coor-donata si derivata coordonatei (viteza sau impuls) cu cele de camp si derivata covarianta a campului:

xi −→ ϕµ p −→ π L(x, x) −→ L(ϕ, ∂µϕ)

xi −→ ∂µϕ p= ∂L∂x−→ π= ∂L

∂ϕ

(12.2)

• Trecerea de la campuri clasice la campuri cuantice (cuantificarea a II-a) se face prin ınlocuireacampurilor si a derivatelor de camp cu operatorii corespunzatori.

ϕ −→ ϕ π −→ π

ϕ∗ −→ ϕ† π∗ −→ π†

H(ϕ, π) −→ H(ϕ, π){ϕ, π

}−→

1

i~[ ϕ, π ]

(12.3)

12.1 De la campuri clasic la campuri cuantice

Cuantificarea campurilor clasice pentru a obtine campuri cuantice se face asemanator cum s-atrecut de la mecanica clasica la mecanica cuantica prin trecerea de la marimile fizice la operatori.Aici trecerea se face de la campuri (functii de valori reale) la operatori hermitici ψ(x)→ ψ(x)si π(x)→ π(x).

• Fie un camp clasic ın reprez. de coord.ϕ(x), casol. de unda plana pt. partic. de impulsp: ϕ(x) = a ei p x (12.4)

• Orice camp poate fi scris ca o dezvoltare dupaun set complet de solutii de unde plane pentruvaloari discrete de impuls pn.

ϕ(x)=∞∑n=1

an ei pn x (12.5)

• Pentru amplitudini a reale si valori p continui,suma devine o integrala pe spatiul impulsurilor:

ϕ(x)=1√

2π

∫a(p) ei p xdp (12.6)

230

12.2. OSCILATORUL ARMONIC 231

• Campul ın reprezentarea canonic conjugataa(p) este legat de campul ın reprezentarea decoordonata ϕ(x) prin transformata Fourier:

a(p)=1√

2π

∫ϕ(x) e−i p xdx (12.7)

• Un camp clasic poate fi privit ca un ansamblu continuu (12.6) de unde (oscilatori N → ∞).Cuantificarea campului se face prin ınlocuirea componentelor de camp cu operatori: ϕ(x)→ϕ(x), atunci, daca notam |n〉=ei pn x, avem,

• Cuantificarea campului (12.5) ınseamna ϕ(x)=∑n

an |n〉 (12.8)

• Cuantificarea campului (12.6) devine ϕ(x)=1√

2π

∫a(p) |n〉 dp (12.9)

• Cuantificarea campului (12.7) devine a(p)=1√

2π

∫〈n| ϕ(x) dx (12.10)

12.2 Oscilatorul armonic

12.2.1 Oscilatorul armonic ın mecanica clasica• Conform Newton F = mx. Un corp de masa m, sub

actiunea fortei elastice F (x)=−κx, are ec. de miscare

∣∣∣∣ −κx = mx (12.11)

• Dupa cum am vazut, aceeasi ecuatie (12.11) se poateobtine si cu ajutorul ecuatiei Euler-Lagrange:

∣∣∣∣ ∂L

∂x−d

dt

(∂L

∂x

)=0 (12.12)

cu Lagrangian-ul: L(x, x)=T−V =m

2x2−

κ

2x2 =⇒

∂L

∂x=−κx ;

∂L

∂x=mx

de unde mx =d

dt

(∂L

∂x

), ecuatia (12.12) conduce imediat la ecuatia (12.11).

• De asemenea, aceeasi ecuatie (12.11) se poateobtine si cu ajutorul ecuatiilor Hamilton:

∣∣∣∣ ∂H

∂x= −p ;

∂H

∂p= x (12.13)

cu Hamiltonian-ul: H(x, p)=T+V =p2

2m+κ

2x2 =⇒

∂H

∂p=p

m;∂H

∂x=κx

de unde p=m∂H

∂p

(12.13)︷︸︸︷= mx si κx=

∂H

∂x

(12.13)︷︸︸︷= −p=−mx adica (12.11)

• Prin integrarea ecuatiei de miscare se obtine ”traiectoria” x = x(t) a particulei.In cazul de fata, miscarea oscilatorie armonica,

x(t)=x0 cos(ωt)=a ei ω t+a∗e−i ω t cu ω =√κ

m(12.14)

232 CAPITOL 12. CAMPURI CUANTICE

12.2.2 Oscilatorul armonic ın mecanica cuantica (formalism Dirac)• Cuantificarea oricarui sistem mecanic se face prin schimbarea marimilor fizice cu operatorii

corespunzatori:

x→ x=x ; p→ p=−i~∂

∂x; E→ E= i~

∂

∂t

H(x, p)→H (x, p)

{x, p}→1

i~[x, p]

• Un oscilator armonic clasic, are energia totala exprimata prin Hamiltonian:

H(x, p)=T+V =p2

2m+κ

2x2 =

p2

2m+mω2

2x2 am folosit (12.14) κ=mω2 (12.15)

• Cuantificarea oricarui sistem clasic se face cu ajutorul Hamiltonian-ului, prin

- trecerea laoperatori

H(x, p)= T+V =p2

2m+mω2

2x2

∣∣∣∣∣∣cu operatorii corespunzatorivariabilelor conjugate canonicce satisfac relatia de comutare:

∣∣∣∣∣∣ [ x, p ]= i~ (12.16)

- si rezolvarea ecuatiei de unda cu valori si functii proprii de energie: Hψn=Enψn (12.17)

• De exemplu, ın cazul oscilatorului armonic cuantic, folosim formalismul Dirac pentruaflarea valorilor En.

• Inlocuim x si p cu operatorii her-mitici redusi X si P (adimensionali):

∣∣∣∣ X=√mω

~x ; P =

√1

mω~p cu

[X, P

]= i (12.18)

Intr-adevar,[X, P

]= XP − P X =

√mω

~

√1

mω~[ x, p ]︸︷︷︸i~

= i

• Hamiltonian-uldevine: H=

p2

2m+mω2

2x2=

mω~2m

P 2+mω2

2

~mω

X2 =~ω2

(X2+P 2

)(12.19)

DacaX si P ar fi numere reale, acesta este Hamiltonian-ul clasic (12.15)

Daca X si P sunt operatori, cautam H sub forma: H=~ω2

(X−iP

)︸︷︷︸a†

(X+iP

)︸︷︷︸a

(12.20)

• Astfel, Dirac trece la opera-torii adimensionali a si a†:

∣∣∣∣ a=1√

2

(X+iP

); a†=

1√

2

(X−iP

)cu[a, a†

]=1 (12.21)

Intr-adevar,[a, a†

]=

1

2

[X+iP , X−iP

]=

1

2

( [X, X

]︸︷︷︸

=0

−i[X, P

]︸︷︷︸

=i

+i[P , X

]︸︷︷︸

=−i

+[P , P

]︸︷︷︸

=0

)=

1

2

(1 + 1

)=1

(12.22)

deci[a, a†

]= +1 si similar

[a†, a

]= −1 (12.23)


• Hamiltonian-ul (12.20) va fi: H=~ω a†a ori H=~ω aa† (ambiguitate de ordonare).

• Putem exprima operatorii hermiticiX si P cu ajutorul a si a†:

∣∣∣∣ X=1√

2

(a+a†

); P=

−i√

2

(a−a†

)(12.24)

• Am vazut (12.19)Hamiltonian-ulnostru este:

∣∣∣∣∣ H=~ω2

(X2+P 2

)X2 =

1

2

(a+a†

)(a+a†

)=

1

2

(a2+aa†+a†a+(a†)2

)P 2=−

1

2

(a−a†

)(a−a†

)=−

1

2

(a2−aa†−a†a+(a†)2

)• Folosind relatia de comu-

tare aa†− a†a = 1,Hamiltonian-ul devine:

∣∣∣∣∣ H=~ω2

(X2+P 2

)=

~ω2

(aa†︸︷︷︸a†a+1

+ a†a︸︷︷︸aa†−1

)=

~ω(a†a+ 1

2

)~ω(aa†− 1

2

) (12.25)

• Evaluam si relatiile de comutare[H, a

],[H, a†

]pentru Hamiltonianul H=~ω

(aa†−

1

2

)[H, a

]=[~ω(aa† − 1

2

), a]

= ~ω(a[a†, a

]︸︷︷︸−1

+[a, a

]︸︷︷︸

0

a†)

= −~ωa

deci[H, a

]= −~ωa si similar

[H, a†

]= +~ωa† (12.26)

12.2.3 Crearea si anihilarea de stari de oscilator armonic

• Presupunem ca ψn este stare proprie a hamiltonianului Hψn=Enψn (12.17), cu energia En.

Sa studiem acum actiunea comutatorilor[H, a

]si[H, a†

](12.26) asupra functiei de stare ψn.[

H, a]ψn = −~ωaψn

Haψn − a Hψn︸︷︷︸Enψn

= −~ωaψn

H(aψn

)−En

(aψn

)=−~ω

(aψn

)H(aψn

)=(En−~ω

)(aψn

)adica

(aψn

)∼ψn−1 este functie proprie pentru

Hamiltonianul H , cu valoarea proprie En−~ω.

Deci, aψn∼ψn−1 este starea cu energia coborata,obtinuta cu emisia unei cuante de energie ~ω.

[H, a†

]ψn = ~ωa†ψn

Ha†ψn − a† Hψn︸︷︷︸Enψn

= ~ωa†ψn

H(a†ψn

)−En

(a†ψn

)=~ω

(a†ψn

)H(a†ψn

)=(En+~ω

)(a†ψn

)adica

(a†ψn

)∼ψn+1 este functie proprie pentru

Hamiltonianul H , cu valoarea proprie En+~ω.

Deci, a†ψn∼ψn+1 este starea cu energia ridicata,obtinuta cu absoarbtia unei cuante de energie ~ω.


Operatorii de creare si anihilare stari de oscilator armonic

• Cu operatorii a† de creare si a de anihilare stari, se pot obtine toate starile de energie ale oscila-torului armonic. Totusi, nu putem coborı sub zero energia oscilatorului armonic.

• Pentru a opri ca operatorul de anihilare a sa duca la stari de energie negativa, prin aplicarea succe-siva asupra ψn, va trebui sa facem ca functia proprie ınsasi sa devina zero, pentru energia minima.

• Adica pentru starea fundamentala cerem ca: aψ0 = 0 (12.27)

Deoarece H (12.25) contine a pe pozitia necesara (”ordonarea normala”), putem scrie energia

starii fundamentale: Hψ0 = ~ω(a†a︸︷︷︸N

+1

2

)ψ0 = ~ωa† aψ0︸︷︷︸

0

+~ω2ψ0 =

~ω2ψ0 (12.28)

• Deci energia proprie a starii fundamentale este: E0 =1

2~ω (12.29)

• Identificam operatorul numar de cuante: N = a†a (12.30)

• Studiem acum actiunea operatorului numar de cuante asupra functiei ψn ≡ |n〉.Am vazut ca aψn este legat de |n− 1〉 iar a†ψn este legat de |n+ 1〉.

• Separat, operatorii ade anihilare si a† decreare stari, conduc lastarile (normate):

∣∣∣∣∣∣∣a|n〉=

√n |n− 1〉 cu a|0〉=0 si ‖|0〉‖2=1

a†|n〉=√n+ 1 |n+ 1〉 =⇒ |n〉=

(a†)n√n!|0〉

(12.31)

• Operatorul numar decuante N actioneazaasupra starii |n〉

∣∣∣∣∣∣{N |n〉= a†a|n〉= a†

√n |n−1〉 =

=√n√n |n〉=n |n〉

(n=0, 1, 2,. . . ) (12.32)

• Setul complet de vectori debaza |n〉 sunt functii pro-prii din ecuatia cu valoriproprii H|n〉 = En|n〉(spatiul Fock)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣H |n〉=~ω

(a†a+

1

2

)|n〉=~ω

(n+

1

2

)|n〉=En |n〉 (12.33)

• iar valorile proprii de ener-gie ale oscilatorului armo-nic, pe fiecare nivel n, suntcuantificate:

∣∣∣∣∣∣∣ En=(n+

1

2

)~ω (n=0, 1, 2...) (12.34)

• In starea fundamentala n=0, cu E0 =1

2~ω 6=0

• Am obtinut astfel toate starillecuantificate ale oscilatoruluiarmonic. Pe fiecare nivel|n〉 avem conform (12.32) ncuante de energie ~ω.

|0〉 stare cu energia (1/2)~ω starea fundamentala|1〉 stare cu energia (1 + 1/2) ~ω 1 cuanta de energie ~ω|2〉 stare cu energia (2 + 1/2) ~ω 2 cuante de energie ~ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|n〉 stare cu energia (n+ 1/2) ~ω n cuante de energie ~ω

In concluzie: Fiecare stare proprie ψn ≡ |n〉 a Hamiltonian-ului (12.33) de oscilator armoniccuantic cu valoarea proprie En contine n cuante de energie.


Figura 12.1: Nivelele de energie ale unui oscilator armonic cuantic

• Putem imediat generaliza acest rezultat la cazul unui sistem pentru care Lagrangian-ul este osuma de N oscilatori independenti, ın care energia potentiala este doar functie patratica dedeplasarile yi (similar (11.76), spre deosebire de cazul legat (11.87)). Ca urmare, obtinemun sistem linear de ecuatii de miscare, adica o superpozitie (sumare lineara) a oscilatiilor.

• Lagrangian-ul sistemului este compusdin termeni de oscilatori independenti.

∣∣∣∣ L= T−V =N∑r=1

(m ˆx2

r

2−mω2

r

2x2r

)(12.35)

• La fel, energia totala este o suma de N energii de moduri normale de oscilatori armoniciindependenti cu frecventa ωr, indexate cu r. Hamiltonianul este deci o suma de energiiindependente. Folosind expresia (12.33) Hamiltonian-ul se poate scrie:

H= T+V =N∑r=1

(m ˆx2

r

2+mω2

r

2x2r

)=

N∑r=1

(a†rar +

1

2

)~ωr (12.36)

• Deoarece valorile proprii ale operatorului numar decuante Nr= a†rar sunt nr (12.32), atunci din (12.36)rezulta valorile proprii de energie ale H sunt (12.34)

∣∣∣∣∣∣ E =N∑r=1

(nr +

1

2

)~ωr (12.37)

• Starile proprii corespunzatoare sunt date de produsul functiilor proprii individuale|n1〉|n2〉 . . . |nN〉. In starea fundamentala a sistemului de oscilatori cuantici, fiecareoscilator individual este neexcitat: starea |0, 0, . . . 0〉, este notata pe scurt |0〉. Pentrustarea fundamentala, conform (12.27), ar|0〉 = 0 pentru toate valorile r.

Operatorii a†r creaza stari de oscilatie, iar operatorii ar anihileaza stari de oscilatie.


12.2.4 Sisteme cuantice de oscilatori armonici• Fiecare mod normal de oscilatie, adica fiecare nivel de energie

a unui oscilator armonic, are o frecventa proprie de oscilatie,cu valori proprii cuantificate de energie, conform (12.34), sunt:

∣∣∣∣∣∣En =

(n+

1

2

)~ω

(12.34)unde n = 0, 1, 2, . . .

• Energia totala ın tratarea cuantica, estedata de suma energiilor pentru modu-rile normale de oscilatie

∣∣∣∣∣∣ E =N∑n=1

(n+

1

2

)~ωi (12.38)

• In cazul unui sistem cu numar finit de atomi de exemplu, ca oscilatori armonici independenti,frecventele fiecarui mod normal de oscilatie sunt determinate de fortele interatomice, atatın descrierea clasica cat si ın cea cuantica. In descrierea cuantica, starile cu energie datepentru vibratiile (oscilatiile) sistemului de N -atomi sunt caracterizate prin valorile ıntregi(n1, n2, . . . , nN ), care specifica energia (12.34) a fiecarui mod normal de oscilatie.

Pentru fiecare mod de oscilatie, ~ω masoara energia unei cuanta. Energia unei stari permisea modului respectiv de oscilatie este determinata ın mod unic de numarul n de cuante deenergie din acea stare.

• In continuare ne vom concentra atentia nu atat asupra numarului N de nivele de energie astarilor de oscilatie, cat mai ales asupra cuantelor de energie ~ωi din fiecare stare (grad delibertate) a sistemului si care determina comportarea cuantica a sistemului ın ansamblu.

Intr-o stare de energie(n+ 1

2

)~ωi, exista ni cuante, fiecare cu energia ~ωi.

Pentru starea caracterizata prin (n1, n2, . . . , nN), avem n1 cuante de mod de oscilatie 1(frecventa ω1), n2 cuante de mod de oscilatie 2, . . . , si nN cuante de mod de oscilatieN .

• Nota: Desi numarul de moduri de oscilatie N este finit (cel putin ın cazul sistemelor cunumar finit de grade de libertate), numarul ni nu are ın general nici o restrictie, doar dacaexista limitare de energie totala.

Cu alte cuvinte trecem de la tratarea cu un numar fixN de grade de libertate, la o tratare cunu numar variabil ni de cuante de energie.

• In cazul unui corp solid, aceste cuante de vibratie se numesc fononi, ca si cuante elementarede excitatie vibrationala.


12.2.5 Starea de vacuum a oscilatorului armonic cuantic• Am vazut, setul de vectori de baza, ca stari proprii |n〉 ale Hamiltonian-ului de oscilator

armonic, formeaza baza unui spatiu vectorial, numit spatiu Fock:

H |n〉=~ω(a†a+

1

2

)|n〉=En |n〉

pentru starea de vacuum avem: H|0〉=1

2~ω|0〉 cu E0 =

1

2~ω

• Sa calculam pozitia media a oscilatorului ın starea fundamentala (de vacuum) folosind opera-torul adimensional de pozitie X (12.18), (B.15):

〈0|X|0〉=1√

2〈0|(a+a†

)|0〉=0 deoarece (B.16) a|0〉=0 si 〈0|a†=0

• Chiar daca aceasta valoare e zero, totusi valoarea medie pentru X2 nu este zero:

〈0|X2|0〉=1

2〈0|(a+a†

)2|0〉=

1

2〈0|(a2|{z}

=0

+a†2|{z}=0

+aa†+a†a|{z}=0

)|0〉=

1

2〈0|aa†|0〉=

1

2〈0|(1+a†a

)|0〉=

1

2

ce indica faptul ca avem o dispersie a pozitiei ın jurul valorii zero.

• In mod similar, pentru impuls avem: 〈0|P |0〉=0 ; 〈0|P 2|0〉=1

2

• Cu legatura (12.18) ıntre x si X ⇒ x=√

~mωX , exprimam dispersia ın coordonate

∆x2≡(x−〈x〉)2 (abaterea patratica medie), la fel si cea ın impuls:

∆x2 =~mω〈0|X2|0〉︸︷︷︸

=1/2

=1

2

~mω

; ∆p2 =~mω 〈0|P 2|0〉︸︷︷︸=1/2

=1

2~mω

• Acestea asigura val. minima a rel. de nedeterminare Heisenberg: ∆x·∆p=~2


12.2.6 Oscilatorul armonic ın mecanica cuantica (reluare § 12.2.2)

• In cazul oscilatorului armonic, ınlocuim operatorii x si p prin a si a† (complex-conjugat-ul luia) astfel ca relatia de comutare (12.16) sa devina

[a, a†

]= 1 (vezi (12.41)).

• Inlocuim ın Hamiltonian (12.16) operatorii x si p prin a si a† (12.21):

a =1√

2~ω

(√k x+ i

p√m

); a†=

1√

2~ω

(√k x− i

p√m

)(12.39)

Coeficientii s-au ales astfel ıncat [x, p]= i~ trece ın [a, a†]=1 (12.22).

aa†=1

2~ω

(kx2−i

√k

mxp+i

√k

mpx+

1

mp2

)=

1

~ω

(1

2kx2+

1

2mp2−

i

2ω (i ~)

)=

1

~ω

(H+

1

2~ω)

a†a=1

2~ω

(kx2+i

√k

mxp−i

√k

mpx+

1

mp2

)=

1

~ω

(1

2kx2+

1

2mp2+

i

2ω (i ~)

)=

1

~ω

(H−

1

2~ω)

• Din fiecare expresie demai sus putem exprimaHamiltonian-ul (12.25):

∣∣∣∣∣∣ H=~ω(aa†−

1

2

)si H=~ω

(a†a+

1

2

)(12.40)

• Comutatorul(12.23):

∣∣∣∣ [a, a†]= aa†−a†a=1

~ω

(H+

1

2~ω)−

1

~ω

(H−

1

2~ω)

=1

2+

1

2=1 (12.41)

• Comutatorii(12.26):

∣∣∣∣ [H, a

]=−~ωa ;

[H, a†

]=+~ωa† (vezi mai departe) (12.42)

• Din (12.39), cu k=mω2, exprimam vechii operatori x si p prin cei noi a si a†

x =

√~

2mω

(a+ a†

); p = −i

√mω~

2

(a− a†

)(12.43)

• Prin adunarea expresiilor (12.40), rezultaHamiltonian-ul oscilatorului armonic: H =

1

2~ω(aa† + a†a

)(12.44)

12.3. CUANTIFICAREA CAMPURILOR - CUANTIFICAREA A II-A 239

12.3 Cuantificarea campurilor - cuantificarea a II-a• Cuantificarea (campurilor) ınseamna trecerea la operatori (de camp).

• Campul ϕ ca solutia generalade unda plana (11.177), scrisaca operator, este:

∣∣∣∣∣∣ ϕ(x)=∫

d3~k√(2π)3 2ωk

(αke

−i k·x+ α†kei k·x

)unde: k·x=ωkt−~k·~x

(12.45)

• Pentru a gasi operatorii αk si α†k, folosim

- operatorii de campϕ(x) si ˆϕ(x) laacelasi timp t0 =0:

ϕ(~x, 0)=

∫d3~k√

(2π)3 2ωk

(αk e

i~k·~x+α†k e−i~k·~x

)ˆϕ(~x, 0)=

∫d3~k√

(2π)3 2ωk(−i ωk)

(αk e

i~k·~x−α†k e−i~k·~x

) (12.46)

- si functia δ exprimata ca∫

d3~x

(2π)3e∓i

~k·~x = δ(3)(~k) (12.47)

• Separam operatorii din (12.46) cu δ3(~k) (12.47), prin integrarea∫d3~k f(~k) δ3(~k)=f(0),

deci ınmultim (12.46)cu δ(3)(~k) (12.47)ramane f(~k=0).

∫d3~x

(2π)3e∓i

~k·~x ϕ(~x, 0) =αk+α†−k√(2π)3 2ωk∫

d3~x

(2π)3e∓i

~k·~x ˆϕ(~x, 0) =(−i ωk)αk−α†−k√(2π)3 2ωk

(12.48)

• de unde

αk=

2ωk2

∫d3~x√(2π)3

e−i~k·~x(ϕ(~x, 0) +

i

ωkˆϕ(~x, 0)

)α†k=

2ωk2

∫d3~x√(2π)3

ei~k·~x(ϕ(~x, 0)−

i

ωkˆϕ(~x, 0)

) (12.49)

12.3.1 Operatori de creare si anihilare stari de camp

• Cu αk si α†k′ (12.49), tinand cont ca pentru un camp scalar liber (11.162), π = ˆϕ, calculam

relatiile de comutare la acelasi timp:[αk, α

†k′

](campurile sunt evaluate la pozitii ~x si ~x′ diferite, dar la acelasi t= t′=0),[αk, α

†k′

]2ωk2ωk′

=−1

4

∫d3~x d3~x′

(2π)3

{i

ωk′

[ϕ(~x, 0), ˆϕ(~x′, 0)

]+i

ωk

[ϕ(~x′, 0), ˆϕ(~x, 0)

]}e−i

~k·~x+i~k′·~x′

=−1

4

∫d3~x d3~x′

(2π)3

{i

ωk′

[i δ(3)(~x− ~x′)

]+i

ωk

[i δ(3)(~x− ~x′)

]}e−i

~k·~x+i~k′·~x′

=1

4

∫d3~x

(2π)3

{1

ωk′+

1

ωk

}e−i (~k−~k′)·~x =

1

2ωkδ(3)(~k−~k′

)unde am folosit (12.47)


• Definim operatorii de creare a†k= α†k

√1

2ωksi anihilare ak= αk

√1

2ωk

atunci relatiile de comutare ıntreoperatorii de creare si anihilare sunt:

∣∣∣∣ [ak, a

†k′

]= δ(3)

(~k − ~k′

)(12.50)

• Cu (12.50) am regasit relatiile de comutare[a, a†

]=1 pentru operatorii de oscilator armonic cuantic :

• Inlocuind ın (12.46) αk=√

2ωk ak si α†k=√

2ωk a†k operatorii ϕ(~x) si π(~x) pentru t=0, devin

ϕ(~x)=∫

d3~k√(2π)3 2ωk

(ak e

i~k·~x+a†k e−i~k·~x

)(12.51)

π(~x)= ˆϕ(~x)=∫

d3~k√(2π)3 2ωk

(−iωk)(ak e

i~k·~x−a†k e−i~k·~x

)(12.52)

12.3.2 Cuantificarea energiei campului scalar masiv

• Avand Hamiltonian-ul decamp scalar (11.163)

∣∣∣∣ H=1

2

∫d3~x

[π2+(∇ϕ)2+m2ϕ2

](12.53)

• Folosind expresiile pen-tru ϕ (12.51) si π (12.52)

∣∣∣∣ϕ(~x)=

∫d3~k√

(2π)3 2ωk

(ak e


)(12.51)

π(~x)=∫

d3~k√(2π)3 2ωk

(−iωk)(ak e


)(12.52)

• Atunci, Hamiltonian-ul va fi:

H=1

2

∫d3~x

d3~kd3~k′

(2π)3

[−√ωkωk′

2

(ake

i~k·~x−a†ke−i~k·~x

)(ak′e

i~k′·~x−a†k′e−i~k′·~x

)+

+(i~k)(i~k′)

2√ωkωk′

(ake


)(ak′e


)+

+m2

2√ωkωk′

(ake

i~k·~x+a†ke−i~k·~x

)(ak′e

i~k′·~x+a†k′e−i~k′·~x

)](12.54)

• Prin integrare dupa d3~x rezulta δ(3)(~k∓~k′), apoi integrare dupa d3~k (vezi Anexa pag.241)

H=1

4

∫d3~k

1

ωk

[(−ω2

k+~k2+m2)(aka−~k+a†ka

†−k

)+(ω2k+~k2+m2

)(aka

†k+a†kak

)]• Operatorul Hamilton de camp scalar este: (12.50)

�� H=

1

2

∫d3~k ωk

(aka

†k+a†kak

)=∫d3~k ωk

(a†kak+

1

2

)(12.55)

similar cu Hamiltonian-ul de oscilator armonic cuantic (12.33) .


• Deci, operatorul densitate de energie pentru mode-ul k de oscilatie a unui camp scalar liber,este (introducem constanta ~):

Ek = ~ωk(a†kak+

1

2

)(12.56)

similar cu energia oscilatorului armonic cuantic (12.34)

ANEXA• Efectuam produsele din integrala de oscilatie de mode k si apoi integram dupa d3~x:

Ik=

Zd3~k′

Zd3~x

(2π)3

»−√ωkωk′

2

“akak′e

i(~k+~k′)·~x−aka†k′ei(~k−~k′)·~x−a†kak′e

−i(~k−~k′)·~x+a†ka†k′e−i(~k+~k′)·~x

”+

+1

2√ωkωk′

“−~k~k′akak′ei(

~k+~k′)·~x+~k~k′aka†k′e

i(~k−~k′)·~x−~k~k′a†kak′e−i(~k−~k′)·~x−~k~k′a†ka

†k′e−i(~k+~k′·~x

”+

+m2

2√ωkωk′

“akak′e

i(~k+~k′)·~x+ aka†ke−i(~k−~k′)·~x+ a†kak′e

−i(~k−~k′)·~x+ a†ka†k′e−i(~k+~k′)·~x

”–

• Identificand functia δ(k∓k′)=1

2π

∫ei(k∓k

′)xdx (scrisa 3-dim) si integrand d3~x cu

f(~k)=∫δ(3)(~k∓~k′)f(~k′) d3~k′=

∫ (1

(2π)3

∫ei(~k∓~k′)·~xd3~x

)f(~k′)d3~k′ cu

{~k′=~k~k′=−~k

• avem

Ik =[−√ωkω−k

2aka−k +

k2

2√ωkω−kaka−k +

m2

2√ωkω−kaka−k

+√ωkωk

2aka

†k +

k2

2√ωkωk

aka†k +

m2

2√ωkωk

aka†k

+√ωkωk

2a†kak +

k2

2√ωkωk

a†kak +m2

2√ωkωk

a†kak

−√ωkω−k

2a†ka

†−k +

k2

2√ωkω−ka†ka

†−k +

m2

2√ωkω−ka†ka

†−k

]• Grupam termenii de oscilatie de mode k din parantezele drepte:[(

−√ωkω−k

2+

k2

2√ωkω−k+

m2

2√ωkω−k

)(aka−k+a†ka

†−k

)+

+(√

ωkωk

2+

k2

2√ωkωk

+m2

2√ωkωk

)(aka

†k+a†kak

)]=

Deoarece ωk=ω−k, aducem la numitor comun si folosim relatia ω2k=k2+m2:

=1

2ωk

[ (−ω2

k+k2+m2)︸︷︷︸

=0

(aka−k+a†ka

†−k)

+(ω2k+k2+m2

)︸︷︷︸=2ω2

k

(aka

†k+a†kak

)]=

=ωk(aka

†k+a†kak

)=ωk

(2a†kak+1

)am folosit relatia de comutare aa†−a†a=1

• Atunci, operatorul Hamilton de camp scalar va fi integrala din modurile de oscilatie ~k:

H=1

2

∫d3k Ik=

1

2

∫d3k ωk

(aka

†k+a†kak

)=∫d3k ωk

(a†kak+

1

2

)(12.57)


12.3.3 Camp scalar cuantic liber ın QFT (reluare Klauber)

• Operatorii de camp scalar cuantic ϕk(~x, t) si ϕ†k(~x, t) (12.51), pt. cazul discret si continuu:

• Sol. generala discreta esteo superpozitie de ϕ si ϕ†.Cu notatia k·x=ωt−~k·~x,avem

ϕ(x)=

∑~k

1√V 2ω~k

(a~k e

−ik·x+ b†~keik·x

)ϕ†(x)=

∑~k

1√V 2ω~k

(a†~keik·x + b~k e

−ik·x) (12.58)

• Sol. generala continua(fara constrangeri deV)

ϕ(x)=

∫d3~k√

(2π)3 2ω~k

(a~k e

−ik·x + b†~keik·x

)

ϕ†(x)=∫

d3~k√(2π)3 2ω~k

(a†~keik·x + b~k e

−ik·x) (12.59)

• Relatia de nedeterminare la acelasi moment t, dar penttru coordonatele spatiale ~x, ~y diferite,

similar cu relatia de comutare (12.16) pentru opeatorii [x, p] din mecanica cuantia(oscilatorul armonic) (v. ANEXA pag.243)

[ϕi(~x, t), πj(~y, t)

]= i~ δij δ(~x−~y)[

ϕi, ϕ j]=[πi, πj

]= 0

(12.60)

• Conjugatul hermitic (transpus si complex conjugat) al unui camp este un nou camp.De aceea, daca ϕi=ϕ, iar ϕ j=ϕ†, pentru i 6=j, avem

[ϕ,ϕ†

]=0.

• Relatia de comutare pentru coeficientii a, b, a†, b† ai dezvoltarilor (12.58) si (12.59)similar cu relatia de comutare (12.23) pentru operatorii

[a, a†

]din mecanica cuantica

(oscilatorul armonic) (v. ANEXA pag.243).[a(~k), a†(~k′)

]=[b(~k),~b†(~k′)

]=δ~k~k′(discret)

=δ(~k−~k′)(continuu)(12.61)

• (12.61) arata coeficientii a(~k), b(~k), etc. ai solutiilor Klein-Gordon pentru campurile cuan-tice (12.58) si (12.59), sunt cu totul diferiti de ceiAk, Bk, etc. din solutiile Klein-Gordon dinMecanica-Cuantica-Relativista, unde acestia sunt numere pure.


12.3.4 ANEXA: Comutatori operatori de camp (Klauber)

• Pentru a demonstra rela-tiile de comutare (12.61),

{ [a(~k), a†(~k′)

]=[b(~k),~b†(~k′)

]= δ~k~k′(discret)

(12.61)= δ(~k−~k′)(continuu)

pornim de la rel. de comu-tare (12.60) pt.~x, ~y diferite,dar la acelasi t (cu ~=1)

{ [ϕ(~x, t), π(~y, t)−π(~y, t)ϕ(~x, t)

]=

(12.60)[ϕ(~x, t), ˆϕ†(~y, t)− ˆϕ†(~y, t)ϕ(~x, t)

]= i δ(~x−~y)

• Introducand solutiile discrete (12.58) ın expresia (12.60), pentru ~x(~k) si ~y(~k′), obtinem ex-presia relatiei de comutare (comutatorul) la acelasi timp pentru operatorii de camp cuantic:(∑

~k

1√V 2ω~k

(a~k e

−i(ω~kt−~k·~x)+b†~k ei(ω~kt−~k·~x)

))(∑~k′

iω~k′√V 2ω~k′

(a†~k′

ei(ω~k′t−~k′·~y)−b~k′ e

−i(ω~k′t−~k′·~y)))

−(∑~k′

iω~k′√V 2ω~k′

(a†~k′ei(ω~k′t−

~k′·~y)−b~k′e−i(ω~k′t−~k

′·~y)))(∑

~k

1√V 2ω~k

(a~ke−i(ω~kt−~k·~x)+b†ke

i(ω~kt−~k·~x)))

=

=∑~k

∑~k′

iω~k′

2V√ω~kω~k′

+a~ka†~k′e−i(ω~k−ω~k′)tei(

~k·~x−~k′·~y) −a~kb~k′e−i(ω~k+ω~k′)tei(

~k·~x+~k′·~y)

+b†~ka†~k′ei(ω~k+ω~k′)te−i(

~k·~x+~k′·~y) −b†~kb~k′ei(ω~k−ω~k′)te−i(

~k·~x−~k′·~y)

−a†~k′a~ke−i(ω~k−ω~k′)tei(

~k·~x−~k′·~y) − a†~k′ b†~kei(ω~k+ω~k′)te−i(

~k·~x+~k′·~y)

+b~k′a~ke−i(ω~k+ω~k′)tei(

~k·~x+~k′·~y) +b~k′ b†~kei(ω~k−ω~k′)te−i(

~k·~x−~k′·~y)

= i δ(~x−~y)

(12.62)

• Egaland cu expre-sia functiei δ:

∣∣∣∣ δ(~x−~y)=1

V

+∞∑n=−∞

e−i~kn·(~x−~y) ≡

1

2V

∑~k

(e−i

~k·(~x−~y)+ei~k·(~x−~y))

(12.63)

• Grupand termenii, pentru toate combinatiile posibile de ~x(~k) si ~y(~k′), obtinem:

iω~k′

2V√ω~kω~k′

(b~k′a~k−a~kb~k′

)︸︷︷︸trebuie=0

e−i(ω~k+ω~k′)tei(~k·~x+~k′·~y)+

(a~ka

†~k′−a†~k′a~k


e−i(ω~k−ω~k′)tei(~k·~x−~k′·~y)

+(b~k′ b

†~k−b†~kb~k′


ei(ω~k−ω~k′)te−i(~k·~x−~k′·~y)+

(b†~ka†~k′−a†~k′ b

†~k


ei(ω~k+ω~k′)te−i(~k·~x+~k′·~y)

=0

Toti termenii cu ~k′ 6=±~k trebuie sa fie zero, deoarece ın expresia (12.63) pentru δ(~x−~y) nu avemtermeni cu~k si~k′ diferiti. Sa trecem acum sa analizam termenii ramasi, adica cei cu~k′=±~k, pentrucare avem si ω~k=ω−~k=ω~k′ .

• 1. Termenii cu ~k′=±~k si cu dependenta de timp de forma e±i(ω~k+ω~k)t sunt:

iω~k2V ω~k

(b~ka~k−a~kb~k


e−i 2ω~ktei~k·(~x+~y)+

(b†~ka†~k−a†~kb

†~k


ei 2ω~kte−i~k·(~x+~y)

+(b−~ka~k−a~kb−~k


e−i 2ω~ktei~k·(~x−~y)+

(b†~ka†−~k−a†−~kb†~k


ei 2ω~kte−i~k·(~x−~y)

← ~k′=~k

=0

← ~k′=−~k

Deci toti termenii dependenti de timp cu ~k′ 6= ±~k sunt egali cu zero, deoarece ın expresia (12.63)pentru δ(~x−~y) nu avem dependenta de timp. Desi exponentialele ın ω~k 6= 0 variaza ın timp, oasemenea variatie nu exista ın δ(~x−~y). Atunci trebuie ca comutatorii coeficientilor sa se anuleze.


• 2. Singurii termeni ramasi, diferiti de zero, sunt cei cu ~k′=±~k si cu dependenta de timp deforma e±i(ω~k−ω~k)t=1 (deoarece ω~k=ω~k′=ω−~k). Adaugand ın membrul drept si expresia(12.63) pentru δ(~x−~y) (ınmultita cu i conf. (12.62)), avem:

i

2V

(a~ka

†~k−a†~ka~k


e−i (ω~k−ω~k)t︸︷︷︸=1

ei~k·(~x−~y)+

(b~kb†~k−b†~kb~k


e−i~k·(~x−~y)

+(a~ka

†−~k−a†−~ka−~k


ei~k·(~x+~y)+

(b−~kb

†~k−b†~kb−~k


e−i~k·(~x+~y)

← ~k′=~k

=i

2V

(ei~k·(~x−~y)

+e−i~k·(~x−~y)

)← ~k′=−~k

Acum, termenii sunt independenti de timp si trebuie sa fie egali cu cei din membrul drept. Cei cu(~x+ ~y) ın exponent trebuie sa fie zero, deoarece ın membrul drept aceasta dependenta lipseste.Singurii ramasi sunt cei din prima linie, unde comutatorul coeficientilor trebuie sa fie egal cu 1.

• Deci, am obtinut rel. de comutare (12.61) din QEDpentru operatorii a~ka

†~k′

si b~kb†~k′

ın cazul discret:

∣∣∣∣ [a(~k), a†(~k′)]=[b(~k), b†(~k′)

]=δ~k~k′

• Similar se poate demonstra si cazul continuu din (12.61).

• Pentru a demonstra relati-ile de comutare (12.61),

∣∣∣∣{ [a(~k), a†(~k′)

]=[b(~k),~b†(~k′)

]= δ~k~k′(discret)

(12.61)= δ(~k−~k′)(continuu)

pornim de la rel. de comutare(12.60) pentru ~x, ~y diferite,dar la acelasi t (cu ~=1)

∣∣∣∣∣∣{ [ϕ(~x, t), π(~y, t)−π(~y, t)ϕ(~x, t)

]=

(12.60)[ϕ(~x, t), ˆϕ†(~y, t)− ˆϕ†(~y, t)ϕ(~x, t)

]= i δ(~x−~y)

• Introducand solutiile continui (12.59) ın expresia (12.60), pt.~x(~k) si ~y(~k′), folosind notatiacondensata k·x≡ ω~kt−~k·~x, relatia de comutare (12.60) la acelasi timp:[ϕ(~x, t), π(~y, t)]=

=(∫

d3~k√(2π)3 2ω~k

(a~ke−i k·x+b†~ke

i k·x))(∫ d3~k′ iω~k′√

(2π)3 2ω~k′

(a†~k′ei k′·y−b~k′e

−i k′·y))

−(∫

d3~k′ iω~k′√(2π)3 2ω~k′

(a†~k′ei k′·y−b~k′e

−i k′·y))(∫ d3~k√

(2π)3 2ω~k

(a~ke−i k·x+b†ke

i k·x))

=∫∫

d3~k d3~k′iω~k′

(2π)32√ω~kω~k′

+a~ka†~k′e−i k·xei k

′·y −a~kb~k′e−i k·xe−i k

′·y

+b†~k a†~k′ei k·xei k

′·y −b†~k b~k′ ei k·xe−i k

′·y

−a†~k′a~ke−i k·xei k

′·y − a†~k′ b†~kei k·xei k

′·y

+b~k′a~ke−i k·xe−i k

′·y +b~k′ b†~kei k·xe−i k

′·y

= i δ(~x−~y)

(12.64)

• Unde exprimamδ(~x− ~y), sub forma: δ(~x−~y)=

1

(2π)3

∫d3~k e−i

~k·(~x−~y) (12.65)


• Grupand ın integrant, avem toate combinatiile posibile de x(k) si y(k′):

iω~k′

(2π)32√ω~kω~k′

−(a~kb~k′−b~k′a~k

)︸︷︷︸termen#1

e−i k·xe−i k′·y+

(a~ka

†~k′−a†~k′a~k


e−i k·xei k′·y

−(b†~kb~k′−b~k′ b

†~k


ei k·xe−i k′·y+

(b†~ka†~k′−a†~k′ b

†~k


ei k·xei k′·y

=0 (12.66)

• Termenii #1 si #4 pt. orice ~k si ~k′, au factorii dependenti de timp e±i (ω~k+ω~k′)t 6= 0. Cum ınmembrul drept (12.64) dependenta de timp lipseste, acestia trebuie sa fie zero.

• Termenii #2 si #3 au factorii dependenti de timp:

pentru ~k 6=±~k′, e±i (ω~k−ω~k′)t6=0 la fel ca ınainte, termenii respectivi trebuie sa fie zero.

pentru ~k=~k′, e±i (ω~k−ω~k′)t= 1 iar termenii respectivi (comutatorii) trebuie sa fie egali, sidiferiti de zero: [

a(~k), a†(~k′)]

=[b†(~k), b(~k′)

]= δ(~k − ~k′) (12.67)

• Folosind comutatorii (12.67) putem scrie comutatorii (12.60):

[ϕ(~x, t), π(~y, t)] =

=i

(2π)3

∫1√ω~k

(1

2

∫√ω~k′

[δ(~k−~k′)e−i k·xei k′·y+δ(~k−~k′)ei k·xe−i k′·y

]d3~k′

)d3~k

=i

(2π)3

∫ √ω~k√ω~k

1

2

(e−i

~k·(~x−~y)+ei~k·(~x−~y))

︸︷︷︸fiecare termen da acelasiδ(~x− ~y) dupa integrare

d3~k=i

(2π)3

∫e−i

~k·(~x−~y)d3~k= i δ(~x−~y)

(12.68)


12.3.5 Ecuatiile de camp cuantic Schrodinger real ψ

• Ecuatiile de miscare pentru operatori ψi(~x, t) ; ψ†i (~x, t) (ecuatiile Heisenberg) sunt

i ~dψi(x)

dt=[ψi(x), HSch

]; i ~

dψ†i (x)

dt=[ψ†i (x), HSch

](12.69)

• Hamiltonian-ul de camp Schrodinger exprimat prin operatorii ψ si ψ† (ψ∗ e ınlocuit cu opera-torul hermitic adjunct ψ†):

HSch=∫ ( ~2

2m∇ψ† ·∇ψ+V ψ†ψ

)d3~x (12.70)

• Relatiile de comutare pentru ψ si ψ† la acelasi t0, se obtin prin trecerea x → ψ sip→ π= i~ψ† a relatiilor [xi, xj]=[pi, pj]=0 si [xi, pj]=i~δij[

ψ(~x,t0), ψ(~x′,t0)]=[ψ†(~x,t0), ψ†(~x′,t0)

]=0

(12.71)[ψ(~x, t0), ψ†(~x′, t0)

]= i~δ3(~x− ~x′)

• Pentru camp Schrodinger real evaluam comutat. (notam ψ′ ≡ ψ(~x′) s.a.)[ψ, HSch

]=[ψ,

∫ ~2

2m∇′ψ′† ·∇′ψ′d3~x′

]+[ψ,

∫V ′ψ′†ψ′d3~x′

]• In 1-ul termen facem integrarea prin parti∫

∇′ψ′†︸︷︷︸dv

· ∇′ψ′︸︷︷︸u

d3~x′=−∫ψ′†∇′2ψ′d3~x′

termenuluv → 0ψ → 0

pt.x → ∞[ψ,

∫∇′ψ′† ·∇′ψ′d3x′

]=−

[ψ,

∫ψ′†∇′

2ψ′d3x′

]=−

∫ [ψ, ψ′†

]∇′

2ψ′d3x′=−

∫δ3(~x− ~x′)∇′

2ψ′d3x′=−∇2ψ

• In al 2-lea termen, folosim relatiile de comutare (12.71), acesta devine:∫V ′(ψψ′†ψ′

= ψψ′−ψ′†ψ′ψ)d3~x′=

∫V ′(ψψ′†−ψ′†ψ

)ψ′d3~x=

∫V ′ψ′δ3(~x− ~x′)d3x′=V ψ

• Ecuatia de miscare (12.69) pentru opera-torul ψ(x) de camp Schrodinger este: i ~

dψ

dt=[ψ, HSch

]=−

~2

2m∇2ψ+V ψ (12.72)

Am regasit ecuatia Schrodinger din mecanica cuantica pentru particula .


12.3.6 Ecuatiile de camp cuantic scalar masiv (Klein-Gordon) ϕ

• Ecuatia de miscare pen-tru operatorul Heisen-berg ϕi(~x, t) este:

i ~∂ϕi(x)

∂t=[ϕi(x), HKG

](12.73)

• Hamiltonian-ul de campKlein-Gordon exprimatprin ϕ si π:

HKG=∫

1

2

(π2(x)+

(∇ϕ(x)

)2+m2ϕ2(x)

)d3~x (12.74)

deoarece i~dHdt

=[H, H

]≡0⇒ HKG e independent de t

• Relatiile de comutare pentru ϕ si π la acelasi t0, se obtin prin trecerea x→ ϕ si p→ π= ˆϕa relatiilor [xi, xj] = [pi, pj] = 0 si [xi, pj] = i~δij

[ϕ(~x, t0), ϕ′(~x′, t0)

]=[π(~x, t0), π′(~x′, t0)

]=0

(12.75)[ϕ(~x, t0), π′(~x′, t0)

]= i~ δ3(~x− ~x′)

• Pentru campul Klein-Gordon real evaluam comutatorul

[ϕ,HKG

]=∫ [ϕ(~x), HKG(~x′)

]d3~x adica conform (12.74) evaluam

[ϕ, π′

2][ϕ,(∇′ϕ′)2

][ϕ, ϕ′

2]• Pentru comutatorul 1,

[ϕ, π′]= i~ δ3(~x′−~x)care e o valoare com-plexa (comuta), atunci

[ϕ, π′

2]

= ϕπ′2− π′2ϕ= ϕπ′︸︷︷︸

i~δ3+π′ϕ

π′−π′ π′ϕ︸︷︷︸ϕπ′−i~δ3

=

= i~δ3π′+ π′ϕ π′− π′ϕ π′+ i~δ3π′=2i~δ3π′��

��

(12.76)

• Pentru comutatorii 2 si 3 avem[ϕ(~x), ϕ′(~x′)]=0 =⇒

{[ϕ, ϕ′

2]=0[

ϕ,∇′ϕ′]=0⇒

[ϕ, (∇′ϕ′)2

]=0

• Atunci, comutatorul cautat este:[ϕ, HKG

]=∫i~ δ3(~x′−~x) π′(~x′)= i~ π(~x)

• iar ecuatia de miscare (12.73) pentru operatorul de camp Klein-Gordon ϕ(x) este:

i ~∂ϕ

∂t=[ϕ, HKG

]= i~ π(~x)

sau

∂ϕ

∂t= π(~x) (12.77)


12.3.7 Ecuatiile de camp cuantic scalar masiv (Klein-Gordon) π• Ecuatia de miscare pen-

tru operatorul Heisen-berg πi(~x, t) este:

i ~∂πi(x)

∂t=[πi(x), HKG

](12.78)

• Hamiltonian-ul de campKlein-Gordon exprimatprin ϕ si π:

HKG=∫

1

2

(π2(x)+

(∇ϕ(x)

)2+m2ϕ2(x)

)d3~x (12.79)

deoarece i~dHdt

=[H, H

]≡0⇒ HKG e independent de t

• Pentru impulsul π Klein-Gordon evaluam comutatorul

[π,HKG

]=∫ [π(~x), HKG(~x′)

]d3~x folosind (12.75) si (12.79)

[π, π′

2]

[π,(∇′ϕ′)2]

[π, ϕ′2]

• Pentru comutatorul 1 avem: [π, π′]=0⇒[π, π′

2]=0

• Pentru comutatorul 3 (folosind relatia de comutare (12.75), avem: [π, ϕ′] =−i~δ3(~x′−~x)apoi, la fel ca ın (12.76) =⇒

[π, ϕ′

2]=−2i~δ3(~x′−~x) · ϕ′

• Pentru comutatorul 2:[π,∇′ϕ′

]=∇′

[π, ϕ′

]=−i~∇′δ3(~x′−~x)

[π, (∇′ϕ′)2

]= π

(∇′ϕ′

)2−(∇′ϕ′)2π=

−i~∇′δ3+∇′ϕ′π︷︸︸︷π∇′ϕ′ ∇′ϕ′−∇′ϕ′

−i~∇′δ3+π∇′ϕ′︷︸︸︷∇′ϕ′π =

= −i~∇′δ3∇′ϕ′+∇′ϕ′π∇′ϕ′−i~∇′ϕ′∇′δ3−∇′ϕ′π∇′ϕ′=−2i~δ3∇′2ϕ′��

��

• Comutatorulcautat este:

[π, HKG

]=∫ [i~ δ3(~x′−~x)

(∇′2ϕ′−m2ϕ′

)]d3~x′= i~∇2ϕ−i~m2ϕ

• iar ecuatia de miscare (12.78) pentru operatorul impuls Klein-Gordon π(x) este:

i ~∂π

∂t=[π, HKG

]= i~

(∇2−m2

)ϕ sau

∂π(x)

∂t=(∇2−m2

)ϕ(x) (12.80)

• Combinand ecuatiile∂ϕ

∂t= π (12.77) si

∂π

∂t(12.80) obtinem:

∂2ϕ(x)

∂t2=∂π(x)

∂t=(∇2−m2

)ϕ(x)

adica, regasim ecuatia Klein-

Gordon din mecanica cuantica

∣∣∣∣∣(∂2

∂t2−∇2+m2

)ϕ(x)=0 (12.81)

12.4. SOLUTII DE CAMP CUANTIC SCALAR (KLEIN-GORDON) ϕ SI π 249

12.3.8 Operatorii de camp scalar (Klein-Gordon) αk si α†k(vezi 41-Cuantificare campuri clasice (19)-(23))

• ϕ ca solutia generala a ec. Klein-Gordon, scrisa ca operator este:

ϕ(x)=

Zd3k

“αke

−i k·x+ α†kei k·x

”unde: k·x=ωt−~k·~x

(12.82)

• Pentru a gasi operatoriiαk si α†k, folosimcampurile ϕ(x) siˆϕ(x) la acelasi timpt0 =0:

8><>:ϕ(~x, 0)=

Zd3k

“αk e

i~k·~x+α†k e−i~k·~x

”ˆϕ(~x, 0)=

Zd3k(−i ωk)

“αk e

i~k·~x−α†k e−i~k·~x

” (12.83)

si functia δ(3) scrisa sub forma,

Zd3~x

(2π)3e−i

~k·~x = δ(3)(~k) (12.84)

•Separam operatoriidin (12.83) cu δ3(~k)(12.84), prin integrare tipRd3k f(~k) δ3(~k) = f(0),

deci ınmultim (12.83) cu(12.84)

8>><>>:Z

d3~x

(2π)3ϕ(~x, 0) e−i

~k·~x= αk+α†−kZd3~x

(2π)3ˆϕ(~x, 0) e−i

~k·~x=(−i ωk)“αk−α†−k

”(12.85)

• de unde

8>><>>:αk=

1

2

Zd3~x

(2π)3

„ϕ(~x, 0) +

i

ωkˆϕ(~x, 0)

«e−i

~k·~x

α†k=1

2

Zd3~x

(2π)3

„ϕ(~x, 0)− i

ωkˆϕ(~x, 0)

«ei~k·~x

(12.86)

•

12.4 Solutii de camp cuantic scalar (Klein-Gordon) ϕ si π(vezi 41-Cuantificare campuri clasice (24)-(26))

• Cu αk si α†k′ (12.86), folosind π = ˆϕ (12.77) si rel. de comutare (12.75) la acelasi t(campurile evaluate la pozitii ~x si ~x′ diferite, dar la acelasi timp t= t′= 0) putem calculahαk, α

†k′

i:h

αk, α†k′

i=−1

4

Zd3~x d3x′

(2π)6

i

ωk′

hϕ(~x, 0), ˆϕ(~x′, 0)

i+i

ωk

hϕ(~x′, 0), ˆϕ(~x, 0)

iffe−i

~k·~x+i~k′·~x′

=−1

4

Zd3~x d3x′

(2π)6

i

ωk′

hi δ(3)(~x− ~x′)

i+i

ωk

hi δ(3)(~x− ~x′)

iffe−i

~k·~x+i~k′·~x′

=1

4

Zd3~x

(2π)6

1

ωk′+

1

ωk

ffe−i (~k−~k′)·~x =

1

(2π)3 2ωkδ(3)“~k−~k′

”

• Definim operatorii de creare a†k= α†kp

(2π)3 2ωk si anihilare ak= αkp

(2π)3 2ωk

atunci relatiile de comutare ıntre ope-ratorii de creare si anihilare sunt:

hak, a

†k′

i= δ(3)

“~k − ~k′

”(12.87)

• Am regasit prin (12.87) relatiile de comutareˆa, a†

˜= 1 (12.41) pt. operatorii de oscilator

armonic cuantic, de data asta pentru operatorii de camp:

• Inlocuind ın (12.82) αk = ak√(2π)3 2ωk

si α†k =a†k√

(2π)3 2ωk, operatorii ϕ(x) si π(x)

devin

ϕ(x)=

Zd3kp

(2π)3 2ωk

“ak e

−i k·x+a†k ei k·x

”unde k·x=ωt−~k·~x (12.88)

π(x)= ˆϕ(x)=

Zd3kp

(2π)3 2ωk(−iωk)

“ak e

−i k·x−a†k ei k·x

”(12.89)

•


12.4.1 Solutii discrete si solutii continui de camp cuantic scalar (vezi40-Campuri Clasice)

• Reluam Lagrangian-ul de camp liberrelativist (Klein-Gordon) scris acumpentru operatori de camp cuantic:

L(ϕ, ˆϕ)=1

2

“ˆϕ† ˆϕ−∇ϕ† ·∇ϕ−m2ϕ†ϕ

”=

1

2

“∂µϕ

†∂µϕ−m2ϕ†ϕ”

• Ecuatia de miscare Euler-Lagrange(ecuatia de camp)

∂L∂ϕ− ∂

∂t

∂L∂ ˆϕ−∇ ∂L

∂ (∇ϕ)=0

• Conduce la ecuatia decamp K-G real ϕ

`∂2t −∇2+m2

´ϕ=0 sau

`∂µ∂

µ+m2´ϕ=0 (12.90)

• Similar pt. ecuatia decamp K-G complex ϕ†

`∂2t −∇2+m2

´ϕ†=0 sau

`∂µ∂

µ+m2´ϕ†=0 (12.91)

• solutii discrete de unde plane ortonor-mate (cu constrangeri de volum)

solutii continui de unde plane ortonor-mate (fara constrangeri de volum)8>><>>:

ϕ(x)=X~k

1p2V ω~k

“a(~k) e−ik·x+b†(~k) eik·x

”ϕ†(x)=

X~k

1p2V ω~k

“b(~k) e−ik·x+a†(~k) eik·x

”8>>><>>>:ϕ(x)=

Zd3~kp

(2π)32ω~k

“a(~k) e−ik·x+b†(~k)eik·x

”ϕ†(x)=

Zd3~kp

(2π)32ω~k

“b(~k) e−ik·x+a†(~k)eik·x

”• Comutatorii coeficientilor de stari discrete sunt (12.41), iar cei de stari continui sunt (12.87):ha(~k), a†(~k′)

i=hb(~k), b†(~k′)

i= δ~k~k′

(12.41)

ha(~k), a†(~k′)

i=hb(~k), b†(~k′)

i= δ(~k−~k′)

(12.87)•

12.5 Hamiltonian de camp cuantic scalar - solutii discrete

• Acum avem doua componente de camp ϕ si ϕ†, si doua campuri conjugate π si π†.

Hamiltonian-ul de camp scalar rela-tivist (Klein-Gordon) scris acumprin operatorii de camp cuantic:

9=;Cu Lagrangianul L=∂µϕ

†∂µϕ−m2ϕ†ϕ avem

H(ϕ, π) = π ˆϕ + π† ˆϕ† − L =“ˆϕ ˆϕ†+∇ϕ†·∇ϕ+m2ϕ†ϕ

”• Sa evaluam Hamiltonian-ul total, exprimat prin componentele discrete ϕ si ϕ†:

H=

ZHd3x =

Z “ˆϕ ˆϕ†+∇ϕ†·∇ϕ+m2ϕ†ϕ

”d3x=

=

Z„X~k

∂

∂t

ϕz }| {1p

2V ω~k

ha(~k)e−ik·x+b†(~k)eik·x

i«„X~k′

∂

∂t

ϕ†z }| {1p

2V ω~k′

hb(~k′)e−ik

′·x+a†(~k′)eik′·xi«d3~x

+

Z“−∂iϕ†∂iϕ+m2ϕ†ϕ

”d3~x (12.92)

• Linia din mijloc, adica termenulR

ˆϕ ˆϕ†d3x,dupa efectuarea derivatei temporale, devine:Z„X

~k

iω~kp2V ω~k

h−a(~k)e−ik·x+b†(~k)eik·x

i«„X~k′

iω~k′p2V ω~k′

h−b(~k′)e−ik


sauX~k

X~k′

−√ω~k

√ω~k′

2V

Z »a(~k) b(~k′)e−ik·xe−ik

′·x − a(~k) a†(~k′)e−ik·xeik′·x

−b†(~k) b(~k′)eik·xe−ik′·x+b†(~k) a†(~k′)eik·xeik

′·x

–d3x

!•

12.5. HAMILTONIAN DE CAMP CUANTIC SCALAR - SOLUTII DISCRETE 251

12.5.1 Hamiltonian de camp cuantic scalar - solutii discrete (cont.)

• Initial luam primul termen din integrala (12.92),Z

ˆϕ ˆϕ†d3x=X~k

X~k′

√ω~k√ω~k′

2V

Z »−a(~k) b(~k′)e−ik·xe−ik′·x + a(~k) a†(~k′)e−ik·xeik

′·x

+b†(~k) b(~k′)eik·xe−ik′·x−b†(~k) a†(~k′)eik·xeik

′·x

–d3x

!

• Sumele dupa ~k si ~k′ se iau de la−∞ la +∞ (pe cele 3 directii x, y si z).Toti termenii prin integrare (produse de functii proprii ortonormate) ıntre limitele de granita,sunt nuli, cu exceptia celor cu ~k′=~k sau ~k′=−~k. Explicitam k · x=ωt−~k · ~x,

pt.~k′=~k

2664 −a(~k) b(~k)e−i(ω~kt−~k·~x)e−i(ω~kt−

~k·~x) + a(~k) a†(~k) e−i(ω~kt−~k·~x)ei(ω~kt−

~k·~x)| {z }=1

+b†(~k) b(~k)

=1z }| {ei(ω~kt−

~k·~x) e−i(ω~kt−~k·~x) −b†(~k) a†(~k)ei(ω~kt−

~k·~x)ei(ω~kt−~k·~x)

3775+

pt.~k′=−~k +

264−a(~k) b(−~k)e−i(ω~kt−~k·~x)e−i(ω~kt+

~k·~x)�� + a(~k) a†(−~k)e−i(ω~kt−~k·~x)ei(ω~kt+

~k·~x)

+b†(~k) b(−~k)ei(ω~kt−~k·~x)e−i(ω~kt+

~k·~x)�� −b†(~k) a†(−~k)ei(ω~kt−~k·~x)ei(ω~kt+

~k·~x)��

375=

=

24−a(~k) b(−~k) e−2iω~kt + a(~k) a†(~k) + b†(~k) b(~k)− b†(~k) a†(−~k) e2iω~kt

−a(~k)b(~k)e−2iω~kte2i~k·~x−b†(~k)a†(~k)e2iω~kte−2i~k·~x+a(~k)a†(−~k)e2i~k·~x+b†(~k)b(−~k)e−2i~k·~x

35• Termenii marcati reprezinta produse scalare de functii proprii ortogonale (stationare),

adica integrarea lor pe sp. de coordonate ıntre limitele de granita dau zero, sunt de tipRsinαx sinβx dx (vezi stari cuantice pe cutie). Raman doar cei nemarcati.

•

12.5.2 Hamiltonian de camp cuantic scalar - solutii discrete (cont.)

• Deci ın integrala dupa primul termen (12.92) ramane,Zˆϕ ˆϕ†d3x=

X~k

ω~k2

“−a(~k)b(−~k)e−2iωkt+a(~k)a†(~k)+b†(~k)b(~k)−b†(~k)a†(−~k)e2iωkt

”=X~k

(ω~k)2

2ω~k

“−a(−~k)b(~k)e−2iωkt+a(~k)a†(~k)+b†(~k)b(~k)−b†(−~k)a†(~k)e2iωkt

”(12.93)

Schimbarea de semn pt.~k ın I-ul si al IV-lea termen s-a facut pt. uz ulterior, deoarece sumarease face dupa toate val.~k (pozitive si negative), iar pt. orice ~k avem alta cu−~k.

• Un calcul similar pentru termenul urmator (cu derivatele spatiale) din (12.92) ne da:

−Z∂iϕ†∂iϕd3x=

Z∂iϕ†∂iϕd

3x =

=

Z„X~k

iki√2V ωk

hb(~k)e−ik·x−a†(~k)eik·x

i«„X~k′

ik′i√2V ωk′

ha(~k′)e−ik

′·x−b†(~k′)eik′·xi«d3x

=X~k

~k2

2ωk

“b(~k)a(−~k)e−2iωkt+a†(~k)a(~k)+b(~k)b†(~k)+a†(~k)b†(−~k)e2iωkt

”(12.94)

Nota: atat termenii functie de ~k cat si de−~k au semnul schimbat, deoarece ki=−k′i.

• Similar, pentru termenul de masa din (12.92) obtinem:Zm2ϕ†ϕd3x =

=

Zm2

„X~k

1√2V ωk

hb(~k)e−ik·x+a†(~k)eik·x

i«„X~k′

1√2V ωk′

ha(~k′)e−ik

′·x+b†(~k′)eik′·xi«d3x

=X~k

m2

2ωk

“b(~k)a(−~k)e−2iωkt+b(~k)b†(~k)+a†(~k)a(~k)+a†(~k)b†(−~k)e2iωkt

”(12.95)


12.5.3 Hamiltonian prin operator numar de particule - sol. discrete• Adunand rezultatele (12.93), (12.94) si (12.95), si folosind relatia ~k2+m2 =(ωk)

2

precum si relatiile de comutare a coeficientilor:ha(~k), a†(~k′)

i=hb(~k), b†(~k′)

i=δ~k~k′ (sol. discrete); =δ(~k−~k′)(sol. continui)

(12.96)

• Hamiltonianul total de camp cuantic scalar pentru starile de solutii discrete, este

H=X~k

ωk2

“a(~k)a†(~k)+a†(~k)a(~k)+b†(~k)b(~k)+b(~k)b†(~k)

”=X~k

ωk

„a†(~k)a(~k)+

1

2+b†(~k)b(~k)+

1

2

«=X~k

ωk

„Na(~k)+

1

2+Nb(~k)+

1

2

«(12.97)

• Valoarea proprie a Hamiltonian-ului (12.97), pentru o stare data, este energia totala astarii respective. De exemplu, pentru o stare multiparticula: 1 particula cu energia ωp,2 particule cu energia ωq si 1 particula cu energia ωr , avem

Etot |ϕp2ϕqϕr〉 =(ωp+2ωq+ωr) |ϕp2ϕqϕr〉 adica, ecuatia cu val. proprii

H |ϕp2ϕqϕr〉 =X~k

ωk“Na(~k)+

1

2+Nb(~k)+

1

2

”|ϕp2ϕqϕr〉 (12.98)

=“npωp+nqωq+nrωr+(1/2 energia starii de vacuum)

”|ϕp2ϕqϕr〉

• In concluzie, operatorii Na si Nb sunt operatorii numar de particule.De notat ca daca am fi folosit ın (12.97) ”ordonarea normala” (care presupune ca op-eratorii comuta, chiar daca sunt ne-comutatori), nu am fi obtinut factorii 1/2 de maisus.

12.6 Hamiltonian de camp cuantic scalar - solutii continui

• Folosind solutiile continui ϕ si ϕ†

(reamintim: k · x=ω~k t−~k · ~x)

8>>><>>>:ϕ(x)=

Zd3~kp

(2π)32ω~k

“a(~k) e−ik·x+b†(~k)eik·x

”ϕ†(x)=

Zd3~kp

(2π)32ω~k

“b(~k) e−ik·x+a†(~k)eik·x

”

Hamiltonian-ul total, este:

H=

ZH d3x =

Z “ˆϕ ˆϕ†+∇ϕ†·∇ϕ+m2ϕ†ϕ

”d3x= dupa derivarea temporala

=

Z„Zd3~k iω~kp(2π)32ω~k

h−a(~k)e−ik·x+b†(~k)eik·x

i«„Z d3~k′ iω~k′p(2π)32ω~k′

h−b(~k′)e−ik


+

Z“−∂iϕ†∂iϕ+m2ϕ†ϕ

”d3~x (12.99)• Linia din mijloc, adica termenul

Rˆϕ ˆϕ†d3x, devine:Z "Z

1

2(2π)3

Z −ω~kω~k′√ω~k√ω~k′

»a(~k) b(~k′)e−ik·xe−ik

′·x − a(~k) a†(~k′)e−ik·xeik′·x

−b†(~k) b(~k′)eik·xe−ik′·x+b†(~k) a†(~k′)eik·xeik

′·x

–d3~x

!d3~k′

#d3~k

• Folosind: δ3(~k− ~k′)=1

(2π)3

Ze(~k−~k′)·~xd3~x ın integrarea dupad3~x,

avem similar (12.93)Zω~k2

»−a(~k)b(−~k)e−2iωkt+ a(~k)a†(~k)| {z }

a†(~k)a(~k) +

δ(~k−~k)

+b†(~k)b(~k)− b†(~k)a†(−~k)e2iωkt

–d3~k

• Folosind relatiile de comutare (12.96) pentru solutii continui si evaluand ultima liniedin (12.99) similar cu cazul discret (12.94-12.95) obtinem o expresie similara (12.97)

H=

Zωk

„Na(~k)+

1

2δ(0)+Nb(~k)+

1

2δ(0)

«d3~k (12.100)

12.7. TEST 253

12.6.1 Hamiltonian de camp cuantic scalar - solutii continui• Observatie: δ(0) reprezinta contributia energie de vacuum. Este infinita si are unitati

de 1/k3 (inversul impulsului la puterea a 3-a). Deoarece k = 2π/λ, acesta aredimensiunea de volum (lungime la puterea a 3-a). Astfel, δ(0) reprezinta un voluminfinit, ıntregul spatiu. Atunci, densitatea de Hamiltonian, adica densitatea energiei devacuum este

Hvac=Hvac

V=

Zω~k

„1

2+

1

2

«d3~k

„energia de vacuum din uni-tatea de vol. din spatiul fizic

«(12.101)

Nota: Energia este ~ω.In (12.101) ca ın toate relatiile din QFT, folosim unitati cu ~=c=1.

12.7 TestSlideuri suplimentare (de sarit)

De fapt, daca interpretam ak si a†k ca operatori de creare si anihilare, acestia satisfac relatia de comutare cuhamiltonian-ul h

H, a†k

i= ωka

†k ,

hH, ak

i= −ωkak (12.102)

astfel acesti operatori conduc la crearea si anihilarea de particule. In hamiltonian-ul (??), putem ınlocui explicitcampurile prin a†k si ak si folosind relatia de comutare (12.87), obtinem expresia hamiltonian-ului ın termeni dea†k si ak. Dupa cateva operatii algebrice, obtinem

H=1

2

Zd3k

2ωk

ˆak a−k exp(−2i ωkt)

`−ω2

k + k2 +m2´+a†kak

`ω2k + k2 +m2

´+aka

†k

`ω2k + k2 +m2

´+a†ka

†−k exp(2i ωkt)

`−ω2

k + k2 +m2´i

Deoarece ω2k = k2 +m2, vom lasa deoparte termenul dependent de timp si obtinem

H =1

2

Zd3k ωk

haka

†k + a†kak

i(12.103)

Acest rezultat este aproape identic cu cel obtinut mai demult,

H =1

2

Zd3k ωk a

†kak (12.104)

Efectuand comutarea ıntre ak si a†k din ecuatia (12.103), obtinem

H =

Zd3k ωk

»a†kak +

1

2δ(3)(0)

–(12.105)

Dar nu pare corect. Ce este acum δ(3)(0) ? Sa revenim la problema normarii ıntr-un spatiu cub. Atunci

H =1

2

Xk

ωkhaka

†k + a†kak

i=Xk

»a†kak +

1

2

–(12.106)

astfel δ(3)(0) este o suma infinita de energii de nivel zero. Energia fiecarei asemenea contributii este 12ωk, si nu

este zero. Cum exista o infinitate de asemenea contributii, obtinem o energie infinita ın starea fundamentala.Acest lucru ınsa nu creaza probleme, deoarece nu atat valoarea absoluta a energiei este importanta. Sens fizic

au doar diferentele de energie, care sunt finite. Deoarece ıntotdeauna se obtine o energie infinita, vom ıncercasa profitam de ocazie si sa ınlaturam aceasta inadvertenta pentru totdeauna. Pentru aceasta sa amintim ca energia


minima ın cazul oscilatorului armonic rezulta ın urma ambiguitatii de ordonare. Cuantificarea oscilatorului armonico puteam face pornind de la Hamiltonian-ul clasic (??)

HOA =ω

2(q − i p)(q + i p) (12.107)

Daca p si q sunt numere reale, acesta este identic cu hamiltonian-ul obisnuit ω2

`p2 + q2

´. Daca ınsa p si q sunt

operatori, acesta devineHOA = ω a†a (12.108)

ın locul celui obisnuit (vezi Anexa ?? (??)) ω(a†a+ 1/2).Astfel, printr-o ordonare potrivita putem elimina energia infinita (nefizica) din starea fundamentala.Pentru un set de campuri libere φ1(x1), φ2(x2), . . . , φn(x(n), se defineste produsul normal ordonat

: φ1(x1) . . . φn(xn) : (12.109)

ca un produs obisnuit, cu diferenta ca toti operatorii de creare se plaseaza la stanga, iar operatorii de anihilare seplaseaza la dreapta. Deoarece operatorii de creare comuta ıntre ei, la fel si cei de anihilare, aceasta alegere specificaın mod unic ordinea de actiune. Astfel, ın loc de H , putem folosi : H : iar energia infinita a starii fundamentale seva scrie

: H :=

Zd3k ωka

†kak (12.110)

12.8. CUANTIFICAREA ENERGIEI CAMPULUI SCALAR (RELUARE PAG.240) 255

12.8 Cuantificarea energiei campului scalar (reluare pag.240)12.8.1 Cuantificarea energiei campului scalar liber Klein-Gordon

• Avand Hamiltonian-ulde camp KG (vezi 11-Campuri-Clasice)

˛˛ H=

1

2

Zd3~x

ˆπ2+(∇ϕ)2+m2ϕ2˜ (12.111)

• Folosind expresiile pentru ϕ(12.51) si π (12.52)

˛ ϕ(~x)=

Zd3~kp

(2π)3 2ωk

“ak e


”(12.51)

π(~x)=

Zd3~kp

(2π)3 2ωk(−iωk)

“ak e


”(12.52)

• Atunci, Hamiltonian-ul va fi:

H=1

2

Zd3~x

d3~kd3~k′

(2π)3

»−√ωkωk′

2

“ake


”“ak′e


”+

+(i~k)(i~k′)

2√ωkωk′

“ake


”“ak′e


”+

+m2

2√ωkωk′

“ake


”“ak′e


”– (12.112)


H=1

4

Zd3~k

1

ωk

h“−ω2

k+~k2+m2”“aka−~k+a†ka

†−k

”+“ω2k+~k2+m2

”“aka

†k+a†kak

”i

• Operatorul Hamilton de camp KG este: (12.50)��

H=1

2

Zd3~k ωk

“aka

†k+a†kak

”=

Zd3~k ωk

„a†kak+

1

2δ(3)(0)

«(12.113)


12.8.2 ANEXA (reluare pag.241)• Efectuand produsele din integrala de oscilatie de mode k si apoi integrand dupa d3~x:

Ik=

Zd3~k′

Zd3~x

(2π)3

»−√ωkωk′

2

“akak′e

i(~k+~k′)·~x−aka†k′ei(~k−~k′)·~x−a†kak′e

−i(~k−~k′)·~x+a†ka†k′e−i(~k+~k′)·~x

”+

+1

2√ωkωk′

“−~k~k′akak′ei(

~k+~k′)·~x+~k~k′aka†k′e

i(~k−~k′)·~x−~k~k′a†kak′e−i(~k−~k′)·~x−~k~k′a†ka

†k′e−i(~k+~k′·~x

”+

+m2

2√ωkωk′

“akak′e

i(~k+~k′)·~x+ aka†ke−i(~k−~k′)·~x+ a†kak′e

−i(~k−~k′)·~x+ a†ka†k′e−i(~k+~k′)·~x

”–

• Identificand functia δ(k∓k′)=1

2π

∫ei(k∓k

′)xdx (scrisa 3-dim) si integrand d3~x cu

f(~k)=∫δ(3)(~k∓~k′)f(~k′)d3~k′=

∫ (1

(2π)3

∫ei(~k∓~k′)·~xd3~x

)f(~k′)d3~k′ cu

{~k′=~k~k′=−~k

• avem

Ik =[−√ωkω−k

2aka−k +

k2

2√ωkω−kaka−k +

m2

2√ωkω−kaka−k

+√ωkωk

2aka

†k +

k2

2√ωkωk

aka†k +

m2

2√ωkωk

aka†k

+√ωkωk

2a†kak +

k2

2√ωkωk

a†kak +m2

2√ωkωk

a†kak

−√ωkω−k

2a†ka

†−k +

k2

2√ωkω−ka†ka

†−k +

m2

2√ωkω−ka†ka

†−k

]• Grupam termenii de oscilatie de mode k (cei din parantezele drepte)[(

−√ωkω−k

2+

k2

2√ωkω−k+

m2

2√ωkω−k

)(aka−k+a†ka

†−k

)+

+(√

ωkωk

2+

k2

2√ωkωk

+m2

2√ωkωk

)(aka

†k+a†kak

)]=

Deoarece ωk=ω−k, aducem la numitor comun si folosim relatia ω2k=k2+m2:

=1

2ωk

[ (−ω2

k+k2+m2)︸︷︷︸

=0

(aka−k+a†ka

†−k)

+(ω2k+k2+m2

)︸︷︷︸=2ω2

k

(aka

†k+a†kak

)]=

=ωk(aka

†k+a†kak

)=ωk

(2a†kak+1

)am folosit relatia de comutare aa†−a†a=1

• Atunci, operatorul Hamilton de camp KG va fi integrala din modurile de oscilatie ~k:

H=1

2

∫d3k Ik=

1

2

∫d3k ωk

(aka

†k+a†kak

)=∫d3k ωk

(a†kak+

1

2

)(12.114)

• Deci, operatorul densitate de energie pentru mode-ul k de oscilatie a unui camp scalar liberKG, este (introducem constanta ~):

Ek = ~ωk(a†kak+

1

2δ(3)(0)

)(12.115)

12.8. CUANTIFICAREA ENERGIEI CAMPULUI SCALAR (RELUARE PAG.240) 257

12.8.3 Cuantificarea energiei campului scalar ın QFT• Pentru a trece la QFT introducem un nou postulat, campul clasic ϕ ce se vrea cuan-

tificat devine complex, iar L siH le reinterpretam ın termeni de ϕ,ϕ∗ si π, π∗, ın asa fel ıncatL siH sa fie reale (energia si densitatea de energie trebuie sa fie reale).

L=(ϕ∗ϕ−~∇ϕ∗· ~∇ϕ−µ2ϕ∗ϕ

)undeϕ,ϕ∗sunt campuri diferite: πr=

∂L∂ϕr

= ϕ∗r (12.116)

H=πϕ−L=∂L∂ϕ

ϕ+∂L∂ϕ∗

ϕ∗−(ϕ∗ϕ−~∇ϕ∗· ~∇ϕ−µ2ϕ∗ϕ

)= ϕϕ∗+ ~∇ϕ∗· ~∇ϕ+µ2ϕ∗ϕ (12.117)

• Avand Hamiltonian-ul de campKG (vezi 11-Campuri-Clasice)

H=1

2

∫d3~x

[π2+(∇ϕ)2+m2ϕ2

](12.118)

• Folosind expresiile ϕ(12.51) si π (12.52)

ϕ(~x)=

∫d3~k√

(2π)3 2ωk

(ak e


)(12.51)

π(~x)=∫

d3~k√(2π)3 2ωk

(−iωk)(ak e


)(12.52)

• Hamiltonian-ul este:

H=1

2

∫d3~x

d3~kd3~k′

(2π)3

[−√ωkωk′

2

(ake


)(ak′e


)+

+(i~k)(i~k′)

2√ωkωk′

(ake


)(ak′e


)+

+m2

2√ωkωk′

(ake


)(ak′e


)](12.119)


H=1

4

∫d3~k

1

ωk

[(−ω2

k+~k2+m2)(aka−~k+a†ka

†−k

)+(ω2k+~k2+m2

)(aka

†k+a†kak

)]• Operatorul Hamilton de camp KG este: (12.50)

�� H=

1

2

∫d3~k ωk

(aka

†k+a†kak

)=∫d3~k ωk

(a†kak+

1

2δ(3)(0)

)(12.120)


12.9 Campul electromagnetic clasic (alta abordare)

12.9.1 Campul electromagnetic clasic• Am vazut (8-undele-electromagnetice pag.125), din ec. Maxwell fara surse, obtinem ecuatiile

de propagare a componentelor ~E si ~B, sub forma ecuatiei undelor:(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~E = 0 ;

(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~B = 0 (12.121)

• ~E si ~B pot fi exprimate prin φ si ~A(vezi 8.2-Ec.Maxwell-pt.potentiale,pag.133)

∣∣∣∣∣∣ ~E=−~∇φext−∂ ~A

∂t; ~B= ~∇× ~A (12.122)

• In vid si pentru φext=const., ~A satisfaceaceeasi ecuatie de propagare a undelor:

∣∣∣∣ (1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~A = 0 (12.123)

• Solutia este unda plana: ~A(~r, t)= ~A0 cos(~k·~r−ωt) (12.124)

• In absenta surselor (ın vid) si pentru φext=const. relatiile (12.122) ne dau:

~E=−∂ ~A

∂t=−ω ~A0︸︷︷︸

~E0

sin(~k·~r−ωt) ; ~B= ~∇× ~A=~k× ~A0︸︷︷︸~B0

sin(~k·~r−ωt) (12.125)

• Solutiile (12.124) se pot exprima prin exponentiale (la fel ca solutia ecuatiei Klein-Gordon cum=0),

cu ~A0 = ~εA0, ~ε vectorunitar polarizare a ~E

∣∣∣∣ ~A(~r, t) = ~εA0

(a ei(

~k·~r−ωt)+a∗e−i(~k·~r−ωt))

(12.126)

• iar componentele ~Esi ~B de camp EM:

~E(~r, t)=−∂ ~A

∂t= iω~εA0

(a ei(

~k·~r−ωt)−a∗e−i(~k·~r−ωt))

~B(~r, t)= ~∇× ~A= i(~k×~ε)A0

(a ei(

~k·~r−ωt)−a∗e−i(~k·~r−ωt)) (12.127)

12.9. CAMPUL ELECTROMAGNETIC CLASIC (ALTA ABORDARE) 259

12.9.2 Energia campului EM clasic

• Densitatea de energie a campului EM este: (vezi 8-Undele-electromagnetice, pag.129):

u=1

2

(ε0E

2+B2

µ0

)=ε0

2

(E2+c2B2︸︷︷︸

E2

)=ε0|~E|2 =ε0 ω2 ~A2

0 sin2(~k·~r−ωt) (12.128)

unde am folosit (12.125): ~E=−ω ~A0 sin(~k·~r−ωt)

• Pentru calculul energiei, trebuie sa tinem cont si de cele doua componente (grade delibertate) de polarizare εp ale ~E, ca doua oscilatii independente, ın plan normal la directiade miscare. Acestea dubleaza energia campului EM.

• Astfel, energia campului EMıntr-un volum finit V este:

∣∣∣ W =2∫V

ud3~r=2ε0

∫V

|~E|2 d3~r (12.129)

• Deoarece |~E|=E0 =ωA0 avem: W =2ε0 ω2A20V (12.130)

• Cuantificarea energiei implica:(energia unui foton) W =~ω (12.131)

• Egaland ultimele doua relatii,putem exprima: A0 =

√~

2ε0ωV(12.132)

• Solutia ~A(~r, t)(12.126) devine:

~A(~r, t) = ~ε

√~

2ε0ωV

(a ei(

~k·~r−ωt)+a∗e−i(~k·~r−ωt))

(12.133)

DE INCLUS DEDUCEREA RELATIEI PLANCK DE RADIATIE A CORPULUI NE-GRU


12.10 Campul electromagnetic - cuantificare

12.10.1 Cuantificarea campului EM (operatori)• In cuantificarea oscilatorului armonic am trecut la operatori: x → x si p → p iar ın

hamiltonian (x, p)→ (x, p)→ (a, a†).Pentru cuantificarea camp EM trecem la operatori de camp ψ(x) → ψ(x), adica vom

ınlocui ~A → ~A. Pentru 2 grade de polarizare independente ~ελ si un set de frecvente ωkproprii, folosind (12.133) pentru ~A,

~A(~r, t)=∑k,λ

~ελ

√~

2ε0ωkV

(akλe

i(~k·~r−ωkt)+a†kλe−i(~k·~r−ωkt)

)(12.134)

ın termenul II, a∗ - complex conjugat, prin trecerea la operatori devine a† - hermitic conjugat

• Componentele cuantificate ~E si ~B (12.127) ale campului EM, devin operatori:~E(~r, t)=−

∂ ~A

∂t= i

∑k,λ

ωk~ελ

√~

2ε0ωkV

(akλe

i(~k·~r−ωkt)−a†kλe−i(~k·~r−ωkt)

)~B(~r, t)= ~∇× ~A= i

∑k,λ

(~k×~ελ)

√~

2ε0ωkV

(akλe

i(~k·~r−ωkt)−a†kλe−i(~k·~r−ωkt)

) (12.135)

• Rescriem operatorii (12.135) fara 2ε0V la numitor si vectorul polarizare ~ελ, iar indicele demode notat l=(k, λ) si ~ul=ei

~k·~r, adica,

E(~r, t)= i

∑l

√~ωl[ale−iωlt ~ul(~r)−a†l e

iωlt ~u ∗l (~r)]

B(~r, t)=i∑l

√~c2

ωl

[ale−iωlt

(~kl×~ul(~r)

)−a†l e

iωlt(~kl×~u ∗l (~r)

)] (12.136)

12.10. CAMPUL ELECTROMAGNETIC - CUANTIFICARE 261

12.10.2 Cuantificarea energiei campului EM

• Operatorul Hamilton ca energia campului EM(vezi 8-Undele-electromagnetice, pag.129):

∣∣∣∣ Hfield=1

2

∫V

(ε0E

2+B2

µ0

)d3r

•∫Vd3r

∣∣∣E∣∣∣2 = i∑l,m

~√ωlωm

[− alame−i(ωlt+ωmt)

∫d3r ~ul(~r)·~um(~r)

+a†l ame−i(ωlt−ωmt)

∫d3r ~u ∗l (~r)·~um(~r)

]+[h.c.

]Folosind relatiilede ortonormare:

∣∣∣ ∫d3r ~u ∗l (~r)~um(~r)=δl,m ;

∫d3r ~ul(~r)~um(~r)=δ−l,m

ıntr-adevar, cu ul∼ei klx avem∫ ∞−∞ei klxe−i kmxdx=

∫ ∞−∞ei (kl−km)xdx=2πδl,m

Obtinem:∫Vd3r

∣∣∣E∣∣∣2 =∑l

~ωl[a†l al+ala

†l− ala−le

−2iωlt− a†l a†−le

2iωlt]

•∫Vd3r

∣∣∣B∣∣∣2= i∑l,m

~c2

√ωlωm

[− alame−i(ωlt+ωmt)

∫d3r (~kl × ~ul)·(~km × ~um)

+a†l ame−i(ωlt−ωmt)

∫d3r (~kl × ~u ∗l )·(~km × ~um)

]+[h.c.

]Cu identitatile (~kl×~ul) · (~km×~um)=(~kl ·~km)(~ul ·~um), si ~k·~ul=0, avem,∫d3r(~kl × ~ul)·(~km× ~um)=−k2

l δ−l,m ;∫d3r(~kl × ~u ∗l )·(~km× ~um)=k2

l δl,m

Obtinem:∫Vd3r

∣∣∣B∣∣∣2=∑l

~ωl[a†l al+ala

†l + ala−le

−2iωlt+ a†l a†−le

2iωlt]

• In final, expresia Hamiltonian-ului ın functie de operatorii de creare si anihilare:

H=1

2

∑k,λ

~ωk(a†k,λak,λ+ak,λa

†k,λ

)=∑k,λ

~ωk(a†k,λak,λ+

1

2

)(12.137)

• Hamiltonian-ul se poate scrie si cacel de oscilator armonic (12.33)

∣∣∣∣ Hfield=~ωk(a†kpakp+

1

2

)=~ω

(Nkp+

1

2

)(12.138)

• a†kpakp = Nkp este operatorul numar de fotoni de frecventa ωk si polarizare εp, similar cuoperatorul numar de cuante de oscilator armonic (12.32).


12.10.3 Review unde electromagnetice• Am vazut (8.44), (pag.135) din ecuatiile Maxwell fara surse, obtinem ecuatia

de propagare a potentialului vector ~A(~r, t), sub forma ecuatiei undelor:(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~A(~r, t) = 0 (12.139)

• Separam ~A(~r, t) ın doi termeni complecsi: ~A(~r, t)= ~A(+)(~r, t)+ ~A(−)(~r, t) (12.140)

~A(+)(~r, t) contine amplitudinile ce variaza ca e−i ωt pt. ω>0 si

~A(−)(~r, t) contine amplitudinile ce variaza ca ei ωt, iar ~A(−)(~r, t)=(~A(+)(~r, t)

)∗• Intai consideram un set discret de unde

stationare ~uk(~r), deci luam un camp ıntr-unvolum finit si exprimam potentialul vector:

∣∣∣∣∣∣ ~A(+)(~r, t)=∑k

ck~uk(~r) e−iωkt (12.141)

• ~uk(~r) sunt unde stationare de frecventa ωk(vezi (D.2), pag.286), ce satisfac ecuatia:

∣∣∣∣ (∇2+

ω2k

c2

)~uk(~r) = 0 (12.142)

• Undele stationare ~uk(~r) satisfacsi conditia de transversalitate:

∣∣∣∣ ~∇ · ~uk(~r)=0 (12.143)

• Solutiile ~uk(~r) depind de conditiile la margine.Pt. conditii periodice avem solutii de unde ın pro-pagare, iar pt. conditii de reflexie pe pereti, cumar fi un cub de latura L, avem unde stationare:

∣∣∣∣∣∣∣∣~uk(~r)=

1√L3~ε (λ)ei

~k·~r (12.144)

~ε (λ) - vector unitar polari-zare 2-dim. (λ=1, 2)

• Cuantifica-rea implica:

∣∣∣∣ kx=2πnxL

, ky=2πnyL

, kz=2πnzL

, nx, ny, nz=0.± 1,±2, . . .

(12.145)• Atunci potentia-

lul vector(12.140) sepoate scrie:

∣∣∣∣∣∣∣ ~A(~r, t)=∑k

( ~2ωkε0

)1/2[ak~uk(~r)e−i ωkt+a

†k~u∗k(~r)e

i ωkt]

(12.146)

12.11. CUANTIFICARE CAMP ELECTROMAGNETIC 263

12.11 Cuantificare camp electromagnetic

12.11.1 Cuantificare camp electromagnetic

• In ecuatia Maxwell ~∇ · ~E = 0ınlocuind campul electric exprimat prinpotentiale: ~E = −∂ ~A/∂t− ~∇φ

∣∣∣∣∣∣ ~∇ · ~E = −∂

∂t

(~∇ · ~A

)−∇2φ=0 (12.147)

• Conditia de transversalitate (vezi (8.3), (8.4) pag.125) de data asta pentru ~k⊥ ~A, adica~∇· ~A= 0, din (12.147) ramane ∇2φ= 0 adica φ= const. deci nu este o variabiladinamica.

• Singura variabila dinamica cetrebuie cuantificata este ~A. Cu~A se exprima atat ~E cat si ~B:

∣∣∣∣∣∣ ~E=−1

c

∂ ~A

∂t; ~B= ~∇× ~A

• Ecuatia de miscare pentru ~A esteecuatia de propagare a undelor (8.44):

∣∣∣∣ 1

c2

∂2 ~A

∂t2−∇2 ~A = 0 (12.148)

• Pentru a face cuantificarea ~A lucrampe un volumfinit V = L3 si dezvoltam ~A dupa setul complet~uk,λ de moduri normale de unde plane stationare:

∣∣∣∣∣∣ ~uk,λ = ~εk,λei~k·~r√V

(12.149)

unde, ~εk,λ - vector polarizare⊥~k iar: ~k=2πnxL

~ex+2πnyL

~ey+2πnzL

~ez

• Modurile normale de unde ~uk,λ sunt ortogonale:∫V~uk,λ(~r) · ~u∗k′,λ′(~r)d

3r=δkk′δλλ′


12.11.2 Potentialul vector - oscilator armonic• Cuantificarea potentialului vector o vom face pt. o cutie de latura L adica pt. un set discret de

variabile, nu pt. ıntregul continuum, si vom dezvolta potentialul vector dupa setul discret, ortogo-nal de unde stationare permise, cu valori nule la margini: Ai(0)=Ai(L)=0 (i=x, y, z).

Din (12.124) ~A(~r)= ~A0 cos(~k·~r) si conditiile de cuantificare pentru ki:

kxL=(2nx+1)π/2 , kyL=(2ny+1)π/2 , kzL=(2nz+1)π/2

atunci, componenteleAi cuantificte ale potentialului vector vor fi de forma:

Ax=A0x cos((2nx+1)π

2L︸︷︷︸kx

x)

nx=0, 1, 2, . . . si similar pt.Ay, Az (12.150)

• Inlocuind aceasta solutie spatiala ın ecuatia undelor (12.123)(

1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~A=0,

avem:1

c2

∂2 ~A

∂t2=−

(k2x+k2

y+k2z

)~A adica o ec. de forma oscilator armonic: m

∂2x

∂t2=−κx

• Potentialul vector clasic ~A(~r, t) sub forma (12.124) sau (12.126) este solutie de oscilator ar-monic exprimata prin variabila ~A ın loc de x. Explicitand amplitudineaA0 (12.132), avem

~A(~r, t) = ~ε

√~

2ε0ωV

(a ei(

~k·~r−ωt)+a e−i(~k·~r−ωt))

cu a=√n (12.151)

• In continuare, pentru cuantificarea campului EM vom utiliza procedura de cuantificate de laoscilator armonic (vezi Anexa B, pag.277))


12.11.3 Cuantificarea campului EM• Cuantificarea campului EM o vom face pt. componente monoenergetice (modes) aflate

ıntr-o cavitate metalica cubica de latura L. Aici vor exista unde stationare per-mise, care au campul electric zero la margini. Adica, cele trei componente spatialeEi(0)=Ei(L)=0 (i=x, y, z).

Din (12.125) avem ~E(~r)=−~E0 sin(~k·~r), sau conditiile de cuantificare, pe componente sunt

kxL = nxπ , kyL = nyπ , kzL = nzπ.

(Acelasi rezultat se obtine si pentru o cavitate cu conditii periodice la margini)

Partea spatiala a campului electric cuantificat va fi de forma:

~E(~r)= ~E0 sin( nxπL︸︷︷︸kx

x)

sin( nyπL︸︷︷︸ky

y)

sin( nzπL︸︷︷︸kz

z)

nx, ny, nz=0, 1, 2, . . . (12.152)

• Inlocuind aceasta solutie spatiala ın ecuatia undelor (12.121)(

1

c2

∂2

∂t2−∇2

)~E=0,

avem:1

c2

∂2 ~E

∂t2=−

(k2x+k2

y+k2z

)~E adica o ec. de forma oscilator armonic: m

∂2x

∂t2=−κx

• Daca doua ecuatii de miscare clasice au forme identice, ecuatiile de miscare cuantice sunt legateprin aceeasi corespondenta. Deci, din energiile permise de oscilator armonic cuantic (12.34),obtinem cele pentru undele electromagnetice:

En=(n+

1

2

)~ω cu ω=

√κ

m−→ En=

(n+

1

2

)~ω cu ω=ck (12.153)


12.11.4 Componentele canonice ale campului EM• Am vazut (8.1) pag.125 si (8.15) pag.127, campul EM se propaga sub forma de unde plane,

solutii ale ec. Maxwell fara surse. Solutiile elementare (modes) l sunt oscilatii sincrone (ınfaza) ale campului ~El si ~Bl, cu aceeasi frecventa, reciproc perpendiculare si aflate ın planulperpendicular pe directia de propagare:

~El(~r, t)= ~El0

[αle

i(~kl·~r−ωlt)+α∗l e−i(~kl·~r−ωlt)

]; ~Bl(~r, t)=

~kl× ~El(~r, t)ωl

(12.154)

Solutia elementara lstationara (ın cutie):

∣∣∣∣ ~El(~r)= ~El0

[αle

i~kl·~r+α∗l e−i~kl·~r

](12.155)

poate fi cuantificata la fel ca la oscilatorul armonic (cuantificare canonica). Trebuieınsa sa identificam cele doua variabile de camp, conjugate canonic, ce caracterizeazao stare elementara l de unda plana.

• Sa factorizam amplitudinea complexa sub forma ~El0 = i~εlEl, unde avem com-ponenta vectoriala ~εl (polarizarea) si cea scalara de camp electric El. Atunci,

~El(~r)= i~εlEl αl ei~kl·~r+ c.c. ; ~Bl(~r)= i

~kl×~εlωl

El αl ei~kl·~r+ c.c. (12.156)

• Orice marime complexa precum solutia ~El(~r) (12.156) este definita prin douavariabile reale (ex. modulul si faza de oscilatie sau partea reala si imaginara).

Separam acum si ınαl par-tea reala si cea imaginara:

∣∣∣∣ αl=1√

2~(Ql+iPl) ; α∗l =

1√

2~(Ql−iPl) (12.157)

seamana cu a si a† (12.21), dar fara√

~

=⇒ Componentele cano-nice ale campului EM

∣∣∣∣ Ql=

√~2

(αl+α∗l

); Pl=−i

√~2

(αl−α∗l

)


12.11.5 Cuantificarea energiei campului EM

• Avand densitatea de energie a campului EM (12.128):

u=1

2

(ε0E

2+B2

µ0

)=ε0

2

(E2+c2B2

)unde am folosit c2 =

1

ε0µ0

• Energia campului EM: [folosind El=cBl, ~El(~r)= i~εlElαlei~kl·~r+ c.c.]

Hl=ε0

2

∫Vl

d3~r(~E2l +c2 ~B2

l

)=ε0

∫Vl

d3~r∣∣∣~El∣∣∣2= 2ε0VlE2

l |αl|2

Factorul 2 apare din integrarea pe cei doi termeni ai amplitudinii complexe.

Alegem amplitudinea campului electric de normare El=

√~ωl

2ε0Vlca energia

unui foton ~ωl din volumul Vl de cuantificare. Folosind αl (12.157), energiaHl devine,

Hl=~ωl |αl|2=ωl

2

(Q2l +P 2

l

)(12.158)

• Recunoastem forma hamiltonian-ului de oscilator armonic H=~ω2

(X2+P 2)

(sectiunea 12.2.2, pag.232) exprimata prin operatorii hermitici de variabile conjugatecanonic X si P :

• Starea elementara de camp (mode) e caracterizata prin doua variabile dinamice:

Ql si Pl, conjugate canonic:dQl

dt=∂Hl

∂Pl=ωlPl ;

dPl

dt=−

∂Hl

∂Ql=−ωlQl

• Variabilele conjugate canonic Ql si Pl la cuantificare devin operatori, ce satisfacrelatia de comutare:

[Ql, Pl

]= i~, iar operatorul Hamilton: Hl=

ωl

2

(Q2l +P 2

l

)12.11.6 Cuantificarea campului EM

• In continuare, cuantificarea campului EM se face ca cea a oscilatorului armonic,prin utilizarea operatorilor de creare a† si anihilare a cuante (fotoni).

αl(t)→ al=1√

2~

(Ql+iPl

); α∗l (t)→ a†l=

1√

2~

(Ql−iPl

)cu

[al, a

†l

]=1 (12.159)

cu Hamiltonian-ul Hl=~ωl(a†l al+

1

2

)In continuare vezi cuantificarea oscilatorului armonic sectiunea Anexa-B.2.1 pag.279.

12.11.7 Cuantificarea a II-a

• In mecanica cuantica pentru 1 particula avem: (ınlocuire variabile cu operatori)


〈ψ|f(p, x)|ψ〉 =∫d3xψ†(x) f

(−i~

∂

∂x, x)ψ(x) (12.160)

• In cuantificarea a 2-a pt. 1 particula avem: (ınlocuire functii de camp cu operatori)

F =∑i

f(pi, xi)

F =∫d3x ψ†(x) f(−i~

∂

∂x, x)ψ(x)

(12.161)

• Exemplu:H0 =

∑i

p2i

2m

H0 =∫d3x

~2

2m~∇ψ† · ~∇ψ

(12.162)

12.12. SUPLIMENTE 269

12.12 Suplimente

• Dezvoltarea: ~A(~r, t)=∑k,λ

√2π~c2

ωk

[ak,λ(t)~uk,λ(~r)+a∗k,λ(t)~u∗k,λ(~r)

](12.163)

• Inlocuind dependenta de ~r a undelor stationare ~uk,λ = ~εk,λei~k·~r√V

(12.149) si

dependenta de t pentru ak,λ(t)=e−iωkt, obtinem:

~A(~r, t)=∑k,λ

√2π~c2

ωkV

[ak,λ(0)~εk,λei (~k·~r−ωkt)+a∗k,λ(0)~ε ∗k,λe

−i (~k·~r−ωkt)]

(12.164)

• Folosind expresiile (12.127) pentru ~E si ~B prin ~A:~E(~r, t)=−

∂ ~A

∂t= i

∑k,λ

√2π~ωkV

[ak,λ(0)~εk,λei (

~k·~r−ωkt)−a∗k,λ(0)~ε ∗k,λe−i (~k·~r−ωkt)

]~B(~r, t)=~∇×~A= i

∑k,λ

√2π~c2

ωkV

[ak,λ(0)~k×~εk,λei (

~k·~r−ωkt)−a∗k,λ(0)~k×~ε ∗k,λe−i (~k·~r−ωkt)

](12.165)

• Cuantificarea campului se face prin trecerea la operatori:

{ak,λ(0) → ak,λa∗k,λ(0) → a†k,λ

(12.166)

• Pentru fotoni (bosoni) se ceresatisfacuta si relatia de comutare:

[ak,λ, a

†k′,λ′

]=δk,k′δλ,λ′ (12.167)

12.12.1 Cuantificare camp electromagnetic

• Campurile EM clasice (12.164), (12.165) devin acum operatori vectoriali:

A(~r, t)=∑k,λ

√2π~c2

ωkV

[ak,λ(0)~εk,λei (~k·~r−ωkt)+a†k,λ(0)~ε ∗k,λe


E(~r, t)= i∑k,λ

√2π~ωkV

[ak,λ(0)~εk,λei (~k·~r−ωkt)−a†k,λ(0)~ε ∗k,λe


B(~r, t)= i∑k,λ

√2π~c2

ωkV

[ak,λ(0)~k×~εk,λei (~k·~r−ωkt)−a†k,λ(0)~k×~ε ∗k,λe

−i (~k·~r−ωkt)](12.168)

• Daca descompunem operatorul de camp: E(~r, t)= E(+)(~r, t) + E(−)(~r, t),

unde: E(+)(~r, t)= i∑k,λ

√2π~ωkV

ak,λ(0)ei(~k·~r−ωkt) e componenta de frecventa pozitiva,

iar: E(−)(~r, t)=(E(+)(~r, t)

)†e componenta de frecventa negativa.

• E(+)(~r, t) cu opertori de anihilare, responsabil de procese absorbtie fotoni, iar

E(−)(~r, t) cu operatori de creare, responsabil de procese emisie fotoni.

Capitol 13

De la mecanica clasica la campuriclasice si campuri cuantice (rezumat)

• Trecerea de la mecanica clasica la mecanica cuantica (cuantificarea I) se face prin ınlocuirea

marimi fizice→ operatori.

Coordonata si impulsul devin operatori x=x ; p=−i~∂

∂x

Operatorii x si p satisfac relatia de comutare [x, p]≡ xp− px= i ~ (13.1)

Exemplu: Operatorul Hamiltonpentru oscilatorul armonic este:

H =1

2mp2 +

1

2k x2 (13.2)

• In mecanica clasica, descriem pozitia prin coordonatele ~x. Printr-o transformare de coordonate(ex. rotatia unei bare) are loc transformarea reciproca a coordonatelor (x↔ y).

La fel, campurile ~E si ~B de exemplu, se pot transforma reciproc ( ~B ↔ ~E).

Ecuatiile de miscare din mecanica ne dadeau variatia coordonatei x, ca marime urmarita, ınfunctie de timp t.

Aceasta arata ca putem trata asemanator componentele campurilor cu cele de coordonate.

In teoria (clasica a) campului vom descrie marimea urmarita campul ϕ(x, t) ın mod similar ınfunctie de variabila independenta, care de data asta este 4-coordonata xµ. Atunci,

• Trecerea de la mecanica clasica la campuri clasice se face prin ınlocuirea:

Coordonate xi→ componente de camp ϕi xi −→ ϕi(x, t) (13.3)

Viteze xi→ derivate de camp ∂µϕidxi

dt−→

∂ϕi(x, t)

∂xµ(13.4)

• Trecerea de la campuri clasice la campuri cuantice se face prin ınlocuirea:

campuri clasice→ operatori de camp.

Campul ϕ devine operator: ϕ(x, t)→ ϕ(x, t)

270

11.10. REZUMAT - DE LA MECANICA CLASICA LA C˘ AMPURI ...

Documents

Transcript of 11.10. REZUMAT - DE LA MECANICA CLASICA LA C˘ AMPURI ...