1

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Nume: ......................................................................................

Prenume: .................................................................................

Clas�: ......................................................................................

�coal�: .....................................................................................

.................................................................................................

EDITURA PARALE

LA 45

2

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unit��ile de înv���mânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 3530/04.04.2018. Lucrarea este elaborat� în conformitate cu Programa �colar� în vigoare pentru clasa a V-a, aprobat� prin O.M.E.N. nr. 3393/28.02.2017.

Referin�� �tiin�ific�: Lucrarea a fost definitivat� prin contribu�ia �i recomand�rile Comisiei �tiin�ifice �i metodice a publica�iilor Societ��ii de �tiin�e Matematice din România. Aceasta �i-a dat avizul favorabil în ceea ce prive�te alc�tuirea �i con�inutul matematic.

Redactare: Andreea Ro�ca, Daniel Mitran Tehnoredactare: Iuliana Ene Preg�tire de tipar: Marius Badea Design copert�: Mirona Pintilie Descrierea CIP a Bibliotecii Na�ionale a României ZAHARIA, DAN Matematic� : aritmetic�, algebr�, geometrie : clasa a V-a / Dan Zaharia, Maria Zaharia, Sorin Peligrad. - Ed. a 10-a. - Pite�ti : Paralela 45, 2021 2 vol. ISBN 978-973-47-3398-9 Partea 1. - 2021. - ISBN 978-973-47-3399-6 I. Zaharia, Maria II. Peligrad, Sorin 51 Copyright � Editura Paralela 45, 2021 Prezenta lucrare folose�te denumiri ce constituie m�rci înregistrate, iar con�inutul este protejat de legisla�ia privind dreptul de proprietate intelectual�. www.edituraparalela45.ro EDITURA P

ARALELA

45

3

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Dan ZAHARIA Maria ZAHARIA

Sorin PELIGRAD

matematic� aritmetic� algebr� geometrie clasa a V-a partea I edi�ia a X-a

mate 2000 – consolidare

EDITURA PARALE

LA 45

4

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Stimate cadre didactice/dragi elevi, V� mul�umim c� �i în acest an �colar a�i ales s� utiliza�i auxiliarele din colec�ia Mate 2000+! Mate 2000+ este cea mai longeviv� colec�ie din domeniul educa�ional la nivel na�ional �i, pentru multe genera�ii de elevi, ast�zi p�rin�i, reprezint� sinonimul reu�itei în carier� �i de ce nu, în via��. Conceput� �i gândit� de un colectiv de speciali�ti în domeniul educa�iei ca un produs unic pe pia�a editorial� din România, MATE 2000+ a reu�it s� se impun�, fiind în acest moment lider pe pia�a auxiliarelor �colare dedicate matematicii. Tehnologia a evoluat, vremurile s-au schimbat, iar toate acestea ne fac s� credem c� �i modul de abordare a pred�rii se va schimba treptat. Fideli dezideratului de a oferi elevilor informa�ii de un real folos, avem deosebita pl�cere de a v� prezenta Aplica�ia MATE 2000+. Creat� într-un mod intuitiv, disponibil� atât în Apple Store, cât �i în Play Store, cu sec�iuni dedicate elevilor �i profesorilor, aplica�ia îmbog��e�te partea teoretic� din auxiliarele noastre. Rolul aplica�iei MATE 2000+ este de a oferi elevilor posibilitatea de a urm�ri într-un mod sistematizat con�inuturile esen�iale din program�, iar pentru profesori reprezint� un sprijin important pentru organizarea eficient� a lec�iilor, atât la clas�, cât �i în sistem online.

V� dorim o experien�� de utilizare excelent�! Echipa Editurii Paralela 45

Abrevieri:

∗ Ini�iere (în�elegere)

∗∗ Consolidare (aplicare �i exersare)

∗∗∗ Excelen�� (aprofundare �i performan��)

∗∗∗∗ Supermate

Legend� = portofoliul elevului = portofoliul profesorului = portofoliul elevului - portofoliul profesorului

PE

PP

PE-PP

EDITURA PARALE

LA 45

14

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Capitolul I Numere naturale

Introducere

Competen�e specifice Exemple de activit��i de înv��are 1.1. Identificarea numerelor naturale în contexte variate

• Scrierea �i citirea numerelor naturale în sistemul de numera�ie zecimal • Identificarea unor numere naturale într-o diagram�, într-un grafic sau într-un

tabel care con�in date referitoare la o situa�ie practic� • Identificarea unui num�r natural pe baza unor condi�ii impuse cifrelor sale • Identificarea unei metode aritmetice adecvate pentru rezolvarea unei probleme

date

2.1. Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind opera�iile aritmetice �i propriet��ile acestora

• Efectuarea opera�iilor aritmetice cu numere naturale • Efectuarea de calcule utilizând factorul comun • Efectuarea opera�iilor cu puteri utilizând regulile de calcul specifice • Reprezentarea datelor dintr-o problem�, în vederea aplic�rii unei metode

aritmetice adecvate

3.1. Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea opera�iilor cu numere naturale �i pentru divizibilitate

• Utilizarea algoritmului împ�r�irii, cu restul egal sau diferit de zero, în cazul în care deîmp�r�itul �i împ�r�itorul au una sau mai multe cifre

• Aproximarea/estimarea rezultatelor ob�inute prin utilizarea algoritmului împ�r�irii

• Calcularea unor expresii numerice care con�in paranteze (rotunde, p�trate �i acolade), cu respectarea ordinii efectu�rii opera�iilor

• Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea unor probleme cu numere naturale

• Determinarea unui num�r natural pe baza unor condi�ii impuse cifrelor sale (de

exemplu, determina�i numerele de forma 2 5a b , �tiind c� produsul cifrelor sale este 120)

4.1. Exprimarea în limbaj matematic a unor propriet��i referitoare la compar�ri, aproxim�ri, estim�ri �i ale opera�iilor cu numere naturale

• Reprezentarea pe axa numerelor a unui num�r natural, utilizând compararea �i ordonarea numerelor naturale

• Justificarea estim�rilor rezultatelor unor calcule cu numere naturale • Justificarea scrierii unui num�r natural dat sub form� de putere cu baza sau

exponentul indicat • Exprimarea unor numere naturale de dou� cifre ca produs de numere prime

PP

EDITURA PARALE

LA 45

15

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

5.1. Analizarea unor situa�ii date în care intervin numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule

• Eviden�ierea avantajelor folosirii propriet��ilor opera�iilor cu numere naturale în diferite contexte

• Analizarea faptului c� un num�r este sau nu p�tratul unui num�r natural (utilizând ultima cifr�, încadrarea între p�tratele a dou� numere naturale consecutive)

• Determinarea unor numere naturale care respect� anumite condi�ii (de exemplu, determina�i numerele prime a �i b, �tiind c� 3a + 2b = 16)

• Compararea a dou� numere naturale scrise sub form� de puteri folosind aducerea la aceea�i baz� sau la acela�i exponent

• Aplicarea criteriilor de divizibilitate a numerelor naturale pentru situa�ii cotidiene

• Estimarea ordinului de m�rime a numerelor de forma 2n, pornind de la probleme practice (de exemplu, foi de hârtie îndoite consecutiv, povestea tablei de �ah)

• Realizarea unor estim�ri utilizând procente (de exemplu, cunoscând num�rul elevilor de gimnaziu dintr-un ora� �i faptul c� aproximativ 2% dintre ace�tia studiaz� un instrument muzical, estima�i num�rul de elevi de gimnaziu care stu-diaz� un instrument muzical)

• Stabilirea valorii de adev�r a unui enun� matematic cu numere naturale, folosind metode aritmetice

1. Scrierea �i citirea numerelor naturale Numerele se scriu cu ajutorul unor simboluri (semne grafice).

Exemplu: Pentru num�rul 10 egiptenii au folosit simbolul „∩”, babilonienii au folosit simbolul „<”, iar romanii au folosit simbolul „X”.

Dup� felul de ordonare �i de grupare a simbolurilor folosite, se poate vorbi de dou�

moduri de scriere a numerelor: � scrierea nepozi�ional� (de exemplu, scrierea cu simboluri romane); � scrierea pozi�ional� (de exemplu, scrierea cu simboluri arabe). Scrierea numerelor folosit� în clasele I-IV este o scriere pozi�ional�, care folose�te zece

simboluri, numite cifre arabe. Acestea sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. În scrierea unui num�r, cifrele se pot repeta sau nu. Acest mod de scriere a unui num�r

natural se nume�te scriere în baza zece sau scriere în sistemul zecimal, pentru c� zece unit��i de un anumit ordin formeaz� o unitate de ordin imediat mai mare (superior).

În acest sistem de numera�ie, 10 unit��i formeaz� o grup� numit� zece; 10 grupe de 10 formeaz� o nou� grup� numit� sut�; 10 grupe de o sut� formeaz� o nou� grup� numit� mie etc.

Scrierea în baza 10 este o scriere pozi�ional�: fiecare cifr� are o anumit� valoare dup� locul (pozi�ia) unde este scris�.

Exemplu: În scrierea num�rului 123 437 653, cifra 3 apare de trei ori �i, de la dreapta la stânga, ea are urm�toarele valori: 3 unit��i, 3 zeci de mii �i 3 milioane.

PE-PP

EDITURA PARALE

LA 45

16

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Observa�ie: Numera�ia în baza 10 se pare c� a fost inventat� de indieni �i preluat� de

europeni datorit� arabilor. Originea numera�iei în baza 10 este foarte probabil s� fie cele 10 degete de la cele dou� mâini ale omului.

Un num�r natural oarecare de dou� cifre se reprezint� prin scrierea ab , unde a �i b desemneaz� cifre (nu neap�rat diferite) �i a ≠ 0. Adic�:

ab = a ⋅ 10 + b. Exemple: 17 = 1 ⋅ 10 + 7; 53 = 5 ⋅ 10 + 3; 77 = 7 ⋅ 10 + 7.

Un num�r natural oarecare de trei cifre se reprezint� prin scrierea abc , unde a, b �i c desemneaz� cifre (nu neap�rat diferite) �i a ≠ 0 �i a�a mai departe.

abc = a ⋅ 100 + b ⋅ 10 + c. Exemple: 357 = 3 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 7; 629 = 6 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 9; 888 = 8 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 8.

Numerele naturale scrise în ordinea: 0, 1, 2, …, 9, 10, 11, … formeaz� �irul

numerelor naturale. Dac� n este un num�r natural oarecare, atunci n – 1 este predecesorul s�u, n + 1 este

succesorul s�u, iar numerele n – 1 �i n, respectiv n �i n + 1 se numesc numere consecutive.

Pentru a citi un num�r natural, scris în baza 10, se grupeaz� cifrele câte trei, de la dreapta la stânga. Aceste grupe sunt numite clase. Fiecare clas� se compune din unit��i, zeci �i sute. La citirea numerelor în baza 10 se poate folosi schema:

sute zeci unit��i sute zeci unit��i sute zeci unit��i sute zeci unit��i

clasa miliardelor

clasa milioanelor

clasa miilor

clasa unit��ilor

Exemplu: Citi�i numerele: a) 2 043 571; b) 4 001 307 156; c) 157 000 429 000.

Rezolvare: Se grupeaz� cifrele num�rului, de la dreapta la stânga, conform schemei de mai sus �i se cite�te:

a) dou� milioane patruzeci �i trei de mii cinci sute �aptezeci �i unu; b) patru miliarde un milion trei sute �apte mii o sut� cincizeci �i �ase; c) o sut� cincizeci �i �apte de miliarde patru sute dou�zeci �i nou� de mii.

Observa�ii: Romanii foloseau pentru scrierea numerelor naturale urm�toarele sim-boluri: I, V, X, L, C, D, M, numite cifre romane.

Valorile cifrelor romane sunt: I are valoarea cifrei 1, V are valoarea cifrei 5, X are va-loarea num�rului 10, L are valoarea num�rului 50, C are valoarea num�rului 100, D are valoarea num�rului 500 �i M are valoarea num�rului 1 000.

Sistemul de scriere folosit de romani nu era nici zecimal, nici pozi�ional. La citirea �i scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane trebuie s� �inem cont de

urm�toarele reguli: 1. O cifr� cu o valoare mai mic� sau egal� scris� la dreapta uneia cu o valoare mai

mare indic� o sum�. EDITURA PARALE

LA 45

17

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Exemple: XII = 10 + 1 + 1 = 12; XXV = 10 + 10 + 5 = 25;

MDL = 1 000 + 500 + 50 = 1 550. 2. O cifr� cu o valoare mai mic� scris� la stânga uneia cu o valoare mai mare indic�

o diferen��. Exemple: IX = 10 – 1 = 9; XL = 50 – 10 = 40; XC = 100 – 10 = 90;

CD = 500 – 100 = 400; CM = 1 000 – 100 = 900. 3. Cifrele I, X, C, M pot fi scrise consecutiv de cel mult trei ori. 4. Nu se pot repeta consecutiv cifrele V, L, D �i nu se pot sc�dea. 5. Orice cifr� (sau grup de cifre) care are o linie deasupra este multiplicat� de 1 000 de

ori.

Exemple: X reprezint� 10 000; L reprezint� 50 000; XC reprezint� 90 000. 6. Pentru a scrie numere cu cifre romane se poate face divizarea num�rului în mii, sute,

zeci �i unit��i. Exemple: 24 = 20 + 4 �i 20 = XX, 4 = IV, iar num�rul se scrie 24 = XXIV;

342 = 300 + 40 + 2 �i 300 = CCC, 40 = XL, 2 = II, iar num�rul se scrie 342 = CCCXLII; 1 957 = 1 000 + 900 + 50 + 7 �i avem 1 000 = M, 900 = CM, 50 = L, 7 = = VII, iar num�rul se scrie 1 957 = MCMLVII.

� � � activit��i de înv��are � � �

În�elegere *

1. Scrie�i în baza 10, cu cifre arabe, numerele: a) dou� sute trei; b) �apte sute patruzeci; c) nou� mii nou�; d) cincizeci �i �apte de mii patru sute; e) trei miliarde patru sute; f) dou�zeci �i dou� de miliarde treizeci.

2. Citi�i urm�toarele numere naturale: a) 301; 15 070; 301 007; 2 000 510; 370 501 407; b) 149 803; 40 731; 450 031 024; 204 030.

3. Scrie�i cu ajutorul cifrelor urm�toarele numere: a) o mie opt; b) unsprezece mii �aptezeci �i opt; c) dou� sute trei mii �ase sute unu; d) un milion �aizeci �i dou� de mii trei sute cinci. 4. a) Care este cel mai mic num�r natural de trei cifre care are cifra zecilor 7?

b) Care este cel mai mare num�r natural de patru cifre distincte care are cifra sutelor 6? c) Care este cel mai mic num�r natural de patru cifre care are cifra sutelor 6? 5. Scrie�i toate numerele naturale: a) mai mici decât 8;

b) mai mici sau cel mult egale cu 12; c) mai mari decât 5 �i mai mici decât 15; d) mai mari sau cel pu�in egale cu 3 �i mai mici sau cel mult egale cu 17. 6. Scrie�i urm�toarele numere descompuse în baza 10:

a) 127; b) 2 137; c) 53; d) 27 385; e) 705; f) 230; g) 20 035; h) 705 102.

PE

EDITURA PARALE

LA 45

107

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Capitolul II Frac�ii ordinare. Frac�ii zecimale

Competen�e specifice Exemple de activit��i de înv��are 1.2. Identificarea frac�iilor ordinare sau zecimale în contexte variate

• Utilizarea unor reprezent�ri grafice variate pentru ilustrarea frac�iilor echiunitare, subunitare, supraunitare

• Verificarea echivalen�ei a dou� frac�ii prin diferite reprezent�ri • Scrierea unui procent sub form� de frac�ie ordinar� (de exemplu, 20% se scrie

20/100) • Identificarea unor date statistice din diagrame, tabele sau grafice

2.2. Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind opera�iile aritmetice �i propriet��ile acestora

• Efectuarea de calcule cu frac�ii folosind propriet��i ale opera�iilor aritmetice • Introducerea �i scoaterea întregilor dintr-o frac�ie ordinar� • Înmul�irea �i împ�r�irea unei frac�ii zecimale cu un num�r finit de zecimale

nenule cu 10, 100, 1 000 • Scrierea unei frac�ii zecimale cu un num�r finit de zecimale nenule ca un produs

dintre un num�r zecimal �i o putere a lui 10; scrierea unei frac�ii zecimale cu un num�r finit de zecimale nenule ca un cât dintre un num�r zecimal �i o putere a lui 10

• Calcularea unei frac�ii echivalente cu o frac�ie dat�, prin amplificare sau simplificare

• Simplificarea unei frac�ii ordinare în vederea ob�inerii unei frac�ii ireductibile (prin simplific�ri succesive, dac� este cazul)

• Efectuarea de opera�ii cu numere ra�ionale exprimate sub form� de frac�ie zecimal� �i/sau ordinar�

3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea opera�iilor cu frac�ii ordinare sau zecimale

• Aplicarea algoritmilor de împ�r�ire a unei frac�ii zecimale la un num�r natural sau la o frac�ie zecimal� cu un num�r finit de zecimale nenule

• Transformarea frac�iilor ordinare în frac�ii zecimale �i invers • Aplicarea metodelor aritmetice pentru rezolvarea unor probleme cu frac�ii

4.2. Utilizarea limbajului specific frac�iilor/procentelor în situa�ii date • Încadrarea unei frac�ii zecimale între dou� numere naturale consecutive • Utilizarea limbajului specific pentru determinarea unei frac�ii dintr-un num�r

natural n, multiplu al numitorului frac�iei • Utilizarea limbajului adecvat pentru exprimarea unor transform�ri monetare

(inclusiv schimburi valutare)

PP

EDITURA PARALE

LA 45

108

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

6.2. Reprezentarea matematic�, folosind frac�iile, a unei situa�ii date, în context intra �i interdisciplinar (geografie, fizic�, economie etc.)

• Formularea unor probleme cu frac�ii, pe baza unor scheme sau reguli date �i rezolvarea acestora prin metode aritmetice (metoda reducerii la unitate, metoda compara�iei, metoda mersului invers etc.)

• Reprezentarea datelor statistice folosind softuri matematice • Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme pornind de la un set de

informa�ii cu caracter cotidian sau �tiin�ific (fizic, economic etc.)

1. Frac�ii ordinare; reprezentarea frac�iilor prin desene

Frac�ia ordinar� (pe scurt frac�ia) este o pereche de numere naturale m �i n, cu n ≠ 0,

scris� sub forma mn

, unde m este num�r�torul frac�iei �i n este numitorul frac�iei.

Num�r�torul este separat de numitor prin linia de frac�ie. Numitorul unei frac�ii arat� în câte p�r�i egale a fost împ�r�it întregul, iar num�r�torul

arat� câte p�r�i au fost luate din întreg.

Observa�ie: Frac�ia mn

este definit� dac� �i numai dac� n ≠ 0.

Oricare ar fi n un num�r natural, avem:

00 =n

(n ≠ 0) �i nn =1

.

Frac�iile pot fi reprezentate cu ajutorul unor desene. De exemplu, frac�ia 3

1 din urm�-

toarele desene:

� � � activit��i de înv��are � � �

În�elegere *

1. Scrie�i frac�iile corespunz�toare pentru: a) dou� treimi; b) cinci p�trimi; c) o doime; d) patru cincimi; e) trei doimi; f) opt zecimi; g) trei �esimi; h) �apte doimi; i) nou� treimi.

2. Scrie�i cu ajutorul frac�iilor ce parte din întreg reprezint� partea ha�urat� în figurile:

a)

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

1

3

1

1

3

1

3

1

1

PE

PE-PP

Fig. 6 Fig. 7 EDITURA PARALE

LA 45

109

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

b) Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6

3. Scrie�i frac�iile reprezentate în urm�toarele desene:

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7

4. Reprezenta�i cu ajutorul unor desene urm�toarele frac�ii:

a) 8

5; b)

4

1; c)

7

3; d)

5

2; e)

3

1; f)

7

2; g)

4

3; h)

2

1; i)

3

5; j)

3

2.

5. Completa�i spa�iile libere pentru a ob�ine un întreg în scrierile: 19

;57

;29

;7

;23

;17

.

6. Desena�i segmente de dreapt� cu urm�toarele lungimi:

a) 5

1 dm; b)

2

5 cm; c)

4

1 dm; d)

10

1 dm.

Aplicare �i exersare **

7. Câte cincimi sunt în: a) un întreg; b) trei întregi; c) cinci întregi?

8. Ce parte dintr-o or� reprezint�: a) un minut; b) 10 minute; c) 45 de minute; d) 20 de minute; e) 50 de minute; f) 90 de minute?

9. Ce parte dintr-o s�pt�mân� reprezint�: a) o zi; b) trei zile; c) cinci zile; d) 28 de zile?

10. Ce parte dintr-un an reprezint�: a) o lun�; b) 4 luni; c) 6 luni?

11. Scrie�i toate frac�iile de forma ab

, cunoscând c� a este egal cu 1, 3 sau 5, iar b este

egal cu 2 sau 7. 12. Scrie�i frac�iile care au numitorul 18, iar num�r�torii sunt divizorii naturali ai lui 18. 13. Scrie�i frac�iile care au:

a) numitorul p�trat perfect de dou� cifre �i num�r�torul cu 7 mai mic decât acesta; b) numitorul 10 �i num�r�torul de o cifr� impar�;

c) num�r�torul de forma 2x , unde 2x §3 �i numitorul cu 5 mai mare decât acesta.

PE

EDITURA PARALE

LA 45

110

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Aprofundare �i performan�� ***

14. Determina�i toate frac�iile de forma yx

3

1, x ≠ y, unde yx 3,1 sunt prime.

15. Determina�i x ∈ �* astfel încât x

18 s� fie num�r natural.

16. Scrie�i toate frac�iile de forma ba

, unde a �i b sunt numere naturale nenule, a ≤ 3 �i b < 4.

17. Determina�i toate frac�iile de forma 47

3x, unde 5 | x3 .

18. Determina�i toate frac�iile cu num�r�torul 3 �i numitorul de forma 5x , unde 2 < x ≤ 7.

19. Determina�i toate frac�iile de forma y

x35

02, unde x ≠ y, 2 | 02x �i 3 | y35 .

20. Determina�i numerele naturale x pentru care sunt definite frac�iile:

)2)(7(

19;

)1(

57;

22

17;

12

24;

35;

1

1;

3

18

−+−−−+− xxxxxxxxx.

Supermate ****

21. Scrie�i toate frac�iile de forma:

a) 1

1

aa

−+

, unde a este num�r natural �i 3 9a≤ ≤ ;

b) ab

, unde a este egal cu 1 sau 2 �i b este egal cu 5 sau 7.

22. Fie frac�ia 2 1

2 1

n

n na −=+

. Scrie�i a1, a2, a3 �i a100.

23. Se consider� �irul de frac�ii: 1 3 5

; ; ;3 5 7

…

a) Scrie�i urm�toarele trei frac�ii din �ir. b) Scrie�i a 100-a frac�ie din �ir. c) Scrie�i frac�ia aflat� pe locul n în �irul dat.

2. Frac�ii subunitare, echiunitare �i supraunitare. Introducerea �i scoaterea întregilor dintr-o frac�ie

Frac�ii subunitare, echiunitare �i supraunitare O frac�ie subunitar� este o frac�ie care are num�r�torul mai mic decât

numitorul. O frac�ie echiunitar� este o frac�ie care are num�r�torul egal cu numitorul. O frac�ie supraunitar� este o frac�ie care are num�r�torul mai mare decât numitorul.

PE

PE-PP

PE-PP

EDITURA PARALE

LA 45

160

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Indica�ii �i r�spunsuri

SOLU�IILE TESTELOR DE AUTOEVALUARE POT FI CONSULTATE AICI: (Scana�i codul QR cu camera telefonului, nu din aplica�ia Mate2000+)

RECAPITULARE �I EVALUARE INI�IAL�

1. Exerci�ii �i probleme recapitulative 1. a) 414 090; 88 006; 200 205; 703 023; b) 6 405; 500 032; 9 007; 51 008. 2. a) 7; 20 347; b) 4; 2 034; c) 3; 203; d) 0; 20; e) 2; 2. 3. a) <; b) >; c) <; d) >; e) <; f) =. 4. 99; 97. 5. a) 102; b) 111; c) 123; d) 106. 6. 741; 147. 7. 20; 25; 50; 52. 8. 77; 75; 72; 57; 55; 52; 27; 25; 22. 9. a) 245 190; 245 100; 245 000; 69 320; 69 300; 69 000; 137 250; 137 200; 137 000; b) 245 200; 245 200; 246 000; 69 330; 69 400; 70 000; 137 260; 137 300; 138 000; c) 245 200; 245 200; 245 000; 69 330; 69 300; 69 000; 137 250; 137 300; 137 000. 10. 876. 11. 102 �i 104. 12. 72, 73 �i 74. 13. a) 56 973; b) 1 836; c) 13 754; d) 10 725. 14. 1 644; 8 725; 24 794. 15. c = 135, r = 3 �i 948 = = 7 × 135 + 3; c = 179, r = 2 �i 897 = 5 × 179 + 2; c = 93, r = 4 �i 562 = 93 × 6 + 4. 16. 8 × (30 + + 20) = 8 × 50 = 400 �i 8 × (30 + 20) = 8 × 30 + 8 × 20 = 240 + 160 = 400; 24 × 32 + 24 × 18 – 24 × × 10 = 24(32 + 18 – 10) = 24 × 40 = 960 �i 24 × 32 + 24 × 18 – 24 × 10 = 768 + 432 – 240 = 1 200 – – 240 = 960. 17. 608; 3 942; 7. 18. a) 369; b) 4 499; c) 2 508; d) 390. 19. a) 1 300; b) 30 060; c) 8 309; d) 39 877; e) 15; f) 3 366 501; g) 24; h) 21. 20. a) 7 235, 7 253, 7 325, 7 352, 7 523, 7 532; 6 numere; b) 7 235 < 7 253 < 7 325 < 7 352 < 7 523 < 7 532. 21. 2 177. 22. 3 978. 23. 1 950. 24. Alexandra 100 lei �i Costin 70 lei. 25. Caietul cost� 6 lei, cartea cost� 36 lei �i stiloul cost� 48 lei. 26. Pentru c�r�i 940 lei �i pentru caiete 1 034 lei. 27. 106. 28. 968. 29. 520. 30. I, V, L, VI, IV, LV, LI, LIV, LVI. 31. a) XLIX, LXV, LXXXIV; b) CCCLVII, DLXVIII, CMLXXVI; c) MCCC, MMII, MMMXXV. 32. 4 bancnote de 100 lei. 33. 1119. 34. 15 lei. 35. 30 lei. 36. 12 000 un num�r �i

12 375 cel�lalt num�r. 37. 18 fete �i 6 b�ie�i. 38. a) 36 m; b) 34 m. 39. 84ab = . 40. 7 �i 35. 41. a) 75; b) 14. 42. 17 048; 51 144; 4 262. 43. 5 zile. 44. 15 lei; 17 lei. 45. 60 meri; 40 pruni; 70 piersici. 46. 250 garoafe albe �i 750 garoafe ro�ii. 47. 5 ani fiul �i 30 de ani tat�l. 48. 6 portocale. 49. 120 de elevi de la ciclul primar �i 360 elevi de la ciclul gimnazial. 50. 24 pachete �i, respectiv, 16 pachete. 51. 37 volume, 41 volume �i 27 volume. 52. 160 mere �i 84 portocale. 53. Primul are 20 de timbre; al doilea are 141 de timbre, iar al treilea are 27 de timbre. 54. 468. 55. 15 pagini. 56. a) 13 min; b) 30 min; c) 14 400 s; d) 15 min; e) 420 min; f) 1 200 s; g) 2 zile; h) 45 min. 57. 375 kl. 58. 8 600; 17 200; 17 457. 59. a) 610 dg; b) 560 g; c) 35 cg; d) 580 dag; e) 47 q; f) 449 hg; g) 45 t; h) 18 dg. 60. a) 123; b) 621; c) 68. 61. 2 elevi au primit nota 9 �i 10 elevi au primit nota 7. 62. a = 91; b = = 204; c = 168 �i a) 893; b) 513; c) 340. 63. a = 50; b = 5; c = 1 �i 5 ⋅ a + 4 ⋅ b – 3 ⋅ c + 33 = 300. 64. D = 529; B = 1 710; A = 6 416; C = 7 922. 65. a) 2(a + b) + 3(b + c) = 55; b) 3(a + b) + 2(b + c) = = 60; c) (a + b) + 7(b + c) = 77. 66. a) 10; b) 6; c) 7; d) 1 010. 67. Adi avea 45 lei, Alexandra 25 lei, iar Andreea 30 lei. Le-au r�mas: Alexandrei 20 lei; Andreei 26 lei; lui Adi 40 lei. 68. 256 pagini. 69. 160 probleme rezolvate de Andreea �i 280 probleme rezolvate de Mihaela. 70. a) LXIII; b) 28.

2. Modele de teste pentru evaluarea ini�ial� TESTUL 1 I. 1. a) 3 630; b) 1 626; c) 10 904; d) 276. 2. 4 829. 3. a) A; b) F; c) A; d) A. II. 4. 1. 5. 960 pomi. 6. 129 cutii. 7. 210. 8. 60 �i 75. TESTUL 2 I. 1. a) 4 675; b) 1 268; c) 10 175; d) 423. 2. 2 195. 3. a) A; b) F; c) A; d) A. II. 4. 4. 5. 1 240. 6. 105 cutii. 7. 168. 8. 25 kg de �tiuc� �i 100 kg de crap. EDITURA P

ARALELA

45

160

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Cuprins RECAPITULARE �I EVALUARE INI�IAL� ............................................................... 5

1. Exerci�ii �i probleme recapitulative ............................................................................... 5 2. Modele de teste pentru evaluarea ini�ial� .................................................................... 10

Capitolul I. NUMERE NATURALE ............................................................................... 14 Introducere .......................................................................................................................... 14

1. Scrierea �i citirea numerelor naturale .......................................................................... 15 2. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor. Compararea �i ordonarea numerelor naturale; estim�ri, aproxim�ri ........................................................................ 20 3. Recapitulare �i sistematizare prin teste ....................................................................... 25

Test de autoevaluare ........................................................................................................... 27 Opera�ii cu numere naturale ................................................................................................ 29

1. Adunarea numerelor naturale; propriet��i ................................................................... 29 2. Sc�derea numerelor naturale ....................................................................................... 33 3. Probleme care se rezolv� cu ajutorul opera�iilor de adunare �i sc�dere ...................... 36 4. Recapitulare �i sistematizare prin teste ....................................................................... 39

Test de autoevaluare ........................................................................................................... 43 5. Înmul�irea numerelor naturale; propriet��i. Factor comun .......................................... 45 6. Împ�r�irea numerelor naturale ..................................................................................... 48 7. Teorema împ�r�irii cu rest. Reguli de calcul ............................................................... 53 8. Ordinea efectu�rii opera�iilor �i folosirea parantezelor ............................................... 57 9. Recapitulare �i sistematizare prin teste ....................................................................... 60

Test de autoevaluare ........................................................................................................... 63 10. Puteri cu exponent natural ale unui num�r natural .................................................... 65 11. Compararea �i ordonarea puterilor. Reguli de comparare ......................................... 68 12. P�tratul �i cubul unui num�r natural. P�trate perfecte ............................................... 70 13. Opera�ii cu puteri ....................................................................................................... 72 14. Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2 ...................................................................... 76 15. Recapitulare �i sistematizare prin teste...................................................................... 80

Test de autoevaluare ........................................................................................................... 83 16. Metode aritmetice de rezolvare a problemelor .......................................................... 85

Metoda figurativ� ........................................................................................................ 85 Metoda reducerii la unitate ......................................................................................... 85 Metoda compara�iei .................................................................................................... 86 Metoda falsei ipoteze .................................................................................................. 86 Metoda mersului invers .............................................................................................. 86

17. Media aritmetic� a dou� numere naturale cu rezultat num�r natural ......................... 89 18. Recapitulare �i sistematizare prin teste...................................................................... 91

Test de autoevaluare ........................................................................................................... 93 Divizibilitatea numerelor naturale ...................................................................................... 95

1. Divizor. Multiplu. Divizor comun. Multiplu comun ................................................... 95 2. Aplica�ii ale divizibilit��ii (Numere pare �i numere impare) ....................................... 98 3. Criterii de divizibilitate ............................................................................................. 100 4. Recapitulare �i sistematizare prin teste ..................................................................... 102

Test de autoevaluare ......................................................................................................... 105 EDITURA PARALE

LA 45

161

Matem

atic

�. C

lasa a

V-a

Capitolul II. FRAC�II ORDINARE. FRAC�II ZECIMALE ................................... 107 1. Frac�ii ordinare; reprezentarea frac�iilor prin desene ................................................ 108 2. Frac�ii subunitare, echiunitare �i supraunitare. Introducerea �i scoaterea întregilordintr-o frac�ie ................................................................................................................. 110 3. Aflarea unei frac�ii dintr-un num�r natural. Procent ................................................. 114 4. Frac�ii echivalente ..................................................................................................... 117 5. Amplificarea �i simplificarea frac�iilor. Frac�ii ireductibile ...................................... 119 6. Reprezentarea pe axa numerelor a unei frac�ii ordinare ............................................ 121 7. Adunarea �i sc�derea frac�iilor .................................................................................. 123 8. Înmul�irea frac�iilor ................................................................................................... 127 9. Împ�r�irea frac�iilor ................................................................................................... 131 10. Puteri ....................................................................................................................... 134 11. Recapitulare �i sistematizare prin teste.................................................................... 139

Test de autoevaluare ......................................................................................................... 143 12. Probleme de matematic� aplicat� în via�a cotidian� ................................................ 145

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE ......................................................................... 147 PROBLEME DATE LA CONCURSURI �COLARE ................................................. 156

INDICA�II �I R�SPUNSURI ....................................................................................... 160

EDITURA PARALE

LA 45