1

Clasa a XI a 1. S se determine toate permutrile , 3nS n astfel nct numerele

1 (1), 2 (2),..., ( )n n + + + s formeze o progresie aritmetic (Marian Andronache, OL Bucureti 1984)

2. Se consider numerele reale 1 2 ... na a a< < < . S se determine pentru ce permutare

, 2nS n suma ( ) ( )1

n

i ii

S a a=

= este maxim?

3. S se arate c pentru orice , 2n

S n este adevrat inegalitatea ( )

21 1

1.

n n

k k

kk k

= =

4. Pentru , 2nS n se noteaz ( ) ( )1 .n

n

k

kSk

=

= S se arate c ( )nS este minim dac e = i s se calculeze ( )lim .n

nS

(OJ 1987) 5. Pentru , 2nS n se definete permutarea nS astfel nct

( )( ) 1 , 1, .i n i i n = + = a) S se arate c ( ) ( ) 2 , ;n nm m C S + = b) S secalculeze ( ).

nSm

(Constantin Nstsescu) 6. Se consider ( ) , 2nA M n i tB A A= , unde t A este transpusa matricei A.

a) S se arate c pentru 4n = avem det 0;B b) S se calculeze det B n cazul n care n este impar .

(Marcel Chiri, OL Bucureti 1983) 7. Fie p,q,r numere ntregi impare.S se arate c nu exist matrice ptratice A,B de ordin

impar cu elementele numere ntregi astfel nct .p AB q BA r I + = (OL Timi 1983)

8. Se noteaz cu M mulimea tuturor matricelor de tipul ( ),m n n care toate elementele sunt numerele 1 sau 1 i astfel nct produsul elementelor din fiecare linie i fiecare coloan este 1 .S se calculeze cte elemente are mulimea M.

(OL Suceava 1983)

9. Se consider matricea cos 2 sin 2

, .

sin 2 cos 2aa a

A aa a

pi pi

pi pi

=

S se arate c:

2

a) Exist *k astfel nct 2kaA I= dac i numai dac a ; b) Fiind dat un numr *n avem { }* 2min / kan k A I= = dac i numai

dac ban

= cu ( ), , 1.b b n = (Ion D.Ion, OJ 1983)

10. S se determine valoarea maxim a unui determinant de ordinul trei care are dou elemente egale cu 4 i restul egale cu 1 sau 1 .

(OL Galai 1984) 11. Se consider matricea ( ) , 2nA M n > i ecuaiile k nX O= , AX A X= + i

2 1...

knA X X X O

+ + + + = , unde , 2k k i ( ).nX M S se arate c orice soluie ( )nB M a dou dintre ecuaiile date, este soluie i pentru cea de-a treia ecuaie.

(D.M.Btineu-Giurgiu, OL Arge 1988) 12. Se consider o matrice ( )nA M cu proprietatea c *det A i toi minorii de

ordinul 1n sunt numere raionale. S se arate c ( ).nA M (OL Arge 1996)

13. Se consider o matrice ( )2A M pentru care 3 2.A O= S se arate c: a) 2 2;A O= b) 2det( ) 1.A I+ =

(Sever Moldoveanu, OJ Arge 1996) 14. Fie ( ), , 2nA B M n cu proprietatea c 2 2 .nA B O+ = S se arate c:

a) Dac 4 ,n k k= , atunci det( ) 0AB BA ; b) Dac 4 2,n k k= + , atunci det( ) 0AB BA ; c) Dac 4 1 sau 4 3,n k n k k= + = + , atunci det( ) 0.AB BA =

(Marius Rdulescu, OJ 1984) 15. S se arate c dac ( ), , 2nA B M n i 2( )nI AB este inversabil, atunci i

2( )nI BA este inversabil. (Marcel Chiri,Test tabr naional 1984)

16. Se consider ( ), nA B M . S se arate c: a) Dac A B AB+ = , atunci ;rangA rangB= b) Dac 1rangA n= ,atunci exist ( )nC M astfel nct nC O i

( ) *, .p p pA C A C p+ = + (C.Cocea, M.Piticari, Test tabr naional 1984)

3

17. a) S se determine matricele ( )2X M pentru care 2 2 22 .1 1X X

+ =

b) Dac ( )nA M este nesingular,s se arate c A are cel puin n minori de ordinul n 1 nenuli.

(Marian Teler, OL Arge 1998)

18. S se determine matricele ( )2X M pentru care 3 1 02 .10 4X X

=

(Lucian Dragomir, GM 1986) 19. Se consider ( ), , nA B C M astfel nct nBC I= i funciile

( ) ( ), : n nf g M M pentru care ( ) ( ) ( ) ( )f g X A g X f X B= + , ( ).nX M S se arate c dac f este injectiv,atunci i g este injectiv.

(D.M.Btineu-Giurgiu, OL Teleorman 1986)

20. Se consider ( ), nA B M astfel nct .A B AB+ = S se arate c pentru , 2k k ,urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) 2 1... ;kn

A B B B O+ + + + = b) .kn

B O= (M.Neacu, test tabr 1987)

21. Se consider ( ), nA B M pentru care .AB BA= S se arate c: 2 2det(2 2 2 2 ) 0.

nA B A B I+ + + +

(OJ Vlcea 1997) 22. S se arate c dac matricele ( ), , nA B C M comut la nmulire dou cte dou,

atunci 2 2 2det( ) 0.A B C AB BC CA+ + (Ol Constana 1987)

23. Se consider ( )3,A B M nesingulare, cu .AB BA= S se arate c dac 3 3A B= ,atunci det( ) 0.A B = n plus,dac exist *, 3n n k astfel nct n nA B= ,atunci .A B=

(Gh.Andrei, OJ Constana 1991) 24. Se consider ( )nA M astfel nct .t tA A A A = + S se arate c

( )2det 1.nA I = (Gh.Andrei, OJ Constana 1992)

4

25. Se consider ( )2 .A M S se arate c ecuaia 2

2 2( ) (det )X TrA X A I O + = are o infinitate de soluii. (OJ Constana 1994)

26. Se consider ( )nA M astfel nct ( )(det ) (det ) .A A A A i A A + = + S se arate c dac n este impar, atunci det 0.A =

(OL Constana 1995)

27. Se consider ( ), nA B M astfel nct 2 2 .A B A B= S se arate c .AB BA= (Cristinel Mortici, OL Constana 1996)

28. Se consider ( ), , nA B C M astfel nct nA B C I = .S se arate c dac matricele nI A AB+ + , nI B BC+ + , nI C CA+ + sunt inversabile, azunci suma inverselor lor este .nI

(Cristinel Mortici, OJ Constana 1996)

29. S se arate c nu exist matrice ( )2A M astfel nct 5 2 1 .4 2A

=

(Cristinel Mortici, OL Constana 1998)

30. S se rezolve n ( )2M ecuaia: 3 2 10 204 5 .5 10X X X

+ =

(Marcel Chiri, OL Bucureti 1998) 31. Fie ( ), , nA B C M . S se arate c urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) ABC AB BC= + ; b) 1 1 1 .CB A CB B A = + (OJ Cara-Severin 1998)

32. Se consider mulimea G a matricelor ( )2 0, , , 0.0a

A M A a bb

=

S se

determine submulimile H G cu 7 elemente i care au proprietatea: , .A B H A B H

(Viorel Radu, OJ Dolj 1998)

33. Se consider matricea , , ,a b c

A c a b a b cb c a

=

i 2 2 2 1.a b c+ + = S se arate c

det 1.A (Marcel Chiri, OJ Ialomia 1998)

5

34. Fie ( )2 2,A M A O , cu proprietatea c exist a astfel nct 2.

tA A a I+ = S se arate c oricare ar fi m , exist b astfel nct

( ) 2.mm tA A b I+ = (V. Matrosenco, OL Bucureti 2000)

35. Fie ( ) ( )4,3 3,4,A M B M astfel nct 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

AB

=

.

a) S se calculeze ( ) , ;nAB n b) S se calculeze det( ).BA (OL Constana 2000)

36. Fie ( )2 .A M S se arate c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: a) Exist p astfel nct 2;pA O=

b) Exist ,a b astfel nct cos 1 sin .1 sin cos

b bA a

b b+

= +

(OJ Arge 2000) 37. Dac ( )2,A B M i ( )2det( ) det( ),A X B X X M+ = + , s se arate c

.A B= Afirmaia rmne adevrat i dac se nlocuiete ( )2M cu ( )nM ? (Ion Savu, OJ Bacu 2000)

38. Dac ( )2,A B M satisfac AB BA= i det) ) det( 2 ) det( 3 ) 1A B A B A B+ = + = + = , s se arate c 2 2.B O=

(OJ Bucureti 2000) 39. Dac ( )2,A B M satisfac AB BA= i 2 2det( ) 0A B+ = , s se arate c

det det .A B= (Cristinel Mortici, GM 1997)

40. Dac ( ), nA B M satisfac nAB O= , s se arate c 2 2det( ) 0.nI A B A B+ + + +

41. S se determine permutarea 4S pentru care 11 1 2 3 4

.

2 4 1 3

=

(Dan Negulescu, OL Brila 2001)

6

42. Se consider mulimea / , .a b

G a bb a

=

S se determine matricele

,X Y G pentru care 23 327

X Y IX Y I

+ =

+ = .

(V. Matrosenco, OL Bucureti 2001) 43. Fie ( )2A M cu det 1A i ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n n n nn n n na b c d astfel nct

, 1.n nnn n

a bA n

c d

=

S se arate c dac cele patru iruri sunt convergente, atunci

2.A I= (Marian Andronache, OL Bucureti 2001)

44. Fie ( )2A M cu det 0A d= astfel nct det( ) 0.A d A+ = S se arate c det( ) 4.A d A =

(Daniel Jinga, OJ 2001) 45. Pentru orice ( ) , 2nA M n notm cu ( )m A numrul tuturor minorilor si

nenuli.S se arate c: a) ( ) 2 1;n

nm I = b) dac ( )nA M este nesingular,atunci ( ) 2 1.nm A

(Marius Ghergu, OJ 2001) 46. S se arate c ecuaia 2AX XA I+ = are soluii n ( )2A M dac i numai dac

A este nesingular sau 2 2A O= , unde ( )2 .A M (Mihai Piticari, OJ Suceava 1993)

47. S se arate c exist o infinitate de matrice de ordinul 2n cu toi minorii strict pozitivi.

(Mihai Piticari, Ion Savu, OJ Suceava 1995)

48. S se determine matricele ( )2a bX Mc d

=

care satisfac

2 2 22 22 ( ) .X aX a b I O + + =

(Gh. Popescu, OJ 1970) 49. Dac A este o matrice cu n linii i m coloane, m n< , s se arate c det( ) 0.tA A =

(Laureniu Panaitopol, ON 1973) 50. Fie ( )2, ,A B C M astfel nct 2 2 2, , .A BC B CA C AB= = =

a) S se arate c 3 3 3;A B C= = b) S se dea un exemplu de trei matrice diferite A,B,C care satisfac simultan condiiile din ipotez.

(Laureniu Panaitopol, OJ 1975)

7

51. Se consider ( ) ( )3, 1,3ij i j

A a M=

= astfel nct ija i j= + dac i j i ija i= dac i j= . S se arate c matricea A este inversabil.

(Laureniu Panaitopol, ON 1975)

52. Se consider ( )nA M i se noteaz cu ( )nX M matricea care are toate elementele egale cu un numr x . S se arate c:

( )2det( ) det( ) det .A X A X A+ + (M.Ddrlat, OJ 1978)

53. Se consider ( )3,A B M astfel nct det det det( ) det( ) 0.A B A B A B= = + = = S se arate c: det( ) 0, , .xA yB x y+ =

(M.Martin, OJ 1979)

54. Se consider un determinant de ordinul n . a) Care este semnul produsului elementelor de pe diagonala secundar n

dezvoltarea determinantului dat? ; b) S se arate c dac mai mult de 2n n elemente ale determinantului sunt

nule, atunci determinantul este nul. (OJ 1980)

55. S se studieze dac exist ( ), ,nA B M A B pentru care .nAB BA I = (OJ 1980)

56. Se consider o matrice ptratic de ordinul 4 cu toate elementele reale i astfel nct trei i numai trei dintre acestea sunt nule.Se noteaz cu N numrul termenilor nenuli din dezvoltarea determinantului acestei matrice. S se studieze care sunt valorile posibile ale lui N .

(ON 1980)

57. Fie ( ), , 1nA B M n i .C AB BA= Presupunnd c exist ,k k pi astfel nct 2 2 ( )A B ctg C+ = , s se arate c ( )sin det 0.n C =

(I.V.Maftei, ON 1980) 58. Se consider 2 2, , , 1.

a bA a b a b

b a

= +

8

59. Un determinant D de ordinul 3 are elementele de pe diagonala principal egale cu 12

,

iar suma elementelor de pe fiecare linie i de pe fiecare coloan este egal cu 1. S se arate c 0.D >

(M. Bencze, OJ 1981)

60. Se consider ( ), , nA B C M care satisfac .

nABC AB BC AC A B C O+ + + + + + = S se arate c dac A i B C+ comut la nmulire, atunci i matricele A i B C au aceeai proprietate.Reciproca este adevrat?

(I.V. Maftei, OJ 1982) 61. Fie , 2n n i a astfel nct 1.a n> Dac ( )

, 1,ij i j nA a

=

= este o matrice ale

crei elemente sunt definite prin ija a= , dac i j= i ij ija = , dac i j , unde { }1,1ij , s se arate c matricea A este nesingular.

(ON 1983) 62. Matricele ptratice A i B sunt de acelai ordin i satisfac relaiile

2 2 3 3 , AB B A U A B O = + = , unde U i O sunt matricea unitate,respectiv matricea

nul.S se arate c dac una dintre matricele A sau B este inversabil, atunci este adevrat egalitatea 2 2 BA A B U = . Este necesar ipoteza de inversabilitate pentru obinerea acestei egaliti?

(I.V. Maftei, ON 1982)

63. Se consider ,p q astfel nct 2 4 0.p q < S se arate c dac n este un numr natural impar i ( )nA M , atunci 2 .n nA pA qI O+ +

(Titu Andreescu, Ion D. Ion, OJ 1985) 64. a) S calculeze determinantul matricei ( )nA M pentru care 1ija = , dac i j=

i 1ija = , dac i j . b) S se arate c dac o matrice ptratic de ordinul n are toate elementele egale cu 1 sau 1, atunci determinantul su se divide cu 12 .n

(C. Nstsescu, E. Pltnea, ON 1985) 65. Se consider ( )nA M pentru care 3 .nA A I= + S se arate c det 0.A >

(C. Cocea, OJ 1986) 66. S se determine matricele ( )nA M cu proprietatea ( ) .A A =

(M. Piticari, OJ 1987) 67. S se arate c: a) dac ( )nA M este o matrice singular, atunci exist

( ) ,nB M B O astfel nct .AB BA O= =

9

b) o matrice ( )nA M este singular dac i numai dac exist ( ) ,nB M B O astfel nct, pentru orice p , ( ) .p p pA B A B+ = +

(Ion Savu, ON 1987)

68. Fie ( )2 cu 2.a bA M a dc d

= + >

S se arate c oricare ar fi 2, .nn A I

(L. Panaitopol, I. Tomescu, ON 1988) 69. S se arate c dac ( ), nA B M i det , det( )A A B+ sunt numere ntregi impare,

atunci det( ) 0 , .A kB k+ (GM 2001)

70. Se consider ( )3 .a b b c c a

A c a a b b c Mb c c a a b

+ + +

= + + + + + +

S se arate c dac

2 2 2 4a b c+ + = , atunci det 16.A (Marcel Chiri, OL Bucureti 2002)

71. Fie ( )2A M ; pentru n se noteaz 2det( ).nnx A I= + S se arate c dac 1 2 1x x= = , atunci { }1,4 .nx

(Laureniu Panaitopol, OL Bucureti 2002)

72. Se consider determinantul

2

2

2

cos sin 2 cos 2cos sin 2 cos 2 .cos sin 2 cos 2

x x x

D y y yz z z

= S se arate c

2 , , , .D x y z< (Marcel Chiri)

73. Fie ( )2A M i \z cu 1.z = S se arate c dac 2det( ) 0A z I = , atunci det 1.A =

(C. Caragea, OL Constana 2002) 74. Fie n un numr impar i ( )nA M cu det 0A = i t A transpusa ei.

a) S se arate c det( )tA m A+ este numr par, .m b) Dac 3n = , s se arate c det( ) det( ), , .t tx A y A y A x A x y + = +

(D.t.Marinescu,V.Cornea,I.erdean, OL Hunedoara 2002) 75. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )3, ,nA n n n i punctul (0,1)B .

S se demonstreze c: a) pentru orice numere naturale 1k j i> > , punctele , ,i j kA A A sunt

necoliniare;

10

b) pentru orice numere naturale 1 1... 1k ki i i> > > avem

( ) ( ) ( )1 2 ... .2ki i iA OB A OB A OB pi + + +

11

83. Se consider matricea 0 1 00 0 11 0 0

A

=

i mulimea ( ){ }3( ) /C A X M XA AX= = . a) S se arate c dac ( )X C A ,atunci exist , ,a b c astfel nct

23 .X aI bA cA= + +

b) S se arate c dac ( )X C A i 2004 3X O= ,atunci 3X O= . (Ion Savu, OL Bucureti 2004)

84. Fie { }1 2, ,..., ,nG M M M n = o mulime de matrice de ordinul 3 cu elemente numere complexe, inversabile i cu proprietatea: , , 1, .i jM M G i j n =

a) S se arate c pentru orice A G , funcia : , ( )f G G f X AX = este bijectiv;

b) S se arate c: ( )1 2det ... .nM M M+ + + (Dan tefan Marinescu, OL Hunedoara 2004)

85. Fie ( )2A M cu 1.trA = S se arate c 2 2det( ) 3.A A I+ + (GM 2003)

86. Fie ( )2A M o matrice pentru care exist 2 cu .nn A I = S se arate c exist ,1 6k k astfel nct 2 .

kA I= (Vasile Pop, OL Maramure 2004)

87. Se consider matricea ( ) ( )ij pA a M= cu 12 23 1,... 1p pa a a = = = = i 0ija = pentru ceilali indici.

a) S se arate c 1p pA O i p pA O= ; b) S se arate c dac ( )pX M i AX XA= , atunci exist

1 2, ,..., pa a a astfel nct

1 2 3

1 2 1

1 2

1

...

0 ...0 0 ...

0 0 0 ...

p

p

p

a a a a

a a a

X a a

a

=

;

c) S se arate c dac ( ), pB C M astfel nct ( ) , ,n n npI A B C n + = + atunci sau .p pB O C O= =

(Ion Savu, OJ 2004) 88. S se determine matricele ( )2A M pentru care 3 2det( ) 1.A I+ =

(Mircea Becheanu, Shortlist ON 2004)

12

89. Fie ( )2,A B M care satisfac 2 2 2A B I= = i det det 1A B= = .S se arate c exist astfel nct 2 .AB BA I+ =

(Cristinel Mortici, concurs 2004)

90. Se consider expresiile ( ) 1 cos , ( ) 1 sin , ( ) 1 sin , .f x x g x x h x x x= + = + = S

se arate c pentru orice , , 0,4

a b c pi

avem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0.( ) ( ) ( )

f a g a h af b g b h bf c g c h c

=

(OL Alba 2006)

91. Fie ( )2A M . S se arate c ( ) 0tr A = dac i numai dac exist ( )2,B C M astfel nct A B C= + i 2 2 2 .B C O= =

(Ion Savu, OL Bucureti 2006) 92. Fie ( ), nA B M cu proprietatea c det( ) 1, cu 1.A zB z z+ = S se arate

c det 1.A (OL Dolj 2006)

93. a) S se arate c pentru orice ( )2,A B M are loc relaia: det( ) det( ) 2(det det ).A B A B A B+ + = + b) Dac ( )2,X Y M satisfac 2 2 1det( ) det( ) 2X Y XY YX+ + + = ,s se arate c det( ) det( ) 2.X Y X Y+ +

(Marius Damian, OL Vlcea 2006) 94. Fie 0x > un numr real i ( )2A M care verific egalitatea

22det( ) 0.A xI+ = Demonstrai c 2 2det( ) .A A xI x+ + =

(Vasile Pop, OJ 2006) 95. Considerm dou numere ntregi , 2n p i A o matrice ptratic de ordinul n, care

are elementele reale i verific egalitatea 1 .pA A+ = a) Demonstrai c: ( ) ( ) .p

nrang A rang I A n+ =

b) Demonstrai c dac, n plus, p este numr prim, atunci 2 1( ) ( ) ... ( ).p

n n nrang I A rang I A rang I A = = =

(Marius Ghergu, OJ 2006) 96. Fie ( )nA M astfel ca 3 4 3 .nA I A= Artai c: det( ) 2 .nnA I+ =

(Florian Dumitrel, concurs 2006) 97. Considerm determinanii cu elemente numere reale

13

1 2 1 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 11 , 1 , 1 , 11 1 1 1

a a b b c c d db b c c d d a ac c d d a a b b

.

Se tie c trei dintre ei sunt egali cu 1 . Demonstrai c: a) i cel de-al patrulea este egal cu 1; b) 1 1 1 1a c b d+ = + i 2 2 2 2.a c b d+ = +

(OL Bucureti 2007) 98. Se consider ecuaia ( )2 , n n nX aX bI O X M+ + = , unde , , , 2.a b n n

a) Demonstrai c n cazul 2n = ecuaia are o infinitate de soluii, oricare ar fi a, b; b) Pentru ce valori ale lui n este adevrat c ecuaia are o infinitate de soluii,

oricare ar fi a, b? (OL Bucureti 2007)

99. Calculai determinantul sin( ) sin( ) sin( )sin( ) sin( ) sin( ) , , , , , , .sin( ) sin( ) sin( )

x a y a z ax b y b z b x y z a b cx c y c z c

+ + +

+ + +

+ + +

(Aurel Doboan, Trandafir Bot, concurs Arhimede 2007) 100. S se determine toate numerele naturale 2n pentru care este adevrat

urmtoarea afirmaie: Dac ( ), nA B M i 2 2 nA B AB BA O= = + = , atunci .nAB BA O= =

(Sorin Rdulescu, Mihai Piticari, concurs Arhimede 2007) 101. Fie a b< dou numere reale .Se consider irul ( )n nx care satisface:

a) , ;n

a x b n < < b) ( )( ) ( )2

1 , .4n nb a

b x x a n +

S se arate c irul este convergent i s se calculeze limita sa. (V. Matrosenco, OL Bucureti 1983)

102. Se consider irul ( )n nx care satisface condiiile: a) ( )0, , ;nx npi b) 1sin cos 1, .n nx x n++ = S se arate c irul este convergent i s se determine limita sa.

(Radu Popvici, OL Cluj 1983) 103. S se arate c irul ( )n nx , nx tgn= nu are limit .

(Silviu Birua, OL Timi 1983) 104. Se consider irul ( )n nx care satisface relaia

2 3 41 , .n n n n nx x x x x n+ = + Dac 00 1x< < ,s se arate c irul este

convergent i s se calculeze limita sa. (Marius Rdulescu, OJ 1983)

14

105. Fie irul ( )n nx definit prin 1 11 , 1 ( 1) , .n nx x n x n+= = + + S se arate c irul

1

n

n

x

n

are limita 1.

(Laureniu Panaitopol, OL Bucureti 1984) 106. Fie ( ) ( )1 1,n nn na b dou iruri de numere raionale astfel nct

( )2 3 3, 1.n n na b n+ = + S se arate c: a) 1 2 3n n na a b+ = + i 1 2n n nb a b+ = + , n ;

b) lim 3.nn

n

a

b=

(OL Clrai 1984) 107. S se determine limita unui ir ( )n nx cu proprietatea c

( ) ( )1lim 0 , unde 0,1n nn

x x +

= .

(OL Clrai 1984) 108. Fie ( )n nx un ir cu proprietile: a) ( )n nx este strict cresctor i 2lim 0;nn

x

n=

b) Exist 1lim .n nn

x x Ln

+

=

S se arate c 0.L = Dorin Andrica, OL Cluj 1984)

109. S se calculeze ( ){ }lim 2 3 .nn + (OL Dolj 1984)

110. S se arate c irul ( )n nx definit prin ( )( )1 11 , 1 1 , n n nx n x x x n += + + este nemrginit .

(Mircea Lascu, Ol Arge 1990) 111. Fie ( )1 0,1x i irul ( )n nx definit prin 3 21 1 , 1.n n nx x x n+ = + S se calculeze

( )1 2lim ... nn

x x x

.

(Florian Dumitrel, OJ Arge 1994) 112. S se determine L pentru care irul ( ) 1n na definit prin

1 1 1...

1 2na L n

n n n n= + + +

+ + + este convergent.

(C. Caragea, OL Constana 1985)

15

113. Fie irul ( )n nx definit prin 1 2 1 11 , =1 , , .n n nx x x n x x n+ = = + S se arate c irul

1

n

n

x

n

are limita 1 .

(C. Caragea, OL Constana 1988) 114. S se calculeze

3...lim , 0.

ln

n

n

a a a a na

n

+ + + + >

(I. Cucurezeanu, OL Constana 1989) 115. Fie 0a > i ( ) 1n na un ir care verific inegalitile

2 3 21 1 , 2n n na a a a a n ++ + .S se arate c irul este convergent.

(M. Cavachi, OL Constana 1991) 116. Fie ( )1 0,1x i irul ( )n nx definit prin 21 1 , 1.n n nx x x n+ = + S se calculeze

( )1 2lim ... nn

x x x

.

(M. Cavachi, OL Constana 1992) 117. Fie ( ) 1n na un ir de numere reale astfel nct: a) , 1

na n n ; b) irul definit prin

1

11

n

n

k k

xa

=

=

+ este convergent.

S se arate c irul definit prin 1

1nn

k k

ya

=

= este convergent.

(Cristinel Mortici, OL Constana 1993) 118. Fie ( ) 1n na un ir mrginit de numere pozitive. Pentru 0 > notm cu

( )N numrul acelora dintre numerele 1 2, ,..., na a a care sunt cel mult egale cu . S se arate c dac oricare ar fi 0 > avem ( )lim 1

n

Nn

= ,atunci

1 2 ...lim 0.nn

a a a

n

+ + +=

(ON 1971) 119. S se calculeze limita irului definit prin

2

31

, .

n

n

k

k ka n

n k

=

+=

+

(A.Ghioca, OJ 1975) 120. Fie ( ) 1n na un ir de numere reale astfel nct pentru orice , 2n n exist

,

2nk k n

16

121. Se dau 0 0 0, ,a b c i se definesc irurile ( ) ( ) ( )0 0 0, ,n n nn n na b c astfel nct 1 1 1, , , .2 2 2

n n n n n n

n n n

b c c a a ba b c n+ + +

+ + += = = S se arate c irurile date sunt

convergente i au aceeai limit. (E. Onofra, OJ 1976)

122. Se consider irurile ( ) ( ) ( )0 0 0, ,n n nn n na b c , unde [ ]n nb a= (partea ntreag) , .

n n nc a b= Stabilii care dintre urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

a) ( ) 0n na cresctor i convergent ( ) 0n nb i ( ) 0n nc convergente; b) ( ) 0n na convergent ( ) 0n nb i ( ) 0n nc convergente; c) exist ( ) 0n na convergent astfel nct ( ) 0n nb s fie divergent; d) exist ( ) 0n na divergent astfel nct ( ) 0n nb s fie convergent.

(H. Banea, ON 1976) 123. Se consider urmtoarele proprieti ce le poate avea un ir ( ) 1n na de numere reale: ( )1 1: lim ;n n

nP n a a a+

= 1 22

...

: lim ;nn

a a aP bn

+ + +=

( )3 1: este convergent .n nP a S se arate c: a) 1P nu implic 3;P b) 2P nu implic 3;P c) 1P i 2P implic 3.P

(Laureniu Panaitopol, OJ 1977) 124. Se consider funciile [ ] [ ]: 0,1 0,1nf , unde ( ) 21 2f x x x= + i

( ) ( )( ) [ ]1 1 , 0,1 , , 2.n nf x f f x x n n= S se demonstreze c pentru orice valoare a lui [ ]0,1x irul ( )( ) 1n nf x este convergent i s se studieze continuitatea funciei [ ] [ ]: 0,1 0,1f definite prin ( )( ) lim .n

nf x f x

=

(P. Dalyay, OJ 1977) 125. S se arate c un ir ( )n nx care satisface 2 1( 1) 0 , n n nn x n x x n+ ++ =

este convergent . (Sorin Rdulescu, OJ 1979)

126. Pentru A notm cu ( )Aa n numrul elementelor lui A mai mici sau egale cu n i cu ( ) ( )1A Ab n a n

n= . S se arate c oricare ar fi [ ]0,1c , exist o

mulime A astfel nct ( )lim .An

b n c

=

(Radu Gologan, ON 1979) 127. S se arate c irul ( ) 1n na pentru care 1 1 2 , n n na a a n + + = este mrginit.

(D.M.Btineu-Giurgiu, OJ 1981)

17

128. S se arate c orice ir ( )n nx cu proprietatea c 0 0x > i 1 2 3 , n n nx x x n+ = , este convergent.

(D.M.Btineu-Giurgiu, OJ 1984) 129. Fie ( )n nx un ir de numere reale astfel nct irurile ( )2n nx , ( )2 1n nx + ,

( )3n nx sunt convergente. S se arate c irul ( )n nx este convergent. (OJ 1985)

130. Fie irul ( )n nx definit prin 11 1 , nxn nx e x n++ + = + , cu 0 0x > . a) S se arate c irul este bine definit; b) S se arate c irul este convergent i s se calculeze limita sa .

(OJ 1989) 131. S se arate c oricare ar fi L exist un ir ( )n nx cu

lim 0nn

x

= i 1lim .nn

n

tgx tg Lx

=

(Silviu Boga, OJ Suceava 1996) 132. Se consider un ir ( )n nb de numere strict pozitive astfel nct lim .nn

bn

=

S se arate c: a) 1

1 1lim 0;n

n k kn b = = b)

1

1lim 0.n

n k kn b ==

+

(Virgil Nicula, OL Bucureti 1998) 133. Fie ( )n nx un ir de numere reale definit prin 0 0x a= > i

2

11

, .

1n n

n

n

x xx n

x+

+ +=

+ S se calculeze:

a) lim nn

x

; b) 2

1limnx

n

nn

x

x

+

; c) lim .nn

x

n

(OJ Bacu 1998)

134. Se consider irul ( ) 0n na cu 0 0a i 31 3 1 , .n na a n+ = + S se determine valorile lui 0 0a pentru care irul este convergent.

(Marcel Chiri, OL Bucureti 2001) 135. Fie ,A A astfel nct ( ) [ ]( ) , , , 0,1 .x r y x A x y A r+ S se

arate c dac pentru orice ir ( )n nx convergent, cu , nx A n i lim nn x A , atunci A este interval.

(Dan tefan Marinescu, Ioan erdean, OL Hunedoara 2001) 136. Se consider irul ( )n nx definit prin ( )2cos 1 , 1.nx n n n npi= + +

18

S se studieze mrginirea i convergena irului considerat. (Constantin Caragea, OL Constana 2000)

137. Fie irul ( )n nx cu proprietatea c ( )2 1lim 2 0.n n nn x x x+ + + + = S se arate c 2lim 0.n

n

x

n=

(OJ Bucureti 2000) 138. Se consider irul ( ) 1n na cu 1 1a = i 1 1 21 ... , .n na a a a n + = + a) S se calculeze lim ;n

na

b) S se arate c

1

1lim 2.n

n k ka

=

=

(Gh. Andrei, OJ Constana 2000) 139. Se consider o progresie aritmetic ( )n nx de raie 0.r > Notm cu

( ), ( )a n g n media aritmetic,respectiv media geometric a primilor n termeni ai progresiei. S se calculeze (2 ) ( )lim .(2 ) ( )n

a n a n

g n g n

(Marcel Chiri, OL Bucureti 2002) 140. Se consider irul ( ) 1n na definit prin 1 1a = i

2

11

, .n

n

aa n

n

+

+=

a) S se arate c lim 0;nn

a

= b) S se calculeze 1 2 ...lim .ln

n

n

a a a

n

+ + +

(Laureniu Panaitopol, concurs 2003) 141. Fie ( )n nx un ir de numere reale definit prin 0 0x > i 1 1 , .n n

n

x x nx

+ = + S

se calculeze: a) lim ;nn

x

b) 2

3lim .n

n

x

n

(OJ 2004) 142. Se consider ( )n nx un ir de modul neconstant i mrginit de numere reale cu

proprietatea c ntr-o vecintate a lui 0 irul are un numr finit de termeni. a) S se arate c irul ( )n nx nu conine o progresie aritmetic infinit; b) S se arate c irul ( )n nx nu conine o progresie geometric infinit.

(Radu Gologan, concurs 2004)

143. a) Fie ( ) 1n na un ir cu termenii strict pozitivi i astfel nct 1lim 2.nnn

aa

+ =

S se

arate c lim 1nn

a

= ;

19

b) Fie ( )n nx , ( )n ny , ( )n nz iruri mrginite i de termeni strict pozitivi astfel nct 3lim .

2n n n

nn n n n n n

x y zy z z x x y

+ + =

+ + +

S se arate c ( ) ( ) ( )lim lim lim 0.n n n n n nn n n

x y y z z x

= = =

(Cristinel Mortici, OLArge 2006) 144. Fie ( )n nx un ir de numere reale care verific relaia ( )( )1 1 1 0 , 0.n n n nx x x x n+ + + +

a) Demonstrai c irul este mrginit; b) Este posibil ca irul s nu fie convergent?

(Mihai Blun, Mihai Piticari, OJ 2006) 145. Se consider o funcie :f pentru care exist lim ( ).

xf x

S se studieze

existena limitelor: a) lim ( );x

tgx f xx

b) ( )lim .sinx

f xx x

(Gh. Andrei, OL Constana 1985) 146. Fie funcie :f pentru care 2( ) ( ) ( )

2pf x T p f x f x+ = + , x ,

unde ( ) ( )0, , 0,4 .T p S se calculeze lim ( ).

xf x

(Dorel Mihe, OJ Vlcea 1995) 147. Se consider funcia :f + care verific relaia ( ) ln( ( )) , .xf x f x e x =

S se calculeze ( )

lnlim 1 .( )

f xx

x

x

f x

+

(I.V.Maftei, OJ 1986) 148. S se construiasc dou funcii , :f g pentru care exist i sunt finite limitele

( )0 0

lim ( ) , lim ( ) , lim ( )x y a x

f x a g x b g f x c

= = = i .b c

(OJ 1990) 149. S se determine relaia dintre numerele reale a, b, c astfel nct s existe, s fie

finit i nenul limita ( ) 212 ( 1)1

lim .xx

ax bx c

+ +

(I. Cucurezeanu, OL Constana 1989) 150. Fie ( ): 0,f o funcie monoton pentru care ( )lim (2 ) ( ) 0.

xf x f x

= S se

arate c pentru orice 0a > avem ( )lim ( ) ( ) 0.x

f ax f x

=

(Marcel Chiri, Marian Andronache, OL Bucureti 1998)

20

151. Fie ( ) ( ) ( ) 11: 1, 0, , ( ) (1 )x x xf f x a a = + , unde 1 ,1 .2a S se calculeze 1

lim ( )x

f x

i lim ( ).x

f x

(OJ Timi 1998) 152. S se determine funciile :f care satisfac: a) ( )lim ( ) 0.

xf x x

=

b) ( ) ( )2 2 2( 1) ( 1) 2( 1) ( ) , .x x f x x x f x x f x x + + + = (Mihai Piticari, OJ Suceava 1993)

153. S se arate c dac o funcie ( ): 0,f are proprietile: a) ( ) ( )lim , , 2kx

f xa k k

x = ;

b) ( ) 1( 1) ( )lim , , 2kxf x f x b k k

x

+ =

atunci .b ka= (OJ Arad 2000)

154. a) S se determine 0, 1m m> pentru care funcia : , ( )1

xm mxf D f xx

=

are

n 1x = limita 0 . b) Dac pentru orice 0a > notm cu

aV soluia inecuaiei 1xe ex a x ,

s se arate c a

V este o vecintate a lui 1 pentru orice 0a > . (Virgil Nicula, OL Cara-Severin 2002)

155. Fie :f pentru care ( )limlnxf x

x

i ( )lim ( 1) ( )x

x f x f x

+ exist i sunt

finite.S se arate c dac ( )( )lim 2 lim ( 1) ( )lnx xf x

x f x f xx

= +

, atunci

( )lim 0.lnxf x

x

=

(Radu Miculescu, concurs 2006)

156. S se arate c nu exist funcii continue :f cu proprietatea c ( )f x dac i numai dac ( 1) \f x + , oricare ar fi .x

(L. Panaitopol, H. Pop, ON 1979) 157. Fie funcia [ ]: 0,1f cresctoare, cu proprietatea c pentru orice 1 2 3, ,x x x cu

1 2 30 1x x x< < < < este adevrat inegalitatea 3 2 2 13 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( ).

f x f x f x f xx x x x

a) S se arate c n orice punct ( )0 0,1x funcia f este continu .

21

b) Se consider funcia [ ]: 0,1f , [ ), 0,1( ) 21 , 1

xxf x

x

= =

.

S se arate c f are toate proprietile cerute i nu este continu n 1.x = (Dan Voiculescu, OJ 1971)

158. Fie funcia [ ]: 1,1f definit prin cos , 0( ) .0 , 0

xf x xx

pi = =

S se arate c f nu

este continu norigine, dar pentru orice interval nchis I avem c ( )f I este un interval nchis.

(C. Ni, ON 1973) 159. Fie :f neconstant cu proprietatea c exist

0T > ( ) ( ) , , .f x rT f x x r+ = S se arate c f este discontinu n fiecare punct.

(ON 1975) 160. S se arate c: a) dac :f + + este o funcie continu i lim ( ( ))

xf f x

= , atunci lim ( ) .

xf x

=

b) rezultatul anterior nu rmne valabil pentru o funcie continu : .f + + (Sorin Rdulescu, ON 1981)

161. Se dau numerele 1, 0,2

a b

i :f o funcie continu care are proprietatea c ( ( )) ( ) , .f f x a f x bx x= + S se arate c (0) 0.f =

(M. Piticari, ON 1983) 162. Fie :f o funcie continu, mrginit, cu (0) 0.f = Artai c exist

1 2 1 2, ,x x x x astfel nct 0)()( 1221 =+ xfxxfx . (Lucian Dragomir, GM 1996)

163. Determinai funciile continue :f care satisfac:

xyxyf

xfx

yyfyx )(2)()( =+ , , .x y

(Lucian Dragomir, RMCS 2006) 164. Fie :f o funcie care are proprietatea lui Darboux i care satisface

xx

xff =

)(, x > 0 . Demonstrai c f este continu .

(Ionu Ivnescu, RMCS 2006) 165. Determinai limita irului ( ) 1n nx definit prin 1 2x > i

12)1( 212 +=+ + nnnn xxxx , n . (RMCS 2006)

22

166. Dac [ ] [ ]: 0,1 1,2f este o funcie continu, artai c exist ( )0,1t astfel nct 1( ) .f tt

=

(Lucian Dragomir, RMCS 2007) 167. Fie :f o funcie continu cu proprietatea 2( ( )) , .f f x x x= S se

demonstreze c: a) f este strict cresctoare pe + ; b) (0) 0f = ; c) ( ) ( ), .f x f x x =

(Sorin Rdulescu, OJ 1986) 168. Fie irul ( )n nx definit prin 1 ,nxn nx x e n+ = + i 0 .x S se arate c

lim 1.ln

n

n

x

n= (ON 1986)

169. Fie [ ]: ,f a b o funcie continu . Definim funcia [ ]: ,g a b prin [ ]( ) [ ]( ) sup , , , .g x f a x x a b= S se arate c [ ]( ),g a b este un interval.

(G. Dinc, ON 1987) 170. Fie 3.n S se determine funciile continue [ ]: 0,1f care satisfac proprietatea

c pentru orice [ ]1 2, ,..., 0,1nx x x cu 1 2 ... 1nx x x+ + + = avem ( ) ( ) ( )1 2 ... 1.nf x f x f x+ + + =

(Gh. Andrei) 171. Fie :f o funcie continu i progresiile aritmetice 1 2, ,..., na a a i 1 2, ,..., nb b b

astfel nct 1

( ) 0n

kk

f a=

S se demonstreze c exist o progresie

aritmetic 1 2, ,..., nx x x pentru care 1

( ) 0.n

kk

f x=

=

(Gh. Andrei, OJ Constana 1997) 172. S se arate c nu exist funcii continue :f astfel nct (1) 2f = i

2( ( )) 2 2, .f f x x x x= + (Cristinel Mortici, Ol Constana 1999)

173. S se determine funciile continue :f care au urmtoarele proprieti: a) ( )3( ( )) , ;f f x f x x= b) (2) 8 , ( 2) 8.f f= =

(Cristinel Mortici, Ol Vlcea 1997) 174. Se consider o mulime nevid A astfel nct pentru orice funcie continu

:f A A exist c A astfel nct ( ) .f c c= S se arate c A este format dintr-un singur punct sau este un interval nchis i mrginit.

(G. Blan, OJ Suceava 1991) 175. Fie funcia :f care satisface urmtoarele:

23

a) 1f f = ; b) ( ) , .f x x x (i) S se arate c funcia dat nu are proprietatea lui Darboux; (ii) S se dea un exemplu defuncie cu proprietile din enun .

(Gh. Marchitan, OJ Suceava 1996) 176. S se determine funcia :f care satisface simultan condiiile:

a) ( ) ( )( ) , , ;1 ( ) ( )

f x f yf x y x yf x f y+

+ = +

b) 0

lim ( ) 0;x

f x

= c) 1(1) .2

f = (OJ Bucureti 2000)

177. Fie :f o funcie continu i periodic pentru care (1) (2) ( )

... 1, .1 2

f f f nn

n

+ + + S se arate c exist c pentru care

( ) 0f c = i ( 1) 0.f c + = (Cristinel Mortici, OJArge 2000)

178. Fie ( ) ( ): 0, 0,f o funcie continu cu proprietile (1) (2)f f i ( )( ) ( )ln( ), 0, .( )

f f xx e xf x = +

S se calculeze

00

( )lim .xx

f xx

>

(Gh. Stoianovici, OL Clrai 2000) 179. S se determine toate funciile :f continue n origine care verific relaia

( ) ( ) ( ) ( ), , .f x y f x f y xy x y x y+ = + + + (* * *)

180. Fie [ ) [ ): 0, 0,f o funcie continu cu proprietatea c ( ( )) , 0.f x f x x x+ = S se arate c f este monoton.

(* * *) 181. Fie :f o funcie care transform orice interval nchis i mrginit ntr-un

interval nchis i mrginit i orice interval deschis i mrginit ntr-un interval deschis i mrginit.

(Mihai Piticari, OJ 2001) 182. Se consider o funcie :f care satisface condiiile: (i) f are limite laterale n orice punct a i ( 0) ( ) ( 0).f a f a f a + (ii) pentru orice , ,a b a b

24

a) pentru mulimea [ ]{ }0,1 / ( )A x f x x= , avem sup ;A A b) exist [ ]0 0,1x astfel ca 0 0( ) .f x x=

(Mihai Piticari, OJ 2003) 185. Fie :f o funcie cu proprietatea ( )P : pentru orice ,a b avem

{ }( ), ( ) .2

a bf f a f b+

a) S se dea un exemplu de funcie neconstant cu proprietatea ( )P ; b) S se arate c dac f are proprietatea ( )P i este continu, atunci f este constant.

(Dan tefan Marinescu, OJ 2004) 186. Se spune c o funcie :f are proprietatea ( )P dac pentru orice x

avem sup ( ) .t x

f t x

=

a) Dai un exemplu de funcie care are proprietatea ( )P i este discontinu n fiecare punct real;

b) Demonstrai c dac f este continu i are proprietatea ( )P , atunci f este funcia identic.

(Mihai Piticari, OJ 2006) 187. Fie :f o funcie pentru care exist 0L > astfel nct

( ) ( )f x f y L x y , , .x y Artai c f este surjectiv dac i numai dac este continu.

(Dorel Mihe, concurs Traian Lalescu 2006) 188. Fie :f o funcie derivabil i mrginit astfel nct

/lim ( ) ( ) .x

f x f x a

= S se arate c lim ( ) .x f x a = (Cristinel Mortici)

189. Fie :f , 1 2 1 2( ) ... , , ,...,n nf x x x a x a x a a a a= + + + fixate . Gsii condiia ca funcia f s fie derivabil pe ntreaga dreapt real.

(ON 1978) 190. Fie o funcie definit pe segmentul [ ]1,1 cu valori reale prin

1 1,

2( )10 ,

nx

nf xx

n

=

=

.

S se arate c f este derivabil n origine i s se calculeze ( )/ 0 .f (ON 1971)

25

191. S se arate c dac :f este o funcie de patru ori derivabil, cu ( ) 0,f x x i ( ) ( )4 0f x , atunci exist , ,a b c astfel nct

2( ) .f x ax bx c= + + (Sorin Rdulescu, test 1984)

192. Fie :f o funcie derivabil pe . a) S se arate c dac f este periodic, atunci i derivata ei /f este periodic, iar

funciile f i /f au aceeai perioad; b) Dac /f este periodic, rezult c f este periodic?

(S.Ania, L. Panaitopol, ON 1975) 193. Fie :f o funcie derivabil i mrginit . S se arate c dac pentru orice

x avem ( )/( ) sinf x f x x , atunci funcia f nu are limit la .+ (Marcel Chiri, ON 1987)

194. Fie :f o funcie derivabil i / :f derivata sa avnd proprietatea c pentru orice ir de numere reale ( ) 1n nx astfel nct ( )( )/ 1n nf x este convergent urmeaz c irul ( ) 1n nx este convergent.S se studieze monotonia funciei

:g definite prin / / .g f f= (Concurs Iai 2001)

195. S se arate c ecuaia 2

1 ... 0,1! 2! !

nx x xn

n

+ + + + = are cel mult o rdcin real.

(concurs Marian arin, 2002) 196. Fie :f o funcie derivabil pentru care (0) 0f = i ( )( ) , 0, .f x x x

S se arate c: a) ( )/ 0 1;f b) exist un ir ( ) 1n nx de termeni strict pozitivi, convergent ctre

0 si pentru care ( )/ 1, .nf x n (Dorel Duca, concurs Marian arin 2006)

197. S se determine funciile :f , derivabile cu derivata continu, pentru care ( ){ }/( ) max , 1 , .f x f x x x= +

(Marius Burtea, ON 1994) 198. Fie , ,a b a b > S se arate c exist [ ],c a b astfel nct: ( ) ( )/ /( ) ( ) ( ) ( ) .f b f a g b g a f c g c

b a b a

=

(Cristinel Mortici, ON 1999)

26

199. S se arate c dac :f este o funcie derivabil cu proprietatea c

( )/( ) , 2 2x xf x f f x x = +

, atunci f este o funcie polinomial de grad cel

mult 1 . (Mihai Piticari, ON 1999)

200. Fie F mulimea tuturor funciilor :f derivabile cu proprietatea c ( ) ( sin ),f x f x x x + .

a) S se arate c n mulimea F exist i funcii neconstante; b) S se demonstreze c dac f F , atunci mulimea soluiilor ecuaiei

( )/ 0f x = este infinit. (I.Raa, F.Vornicescu, ON 1997)

Clasa a XII a 1. Pe mulimea M se definete o lege de compoziie " " care are proprietatea

c ( ) , ,a b a b a b M = .S se arate c ( ) , ,a b a b a b M = . Mihail Mogoanu, OL Timi1983

2. Pe mulimea M se definete o operaie notat multiplicativ,cu proprietatea c ( ) , ,x yx y x y M= .S se demonstreze c fiecare dintre ecuaiile ax b= i

xa b= , unde ,a b M ,au soluie unic n M. Mihail Mogoanu, OJ 1983

3. Pe mulimea M se consider o lege de compoziie asociativ,notat multiplicativ,pentru care exist a M astfel nct

{ }/ , y axa x M y M . S se arate c legea admite element neutru. OL Mehedini,1993

4. Pe mulimea se definete o lege de compoziie " " care satisface proprietile

a) 1 1 , 2

xx x

+ =

;

b) ( ) ( ) ( ) , , ,x y z x z y z x y z = . S se studieze dac legea admite element neutru i s se calculeze 3 4 .

Lucian Dragomir, OL Cara-Severin,2000 5. Pe o mulime M se consider o lege de compoziie " " care satisface

proprietile: a) , ;x x x x M = b) ( ) ( ) , , , .x y z y z x x y z M = S se arate c legea de compoziie este asociativ i comutativ.

Concurs G.Moisil, 1996 6. Pe mulimea ( )0,M = se consider legea de compoziie " " care satisface

urmtoarele proprieti:

27

a) ( )1 1 , ;x x x M+ = b) ( ) ( )xy z x y z = , , ,x y z M . S se studieze dac legea este asociativ,dac admite element neutru i s se calculeze ( )2 2 1 . +

OL Galai, 2004 7. Pe mulimea ( )0,M = se definete legea de compoziie " " care satisface

urmtoarele proprieti: a) ( ) ( ) ( ) , , , ;x y x z x y z x y z M = + b) 1 ,x x x M = . S se calculeze 14

4 i 2006 2006 .

Lucian Dragomir , RMT 1/2006 8. Pe o mulime nevid M se consider o lege de compoziie asociativ notat

multiplicativ i pentru care 2 , , .xy yx x y M= S se arate c legea este comutativ.

Alin Pop, Concurs Gh.Lazr,2006 9. Fie ( ),G un grup cu cel puin trei elemente i e elementul neutru.Spunem c

grupul ( ),G are proprietatea p dac pentru orice { }, \x y G e ,exist z astfel nct 2.xy z= S se arate c: a) Dac un grup are proprietatea p,atunci pentru orice x G ,exist u G astfel nct 2;x u=

b) Grupul ( ),+ are proprietatea p ; c) grupurile ( ),+ i ( ), nu sunt izomorfe.

Laureniu Panaitopol, OL Bucureti, 1983 10. S se arate c nu exist niciun morfism de grupuri ( ) ( ): , ,f + pentru

care 0

lim ( ) 0.x

f x

=

Dumitru Buneag, OL Dolj , 1983 11. Este posibil ca ntr-un grup ( ),G s existe dou elemente distincte

{ }, \a b G e astfel nct : a) ;ab ba e= = b) ab ba e= ? Dorel Mihe, OL Timi, 1983

12. Fie ( ),G un grup pentru care exist n astfel nct 1

, : , ( ) , ( )n nf g G G f x x g x x + = = sunt morfisme surjective de grupuri. S se arate c ( ),G este comutativ.

28

Marcel Chiri, OJ , 1983 13. Fie ( ),G un grup cu un numr impar de elemente i ,H G H G un

subgrup al su.S se arate c: a) a H dac i numai dac 2 ;a H b) Exist \ , \a G H b G H astfel nct \ .ab G H

Marian Andronache, OL Bucureti, 1984 14. Fie ( ),G un grup astfel nct ,x y G , exist subgrupurile ,H K ale lui G

astfel nct { }, , .x H y K H K e = a) S se arate c ( ),G este comutativ;

b) S se rezolve n G ecuaia , , .nx a a G n = Marian Andronache, OL Bucureti, 1984

15. Fie ( ),G un grup pentru care exist , 2n n astfel nct ,

n nx y yx= ,x y G .S se demonstreze c grupul este abelian. Gheorghe Andrei, OL Constana , 1985

16. Fie ( ),G un grup multiplicativ finit,iar x G un element de ordinul 15. S se demonstreze c x se poate scrie n mod unic sub forma x yz zy= = ,cu

,y z G i ( ) 3, ( ) 5.ord y ord z= = OL Dolj,1984

17. Fie ( ),G un grup cu 2n elemente, 2n .Dac G are dou subgrupuri 1H i 2H ,fiecare cu cte n elemente,astfel nct { }1 2H H e = ,s se demonstreze

:

a) Pentru fiecare { } { }1 1 2 2\ , \x H e x H e ,avem 1 2x x c= ,unde { } ( )1 2\c G H H= ; b) Numrul n este egal cu 2 i G este izomorf cu grupul lui Klein; c) Grupul lui Klein satisface iotezele din enun.

T.Albu, I.D.Ion, C.Ursu, OJ , 1984 18. Fie ( ),G un grup i A G= , pe care se definete legea de compoziie " "

prin ( ) ( ) ( ), , ,n x m y n m x y = + , pentru orice ( ) ( ), , ,n x m y A .S se demonstreze c: a) ( ),A este grup; b) ( ) ( ), ,A+ dac i numai dac G are un singur element.

Toma Albu, OJ 1984 19. Fie ( ),G un grup cu proprietatea c 2 ,x e x G= .S se arate c pentru

orice funcie :f G G i orice ,a G a e ,funcia :g G G , ( ) ( ) ( )g x f x f ax= nu este injectiv.

29

D.M.Btineu Giurgiu, L.Vlaicu, test tabr 1984 20. Fie 2p un numr prim.S se determine morfismele de grup de la ( ),p + la

( ),p . C.Ni, ON, 1983

21. Fie ( ),G un grup multiplicativ cu proprietile ( ) ( ) ( )3 4 53 3 4 4 5 5, , , ,xy x y xy x y xy x y x y G= = = . S se arate c grupul este abelian.

OJ 1986 22. Fie G un subgrup nenul al grupului ( ),+ cu proprietatea c ( ),G a a este

o mulime finit,oricare ar fi 0a > .S se arate c grupul ( ),G + este izomorf cu ( ),+

Ion D.Ion, OJ, 1988 23. Fie ( ),G un grup cu elementul neutru e, avnd proprietatea c exist

, 2n n i { }\a G e astfel nct { }, \ .nx a x G e= S se arate c G are dou elemente.

Marcel ena, OL Bucureti, 1996 24. Fie ( )1,M = i o lege de compoziie pe M definit prin

, ,x y xy ax by c x y M= + + + .S se determine , ,a b c tiind c ( ),M este grup i s se arate c acest grup este izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale.

Laureniu Panaitopol, OJ, 1988 25. Fie ( ),G un grup finit de ordin n i :f G G un morfism cu proprietile:

a) Gf f = 1 ; b) ( ) .f x x x e= = S se arate c: 1) { }1( ) / ;f x x x G G = 2) G este abelian; 3) n este impar.

Dorel Mihe, ON, 1988 26. Fie ( ),G un grup i H o submulime a lui G,nevid i diferit de G,cu

proprietatea : , \ \ .x H y G H xy G H S se arate c H este un subgrup al lui G.

Marcel ena, OL Bucureti, 2003 27. Fie ( ),G un grup finit cu elementul neutru e.Cel mai mic numr natural

nenul cu proprietatea c nx e= ,pentru orice x G ,se numete exponentul grupului G.

30

a)Pentru orice numr prim 3p ,artai c grupul multiplicativ pG al

matricelor de forma

1

0 1

0 0 1

a b

c

,cu , , pa b c este necomutativ i are

exponentul p. b) Artai c dac ( , )G i ( ),H sunt grupuri finite cu exponenii respectiv m i n,atunci grupul ( ),G H cu operaia dat de ( ) ( ) ( )/ / / /, , ,g h g h g g h h = ,pentru orice ( ) ( )/ /, , ,g h g h G H ,are exponentul cel mai mic multiplu comun al numerelor m i n.

c) S se arate c pentru orice n exist un grup necomutativ cu exponentul n.

Ion Savu, OJ, 2003 28. Fie ( ),G un grup finit necomutativ i H un subgrup propriu al su cu

proprietatea c toate elementele din \G H au ordinul 3. S se arate c: a) H este comutativ; b) 2 .G H=

Concurs Nicolae Pun, 2003 29. Fie ( ),G un grup cu elementul neutru e.S se arate c urmtoarele afirmaii

sunt echivalente : a) orice parte stabil a lui G este subgrup al lui G; b) pentru orice x G ,exist k astfel nct kx e= .

Marian Andronache, OL Bucureti , 1995 30. Fie ( ),G un grup i :f G G , 1( ) , , 2nf x x n n+= , un automorfism de

grup. S se demonstreze c: a) Funcia : , ( ) ng G G g x x = este un endomorfism de grup; b) Dac g este injectiv sau surjectiv, atunci grupul G este abelian.

Gheorghe Andrei, OJ Constana, 1994 31. Fie ( ),G un grup multiplicativ cu elementul neutru e i :f G G un

morfism injectiv cu proprietatea c exfxff = )())(( , x G . S se arate c grupul este abelian.

Concurs RMCS, 2006 32. Determinai mulimea H de numere reale dac H are o structur de grup n

raport cu legea definit prin )ln( aeeyx yx += , ,x y H , unde 0a > este fixat .

Concurs RMCS, 2006

31

33. Fie ( ),G un grup finit cu p elemente , p numr prim,avnd elementul neutru e. S se demonstreze c dac :f G G este un morfism pentru care exist

{ }\t G e astfel nct ( )f t t= , atunci ( ) , .f x x x G= Concurs RMCS 2008

34. S se determine funciile :f pentru care ( )

/0 1x f x

G x

=

este parte stabil a lui ( )2M n raport cu nmulirea matricelor.S se arate c n acest caz este grup abelian izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.

Cristinel Mortici, OL Arge, 1998 35. Fie ( ),G un grup finit cu n elemente, , 2n n . Dac funciile

( ) { }: , , 1,2,..., 1kk kf G G f x x k n = sunt automorfisme ale grupului G, s se arate c n este numr prim.

Mihai Piticari, OL Suceava, 2003 36. Fie M o mulime nevid i " " o lege de compoziie pe M,care admite

element neutru i are proprietatea c: a b x y a x b y = = , , , ,a b x y M . S se arate c ( ),M este grup abelian.

Marian Andronache, OL Bucureti , 2002 37. Se tie c ntr-un grup cu n elemente exist dou elemente avnd ordinele p,

respectiv q , cu , 2p q i ( ), 1p q = . S se determine n astfel nct 1.p q n+

Laureniu Panaitopol, OL Bucureti , 2002 38. Fie ( ),G un grup i M G o submulime nevid a sa. S se demonstreze c

pentru orice a G , exist b G astfel nct { }/a by y M . Toma Albu, OL Cara-Severin 2002,GM 1997

39. Fie ( ),G un grup i :f G G o funcie cu proprietatea c ( ( ) ) ( ),f f xy x xy f x = ,x y G . S se demonstreze c:

a) f este bijectiv; b) ( )f e e= ; c) f este automorfism de grup. Gheorghe Andrei, OL Constana,2002

40. Fie ( )3A M , ( )3,1B M i ( ){ }3,1 /S X AX B= =M . a) S se determine B astfel nct S s fie parte stabil a lui ( )3 M n raport cu adunarea matricelor; b) S se arate c n condiiile de la a), ( ),S + este grup abelian.

Gheorghe Ciniceanu, OL Mehedini, 2002

32

41. Fie M o mulime astfel nct M i legea de compoziie

definit prin [ ] [ ]( )1 , ,2x y x y y x x y M = + . S se arate c, dac legea admite element neutru, atunci M .

Gheorghe Ciorscu, OL Neam,2002

42. a) S se arate c elementele grupului ( )61, sunt de forma ( )2 n ,unde { }1,2,3,...,60n ;

b) S se demonstreze c grupurile ( )61, i ( )6 10 , + nu sunt izomorfe. Clin Burduel, OL Constana, 2007

43. S se determine endomorfismele grupului ( )59 , pentru care ( ) 2 2.f = Dorel Mihe, Concurs Traian Lalescu, 2002

44. Fie ( ),G un grup cu p q elemente, unde p i q sunt numere naturale prime ntre ele. S se arate c dac grupul G are un unic subgrup H cu p elemente i un unic subgrup K cu q elemente,iar H i K sunt comutative,atunci grupul G este comutativ.

Ion Savu, concurs 2002 45. Pe cercul C de ecuaie 2 2 2x y a+ = se consider punctul ( ,0)A a i pe

mulimea C se introduce legea " " care satisface proprietile: a) M A A M M = = , M C ; b) Dac M i N sunt puncte distincte ale mulimii { }\ AC ,atunci M N este punctul n care paralela prin A la MN intersecteaz a doua oar cercul C ; c) Dac { }\M AC ,atunci M M este punctul n care paralela prin A la tangenta n M la cercul C intersecteaz a doua oar cercul. S se arate c ( ),C este grup izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor complexe de modul 1.

OJ Botoani, 2000 46. S se arate c ntr-un grup cu cinci elemente i n care e este elementul

neutru, orice element x satisface 5x e= . OJ Cara-Severin, 2000

47. S se determine numerele n astfel nct { }1,5,7,11 nG = s aib o structur de grup n raport cu nmulirea.

OJ Iai,2000

33

48. Fie ( ),G un grup finit i A G .S se arate c dac are loc inegalitatea 1( ) ( )2

card A card G> ,atunci pentru orice g G ,exist ,a b A astfel nct

g a b= . OJ Olt, 2000

49. Fie ( ),G un grup i F mulimea elementelor de ordin finit din G. S se arate c dac F este finit, atunci exist n astfel nct n nx y yx= , x G i

.y F Mihai Piticari, OJ 2005

50. Fie ( ),G un grup cu 2n elemente i 1 2, ,..., mH H H subgrupuri cu n elemente ale lui G. S se arate c dac { }1 2 ... mH H H e = , atunci G este grup comutativ.

Sorin Rdulescu, Ion Savu, Concurs Arhimede 2005 51. Fie ( ){ }2 / det( ) 1G A A= = M i ( ){ }2 / det( ) 1H A A= =M .S se

arate c G i H nzestrate cu operaia de nmulire a matricelor sunt grupuri neizomorfe.

Marius Cavachi, OJ, 2006 52. Fie ( ),G un grup finit cu n elemente( 2n ) i p cel mai mic factor prim al

lui n. Dac G are un singur subgrup H cu p elemente, s se arate c H este coninut n centrul lui G, adic n { }( ) / ,Z G a G ax xa x G= = .

Ion Savu, ON 2006 53. S se arate c, dac { }: / este bijectivG f f= i " " este operaia de

compunere a funciilor, atunci ( ),G conine un subgrup izomorf cu grupul ( ),+ .

Ion Savu, Sorin Rdulescu, Concurs Nicolae Pun, 2006 54. Fie ( ),G un grup finit care are doar dou subgrupuri proprii H i K, cu

( ) 2ord H = i ( )ord K n= , unde n este un numr prim. S se determine ( )ord G .

Radu Moleriu, Concurs Traian Lalescu, 2006 55. Fie ( ),G un grup finit cu proprietatea c mulimea ordinelor elementelor sale

este format din n numere consecutive, unde , 2n n . a) Artai c grupul este comutativ dac i numai dac 2n = ; b) Artai c dac 3n , atunci singurul element a G care ndeplinete condiia ,ax xa x G= , este elementul neutru.

Marian Andronache, OL Bucureti,2007

34

56. Pentru un grup ( ),G i A,B submulimi nevide ale lui G, notm { }/ i A B a b a A b B = .

a) S se arate c, dac , 3n n , atunci grupul ( ),n + se poate scrie sub forma n A B= + ,unde A i B sunt dou submulimi nevide ale lui n ,cu

, , 1n nA B A B = . b) Dac ( ),G este grup finit i A, B sunt submulimi ale lui G, iar

( )\G A B , s se arate c funcia : \f A G B ,dat de 1( )f x x a= este bine definit i injectiv. Deducei c dac A B G+ > ,

atunci ( )G A B= . Farkas Csaba, OJ 2007

57. Fie 2n , ( )31 1 1

1 1 1

1 1 1nA

=

M i { }/kG A k = . Artai c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: a) 3 este prim cu n; b) G mpreun cu nmulirea este grup.

Sorin Rdulescu, Ion Savu, Concurs Arhimede, 2007 58. S se arate c mulimea { }2 2 / ,H a ab b a b= + + este stabil fa de

nmulirea numerelor reale. GM 11/2006

59. Calculai restul mpririi la 4 a numrului 2006 20073 3+ . GM 4/2007

60. Fie ( ),G un grup cu 10 elemente n care exist { }, \a b G e distincte astfel nct 2 2a b e= = . S se arate c grupul nu este abelian.

OL Cara-Severin, 2008 61. S se determine mulimea ( ){ }/ 5 2 1 19 .nA n=

Mihai Piticari, OJ Suceava,1992 62. Fie ( , , )A + un inel integru cu proprietile :

a) cu 6 0 0;x A x x = = b) 3 3, cu x y A x y x y = = . S se demonstreze c dac , ,a b c A satisfac egalitatea

2 2 2a b c ab bc ca+ + = + + , atunci .a b c= = Cristinel Mortici, OJ Cara-Severin,1998

63. Fie ( ), ,A + un inel n care exist un singur element x A pentru care 2 1.x x= + S se arate c 1 1 1 1 1 0.+ + + + =

35

OL Sibiu, 2002 64. Fie A un inel , a A , , , 2, 2n k n k astfel nct

de n ori 11 1 ... 1 0+ + + = i

1ka a= + . S se arate c: a) oricare ar fi s ,exist 0 1 1, ,..., kp p p astfel nct

10 1 1... ;

s kka p ap p a

= + + +

b) exist m astfel ca 1.ma = Marian Andronache, OJ, 2002

65. a) Se consider inelele 1 2, ,..., ,...nA A A , unde 2

2 2 2 n ori

...n

de

A =

, pentru

orice n . S se arate c,pentru orice n m , inelele nA i mA nu sunt izomorfe,dar c exist un morfism de inele : m nf A A ; b) S se arate c exist inele 1 2, ,..., ,...nB B B astfel ca,pentru orice m n ,s nu existe morfisme de inele : m nf B B .

Barbu Berceanu, OJ , 2002 66. Fie A un inel finit cu 3n elemente,dintre care exact 2n sunt

inversabile.S se arate c 4n = i c exist doar dou inele neizomorfe cu aceast proprietate.

Marcel ena, OJ Bucureti,1995 67. Fie A un inel cu cinci elemente.S se arate c 5 este cel mai mic numr

natural nenul n pentru care n ori

1 1 ... 1 0+ + + = i pe baza acestui rezultat s se

arate c inelul este comutativ. OJ, 1981

68. Fie A un inel cu proprietatea c 6 ,x x x A= . S se arate c 2 ,x x x A= . ON, 1981

69. a) S se arate c produsul elementelor nenule ale unui corp comutativ finit este egal cu 1 ; b) S se deduc de aici c pentru orice numr prim p , numrul p divide pe ( )1 ! 1.p +

ON, 1981 70. Fie A un inel i funcia :f A A A definit prin ( )2 2 2( , ) .f x y xy x y=

a) S se calculeze valoarea expresiei ( , ) (1 ,1 ) (1 , ) ( ,1 ) ( , )E x y f x y f x y f x y f x y= + + + + + ; b) Dac inelul A are proprietatea c 0x x+ = implic 0x = i dac ( ) ( )2 2 2 2 2 2 , ,xy yx x y y x x y A = ,atunci A este comutativ.

.Buzeeanu, C.Ni, ON , 1984 71. Fie A un inel n care 1 1 0+ = i pentru orice x A avem 2 0x = sau 2 1.x =

36

a) S se arate c inelul este comutativ; b) S se dea un exemplu de inel cu patru elemente avnd proprietile de mai sus.

T.Albu, L.Panaitopol , OJ , 1985 72. Pentru orice k se consider mulimea de matrice

/ ,ka b

A a bkb a

=

.

a) S se arate c kA este inel comutativ fa de adunarea i nmulirea matricelor;

b) S se determine valorile lui k pentru care inelul are divizori ai lui zero; c) S se demonstreze c inelele kA i pA sunt izomorfe dac i numai dac

.p k= Toma Albu, OJ, 1986

73. Fie A un inel comutativ unitar i se consider urmtoarele dou afirmaii: a) exist un unic a A astfel nct 2 1a = ; b) 1 1 0+ = i pentru orice a A ,exist b A astfel nct 2.a b= S se arate c dac inelul este finit,atunci cele dou afirmaii sunt echivalente.Este adevrat acest rezultat n cazul inelului [ ]2A X= ?

Marcel ena, OJ, 1987 74. Fie K un corp finit i ,a b K .S se arate c ab este ptrat perfect n K dac

i numai dac a i b sunt ptrate perfecte n K sau a i b nu sunt ptrate perfecte n K.

Liviu Vlaicu, Concurs Gh.Moisil, 1989 75. Fie A un inel i a A pentru care exist b A astfel nct 1ab = . S se arate

c urmtoarele afirmaii sunt echivalente: a) { }/ 1 1;card x A ax = > b) a nu este inversabil; c) exist , 0c A c , astfel nct 0.ac =

Concurs G.Moisil, 1993 76. S se determine numerele n pentru care ecuaia 23 2 1 0nx x x+ + + =

are cel puin o soluie n 5 . Andrei Eckstein, Viorel Tudoran, GM 2/2006

77. Considerm un corp ( , , )+ K i , a b K . Demonstrai c se poate construi pe K o structur de corp care s admit cele dou elemente ca elemente neutre.

Mihai Monea, RMCS 19/2007 78. Considerm un inel A de caracteristic impar notat 2 1+k i ,a b dou

elemente care comut ntre ele cu proprietatea c exist *, m n impare astfel nct 1= =m na b . Demonstrai c elementul +a b este inversabil.

Mihai Monea, RMCS 19/2007

37

79. Fie A un inel cu cel puin trei elemente n care { }2 , \ 0,1x x x x A= + . S se arate c inelul este un corp comutativ, izomorf cu 3.

Traian Du, OL Braov,2001 80. Fie K un corp comutativ cu 8 elemente. S se arate c exist a K astfel

nct 3 1a a= + . Mircea Becheanu, OJ, 2001

81. Fie K un corp finit astfel nct polinomul 2 5X este ireductibil n [ ]K X .Artai c:

a) 1 1 0+ ; b) pentru orice a K , polinomul 5X a+ este reductibil n [ ]K X .

(Admitem cunoscut faptul c orice corp finit este comutativ). Marian Andronache, OJ 2003

82. a) Fie 2 , cu 3n p p= numr prim.S se arate c polinomul 1nf X X= are n rdcini n n ;

b) Fie ( ), ,A + un inel finit cu proprietatea c pentru orice x A ,exist y A astfel nct xyx x= . Este ( ), ,A + corp ?;

c) Aceeai ntrebare dac n plus y este unic. Dorel Mihe, Concurs G.Moisil, 2003

83. Se consider un inel A cu unitate (1 0 ) i a A un element care nu are invers la dreapta,dar are inversul b A la stnga. Dac notm cu L mulimea inverilor la stnga ai lui a i considerm funcia :f L A ,

( ) 1f x ax b= + ,artai c ( ) , ( )f L L f L L i f este injectiv. Deducei c inelul A nu este finit.

Mihai Chi, Concurs Traian Lalescu, 2004

84. Fie A un inel finit cu 3n elemente i n care exist exact 12

n + ptrate.

S se arate c elementul 1 1a A= + este inversabil. Marian Andronache, OJ, 2005

85. Fie A un inel comutativ finit cu cel puin dou elemente.

S se arate c oricare ar fi numrul natural 2n ,exist un polinom [ ]f A X , de gradul n, care nu are nici o rdcin n A.

Marian Andronache, OJ, 2006 86. Fie K un corp cu 2n elemente, n i polinomul 4 1f X X= + + .S se

arate c: a) dac n este par,atunci polinomul f este reductibil n [ ]K X ; b) dac n este impar,atunci polinomul f este ireductibil n [ ]K X .

38

OJ, 2007 87. Fie A un inel comutativ n care 1 1+ i 1 1 1+ + sunt inversabile, precum i

funcia :f A A cu urmtoarele proprieti: a) (1) 1;f = b) ( ) ( ) ( ), , ;f x y f x f y x y A+ = + c) 3 3( ) ( ), .f x f x x A= S se demonstreze c ( ) ( ) ( ), , .f x y f x f y x y A =

Cristinel Mortici, Concurs Chindia,2007 88. Se consider un inel finit n care numrul elementelor inversabile este egal cu

numrul elementelor nilpotente. Artai c un element x al inelului este inversabil dac i numai dac elementul 1 mx+ este nilpotent, pentru orice m .

Nicolae Pavelescu, Concurs Rm.Vlcea,2007 89. S se arate c ecuaia 2 1 0x x+ + = nu are rdcini n inelul 24.

Gazeta Matematic 90. S se rezolve n corpul 7 ecuaia

2 1 0x x + = .Deducei c pentru orice

n , numrul 22 13 1

n + este divizibil cu 7.

Gazeta Matematic 91. S se determine toate polinoamele { }11 ... , 1,1n n n kf X a X a a= + + + ,

avnd toate rdcinile reale. Liviu Vlaicu, Concurs G.Moisil, 1989

92. S se determine numrul polinoamelor:

11 ... , , 1,

n nn kf X a X a a k n= + + + =

cu proprietatea c rdcinile fiecruia formeaz un grup multiplicativ. Vasile Bivolaru, OL Timi, 1984

93. Fie a i b dou numere ntregi fixate. S se determine toate funciile polinomiale :f , cu coeficieni ntregi, pentru care

( ) ( ) ( ), .x f x b x a f x x = Toma Albu, test pregtire balcaniad,1984

94. S se determine toate polinoamele [ ]P X pentru care 2( ) ( ) ( ),P z P z z P iz z+ = .

Gheorghe Eckstein, test tabr Oelu-Rou, 1984 95. S se determine polinoamele [ ]P X tiind c,oricare ar fi numerele reale

x i y,are loc egalitatea ( )( ) ( )( )2 2 ( ) ( ).P x P y P x y P x y = + Mircea Becheanu, ON, 1990

96. S se arate c oricare ar fi polinomul [ ]11 ... , 1,1 , 1,n n n kf X a X a a k n= + + + = , rdcinile sale au toate

modulul strict mai mic dect 2. Dan Schwarz, ON, 1975

39

97. Fie [ ]P X astfel nct pentru orice polinom [ ]Q X de gradul al doilea, restul mpririi lui P la Q este un polinom de gradul 1. S se arate c P este un polinom de gradul 1.

Marcel ena, ON, 1979 98. Dac rdcinile polinomului:

11 1... ( 1) , , 1, 1n n nn kf X a X a X a k n = + + + + =

au acelai modul, s se arate c ( 1)f . N.Micu, ON, 1974

99. Descompunei n factori ireductibili peste 13 polinomul 13 4 10.f X X= + +

Ion Dumitru Pistril, Shortlist ONM, 2003 100. a) Fie polinomul [ ]5( )P X X X= . Artai c pentru orice ,

polinomul ( ) ( )P X P X+ nu are rdcini reale. b) Fie [ ]P X un polinom de grad 2n , cu rdcinile reale i distincte. Artai c exist astfel nct polinomul ( ) ( )P X P X+ s aib toate rdcinile reale.

Radu Gologan, ON, 2001 101. Se dau polinoamele 3 2 2P X X X= + + + i 3 3Q X X= + . S se arate c

nu exist a astfel nct ( )Q a s divid pe ( ).P a Constantin Apostol, ON (clasa a VIII a), 1995

102. Fie 11 1 0...n n

nf X a X a X a= + + + + un polinom cu coeficieni compleci. S se demonstreze c exist z astfel nct 1z = i ( ) 1.f z

Marius Cavachi, ON, 1992 103. Fie ,m n .S se determine rdcinile complexe comune ale polinoamelor

1 1m nf X X+= + i 1 1n mg X X+= + . Mircea Becheanu, ON, 1994

104. S se gseasc polinoamele [ ], 1P X P , pentru care 2( ) ( 1) ( 1).P X P X P X= +

Gazeta Matematic 105. S se arate c dac [ ]P X i ( )3 2 0P = , atunci 3 2X divide pe P. 106. Se consider polinoamele 21( ) 2P X X= ,

( )1 1( ) ( ) , 1,2,...k kP X P P X k= = . S se demonstreze c pentru orice n ,toate rdcinile ecuaiei ( )nP x x= sunt reale.

OIM, 1976 107. Fie ( ): 0,f o funcie bijectiv.S se studieze dac exist funcii

[ ): 0,g care admit primitive pe i satisfac relaia g g f= .

40

Lucian Dragomir, OL Cara-Severin, 1993 108. Fie ( ): 0,f o funcie care admite primitive i F o primitiv a sa cu

proprietatea c (0) 0.F S se demonstreze c funcia ( ) ( ): 0, 0, , ( ) ( )G G x x F x = este bijectiv.

Titu Andreescu, OL Timi, 1983 109. Fie :f o funcie primitivabil i a . S se arate c nu exist nicio

primitiv F a funciei f pentru care ( ) 3( ) , .f F x ax x x+ = Romeo Ilie, OL Braov, 1998

110. Fie :f o funcie primitivabil i mrginit. Dac F este o primitiv a sa, s se arate c pentru orice k , exist c astfel nct

2 1( ) ( ) .kF c f c c = M.Chiri, V.Matrosenco, OL Bucureti, 1998

111. S se calculeze 2

41

,

1x dx xx

+

+ .

OL Slaj, 1998

112. Fie ( )1

: 0, , ( ) xf f x e = i ( ): 0,F o primitiv a sa. S se calculeze: a)

00

lim ( )xx

F x>

; b) lim ( )x

F x

; c) 1lim .( )xx

F x

OJ Arad, 1998 113. S se determine funciile continue :f care admit o primitiv

:F cu proprietatea c { }( ) ( ) ,F x f x x= ( { }a reprezint partea fracionar a lui a ).

Mircea Ganga, OL Dmbovia, 1998 114. S se determine funciile [ ], : ,f g a b tiind c pe [ ],a b au primitive i c

verific proprietatea: Oricare ar o primitiv F a lui f , avem c 2( )x F x x + este o primitiv a lui g.

M.Andronache, M.Chiri, Ol Bucureti, 2000 115. Fie :f o funcie astfel nct funciile

, : , ( ) ( ) sin ,g h g x f x x = ( ) ( ) cosh x f x x= admit primitive. Demonstrai c funcia f admite primitive.

Gabriela Constantinescu, OL Constana, 2000 116. Fie :f o funcie continu. S se demonstreze c nu exist nici o

primitiv :F a funciei f pentru care f F = 1 . Gheorghe Iurea, OJ Arge, 2000

41

117. S se calculeze 2

0 1 sin cosx dxx x

pi

+ +.

M.Piticari, S.Rdulescu, OJ Bacu , 2000

118. S se calculeze 1

20

1lim1 ... nn

dxx x x + + + +

.

M.Piticari, S.Rdulescu, OJ Bacu, 2000

119. S se determine , 0, .2

tgxdx x pi

Virgil Nicula, OL Bucureti, 2001 120. Fie :f , :g astfel nct f nu are proprietatea lui Darboux,iar

g admite primitive.S se demonstreze c f g nu admite primitive pe . Marian Andronache, OL Bucureti , 2001

121. Se consider o funcie [ ] [ ]: 0,1 0,1f o funcie care admite primitive pe [ ]0,1 . Demonstrai c: a) Dac exist ( )0,1u astfel nct ( ) 0f u = ,atunci f nu este injectiv; b) Dac F este o primitiv strict cresctoare a lui f , cu (0) 0F = ,atunci exist ( )0,1v pentru care 2( ) 2 .( ) 1

f v vF v v

=

Lucian Dragomir, OL Cara-Severin, 2002

122. Demonstrai c orice funcie bijectiv : ,2 2

f pi pi nu are primitive i

nu e integrabil. Concurs Ion Ciolac, 2002

123. S se gseasc primitivele funciei :f , ( )1

x

x

x ef xe

=

+.

Dan tefan Marinescu, OL Hunedoara, 2004 124. Se consider o funcie :f care admite primitive .

a) S se arate c pentru orice a , funcia : , ( ) ( ) ( )a af f x f x a f x = + are proprietatea lui Darboux;

b) S se arate c dac funcia f nu este injectiv, atunci 0 > , ,x y astfel nct 0 y x < < i ( ) ( ).f x f y=

Dan tefan Marinescu, Concurs Tg.Mure, 2006

125. Fie :f o funcie continu. S se arate c pentru orice primitiv F a sa, exist c astfel nct ( )2( ) 1.f c F c <

42

Cristinel Mortici, Concurs Urziceni, 2006

126. S se calculeze ( )12 17 , 0,( 2)(2 3)(3 4)(6 5) 2007x dx x

x x x x

+

+ + + + +.

Marius Perianu, OL Olt, 2007 127. Fie :f o funcie cu urmtoarele proprieti:

a) funcia f f admite primitive; b) ( ) ( ) , , .f x f y x y x y Demonstrai c funcia f admite primitive.

Cristinel Mortici, Concurs Galai, 2006 128. Fie :f o funcie care admite primitive i satisface condiia

( 1) ( 1) ( ) , f x f x x f x x + + = + . S se arate c exist ( )0,6a astfel nct ( ) 3.f a =

Marius Marchitan, Concurs Suceava, 2006

129. S se determine 3sin 2 cos2x x xdx

x

+ , ( )0, .x

I.V.Maftei, M.Rdulescu, Concurs Arhimede, 2006 130. Fie :f o funcie care are urmtoarea proprietate: oricare ar fi funcia

continu :g ,funcia h f g= + are proprietatea lui Darboux. Rezult n mod necesar c f este continu ?

Laureniu Panaitopol, OJ, 1988 131. Fie P un polinom nenul cu coeficieni reali,un interval I i o funcie

neconstant :f I cu proprietatea c ( )( ) 0,P f x x I= . Este posibil ca f s admit primitive pe I ?

D.M.Btineu-Giurgiu, RMT 132. Fie :f o funcie care are o primitiv :F . S se arate c dac

( ) ,1

xf x xx

+

,atunci exist un unic 0x astfel nct ( )0 0.F x x= Sorin Rdulescu, OJ, 1986

133. Fie ( ) ( ): 0, 0,f o funcie continu cu proprietatea c ( )( 1) ( ), 0,f x f x x+ < . S se arate c irul ( )n na definit prin

1 ( )nn na f x dx+

= este convergent. OL Galai, 1984

43

134. Fie funcia [ ]: 0,1f derivabil pe [ ]0,1 i pentru care exist ( ]0,1a astfel nct

0( ) 0

a

f x dx = .S se arate c

( )1 /0 0,1

1( ) sup ( ) .2 x

af x dx f x

Poate avea loc egalitatea ?

Radu Gologan, ON, 1984 135. S se determine funciile [ ] [ ): 0,1 0,f , continue i descresctoare pe

ntreg domeniul de definiie,care satisfac simultan urmtoarele proprieti:

a) 1

0( ) 1.f x dx b)

21 13

0 0( ) 3 ( ) .f x dx x f x dx

I.V.Maftei, ON, 1984 136. Fie :f o funcie continu i k astfel nct

( )0 ( ) ( ) , .2x xf t dt f x k x= +

a) S se arate c (0)f k= . b) S se arate c singurele funcii continue care satisfac relaia din enun sunt cele de tipul ( ) .f x cx k= +

Laureniu Panaitopol, ON, 1971 137. Fie :f o funcie continu pentru care exist , , 0k m m > astfel

nct ( ) ,x mx

f x dx k x+ = . Dan Radu, ON, 1971

138. Fie :f o funcie continu care satisface relaia

( )2 20 ( )( ) 1 1 , ,1x f tf x x dt x

t

= + +

+ .

a) S se arate c f este derivabil n orice punct x ; b) S se arate c exist o singur funcie :f care satisface condiia de mai sus.

I.V.Maftei, ON, 1971(licee de specialitate) 139. Se consider funcia :f , 2

1sin( ) xtf x dt

t= . S se arate c funcia

este strict cresctoare pe 0,4pi

.

Dan Radu, OJ, 1972

140. Se consider funcia ( ) 3 30: 1, , ( ) , , 1.x dtI I x a

t

= >

+

44

a) S se arate c ecuaia ( ) 0I x = are o unic rdcin real; b) Printr-o schimbare de variabil convenabil, s se arate c I se poate exprima n funcie de 1I .

Dan Radu, ON, 1972(licee de specialitate) 141. Se consider o funcie [ ) ( ): 1, 0,f descresctoare i continu, precum

i funcia [ ) ( ) 1: 1, 0, , ( ) ( )x

F F x f t dt = . a) S se arate c dac exist lim ( )

xF x

, atunci irul definit prin

(1) (2) ... ( ), 1na f f f n n= + + + , este convergent; b) S se demonstreze c, pentru 1 > , irul definit prin

1 1 1... , 1

1 2nx n

n = + + + este convergent.

OJ 1973 142. Fie ( ) ( ): 0, 0,f o funcie continu. S se arate c funcia

( ) ( ) ( ) 00

( ): 0, 0, ,

( )

x

x

tf t dtx

f t dt =

are urmtoarele proprieti:

a) ( ) , 0;x x > b) este cresctoare. Dan Radu, OJ 1973 (licee de specialitate)

143. Se consider funcia : definit prin { }2( ) max ,t t t = . S se determine funciile derivabile :f pentru care

0( ) ( ) ( ) , xf x t f t dt x= .

Dan Radu, ON 1973 144. Fie f o funcie real continu pe intervalul [ ],a b i care are proprietile: (i) ( ) 0;f a > (ii) ( ) 0.b

af t dt

45

145. Fie [ ], : ,f g a b continue astfel nct ( ) ( ) , .x ba x

f t dt g t dt k x+ =

S se arate c: a) ( ) ( ) , ;x ba x

f t dt g t dt k x+ = b) [ ]( ) ( ), , .f x g x x a b=

Laureniu Panaitopol, OJ 1975

146. Fie [ ]: 0,1f o funcie definit prin 1 12n

fn

=

, pentru orice n natural

nenul i ( ) 0f x = , pentru [ ] 10,1 , ,x x nn

. S se arate c funcia este

integrabil i s se calculeze 1

0( )f t dt .

Dan Schwarz, ON 1975 147. Fie [ ],P Q X+ cu ( ) ( )grad P grad Q< i funciile continue

[ ], : 0,1f g + astfel nct 1 10 0( ) ( )

, ( ) ( )f x g xdx dx

P n x Q n x=+ + n .

S se arate c [ ]( ) 0 , 0,1f x x= . Radu Gologan, OJ 1976

148. Fie [ ]: 0,1f o funcie derivabil cu derivata descresctoare i pentru care /(0) 0, (1) 0f f= > .S se arate c 1 2 /0

(1)1 ( ) (1)

dx ff x f

+

.

Radu Gologan, OJ 1978

149. Se consider 0

: , ( ) , , 0,n

kk k

kP P x a x a k n

=

= = . S se arate c exist

( )0,1c astfel nct 10 ... ( ).2 1naaa P c

n+ + + =

+

A.Coa, OJ 1978 150. S se determine funciile continue [ ]: 0,1f pentru care

1 12 2

0 0

1( ) ( ) .3

f x dx f x dx= +

Titu Andreescu, ON 1982

151. Fie [ ]: 0,1f o funcie continu pentru care 1

0( )

4f x dx pi= .S se arate c

exist ( )0 0,1x astfel nct ( )00 0

1 1.

1 2f x

x x< Lucian Dragomir, OJ Mehedini, 1997 (GM)

167. S se determine funciile [ ]: 0,1f continue i descresctoare care satisfac egalitatea ( )1 1 12 20 0 01 ( ) 1 ( ) .f x x dx f x dx f x dx + + = +

Dumitru Crciun, OJ Suceava, 1992

48

168. S se determine funciile continue :f cu proprietatea c 1 ( ) ( )( ) , , ,

2x

y

f x f yf s ds x y x yx y

+ =

.

Silviu Birua, RMT 2002 169. Se consider funcia [ ] 2: 1,1 , ( ) 1f f x x = .Dreapta de ecuaie

[ ], 0,1y m m= intersecteaz graficul funciei considerate n punctele A i B.Se definete i funcia [ ]: 0,1 prin ( )m AB = (distana dintre punctele A i B).S se calculeze 1

0( )m dm .

Lucian Dragomir, OL Cara-Severin, 2000

170. Fie [ ]: 0,1f o funcie integrabil cu proprietatea c 10 mfn n m

,

, , , ( , ) 1m n m n m n < = .S se arate c 1

0( ) 0.f x dx =

Cristinel Mortici, OJ Braov, 2000 171. Fie ,a b cu 0,2 3 6a a b> + = i [ ]: 0,1f o funcie descresctoare. S

se arate c : ( )1 1 20 0( ) ( )f x dx ax bx f x dx + . OJ Bucureti, 2000

172. S se calculeze 1

0lim 1

1 nndx

nx

+ .

OJ Cara-Severin, 2000 173. Fie [ ]: 0,1f o primitiv a funciei continue i descresctoare

[ ]: 0,1f , pentru care (0) 0.F = S se demonstreze c 1

01( ) (0).2

F x dx f Ctlin Zrn, OJ Constana, 2000

174. S se determine funciile polinomiale neconstante :f pentru care /

1( ) ( ) ( ) , x f t dt f x f x x= .

Aurel Doboan, OJ Mehedini, 2000 175. Fie :f o funcie pentru care ( ) ( ) , f x arctgf x x x = .

a) S se arate c f este integrabil ;

b) S se calculeze 1 40

( )f x dxpi

. Dan t.Marinescu, Ioan erdean, OL Hunedoara, 2001

49

176. Fie funcia [ ]: 0,1f continu cu proprietatea c oricare ar fi funcia polinomial [ ] [ ]: 0,1 0,1P de gradul al treilea,avem 10 ( ( )) 0f P x dx = . S se arate c [ ]( ) 0, 0,1f x x= .

Mihai Piticari, OJ 2001 177. a) S se arate c ln(1 ) , 0;x x x+

b) S se demonstreze c dac 0a > ,atunci 10

1lim lnn

nn

x an dx

aa x

+ =

+ .

OJ 2001

178. Pentru fiecare ( ]0,1 notm ( ) ( )2 10 ln 1 ... nnI x x x dx = + + + + , 2n . S se calculeze : a) ( )lim n

nI

, pentru ( )0,1 ; b) ( )lim 1n

nI

.

Mihai Piticari, OJ 2002 179. Fie [ ): 0,f o funcie continu i periodic de perioad 1. S se arate

c: a) 1 10

( ) ( )aa

f x dx f x dx+ = pentru orice a ;

b) 21 1

0 0lim ( ) ( ) ( ) .n

f x f nx dx f x dx

=

Cristinel Mortici, OJ 2002

180. Se consider ( )( )

21

0 2

1 ,

1

n

n n

xI dx n

x

+

=

+ .

a) S se arate c irul ( ) 1n nI este descresctor; b) S se calculeze lim nn I . Laureniu Panaitopol, Concurs Unirea 2002

181. S se calculeze 1 2 1lim sin

n

nnx dx

x

+

. ({ }a reprezint partea fracionar a lui a)

Silviu Boga, OL Suceava, 2003 182. Se consider funciile [ ] ( ), : 0,1 0,f g continue i diferite pentru care

1 1

0 0( ) ( )f x dx g x dx= ; fie irul ( ) 0n nx definit prin ( )( )

11

0

( )( )

n

n n

f xx dx

g x

+

= .

a) Artai c lim nn

x

= ;

b) Demonstrai c irul ( ) 0n nx este monoton. Dan t.Marinescu, Viorel Cornea, OJ 2003

50

183. Se consider funciile continue [ ) [ ]: 0, , : 0,1f g . Dac lim ( )x

f x L

= , artai c 1

0 0

1lim ( ) ( )n

n

xf x g dx L g x dxn n

=

.

OJ 2003 184. Fie { }\ 1n , n impar. S se determine funciile continue [ ]: 0,1f

astfel nct ( )( )10

n kk kf x dxn

= , pentru orice { }1,2,..., 1k n . Titu Andreescu, ON 2003

185. Fie [ ] [ ): 0,1 0,f o funcie continu i [ ]0,1min ( )xm f x= . S se arate c 1 1

0 0( ) ln(1 ) ( )

2mf x x dx f x dx+ .

Dorel Duca, Concurs G.Moisil, 2003

186. S se demonstreze c pentru orice [ ]0,2x pi avem 0

sin 0.1

x t dtt

+

Concurs T.Lalescu, 2003 187. Fie ( ), 0,1a b i [ ]: 0,1f o funcie continu astfel nct

0 0 0( ) ( ) ( )x ax bxf t dt f t dt f t dt= + , [ ]0,1x . S se arate c:

a) dac 1a b+ < ,atunci 0.f = b) dac 1a b+ = ,atunci f este constant.

Dan t.Marinescu, OJ, 2004

188. Fie [ ]: 0,1f o funcie integrabil astfel nct 1 10 0( ) ( ) 1f x dx xf x dx= = . S se arate c

1 20

( ) 4.f x dx Ioan Raa, ON, 2004

189. Se consider o funcie continu [ ]: 0,1f i irurile de numere reale ( )n na , ( )n nb cu proprietatea c

1

0lim ( ) 0n nn

f x a x b dx

= . S se

arate c: a) irurile ( )n na i ( )n nb sunt convergente; a) exist ,a b astfel nct ( ) ,f x ax b= + [ ]0,1x .

Radu Gologan, OJ, 2005

51

190. S se demonstreze c funcia ( ) ( )2

1: 1, ln 2, , ( )

ln

x

x

F F x dtt

= este

bijectiv. Concurs T.Lalescu, 2005

191. S se determine funcia continu ( ): 0,f care satisface urmtoarele condiii: a) exist

0lim ( )x

x f x

; b) 2

( ) 1x

x

f t dt = .

Laureniu Panaitopol, Concurs Unirea, 2005 192. Se consider mulimea [ ] [ ){ }: 0,1 0, / continuf f= F i , 2n n .

Determinai cel mai mic numr real c pentru care ( )1 10 0

( )nf x dx c f x dx ,

pentru orice f F. Gheorghe Iurea, OJ, 2006

193. Se consider [ ] ( ], 0,1: 0,1 , ( )0 , 0

arctgxxf f x x

x

= =

.

S se arate c: 1 1

20 0

lim ( ) .4 1

n

nn

xn n dx f x dx

x

pi

= +

Dorin Andrica, Mihai Piticari, ON, 2006

194. Fie [ ]: 0,1f o funcie continu cu proprietatea c 10 ( ) 0.f x dx = S se arate c exist ( )0,1c astfel nct 0 ( ) 0.

cxf x dx =

Cezar Lupu, Tudorel Lupu, ON, 2006 195. Funcia continu :f verific relaia 36 ( 3 ) 2 ( ) , .f x f x x x + = S

se calculeze 4

12( ) .I f x dx

=

Ilie Stnescu, Concurs RMCS 2006 (GM 5/2005) 196. Se consider funciile continue [ ]: 0,1f i [ ] [ ): 0,1 0,g . S se arate

c dac f este cresctoare, atunci 1 1

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

f x g x dx g x dx g x dx f x g x dx , pentru orice [ ]0,1 .t Cezar Lupu, OJ, 2007

52

197. S se determine toate funciile continue :f care verific simultan

condiiile: a) exist lim ( );x

f x

b) 2

1( ) ( )

x

x

f x f t dt+

+

= , pentru orice .x

Mihai Piticari, OJ, 2007

198. Fie [ ]: 0,1f o funcie continu astfel nct 1 10 0( ) ( )f x dx xf x dx= . S se arate c exist ( )0,1c astfel nct 0( ) ( ) .

cf c f x dx= Cezar Lupu, OJ, 2008

199. Fie :f o funcie continu i periodic,de perioad T. Dac F este o primitiv a lui f , s se arate c: a) funcia :G definit prin

0( ) ( ) ( )TxG x F x f t dt

T= este

periodic;

b) 2 2 01

( ) ln 2lim ( ) .n T

n k

F k f x dxTn k

=

=

+

Dan Nedeianu, OJ, 2008 200. Se consider funcia [ ]: 0,1f derivabil,cu derivata continu pe [ ]0,1 .

S se arate c, dac 1 02

f =

,atunci ( ) 221 1/0 0( ) 12 ( ) .f x dx f x dx ON 2008

53