Concursul PITAGORA 18-05-2012 Rm. Valcea Cl. II-VIII-Enunturi-Si-bareme

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „PITAGORA”EDITIA A XV-A 18-19 MAI 2012

Proba individuală - Clasa a III-a

Subiectul 1

În adunarea alăturată apăreau toate cele 10 cifre. Ele au fost acoperite cu steluţe. * * +a) Care este cea mai mică sumă ce se poate obţine? * *b) Care este cea mai mare sumă ce se poate obţine? * * * c) Calculaţi diferenţa dintre cea mai mare sumă şi cea mai mică sumă. * * *

Prof. Ioan Dăncilă, BucureştiSubiectul 2

Trei băieţi şi şapte fete au plantat 100 de pomi.a) Dacă au plantat în mod egal, aflaţi câţi pomi a plantat fiecare.b) Dacă o fată plantează cel puţin 5 pomi, iar un băiat plantează mai mulţi pomi decât o fată, aflaţi câţi pomi a plantat fiecare fată şi fiecare băiat.

Prof. Mariana Saraolu, Rm. VâlceaSubiectul 3

a) Ce număr trebuie scăzut din 9 pentru ca diferenţa obţinută, înmulţită cu 8, să dea produsul 40?(S: P11, GM nr.1/2011)

b) Aflaţi două numere ştiind că suma lor este 28, iar dacă micşorăm primul număr cu 4 obţinem dublul celui de-al doilea număr.

(S: P12, GM nr.1/2012)

Subiectul 4

a) Într-o clasă sunt de 3 ori mai multe fete decât băieţi. Câţi elevi sunt în clasă, dacă numărul lor este cuprins între 29 şi 35.b) Suma a două numere este 473. Ce sumă obţinem dacă mărim primul număr cu 47 şi micşorăm al doilea număr cu 20 ?

(S: P12, GM nr.2/2012)

Observaţie : Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2h 30 min


Proba individuală - Clasa a IV-a

Subiectul 1 A. Calculaţi suma numerelor din toate

triunghiurile pe care le observaţi în figura alăturată.

B. Orarul clasei a IV-a pentru ziua de joi cuprinde obiectele: Limba română (R); Matematică (M); Istorie (I); Educaţie fizică (E); Ştiinţe ale naturii (S).Scrieţi cu ajutorul simbolurilor toate variantele posibile de orar pentru ziua de joi, ştiind că matematica trebuie plasată în primele două ore, iar limba română nu trebuie plasată în ultimele două ore.

Exemplu. Varianta: 1. Matematică;2. Ed. Fizică; 3. Limba română ; 4. Ştiinţe ale naturii; 5. Istorie, o notăm “MERSI”.

Înv. Constantin Măgureanu, Şcoala Bujoreni – LuncaÎnv. Valeriu Cârstea, Şc. “I. Gh. Duca” Rm. Vâlcea

Subiectul 2Într-o cutie sunt jetoane de 1 leu, 5 lei, 10 lei şi 25 lei. Iau 13 jetoane, iar suma lor este 100 lei.Stabiliţi dacă afirmaţiile de mai jos sunt adevărate sau false:a) Printre cele 13 jetoane sunt şi jetoane de 10 lei.b) Printre cele 13 jetoane nu sunt jetoane de toate cele 4 valori.

Prof. Ion Dăncilă, BucureştiSubiectul 3 a) Dacă mărim scăzătorul cu 243 obţinem descăzutul. Dacă mărim descăzutul cu 357 obţinem dublul scăzătorului. Reconstituiţi scăderea.

(S:P11, GM nr.2/2011) b) Aflaţi cinci numere naturale consecutive ştiind că suma a două dintre ele este 2012.

Prof.Constantin Saraolu , Rm. Vâlcea

Subiectul 4 a) Determinaţi numărul n ştiind că: 100 – 98:98 – 96:96 – 94:94 – ..… – n:n = 54. (S:P11, GM nr.1/2011)b) Gigel are 32 baloane roşii, galbene şi albastre. Ştiind că 18 baloane nu sunt galbene şi 21 nu

sunt albastre, aflaţi câte baloane roşii sunt. (S:P11, GM nr.2/2011)

Observaţie : Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2h .

59

2

4 8

1

7

6


Proba individuală - Clasa a V-a

Subiectul 1 A. Să se determine mulţimile şi care îndeplinesc simultan condiţiile:a) ;b) Dacă este element al mulţimii , atunci cel puţin unul dintre numerele sau

este element al mulţimii .c) Card (A B) = 2.B. Dacă sunt trei mulţimi, atunci (proprietatea de

distributivitate a reuniunii faţă de intersecţie). Mulţimile îndeplinesc simultan condiţiile:

1. ;2. ;3. ;4. .

a) Calculaţi .b) Determinaţi mulţimea .

Prof. Gh. Radu, Rm. Vâlcea

Subiectul 2Stabiliţi valorile de adevăr ale propoziţiilor:

a) p: ” 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 = 2103 + 1”;b) ;c) r: ” 1 + 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 < 2723 ─ 934”.

Prof. Emil Mitrache, Rm. VâlceaSubiectul 3Determinaţi numărul prim , ştiind că sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii:

1) este număr prim;2) şi sunt numere neprime;3) ;4)

Prof. Dragoş Constantinescu, Rm.Vâlcea

Subiectul 4 A. Media aritmetică a numerelor a, b, c este 2,43 , iar media aritmetică a numerelor m şi n este 3,42. Care este media aritmetică a numerelor a, b, c, m, şi n?

(S: E12, GM nr.3/2012)B. Aflaţi suma a zece numere naturale ştiind că suma primelor nouă numere este 100, iar suma produselor dintre al zecelea număr cu fiecare din celelalte nouă numere este 300.

(S: P12, GM nr.1/2012)

Observaţie : Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 2h 30 min.

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „PITAGORA”EDIŢIA A XV-A 18-19 MAI 2012

Proba individuală - Clasa a VI-a

Subiectul 1 a) Să se determine perechile de numere întregi care verifică .b) Determinaţi cele mai mici cinci numere naturale consecutive de forma , cu x, y N.

Prof. Constantin Saraolu, Rm. Vâlcea

Subiectul 2

a) Fie x, y N*. Demonstraţi că dacă suma este divizibilă cu 7, atunci fracţia este

reductibilă.

b) Aflaţi n N pentru care , unde reprezintă c.m.m.d.c. al numerelor a şi

b.Prof. Ana Jipescu, Rm. Vâlcea

Prof. Gheorghe Molea, Curtea de Argeş

Subiectul 3 În triunghiul ABC cu m(<A)= 450, se consideră punctele M [BC], P AB ,Q AC astfel încât [BM] ≡ [CM], BQ AC şi CP AB. Demonstraţi că:a) ∆ MPQ este isoscel.b) MP MQ.c) Dacă <B≡ <C, atunci semidreapta [QB este bisectoarea unghiului PQM.

Prof. Mariana Saraolu, Rm. Vâlcea

Prof.Marin Mazilu, Rm. Vâlcea

Subiectul 4 Se dau 2012 puncte distincte, dintre care 2006 sunt coliniare, iar celelalte şase sunt oricare trei necoliniare. Care este numărul maxim de drepte care pot fi determinate de cele 2012 puncte?

Prof.Alexandru Banu, Cernişoara-Vâlcea Prof. Gheorghe Barbu, Lăpuşata-Vâlcea



Proba individuală - Clasa a VII-a

Subiectul 1

1. Să se arate că:a) Există n N*, pentru care este pătrat perfect.

b) Numărul este iraţional pentru orice n N* .

Prof. Ionel Tudor, Călugăreni, Giurgiu

Subiectul 2

1. Fie a, b, c R* astfel încât şi . Demonstraţi că .

2. Determinaţi numerele reale şi care verifică egalitatea

şi calculaţi .

Prof. Constantin Dragomir, Piteşti

Subiectul 3

Fie un trapez cu bazele AB║CD şi . Notăm cu mijlocul laturii . Să se arate că perimetrul triunghiului este mai mic decât perimetrul triunghiului .

Conf. univ. dr. Vasile Pop, Cluj-Napoca

Subiectul 4

În triunghiul cu cm , fie şi mijloacele laturilor , respectiv şi

punctul de intersecţie al bisectoarei cu dreapta . Se dă şi . 1. Aflaţi aria triunghiului .

2. Arătaţi că distanţa de la punctul la dreapta este mai mică decât .




Proba individuală - Clasa a VIII-a

Subiectul 1

Demonstraţi că , dacă , atunci

Prof. univ. dr. Emil C. Popa, SibiuSubiectul 2

i) Calculaţi suma .

ii) Arătaţi că

oricare ar fi numerele reale . Precizaţi cazul de egalitate.

Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu

Subiectul 3

A. Fie ∆ ABC cu aria S şi punctele M [AC], N [AB], P [BC] astfel încât MN║BC şi MP║AB.

Dacă aria triunghiului AMN este , exprimaţi în funcţie de S aria triunghiului CMP.

(S: E12, GM nr.2/2012) B. În piramida triunghiulară regulată VABC muchiile laterale sunt perpendiculare două câte două (VA VB VC VA). Dacă M este mijlocul laturi [BC] , calculaţi măsura unghiului dintre dreptele AC şi VM.

(S: E12, GM nr.1/2012)

Subiectul 4

În triunghiul se notează cu mijlocul laturii şi se consideră un punct în

interiorul cercului de diametru .

Să se arate că .

Prof. univ. dr. Emil C. Popa, Sibiu


CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ „PITAGORA”

EDIŢIA A XV-A 18-19 MAI 2012

Proba colectivă - Clasa a V-a

Subiectul 1

Într-o şcoală cu patru clase numărul elevilor din fiecare clasă este cuprins între 14 şi 31. În fiecare clasă numărul fetelor este mai mare cu 3 decât numărul băieţilor. a) Care poate fi cel mai mic număr de elevi din şcoală? Dar cel mai mare? b) Pot fi în şcoală 95 elevi? c) Dacă numerele care reprezintă băieţii din fiecare clasă sunt numere prime şi două clase au acelaşi număr de elevi, câţi elevi sunt în şcoală?

Prof. Badea Delia, Rm. VâlceaProf. Vărzaru Gabriela, Rm. Vâlcea

Subiectul 2

Să se arate că oricum am alege 1006 numere naturale nenule, mai mici decât 2012 şi diferite de 1006, printre ele există două cu diferenţa egală cu 1006.

Prof. Constantin Popescu, Rm. Vâlcea

Subiectul 3

a) Câte numere de forma verifică relaţia: b2 = (a + c)3? (S: E12, GM nr.2/2012)

b) Două cincimi dintr-un număr reprezintă cât o şeptime din alt număr.Dacă diferenţa numerelor este 18, aflaţi numerele.

(S: P12, GM nr.3/2012)

c) Determinaţi numărul natural n pentru care 25 + 26 + 27 +……+ 2n = 2011 + n : 2. (S: E11, GM nr.1/2011)

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: 1h 30min.



Proba colectivă - Clasa a VI-a

Subiectul 1

Fie numerele naturale de forma , .

d) Arătaţi că fracţia este ireductibilă .

e) Demonstraţi că , .

f) Determinaţi numărul prim n ştiind că , unde .

Prof. Mariana Saraolu, ”Take Ionescu” Rm. Vâlcea

Subiectul 2

Măsurile unghiurilor unui triunghi isoscel ABC (AB=AC), sunt direct proporţionale cu

numerele 5 şi 2. Bisectoarea unghiului ABC intersectează dreapta AC în D.

Determinaţi măsura unghiului ADB.

Prof. Giurgiu Marius, Rm. VâlceaProf. Gh. Radu, Rm. Vâlcea

Subiectul 3

Determinaţi numerele de forma care dau restul 7 la împărţirea cu 12.





Proba colectivă - Clasa a VII-a

Subiectul 1

Arătaţi că nu există numere naturale n pentru care numărul să fie natural.

(G.M. nr. 6 / 2011)

Subiectul 2

Într-un trapez diagonalele se intersectează în punctul . Fie aria

triunghiului şi aria triunghiului . Calculaţi aria trapezului ştiind că

şi .

Prof. Ileana Dicu, Rm. Vâlcea

Subiectul 3

În triunghiul , cu m(<A) = 900, fie astfel încât .

Demonstraţi că .

Prof. Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea Prof. Dumitru Dobre, Rm. Vâlcea




Proba colectivă - Clasa a VIII-a

Subiectul 1

Aflaţi numerele naturale şi pentru care este pătrat perfect.

Conf. univ. dr. Cristinel Mortici, Târgovişte

Subiectul 2

În cunoaştem : , şi mijloacele laturilor , respectiv ,

este punctul de intersecţie al bisectoarei unghiului cu .

Fie cu .

Demonstraţi că : a) ∆APB este dreptunghic.

b) tangenta unghiului format de cu este mai mare decât .


Subiectul 3

În tetraedrul notăm cu şi proiecţiile punctelor , respectiv pe dreapta .

Dacă este mijlocul lui , şi , arătaţi că .

Prof. Marian Firicel, Calafat

Notă : Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru 2h 30 min


Proba individuală - Clasa a III-a

Subiectul 1 În adunarea alăturată apăreau toate cele 10 cifre. Ele au fost acoperite cu steluţe. * * +d) Care este cea mai mică sumă ce se poate obţine? * *e) Care este cea mai mare sumă ce se poate obţine? * * * f) Calculaţi diferenţa dintre cea mai mare sumă şi cea mai mică sumă. * * *

Prof. Ioan Dăncilă, BucureştiBarem de corectarea) Identifică cifrele unităţilor termenilor 7, 8, respectiv 9………………………1pIdentifică cifrele zecilor termenilor 5, 6, respectiv 0 ……………………………1pIdentifică cifra sutelor 1………………………………………………………….1pExemplu: 57+68+109=234………………………………………………………1pb) Identifică cifrele unităţilor termenilor 0, 1, respectiv 2……………………….1pIdentifică cifrele zecilor termenilor 4, 5, respectiv 7 ……………………………1pIdentifică cifra sutelor 8………………………………………………………….1pExemplu: 40+51+872=963……………………………………………………....1pc) 963-234 = 729……………………………………………………………….1p

Din oficiu ……1p Total: 10 p

Subiectul 2 Trei băieţi şi şapte fete au plantat 100 de pomi.a) Dacă au plantat în mod egal, aflaţi câţi pomi a plantat fiecare.b) Dacă o fată plantează cel puţin 5 pomi, iar un băiat plantează mai mulţi pomi decât o fată, aflaţi câţi pomi a plantat fiecare fată şi fiecare băiat.

Prof. Mariana Saraolu, Rm. VâlceaBarem de corectare

Dacă 10 copii plantează 100 de pomi, atunci fiecare copil plantează 10 pomi …………………..3pO fată plantează cel mult 10 pomi, ea plantând mai puţin decât un băiat …………………………1pDacă o fată plantează 5 pomi, atunci 7 fete plantează 35 pomi, rămân 100-35=65 pomi care să fie plantaţi de 3 elevi în mod egal, ceea ce nu este posibil (65:3=21 rest 2)……………………………………1pDacă o fată plantează 6 pomi, atunci 7 fete plantează 42 pomi, rămân 100-42=58 pomi care să fie plantaţi de 3 elevi în mod egal, ceea ce nu este posibil (58:3=19 rest 1)……………………………………1pDacă o fată plantează 7 pomi, atunci 7 fete plantează 49 pomi, rămân 100-49=51 pomi care să fie plantaţi de 3 elevi în mod egal; 51:3=17, deci un băiat va planta 17 pomi…………………………………1pDacă o fată plantează 8 pomi, atunci 7 fete plantează 56 pomi, rămân 100-56=44 pomi care să fie plantaţi de 3 elevi în mod egal, ceea ce nu este posibil (44:3=14 rest 2)……………………………………1pDacă o fată plantează 9 pomi, atunci 7 fete plantează 63 pomi, rămân 100-63=37 pomi care să fie plantaţi de 3 elevi în mod egal, ceea ce nu este posibil (37:3=12 rest 1)……………………………………1p Din oficiu …………….1p

Total : 10p

Subiectul 3a) Ce număr trebuie scăzut din 9 pentru ca diferenţa obţinută, înmulţită cu 8, să dea produsul 40?

(S: P11, GM nr.1/2011)b) Aflaţi două numere ştiind că suma lor este 28, iar dacă micşorăm primul număr cu 4 obţinem dublul celui de-al doilea număr.

(S: P12, GM nr.1/2012)

Barem de corectare a) 40 = 8 ∙ 5 …………………………………………………… 2p 9 – 5 = 4 ………………………………………………………1p Răspuns: 4 ……………………………………………………1pb) I+II=28; I - 4=II+II……………………………………………2p I=II+II+4; II+II+4+II=28 ……………………………………..2p II=8; I=20……………………………………………………...1p

Din oficiu …………….1pTotal : 10p

Subiectul 4a) Într-o clasă sunt de 3 ori mai multe fete decât băieţi. Câţi elevi sunt în clasă, dacă numărul lor este cuprins între 29 şi 35.b) Suma a două numere este 473. Ce sumă obţinem dacă mărim primul număr cu 47 şi micşorăm al doilea număr cu 20 ?

(S: P12, GM nr.2/2012)

Barem de corectare a) Dacă sunt n băieţi, atunci sunt 3 ∙ n fete………………………….. 2p Numarul elevilor este egal cu 4 ∙ n ………………………………..1p Singurul produs de forma 4 ∙ n cuprins între 29 şi 35 este 32………1pb) a+b=473………………………………………………………….1p (a+47)+(b-20)= a+47+b-20………………………………………2pa+47+b-20= a+b+27 ………………………………………………...1pa+b+27=500………………………………………………………….1p

Din oficiu …………….1p Total : 10p



Proba individuală - Clasa a IV-a

Subiectul 1 C. Calculaţi suma numerelor din toate

triunghiurile pe care le observaţi în figura alăturată.

D. Orarul clasei a IV-a pentru ziua de joi cuprinde obiectele: Limba română (R); Matematică (M); Istorie (I); Educaţie fizică (E); Ştiinţe ale naturii (S).Scrieţi cu ajutorul simbolurilor toate variantele posibile de orar pentru ziua de joi, ştiind că matematica trebuie plasată în primele două ore, iar limba română nu trebuie plasată în ultimele două ore.

Exemplu. Varianta: 1. Matem.;2. Ed. Fizică; 3. L. română ; 4. Ştiinţe ale naturii; 5. Istorie, o notăm “MERSI”.

Înv. Constantin Măgureanu, Şcoala Bujoreni – LuncaÎnv. Valeriu Cârstea, Şc. “I. Gh. Duca” Rm. Vâlcea

Barem de corectare

A) …..….3p

B) Pentru 1. Matematică ; 2. Limba română sunt posibile 6 variante:MREIS; MRESI; MRIES; MRISE; MRSEI; MRSIE.

Pentru 1. Matematică ; 3. Limba română sunt posibile 6 variante:MERIS; MERSI; MIRES; MIRSE; MSREI; MSRIE.

Pentru 1. Limba română ; 2. Matematică sunt posibile 6 variante:RMEIS; RMESI; RMIES; RMISE; RMSEI; RMSIE.

Pentru 2. Matematică ; 3. Limba română sunt posibile 6 variante:EMRIS; EMRSI; IMRES; IMRSE; SMREI; SMRIE.

În total sunt 24 variante. Se acordă 0,25 puncte pentru fiecare variantă…………………6p

Din oficiu …..1p Total 10 p

59

2

4 8

1

7

6

Subiectul 2Într-o cutie sunt jetoane de 1 leu, 5 lei, 10 lei şi 25 lei. Iau 13 jetoane, iar suma lor este 100 lei.Stabiliţi dacă afirmaţiile de mai jos sunt adevărate sau false:c) Printre cele 13 jetoane sunt şi jetoane de 10 lei.d) Printre cele 13 jetoane nu sunt jetoane de toate cele 4 valori.

Prof. Ion Dăncilă, BucureştiBarem de corectare Avem 4 posibilităţi:100 lei = 5 lei x 6 + 10 lei x 7………………………………………………..………..1p100 lei = 5 lei x 9 + 10 lei x 3 + 25 lei x 1……………………………………………2p100 lei = 5 lei x 5 + 10 lei x 7+ 25 lei x 1………………………………………….…2p100 lei = 1 leu x 5 + 5 lei x 3 + 10 lei x 3+ 25 lei x 2…………………………………2pAfirmaţia a) este adevărată …………………………………………………………...1pAfirmaţia b) este falsă…… …………………………………………………………..1p Din oficiu …..1p

Total 10 pSubiectul 3 a) Dacă mărim scăzătorul cu 243 obţinem descăzutul. Dacă mărim descăzutul cu 357 obţinem dublul scăzătorului. Reconstituiţi scăderea.

(S:P11, GM nr.2/2011) b) Aflaţi cinci numere naturale consecutive ştiind că suma a două dintre ele este 2012.

Prof.Constantin Saraolu , Rm. Vâlcea

Barem de corectare a) S + 243 = D; D + 357 = S + S …………………………………………………………………..1p S + 243 + 357 = S + S → S = 600 ………………………………………………………………1p D = 843; 843 – 600=243……….…………………………………………………………………1pb) Fie n; n+1; n+2; n+3; n+4 , n N, cele 5 numere consecutive .Suma a două numere pare consecutive este număr impar, deci ≠ 2012 …………………………..1pn+n+1=2n+1≠2012; n+n+3=2n+3≠ 2012; n+1+n+4=2n+5≠ 2012...……………………………...1pCazul n+n+2=2012. Numerele sunt:1005;1006;…; 1009 …………………………………………1pCazul n+n+4=2012. Numerele sunt:1004;1005;…; 1008 …………………………………………1pCazul n+1n+3=2012. Numerele sunt:1004;1005;…; 1008 ………………………………………1pCazul n+2+n+4=2012. Numerele sunt:1003;1004;…; 1007……….……………………………..1p

Din oficiu …...1p Total: 10p

Subiectul 4 c) Determinaţi numărul n ştiind că: 100 – 98:98 – 96:96 – 94:94 – ..… – n:n = 54.

(S:P11, GM nr.1/2011)d) Gigel are 32 baloane roşii, galbene şi albastre. Ştiind că 18 baloane nu sunt galbene şi 21 nu

sunt albastre, aflaţi câte baloane roşii sunt. (S:P11, GM nr.2/2011)

Barem de corectare a) 100 -1 -1 -1 -..…-1=54 100 – (1+1+1+…+1)=54……………………..............…..2p

1+1+1+…+1=100 – 54=46, rezultă că suma1+1+1+…+1 are 46 termeni…................2p Atunci şirul 98, 96, 94, . . . ., n are 46 termeni, de unde rezultă n=8 ……................….1p b) r+g+a=32 …………….……………………………………………………………………1p 18 baloane sunt roşii sau albastre: r+a=18 ;21 baloane sunt galbene sau roşii: g+r = 21 …....2pr+a+g+r=39 32+r =39 r = 7……………………………………………………………1p



Proba individuală - Clasa a V-a

SUBIECTUL 1 E. Să se determine mulţimile şi care îndeplinesc simultan condiţiile:g) ;h) Dacă este element al mulţimii , atunci cel puţin unul dintre numerele sau

este element al mulţimii .i) Card (A B) = 2.F. Dacă sunt trei mulţimi, atunci (proprietatea de

distributivitate a reuniunii faţă de intersecţie). Mulţimile îndeplinesc simultan condiţiile:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .c) Calculaţi .d) Determinaţi mulţimea .

Barem de corectareA. , pentru că . Prin urmare . Analog se arată că , deci ..…. 2pCum Card (A B) = 2 A are cel puţin două elemente ................................... 1pFinalizare ........................................................................................................... 1pB. ……………………………………………………………...... 2p

şi ……………………………………………………………....... 1p

……………………………………………..…………..... 2p Din oficiu …..... 1p

Total 10 pSUBIECTUL 2Stabiliţi valorile de adevăr ale propoziţiilor:

a) p: ” 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 = 2103 + 1”;b) ;c) r: ” 1 + 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 < 2723 ─ 934”.

Barem de corectarea) 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 = 2103 - 1 …..……………………………….....................… 2pFinalizare: propoziţia p este falsă ……………………………………............................. 1pb) ……………………………….….....… 1p

………………………….………………………………......… 1p

adevărată …………….…….……………………........... 1p

c) 1 + 20 + 21 + 22 + ….+ 2102 < 2723 ─ 934 2103< ....................................... 1p …………………………………………………………....………….... 0,5p

………………………………………………………….….…………….. 0,5p

…………………………………………………………………….. 0,5p

adevărată .…………………………………………………… 0,5p Din oficiu …..1p Total 10 p

SUBIECTUL 3

Determinaţi numărul prim , ştiind că sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii:5) este număr prim;6) şi sunt numere neprime;7) ;8)

Barem de corectare

număr prim ……………………………………......………………1 p

număr prim , ……………………………………......…………...1p

………………………….…………………………………......……….1p

………………………….…………………………………………………......….1p

nr. prim……………………………........ 2p

…………………………….………………………...... 1p

………….……………………………...... 1p

…………………………….…………………………........ 1p


SUBIECTUL 4 A. Media aritmetică a numerelor a, b, c este 2,43 , iar media aritmetică a numerelor m şi n este 3,42. Care este media aritmetică a numerelor a, b, c, m, şi n?

(S: E12, GM nr.3/2012)B. Aflaţi suma a zece numere naturale ştiind că suma primelor nouă numere este 100, iar suma produselor dintre al zecelea număr cu fiecare din celelalte nouă numere este 300.

(S: P12, GM nr.1/2012)

Barem de corectare A. a+b+c=7,29 şi m+n=6,84 ……………………………….................……………….. 2p (a+b+c+m+n):5=(7,29+6,84):5=14,13:5=2,826…………………….............…….... 2p B. ………………………. 2p ………………………….. 2p ………………………………………………………………………………. 1p

Din oficiu …...1p

Total: 10p


Proba individuală - Clasa a VI-aBAREME DE CORECTARE

Subiectul 1 Să se determine perechile de numere întregi care verifică .

c) Determinaţi cele mai mici cinci numere naturale consecutive de forma , cu x,y N.a)

…………..……..….……. 2p

……………………………………………………………1p

…………………………………………………………….1pb) ……………….…………………………………………………………1p

……………….……………………………………………………………1p……………….…………………………………………………………….1p……………….…………………………………………………………….1p……………….…………………………………………………………….1p

Din oficiu… 1pTotal : 10 p

Subiectul 2

a) Fie x, y N*. Demonstraţi că, dacă suma este divizibilă cu 7, atunci fracţia este

reductibilă.

b) Aflaţi n N pentru care , unde reprezintă c.m.m.d.c. al numerelor a şi

b.a)

…………………………………………………….…….….1p

……………………………………………………….…1p

fracţia se simplifică prin 7 fracţia este reductibilă…………………1p

b) Dacă ………………………………… 0,5p

Fiecare verificare a celor 5 valori ……………………………………………5 x 1p=5p

Finalizare ………………………………………………………………………0,5 p

Din oficiu… 1pTotal : 10 p

Subiectul 3

În triunghiul ABC cu m(<A)= 450, se consideră punctele M [BC], P AB ,Q AC astfel încât [BM]≡[CM], BQ AC şi CP AB. Demonstraţi că:a)∆ MPQ este isoscel.b) MP MQ.

c)Dacă <B≡ <C, atunci semidreapta [QB este bisectoarea unghiului PQM.

a) MP=BC: 2 , ca mediană corespunzătoare ipotenuzei ……………………………….........….1pAnalog, MQ=BC: 2 …………………………………………………………………….....…….1pMP=MQ → ∆ MPQ isoscel …………………………………………………………….........…1pb) m(<BMP)= 1800-2m(<B)…………………………………………………………….........…1p m(<CMQ)= 1800-2m(<C)……………………………………………………………..………1pm(<BMP)+m(<PMQ)+m(<CMQ)= 1800 1800 =2m(<B)+2m(<C) - m(<PMQ)………… ...1p

m(<B)+m(<C)+m(<A)= 2m(<B)+2m(<C) - m(<PMQ) m(<A)=m(<B)+m(<C) - m(<PMQ) 2m(<A)=1800- m(<PMQ) m(<PMQ)=900 .....……1pc) m(<B)=m(<C)=67030/ → m(<MBQ)=22030/=m(<MQB) (pentru că ∆ MBQ este isoscel cu MB=MQ)………………………………………………………………1pm(<PQM)=450 şi m(<MQB)= 22030/→ m(<BQP)= 22030/→ [QB=bis.<MQP ………………1p

Din oficiu… 1p Total : 10 p

Subiectul 4 Se dau 2012 puncte distincte, dintre care 2006 sunt coliniare, iar celelalte şase sunt oricare trei necoliniare. Care este numărul maxim de drepte care pot fi determinate de cele 2012 puncte? Notăm cu cele şase puncte oricare trei necoliniare, şi cu celedouă mii şase puncte coliniare.Numărul maxim de drepte se obţine atunci când oricare două dintre punctele nusunt coliniare cu vreunul din punctele ..............................................................2p Numărul dreptelor determinate de n puncte distincte,oricare trei necoliniare, este

n N, n≥2, este ……....................................................................................……….2p

Dacă cele 2012 puncte ar fi oricare trei necoliniare, ele ar determina

drepte……………………………………………………………...1p

2006 puncte necoliniare determină drepte ………………………1p

Cum cele 2006 puncte sunt coliniare, ele se află pe o singură dreaptă dCele 1003∙2005 drepte coincid cu dreapta d ………………………………………………...1pNumărul dreptelor este 1006 ∙ 2011 ─ 1003 ∙ 2005 + 1= 12 052 ……………………………2p

Din oficiu… 1p Total : 10p


A

B C

M

P

Q


Proba individuală - Clasa a VII-aBAREME DE CORECTARE

Subiectul 1

1. Să se arate că:a) Există n N*, pentru care este pătrat perfect.

b) Numărul este iraţional pentru orice n N* .

a) …………………………………………………….1p

, ……………….1p

,

……………………………………..2p

b)

………………………………………………………..1pDacă …………………..1p

Dacă ……………………1p

Dacă ……………………....1p

Dacă …………………...1pObservaţie - orice pătrat perfect e de forma M4 sau M4+1

Din oficiu …..1pTotal: 10 p

Subiectul 2

3. Fie a, b, c R* astfel încât şi . Demonstraţi că .

4. Determinaţi numerele reale şi care verifică egalitatea

şi calculaţi .

1) ……………………………………………1p

……….…………………………………………1p

…………..……………1p

2) …………………………………………..………0,5p

Notăm ……………………………………1 p

Egalitatea devine ………………………………….…0,5p

………………………………………………….…1 p

………………………………………………………………...1p

……………………………………………………………..1p

………………………………………..…………1p

Din oficiu …..1pTotal : 10 p

Subiectul 3

Fie un trapez cu bazele şi . Notăm cu mijlocul laturii . Să se arate că perimetrul triunghiului este mai mic ca perimetrul triunghiului .

Fie mijlocul lui , mijlocul lui , ………………………1p

paralelogram ……………………………..1p………………………………………………………………….1p

paralelogram ………………………………………………………1p

mediană în ……………………………………………..1p

mediană în …………………………..………………..1p

mediană în ………………….……………………………1p

Însumând obţinem …………………………………….1p

Dar ………………………………1p

Oficiu……… 1pTotal : 10p

Subiectul 4

În triunghiul cu cm , fie şi mijloacele laturilor , respectiv şi

punctul de intersecţie al bisectoarei cu dreapta . Se dă şi .

3. Aflaţi aria triunghiului .

4. Arătaţi că distanţa de la punctul la dreapta este mai mică decât .

1. isoscel, mediană în şi ……..0,5p

………………………………………………………………………….0,5p

………………………………………………………0,5p

………………………………………………………1p

………………………………………………………..1p

………………………………………………………………………….0,5p

………………………………………………………1p

………………………………………………………………1p

(cu t. lui Pitagora generalizată din )………………………..1p

……………………………………………..1p

………………………………………………………….1p

Din oficiu …..1p Total: 10 p


3

PNM

5

4

A

B C7

EDITIA A XV-A 18-19 MAI 2012

Proba individuală - Clasa a VIII-a

Subiectul 1

Demonstraţi că , dacă , atunci

Barem de corectare

Fie , …………………….0,5p

……………………………………………………………………0,5p

……………………………………………….1p

………………………………………………..1p

…………………………………………………1p

Dar ……………………………………………….….….1p

Deci …………….…………………………………………….…..1p

…………….…………………………………………….…..1p

…………….…………………………………………….…..1p

Prin însumare obţinem inegalitatea ……….………………………………….……1p

Din oficiu …..1pTotal : 10 p

Subiectul 2

iii) Calculaţi suma .

iv) Arătaţi că

oricare ar fi numerele reale .Precizaţi cazul de egalitate.

Barem de corectare

i) …………………………………….1p

…………………………………………….1p

………………………………………………………..1p

ii) De la punctul i) avem ………………………1p

Inegalitatea devine:

…………………1p

care este echivalentă cu

……..1p

……..2p

Egalitatea are loc dacă …………………..1p

Din oficiu …….…..1pTotal : 10 p

Subiectul 3

A. Fie ∆ ABC cu aria S şi punctele M [AC], N [AB], P [BC] astfel încât MN║BC şi MP║AB.

Dacă aria triunghiului AMN este , exprimaţi în funcţie de S aria triunghiului CMP.

B. În piramida triunghiulară regulată VABC muchiile laterale sunt perpendiculare două câte două (VA VB VC VA). Dacă M este mijlocul laturi [BC] , calculaţi măsura unghiului dintre dreptele AC şi VM.

Barem de corectareA.

∆AMN ~ ∆ ACB → ........................................................................2p

şi ∆CMP ~ ∆ CAB → ..........................................................................2p

A∆CMP = ............................................................................................................................1p

B. AB=BC=AC= a

MN= linie mijlocie → MN║ AC, MN= → unghiul căutat este unghiul VMN …………….2p

(propr. medianei corep. ipotenuzei)……………………………………………1p

∆ VMN echilateral → unghiul are 600 ....................................................................................... 1p

Din oficiu …….…..1p Total : 10 p

Subiectul 4

În triunghiul se notează cu mijlocul laturii şi se consideră un punct în

interiorul cercului de diametru .

Să se arate că

.

Barem de corectare

………………………..1p

……………………...1p

Dar ………………………………………………………………………..1p………………………………………...1p

Dar ………………………………………..1p

Cum ………………………………………………………………...1pobţinem ……………………………………………1pDeci ………………………………………………...1p

…………………………………………………….1p

Din oficiu …..1p Total: 10 p


A

CBP

M


Proba colectivă - Clasa a V-a

BAREM DE CORECTARE

Subiectul 1

Într-o şcoală cu patru clase numărul elevilor din fiecare clasă este cuprins între 14 şi 31. În fiecare clasă numărul fetelor este mai mare cu 3 decât numărul băieţilor. a) Care poate fi cel mai mic număr de elevi din şcoală? Dar cel mai mare? b) Pot fi în şcoală 95 elevi? c) Dacă numerele care reprezintă băieţii din fiecare clasă sunt numere prime şi două clase au acelaşi număr de elevi, câţi elevi sunt în şcoală?

a) Numărul de copii din fiecare clasă este de forma 2n+3………………………1p Numărul minim este 4∙15=60…………………………………………………1p Numărul maxim este 4∙29=116……………………………………………… 1p

b) 2n+3 este un număr impar……………………………………………………...1p Suma a patru numere impare este un număr par………………………………1p c) Într-o clasă pot fi 6,7,…,sau 13 băieţi, din care numere prime sunt 7,11,13…..1pVariante: 7;7;11;13 , rezultă 88 elevi …………………………………………… 1p7;11;11;13 , rezultă 96 elevi ………………………………………………………1p7;11;13;13 , rezultă 100 elevi ……………………………………………………...1p Oficiu………….1p Total: 10p Subiectul 2

Să se arate că oricum am alege 1006 numere naturale nenule, mai mici decât 2012 şi diferite de 1006, printre ele există două cu diferenţa egală cu 1006.

Prof. Constantin Popescu, Rm. VâlceaBaremCele 1006 numere aparţin mulţimii A = {1;2;3;…2011}\{1006} cu 2010 elemente………1pPartiţionăm mulţimea A în 1005 submulţimi de câte două elemente cu diferenţa 1006……..2pEx:{2011-0;1005-0}; {2011-1; 1005-1};….;{2011-1004;1005-1004}, sau{2011,1005}; {2010,1004}; ………..{1007,1}………………………………………………3p Alegând cele 1006 numere dintre elementele mulţimii A, partiţionată în 1005 submulţimi,conform principiului cutiei, cel puţin două numere vor aparţine aceleiaşi submulţimi………..3pDiferenţa elementelor din submulţimea de mai sus este (2011-k)-(1005+k)=1006, pentru orice k natural ,k<1005…………………………………………………………………1p Oficiu................1p Total: 10 p

Subiectul 3

a) Câte numere de forma verifică relaţia: b2 = (a + c)3? (S: E12, GM nr.2/2012)

b) Două cincimi dintr-un număr reprezintă cât o şeptime din alt număr.Dacă diferenţa numerelor este 18, aflaţi numerele.

(S: P12, GM nr.3/2012)c) Determinaţi numărul natural n pentru care 25 + 26 + 27 +……+ 2n = 2011 + n : 2.

(S: E11, GM nr.1/2011)Soluţie şi barem:

a) a,b,c {0;1;2;…;9},a>0 → b>0; 12 = (1 + 0)3 → =110 ………………………...........1p82=43 → 82 = (4 + 0)3 =480; 82 = (3 + 1)3 → =381; 82 = (2 + 2)3 → =282; 82 = (1 + 3)3→ =183………………………………………....1pR: 5 numere ……………………………………………………………………………………1p

b) Fie a primul număr şi b al doilea număr.

7 şeptimi din b = ∙b= b reprezintă cât 7 ∙ două cincimi din a = 14 cincimi din a = ∙ a,

deci b este mai mare decât a …………………………………………………………………..1p

b – a = 18 a – a = 18 a = 18………………………………………………………1p

a = 10; b=28 ……………………………………………………………………………………1p c) 1+2 + 22 + 23+ 24+ 25 + 26 + 27 +……+ 2n = 1+2 + 22 + 23+ 24 + 2011 + n : 2 …….…….1p2n+1 – 1 =2042 + n : 2 ………………………………………………………………………....1pn=10 …………………………………………………………………………………………..1p

Oficiu………….1pTotal: 10p


Proba colectivă - Clasa a VI-a

BAREM DE CORECTARE

Subiectul 1

Fie numerele naturale de forma , .

j) Arătaţi că fracţia este ireductibilă .

k) Demonstraţi că , .

l) Determinaţi numărul prim n ştiind că , unde .

Prof. Mariana Saraolu, ”Take Ionescu” Rm. Vâlcea

Barem de corectare

a) Fie şi d / 2 …….... 1p

Cum este număr impar ......................................................... 1p

Finalizare este ireductibilă ............................................................ 1p

b) …………………………………………... 1p

1 …………………………………………………..1p

(adevărată) …………………... 1p

c) .................... 0,5p

........................................................ 0,5p

Finalizare: ............................................................................. 1p

……………………………………….1p

Din oficiu …..... 1p Total 10p

Subiectul 2 Măsurile unghiurilor unui triunghi isoscel ABC (AB=AC), sunt direct proporţionale cu

numerele 5 şi 2. Bisectoarea unghiului ABC intersectează dreapta AC în D.

Determinaţi măsura unghiului ADB. Prof. Giurgiu Marius, Rm. Vâlcea

Prof. Gh. Radu, Rm. VâlceaSoluţie şi barem:Desen şi notaţii ……………………………………………………………….…………….…..1pCazul x0= măsura unghiului de la vârf; y0=măsura unui unghi alăturat bazei:

.x + 2y=180; ……………………………………………………………………….……1p

x=100; y=40 ………………………………………………………………………….…………2pm(<ADB)=600(unghi exterior triunghiului BCD)………………………………………………1pCazul u0= măsura unghiului de la vârf; v0=măsura unui unghi alăturat bazei:

u +2v=180; ………………………………………………………………………............1p

u=30; v=75 ……………………………………………………………………………..………2pm(<ADB)=112030/(unghi exterior triunghiului BCD)…………………………… ……........…1p Oficiu ....................1p Total 10p

Subiectul 3Determinaţi numerele de forma care dau restul 7 la împărţirea cu 12.


Solutie si barem:

....................................................................................................1p

Cum este impar ................................................................................1p

Din .......................................1p

Cazul I: ...................................................2p

Cazul II: ..................................................2p

Cazul III: ................................................2p

Oficiu.........1p Total: 10p


Proba colectivă - Clasa a VII-aBAREM DE CORECTARE

Subiectul 1

Arătaţi că nu există numere naturale n pentru care numărul să fie natural.

n, n+2010 şi pătrate prefecte ……………………………………… 2p

, şi a+b pătrate perfecte ……………………………………….. 2p ………………………………………… 2p

şi …………………………………………………………….. 2pFinalizare: egalităţile nu sunt verificate simultan în N ………………………………..1p

Din oficiu …..1p Total : 10 p

Subiectul 2Într-un trapez diagonalele se intersectează în punctul . Fie aria

triunghiului şi aria triunghiului . Calculaţi aria trapezului ştiind că şi .

……………………3p

Cum ………………………………………………….0,5p

…………………………………………………………..………….…1p

…………………………………………………………..……………..0,5p

…………………………………………………………………………1 p

Dar ……………………………………..…………….……1p

……………………………………………….……………….……0,5 p…………………………………………………………………….……1 p

; …………………….…………………………0,5p


Subiectul 3

În triunghiul , cu m(<A) = 900, fie astfel încât .

Demonstraţi că : .Prof. Constantin Bărăscu, Rm. Vâlcea

Prof. Dumitru Dobre, Rm. Vâlcea

B

b

O

A B

D C

Barem de corectareI. “ ”

Notăm ………………………………..…………....1p

Aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic ABC:

……………………………………………….2p

; ………………..2p

………………………………………………...1p

II. “ ”

…………………………….………………1p

………………………………………………..0,5p

……………………………………………………………1p

………………………………………. 0,5p



Proba colectivă - Clasa a VIII-aBAREM DE CORECTARE

Subiectul 1Aflaţi numerele naturale şi pentru care este pătrat perfect.

Cyx yx

BD

A

A

2

a

C

3

2

aa

BD

Notăm ……………………….…….…….. 1p

……………………………………………………... 2p

………………………………………………………………………………. 2p

……………………..2p

……………………………………………….…… 2p

Oficiu………….1p Total: 10pSubiectul 2

În cunoaştem : , şi mijloacele laturilor , respectiv ,

este punctul de intersecţie al bisectoarei unghiului cu . Fie

cu .

Demonstraţi că : a) ∆APB este dreptunghic.

b) tangenta unghiului format de cu este mai mare decât .

a) isoscel……………………………………………………1p

mediană , dreptunghic…………………………………1p

b) …………………………………………………….1p

Din …………………………………………………0,5p

…………………………………………………….………………1p

………………………………………………………….…1p

………………………………………………………1p

Din (t. Pitagora generalizată) ………………………………1p

………………………………………………………………………….0,5p

…………………………………………………… 1p

Oficiu………….1p Total: 10p

Subiectul 3În tetraedrul notăm cu şi proiecţiile punctelor , respectiv pe dreapta . Dacă

este mijlocul segmentului , şi , arătaţi că .

Fie

………………………………………………….….1p

Cum - mijlocul lui e mijlocul lui ……………………1p

(cu reciproca 1 a teoremei celor 3 perpendiculare)………………………..1pDin trapez ……………………………………………1p

( reciproca 1 a teoremei celor 3 perpendiculare)…………………………...1p

e linie mijlocie în trapez……………………………………1p

mijlocul …………………………………………………1p

………………………………………………….1p

isoscel, bază şi mediană înălţime ………..1p

Oficiu………….1p Total: 10p

Concursul PITAGORA 18-05-2012 Rm. Valcea Cl. II-VIII-Enunturi-Si-bareme

Documents

Transcript of Concursul PITAGORA 18-05-2012 Rm. Valcea Cl. II-VIII-Enunturi-Si-bareme