1 (5)

78
Curs 3 - 6. METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE A SISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE INGINERIEI ELECTRICE Prof.dr. ing. mat. Dan D. MICU Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected] Metode Numerice Inginerie Electrica an II 2015-2016

Transcript of 1 (5)

Page 1: 1 (5)

Curs 3 - 6.

METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE A

SISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE

INGINERIEI ELECTRICE

Prof.dr. ing. mat. Dan D. MICU

Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice

Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică

E-mail: [email protected]

Metode Numerice

Inginerie Electrica an II

2015-2016

Page 2: 1 (5)

Curs 5+6.

Prof. dr. ing. mat. Dan D. MICU

Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice

Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică

E-mail: [email protected]

Metode Numerice

Inginerie Electrica an II

2015-2016

METODE NUMERICE DIRECTE SI ITERATIVE DE REZOLVARE A

SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

Page 3: 1 (5)

Program de…gimnastică…pregătire pentru cursuri…antrenați mintea

Page 4: 1 (5)

Exemple de aplicații din ingineria electrică care implică rezolvarea

unor sisteme de ecuaţii liniare sau neliniare de mari dimensiuni

Localizarea obiectelor inaccesibile din subteran, prin măsurători

ale câmpului magnetic reflectat; model integral discretizat într-un

sistem de ecuaţii şi rezolvat numeric prin descompunere după

valorile singulare;

Proiectarea dispozitivelor de stimulare magnetică a ţesuturilor

nervoase;

Optimizarea poziţionării bobinelor de radiofrecvenţă din cadrul

dispozitivelor de imagistică medicala

Diagnosticarea non-distructivă a gradului de coroziune a

structurilor metalice din construcţiile de beton armat – poduri;

Minimizarea costurilor de producţie prin CAM (computer aided

manufacturing) în fabricaţia aparatelor de iluminat;

Identificarea spaţială a curenţilor de întoarcere ai trăsnetelor din

măsurători ale câmpului electric şi magnetic în momentul

impactului;

Page 5: 1 (5)

Proiectarea optimală a unui motor electric de curent continuu fără

perii colectoare (brushless DC drive);

Diagnosticarea defectelor de izolaţie din maşinile electrice pe baza

aproximării inducţiei câmpului magnetic din întrefier, prin

măsurarea câmpului magnetic de suprafaţă;

Proiectarea separatoarelor magnetice – determinarea configuratiei

şi numarului de spire ale bobinelor de separare magnetică;

Identificarea depunerilor de distribuţie de sarcină electrică în zona

punctului triplu din întreruptoarele automate de medie tensiune;

Proiectarea bobinelor de tratament magnetic;

Circuitele electrice neliniare sau circuitele în regim tranzitoriu se

reduc în final la rezolvarea unor circuite electrice liniare

Proiectarea bobinelor shunt pentru compensarea energiei reactive

capacitive a cablurilor;

Proiectarea senzorilor inductivi de poziţie de pe utilajele de

prelucrare mecanică, CNC;

Proiectarea senzorilor inductivi de viteză.

Page 6: 1 (5)

Modelul matematic corespunzător este constituit dintr-un sistem de n ecuaţii neliniare

complexe (n+numărul nodurilor din SEN) de forma

n,,,i,*SUY*UUY*Uf i

n

ijj

jjiiiiiii2100

1

j

Calculul circulatiilor de puteri intr-un sistem electroenergetic

Page 7: 1 (5)

Considerând nodul 4 - nod de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru care se

cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă şi

reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul nodurilor,

puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare, circulaţiile de puteri

pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe fiecare element în parte).

Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei

de puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.

Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de ecuaţii de mari dimensiuni,

care se soluţionează cu metode numerice.

Page 8: 1 (5)
Page 9: 1 (5)

Analiza stabilităţii la mici perturbaţii a sistemelor electroenergetice

(Complemente de matematici - MASTER)

Se consideră un sistem electroenergetic, format din 3 generatoare, 3 transformatoare, 6 linii

electrice aeriene (220 kV) şi 3 consumatori.

Se cunosc parametrii elementelor de sistem şi caracteristicile unui regim concret de funcţionare.

Se cere să se analizeze stabilitatea naturală a sistemului la mici perturbaţii (perturbaţia constă

dintr-un şoc de putere activă de valoare relativ redusă într-unul din nodurile sistemului).

Stabilitatea naturală presupune analiza comportării dinamice a sistemului electroenergetic în

absenţa sistemelor de reglare automată (a excitaţiei şi a vitezei) a generatoarelor sincrone

(modelate printr-o tensiune constantă în spatele unei reactanţe)

Page 10: 1 (5)

P44 3 2

0 00948 257 5560 1249447 13960 2 0( ) , , , ,

12

3 4

0 00233 13 416

0 00251 8 807

,

,

, ,

, ,

j

jvalorile proprii

2 perechi de valori proprii complexe conjugate, cu partea reală negativă.

În consecinţă, sistemul este stabil natural la perturbaţia de intensitate redusă

considerată.

Pulsaţiile naturale de oscilaţie sunt: 13,416 rad/s şi 8,807 rad/s , ceea ce

corespunde unor frecvenţe de aproximativ 2,14 Hz (perioadă de 0,47 s ) , respectiv

1,40 Hz (perioadă de 0,71 s ).

0)A()A( IIdetP4

Page 11: 1 (5)

Rezolvarea unui circuit complex de mari dimensiuni

Page 12: 1 (5)

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

1 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0

Page 13: 1 (5)

Probleme din domeniul ingineriei electrice conduc la modele matematice care implică în

fapt rezolvarea unor sisteme de ecuaţii liniare de dimensiuni mari (Curs 3)

-rezolvarea unui circuit electric, scrierea teoremelor lui Kirchhoff, a metodei

curenţilor ciclici, potenţiale noduri etc.

-modelarea numerică a funcţionării maşinilor electrice, hidraulice sau termice;

-analiza şi optimizarea regimurilor de funcţionare a sistemelor electroenergetice

-modelarea numerică a funcţionării aparatelor şi echipamentelor electrice.

Dacă modelul este neliniar, poate fi liniarizat în primă aproximaţie, o singură dată sau la

fiecare pas al unui proces iterativ de soluţionare.

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

.............................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

nnnnn

n

n

n

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A

321

3333231

2232221

1131211

nb

...

b

b

b2

1

nx

...

x

x

x2

1

bxA

Notaţia matriceală conduce la o formulare simplă şi concisă a unor aplicaţii deosebit de complexe, mai ales în situaţiile în care modelul matematic conţine sisteme de ecuaţii liniare de

dimensiuni mari. (Curs Algebra Liniara AnI)

Page 14: 1 (5)

• Sisteme bine condiţionate – Master - Complemente de matematici

• Sisteme rău condiţionate - Master - Complemente de matematici

• Sisteme omogene

• Sisteme neomogene

În unele cazuri, sistemele de ecuaţii algebrice liniare apar în mod

natural, din însăşi formularea problemei. În multe alte cazuri, însă,

sistemele de ecuaţii liniare rezultă ca urmare a aplicării unor metode

numerice de rezolvare a problemei iniţiale.

Se poate spune că rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare joacă un rol

central în cadrul metodelor numerice.

Există 2 categorii de metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

de forma Ax = b:

- metode directe sau “exacte”;

- metode indirecte sau “iterative”.

În aplicaţiile din ingineria electrică- valorile coeficienţilor şi termenilor liberi pot fi afectate

de erori (determinări experimentale, calcule "aproximative“, ipoteze simplificatoare, etc)

-măsura în care ele influenţează soluţiile sistemelor de ecuaţii liniare-conditionare

(Master - Complemente de matematici)

Page 15: 1 (5)

Metodele directe

- soluţia sistemului rezultă printr-o serie de operaţii care se

execută o singură dată, numărul total de operaţii aritmetice elementare

fiind finit, depinzând în mod direct de dimensiunea sistemului, fiind

cunoscut de la început.

- rezultatul furnizat de metodele directe este afectat doar de

erorile de rotunjire şi acest avantaj face ca ele să fie preferate ori de câte

ori dimensiunea şi particularităţile sistemului păstrează numărul de

operaţii în limite acceptabile.

Exemple de metode directe se pot aminti:

•metoda lui Cramer bazată pe calculul determinanţilor;

•metoda inversării matriciale

•metoda de eliminare a lui Gauss;

•metoda factorizării directe LU (Lower-Upper). – Master - Complemente de

matematici

Metoda lui Cramer deşi în esenţă foarte simplă, nu corespunde cerinţelor practice când

numărul de ecuaţii este mai mare ca 3 şi când determinantul corespunzător matricii

sistemului este zero ea fiind în general neimplementabilă.

Page 16: 1 (5)

Metode iterative

- soluţia se obţine printr-o serie (proces) de aproximaţii

succesive, fiecare secvenţă de operaţii aritmetice elementare (mai mic

decât la metodele directe) este parcursă de mai multe ori, obtinându-se

aproximaţii din ce în ce mai bune ale soluţiei până la atingerea unei

precizii fixate dinainte (precizie dorită). Aceste metode permit obţinerea

soluţiei numerice a unui sistem de ecuaţii prin generarea unui şir care

tinde la soluţia exactă.

- practic se poate efectua numai un număr finit de iteraţii,

erorile de rotunjire sunt însoţite în cazul metodelor iterative şi de erori

de trunchiere.

Avantaj al metodelor iterative: simplitatea şi eficienţa implementării

lor în programe, în cazurile în care nu sunt rezolvabile prin metode

directe.

Exemple de metode iterative:

• metoda lui Jacobi;

• metoda Gauss-Seidel – Master - Complemente de matematici

• metoda relaxării – Master - Complemente de matematici

Page 17: 1 (5)
Page 18: 1 (5)

MIT concept…

Page 19: 1 (5)

1. METODE ITERATIVE DE SOLUŢIONARE

În aplicaţiile practice în care de obicei matricea coeficienţilor sistemului

A este de dimensiuni mari şi numărul elementelor diferite de zero ale

acestei matrici este foarte mic atunci metoda eliminării a lui Gauss (An I

Algebra) nu este cea mai indicată metodă de rezolvare a sistemului.

În aceste cazuri tehnicile de eliminare vor fi încetinite mult datorită

spaţiului mare de memorie necesar pentru a putea lucra cu aceste matrici

de mari dimensiuni dar şi faptul că elementele zero din matricea iniţială

(impedantele de cuplaj mutual) ar fi transformate în elemente diferite

de zero după triangularizare.

Deci aceste sisteme de mari dimensiuni care apar in aplicatiile practice se

vor rezolva cu metode iterative.

O clasă importantă de metode iterative este clasa metodelor de separare

prin care matricea sistemului A este separată în două părţi (2 matrici

particulare separate).

Page 20: 1 (5)

1.1. Metoda aproximărilor succesive - Jacobi

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxa...xaxaxa

.........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

332211

33333232131

22323222121

11313212111

,

...

............

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

nb

b

b

b...

2

1

nx

x

x

x...

2

1

EIZ;EIR

bxA

0Adet

0ija

nnnnnnn

nn

nn

x...xxx

.......................................................

x...xxx

x...xxx

2211

222221212

112121111

xx

nn

n

nn

n

nn

n

n

n

a

b...

a

b

a

b

...a

a

a

a............

a

a...

a

a

a

a...

a

a

22

2

11

1

21

22

2

22

21

11

1

11

12

0

0

0

Page 21: 1 (5)

Tn)( x...xxx 00

20

10

)(x 0

Se alege vectorul aproximaţiilor iniţiale ale soluţiilor

care se obţine prin măsurători experimentale sau se alege de obicei în aplicaţiile practice

ca fiind egal cu vectorul termenilor liberi

.

,..., )2()1( xx

)1k()k( xx

Metoda lui Jacobi presupune calculul unui şir de aproximaţii succesive

cu ajutorul formulei de iterare într-un pas care se demonstrează prin inducţie:

)()( xx 01

xx,...,x,xlimxlim kn

kk

k

)k(

k

21

Vectorul soluţie după prima iteraţie k=1, este:

Dacă şirul vectorilor soluţii la iteraţia k, x(k) care este un şir de soluţii aproximative,

converge, atunci limita lui este soluţie a sistemului Ax = b:

Page 22: 1 (5)

Demonstraţie 1 pe tabla - Convergenţa metodei Jacobi

1

1k

kxxer

Demonstraţie 2 pe tabla

Evaluarea erorii în metoda aproximaţiilor succesive - Jacobi

Page 23: 1 (5)

204080040

91503090

80802404

321

321

321

xx.x.

x.xx.

x.x.x

bxA

4

1204080040

3

191503090

4

180802404

321

321

321

xx.x.

x.xx.

x.x.x

4080040

1503090

0802404

..

..

..

A

3

2

1

x

x

x

x

20

9

8

b

xx

Exemplu numeric:

213

312

321

0200105

0500303

0200602

x.x.x

x.x.x

x.x.x

;

..

..

..

0020010

0500030

0200600

3

2

1

x

x

x

x

5

3

2

xx

x

x

x

..

..

..

x

x

x

3

2

1

3

2

1

0020010

0500030

0200600

5

3

2

Page 24: 1 (5)

xx

x

x

x

..

..

..

x

x

x

3

2

1

3

2

1

0020010

0500030

0200600

5

3

2

Aproximaţia iniţială:

5

3

2

03

02

01

0

x

x

x

x

03

02

01

13

12

11

01

0020010

0500030

0200600

5

3

2

x

x

x

..

..

..

x

x

x

xx

0453020201050200105

1935050203030500303

9215020306020200602

02

01

13

03

01

12

03

02

11

...x.x.x

...x.x.x

...x.x.x

La prima iteraţie:

045

193

921

13

12

11

1

.

.

.

x

x

x

xSoluţia la prima iteraţie :

xx

Page 25: 1 (5)

13

12

11

23

22

21

12

0020010

0500030

0200600

5

3

2

x

x

x

..

..

..

x

x

x

xx

0446519302092101050200105

1944304505092103030500303

9202104502019306020200602

12

11

23

13

11

22

13

12

21

.....x.x.x

.....x.x.x

.....x.x.x

Soluţia la iteraţia a doua se obţine din soluţia de la prima iteraţie:

Metoda converge şi soluţiile se stabilizează dupa a doua iteraţie şi se pot scrie ca fiind:

04465

19443

92021

.

.

.

x

Page 26: 1 (5)

Se rezolvă sistemul în

programul MathCad

pentru a vedea toate

soluţiile şi pentru a stabili

câte iteraţii sunt necesare

pentru ca eroarea să fie

într-o limită impusă apriori.

Introducem matrici le care compun sistemul: x x

0

0.03

0.01

0.06

0

0.02

0.02

0.05

0

2

3

5

k 0 10 \\ numarul de iterati i

x0

2

3

5

\\ aproximatia initiala

xk 1

xk

\\ procesul i terativ

Aproximati i le succesive pe care le face metoda sunt:

Page 27: 1 (5)

1

1k

kxxer

Evaluarea erorii în metoda aproximaţiilor succesive în funcţie de normele lui α, β este:

Ştiind că procesul iterativ converge, câte iteraţii trebuie făcute pentru ca eroarea să fie

mai mică decât 10-4.

Deci numărul de iteraţii care trebuie făcute pentru a se atinge precizia impusă este k=4 iar soluţia

la ultima iteraţie este soluţia sistemului:

Observaţie: Metoda se poate aplica şi pentru sisteme neliniare.

Page 28: 1 (5)
Page 29: 1 (5)

APLICATII IN

TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

IMPLEMENTARE IN MATHCAD

Page 30: 1 (5)

E1 40 V E2 20 V

R1 2 R2 2 R3 1

R4 8 R5 4 R6 6

B T Bq1

T augment T Bqj

j 2 cols Bq( ) 1for

T

B

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1. Să se rezolve ecuatia matriciala corespunzatoare MCC utilizand metoda

aproximatiilor succesive (Jacobi)

Page 31: 1 (5)

Rezolvarea matriceala prin metoda curentilor ciclici

BT

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

R

R1

0

0

0

0

0

0

R2

0

0

0

0

0

0

R3

0

0

0

0

0

0

R4

0

0

0

0

0

0

R5

0

0

0

0

0

0

R6

Ohm R

2

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

6

E

E1

E2

0

0

0

0

E

40

20

0

0

0

0

V

Ecuatia matriceala a curentilor ciclici: B R BT

Iciclici B E

M B R BT

T B E

M

11

1

8

1

7

4

8

4

18

T

40

20

0

V

Se notează:

Page 32: 1 (5)

Sistemul de ecuatii obtinut se va rezolva cu metoda aproximatiilor succesive. In acest sens, mai jos

este construit un algoritm care aplica etapele de deducere a solutiei.

mas M T( ) N 50

m last M0

Ci i 0

Ci j

Mi j

Mi i

j iif

j 0 mfor

C

i 0 mfor

Di

Ti

Mi i

D

i 0 mfor

x0

D

xk 1

C xk

D

x

k 0 Nfor

xN

\\ numarul de aproximari propuse;\\ indicele ultimului element de pe o coloana a matricei A;\\ formarea, cu ajutorul ins tructiunii for, a unei matrici cu diagonala principala nula si celelalte elemente calculate ca raport intre elementele matricei A;

\\ matricea C incarcata;

\\ formarea unui vector cu elemente calculate ca raport intre elementele lui B si a lui A;

\\ vectorul D incarcat;

\\ initializarea primei aproximatii cu valoarea vectorului D;\\ formula de recurenta a sis temului matriceal;\\ programul returneaza rezultatul numeric al ultimei iteratii;

Page 33: 1 (5)

Iciclici mas M T( ) Iciclici

5

1

2

A

Valorile curentilor reali din circuit:

I BT

Iciclici I

5

1

6

3

3

2

A

Se verifica bilantul puterilor :

Pg ET

I Pg 220( ) W \\ puterea generata;

PR IT

R I PR 220( ) W \\ puterea absorbita;

Iciclici lsolve M T( ) Iciclici

5

1

2

A

Funcţie predefinită în MathCad:

Page 34: 1 (5)

E1 3 V E2 12 V E5 10 V E6 4 V

R2 3 R3 6 R4 4 R5 4

r1 0.2 r6 0.18 \\ rezis tentele interne ale surselor 1 si 6;

R

r1

0

0

0

0

0

0

R2

0

0

0

0

0

0

R3

0

0

0

0

0

0

R4

0

0

0

0

0

0

R5

0

0

0

0

0

0

r6

Ohm R

0.2

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0.18

E

E1

E2

0

0

E5

E6

E

3

12

0

0

10

4

V

A

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal:A R1

AT

Ur A R1

E

R1

5

0

0

0

0

0

0

0.333

0

0

0

0

0

0

0.167

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

5.556

S

2. Să se rezolve ecuatia matriciala corespunzatoare MPN utilizand metoda

aproximatiilor succesive (Jacobi)

Page 35: 1 (5)

Se fac notatiile: T A R1

E M A R1

AT

T

11

26.222

24.722

amp M

5.5

0.5

0

0.5

6.056

5.556

0

5.556

6.056

mho

--> se pune sistemul sub forma:X X care poate fi apoi considerata recurenta;

Pentru solutionarea numerica a sistemului rezultat se foloseste metoda lui Jacobi

de aproximare a solutiilor.

ai j 0 i jif

ai j

Mi j

Mi i

otherwise

j 0 cols M( ) 1for

i 0 rows M( ) 1for

a

\\ inceperea instructiunilor for de iterare pentru trans formarea matricei;

\\ elementele de pe diagonala principala se fac 0;

\\ celelalte elemente se scriu dupa raportul dat;

Page 36: 1 (5)

0

0.083

0

0.091

0

0.917

0

0.917

0

\\ afisarea numeric al matricei ;

bi

Ti

Mi i

i 0 last T( )for

b

\\ procedeu analog de calcul pentru vectorul termenilor liberi, ;

2

4.33

4.083

V

x1

Ei i

i 0 last for

E

\\ initializarea primei aproximatii, cu valorile vectorului (fiecare element din se

incarca s i in x);

x1

2

4.33

4.083

V

m 250 i 1 m \\ numarul de iteratii propuse pentru determinarea solutiei; se reduce pana la valoarea la care solutia se stabilizeaza, fapt se observa din afisul numeric al procesului de iterare (convergent);

Page 37: 1 (5)

xi

xi 1

\\ formula de recurenta;

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

0 -2 -2.394 -2.068 -2.402 -2.126 -2.41 -2.175 -2.416 -2.217

0 -4.33 -0.75 -4.427 -1.387 -4.509 -1.928 -4.579 -2.387 -4.639

0 -4.083 -0.11 -3.395 -0.021 -2.81 0.055 -2.314 0.119 -1.893

V

sol

xk

xk 1

k 1 mfor

xm

\\ extragerea ultimei iteratii, care se adopta ca solutie a sis temului matriceal de ecuatii;

sol

2.45205479

4.97260273

0.47945205

V

U AT

Ur U

2.452

2.521

2.521

0.479

0.479

4.493

V

I1

I2

I3

I4

I5

I6

R1

U E( )

I1

I2

I3

I4

I5

I6

2.74

3.16

0.42

0.12

2.62

2.74

A

Page 38: 1 (5)

Seek first to understand,

then to be understood

Page 40: 1 (5)

Din colectia de Poze Japonia_

Noiembrie 2011

Page 41: 1 (5)

2.1. Metoda inversării matriceale

Se consideră sistemul liniar de n ecuaţii cu n necunoscute definit de

relaţia matricială Ax=b.

Dacă matricea A este nesingulară, atunci această relaţie se poate

înmulţi la stânga cu matricea inversă A-1 rezultând:

x = A-1 b

relaţie care evidenţiază clar cele două faze ale acestei metode: inversare

a matricei A şi efectuarea produsului matriceal A-1 b.

Metoda inversării matriceale necesită un timp de calcul relativ ridicat datorită

numărului mare de operaţii elementare, aplicarea ei fiind justificată numai în situaţiile

în care este necesară soluţionarea repetată a sistemului de forma Ax=b, pentru diferite

valori ale termenilor liberi pentru că inversarea matricii A se face o singura dată, la

prima rezolvare, la soluţionările următoare fiind necesară numai efectuarea înmulţirii

matriceale A-1 b.

2. METODE NUMERICE DIRECTE DE SOLUŢIONARE

A SISTEMELOR DE ECUAȚII

Recapitulare Algebra An I

Page 42: 1 (5)

2.2. Metoda lui Gauss ( eliminarea Gauss - triangularizare )

Într-un caz practic se poate ajunge la sisteme de forma: A x = b după

aplicarea unor metode specifice de rezolvare asupra unor circuite

electrice de curent continuu, ajungându-se la sistemul scris matricial:

ERIEIR 1

•R - matricea pătratică a rezistenţelor din circuit

•E - vectorul coloană a tensiunilor electromotoare ale surselor din circuit

•I - vectorul coloană a curenţilor necunoscuţi

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxa...xaxaxa

.........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

332211

33333232131

22323222121

11313212111

,

...

............

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

nb

b

b

b...

2

1

nx

x

x

x...

2

1

Page 43: 1 (5)

Ideea de bază a metodei constă în aducerea sistemului de ecuaţii prin

transformări elementare la o formă echivalentă, având matrice

superior sau inferior triunghiulară, urmată de rezolvarea sistemului

rezultat prin procedee recurente specifice, foarte eficiente.

Transformarea sistemului iniţial într-un sistem de formă triunghiulară

se realizează cu ajutorul a trei operaţii elementare sau de bază:

1. Interschimabrea a două ecuaţii între ele;

2. Înmulţirea unei ecuaţii cu o constantă nenulă;

3. Scăderea unei ecuaţii din alta şi înlocuirea celei de-a doua ecuaţie cu

rezultatul scăderii.

Transformarea sistemului este echivalentă cu eliminarea succesivă a

necunoscutelor din ecuaţii şi se numeşte faza eliminării.

Rezolvarea sistemului cu matrice triunghiulară constă în determinarea

necunoscutelor şi substituţia lor în ecuaţiile sistemului în ordine

inversă, fiind denumită din acest motiv faza substituţiei inverse.

Page 44: 1 (5)

Etapa eliminării

nnnnnnn

nn

)(n

)(n

)()(

bxa....xaxaxa

........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxax

332211

22323222121

11

113

1132

1121

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxa...xaxaxa

.........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Se elimină x1 din toate ecuaţiile cu excepţia primeia adică de exemplu la ecuaţia i:

1111111131113132111212

2211

a/babxa/aaa...xa/aaaxa/aaa

bxa...xaxa

iinniiniiii

ininii

)(nn

)(nn

)(n

)(n

)(n

)(n

)()(

)(n

)(n

)()(

bxa...xaxa

.......................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxax

113

132

12

12

123

1232

122

11

113

1132

1121

)(ii

)(i

)(jiij

)(ij

)(

j)(j

babb

n,...,,i;n,...,,j,aaaa

a

bb

n,...,,j,a

aa

111

1

111

1

11

111

11

111

3221

21

Obţinem astfel sistemul:

Page 45: 1 (5)

Matriceal, primul pas al metodei eliminării lui Gauss conduce la

1

12

11

2

1

112

12

1

22

11

1

12

0

0

1

nnnnn

n

n

b

...

b

b

x

...

x

x

a...a

............

a...a

a...a

Matriceal, la un pas oarecare k se obtine sistemul:

k

n

kk

n

k

knn

knk

kkn

nk

nk

b

...

b

...

b

b

x

...

x

...

x

x

a

...

a

.........

a......

............

a...a...

a...a...a2

2

11

2

1

1

22

22

11

11

112

00

100

10

1

1

1

k

kk

kkjk

kja

aa k

kjk

ikk

ijk

ij aaaa 11

kk

kik

ki

ki babb 11

;n,...,k,ki 21

knn

knnk

kk,n

kkn

kknk

kk,kk

nnkk,kk

nnkk,kk

bxa...xa

.......................................................................................................

bxa...xax

......................................................................................................

bxa...xaxa...xax

bxa...xaxa...xaxax

11

11

22

221

212

223

2232

11

111

111

113

1132

1121

Page 46: 1 (5)

Faza eliminării se încheie, împărţind cea de a n-a ecuaţie la elementul pivot 1nnna

care, pentru un sistem cu matrice nesingulară, trebuie să fie diferit de zero. Rezultă după acest

pas sistemul:

nn

kk

n

kk

kn

nk

nk

b

...

b

...

b

b

x

...

x

...

x

x

...

...

.........

a......

............

a...a...

a...a...a2

2

11

2

1

22

22

11

11

112

1000

100

10

1

nnn

nnkk,kk

nnkk,kk

bx

.......................................................................................................

bxa...xaxa...xax

bxa...xaxa...xaxax

22

221

212

223

2232

11

111

111

113

1132

1121

Din cele obţinute, observăm matricea A(n) este superior triunghiulară, iar sistemul este

echivalent cu cel iniţial Ax=b, adică are soluţia (x1, x2, x3,..., xn).

sau matriceal, A(n)x=b(n).

Page 47: 1 (5)

Faza substituţiei inverse (mersul înapoi)

presupune parcurgerea în sens invers a

ecuaţiilor sistemului cu matrice triunghiulară,

rezultat în faza eliminării, şi stabilirea soluţiei

sistemului potrivit unui calcul recursiv prin

substituţie regresivă începând cu xn din ultima

ecuaţie continuând cu xn-1 şi terminând cu x1

din prima ecuaţie:

31

1321

121

11

32

232

22

1

xaxabx

xabx

....................................

xabx

...................................

bx

)()()(

)()(

n

kjj

kkj

kkk

)n(nn

După cum se observă, determinarea componentelor soluţiei are loc de la indici mari

spre indici mici, fiecare nouă componentă depinzând în mod explicit numai de

componentele determinate la pasul anterior.

Observaţie. Metoda de eliminare Gauss permite şi calcularea determinantului

matricii sistemului. Se observă că, matricea A(n) a sistemului final fiind

triunghiulară, are determinantul egal cu produsul elementelor diagonale, adică: det

(A(n)) = 1

112

331

2211

n

nn)()(

)n(

a...aaa

AdetAdet

1233

12211

nnn

)()(a...aaaAdet

Page 48: 1 (5)

Exemplu numeric. Rezolvare circuite electrice

Având circuitul de curent continuu din figura de mai jos cu datele

numerice:

.VE,VE,R,R,R,R 908010151020 314321

să se determine curenţii din circuit utilizând teoremele lui Kirchhoff.

IIbuclaII

IbuclaII

BnodIII

AnodIII

801020

902510

0

0

21

32

321

321

332211 xI;xI;xI

801020

902510

0

0

21

32

321

321

xx

xx

xxx

xxx

Page 49: 1 (5)

Sistemul se va rezolva în continuare cu metoda eliminării versiunea Gauss.

Metoda presupune transformarea sistemului iniţial Ax = b într-un sistem

echivalent (soluţiile vor fi similare cu soluţiile sistemului iniţial) de forma

A*x =b* a cărui rezolvare este foarte simplă, simplitatea fiind asigurată de

matricea superior triunghiulară.

Rezolvarea va avea două etape:

a. Triangularizarea matricei A

b. Soluţionarea sistemului echivalent

Pentru cazul particular de rezolvare a circuitului de curent continuu, din exemplu,

matricea A augment (i se adaugă matricii sistemului A o coloană care corespunde cu

vectorul b) se scrie:

801020

902510

0

0

21

32

321

321

xx

xx

xxx

xxx

8001020

9025100

0111

0111

A~

Page 50: 1 (5)

801020

902510

0

1

20

1

10

21

32

321

321

xx

xx

xxx

;xxx

pivot

8001020

9025100

0111

0111

A~

802030

902510

00

0

32

32

321

xx

xx

xxx

8020300

9025100

0000

0111

1A~

00

802030

10

30902510

0

32

32

321

xx

xx

xxx

pivot

19095

902510

0

3

32

321

x

xx

xxx

1909500

9025100

01112A

~

Matricea A s-a transformat în matricea triangularizată A*=A(2)

Page 52: 1 (5)

Prin factorizarea unei matrice pătrate A de ordinul n se înţelege exprimarea

sa sub forma unui produs de alte două matrice de acelaşi ordin.

De regulă, matricile descompuse sunt de diferite forme speciale,

particulare, astfel alese încât să rezulte avantaje la aplicarea unor metode:

de soluţionare a sistemelor liniare de ecuaţii de dimensiuni mari din

aplicațiile practice (circuite electrice, câmp electromagnetic)

de determinare a valorilor proprii şi a vectorilor proprii din aplicațiile

practice (rețele electrice, compatibilitate electromagnetică)

2.3.1. Metoda factorizării LR (eliminarea Gauss reorganizată)

2.3. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii bazate pe

factorizarea LR a matricei coeficienţilor

Page 53: 1 (5)

A L R

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

l

l l

l l l

l l l l

r r r r

r r r

r r

r

n

n

n

n n n nn n n n nn

n

n

n

nn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

11

21 22

31 32 33

1 2 3

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0 0 0

0 0

0

0

0 0

0 0 0

Efectuând produsul matriceal, rezultă relaţiile care exprimă legătura dintre elementele

matricei A şi cele ale factorilor L şi R

a l r i n j ni j ik k jk

n

1

12 12, , , , , , , ,

Matrice pătrată A (ordin n)-exprimată sub forma unui produs de doua matrice:

L(inferior triunghiulară) şi R (superior triunghiulară) în condițiile:

Page 54: 1 (5)

a. Factorizarea LR Doolittle

A L R

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

l

l l

l l l

r r r r

r r r

r r

r

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

21

31 32

41 42 43

11 12 13 14

22 23 24

33 34

44

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1

0

0 0

0 0 0

Algoritmi particulari de factorizare LR:

a. LR Doolittle, lii = 1 , i = 1, 2, ..., n , elementele diagonale ale matricei L sunt 1.

b. LR Crout, rii = 1 , i = 1, 2, ..., n , elementele diagonale ale matricei R sunt egale cu 1.

c. LR Cholesky - dacă matricea A este simetrică, atunci R=Lt în acest caz numărul de

ecuaţii al sistemului este (n2+n)/2, similar cu numărul necunoscutelor, deci factorii

sunt univoc definiţi (nu este necesară fixarea valorilor unor elemente ale factorilor).

a r

a r

a r

a r

11 11

12 12

13 13

14 14

a l r

a l r r

a l r r

a l r r

21 21 11

22 21 12 22

23 21 13 23

24 21 14 24

a l r

a l r l r

a l r l r r

a l r l r r

31 31 11

32 31 12 32 22

33 31 13 32 23 33

34 31 14 32 24 34

a l r

a l r l r

a l r l r l r

a l r l r l r r

41 41 11

42 41 12 42 22

43 41 13 42 23 43 33

44 41 14 42 24 43 34 44

Page 55: 1 (5)

r a

r a

r a

r a

11 11

12 12

13 13

14 14

l a r

r a l r

r a l r

r a l r

21 21 11

22 22 21 12

23 23 21 13

24 24 21 14

/ l a r

l a l r r

r a l r l r

r a l r l r

31 31 11

32 32 31 12 22

33 33 31 13 32 23

34 34 31 14 32 24

/

( ) /

l a r

l a l r r

l a l r l r r

r a l r l r l r

41 41 11

42 42 41 12 22

43 43 41 13 42 23 33

44 44 41 14 42 24 43 34

/

( ) /

( ) /

Generalizând rezultatele obţinute, se obţine următorul algoritm LR Doolittle

a) se calculează elementele primei linii a factorului R

r a j nj j1 1 12 , , , ,

b) se calculează elementele liniei i , i = 2, 3, ..., n , a matricei L , respectiv a matricei R:

- primul element al liniei i a factorului L cu relaţia la

ri

i1

1

11

- elementele următoare ale liniei i a factorului L cu relaţia

l a l rr

j ii j i j ik k jk

j

j j

1

1 12 3 1, , , ,

- elementele liniei i a factorului R cu relaţia r a l r j i i ni j i j ik k jk

i

1

11, , , ,

Page 56: 1 (5)

b. Factorizarea LR Crout -Master

Elementele diagonale ale lui R sunt 1 : r i i = 1, i = 1, 2, ..., n

Se prezintă acea versiune a algoritmului care efectuează calculele “pe coloane”:

a) se calculează elementele primei coloane a factorului L

l a i ni i1 1 12 , , , ,

b) se calculează elementele coloanei j , j = 2, 3, ..., n , a factorilor R şi L :

- primul element al coloanei j a factorului R cu relaţia:

ra

lj

j1

1

11

- elementele următoare ale coloanei j a factorului R cu relaţia

r a l rl

i ji j i j ik k jk

i

ii

1

1 12 3 1, , , ,

- elementele coloanei j a factorului L cu relaţia

l a l r i j j ni j i j ik k jk

j

1

1

1, , , ,

Page 57: 1 (5)

c. Factorizarea LR Cholesky (metoda rădăcinii pătrate) - MASTER

LR Cholesky se aplică pentru matricele simetrice- relaţia generală de factorizare

Algoritmul metodei:

a) se calculează elementele primei coloane a factorului L:

- elementul diagonal - elementele nediagonale

1111 al

tLLA

b) se calculează elementele coloanei j , j = 2, 3, ..., n , a factorului L :

- elementele diagonale - elementele nediagonale

la

li ni

i1

1

11

2 3 , , , ,

l a l ll

i j j ni j i j jk ikk

j

j j

1

1 11 2, , , ,l a lj j j j jk

k

j

2

1

1

Page 58: 1 (5)

Pasul 1. Se setează originea la 1. Se introduce matricea A și se definesc vectorii i și j:

Pasul 2. Se inițializează matricile L și R:

Pasul 3. Se calculează elementele primei linii a factorului R.

R1 j

A1 j

R

8

0

0

0

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

Aplicatie numerica-Factorizare LR Doolitle – Implementare MathCad

Page 59: 1 (5)

Pasul 4. Se calculează elementele liniei i=2,n a matricei L, respectiv a matricei R

- primul element al liniei i a factorului L cu următoarea relaţie:

i 2 n

Li 1

Ai 1

R1 1

L

1

0.125

0

0.375

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

M

Li j

Ai j

1

j 1

k

Li k

Rk j

1

Rj j

j iif

Ri j

Ai j

1

i 1

k

Li k

Rk j

otherwise

j 2 nfor

i 2 nfor

M1

L

M2

R

Implementarea algoritmului în paleta de programare

Page 60: 1 (5)

Pasul 5. Se verifică rezultatele

Page 61: 1 (5)

Aplicatie numerica-Factorizare LR Doolitle – Implementare temă

r a j nj j1 1 12 , , , ,

la

ri

i1

1

11

l a l rr

j ii j i j ik k jk

j

j j

1

1 12 3 1, , , ,

i = 2, 3, ..., n

r a l r j i i ni j i j ik k jk

i

1

11, , , ,

Page 62: 1 (5)

Analiza evoluţiei şi a rezultatelor celor două procese de factorizare evidenţiază clar

posibilitatea utilizării unui singur tablou (poate fi chiar tabloul care conţine la început

matricea A), cu observaţia că elementele diagonale ale factorului L (algoritmul

Doolittle) sau cele ale lui R (algoritmul Crout) au valorile subînţelese!

Aplicatie numerica-Factorizare LR Crout – Implementare temă

Page 63: 1 (5)

A

5 4 2 04 7 3 12 3 2 10 1 1 3

Aplicatie numerica-Factorizare LR cu algoritmul Cholesky - MASTER

tLLA

1111 al la

li ni

i1

1

11

2 3 , , , ,

l a l ll

i j j ni j i j jk ikk

j

j j

1

1 11 2, , , ,l a lj j j j jk

k

j

2

1

1

Page 64: 1 (5)

Exemplu: Factorizarea unor matrice utilizate la calculul circulaţiei de puteri în

sistemele electroenergetice complexe

Se consideră sistemul energetic pentru care se cunosc atât configuraţia şi parametrii

elementelor de reţea, cât şi puterile active şi reactive, generate şi consumate, în

fiecare nod.

Considerând că nodul 4 este nodul de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru

care se cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă

şi reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul

nodurilor, puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare,

circulaţiile de puteri pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe

fiecare element în parte).

Page 65: 1 (5)

Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei de

puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.

Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de 6 ecuaţii neliniare, care se

soluţionează cu metodele numerice care vor fi prezentate în Cursul 6.

Dacă se utilizează metode de tip Newton, atunci la fiecare iteraţie trebuie rezolvat un

sistem de 6 ecuaţii liniare sau două sisteme de câte 3 ecuaţii. Aplicarea lor implică

factorizarea matricei coeficienţilor.

Pentru exemplul considerat, matricea coeficienţilor sistemului liniar este de ordinul 6,

iar submatricele A1 şi A4 cuprind coeficienţii pentru cele două sisteme de ordin 3 .

Pentru rezolvarea sistemului avem nevoie de factorizarea matricea simetrică A1 cu

algoritmul LR Cholesky, și matricea A cu algoritmul LR Doolittle

Page 66: 1 (5)

Factorizarea matricei simetrice A1 cu algoritmul LR Cholesky- MASTER

Evoluţia calculelor, efectuate în ordinea coloanelor, şi rezultatele finale:

Page 67: 1 (5)

Factorizarea LR Doolittle a matricei A

Factorizarea LR a matricei A s-a realizat cu algoritmul LR Doolittle - factorii L şi R

sunt sunt partiţionaţi în aceeaşi manieră ca şi matricea A, pentru a facilita formularea

unor concluzii referitoare la submatricele factorilor

Page 68: 1 (5)

Pentru matricea test considerată s-au obţinut următoarele valori ale timpului de calcul:

inversare prin reducere la matricea unitate - 220 ms ;

inversare cu algoritmul Leverrier - 3355 ms ;

factorizare LR Doolittle - 110 ms ;

factorizare LR Crout - 110 ms ;

factorizare LR Cholesky - 55 ms ;

factorizare QR - 440 ms .

Se consideră utile următoarele comentarii legate de timpii de calcul:

algoritmul Leverrier este o metodă ineficientă de inversare în comparaţie cu

reducerea la matricea unitate prin eliminare Gauss (se utilizează, de fapt, la calculul

valorilor proprii, inversa fiind un rezultat suplimentar);

pentru algoritmele LR Doolittle şi Crout timpul de calcul este identic, iar pentru LR

Cholesky este circa jumătate (se calculează, efectiv, doar un singur factor);

pentru factorizarea QR timpul de calcul este mai mare decât pentru factorizările LR.

Page 69: 1 (5)

2.3.2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii utilizând factorizarea LR a matricei

coeficienţilor

Această clasă de metode directe se bazează pe factorizarea LR a matricei A:

A x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

n n

n n n nn n n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

a x b i ni j j ij

n

1

12, , , ,

A

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n

n n n nn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

b [ ]b b b bn

t1 2 3

x [ ]x x x xnt

1 2 3

Aceasta permite rezolvarea sistemului iniţial de ecuaţii prin rezolvarea consecutivă a

două sisteme triunghiulare:

byL;yxRbxA

1-direct 2-invers

bxAbLLxRLbLxRbyL,yxRI

1

A

1

t

n321 yyyyy ][

Page 70: 1 (5)

Sistemele (1) şi (2) se rezolvă simplu, deoarece pentru prima dintre ele matricea

coeficienţilor este inferior triunghiulară, iar pentru a doua este superior, triunghiulară

l y b

l y l y b

l y l y l y b

l y l y l y l y bn n n nn n n

11 1 1

21 1 22 2 2

31 1 32 2 33 3 3

1 1 2 2 3 3

yb

l1

1

11

yl

b l y i niii

i i j jj

i

1

2 31

1, , , ,

r x r x r x r x y

r x r x r x y

r x r x y

r x y

n n

n n

n n

nn n n

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

xy

rn

n

nn

xr

y r x i n niii

i i j jj i

n

1

1 2 11

, , , ,

A L R

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

l

l l

l l l

l l l l

r r r r

r r r

r r

r

n

n

n

n n n nn n n n nn

n

n

n

nn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

11

21 22

31 32 33

1 2 3

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0 0 0

0 0

0

0

0 0

0 0 0

t

n321 yyyyy ][ Ly=b

Rx=y x [ ]x x x xnt

1 2 3

Page 71: 1 (5)

În concluzie, algoritmul general al metodei de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

bazate pe factorizarea LR este următorul:

se efectuează factorizarea LR a matricei A ;

se rezolvă sistemul Ly=b;

se rezolvă sistemul Rx=y, soluţia obţinută fiind chiar cea a sistemului Ax=b.

Metodele bazate pe factorizarea LR a matricei coeficienţilor necesită un timp de

calcul mai scazut decat metoda triunghiularizării. Dacă se utilizează la soluţionarea

repetată a sistemului de forma Ax=b, pentru diferite valori ale termenilor liberi, atunci

factorizarea matricei A se face o singură dată, la prima rezolvare. La soluţionările

următoare se rezolvă numai sistemele Ly=b şi Rx=y.

Metodele particulare de soluţionarea a sistemelor de ecuaţii liniare, se diferenţiază

între ele prin algoritmul de factorizare utilizat: LR Doolittle, LR Crout sau LR

Cholesky.

Page 72: 1 (5)

APLICATIE - Soluţionarea unui sistem de ecuaţii liniare

Se consideră sistemul de 4 ecuaţii liniare, pentru care A este matricea coeficienţilor, iar

b vectorul termenilor liberi. Se cere să se rezolve sistemul cu metoda factorizarii LR

Doolitle.

8 2 18

6 2 3 8

4 3 2 4 6

3 3 10 7

1 2 3

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

x x x

x x x x

x x x

x x x x

, ,

Metoda factorizării LR Doolitle

Calculele se fac cu algoritmul prezentat anterior, iar factorizarea LR Doolittle a

matricei A este calculată în aplicaţia numerica (slide 25)

Page 73: 1 (5)

8 000 2 000 1000 0 000 18 000

6 250 1875 3 000 5 750

4 000 2 480 5 520

6 650 6 650

1 2 3 4

2 3 4

3 4

4

, , , , ,

, , , ,

, , ,

, ,

x x x x

x x x

x x

x

Rezultă sistemul inferior triunghiular şi cel superior triunghiular

1 18 000

0125 1 8 000

0 000 0160 1 4 600

0 375 0 600 0 625 1 7 000

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

y

y y

y y y

y y y y

,

, ,

, , ,

, , , ,

Ly=b

Rx=y

soluţia obţinută fiind chiar cea a sistemului Ax=b

Page 74: 1 (5)
Page 75: 1 (5)

22

Proactive

Habit 1 Be Proactive

stop think choose act

Page 76: 1 (5)

Habit 1

Proactive language

• I’ll do it.

• I can do better than that.

• Let’s look at all options.

• I choose to.

• There’s got to be a way.

• I’m not going to let your

bad mood rub off on me.

Reactive language

• I’ll try.

• That’s just the way I am.

• There’s nothing I can do.

• I can’t help it.

• I have to.

• You’ve ruined my day.

Page 77: 1 (5)

Habit 1 – Be proactive

Proactive people

• Take initiative to

make it happen.

• Think about solutions

and options.

• Act.

Reactive people

• Wait for something to

happen to them.

• Think about problems

and barriers.

• Are acted upon.

Page 78: 1 (5)