1 (5)
78
Curs 3 - 6. METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE A SISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE INGINERIEI ELECTRICE Prof.dr. ing. mat. Dan D. MICU Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected] Metode Numerice Inginerie Electrica an II 2015-2016
Transcript of 1 (5)
Curs 3 - 6.
METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE A
SISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE
INGINERIEI ELECTRICE
Prof.dr. ing. mat. Dan D. MICU
Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice
Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
E-mail: [email protected]
Metode Numerice
Inginerie Electrica an II
2015-2016
Curs 5+6.
Prof. dr. ing. mat. Dan D. MICU
Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice
Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică
E-mail: [email protected]
Metode Numerice
Inginerie Electrica an II
2015-2016
METODE NUMERICE DIRECTE SI ITERATIVE DE REZOLVARE A
SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE
Program de…gimnastică…pregătire pentru cursuri…antrenați mintea
Exemple de aplicații din ingineria electrică care implică rezolvarea
unor sisteme de ecuaţii liniare sau neliniare de mari dimensiuni
Localizarea obiectelor inaccesibile din subteran, prin măsurători
ale câmpului magnetic reflectat; model integral discretizat într-un
sistem de ecuaţii şi rezolvat numeric prin descompunere după
valorile singulare;
Proiectarea dispozitivelor de stimulare magnetică a ţesuturilor
nervoase;
Optimizarea poziţionării bobinelor de radiofrecvenţă din cadrul
dispozitivelor de imagistică medicala
Diagnosticarea non-distructivă a gradului de coroziune a
structurilor metalice din construcţiile de beton armat – poduri;
Minimizarea costurilor de producţie prin CAM (computer aided
manufacturing) în fabricaţia aparatelor de iluminat;
Identificarea spaţială a curenţilor de întoarcere ai trăsnetelor din
măsurători ale câmpului electric şi magnetic în momentul
impactului;
Proiectarea optimală a unui motor electric de curent continuu fără
perii colectoare (brushless DC drive);
Diagnosticarea defectelor de izolaţie din maşinile electrice pe baza
aproximării inducţiei câmpului magnetic din întrefier, prin
măsurarea câmpului magnetic de suprafaţă;
Proiectarea separatoarelor magnetice – determinarea configuratiei
şi numarului de spire ale bobinelor de separare magnetică;
Identificarea depunerilor de distribuţie de sarcină electrică în zona
punctului triplu din întreruptoarele automate de medie tensiune;
Proiectarea bobinelor de tratament magnetic;
Circuitele electrice neliniare sau circuitele în regim tranzitoriu se
reduc în final la rezolvarea unor circuite electrice liniare
Proiectarea bobinelor shunt pentru compensarea energiei reactive
capacitive a cablurilor;
Proiectarea senzorilor inductivi de poziţie de pe utilajele de
prelucrare mecanică, CNC;
Proiectarea senzorilor inductivi de viteză.
Modelul matematic corespunzător este constituit dintr-un sistem de n ecuaţii neliniare
complexe (n+numărul nodurilor din SEN) de forma
n,,,i,*SUY*UUY*Uf i
n
ijj
jjiiiiiii2100
1
j
Calculul circulatiilor de puteri intr-un sistem electroenergetic
Considerând nodul 4 - nod de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru care se
cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă şi
reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul nodurilor,
puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare, circulaţiile de puteri
pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe fiecare element în parte).
Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei
de puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.
Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de ecuaţii de mari dimensiuni,
care se soluţionează cu metode numerice.
Analiza stabilităţii la mici perturbaţii a sistemelor electroenergetice
(Complemente de matematici - MASTER)
Se consideră un sistem electroenergetic, format din 3 generatoare, 3 transformatoare, 6 linii
electrice aeriene (220 kV) şi 3 consumatori.
Se cunosc parametrii elementelor de sistem şi caracteristicile unui regim concret de funcţionare.
Se cere să se analizeze stabilitatea naturală a sistemului la mici perturbaţii (perturbaţia constă
dintr-un şoc de putere activă de valoare relativ redusă într-unul din nodurile sistemului).
Stabilitatea naturală presupune analiza comportării dinamice a sistemului electroenergetic în
absenţa sistemelor de reglare automată (a excitaţiei şi a vitezei) a generatoarelor sincrone
(modelate printr-o tensiune constantă în spatele unei reactanţe)
P44 3 2
0 00948 257 5560 1249447 13960 2 0( ) , , , ,
12
3 4
0 00233 13 416
0 00251 8 807
,
,
, ,
, ,
j
jvalorile proprii
2 perechi de valori proprii complexe conjugate, cu partea reală negativă.
În consecinţă, sistemul este stabil natural la perturbaţia de intensitate redusă
considerată.
Pulsaţiile naturale de oscilaţie sunt: 13,416 rad/s şi 8,807 rad/s , ceea ce
corespunde unor frecvenţe de aproximativ 2,14 Hz (perioadă de 0,47 s ) , respectiv
1,40 Hz (perioadă de 0,71 s ).
0)A()A( IIdetP4
Rezolvarea unui circuit complex de mari dimensiuni
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0
Probleme din domeniul ingineriei electrice conduc la modele matematice care implică în
fapt rezolvarea unor sisteme de ecuaţii liniare de dimensiuni mari (Curs 3)
-rezolvarea unui circuit electric, scrierea teoremelor lui Kirchhoff, a metodei
curenţilor ciclici, potenţiale noduri etc.
-modelarea numerică a funcţionării maşinilor electrice, hidraulice sau termice;
-analiza şi optimizarea regimurilor de funcţionare a sistemelor electroenergetice
-modelarea numerică a funcţionării aparatelor şi echipamentelor electrice.
Dacă modelul este neliniar, poate fi liniarizat în primă aproximaţie, o singură dată sau la
fiecare pas al unui proces iterativ de soluţionare.
nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa
.............................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
nnnnn
n
n
n
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A
321
3333231
2232221
1131211
nb
...
b
b
b2
1
nx
...
x
x
x2
1
bxA
Notaţia matriceală conduce la o formulare simplă şi concisă a unor aplicaţii deosebit de complexe, mai ales în situaţiile în care modelul matematic conţine sisteme de ecuaţii liniare de
dimensiuni mari. (Curs Algebra Liniara AnI)
• Sisteme bine condiţionate – Master - Complemente de matematici
• Sisteme rău condiţionate - Master - Complemente de matematici
• Sisteme omogene
• Sisteme neomogene
În unele cazuri, sistemele de ecuaţii algebrice liniare apar în mod
natural, din însăşi formularea problemei. În multe alte cazuri, însă,
sistemele de ecuaţii liniare rezultă ca urmare a aplicării unor metode
numerice de rezolvare a problemei iniţiale.
Se poate spune că rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare joacă un rol
central în cadrul metodelor numerice.
Există 2 categorii de metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare
de forma Ax = b:
- metode directe sau “exacte”;
- metode indirecte sau “iterative”.
În aplicaţiile din ingineria electrică- valorile coeficienţilor şi termenilor liberi pot fi afectate
de erori (determinări experimentale, calcule "aproximative“, ipoteze simplificatoare, etc)
-măsura în care ele influenţează soluţiile sistemelor de ecuaţii liniare-conditionare
(Master - Complemente de matematici)
Metodele directe
- soluţia sistemului rezultă printr-o serie de operaţii care se
execută o singură dată, numărul total de operaţii aritmetice elementare
fiind finit, depinzând în mod direct de dimensiunea sistemului, fiind
cunoscut de la început.
- rezultatul furnizat de metodele directe este afectat doar de
erorile de rotunjire şi acest avantaj face ca ele să fie preferate ori de câte
ori dimensiunea şi particularităţile sistemului păstrează numărul de
operaţii în limite acceptabile.
Exemple de metode directe se pot aminti:
•metoda lui Cramer bazată pe calculul determinanţilor;
•metoda inversării matriciale
•metoda de eliminare a lui Gauss;
•metoda factorizării directe LU (Lower-Upper). – Master - Complemente de
matematici
Metoda lui Cramer deşi în esenţă foarte simplă, nu corespunde cerinţelor practice când
numărul de ecuaţii este mai mare ca 3 şi când determinantul corespunzător matricii
sistemului este zero ea fiind în general neimplementabilă.
Metode iterative
- soluţia se obţine printr-o serie (proces) de aproximaţii
succesive, fiecare secvenţă de operaţii aritmetice elementare (mai mic
decât la metodele directe) este parcursă de mai multe ori, obtinându-se
aproximaţii din ce în ce mai bune ale soluţiei până la atingerea unei
precizii fixate dinainte (precizie dorită). Aceste metode permit obţinerea
soluţiei numerice a unui sistem de ecuaţii prin generarea unui şir care
tinde la soluţia exactă.
- practic se poate efectua numai un număr finit de iteraţii,
erorile de rotunjire sunt însoţite în cazul metodelor iterative şi de erori
de trunchiere.
Avantaj al metodelor iterative: simplitatea şi eficienţa implementării
lor în programe, în cazurile în care nu sunt rezolvabile prin metode
directe.
Exemple de metode iterative:
• metoda lui Jacobi;
• metoda Gauss-Seidel – Master - Complemente de matematici
• metoda relaxării – Master - Complemente de matematici
MIT concept…
1. METODE ITERATIVE DE SOLUŢIONARE
În aplicaţiile practice în care de obicei matricea coeficienţilor sistemului
A este de dimensiuni mari şi numărul elementelor diferite de zero ale
acestei matrici este foarte mic atunci metoda eliminării a lui Gauss (An I
Algebra) nu este cea mai indicată metodă de rezolvare a sistemului.
În aceste cazuri tehnicile de eliminare vor fi încetinite mult datorită
spaţiului mare de memorie necesar pentru a putea lucra cu aceste matrici
de mari dimensiuni dar şi faptul că elementele zero din matricea iniţială
(impedantele de cuplaj mutual) ar fi transformate în elemente diferite
de zero după triangularizare.
Deci aceste sisteme de mari dimensiuni care apar in aplicatiile practice se
vor rezolva cu metode iterative.
O clasă importantă de metode iterative este clasa metodelor de separare
prin care matricea sistemului A este separată în două părţi (2 matrici
particulare separate).
1.1. Metoda aproximărilor succesive - Jacobi
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa
.........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
,
...
............
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
nb
b
b
b...
2
1
nx
x
x
x...
2
1
EIZ;EIR
bxA
0Adet
0ija
nnnnnnn
nn
nn
x...xxx
.......................................................
x...xxx
x...xxx
2211
222221212
112121111
xx
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
a
b...
a
b
a
b
...a
a
a
a............
a
a...
a
a
a
a...
a
a
22
2
11
1
21
22
2
22
21
11
1
11
12
0
0
0
Tn)( x...xxx 00
20
10
)(x 0
Se alege vectorul aproximaţiilor iniţiale ale soluţiilor
care se obţine prin măsurători experimentale sau se alege de obicei în aplicaţiile practice
ca fiind egal cu vectorul termenilor liberi
.
,..., )2()1( xx
)1k()k( xx
Metoda lui Jacobi presupune calculul unui şir de aproximaţii succesive
cu ajutorul formulei de iterare într-un pas care se demonstrează prin inducţie:
)()( xx 01
xx,...,x,xlimxlim kn
kk
k
)k(
k
21
Vectorul soluţie după prima iteraţie k=1, este:
Dacă şirul vectorilor soluţii la iteraţia k, x(k) care este un şir de soluţii aproximative,
converge, atunci limita lui este soluţie a sistemului Ax = b:
Demonstraţie 1 pe tabla - Convergenţa metodei Jacobi
1
1k
kxxer
Demonstraţie 2 pe tabla
Evaluarea erorii în metoda aproximaţiilor succesive - Jacobi
204080040
91503090
80802404
321
321
321
xx.x.
x.xx.
x.x.x
bxA
4
1204080040
3
191503090
4
180802404
321
321
321
xx.x.
x.xx.
x.x.x
4080040
1503090
0802404
..
..
..
A
3
2
1
x
x
x
x
20
9
8
b
xx
Exemplu numeric:
213
312
321
0200105
0500303
0200602
x.x.x
x.x.x
x.x.x
;
..
..
..
0020010
0500030
0200600
3
2
1
x
x
x
x
5
3
2
xx
x
x
x
..
..
..
x
x
x
3
2
1
3
2
1
0020010
0500030
0200600
5
3
2
xx
x
x
x
..
..
..
x
x
x
3
2
1
3
2
1
0020010
0500030
0200600
5
3
2
Aproximaţia iniţială:
5
3
2
03
02
01
0
x
x
x
x
03
02
01
13
12
11
01
0020010
0500030
0200600
5
3
2
x
x
x
..
..
..
x
x
x
xx
0453020201050200105
1935050203030500303
9215020306020200602
02
01
13
03
01
12
03
02
11
...x.x.x
...x.x.x
...x.x.x
La prima iteraţie:
045
193
921
13
12
11
1
.
.
.
x
x
x
xSoluţia la prima iteraţie :
xx
13
12
11
23
22
21
12
0020010
0500030
0200600
5
3
2
x
x
x
..
..
..
x
x
x
xx
0446519302092101050200105
1944304505092103030500303
9202104502019306020200602
12
11
23
13
11
22
13
12
21
.....x.x.x
.....x.x.x
.....x.x.x
Soluţia la iteraţia a doua se obţine din soluţia de la prima iteraţie:
Metoda converge şi soluţiile se stabilizează dupa a doua iteraţie şi se pot scrie ca fiind:
04465
19443
92021
.
.
.
x
Se rezolvă sistemul în
programul MathCad
pentru a vedea toate
soluţiile şi pentru a stabili
câte iteraţii sunt necesare
pentru ca eroarea să fie
într-o limită impusă apriori.
Introducem matrici le care compun sistemul: x x
0
0.03
0.01
0.06
0
0.02
0.02
0.05
0
2
3
5
k 0 10 \\ numarul de iterati i
x0
2
3
5
\\ aproximatia initiala
xk 1
xk
\\ procesul i terativ
Aproximati i le succesive pe care le face metoda sunt:
1
1k
kxxer
Evaluarea erorii în metoda aproximaţiilor succesive în funcţie de normele lui α, β este:
Ştiind că procesul iterativ converge, câte iteraţii trebuie făcute pentru ca eroarea să fie
mai mică decât 10-4.
Deci numărul de iteraţii care trebuie făcute pentru a se atinge precizia impusă este k=4 iar soluţia
la ultima iteraţie este soluţia sistemului:
Observaţie: Metoda se poate aplica şi pentru sisteme neliniare.
APLICATII IN
TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE
IMPLEMENTARE IN MATHCAD
E1 40 V E2 20 V
R1 2 R2 2 R3 1
R4 8 R5 4 R6 6
B T Bq1
T augment T Bqj
j 2 cols Bq( ) 1for
T
B
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1. Să se rezolve ecuatia matriciala corespunzatoare MCC utilizand metoda
aproximatiilor succesive (Jacobi)
Rezolvarea matriceala prin metoda curentilor ciclici
BT
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
R
R1
0
0
0
0
0
0
R2
0
0
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
0
0
R4
0
0
0
0
0
0
R5
0
0
0
0
0
0
R6
Ohm R
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
6
E
E1
E2
0
0
0
0
E
40
20
0
0
0
0
V
Ecuatia matriceala a curentilor ciclici: B R BT
Iciclici B E
M B R BT
T B E
M
11
1
8
1
7
4
8
4
18
T
40
20
0
V
Se notează:
Sistemul de ecuatii obtinut se va rezolva cu metoda aproximatiilor succesive. In acest sens, mai jos
este construit un algoritm care aplica etapele de deducere a solutiei.
mas M T( ) N 50
m last M0
Ci i 0
Ci j
Mi j
Mi i
j iif
j 0 mfor
C
i 0 mfor
Di
Ti
Mi i
D
i 0 mfor
x0
D
xk 1
C xk
D
x
k 0 Nfor
xN
\\ numarul de aproximari propuse;\\ indicele ultimului element de pe o coloana a matricei A;\\ formarea, cu ajutorul ins tructiunii for, a unei matrici cu diagonala principala nula si celelalte elemente calculate ca raport intre elementele matricei A;
\\ matricea C incarcata;
\\ formarea unui vector cu elemente calculate ca raport intre elementele lui B si a lui A;
\\ vectorul D incarcat;
\\ initializarea primei aproximatii cu valoarea vectorului D;\\ formula de recurenta a sis temului matriceal;\\ programul returneaza rezultatul numeric al ultimei iteratii;
Iciclici mas M T( ) Iciclici
5
1
2
A
Valorile curentilor reali din circuit:
I BT
Iciclici I
5
1
6
3
3
2
A
Se verifica bilantul puterilor :
Pg ET
I Pg 220( ) W \\ puterea generata;
PR IT
R I PR 220( ) W \\ puterea absorbita;
Iciclici lsolve M T( ) Iciclici
5
1
2
A
Funcţie predefinită în MathCad:
E1 3 V E2 12 V E5 10 V E6 4 V
R2 3 R3 6 R4 4 R5 4
r1 0.2 r6 0.18 \\ rezis tentele interne ale surselor 1 si 6;
R
r1
0
0
0
0
0
0
R2
0
0
0
0
0
0
R3
0
0
0
0
0
0
R4
0
0
0
0
0
0
R5
0
0
0
0
0
0
r6
Ohm R
0.2
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0.18
E
E1
E2
0
0
E5
E6
E
3
12
0
0
10
4
V
A
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal:A R1
AT
Ur A R1
E
R1
5
0
0
0
0
0
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0.167
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
5.556
S
2. Să se rezolve ecuatia matriciala corespunzatoare MPN utilizand metoda
aproximatiilor succesive (Jacobi)
Se fac notatiile: T A R1
E M A R1
AT
T
11
26.222
24.722
amp M
5.5
0.5
0
0.5
6.056
5.556
0
5.556
6.056
mho
--> se pune sistemul sub forma:X X care poate fi apoi considerata recurenta;
Pentru solutionarea numerica a sistemului rezultat se foloseste metoda lui Jacobi
de aproximare a solutiilor.
ai j 0 i jif
ai j
Mi j
Mi i
otherwise
j 0 cols M( ) 1for
i 0 rows M( ) 1for
a
\\ inceperea instructiunilor for de iterare pentru trans formarea matricei;
\\ elementele de pe diagonala principala se fac 0;
\\ celelalte elemente se scriu dupa raportul dat;
0
0.083
0
0.091
0
0.917
0
0.917
0
\\ afisarea numeric al matricei ;
bi
Ti
Mi i
i 0 last T( )for
b
\\ procedeu analog de calcul pentru vectorul termenilor liberi, ;
2
4.33
4.083
V
x1
Ei i
i 0 last for
E
\\ initializarea primei aproximatii, cu valorile vectorului (fiecare element din se
incarca s i in x);
x1
2
4.33
4.083
V
m 250 i 1 m \\ numarul de iteratii propuse pentru determinarea solutiei; se reduce pana la valoarea la care solutia se stabilizeaza, fapt se observa din afisul numeric al procesului de iterare (convergent);
xi
xi 1
\\ formula de recurenta;
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
0 -2 -2.394 -2.068 -2.402 -2.126 -2.41 -2.175 -2.416 -2.217
0 -4.33 -0.75 -4.427 -1.387 -4.509 -1.928 -4.579 -2.387 -4.639
0 -4.083 -0.11 -3.395 -0.021 -2.81 0.055 -2.314 0.119 -1.893
V
sol
xk
xk 1
k 1 mfor
xm
\\ extragerea ultimei iteratii, care se adopta ca solutie a sis temului matriceal de ecuatii;
sol
2.45205479
4.97260273
0.47945205
V
U AT
Ur U
2.452
2.521
2.521
0.479
0.479
4.493
V
I1
I2
I3
I4
I5
I6
R1
U E( )
I1
I2
I3
I4
I5
I6
2.74
3.16
0.42
0.12
2.62
2.74
A
Din colectia de Poze Japonia_
Noiembrie 2011
2.1. Metoda inversării matriceale
Se consideră sistemul liniar de n ecuaţii cu n necunoscute definit de
relaţia matricială Ax=b.
Dacă matricea A este nesingulară, atunci această relaţie se poate
înmulţi la stânga cu matricea inversă A-1 rezultând:
x = A-1 b
relaţie care evidenţiază clar cele două faze ale acestei metode: inversare
a matricei A şi efectuarea produsului matriceal A-1 b.
Metoda inversării matriceale necesită un timp de calcul relativ ridicat datorită
numărului mare de operaţii elementare, aplicarea ei fiind justificată numai în situaţiile
în care este necesară soluţionarea repetată a sistemului de forma Ax=b, pentru diferite
valori ale termenilor liberi pentru că inversarea matricii A se face o singura dată, la
prima rezolvare, la soluţionările următoare fiind necesară numai efectuarea înmulţirii
matriceale A-1 b.
2. METODE NUMERICE DIRECTE DE SOLUŢIONARE
A SISTEMELOR DE ECUAȚII
Recapitulare Algebra An I
2.2. Metoda lui Gauss ( eliminarea Gauss - triangularizare )
Într-un caz practic se poate ajunge la sisteme de forma: A x = b după
aplicarea unor metode specifice de rezolvare asupra unor circuite
electrice de curent continuu, ajungându-se la sistemul scris matricial:
ERIEIR 1
•R - matricea pătratică a rezistenţelor din circuit
•E - vectorul coloană a tensiunilor electromotoare ale surselor din circuit
•I - vectorul coloană a curenţilor necunoscuţi
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa
.........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
,
...
............
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
nb
b
b
b...
2
1
nx
x
x
x...
2
1
Ideea de bază a metodei constă în aducerea sistemului de ecuaţii prin
transformări elementare la o formă echivalentă, având matrice
superior sau inferior triunghiulară, urmată de rezolvarea sistemului
rezultat prin procedee recurente specifice, foarte eficiente.
Transformarea sistemului iniţial într-un sistem de formă triunghiulară
se realizează cu ajutorul a trei operaţii elementare sau de bază:
1. Interschimabrea a două ecuaţii între ele;
2. Înmulţirea unei ecuaţii cu o constantă nenulă;
3. Scăderea unei ecuaţii din alta şi înlocuirea celei de-a doua ecuaţie cu
rezultatul scăderii.
Transformarea sistemului este echivalentă cu eliminarea succesivă a
necunoscutelor din ecuaţii şi se numeşte faza eliminării.
Rezolvarea sistemului cu matrice triunghiulară constă în determinarea
necunoscutelor şi substituţia lor în ecuaţiile sistemului în ordine
inversă, fiind denumită din acest motiv faza substituţiei inverse.
Etapa eliminării
nnnnnnn
nn
)(n
)(n
)()(
bxa....xaxaxa
........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxax
332211
22323222121
11
113
1132
1121
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxa...xaxaxa
.........................................................
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Se elimină x1 din toate ecuaţiile cu excepţia primeia adică de exemplu la ecuaţia i:
1111111131113132111212
2211
a/babxa/aaa...xa/aaaxa/aaa
bxa...xaxa
iinniiniiii
ininii
)(nn
)(nn
)(n
)(n
)(n
)(n
)()(
)(n
)(n
)()(
bxa...xaxa
.......................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxax
113
132
12
12
123
1232
122
11
113
1132
1121
)(ii
)(i
)(jiij
)(ij
)(
j)(j
babb
n,...,,i;n,...,,j,aaaa
a
bb
n,...,,j,a
aa
111
1
111
1
11
111
11
111
3221
21
Obţinem astfel sistemul:
Matriceal, primul pas al metodei eliminării lui Gauss conduce la
1
12
11
2
1
112
12
1
22
11
1
12
0
0
1
nnnnn
n
n
b
...
b
b
x
...
x
x
a...a
............
a...a
a...a
Matriceal, la un pas oarecare k se obtine sistemul:
k
n
kk
n
k
knn
knk
kkn
nk
nk
b
...
b
...
b
b
x
...
x
...
x
x
a
...
a
.........
a......
............
a...a...
a...a...a2
2
11
2
1
1
22
22
11
11
112
00
100
10
1
1
1
k
kk
kkjk
kja
aa k
kjk
ikk
ijk
ij aaaa 11
kk
kik
ki
ki babb 11
;n,...,k,ki 21
knn
knnk
kk,n
kkn
kknk
kk,kk
nnkk,kk
nnkk,kk
bxa...xa
.......................................................................................................
bxa...xax
......................................................................................................
bxa...xaxa...xax
bxa...xaxa...xaxax
11
11
22
221
212
223
2232
11
111
111
113
1132
1121
Faza eliminării se încheie, împărţind cea de a n-a ecuaţie la elementul pivot 1nnna
care, pentru un sistem cu matrice nesingulară, trebuie să fie diferit de zero. Rezultă după acest
pas sistemul:
nn
kk
n
kk
kn
nk
nk
b
...
b
...
b
b
x
...
x
...
x
x
...
...
.........
a......
............
a...a...
a...a...a2
2
11
2
1
22
22
11
11
112
1000
100
10
1
nnn
nnkk,kk
nnkk,kk
bx
.......................................................................................................
bxa...xaxa...xax
bxa...xaxa...xaxax
22
221
212
223
2232
11
111
111
113
1132
1121
Din cele obţinute, observăm matricea A(n) este superior triunghiulară, iar sistemul este
echivalent cu cel iniţial Ax=b, adică are soluţia (x1, x2, x3,..., xn).
sau matriceal, A(n)x=b(n).
Faza substituţiei inverse (mersul înapoi)
presupune parcurgerea în sens invers a
ecuaţiilor sistemului cu matrice triunghiulară,
rezultat în faza eliminării, şi stabilirea soluţiei
sistemului potrivit unui calcul recursiv prin
substituţie regresivă începând cu xn din ultima
ecuaţie continuând cu xn-1 şi terminând cu x1
din prima ecuaţie:
31
1321
121
11
32
232
22
1
xaxabx
xabx
....................................
xabx
...................................
bx
)()()(
)()(
n
kjj
kkj
kkk
)n(nn
După cum se observă, determinarea componentelor soluţiei are loc de la indici mari
spre indici mici, fiecare nouă componentă depinzând în mod explicit numai de
componentele determinate la pasul anterior.
Observaţie. Metoda de eliminare Gauss permite şi calcularea determinantului
matricii sistemului. Se observă că, matricea A(n) a sistemului final fiind
triunghiulară, are determinantul egal cu produsul elementelor diagonale, adică: det
(A(n)) = 1
112
331
2211
n
nn)()(
)n(
a...aaa
AdetAdet
1233
12211
nnn
)()(a...aaaAdet
Exemplu numeric. Rezolvare circuite electrice
Având circuitul de curent continuu din figura de mai jos cu datele
numerice:
.VE,VE,R,R,R,R 908010151020 314321
să se determine curenţii din circuit utilizând teoremele lui Kirchhoff.
IIbuclaII
IbuclaII
BnodIII
AnodIII
801020
902510
0
0
21
32
321
321
332211 xI;xI;xI
801020
902510
0
0
21
32
321
321
xx
xx
xxx
xxx
Sistemul se va rezolva în continuare cu metoda eliminării versiunea Gauss.
Metoda presupune transformarea sistemului iniţial Ax = b într-un sistem
echivalent (soluţiile vor fi similare cu soluţiile sistemului iniţial) de forma
A*x =b* a cărui rezolvare este foarte simplă, simplitatea fiind asigurată de
matricea superior triunghiulară.
Rezolvarea va avea două etape:
a. Triangularizarea matricei A
b. Soluţionarea sistemului echivalent
Pentru cazul particular de rezolvare a circuitului de curent continuu, din exemplu,
matricea A augment (i se adaugă matricii sistemului A o coloană care corespunde cu
vectorul b) se scrie:
801020
902510
0
0
21
32
321
321
xx
xx
xxx
xxx
8001020
9025100
0111
0111
A~
801020
902510
0
1
20
1
10
21
32
321
321
xx
xx
xxx
;xxx
pivot
8001020
9025100
0111
0111
A~
802030
902510
00
0
32
32
321
xx
xx
xxx
8020300
9025100
0000
0111
1A~
00
802030
10
30902510
0
32
32
321
xx
xx
xxx
pivot
19095
902510
0
3
32
321
x
xx
xxx
1909500
9025100
01112A
~
Matricea A s-a transformat în matricea triangularizată A*=A(2)
Prin factorizarea unei matrice pătrate A de ordinul n se înţelege exprimarea
sa sub forma unui produs de alte două matrice de acelaşi ordin.
De regulă, matricile descompuse sunt de diferite forme speciale,
particulare, astfel alese încât să rezulte avantaje la aplicarea unor metode:
de soluţionare a sistemelor liniare de ecuaţii de dimensiuni mari din
aplicațiile practice (circuite electrice, câmp electromagnetic)
de determinare a valorilor proprii şi a vectorilor proprii din aplicațiile
practice (rețele electrice, compatibilitate electromagnetică)
2.3.1. Metoda factorizării LR (eliminarea Gauss reorganizată)
2.3. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii bazate pe
factorizarea LR a matricei coeficienţilor
A L R
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
l
l l
l l l
l l l l
r r r r
r r r
r r
r
n
n
n
n n n nn n n n nn
n
n
n
nn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
11
21 22
31 32 33
1 2 3
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0 0 0
0 0
0
0
0 0
0 0 0
Efectuând produsul matriceal, rezultă relaţiile care exprimă legătura dintre elementele
matricei A şi cele ale factorilor L şi R
a l r i n j ni j ik k jk
n
1
12 12, , , , , , , ,
Matrice pătrată A (ordin n)-exprimată sub forma unui produs de doua matrice:
L(inferior triunghiulară) şi R (superior triunghiulară) în condițiile:
a. Factorizarea LR Doolittle
A L R
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
l
l l
l l l
r r r r
r r r
r r
r
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
21
31 32
41 42 43
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
0
0 0
0 0 0
Algoritmi particulari de factorizare LR:
a. LR Doolittle, lii = 1 , i = 1, 2, ..., n , elementele diagonale ale matricei L sunt 1.
b. LR Crout, rii = 1 , i = 1, 2, ..., n , elementele diagonale ale matricei R sunt egale cu 1.
c. LR Cholesky - dacă matricea A este simetrică, atunci R=Lt în acest caz numărul de
ecuaţii al sistemului este (n2+n)/2, similar cu numărul necunoscutelor, deci factorii
sunt univoc definiţi (nu este necesară fixarea valorilor unor elemente ale factorilor).
a r
a r
a r
a r
11 11
12 12
13 13
14 14
a l r
a l r r
a l r r
a l r r
21 21 11
22 21 12 22
23 21 13 23
24 21 14 24
a l r
a l r l r
a l r l r r
a l r l r r
31 31 11
32 31 12 32 22
33 31 13 32 23 33
34 31 14 32 24 34
a l r
a l r l r
a l r l r l r
a l r l r l r r
41 41 11
42 41 12 42 22
43 41 13 42 23 43 33
44 41 14 42 24 43 34 44
r a
r a
r a
r a
11 11
12 12
13 13
14 14
l a r
r a l r
r a l r
r a l r
21 21 11
22 22 21 12
23 23 21 13
24 24 21 14
/ l a r
l a l r r
r a l r l r
r a l r l r
31 31 11
32 32 31 12 22
33 33 31 13 32 23
34 34 31 14 32 24
/
( ) /
l a r
l a l r r
l a l r l r r
r a l r l r l r
41 41 11
42 42 41 12 22
43 43 41 13 42 23 33
44 44 41 14 42 24 43 34
/
( ) /
( ) /
Generalizând rezultatele obţinute, se obţine următorul algoritm LR Doolittle
a) se calculează elementele primei linii a factorului R
r a j nj j1 1 12 , , , ,
b) se calculează elementele liniei i , i = 2, 3, ..., n , a matricei L , respectiv a matricei R:
- primul element al liniei i a factorului L cu relaţia la
ri
i1
1
11
- elementele următoare ale liniei i a factorului L cu relaţia
l a l rr
j ii j i j ik k jk
j
j j
1
1 12 3 1, , , ,
- elementele liniei i a factorului R cu relaţia r a l r j i i ni j i j ik k jk
i
1
11, , , ,
b. Factorizarea LR Crout -Master
Elementele diagonale ale lui R sunt 1 : r i i = 1, i = 1, 2, ..., n
Se prezintă acea versiune a algoritmului care efectuează calculele “pe coloane”:
a) se calculează elementele primei coloane a factorului L
l a i ni i1 1 12 , , , ,
b) se calculează elementele coloanei j , j = 2, 3, ..., n , a factorilor R şi L :
- primul element al coloanei j a factorului R cu relaţia:
ra
lj
j1
1
11
- elementele următoare ale coloanei j a factorului R cu relaţia
r a l rl
i ji j i j ik k jk
i
ii
1
1 12 3 1, , , ,
- elementele coloanei j a factorului L cu relaţia
l a l r i j j ni j i j ik k jk
j
1
1
1, , , ,
c. Factorizarea LR Cholesky (metoda rădăcinii pătrate) - MASTER
LR Cholesky se aplică pentru matricele simetrice- relaţia generală de factorizare
Algoritmul metodei:
a) se calculează elementele primei coloane a factorului L:
- elementul diagonal - elementele nediagonale
1111 al
tLLA
b) se calculează elementele coloanei j , j = 2, 3, ..., n , a factorului L :
- elementele diagonale - elementele nediagonale
la
li ni
i1
1
11
2 3 , , , ,
l a l ll
i j j ni j i j jk ikk
j
j j
1
1 11 2, , , ,l a lj j j j jk
k
j
2
1
1
Pasul 1. Se setează originea la 1. Se introduce matricea A și se definesc vectorii i și j:
Pasul 2. Se inițializează matricile L și R:
Pasul 3. Se calculează elementele primei linii a factorului R.
R1 j
A1 j
R
8
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Aplicatie numerica-Factorizare LR Doolitle – Implementare MathCad
Pasul 4. Se calculează elementele liniei i=2,n a matricei L, respectiv a matricei R
- primul element al liniei i a factorului L cu următoarea relaţie:
i 2 n
Li 1
Ai 1
R1 1
L
1
0.125
0
0.375
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
M
Li j
Ai j
1
j 1
k
Li k
Rk j
1
Rj j
j iif
Ri j
Ai j
1
i 1
k
Li k
Rk j
otherwise
j 2 nfor
i 2 nfor
M1
L
M2
R
Implementarea algoritmului în paleta de programare
Pasul 5. Se verifică rezultatele
Aplicatie numerica-Factorizare LR Doolitle – Implementare temă
r a j nj j1 1 12 , , , ,
la
ri
i1
1
11
l a l rr
j ii j i j ik k jk
j
j j
1
1 12 3 1, , , ,
i = 2, 3, ..., n
r a l r j i i ni j i j ik k jk
i
1
11, , , ,
Analiza evoluţiei şi a rezultatelor celor două procese de factorizare evidenţiază clar
posibilitatea utilizării unui singur tablou (poate fi chiar tabloul care conţine la început
matricea A), cu observaţia că elementele diagonale ale factorului L (algoritmul
Doolittle) sau cele ale lui R (algoritmul Crout) au valorile subînţelese!
Aplicatie numerica-Factorizare LR Crout – Implementare temă
A
5 4 2 04 7 3 12 3 2 10 1 1 3
Aplicatie numerica-Factorizare LR cu algoritmul Cholesky - MASTER
tLLA
1111 al la
li ni
i1
1
11
2 3 , , , ,
l a l ll
i j j ni j i j jk ikk
j
j j
1
1 11 2, , , ,l a lj j j j jk
k
j
2
1
1
Exemplu: Factorizarea unor matrice utilizate la calculul circulaţiei de puteri în
sistemele electroenergetice complexe
Se consideră sistemul energetic pentru care se cunosc atât configuraţia şi parametrii
elementelor de reţea, cât şi puterile active şi reactive, generate şi consumate, în
fiecare nod.
Considerând că nodul 4 este nodul de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru
care se cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă
şi reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul
nodurilor, puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare,
circulaţiile de puteri pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe
fiecare element în parte).
Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei de
puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.
Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de 6 ecuaţii neliniare, care se
soluţionează cu metodele numerice care vor fi prezentate în Cursul 6.
Dacă se utilizează metode de tip Newton, atunci la fiecare iteraţie trebuie rezolvat un
sistem de 6 ecuaţii liniare sau două sisteme de câte 3 ecuaţii. Aplicarea lor implică
factorizarea matricei coeficienţilor.
Pentru exemplul considerat, matricea coeficienţilor sistemului liniar este de ordinul 6,
iar submatricele A1 şi A4 cuprind coeficienţii pentru cele două sisteme de ordin 3 .
Pentru rezolvarea sistemului avem nevoie de factorizarea matricea simetrică A1 cu
algoritmul LR Cholesky, și matricea A cu algoritmul LR Doolittle
Factorizarea matricei simetrice A1 cu algoritmul LR Cholesky- MASTER
Evoluţia calculelor, efectuate în ordinea coloanelor, şi rezultatele finale:
Factorizarea LR Doolittle a matricei A
Factorizarea LR a matricei A s-a realizat cu algoritmul LR Doolittle - factorii L şi R
sunt sunt partiţionaţi în aceeaşi manieră ca şi matricea A, pentru a facilita formularea
unor concluzii referitoare la submatricele factorilor
Pentru matricea test considerată s-au obţinut următoarele valori ale timpului de calcul:
inversare prin reducere la matricea unitate - 220 ms ;
inversare cu algoritmul Leverrier - 3355 ms ;
factorizare LR Doolittle - 110 ms ;
factorizare LR Crout - 110 ms ;
factorizare LR Cholesky - 55 ms ;
factorizare QR - 440 ms .
Se consideră utile următoarele comentarii legate de timpii de calcul:
algoritmul Leverrier este o metodă ineficientă de inversare în comparaţie cu
reducerea la matricea unitate prin eliminare Gauss (se utilizează, de fapt, la calculul
valorilor proprii, inversa fiind un rezultat suplimentar);
pentru algoritmele LR Doolittle şi Crout timpul de calcul este identic, iar pentru LR
Cholesky este circa jumătate (se calculează, efectiv, doar un singur factor);
pentru factorizarea QR timpul de calcul este mai mare decât pentru factorizările LR.
2.3.2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii utilizând factorizarea LR a matricei
coeficienţilor
Această clasă de metode directe se bazează pe factorizarea LR a matricei A:
A x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
n n
n n
n n
n n n nn n n
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
a x b i ni j j ij
n
1
12, , , ,
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
n
n
n
n n n nn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
b [ ]b b b bn
t1 2 3
x [ ]x x x xnt
1 2 3
Aceasta permite rezolvarea sistemului iniţial de ecuaţii prin rezolvarea consecutivă a
două sisteme triunghiulare:
byL;yxRbxA
1-direct 2-invers
bxAbLLxRLbLxRbyL,yxRI
1
A
1
t
n321 yyyyy ][
Sistemele (1) şi (2) se rezolvă simplu, deoarece pentru prima dintre ele matricea
coeficienţilor este inferior triunghiulară, iar pentru a doua este superior, triunghiulară
l y b
l y l y b
l y l y l y b
l y l y l y l y bn n n nn n n
11 1 1
21 1 22 2 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
yb
l1
1
11
yl
b l y i niii
i i j jj
i
1
2 31
1, , , ,
r x r x r x r x y
r x r x r x y
r x r x y
r x y
n n
n n
n n
nn n n
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
xy
rn
n
nn
xr
y r x i n niii
i i j jj i
n
1
1 2 11
, , , ,
A L R
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
l
l l
l l l
l l l l
r r r r
r r r
r r
r
n
n
n
n n n nn n n n nn
n
n
n
nn
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
11
21 22
31 32 33
1 2 3
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0 0 0
0 0
0
0
0 0
0 0 0
t
n321 yyyyy ][ Ly=b
Rx=y x [ ]x x x xnt
1 2 3
În concluzie, algoritmul general al metodei de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare
bazate pe factorizarea LR este următorul:
se efectuează factorizarea LR a matricei A ;
se rezolvă sistemul Ly=b;
se rezolvă sistemul Rx=y, soluţia obţinută fiind chiar cea a sistemului Ax=b.
Metodele bazate pe factorizarea LR a matricei coeficienţilor necesită un timp de
calcul mai scazut decat metoda triunghiularizării. Dacă se utilizează la soluţionarea
repetată a sistemului de forma Ax=b, pentru diferite valori ale termenilor liberi, atunci
factorizarea matricei A se face o singură dată, la prima rezolvare. La soluţionările
următoare se rezolvă numai sistemele Ly=b şi Rx=y.
Metodele particulare de soluţionarea a sistemelor de ecuaţii liniare, se diferenţiază
între ele prin algoritmul de factorizare utilizat: LR Doolittle, LR Crout sau LR
Cholesky.
APLICATIE - Soluţionarea unui sistem de ecuaţii liniare
Se consideră sistemul de 4 ecuaţii liniare, pentru care A este matricea coeficienţilor, iar
b vectorul termenilor liberi. Se cere să se rezolve sistemul cu metoda factorizarii LR
Doolitle.
8 2 18
6 2 3 8
4 3 2 4 6
3 3 10 7
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
x x x
x x x x
x x x
x x x x
, ,
Metoda factorizării LR Doolitle
Calculele se fac cu algoritmul prezentat anterior, iar factorizarea LR Doolittle a
matricei A este calculată în aplicaţia numerica (slide 25)
8 000 2 000 1000 0 000 18 000
6 250 1875 3 000 5 750
4 000 2 480 5 520
6 650 6 650
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
, , , , ,
, , , ,
, , ,
, ,
x x x x
x x x
x x
x
Rezultă sistemul inferior triunghiular şi cel superior triunghiular
1 18 000
0125 1 8 000
0 000 0160 1 4 600
0 375 0 600 0 625 1 7 000
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
y
y y
y y y
y y y y
,
, ,
, , ,
, , , ,
Ly=b
Rx=y
soluţia obţinută fiind chiar cea a sistemului Ax=b
22
Proactive
Habit 1 Be Proactive
stop think choose act
Habit 1
Proactive language
• I’ll do it.
• I can do better than that.
• Let’s look at all options.
• I choose to.
• There’s got to be a way.
• I’m not going to let your
bad mood rub off on me.
Reactive language
• I’ll try.
• That’s just the way I am.
• There’s nothing I can do.
• I can’t help it.
• I have to.
• You’ve ruined my day.
Habit 1 – Be proactive
Proactive people
• Take initiative to
make it happen.
• Think about solutions
and options.
• Act.
Reactive people
• Wait for something to
happen to them.
• Think about problems
and barriers.
• Are acted upon.
