115

3. Locuri geometrice 3.1. Locuri geometrice uzuale Noiunea de loc geometric n plan care se gsete i n ELEMENTELE LUI EUCLID se pare c a fost folosit nc de PLATON (427-347) i ARISTOTEL(383-322). Locurile geometrice reprezint unul din cele mai frumoase capitole ale geometriei. Definiia locului geometric poate fi gsit n mai multe formulri: a) loc geometric este totalitatea punctelor dintr-un spaiu definite printr-o proprietate (Dicionarul explicativ al limbii romne); b) loc geometric este mulimea punctelor din plan sau spaiu care au o anumit proprietate (Micul dicionar enciclopedic); c) loc geometric este figura plan sau n spaiu ale crei puncte se definesc toate prin aceeai proprietate (Dicionar de neologisme). Toate aceste formulri au acelai sens: un loc geometric este o mulime de puncte DEFINITE. n esen, problemele de loc geometric sunt probleme de gsire a unor proprieti echivalente celor prin care este dat o anumit mulime sau altfel spus, probleme de egalitate a dou mulimi. n continuare dm o list care conine locuri geometrice uzuale, care pot oferi idei i soluii n rezolvarea altor probleme de loc geometric: 3.1.1 Locul geometric al punctelor egal deprtate de extremitile unui segment este mediatoarea acelui segment. 3.1.2 Locul geometric al punctelor din plan interioare unui unghi egal deprtate de laturile sale este bisectoarea. 3.1.3 Locul geometric al punctelor din plan egal deprtate de dou drepte concurente sunt bisectoarele unghiurilor formate de cele dou drepte (bisectoarele sunt perpendiculare n punctul de intersecie al celor dou drepte). 3.1.4 Locul geometric al punctelor din plan situate la o distan dat fa de o dreapt este reprezentat de dou drepte paralele cu o dreapt dat, situate de o parte i de alta a ei. 3.1.5 Locul geometric al punctelor din plan situate la o distan dat fa de un punct fix este un cerc. 3.1.6 Locul geometric al punctelor din plan egal deprtate de trei puncte distincte, necoliniare este reprezentat de centrul cercului circumscris triunghiului determinat de cele trei puncte. 3.1.7 Locul geometric al punctelor din plan egal deprtate de dou drepte paralele date este o dreapt paralel cu dreptele date i situat la jumtatea distanei dintre ele. 3.1.8 Locul geometric al punctelor din plan pentru care diferena ptratelor la dou puncte fixe este constant, este o dreapt perpendicular pe dreapta determinat de cele dou puncte fixe.

116

3.1.9 Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distanelor la dou drepte paralele este constant, este reprezentat de dou drepte paralele cu dreptele date sau o dreapt (dac raportul este 1). 3.1.10 Locul geometric al punctelor din plan pentru care suma ptratelor distanelor la dou puncte date este constant, este un cerc cu centrul n mijlocul segmentului determinat de dou puncte. 3.1.11 Locul geometric al punctelor din plan din care un segment se vede sub un unghi drept este cercul care are ca diametru segmentul respectiv. 3.1.12 Locul geometric al punctelor din plan, mijloace ale segmentelor paralele cu o direcie dat i cuprinse ntre dou drepte paralele fixe, este dreapta paralel cu dreptele date i egal deprtate de ele. 3.1.13 Locul geometric al punctelor din plan din care un segment se vede sub un unghi dat este reprezentat de dou arce de cerc care au aceleai extremiti ca i segmentul i sunt simetrice fa de dreapta pe care este situat segmentul. 3.1.14 Locul geometric al punctelor din plan care mpart ntr-un raport constant segmentele determinate de un punct fix A i punctul M ce descrie o dreapt dat (d) este o dreapt paralel cu (d) i care mparte distana de la A la (d) n acelai raport. 3.1.15 Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distanelor la dou puncte fixe este constant (k 1) este un cerc (pentru raportul distanelor k=1 se obine o dreapt). 3.1.16 Locul geometric al punctelor N din plan, situate pe segmentele care unesc un punct fix A cu un punct M ce descrie o dreapt (d) dat, astfel nct AN x AM=K este un cerc care trece prin A i are centrul pe perpendiculara dus din A pe (d). 3.1.17 Locul geometric al punctelor din plan care au puteri egale fa de dou cercuri date este o dreapt (numit axa radical a celor dou cercuri) perpendicular pe linia centrelor cercurilor. 3.1.18 Locul geometric al punctelor din plan de putere constant fa de un cerc dat, este un cerc concentric cu cercul dat, un punct sau mulimea vid. Probleme rezolvate

R3.2.1 Dou cercuri i ' sunt tangente exterioare ntr-un punct A. Fie TT una din tangentele comune exterioare i M, M interseciile celor dou cercuri cu o dreapt variabil ce trece prin A.

S se afle locul geometric al punctelor P de intersecie a lui MT cu MT.

117

Fig. 3.1.

Soluie. 1) Din TTOOTTOT

TTOT''

'''

trapez dreptunghic ( ) ( ) 0180'' =+ AOTmTOAm ( ) ( ) 0180' =+ ATmTAm

Dar ( ) ( ) ( ) ( )( ) ==+=+ 00 9018021'

21'' ATmTAmAMTmTMAm

( ) 090' = MPMm , deci 'PTT este un triunghi dreptunghic cu ipotenuza constant TT. Rezult c locul geometric este cercul de diametrul TT.

R3.2.2 O proprietate simpl a punctelor mediane AA a ABC este

urmtoarea: )()()'( ACMABM SSAAM = Se pune problema dac singurele puncte M din plan cu proprietatea

)()( ACMABM SS = sunt punctele medianei din A ? Pentru aceasta ajungem la urmtoarea problem de loc geometric:

S se determine locul geometric al punctelor M din planul ABC pentru care )()( ACMABM SS = .

Soluie. 1. Din proprietatea specificat anterior rezult c AA aparine locului

geometric. 2. Artm c n interiorul CAB nu exist alte puncte ale locului

geometric. - presupunem c ar exista M , 'AAM

118

( )

( )"*'*

2"*

2'*

MMACMMABMMACS

MMABS

MAC

MAB

=

=

=

din 1M avem ( ) ( ) "*'* 11111 MMACMMABSS ACMABM == ; dar '' 1MMMM > i "' 1MMMM < . Deci

( ) ( )11"*"*'*'* 111 ACMABM SSMMACMMACMMABMMAB =0.

Soluie. Rezolvm problema n cazurile: { }= Odd 21 i 2121 ||,0 dddd =

119

Fig. 3.3. Fie M situat n unul din cele patru unghiuri format de dreptele 1d i 2d . Pe laturile acestui unghi lum 1dA astfel ca 1=OA i 2dB astfel ca

kOB = , relaia ( ) ( ) kdMddMd *,1*, 21 = 21 ** MMOBMMOA = ( ) ( )OBMOAM SS = .

Deci am ajuns la problema determinrii locului geometric al punctelor din planul triunghiului OAB cu ( ) ( )OBMOAM SS = care este format din dou drepte: mediana din O i paralela prin O la AB. n cazul 1d || 2d difereniem cazul k=1 i cazul k 1 . Dac k=1, pe fiecare dreapt perpendicular pe 1d i 2d avem un singur punct n loc (mijlocul segmentului determinat de intersecia ei cu cele dou drepte). Deci locul va fi o dreapt paralel la 1d i 2d egal deprtat de cele dou drepte. Dac 1k pe fiecare dreapt perpendicular pe 1d i 2d se obin cte dou puncte, unul ntre punctele de intersecie i unul n afar, situat la distan determinat. Deci locul geometric n acest caz va fi format din dou drepte paralele la 1d i

2d .

R3.2.4 Dou puncte mobile M i N se mic rectiliniu i uniform. S se

determine locul geometric al punctelor P [ ]MN astfel ca kNPMP = (constant).

120

Fig. 3.4. Soluie. Vom arta c locul geometric este o dreapt. Pentru aceasta este suficient s artm c dac 0P i 1P sunt dou poziii ale lui P , orice alt poziie este coliniar cu 0P i 1P .

Rapoartele 1

0

NNNN

i 1

0

MMMM

nu depind de vitezele Mv i Nv , ci doar de

intervalul de timp, deci

====

2

1

22

12

21

11

1

0

1

0 *tt

tvtv

tvtvx

MMMM

NNNN

;

Dac { } MNPPP = 10 , pentru a arta c P=P este suficient s artm c

kNP

MP ='

'.

Fie '0N , '0M , N

' , M ' , '1N , '1M , formnd proieciile pe dreapta 10PP ale

punctelor 0N , 0M , N, M, 1N , 1M , avem : ''

''

NNMN

NPMP = .

Din trapezul '0'110 NNNN

xNNNNxNN +

+=1

*''00

'11 , analog

xMMMMxMM +

+=1

*''00

'11

Deci == kPNPM

NNMM o

00

00'00

'0

==

'11

'11

'00

'00

*

*

NNkMMNNkMM

. Deci .'

' kNP

MP =

121

R3.2.5 S se gseasc locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distanelor la dou puncte fixe este constant.

Soluie. Fie A i B dou puncte fixe distincte. Cutm locul geometric al punctelor M pentru care k

MBMA = , unde k este o constant pozitiv.

n plan pentru k=1, orice punct M pentru care 1=MBMA

, aparine mediatoarei

segmentului [ ]AB i reciproc. De aceea n acest caz locul geometric este mediatoarea segmentului AB. Fig. 3.5.

Fie 1k i M un punct care nu se afl pe dreapta AB, astfel nct kMBMA = .

Bisectoarea interioar a unghiului AMB taie pe AB n C. Deoarece 1k implic AMBMBMA , nu este isoscel. De aceea i bisectoarea exterioar unghiului AMB taie pe AB n D. n proprietatea bisectoarei avem: k

DBDA

MBMA

CBCA === . Astfel C i D sunt

puncte fixe pe AB, care mpart segmentul [ ]AB n raportul k. Deoarece ( ) 090=CMDm rezult M aparine cercului de diametru CD.

Reciproc: fie M un punct al cercului de diametru CD, unde C i D sunt fixe pe AB , care mparte [ ]AB n raportul k. Deoarece DMCM '' rezult c MC i MD sunt bisectoarele unghiului M, adic .

'' k

CBCA

BMAM ==

Punctele C i D convin prin definiie. De aceea locul geometric al punctelor pentru care raportul distanelor la dou puncte fixe A i B este un numr pozitiv 1k , este cercul de diametru CD, punctele C, D mprind pe [ ]AB n raportul dat.