1Noiunea general de suprafa

Pentru nceput vom aminti cteva chestiuni de analiz matematic, mai precis de topologie.

Pentru simplificarea expunerii ne vom referi la spaiul afin euclidian 3R , consideraiiasemntoare putndu-se face i n spaiul Rn , 2n (Anexa III).

Numim bila deschis de centru 3RP i de raz r > 0 , mulimea tuturor punctelor din 3Rsituate la o distan strict mai mic dect r fa de P S observm c, fiind dat un punct ( )cbaP ,,= din

3R , atunci mulimea( ) ( ) ( )a r a r b r b r c r c r- + - + - +, , ,

reprezint un cub deschis centrat n P , avnd feele paralele cu planele de coordonate i lungimea muchieiegal cu 2r .

1.1.Definiie. O mulime nevid V din 3R se spune c este vecinnate pentru punctul P Vdac o dat cu P mulimea V conine o bil deschis cu centrul n P sau, ceea ce este acelai lucru,un cub deschis centrat n P . O mulime nevid D din R3 se spune c este deschis dac estevecintate pentru orice punct al su.

Este evident c bilele deschise sau cuburile deschise sunt mulimi deschise n sensul definiiei demai sus. Deoarece n chestiuni de analiz matematic ne intereseaz ce se ntmpl n jurul unui punct(adic ntr-o vecintate suficient de mic a punctului), rezult c pentru vecintile deschise ale unui punctputem lua n consideraie doar bilele deschise cu centrul n acel punct sau cuburile deschise centrate n acelpunct.

1.2.Definiie. O mulime deschis nevid D din nR se zice c este conex dac oricare doupuncte din D pot fi unite printr-o linie poligonal coninut n D .

Bilele deschise sau cuburile deschise sunt exemple de mulimi deschise i conexe.Fie D R2 o mulime deschis i conex. Ca model pentru D putem considera o mulime de

forma ( ) ( )a b c d, , , adic un dreptunghi deschis cu laturile paralele cu axele de coordonate. Fier D: R3 , ( ) ( ) ( ) ( )( )r u v x u v y u v z u v, , , , , ,= . Vom spune c r este de clas Ck pe D , undek N* , dac funciile ( ) ( )x u v y u v, , , i ( )z u v, admit derivate pariale continue de orice ordin i k peD . Dac aceste funcii admit derivate pariale de orice ordin pe D , vom spune c r este de clas C peD .

O funcie r D: R3 de clas Ck pe D se numete regulat dac rangul matriceix y zx y z

u u u

v v v

este egal cu doi n orice punct din D . Prin x x yu v u, , ,K am notat derivatele pariale ale

funciilor ( ) ( )x u v y u v, , , i ( )z u v, . 1.3.Definiie. O funcie r D: R R2 3 (de clas Ck ) regulat pe D se numete

parametrizare (de clas Ck ). Dac parametrizarea r este injectiv i funcia ( )r r D D- 1: estecontinu, atunci r se va numi hart (de clas Ck ), iar mulimea ( )r D se va numi suprafa simpl.

Intuitiv ne putem imagina mulimea D ca pe un dreptunghi din cauciuc, deci flexibil i extensibil,conceput fr margini. Atunci continuitatea funciei r face ca poriunea ( )r D s se obin din D prinndoire i ntindere, fig. a); regularitatea lui rO

nly

for s

tude

nts

O l

t i n

D

o g

a r u

2( )r D

u

v

Fig. a) Fig. b).

interzice formarea unor cute pe ( )r D ; injectivitatea lui r elimin autointerseciile poriunii( )r D ; n sfrit, continuitatea lui r-1 evit autoaderenele lui ( )r D , fig. b).

1..4.Definiie. O mulime S din 3R se numete suprafa dac pentru orice punct P S exist ovecintate V a lui P i o hart r D: R3 astfel nct ( )r D V=S I .

1. 5.Observaii. 1) Intuitiv, o suprafa este o mulime din spaiu care are proprietatea c n juruloricrui punct P al ei se comport, ntr-o prim aproximaie, ca o poriune din plan, parametrii u i vreprezentnd coordonatele locale pe suprafa (coordonate pe o vecintate a lui P de pe S ).

2) Orice suprafa simpl este ea nsi o suprafa, mai precis o suprafa acoperit cuo singur hart. Astfel, o suprafa este o reuniune de suprafee simple care se pot suprapune, fr a formacute sau autoaderene.

Utiliznd teorema de inversiune local din cursul de analiz matematic putem demonstraurmtorul rezultat:

1. 6.Propoziie. Fie r D: R3 o aplicaie regulat. Atunci r este local o hart, adic pentru orice( )u v D0 0, exist o vecintate deschis U a lui ( )u v0 0, coninut n D astfel nct restricia lui r laD s fie o hart. n acest caz, va rezulta c mulimea ( ) ( )r U r D este o suprafa simpl.

n ipotezele propoziiei anterioare mulimea ( )S = r D este o reuniune de suprafee simple ce se potsuprapune, fr ca S nsi s fie neaprat o suprafa, deoarece poate s apar fenomenul de autoaderen,prezentat n cadrul definiiei.. Uneori, o funcie regulat r D: R3 este numit suprafa parametrizat.Dac mulimea ( )S = r D este o suprafa, vom spune c r este o parametrizare pentru suprafaa S .

1.7.Observaie. Fie r D: R3 o funcie de clas Ck pe D . Dac ( )r x y zu u u u= , , i( )r x y zv v v v= , , sunt derivatele pariale ale funciei vectoriale r , atunci este uor de probat c r este regulat

dac i numai dac r ru v 0 pe D . Exemple. 1) Fie S o sfer avnd centrul n origine i raza R .

z

N

yx

S

u

vO

.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

3M

Ry

z

xu

vO

Este uor de vzut c dac M S , atunci coordonatele lui M sunt: x R v u= cos cos , y R v u= cos sin ,z R v= sin , unde parametrii u i v au semnificaia din figur (longitudine i latitudine). Fie ( )D= -

0 2 2 2, ,p

p p i r D: R3 , ( ) ( )r u v R v u R v u R v, cos cos , cos sin , sin= .

Este evident c r este de clas C pe D i c ( )r D = S \ g , unde g este meridianulNS , adic semicercul care unete punctele N i S semicerc ce este situat n semispaiulx 0 i n planul y = 0 .

Deoarece ( )r R v u R v uu= - cos sin , cos cos ,0 i ( )r R v u R v u R vv= - -sin cos , sin sin , cos ,rezult c ( )r r R v u v u v uu v = 2 2 2cos cos ,cos sin ,sin cos . Deci r r R vu v = 2cos , funcie ce nuse anuleaz pe D . Rezult c r este o aplicaie regulat. Deoarece r este injectiv i

( )r r D D- 1: este continu, rezult c r este o hart ce acoper mulimea S \ g . ntr-o manierasemntoare putem construi o hart ce acoper mulimea S \ g , unde g este semicercul careunete punctele n care Oy intersecteaz S , semicerc situat n semispaiul x 0 i n planul

0=z .

r r

z

yx

O

Rezult c sfera S este acoperit cu dou hri, fiind astfel o suprafa. Se poate arta c S nu poate fiacoperit cu o singur hart, adic sfera nu este o suprafa simpl.

2) Fie cilindrul S :x y a2 2 2+ = , cu a > 0 . Este uor de vzut c dac un punct MS ,atunci coordonatele lui M sunt: x a u y a u z v= = =cos , sin , , unde u are semnificaia din figur.

Fie ( )D = 0 2, p R i r D: R3 , ( ) ( )r u v a u a u v, cos , sin ,= .Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

4M

y

z

xu

Oa

x

O

y

z

Este evident c r este de clas C pe D i c ( )r D g=S \ , unde g este generatoarea care se obineintersectnd S cu planul xOz , x 0 . Deoarece ( )r r a u a uu v = cos , sin ,0 , rezultr r au v = 0 . Deci r este regulat pe D . Avnd n vedere c r este injectiv i c

( )r r D D- 1: este continu, rezult c r este o hart care acoper cilindrul S tiat de-a lungulgeneratoarei g . Asemntor, putem construi o hart r care acoper cilindrul S tiat de-a lungul alteigeneratoare. Deci S poate fi acoperit cu dou hri, rezultnd astfel c S este o suprafa. S observmc dac n cazul funciei r de mai sus renunm la restricia ( )u 0 2, p , considernd u R , obinem oparametrizare r pentru ntreg cilindrul S care, evident, nu este o funcie injectiv.

3) S considerm n planul xOz o curb simpl i regulata : I R3 , ( ) ( ) ( )( )a u x u z u= , ,0 , unde ( )x u u I> " 0 . Am vzut n definiia 3.4 c suprafaaS obinut prin rotirea curbei a n jurul lui Oz admite parametrizarea r D: R3 ,( ) ( ) ( ) ( )( )r u v x u v x u v z u, cos , sin ,= , unde D I= R . S probm c S este ntr-adevr o suprafa.

Este evident c r este de aceeai clas cu a . Cum ( )(r x u vu = cos , ( ) ( )) x u v z usin , i( ) ( )( )r x u v x u vv = - sin , cos ,0 , rezult c vu rr ( ) ( )( ) ( )( )= + x u x u z u2 2 care nu se

anuleaz avnd n vedere condiiile impuse curbei a . Deci r este o parametrizare. Pentru a obineo suprafa simpl putem impune condiia ( )v 0 2, p , ceea ce nseamn excluderea de pe

( )S = r D a meridianului v = 0 , care este chiar curba a . Evident, acest exemplu este o generalizare aexemplelor precedente.

Moduri de a defini o curb

2.1. Teorem. Fie f D: R R2 o funcie de clas C1 , unde D este o mulime deschis iconex. Atunci graficul funciei f este o suprafa simpl.Reciproc, orice suprafa este local un grafic de funcie.

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

5Demonstraie. Prin definiie, graficul funciei f este mulimea G f R3 ,( )( ) ( ){ }G x y f x y x y Df = , , , , . Fie r D: R3 , ( ) ( )( )r u v u v f u v, , , ,= . Este evident c r

este de clas C1 , este injectiv i ( )r D G f= . De asemenea r G Df- 1: este continu.Deoarece ( ) ( )r r f fu v u v = + +1 2 2 , rezultc funcia r este regulat (observaia 4.6).

Aadar r D: R3 este o hart i n felulacesta mulimea ( )G r Df = este o suprafasimpl.

Reciproca se demonstreaz utiliznd oparametrizare ( ) ( )vuyyvuxx ,,, == i

( )vuzz ,= pentru suprafaa S . Cu ajutorul teoremei funciilor implicite se arat c din sistemul de maisus rezult, de exemplu, ( )z f x y= , , pe o vecintate a unui punct P .

n condiiile teoremei precedente, vom spune c suprafaa S = G f este definit prin ecuaiaexplicit ( )z f x y= , . Teorema afirm c pentru o asemenea suprafaa x i y pot fi luate dreptcoordonate pe suprafa.

De exemplu, cuadricele z xa

ya

= +2

2

2

2 (paraboloidul eliptic) i zxa

ya

= -2

2

2

2 (paraboloidul

hiperbolic) sunt suprafee simple.

Fie F D: R R3 . Mulimile de forma ( )S C F x y z C C: , , ,= R , se numesc mulimilede nivel ale funciei F . Deoarece, n general, aceste mulimi sunt suprafee, ele se mai numesc suprafeede nivel ale lui F .

2.2. Teorem. Fie F D: R R3 o funcie de clas C1 pe mulimea deschis i conex D . Fie( )P x y z0 0 0, , un punct aparinnd mulimii ( )S : , ,F x y z = 0 . Presupunem c vectorul ( )gradF P

este nenul. Exist atunci o vecintate deschis a punctului P n care mulimea S este o suprafasimpl.

Demonstraie. Vectorul ( )gradF P , numit gradientul lui F n punctul P , este vectorul( ) ( ) ( )

Fx

P Fy

P Fz

P, , . S presupunem, de exemplu, c ( )

Fz

P 0 . Din teorema funciei

implicite (2, capitolul V) rezult o vecintate deschis U a punctului ( )x y0 0, , o vecintatedeschis V a lui z0 astfel nct U V D i o funcie unic f U V: cu proprietatea c

( )( )F x y f x y, , , = 0 pentru orice ( )x y U, i, reciproc, pentru orice ( )x y z U V, , cu( )F x y z, , = 0 , rezult ( )f x y z, = . Deci mulimea ( )S I U V este graficul lui f , care, datorit

teoremei precedente este o suprafa simpl.

r

x

y

z

O

D

Gf

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

6n cazul n care ipoteza ( )gradF P 0 este ndeplinit n orice punct P al mulimii S , varezulta c mulimea S este o suprafa. Vom spune atunci c suprafaa S este definit prin ecuaiaimplicit ( )F x y z, , = 0 .

2.3. Observaii. 1) Un punct P pentru care ( )gradF P 0 se numete punct regulat al funcieiF . n caz contrar, P se numete punct critic al funciei F . Teorema 2.2 spune de fapt c mulimea

( )S : , ,F x y z = 0 este o suprafa, dac aceast mulime nu conine puncte critice ale lui F . Prin abuzde limbaj vom spune c mulimea S este o suprafa chiar dac ea conine puncte critice ale lui F .Aceste puncte vor fi numite puncte singulare ale suprafeei S . Teorema mai spune c pentru o suprafa

( )S : , ,F x y z = 0 drept coordonate locale pot fi alese dou din cele trei variabile x , y sau z .2) Teorema 2.2 furnizeaz condiii suficiente, dar nu i necesare, n care o mulime

( )S : , ,F x y z = 0 este o suprafa.3) Fie P un punct al suprafeei S . Atunci, pe o vecintate a lui P din 3R mulimea S este grafic

de funcie sau, mai general, pe o vecintate a lui P mulimea S este descris printr-o ecuaie( ) 0,, =zyxF .

2.4. Exemple. 1) innd cont de ecuiile canonice ale cuadricelor rezult c elipsoizii,hiperboloizii, paraboloizii i cilindrii sunt suprafee.

2) Conul S : xa

yb

zc

2

2

2

2

2

2 0+ - = este o suprafa care are un punct singular i anume originea.

3) Fie ( )S :z x y3 2 2 3 0- + = . Este uor de vzut c originea este un punct critic pentrufuncia ( ) ( )F x y z z x y, , = - +3 2 2 3 , care aparine mulimii S . Deoarece

( ) ( ) ( ) ( )z x y z x y z z x y x y3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2- + = - - + + + + rezult c S este paraboloidul elipticde ecuaie z x y= +2 2 . Deci Teorema 2.2 nu este aplicabil n origine, Totui S este o suprafa, chiar osuprafa simpl !

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u