03 Teorie Consumator Dinamic

5/19/2018 03 Teorie Consumator Dinamic

1/9

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

FABBV AN II ID

MODELAREA F ENOM ENELOR

F INANCIAR MONET ARE

Appendix 2Anul universitar 2011-2012

Tema 3: Problema de optim a consumatorului.

Modelul dinamic al consumatorului1

Spre deosebire de modelul static, unde consumatorul alegea ntre douasau mai multe bunuri, n cazul modelului dinamic, consumatorul va alege,de fapt, ntre doua momente de timp. Dupa cum vom vedea, aceasta alegeredepinde de preferintele sale intertemporale.

1 Introducere

Modelul pe care l studiem se bazeaza pe urmatoarele ipoteze, al caror roleste, n principal, de simplicare si nlesnire a calculelor:

consumatorul are la dispozitie un singur bun sau serviciu (sau un cosde bunuri si servicii), iar orizontul este format din doua sau mai multemomente de timp;

consumatorul si maximizeazautilitatea intertemporala, denita n functiede consumurile din ecare perioada din orizontul de optimizare, cu re-strictia de buget data de ansamblul resurselor disponibile;

consumatorul stabileste planul optim de consum la momentul 0. De

aici rezultacaracterul dinamical modelului;1 Sinteza de fata tine cont, preponderent, de prezentarea notiunilor n lucrarea [1]. Este

recomandata parcurgerea capitolelor corespunzatoare din bibliograa indicata.

1


2/9

utilitatea este separabila intertemporal, n sensul ca utilitatea obtin-

uta la momentul tdepinde numai de consumul la momentul respectiv.Exista, nsa, bunuri si servicii a caror utilitate nu este separabila in-tertemporal. Printre acestea, amintim tigarile si alcoolul. Functiileneseparabile intertemporal sunt utilizate la modelarea viciilor sau nmodele denumitehabit formation.

2 Maximizarea utilitatii. Traiectoria optima

a consumului

Pentru a xa ideile, vom considera ca urmarim consumatorul numai n douamomente de timp, t1 si t2, denotate conventional cu 0, respectiv, 1.

Def. 1 Problema dinamica a consumatoruluieste:8>:

max(c0;c1)

u (c0; c1)

p0c0+ E=V0p1c1 = V1+ E(1 + r)

; (1)

undeEreprezinta economiile la momentul0 sir rata dobnzii la care acesteasunt remunerate.

n rezolvarea problemei consumatorului dinamic un interes sporit l prez-inta evolutia consumului c1

c0si semnul economiilor sgn (E), care ne indica

daca n perioada initiala agentul consumator se mprumuta (E 0). Putem elimina E ntre restrictiile din (1) pentru aobtine o singura restrictie de buget:

p0c0+ 1

1 + rp1c1 = V0+

1

1 + rV1:

Problema este similara, astfel, problemei consumatorului static, n care

p1 p1 11 + r si

V V0+ V1

1 + r:

2


3/9

Atunci: 8>:

max(c0;c1)

u (c0

; c1)

p0c0+ E= V0p1c1= V1+ E(1 + r)

devine echivalenta cu ( max

(c0;c1)u (c0; c1)

p0c0+ p11+r

c1 = V0+ V11+r

:

Functia lui Lagrange se scrie:

L (c0; c1; ) =u (c0; c1)

p0c0+ p1

1 + r c1 V0 V1

1 + r

;

de unde: 8:

@u(c0;c1)@c0

p0= 0@u(c0;c1)

@c1 p1= 0

p0c0+ p11+r

c1= V0+ V11+r

:

Eliminnd ntre primele doua ecuatii, obtinem aceeasi conditie de optimca la modelul static:

@u(c0;c1)@c0

p0=

@u(c0;c1)@c1p1

1+r

:

Utilitatea intertemporalau (c0; c1)poate :

1. aditiv separabila: utilitatea prezenta nu depinde de istoricul consumu-lui;

2. ne-aditiv separabila: utilitatea prezenta depinde de istoricul consumu-lui. Este ntlnita, mai ales, n modelarea viciilor: consumul de tigari,alcool sau droguri.

u (c0; c1) =u (c0) + 1

1 +

u (c1) aditiv separabila.

Conditia de optim, n acest caz, devine:

u0 (c0)

p0=

1 + r

p1

u0 (c0)

1 + =)

u0 (c0)

u0 (c1)=

1 + d

1 + ;

3


4/9

unde

1 + d= 1 + r

1 + ; d=rata reala a dobnziisi

1 + = p1

p0;

unde = rata inatiei, presupusa constanta. Cum u0 este descresca-toare n consum,

u0 (c0)> u0 (c1) () c0 < c1:

Discutie:d > =) c0 < c1

sid < =) c0 > c1:

3 Aplicatii

3.1 Modelul dinamic pentru functia de utilitateBernoulli

Ex. 2 Pentru

u (c) = c1

1 ; pentru1 6= 0

sa se determine: c0c1

; c0 sic1; sgn (E) .

3.1.1 Evolutia consumului

u (c0; c1) = c101

+ 1

1 +

c111

:

Pentru determinarea c0c1

se procedeaza astfel: conditia de optim este:

u0 (c0)

u0

(c1)

=1 + d

1 +

:

Dar,u0 (c0) =c0 siu0 (c1) =c

1 ; rezulta

c1

c0=

1 + d

1 +

1

: (2)

4


5/9

Comentariu: masoara aversiunea relativa la risc a agentului. Se observa

ca pentru valori foarte mari ale parametrului , ceea ce corespunde unuiconsumator temator fata de risc, semnul economiilor initiale va negativ.

3.1.2 Determinarea consumului la momentele0, respectiv 1

Din (2) se obtine:

c1= c0

1 + d

1 +

1

:

Din teoria generala,

p0c0+

p1

1 + r c1= V0+

V1

1 + r

si presupunemV1 = V0(1 + ) ;

unde reprezinta rata de crestere a venitului nominal. Atunci

p0c0+ p0c0(1 + )

1 + r

1 + d

1 +

1

= V0+1 +

1 + rV0 ()

p0c0 "1 + r

1 + r+

1 +

1 + r 1 + d

1 + 1

# = V0 1 + r

1 + r+

1 +

1 + r ()p0c0

"1 + r

1 + +

1 + d

1 +

1

# = V0

1 + r

1 + +

1 +

1 +

:

Notnd1 + r

1 + = 1 + d si

1 +

1 + = 1 + g;

unde gsemnica rata de crestere a venitului real, se obtine:

c0 = 2 + d + g

(1 + d) + 1+d1+ 1

V0

p0;

respectiv,

c1 = 2 + d + g

(1 + d)1+1+d

1 + 1

V0

p0:

5


6/9

3.1.3 Semnul economiilor

Pentru determinarea semnului economiilor E, se folosesc cele doua restrictiide buget:

p0c0+ E=V0; (3)

respectiv,p1c1 = V1+ E(1 + r) : (4)

Considernd notatiile

1 + c= c1

c0,1 + =

p1

p0si1 + =

V1

V0;

din (4) rezulta

(1 + ) (1 + c)p0c0= V0(1 + ) + E(1 + r) ;

de unde, folosind expresia (3) pentru V0,

p0c0[(1 + c) (1 + g)] =E [(1 + d) + (1 + g)]

si, astfel,

E=p0c0c g

2 + d + g:

Asadar,sgn (E) =sgn (c g)

si avem urmatorale doua posibilitati:

1. c > g =) E >0, adica trebuie sa economisesc n momentul 0pentrua-mi asigura cresterea consumului, n raport cu care cresterea venituluireal este insucienta;

2. c < g =) E < 0, adica ma pot mprumuta n momentul 0, deoarececresterea venitului real mi acopera evolutia consumului si permite ram-bursarea creditului n momentul 1.

6


7/9

3.1.4 Comentariu

n relatia care da semnul economiilor nu apare explicit functia de utilitate,dar apare implicit. Forma analitica a lui u inuenteaza

c1

c0= 1 + c:

Dinc1

c0=

1 + d

1 +

1

= 1 + c

rezulta

c=1 + d

1 +

1

1;

si, n consecinta,

sgn (E) =sgn

"1 + d

1 +

1

(1 + g)

#:|

3.2 Aplictii propuse

Ex. 3 Pentruu (c0; c1) = ln c0+

1

1 +

ln c1;

sa se determine c1c0 ; c0 sic1, precum sisgn (E).

Ex. 4 Se considera urmatorul model dinamic al consumatorului:8>:

max(c0;c1)

u (c0; c1; 1 L0; 1 L1)

p0c0+ E=L0w0p1c1= L1w1+ E(1 + r)

;

unde

u (c0

; c1

; 1 L0

; 1 L1) = ln c

0+ ln(1 L

0) +

+ 1

1 + ln c1+

1

1 + ln(1 L1) ;

c0; c1reprezinta cantitatile consumate la momentele0si1, iarL0siL1timpullucrat la momentele0 si1. Sa se determine:

7


8/9

1. evolutia consumului si a oferetei de munca;

2. semnul economiilor.

Concluzia 5 n nal, se obtine

c1

c0=

p0(1 + r)

p1(1 + )=

1 + d

1 + ;

cudrata reala a dobnzii.

1 L0 =

( + )

1 + 11+

w0(1 + r) + w1w0(1 + r)

(5)

=

( + )

1 + 11+ 1 +1 +

1 + r

si se observaca nu depinde de venit, ci doar de cresterea acestuia.

1 L1 =

1+

( + )

1 + 11+w0(1 + r) + w1

w1(6)

=

1+

( + )

1 + 11+

1 +1 + r1 +

:

Din (5) si (6) rezulta

L1

L0=

1 + 1

1+

1+

1 + 1+r

1+

1 + 11+

1 + 1+r1+

:n ceea ce priveste semnul economiilor,

sgn (E) =sgn (c g) :

Dar

c= c1

c0 1 si

c1

c0=

1 + d

1 + ;

de unde

sgn (E) =sgn1 + d

1 + (1 + g)

;

pentru

1 + g=1 +

1 + :|

8


9/9

Bibliograe

[1] Altar, M., Necula, C., Bobeica, G. (2009). Modelarea deciziei nanciar-monetare -Note de curs. Bucuresti: Editura ASE.

[2] Marin, D., Stancu, S. (2004).Microeconomie: aplicatii la nivelul agentiloreconomici. Bucuresti: Editura ASE.

[3] Rubinstein, A. (2006). Lecture Notes in Microeconomic The-ory. Princeton University Press. Disponibil la adresa:

[4] Shephard, R. (1953).Theory of Cost and Production Functions. Princeton:

Princeton University Press.

[5] Tian, G. (2008) Lecture notes in Microeconomic Theory. Disponibil laadresa:

9

03 Teorie Consumator Dinamic

Documents

Transcript of 03 Teorie Consumator Dinamic