- 1 -

Moduri de a def ini o curb

n acest paragraf vom prezenta diverse procedee de a descrie cu ajutorulcoordonatelor imaginea unei curbe plane sau n spaiu.

1. Propoziie. Fie f I: R o funcie de clas C1 pe intervalul I . Atuncigraficul funciei f este imaginea unei curbe simple i regulate.

Demonstraie. Prin definiie graficul funciei f este

mulimea plan ( )( ){ }G x f x x If = , . Fie a : I R2 ,( ) ( )( )a t t f t= , . Este evident c a este o curb plan de

clas C1 i c imaginea lui a este mulimea G f . Deoarecea este o funcie injectiv, curba a este o curb simpl. ntruct ( ) ( )( ) ( ) = a t f t1 0, ,0pentru orice t I , rezult c a este o curb regulat. Deci graficul lui f este imagineacurbei simple i regulate a .

n contextul de mai sus, vom spune c ( )y f x= este ecuaia explicit a uneicurbe plane. n acest caz ecuaia tangentei la curb n punctul ( )x y0 0, este

( )( )y y f x x x- = -0 0 0 .Propoziia precedent ne furnizeaz deci un procedeu simplu de a defini o clas de

curbe plane i anume grafice de funcii derivabile cu derivata continu.

Fie F D: R R2 . Mulimile de forma ( )Gc F x y c c: , ,= R , se numescmulimile de nivel ale funciei F . Deoarece, n anumite condiii, aceste mulimi sunt curbe,ele se mai numesc, n mod abuziv, curbele de nivel ale lui F .

De exemplu, dac ( )F x y x y, = -2 2 , atunci mulimile de nivel sunt reprezentatede o familie de hiperbole echilatere la care seadaug reuniunea bisectoarelor celor doucadrane. n acest caz, mulimile de nivel suntcurbe (vezi figura alturat).

Dac ( ) [ ]F x y x y, = +2 2 (unde [ ]reprezint funcia parte ntreag), atunci mulimea

de nivel [ ]x y2 2 0+ = este interiorul cerculuide raz unu cu centrul n origine, mulime care numai este o curb !

x

a(t ) Gf

y

t=x

y

xO

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 2 -

Pentru a pune n eviden condiii suficiente n care o mulime de nivel este ocurb avem nevoie de un rezultat fundamental n analiza matematic.

Teorema funciei implicite. Fie F D: R R2 de clas C1 pe mulimeadeschis D . Fie ( )x y D0 0, astfel nct:

i) ( )F x y0 0 0, = ,ii) ( )

Fy

x y0 0 0, .Atunci exist dou mulimi deschise U i V , ( )x y U V D0 0, i o funcie unicf U V: de clas C1 pe U astfel nct pentru orice ( )x y U V, rezult( )f x y= dac i numai dac ( )F x y, = 0 .

Teorema de mai sus se poate extinde i pentru o funcie mmnDF RRR : ,purtnd n acest caz numele de teorema funciilor implicite.

Teorema funciei implicite poate fi reformulat ntr-un limbaj geometric prin rezultatulde mai jos.

2. Propoziie. Fie F D: R R2 o funcie de clas C1 pe mulimea deschisD . Fie ( )P x y0 0, un punct aparinnd mulimii ( )G : ,F x y = 0 . Presupunem c vectorul

( )gradF P este nenul. Exist atunci o vecintate a punctului P n care mulimea G esteimaginea unei curbe simple i regulate.

Demonstraie. Vectorul ( )gradF P , numit gradientul lui F n punctul P , estevectorul ( ) ( )

0000 yxyFyx

xF ,,, .S presupunem, de exemplu, c ( )

Fy

x y0 0 0, .

Din teorema funciei implicite obinem o vecintate U V D a punctului ( )P x y0 0, ifuncia unic f U V: cu proprietatea c ( )( )F x f x, = 0 pentru orice x U i,reciproc, pentru orice ( )x y U V, cu ( )F x y, = 0 , rezult ( )y f x= . Decimulimea G intersectat cu vecintatea U V a punctului P este chiar graficul G f alfunciei f , care, datorit propoziiei 1, este imaginea unei curbe simple i regulate.

n cazul n care ipotezele propoziiei precedente sunt ndeplinite n orice punct almulimii ( )G : ,F x y = 0 , rezult c n jurul oricrui punct al lui G mulimea G esteimaginea unei curbe simple i regulate (grafic de funcie). Deci G este o reuniune degrafice de funcii. Vom spune c mulimea G este o curb avnd ecuaia implicit( )F x y, = 0 . Curba G este n acest caz o curb fr autointersecii! Utiliznd formula de

derivare a funciei implicite, rezult c ecuaia tangentei la curba ( )G : ,F x y = 0 n

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 3 -

punctul ( )P x y0 0, este ( ) ( )x x F y y Fx y- + - =0 00 0 0 , iar ecuaia normalei la G npunctul P este x x

Fy yFx y

- = -0 00 0

, unde ( )F Fx

x yx0 0 0= , i ( )F

Fy

x yy0 0 0= , .

3. Observaii. 1) Un punct ( )P x y0 0, pentru care ( )gradF P 0 se numetepunct regulat al funciei F . n caz contrar, P se numete punct critic al funciei F .Propoziia 2 spune de fapt c mulimea ( )G : ,F x y = 0 este o curb fr autointersecii, dacaceast mulime nu conine puncte critice ale lui F . Prin abuz de limbaj vom spune c mulimea

( )G : ,F x y = 0 este o curb, chiar dac mulimea G conine puncte critice ale lui F . Asemeneapuncte vor fi numite puncte singulare ale curbei ( )G : ,F x y = 0 (a nu se confunda cu punctelesingulare ale unei curbe ( )a t !) .

2) Subliniem faptul c propoziia 2 furnizeaz condiii suficiente n care o mulime

( )G : ,F x y = 0 este o curb. Dup cum vom vedea n exemplul 4) de mai jos, aceste condiiinu sunt i necesare.

4.Exemple. 1) Fie ( )( )G : x y x y2 2 1 0+ + - = . Curba G este reuniunea dintredreapta x y+ - =1 0 i origine. Deoarece vectorul gradF se anuleaz n origine, rezult cacest punct este un punct singular pentru G . Propoziia 2 nu se poate aplican origine, care n aceast situaie este un punct izolat al curbei G .

2) Fie G :y x2 3 0- = , curb numit parabola semicubic.Aceast curb are un punct singular i anume originea. n jurul acestuipunct mulimea G nu este grafic de funcie derivabil !

3) Fie G :x y2 2 0+ = . Aceast mulime se reduce la un singur punct, originea, care estepunct critic pentru F . n acest caz este impropriu s spunem c mulimea G este o curb .

4) Fie G :y x3 6 0- = . i n acest caz originea este un punct critic pentru F , decipunct singular pentru curba G . Deoarece ( )( )y x y x y yx x3 6 2 2 2 4- = - + + , rezultc mulimea G este parabola y x- =2 0 . n aceast situaie, dei propoziia 2.2 nu se poateaplica n origine, mulimea G este graficul unei funcii derivabile !

n multe situaii este comod s utilizm n descrierea unei curbe plane aa-numitele

coordonate polare.

Se tie c pentru orice punct ( )M x y, , diferit de origine, exist ounic pereche de numere reale ( )r,q , ( )r 0, i q p[ , )0 2 , unde rreprezint distana de la punctul M la origine, iar q reprezint msura

x

y

O

q

M

Ox

y

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 4 -

unui arc de cerc cu centrul n O format de semidreptele Ox i OM . Punctul O senumete pol iar semidreapta Ox se numete ax polar.

Dac se renun la condiia q p[ , )0 2 , numrul q nu mai este unic, dar n acestmod putem descrie rotaii ale punctului M n jurul polului. Legtura dintre coordonatelecarteziene i coordonatele polare este dat prin relaiile:

x ry r==

cossin .

qq

n coordonate polare o curb plan poate fi definit n trei moduri: ( ) ( )r r t t= =, q q , unde funciile ( )r t i ( )q t sunt de clas C1 pe un interval I ; ( )r f= q , unde funcia f este de clas C1 pe un interval I ; ( )F r,q = 0 , unde funcia F ndeplinete condiii asemntoare celor din

propoziia 2.Cea mai utilizat este varianta a doua; n acest caz ecuaia ( )r f= q se numete

ecuaia polar a curbei. Atunci, o reprezentare parametric n coordonate carteziene este

evident ( ) ( ) ( )( )a q q q q q q= f f Icos , sin , .1) Spirala lui Arhimede : traiectoria unui punct ce

se deplaseaz rectiliniu uniform pe o ax, aceasta larndul ei efectund o rotaie uniform n jurul

originii: r a= q , q > 0

2) Spirala logaritmic : r aem= >q q, 0.

a > 0

y

x

5. Exemple.

y

x O

a > 0

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 5 -

3) Spirala hiperbolic : r a= >q q, 0 .

.

4) Melcul lui Pascal : r a b= + >cos ,q q 0

.

6. Propoziie. Fie f g D, : R R3 dou funcii de clas C1 pe mulimeadeschis D . Fie ( )P x y z0 0 0, , un punct aparinnd mulimii G definite prin sistemul

Atunci exist o vecintate a punctului P n care mulimea G este imaginea unei curbesimple i regulate din spaiu.

Demonstraia acestei teoreme se face asemntor demonstraiei propoziiei 2.2,utiliznd teorema funciilor implicite menionat anterior acestei propoziii.

Dac ipotezele propoziiei precedente sunt ndeplinite n orice punct P G ,mulimea G este n acest caz reuniunea unor arce simple i regulate, deci o curb. Vomspune n acest context c ecuaiile ( )f x y z, , = 0 , ( )g x y z, , = 0 sunt ecuaiile impliciteale curbei G .

Utiliznd teorema de derivare a funciilor implicite deducem c tangenta n

punctul ( )P x y z0 0 0, , la curba G are ecuaiile:

y

x

y=a

Oa > 0

y

xOa b= > 0 (Cardioida)

Presupunem c n punctul P rangul matricei Jacobiene

fx

fy

fz

gx

gy

gz

este egal cu 2.

de ecuaii: ( )( )

f x y z

g x y z

, ,

, , .

==

0

0

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 6 -

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

x xD f gD y z

P

y yD f gD z x

P

z zD f gD x y

P

- = - = -0 0 0,,

,,

,,

,

unde numitorii sunt nite determinani funcionali:

( )( )

( )( )

D f gD y z

fy

fz

gy

gz

D f gD z x

fz

fx

gz

gx

,,

,,,

= =

i( )( )

D f gD x y

fx

fy

gx

gy

,,

=

.

Deci planul normal n punctul P la curba G are ecuaia:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )x x

D f gD y z

P y yD f gD z x

P z zD f gD x y

P- + - + - =0 0 0 0,,

,,

,,

.

7.Observaii. 1) Un punct ( )P x y z0 0 0, , n care rangul matricei din enunulpropoziiei 6 este egal cu 2 se numete punct regulat al funciei vectoriale

( )F f g D= , : R R3 2 . n caz contrar, vom spune c punctul P este punct critic pentruF . Propoziia 6 spune c n cazul n care mulimea G nu conine puncte critice ale lui F ,atunci G este o curb n spaiu. Prin abuz de limbaj vom spune c mulimea G este o curbchiar dac aceasta conine puncte critice ale lui F . Asemenea puncte vor fi numite punctesingulare ale curbei G , curb n spaiu definit implicit printr-un sistem de dou ecuaii.

2) Ca i n cazul unei curbe plane, menionm c propoziia 6 furnizeaz condiiisuficiente, nu i necesare, n care mulimea G este o curb.

8. Exemplu. Curba G definit implicit prin sistemul x y z a2 2 2 2+ + = ,x y ax a2 2 0 0+ - = >, , se numetecurba lui Viviani . Aceast curb esteintersecia unei sfere de raz a cu uncilindru drept ce trece prin centrul sferei iare diametrul seciunii egal cu raza sferei(figura reprezint bucla superioar acurbei). Matricea jacobian este:

2 2 22 2 0

x y zx a y-

.

Minorii de ordin doi sunt:2 22 0

4y zy

yz=- ,

2 20 2

4 2z x

x axz az- = - ,

2 22 2

2x y

x a yay- = care se anuleaz simultan doar n punctul

z

y

x

A(a,0,0)

O

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 7 -

( )A a, ,0 0 , punct situat pe curba G . Deci G are un punct singular. O reprezentareparametric pentru G este ( ) ( )a t a t a t t a t= sin , sin cos , cos2 , adic imaginea lui aeste mulimea G . Se constat c A =

=

a

p a p2

32

, adic punctul A este un

punct multiplu pentru curba a .

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u