1

2

3DINAMICA Un studiu al micrii mecanice, care s ia n considerare aspectele legate de interaciunea corpurilor, trebuie s se bazeze pe un set de principii deduse pe cale experimental. Acestea se refer la modul de manifestare a interaciunilor. Mecanica newtonian se bazeaz pe trei legi fundamentale formulate de Newton.

PRIMUL PRINCIPIU (PRINCIPIUL INERIEI) Acest principiu a fost descoperit de Galileo Galilei (n 1632) i formulat de Isaac Newton drept principiul I al dinamicii (lex prima).ENUN: Un punct material rmme n repaus sau n micare rectilinie i uniform att timp ct asupra lui nu acioneaz alte corpuri care s-i schimbe aceast stare. Se numete inerie proprietatea unui corp de a-i menine starea de repaus sau de micare rectilinie uniform n absena aciunilor exterioare, respectiv de a se opune (reaciona) la orice aciune exterioar care caut s-i schimbe starea n care se afl. Msura ineriei unui corp este masa sa, care este o mrime fizic fundamental.

4DINAMICA Principiul nu spune nimic despre sistemul de referin. Este evident ns c un corp aflat n micare rectilinie uniform fa de un sistem de referin, va avea o micare accelerat fa de un alt sistem de referin care se deplaseaz accelerat fa de primul. Se distinge astfel o clas special de sisteme de referin numite SISTEME INERIALE, ca fiind acele sisteme n care este valabil principiul ineriei. Este evident c sistemele de referin ineriale sunt fie n repaus, fie n micare rectilinie i uniform unele fa de altele.

5DINAMICAPRINCIPIUL AL DOILEA (PRINCIPIUL FUNDAMENTAL) Principiul fundamental afirm c dac asupra unui corp acioneaz o for , ca urmare a interaciunii acestuia cu alte corpuri, aceasta determin o variaie a impulsului corpului dup legea:

Cum n mecanica clasic masa este constant (nu depinde de parametrii cinematici) legea poate fi pus sub forma:

n relaiile precedente nu se spune nimic despre natura forei. Ea apare aici ca un model mecanic al oricrei interaciuni, deci relaiile anterioare servesc i ca definiie dinamic a forei. n calitatea de msur a ineriei, masa se manifest pasiv i activ: n absena forelor exterioare corpul i pstreaz micarea rectilinie i uniform, conform principiului ineriei, iar sub aciunea unei fore exterioare admite o acceleraie invers proporional cu masa inert conform principiului fundamental.

= =

dp d(m v)Fdt d t

= = = d(m v) d vF m m adt d t

6DINAMICAPRINCIPIUL AL TREILEA (PRINCIPIUL ACIUNII I REACIUNII)

Principiul aciunii i reaciunii afirm c aciunile reciproce a dou corpuri sunt egale n modul i de sensuri opuse.

PRINCIPIUL INDEPENDENEI ACIUNILOR Principiul independenei aciunilor afirm c fora rezultant pe care o mulime de sisteme fizice o exercit asupra punctului material este egal cu suma vectorial a forelor pe care fiecare dintre sisteme le-ar exercita asupra punctului material din aceeai poziie relativ.

7

8DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL Din legea fundamental a dinamicii rezult trei teoreme: a impulsului, a momentului cinetic i a energiei.1. Teorema impulsului Legea fundamental:poate fi scris sub forma:de unde prin integrare i innd cont c masa n mecanica clasic este constant, se obine:

Mrimea se numete impulsul forei, iar relaia precedent reprezint teorema impulsului: impulsul forei rezultante ce acioneaz asupra punctului material este egal cu variaia impulsului punctului material. Legea de conservare Dac rezultanta forelor ce acioneaz asupra punctului material este nul, impulsul punctului material se conserv, adic starea de micare a acestuia nu se modific.

= =

dp d(m v)Fdt d t

= =F dt d(m v) dp

= = t2 2 1t1

H F dt m v m v

H

9DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL 2. Teorema momentului cinetic Dac asupra punctului material acioneaz o for , atunci momentul forei n raport cu un punct considerat fix, numit pol, este dat de relaia:

unde este vectorul de poziie al punctului material n raport cu polul considerat. Similar se poate introduce momentul oricrui vector. n particular momentul impulsului, numit moment cinetic, se definete prin relaia:

Derivnd, se obinePrin integrare rezult

Deci momentul impulsului forei aplicate punctului material este egal cu variaia momentului cinetic al punctului material. Legea de conservareDac momentul forei rezultante este permanent nul, momentul cinetic al punctului material se conserv.

= M r F

r

= = L r p m r v

= + = = = dL dr dpp r r F Mdt dt d

d tt

L M d

= = t2t1

K M dt L

10

DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL 3. Teorema energiei cinetice Dac o for acioneaz asupra unui punct material provocnd deplasarea acestuia, se poate defini lucrul mecanic infinitezimal efectuat de aceast for prin produsul scalar:nlocuind fora cu expresia dat de principiul fundamental se obine:

unde

se numete energie cinetic a punctului material. Prin integrarerelaie ce reprezint expresia teoremei energiei cinetice, expresie ce arat c lucrul mecanic efectuat de fora rezultant aplicat punctului material este egal cu variaia energiei cinetice a punctului material.Legea de conservareDac rezultanta forelor aplicate punctului material este permanent nul, energia cinetic a acestuia se conserv.

= = W F dr F v d t

= = = = = = c c2dp 1W F v dt v dt d(m v) v d m v dE W dE

dt 2

= =

22

c1 pE m v2 2 m

= cW E

11

DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL4. Conservarea energiei mecanice Exist cmpuri de fore, numite conservative, pentru care lucrul mecanic efectuat de forele cmpului asupra punctului material nu depinde de traiectorie sau de viteza punctului, ci numai de poziiile iniial i final. Atunci lucrul mecanic efectuat de cmp asupra punctului material ce se deplaseaz pe o traiectorie nchis este nul. Aceast proprietate este luat drept definiie a cmpului conservativ: un cmp de fore este conservativ, dac lucrul mecanic efectuat de forele cmpului asupra punctului material ce se deplaseaz pe o traiectorie nchis este nul. Vom numi energie potenial a punctului material ntr-un punct, lucrul mecanic, cu semn schimbat, efectuat de forele cmpului pentru a aduce punctul material din punctul de referin P0 n punctul considerat P:

deci lucrul mecanic efectuat de cmp ntre dou puncte P1 i P2 va fi egal cu minus variaia energiei poteniale ntre acele puncte:

( )P P0

P0 P

U r F dr F dri dU F dr= = =

W = - U

12

DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL4. Conservarea energiei mecanice Dac se cunoate energia potenial putem calcula forele:

de unde

relaie ce indic faptul c fora este gradientul cu semn schimbat al energiei poteniale. Suprafeele pentru care U = constant se numesc suprafee echipoteniale, iar curbele de-a lungul crora vectorul for este tangent la curbe se numesc linii de for. Liniile de for sunt perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.

Aplicnd teorema energiei cinetice unei particule aflate n micare ntr-un cmp de fore conservativ obinem:

rdUzdzUyd

yUxd

xUUd

zdFydFxdFrdFUd zyx

=

+

+

=

++==

UF Ur

= =

=== UErdFW c

13

DINAMICATEOREMELE DINAMICII PUNCTULUI MATERIAL4. Conservarea energiei mecanice i:

Relaie ce reprezint teorema conservrii energiei mecanice: ntr-un cmp de fore conservativ, n timpul micrii are loc o transformare reciproc a energiei cinetice i poteniale, suma lor rmnnd constant.

n cazul n care micarea punctului material are loc ntr-un cmp conservativ i este supus n acelai timp i aciunii unei fore neconservative, lucrul mecanic al forelor neconservative aplicate punctului material este egal cu variaia energiei mecanice a punctului material.

c cE U 0 E U const. + = + =

Slide 1 DINAMICASlide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13