Post on 17-Feb-2018
1
Seria Fourier. Analiza spectrala a semnalelor periodice
Raspunsul sistemelor continue liniaresi invariante in timp la exponentiala
complexa de modul unitar
Sinteza unui semnal prin convolutie cu impulsul unitar –descompunere
Descompunere in baza de functii trigonometrice
Leonard Euler Daniel Bernoulli Joseph-Louis Lagrange Jean Baptiste Joseph Fourier
Gaspard Monge Pierre-Simon Laplace
2
Raspunsul sistemelor continue liniare si invariante in timp la
exponentiala complexa de modulunitar
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0 0 0
00
0
0 0
,
,
.
j t
j t j t j
jj
j tj t
x t e R t R
y t h e d e h e d
H h e d H e
y t e H H e
ω
∞ ∞ω −τ ω − ω τ
−∞ −∞
∞Φ ω− ωτ
−∞
ω +Φ ωω
= ω ∈ ∈
= τ τ = τ τ
ω = τ τ = ω
= ω = ω
∫ ∫
∫
{ } ( )( )
( ) { } { }( ) ( ) .eHaty
,eSaeaSty
,eatx
,eHeS
k
tjkk
k
tjk
k
tjk
k
tjk
tjtj
k
kk
k
∑
∑∑
∑
ω
ωω
ω
ωω
ω=
==
=
ω= 000
3
Transformari ortogonale( )( )( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ;txlimtx
,tx,txdlimLtxtx
.dttxtxtx,txd,Ltx
tx,txdtx
tx
nn
nn
pn
pp
nnp
n
n
a.p.t
0 dacain la converge Sirul
,aproximare de eroare - aproximare
aproximat, de semnal -
1
∞→
∞→
∞
∞−
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=∈
−
∫
( )[ ] ( ) ( )
( )
( ) ( )txtxl.i.m
x,xd,p
.dttxtx,txd
nn
n
pp
p
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
∞→
∞
∞−∫
:patratica mediein aConvergentdiferenta. de semnalului energia - 2
0
2
1
4
Spatiul Hilbert
x,xxxx
.y,xy,x
.xx,xxx,x,Cy,xy,xy,xy,x
,z,xy,xzy,x
,x,yy,x
.y,xyx
n
k
m
llk
*lk
n
k
m
lllkk
*
*
=
βα=βα
=⇔=≠∀>
∈λ∀λ=λλ=λ
+=+
=
∑ ∑∑ ∑= == =
2
1 11 1
, lui norma -
v)
: rezulta iv)-i)Din 0 0 si 0 , 0 iv)
; iii)
ii)
i)
:scalar produsului ileProprietat complexa valoareaeste si r vectoriloalscalar Produsul
scalar.produsun -printrdefinitanormacu torialspatiu vecUn
David Hilbert (23 ianuarie, 1862, Königsberg, – 14 februarie, 1943, Göttingen, Germania) a fost un matematician german, recunoscut ca unul dintre cei mai universali si influenticercetatori din secolele 19 si 20. El a inventatsau dezvoltat multe idei fundamentale, in teoria invariantilor, in axiomatizareageometriei si notiunea de spatiu Hilbert, unuldintre conceptele fundamentale ale analizeifunctionale. El a adoptat si a aparat cu inversunare teoria multimilor adoptata de Cantor si numerele transfinite. Un exemplufaimos al suprematiei sale in matematica esteprezentarea unei colectii de probleme care au stat la baza mecanicii cuantice si a teorieirelativitatii generale pe care a facut-o el in anul 1900. El este de asemenea cunoscut ca unul dintre fondatorii teoriei demonstratiei, si a logicii matematice.
5
Exemple de spatiu Hilbert
( ) ( )
( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .dttxtxdttytxty,txLy,x
xx
,yx
y...
yy
x,...,x,xyxy,x
,y,...,y,yy,x,...,x,xx
b
a
*b
ab,a
n
kk
n
k
*kk
*n
*
*
n*T
Tn
Tn
222
1
22
1
2
1
21
2121
; ;
2
1
∫∫
∑
∑
==∈
=
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
==
=
=
Ortogonalitatea( )
α=
+=+=
=⊥
→→→→
→→→→→→
cosyxy,x
yjyiyxjxix
y,xyxyx
2121 ;
a.p.t. 0 daca ortogonalisunt si Vectorii
( ) ( ) ( )
04
414
204
2
221
2 ; 0 pe definite ;
00
00
00
0
00
00000
00000
0
00
=ω
π−=
ωω−
=ωω
=
=ω=ωω=ωω
ωπ
=ω=ω=
∫∫
cosTcoscostcos
tdtsindttsintcostsin,tcos
TT,tsintytcostx
T
TT
6
{ }
{ }.T
e
k,j,i
HU
.uax,Hx.UxHxxx,u
.U,HxHH
uU
Zk
tjk
Iiii
n
Ikk
0 perioada de periodice semnalelepentru
ladimensionainfinit baza o formeaza Multimea
ional. tridimensspatiulin baza o formeaza Versorii
. lui a baza o estecomplet sistem Orice
si daca ,0 0
din vectorii totipe ortogonal alt vectorun nici existanu daca in complet este Hilbert
spatiu un -dintr doi cate doi ortogonali vectoride , sistemUn
0∈
ω
→→→
∈
∈
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∈∀
∉∈=⇔=
∈
=
∑
Relatia intre distanta si produsulscalar. Teorema lui Pitagora
( )( )
( ) ( )( ) { }
( ) Pitagora. lui teorema
: si 0 atunci Daca
2
:sidintredistanteipatratuldefineste Se
222
222
222
2
22
,yxy,xd
y,xyx
.y,xReyxy,xd
;y,xy,xyxy,xd
,y,xx,y
,y,yx,yy,xx,xyx,yxy,xd
.yxy,xd
yx.Hy,x
*
*
+=
=⊥
−+=
+−+=
=
+−−=−−=
−=
∈
7
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ).tcos,tcosdtsin,tcosd
.TTTTtcos,tcosd
.Tdttcostcos,tcos
tcostytcostx
.TTTtsin,tcosd
Tty
Tdttcostdtcostx
TT,tsintytcostx
T
TT
0000
0000
002
0
00
200
00
000
002
02
0
0
0
00
22
00000
Deci
22
222
2
; si :acum lua Vom22
2 si
2221
2 ; 0 pe definite ;
0
00
ω−ω<ωω
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=ω−ω
−=ω−=ω−ω
ω−=ω=
=+=ωω
=
=ω+
=ω=
ωπ
=ω=ω=
∫
∫∫
Inegalitatea lui Schwartz( ) ( )
( )( )
( ) .y,xey,xey
xd
;y
y,xey,xea
,y,xey,xeyada
,y,xey,xeayaxd
,eak
k.Ck,y,xky,xkykxkyx,kyxky,xd
*jjmin
*jj
*jj
*jj
j
**
2
222
2
22
2222
2222
4
12
02
? vectoridoi cei dintre distanta aminimizeaz lui a valoareCe 0
ϕϕ−
ϕϕ−
ϕϕ−
ϕϕ−
ϕ
+−=
+=
=+−=∂∂
+−+=
⋅=
∈∀≥+−+=−−=
8
Augustin Louis Cauchy Victor Yakovlevich Bunyakovsky Hermann Schwarz
( )
( )
( ) ( )( )
( )
Schwartz. lui eainegalitat -
0
:este si dintre distanta aminimizeaz care lui Valoarea2
02
4
4
1
2
222
2
222
222
22
22
222
2
222
yxy,x
.y
y,xxky,xd,
y
y,xk
kyxk
.y
y,x
y
b
y
beebeea
.
,eejy
bd
,eeeey
bxd
,eby,x
,y,xey,xey
xd
min
jjjj
jjmin
jjjjmin
j
*jjmin
⋅≤
≥−==
==+
=
ψ=ϕ
=−−=ϕ∂∂
+−=
⋅=
+−=
ψ−ψψψ−
ψ−ϕ−ψ−ϕ
ψ−ϕψϕ−
ψ
ϕϕ−
9
( ) ( )
.TTT
tcostcosTT
tcos,tcos
-ktcostytcostx.tsinktcosk
TTTtsintcostsin,tcos
.kxy
yxy,x
222 si
22 :adevar-Intr
egal. semnul apare Schwartz lui eainegalitatin si1 atunci si insa Daca
incat astfel existaNu
;222
; 0
:anterior exemplulPentru daca loc are Egalitatea
Schwartz. lui eainegalitat -
00000
0000
00
00
0000000
==ω−⋅ω=−=ω−ω
=ω−=ω=ω=ω
==ω⋅ω=ωω
=
⋅≤
Aproximarea optimala in spatiulHilbert
{ }
{ }
.u,xau
U
.Hxn,k,u
u,xa
,uau,uau,x
uaxlk,,lk,uu,u.u,u,uU
.U
x
kkk
k
kk
ii
n
kikki
n
kkk
llkn
==
∈∀∈=
==
=⎪⎩
⎪⎨⎧
≠===
∑
∑
=
=
si 1 unitara, normaau
compun o care vectoriiatunci aortonormal este baza Daca
, ..., 2, 1
0
...,
l.dimensionafinit Hilbert spatiu unui cazul Consideram ortogonale baze uneir elementelo a
liniara combinatie o ca unica exprimare o are vector oricecomplet esteHilbert spatiul Deoarece
2
2
2
1
1
2
21
10
{ }1
1 21
. Daca se doreste aproximarea semnalului folosind doar o parte a
elementelor bazei , , ,..., cu , , se pune intrebarea
cum trebuie alesi noii coeficienti astfel inca
n
k kk
m
m k kk
x a u x
U u u u m n x u
=
=
=
< = λ
∑
∑%
( ) ( )2 2 22 2
1 1
2 * *
1 1 1 1
t sa se obtina cea mai buna aproximare. Eroarea de aproximare este data de distanta dintre si .
; , ; , ,
, ,
m m
k k i ik i
m m m m
k k i i k ik i k i
x x
e x x d x x x x e d x x e x u x u
x u x x u
= =
= = = =
= − = − = = = − λ − λ =
= − λ − λ + λ λ
∑ ∑
∑ ∑∑
%
% % % %
( )2
2 2 * 2*
1 1
, ,
, , ,
k i
m m
k k k k k kk k
u u
e x x u x u u= =
ε = = − λ + λ + λ
∑
∑ ∑
( )
{ }
{ } { }( )
22 2 * 2
2
*
1 1
2 2 2arg arg*
Anuland toate derivatele partiale ale lui in raport cu se obtine:,
, 1 2 , ,
Demonstratie
, , ,
k k
k
kk
m m
k k k k k kk k
j jk k k k
k
k
k
x uλ a k , , ...,
e x x u x u u
x e
m m n
a
u
u e a u
= =
λ − λ
ε = = − λ + λ + λ
ε = − λ ⋅
ε λ
=
⋅ + ⋅ ⋅ + λ
= ∈ <
∑ ∑
{ }{ }{ }{ }
{ }{ } { }( )
{ } { } { } { } { } { }p p
2 2
1 1
2 2arg *
arg arg*
arg arg 2 arg 2 arg**
2arg*
2
,
Re,
arg arg
Deci c.
2
c.t
Re 2 0
0arg
p
p
p
p
p
p
m m
k kk k
jp p p p
p
j jp p p
p
j j j j app p
p
jp p
p
p
p p
p p p p
u
e a u u
j e a j e a
ae a e a e e
a
a e u
u
a
a a
= =
λ
λ −
λ
λ
λ
− λ λ
∂ε= − ⋅ ⋅ + λ ⋅ = ⇔
∂ λ
∂ε= − λ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔
∂ λ
⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = = ⇔
⋅ ⋅λ =
λ =
λ = λ =
∑ ∑
( )2 2
2 2 2 2 2min 2
1 1 1
,.
.d
m m nk
k k k kk k k mk
x ux x a u a u
u= = = +
ε = − = − =∑ ∑ ∑
11
Teorema proiectiei
.Hx~xe
;Hxx~x
HxHx~
HxHH
s
s
s
s
s
subspatiulpe ortogonala este comisa eroarea
din element orice la la dedistanta mica mai cea este la la de distanta -
:ileproprietat are caredin elementecu lui a aproximare buna
mai cea reprezinta caredin un vector exista din vectorulfiar Oricare acestuia. al inchis
Hilbertsubspatiu un siHilbert spatiu un Fie
−=−
{ } { }Hilbert.spatiu doilea al de cel pe lui proiectia , vectorulde data este
ortogonala baza degenerat Hilbert spatiuldin elementecu ortogonala bazadegenerat Hilbert spatiuldin i vectorulua aproximare buna mai Cea
2121
xx~u,...,u,uu,...,u,u
x
mn
.xx~
xe
;uauauax~xe
uax,xxuax~,x~x~
x~m
x~xuaxuu,x
x
min
n
mkkkk
m
kkk
n
kkminmin
k
n
kkk
m
kk
m
kkk
m
kk
kmin
2
2
2
2
1
2222
1
22
1
222
22
1
222
1
2
2
222
1
22
1 2
22
1
:relativa minima Eroarea
; ;
scade. si creste dedat termenul lui crestereaCu
−=
=−=−==ε
====
ε
−=−=−=ε
∑∑∑
∑∑
∑∑
+===
==
==
Eroarea medie patratica a aproximarii optime
12
Cazul spatiilor de dimensiuneinfinita
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ){ }
2,
2
2
Se considera un spatiu infinit dimensional, de exemplu .
,, , , , , .
, , - completa si ortogonala intr-un spatiu finit dimension
a b
kk k l k k l l l k
k k k
N k
L
x t u tx t a u t x t u t a u t u t a u t a k Z
u t
U u t k N N
∞ ∞
=−∞ =−∞
= = = = ∈
= = −
∑ ∑
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )2,
2 1
222 1
2 1 2 12
al,
subspatiu al spatiului Hilbert generat de . Fie cea mai buna aproximare a lui cu elemente din subspatiu.
,; , ,..., , 0.
a b
N
bN k
N k k k NLk ak
U x t x t
x ux t u t k N N e x t x t dt
u
+
∞+
+ +=−∞
= λ λ = = − ε = = − ≥
ε =
∑ ∫
%
%% %
22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1, , , , , ;N N N N N N Nx x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + +− = − − = − − +% % % % % % %
22 1 2 1 2 1 2 1 2 1, , , , ;N N N N Nx x x x x x x x x x+ + + + +ε = − = − − +% % % % %
2 *
2 2 2*
, , ,
; Relatia lui Parseval.
2 2* *, ; , , 2 1 2 1
2 2 22 1
2 2 2 * *2 1
k k k kk k
k k k k kk k
x x x x a u a x u
a a u a u
N Nx x a u x x a uN k k k N k k kk N k N
Nx uN k kk N
Nx x a a aN k k k k k kk N
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞ ∞
=−∞ =−∞
= = = =
= =
= λ = λ∑ ∑+ += − = −
= λ∑+ = −⎛ ⎞
ε = − = + λ − λ − λ∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= −
∑ ∑
∑ ∑
% %
%
%
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
2 2 2* * * * cu
2* * ,
u ak kk NN
a a a a u a ak k k k k k k k k k kk N k N k NN
a a uk k k k kk N
+ =∑>
= + λ λ − λ − λ + = ε λ +∑ ∑ ∑= − > >
ε λ = − λ − λ∑= −
13
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2* *2 1
min 2 1
2 22 2 2 2 2
min 2 1
22 2 2
2 1
22 1
2,
=0 daca , ;
2 .
- inegalitatea lui Bessel.
lim l
N
N k k k k kk N
N
k k N k kk N
N N
N k k k kk N k N
N
N k kk N
NN
x x a a u akk N
a x t a u t
x x u x u
x a u x
x x
+=−
+=−
+=− =−
+=−
+→∞
ε = − = −λ −λ + ∑>
ε λ = ε λ λ = =
ε = + − λ = − λ
= ≤
− =
∑
∑
∑ ∑
∑
%
%
%
%
% ( ) ( )
( ) ( )
22 1
2 1
im 0 converge in medie patratica la .
. . .
k NN k N
N N
a x t x t
l i m x t x t
+→∞>
→∞ +
=
=
∑ %
%
Friedrich Wilhelm Bessel (22 iulie 1784 – 17 martie1846) a fost un matematician german, astronom sisistematizator al functiilor Bessel (care au fostdescoperite de catre Daniel Bernoulli). S-a nascut la Minden in Westfalia si a murit la Königsberg (acumKaliningrad, in Rusia). La varsta de 26 de ani a fostnumit director al Observatorului Astronomic din Königsberg de catre Frederick William al III-lea al Prusiei. Desi nu a beneficiat de o educatieuniversitara, Bessel a fost o figura majora in astronomie. A fost ales membru al Societatii Regale de Astronomie si cel mai mare crater din regiunea de pe luna numita Mare Serenitatis ii poarta numele. A castigat medalia de aur a Societatii Regale de Astronomie in anul 1841. Asteroidul 1552 Bessel a fost numit in memoria sa.
14
Reprezentarea semnalelor periodice
( ) ( )
energiei. aRayleigh teoremasi numeste mai se Parseval lui Relatiamedie. puterea eechivalent forme douaprin Exprima
Parseval. lui relatia11 22
10
2
00
201
1
−== ∑∫=
+tua
Tdttx
TTe
k
n
kk
Tt
t
Seria Fourier trigonometrica( ) ( ){ }
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) .dttksintxTtksin
tksin,txb
,dttkcostxTtkcos
tkcos,txa
,dttxT
,txa
tksinbtkcosaatx
Tdttksintksin
Tdttkcostkcos;Tdt
tk,tkcos, UL
Tk
Tk
T
T
kkk
T
T
T
T
T
T
NkT,T
00
20
0
00
20
0
2
20
20
1000
02
2
022
0
02
2
022
00
2
2
22
002
22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
2
continua. componenta 1
1
1
1
;2
;2
11
.ortogonala baza sin 1
ω=ω
ω=
ω=ω
ω=
==
ω+ω+⋅=
=ω=ω
=ω=ω==
ωω=
∫
∫
∫
∑
∫
∫∫
−
∞
=
−
−−
∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
15
( )( ) ( )
( )I. speta de itatidiscontinu definit numar un si precum minime de si
maxime definit numar un perioada o-intr aiba sa trebuie Functia 2.
.2
:punct acelin laterale salelimitelor a aritmetica media la
punct oricein converge trica trigonomeseria - portiuni pe monotona 1.:Dirichletluialeaconvergent de Conditiile
tx
txtxttx
+− +
Particularitati ale serieitrigonometrice
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )0
0
1 0 1 0 01
1
1
1
2 222
01 0
componenta continua a semnalului .
; cos sin ;
- componenta oscilanta.
par 0;
impar 0;
12 2
Relatia lui Parseval.
k kk
k
k
k k
Tk
a x t
x t x t a x t a k t b k t
x t
x t b
x t a
a bP a x t dt
T
∞
=
∞
=
−
= − = ω + ω
− ⇒ =
− ⇒ =
⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∫
16
Seria Fourier armonica
( )
( ) ( )∑∞
=ϕ+ω=
ωϕ
ω+=
−=ϕϕ+ω+=ω+ω
00
0
022
022
00
frecventa de icomponente a initiala faza - ; frecventa de icomponente eaamplitudin -
kkk
k
kkk
k
kkkkkkk
tkcosAtx
.kkbaA
.ab
tg;tkcosbatksinbtkcosa
( )0
2 2 222 2
0 01 10
12 2 2
Relatia lui Parseval.
k k kT
k k
a b AP a x t dt A
T
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= + + = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑∫
Seria Fourier exponentiala
( )
( )
( )
( )( )
.cargac;kcargk carg
;kcckbac
.ecececatx
ccRtx
;dtetxT
jbac
;dtetxT
jbac
;ejbaejbaatx
;jeetksineetkcos
kkkk
kkkkk
k
tjkk
k
tjkk
k
tjkk
*kk
tjk
T
kkk
tjk
T
kkk
tjk
k
kktjk
k
kk
tjktjktjktjk
0 ; 1 , ; 1 ,
1 , ; 1 ,
12
12
22
2 ;
2
000
22
110
0
0
110
00
000
0
0
0
0
00
0000
==
−≤ϕ−=≥ϕ=
−≤=≥+=
=++=
⇒=⇒∈
=+
=
=−
=
++
−+=
−=ω
+=ω
−
−
∞
−∞=
ω∞
=
ω−−
∞
=
ω
−
ω−
ω−
ω−∞
=
ω∞
=
ω−ωω−ω
∑∑∑
∫
∫
∑∑
17
Diagrame spectrale
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
1 01
1 0
2
0 0 0 1 00 00 0
200
0 00 0 0 00 0 2
0 0
2, 0 ; .
0, 2
1 1 2 1 ; . - impar
0 pentru 0.
cos2 2 4sin 2sin
0, p1 cos4 2 1 1
TT
k
TT
k T
k
t t Tx t t
t t T
a x t dt dt A a x t x t aT T
a k
k tb x t k tdt k tdt
T T T k
kkT k k
≤ <⎧= =⎨ ≤ <⎩
= = = = = − ⇒
⇒ = ≠
ω= ω = ω = =
ω
−− π ⎡ ⎤= = − − =⎣ ⎦ω π
∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
2 1
00
ar4, 0.4 2 1, -impar
41 sin 2 12 1
k
k
b kkk
k
x t k tk
+
∞
=
⎧⎪ = ≥⎨
+ π⎪ π⎩
= + + ω+ π∑
18
( ) ( )
( )
( )
0 00 0
0
0
0
20
0 0 0 00 0
2
00 00 0
2 22 1 2 1
0
1 11 1 22 , 0
1 1 2 1
2 2 2, 0 , , 12 1 2 1 2 1
2 , , 1.2 1
kT jk tjk t jk t
k T
TT
j j
k k
k
ec x t e dt e dt kT T T jk jk
c x t dt dtT T
c j e k c e kk k k
c k Z ck
− ω− ω − ω
π π−
+ +
− −= = = = ≠
ω π
= = =
= − = ≥ = ≤ −+ π + π + π
= ∈ =+ π
∫ ∫
∫ ∫
Observatii
i) Diagrama spectrala de modul este para iar ceade faze este impara.
ii) Diagrama spectrala de modul poate fi determinata experimental folosind un voltmetru selectiv.
19
Forme ale relatiei lui Parseval
Diagrame spectrale de putere
Banda efectiva de frecvente a semnalului.
In intervalul (0,9ω0) se gaseste 96,5% din putereasemnalului x(t).
20
Fenomenul GibbsAlbert Michelson, 1898
Josiah Willard Gibbs (11 februarie 1839 –28 Aprilie 1903) a fost un matematician-ingineramerican celebru, fizician teoretic si chimist, recunoscut pentru faimosul sau articol, aparut in 1876, On the Equilibrium of Heterogeneous Substances, o analizagrafica a sistemelor chimice multi-faza, care reprezinta baza unei parti importante a stiintei moderne. El si-a petrecut intreagaactivitate la Universitatea Yale, care i-a decernat prima diploma de doctorat din America in inginerie in anul 1863. In anul1880, pentru cercetarile sale in domeniulcaldurii, Gibbs a primit medalia Rumford din partea Academiei Americane de Arte siStiinte.
21
( ) ( )[ ]
ττ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ τπ⋅
π≅
=ττω−++τω+τωπω
=
∫
∫
τπ≅
τπ⇒<<<τ<
dT
nsin
dncos...coscosty~
tTTsinTt
t
0
0
220
0000
0
222
1234
000
uT
n =πτ
⋅0
22
22
( ) dtt
tsinzSiz∫=0
23
( ) ( )22 2
2 2
1 1 1T T
jk tTk T
T Tc t e dt t dt
T T T
π−
− −
= δ = δ =∫ ∫
( ) ( ).Tk
t t kT∞
=−∞
δ = δ −∑
( ) ( ) 01 .jk t
Tk k
t t kT eT
∞ ∞ω
=−∞ =−∞
δ = δ − =∑ ∑
24
Proprietatile seriei Fourier exponentiale
( ) { } ( ) ( ) ∑∫∞
−∞=
ωω− ==↔k
tjkxkT
tjkxk
xk
Fectxdtetx
Tcctx a.p.t 1 00
1. Aditivitatea si omogenitatea
( ) { } ( ) { }
( ) ( ) { }
, x yk k
x yk k
x t c y t c
ax t by t ac bc
↔ ↔
+ ↔ +
2. Deplasarea in timp
( ) { }xk
tjk cettx 00 0ω−↔−
25
3. Conjugarea complexa
( ) { }xk
* ctx −↔
4. Reflectarea semnalului
( ) ( ) { }xkctxtx −↔−= (
26
5. Scalarea variabilei
( ) { }xkcatx ↔
6. Modularea semnalului
( ) { } . 0
00 xkk
tjk cetx −ω ↔
27
7. Produsul a doua semnale
8. Convolutia periodica a semnalelor
( ) ( ) ( )T
z t x y t d= τ − τ τ∫
( ) ( ) { } .x yk kx t y t Tc c⊗ ↔
Convolutia circulara a doua unde rectangulare. Se observa efectul de “circularitate”
28
Dualitatea timp-frecventaDaca aplicam o operatie in domeniul timp (de exemplu inmultirea cu o exponentiala complexa) efectul va fi o operatie corespunzatoare in domeniul frecventa (de exemplu translatia). Acest exemplu corespundecelei de a sasea proprietati. Daca aplicam cea de a doua operatie in domeniul timp (translatie in timp) efectul va fi aplicarea primei operatii in domeniul frecventa (inmultirea cu o exponentiala complexa). Se obtineastfel proprietatea 2. Acest comportament se numeste dualitate.
Ca o consecinta a proprietatii 4 putem afirma ca reflectarea este o operatieautoduala.
Si dupa derivare, un semnal ramane periodic de aceeasi perioada, dar componenta continua dispare.
9. Derivarea semnalului
( ) { }xkcjk
dttdx
0 ω↔
29
10. Integrarea semnalului
( ) 0 00
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
ω↔ττ∫
∞−
xt x
k cjkc
dx
11. Cazul semnalelor reale
Seriile componentelor para si impara
( ) ( ) ( ) { }{ }( ) ( ) ( ) { }{ }
Re2
Im 2
xp k
xi k
x t x tx t c
x t x tx t j c
+ −= ↔
− −= ↔