Seciunea 2: Noiuni elementare

1. Rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunitilor de arbitraj. 3. Teorema de paritate CALL PUT. 4. Preul Forward.

1. Rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu

Ex. Un investitor depune o sum 0S ntr-un depozit bancar cu capitalizare, care pltete o

dobnd la rata r , n procente pe an. Determinai suma final de care va dispune

investitorul dup t ani, dac capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) n timp continuu.

a) 0 (1 )t

tS S r .

b) 20 (1 )2

t

t

rS S .

c) 40 (1 )4

t

t

rS S .

d) 120 (1 )12

t

t

rS S .

e) 3600 (1 )360

t

t

rS S .

f) 0 0 0lim (1 ) lim[(1 ) ]n

n t r t r trt

n n

r rS S S S e

n n

r - reprezint rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu sau rata dobnzii neutre la risc (sau rata fr risc fiind asociat unor investiii fr risc cum ar fi depozite bancare sau obligaiuni 0-cupon);

0

r tS e - reprezint suma final din depozit, fructificat la sfritul celor t ani ( t

poate reprezenta i un numr fracionat de ani);

r te - reprezint factorul de fructificare n timp continuu;

1 r tr t

ee

- reprezint factorul de actualizare n timp continuu.

Seciunea 2: Noiuni elementare

2. Arbitraj. Lipsa oportunitilor de arbitraj

a) Ex. O aciune Coca Cola este cotat simultan pe piaele bursiere NYSE la preul de 10$ pe o aciune i LSE la preul de 9 pe o aciune, n condiiile n care pe piaa valutar

cursul de schimb ntre cele dou monede este 1 1,45$ . Propunei o strategie de arbitraj

i explicai mecanismele prin care preurile pe cele trei piee se vor corecta.

Obs. Presupunnd ca volumul tranzaciilor prilejuite de acest dezechilibru este insuficient pentru a influena cursul de schimb de pe piaa valutar, se poate obine un ctig sigur de 1.6$ pe aciune lund simultan poziie short la LSE i poziie long la NYSE pe un numr de aciuni. Investitorii raionali vor vinde la LSE genernd presiuni de scdere a preului pe aceast pia i vor cumpra la NYSE determinnd creterea preului pe aceast pia. Oportunitatea de arbitraj va dispare n momentul n care raportul ntre preurile pe cele dou piee bursiere va egala raportul de schimb ntre cele dou monede (eliminnd eventuala existen a costurilor de tranzacionare).

b) Ex. Presupunem c ratele de schimb spot i forward pentru cursul de schimb /$ sunt:

spot 0 1,6080S , forward peste 90 zile (0,90 ) 1,6056F zile i forward peste 180 zile

(0,180 ) 1,6018F zile . Ce oportuniti are un arbitrajor n urmtoarele situaii:

i) pe pia mai exist o opiune european CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preul

de exercitare 1,57$ / E i care cost 0 0,02$C ;

ii) pe pia mai exist o opiune european PUT maturitatea peste 90 zile, cu preul de

exercitare 1,64$ / E i care cost 0 0,02$C .

LSE

Short: 8

NYSE

Long: -10$

8=11.6$ Profit = 1.6$

Arbitraj: posibilitatea obinerii unui ctig sigur fr a se investi capital iniial i fr a se asuma nici un risc.

Arbitrajul poate fi:

a) spaial se obin profituri sigure utilizndu-se dezechilibrele de pe dou sau mai multe piee n acelai moment de timp;

b) temporal se obin profituri sigure utilizndu-se dezechilibrele de pe pieele

unor instrumente financiare, n momente de timp diferite.

Seciunea 2: Noiuni elementare

Presupunem c valoarea timp a banilor este 0.

i) Poziia la iniiere: long CALL short FORWARD pe contractele cu scadena 180 zile.

Peste 180 zile (cursul spot va fi TS ):

0

0

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,180 )

(0,180 ) ,

1,6018 1,57 0,02 0,0118$, 1,570.

1,6018 0,02 , 1,57

T

T T

T T

T

T T

F zile E C S ES E C F zile S

F zile S C S E

S

S S

ii) Poziia la iniiere: long PUT long FORWARD pe contractele cu scadena 90 zile.

Peste 90 zile (cursul spot va fi TS ):

0

0

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,90 )

(0,90 ) ,

1,6056 0,02 1,6256, 1,640.

1,64 1,6056 0,02 0,0144$, 1,64

T T

T T

T

T T T

T

S F zile P S EE S P S F zile

E F zile P S E

S S S

S

Obs. Valoarea timp a banilor a fost ignorat n aceste calcule. Dac am fi luat n considerare existena unei rate de dobnd pe perioadele pe care s-au fcut plasamentele, strategiile ar fi rmas profitabile innd cont c profitul depete 0.0118$ i respectiv 0.0144$ la o investiie iniial de 0.02$, ceea ce ar corespunde unei dobnzi anualizate de peste 100% pentru fiecare din cele dou perioade considerate.

Concluzie:

Dac astfel de situaii de tip arbitraj ar apare n realitate, ele ar fi eliminate relativ repede prin aciunea legii cererii i ofertei pe pia (innd cont i de faptul c aceste profituri pot fi considerate gratuite iar pe piaa instrumentelor financiare exist arbitrajorii foarte bine pltii care caut i exploateaz astfel de oportuniti).

De aceea n teoria financiar, evaluarea activelor pornete de la ipoteza conform creia pe pieele financiare nu exist oportuniti de arbitraj (sau similar oportuniti de a obine profit instantaneu i fr asumarea niciunui risc).

Schematic aceast ipotez poate fi redat astfel:

Dac valoarea a dou portofolii de active financiare A i B va fi cu certitudine aceeai la

un moment n viitor T , ( ) ( )T TA B , atunci valoarea celor dou portofolii trebuie s

fie aceeai la orice moment de timp anterior t T , ( ) ( )t tA B . Relaia este valabil

i pentru inegaliti ntre valoarea celor dou portofolii i se demonstreaz prin reducere la absurd (vezi curs).

Seciunea 2: Noiuni elementare

3. Teorema de paritate CALL PUT

Aplicaie a ipotezei absenei oportunitilor de arbitraj (notaie AOA):

Demonstrai urmtoarea relaie care are loc ntre preurile opiunilor CALL i PUT de tip european, care au aceleai caracteristici (acelai activ suport, acelai pre de exercitare, aceeai scaden i aceeai pia de tranzacionare):

( ) , .r T tt t tC E e P S t T

Demonstraie:

Considerm 2 portofolii:

( ):

: sup

r T tA long CALL depozit in valoare de E e

B long PUT long activul ort

La scaden despre payoff-ul celor dou portofolii vom ti cu siguran:

( )T A ( )T B

TS E 0 E T TE S S E

TS E T TS E E S 0 T TS S

Conform ipotezei AOA: ( ) ( ), .t tA B t T c.c.t.d.

Generalizare pentru cazul cu dividend: ( ) ( ) ,r T t q T tt t tC E e P S e t T

unde q

reprezint rata continu a dividendului.

Ex. Primele call, respectiv put, avnd aceleai caracteristici sunt: 17,2808C i

12,9118P . Se tie c 105S E , iar 6 luniT t . S se calculeze rata dobnzii r .

Rezolvare:

Din relaia de paritate put-call: 1

ln 8,5%P C S

rT t E

.

Seciunea 2: Noiuni elementare

4. Preul Forward

Ex. Se ia o poziie long pe un contract forward cu suport o aciune ex-dividend (fr

dividend) la momentul 0 0t . Cursul spot al aciunii la momentul 0t este 0 40S $ iar

rata dobnzii n timp continuu 10%r .

a) Determinai preul forward al contractului emis la momentul 0t cu scadena la

1T an i valoarea iniial a acestui contract.

b) Dup 6 luni ( 1 6t luni ): 1 45tS $ , 10%r . Determinai preul forward al

contractului emis la momentul 1t cu scadena la 1T an i valoarea contractului

forward emis la 0t .

Rezolvare:

a)

0,1

0(0, ) 40 44,21

(0,0, ) 0.

r T

L

F T S e e

f T

$

b)

1

1

1 1

1

( ) 0,1 0,5

1

( )

1 1 0

( , ) 45 47,31

( , , ) [ ( , ) (0, )] 2,95

r T t

t

r T t r t

L t

F t T S e e

f t t T F t T F T e S S e

$

$.

1

1

( ) ( )

( )

1 0 1 0

( )

1 0 1 0 0 1

( , )

: ( , , ) [ ( , ) ( , )]

: ( , , ) ( , , ) [ ( , ) ( , )]

r q T t

t

r T t

L

r T t

S L

F t T S e

long f t t T F t T F t T e

short f t t T f t t T F t T F t T e

unde:

( , )F t T reprezint preul forward al contractului emis la momentul t cu scadena la

momentul T ;

tS reprezint preul la momentul t al activului suport;

q este rata continu a dividendelor pltite de aciunea suport (n cazul aciunilor fr

dividend, 0q );

1 0( , , )Lf t t T reprezint valoarea la momentul 1t a contractului forward poziie long,

emis la momentul 0t cu scadena la momentul T , unde 1t t T ;

1 0( , , )Sf t t T reprezint valoarea la momentul 1t a contractului forward poziie short.

Obs. Preul forward este identic cu preul futures att timp ct rata dobnzii este

determinist. n cazul n care suportul contractului forward este o valut, fq r , unde

fr este rata dobnzii pentru valuta suport n contract.